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Unidade IV
Unidade IV
7 ENERGIA E LEIS DA CONSERVAÇÃO
É comum escutarmos os termos “trabalho” e “energia”. A palavra trabalho, na maioria das vezes, 
causa confusão entre os estudantes. Por esse motivo, vamos utilizar a parte inicial desta unidade para 
entender melhor seu significado. 
Usamos o termo “trabalho” para nos referir, por exemplo, à quantidade de energia que foi transferida a um 
sistema pela aplicação de uma força sobre um objeto com a intenção de deslocá-lo ao longo de uma trajetória. 
Portanto, só iremos observar trabalho nos casos em que o objeto sofrer deslocamento. Se aplicarmos uma força 
que não é suficiente para mover o objeto, então dizemos que o trabalho é nulo nesse sistema. 
Vamos imaginar que aplicamos uma força sobre um bloco com o objetivo de deslocá-lo sobre uma 
superfície lisa. Dessa forma, podemos desprezar a existência da força de atrito entre o bloco e a superfície. 
7.1 Forças constantes e trabalho unidimensional
Imagine um primeiro caso em que desejamos deslizar um bloco de massa (m) ao longo de uma 
trajetória horizontal pela aplicação de uma força (F) constante, que é paralela ao plano, movendo o 
bloco da posição inicial X0 até sua nova posição X. Iremos observar dessa maneira uma variação da 
posição do bloco, representada por ΔX = X - X0. 
F
Peso Normal
Δx
X0 X
Figura 105 
Definimos trabalho (W) como sendo a força (F) aplicada sobre o bloco para realizar o deslocamento 
representado por Δx ao longo da trajetória horizontal unidimensional. Podemos representá-lo 
matematicamente pela equação a seguir:
W = F . ΔX
Trabalho = Força x deslocamento
177
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Uma segunda possibilidade é acionar o movimento do bloco pela aplicação de uma força (F) que 
forma um ângulo θ com o plano horizontal: 
F
Peso Normal
θ
Figura 106 
Nesse caso, apenas a componente horizontal da força (F) deve ser levada em consideração no cálculo 
do trabalho realizado. Ela será identificada na figura a seguir como Fx..
F
Peso Normal
θ Fx
Fy
Figura 107 
Ao analisarmos o triângulo formado na figura entre as forças F (em vermelho) e Fx (em rosa), 
podemos concluir que a força Fx representa o cateto adjacente ao ângulo θ. Dessa maneira, a figura 
pode ser analisada e, se aplicarmos trigonometria, chegaremos à conclusão de que a componente de 
força Fx pode ser determinada pelo produto da força F e do cosseno do ângulo formado entre essa força 
e o plano horizontal θ. Então, teremos que:
FX = F . cosθ
A equação do trabalho (W = F . ΔX) poderia ser reescrita de forma mais adequada para representar 
apenas a sua dependência em relação à componente Fx:
 W = Fx . ΔX
Desse modo, chegamos à expressão que nos permitirá o cálculo do trabalho realizado para deslocar 
o bloco pela aplicação de uma força inclinada, indicada na equação a seguir:
W = F . ΔX . cosθ
178
Unidade IV
Importante notar a existência de uma componente Fy na vertical e perceber que ela não contribui 
para o deslocamento do bloco sobre o plano horizontal, não devendo ser considerada nos cálculos para 
determinação do trabalho realizado.
Da equação anterior, podemos perceber que, como a força e o deslocamento são grandezas vetoriais, 
a forma é a de um produto escalar, dado pelo produto do módulo dos dois vetores vezes o cosseno do 
ângulo entre eles. Logo, podemos escrever o trabalho na forma final, dada por:
W F X=
� � ��
.∆
Como a força F foi considerada constante durante o deslocamento do bloco, suas componentes Fx e 
Fy também se mantêm com valores constantes ao longo da trajetória, representada por ΔX. Sendo assim, 
não ocorreu variação da intensidade, direção ou sentido de Fx.
O trabalho realizado no sistema proposto em nosso exemplo pode ser representado em um gráfico, 
no qual temos a variação da posição relacionada a uma força constante aplicada sobre o bloco na 
horizontal, ou seja, ao longo do eixo x. Entenderemos que o trabalho é representado geometricamente 
como sendo a área formada abaixo da linha que representa a força aplicada e limitada entre os valores 
X0 e X, como apresentado na figura a seguir. 
F
Fx
x0 x xΔx
Área
Figura 108 
7.2 Unidades de medida do trabalho 
Antes de aprendermos como determinar o trabalho em outras situações, vamos verificar quais são 
suas unidades de medida? 
Ao verificarmos a equação que utilizamos para representar o trabalho, vemos que suas dimensões 
são de força e de distância. No Sistema Internacional (SI), teremos:
[Trabalho] = [Força].[Distância]
179
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Lembrando que no SI:
[1 joule] = [1 newton].[1 metro]
1 J = 1 N.m
Ou seja, no SI, a unidade do trabalho é o joule.
No Sistema Inglês, a unidade de trabalho é a libra-pé (representada por ft.lb). Não é difícil estabelecer 
a relação entre os sistemas de unidades. Aqui, iremos apenas indicar que o fator de conversão entre eles 
é:
1 J = 0,738 ft.lb
Exemplos de aplicaçãoExemplos de aplicação
1) Uma força de 15 N foi aplicada sobre uma caixa com massa (m) que desliza sobre uma superfície 
lisa e sem atrito. Essa caixa foi empurrada em linha reta por 3 metros. Represente o trabalho realizado 
para empurrar a caixa:
 a) no Sistema Internacional 
 b) no Sistema Inglês.
Solução:
W = F.Δx
W = 15 N. 3 m
W = 45 N.m = 45 J (a)
Como 1 J = 0,738 ft.lb, podemos realizar uma regra de três simples para fazer a conversão dos 45 J 
para o equivalente em ft.lb. Logo:
1 J ----------- 0,738 ft.lb
45 J ---------- W
Ou seja, W = 45*0,738
W= 33,21 ft.lb (b)
180
Unidade IV
2) Aplica-se uma força de 100 N, inclinada 60° em relação à linha horizontal, em um corpo de massa 
m = 10 kg. O coeficiente de atrito entre a superfície e o corpo vale µ = 0,5. Sabendo que a força (F) 
coloca o sistema em movimento, o trabalho realizado pela força resultante para uma distância de 2 m 
vale:
(Adotar g = 10 m/s²)
F
Peso Normal
θ Fx
Fat
Fy
Figura 109 
Solução:
No eixo y, teremos a ação das forças Fy e normal, ambas apontando para cima, e o peso do corpo 
apontando em direção ao centro da Terra. Como o bloco não se desloca na vertical, a somatória das 
forças é nula. Assim, analisando o eixo y, teremos:
Normal F P
Normal P F
Normal m g F sen
Normal
y
y
+ − =
= −
= −
= ( ) ( ) −
0
10 10
. .
.
θ
1100 60
13 4
( )
=
. ( )
,
sen
Normal N
Devemos lembrar que a força resultante (R), que provoca o deslocamento horizontal do bloco sobre 
o plano de apoio, é aquela que resulta da somatória de todas as outras forças que existem na horizontal. 
Então, a resultante será a soma de forças no eixo x:
R for as= ∑ ç
Neste exemplo, temos duas forças existentes ao longo do eixo x: a força de atrito fat e a componente 
vertical da força Fx.
R F f
R F Normal
R
R
x at= −
= −
= ( ) ( ) − ( )
=
.cos .
.cos , .( , )
,
θ µ
100 60 0 5 13 4
43 33N
181
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Então, o trabalho realizado pode ser calculado como produto da força (R) pela distância de 2 metros.
W R d
W
W Nm J
=
= ( )
= =
.
, .( )
, . ,
43 3 2
86 6 86 6
3) O gráfico a seguir representa a variação de uma força aplicada sobre um objeto em função do seu 
deslocamento. Sendo assim, o trabalho realizado pela força aplicada da posição x = 2 m até a posição 
x = 8 m é dado por:
F (N)
120
40
2 8 x (m)
Figura 110 
Solução:
Como vimos, o trabalho é dado pela área embaixo da curva da força em função do deslocamento 
do objeto. Sendo assim, será numericamente igual à área do trapézio de base menor 40 N, base maior 
120 N e altura 6 m:
40N
6 m
120 N
Figura 111 
A
b B h
A
J
=
+( ) → = +( )⋅ =
=
2
40 120 6
2
480
480τ 
182
Unidade IV
7.3 Trabalho de uma força variável
Vimos anteriormente como determinar o trabalho quando uma força constante é aplicada para 
deslocar um objeto ao longo de uma trajetória linear. Mas o que aconteceria se tivéssemos agora a 
aplicação de forças que variam em intensidade ao longo da trajetória?
Como a intensidade da força varia ao longo da trajetória entre os pontos x1 e x2, dizemos que 
a força varia com a posição doobjeto que está sendo deslocado. O gráfico apresentado na figura a 
seguir permite-nos interpretar geometricamente o trabalho realizado pelo sistema. Nele, dividimos o 
intervalo definido entre os valores de x1 e x2 em intervalos menores, formando retângulos abaixo da 
linha que representa a intensidade da força que está sendo aplicada nas várias posições do objeto. 
Quanto menores forem esses retângulos, melhor será seu posicionamento abaixo da linha e melhor será 
o resultado na terminação do trabalho realizado. À medida que o número de retângulos aumenta, suas 
larguras vão se tornando cada vez menores. A soma das áreas de todos os retângulos irá representar 
a área total da região definida abaixo da linha que representa a intensidade das forças aplicadas para 
deslocar o objeto do ponto x1 até o ponto x2. 
x1
Fx
Δxi
x2
F(N)
(m)
Figura 112 
Assim, como vimos no exemplo anterior, essa área é a representação geométrica do trabalho, que 
pode ser calculado por meio da somatória das áreas de cada retângulo. Essa somatória é representada 
pelo cálculo da seguinte integral:
ÁREA W F dx
x
x
x= = ∫
1
2
.
o que nos dá a forma geral do trabalho na sua forma integral:
W F dx
x
x
= ∫
1
2� ���
.
183
MECÂNICA DA PARTÍCULA
 Observação
Lembremos, do cálculo, que a interpretação geométrica da integral 
é exatamente a área embaixo da curva. Essa aplicação é usada 
constantemente em várias áreas da Física e é de grande importância o 
entendimento por parte do aluno.
Se analisarmos o trabalho realizado para comprimir uma mola, concluiremos que, quanto mais ela 
se comprime, maior é a força que deve ser aplicada, tendo assim uma variação da intensidade da força 
aplicada. Também podemos visualizar, como exemplo, um carro andando em uma pista reta e plana 
com o motorista variando a aceleração, pisando no acelerador ou no freio. Concluímos assim que, se as 
forças aplicadas variam, a força resultante também varia ao longo da trajetória. 
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Um bloco de massa 2 kg está preso a uma mola e apoiado sobre uma superfície plana, lisa e horizontal. 
A força necessária para comprimir ou alongar a mola pode ser calculada por meio da Lei de Hooke 
(Fx = -k . x), em que x representa a deformação da mola, medida a partir do seu comprimento natural. 
O valor k é chamado constante elástica da mola e vale 200 N/m. A mola está comprimida até a posição 
x1 = – 5 cm. Determine o trabalho efetuado pela mola quando o bloco se deslocar da posição x1 até 
atingir seu comprimento natural em x2 = 0.
Peso Normal
Δx
Xi = -5cm
Fx
X2 = 0
Figura 113
Solução: 
Para determinar o valor do trabalho, iremos utilizar a integral ( ÁREA W F dx
x
x
x= = ∫
1
2
. ), que representa 
o cálculo do trabalho realizado pela mola.
W F dx
x
x
x= ∫
1
2
.
184
Unidade IV
Nesse caso, devemos lembrar que a força Fx é dada pela Lei de Hooke. Fazendo a substituição na 
integral, teremos:
W k x dx
x
x
= −∫
1
2
. .
Como – k é constante, podemos retirá-la do símbolo de integral, reescrevendo a expressão: 
W k x dx
x
x
= − ∫
1
2
.
Integrando a expressão, encontraremos:
W k
x x
W
k
x x
= − −




= − −( )
.
.
2
2
1
2
2
2
1
2
2 2
2
Lembramos que é necessário converter os valores de x dados no problema para metros, no 
Sistema Internacional, visto que foram dados em centímetros. Logo, como x1 = – 5 cm , teremos 
que x1 = – 0,05 m.
Realizando as substituições dos valores dados de k, x1 e x2, podemos calcular o trabalho realizado 
pela mola. Logo: 
W
W J
= − − −( )( )
=
200
2
0 0 05
0 25
2 2. ,
,
Dica 
Quando estivermos analisando o trabalho realizado por um sistema, é conveniente verificar se existe 
uma componente da força que move o objeto na mesma direção em que o movimento é realizado. Se 
isso ocorrer, o trabalho que a força faz sobre o objeto será positivo, como neste exemplo. O trabalho 
também pode ser negativo, mas isso não fica tão evidente em nosso exemplo. 
Se a força que move o objeto tiver um componente na direção oposta ao movimento, o trabalho Se a força que move o objeto tiver um componente na direção oposta ao movimento, o trabalho 
realizado pelo objeto será negativo. Seria o que acontece quando você está carregando uma caixa e, realizado pelo objeto será negativo. Seria o que acontece quando você está carregando uma caixa e, 
em determinado momento, coloca-a no chão. Ao fazer isso, a força que seus braços exercem sobre ela em determinado momento, coloca-a no chão. Ao fazer isso, a força que seus braços exercem sobre ela 
é direcionada para cima, mas o movimento da caixa está direcionado para baixo, em direção ao piso.é direcionada para cima, mas o movimento da caixa está direcionado para baixo, em direção ao piso.
185
MECÂNICA DA PARTÍCULA
7.4 Energia
Iremos agora definir o conceito de “energia”. Basicamente, podemos dizer que é a capacidade de 
certo objeto realizar trabalho. Contamos com diversos tipos de energia e, durante a evolução de um 
sistema, pode haver a conversão entre eles. Não há criação nem destruição de energia, apenas conversão 
entre os diferentes tipos. 
Quando soltamos um objeto de certa altura, como veremos mais adiante, ele possui uma energia 
potencial gravitacional. Ao abandonarmos esse objeto, ele começa a perder altura (energia potencial) 
e a ganhar energia cinética (isso está relacionado à velocidade do objeto, como veremos). Quando 
empurramos um objeto sobre uma superfície com atrito, ele para, sugerindo, à primeira vista, que sua 
energia se “destruiu”. O que ocorre, na verdade, é uma conversão da energia cinética do objeto em 
energia térmica (podemos perceber que, ao atritar uma superfície, ela se esquenta), em energia sonora 
etc. Logo, ela não se perde, transforma-se em outro tipo de energia. 
Manteremos o foco em dois importantes tipos de energia: potencial, que em nosso caso será a 
potencial gravitacional e elástica, e cinética. Definiremos e exemplificaremos com detalhes cada uma 
delas a seguir.
7.4.1 Energia cinética e sua relação com o trabalho
Quando você empurra ou puxa um objeto, aplicando nele uma força constante, ele só irá se 
movimentar se a força aplicada for maior que as forças que fazem oposição, ou seja, aquelas 
que oferecem resistência ao movimento, como a força de atrito e a força gravitacional. Ao 
se movimentar, terá certa velocidade. Dizemos, então, que tal objeto em movimento adquiriu 
energia cinética, que é a energia que um corpo tem devido ao seu movimento, sendo assim capaz 
de realizar trabalho. 
Vamos tomar como exemplo uma partida de golfe em miniatura. Suponhamos que, ao chegar a 
determinado buraco, a bola de golfe deve primeiro passar por um looping, como ilustrado pela figura a 
seguir:
Figura 114 
186
Unidade IV
A bola entrará no looping com uma velocidade, ou seja, com certa quantidade de energia cinética. 
Vamos imaginar que, ao chegar ao topo do círculo, a bola pare por um instante. No momento em que 
está parada, sua velocidade é nula, ou seja, não há energia cinética. Digamos que a bola de golfe tenha 
10 J de energia cinética no momento em que entra no circulo para realizar o looping e que, para chegar 
ao topo, foi preciso um trabalho de 10 J. Como irá se elevar em relação ao solo, quando atingir o topo 
e entrar em repouso, ela passará a possuir energia potencial correspondente ao trabalho realizado – 
ou seja, sua energia potencial será de 10 J. No entanto, como está a certa altura, ela deverá cair e dar 
continuidade ao movimento, completando a volta no círculo. Isso fará com que a energia potencial seja 
novamente convertida em energia cinética. O valor correspondente a 10 J de energia cinética quando a 
bola está em movimento, ou os mesmos 10 J quando está parada no topo, deve-se ao fenômeno que os 
físicos chamam de conservação de energia. 
Para determinarmos a equação que relaciona trabalho e energia cinética, vamos continuar utilizando 
o exemplo em que um corpo qualquer se move ao longo do eixo x, em um movimento horizontale 
unidimensional.
Vimos, até aqui, que podemos calcular o trabalho realizado por uma força ao deslocar um objeto por 
certa distância. Quando várias forças estiverem atuando sobre o corpo simultaneamente, o trabalho 
total pode ser determinado pela somatória dos trabalhos de cada uma das forças como se estivessem 
atuando isoladamente sobre ele. Em outras palavras, o trabalho total pode ser calculado utilizando a 
força resultante Fx, que atua sobre o corpo no deslocamento do ponto x1 ao ponto x2, conforme vimos 
anteriormente por meio da equação a seguir:
W F dx
x
x
x= ∫
1
2
.
Ou seja:
W F xx= .∆
O trabalho total da força resultante realizada sobre um corpo por forças externas está relacionado 
à mudança de posição de um corpo e também à sua velocidade. Quando aplicamos uma força sobre 
um objeto e ele se move com certa velocidade, teremos efetuado trabalho sobre esse corpo. Se a 
força resultante Fx é constante, então poderemos afirmar que sua aceleração também é constante. 
Se recordarmos neste ponto a Segunda Lei de Newton – que diz que a alteração da quantidade de 
movimento de um corpo é proporcional à força motora impressa e se dá na direção da linha reta na 
qual a força é aplicada –, poderemos escrever a equação da Segunda Lei de Newton adaptada para a 
força resultante Fx, que irá ser utilizada na adaptação da equação ÁREA W F dx
x
x
x= = ∫
1
2
. , apresentada 
anteriormente, substituindo o valor Fx.
187
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Como acabamos de comentar, Fx = m . ax, seguindo as definições da Segunda Lei de Newton. 
Nessa equação, temos m representando a massa do corpo e ax é sua aceleração ao longo do eixo x. Ao 
substituirmos a equação da Segunda Lei de Newton na equação do trabalho, teremos:
W m a xx= . .∆
Lembrando que desejamos escrever uma equação que relacione o trabalho com a energia cinética, 
como fazermos tal relação? Como acabamos de ver, se o corpo está sofrendo a ação de uma força 
constante e, por consequência, também possui uma aceleração constante, ao analisarmos o tipo 
de movimento descrito pelo objeto, iremos concluir que se trata de um movimento uniformemente 
variado. Então, podemos usar a equação proposta por Evangelista Torricelli, a partir da qual é 
possível calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado 
sem conhecermos o intervalo de tempo em que o objeto permaneceu em movimento. A Equação 
de Torricelli é apresentada a seguir:
v v a xf i x
2 2 2= + . .∆
Nessa equação, vf representa a velocidade final e vi é a velocidade inicial. Ao isolarmos o termo ax.Δx 
iremos chegar em:
a x
v v
x
f i.∆ = −
2 2
2
Realize agora a substituição dessa equação obtida da equação v v a xf i x
2 2 2= + . .∆ na equação obtida 
a partir da Lei de Newton e da equação do trabalho (W m a xx= . .∆ ). Vamos demonstrar a seguir em duas 
etapas. Na primeira, realizamos a substituição do termo ax.Δx e, na segunda, a multiplicação da massa 
pelos termos dentro dos parênteses.
W m
v v
W m v m v
f i
f i
= −




= −
.
. . .
2 2
2 2
2
1
2
1
2
Assim, encontramos uma equação que relaciona o trabalho e a velocidade. Se considerarmos que no 
momento inicial o objeto está em repouso, ou seja, vi = 0, podemos simplificar a equação:
W m vf=
1
2
2.
188
Unidade IV
A equação encontrada para representar o trabalho em função da velocidade de deslocamento 
do corpo é idêntica àquela que representa, por definição, a energia cinética de qualquer corpo em 
movimento, dada por:
E m vC =
1
2
2.
Em outras palavras, o trabalho que você realiza na aceleração de um objeto torna-se a energia 
cinética desse objeto. 
Exemplos de aplicaçãoExemplos de aplicação
1) Leia novamente o exemplo da bola de golfe executando o looping na pista de minigolfe, no início 
do tópico 7.4.1, e observe, na explicação, a relação entre energia cinética e o trabalho realizado para 
colocar um corpo em movimento.
2) Você acaba de ser contratado pela Agência Espacial Brasileira (AEB) para uma missão do Programa 
Nacional de Atividades Espaciais (Pnae). Sua missão é colocar um satélite com massa de 800 kg em 
órbita. O satélite está em uma estação espacial e, para ser colocado em órbita, você deve aplicar-lhe 
uma força de 1600 N na direção do movimento, deslocando-o pelo menos 2 metros de distância em 
relação à estação espacial, para um lançamento seguro. Qual será a velocidade que o satélite irá atingir, 
tomando como referência a estação espacial?
Solução: 
Como o satélite será colocado em movimento, entendemos que é necessário realizar trabalho. 
Partindo dessa ideia, vamos usar a equação:
W F x cos= . .∆ θ
Nesse caso, a força que você irá exercer para empurrar o satélite estará na mesma direção e sentido 
do deslocamento. Portanto, o ângulo da aplicação da força é θ = 0°. Realizando as substituições na 
fórmula do trabalho:
W
W J
= ( ) ( ) °( )
=
1600 2 0
3200
. .cos
O satélite irá se movimentar com certa energia cinética, que entendemos como sendo igual ao 
trabalho realizado para dar início ao movimento, ou seja, 3200 J de energia cinética. Lembrando que:
E m vC =
1
2
2.
189
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Realizando as substituições na equação e isolando a velocidade, encontraremos:
3200
1
2
800
3200
400
2 83
2
2
= ( )
=
=
. .
, /
v
v
v m s
Importante lembrar que as forças também podem fazer um trabalho negativo. Imagine que, em uma Importante lembrar que as forças também podem fazer um trabalho negativo. Imagine que, em uma 
próxima missão, você tivesse de reduzir a velocidade do satélite pela metade, aplicando uma força no próxima missão, você tivesse de reduzir a velocidade do satélite pela metade, aplicando uma força no 
sentido contrário ao seu movimento. O satélite perderia energia cinética, o que significaria a realização sentido contrário ao seu movimento. O satélite perderia energia cinética, o que significaria a realização 
de um trabalho negativo sobre ele. de um trabalho negativo sobre ele. 
8 ENERGIA POTENCIAL E ENERGIA MECÂNICA
Já mencionamos anteriormente o termo “energia potencial”, no exemplo em que tínhamos 
uma bola de golfe descrevendo uma trajetória circular dentro de um looping. Foi comentado 
que, em dado instante, poderíamos imaginar, após a entrada da bola no looping, que ela deveria 
atingir uma altura máxima e, por um pequeno intervalo de tempo, era considerada parada. 
Nesse instante, mencionamos a existência de uma energia potencial da bola. Verificaremos mais 
detalhadamente neste tópico o que é energia potencial e como ela se relaciona com o trabalho, 
e também duas diferentes formas de energia potencial. A primeira delas é chamada de energia 
potencial gravitacional, a forma de energia potencial relacionada a variações na altura do objeto, 
como a que ocorre com a bola no minigolfe no momento em que se eleva do solo até certa altura 
ao passar pelo looping. A segunda é a energia potencial elástica, acumulada sobre uma corda ou 
sobre o corpo de uma mola.
8.1 Energia potencial gravitacional e sua relação com o trabalho
Ao falarmos em energia potencial gravitacional (EPG), estamos nos referindo a uma força 
relacionada à ação da gravidade sobre um corpo. Tal energia pode ser calculada se conhecermos 
a massa do corpo e sua altura (h) em relação a um referencial. Essa energia irá nos indicar qual 
o potencial do corpo capaz de realizar trabalho. Se você estivesse segurando um livro a certa 
altura e o soltasse, sabemos que ele cairia. A força gravitacional encarrega-se de deslocar o livro 
da altura de suas mãos, ganhando velocidade até chegar ao solo, e é essa força que realiza o 
trabalho. Outra questão importante a ser levada em consideração é o fato de a força gravitacional 
encaixar-se em uma classe de forças chamada forças conservativas, aquelas que não dependem 
da trajetória percorrida pelo objeto deslocado, apenas das posições inicial e final. 
Para demonstrarmos a relação entre o trabalho e a energia potencial gravitacional, vamos imaginar 
um objeto que esteja elevadode uma altura (h) em relação ao solo, conforme ilustrado na figura a 
seguir:
190
Unidade IV
Peso = m.g
h
g
Figura 115 
Usaremos a mesma equação do trabalho vista anteriormente; mas, nesse caso, como o bloco foi 
deslocado na vertical, realizamos o estudo em relação ao eixo y, chamando de Fy a força necessária para 
elevar o bloco até a altura h.
W F dy
h
y= ∫
0
.
Como estamos trabalhando na vertical, a força Fy que atua sobre o corpo é o próprio peso. Assim, 
mais uma vez, utilizaremos as definições da Segunda Lei de Newton:
W P dy
W m gdy
h
h
=
=
∫
∫
0
0
.
. .
Como a massa (m) e a aceleração da gravidade (g) são valores constantes, podemos retirá-las da 
integral:
W m g dy
h
= ∫. .
0
Ao integrar a expressão, teremos a variação da posição em relação ao eixo y ocorrendo a partir do 
referencial zero até uma altura h, resultando na equação a seguir, que nos possibilita determinar o 
trabalho.
W m gh= . .
191
MECÂNICA DA PARTÍCULA
A equação encontrada é exatamente igual à equação que, por definição, representa a energia 
potencial de um corpo de massa (m) elevado em certa altura (h) a partir de um referencial zero. Isso é 
indicado na equação a seguir:
E m ghPG = . .
Sendo assim, entendemos que a variação da energia potencial entre duas alturas, h1 e h2, é o trabalho 
necessário para deslocar verticalmente o corpo da altura inicial até uma posição final, não importando 
a trajetória: 
W m g h= . .∆
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Caminhando em uma praia, Júnior encontra um coqueiro e decide matar a sede com água de coco. 
Com o auxílio de um bambu, derruba um coco de 1,5 kg, que cai de uma altura de 25 m até atingir o 
solo. Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o coco até que ele atinja o solo?
Solução:
Vamos utilizar na solução deste problema a equação E m ghPG = . . . Lembramos neste ponto que, 
como já foi mencionado, a energia potencial gravitacional é igual ao trabalho realizado. Considere 
g = 10 m/s2:
E W m gh
W
W J
PG = =
= ( ) ( )
=
. .
, . .( )15 10 25
375
Nesse caso, o coco movimenta-se para baixo, na mesma direção de ação da força gravitacional. Por Nesse caso, o coco movimenta-se para baixo, na mesma direção de ação da força gravitacional. Por 
esse motivo, o trabalho realizado é positivo, conforme discutido anteriormente. esse motivo, o trabalho realizado é positivo, conforme discutido anteriormente. 
 Observação
Quando um objeto é arremessado para cima, sua altura (h) aumenta. Como 
sua massa e a aceleração da gravidade são constantes, sua energia potencial 
também aumenta. No entanto, durante a subida, o objeto está realizando 
movimento no sentido contrário à ação da força gravitacional, o que o puxa 
para baixo. Sendo assim, durante a subida, o trabalho é considerado negativo. 
Essa observação pode ser expressa por meio da seguinte relação:
∆E WPG = −
192
Unidade IV
8.2 Energia potencial elástica
Anteriormente, vimos como determinar o trabalho de um bloco deslocando-se sobre uma superfície 
plana. O bloco do exemplo em questão tinha seu movimento acionado por meio de uma mola comprimida. 
Neste tópico, iremos demonstrar a relação entre o trabalho (W) e a energia potencial contida na mola, 
chamada energia potencial elástica (EPE).
Para que possamos esticar ou comprimir uma mola, é necessária a aplicação de uma força. Podemos 
verificar que o módulo da força aplicada é diretamente proporcional à deformação da mola. Dessa 
maneira, a força pode ser escrita como:
F k xMola = .
Essa relação é conhecida como Lei de Hooke, em que x representa o valor da deformação sofrida 
pela mola, seja para comprimi-la ou para alongá-la. O valor k é uma constante de proporcionalidade 
chamada constante elástica da mola, ou constante de deformação elástica. Tal constante permite-nos 
uma análise da quantidade de força que poderá ser exercida por unidade de comprimento sem que a 
mola sofra deformação irreversível. 
Imagine que um bloco de massa (m) está apoiado sobre uma superfície horizontal e preso a uma 
parede por uma mola, conforme ilustrado na figura a seguir:
FMola
Figura 116 
Como já fizemos anteriormente, usaremos agora a equação que define o trabalho como sendo a 
força (F) aplicada sobre um objeto para deslocá-lo em uma distância x. Nesse caso, a força em questão 
é a força elástica da mola FMola.
W F dx
x
Mola= ∫
0
.
Lembrando que a força FMola é definida pela Lei de Hooke. Então, fazendo a substituição na equação, 
teremos:
W k x dx
x
= ∫
0
. .
193
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Sendo k uma constante, podemos retirá-la do símbolo da integral definida. 
W k x dx
x
= ∫
0
.
Ao integrar a expressão, chegaremos à equação que nos permite determinar o trabalho realizado 
pela mola para movimentar o bloco.
W k x= 1
2
2.
Tal equação permite-nos calcular o trabalho realizado pela mola, ou seja, sua energia potencial 
elástica (EPE).
E k xPE =
1
2
2.
 Lembrete
Assim como quando definimos a Lei de Hooke, o x da equação anterior 
trata-se da deformação da mola em relação a seu tamanho natural. Então, 
o que vale é apenas a deformação da mola.
8.3 Energia mecânica e conservação de energia
Quando falamos em energia mecânica (EM), estamos nos referindo à soma de todas as energias que 
atuam sobre cada uma das partes do sistema que está sendo analisado. Em outras palavras, é a soma das 
energias potenciais (sejam elas elásticas ou gravitacionais) e da energia cinética dos objetos que fazem 
parte do sistema. Sendo assim:
E E EM C P= +
Como as leis da Física determinam que em um sistema físico isolado a quantidade de energia 
permanece constante, então:
E E E constanteM C P= + =
Para entendermos a conservação da energia mecânica, vamos utilizar como exemplo um bloco em 
queda livre, como representado na figura a seguir. O corpo é abandonado, a partir do repouso, de uma 
altura h, caindo até atingir o solo. Não pode haver atrito, pois, caso contrário, a energia mecânica 
não seria conservada. Inicialmente, o corpo possui apenas energia potencial gravitacional. A partir do 
momento que é abandonado, ele passa a ganhar velocidade e a perder altura. A energia potencial 
194
Unidade IV
gravitacional diminui, pois a altura está diminuindo. Ao mesmo tempo, a energia cinética aumenta, ao 
passo que o bloco em queda ganha velocidade. A força que realiza trabalho, nesse caso, é a gravitacional, 
que puxa o bloco em direção ao solo.
h
A
B
Figura 117 
Embora a energia potencial esteja diminuindo, observamos que a energia cinética está aumentando. 
Dessa forma, a energia mecânica total permanece constante durante todo o movimento do corpo que 
está em queda.
Como essa força é conservativa, o trabalho realizado é igual à diminuição da energia potencial do 
sistema e também igual ao aumento da energia cinética do sistema. A soma da energia cinética com a 
energia potencial é o que chamamos de energia mecânica total (EM).
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Um bloco de massa m = 5 kg é abandonado, a partir do repouso, de uma altura h = 2 m. Considerando 
que não há atrito entre o bloco e o ar e que g = 10 m/s², calcule:
a) A energia potencial no ponto A.
b) A máxima velocidade que o bloco atinge imediatamente antes de bater no solo.
Solução:
h
A
B
Figura 118 
195
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Quando o bloco está posicionado em A, teremos apenas a energia potencial EA. Não é observada 
energia cinética na situação inicial, pois o bloco está parado. Como:
E m ghA = . .
será necessária apenas a substituição dos dados do problema e sua multiplicação.
EA = ( ) ( )5 10 2. .( )
Encontramos, assim, o valor da energia potencial no ponto A.
E J aA = 100 ( )
A energia total do sistema conserva-se, ou seja, toda a energia potencial se transformará em energia 
cinética. O corpo atinge a máxima velocidade quando a energia cinética for igual à energia potencial, e, 
nesse caso, a energia potencial é aquela definida pela posição do objeto no ponto A. Então:
E E EC P A= =
Podemos escrever deforma simplificada EC = EP no momento em que o corpo atinge a máxima 
velocidade. Logo:
1
2
2m v m gh. . .=
Como a massa do bloco aparece nos termos dos dois lados da igualdade, podemos simplificar a 
equação dividindo-a pelo valor m.
1
2
2v gh= .
Vamos isolar a velocidade (v) passando ½ para o outro lado da igualdade e extraindo a raiz quadrada 
da expressão.
v gh= 2. .
Substituindo a altura (h) e a aceleração da gravidade (g):
v
v
v
m
s
b
= ( )
=
=
2 10 2
40
6 32
. .( )
, ( )
196
Unidade IV
 Observação
Na natureza, a conservação de energia ocorre o tempo todo. Nenhuma 
energia se perde, apenas se transforma. Até a força de atrito está convertendo 
a energia do sistema em outros tipos de energia, como a térmica e a sonora, 
entre outras. Nós a chamamos de força não conservativa, pois a energia 
convertida pela força de atrito não é relevante para o nosso estudo. 
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Um bloco é empurrado contra uma mola, comprimindo-a em 0,02 metro. Ao abandonar o bloco, 
a mola volta a seu comprimento natural, fazendo com que ele se desloque. Considerando que não há 
atrito e que k = 1000 N/m, g = 10 m/s² e a massa m = 1 kg, calcule:
a) A energia potencial da mola.
b) A máxima velocidade que o bloco atinge.
c) A máxima altura (h) atingida pelo bloco.
FMola
h
Figura 119 
Solução:
Imagine que inicialmente estejamos segurando o bloco para que a mola permaneça comprimida. 
Nesse caso, como está comprimida, ela possui uma quantidade de energia potencial elástica acumulada 
sobre seu corpo e, ao voltar para seu comprimento natural, fornece a energia total do sistema que irá 
colocar o bloco em movimento. Ao abandonarmos o bloco, a mola volta a seu comprimento normal 
e o empurra, fazendo com que ele ganhe velocidade e suba a rampa. Toda energia potencial da mola 
transforma-se em energia cinética, e toda energia cinética transforma-se em energia potencial quando 
o bloco atingir certa altura máxima (h).
Primeiro, iremos calcular a energia potencial da mola, sabendo-se que:
E k xMola =
1
2
2.
197
MECÂNICA DA PARTÍCULA
Substituindo os valores de constante elástica (k) e o tamanho da mola comprimida (x) dados no 
problema, teremos:
E
E J a
Mola
Mola
= ( )
=
1
2
1000 0 02
0 2
2.( , )
, ( )
Quando liberamos o bloco, toda a energia potencial da mola irá se converter em energia cinética, 
fazendo com que o bloco ganhe velocidade e entre na rampa. Então, a energia potencial da mola 
converte-se em energia cinética.
E E
m v J
C Mola=
=1
2
0 22. . ,
Assim, poderemos calcular qual a velocidade máxima do bloco, o que ocorrerá quando toda a energia da 
mola tiver sido convertida em energia cinética. Para isso, iremos isolar a velocidade, passando para o outro lado 
da igualdade o valor ½ e a massa (m) do bloco, e então iremos extrair a raiz quadrada da expressão.
v m= 2 0 2. . ,
Faremos, agora, a substituição da massa m = 1,0 kg, encontrando a velocidade máxima do bloco:
v
v
m
s
b
=
=
2 1 0 0 2
0 63
.( , ). ,
, ( )
A energia da mola converte-se em energia cinética, que, por sua vez, se converte em energia potencial no 
momento em que o bloco entra na rampa e atinge uma altura máxima (h). Dessa maneira, na altura máxima, o 
bloco para e toda a energia no sistema agora está na forma de energia potencial gravitacional.
E E EP C Mola= =
Logo, no ponto onde a altura é máxima, EP = 0,2 J. Se:
E E
m gh E
P Mola
Mola
=
=. .
podemos isolar o valor de h, que representa a altura máxima do bloco na rampa.
h
E
m g
Mola=
.
198
Unidade IV
Substituindo os valores de EMola, m e g , encontraremos a altura máxima (h):
h
h m c
= ( )
=
0 2
1 0 10
0 02
,
, .( )
, ( )
 Saiba mais
No site a seguir, há uma série de problemas de conservação de energia, 
resolvidos a partir de programas em Java, que mostram exatamente o que 
acontece em cada um. É uma boa maneira de o aluno aprofundar seu 
entendimento. 
Acesse os sete primeiros links (de Problem 1 até Problem 7) da seção 
Work and Energy:
PHYSLETS (Physic applets). Disponível em: <http://www.cabrillo.
edu/~jmccullough/physlets/>. Acesso em: 9 dez. 2013.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Um pequeno bloco de massa (m) é abandonado, a partir do ponto A, deslizando sem atrito no trilho. 
Qual deve ser a altura (h) para que o corpo consiga fazer o looping quando a força normal for igual 
ao peso? 
A
B
Rh
Figura 120 
Inicialmente, o corpo possui somente energia potencial gravitacional quando está localizado no 
ponto A. Após o bloco ser abandonado, sua energia potencial vai se transformando em energia cinética. 
A energia potencial vai diminuindo, em consequência da diminuição da altura (h), ao passo que a 
energia cinética vai aumentando, visto que o bloco ganha velocidade na descida. Quando o corpo se 
199
MECÂNICA DA PARTÍCULA
encontra na base do looping, possui somente energia cinética. O ponto crítico ocorre quando ele passa 
pelo topo da volta, identificado como ponto B na figura anterior. Para que ele consiga realizar uma volta 
completa, a força centrípeta (FC) deve ser, pelo menos, igual ao peso. Como o bloco apoia-se no trilho, 
devemos também considerar a reação normal. 
B
Normal
Peso
Figura 121 
Então:
F Peso NormalC = +
Passaremos a apresentar a força de reação normal com a letra N. Cuidado para não fazer confusão 
com as simbologias, pois essa letra também é utilizada para representar a unidade de medida de força 
no Sistema Internacional, o newton. 
Reescrevendo a expressão, temos:
F P NC = +
Podemos calcular a força centrípeta utilizando a definição de força a partir da Segunda Lei de 
Newton. 
F m a= .
Nesse caso, como o movimento é circular, adaptamos a equação da Segunda Lei para que a aceleração 
considerada seja a aceleração centrípeta, definida pela equação a seguir:
a
v
R
=
2
onde v é a velocidade do bloco e R é o raio da trajetória circular. Se substituirmos essa equação na 
Segunda Lei de Newton, iremos encontrar a equação para a força centrípeta.
F m
v
RC
= .
2
200
Unidade IV
A condição para que a bolinha consiga realizar o looping se dará no limite em que a força normal 
tende a zero. Qualquer velocidade maior fará com que a força normal também seja maior. A velocidade 
mínima necessária se dará exatamente quando a normal é nula. Logo:
F PC =
Assim, podemos substituir a força centrípeta e o peso por suas definições:
F P
m v
R
m g
C =
=. .
2
Como a massa (m) do bloco aparece dos dois lados da igualdade, podemos dividir ambos os termos 
pelo valor m para eliminá-lo da expressão.
v
R
g
2
=
Vamos isolar o quadrado da velocidade e deixar reservada a equação a seguir:
v gR2 = .
Como a energia se conserva, podemos considerá-la igual nos pontos A e B:
E EMA MB=
Ao analisarmos o ponto A, iremos concluir que nele só existe energia potencial gravitacional 
relacionada à altura (h). Em B, temos energia potencial relacionada à altura do looping, que, nesse caso, 
é representada por duas vezes o raio (R) do círculo e possui também energia cinética, visto que o bloco 
passa pelo ponto B com velocidade definida pela equação v gR2 = . . Dessa maneira:
E E EPA PB CB= +
onde EPA é a energia potencial gravitacional no ponto A, EPB é a energia potencial gravitacional 
no ponto B e ECB é a energia cinética no ponto B. Substituindo as respectivas definições na equação 
anterior, teremos: 
m gh m g R m v. . . . . .= +2 1
2
2
Todos os termos da expressão anterior apresentam dependência do valor da massa (m) do bloco. 
Se dividirmos os dois lados da expressão pelo valor (m), ele será eliminado. Assim, simplificamos para 
a equação:
201
MECÂNICA DA PARTÍCULA
gh g R v. . . .= +2 1
2
2
Como havíamos determinado anteriormente na equação v gR2 = . , que nos permite o cálculo de v², 
podemos substituir v² por 2.g.R:
gh g R gR. . .( . )= +2 1
2
Todos os termos dessa expressão apresentam relação com o valor da aceleração da gravidade (g). Se 
dividirmos os dois lados pelo valor g, este será eliminado. Assim, simplificamospara a equação:
h R R= +2 1
2
.
Resolvendo a multiplicação entre ½ e 2, e somando os termos da expressão, chegaremos à relação 
entre a altura a partir da qual o bloco deve ser abandonado para cumprir uma volta no looping, com 
base no tamanho de seu o raio.
h R= 5
2
 Saiba mais
Para esse problema do looping em específico, o link a seguir traz 
um aplicativo em Java que permite explorar bem a questão da altura 
mínima para que o looping ocorra. No programa, é possível aumentar 
a relação entre a altura, que no programa está como R, e o raio, que 
está como r. Perceba que valores abaixo de 2,5 r farão com que a 
bolinha não consiga realizar o looping – o que exemplifica exatamente 
o resultado anterior. 
CIRCULAR loop applet. Disponível em: <http://www.phy.ntnu.edu.tw/
ntnujava/htmltag.php?code=users.sgeducation.lookang.coaster2wee_pkg.
coaster2weeApplet.class&name=coaster2wee&muid=14019>. Acesso em: 
9 dez. 2013.
202
Unidade IV
 Resumo
Nesta unidade, definimos inicialmente os conceitos de trabalho e 
energia para sistemas mecânicos.
Trabalho: quantidade de energia transferida a um sistema pela 
aplicação de uma força sobre um objeto com a intenção de deslocá-lo ao 
longo de uma trajetória.
Energia: capacidade de certo objeto realizar trabalho.
Mostramos que o trabalho pode ser escrito de três formas:
W F X
W F X W F X cos
W F
x
x
x
=
= → =
= ∫
.
. . .
∆
∆ ∆
� � ��
�
θ
1
2
..dx
���
Por meio da última equação, mostramos que o trabalho pode ser 
obtido calculando a área embaixo da curva da força em função do 
deslocamento.
Mostramos que a energia cinética está relacionada com a velocidade do 
objeto e pode ser escrita da seguinte forma:
E m vC =
1
2
2.
Em seguida, mostramos que o trabalho das forças conservativas é igual 
à variação da energia cinética, ou seja:
W m v m vf i= −
1
2
1
2
2 2. . .
Vimos dois tipos de energia potencial:
• gravitacional:
E m ghPG = . .
203
MECÂNICA DA PARTÍCULA
• elástica:
E k xPE =
1
2
2.
Definimos a energia mecânica como sendo a soma da energia cinética 
e da energia potencial:
E E EM C P= +
Entramos, então, no princípio da conservação de energia, que diz: para 
sistemas conservativos, a energia mecânica não varia, ou seja:
E E E constanteM C P= + =
 Exercícios
Questão 1. (ENEM 2011) Uma das modalidades presentes nas Olimpíadas é o salto com vara. As 
etapas de um dos saltos de um atleta estão representadas na figura a seguir:
Etapa I
Etapa III
Atleta corre com a vara
Atleta atinge certa altura
Atleta apoia a vara no chão
Atleta cai em um colchão
Etapa II
Etapa IV
Figura 122
204
Unidade IV
Desprezando-se as forcas dissipativas (resistência do ar e atrito), para que o salto atinja a maior 
altura possível, ou seja, que o máximo de energia seja conservada, é necessário que:
A) A energia cinética, representada na etapa I, seja totalmente convertida em energia potencial 
elástica, representada na etapa IV.
B) A energia cinética, representada na etapa II, seja totalmente convertida em energia potencial 
gravitacional, representada na etapa IV.
C) A energia cinética, representada na etapa I, seja totalmente convertida em energia potencial 
gravitacional, representada na etapa III.
D) A energia potencial gravitacional, representada na etapa II, seja totalmente convertida em energia 
potencial elástica, representada na etapa IV.
E) A energia potencial gravitacional, representada na etapa I, seja totalmente convertida em energia 
potencial elástica, representada na etapa III.
Resposta correta: alternativa C.
Análise da questão 
Para que o atleta atinja no salto a maior altura possível, a energia cinética (E
m v
C =
⋅ 2
2
) adquirida 
pelo atleta correndo no plano horizontal (etapa I) deve ser totalmente convertida em energia potencial 
gravitacional (Ep = m∙g∙h) no ponto mais alto (etapa III).
Obs.: A velocidade do atleta no ponto mais alto considera-se zero e, na realidade, no processo, não 
há conservação de energia mecânica, em virtude do trabalho interno das forças musculares do atleta 
com transformação de energia potencial química interna em energia mecânica.
Questão 2. (UFRPE – Física) Um carrinho de montanha russa está a 20 m de altura, localizado 
no ponto A da figura. Sabendo que o carrinho parte do repouso, calcule a velocidade que esse corpo 
adquire quando chegar ao ponto B. Adotar a aceleração da gravidade igual a 10 m/s².
A
B
Figura 123
205
MECÂNICA DA PARTÍCULA
A) vB = 10 m/s
B) vB = 20 m/s
C) vB = 30 m/s
D) vB = 40 m/s
E) vB = 50 m/s
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão
Para determinar a velocidade do carrinho de montanha-russa quando ele chegar ao ponto B, 
devemos utilizar o conceito de conservação de energia. O carrinho desce a partir do ponto A e, nesse 
instante, ele está parado, isto é, em repouso. O carrinho está a uma altura de 20 m, como pode ser visto 
na figura, e a aceleração da gravidade g = 10 m/s².
A
B
g = 10 m/s2
h = 20 m
Pela conservação de energia, temos que a energia potencial de A (é a energia que o objeto adquire 
quando se afasta do centro da Terra, uma energia armazenada) mais a energia cinética do ponto A (é a 
energia do movimento) é igual à energia potencial de B mais a energia cinética de B. Então, podemos 
escrever:
pA cA pB cBE E E E+ = +
A soma da energia cinética com a energia potencial é a energia mecânica. Então, a energia potencial 
é o produto da massa, da aceleração da gravidade e a altura de cada ponto; já a energia cinética é o 
produto da massa com a velocidade ao quadrado dividido por 2. Assim, teremos:
A B
A B
m . v ² m . v ²
m . g . h m . g . h
2 2
+ = +
206
Unidade IV
Tirando o m.m.c.:
A A B B2m . g . h m . v ² 2m . g . h m . v ²+ = +
Simplificando:
A A B B2 . g . h v ² 2 . g . h v ²+ = +
Agora, substituindo os valores na equação. Devemos lembrar que, no ponto A, o carrinho está em 
repouso, então, nesse ponto, a velocidade é zero. E quando o carrinho tiver no ponto B, tangente ao 
solo, a altura vai ser igual a zero.
B2 .10 . 20 0² 2 .10 . 0 v ²+ = +
Continuando a resolução:
2
B400 v=
Bv 400=
Bv 20 m / s=
Ao chegar ao ponto B, o carrinho atinge a velocidade de 20 m/s.
207
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 103
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: Mecânica, Oscilações, Ondas, 
Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 1 v.
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208
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TIPLER, P. A. Física 1: mecânica. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
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YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I: mecânica. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
Exercícios
Unidade I – Questão 2: SÓ Física. (s.d.). Disponível em: <http://www.sofisica.com.br/conteudos/
Mecanica/Cinematica/mu2.php>. Acesso em: 14 mar. 2014.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Física. Questão 12. 
Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/FISICA.pdf>. Acesso em: 14 
jan. 2014.
Unidade II – Questão 2: FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR (FUVEST) 2012: Física. 
Questão 2. Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2012/provas/fuv2012.2fase.dia3.pdf>. Acesso 
em: 14 jan. 2014.
Unidade III – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Física. Questão 13. 
Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/FISICA.pdf>. Acesso em: 14 
jan. 2014.
Unidade III – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Física. Questão 41. 
Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/FISICA.pdf>. Acesso em: 14 
jan. 2014.
209
Unidade IV – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2011. Questão 86. Disponível em: <http://
vestibular.brasilescola.com/enem/questao-86prova-azulenem-2011.htm>. Acesso em: 14 jan. 2014.
Unidade IV – Questão 2: UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO. Vestibular. [s.d.].
210
211
212
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000