Eletrônica Digital - Tópico 1

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Material de Consulta para o Aluno 
 
1º Tópico – Sistemas numéricos e conversão entre bases. Aritmética Binária e 
complementar 
 
Sistemas numéricos 
 
Com o passar do tempo o homem sentiu a necessidade da utilização dos sistemas 
numéricos. Existem diversos sistemas numéricos dentre os quais se destacam o 
binário, octal, decimal e o hexadecimal. 
 
O sistema binário e o hexadecimal são utilizados em técnicas digitais e na 
informática. Já o decimal faz parte do nosso cotidiano, e, é o mais importante dos 
sistemas numéricos. Trata-se de um sistema formado por dez algarismos, com os 
quais podemos formar qualquer número com a lei de formação. O sistema binário é 
constituído por apenas dois algarismos (0 e 1), o octal pelos algarismos de 0 a 7 e o 
hexadecimal formado pelos algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F. 
 
OBS.: no sistema hexadecimal A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15 
 
Um sistema genérico pode ser representado de 0 a (n-1), onde n é o número da 
base do sistema numérico. 
 
No sistema binário cada dígito binário recebe a denominação de bit (Binary digit), o 
conjunto de 4 bits de nibble e o de 8 bits byte. 
 
A tabela 1 resume os sistemas numéricos com seus respectivos algarismos. 
 
Base Algarismos 
2 (binário) 0 e 1 
8 (octal) 0,1,2,3,4,5,6 e 7 
10 (decimal) 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 
16 (hexadecimal) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F 
n (qualquer) 0 a (n – 1) 
Tabela 1 - Sistemas numérios com seus respectivos algarismos 
 
Conversões entre bases 
 
1) Método das divisões sucessivas 
 
É utilizado quando convertemos da base 10(decimal) para outras bases (2,8 e 16), 
ou seja, quando a base 10 forma o número na origem. As outras bases são o 
 
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destino no qual o número o número será convertido. 
Este método consiste em efetuar divisões sucessivas pela base a ser convertida até 
o último quociente possível. O número transformado será composto por este último 
quociente (algarismo mais significativo), e, todos os restos na ordem inversa as 
divisões. Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplos: 
1) Realize as conversões entre os sistemas numéricos abaixo: 
 
a) (47)10 = (?)2 (Figuras 1 e 2) 
 
A resolução do exemplo é demonstrada nas figuras 1 e 2. 
 
 
 Figura 1 - Exemplo 1.a 
 
O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado a esquerda. 
Os outros algarismos seguem-se na ordem até o primeiro resto. 
 
 
Figura 2 - Exemplo 1.a 
 
Logo: (101111)2 = (47)10. 
 
Na prática, o bit menos significativo de um número binário recebe a notação LSB 
(Least Significant Bit) e o bit mais significativo de MSB (Most Significant Bit). 
 
b) (400)10 = (?)2 (Figura 3) 
 
 
Figura 3 - Exemplo 1.b 
 
Então, (400)10 = (110010000)2 
 
 
O processo de conversão da base 10 para base 8 é semelhante a dos exemplos 
anteriores, só que nesse caso, utilizaremos a divisão por 8. 
 
c) (92)10 = (?)8 (Figura 4) 
 
 
Figura 4 - Exemplo 1.c 
 
d) (74)10 = (?)8 (Figura 5) 
 
 
Figura 5 - Exemplo 1.d 
 
Da mesma forma que nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões 
sucessivas pela base do sistema a ser convertido. Veja os exemplos 1.e e 1.f (figuras 6 e 7) 
 
e) (1000)10 = (?)16 
 
 
Figura 6 - Exemplo 1.e 
Então: (1000)10 = (3E8)16 
 
f) (384)10 = (?)16 
 
 
Figura 7 - Exemplo 1.f 
 
Logo: (384)10 = (180)16 
 
2) Método do polinômio 
 
É utilizado quando convertemos de uma base qualquer para base 10. A base 10 é o 
destino no processo de conversão. A seguir demonstraremos alguns exemplos deste 
tipo de conversão. 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
2) Realize as seguintes conversões: 
 
a) (1001)2 = (?)10 (Figura 8) 
 
 
Figura 8 - Exemplo 2.a 
Conforme podemos observar a partir do bit menos significativo, inserimos expoentes 
de base 2, em que o primeiro expoente é zero e os demais são acrescidos de uma 
unidade da direita(bit menos significativo) para a esquerda(bit mais significativo). 
 
(1001)2 = (9)10 
 
b) (1010)2 = (?)10 (Figura 9) 
 
 
Figura 9 - Exemplo 2.b 
 
c) (1100110001)2 = (?)10 (Figura 10) 
 
Figura 10 - Exemplo 2.c 
(1100110001)2 = (817)10 
 
d) (77)8 = (?)10 (Figura 11) 
 
 
Figura 11 - Exemplo 2.d 
(77)8 = (63)10 
 
e) (100)8 = (?)10 (Figura 12) 
 
 
Figura 12 - Exemplo 2.e 
(100)8 = (64)10 
 
 
f) (3F)16 = (?)10 (Figura 13) 
 
 
 
Figura 13 - Exemplo 2.f 
 
(3F)16 = (63)10 
 
g) (1C3)16 = (?)10 (Figura 14) 
 
 
Figura 14 - Exemplo 2.g 
(1C3)16 = (451)10 
 
3) Conversões entre bases que satisfaçam a relação 2N 
 
Esse método é utilizado quando a conversão é realizada entre as bases 2, 8 e 16. 
Logo, a base 10 não é utilizada neste caso. 
Quando se deseja converter da base 2 para base 8 ou vice-versa, separamos em 
grupos de 3 bits (23 = 8). 
A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em 
binário, respeitando-se o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual 
a três (23), e, para o hexadecimal igual a 4 (24). 
Observe os exemplos: 
 
a) (100111)2 = (?)8 (Figura 15) 
Inicialmente iremos separar em grupos de 3 bits. 
1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 4 + 0 + 0 = 4 
 1 0 0 
 
1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 4 + 2 + 1 = 7 
 1 1 1 
Figura 15 Exemplo 3.a 
 
 
(100111)2 = (47)8 
 
b) (10011)2 = (?)8 (Figura 16) 
Quando separamos 3 bits, reparamos que falta um bit a esquerda do número. Nesse 
caso acrescentamos zero a esquerda até completar os 3 bits. 
0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 0 + 2 + 0 = 2 
 0 1 0 
 
0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 0 + 2 + 1 = 3 
 0 1 1 
Figura 16 - Exemplo 3.b 
 
(10011)2 = (23)8 
 
c) (27)8 = (?)2 (Figura 17) 
 
 
Figura 17 - Exemplo 3.c 
 
d) (536)8 = (?)2 (Figura 18) 
 
Figura 18 - Exemplo 3.d 
 
e) (11000111)2 = (?)16 = (C7) (Figura 19) 
Inicialmente iremos separar em grupos de 4 bits. 
1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12, onde C = 12 
 1 1 0 0 
 
0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 0 + 4 + 2 + 1 = 7 
 1 1 1 1 
 
Figura 19 Exemplo 3.e 
 
 
f) (C13)16 = (?)2 (Figura 20) 
 
 
Figura 20 – Exemplo 3.f 
 
(C13)16 = (110000010011)2 
 
Aritmética binária 
a) Adição 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 10 
 
Obs.: Como foi visto, no sistema binário todos os números representados em 
decimal só podem ser escritos com os algarismos 0 e 1. Logo os números são 
representados por um conjunto de bits(0 e 1). Lembre-se que (10)2 corresponde a 
(2)10. 
 
Exemplo 1.a. (11)2 + (10)2 = (101)2 
 
Figura 215 - Exemplo 1.a 
 
Exemplo 1.b. (11001)2 + (1011)2 = 100100 
 
Figura 216 –Exemplo 1.b 
 
 
a) Subtração 
0 – 0 = 0 
0 – 1 = 1 (Deve-se pegar emprestado) 
1 – 0 = 1 
1 – 1 = 0 
 
Observamos que para o caso 0 – 1, o resultado será igual a 1, porém haverá um 
transporte para coluna seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e, 
obviamente, subtraído do minuendo. 
 
Vamos fazer alguns exemplos: 
 
Exemplo 2.a. (111)2 – (100)2 = (011)2 
 
 
Figura 217 - Exemplo 2.a 
 
Exemplo 2.b. (1010)2 – (1000)2 = (10)2 
 
 
Figura 218 - Exemplo 2.b 
 
 
 
 
b) Produto 
0 . 0 = 0 
0 . 1 = 0 
1 . 0 = 0 
1 . 1 = 1 
 
Observe os exemplos: 
Exemplo 3.a. (11010)2 – (10)2 = (110100)2 
 
Figura 219 - Exemplo 3.a 
 
Exemplo 3.b. (11010)2 – (101)2 = (10000010)2 
 
Figura 220 - Exemplo 3.b 
 
Notação dos números binários positivos e negativos 
 
A representação de números binários positivos e negativos é feita utilizando-se os 
sinais “+” ou “-“ respectivamente. Em um computador ou circuito digital que 
processam operações aritméticas, estes sinais não podem ser utilizados, pois 
devem ser codificados em 0 ou 1. Para isso, podemos utilizar alguns métodos que 
serão abordados nessemomento. 
 
Sinal módulo 
 
É acrescentado um bit de sinal a esquerda do número binário, como bit mais 
significativo, chamado de BIT DE SINAL, convencionado da seguinte forma: 
a) Bit 0 – número positivo 
b) Bit 1 – número negativo 
 
Veja o exemplo na figura 
 
 
Figura 221 - Exemplo de representação de sinal módulo 
 
Complemento de 2 
 
Uma outra forma para representação de números positivos é o complemento de 2. 
Para efetuar essa operação é necessário primeiramente converter o número de 
binário para o complemento de 1 e depois para o complemento de 2. Para obtenção 
do número no complemento de 1, deve-se trocar cada bit do número pelo seu 
inverso ou complemento. Para demonstrar vamos obter o complemento de 1 do 
número (10011011)2. 
 
(10011011)2 = (?)C1 = (01100100) C1 
 
 
Figura 222 - Exemplo de complemento de 1 
 
Depois de transformado para complemento de 1, adiciona-se um bit a este valor, 
transformando-o em complemento de 2. Para demonstrar esse processo, vamos 
converter o número – 11001101 em complemento de 2. 
 
 
Figura 223 - Exemplo de complemento de 2 
 
Em sistemas digitais sempre utilizamos números binários com 8 bits, sem desprezar 
nenhum deles. 
 
 
 
 
 
Utilizando o complemento de 2 em operações aritméticas 
 
É utilizado quando desejamos adicionar números positivos e negativos. Para isso 
deve-se converter o número negativo para o complemento de 2 e depois soma-lo 
com o número positivo. Observe que antes de iniciar o processo, os dois números 
binários devem ter a mesma quantidade de bits. Para isso, acrescente zeros a 
esquerda caso necessário. 
Outro ponto importante diz respeito ao estouro de casas decimais demonstrado no 
exemplo da figura 10. 
 
 
Figura 24 - Exemplo de adição de números positivos e negativos