Questão resolvida - Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico da função f (x) = (sen(x))^0 5, em torno do eixo x, no intervalo [0,pi] - Sólidos de revolução - Cálculo

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico da 
função , em torno do eixo x, no intervalo .f x =( ) sen x( ) 0,𝜋[ ]
 
Resolução:
 
Vamos encontrar, primeiro, a região de integração graficamente, para isso é necessário 
substituir algunspontos notáveis da função seno em , como: e ;f x( ) 0, , , 
𝜋
2
𝜋
3
𝜋
6
𝜋
 
 
Se x = 0 f 0 = f 0 = f 0 = 0→ ( ) sen 0( ) → ( ) 0 → ( )
 
Se x = f = f = f = 1
𝜋
2
→
𝜋
2
sen
𝜋
2
→
𝜋
2
1 →
𝜋
2
 
Se x = f = f = f ≅ 0, 93
𝜋
3
→
𝜋
3
sen
𝜋
3
→
𝜋
3
0, 866 →
𝜋
3
 
Se x = f = f = f ≅ 0, 71
𝜋
6
→
𝜋
6
sen
𝜋
6
→
𝜋
6
0, 5 →
𝜋
6
 
Se x = 𝜋 f 𝜋 = f 𝜋 = f 𝜋 = 0→ ( ) sen 𝜋( ) → ( ) 0 → ( )
 
Plotando esses pontos no gráfico e ligando-os, construímos o gráfico, como visto na 
sequência;
 
 
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução é;
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
Substituindo a curva, com os limites de integração de 0 a , fica;𝜋
 
V = 𝜋 dx V = 𝜋 sen x dx V = -𝜋cos x = -𝜋 cos 𝜋 - cos 0
0
∫
𝜋
sen x( )
2
→
0
∫
𝜋
( ) → ( )
𝜋
0
[ ( ) ( )]
 
V = -𝜋 -1 - 1 V = -𝜋 -2 V = 2𝜋 u. v.( ) → ( ) →
 
 
(Resposta )