PROC_EST_EX_07_GAB

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO - 07 
AMOSTRAGEM
INTERVALO DE CONFIANÇA
TAMANHO DA AMOSTRA 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - T_STUDENT
01-(Estatístico ELETROBRÁS/2002-NCE) Suponha que as notas
obtidas por candidatos em uma prova sigam uma distribuição
normal com média 50 e variância 256. Se uma amostra aleatória
simples de cem candidatos for observada, a probabilidade de que
a nota média dessa amostra seja superior a 55 é
aproximadamente de:
(A) 0,09%
(B) 1,26%
(C) 3,47%
(D) 5,76%
(E) 9,02%
01-(Estatístico ELETROBRÁS/2002-NCE) Suponha que as notas
obtidas por candidatos em uma prova sigam uma distribuição
normal com média 50 e variância 256. Se uma amostra aleatória
simples de cem candidatos for observada, a probabilidade de
que a nota média dessa amostra seja superior a 55 é
aproximadamente de:
Dados da questão
n = 100  tamanho da amostra selecionada !
MÉDIA µ = 50 (população)
VARIÂNCIA σ2 = 256 (população)
Desvio Padrão  σ = 16 (raiz quadrada da variância)
X = 55  média da amostra !
SOLUÇÃO
DISTRIBUIÇÃO  NORMAL (conhecemos a variância da
população e n = 100)
Dados da questão
n = 100  tamanho da amostras selecionada !
MÉDIA µ = 50 (população)
VARIÂNCIA σ2 = 256 (população)
Desvio Padrão  σ = 16 (raiz quadrada da variância)
X = 55  média da amostra !
Por convenção o desvio-padrão das médias amostrais é
chamado de Erro Padrão (EP).
Temos então 
n
EPx
σ
= ERRO PADRÃO = Desvio Padrão / RAIZ de (n)
Vamos calcular agora o valor de z
12,3
6,1
5055
EP
X
z
x
=
−
=
µ−
=
100
16
EPx = 6,1EPx =
Qual o significado desse valor ?
FEROZ !
12,3
6,1
5055
EP
X
z
x
=
−
=
µ−
=
Qual o significado desse valor?
12,3z =
Quanto vale X (o nosso ponto de corte)?
X = 55 !
Z = 3,12 é o equivalente ao valor de X = 55 na Tabela Normal!
Portanto o que vale para Z vale para X!
Sabe por quê?
Porque Z é a variável TRANSFORMADA !
xEP
X
Z
µ−
=
12,3z =
Entramos com Z = 3,12 na Tabela Normal (UNICAUDAL) e
encontramos  P = 0,4991
Esse é a probabilidade de X se
encontrar entre 0 e z (observe a
figura ao lado).
Como queremos calcular a
probabilidade de X(55) ser maior
que z (3,12) basta fazer a
diferença:
(0,50 - 0,4991) = 0,0009
0,0009 = 0,09%
GABARITO - A
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 1 MANUEL
02- (ICMS-2005) Uma amostra de tamanho 25 foi extraída de
uma população com média µ e desvio padrão desconhecido.
Suponha que a média amostral seja 4,004 e o desvio padrão
amostral seja 0,366. O intervalo para µ com 95% de confiança é:
a) [3,853 ; 4,155]
b) [3,164 ; 4,002]
c) [2,891 ; 4,287]
d) [3,583 ; 4,551]
e) [3,289 ; 4,329]
02- (ICMS-2005) Uma amostra de tamanho 25 foi extraída de
uma população com média µ e desvio padrão desconhecido.
Suponha que a média amostral seja 4,004 e o desvio padrão
amostral seja 0,366. O intervalo para µ com 95% de confiança é:
Dados da questão
DP da população desconhecido  Variância desconhecida!
n = 25 (tamanho da amostra)
Média da amostra = 4,004
Desvio Padrão da amostra S = 0,366
Intervalo de Confiança de 95%
SOLUÇÃO 
Como NÃO conhecemos a Variância da população E n < 30!
DISTRIBUIÇÃO  T-STUDENT!
Obs. O enunciado diz que não conhecemos o Desvio Padrão
da População  logo não conhecemos a Variância!
Dados da questão
DP da população desconhecido  Variância desconhecida!
n = 25 (tamanho da amostra)
Média da amostra = 4,004
Desvio Padrão da amostra S = 0,366
Intervalo de Confiança de 95%
Para 95% de Confiança o Alfa (αααα) = 100% - 95% = 5%
Como a tabela é UNICAUDAL dividimos αααα por 2  5%/2 = 2,5%
GRAUS DE LIBERDADE 
ϕ = n - 1 = 24 = Tamanho da Amostra menos 1!
A tabela T-STUDENT é BI PARAMÉTRICA!
Da Tabela T-STUDENT com ALFA (αααα) = 2,5% e ϕϕϕϕ = 24 obtemos
t = 2,0639.
COMO CALCULAR O INTERVALO DE CONFIANÇA?
Vamos agora entrar na tabela T-STUDENT com αααα = 2,5% e ϕϕϕϕ = 24.
σ×±=µ zx
σµ ×±= zx
POP AMOSTRA ERRO
σ
µ−
=
x
z
RELAÇÃO ENTRE POPULAÇÃO E AMOSTRA 
FEROZ !
INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA POPULACIONAL
USANDO DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT
n
S
tx ×−
n
S
tx ×+
LIMITE INFERIOR 
LIMITE SUPERIOR 
n
S
tERRO ×= ε
α  nível de SIGNIFICÂNCIA
ϕ  número de GRAUS DE LIBERDADE = n - 1
Obs: Em ambos os casos o ERRO εεεε é igual a METADE da AMPLITUDE do
INTERVALO DE CONFIANÇA.
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 2 MANUEL
n
S
tx ×−
n
S
tx ×+
LIMITE INFERIOR 
LIMITE SUPERIOR 
n = 25 (tamanho da amostra)
Média = 4,004 (x barra)
Desvio Padrão da amostra S = 0,366
t = 2,0639
25
3660
063920044LI
,
,, ×−= 3,853=LI
25
3660
063920044LS
,
,, ×+= 4,155=LS
GABARITO - A
03- (ICMS/MS-2006) Uma amostra aleatória simples de
tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida
de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2,
e a variância amostral foi 1,44. O intervalo de 95% de confiança
para a média populacional é:
(A) 4,2 ± 0,49
(B) 4,2 ± 0,64
(C) 4,2 ± 0,71
(D) 4,2 ± 0,75
(E) 4,2 ± 0,81
03- (ICMS/MS-2006) Uma amostra aleatória simples de
tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida
de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2,
e a variância amostral foi 1,44. O intervalo de 95% de confiança
para a média populacional é:
Dados da questão
DP da população desconhecido  Variância desconhecida!
n = 25 (tamanho da amostra)
Média amostral = 4,2
Variância da Amostra S2 = 1,44
Intervalo de Confiança de 95%
SOLUÇÃO 
Como não conhecemos a Variância da população E n < 30!
DISTRIBUIÇÃO  T-STUDENT!
Dados da questão
Variância da população desconhecida
n = 25 (tamanho da amostra)
Média amostral = 4,2
Variância da Amostra S2 = 1,44
Desvio Padrão S = RAIZ(1,44) = 1,2
Intervalo de Confiança de 95%
Para 95% de Confiança o Alfa (α) = 100 - 95 = 5%
Como a tabela é UNICAUDAL dividimos α por 2  5%/2 = 2,5%
GRAUS DE LIBERDADE 
ϕ = n - 1 = 24 = Tamanho da Amostra menos 1!
A tabela T-STUDENT é BI PARAMÉTRICA!
Da Tabela T-STUDENT com ALFA (α) = 2,5% e ϕ = 24 obtemos
t = 2,0639.
INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA POPULACIONAL
USANDO DISTRIBUIÇÃO T-STUDENT
n
S
tx ×−
n
S
tx ×+
LIMITE INFERIOR 
LIMITE SUPERIOR 
n
S
tERRO ×= ε
α  nível de SIGNIFICÂNCIA
ϕ  número de GRAUS DE LIBERDADE = n - 1
Obs: Em ambos os casos o ERRO εεεε é igual a METADE da AMPLITUDE do
INTERVALO DE CONFIANÇA.
n
S
tx ×±LIMITES 
n = 25 (tamanho da amostra)
Média amostral = 4,2 (x barra)
Desvio Padrão da amostra S = 1,2
t = 2,0639
25
21
0639224L
,
,, ×±=
GABARITO - A
49,02,4L ±=
2,4x =
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 3 MANUEL
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO - 07 
VÍDEO-02
04-(ICMS/RJ-2010) Suponha que os salários dos trabalhadores
numa certa região sejam descritos por uma variável
populacional com média desconhecida e desvio padrão igual a
R$ 200,00. Para se garantir, com 95% de probabilidade, que o
valor da média amostral dos salários não diferirá do valor da
média populacional por mais de R$ 10,00, a amostra aleatória
simples deverá ter no mínimo, aproximadamente, o seguinte
tamanho:
(A) 3.568
(B) 3.402
(C) 2.489
(D) 2.356
(E) 1.537
SOLUÇÃO
Desvio Padrão da população  DP = 200  σ = 200
Erro (ε) = 10
Nível de Confiança = 95%  z = 1,96 (de onde ????)
Obs. Tamanho de amostra é sempre a Normal!
04-(ICMS/RJ-2010) Suponha que os salários dos trabalhadores
numa certa região sejam descritos por uma variável
populacional com média desconhecida e desvio padrão igual a
R$ 200,00. Para se garantir, com 95% de probabilidade, que o
valor da média amostral dos salários não diferirá do valor da
média populacional por mais de R$ 10,00, a amostra aleatória
simples deverá ter no mínimo, aproximadamente, o seguinte
tamanho:
Obs. 95%/2 = 47,5%
2
. 





=
ε
S
zn
1537
10
200
961n
2
=





×= ,
SOLUÇÃO
Desvio Padrão da população  DP = 200  σ = 200
Erro (ε) = 10
Nível de Confiança = 95%  z = 1,96 (da tabela Normal)
Obs. Tamanho de amostra é sempre a Normal!
GABARITO - E
05- (Tecnologista Junior-IBGE/2002-NCE) - O tamanho de
uma amostra aleatória simples para que possamosgarantir,
com 92% de confiança, que o valor da média da amostra
não se afastará do da média populacional por mais de 10%
do desvio padrão populacional é, no mínimo,
aproximadamente, igual a:
(A) 254
(B) 282
(C) 306
(D) 458
(E) 560
05- (Tecnologista Junior-IBGE/2002-NCE) - O tamanho de uma
amostra aleatória simples para que possamos garantir, com
92% de confiança, que o valor da média da amostra não se
afastará do da média populacional por mais de 10% do
desvio padrão populacional é, no mínimo, aproximadamente,
igual a:
SOLUÇÃO
Erro (ε) = 10% do Desvio Padrão
Nível de Confiança = 92%  92%/2 = 46%  z = 1,75
Obs. Tamanho de amostra é sempre a Normal!
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 4 MANUEL
2
. 





=
ε
S
zn
2
S100
S
751n 





×=
,
,
GABARITO - C
SOLUÇÃO
Erro = 10% do Desvio Padrão  ε = 0,10S
Nível de Confiança = 92%  92%/2 = 46%  z = 1,75
Obs. Tamanho de amostra é sempre a Normal!
( )2
2
5,17
10,0
75,1
n =





= 306n ≅
06-(PETROBRÁS/2009-CESGRANRIO) Seja X a variável que
representa a altura de um indivíduo escolhido aleatoriamente de
uma população de adultos do sexo masculino. Suponha que X
possua distribuição normal com média de 68 polegadas e
desvio padrão σ = 3 polegadas. Para uma amostra de tamanho
n = 25 selecionada a partir dessa população a probabilidade de
que a média amostral difira da média populacional em menos
de uma polegada é:
a) 0,82
b) 0,90
c) 0,92
d) 0,97
e) 0,37
polegada1x ≤µ−
Dados da Questão
Média da População = 68
Desvio Padrão da população  σ = 3
n = 25  tamanho da amostra
ERRO = ± 1 POLEGADA (67 ou 69)
Como a Variância (Desvio Padrão) da População é conhecida
 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
06-(PETROBRÁS/2009-CESGRANRIO) Seja X a variável que
representa a altura de um indivíduo escolhido aleatoriamente de
uma população de adultos do sexo masculino. Suponha que X
possua distribuição normal com média de 68 polegadas e
desvio padrão σ = 3 polegadas. Para uma amostra de tamanho
n = 25 selecionada a partir dessa população a probabilidade de
que a média amostral difira da média populacional em menos
de uma polegada é:
Vamos calcular o valor de z para X = 67
Dados da Questão
Média da População = 68
Desvio Padrão da população  σ = 3
n = 25  tamanho da amostra
ERRO = ± 1 POLEGADA (67 ou 69)
polegada1x ≤µ−
n
X
z
σ
µ−
=
25
3
6867
z
−
=
Da Tabela Normal para z = 1,67 obtemos 
P = 0,4525  Como é simétrica  P = 2 x 0,4525 = 0,9050
GABARITO - B
5
3
1
z
−
= 67,1
3
5
z −=
−
=
Obs. Ser simétrica significa que o valor calculado para 69 será
igual ao valor calculado para 67.
07- (BNDES/2007-CESGRANRIO) Seja X a variável aleatória
que representa a nota média de um aluno selecionado, ao acaso
de uma universidade. Sabe-se que a distribuição de X tem
média µ = 2,5 e desvio padrão 0,4. Se tomarmos uma amostra
aleatória de 36 estudantes e calcularmos o valor de , a
probabilidade de que seja menor que 2,4 é:
x
x
a) 0,09
b) 0,20
c) 0,82
d) 0,07
e) 0,66
07- (BNDES/2007-CESGRANRIO) Seja X a variável aleatória
que representa a nota média de um aluno selecionado, ao acaso
de uma universidade. Sabe-se que a distribuição de X tem
média µ = 2,5 e desvio padrão 0,4. Se tomarmos uma amostra
aleatória de 36 estudantes e calcularmos o valor de , a
probabilidade de que seja menor que 2,4 é:
x
x
Dados da POPULAÇÃO
Média da População µ = 2,5
Desvio Padrão  σ = 0,4
n = 36  tamanho da amostra
Como a Variância (Desvio Padrão) da População é conhecida
e n > 30  DISTRIBUIÇÃO NORMAL
( ) ?, =< 42XP
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 5 MANUEL
Dados da POPULAÇÃO
Média da População µ = 2,5
Desvio Padrão  σ = 0,4
n = 36  tamanho da amostra
Vamos calcular o valor de z
n
x
z
σ
µ−
=
36
4,0
5,24,2
z
−
=
4,2x =
6
4,0
1,0
z
−
=
4,0
61,0
z
×−
= 5,1z −=
4,0
6,0
z
−
=
( ) ?, =< 42XP
Entramos com Z = -1,5 na Tabela Normal (UNICAUDAL)
encontramos  P = 0,4332
Esse é a probabilidade de X se encontrar entre 0 e z (observe
a figura ao lado).
Como queremos calcular a probabilidade de X ser menor que
2,4 temos então que: (0,50 - 0,4332) = 0,0668 ≅ 0,07
GABARITO - D
08-(ICMS/MS-2006) Uma amostra aleatória de tamanho
400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham
que conquistaremos o hexacampeonato mundial de
futebol. O intervalo de 95% de confiança para a
proporção de torcedores na população que acreditam no
hexacampeonato é:
(A) 64% ± 3,9%
(B) 64% ± 4,2%
(C) 64% ± 4,7%
(D) 64% ± 5,1%
(E) 64% ± 5,6%
08-(ICMS/MS-2006) Uma amostra aleatória de tamanho
400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que
conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O
intervalo de 95% de confiança para a proporção de
torcedores na população que acreditam no
hexacampeonato é:
SOLUÇÃO - PROPORÇÃO
n = 400
p’ = 64% p’ + q’= 1
q’ = 100 - p’ = 100 - 64  q’ = 36%
Intervalo com 95% de confiança
Como está pedido o intervalo para a proporção dos que
acreditam, a média é 64%.
Para 95%  z = 1,96
SOLUÇÃO 
n = 400 = DISTRIBUIÇÃO NORMAL
SOLUÇÃO - PROPORÇÃO
n = 400
p’ = 64% p’ + q’= 1
q’ = 100 - p’ = 100 - 64  q’ = 36%
Intervalo com 95% de confiança
Como está pedido o intervalo para a proporção dos que
acreditam, a média é 64%.
Para 95%  z = 1,96
n
'q'p
zMÉDIAL
×
×±=
400
36,064,0
96,1%64L
×
×±=
20
6,08,0
96,1%64L
×
×±=
024,096,1%64L ×±=
%7,4%64L ±=
GABARITO - C
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO - 07 
VÍDEO-03
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 6 MANUEL
09-(PETROBRÁS-CESGRANRIO/2007) Supõe-se que a
variância do peso das pessoas adultas de sexo masculino de
uma determinada região seja 144. Em uma amostra de 36
pessoas, foi encontrada uma média de 63,4 kg. O intervalo de
confiança de 90% para a média dos pesos dessas pessoas é:
a) [ 60,11 ; 66,69 ]
b) [ 62,19 ; 67,88 ]
c) [ 59,89 ; 65,69 ]
d) [ 60,19 ; 66,96 ]
e) [ 60,45 ; 68,37 ]
09-(PETROBRÁS-CESGRANRIO/2007) Supõe-se que a
variância do peso das pessoas adultas de sexo masculino de
uma determinada região seja 144. Em uma amostra de 36
pessoas, foi encontrada uma média de 63,4 kg. O intervalo de
confiança de 90% para a média dos pesos dessas pessoas é:
Dados do problema
n = 36  tamanho da amostra
VAR da população  σ2 = 144
Desvio Padrão da População  σ = 12 (raiz de σ2)
Média da amostra = 63,4
Intervalo de confiança  α = 90%  z = 1,645 (tabela Normal)
Como a Variância da População é conhecida e n > 30 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
n
zxLimites
σ
×±=
36
12
645,14,63Limites ×±=
6
12
645,14,63Limites ×±=
11,60LI =
69,66LS=
GABARITO - A
Dados do problema
n = 36  tamanho da amostra
VAR da população  σ2 = 144
Desvio Padrão da População  σ = 12 (raiz de σ2)
Média da amostra = 63,4
Intervalo de confiança  α = 90%  z = 1,645 (tabela Normal)
10-(ANS-ESTATÍSTICO-FCC/2007) O projetista de uma
indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar
o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo.
A média amostral encontrada foi 19,9 e desvio padrão 5,73. O
intervalo de confiança com 0,95 para μ é:
a) 17,1 ≤ μ ≤ 20,8
b) 19,1 ≤ μ ≤ 20,3
c) 18,5 ≤ μ ≤ 21,1
d) 18,9 ≤ μ ≤ 21,2
e) 18,0 ≤ μ ≤ 21,8
SOLUÇÃO - NORMAL (n>30)
n = 36 - tamanho da amostra
Média da amostra = 19,9 (x barra)
Desvio Padrão da amostra S = 5,73
95%  z = 1,96
n
S
zxLimites ×±=
36
73,5
96,19,19Limites ×±=
8718,19,19Limites ±=
LI = 18,02
LS = 21,77 GABARITO - E
10-(ANS-ESTATÍSTICO-FCC/2007) O projetista de uma
indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar
o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo.
A média amostral encontrada foi 19,9 e desvio padrão 5,73. O
intervalo de confiança com 0,95 para μ é:
11-(MP-PE-ESTATÍSTICO-FCC/2006) - Um engenheiro
encarregado do controle de qualidade deseja estimar a
proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base
numa amostra de tamanho 400. Sabe-se, com base em
experiências anteriores, que p deve estar próximo de 0,5.
Usando o teorema central do limite para estimar a amplitude do
intervalo de confiança de 90% para p, podemosafirmar que tal
amplitude é, aproximadamente, igual a
(A) 0,041
(B) 0,045
(C) 0,058
(D) 0,070
(E) 0,082
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 7 MANUEL
SOLUÇÃO - PROPORÇÃO
n = 400
p’ = 50%
q’ = 50%
Intervalo com 90% de confiança
Para 90%  z = 1,64 (tabela Normal)
11-(MP-PE-ESTATÍSTICO-FCC/2006) - Um engenheiro
encarregado do controle de qualidade deseja estimar a
proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base
numa amostra de tamanho 400. Sabe-se, com base em
experiências anteriores, que p deve estar próximo de 0,5.
Usando o teorema central do limite para estimar a amplitude do
intervalo de confiança de 90% para p, podemos afirmar que tal
amplitude é, aproximadamente, igual a
n
'q'p
z
×
×=ε
SOLUÇÃO - PROPORÇÃO
n = 400
p’ = 50%
q’ = 50%
Intervalo com 90% de confiança
Para 90%  z = 1,64 (tabela Normal)
041,0
400
50,050,0
64,1 =
×
×=ε
Mas a AMPLITUDE É O DOBRO DO ERRO!
Logo  A = 2 x 0,041 = 0,082.
GABARITO - E
12-(MP-PE-ESTATÍSTICO-FCC/2006) Supondo-se que a
porcentagem da receita investida em educação, dos 600
municípios de uma região, tem distribuição normal com média μ,
deseja-se estimar essa média. Para tanto se sorteou dentre
esses 600, aleatoriamente e com reposição, 16 municípios e se
observou os percentuais investidos por eles em educação. Os
resultados indicaram uma média amostral de 8% e desvio
padrão amostral igual a 2%. Um intervalo de confiança para μ,
com coeficiente de confiança de 96%, é dado por:
(A) (8 ± 1,124)%
(B) (8 ±1,117)%
(C) (8 ± 0,877)%
(D) (8 ± 0,870)%
(E) (8 ± 0,755)%
SOLUÇÃO  n = 16 não conhecemos a VARIÂNCIA DA
POPULAÇÃO  t- STUDENT
n = 16
Média = 8%
S = 2% (Desvio Padrão)
Para 96% de Confiança o Alfa (α) = 100 - 96 = 4%
Como a tabela que veio na prova é BICAUDAL não é
necessário dividir o α por 2 !
Logo αααα = 4% !
GRAUS DE LIBERDADE  ϕ = n - 1 = 15 = Tamanho da
Amostra menos 1 !
Da Tabela t-STUDENT BICAUDAL com ALFA (αααα) = 4% e o
PHI (ϕ) = 15 obtemos t = 2,25
n
S
txL ×±=
16
2
2528L ×±= ,%
)%124,18(L ±= GABARITO - A
13-(MPU-ESTATÍSTICO-FCC/2007) Uma nova marca de
lâmpada está sendo estudada. Baseado em estudos
anteriores com outras marcas similares, pode-se admitir que
a vida média segue uma distribuição Normal com desvio
padrão de 8 meses. Tendo como base estes resultados, o
tamanho de amostra necessário para que a amplitude
do intervalo de 95% de confiança (utilize a aproximação:
P (-2 ≤ Z ≤2) = 0,95, onde Z é a Normal Padrão) para a vida
média seja de 4 meses é de:
(A) 8
(B) 12
(C) 16
(D) 64
(E) 128
SOLUÇÃO
S = 8 (população)
95%  z = 2  foi dado no enunciado ! P (-2 ≤ Z ≤2) = 0,95!
AMPLITUDE = 4
εεεε = AMPLITUDE/2 = 4/2 = 2  O erro é a metade da amplitude
2
. 





=
ε
S
zn
2
2
8
.2n 





=
GABARITO - D
13-(MPU-ESTATÍSTICO-FCC/2007) Uma nova marca de
lâmpada está sendo estudada. Baseado em estudos anteriores
com outras marcas similares, pode-se admitir que a vida média
segue uma distribuição Normal com desvio padrão de 8 meses.
Tendo como base estes resultados, o tamanho de amostra
necessário para que a amplitude do intervalo de 95% de
confiança (utilize a aproximação: P (-2 ≤ Z ≤2) = 0,95, onde Z é a
Normal Padrão) para a vida média seja de 4 meses é de:
64n =
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 8 MANUEL
(A) [1.800,00; 2.200,00]
(B) [1.967,20; 2.032,80]
(C) [1.934,40; 2.065,60]
(D) [1.639,20; 2.360,80]
(E) [1.344,00; 2.656,00]
14-(TJ-PA-ESTATÍSTICO-FCC/ 2008) A vida de determinado
equipamento apresenta uma distribuição normal com um desvio
padrão populacional de 400 horas. Extrai-se uma amostra
aleatória de 100 equipamentos e obtém-se uma vida média de
2.000 horas para este equipamento. Considerando a população
de tamanho infinito e a informação da distribuição normal
padrão (Z) que P(Z > 1,64) = 5% tem-se um intervalo de
confiança de 90% para a vida média dos equipamentos igual a:
14-(TJ-PA-ESTATÍSTICO-FCC/ 2008) A vida de determinado
equipamento apresenta uma distribuição normal com um desvio
padrão populacional de 400 horas. Extrai-se uma amostra
aleatória de 100 equipamentos e obtém-se uma vida média de
2.000 horas para este equipamento. Considerando a população
de tamanho infinito e a informação da distribuição normal
padrão (Z) que P(Z > 1,64) = 5% tem-se um intervalo de
confiança de 90% para a vida média dos equipamentos igual a:
SOLUÇÃO - NORMAL  n > 30 e o Desvio Padrão da
População é conhecido!
Dados da questão
n = 100
Média = 2.000 (amostra)
σ = 400 (população)
90%  z = 1,64
n
zxL
σ
×±=
100
400
64,12000L ×±=
60652000L ,±=
L = [1.934,40; 2.065,60]
GABARITO - C
Dados da questão
n = 100
Média = 2.000 (amostra)
σ = 400 (população)
90%  z = 1,64
15- (TRF-1R-ESTAT-FCC/2001) Um engenheiro encarregado
do controle de qualidade deseja estimar a proporção p de
lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra de
tamanho suficientemente grande. Sabe-se, com base em
experiências anteriores, que p deve estar próxima de 0,5. Que
tamanho deve ter a amostra se ele deseja que o erro de
estimação seja no máximo 0,02, com confiança de 90%?
(A) 800
(B) 1082
(C) 1241
(D) 1530
(E) 1681
SOLUÇÃO
p’= 50%
q’= 50%
Erro = 0,02
Nível de Confiança = 90%  z = 1,64 (da Tabela Normal)
15- (TRF-1R-ESTAT-FCC/2001) Um engenheiro encarregado
do controle de qualidade deseja estimar a proporção p de
lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra de
tamanho suficientemente grande. Sabe-se, com base em
experiências anteriores, que p deve estar próxima de 0,5. Que
tamanho deve ter a amostra se ele deseja que o erro de
estimação seja no máximo 0,02, com confiança de 90%?
SOLUÇÃO
p’= 50%
q’= 50%
Erro = 0,02
Nível de Confiança = 90%  z = 1,64
''
2
qp
z
n ××





=
ε
5,05,0
02,0
64,1
n
2
××





=
1681n =
GABARITO - E
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
EXERCÍCIO_07 - GABARITO - SLIDES - PDF 9 MANUEL