Apostila Matemática - Dudan concurseiro

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LÓGICA PROPOSICIONAL
APOSTILA COMPLETA
CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021
DUDAN
2
Há muitos anos, grandes professores se juntaram e construíram um lar para 
acolher concurseiros de todo o Brasil. Naquela época, fomos inovadores, com 
metodologia diferenciada, didática e brincadeiras. Criamos muitas novidades, 
como pré-provas, questões comentadas em vídeo, assinatura de cursos – 
realmente quebramos muitos paradigmas.
Essa receita foi o que levou à aprovação de dezenas de milhares de alunos do 
Brasil todo, nos mais diferentes concursos.
Hoje, esses mesmos professores se juntaram para uma nova proposta, um 
novo formato. Muito mais condizente com os tempos atuais, onde as relações 
são virtuais. Entendemos que os cursos de hoje oferecem apenas aulas 
gravadas, sem foco, sem experiência, sem interação, sem emoção.
É com esse desafio que nasce o Concurseiro Live! Não é à toa que escolhemos 
um nome onde o concurseiro é o protagonista, e não apenas um mero 
espectador.
Temos a certeza de que, mais uma vez, vamos mudar a maneira de como se 
preparar para um concurso público, e o resultado disso será demonstrado 
como todos os demais – aprovando as primeiras colocações – dessa vez, no 
concurso do Banco do Brasil.
SOBRE O CONCURSEIRO LIVE
Vem com a gente?
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Nascido em Brasília-DF, formado pela UNB em Matemática – Licenciatura 
no ano de 2003. Após 3 anos de retiro, viajando pelo mundo, aterrissou em 
Porto Alegre para retomar a vida de professor, dando aula grandes cursos 
preparatórios para Concursos Públicos.
Com sua didática e atenção, tem ajudado seus alunos a superarem os traumas 
com Matemática e alcançarem a tão sonhada aprovação.
PROF. DUDAN
Onde me encontrar?
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SOBRE O MATERIAL - APOSTILA DO BEM
Essa é uma Apostila do Bem, para ter acesso a ela existe dois caminhos:
Por esse motivo, chamamos de apostila do bem! Você estuda com um material 
melhor do que os materiais que são vendidos como curso, pagando por ele o 
valor que desejar, e ainda ajuda alguém que possui dificuldades financeiras e 
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SUMÁRIO
LÓGICA PROPOSICIONAL................................................................................................7
SENTENÇAS FECHADAS OU PROPOSIÇÕES....................................................................7
SENTENÇAS ABERTAS.....................................................................................................7
EXERCÍCIO DE AULA.................................................................................................9
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS.........................................................................................10
EXERCÍCIO DE AULA...............................................................................................10
TABELAS VERDADE.......................................................................................................11
CONJUNÇÃO.................................................................................................................11
DISJUNÇÃO INCLUSIVA................................................................................................11
CONDICIONAL..............................................................................................................12
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA................................................................................................13
BICONDICIONAL...........................................................................................................13
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO?..................................................14
NEGAÇÃO SIMPLES.......................................................................................................15
EXERCÍCIO DE AULA................................................................................................16
NEGAÇÃO COMPOSTA..................................................................................................16
CONJUNÇÃO.................................................................................................................17
DISJUNÇÃO INCLUSIVA................................................................................................17
CONDICIONAL..............................................................................................................18
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA................................................................................................18
BICONDICIONAL...........................................................................................................19
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO?..................................................20
EQUIVALÊNCIA LÓGICA................................................................................................21
EQUIVALÊNCIA DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS..........................................................21
CONJUNÇÃO.................................................................................................................22
DISJUNÇÃO INCLUSIVA................................................................................................22
CONDICIONAL..............................................................................................................23
EXERCÍCIO DE AULA...............................................................................................24
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DISJUNÇÃO EXCLUSIVA................................................................................................25
BICONDICIONAL...........................................................................................................25
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO?..................................................26
TAUTOLOGIA XCONTRADIÇÃO......................................................................................27
TAUTOLOGIA................................................................................................................27
CONTRADIÇÃO.............................................................................................................27
CONTINGÊNCIA............................................................................................................28
CONCEITOS IMPORTANTES....................................................................................28
EXERCÍCIO DE AULA...............................................................................................29
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO?..................................................29DIAGRAMAS LÓGICOS..................................................................................................30
TODO............................................................................................................................30
ALGUM.........................................................................................................................31
NENHUM......................................................................................................................32
EXERCÍCIO DE AULA................................................................................................33
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO?..................................................33
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LÓGICA PROPOSICIONAL
O estudo da Lógica Proposicional passa pela análise das estruturas (sentenças) e a relação entre elas.
O importante é definir o valor lógico das proposições.
Determinar o valor lógico = Dizer se é verdadeiro ou falso
Sentenças Fechadas ou Proposições
Sentenças matemáticas fechadas ou proposições são expressões que podemos identificar como 
verdadeiras ou falsas.
Exemplos: 
 • 5 + 4 = 12.
Essa expressão é falsa, logo uma proposição
 • Dudan está estudando para preparar suas aulas.
Essa outra também pois sabemos ser uma “eterna” verdade.
Sentenças Abertas
Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não 
podemos identificar como verdadeiras ou falsas.
Exemplos: 
 • x + 4 = 12.
Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da incógnita x. 
 • Ele está estudando.
Nessa outra , precisaríamos saber de quem está se falando para poder atribuir valor lógico à 
sentença. 
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Dessa forma, também são sentenças abertas: 
 • Sentenças interrogativas: (Pergunta direta ou indireta)
“O que você comeu hoje?”
“Qual seu nome?”
“Vai passar no concurso?”
“Desejo saber se você aceita um copo de suco.” (Interrogação indireta)
 • Mesmo que a resposta seja sim, não podemos classificar uma pergunta em Verdadeiro ou Falso.
Também não são proposições:
 • Sentenças imperativas: (Ordem, conselho ou pedido)
“Vai lá e depois me conta como foi.”
“Faça-o entrar no carro!”
“Não faça isso.”
“Dê-me uma ajudinha com isso!”
“Corra, Forrest, corra!”
“Saia já daí!”
 • Mesmo que a gente “cumpra a ordem”, também não podemos classificar em 
Verdadeiro ou Falso.
 • Sentenças exclamativas: (Aparece o ponto de exclamação!)
“Que prova difícil!”
“É uma delícia esse bolo!”
“Que legal!”
 • Neste tipo de sentença (frase), o emissor exterioriza um estado afetivo. Apresentam 
entoação ligeiramente prolongada.
 • Não tem como classificar em verdadeiro ou falso. (Por isso não é proposição!) 
 • Sentenças sem verbo: (Chamada de frase nominal)
“Casa azul”.
“Fogo!”
“Cuidado!”
“Belo serviço o seu!”
“Trabalho digno desse feirante.” 
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 • Sentenças que podem mudar de significado. (Característica: presença do pronome indefinido)
Por exemplo, uma equação formada apenas por incógnitas.
“x + y = z”“Ele vai ser candidato a vereador.”
“Alguém precisa resolver o problema daquele sujeito.”
 • Na Matemática: incógnita ;
 • No Português: pronomes indefinidos : algum, nenhum, todo, outro, muito, pouco, certo, 
vários, tanto, quanto, qualquer, alguém.
Exercício de Aula 
1. Considere as seguintes frases:
I - Ele foi o melhor jogador do mundo em 2015.
II - (x+y)/5 é um número inteiro.
III - João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2010.
É verdade que apenas:
A) I e II são sentenças abertas.
B) I e III são sentenças abertas
C) II e III são sentenças abertas
D) I é uma sentença aberta.
E) II é uma sentença aberta
2. Uma proposição de uma linguagem é uma expressão de tal linguagem que pode ser classificada 
como verdadeira ou falsa. Com base nessa definição,analise as seguintes expressões:
I - 3 + 8 < 13
II - Que horas são?
III - Existe um número inteiro x tal que 2x > – 5.
IV - Os tigres são mamíferos.
V - 36 é divisível por 7.
VI - x + y = 5.
É correto afirmar que são proposições APENAS as expressões:
A) I e IV.
B) I e V.
C) II, IV e VI.
D) III, IV e V.
E) I, III, IV e V.
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Proposições Compostas 
Proposição composta é a união de proposições simples por meio de um conector lógico. 
Esse conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão.
Proposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos. Conectores que criam novas 
sentenças mudando ou não seu valor lógico (Verdadeiro ou Falso).
Segundo a ideia de que uma proposição é aquilo que ela significa (Bertrand Russell), “Zambeli e 
Dudan são professores” é uma proposicão composta já que é a conjunção de duas ideias.
Uma proposição simples possui apenas dois valores lógicos, verdadeiro ou falso.
Já proposições compostas terão mais do que duas possibilidades distintas de combinações dos seus 
valores lógicos.
Portanto , de acordo com o número de proposições simples que compõem uma proposição 
composta, montamos a tabela verdade com um número de linhas que pode ser calculado elevando 
o algarismo 2 ao numero de proposiçoes simples que usaremos.
Exemplo: 
 • Uma proposição composta construída com duas simples terá 4 linhas na sua tabela verdade.
Isso porque 2² = 4;
 • Caso tenhamos 3 proposições simples compondo a composta, teremos 2³ = 8 linhas na tabela 
verdade e assim por diante.
Exercício de Aula
3. Ao analisar a documentação de um sistema de informação, um programador observa uma tabela-
verdade T formada pelas proposições P,Q,R, X e Y. Qual o número de linhas de T?
A) 5
B) 11
C) 20
D) 32
E) 50
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TABELAS VERDADE
Conjunção 
Conectivos : “e” / “^”
Tabela Verdade: V V = V
Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática.
Dudan viaja
p
Dudan ensina Matemática
q
Dudan viaja e ensina 
Matemática.
p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
 • Paulo faz psicologia e adora Beatles
 • Dudan deu todo conteúdo e Gabriel gabaritou a prova.
 • Marcos joga poker , mas Carlos joga futebol.
 • Tatiana tanto ensina Direito , como ama chocolate.
Disjunção Inclusiva
Conectivos: “ou” / “v”
Tabela Verdade: F F = F
Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.
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Dudan viaja
p
Dudan ensina Matemática
q
Dudan viaja ou ensina 
Matemática.
p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
 • Paulo faz psicologia ou adora Beatles
 • Dudan deu todo conteúdo ou Gabriel gabaritou a prova.
 • Marcos joga poker ou Carlos joga futebol.
 • Tatiana tanto ensina Direito ou ama chocolate.
Condicional
Conectivos: “Se...então” / “→”
Tabela Verdade: V F = F “Vera Fischer Falsa”
Exemplo: Se Dudan viaja então ensina Matemática.
Dudan viaja
p
Dudan ensina Matemática
q
Se Dudan viaja,então ensina 
Matemática.
p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Na Condicional temos uma ideia de “causa e efeito”.
 • Se Paulo faz psicologia, então adora Beatles
 • Se Dudan deu todo conteúdo, Gabriel gabaritou a prova.
 • Quando Marcos joga poker, Carlos joga futebol.
 • Tatiana ensina Direito, se ama chocolate.
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Disjunção Exclusiva 
Conectivos: “Ou...ou...” / “v”
Tabela Verdade: V V = F e F F = F
Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.
Dudan viaja
p
Dudan ensina Matemática
q
 Ou Dudan viaja ou ensina 
Matemática.
p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
 • Ou Paulo faz psicologia ou adora Beatles
 • Ou Dudan deu todo conteúdo ou Gabriel gabaritou a prova.
 • Ou Marcos joga poker ou Carlos joga futebol.
 • Ou Tatiana ensina Direito ou ama chocolate.
Bicondicional
Conectivos: “Se e somente se...” / “←→”
Tabela Verdade: F F = V e V V = V 
Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática.
Dudan viaja
p
Dudan ensina Matemática
q
 Dudan viaja se e somente se 
ensina Matemática.
p ←→ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Podemos entender a bicondicional como uma condicional de ida e outra de volta.14
CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021
 • Paulo faz psicologia se e somente se adora Beatles
 • Dudan deu todo conteúdo se e somente se Gabriel gabaritou a prova.
 • Marcos joga poker se e somente se Carlos joga futebol.
 • Tatiana ensina Direito se e somente se ama chocolate.
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO ?
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: Analista de Sistemas Júnior
Sejam p e q duas proposições lógicas simples tais que o valor lógico da implicação (~p) → (~q) é 
FALSO.
O valor lógico da proposição p˅(~q) é igual ao valor lógico da proposição
A) (~q) → p
B) (~q) → (~p)
C) (~p) ˅ (~q)
D) (~p) ˄ q
E) p ˄ q
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NEGAÇÃO SIMPLES 
Negação Simples (simbologia ~ ou ¬)
Para negar uma sentença acrescentamos o NÃO ou o retiramos, sem mudar a estrutura da frase, 
mas mudando seu valor lógico.
Exemplo: Dudan adora Matemática. (p) 
Negação: Dudan não adora Matemática. (~p)
Exemplo: Amanha não vai chover. (~q) 
Negação: Amanha vai chover. ~(~q) = q
Nem sempre poderemos usar o “antônimo” para negar uma proposição simples.
Exemplo: Dudan adora Matemática. 
Negação: Dudan odeia Matemática. 
Pode isso Arnaldo?? NÃO !! 
Nem sempre poderemos usar o “antônimo” para negar uma proposição simples.
Exemplo: Dudan é alto. 
Negação: Dudan é baixo. 
Pode isso Arnaldo?? NÃO !! 
Nem sempre poderemos usar o “antônimo” para negar uma proposição simples.
Exemplo: Amanda é linda. 
Negação: Amanda é feia. 
Pode isso Arnaldo?? NÃO !! 
Os poucos casos em que poderemos usar o “antônimo”, são casos em que só há duas opções, como 
por exemplo: vivo/morto, aprovado/reprovado, par/ímpar, culpado/inocente, etc.
Exemplo: Edu foi aprovado no concurso. 
Negação: Edu foi reprovado no concurso. 
Ou ainda: Edu não foi aprovado no concurso.
Pode isso Arnaldo?? Agora sim !! 
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CUIDADO: a inserção ou retirada do “NÃO” é junto ao verbo de ação da proposição simples.
A negação da proposição : “Raí adotou os cachorros não adestrados “ não será feita retirando o 
“Não” da frase pois esse não age junto ao adjetivo adestrados e não junto ao verbo adotar , ou seja, 
é incorreto pensar em: “Raí adotou os cachorros não adestrados “ 
Assim o correto seria : “Raí não adotou os cachorros não adestrados “
Exercício de Aula
4. Considere verdadeiras as seguintes afirmações:
I. sou policial ou não sou Legista; 
II. sou Médico ou sou Legista; 
III. sou perito ou não sou Médico.
Se não sou policial, então,
A) não sou perito e sou médico.
B) sou perito e sou médico.
C) sou legista e sou perito.
D) não sou policial e não sou perito.
E) sou legista e não sou perito.
NEGAÇÃO COMPOSTA
Negação de Proposições Compostas 
Negar uma proposição composta não é tão simples como negar uma proposição simples mas a 
ideia de mudar seu valor lógico permanece.
Sendo assim uma proposição composta será negada de acordo com o conectivo .
As regras são específicas e devem ser decoradas.
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Conjunção 
Conectivos: “e” / “^” Tabela Verdade: V V = V
Negação: nega ambas as proposições e troca “e”por “ou”. 
 ~(p^q) = ~p V ~q
Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática.
Negação: Dudan não viaja ou não ensina Matemática. 
p q p ^ q ~p ~q ~p v ~q
V V V F F F
V F F F V V
F V F V F V
F F F V V V
 • Dudan adora Matemática e Paulo ouve Beatles.
Negando, temos:
 • Dudan não adora Matemática ou Paulo não ouve Beatles.
Nega-Nega-Troca
Disjunção Inclusiva
Conectivos: “ou” / “V” Tabela Verdade: F F = F
Negação: nega ambas as proposições e troca “ou”por “e”. 
 ~(pVq) = ~p ^ ~q
Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.
Negação: Dudan não viaja e não ensina Matemática. 
p q p v q ~p ~q ~p ^ ~q
V V V F F F
V F V F V F
F V V V F F
F F F V V V
Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela 
verdade.
 • Dudan adora Matemática ou Paulo ouve Beatles.
Negando, temos:
 • Dudan não adora Matemática e Paulo não ouve Beatles.
Nega-Nega-Troca
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Condicional
Conectivos: “Se ...então ” / “→” Tabela Verdade: V F = F
Negação: Confirma a causa “e” nega a consequencia “ MA-NE ” 
 ~(p → q ) = p ^ ~q
Exemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática.
Negação: Dudan viaja e não ensina Matemática. 
p q p → q p ~q p ^ ~q
V V V V F F
V F F V V V
F V V F F F
F F V F V F
Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela 
verdade.
 • Se Dudan adora Matemática, então Paulo ouve Beatles.
Negando, temos:
 • Dudan adora Matemática e Paulo não ouve Beatles..
MA–NE → MAntem E NEga
Disjunção Exclusiva
Conectivos: “Ou...ou...” / “V” Tabela Verdade: F F = F e V V = F
Negação: ~(p V q) = p ↔ q
Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.
Negação: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. 
p q p v q p q p↔q
V V F V V V
V F V V F F
F V V F V F
F F F F F V
Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela 
verdade.
 • Ou Dudan adora Matemática ou Paulo ouve Beatles.
Negando, temos:
 • Dudan adora Matemática se e somente se Paulo ouve Beatles.
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Bicondicional
Conectivos: “Se e somente se” / “↔” Tabela Verdade: F F = V e V V = V
Negação: ~(p ↔ q) = (q v p)
Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. 
Negação: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. 
p q p ↔ q p q p v q
V V V V V F
V F F V F V
F V F F V V
F F V F F F
Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela 
verdade.
 • Dudan adora Matemática se e somente se Paulo ouve Beatles
Negando, temos:
 • Ou Dudan adora Matemática ou Paulo ouve Beatles.
Resumindo
 • A negação tem como simbologia (~ ou ¬) 
 • A negação inverte o valor lógico ,ou seja, o que é V fica F e vice-versa
Regras da Negação
 • Conjunção / Disjunção Inclusiva → Nega tudo e troca o conectivo: e ↔ ou 
 • Condicional → Regar do MANE MAntem a causa E NEga a consequencia
 • Disjunção Exclusiva / Bicondicional → ou troca o conectivo (ou..ou por se e somente se e vice-
versa) ou nega apenas uma das proposições
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COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO ?
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: Assistente de Logística I
É dada a seguinte proposição:
João não foi trabalhar, mas saiu com amigos.
A negação dessa proposição é logicamente equivalente
A)João foi trabalhar ou não saiu com amigos.
B)João foi trabalhar e não saiu com amigos.
C)João foi trabalhar e não saiu com inimigos.
D)João não foi trabalhar ou não saiu com inimigos.
E)João não foi trabalhar e não saiu com amigos.
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: Assistente de Logística I
João disse:
— Das duas, pelo menos uma: o depósito é amplo e claro, ou ele não se localiza em Albuquerque.
O que João disse é falso se, e somente se, o depósito
A)fica em Albuquerque e não é amplo ou não é claro.
B)fica em Albuquerque, não é amplo, nem é claro.
C)não é amplo, não é claro e não fica em Albuquerque.
D)é amplo ou é claro e fica em Albuquerque.
E)é amplo e claro e fica em Albuquerque.
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: Assistente de Logística I
João disse que, se chovesse, então o show não seria cancelado. Infelizmente, os acontecimentos 
revelaram que aquilo que João falou não era verdade.
Portanto,
A)o show não foi cancelado porque choveu.
B)o show foi cancelado porque não choveu.
C)não choveu, e o show não foi cancelado.
D)não choveu, e o show foi cancelado.
E)choveu, e o show foi cancelado.
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EQUIVALÊNCIA LÓGICA
O que significa : Equivalência
Na Matemática básica , a equivalência representa uma igualdade, ou seja:
2 = 2
2 = 1+1
2 = 4
2 = 
6
36
log e por ai vai...
Na lógica proposicional, a equivalência vem pela manutençãodo valor lógico da proposição, seja 
ela simples ou composta.
Assim a sentença fechada:
 • Dudan adora Matemática seria equivalente a :
 →Dudan adora Matemática.
Concorda que essa equivalência é trivial, óbvia, simples... ?
Podemos ainda entender que uma equivalência é obtida a partir de duas “negações” em sequencia.
 • Dudan adora Matemática .
 Negação 1→ Dudan não adora Matemática.
 Negação 2 → Dudan não adora Matemática.
O que seria a própria frase original que é equivalente a ela mesma!!
Equivalência de Proposições Compostas 
Duas proposições são consideradas EQUIVALENTES entre si, quando elas transmitem a mesma 
ideia. 
De forma prática, dizemos que duas proposições são equivalentes entre si quando elas SEMPRE 
possuem o mesmo valor lógico – ou seja, quando uma é verdadeira, a outra também é, e quando 
uma é falsa, a outra também é. 
Resumidamente, duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. 
Vamos aprender os principais mecanismos de equivalência lógica?
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CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021
Conjunção 
Conectivos: “e” / “^” Tabela Verdade: V V = V
Negação: nega ambas as proposições e troca “e”por “ou”.
 ~(p^q) = ~p V ~q
Equivalência: (p^q) = (q ^ p) Comutatividade. 
Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática.
Equivalência: Dudan ensina Matemática e viaja. 
p q p ^ q p q q ^ p
V V V V V V
V F F V F F
F V F F V F
F F F F F F
Observe que o valor lógico da proposição composta foi mantido em todas as linhas da tabela 
verdade.
 • Dudan adora Matemática e Paulo ouve Beatles.
É equivalente a : 
 • Paulo ouve Beatles e Dudan adora Matemática .
Mais Exemplos
 • Guilherme não entende RLM e Márcio gosta de ensinar Informática
É equivalente a : 
 • Márcio gosta de ensinar Informática e Guilherme não entende RLM.
Disjunção Inclusiva
Conectivos: “ou” / “V” Tabela Verdade: F F = F
Negação: nega ambas as proposições e troca “ou”por “e”.
 ~(pVq) = ~p ^ ~q
Equivalência 1: (p V q) = (q V p) Comutatividade. 
Equivalência 2: (p V q) = (~p→q)
Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.
Equivalência 1: Dudan ensina Matemática ou viaja.
Equivalência 2: Se Dudan não viaja , então ele ensina Matemática.
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CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021
Mas por que a condicional é uma equivalência da Disjunção Inclusiva?
Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.
Equivalência: Se Dudan não viaja , então ele ensina Matemática.
p q p v q ~p q ~p → q
V V V F V V
V F V F F F
F V V V V F
F F F V F F
Observe que o valor lógico da proposição composta foi mantido em todas as linhas da tabela 
verdade.
 • Dudan adora Matemática ou Paulo ouve Beatles.
É equivalente a: 
 • Paulo ouve Beatles ou Dudan adora Matemática .
E ainda: 
 • Se Dudan não adora Matemática, então Paulo ouve Beatles.
Mais Exemplos
 • Guilherme não entende RLM e Márcio gosta de ensinar Informática
É equivalente a: 
 • Márcio gosta de ensinar Informática ou Guilherme não entende RLM.
E ainda:
Se Guilherme não entende RLM, então Márcio gosta de ensinar Informática.
Condicional
Conectivos: “Se ...então ” / “→” Tabela Verdade: V F = F
Negação: Confirma a causa “e” nega a consequencia “ MA-NE ” 
 ~(p → q ) = p ^ ~q
Equivalência 1: (p → q) = (~p V q) Duas negações em sequencia.
Equivalência 2: (p → q) = ( ~q → ~p) Contrapositiva
Exemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática.
Negação: Dudan viaja e não ensina Matemática. 
Equivalência 1: Dudan não viaja ou ensina Matemática.
Equivalência 2: Se Dudan não ensina Matemática, então não viaja.
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Mas por que a Contrapositiva é uma equivalência da Condicional?
Exemplo: Se Dudan viaja , ensina Matemática.
Equivalência: Se Dudan não ensina Matemática , não viaja.
p q p → q ~p ~q ~q → ~p
V V V F F V
V F F F V F
F V V V F V
F F V V V V
Observe que o valor lógico da proposição composta foi mantido em todas as linhas da tabela 
verdade.
 • Se Dudan adora Matemática, então Paulo ouve Beatles.
É equivalente a : 
 • Dudan não adora Matemática ou Paulo ouve Beatles.
E ainda: 
 • Se Paulo não ouve Beatles, então Dudan não adora Matemática.
Mais Exemplos
 • Se Guilherme não entende RLM, então Márcio gosta de ensinar Informática.
É equivalente a : 
 • Guilherme não entende RLM ou Márcio gosta de ensinar Informática ou.
E ainda:
Se Márcio não gosta de ensinar Informática, então Guilherme não entende RLM.
Exercício de Aula 
5. Considere a sentença: “Se Carlinhos é baixo, então Carlinhos não é atleta.” Assinale a opção que 
apresenta a sentença logicamente equivalente à sentença dada.
A) “Se Carlinhos não é atleta, então Carlinhos é baixo.”
B) “Se Carlinhos não é baixo, então Carlinhos é atleta.”
C) “Se Carlinhos é atleta, então Carlinhos não é baixo.”
D) “Carlinhos é baixo e atleta.”
E) “Carlinhos não é baixo e não é atleta.”
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Disjunção Exclusiva
Conectivos: “Ou...ou...” / “V” Tabela Verdade: F F = F e V V = F
Negação: ~(p V q) = p ↔ q
Equivalência: (p V q) = (q V p) Comutatividade
Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.
Negação: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática.
Equivalência: Ou Dudan ensina Matemática ou viaja.
 • Ou Dudan adora Matemática ou Paulo ouve Beatles.
É equivalente a : 
 • Ou Paulo ouve Beatles ou Dudan adora Matemática .
Mais Exemplos
 • Ou Guilherme não entende RLM ou Márcio gosta de ensinar Informática.
É equivalente a : 
 • Ou Márcio gosta de ensinar Informática ou Guilherme não entende RLM.
Bicondicional
Conectivos: “Se e somente se” / “↔” Tabela Verdade: F F = V e V V = V
Negação: ~(p ↔ q) = (q v p)
Equivalência: (p ↔ q) = (q ↔ p) Comutatividade
Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. 
Negação: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. 
Equivalência: Dudan ensina Matemática se e somente se viaja.
 • Dudan adora Matemática se e somente se Paulo ouve Beatles.
É equivalente a : 
 • Paulo ouve Beatles se e somente se Dudan adora Matemática .
Mais Exemplos
 • Guilherme não entende RLM se e somente se Márcio gosta de ensinar Informática.
É equivalente a : 
 • Márcio gosta de ensinar Informática se e somente se Guilherme não entende RLM.
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Há ainda uma outra maneira de termos uma equivalência entre a disjunção exclusiva e a 
bicondicional :
 • Dudan adora Matemática se e somente se Paulo ouve Beatles.
É equivalente a : 
 • Ou Dudan não adora Matemática ou Paulo ouve Beatles.
 • Ou Dudan adora Matemática ou Paulo não ouve Beatles.
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO ?
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: Analista de Sistemas Júnior
Considere as seguintes premissas de um argumento:
• Se Ana gosta de Matemática, então Paulo gosta de Matemática.
• Quem gosta de Matemática não gosta de Biologia.
Então, uma conclusão para que esse argumento seja válido é:
A) Se Ana gosta de Matemática, então Paulo não gosta de Biologia.
B) Ana gosta de Matemática.
C) Paulo gosta de Matemática.
D) Paulo gosta de Biologia.
E) Ana gosta de Biologia.
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: Analista de Sistemas Júnior
A proposição p �¬ (q � r) é equivalente a
A) (p � ¬q) � (p � ¬r)
B) (p v ¬q) � (p v ¬r)
C) (p � ¬q) v (p � ¬r)
D) (¬ p v q) � ( ¬ p v r)
E) ( ¬ p � q) v ( ¬ p � r)
Ano: 2014 Banca: CESGRANRIO Órgão: IBGE Prova: Analista Censitário de Geoprocessamento
Dadas três proposições lógicas p, q e r, tem-se que r → [(~p) ˄ (~q)] se, e somente se,
A) [(~p) ˄ (~q)] → r
B) (~r) → (p ˄ q)
C) (p ˅ q) → (~r)
D) (p ˄ q) → (~r)
E) (p ˅ q) → r
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Ano: 2012 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: Técnico de Nível Médio
Dadas duas proposições lógicas, p e q, tem-se que a expressão (~p V q)�(~q V p) é logicamente 
equivalente à expressão
A) p ↔ q
B) p → q
C) (~p) →(~q)
D) (p �~ q) � ~(p � q)
E) (p � q) � (~p � ~q)
TAUTOLOGIA XCONTRADIÇÃO
Tautologia
 • Uma proposição composta formada por duas ou mais proposiçõesA, B, C, ... será dita uma 
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das 
proposições A, B, C, ... que a compõem.
 • Para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade!
Se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos 
diante de uma Tautologia.
 • SEMPRE VERDADE
Exemplo: A proposição (p ^ q) → (p v q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade 
abaixo:
p q p � q pvq (p�q)→ (pvq)
Contradição
 • Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A, B, C, ... será dita uma 
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições A, 
B, C, ... que a compõem.
 • Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da 
última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.
 • SEMPRE FALSA
Exemplo: A proposição (p↔ ~q) ^ (p ^ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por 
meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
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Contingência
 • Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem 
uma contradição.
 • Não é Tautologia. 
 • Não é Contradição.
Exemplo: A proposição “p ↔ (p ^ q)” é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos 
valores lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
Resumindo
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será considerada uma 
TAUTOLOGIA se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições 
p, q, r, ... que a compõem.
Já uma proposição composta formada por duasou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
CONTRADIÇÃO se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, 
q, r, ... que a compõem.
PARA GABARITAR
• Sempre Verdadeiro = Tautologia
• Sempre Falso = Contradição
CASO ESPECIAL: SER OU NÃO SER , SER E NÃO SER
Casos de proposições compostas do tipo: SER ALGO OU NÃO SER ALGO caracterizam Tautologia, 
pois ambas terão obrigatoriamente valor lógico contrário e a Disjunção Inclusiva só é Falsa se ambas 
as proposições simples forem falsas.
Exemplo: Sou feliz OU não sou feliz. → TAUTOLOGIA
Da mesma forma os casos de proposições compostas do tipo: SER ALGO E NÃO SER ALGO 
caracterizam Contradição, pois ambas terão obrigatoriamente valor lógico contrário e a Conjunção 
só é Verdadeira se ambas as proposições simples forem verdadeiras.
Exemplo: Sou feliz E não sou feliz. → CONTRADIÇÃO
Conceitos importantes
Revisando alguns conceitos:
PARADOXO → É uma frase que ofende o principio da não contradição. Exemplo: “Eu só falo mentira”
SILOGISMO → É a estrutura lógica composta por 3 proposições: Premissa 1, premissa 2 e conclusão.
TAUTOLOGIA → É a estrutura lógica onde todos os resultados são VERDADEIROS
CONTRADIÇÃO → É a estrutura lógica onde todos os resultados são FALSOS.
CONTINGÊNCIA → É a estrutura lógica onde temos valores VERDADEIROS e FALSOS.
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Exercício de Aula
6. Considere as afirmações abaixo.
I.O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. 
II. A proposição " ( 10 < √ 10 ) ↔ ( 8 - 3 = 6 )" é falsa. 
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q) v ( ~ q)” é uma tautologia. 
É verdade o que se afirma APENAS em
A)I.
B)II.
C)III.
D)I e II.
E)I e III.
7. A proposição “João comprou um carro novo ou não é verdade que João comprou um carro novo e 
não fez a viagem de férias.” é :
A) um paradoxo.
B) um silogismo.
C) uma tautologia.
D) uma contradição.
E) uma contingência.
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO ?
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: Analista de Sistemas Júnior
Qual das proposições abaixo é uma contradição?
A) (P → Q) v ¬ Q
B) (P � ¬ P) → Q
C) ¬ (P v Q) ↔ (P v Q)
D) (P ↔ P) � (P v Q)
E) (P ↔ Q) v (Q v ¬ Q)
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DIAGRAMAS LÓGICOS
Todo
Sinônimos: “qualquer um” ou outra similar.
Representação: 
Conclusão: 
Todo A é B. Alguns elementos de B são A ou existem B que são A.
Negação: Trocar TODO por ALGUM e negar a proposição.
Exemplo: Todo aluno gosta de Matematica.
Negação: Algum aluno não gosta de Matemática
Exemplos:
 Toda mulher é friorenta.
Negação: Alguma mulher não é friorenta.
 Todo aluno será aprovado.
Negação: Há aluno que não será aprovado.
 Todo matemático é maluco.
Negação: Pelo menos um matemático não é maluco.
 Todos os estudantes não trabalham. 
Negação: Algum estudante trabalha.
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Algum
Sinônimos: existe(m), há pelo menos um ou qualquer outra similar.
Representação: 
Conclusão:
Existem elementos em A que são B. Existem elementos em B que são A. 
Existem elementos A que não são B. Existem elementos B que não estão em A.
Negação: trocar ALGUM por TODO E NEGA ou por NENHUM.
Exemplo: Algum aluno gosta de Matematica.
Negação 1: Todo aluno não gosta de Matemática.
Negação 2: Nenhum aluno gosta de Matemática.
Exemplos:
 Alguma mulher é friorenta.
Negação: Nenhuma mulher é friorenta.
Negação: Toda mulher não é friorenta.
 Algum aluno será aprovado.
Negação: Nenhum aluno será aprovado.
Negação: Todo aluno não será aprovado.
Exemplos:
 Algum matemático é maluco.
Negação: Nenhum matemático é maluco.
Negação: Qualquer matemático não é maluco.
 Alguns estudantes não trabalham. 
Negação: Nenhum estudante trabalha.
Negação: Todo estudante não trabalha.
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Nenhum
Representação: 
Conclusão:
Nenhum A é B. Nenhum B é A.
Negação: trocar NENHUM por ALGUM 
Exemplo: Nenhum aluno gosta de Matematica.
Negação: Algum aluno gosta de Matemática.
Exemplos:
 Nenhuma mulher é friorenta.
Negação: Alguma mulher é friorenta.
 Nenhum aluno será aprovado.
Negação: Algum aluno será aprovado.
 Nenhum matemático é maluco.
Negação: Algum matemático é maluco.
 Nenhum estudante trabalham. 
Negação: Algum estudante trabalha.
Resumindo:
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Mas pode piorar !!!
Todo aluno imprimiu a apostila e assistiu a aula de RLM. 
E agora , Jose? 
Negação: 
Algum aluno não imprimiu a apostila ou não assistiu a aula de RLM 
Exercício de Aula
8. A negação da proposição “Nenhum outono é quente em Brasília” é:
A) Algum outono é quente em Brasília.
B) Todos os outonos são quentes em Brasília.
C) Se é outono então é quente em Brasília.
D) É outono e está quente em Brasília.
E) É outono se e somente se é quente em Brasília.
9. A negação da proposição “Todos os professores são gaúchos” é:
A) Nenhum professor é gaúcho.
B) Os professores são gaúchos.
C) Os gaúchos não professores.
D) Algum professor não é gaúcho.
E) É impossível afirmar qual seja a negação da proposição.
COMO A BANCA CESGRANRIO JÁ COBROU ISSO ?
Ano: 2014 Banca: CESGRANRIO Órgão: IBGE Prova: Analista Censitário de Geoprocessamento
Se algum amigo meu me tivesse dito que iria ao jogo, então eu também teria ido.
Como não fui ao jogo, então
A) não tenho amigos.
B) algum amigo meu não foi ao jogo.
C) nenhum amigo meu me disse que ia ao jogo.
D) não tenho amigos que gostam de futebol.
E) apenas um amigo meu não me disse que iria ao jogo.
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Ano: 2016 Banca: CESGRANRIO Órgão: IBGE Prova: Agente de Pesquisas e Mapeamento
Considere a seguinte argumentação:
Se alguém tivesse faltado à festa, então todos teriam passado por interesseiros. No entanto, alguém 
não passou por interesseiro.
Conclui-se que
A) alguém foi à festa, mas não todos.
B) não houve festa.
C) quem faltou à festa é interesseiro.
D) todos faltaram à festa.
E) ninguém faltou à festa.
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: Assistente de Logística I
Considere a afirmação:
“Houve um momento em que todos não falavamcoisa alguma”.
A negação dessa afirmação é logicamente equivalente a
A) Em algum momento, todos falavam alguma coisa.
B) Em algum momento, alguém não falava coisa alguma.
C) Em nenhum momento todos falavam alguma coisa.
D) Em cada momento, havia alguém que falava alguma coisa.
E) Em cada momento, todos falavam alguma coisa.
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: Assistente de Logística I
Considere as seguintes premissas:
• Cada número inteiro é, necessariamente, do TIPO A ou do TIPO B, mas jamais dos dois tipos 
ao mesmo tempo; 
• A soma de dois números inteiros é do TIPO B se, e somente se, um deles é do TIPO A, e o 
outro é do TIPO B.
Diante disso, conclui-se que a soma de três números inteiros é do TIPO A se, e somente se,
A) todos os três números são do TIPO A.
B) todos os três números são de um mesmo tipo.
C) todos os três números são do TIPO A, ou apenas um deles é do TIPO A.
D) os três números não são de um mesmo tipo.
E) apenas dois deles são do TIPO B