Estatística Aplicada à Educação_completa

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Estatística Aplicada 
à Educação
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
Revisada por Ricardo de Souza (setembro/2012)
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Estatística Aplicada 
à Educação, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmi-
co e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 NOÇÕES BÁSICAS ................................................................................................................................. 7
1.1 Arredondamento de Dados.........................................................................................................................................7
1.2 Dados Absolutos e Dados Relativos .........................................................................................................................8
1.3 População e Amostra ..................................................................................................................................................21
1.4 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................24
1.5 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................24
2 ORGANIZAÇÃO DE DADOS .......................................................................................................... 31
2.1 Tipos de Variáveis ..........................................................................................................................................................31
2.2 Distribuição de Frequências .....................................................................................................................................35
2.2 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................38
3 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ............................................................................................................... 39
3.1 Gráfico de Setores, Disco ou Pizza, ou Diagrama Circular .............................................................................39
3.2 Gráfico de Colunas ou Barras ...................................................................................................................................40
3.3 Histograma ......................................................................................................................................................................40
3.4 Polígono de Frequências ...........................................................................................................................................41
3.5 Ogiva de Galton ............................................................................................................................................................42
3.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................42
3.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................43
4 MEDIDAS ................................................................................................................................................... 47
4.1 Medidas de Posição .....................................................................................................................................................47
4.2 Medidas de Dispersão ................................................................................................................................................65
4.3 Medidas de Assimetria e Curtose – Curva Normal ..........................................................................................71
4.4 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................80
4.5 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................80
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 85
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 87
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 91
APÊNDICE ..................................................................................................................................................... 93
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INTRODUÇÃO
As sociedades modernas acumulam grande quantidade de dados numéricos relativos a eventos 
sociais, econômicos, científicos, esportivos, educacionais etc., como pode ser observado nos exemplos 
abaixo:
1. a taxa de analfabetismo no Brasil;
2. a taxa de mortalidade infantil na região Nordeste;
3. a porcentagem de crianças vacinadas na última campanha de vacinação;
4. o índice de densidade corpo discente por corpo docente nas diversas regiões do Brasil;
5. a porcentagem de tendência de votos em uma campanha eleitoral;
6. a porcentagem mostrando a preferência dos espectadores para que uma emissora de TV or-
ganize sua programação.
Desse modo, notamos que o uso da pesquisa é bastante comum nas várias atividades humanas. 
A disciplina Estatística Aplicada à Educação tem, por objetivo, fornecer subsídios a você, aluno(a) do 
curso de Pedagogia, que o auxiliem em sua carreira profissional, que possam desenvolver em você a ca-
pacidade de utilizar os diversos métodos estatísticos e o raciocínio necessário à interpretação e à análise 
de pesquisas na área do magistério.
A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, tais como: a escolha da amostra, a coleta e a 
organização dos dados, o resumo e a apresentação desses dados, bem como a interpretação dos resulta-
dos para a obtenção de conclusões e a tomada de decisões razoáveis. Todas essas etapas são trabalhadas 
com métodos científicos pela Estatística. 
O tratamento estatístico de um conjunto de dados pode envolver dois processos distintos, isto é, 
a descrição dos dados e o estabelecimento de conclusões sobre a população a partir dos dados obtidos 
por amostragem. Para tanto, temos:
�� Estatística Descritiva: utiliza métodos numéricos e gráficos para mostrar os padrões de com-
portamento dos dados, para resumir a informação contida nesses dados e para apresentar a 
informação de forma conveniente.
�� Inferência Estatística: utiliza dados de amostras paraobter estimativas sobre a população.
Saiba maisSaiba mais
A palavra ‘estatística’, de origem latina, significou, por muito tempo, “ciência dos negócios do Estado”. Os que gover-
navam, sentindo necessidade de informações, organizavam departamentos que tinham a responsabilidade de fazer 
essas investigações.
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Esta apostila reúne os principais tópicos de Estatística Descritiva de forma condensada e objetiva, 
com a finalidade de orientar você, aluno(a) do Ensino a Distância (EAD), no desenvolvimento do conteú-
do desta disciplina.
Assim, no Capítulo 1, você estudará as regras de arredondamento de dados a serem aplicadas no 
decorrer dos demais capítulos, vendo, também, ao estudar os dados relativos, aplicações diretamente 
relacionadas com a área da Educação.
No Capítulo 2, aprenderá a organizar dados em tabelas ou distribuição de frequências, de acordo 
com o tipo de variável em estudo.
No Capítulo 3, com os gráficos estatísticos, complementará o estudo feito no Capítulo 2, apren-
dendo a interpretar os diferentes tipos de gráficos.
No Capítulo 4, não tive a pretensão de demonstrar as diversas fórmulas matemáticas, mas de mos-
trar suas aplicações nos diversos exemplos, principalmente aos que se relacionam à área de Educação.
A apostila ainda apresenta vários exemplos e exercícios resolvidos e propostos, apresentados por 
meio de Listas de Exercícios.
Vários tópicos desses capítulos encontram-se minuciosamente explicados nas aulas WEB e tam-
bém serão abordados nas aulas SATÉLITE, sendo extremamente importante que você assista às aulas, 
pois elas o auxiliarão na resolução dos demais exercícios e das atividades propostas no decorrer do mó-
dulo.
Para que o ciclo da aprendizagem feche-se harmoniosamente, é necessário que você não deixe as 
dúvidas acumularem-se e usufrua das ferramentas disponíveis para perguntas e respostas, tais como os 
Fóruns de Dúvidas, o Correio e a Sala de Bate-papo. 
Também fique atento ao Mural e ao Material de Apoio, pois no primeiro me comunicarei com você e 
no segundo disponibilizarei as aulas Satélite e qualquer outro tipo de material pertinente e interessante.
Desejo a você um ótimo Módulo com a seguinte frase do filósofo francês, Charles de Montes-
quieu:
“É preciso estudar muito para saber um pouco.”
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NOÇÕES BÁSICAS1 
De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o arredondamento é feito da 
seguinte forma:
a) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3, ou 4, fica inalterado o último alga-
rismo a permanecer.
Exemplo:
aproximação de uma casa decimal:
53,24 passa a 53,2.
b) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o 
algarismo a permanecer.
Exemplos:
aproximação de uma casa decimal: 
42,87 passa a 42,9
25,08 passa a 25,1
53,99 passa a 54,0
c) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções:
�� Se ao 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unida-
de ao algarismo a permanecer.
Exemplos:
aproximação de uma casa decimal: 
2,352 passa a 2,4
25,6501 passa a 25,7
76,25002 passa a 76,3
�� Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser con-
servado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.
1.1 Arredondamento de Dados
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Exemplos:
aproximação de uma casa decimal: 
24,75 passa a 24,8
24,65 passa a 24,6
24,75000 passa a 24,8
24,6500 passa a 24,6
1.2 Dados Absolutos e Dados Relativos
Dados Absolutos
São dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a conta-
gem ou medida. Embora traduzam um resultado exato e fiel, não ressaltam de imediato as suas conclu-
sões numéricas.
Dados Relativos
São o resultado de comparações por quociente (razões) que se estabelecem entre dados absolutos 
e têm por finalidade facilitar as comparações entre quantidades. Os dados relativos são traduzidos por 
meio das porcentagens, dos índices, dos coeficientes e das taxas.
Porcentagens
São razões que consistem em considerar um total qualquer igual a 100% e, por meio de uma regra 
de três simples, estabelecer qualquer relação com as parcelas que compõem o total.
Assim:
As porcentagens podem ser utilizadas de inúmeras formas, segundo a circunstância que queremos 
estudar.
a) Para analisar a estrutura de um fato, devemos calcular as porcentagens dos itens que com-
põem esse fato, ou seja, destacar a participação da parte no todo.
Exemplo:
consideremos a seguinte série ou tabela:
 
TOTAL ---- 100% 
PARCELA ---- x% 
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Tabela 1 – Matrículas nas escolas da cidade “A” – 2005.
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS
1º grau 19.286
2º grau 1.681
3º grau 234
Total 21.201
Dados fictícios
Vamos calcular as porcentagens dos alunos de cada grau:
1º grau: 
2º grau: 
3º grau: 
Substituindo na Tabela 1, fica:
Tabela 2 – Matrículas nas escolas da cidade “A” – 2005.
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS (%)
1º grau 19.286 91,0
2º grau 1.681 7,9
3º grau 234 1,1
Total 21.201 100,0
Dados fictícios
Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade “A”, 91 estão matricula-
dos no 1º grau, e, aproximadamente, 8 e 1 estão matriculados, respectivamente, no 2º e 3º graus.
b) Para estudar a dinâmica de um fato, ou seja, acompanhar a evolução de um fato ao longo do 
tempo, devemos estabelecer um período (ano, mês, dia etc.), uma produção, uma renda etc., 
como sendo a base, considerando-a como 100% e, a partir daí, calcular as outras porcentagens.
Exemplo: 
consideremos a seguinte série ou tabela:
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Tabela 3 – Renda bruta escola “A” – 2003/2007.
ANOS RENDA
2003 R$ 40.046,00
2004 R$ 42.549,00
2005 R$ 42.834,00
2006 R$ 44.629,00
2007 R$ 38.065,00
Dados fictícios 
Vamos considerar como base a renda relativa ao ano de 2003. Então, temos:
2003: 
2004: 
2005: 
2006: 
2007: 
Substituindo esses valores na Tabela 3, temos:
Tabela 4 – Renda bruta escola “A” – 2003/2007 (Base Fixa: 2003).
ANOS RENDA
ANO-BASE 2003 
(%)
VARIAÇÃO PORCENTUAL COM
RELAÇÃO À BASE (%)
2003 R$ 40.046,00 100,0 0,0
2004 R$ 42.549,00 106,3 6,3
2005 R$ 42.834,00 107,0 7,0
2006 R$ 44.629,00 111,4 11,4
2007 R$ 38.065,00 95,1 - 4,9
Dados fictícios
 
100%
Base
Valorx%
x%Valores
100%Base
×=⇒



→
→
 
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Vamos considerar, agora, uma base móvel, isto é, uma base que se modifique para cada dado. As-
sim, cada novo dado sempre será relacionado com o dado anterior.
Tabela 3 – Renda bruta escola “A” – 2003/2007.
ANOS RENDA
2003 R$ 40.046,00
2004 R$ 42.549,00
2005 R$ 42.834,00
2006 R$ 44.629,00
2007 R$ 38.065,00
Dados fictícios
 
2004: 
2005: 
2006: 
2007: 
 
Substituindo esses valores na Tabela 3, temos:
Tabela 5 – Renda bruta escola “A” – 2003/2007 (Base Móvel).
ANOS RENDA BASE MÓVEL (%)
VARIAÇÃO PORCENTUAL COM 
RELAÇÃO À BASE (%)
2003 R$ 40.046,00
2004 R$ 42.549,00 106,3 6,3
2005 R$ 42.834,00 100,7 0,7
2006 R$ 44.629,00 104,2 4,2
2007 R$ 38.065,00 85,3 - 14,7
Dados fictícios
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Índices
São razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra, ou seja, grandezas independen-
tes.
Exemplos: 
Quociente Intelectual (QI) = 
Densidade Demográfica = 
Produção per capita = (mede a produtividade)
Consumo per capita = (mede o padrão de vida)
Renda per capita = 
Receita per capita = 
No âmbito escolar, destacamos os índices de densidade escolar, análogos ao índice de densidade 
demográfica, como podemos observar a seguir, relacionando algunsdeles:
Densidade 
Densidade 
Densidade 
Densidade (É considerada ótima a densidade de 1 aluno por m2)
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Exemplos:
1. São dadas duas tabelas contendo dados sobre o Estado de São Paulo, obtidos no censo esco-
lar de 2006. Vamos calcular alguns índices de densidade escolar corpo discente por unidade 
escolar.
Número de Matrículas no Ensino Fundamental de 1ª a 4ª Série, na zona urbana, por Turno e Depen-
dência Administrativa, segundo a Região Geográfica e a Unidade da Federação, em 29/3/2006.
Tabela 6 – Matrículas no ensino fundamental de 1ª a 4ª série.
Total Federal Estadual Municipal Privado
São Paulo 3.045.091 181 1.004.978 1.619.677 420.255
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006. .
Número de Estabelecimentos que Oferecem Ensino Fundamental Exclusivamente de 1ª a 4ª Série, 
na zona urbana, por Localização e Dependência Administrativa, segundo a Região Geográfica e a Unida-
de da Federação, em 29/3/2006.
Tabela 7 – Estabelecimentos que oferecem ensino fundamental exclusivamente de 1ª a 4ª série.
Total Federal Estadual Municipal Privado
São Paulo 4.945 1 1.179 2.904 861
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
Total:
Densidade alunos por escola.
Federal:
Densidade alunos por uma escola.
Estadual:
Densidade alunos por escola.
Fica como exercício a determinação do número de alunos por escola para a rede Municipal e Pri-
vada de ensino.
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2. Calcular alguns índices de densidade escolar corpo discente por turma utilizando os dados da 
Tabela 6 e da Tabela 8, fornecida a seguir:
Número de Turmas no Ensino Fundamental de 1ª a 4ª Série, na zona urbana, por Localização e De-
pendência Administrativa, segundo a Região Geográfica e a Unidade da Federação, em 29/3/2006.
Tabela 8 – Turmas no ensino fundamental de 1ª a 4ª série.
Total Federal Estadual Municipal Privado
São Paulo 107.965 8 31.071 54.900 21.986
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
Total:
Densidade alunos por turma.
Federal:
Densidade alunos por turma.
Estadual: 
Densidade alunos por turma.
Fica como exercício a determinação do número de alunos por turma para a rede Municipal e Pri-
vada de ensino.
Coeficientes e Taxas
a) Coeficientes
São razões entre o número de ocorrências e o número total. É a comparação entre duas grandezas 
em que uma está contida na outra.
b) Taxas
São os coeficientes multiplicados por 10n (10, 100, 1.000 etc.) para tornar o resultado mais inteligí-
vel.
 
TAXA = COEFICIENTE × 10n 
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Exemplos:
Coeficiente de Natalidade = 
Taxa de Natalidade = Coeficiente de Natalidade × 1.000
Coeficiente de Mortalidade = 
Taxa de Mortalidade = Coeficiente de Mortalidade × 1.000
Coeficiente de Aproveitamento Escolar = 
Coeficiente de Evasão Escolar = 
Taxa de Evasão Escolar = Coeficiente de Evasão Escolar × 100
Coeficiente de Recuperação Escolar = 
Com relação à administração escolar, podemos classificar os coeficientes em três grupos significa-
tivos: coeficientes de desperdício, de escolarização e de produtividade.
1. Coeficientes de Desperdício
Veremos dois coeficientes de desperdício:
 
a) Coeficiente de Repetência (CR): é o quociente entre o número de matrículas de repetentes e 
o número de matrículas total.
 
onde:
Mr = matrículas de repetentes
M = matrículas totais
 
CR = 
M
Mr 
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b) Coeficiente de Evasão (CE): é o quociente entre o número de alunos evadidos (diferença en-
tre o número de matrículas inicial e o número de matrículas no final do ano = matrículas efeti-
vas) e o número de matrículas inicial.
 
onde:
Mi = matrículas iniciais
Me = matrículas efetivas
Para o cálculo da Taxa de Repetência (TR) e da Taxa de Evasão (TE) multiplica-se, respectivamente, 
o Coeficiente de Repetência (CR) e o Coeficiente de Evasão (CE) por 100 ou por 1.000, obtendo-se os re-
sultados em por cento (%) ou por mil (‰), respectivamente.
Exemplos:
1. Dadas as tabelas 6 e 9 com dados sobre a zona urbana do Estado de São Paulo, calcular o 
Coeficiente e a Taxa de Repetência total e também por tipo de dependência administrativa.
Tabela 9 – Alunos reprovados no ensino fundamental de 1ª a 4ª série - 2005.
Total Federal Estadual Municipal Privado
São Paulo 134.326 3 32.848 95.798 5.677
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
Total:
CR = TR = CR x 100 = 0,0441 x 100 = 4,41%
Pela taxa de repetência temos que em cada 100 alunos, aproximadamente 4 alunos repetiram.
Se fizermos: TR = CR x 1000 = 0,0441 x 1000 = 44,1‰, ou seja, para cada 1.000 alunos tivemos 44 
alunos reprovados.
Federal:
CR = TR = CR x 100 = 0,0166 x 100 = 1,66%
 
 CE = 
i
ei
M
MM −
 
Tabela 6 – Matrículas no ensino fundamental de 1ª a 4ª série.
Total Federal Estadual Municipal Privado
São Paulo 3.045.091 181 1.004.978 1.619.677 420.255
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006. 
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Estadual:
CR = TR = CR x 100 = 0,0327 x 100 = 3,27%
Municipal:
CR = TR = CR x 100 = 0,0591 x 100 = 5,91%
Privado:
CR = TR = CR x 100 = 0,0135 x 100 = 1,35%
Podemos concluir que, por tipo de dependência administrativa, a maior taxa de reprovação se deu 
no ensino municipal, e a menor, no ensino privado.
2. Dadas as tabelas 10 e 11 com dados sobre a zona urbana do Estado de São Paulo, calcular o 
Coeficiente e a Taxa de Evasão total e também por tipo de dependência administrativa.
Número de Matrículas no Ensino Fundamental, por Localização e Dependência Administrativa, se-
gundo a Região Geográfica e a Unidade da Federação, em 30/3/2005.
Tabela 10 – Matrículas no Ensino Fundamental – 30/03/2005.
Total Federal Estadual Municipal Privado
São Paulo 5.755.969 188 2.905.684 2.059.339 790.758
Fonte: MEC/INEP – censo de 2005. 
Número de Matrículas no Ensino Fundamental, por Localização e Dependência Administrativa, se-
gundo a Região Geográfica e a Unidade da Federação, no fim do ano de 2005.
Tabela 11 – Matrículas no Ensino Fundamental – fim do ano de 2005.
Total Federal Estadual Municipal Privado
São Paulo 5.688.506 188 2.853.968 2.044.526 789.824
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
Total:
 CE = 
 TE = CE x 100 = 0,0117 x 100 = 1,17% ou TE = CE x 1000 = 0,0117 x 1000 = 11,7‰
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Federal: 
CE = TE = CE x 100 = 0 x 100 = 0%
Estadual:
 CE = 
 TE = CE x 100 = 0,0178 x 100 = 1,78% ou TE = CE x 1000 = 0,0178 x 1000 = 17,8‰ 
Municipal:
CE = 
TE = CE x 100 = 0,0072 x 100 = 0,72% ou TE = CE x 1000 = 0,0072 x 1000 = 7,2‰
Privado:
CE = 
TE = CE x 100 = 0,0012 x 100 = 0,12% ou TE = CE x 1000 = 0,0012 x 1000 = 1,2‰
Convém observar que, nesse caso, o cálculo da taxa de evasão permite-nos uma melhor compara-
ção entre as dependências administrativas quando feito em relação a mil alunos.
2. Coeficiente de Escolarização
É o quociente entre a matrícula geral (M), que representa a população escolarizada e a popu-
lação escolarizável (Pesc).
Para o cálculo da Taxa de Escolarização (Tesc), multiplica-se o Coeficiente de Escolarização (Cesc) por 
100 ou por 1.000, obtendo-se o resultado em por cento (%) ou por mil (‰), respectivamente.
O complemento do Coeficiente de Escolarização, isto é, 1 – Cesc fornece-nos o Coeficiente de não 
Escolarização ou Déficit Escolar (DE), que representa quantas crianças estão sem escola.
O mesmo se aplica em relação à Taxa de Escolarização (Tesc), onde o Déficit Escolar (DE) pode ser 
obtido em por cento (%), quando fazemos 100 – Tesc, ou em por mil (‰), quando é feito 1.000 – Tesc.
 
esc
esc P
MC = 
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Exemplos:
1. O censo de 2005 (IBGE, 2005) e o censo escolar de 2005 (MEC/INEP, 2005) informam-nos que, 
no Brasil, em uma população escolarizável, na faixa de 7 a 14 anos, igual a 27.814.240, tínha-
mos 27.063.256 matrículas no Ensino Fundamental. Calcular o Coeficiente e a Taxa de Escola-
rização.
 Tesc = Cesc x 100 = 0,973 x 100 = 97,3%
2. O censo de 2005 (IBGE, 2005) e o censo escolar de 2005 (MEC/INEP, 2005) informam-nos que a 
Taxa de Escolarização (TE) na Região Sudeste é de 98,2%, com uma população escolarizada de 
10.510.205. Calcular a população escolarizável dessa região e o Déficit Escolar (DE).
 
 
 Tesc = Cesc x 100
 98,2% = Cesc x 100 
 
 DE = 100% - Tesc = 100% - 98,2% = 1,8%
Se quisermos calcular a população não escolarizada, basta determinar 1,8% de 10.702.856 = 1,8% 
x 10.702.856 = .
Observe, ainda, que a soma da população escolarizada com a população não escolarizada fornece-
-nos a população escolarizável: 192.651 + 10.510.205 = 10.702.856.
3. Coeficientes de Produtividade
Veremos dois tipos de coeficientes de produtividade:
a) Coeficiente de Produtividade Anual (CPA): é o quociente entre a aprovação no fim do ano 
(A) e a matrícula final (Mf).
 
fM
ACPA = 
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b) Coeficiente de Produtividade Curricular (CPC): é um indicador de diplomação na escola, 
sendo determinado pelo quociente entre diplomação após um período de curso (D) e a matrí-
cula no início do período (Mi)
Para o cálculo da Taxa de Produtividade Anual (TPA) e da Taxa de Produtividade Curricular (TPC), 
multiplica-se, respectivamente, o Coeficiente de Produtividade Anual (CPA) e o Coeficiente de Produti-
vidade Curricular (CPC) por 100 ou por 1.000, obtendo-se o resultado em por cento (%) ou por mil (‰), 
respectivamente.
Exemplos:
1. Os censos escolares de 2005 (MEC/INEP, 2005) e de 2006 (MEC/INEP, 2006) fornecem-nos que, 
para o Estado de São Paulo, em relação à 1ª série do Ensino Fundamental, foram efetuadas 
745.192 matrículas em 30/03/2005, 6.089 alunos foram afastados por abandono em 2005, 
e 704.404 foram aprovados, no mesmo ano. Calcular o Coeficiente de Produtividade Anual 
(CPA) e a Taxa de Produtividade Anual (TPA).
 , com A = 704.404 e Mf = 745.192 – 6.089 = 739.103 
TPA = CPA x 100 = 0,9531 x 100 = 95,31%
2. O censo escolar de 1998 (MEC/INEP, 1998) nos fornece 736.799 matrículas na 1ª série do En-
sino Fundamental para o Estado de São Paulo, e o censo escolar de 2006 (MEC/INEP, 2005) 
nos fornece 574.014 alunos aprovados na 8ª série do Ensino Fundamental de 2005. Calcular o 
Coeficiente de Produtividade Curricular (CPC) e a Taxa de Produtividade Curricular (TPC).
 
TPC = CPC x 100 = 0,7791 x 100 = 77,91%
 
cursodoinícionomatrículasdenº
cursodofinalaoaprovadosdenº
M
DCPC
i
== 
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População
É o conjunto de todos os elementos envolvidos no fenômeno a ser estudado.
Amostra
É o conjunto de elementos retirados da população para a realização do estudo. É, portanto, um 
subconjunto da população.
Exemplos:
1. Queremos obter informações sobre a audiência de certo programa de TV, na Grande São Paulo.
População: é o conjunto de todos os domicílios da Grande São Paulo que possuem TV.
Amostra: é o conjunto dos domicílios que serão visitados.
2. Estudar a procedência dos candidatos a uma certa universidade.
População: conjunto de todos os candidatos à referida universidade.
Amostra: conjunto dos candidatos que serão entrevistados.
3. Queremos fazer um estudo sobre a idade dos alunos do curso de Publicidade e Propaganda 
de uma determinada universidade.
População: todos os alunos do curso de Publicidade e Propaganda.
Amostra: uma classe do primeiro ano do curso de Publicidade e Propaganda.
Quando são obtidos dados de toda uma população, dizemos que foi feito um recenseamento, e a 
este conjunto de dados damos o nome de censo.
Quando os dados são obtidos de parte da população, foi feita uma amostragem.
A Escolha da Amostra
 
Os métodos de escolha da amostra devem garantir a representatividade do grupo. É necessário 
escolher, no mínimo, 10% do número total dos elementos da população e garantir, por meio de um cri-
tério de seleção, que nenhum elemento tenha maior chance de ser escolhido do que outro. Desse modo, 
podemos recorrer a diferentes formas de amostragem: amostragem aleatória simples, amostragem 
sistemática e amostragem estratificada proporcional.
Vejamos o procedimento por meio de dois exemplos.
1.3 População e Amostra
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Exemplo 1: 
Suponhamos uma pesquisa sobre o nível de escolaridade de um grupo de 800 pessoas. Vamos es-
colher uma amostra com, no mínimo, 80 pessoas (10% de 800) selecionadas por meio de:
a) Amostragem Aleatória Simples: em primeiro lugar, elaboramos uma lista com os 800 nomes 
dos elementos da população, numerados de 1 a 800, para serem submetidos a um sorteio. Bo-
las ou cartões, também numerados de 1 a 800, são colocados em uma urna e bem misturados. 
Em cada etapa do sorteio, todo número ainda não escolhido tem a mesma probabilidade de 
ser sorteado. Esse processo não é muito prático para grandes populações, quando podemos, 
então, trabalhar com uma numeração de 0 a 9, sorteando os números por meio de blocos de 
três algarismos e tomando o cuidado de repor na urna todo algarismo dela retirado. Como 
temos dez algarismos, cada um deles tem de probabilidade de aparecer em determinada 
posição. Sempre que um bloco de algarismos indicar um elemento já selecionado, ou um ele-
mento que não exista na população será descartado.
Suponhamos que os seguintes algarismos foram obtidos no sorteio:
2 4 3 5 6 4 7 2 0 0 3 5 8 1 1 0 0 5 
1 9 8 6 4 3 5 2 4 7 8 9 7 7 6 5 4 2
2 3 0 1 2 1 1 6 7 8 9 1 0 3 4 5 6 7
2 2 8 8 1 9 0 0 6 0 7 2 1 0 5 6 4 3
Agrupando-os em blocos de três, teremos os números:
243 564 720 035 811 005 198 643 524 789 776 542 230
121 167 891 034 567 228 819 006 072 105 643. 
Observem que devemos descartar 811, 891 e 819, porque não pertencem à população, e 643, 
porque já foi selecionado.
Continuamos o sorteio até completarmos os 80 elementos da amostra.
b) Amostragem Sistemática: sorteamos um número de 1 a 10, ao acaso. Supondo que tenha sido 
obtido o número 6, ele será o primeiro elemento da amostra, e os demais serão determinados 
em intervalos de dez unidades. Nossa amostra, então, será:
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 . . . 796
Esse tipo de amostragem é simples de ser realizado, e é aconselhável no caso de amostras muito 
grandes.
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Exemplo 2:
Na escola Sapequinha, deseja-se fazer um estudo sobre o peso dos alunos de 7 anos de idade. 
Existem 120 crianças na faixa de 7 anos distribuídas em cinco classes, do seguinte modo: a primeira série 
A tem 20 alunos com 7 anos, a primeira B tem 15, a C tem 35, a D, 30, e a E tem 20. Vamos escolher uma 
amostra com, no mínimo, 12 crianças (10% de 120), selecionadas por meio de:
c) Amostragem Estratificada Proporcional: sorteamos os nomes das crianças em quantidades 
proporcionais ao número de crianças com 7 anos de cada classe, que constituem os estratos da 
amostra. Vamos, agora, determinar a porcentagem de crianças com 7 anos em cada classe em 
relação à população (120 crianças).
A: 
B: 
De modo análogo, determinamos as porcentagens para as classes C, D e E, obtendo:
C: c = 29,2%
D: d = 25%
E: e = 16,7%
Para calcularmos quantas crianças de cada classe serão sorteadas para uma amostra de 12 crianças, 
fazemos:
A: 16,7% de 12 = 
B: 12,5% de 12 = 0,125 . 12 = 1,5 = 2
C: 29,2% de 12 = 0,292 .12 = 3,504 = 3 (neste caso, arredondamos para 3 em vez de 4 porque o 
total de crianças da amostra é 12)
D: 25% de 12 = 0,25 . 12 = 3
E: 16,7% de 12 = 0,167 . 12 = 2,004 = 2
Desse modo, obtivemos a quantidade de elementos de cada estrato e o total da amostra.
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Neste capítulo, você teve a oportunidade de conhecer os critérios de arredondamento do IBGE. 
Esse tipo de tratamento da informação ajuda a simplificar a informação matemática dada em forma de 
números sem perder, contudo, o rigor do levantamento de dados prévios realizado anteriormente à ta-
bulação dos dados. 
Aprendeu, também, a identificar a diferença entre taxas, índices e coeficientes, aprimorando a leitu-
ra de dados estatísticos numéricos e aperfeiçoando a análise e a construção de dados pautados por refe-
rências e informações combinadas entre si. Viu, também, como uma amostra pode ser definida em uma 
pesquisa ou um levantamento estatístico e conheceu alguns termos utilizados na linguagem estatística, 
como é o caso da palavra “população”. 
Caro(a) aluno(a), se você desejar conhecer uma publicação interessante sobre noções básicas da Estatística, o se-
guinte livro poderá auxiliá-lo(a):
VIEIRA, Sonia. Estatística básica. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
Trata-se de uma obra indicada como leitura complementar e está alinhada com os objetivos de nossa disciplina.
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1.4 Resumo do Capítulo
1.5 Atividades Propostas1
1 Exercícios retirados de Crespo, Estatística Fácil, 1998.
 Exercícios retirados de Martins e Donaire, Princípios de Estatística, 1979.
 Exercícios retirados de Nazareth, Curso Básico de Estatística, 1991.
 Exercícios retirados de Oliveira, Estatística Aplicada à Educação, 1982.
1. Arredonde cada um dos numerais abaixo conforme a precisão pedida:
a) para o décimo mais próximo:
 23,40 234,7832 45,09
 48,85002 78,85 12,35
 120,4500 129,98 199,97
b) para o centésimo mais próximo:
 46,727 28,255 299,951
 253,65 123,842 37,485
 
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c) para a unidade mais próxima:
 26,6 128,5 68,2
 67,5 49,98 39,49
 
d) para a dezena mais próxima:
 42,3 59 446,4
 265,31 265,0 265
 295 302,7 2995,000
2. Seja a seguinte série ou tabela:
Tabela 12 – Matrículas nas escolas das cidades “A” E “B”.
CATEGORIAS
Nº DE ALUNOS
CIDADE “A” CIDADE “B”
1º grau 19.286 38.660
2º grau 1.681 3.399
3º grau 234 424
Total 21.201 42.483
Dados Fictícios
Qual das cidades tem, comparativamente, o maior número de alunos em cada grau?
3. Uma escola registrou em março, na 1ª série, a matrícula de 40 alunos, e a matrícula efetiva, em 
dezembro, de 35 alunos. Calcule a taxa de evasão.
4. Calcule a taxa de aprovação de um professor de uma classe de 45 alunos sabendo que obtive-
ram aprovação 36 alunos.
5. São Paulo tinha, em 1992, uma população de 32182,7 mil habitantes. Sabendo que sua área 
terrestre é de 248256 km2, calcule a sua densidade demográfica.
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6. Um professor preencheu um quadro, enviado pela D.E., com os seguintes dados:
Tabela 13
Sé
ri
e 
e
Tu
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a
N
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A
lu
no
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ra
do
s
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ão
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cu
pe
ra
do
s Total Geral
Pr
om
ov
id
os
Re
ti
do
s
1º B 49 44 35 03 06 05 01 40 04
1º C 49 42 42 00 00 00 00 42 00
1º E 47 35 27 00 08 03 05 30 05
1º F 47 40 33 06 01 00 01 33 07
Total 192 161 137 09 15 08 07 145 16
Calcule:
a) a taxa de evasão, por classe;
b) a taxa de evasão total;
c) a taxa de aprovação, por classe;
d) a taxa de aprovação geral;
e) a taxa de recuperação, por classe;
f ) a taxa de recuperação geral;
g) a taxa de reprovação na recuperação geral;
h) a taxa de aprovação, sem a recuperação;
i) a taxa de retidos, sem a recuperação
7. Acompanhe a evolução da produção da empresa A, utilizando porcentagens:
a) considerando como base o ano de 2000;
b) considerando como base o ano anterior.
Tabela 14 – Produção empresa “a” – 2000/2006.
Anos 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Prod. 40.046 42.549 42.834 44.629 38.065 40.127 46.316
8. Na Escola São Leopoldo, para estudar a preferência em relação a refrigerantes, sortearam-se 
150 estudantes entre os 1.000 matriculados. Responda:
a) Qual é a população envolvida na pesquisa?
b) Que tipo de amostragem foi utilizado e qual é a amostra considerada?
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9. A população envolvida em uma pesquisa sobre a incidência de cárie dentária em escolas da 
cidade de Morro Grande é apresentada na Tabela 15:
Tabela 15
Escola População
A 500
B 250
C 440
D 360
Total 1.550
Baseando-se nesses dados, estratifique uma amostra com 200 elementos.
10. Em uma cidade com 30.000 habitantes, deseja-se fazer uma pesquisa sobre a preferência por 
tipo de lazer entre pessoas de 20 anos de idade, levando em conta o sexo a que pertencem.
a) Qual a população envolvida na pesquisa?
b) Supondo que na cidade haja 5.500 mulheres e 6.000 homens com 20 anos, determine 
uma amostra com 1.200 pessoas.
11. Dadas as tabelas a seguir, calcule os Coeficientes de Repetência (CR) e as Taxas de Repetência 
(TR) correspondentes à 4ª série do Ensino Fundamental, em relação às cinco Regiões do Brasil, 
dizendo qual delas apresentou a menor Taxa de Repetência.
Tabela 16
Regiões do Brasil Matrículas no Ensino Fundamental – 4ª série
Norte 406.247
Nordeste 1.295.231
Sudeste 1.519.232
Sul 516.909
Centro-Oeste 283.056
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
Tabela 17
Regiões do Brasil Alunos Reprovados no Ensino Fundamental – 4ª série
Norte 47.230
Nordeste 179.131
Sudeste 131.242
Sul 46.353
Centro-Oeste 22.811
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
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12. Dadas as tabelas abaixo, calcule os Coeficientes de Evasão (CE) e as Taxas de Evasão (TE) cor-
respondentes à 4ª série do Ensino Fundamental, em relação as cinco Regiões do Brasil, dizendo 
qual delas apresentou a maior Taxa de Evasão.
Tabela 18
Regiões do Brasil Matrículas no Ensino Fundamental – 4ª série (30/03/2005)
Norte 415.146
Nordeste 1.366.487
Sudeste 1.550.349
Sul 529.778
Centro-Oeste 284.640
Fonte: MEC/INEP – censo de 2005.
Tabela 19
Regiões do Brasil Matrículas no Ensino Fundamental – 4ª série (final de 2005)
Norte 381.617
Nordeste 1.256.065
Sudeste 1.525.785
Sul 525.160
Centro-Oeste 274.315
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
13. Dada a tabela a seguir, calcule os Coeficientes e as Taxas de Escolarização correspondentes a 
uma população escolarizável, na faixa de 7 a 14 anos, em relação às cinco Regiões do Brasil, 
dizendo qual delas apresenta o maior Déficit Escolar e qual é esse Déficit em porcentagem.
Tabela 20
Regiões do Brasil População escolarizada (M) População escolarizável (Pesc)
Norte 2.635.291 2753.700
Nordeste 8.224.317 8.522.608
Sudeste 10.510.205 10.702.856
Sul 3.720.531 3.800.338
Centro-Oeste 1.972.912 2.021.426
Fonte: MEC/INEP – censo de 2005; IBGE – censo 2005.
14. Dada a tabela abaixo, calcule os Coeficientes de Produtividade Anual (CPA) e as Taxas de Pro-
dutividade Anual (TPA) correspondentes à 4ª série do Ensino Fundamental, em relação às cinco 
Regiões do Brasil, dizendo qual delas apresentou, respectivamente, a menor e a maior Taxa de 
Produtividade Anual.
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Tabela 21
Regiões do Brasil
Matrículas 4ª série - Fundamental 
 final de 2005
Aprovados (2005)
Norte 381.617 329.919
Nordeste 1.256.065 1.053.352
Sudeste 1.525.785 1.375.949
Sul 525.160 472.461
Centro-Oeste 274.315 245.647
Fonte: MEC/INEP – censo de 2006.
15. Dada a tabelaabaixo, calcule os Coeficientes de Produtividade Curricular (CPC) e as Taxas de 
Produtividade Curricular (TPC) correspondentes ao Ensino Fundamental (8 anos), em relação 
às cinco Regiões do Brasil, dizendo qual delas apresentou, respectivamente, a menor e a maior 
Taxa de Produtividade Curricular.
Tabela 22
Regiões do Brasil
Matrículas 1ª série - Fundamental 
25/03/98
Aprovados 8ª série 
2005
Norte 913.179 181.459
Nordeste 3.327.772 711.389
Sudeste 1.750.473 1.074.838
Sul 661.243 355.971
Centro-Oeste 427.075 196.896
Fonte: MEC/INEP – censo de 1998; MEC/INEP – censo de 2006.
16. Dada a tabela abaixo, calcule os seguintes números relativos:
a) coeficiente de produtividade;
b) índice de densidade aluno/professor;
c) índice de densidade aluno/sala de aula;
d) índice de densidade aluno/unidade.
Tabela 23
Municípios
A B C
Matrículas 60.000 6.000 8.000
Professores 1.200 100 200
Aprovação 36.000 2.500 4.800
Unidades 300 60 40
Salas-aula 1.000 75 170
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Caro(a) aluno(a), com base em um conjunto de dados, vamos estudar como devemos “tratar” os 
valores, numéricos ou não, a fim de extrair informações a respeito de uma ou mais características de 
interesse.
Suponhamos, por exemplo, que um questionário foi aplicado a alunos do 1º ano de uma escola 
fornecendo as seguintes informações:
Id: identificação do aluno
Turma: A ou B
Sexo: feminino (F) ou masculino (M)
Idade: em anos
Alt: em metros
Peso: em quilogramas
Filhos: nº de filhos na família
Fuma: hábito de fumar: sim (S) ou não (N)
Toler: tolerância ao cigarro: (I) indiferente; (P) incomoda pouco; (M) incomoda muito
Exercícios: horas de atividade física, por semana
Cine: nº de vezes que vai ao cinema por semana
Op Cine: opinião a respeito das salas de cinema na cidade: (B) regular a boa; (M) muito boa
TV: horas gastas assistindo à TV, por semana
Op TV: opinião a respeito da qualidade da programação na TV: (R) ruim; (M) média; (B) boa; (N) não sabe.
O conjunto de informações após a tabulação do questionário ou pesquisa de campo é denominado 
tabela de dados brutos, e contém os dados da maneira que foram coletados inicialmente (Tabela 24).
Cada uma das características perguntadas aos alunos, tais como o peso, a idade, a altura etc., é de-
nominada variável, e, como podemos observar, tem naturezas diferentes quanto aos possíveis valores 
que pode assumir.
ORGANIZAÇÃO DE DADOS2 
2.1 Tipos de Variável
Existem dois tipos de variável: quantitativas (variáveis numéricas) e qualitativas (variáveis não 
numéricas).
 
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Variáveis Qualitativas 
Seus valores representam uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado.
Exemplos: 
sexo, turma, estado civil, grau de instrução, hábito de fumar etc. 
Dentre as variáveis qualitativas ainda existem dois tipos:
Variável Qualitativa Nominal 
Não existe ordenação em seus possíveis resultados.
Exemplos: 
sexo, turma, hábito de fumar.
Variável Qualitativa Ordinal
Existe uma certa ordem em seus possíveis resultados.
Exemplos:
tamanho (P, M, G); classe social (baixa, média, alta); grau de instrução (1º grau, 2º grau, grau supe-
rior); estado civil.
Variáveis Quantitativas
Seus valores são numéricos resultantes de uma contagem ou mensuração.
Exemplos:
número de filhos, salário, peso, altura etc.
Dentre as variáveis quantitativas ainda existem dois tipos:
Variáveis Quantitativas Discretas 
Seus possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números que resultam fre-
quentemente de uma contagem.
Exemplos:
número de filhos, idade (em anos), cine (número de vezes que vai ao cinema por semana).
Variáveis Quantitativas Contínuas
Seus possíveis valores formam um intervalo de números reais que resultam normalmente de uma 
mensuração.
Exemplos:
peso, altura, salário.
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ESQUEMA
 Figura 1 – Classificação de variáveis.
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Tabela 24 – Informações de questionário estudantil – dados brutos.
Id Turma Sexo Idade Altura Peso Filho Fuma Toler Exerc Cine OpCine TV OpTV
1 A F 17 1,60 60,5 2 Não P 0 1 B 16 R
2 A F 18 1,69 55,0 1 Não M 0 1 B 7 R
3 A M 18 1,85 72,8 2 Não P 5 2 M 15 R
4 A M 25 1,85 80,9 2 Não P 5 2 B 20 R
5 A F 19 1,58 55,0 1 Não M 2 2 B 5 R
6 A M 19 1,76 60,0 3 Não M 2 1 B 2 R
7 A F 20 1,60 58,0 1 Não P 3 1 B 7 R
8 A F 18 1,64 47,0 1 Sim I 2 2 M 10 R
9 A F 18 1,62 57,8 3 Não M 3 3 M 12 R
10 A F 17 1,64 58,0 2 Não M 2 2 M 10 R
11 A F 18 1,72 70,0 1 Sim I 10 2 B 8 N
12 A F 18 1,66 54,0 3 Não M 0 2 B 0 R
13 A F 21 1,70 58,0 2 Não M 6 1 M 30 R
14 A M 19 1,78 68,5 1 Sim I 5 1 M 2 N
15 A F 18 1,65 63,5 1 Não I 4 1 B 10 R
16 A F 19 1,63 47,4 3 Não P 0 1 B 18 R
17 A F 17 1,82 66,0 1 Não P 3 1 B 10 N
18 A M 18 1,80 85,2 2 Não P 3 4 B 10 R
19 A F 20 1,60 54,5 1 Não P 3 2 B 5 R
20 A F 18 1,68 52,5 3 Não M 7 2 B 14 M
21 A F 21 1,70 60,0 2 Não P 8 2 B 5 R
22 A F 18 1,65 58,5 1 Não M 0 3 B 5 R
23 A F 18 1,57 49,2 1 Sim I 5 4 B 10 R
24 A F 20 1,55 48,0 1 Sim I 0 1 M 28 R
25 A F 20 1,69 51,6 2 Não P 8 5 M 4 N
26 A F 19 1,54 57,0 2 Não I 6 2 B 5 R
27 B F 23 1,62 63,0 2 Não M 8 2 M 5 R
28 B F 18 1,62 52,0 1 Não P 1 1 M 10 R
29 B F 18 1,57 49,0 2 Não P 3 1 B 12 R
30 B F 25 1,65 59,0 4 Não M 1 2 M 2 R
31 B F 18 1,61 52,0 1 Não P 2 2 M 6 N
32 B M 17 1,71 73,0 1 Não P 1 1 B 20 R
33 B F 17 1,65 56,0 3 Não M 2 1 B 14 R
34 B F 17 1,67 58,0 1 Não M 4 2 B 10 R
35 B M 18 1,73 87,0 1 Não M 7 1 B 25 B
36 B F 18 1,60 47,0 1 Não P 5 1 M 14 R
37 B M 17 1,70 95,0 1 Não P 10 2 M 12 N
38 B M 21 1,85 84,0 1 Sim I 6 4 B 10 R
39 B F 18 1,70 60,0 1 Não P 5 2 B 12 R
40 B M 18 1,73 73,0 1 Não M 4 1 B 2 R
41 B F 17 1,70 55,0 1 Não I 5 4 B 10 B
42 B F 23 1,45 44,0 2 Não M 2 2 B 25 R
43 B M 24 1,76 75,0 2 Não I 7 0 M 14 N
44 B F 18 1,68 55,0 1 Não P 5 1 B 8 R
45 B F 18 1,55 49,0 1 Não M 0 1 M 10 R
46 B F 19 1,70 50,0 7 Não M 0 1 B 8 R
47 B F 19 1,55 54,5 2 Não M 4 3 B 3 R
48 B F 18 1,60 50,0 1 Não P 2 1 B 5 R
49 B M 17 1,80 71,0 1 Não P 7 0 M 14 R
50 B M 18 1,83 86,0 1 Não P 7 0 M 20 B
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2.2 Distribuição de Frequências
A partir da tabela de dados brutos (Tabela 24), vamos construir uma nova tabela com as informa-
ções resumidas para cada variável, denominada tabela de frequência, que conterá os valores da variá-
vel e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou, simplesmente, 
frequências.
No caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de frequência consiste em lis-
tar os valores possíveis da variável, numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos do 
número de suas ocorrências.
Notação: 
Para efeito de comparação com outros grupos ou conjuntos de dados, é conveniente trabalharmos 
com a frequência relativa, definida por .
Exemplos:
Tabela de Frequência para a Variável Sexo (extraída da Tabela 24):
Sexo: variável qualitativa nominal
 Tabela 25 – Variável Sexo.
Sexo (%)
F 37 0,74 74
M 13 0,26 26
Total n=50 1,00 100
Note que, para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quanti-
tativas em geral), incluímos na tabela de frequência uma coluna contendo as frequências acumuladas 
(fac) (quando o número de valores i for maior do que 2). A frequência acumulada até um certo valor é 
obtida pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considera-
do.
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Tabela de Frequência para a Variável Toler (extraída da Tabela 24):
Toler: variável qualitativa ordinal
Tabela 26 – Toler - Variável qualitativa ordinal.
Toler fac (%) fac (%)
I 10 10 0,20 20 20
P 21 31 0,42 42 62
M 19 50 0,38 38 100
Total n = 50 1,00 100
 Tabela de Frequência para a VariávelIdade (extraída da Tabela 24):
Tabela 27 – Variável Idade.
Idade fac fac (%)
17 9 9 0,18 18 18
18 22 31 0,44 44 62
19 7 38 0,14 14 76
20 4 42 0,08 8 84
21 3 45 0,06 6 90
22 0 45 0,00 0 90
23 2 47 0,04 4 94
24 1 48 0,02 2 96
25 2 50 0,04 4 100
Total n = 50 1,00 100
Observe, pela fac, que 90% dos alunos têm idades até 21 anos.
A variável Peso, classificada como quantitativa contínua, apresenta valores que podem ser qual-
quer número real em um certo intervalo.
Pela Tabela 24, verificamos que os valores variam entre 44,0 kg e 95,0 kg, e, como existe um grande 
número de valores diferentes, vamos construir faixas ou classes de valores e contar o número de ocor-
rências em cada faixa.
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Não existe uma regra formal para determinar o número de faixas ou classes a serem utilizadas. 
Entretanto, deve-se observar que, com um pequeno número de classes, perde-se informação, e, com 
um número grande de classes, o objetivo de resumir os dados fica prejudicado. No geral, é conveniente 
trabalharmos com 5 a 8 faixas de mesma amplitude, devendo ressaltar que faixas de tamanho desigual 
podem ser convenientes para representar valores nas extremidades da tabela.
Para a variável Peso, usaremos faixas de amplitude 10 e iniciaremos com 40,0 kg.
Tabela de Frequência para a Variável Peso (extraída da Tabela 24):
Tabela 28 – Variável Peso.
Peso fac fac (%) Ponto Médio
40,0 ├─ 50,0 8 8 0,16 16 16 45,0
50,0 ├─ 60,0 22 30 0,44 44 60 55,0
60,0 ├─ 70,0 8 38 0,16 16 76 65,0
70,0 ├─ 80,0 6 44 0,12 12 88 75,0
80,0 ├─ 90,0 5 49 0,10 10 98 85,0
90,0 ├─ 100,0 1 50 0,02 2 100 95,0
Total n = 50 1,00 100
Peso: variável quantitativa contínua
Observe, pela fac, que 76% dos alunos pesam menos de 70,0 kg, e 100 – 88 = 12% têm peso maior 
ou igual a 80,0 kg.
Na Tabela 28 temos 6 faixas, ou classes ou intervalos. Consideremos, por exemplo, a 1ª classe ou 
intervalo: 40,0 ├─ 50,0, onde temos:
Limite inferior (li): 40,0 Ponto Médio (PM) = ( )
Limite superior (ls): 50,0 
Amplitude ou tamanho do intervalo (h): h = ls – li; (h = 50,0 – 40,0 = 10,0)
O símbolo ├─ : indica que o intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita (40,0 faz parte dessa 
classe, mas 50,0 não; 50,0 está na 2ª classe).
Na Tabela 24, a variável TV (quantitativa discreta) tem valores inteiros entre 0 e 30, e uma tabela re-
presentando tais valores e respectivas frequências seria muito extensa e pouco prática. Por esse motivo, 
trataremos essa variável como quantitativa contínua, criando, por exemplo, faixas de amplitude 6 para 
representar seus valores.
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Tabela de Frequência para a Variável TV (extraída da Tabela 24):
Tabela 29 – Variável TV.
TV fac fac (%)
0 ├─ 6 14 14 0,28 28 28
6 ├─ 12 17 31 0,34 34 62
12 ├─ 18 11 42 0,22 22 84
18 ├─ 24 4 46 0,08 8 92
24 ├─┤30 4 50 0,08 8 100
Total n = 50 1,00 100
 
TV: variável quantitativa discreta que foi “tratada” como contínua
Observe que, na última classe, o intervalo é fechado à esquerda e à direita, incluindo, portanto, o 
valor 30, e não tendo, assim, que abrir mais uma classe por causa de um único valor. 
Outra sugestão seria usar uma amplitude maior nessa última classe, como, por exemplo, 24 ├─ 36, 
que inclui o valor 30.
2.2 Resumo do Capítulo
Neste capítulo, você teve a oportunidade de conhecer a forma como as informações são organiza-
das. As variáveis são divididas em quantitativas e qualitativas. Dentre as variáveis quantitativas podemos 
temos as grandezas discretas e contínuas. Dentre as variáveis qualitativas temos aquelas que podem ser 
ordenadas por algum critério, as chamadas variáveis qualitativas ordinais, e aquelas que não podem ser 
ordenadas, as chamadas variáveis qualitativas ordinais. Você viu, também, como organizar as informa-
ções em uma tabela de frequências.
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Adapta-se muito bem às variáveis qualitativas, mas também pode ser usado para as variáveis quan-
titativas discretas.
Fazendo uso do computador para o traçado do gráfico, basta conhecer as porcentagens de cada 
valor da variável. Se, ao contrário, formos traçar o gráfico com o auxílio de compasso e transferidor, preci-
saremos determinar a medida, em graus, de cada setor correspondente aos valores da variável, lembran-
do que o disco todo mede 360°.
Exemplo: Gráfico de Setores para a variável Toler (Tabela 26).
 I: 20% P: 42% M: 38%
Procedemos de maneira análoga para os valores de P e M.
3.1 Gráfico de Setores, Disco ou Pizza, ou Diagrama Circular
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS3 
A organização dos dados em tabelas de frequência proporciona um meio eficaz de estudo do com-
portamento de características de interesse.
Muitas vezes, a informação contida nas tabelas pode ser mais facilmente visualizada por meio de 
gráficos. Vamos definir quatro tipos básicos de gráficos: setores ou pizza, colunas ou barras, histogra-
ma e polígono de frequências.
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Gráfico 1– Setores.
Gráfico de Setores: Variável Toler
M
38%
P
42%
I
20%
Adapta-se melhor às variáveis discretas ou qualitativas ordinais.
Utiliza o plano cartesiano com os valores da variável no eixo das abscissas e as frequências ou por-
centagens no eixo das ordenadas.
Exemplo: Gráfico de Colunas para a variável Idade (Tabela 27)
Gráfico 2 – Colunas.
Gráfico de Colunas: Variável 
Idade
9
22
7 4 3 0 2 1 20
10
20
30
Idade
ni
3.2 Gráfico de Colunas ou Barras
3.3 Histograma
É utilizado para variáveis quantitativas contínuas.
Consiste em retângulos contíguos ou adjacentes em que a base, colocada no eixo das abscissas, 
corresponde aos intervalos das classes, e a altura, colocada no eixo das ordenadas, é dada pela frequên-
cia absoluta ou relativa das classes.
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Observação: a área de um histograma é proporcional à soma das frequências absolutas. No caso 
de trabalharmos com as frequências relativas, a área será igual à constante de proporcionalidade.
Exemplo: Histograma para a variável Peso (Tabela 28)
Gráfico 3 – Histograma.
 
Histograma: Variável Peso
22
8
5
1
8
6
0
5
10
15
20
25
Peso
ni
 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0
É também utilizado para variáveis quantitativas contínuas.
Para construir o polígono de frequências, admitem-se como representantes de cada classe os pon-
tos médios de cada intervalo que as definem. Após obter os pontos (ponto médio, frequência correspon-
dente) em relação a cada intervalo, estes são ligados entre si por meio de segmentos de retas, sendo que 
o primeiro e o último deles são ligados ao eixo das abscissas, na metade de classes hipotéticas, imediata-
mente anterior à primeira e posterior à última.
Gráfico 4 – Polígono de Frequências.
3.4 Polígono de Frequências
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42
É também utilizada para variáveis quantitativas contínuas.
Para a sua construção consideramos os pontos cujas coordenadas são limite superior de cada inter-
valo de classe, frequência acumulada correspondente a cada intervalo de classe. Ligando-se os pontos 
assim obtidos, construímos a Ogiva de Galton.
Vejam o exemplo para a variável Peso.
Gráfico 5 – Ogiva de Galton.
 
Ogiva de Galton - Variável Peso
(100, 50)(90, 49)
(80, 44)
(70, 38)
(60, 30)
(50, 8)
0
10
20
30
40
50
60
50 60 70 80 90 100
Peso
fac
3.5 Ogiva de Galton
3.6 Resumo do Capítulo
Querido(a) aluno(a), neste capítulo, você teve a oportunidade de entender como as informações 
estatísticas são organizadas graficamente. Percebeu que existem vários tipos de gráficos, entre eles: grá-
ficos de setores, gráficos de colunas, histograma, polígono de frequência e ogiva de Galton. O objetivo 
deste capítulo é auxiliá-loa interpretar informações sintetizadas de forma gráfica.
Saiba maisSaiba mais
Lembre-se que a informação contida nas tabelas pode ser mais facilmente visualizada por meio de gráficos. É importante 
que você conheça os quatro tipos básicos de gráficos: setores ou pizza, colunas ou barras, histograma e polígono de 
frequências.
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1. Em uma fábrica, foram testadas 400 lâmpadas; a duração delas aparece na distribuição por 
frequência da Tabela 30:
Tabela 30
Duração (em horas) Número de lâmpadas
300 ├─ 400 14
400 ├─ 500 46
500 ├─ 600 58
600 ├─ 700 76
700 ├─ 800 68
800 ├─ 900 62
900 ├─ 1.000 48
1.000 ├─ 1.100 22
1.100 ├─ 1.200 6
Total 400
a) Complete a tabela dada com as demais colunas que você conhece.
b) Qual a amplitude de cada classe?
c) Qual o limite inferior da 3ª classe?
d) Qual o limite superior da 8ª classe?
e) Qual o ponto médio da 5ª classe?
f ) Qual a frequência relativa da 6ª classe?
g) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade máxima de 500 horas?
h) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade de 900 horas ou mais?
2. Com relação às variáveis: Turma, Alt, Filhos, Fuma, Exerc, Cine, Op Cine, Op TV, da Tabela 24
a) Classifique essas variáveis.
b) Faça a distribuição de frequência para cada uma delas. 
c) A variável Exerc poderia ser tratada de forma diferente com relação à sua classificação? Justi-
fique sua resposta e, em caso afirmativo, construa a nova distribuição de frequência.
d) Construa os gráficos que melhor se adaptam a cada uma das variáveis acima.
3. Quinze pacientes de uma clínica de ortopedia foram entrevistados quanto ao número de me-
ses previstos de fisioterapia, se haverá (S) ou não (N) sequelas após o tratamento e o grau de 
complexidade da cirurgia realizada: alto (A), médio (M) ou baixo (B). Os dados são apresentados 
na Tabela 31: 
2 Exercícios retirados de Nazareth, Curso Básico de Estatística, 1991.
 Exercícios retirados de Magalhães e Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 2004.
 Exercícios retirados de Azevedo e Campos, Estatística Básica, 1986.
3.7 Atividades Propostas2
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Tabela 31
Pacientes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Fisioterapia 7 8 5 6 4 5 7 7 6 8 6 5 5 4 5
Sequelas S S N N N S S N N S S N S N N
Cirurgia A M A M M B A M B M B B M M A
a) Classifique cada uma das variáveis.
b) Para cada variável, construa a tabela de frequência e faça uma representação gráfica.
c) Para o grupo de pacientes que não ficaram com sequelas, faça um gráfico de barras para a 
variável Fisioterapia. Você acha que essa variável se comporta de modo diferente nesse grupo?
4. Os dados da Tabela 32 referem-se ao salário (em salários mínimos) de 20 funcionários admi-
nistrativos em uma indústria.
Tabela 32
10,1 7,3 8,5 5,0 4,2 3,1 2,2 9,0 9,4 6,1
3,3 10,7 1,5 8,2 10,0 4,7 3,5 6,5 8,9 6,1
a) Construa uma tabela de frequência agrupando os dados em intervalos de amplitude 2 a 
partir de 1.
b) Construa o histograma, o polígono de frequência e a ogiva de Galton.
5. Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um teste de matemática resultando 
em:
Tabela 33
Nota Frequência
0 ├─ 2 14
2 ├─ 4 28
4 ├─ 6 27
6 ├─ 8 11
8├─ 10 4
a) Construa o histograma, o polígono de frequência e a ogiva de Galton.
b) Se a nota mínima para aprovação é 5, qual será a porcentagem de aprovação?
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6. Seja a distribuição de notas apresentada na Tabela 34:
Tabela 34
Notas ni
0 ├─ 10 2
10├─ 20 8
20├─ 30 10
30├─ 40 25
40├─ 50 50
50├─ 60 84
60├─ 70 55
70├─ 80 20
80├─ 90 8
90├─ 100 18
Total 280
a) Qual a classe de notas do 140º? E do 100º?
b) Quantos alunos obtiveram notas de 20 |--- 90? E de 0 |--- 50?
c) Qual a porcentagem dos alunos com notas de 0 |--- 50? E de 30 |--- 70?
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Nosso interesse é caracterizar o conjunto de dados por meio de medidas que resumam a infor-
mação, como, por exemplo, representando a tendência central dos dados ou a maneira pela qual esses 
dados estão dispersos.
MEDIDAS4 
Se estivermos em uma parada de ônibus e nos pedirem alguma informação sobre a demora em 
passar um determinado ônibus, ninguém imagina que poderíamos dar como resposta uma tabela de 
frequências que coletamos no último mês. Quem perguntou deseja uma resposta breve e rápida que sin-
tetize a informação de que dispomos, e não uma completa descrição dos dados. É para isso que servem 
as medidas de posição.
Medidas de Posição para um Conjunto de Dados
Seja uma variável X com observações representadas por .
Média Aritmética ou Simplesmente Média ( )
É a soma dos valores da variável dividida pelo número total de observações.
 (dados não agrupados); (dados agrupados)
Exemplo:
 Calcular a média aritmética dos valores: 9, 12, 8, 6, 14, 11, 5
4.1 Medidas de Posição
Saiba maisSaiba mais
As medidas de posição, ou medidas de tendência central, para um conjunto de dados qualquer (população ou 
amostra) são: a média, a moda, a mediana e demais separatrizes.
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Para calcularmos a média quando os dados estão agrupados em classes, representamos todos os 
valores de cada classe pelo ponto médio da classe.
Moda (mo)
É o valor da variável mais frequente da distribuição.
Exemplo:
Calcular a moda para o seguinte conjunto de dados: 65, 87, 49, 58, 65, 65, 67, 83, 87, 79, 87.
mo = 65 (aparece 3 vezes) e mo = 87 (aparece 3 vezes). Temos duas modas, portanto a distribuição 
é bimodal. Quando a distribuição não apresentar moda, será chamada de amodal; se tiver uma só moda, 
recebe o nome de unimodal, e se apresentar várias modas será multimodal.
Mediana (md)
É o valor da variável que ocupa a posição central dos dados ordenados, isto é, o valor da variável 
que é precedido e seguido pelo mesmo número de observações. 
Temos duas considerações a fazer:
a) O número de observações (n) é ímpar: a mediana será o valor da variável que ocupa a posição 
de ordem 
2
1n +
.
Exemplo:
Calcular a mediana dos valores: 9, 12, 8, 6, 14, 11, 5.
Em primeiro lugar, vamos organizar os dados em ordem crescente: 
5, 6, 8, 9, 11, 12, 14
n = 7 (ímpar) 
AtençãoAtenção
Para calcularmos a moda quando os dados estão agrupados em classes, usaremos o seguinte processo (Método de 
Czuber):
1º) Identifica-se a classe modal (a que possuir maior frequência)
2º) Aplica-se a fórmula: , onde:
 = limite inferior da classe modal
1∆ = diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior
2∆ = diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente posterior
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b) O número de observações (n) é par: não existe, portanto, um valor que ocupe o centro; con-
vencionou-se que a mediana será a média aritmética dos valores que ocupam as posições de 
ordem 1
2
ne
2
n
+ .
Exemplo: 
Calcular a mediana dos valores já ordenados: 6, 8, 9, 11, 12, 14.
n = 6 (par) oentrearitméticamédiapeladadaserámedianaa41
2
ne3
2
n
∴=+=∴
Para calcularmos a mediana quando os dados estão agrupados em classes, não levamos em consi-
deração se n é par ou ímpar e procedemos do seguinte modo:
1. Calcula-se 
2
n
 .
2. Pela frequência acumulada identifica-se a classe que contém a mediana.
3. Aplica-se a fórmula: , onde:
 = limite inferior da classe md n = nº total de elementos da amostra
fac = frequência acumulada da classe anterior à classe md
h = amplitude da classe md = frequência da classe md
Separatrizes (Se)
Para o cálculo das separatrizes, os valores da variável devem estar ordenados, como foi feito para o 
cálculo da mediana.
Uma separatriz é o valor da variável que divide o conjunto de valores em duas partes quaisquer.
A mediana é uma separatriz, pois, como já foi dito, ela divide o conjunto de valores da variável em 
duas partesiguais.
As principais separatrizes são a mediana, os quartis, os decis e os percentis (ou centis). 
Os quartis, decis e percentis são as separatrizes que dividem o conjunto de valores da variável, res-
pectivamente, em quatro, dez e cem partes iguais.
Quartis: são representados por Q1, Q2 e Q3, sendo chamados, respectivamente, primeiro, segundo 
e terceiro quartil.
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O primeiro quartil (Q1) de um conjunto de dados ordenados é o valor da variável que é precedido 
por 25% dos dados (n / 4) e seguido pelos restantes 75% (3n / 4).
O segundo quartil coincide com a mediana (Q2 = 2n / 4 = n / 2 = md), dividindo, portanto, o conjun-
to de valores da variável em duas partes iguais.
O terceiro quartil (Q3) de um conjunto de dados ordenados é o valor da variável que é precedido 
por 75% dos dados (3n / 4) e seguido pelos restantes 25% (n / 4).
Decis: são representados por D1, D2, D3, ..., D9, sendo chamados, respectivamente, primeiro, segun-
do, terceiro, ..., nono decil.
O primeiro decil (D1) de um conjunto de dados ordenados é o valor da variável que é precedido 
por 10% dos dados (n / 10) e seguido pelos restantes 90% (9n / 10).
O segundo decil (D2) de um conjunto de dados ordenados é o valor da variável que é precedido 
por 20% dos dados (2n / 10) e seguido pelos restantes 80% (8n / 10).
De maneira análoga definimos os demais decis.
Convém observar que o quinto decil também coincide com a mediana
(D5 = 5n / 10 = n / 2 = md).
Percentis: são representados por P1, P2, P3, ..., P99, sendo chamados, respectivamente, primeiro, se-
gundo, terceiro, ..., nonagésimo nono percentil.
O primeiro percentil (P1) de um conjunto de dados ordenados é o valor da variável que é precedi-
do por 1% dos dados (n / 100) e seguido pelos restantes 99% (99n / 100).
O segundo percentil (P2) de um conjunto de dados ordenados é o valor da variável que é precedi-
do por 2% dos dados (2n / 100) e seguido pelos restantes 98% (98n / 100).
Analogamente definimos os demais percentis. 
Pelas definições de quartis, decis, percentis e mediana, concluímos que:
Com exceção da mediana, as demais separatrizes serão calculadas para dados agrupados em clas-
ses, mediante aplicação da seguinte fórmula:
, onde:
Se = separatriz desejada (mediana, quartil, decil ou percentil)
liSe = limite inferior da classe que contém a separatriz
Pi = posição da separatriz
fac = frequência acumulada da classe anterior à classe que contém a separatriz
h = amplitude da classe que contém a separatriz
niSe = frequência absoluta da classe que contém a separatriz
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Para determinarmos a posição da separatriz (Pi), devemos considerar:
1. Se for genericamente um quartil de ordem i, vem: conforme se tratar, 
respectivamente, do primeiro, segundo ou terceiro quartil.
2. Se for genericamente um decil de ordem i, vem: conforme se tratar, 
respectivamente, do primeiro, segundo, terceiro, ..., nono decil.
3. Se for genericamente um percentil de ordem i, vem: conforme se 
tratar, respectivamente, do primeiro, segundo, terceiro, ..., nonagésimo nono percentil.
4. Se for a mediana, ,
2
nPi = não importando se n é par ou ímpar, como já foi visto.
Após determinarmos a posição da separatriz, identificamos a classe que contém a separatriz pela 
frequência acumulada e aplicamos a fórmula para o cálculo da separatriz.
Ao índice de um percentil damos o nome de Ordem Percentílica (OP). Esse número indica o percen-
tual de elementos de uma série ordenada de modo crescente, que é inferior à separatriz correspondente.
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Exemplos:
1. Calcule média, mediana e moda para a variável Idade. (Tabela 35) (Ver Tabela 27):
Tabela 35
Idade ( ix ) in fac ii xn ⋅
17 9 9 153
18 22 31 396
19 7 38 133
20 4 42 80
21 3 45 63
22 0 45 0
23 2 47 46
24 1 48 24
25 2 50 50
Total n = 50 ∑ =⋅ 945)xn( ii
 (média)
n = 50 é par, portanto, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais 
. 
Pela fac observamos que o valor da frequência acumulada até 18 é igual a 31, e, portanto, o 
25º elemento é igual ao 26º elemento e ambos correspondem ao valor da variável igual a 18 
 (mediana) 
Para o cálculo de mo, olhamos a maior frequência (22) que corresponde à idade de 18 anos.
(moda)
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2. Calcule média, mediana e moda para a variável Peso. (Tabela 36) (Ver Tabela 28):
Tabela 36
Peso
in fac Ponto Médio )x( i ii xn ⋅
40,0 ├─ 50,0 8 8 45,0 360,0
50,0 ├─ 60,0 22 30 55,0 1210,0
60,0 ├─ 70,0 8 38 65,0 520,0
70,0 ├─ 80,0 6 44 75,0 450,0
80,0 ├─ 90,0 5 49 85,0 425,0
90,0 ├─ 100,0 1 50 95,0 95,0
Total n = 50 ∑ =⋅ )xn( ii 3060,0
 (média)
. Pela fac (30), a 2ª classe contém a mediana, isto é, o intervalo 50,0 ├─ 60,0.
 (mediana)
 (moda)
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3. Para uma distribuição de ganhos horários, encontramos: md = R$ 15,85/h; Q3 = R$ 17,25/h; 
P84 = R$ 18,17/h e D7 = R$ 16,86/h. Determinar e interpretar as ordens percentílicas dessas 
separatrizes.
md = P50 ∴ OP = 50 Q3 = P75 ∴ OP = 75 P84 ∴ OP = 84 D7 = P70 ∴ OP = 70
Interpretando esses resultados, temos que:
�� 50% dos empregados percebem salários inferiores (ou superiores) a R$ 15,85/h;
�� 75% dos empregados ganham menos de R$ 17,25/h (ou que 25% deles recebem mais que 
esse valor);
�� 84% dos empregados recebem até R$ 18,17/h (ou que apenas 16% deles recebem mais 
que essa quantia);
�� 70% dos empregados ganham até R$ 16,86/h (ou que 30% dos empregados recebem mais 
que R$ 16,86/h).
4. Dada a distribuição de pesos (Tabela 37), determine a coluna de frequência acumulada (fac) 
e calcule com aproximação de décimos:
a) a mediana e o primeiro quartil indicando as respectivas ordens percentílicas e significados;
b) a separatriz, com o respectivo significado, cuja ordem percentílica é 74;
c) o peso acima do qual temos 20% de pessoas com pesos superiores a ele;
d) a separatriz cuja ordem percentílica é 80, com o respectivo significado;
e) a ordem percentílica correspondente a 64,4 kg e o seu significado;
f ) determinar faixas de ordens percentílicas e de pesos, dividindo as pessoas em classes de 
gordos (20% dos indivíduos mais pesados), médios (55% das pessoas com pesos abaixo dos 
gordos) e magros (25% das pessoas mais magras).
Tabela 37
Pesos (kg) ni fac
60├─ 66 120 120
66├─ 72 180 300
72├─ 78 80 380
78├─ 84 40 420
84├─ 90 20 440
Total 440
a) Para determinarmos a classe que contém a mediana calculamos 220
2
440
2
n
== . Assim, a 
mediana é o peso correspondente ao 220º elemento da série ordenada, que, pela fac = 300, se 
encontra na classe 66├─ 72 (onde se situam desde o 121º elemento até o 300º). 
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Aplicando a fórmula para o cálculo da mediana, temos:
 = , cuja ordem percentílica é 50, significando 
que 50% das pessoas têm pesos inferiores (ou superiores) a 69,3 kg.
Para determinarmos a classe que contém o primeiro quartil, fazemos: 
Q1: Pi = i . Assim, o primeiro quartil é o peso correspondente ao 110º elemento da 
série ordenada, que, pela fac = 120, se encontra na classe 60├─ 66 (onde se situam desde o 1º elemento 
até o 120º).
Aplicando a fórmula geral para o cálculo de uma separatriz, vem: 
, cuja ordem percentílica é 25, significando 
que 25% das pessoas pesam até 65,5 kg (ou o que é o mesmo que 75% das pessoas têm peso 
superior a 65,5 kg).
b) 
100
n.iPi =
= 380, a classe que contém o septuagésimo quarto per-
centil é: 72├─ 78. Aplicando a fórmula geral para o cálculo de uma separatriz, vem:
, o que significa que 74% das pessoas pesam menos que 
73,9 kg.
c) O peso acima do qual temos 20% de pessoas com pesos superiores a ele é o mesmo abaixo 
do qual se situam 80% de pessoascom pesos inferiores, ou seja, é a separatriz, cuja ordem per-
centílica é 80, isto é, P80 = D8.
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D8: pela fac = 380, a classe que contém o octogésimo percentil é: 72├─ 78. 
Aplicando a fórmula geral para o cálculo de uma separatriz, vem:
d) Pelo item anterior, P80 = 75,9 kg, o que significa que 80% das pessoas pesam até 75,9 kg.
e) Se = Pi = 64,4 kg que pertence à classe 60├─ 66. Logo, temos: liS = 60; niS = 120; fac = 0; 
h = 6. Aplicando a fórmula: , temos:
 (posição da separatriz)
Como , vem:
. Assim, 20% das pessoas pesam menos que 64,4 kg.
f ) 
Tabela 38
Classificação
Faixas
OP Pesos (kg)
Magros 0 ⊢ 25 60,0 ⊢ 65,5
Médios 25 ⊢ 80 65,5 ⊢ 75,9
Gordos 80 ⊢ 100 75,9 ⊢ 90,0
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O exemplo que veremos a seguir é uma aplicação das separatrizes para testes iniciais, exames de 
seleção ou admissão e provas de classificação, na qual o que interessa é medir a posição do aluno no 
grupo a que pertence.
5. Seja a distribuição de frequências (Tabela 39) relativa ao número de pontos obtidos por 400 
alunos na prova inicial de certa Inspetoria:
Tabela 39 – Número de Pontos na Prova Inicial.
Pontos ni fac
0 ⊢ 5 5 5
5 ⊢ 10 8 13
10 ⊢ 15 26 39
15 ⊢ 20 43 82
20 ⊢ 25 50 132
25 ⊢ 30 65 197
30 ⊢ 35 82 279
35 ⊢ 40 54 333
40 ⊢ 45 35 368
45 ⊢ 50 18 386
50 ⊢ 55 10 396
55 ⊢ 60 4 400
Total n = 400
Para dividirmos a escala de notas em quatro notas-conceito, a técnica estatística apropriada 
para a construção da escala é a dos quartis, resultando no seguinte esquema básico:
Tabela 40
Notas-Conceito (Tipos) Pontos Q
Péssimo Até Q1
Fraco De Q1 a Q2
Bom De Q2 a Q3
Ótimo Acima do Q3
Vamos, agora, determinar os quartis:
Q1: Pi = i ⇒== 1004
400.1
4
n
pela fac = 132, a classe que contém o 1º quartil é: 20 ⊢ 25.
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Q1 = 
Q2: Pi = i pela fac = 279, a classe que contém o 2º quartil é: 30 ⊢ 35. 
Q2 = pontos
Q3: Pi = i ⇒== 3004
400.3
4
n
pela fac = 333, a classe que contém o 3º quartil é: 35 ⊢ 40.
Q3 = 
Portanto, a Tabela 40 terá os seguintes valores:
Tabela 41
Notas-Conceito (Tipos) Pontos: Q
Péssimo 0,0 ⊢ 21,8
Fraco 21,8 ⊢ 30,2
Bom 30,2 ⊢ 36,9
Ótimo 36,9 ⊢ 60,0
Convém observar que, embora válida e útil como primeira fase do estudo analítico da prova, a 
escala de quartis é mais grosseira, pois engloba em uma mesma categoria resultados significativamente 
diferentes, como é o caso do aluno que obteve 36,9 pontos como o que obteve 59,9 pontos serem clas-
sificados como ótimos, bem como o aluno que obteve 1,0 ponto e aquele que obteve 21,7 pontos terem 
a mesma classificação de péssimos.
Devemos, portanto, completar a classificação por conceitos feita por meio dos quartis por uma 
escala de dez notas, decis ou de cem notas, percentis ou, ainda, de 20 notas, envolvendo somente os 
percentis P5, P10, P15, P20, ..., P95. 
Vamos, agora, determinar os decis:
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D1: Pi = i pela fac = 82, a classe que contém o 1º decil é: 15 ⊢ 20.
D1 = 
D2: Pi = i pela fac = 82, a classe que contém o 2º decil é: 15 ⊢ 20.
D2 = 
D3: Pi = i pela fac = 132, a classe que contém o 3º decil é: 20 ⊢ 25
D3 = 
D4: Pi = i pela fac = 197, a classe que contém o 4º decil é: 25 ⊢ 30 
D4 = 
D5 = Q2 = 30,2 pontos
D6: Pi = i pela fac = 279, a classe que contém o 6º decil é: 30 ⊢ 35
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60
D6 = 
D7: Pi = i pela fac = 333, a classe que contém o 7º decil é: 35 ⊢ 40
D7 = 
D8: Pi = i pela fac = 333, a classe que contém o 8º decil é: 35 ⊢ 40 
D8 = 
D9: Pi = i pela fac = 368, a classe que contém o 9º decil é: 40 ⊢ 45
D9 = 
Teremos, então, a seguinte tabela de notas:
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Tabela 42
Notas Pontos: D
1 0,0 ⊢ 15,1
2 15,1 ⊢ 19,8
3 19,8 ⊢ 23,8
4 23,8 ⊢ 27,2
5 27,2 ⊢ 30.2
6 30,2 ⊢ 32,6
7 32,6 ⊢ 35,1
8 35,1 ⊢ 38,8
9 38,8 ⊢ 43,9
10 43,9 ⊢ 60,0
Note que a Tabela 42 é bem mais discriminativa do que a Tabela 41. Observe, pela tabela, que 
o mesmo aluno que obteve 36,9 pontos corresponde a ter tirado nota 8,0, enquanto o aluno com 56,9 
pontos tirou 10,0, e agora estão em situações de classificação diversa da obtida na Tabela 41.
Para obtermos uma classificação ainda mais discriminativa do que as duas anteriores, vamos calcu-
lar os 19 percentis, obtendo, assim, uma classificação para 20 notas.
P5: Pi = i pela fac = 39, a classe que contém o 5º percentil é: 10 ⊢ 15
P5 = 
P10 = D1 = 15,1 pontos
P15: Pi = i pela fac = 82, a classe que contém o 15º percentil é: 15 ⊢ 20
P15 = 
P20 = D2 = 19,8 pontos
P25 = Q1 = 21,8 pontos
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P30 = D3 = 23,8 pontos
P35: Pi = i pela fac = 197, a classe que contém o 35º percentil é: 25 ⊢ 
30
P35 = 
P40 = D4 = 27,2 pontos
P45: Pi = i pela fac = 197, a classe que contém o 45º percentil é: 25 ⊢ 30 
P45 = 
P50 = D5 = Q2 = md = 30,2
P55: Pi = i pela fac = 279, a classe que contém o 55º percentil é: 30 ⊢ 35
P55 = 
P60 = D6 = 32,6 pontos
P65: Pi = i pela fac = 279, a classe que contém o 65º percentil é: 30 ⊢ 35
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P65 = 
P70 = D7 = 35,1 pontos
P75 = Q3 = 36,9 pontos
P80 = D8 = 38,8 pontos
P85: Pi = i pela fac = 368, a classe que contém o 85º percentil é: 40 ⊢ 45 
P85 = 
P90 = D9 = 43,9 pontos
P95: Pi = i pela fac = 386, a classe que contém o 95º percentil é: 45 ⊢ 50
P95 = 
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Assim, teremos a tabela de 20 notas percentis:
Tabela 43
Notas Pontos: P
5 0,0 ⊢ 11,3
10 11,3 ⊢ 15,1
15 15,1 ⊢ 17,4
20 17,4 ⊢ 19,8
25 19,8 ⊢ 21,8
30 21,8 ⊢ 23,8
35 23,8 ⊢ 25,6
40 25,6 ⊢ 27,2
45 27,2 ⊢ 28,7
50 28,7 ⊢ 30,2
55 30,2 ⊢ 31,4
60 31,4 ⊢ 32,6
65 32,6 ⊢ 33,8
70 33,8 ⊢ 35,1
75 35,1 ⊢ 36,9
80 36,9 ⊢ 38,8
85 38,8 ⊢ 41,0
90 41,0 ⊢ 43,9
95 43,9 ⊢ 48,3
100 48,3 ⊢ 60,0
Nesta tabela, se considerarmos o aluno que obteve 35,0 pontos e o que obteve 44,0 pontos, cons-
tatamos que o primeiro, com nota correspondente a 7,0, encontra-se classificado como médio superior, 
enquanto o outro, com nota correspondente a 9,5 encontra-se classificado como superior. Observe, ain-
da, que o aluno que obteve 44,0 pontos tem nota correspondente igual a 10,0 pela Tabela 42. 
AtençãoAtenção
As medidas de posição podem ser utilizadas em conjunto para auxiliar a análise dos dados, mas existem situações 
em que uma pode ser mais conveniente do que a outra. Por exemplo, quando existe um ou mais valores muito dis-
crepantes, a média é muito influenciada por esse valor e se torna inadequada para representar o conjunto de dados, 
sendo melhor trabalhar com a mediana. Por outro lado, para conjuntos de dados muito numerosos, a ordenação é 
custosa, e a mediana se torna difícil de calcular.
 
INFERIOR 
MÉDIO 
INFERIOR 
MÉDIO 
SUPERIOR 
SUPERIOR 
INFERIOR
SUPERIOR
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Um bairro nobre da capital paulista inclui uma das maiores favelas de São Paulo. O que podemos 
dizer da renda média do bairro? Certamente, os altos rendimentos de alguns residentes serão suficientes 
para fazer a média atingir um patamar comparável às melhores economias do mundo, porém a discre-
pância entre os diversos valores deve ser muito grande. O que podemos estar esquecendo é a variabili-
dade dos valores da variável, e isso não é captado pela média, e sim pelas medidas de dispersão.
As medidas de dispersão ou de variabilidade servem para quantificar a variabilidade dos valores 
da variável, isto é, a dispersão dos dados, ou a forma como os valores de cada conjunto espalham-se ao 
redor das medidas de tendência central.