Atividade 3

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Marco Antonio Vieira Morais 
Atividade 3 
A Teoria das Filas nos auxilia a tomar decisões racionais sobre a quantidade 
de servidores disponíveis para atender uma dada quantidade de clientes que 
chegam ao sistema de forma estocástica. Considere um hospital com um 
único médico plantonista. Considerando, ainda, que cada paciente chega em 
um intervalo médio (distribuído exponencialmente) de 30 minutos, e que o 
médico leva um tempo médio de atendimento (distribuído 
exponencialmente) de 20 minutos, indique o tempo médio esperado na fila e 
o que acontecerá após a contratação de um novo médico que tenha o 
mesmo tempo médio de atendimento. 
1 – Análise Inicial 
A partir dos dados dos problemas, para a primeira situação podemos concluir 
que o modelo é do tipo M/M/1, pois possui-se para a chegada dos clientes uma 
distribuição exponencial e para o atendimento também e por fim tem-se 
somente um servidor. Na segunda situação a diferença é somente o número 
de servidores que passou a ser dois, portanto o modelo é do tipo M/M/2. 
2 – Cálculo do tempo médio esperando na fila (Tf) para situação de um 
médico (servidor), modelo M/M/1. 
a) Convertendo o tempo (t) minutos para hora e na sequência calculando 
a taxa de chegada (λ). 
 
𝑡 =
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
60
= 
30
60
= 0,5 
𝜆 = 
1
𝑡
= 
1
0,5
= 2 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎 
 
b) Convertendo o tempo (t) minutos para hora e na sequência calculando 
a taxa de atendimento (μ). 
 
𝑡 =
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
60
= 
20
60
=
1
3
 
𝜇 = 
1
𝑡
= 
1
1
3
= 3 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎 
Observação: λ < μ garante que a fila formada não crescerá 
indefinidamente. Temos o estado estacionário. 
 
c) Obtendo o tempo médio de fila (Tf), utilizando as taxas calculadas em 
“a” e “b” e convertendo para minutos na sequência. 
𝑇𝑓 = 
𝜆
𝜇(𝜇 − 𝜆)
= 
2
3(3 − 2)
=
2
3
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
𝑇𝑓 = 
2
3
∗ 60 = 2 ∗ 20 = 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
Marco Antonio Vieira Morais 
 
d) Calculando o tempo que o sistema permanece ocupado (ρ). 
 
𝜌 = 
𝜆
𝜇
= 
2
3
 ≅ 0,67 𝑜𝑢 67% 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
3 – Cálculo do tempo médio esperando na fila (Tf) para situação de dois 
médicos (servidores), modelo M/M/2. 
a) Calculando ρ. 
𝜌 = 
𝜆
𝑠 ∗ 𝜇
= 
2
2 ∗ 3
 ≅ 0,33 𝑜𝑢 33% 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
b) Calculando o π0. 
 
𝜋0 = [(∑
(𝑠 ∗ 𝜌)𝑖
𝑖!
𝑠−1
𝑖=0
) + (
(𝑠 ∗ 𝜌)𝑠
𝑠! (1 − 𝜌)
)]
−1
 
 
𝜋0 = [(
(2 ∗ 0,33)0
0!
+
(2 ∗ 0,33)1
1!
) + (
(2 ∗ 0,33)2
2! (1 − 0,33)
)]
−1
 
 
𝜋0 = [1,66 + (
(0,66)2
2 ∗ 0,67
)]
−1
 
 
𝜋0 = [1,66 + 0,32]
−1 ∴ 𝜋0 = 0,50 
 
c) Calculando o número médio de clientes na fila (Cf). 
 
𝐶𝑓 = [
1
(𝑠 − 1)!
∗ (
𝜆
𝜇
)
𝑠
∗
𝜆 ∗ 𝜇
(𝑠 ∗ 𝜇 − 𝜆)2
] ∗ 𝜋0 
 
𝐶𝑓 = [
1
(2 − 1)!
∗ (
2
3
)
2
∗
2 ∗ 3
(2 ∗ 3 − 2)2
] ∗ 0,50 
 
𝐶𝑓 = [
22
32
∗
2 ∗ 3
(2 ∗ 3 − 2)2
] ∗ 0,50 
 
𝐶𝑓 = [0,17] ∗ 0,50 
 
𝐶𝑓 = 0,083 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
 
d) Calculando o tempo médio de fila (Tf). 
𝑇𝑓 = 
𝐶𝑓
𝜆
= 
0,083
2
 = 0,0415 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∴ 𝑇𝑓 = 2,49 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
Marco Antonio Vieira Morais 
4 – Conclusão 
Conforme obtido no item 2, letra c, o tempo médio de fila para a configuração 
M/M/1 é de 40 minutos, preservado todas as características aumentando o 
número de servidores para 2, ou seja, o modelo agora é M/M/2, o tempo de fila 
será de 2,49 minutos. Uma redução de tempo de fila aproximadamente 16 
vezes.