CTM-Padilha capitulo 1 a 5 Resolvido

Prévia do material em texto

Universidade Lúrio 
Faculdade de Engenharia 
Licenciatura em Engenharia Mecânica 
 
Ciência e Tecnologia dos Materiais 
 
Resolução dos primeiros 5 Capítulos do livro de Padilha 
 
2
o 
Grupo 
2
o 
Ano 
 
Nomes: 
Ali dos Santos Artur Francisco 
Carlos Paulo Sassique Andrassone 
Faque Bacar Faque 
Rafael José Molide Júnior 
 
Docente: 
Ossifo Mário 
 
 
 
 
Pemba, Março de 2020 
Capítulo 01- Os materiais da engenharia 
1.Compare os três grupos (tipos) de materiais (metálicos, cerâmicos e poliméricos) quanto às 
seguintes propriedades: ponto de fusão, dureza, maleabilidade, densidade e resistividade 
eléctrica. 
Resposta 
 Metálicos Cerâmicos Polímeros 
Ponto de fusão Media Alto Baixo 
Dureza Maleável Muito duro frágil Muito maleável 
Maleabilidade Moldável Não flexível Flexível e Leve 
Densidade Alta densidade Média densidade Baixa densidade 
Resistividade 
eléctrica 
Óptimo condutor 
eléctrico e térmico 
Isolantes Térmicos e 
eléctricos 
Isolantes Térmicos 
e eléctricos 
 
2. Por que o desenvolvimento dos plásticos modernos ocorreu tardiamente em comparação com 
os materiais cerâmicos e metálicos ? 
Resposta 
Porque não havia conhecimentos relacionados com a química orgânica, algo essencial para se 
trabalhar com polímeros. 
3. O que é microestrutura de um material ? 
Resposta 
Microestrutura pode ser definida, sucintamente, como o conjunto de características físicas, 
incorporando-se a elas, aspectos ligados à morfologia, escala, localização e orientação que define 
as propriedades de um material. As características físicas podem ser definidas como as diferentes 
fases que o material pode possuir e seus defeitos, sendo que as fases podem ser cristalinas ou 
não. A microestrutura depende da composição química e dos tratamentos termomecânicos pelos 
quais o material passou. 
 
 
 
4. O que são materiais avançados ? 
Resposta 
Materiais avançados, ou projectados, ou aperfeiçoados, são feitos a partir de conhecimentos 
científicos, com propriedades que podem ser quantitativamente previstos, , ou seja aqueles que 
podem ser obtidos combinando outros materiais já existente. Estes materiais têm geralmente suas 
propriedades optimizadas ou são materiais novos de alto desempenho. Biomateriais, 
semicondutores, materiais inteligentes são exemplos de materiais avançados. 
5. Faça uma lista dos principais factores que influenciam o preço de um material. Ordene a sua 
lista de factores em ordem decrescente de importância. 
Resposta 
Primeiramente, o preço de um produto depende dos custos do mesmo e de seu valor de mercado. 
Por exemplo, se uma única empresa produz um produto indispensável no mercado e que não se 
encontra similares, o produto, consequentemente, terá um alto preço. Em relação aos custos 
gerados pelo produto, o de fabricação pode ser considerado o maior deles, quanto mais complexo 
e mais etapas de fabricação o produto tem maior será ele. Após vem o custo de mão-de-obra e o 
preço da matéria prima. Sendo assim, minha lista em ordem decrescente é: custos de fabricação, 
valor de mercado, mão-de-obra e matéria-prima. 
6. Compare o preço das cerâmicas tradicionais com o preço das cerâmicas avançadas. Justifique 
a diferença. 
Resposta 
Cerâmicas tradicionais são obtidas através de matéria prima natural, enquanto que cerâmicas 
avançadas são fabricadas a partir de óxidos, nitretos, carbonetos e boretos de alta pureza 
tornando seu custo mais alto. 
7. Descreva com suas palavras e em não mais que 20 linhas a sua conceituação de ciência dos 
materiais. 
Resposta 
Ciência dos materiais é uma ciência que faz parte do conhecimento básico para todas as 
engenharias, pois é ela que estuda as características, estruturas e comportamentos dos matérias. 
É inteiramente ligada com física e química, exigindo um conhecimento mínimo nestas matérias. 
É essencial para conhecimentos em disciplinas como mecânica dos fluidos e dos sólidos. 
 
8.O termo novos materiais é muito utilizado na imprensa, em artigos de divulgação científica e 
até em programas de governo. Você acha este termo adequado ? Justifique. 
Resposta 
Sim, pois este termo é utilizado em materiais recentes e também em materiais antigos com 
aprimoramentos tecnológicos através de estudos, melhorando sua pureza e provendo custos 
inferiores. 
9. Qual a importância da reciclagem dos materiais ? Discuta pelo menos três aspectos. 
Resposta 
A Reciclagem é importante por vários motivos, mas basicamente pelos seguintes motivos: 
 Há materiais não encontrados em sua forma pura na natureza, e utilizam uma quantidade 
muito grande de energia para serem sintetizados, como o alumínio; 
 A economia nos gastos ao se obter o material por meio de recicla-lo; 
 A diminuição do impacto na natureza. 
10. Discuta a importância da disponibilidade do chumbo e do ferro para a construção das prensas 
de Gutenberg. 
Resposta 
Na prensa de Guttemberg, os tipos eram feitos de chumbo que era fundido em formas de ferro, o 
que tornavam estes tipos mais resistentes e duradouros se comparado com os de madeira usados 
na época. Sem a disponibilidade e habilidade no uso destes materiais, não haveria, ou seria mais 
tardia, a revolução da imprensa. Que resultou na liberdade religiosa e política 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 02- O átomo 
1. Segundo a teoria atómica de Dalton, os átomos de um determinado elemento são idênticos em 
massa e tamanho. Critique esta afirmação. 
Resposta 
São os raios catódicos. Foi-se observado que quando gases (no caso das lâmpadas 
incandescentes) ficam sob baixa pressão, e são submetidos à electricidade, os electrões passam 
de uma extremidade para outra, provocando aumento da luz. Quanto mais electricidade no gás, 
mas luz. 
Todos os gases quando entram em contacto com a electricidade produzem luz, essa luz foi 
chamada de raios catódicos. No caso das fluorescentes, a energia luminosa cinética é produzida 
pela resistência que têm naquele filamento em forma de espiral. A energia passa com muita 
dificuldade causando assim aquecimento e gerando luz. 
2. Por que uma lâmpada emite luz quando acesa? 
Resposta 
O átomo não é idêntico em massa, pois sabe se que o átomo tem uma área central (núcleo) e ao 
redor do núcleo tem a eletrosfera q é onde tem vários electrões girando em volta do núcleo, ou 
seja um átomo não é idêntico em massa. 
3. É possível identificar um elemento químico por meio da tonalidade (comprimento de onda) da 
luz emitida após aquecimento. Justifique. 
Resposta 
Sim e é chamado análise química qualitativa por via seca, esta análise é utilizada para identificar 
metais através da cor de chama que é emitida e é muito simples e fácil: Você pega um grafite 
próprio para isto, o umedece em algum ácido que não contaminará o sal, encosta a ponta do 
grafite no sal e o coloca na chama (no bico de buisen). E a luz característica do metal será 
emitida, em alguns casos é difícil de ver diferença na chama. 
4. Por que os filamentos de lâmpada são feitos geralmente de tungsténio? 
Resposta 
É um material que emite luz ao aumentar um pouco a sua temperatura, fora que não arrebenta 
com facilidade em altas temperaturas, desde que esteja em um ambiente com condições 
adequadas. 
 
5. Um alvo metálico quando bombardeado com electrões de alta energia (ou velocidade) emite 
raios x. Justifique. 
Resposta 
Devido à desaceleração do electrão causada pela interacção eléctrica (campo eléctrico) entre o 
electrão (de carga negativa) de alta energia e o núcleo (de carga positiva). Esta interacção faz 
com que o electrão tenha alteração na sua trajectória. Havendo assim a transferência de 
momentos e aceleração aplicada sobre ambos. 
7. Consulte seus livros de química e explique o princípio da exclusão de Pauli. 
Resposta 
O princípio de exclusão de Pauli diz que apenas dois electrões podem ter os mesmos números 
quânticos orbitais e estes não são idênticos jáque tem spins contrários, electrões do mesmo 
nível, orbital devem ter direcções contrários. 
8. Considere os átomos com números atómicos 4, 12, 20 e 38. A qual família eles pertencem? 
Resposta 
Feito a distribuição, observou-se que todos terminam com o subnível (s
2
) então pertencem ao II-
Grupo A. 
9. Pela posição ocupada na tabela periódica, coloque os elementos puros nióbio, tântalo, 
tungsténio e vanádio em ordem crescente de densidade e de ponto de fusão. 
Resposta 
tungsténio, nióbio, vanádio e tântalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 03- Ligações atómicas 
1. Quais os tipos de ligações químicas existentes nos materiais metálicos, cerâmicos e 
poliméricos? 
Resposta 
Metais: Ligação Metálica 
Cerâmicos: ligação iónica entre metais e não-metais 
Polímeros: Cadeias ligadas por forças de Van der Waals (ligação covalente) 
2. Relacione o ponto de fusão de um material com a sua energia de ligação. 
Resposta 
 A Energia de Ligação esta directamente relacionada com o ponto de fusão do material. Quanto 
maior a energia associada com a formação da ligação mais difícil é sua quebra ou seja, quanto 
maior a energia de ligação, maior o ponto de fusão de um material. A maior ou melhor é a 
ligação de hidrogénio. 
3. Por que o diamante tem alto ponto de fusão enquanto o ponto de fusão do polietileno é muito 
mais baixo? (Os dois materiais apresentam ligações covalentes fortes!). 
Resposta 
As cadeias macromoleculares do polietileno se encontram ligadas por Pontes de Hidrogénio que 
se quebram por acção do calor, fundindo-se o material. Já os diamantes possuem ligações 
covalentes muito estáveis, difíceis de serem quebradas. 
4. Por que o diamante é duro e o polietileno é mole? 
Resposta 
Devido a clivagem octaédrica perfeita que o diamante possui ele torna-se o material mais duro 
que conhecemos, ele não pode ser riscado por nenhum outro material. Também no diamante 
cada átomo de carbono possui quatro átomos vizinhos, aos quais está fortemente ligado, 
formando o conjunto uma estrutura tridimensional extremamente dura e resistente e polietileno 
não possui estrutura cristalina, sendo um material amorfo. 
5. Por que o diamante é frágil e o polietileno é maleável? 
Resposta 
O diamante é muito frágil, por causa da clivagem octaédrica perfeita segundo {111}. 
6. Por que os sólidos iónicos são frequentemente frágeis enquanto os metais são maleáveis? 
Resposta 
Isto deve-se a configuração da estrutura da rede cristalina. Os metais tem uma rede cristalina 
cúbica de corpo centrado ou de faces centrada e tem espaços intermolecular os átomos podes 
deslizar entre eles e ocuparem outras posições, já os sólidos iónicos tem estruturas hexagonal 
compacta e os espaços intermolecular são peque nos em relação ao átomo isto dificulta a 
ocupação de outros lugares daí os sólidos iónicos não são maleável. 
7. Relacione o módulo de elasticidade de um material com a sua energia de ligação. 
Resposta 
A porção apical dos colmos apresenta maior resistência a compressão e à flexão, enquanto a 
parte central dos colmos, onde observam-se os internódios mais longos, apresenta maior 
resistência à tração. Afirmam que as oscilações na densidade dos tecidos lenhosos são originadas 
pela diferença estrutural, pela presença de extractivos e pela composição química destes. A 
diferença estrutural é explicada pela organização das estruturas anatómicas e pelas variações das 
dimensões (comprimento, espessura e diâmetro) dos elementos estruturais. 
8. Por que a luz não atravessa uma chapa fina de metal? 
Resposta 
Pois a chapa de metal é um meio opaco, dessa forma a luz não consegue atravessar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 04- Estruturas cristalinas 
1. Justifique as seguintes afirmações: 
a) os metais têm pequena propensão para formarem sólidos amorfos ao se solidificarem; 
b) os metais apresentam diminuição de volume (contracção) ao se solidificarem; 
c) alguns semi-metais apresentam aumento de volume ao se solidificarem. 
Resposta 
a) Os metais puros, normalmente encontrados na natureza tem uma grande propensão à 
cristalização. Dessa forma é difícil encontrar na natureza metais na forma amorfa. Uma 
das maneiras utilizadas para obtenção de sólidos amorfos é a solidificação ultra-rápida a 
partir do líquido, nesse caso a solidificação do sólido é interrompida impedindo o sólido 
de solidifica-se, obtendo assim o material desejado. 
b) Nos sólidos os átomos e moléculas tentem a ficarem muitos próximos umas das outras, 
tal fato é o que caracteriza o sólido e dar aos metais, por exemplo, determinadas 
propriedades. Os metais são classificados como materiais resistentes, sendo bastante 
duras e pouco maleáveis tais propriedades só são possíveis por conta da organização 
atómica nos metais, as suas formas geométricas bem como as distancias que separam 
uma estrutura de outra. 
c) O estado físico das moléculas nada mais é do que as oscilações que eles fazem, quanto 
mais quente mais oscilam e, portanto, se distanciam, ao se solidificar as moléculas ficam 
muito mais juntas, por isso a diminuição do seu volume, mas não da massa. 
2. Qual o número de coordenação para metais com as estruturas CCC, CFC e HC? 
Resposta 
 Na estrutura CFC, o número de coordenação é 12; 
 Na estrutura CCC, o número de coordenação é 8; 
 Na estrutura HC o número de coordenação é igual da estrutura CFC-12. 
3. Determine o factor de empacotamento para metais com as estruturas CS, CCC, CFC e HC. 
Resposta 
FE =
N. VA
VC
 
 N- número de átomos que ocupam efectivamente a célula; 
 VA- volume do átomo (esfera rígida de raio definido) = 
𝟒𝝅𝒓𝟑
𝟑
; 
 VC- Volume da célula unitária. 
Para CS, o factor de empacotamento é: 
N =
1 átomos
8 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠
× 8 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠 = 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜 
VA =
4𝜋𝑟3
3
 
𝑉𝐶 = 𝑎
3 = (2𝑟)3 = 8𝑟3 
FECS =
1 ×
4πr3
3
8r3
→ 𝐹𝐸𝐶𝑆 =
4𝜋𝑟3
3
×
1
8𝑟3
=
4𝜋
24
= 0,52 = 52% 
Quer dizer que somente 52% da célula cúbica simples são efectivamente preenchidos por 
átomos. 
Para CCC o factor de empacotamento é: 
N =
1 átomos
8 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠
× 8 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠 + 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 = 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜 
VA =
4𝜋𝑟3
3
 
𝑉𝐶 = 𝑎
3 = (
4𝑟
√3
)
3
=
64𝑟3
3√3
 
FECS =
2 ×
4πr3
3
64𝑟3
3√3
→ 𝐹𝐸𝐶𝑆 =
8𝜋𝑟3
3
×
3√3
64𝑟3
=
8𝜋√3
64
= 0,68 = 68% 
Quer dizer que somente 68% desta célula unitária são efectivamente preenchidos por átomos. 
Para CFC o factor de empacotamento é: 
N =
1 átomos
8 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠
× 8 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠 + (
1
2
 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑓𝑎𝑐𝑒) × 6 = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜 
VA =
4πr3
3
 
𝑉𝐶 = 𝑎
3 = (
4𝑟
√2
)
3
=
32𝑟3
√2
 
FECS =
4 ×
4πr3
3
32𝑟3
√2
→ 𝐹𝐸𝐶𝑆 =
16𝜋𝑟3
3
×
√2
32𝑟3
=
𝜋√2
6
= 0,74 = 74% 
Quer dizer que somente 74% desta célula unitária são efectivamente preenchidos por átomos, 
que é o valor máximo do índice de ocupação que pode ser conseguido quando se considera o 
átomo como uma esfera rígida de raio definido. 
Para HC o factor de empacotamento é: 
N =
1 átomos
6 verteces
× 12 verteces + (
1
2
átomos
face
) × 2 + 3 átomos = 6 átomos 
VA =
4πr3
3
 ; VC = 3a
2c. Cos(30°) = 3(2r)2(1,633.2r).
√3
2
= 19,596r3. √3 
FECS =
6 ×
4πr3
3
9,596r3. √3
→ FECS =
24πr3
3
× 9,596r3. √3 = 0,74 = 74% 
Quer dizer que somente 74% desta célula unitária são efectivamente preenchidos por átomos. 
4. Compare e justifique os valores do número de coordenação e do factor de empacotamento 
obtidos para as estruturas CFC e HC dos exercícios acima. 
Resposta 
O factor de empacotamento e o número de coordenação das estruturas HC e CFC são iguais, 
onde significa que os átomos estão mais próximos ou empacotados, que é o valor máximo do 
índice de ocupação que pode ser conseguido quando se considera o átomo como uma esfera 
rígida de raio definido. 
5. A estrutura CFC de um metal apresenta interstícios octaédricos e interstícios tetraédricos: 
a) Localize-os na célula unitária; 
b) Se os átomos metálicos têm raio atómico R, calculeo raio r dos vazios tetraédricos em função 
de R; 
c) Faça o mesmo para os vazios octaédricos. 
 
 
 
Resposta 
a) 
 
b) Segundo Padilha (p. 112) para os interstícios tetraédricos da estrutura CFC vale a relação: 
𝑟
𝑅
= 0,223. Assim, a maior esfera que cabe nestes interstícios tetraédricos terá raio 0,28Ǻ. 
c) Na estrutura CFC, a razão entre o raio do interstício octaédrico (r) e o raio atómico da 
rede (R) é: 
𝑟
𝑅
=
2−√2
√2
= 0,4142. 
6. A estrutura CCC de um metal apresenta interstícios octaédricos e interstícios tetraédricos: 
a) Localize-os na célula unitária; b) Se os átomos metálicos têm raio atómico R, calcule o raio r 
dos vazios tetraédricos em função de R; c) Faça o mesmo para os vazios octaédricos. 
Resposta 
a) 
 
b) Na estrutura CCC, a razão entre o raio do interstício tetraédricos e o raio do átomo de 
rede é 
𝑟
𝑅
= 0,286 . 
c) Para os interstícios octaédricos da rede CCC vale a relação 
𝑟
𝑅
= 0,15. 
7. O ferro tem estrutura CCC, raio atómico = 0,124 nm e peso atómico = 55,9 g/mol. Calcule sua 
densidade e compare-a com a densidade determinada experimentalmente (7,87 g/cm3). 
Resposta 
A = 55,9 g ; 𝑁𝐴 =
6,022 × 1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑚𝑜𝑙
; 𝑅 = 0,124 𝑛𝑚 = 1,24 × 10−8𝑐𝑚; 
𝑎 =
4𝑅
√3
→ 𝑉𝑐 = 𝑎
3 = (
4(1,24 × 10−8)
√3
)
3
= 2,23 × 10−23𝑐𝑚3 
ρ =
n × 𝐴𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑉𝑐𝑁𝐴
=
2(55,9)
(2,35 × 10−23) × (6,023 × 1023)
=
111,8
14,14
→ 𝝆 = 𝟕, 𝟗 𝒈/𝒄𝒎𝟑 
A densidade determinada é próxima a densidade experimental se não igual. 
8. O molibdénio tem densidade 10,22 g/cm3, massa molecular 95,94 g/mol e raio atómico 
0,1363 nm. A estrutura cristalina do molibdénio é CCC ou CFC? 
Resposta 
A = 95,94
g
mol
 ρ = 10,22
g
𝑐𝑚3
; 𝑁𝐴 =
6,022 × 1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑚𝑜𝑙
; 
𝑅 = 0,1363 𝑛𝑚 = 1,363 × 10−8𝑐𝑚; 𝜌 =
𝑛 × 𝐴𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙𝑒𝑛𝑖𝑜
𝑉𝑐𝑁𝐴
 ↔ 𝑛 =
𝜌 × 𝑉𝑐 × 𝑁𝐴
𝐴
 
𝑎 =
4𝑅
√3
→ 𝑉𝑐 = 𝑎
3 = (
4(1,363 × 10−8)
√3
)
3
= 3,12 × 10−23𝑐𝑚3 
𝑛 =
𝜌 × 𝑉𝑐 × 𝑁𝐴
𝐴
=
10,22 × 3,12 × 10−23 × 6,022 × 1023
95,94
=
192,0199008
95,94
= 2,001 ≅ 2 
R//Como o número de coordenação (n) é 2, logo trata-se da CCC. 
13. Calcule a densidade do NaCl e compare-a com a densidade determinada experimentalmente 
(2,16 g/cm3). Dados: peso atómico do sódio = 22,99 g/mol peso atómico do cloro = 35,45 g/mol 
raio iónico do sódio = 0,102 nm raio iónico do cloro = 0,181 nm. 
 
 
 
Resposta 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 05- Direcções e planos cristalográficos 
1. Quais das seguintes direcções pertencem ao plano (110)? [112]; [110]; [001]; [112] e [889]. 
Resposta 
Das direcções dadas faz parte do plano somente a direcção [001]. 
4. Desenhe em uma célula cúbica as seguintes direcções: [100]; [001]; [110]; [111]; [110] e 
[210]. 
Resposta 
 
 
 
5. Desenhe em uma célula cúbica os seguintes planos cristalográficos: (100); (001); (110); (111); 
(110) e (210). 
Resposta 
 
6 O chamado tetraedro de Thompson é formado por quatro planos {111} da estrutura CFC. 
Identifique em uma célula cúbica cadaum destes planos pelos seus índices de Miller. Identifique 
também as seis arestas do tetraedro por meio de índices de Miller. 
Resposta 
 
As arestas por meio de índice de Miller são: (111), (111), (111),( 111) 
 
7. Calcule a fracção de área ocupada por átomos (denominada densidade planar por alguns 
autores) para os planos {100}, {110} e {111} da estrutura CFC. 
Resposta 
Densidade Planar =
 N° de átomos do plano
área do plano
 
Para {100} 
` 
 N° de átomos do plano = 4 ×
1
4
+ 1 = 2 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠; Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = 𝑎2 = (𝑅√2)
2
= 2𝑅2 
Densidade Planar =
 N° de átomos do plano
área do plano
=
2
2𝑅2
=
1
𝑅2
 
Para {110} 
 
NAP = 4 ×
1
4
= 1 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠; Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = 𝑎 × √2𝑎 = 
 𝐷𝑃 =
 𝑁𝐴𝑃
𝐴𝑃
=
1
√2𝑎2
 
Para {111} 
 
NAP = 3 ×
1
4
=
3
4
 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠; 𝐴𝑃 =
2𝑎2
2
= 𝑎2 𝐷𝑃 =
 𝑁𝐴𝑃
𝐴𝑃
=
3
4
𝑎2 
=
3𝑎2 
4
 
8. Calcule a densidade planar para os planos {100}, {110} e {111} da estrutura CCC. 
Resposta 
Para {100} 
 
NAP = 4 ×
1
4
= 1 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠; 𝐴𝑃 = 2𝑅. 2𝑅 = 4𝑅2 
 𝐷𝑃 =
 𝑁𝐴𝑃
𝐴𝑃
=
1
4𝑅2 
 
 
 
 
Para {110} 
 
NAP = 4 ×
1
4
+ 1 = 2 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠; 𝐴𝑃 = 𝑎 × √2𝑎 = √2𝑎2 
Densidade Planar =
 N° de átomos do plano
área do plano
=
2
√2𝑎2
 
Para {111} 
 
 
NAP = 3 ×
1
4
+ 1 =
7
4
 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠; 𝐴𝑃 =
√2𝑅 × 3𝑅
2
=
3√2𝑅2
2
 
DP =
 NAP
AP
=
7
4
3√2𝑅2
2
=
7 × 2
4 × 3√2𝑅2
=
7
6√2𝑅2
 
 
10. Represente em células unitárias hexagonais as seguintes direções cristalográficas: [0001]; 
[1100]; [1120]; [1012]; [1011] e [1121]. 
Resposta 
 
11. Represente em células unitárias hexagonais os seguintes planos cristalográficos: (0001); 
(1011); (1010); (1121); (1122); (1120); (1012) e (1011). 
Resposta