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Apostila de Geometria Analítica
Notas de Aula com Exercícios Resolvidos
Diego Sebastián Ledesma
Atualizado 17/08 /2020
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0).
http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0
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r.Conteúdo
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Álgebra Matricial
2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Matrizes 11
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz 15
2.3 Exercícios resolvidos 19
3 Operações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Multiplicação de uma linha por um escalar λ 6= 0. 29
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo escalar de
outra linha 31
3.3 Troca de posição de duas linhas de uma matriz 32
3.4 Matriz escalonada Reduzida 34
3.5 Exercícios resolvidos 38
4 Matrizes Quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 Matrizes Quadradas 41
4.2 Exercícios Resolvidos 45
5 Determinante de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 Determinantes 51
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5.2 Determinante via permutações 58
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada 64
5.4 Exercícios resolvidos 66
6 Sistema de equações linerares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1 Estudo de sistemas lineares 93
6.2 Sistemas com número de incógnitas igual ao número de equações 96
6.3 Exercícios resolvidos 99
II Vetores
7 Vetores no plano e no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1 O plano e o espaço 127
7.2 Vetores 129
7.3 Exercícios resolvidos 135
8 Produto entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.1 Produto generalizado 137
8.2 Produto escalar 138
8.3 Produto vetorial 142
8.4 Exercícios resolvidos 145
III Objetos Geométricos
9 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1 Retas 157
9.2 Ângulo entre retas 160
9.3 Posição Relativa de retas 161
9.4 Distâncias 162
9.5 Exercícios resolvidos 164
10 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.1 Planos 169
10.2 Ângulo 172
10.3 Posição relativa de dois planos 173
10.4 Posição relativa entre uma reta e um plano 174
10.5 Distãncias 174
10.6 Exercícios resolvidos 175
11 Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.1 Cônicas 207
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11.2 Elipse 208
11.3 Hipérbole 211
11.4 Parábola 213
12 Translação de sistema de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.1 Sistemas de Coordenadas 216
12.2 Translação de coordenadas 217
12.3 Exercícios resolvidos 221
13 Rotação do sistema de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.1 Rotação de coordenadas 233
14 Identificação de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.1 Um exemplo 239
14.2 Procurando a mudança de coordenadas 240
14.3 Exercicios resolvidos 247
15 Como saber se uma cônica é degenerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
16 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
16.1 Coordenadas Polares 277
16.2 Relação entre coordenadas polares e cartesianas 279
16.3 A reta em coordenadas polares. 280
16.4 Circunferência em coordenadas polares 282
16.5 Cônicas em coordenadas polares 282
16.5.1 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16.5.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
16.5.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
16.6 Exercícios Resolvidos 292
17 Parametrização de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
17.1 Paramerização de curvas 303
17.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
17.1.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
17.1.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
17.2 Parametrização em coordenadas polares 307
17.3 Exercícios resolvidos 309
IV Quádricas e Superfícies
18 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
18.1 Quádricas 317
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18.2 Superfícies 320
18.2.1 Superfícies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
18.2.2 Superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
18.2.3 Superfícies Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
18.3 Exercícios resolvidos 325
19 Coordenadas Cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
19.1 Coordenadas Cilíndricas 331
19.2 Coordenadas Esféricas 332
19.3 Exercícios resolvidos 334
20 Parametrizacão de Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
20.1 Parametrização de Superfícies 339
20.2 Exercícios Resolvidos 341
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r.1. Introdução
Este texto é uma apostila resultado do compilado das notas de aula que utilizei para ministrar
a disciplina Geometria Analítica ao longo dos anos. Ela está escrita na forma mais simples e
sintétizada que me foi possível. O objetivo da mesma é fornecer material teórico e prático aos
estudantes que façam uso delas para seus estudos. É por isto que não há nada proposto para ser
feito como exercicio e tudo está completamente resolvido na quantidade de detalhes que me foi
possível. Com isto quero dizer que não pretende para nada ser um livro texto de disciplina mas sim
um material de suporte para o estudo da mesma.
O material teórico que faz parte do texto está fortemente inspirado nos livros
• R. J. Santos, Matrizes, Vetores e Geometria Analítica, Imprensa Universitária da UFMG.
• K. Hoffman e R. Kunze, Álgebra Linear, Prentice Hall, Second edition, 1971.
• P. Boulos e I. C. Oliveira, Geometria Analítica-um tratamento vetorial, McGraw-Hill, São
Paulo, 2a edição-2000 .
• L. Leithold, O Cálculo com geometria analítica, Vol. 1, Harbra, São Paulo, 2a edição – 1977.
Os exercícios resolvidos que aparecem massivamente no corpo do trabalho são parte das listas de
exercícios e provas aplicadas na disciplina MA141 - Geometria Analítica da UNICAMP.
Finalmente faço o destaque de que a escrita do texto contou com apoio do Serviço de Apoio ao
Estudante (SAE) da Pró-reitoria de Graduação (PRG) da UNICAMP e foi feita pela estudante -
bolsista Ysabella Visinho dos Reis.
Esta apostila ainda contém muitos erros. Teria ainda mais se não fosse pelas correções aportadas
por Daniel Paulo Garcia e Helena Pivoto Paiva enquanto cursaram Geometria Analítica comigo. A
eles o meu agradecimento.
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r.I
2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Matrizes
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz
2.3 Exercícios resolvidos
3 Operações elementares. . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Multiplicação de uma linha por um escalar λ 6= 0.
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um
multiplo escalar de outra linha
3.3 Troca de posição de duas linhas de uma matriz
3.4 Matriz escalonada Reduzida
3.5 Exercícios resolvidos
4 Matrizes Quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 Matrizes Quadradas
4.2 Exercícios Resolvidos
5 Determinante de uma matriz quadrada
51
5.1 Determinantes
5.2 Determinante via permutações
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada
5.4 Exercícios resolvidos
6 Sistema de equações linerares . . . . . . 89
6.1 Estudo de sistemas lineares
6.2 Sistemas com número de incógnitas igual ao nú-
mero de equações
6.3 Exercícios resolvidos
Álgebra Matricial
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r.2. Matrizes
Neste capítulo começaremos estudando as noções básicas sobre matrizes. Começaremos com a
definição e logo passaremos a estudar as propriedades destes objetos.
2.1 Matrizes
Definição 2.1.1 Uma matriz real de tamanho m×n é um arranjo bidimensional de números
{ai j ∈ R, i = 1 . . .m, j = 1 . . .n}
que escrevemos na forma
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 .
Dada A uma matriz de tamanho m×n como acima, chamamos de entrada Ai j ao número ai j
que encontra-se na interseção da linha i com a coluna j (isto é na posição i, j da tabela) de A.
A matriz nula, que denotamos por 0, é a matriz cujas entradas são todas iguais a zero.
Denotamos por M(m×n) ao conjunto de todas as matrizes de tamanho m×n com entradas
em R.
Obs.
• Em particular uma matriz de tamanho 1×n é chamada de matriz linha e uma matriz
m×1 é chamada de matriz coluna.
• No caso em que m = n então dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n.
• As matrizes de tamanho 1×1 podem ser naturalmente identificadas com os números
reais.
A k−ésima linha de A é a matriz linha [A]k dada por
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12 Capítulo 2. Matrizes
[A]k = (ak1,ak2, . . . ,akn).
A j−ésima coluna da matriz A é a matriz coluna [A] j dada por
[A] j =

a1 j
a2 j
...
am j
 .
A seguinte definição estabelece quando duas matrizes são iguais.
Definição 2.1.2 Duas matrizes A ∈M(m×n) e B ∈M(k× l) são iguais se m = k, n = l e
Ai j = Bi j ∀ i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n.
A seguir vemos alguns exemplos de matrizes.
� Exemplo 2.1 1. Seja A ∈M(4×3) definida por
A =

1 0 21
3 −2 π
−3 41 9
5 5 5
 .
temos que
[A]2 =

0
−2
41
5
 ∈M(4×1), e [A]3 = ( −3 41 9 ) ∈M(1×3).
2. Seja B ∈ (3×6) dada por
B =
 1 1 1 1 1 21 2 4 4 4 3
1 1 1 1 1 1
 .
Então,
[B]1 =
 11
1
 ∈M(3×1), e [B]1 = ( 1 1 1 1 1 2 )∈M(1×6).
�
Assim como acontece nos números reais, podemos definir as operações soma e produto por
escalar no conjunto das matrizes, porém impondo algumas restrições.
Definição 2.1.3 • A soma de duas matrizes A e B em M(m×n) é uma matriz em M(m×n),
que denotamos por A+B, cujas entradas são dadas por
(A+B)i j = Ai j +Bi j, ∀ i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n,
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2.1 Matrizes 13
isto é, se
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 e B =

b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
. . .
...
bm1 bm2 . . . bmn
 ,
então
A+B =

a11 +b11 a12 +b12 . . . a1n +b1n
a21 +b21 a22 +b22 . . . a2n +b2n
a31 +b31 a32 +b32
. . .
...
am1 +bm1 am2 +bm2 . . . amn +bmn
 .
A multiplicação de uma matriz A ∈M(m×n) por um escalar λ ∈ R é uma matriz em
M(m×n), que denotamos por λ ·A, cujas entradas são dadas por
(λ ·A)i j = λAi j ∀i = 1 . . .m, j = 1 . . .n,
isto é, se
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 ,
então
λ ·A =

λa11 λa12 . . . λa1n
λa21 λa22 . . . λa2n
...
...
. . .
...
λam1 λam2 . . . λamn
 .
� Exemplo 2.2
1. Seja
A =
 1 2 10 1 3
3 2 2
 e B =
 1 0 70 1 1
0 2 4
 ,
vemos que
A+B =
 1+1 2+0 1+70+0 1+1 3+1
3+0 2+2 2 = 4
=
 2 2 80 2 4
3 4 6
 ,
e
2 ·A =
 2.1 2.2 2.12.0 2.1 2.3
2.3 2.2 2.2
=
 2 4 20 2 6
6 4 4
 .
�
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14 Capítulo 2. Matrizes
Teorema 2.1.1 O conjunto M(n×m) com as operações soma e produto por escalar definidas
acima é um espaço vetorial sobre os números reais, isto é, a soma e o produto por escalar
satisfazem as seguintes propriedades:
i- Comutatividade da soma: A+B = B+A.
ii- Associatividade da soma: (A+B)+C = A+(B+C).
iii- Existe um único elemento 0 em M(m×n) tal que A+0 = A.
iv- Para cada elemento A existe um único elemento, que denotamos por −A, tal que A+
(−A) = 0.
v- 1 ·A = A.
vi- (λ1λ2) ·A = λ1 · (λ2 ·A).
vii- (λ1 +λ2) ·A = λ1 ·A+λ2 ·A.
viii- λ · (A+B) = λ ·A+λ ·B.
Demonstração: Para demonstrar esses fatos vamos utilizar a definição 2.1.2, isto é, vamos mostrar
que as entradas das matrizes de um e outro lado de cada identidade coincidem em cada caso.
i- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
(A+B)i j = Ai j +Bi j
= Bi j +Ai j
= (B+A)i j
ii- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
((A+B)+C)i j = (A+B)i j +Ci j
= (Ai j +Bi j)+Ci j
= Ai j +(Bi j +Ci j)
= Ai j +(B+C)i j
= (A+(B+C))i j.
iii- Sabemos que a matriz nula
0 =
 0 . . . 0... . . . ...
0 . . . 0
 ∈M(m×n).
satisfaz A+0 = A. Vamos mostrar que é a única matriz com esta propriedade, isto é, com
a propriedade de que A+B = A para todo A ∈M(m× n). Em particular, consideramos a
matriz A(i, j) cujas entradas são todas nulas exceto a entrada Ai j que é 1. Portanto, como
A(i, j)+B = A(i, j) temos que 1+Bi j = 1 donde Bi j = 0. Da arbitrariedade na escolha de
i, j segue que todas as entradas Bi j = 0. De onde segue que B = 0.
iv- Dada a matriz A considere a matriz (−1) ·A então é facil ver que A+(−1) ·A = 0. Defina
−A = (−1) ·A. Vamos mostrar que se B é tal que A+B = 0 então B =−A e portanto −A
é única. Observamos que caso tal B exista, da identidade A+B = 0 tiramos que para todo
i = 1 · · · m, j = 1, · · · n.
Ai j +Bi j = 0⇒ Bi j =−Ai j = (−1)Ai j = (−A)i j.
Então B =−A.
v- Trivial.
vi- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
((λ1λ2) ·A)i j = (λ1λ2)i j
= λ1(λ2 ·Ai j)
= λ1(λ2 ·A)i j
= (λ1.(λ2.A)i j.
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2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz 15
vii- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
((λ1 +λ2) ·A)i j = (λ1 +λ2)Ai j
= λ1 .Ai j +λ2 .Ai j
= (λ1 .A)i j +(λ2 .A)i j
= (λ1 ·A+λ2 ·A)i j.
viii- Para cada i = 1 · · ·m, j = 1 · · ·n, temos
(λ · (A+B))i j = λ (A+B)i j
= λ (Ai j +Bi j)
= λAi j +λBi j
= (λ ·A+λ ·B)i j.
�
Obs.
i- Embora os símbolos sejam iguais, não devemos confundir o produto e a soma definidos
acima com os canônicos de R. Por exemplo a identidade
(λ1 +λ2) ·A = λ1 ·A+λ2 ·A,
envolve duas operações soma: do lado esquerdo a soma canônica de R e do lado direito
a soma definida para matrizes. Nesse sentido o que diz a propriedade é que existe uma
relação entre as duas operações.
ii- A partir da definição de −A podemos definir no conjunto das matrizes, e em forma
análoga ao que acontece para os números reais, a operação diferença: Dadas A e B duas
matrizes em M(m×n) a diferença entre A e B é uma matriz A−B ∈M(m×n) dada
por
A−B = A+(−B).
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz
Até aqui temos definido operações entre matrizes que preservam o tamanho. Nesta seção vamos a
estudar outros tipos de operações sobre as matrizes onde esta propriedade já não é necessáriamente
preservada.
Definição 2.2.1 O produto de uma matriz A ∈M(m×n) e uma matriz B ∈M(n× k) é uma
matriz AB ∈M(m× k) cujas entradas são obtidas da seguinte forma
(AB)i j =
n
∑
r=1
AirBr j = Ai1B1 j +Ai2B2 j + · · ·+AinBn j,
para todo i = 1, · · ·,m e j = 1, · · ·,k.
� Exemplo 2.3
1. Seja
A =
(
1 2 3 4
)
∈ M(1×4) e B =

0
1
2
−1
 ∈ M(4×1).
Então A ·B ∈M(1×1) e
A ·B =
(
1.0+2.1+3.2+4.(−1)
)
=
(
0+2+6−4
)
= (4).
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16 Capítulo 2. Matrizes
2. Seja
A =
 1 1 11 2 3
1 1 0
 ∈ M(3×3) e B =
 2 02 1
1 1
 ∈ M(3×2).
Então A ·B ∈M(3×2) e
A ·B =
 2.1+2.1+1.1 1.0+1.1+1.11.2+2.2+3.11.0+2.1+3.1
1.2+1.2+0.1 1.0+1.1+0.1
=
 5 29 5
4 1
 .
�
Obs.
i- A entrada i, j do produto de A com B é obtido ao multiplicar as entradas da linha i de A
com as da coluna j de B em forma ordenada, isto é
(AB)i j = [A]i[B] j.
ii- Se A ∈M(m×n) e B ∈M(n× k) então AB está definida. Porém não necessáriamente
ocorre o mesmo para o produto de B com A. De fato só vai ser possivel fazer o produto
de B com A quando k = m.
iii- Sobre o conjunto das matrizes quadradas M(n×n) temos que AB e BA são definidas e
dão como resultado matrizes em M(n×n). No entanto temos que geralmente AB 6= BA.
Por exemplo se
A =
(
0 1
0 0
)
B =
(
0 0
0 1
)
,
então A ·B será(
0 1
0 0
)(
0 0
0 1
)
=
(
0 1
0 0
)
Por outro lado B ·A será(
0 0
0 1
)(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Segue então que A ·B 6= B ·A.
O produto de matrizes possui as seguintes propriedades.
Proposição 2.2.1 Sejam A,B,C matrizes de tamanhos apropriados e λ ∈ R. Então
i- A(B+C) = AB+AC.
ii- λ · (AB) = (λ ·A)B = A(λ ·B).
iii- Se Ik é a matriz quadrada de tamanho k× k definida por
Ik =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 ,
e chamada de matriz identidade em M(k× k) então, para toda matriz A ∈M(m×n), temos
ImA = A = AIn.
Ve
rsã
o P
rel
im
ina
r.
2.2 Produto de matrizes e transposta de uma matriz 17
iv- A(BC) = (AB)C.
Demonstração: Para demonstrar as propriedades comparamos as entradas das matrizes aos dois
lados da igualdade.
i-
[A(B+C)]i j = ∑
k
Aik(B+C)k j
= ∑
k
Aik(Bk j +C)k j
= ∑
k
AikBk j +∑
k
AikCk j
= (AB)i j +(AC)i j ∀i j.
Portanto A(B+C) = AB+AC.
ii-
[(λ (AB)]i j = λ (AB)i j
⇒ λ
(
∑AikBk j
)
= ∑(λAik)(Bk j)
= ((λA) ·B)i j ∀i j.
O outro caso é análogo.
iii- Seja A ∈M(k×n) e Ir a matriz em M(r× r) cujas entradas são definidas por
Il j =
{
0, se l 6= j
1, se l = i
Então, temos que
(Ik ·A)li = ∑(Ik)l j ·A ji = IllAli = Ali.
Portanto Ik ·A = A analogamente se prova A · In = A.
iv-
(A(BC))i j = ∑
l
Ail(BC)l j
= ∑
l
Ail ∑
k
BlkCk j
= ∑
l
∑
k
AilBlkCk j
= ∑
k
(
∑
l
AilBlk
)
Ck j
= ∑
k
(AB)ikCk j = ((AB) ·C)i j.
�
Definição 2.2.2 Seja A uma matriz de tamanho m×n. A transposta de A é uma matriz At de
tamanho n×m cujas entradas são dadas por
(At)i j = A ji.
Para todo i = 1 · · ·n e j = 1 · · ·m.
� Exemplo 2.4
Ve
rsã
o P
rel
im
ina
r.
18 Capítulo 2. Matrizes
1. Se
A =
(
1 2 3
)
⇒ At =
 12
3
 .
2. Se
A =
(
1 2 3
1 1 1
)
⇒ At =
 1 12 1
3 1
 .
3. Se
A =

2 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
1 4 4 4
⇒ At =

2 1 1 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
 .
�
Proposição 2.2.2 Sejam A,B e C matrizes de tamanhos apropriados e λ ∈ R. Então
i- (At)t = A.
ii- (λ ·A)t = λ ·At .
iii- (A+B)t = At +Bt .
iv- (AB)t = BtAt .
Demonstração: Fazemos a demonstração comparando as entradas das matrizes de ambos os lados
da igualdade.
i- Para todo i, j temos
((At)t)i j = (At) ji
= Ai j. ∀i j.
Portanto (At)t = A.
ii- Para todo i, j temos
[(λA)t ]i j = (λA) ji
= λA ji
= λ (At)i j. ∀i j.
Portando (λA)t = λAt .
iii- Para todo i, j temos
[(A+B)t ]i j = (A+B) ji
= A ji +B ji
= (At)i j +(Bt)i j. ∀i j.
Então (A+B)t = At +Bt .
iv- Para todo i, j temos
((AB)t)i j = (AB) ji
= ∑
k
A jkBki
= ∑
k
BkiA jk
= ∑
k
(Bt)ik(At)k j
= (BtAt)i j. ∀i j.
Então (AB)t = BtAt .
Ve
rsã
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rel
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r.
2.3 Exercícios resolvidos 19
�
Obs. O espaço das matrizes quadradas M(n×n) com as operações soma, produto por escalar e
produto formam uma estrutura conhecida com o nome de Álgebra Linear, isto é, é um espaço
vetorial munido de um produto com as seguintes propriedades
i- A(BC) = (AB)C.
ii- A(B+C) = AB+AC.
iii- λ .(AB) = (λ .A)B = A(λ .B).
iv- Existe o elemento In ∈M(n×m) tal que InA = A = AIn.
Definição 2.2.3 Uma matriz quadrada A ∈M(n×n) é dita
• simétrica se At = A,
• antissimétrica se At =−A.
Proposição 2.2.3 Seja A ∈M(m×n) então existe uma matriz simétrica A1 e uma antissimétrica
A2 tais que A = A1 +A2.
Proof. Seja
A1 =
1
2
(A+At) e A2 =
1
2
(A−At).
Claramente
At1 =
1
2
(A+At)t =
1
2
(At +A) = A1.
At2 =
1
2
(A−At)t = 1
2
(At −A) =−A2.
e
A1 +A2 =
1
2
(A+At)+
1
2
(A−At) = A.
2.3 Exercícios resolvidos
1. Construa as seguintes matrizes:
a) A = (ai j) de tamanho 3×4 tal que ai j = i+ j .
Resolução: A é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas. Então seguindo a regra ai j = i+ j
temos que:
a11 = 1+1 = 2 a12 = 1+2 = 3 a13 = 1+3 = 4 a14 = 1+4 = 5
a21 = 1+2 = 3 a22 = 2+2 = 4 a23 = 2+3 = 5 a24 = 2+4 = 6
a31 = 3+1 = 4 a32 = 3+2 = 5 a33 = 3+3 = 6 a34 = 3+4 = 7
Então:
A =
2 3 4 53 4 5 6
4 5 6 7

Ve
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r.
20 Capítulo 2. Matrizes
b) B = (bi j) de tamanho 3×3 tal que bi j = i j.
Resolução: B é uma matriz de 3 linhas e 3 colunas. Então seguindo a regra bi j = i+ j
temos que:
b11 = 1 ·1 = 1 b12 = 1 ·2 = 2 b13 = 1 ·3 = 3
b21 = 1 ·2 = 2 b22 = 2 ·2 = 4 b23 = 2 ·3 = 6
b31 = 3 ·1 = 3 b32 = 3 ·2 = 6 b33 = 3 ·3 = 9
Então:
B =
1 2 32 4 6
3 6 9

c) C = (ci j) de tamanho 4×3 tal que ci j = 2i− 12 j.
Resolução: C é uma matriz de 4 linhas e 3 colunas. Então construimos C seguindo a regra
ci j = 2i− 12 j temos que:
c11 = 2 ·1−
1
2
·1 = 2 c12 =
3
2
·1− 1
2
·2 = 1 c13 = 2 ·1−
1
2
·3 = 1
2
c21 = 2 ·2−
1
2
·1 = 7
2
c22 = 2 ·2−
1
2
·2 = 2 c23 = 2 ·2−
1
2
·3 = 5
2
c31 = 2 ·3−
1
2
·1 = 11
2
c32 = 2 ·3−
1
2
·2 = 5 c33 = 2 ·3−
1
2
·3 = 9
2
c41 = 2 ·4−
1
2
·1 = 15
2
c42 = 2 ·4−
1
2
·2 = 7 c43 = 2 ·4−
1
2
·3 = 13
2
Então:
C =

3
2 1
1
2
7
2 3
5
2
11
2 5
9
2
15
2 7
13
2

2. Considere as seguintes matrizes
A1 =

1 −1 1 1
−1 2 3 1
1 1 2 −2
0 0 −2 3
 A2 =
 2 −1 11 2 −1
−1 1 2
 A3 =(1 44 −1
)
A4 =

1
−2
5
−4

A5 =
(
3
1
)
A6 =
 3−4
3
 A7 = (3 1 −2 1) A8 = (2 0 −1) A9 = (−2 1)
Ve
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r.
2.3 Exercícios resolvidos 21
• Determine para quais valores de i, j podemos fazer os produtos AiA j e faça a conta
para cada caso.
• Ache a transposta de cada uma das matrizes acima.
• Calcule
((2A1)A4)t +3A7
Resolução:
A1 ∈M(4×4), A2 ∈M(3×3), A3 ∈M(2×2)
A4 ∈M(4×1), A5 ∈M(2×1), A6 ∈M(3×1)
A7 ∈M(1×4), A8 ∈M(1×3), A9 ∈M(1×2)
Então os seguintes produtos possiveis são:
A1 ·A4 =

1 −1 1 1
−1 2 3 1
1 1 2 −2
0 0 −2 3
 ·

1
−2
5
−4
=

4
6
17
−22

A2 ·A6 =
 2 −1 11 2 −1
−1 1 2
 ·
 3−4
3
=
13−8
−1

A3 ·A5 =
(
1 4
4 −1
)
·
(
3
1
)
=
(
7
11
)
A4 ·A7 =

1
−2
5
−4
 · (3 1 −2 1)=

3 1 −2 1
−6 −2 4 −2
15 5 −10 5
−12 −4 8 −4

A4 ·A8 =

1
−2
5
−4
 · (2 0 −1)=

2 0 −1
−4 −0 2
10 0 −5
−8 0 4

A4 ·A9 =

1
−2
5
−4
 · (−2 1)=

−2 1
4 −2
−10 5
8 −4

A5 ·A7 =
(
3
1
)
·
(
3 1 −2 1
)
=
(
9 3 −6 3
3 1 −2 1
)
A5 ·A8 =
(
3
1
)
·
(
2 0 −1
)
=
(
6 0 −3
2 0 −1
)
A5 ·A9 =
(
3
1
)
·
(
−2 1
)
=
(
−6 3
−2 1
)
A6 ·A7 =
 3−4
3
 · (3 1 −2 1)=
 9 3 −6 3−12 −4 8 −4
9 3 −6 3

Ve
rsã
o P
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im
ina
r.
22 Capítulo 2. Matrizes
A6 ·A8 =
 3−4
3
 · (2 0 −1)=
 6 0 −3−8 0 4
6 0 −3

A6 ·A9 =
 3−4
3
 · (−2 1)=
−6 38 −4
−6 3

A7 ·A1 =
(
3 1 −2 1
)
·

1 −1 1 1
−1 2 3 1
1 1 2 −2
0 0 −2 3
= (0 −3 0 11)
A7 ·A4 =
(
3 1 −2 1
)
·

1
−2
5
−4
= (−13)
A8 ·A2 =
(
2 0 −1
)
·
 2 −1 11 2 −1
−1 1 2
= (5 −3 0)
A8 ·A6 =
(
2 0 −1
)
·
 3−4
3
= 3
A9 ·A3 =
(
−2 1
)
·
(
1 4
4 −1
)
=
(
2 −9
)
A9 ·A5 =
(
−2 1
)
·
(
3
1
)
=−5
At1 =

1 −1 1 0
−1 2 1 0
1 3 2 −2
1 1 −2 3
 At2 =
 2 1 −1−1 2 1
1 −1 2

At3 =
(
1 4
4 −1
)
At4 =
(
1 −2 5 4
)
At5 =
(
3 1
)
At6 =
(
3 −4 3
)
At7 =

3
1
−2
1

At8 =
 20
−1
 At9 = (−21
)
((2A1) ·A4)t +3A7 =


2 −2 2 2
−2 4 6 2
2 2 4 −4
0 0 −4 6
 ·

1
−2
5
−4


t
+3
(
3 1 −2 1
)
=

8
12
34
−44

t
+
(
12 3 −6 3
)
=
(
8 12 34 −44
)
+
(
9 3 −6 3
)
=
(
17 15 28 −41
)
Ve
rsã
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rel
im
ina
r.
2.3 Exercícios resolvidos 23
3. Sejam A, B duas matrizes A de tamanho m×n e B de tamanho n× p. Escreva
B =
(
B1 B2 . . . Bp
)
onde cada B j é a j−ésima coluna da matriz B. Mostrar que a i−ésima coluna da matriz AB é
dadapor ABi, isto é
AB =
(
AB1 AB2 · · · ABp
)
Exemplifique para o caso
A =
 1 −1 12 0 −3
−3 2 1
 B =
 2 −2 1 3−1 1 −3 1
1 1 −1 1

Resolução: Seja A uma matriz de tamanho m× n e B de tamanho n× p denote por Bi a
coluna i de B observamos que (A ·Bi) é uma matriz coluna. A entrada j−ésima da coluna é
(A ·Bi) j =
h
∑
k=1
A jk Bki = (AB)i j
Portanto A ·Bi coincide com i−ésima coluna da matriz AB.
Se
B =
 2 −2 1 3−1 1 −3 1
1 1 −1 1

Portanto,
B1 =
 2−1
1
 B2 =
−21
1
 B3 =
 1−3
−1
 B4 =
31
1

Observamos que
A ·B =
 1 −1 12 0 −3
−3 2 1
 ·
 2 −2 1 3−1 1 −3 1
1 1 −1 1
= ( 4 −2 3 3−1 −7 5 3
)
Se denotamos por Ci a i−ésima coluna da matriz A ·B Então
C1 = A ·B1 =
 1 −1 12 0 −3
−3 2 1
 ·
 2−1
1
=
 4−1
−7

C2 = A ·B2 =
 1 −1 12 0 −3
−3 2 1
 ·
−21
1
=
−2−7
9

C3 = A ·B3 =
 1 −1 12 0 −3
−3 2 1
 ·
 1−3
−1
=
 35
−10

C4 = A ·B4 =
 1 −1 12 0 −3
−3 2 1
 ·
31
1
=
 33
−6

Ve
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ina
r.
24 Capítulo 2. Matrizes
4. Considere as seguintes matrizes
A =
(
a b/2
b/2 c
)
B =
(
d f
)
X =
(
x
y
)
G =
(
g
)
• Mostre que a matriz de tamanho 1×1 obtida ao fazer
X tAX +BX +G
tem como única entrada
ax2 +bxy+ cy2 +dx+ f y+g
• Exemplifique para o caso em que
A =
(
5 −2
−2 8
)
B =
(
20√
5
− 80√
5
)
X =
(
x
y
)
G =
(
4
)
e obtenha a entrada correspondente a X tAX +BX +G.
• No item anterior substitua X por
Y =
1√
5
(
2 −1
1 2
)(
u+1
v+2
)
e mostre que ao fazer Y T AY +BY +G a entrada que obtemos é
4u2 +9v2−36.
Resolução:
(
x y
)( a b/2
b/2 c
)(
x
y
)
+
(
d f
)(x
y
)
+g
=
(
x y
)( ax b/2y
b/2x cy
)
+dx+ f y+g
= ax2 +
b
2
xy+
b
2
xy+ cy2 +dx+ f y+g
= ax2 +bxy+ cy2 +dx+ f y+g
Se (
x y
)( 5 −2
−2 b
)(
x
y
)
+
(
20√
5
−80√
5
)(x
y
)
+4
=
(
x y
)( 5x −2y
−2x +8y
)
+
20x−80y√
5
+4
= 5x2−4xy+8y2 + 20√
5
x− 80√
5
y+4
Se
y =
1√
5
(
2 −1
1x +2
)(
u + 1
v + 2
)
Ve
rsã
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ina
r.
2.3 Exercícios resolvidos 25
Então podemos escrever
ytAy+By+6
=
1
5
(u+1, v+2)
(
2 1
−1 2
)(
5 −2
−2 8
)(
2 −1
1 2
)(
u+1
v+2
)
+
1
5
(20,−80)
(
2 −1
1 2
)(
u + 1
v + 2
)
+4
=
1
5
(u+1, v+2)
(
20 0
0 45
)(
u + 1
v + 2
)
+4
(
2 −1
1 2
)(
u+1
v+2
)
+
1
5
(−40,−180)
(
u + 1
v + 2
)
+4
=
1
5
(u+1, v+2)
(
4 0
0 9
)(
u + 1
v + 2
)
+
1
5
(−8,−36)
(
u + 1
v + 2
)
+4
= 4(u+1)2 +9(v+2)2 = 8(u+1) =−36(v+2)+4
= 4u2 +8u+4+9v2 +36v+36−8u−8−36v−64+4
= 4u2 +9v2−36
5. Sejam A, B duas matrizes quadradas de tamanho n×n.
• Mostre que
(A+B)2 = A2 +AB+BA+B2
• Observe que para ter (A+B)2 = A2 +2AB+B2 temos que garantir que AB = BA. É
verdade que AB = BA para qualquer matriz quadrada? Veja o que acontece no caso
A =
(
0 1
0 0
)
B =
(
0 0
0 1
)
Resolução:
Observamos que (A+B)2 = (A+B)(A+B) = A2 +AB+BA+B2. É falso que AB = BA se
A =
(
0 1
0 0
)
e B =
(
0 0
0 1
)
então
AB =
(
0 1
0 0
)(
0 0
0 1
)
=
(
0 1
0 0
)
No entanto
BA =
(
0 0
0 1
)(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
Ve
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r.
26 Capítulo 2. Matrizes
6. Seja A uma matriz de tamanho m×n e X a matriz
X =

x1
x2
...
xn.

Mostrar que
AX = x1A1 + x2A2 + · · ·+ xnAn
onde A j é a j−ésima coluna da matriz A. Para entender as contas considere
A =
(
1 1 2
−1 2 −2
)
X =
xy
z

Resolução:
Seja A uma matriz de tamanho m×n e X =

x1
x2
...
xn.
 como X é de tamannho (n×1) temos
que AX é de tamanho (m×1). Assim a a j−ésima linha de AX é
h
∑
k=1
A jk Xk =
h
∑
k=1
Xk A jk =
h
∑
k=1
Xk = [A]
j
k
onde A j é a j−ésima coluna de A. Se
A =
(
1 1 2
−1 2 −2
)
e X =
xy
z

A1 =
(
1
−1
)
A2 =
(
1
2
)
A3 =
(
2
2
)
AX =
(
x + y + z
−x + 2y + 2z
)
xA1 + yA2 + zA3 =
(
x
−x
)(
y
2y
)(
2z
2z
)
=
(
x + y + z
−x + 2y + 2z
)
7. Mostre que as matrizes da forma A =
(
1 1y
y 1
)
satisfazem a equação X2−2X = 0 para todo
y ∈ R
Resolução:
Se A =
(
1 1y
y 1
)
então:
A2−2A =
(
1 1y
y 1
)(
1 1y
y 1
)
−2
(
1 1y
y 1
)
=
(
2 2y
2y 2
)
+
(
−2 −2y
−2y −2
)
=
(
0 0
0 0
)
Ve
rsã
o P
rel
im
ina
r.
2.3 Exercícios resolvidos 27
8. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
• Se A é uma matriz de tamanho 2×2 tal que A2 = I então A = I (aqui I =identidade)
Resolução: (FALSO) De fato, considere
A =
(
0 1
1 0
)
→ A2 =
(
1 0
0 1
)
.
• Se A é uma matriz de tamanho n×n tais que A2 = I, então A = I ou A =−I
Resolução: (FALSO) De fato, considere
A =
(
0 −1
−1 0
)
→ A 6= I, A 6=−I, e A2 =
(
1 0
0 1
)
.
• Se A e B são duas matrizes de tamanho n×n, então (A+B)2 = A2 +2AB+B2.
Resolução: (FALSO) Considere
A =
(
1 0
0 0
)
B =
(
0 0
1 0
)
→ (A+B) =
(
1 0
1 0
)
Então (A+B)2 = A+B, A2 = A, B2 = 0 e AB = 0. Portanto (A+B)2 6= A2+2AB+B2.
• Se A e B são duas matrizes que comutam com a matriz M =
(
0 −1
1 0
)
então AB =
BA.
Resolução: (VERDADEIRO) Primeiramente observamos que se
A =
(
a b
c d
)
tal que AM = MA então(
a b
c d
)(
0 −1
1 0
)
=
(
0 −1
1 0
)(
a b
c d
)
⇒ a = d c =−b.
Portanto A e B devem ser da forma
A =
(
a b
−b a
)
B =
(
t s
−s t
)
.
Fazemos
AB =
(
at− sb as+ tb
−bt− sa at−bs
)
BA =
(
at−bs bt + sa
−sa− tb −sb+ ta
)
.
Portanto AB = BA.
• Se A é uma matriz quadrada tal que A3 = A então A = I ou A = 0.
Resolução: (FALSO) Seja A =−I então A3 =−I = A.
Ve
rsã
o P
rel
im
ina
r.
Ve
rsã
o P
rel
im
ina
r.3. Operações elementares
Dada uma matriz A ∈M(m×n) vamos considerar operações sobre as linhas desta de forma tal que
a nova matriz obtida B esteja em M(m×n). Em particular vamos nos concentrar em três tipos de
operações:
1. Multiplicação de uma linha por um escalra λ 6= 0.
2. Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo de outra linha.
3. Troca de duas linhas de uma matriz.
Procedimentos análogos podem ser feitos com as colunas de uma matriz. Nestas notas não
estudaremos esse caso.
3.1 Multiplicação de uma linha por um escalar λ 6= 0.
Por exemplo, multiplicar a linha i da matriz A ∈M(m×n) por λ 6= 0 (que denotamos por λ`i→ `i)
dá origem a uma nova matriz B ∈M(m×n) com a seguinte forma:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
am1 am2 . . . amn

λ`i→ `i−−−−−→ B =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
λai1 λai2 . . . λain
...
...
...
am1 am2 . . . amn

.
Ve
rsã
o P
rel
im
ina
r.
30 Capítulo 3. Operações elementares
Em particular, ao fazer esta operação elementar sobre a identidade obtemos:
Im =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 λ`i→ `i−−−−−→ Emi (λ ) =

1 0 · · · · 0
...
. . . · · · ·
...
0 · · · 1 0 0 ·
...
0 · · · 0 λ 0 ·
...
0 · · · 0 0 1 ·
...
...
... · · · . . .
...
0 0 · · · · 1

← i
Observamos que a operação (λ`i→ `i) sobre a matriz A é igual a multiplicar A a esquerda por
Emi (λ ), isto é:
Se A λ`i→`i−−−−→ B então B = Emi (λ ) ·A.
Esta operação elementar pode ser revertida. De fato, ao multiplicar a linha i de B por 1
λ
temos
novamente A. Isto garante que
Emi (
1
λ
)Emi (λ ) = Im.
� Exemplo 3.1 Seja
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 ,
e considerere a operação elementar 2`2→ `2, isto é
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 2`2→ `2−−−−−→ B =

1 2 3
2 −2 2
0 1 −1
0 0 1
 .
Em particular sobre a identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 2`2→ `2−−−−−→ E2(2) =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Observamos que E2(2)A = B. Mais ainda
E2
(
1
2
)
=

1 0 0 0
0 12 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

e
E2(
1
2
)E2(2) = I e E2(
1
2
)B = A.
�
Ve
rsã
o P
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im
ina
r.
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo escalar de outra
linha 31
3.2 Substituir uma linha pela soma desta linha mais um multiplo escalar de
outra linha
Por exemplo, substituir a linha i por multiplo escalar λ da linha j mais a linha i (que denotamos
por `i +λ` j→ `i) dá origem a uma nova matriz B ∈M(m×n) a seguinte forma:
A=

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
......
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
am1 am2 . . . amn

`i +λ` j→ `i−−−−−−−−→
B=

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
ai1 +λa j1 ai2 +λa j2 . . . ain +λa jn
...
...
...
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
am1 am2 . . . amn

.
Em particular, ao fazer esta operação elementar sobre a identidade obtemos, por exemplo para
o caso i > j:
Im =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 `i +λ` j→ `i−−−−−−−−→ Emi j (λ ) =

1 0 · · · · 0
...
. . . · · · ·
...
0 . . . 1 0 0 ·
...
·
...
. . .
...
...
0 · · · λ · · · 1 ·
...
...
... · · · . . .
...
0 0 · · · · 1

← i
← j
Fazer esta operação `i +λ` j→ `i sobre a matriz A é igual a multiplicar A a esquerda por Emi j (λ ),
isto é:
Se A→ B ao fazer a operação elementar λ` j + `i→ `i temos que B = Emi j (λ ) ·A.
Esta operação elementar pode ser revertida. De fato, ao substituir a linha i por um multiplo (−λ )
da linha j mais a linha i temos novamente A. Isto garante que
Emi j (−λ )Emi j (λ ) = Im.
� Exemplo 3.2 Seja
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 ,
e considerere a operação elementar `1 +2`2→ `1, isto é
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 `1 +2`2→ `1−−−−−−−−−→ B =

3 0 5
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 .
Ve
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im
ina
r.
32 Capítulo 3. Operações elementares
Em particular sobre a identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 `1 +2`2→ `1−−−−−−−−−→ E12(2) =

1 2 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Observamos que E12(2)A = B. Mais ainda
E12 (−2) =

1 −2 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

e
E12(−2)E12(2) = I e E12(−2)B = A.
�
3.3 Troca de posição de duas linhas de uma matriz
Por exemplo, trocar a posição da linha i da matriz A com a posição da linha j (que denotamos por
`i↔ ` j) dá origem a uma nova matriz B ∈M(m×n) da seguinte forma:
A =

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
am1 am2 . . . amn

`i↔ ` j−−−−→
B =

a11 a12 . . . a1n
...
...
...
a j1 a j2 . . . a jn
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
am1 am2 . . . amn

← i
← j
Em particular ao fazer esta operação sobre a identidade obtemos:
Im =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 `i↔ ` j−−−−→
Ve
rsã
o P
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im
ina
r.
3.3 Troca de posição de duas linhas de uma matriz 33
Emi j =

1 0 · · · · · · · · 0
...
. . . · · · · · · · · ·
...
0 · 1 · · · · ·· · ·
...
· · · 0 0 0 . . . 0 1 0 ·
...
· · · 0 1 0 . . . 0 0 · ·
...
· · ·
... 0
. . . · · · · ·
...
· · ·
...
... · . . . 0 · · ·
...
· · · 0 0 0 . . . 1 0 · ·
...
· · · 1 0 0 · · · 0 0 · ·
...
0 · · · · · · · · 1 ·
...
...
... · · · ·· · · · . . .
...
0 0 · · · · · · · · · 1

← i
← j
Fazer esta operação (`i↔ ` j) sobre a matriz A é igual a multiplicar A por Emi j , isto é:
Se A→ B ao fazer a operação `i↔ ` j temos que B = Ei jA.
Esta operação elementar pode ser revertida. De fato ao trocar novamente a posição das linhas i
e j da matriz B temos novamente A. Isto garante
Emi j E
m
i j = Im.
� Exemplo 3.3 Seja
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 ,
e considerere a operação elementar `3↔ `4, isto é
A =

1 2 3
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
 `3↔ `4−−−−→ B =

1 2 3
1 −1 1
0 0 1
0 1 −1
 .
Em particular sobre a identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 `3↔ `4−−−−→ E34 =

1 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
 .
Observamos que E34A = B. Mais ainda
E34E34 = I e E34B = A.
�
Ve
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r.
34 Capítulo 3. Operações elementares
3.4 Matriz escalonada Reduzida
Na discussão das operações elementares temos provado o seguinte resultado.
Proposição 3.4.1 Fazer uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz A de tamanho
m×n é equivalente a multiplicar A a esquerda por uma matriz quadrada E de tamanho m×m que é
obtida ao se fazer a operação elementar sobre a identidade Im. Isto é, a matriz obtida B de fazer a
operação elementar sobre A é igual a B = EA.
As operações elementares permitem definir uma relação no matrizes de tamanho m× n da
seguinte forma :
Dadas duas matrizes A,B ∈M(m×n) dizemos que A está relacionada com B (e o denotamos
A∼ B) se B pode ser obtida de A ao fazer um número finito de operações elementares.
� Exemplo 3.4 Fazemos
A =
 −1 1 1−1 1 1
−1 −1 1
`1 + `2→ `1−−−−−−−−→
 0 2 21 1 1
−1 −1 1
`3 + `2→ `3−−−−−−−−→
 0 2 21 1 1
0 0 2
 1
2
`1→ `1
−−−−−−→ 0 1 11 1 1
0 0 2
 1
2
`3→ `3
−−−−−−→
 0 1 11 1 1
0 0 1
`1↔ `2−−−−→
 1 1 10 1 1
0 0 1
= B
Então A∼ B. �
Vamos mostrar que esta é uma relação de equivalência, isto é, vamos mostrar que relação é
• reflexiva: A∼ A,
• simétrica: Se A∼ B então B∼ A
• transitiva: Se A∼ B e B∼C então A∼C
Mostramos agora estas propriedades:
Demonstração.
A∼ A: Toda A ∈M(m×n) está relacionada com ela propria, isto é A∼ A. De fato, por exemplo,
fazendo duas vezes a operação elementar troca de uma linha por outra vemos que A é obtida de A
por um número finito de operações elementares e, portanto, A∼ A.
Se A∼ B então B∼ A: Sejam A, B duas matrizes em M(m×n) tais que A está relacionada com B,
isto é A∼ B. Então B é obtida de A por meio de um número finito de operações elementares. Então
existem matrizes elementares E1, · · · ,Ek tais que
B = E1 · · ·Ek ·A.
Como toda operação elementar pode ser revertida, para cada matriz E j existe uma matriz elementar
E ′j tal que E
′
j E j = Im, de onde
E ′k · · ·E ′1 ·B = E ′k · · ·E ′1 ·E1 · · ·Ek ·A = ImA = A.
Dito de outra forma, A é obtida de B fazendo um número finito de operações elementares sobre
suas linhas. De onde segue que B∼ A.
Se A∼ B e B∼C então A∼C: Sejam A, B e C matrizes em M(m×n) tais que A está relacionada
com B e B está relacionada com C então existem matrizes elementares E1 · · ·Ek e D1 · · ·Dk tais que
B = E1 · · ·Ek . A e C = D1 · · ·Dk . B donde
C = D1 · · ·Dk ·B = D1 · · ·Dk ·E1 · · ·Ek ·A.
Portanto C é obtida de A ao fazer um número finito de operações elementares sobre suas linhas,
isto é, A∼C. �
Ve
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r.
3.4 Matriz escalonada Reduzida 35
Consideremos então uma matriz A ∈M(m×n) e todas as matrizes B que estão relacionadas
com A. Estas matrizes estão contidas em um conjunto [A] ⊂M(m×n) que é o conjunto de sua
classe de equivalencia, isto é, o conjunto
[A] = {B ∈M(m×n),B∼ A}.
Se B é uma matriz contida em [A] dizemos então que A e B são equivalentes por linhas. É facil
mostrar as seguintes propriedades.
Proposição 3.4.2
a) A ∈ [A],
b) A∼ B se e somente se [A] = [B],
c) [A]
⋂
[B] 6= /0 então [A] = [B],
d) B ∈ [A] então [A] = [B],
e) M(m×n) =
⋃
A∈M(m×n)[A].
Demonstração:
a) Utilizando que A∼ A temos que A ∈ [A] = {B,B∼ A} ⊂M(m×n).
b) Assuma A∼ B. Como ∼ é de equivalência, se
C ∼ A⇒C ∼ B⇒C ∈ [B].
Portanto [A]⊆ [B]. Similarmente se mostra que [B]⊆ [A] de onde [A] = [B].
Por outro lado, se [A] = [B]⇒ B ∈ [A]⇒ B∼ A.
c) Se C ∈ [A]
⋂
[B]⇒C ∼ A e C ∼ B então A∼C e C ∼ B⇒ A∼ B, pois ∼ é de equivalência,
assim [A] = [B] pelo item b)
d) Segue do item b).
e) Se M ∈M(m×n) então M ∈ [M] portanto
M(m×n) ⊂
⋃
A∈M(m×n)
[A].
Como ⋃
A∈M(m×n)
[A]⊂M(m×n), então
⋃
A∈M(m×n)
[A].
�
Obs. Observamos que em particular os itens b), c) e d) nos dizem que se duas matrizes A e B não
são equivalentes então [A]
⋂
[B] = /0.
Vemos então que para descrever uma classe de equivalencia só precisamos de uma matriz
na classe pois todas as outras vão ser obtidas ao fazer operações elementares sobre esta. Assim
dada uma classe, escolhemos um representante da classe que tenha a maior quantidade de 0 e 1
possíveis. Esse é motivo da seguinte definição.
Definição 3.4.1 Uma matriz A ∈M(m × n) é dita escalonada reduzida por linhas, ou simples-
mente escalonada reduzida, se
1- O pivô de cada linha de A, isto é, a primeira entrada não nula de cada linha, é 1
2- Cada coluna que contém o pivô de alguma linha tem todas as outras entradas nulas.
3- O pivô de cada linha ocorrea direita do pivô da linha anterior.
4- As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas.
Ve
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r.
36 Capítulo 3. Operações elementares
Obs. O item 3- nos diz que as matrizes escalonadas reduzidas tem zeros abaixo da diagonal, isto é,
tem a forma
∗ ∗ . . . ∗ ∗
0 ∗ . . . ∗ ∗
0 0
. . . ∗ ∗
0 0
. . . ∗ ∗
0 0 . . . 0 ∗

� Exemplo 3.5 1. A matriz
A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 ,
é escalonada reduzida.
2. A matriz
A =
 0 1 0 00 0 1 1
0 0 2 4
 ,
não é escalonada reduzida. De fato, observamos que 0 1 0 00 0 1 1
0 0 2 4
`3−2`2→ `3−−−−−−−−−→
 0 1 0 00 0 1 1
0 0 0 2
 1
2
`3→ `3
−−−−−−→
 0 1 0 00 0 1 1
0 0 0 1

`2− `3→ `2−−−−−−−−→
 0 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 ,
que é escalonada reduzida.
3. A matriz 1 0 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 ,
é escalonada reduzida.
4. A matriz
0 . . . 0
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0
 ,
é escalonada reduzida.
�
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r.
3.4 Matriz escalonada Reduzida 37
Teorema 3.4.3 Toda matriz A ∈M(m×n) é equivalente por linhas a uma única matriz escalo-
nada reduzida.
Demonstração: Seja A ∈M(m×n) uma matriz. Considere o seguinte jogo.
1 - Começamos pela primeira linha.
2 - Se ela for nula, fazemos uma operação elementar que a coloque na parte de baixo da matriz.
Se não for, procuramos a primeira entrada não nula e fazemos uma operação elementar para
tornar esta entrada igual a 1. O mesmo fazemos com todas as linhas não nulas.
3 - Fazendo novamente operações elementares colocamos as linhas de forma tal que os pivôs
apareçam conforme descemos nas linhas, a direita do pivô da linha anterior.
4- Se na linha de baixo tivermos pivôs abaixo do pivô da primeira linha, fazemos operações
elementares entre cada uma destas linhass e a primeira linha para trasladas estes pivôs para
outra coluna.
5- Fixamos a primeira linha e recomeçamos o processo a partir da segunda linha, e assim
sucessivamente.
Por este método obtemos uma matriz onde todas as linhas nulas estão abaixo e, na parte de cima,
os pivôs ocorrem de forma adequada. Agora, só resta zerar as entradas acima de cada pivõ, o que é
feito novamente via operações elementares, obtendo uma matriz escalonada reduzida. Observamos
que o processo é finito pois a matriz tem finitas entradas.
Para ver a unicidade, assuma que A é equivalente por linhas a duas matrizes escalonadas
reduzidas B1 e B2. Então B1 e B2 são equivalentes por linhas e portanto B2 é obtido de B1 fazendo
operações elementares. Mas estas operações devem ser identidade pois caso contrario B2 não pode
estar na sua forma escalonada reduzida. Donde B1 = B2.
�
O teorema anterior garante que toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz escalonada
reduzida. Por exemplo vemos que se A é uma matriz de 3×2 então ela é equivalente por linhas a
alguma das matrizes abaixo:
A1 =
 1 00 1
0 0
 A2 =
 1 00 0
0 0
 A3 =
 0 10 0
0 0
 A4 =
 0 00 0
0 0
 A5 =
 1 k0 0
0 0
 ,
com k ∈ R.
Obs. No caso das matrizes quadradas de tamanho n×n, a matriz escalonada reduzida é a identidade
In ou possui pelo menos uma linha nula. De fato se B é uma matriz escalonada reduzida
quadrada que não é a identidade então temos que para alguma linha o pivô está a direita da
diagonal. Por exemplo:
1 0 0 0 · · · ∗
0 1 ∗ 0 ∗· · · ∗
0 0 0 1 · · · ∗
0 0 0 0
. . . ∗
...
...
...
...
. . .
...
0 · · · · · · · · · · · · 0

Segue disto que os pivõs correspondentes as linhas inferiores estão a direita da diagonal. Pelo
fato da matriz ser quadrada temos que na linha n não haverá termos não nulos.
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38 Capítulo 3. Operações elementares
3.5 Exercícios resolvidos
1. Construa, para cada operação elementar a seguir, a correspondente matriz elementar.
(a) troca da linha 2 pela linha 4 sobre uma matriz de 5×4
(b) Multiplicar a linha 3 por 14 sobre uma matriz de 4×2
(c) Adicionar a linha 3 a linha 5 multiplicada pelo escalar 3 sobre uma matriz de 5×5.
Resolução: Para cada caso consideramos o tamanho da identidade em função do tamanho
da matriz A sobre a qual fazemos a operação elementar.
(a) A ∈M(5×4) entção I ∈M(5×5)

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
 `2↔ `4−−−−−−→

1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
= E
(b) A ∈M(4×2) entção I ∈M(4×4)

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 14 × `3→ `3−−−−−−−−−→

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 14 0
0 0 0 1
= E
(c) A ∈M(5×5) entção I ∈M(5×5)

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
 `3 +3× `5→ `3−−−−−−−−−−−−→

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 3
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
= E
2. Decida quais das matrizes abaixo estão na forma escalonada reduzida.
A =
 1 −2 −1 01 0 −1 1
0 1 0 2
 B =

1 0 0 5 0
0 1 0 2 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
 C =

1 0 0 5
0 1 0 2
0 0 1 1
1 0 0 −1

D =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 −1 1
 E =

1 0 1 2
0 1 1 2
0 2 1 1
−1 0 1 1
 F =

1 0 0 0
0 1 1 0
0 2 1 1
1 1 1 −1
 .
Resolução:
A =
 1 −2 −1 01 0 −1 1
0 1 0 2
 Não está na forma escalonada reduzida, pois o pivô
da linha 2 está abaixo do pivô da linha 1.
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3.5 Exercícios resolvidos 39
B =

1 0 0 5 0
0 1 0 2 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
 Está na forma escalonada reduzida.
C =

1 0 0 5
0 1 0 2
0 0 1 1
1 0 0 −1
 Não está na forma escalonada reduzida, pois o pivôda coluna 1 contém pivô, mas as outras entradas são 6= 0.
D =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 −1 1
 Não está na forma escalonada reduzida, pois o pivôda coluna 1 contém pivô, mas as outras entradas são 6= 0.
E =

1 0 1 2
0 1 1 2
0 2 1 1
−1 0 1 1
 Não está na forma escalonada reduzida, pois o pivôda coluna 1 contém pivô, mas as outras entradas são 6= 0.
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r.4. Matrizes Quadradas
Até agora introduzimos o conjunto das matrizes e estudamos as diferentes operações entre estes
objetos. Nesta seção pretendemos focar no caso particular das matrizes quadradas.
4.1 Matrizes Quadradas
Considere o conjunto das matrizes quadradas de tamanho n× n, isto é, M(n× n). Observamos
que M(n×n) comporta-se um pouco como o conjunto de números racionais Q no sentido em que
soma e produto de elementos do conjunto produzem elementos do conjunto, mais ainda, existe um
elemento neutro para a soma, que é a matriz 0, e um elemento neutro para o produto que é a matriz
In.
Vimos que, para o caso da soma, sempre podemos achar um inverso aditivo, isto é: dada uma
matriz A existe uma matriz −A tal que A+(−A) = 0. Será que o mesmo acontece com o produto?.
Ou melhor, dada uma matriz A ∈M(n×n) existe uma matriz B tal que BA = In?
Não precisamos ir muito longe para ver que isto não é verdade. De fato no caso n = 2 considere,
por exemplo, a matriz
A =
(
1 0
0 0
)
.
para qualquer matriz B =
(
a b
c d
)
temos que o produto de B com A dá
(
a b
c d
)(
1 0
0 0
)
=
(
a 0
c 0
)
6=
(
1 0
0 1
)
,
para qualquer matriz a,b,c,d escolhido.
No entanto, é interessante observar o seguinte:
Proposição 4.1.1 Seja A ∈M(n×n).
i- Se existe B tal que BA = In então AB = In.
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42 Capítulo 4. Matrizes Quadradas
ii- Se existe B tal que AB = In então BA = In.
iii- Se B e C são tais que AB = In = AC ou BA = In =CA então B =C.
Demonstração:
i- Seja B tal que BA = In. Sabemos que B é equivalente por linhas a uma matriz escalonada
reduzida, isto é, existem matrizes elementares E1 · · ·Ek tais que C = E1 · · ·EkB é uma matriz
escalonada reduzida. Mais ainda C deve ser a identidade pois, caso contrario, teriamos que C
possui uma linha nula de onde segue que CA tem uma linha nula e, como
CA = E1 · · ·EkBA = E1 · · ·EkIn = E1 · · ·Ek,
teriamos que a matriz E1 · · ·Ek tem uma linha nula, o que é impossível. De fato, se isso
acontecese a classe de equivalência da matriz identidade teria interseção com a classe de
equivalencia de uma matriz escalonada reduzida com linhas nulas o que é um absurdo.
Portanto C = In.
Como
B(In−AB) = BIn−In︷︸︸︷
BA B = B−B = 0
temos que
In−AB =
In︷ ︸︸ ︷
(E1 · · ·EkB)(In−AB)
= E1 · · ·Ek(B−BAB)
= E1 · · ·Ek(B−B) = 0,
de onde In = AB.
ii- Se existe B tal que AB = In então, pelas propriedades da transposta, temos que BtAt = In.
O item anterior garante então que AtBt = In ou, aplicando novamente as propriedades da
transposta, BA = In.
iii- Sejam B e C tais que AB = In = AC então
B = BIn = BAC = InC =C.
Análogamente o outro caso.
�
Tudo isso motiva a seguinte definição.
Definição 4.1.1 Uma matriz quadrada A de tamanho (n× n) é dita invertível se existe uma
matriz B tal que
AB = BA = In.
Neste caso, chamamos B de inversa de A e a denotamos por A−1.
Corolário 4.1.2 Seja A uma matriz invertível. Então a inversa é única.
Demonstração: Seja A−1 a inversa de A e assuma que existe B tal que AB = BA = In. Então:
B = B(AA−1) = (BA)A−1 = A−1.
Tem-se ainda que Ek · · ·E1 = A−1, isto é, são as operações elementares feitas na identidade que dão
A−1. �
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4.1 Matrizes Quadradas 43
� Exemplo 4.1 1. Toda matriz elementar é invertível. De fato se E é a matriz associada a uma
operação elementar e E ′ é a matriz elementar associada à operação elementar inversa temos
que
E ′E = I.
2. Seja
A =
 1 1 10 1 1
0 0 1
 e B =
 1 −1 00 1 −1
0 0 1
 ,
então AB = I. Portanto A é invertível.
�
Em particular, como consequência da demostração do item i- da Proposição 4.1.1 temos que A
é uma matriz invertível então ela é equivalente por linhas a matriz identidade. Dito de outra forma,
existem matrizes elementares E1 · · ·Ek tais que
Ek · · ·E1A = In.
E se uma matriz é equivalente por linhas a matriz identidade então, Ek · · ·E1A = In donde Ek · · ·E1 =
A−1 e portanto A é invertível. Temos provado o seguinte resultado.
Corolário 4.1.3 Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, é equivalente por linhas a
matriz identidade. Mais ainda, uma matriz é invertível se ela for produto de matrizes elementares.
� Exemplo 4.2 Dada a matriz
A =
 1 1 11 0 1
0 1 1
 .
Vamos fazer operações elementares para levar a matriz para a forma escalonada reduzida
A =
 1 1 11 0 1
0 1 1
`1− `3→ `1−−−−−−−−→
 1 0 01 0 1
0 1 1
`2− `1→ `2−−−−−−−−→
 1 0 00 0 1
0 1 1

`3− `2→ `3−−−−−−−−→
 1 0 00 0 1
0 1 0
`2↔ `3−−−−→
 1 0 00 1 0
0 0 1
= I.
Vamos fazer as mesmas operações elementares na identidade.
I =
 1 0 00 1 0
0 0 1
`1− `3→ `1−−−−−−−−→
 1 0 −10 1 0
0 0 1
`2− `1→ `2−−−−−−−−→
 1 0 −1−1 1 1
0 0 1

`3− `2→ `3−−−−−−−−→
 1 0 −1−1 1 1
1 −1 0
`2↔ `3−−−−→
 1 0 −11 −1 0
−1 1 1
= A−1.
De fato 1 1 11 0 1
0 1 1
 1 0 −11 −1 0
−1 1 1
=
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
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44 Capítulo 4. Matrizes Quadradas
Poderiamos ter feito isto tudo de uma única vez e simultaneamente se colocassemos a identidade
ao lado da matriz A e fizessemos as operações elementares nas duas
A︷ ︸︸ ︷ 1 1 11 0 1
0 1 1
|
|
|
I︷ ︸︸ ︷
1 0 0
0 1 0
0 0 1
`1− `3→ `1−−−−−−−−→
 1 0 0 | 1 0 −11 0 1 | 0 1 0
0 1 1 | 0 0 1

`2− `1→ `2−−−−−−−−→
 1 0 0 | 1 0 −10 0 1 | −1 1 1
0 1 1 | 0 0 1
`3− `2→ `3−−−−−−−−→
 1 0 0 | 1 0 −10 0 1 | −1 1 1
0 1 1 | 0 0 1

`2↔ `3−−−−→
 1 0 00 1 0
0 0 1︸ ︷︷ ︸
I
|
|
|
1 0 −1
1 −1 0
1 1 1

︸ ︷︷ ︸
A−1
.
�
Isto fornece um método valiosíssimo para achar a inversa de uma matriz que é o método de
Gauss-Jordan. A seguir o descrevemos: Seja A uma matriz invertível dada por
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann
 .
i- Construa a matriz aumentada [A|In] como segue
[A|In] =

a11 a12 · · · a1n | 1 0 · · · 0
a21 a22 · · · a2n | 0 1 · · · 0
...
...
. . .
... |
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann | 0 0 · · · 1
 .
ii- Faça operações elementares até levar [A|In] na sua forma escalonada reduzida.

1 0 · · · 0 | b11 b12 · · · b1n
0 1 · · · 0 | b21 b22 · · · b2n
...
...
. . .
... |
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1 | bn1 bn2 · · · bnn
 .
iii- A matriz
B =

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
...
...
. . .
...
bn1 bn2 · · · bnn
 .
É a inversa de A.
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4.2 Exercícios Resolvidos 45
Vamos brevemente justificar porque o método funciona. Assuma que A é invertível e sejam
E1 · · ·EkA = In e, claramente, A−1 = E1 · · ·Ek. Se multiplicarmos
E1 · · ·Ek[A|In] = [E1 · · ·EkA|E1 · · ·EkIn]
= [In|E1 · · ·Ek]
= [In|A−1].
Como [In|E1 · · ·Ek] é matriz escalonada reduzida associada a [A|In] temos que A−1 está unívoca-
mente determinada. Algumas propriedades da inversa são as seguintes:
Proposição 4.1.4
i- Se A é invertível então A−1 também o é. Mais ainda (A−1)−1 = A.
ii- Se A é invertível então (At)−1 = (A−1)t .
iii- Se A e B são invertíveis então AB também o é. Mais ainda (AB)−1 = B−1A−1.
Demonstração: i- Se A é invertível então
AA−1 = A−1A = I
portanto A é a inversa de A−1.
ii- Se A é invertível então
AA−1 = A−1A = I ⇒ (A−1)tAt = At(A−1)t = It = I
e portanto (At)−1 = (A−1)t .
iii- De fato
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
Então AB é invertível e (AB)−1 = B−1A−1.
�
4.2 Exercícios Resolvidos
1. Verifique se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa: Se A e B são duas matrizes tais que
AB está definido e resulta numa matriz invertível, então A e B são quadradas e invertíveis.
Resolução: (FALSO) Sejam
A =
(
1 0 0
0 1 0
)
B =
 1 00 1
0 0
 → AB = ( 1 0
0 1
)
.
2. Encontre a inversa de
A =

1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1

.
Resolução:
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46 Capítulo 4. Matrizes Quadradas
Para achar a matriz inversa, vamos utilizar o método de Gauss-Jordan. Para isto, devemos
construir a matriz aumentada M colocando a identidade I a direita da matriz A, isto é,
M = [A|I]
e fazer operações elementares sobre M até chegar na sua forma escalonada reduzida
M̃ = [I|B]
logo, o método garante que B = A−1.
Procedemos desta forma,
1 1 0 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 | 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 | 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 | 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1

`6− `7→ `6

1 1 0 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 | 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 | 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 | 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1

`5− `6→ `5

1 1 0 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 | 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 | 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1

`4− `5→ `4

1 1 0 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 | 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 −1 1 −1
0 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1

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4.2 Exercícios Resolvidos 47
`3− `4→ `3

1 1 0 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 | 0 0 1 −1 1 −1 1
0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 −1 1 −1
0 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1

`2− `3→ `2

1 1 0 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 | 0 1 −1 1 −1 1 −1
0 0 1 0 0 0 0 | 0 0 1 −1 1 −1 1
0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 −1 1 −1
0 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1

`1− `2→ `1

1 0 0 0 0 0 0 | 1 −1 1 −1 1 −1 1
0 1 0 0 0 0 0 | 0 1 −1 1 −1 1 −1
0 0 1 0 0 0 0 | 0 0 1 −1 1 −1 1
0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 −1 1 −1
0 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1

.
Portanto
A−1 =

1 −1 1 −1 1 −1 1
0 1 −1 1 −1 1 −1
0 0 1 −1 1 −1 1
0 0 0 1 −1 1 −1
0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1

.
Juntando as partes podemos responder: A matriz inversa de A é
A−1 =

1 −1 1 −1 1 −1 1
0 1 −1 1 −11 −1
0 0 1 −1 1 −1 1
0 0 0 1 −1 1 −1
0 0 0 0 1 −1 1
0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 1

.
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48 Capítulo 4. Matrizes Quadradas
3. Calcular a inversa da matriz
A =
 1 2 21 3 1
1 3 2

Resolução:
Para achar a matriz inversa, vamos utilizar o método de Gauss-Jordan. Para isto, devemos
construir a matriz aumentada M colocando a identidade I a direita da matriz A, isto é,
M = [A|I],
e fazer operações elementares sobre M até chegar na sua forma escalonada reduzida
M̃ = [I|B].
Logo, o método garante que B = A−1.
Procedemos desta forma, se
A =
 1 2 21 3 1
1 3 2

construimos a matriz 1 2 2 | 1 0 01 3 1 | 0 1 0
1 3 2 | 0 0 1
 ,
e fazemos operações elementares sobre ela, até chegar na matriz escalonada reduzida.
 1 2 2 | 1 0 01 3 1 | 0 1 0
1 3 2 | 0 0 1
 `3− `2→ `3
 1 2 2 | 1 0 01 3 1 | 0 1 0
0 0 1 | 0 −1 1
 `1−2`3→ `1
`2− `3→ `2 1 2 0 | 1 2 −21 3 0 | 0 2 −1
0 0 1 | 0 −1 1
 `2− `1→ `2
 1 2 0 | 1 2 −20 1 0 | −1 0 1
0 0 1 | 0 −1 1
 `1−2`2→ `1
 1 0 0 | 3 2 −40 1 0 | −1 0 1
0 0 1 | 0 −1 1
 ,
que está na forma escalonada reduzida.
Do método de Gauss-Jordan, obtemos que
Ve
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rel
im
ina
r.
4.2 Exercícios Resolvidos 49
A−1 =
 3 2 −4−1 0 1
0 −1 1
 .
Juntando as partes podemos responder:
A inversa de A é
A−1 =
 3 2 −4−1 0 1
0 −1 1
 .
4. Verifique se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa: Se A e B são duas matrizes tais que
AB está definido e resulta numa matriz invertível, então A e B são quadradas e invertíveis.
Resolução: (FALSO) Sejam
A =
(
1 0 0
0 1 0
)
B =
 1 00 1
0 0
 → AB = ( 1 0
0 1
)
.
5. Calcule a inversa da seguinte matriz
A =

1 1 1 1
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 1 1 −1

Depois faça A−1A e mostre que é igual a identidade I.
Resolução:
Utilizamos o método de Gauss-Jordan para inversão de matrizes. Para isto, contruimos a
matriz M = [A|I] colocando A e depois a identidade I. E levamos M a sua forma escalonada
reduzida M̃ = [I|B]. Então A−1 = B.
Assim
1 1 1 1 | 1 0 0 0
1 −1 −1 −1 | 0 1 0 0
1 1 −1 −1 | 0 0 1 0
1 1 1 −1 | 0 0 0 1
 `2− `1→ `2`3− `1→ `3
`4− `1→ `4
−−−−−−−−−→
1 1 1 1 | 1 0 0 0
0 −2 −2 −2 | −1 1 0 0
0 0 −2 −2 | −1 0 1 0
0 0 0 −2 | −1 0 0 1
 12`2→ `2−−−−−−−→

1 1 1 1 | 1 0 0 0
0 1 1 1 | 1/2 −1/2 0 0
0 0 −2 −2 | −1 0 1 0
0 0 0 −2 | −1 0 0 1
 `1− `2→ `1−−−−−−−−−→

1 0 0 0 | 1/2 1/2 0 0
0 1 1 1 | 1/2 −1/2 0 0
0 0 −2 −2 | −1 0 1 0
0 0 0 −2 | −1 0 0 1
 12`3→ `3−−−−−−−→
Ve
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r.
50 Capítulo 4. Matrizes Quadradas

1 0 0 0 | 1/2 1/2 0 0
0 1 1 1 | 1/2 −1/2 0 0
0 0 1 1 | 1/2 0 −1/2 0
0 0 0 −2 | −1 0 0 1
 `2− `3→ `2−−−−−−−−−→

1 0 0 0 | 1/2 1/2 0 0
0 1 0 0 | 0 −1/2 1/2 0
0 0 1 1 | 1/2 0 −1/2 0
0 0 0 −2 | −1 0 0 1
 12`4→ `4−−−−−−−→

1 0 0 0 | 1/2 1/2 0 0
0 1 0 0 | 0 −1/2 1/2 0
0 0 1 1 | 1/2 0 −1/2 0
0 0 0 1 | 1/2 0 0 −1/2
 `3− `4→ `3−−−−−−−−−→

1 0 0 0 | 1/2 1/2 0 0
0 1 0 0 | 0 −1/2 1/2 0
0 0 1 0 | 0 0 −1/2 1/2
0 0 0 1 | 1/2 0 0 −1/2

Identificamos então
M̃ =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1︸ ︷︷ ︸
I
|
|
|
|
1/2 1/2 0 0
0 −1/2 1/2 0
0 0 −1/2 1/2
1/2 0 0 −1/2

︸ ︷︷ ︸
A−1
De onde segue que
A−1 =

1/2 1/2 0 0
0 −1/2 1/2 0
0 0 −1/2 1/2
1/2 0 0 −1/2

Agora calculamos
A−1A =

1/2 1/2 0 0
0 −1/2 1/2 0
0 0 −1/2 1/2
1/2 0 0 −1/2


1 1 1 1
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 1 1 −1
=

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Ve
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rel
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r.5. Determinante de uma matriz quadrada
Neste capítulo vemos a definição de determinante de uma matriz quadrada. O determinante pode
ser visto como uma função do espaçõ das matrizes nos reais que satisfaz uma serie de propriedades
que a tornam única.
5.1 Determinantes
Definição 5.1.1 Uma função D : M(n×n)→ R é dita n-linear se, satisfaz
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann
= D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+cD

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann
 ,
para todo 1≤ k ≤ n.
� Exemplo 5.1 Sejam `1, . . . , `n inteiros positivos e menores ou iguais do que n e b ∈ R. A função
D : M(n×n)→ R definida por
D(A) = b([A]1`1 · · · [A]n`n).
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r.
52 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
é n-linear. De fato, para todo 1≤ k ≤ n, temos
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann
 = b(a1`1 · · ·(ak`k + cbk`k) · · ·an`n)
= b(a1`1 · · ·ak`k · · ·an`n)+ cb(a1`1 · · ·cbk`k · · ·an`n)
= D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ cD

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann
 .
�
Lema 5.1.1 Dadas D1, . . . ,Dk funções n−lineares e b1, . . . ,bk ∈ R. A função
D = b1D1 + · · ·+bkDk,
é n−linear.
Demonstração: De fato,
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann
 = b1D1

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann

+ · · ·+bkDk

a11 · · · a1n
...
...
ak1 + cbk1 · · · akn + cbkn
...
...
an1 · · · ann

= b1D1

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ · · ·+ cb1D1

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann

+ · · ·+bkDk

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ cbkDk

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann

Ve
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5.1 Determinantes 53
= D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann
+ cD

a11 · · · a1n
...
...
bk1 · · · bkn
...
...
an1 · · · ann
 .
�
Definição 5.1.2 Uma função n linear é alternada se D(A) = 0 sempre que duas lineas de A
sejam iguais.
Corolário 5.1.2 Seja D alternada e assuma que A′ é obtida de A de intercambiar duas lineas
então D(A′) =−D(A).
Demonstração: Se D é alternada, então para quaisquer l e k temos
0=D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
an1 · · · ann

=D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 +al1 · · · akn +aln
...
...
an1 · · · ann

=D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

= 0+D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

+D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

+0.
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54 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Portanto
D

a11 · · · a1n
...
...
ak1 · · · akn
...
...
al1 · · · aln
...
...
an1 · · · ann

=−D

a11 · · · a1n
...
...
al1 · · · aln
...
...
ak1 · · · akn
...
...
an1 · · · ann

.
�
Definição 5.1.3 Uma função D : M(n×n)→ R é chamada de função determinante se ela é
uma função n-linear, alternada tal que D(I) = 1 para I matriz identidade.
� Exemplo 5.2 Seja D uma função n−linear alternada e A uma matriz em M(2×2) então
D
(
a b
c d
)
= D
(
a+0 0+b
0+ c d +0
)
= D
(
a 0
0+ c d +0
)
+D
(
0 b
0+ c d +0
)
= D
(
a 0
0 d
)
+D
(
a 0
c 0
)
+D
(
0 b
0 d
)
+D
(
0 b
c d
)
= adD
(
1 0
0 1
)
+acD
(
1 0
1 0
)
+bdD
(
0 1
0 1
)
+ cdD
(
0 1
1 0
)
= adD
(
1 0
0 1
)
+0+0+ cdD
(
0 1
10
)
= (ad +(−cd))D
(
1 0
0 1
)
.
Portanto existe uma única função determinante D para matrizes em M(2×2) e é dada por
D
(
a b
c d
)
= ad−bc.
Isto provém do fato de que a função determinante satisfaz
D
(
1 0
0 1
)
= 1.
�
Definição 5.1.4 Se n > 1 e A é uma matriz em M(n×n,K) denotamos por A(i| j) a matriz em
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5.1 Determinantes 55
M((n−1)× (n−1)) que é obtida de A apagando-se a linha i e a coluna j. Isto é, se
A =

a11 · · · a1 j−1 a1 j a1 j+1 · · · a1n
...
...
...
...
...
...
...
ai−11 · · · ai−1 j−1 ai−1 j ai−1 j+1 · · · ai−1n
ai1 · · · ai j−1 ai j ai j+1 · · · ain
ai+11 · · · ai+1 j−1 ai+1 j ai+1 j+1 · · · ai+1n
...
...
...
...
...
...
...
an1 · · · an j−1 an j an j+1 · · · ann

então
A(i| j) =

a11 · · · a1 j−1 a1 j+1 · · · a1n
...
...
...
...
...
...
ai−11 · · · ai−1 j−1 ai−1 j+1 · · · ai−1n
ai+11 · · · ai+1 j−1 ai+1 j+1 · · · ai+1n
...
...
...
...
...
...
an1 · · · an j−1 an j+1 · · · ann

.
Se D é uma função n−1-linear denotamos
Di jA = D(A(i| j)).
Teorema 5.1.3 Seja n > 1 e D uma n−1-função linear alternada em M((n−1)× (n−1)). Para
todo j a função E j : M(n×n)→ R definida por
E j(A) =
n
∑
i=1
(−1)i+ jAi j(Di jA),
é uma n-função linear alternada. Mais ainda se D é uma função determinante E j também o é.
Demonstração: Seja A uma matriz de tamanho n×n. Então, Di j(A) é independente da i−ésima
fila de A e como D é (n−1)linear temos que Di j é (n−1) linear com respeito a qualquer linha de
A diferente de i. Então Ai jDi jA é n linear por um resultado acima. Como a soma e produto por
escalar de funções n−lineares é n−linear temos que E j definida como acima é n−linear.
Assuma que A tem duas linhas iguais. Observamos que é suficiente supor que as linhas são
adjacentes. Então assuma que a linha k é igual à linha k+1. Se i 6= k, k+1, a matriz A(i| j) tem
duas linhas iguais e Di j(A) = 0. Portanto
E j(A) = (−1)k+ jAk jDk j(A)+(−1)k+1+ jA(k+1) jD(k+1) j(A).
Mas como Ak j = A(k+1) j e A(k| j) = A(k+1| j) temos que E j(A) = 0.
Se D é uma função determinante e I é a identidade de tamanho n×n, então I( j| j) é a identidade
de tamanho (n−1)× (n−1) e como
Ii j =
{
1 se i = j
0 se i 6= j ,
segue que E j(I) = D(I( j| j)) = 1. �
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56 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Corolário 5.1.4 Existe uma função determinante em M(n×n).
Demonstração: Sabemos que existe a função determinante em matrizes de 1×1 definida por
det(a) = a
e para matrizes de tamanho 2×2, definida pelo exemplo 5.2, em que
det
(
a b
c d
)
= ad−bc.
Utilizando o teorema anterior definimos a função determinante para matrizes de tamanho n×n por
meio do seguinte esquema
i- Se n = 1 então A = (a) donde det(A) = a.
ii- Se n > 1 então
det(A) = (−1)i+ jai1 det(A(i|1))+ · · ·+(−1)i+nain det(A(i|n)),
ou equivalentemente
det(A) = (−1) j+1a1 j det(A(1| j))+ · · ·+(−1) j+nan j det(A(n| j)).
Para qualquer 1≤ i, j ≤ n escolhidos (vamos ver na próxima seção que de fato é independente da
escolha de i ou j). A primeira fórmula corresponde ao cálculo do determinante com respeito à
coluna j e a segunda corresponde ao cálculo de determinante com respeito a linha i.
Observamos que a fórmula assim obtida dá uma função determinante, isto em virtude do
teorema 5.1.3 De fato, vejamos que para n = 2 temos a função D obtida no exemplo 5.2. Para isto,
seja A ∈M(2×2) dada por
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
,
escolhemos calcular o determinante com respeito a linha 1. Então
det(A) = (−1)1+1a11 det((a22))+(−1)1+2a12 det((a21))
= a11a22−a12a21.
Mostramos agora como funciona a recursão fazendo as contas para n = 3 seja A ∈M(3×3)
dada por
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 .
Escolhemos calcular novamente o determinante com respeito a linha 1 e vamos utilizar a formula
achada para o cálculo de determinantes de matrizes de tamanho 2 × 2. Assim
det(A) = (−1)1+1a11 det
(
a22 a23
a32 a33
)
+(−1)1+2a12 det
(
a21 a23
a31 a33
)
+(−1)1+3a13 det
(
a21 a22
a31 a32
)
= a11
(
a22a33−a23a32
)
+a12
(
a21a33−a23a31
)
+a13
(
a21a32−a32a22
)
.
Portanto a função det assim definida é uma função determinante.
�
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5.1 Determinantes 57
Obs. Para simplificar a notação é definido o cofator da entrada ai j da matriz A de tamanho n×n
como o número āi j obtido por
āi j = (−1)i+ j det(A(i| j)).
Com esta notação, a formula para o cálculo do determinante fica
det(A) = ai1ãi1 + · · ·+ainãin,
ou equivalentemente
det(A) = a1 jã1 j + · · ·+an jãn j.
� Exemplo 5.3 Vamos mostrar como calcular o determinante de uma matriz utilizando a fórmula
acima. Calculamos o determinante da matriz abaixo a partir da terceira linha.
det

1 0 1 1
0 1 2 1
1 0 1 3
−1 1 −1 1
 = (−1)(1+1)(1)det
 0 1 11 2 1
1 −1 1

+(−1)(1+2)(0)det
 1 1 10 2 1
−1 −1 1

+(−1)(1+3)(1)det
 1 0 10 1 1
−1 1 1

+(−1)(1+4)(3)det
 1 0 10 1 2
−1 1 −1

Portanto, precisamos calcular os seguintes
det
 0 1 11 2 1
1 −1 1
 = 0+(−1)(1+2)(1)det( 1 1
1 1
)
+(−1)(1+3)(1)det
(
1 2
1 −1
)
= 0+(−1×0)+(1×−3) =−3.
det
 1 0 10 1 1
−1 1 1
 = (−1)1+1(1)det( 1 1
1 1
)
+0+(−1)1+3(1)
(
0 1
−1 1
)
= 0+0+1 = 1.
det
 1 0 10 1 2
−1 1 −1
 = (−1)1+1(1)det( 1 2
1 −1
)
+0+(−1)1+3 det
(
0 1
−1 1
)
= (1×−3)+0+(1×1) =−2.
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58 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Substituindo temos,
det

1 0 1 1
0 1 2 1
1 0 1 3
−1 1 −1 1
= (1×−3)+0+(1×1)+(−3×−2) = 4.
�
5.2 Determinante via permutações
Nesta seção vamos mostrar que a função determinante definida na seção anterior é única e indepen-
dente da escolha da coluna ou linha escolhida. Também vamos mostrar um método mais simples
para o cálculo do mesmo.
Seja e j ∈M(1×n) a matriz linha definida por
e j = (0, . . . ,0,
j︷︸︸︷
1 ,0, . . . ,0)
onde o número 1 está na posição j. Com esta notação temos que todam matriz linha α = (a1, . . . ,an)
em M(1×n) pode ser escrita da forma
(a1, . . . ,an) = a1(1,0, . . . ,0)+ · · ·+an(0, . . . ,0,1)
ou, equivalentemente
α =
n
∑
i=1
aiei.
Portanto, para toda função n-linear D em M(n×n) temos
D(A) = D
(
n
∑
i1=1
[A]1i1ei1 ,α2, . . . ,αn
)
=
n
∑
i1=1
[A]1i1 ∗D
(
ei,
n
∑
i2=1
[A]2i2ei2 , . . . ,αn
)
=
n
∑
i1,i2=1
[A]1ii ∗ [A]2i2D(ei1 ,ei2 , . . . ,αn)
...
=
n
∑
i1,...,in=1
([A]1ii ∗ . . .∗ [A]nin)D
 ei1...
ein
 .
Se pedimos que D seja alternada temos que os termos dos produtos que involvem
D
 ei1...
ein
 ,
onde ei j = eik para algum k e j, são identicamente nulos.
Ve
rsã
o P
rel
im
ina
r.
5.2 Determinante via permutações 59
Definição 5.2.1 Uma n-upla de inteiros positivos (i1, . . . , in) tais que 1 ≤ i j ≤ n para todo
j = 1 . . .n e i j 6= ik para todos j e k é chamada uma permutaão de grau n do conjunto (1, . . . ,n).
Assim, uma permtação é definida como uma função bijetora σ : {1, . . . ,n}→ {1, . . . ,n}. Uma
tal função define uma n-upla (σ1, . . . ,σn) e é por tanto uma regra para reorganizar os elementos
1,2, . . . ,n de alguma forma definida. Em particular se
σ(1, . . . ,n) = (σ1, . . . ,σn)
então
σ(i) = σi ∀ i ∈ {1, . . . ,n}.
Um fato básico em permutações é o seguinte:
Toda permutação σ pode ser obtida de uma suceção de intercambio de pares.
Esta suceção pode ser de diferentes formas mas o número de intercambio de pares utilizados é
sempre sempre par ou impar e isto depende somente da permutação.
Definição 5.2.2 Uma permutação σ : {1, . . . ,n}→ {1, . . . ,n} é dita
• par se o número de intercambios utilizado for par.
• impar se o número de intercámbios utilizados for impar.
O sinal da permutação sigma será
sinal(σ) =
{
1 se σ par
−1 se σ impar .
� Exemplo 5.4 • A permutação σ = (1,3,4,2,5) é par pois pode ser vista como composta
dos seguintes intercâmbios de pares
σ1 : (1,2,3,4,5)→ (1,3,2,4,5), σ2 : (1,2,3,4,5)→ (1,2,4,3,5).
Então
σ = σ2 ◦σ1(1,2,3,4,5) = σ2(1,3,2,4,5) = (1,3,4,2,5).
• A permutação σ = (3,2,1) é impar pois pode ser vista como composta dos seguintes inter-
câmbios depares
σ1 : (1,2,3)→ (2,1,3) σ2 : (1,2,3)→ (1,3,2),
da seguinte forma,
σ = σ1 ◦σ2 ◦σ1(1,2,3) = σ1 ◦σ2(2,1,3) = σ1(2,3,1) = (3,2,1).
�
Podemos então escrever
D(A) =
n
∑
i1,...,in=1
([A]1ii ∗ . . .∗ [A]nin)D
 ei1...
ein

= ∑
diferentes permutações σ
([A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n))D
 eσ(1)...
eσ(n)

Ve
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60 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
pois os termos com ei j = eik cancelam e só restam aqueles que são um reordenamento de {1, . . . ,n}
isto é, as permutações.
Por otro lado, pelo fato de D ser alternada, temos que
D
 eσ(1)...
eσ(n)
= sinal(σ)D
 e1...
en
 .
Portanto podemos escrever
D(A) = ∑
diferentes permutações σ
(sinal(σ)([A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n))D(e1, . . . ,en) .
ou
D(A) =
(
∑
diferentes permutações σ
(sinal(σ)∗ [A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n))
)
D(I).
Se denotamos por det(A) a
det(A) = ∑
diferentes permutações σ
(sinal(σ)∗ [A]1σ(1) ∗ . . .∗ [A]nσ(n)).
temos mostrado o seguinte resultado.
Teorema 5.2.1 Existe uma unica função determinante em M(n×n) definida por det(A). Mais
ainda, toda função n-linear alternada D em M(n×n) satisfaz
D(A) = det(A)D(I).
Obs. Como consequência deste teorema temos que o determinante pode ser visto como um
polinômio nas entradas da matriz.
� Exemplo 5.5 Vamos ver como obter a fórmula do determinante para uma matriz de tamanho
2×2 com este formalismo.
Primeiramente observamos que para n = 2 temos duas permutações
σ(1,2) = (1,2) com sinal(σ) = 1
λ (1,2) = (2,1) com sinal(λ ) =−1
Então, se
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
temos que
det(A) = sinal(σ)a1σ(1)a2σ(2)+ sinal(λ )a1λ (1)a2λ (2)
= a11a22−a12a21.
�
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5.2 Determinante via permutações 61
Corolário 5.2.2 Se D é uma função determinante as E j são todas iguais. Dito de outra forma, o
cálculo do determinante não depende da escolha da línea ou coluna.
Teorema 5.2.3 Sejam A e B matrizes em M(n×n) então
det(AB) = det(A)det(B).
Demonstração: Fixamos B e definimos D(A) = det(AB). É simples ver que D é n- linear e
alternada. Portanto, por um resultado acima temos que
D(A) = det(A)D(I),
mas
D(I) = det(IB) = det(B).
�
Proposição 5.2.4
det(At) = det(A).
det(A) =
n
∑
i=1
(−1)i+ j[A]i jdet(A(i| j)).
Demonstração: A primeira identidade segue de
det(At) = ∑
σ
(sinal(σ))[A]σ1,1 . . . [A]σn,n
= ∑
σ
(sinal(σ−1))[A]1,σ−11 . . . [A]n,σ−1n .
A segunda provem do fato de que todas as funções alternadas E j são funções determinante.
�
A fórmula vista para o determinante permite o cálculo do determinante de qualquer matriz de
tamanho n×n, porém tem um grande defeito que é o volume de contas a fazer. Já no caso 4×4
temos que calcular o determinante de 4 matrizes de tamanho 3×3 o que resulta em muito trabalho.
A ideia então é obter, a partir da definição de determinante, um método mais simples para o cálculo.
� Exemplo 5.6 1. Uma matriz A de tamanho n×n que possui uma linha ou uma coluna nula
tem determinante igual a 0. De fato, se calculamos o determinante a partir desta linha ou
coluna obtemos que cada término é 0.
2. Seja A uma matriz triangular superior, isto é uma matriz da forma
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · ann
 .
Então
det(A) = a11a22 · · ·ann.
Ve
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62 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Provamos isso por indução. Claramente vale para matrizes de tamanho 2×2. Assuma como
válido para matrizes de tamanho n× n, vamos mostrar o caso (n+ 1)× (n+ 1). Para isto
calculamos o determinante com respeito a primeira coluna e obtemos
det(A)=

a11 a12 a13 · · · a1n+1
0 a22 a23 · · · a2n+1
0 0 a33 · · · a3n+1
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · an+1n+1
=(−1)1+1a11 det

a22 a23 · · · a2n+1
0 a33 · · · a3n
...
. . .
...
0 0 · · · an+1n+1
+0.
Agora, utilizando a hipótese indutiva temos
det(A) = a11a22 · · ·an+1n+1.
Como queriamos mostrar.
�
Teorema 5.2.5 Seja E uma matriz elementar.
i- Se B é uma matriz obtida a partir de multiplicar uma linha da In por um escalar λ 6= 0
então
det(B) = λ .
ii- Se B é uma matriz obtida a partir de trocar duas linhas de In, então
det(B) =−1.
iii- Se B é uma matriz obtida a partir de adicionar a uma linha de In um multiplo escalar de
outra linha de In então
det(B) = 1.
Demonstração: Consequência direta do teorema anterior e do fato det(In) = 1. �
Portanto se B é obtida de A e de fazer uma operação elementar E então temos que
det(B) = det(E)det(A).
Inductivamente podemos provar que se B = E1 · · ·EkA, para E1 · · · ,Ek matrizes elementares então
det(B) = det(E1) · · ·det(Ek)det(A).
Teorema 5.2.6 Seja A uma matriz de tamanho n×n.
i- Se B é uma matriz obtida a partir de multiplicar uma linha de A por um escalar λ 6= 0 então
det(B) = λ det(A).
ii- Se B é uma matriz obtida a partir da troca de duas linhas de A então
det(B) =−det(A).
iii- Se B é uma matriz obtida a partir de adicionar uma linha de A um múltiplo escalar de outra
Ve
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5.2 Determinante via permutações 63
linha de A, então
det(B) = det(A).
Demonstração: Segue do teorema anterior e de utilizar a propriedade det(AB) = det(A)det(B).
�
Juntando todo o visto até agora temos que para calcular determinates, podemos utilizar as
seguintes propriedades:
1. det(I) = 1.
2. det(At) = det(A).
3. Se A é uma a matriz triangular superior de tamanho n×n então
det(A) = det

a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · ann
= a11a22 · · ·ann.
4. Se A tem linha nula então det(A) = 0.
5. Se B é uma matriz obtida a partir de multiplicar uma linha de A por um escalar λ 6= 0 então
det(B) = λ det(A).
6. Se B é uma matriz obtida a partir da troca de duas linhas de A então
det(B) =−det(A).
7. Se B é uma matriz obtida a partir de adicionar uma linha de A um múltiplo escalar de outra
linha de A, então
det(B) = det(A).
� Exemplo 5.7 Vamos ver como estas propriedades funcionam com um exemplo. Calculando
det(A) para
A =

1 0 1 1
1 1 0 0
0 2 0 1
0 0 1 2

Começamos fazendo operações elementares sobre A até leva-lá numa matriz triangular superior.
A =

1 0 1 1
1 1 0 0
0 2 0 1
0 0 1 2
 `2− `1→ `2−−−−−−−−→ A2 =

1 0 1 1
0 1 −1 −1
0 2 0 1
0 0 1 2
`3−2`2→ `3−−−−−−−−−→
A3 =

1 0 1 1
1 1 −1 −1
0 0 2 3
0 0 1 2
`4− 12`3→ `4−−−−−−−−−→ A4 =

1 0 1 1
0 1 −1 −1
0 0 2 3
0 0 0 1/2

Como det(A4) = 1×1×2× 12 = 1 e det(A) = det(A2) = det(A3) = det(A4) temos det(A) = 1. �
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64 Capítulo 5. Determinante de uma matriz quadrada
Corolário 5.2.7 Seja A uma matriz e B sua forma escalonada reduzida. Sejam E1 · · ·Ek as
matrizes elementares tais que
B = E1 · · ·EkA.
Então B 6= I se det(A) = 0. Caso contrário
det(A) =
1
det(E1) · · ·det(Ek)
.
Demonstração: Se B não é a identidade então necessariamente tem uma linha nula. Portanto
det(B) = 0. Utilizando que
det(B) = det(E1) · · ·det(Ek)det(A).
Temos que se B 6= I então det(A) = 0 e se B = I,
det(A) =
1
det(E1) · · ·det(Ek)
.
�
Corolário 5.2.8 Uma matriz quadrada A é invetível se, e somente se, det(A) 6= 0.
Demonstração: Segue do resultado anterior e do fato que uma matriz é invertível se, e somente se
é equivalente por linhas a identidade. �
Finalizamos esta seção observando o seguinte diagrama de equivalências
A é invertível ks +3 A∼ I
det(A) 6= 0
t|
4<
5.3 Adjunta de uma matriz quadrada
Seja A uma matriz de tamanho n×n dada por
A =
 a11 · · · a1n... . . . ...
an1 · · · ann
 .
Lembramos que o cofator da entrada ai j é o número
ãi j = (−1)i+ j det(A(i| j)) = (−1)i+ j det

a11 · · · a1 j−1 a1 j+1 · · · a1n
...
...
...
...
...
...
ai−11 · · · ai−1 j−1 ai−1 j+1 · · · ai−1n
ai+11 · · · ai+1 j−1 ai+1 j+1 · · · ai+1n
...
...
...
...
...
...
an1 · · · an j−1 an j+1 · · · ann

.
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5.3 Adjunta de uma matriz quadrada 65
Definição 5.3.1 A matriz adjunta de A, que denotamos por ad j(A), é a matriz
ad j(A)