matemática computacional pt4

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MATEMÁTICA 
COMPUTACIONAL 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luiz Gonzaga de Paulo 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
A história dos números faz parte da história da escrita, e decorre da 
necessidade de contar, de expressar quantidades, e posteriormente, de controlar 
e fazer negócios. Uma boa oportunidade para conhecer um pouco dessa história 
é assistir ao vídeo: <https://www.youtube.com/watch?v=ZWZKJb06CTU>. 
A necessidade de contar evoluiu com a civilização, e com o advento do 
computador e a era da informação surgiram novos sistemas de numeração. As 
operações de conversão entre estes sistemas passaram a ser conhecimento 
obrigatório para os profissionais da computação. 
Nessa aula vamos abordar esses sistemas, a conversão entre eles e os 
possíveis erros nesse processo, além das operações lógicas e aritméticas em 
binário. Para ampliar seus conhecimentos, leia o capítulo 2 – “Teoria dos 
números”, do livro Tópicos de matemática aplicada, e o capítulo 3 do livro 
Organização estruturada de computadores (5. ed). 
TEMA 1 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
Sistemas de numeração compreendem a forma de representarmos 
valores por intermédio de símbolos, geralmente números, organizados de forma 
que o valor de cada símbolo depende da posição que ele ocupa, isto é, um 
sistema posicional. 
Existem diversos sistemas de numeração, sendo o mais comum o 
decimal, que utilizamos em nossas comunicações. Além desse, existem os 
sistemas: octal, hexadecimal e o binário, sendo esse último utilizado 
naturalmente pelos computadores, também chamado de sistema digital. 
1.1 Sistema de numeração decimal 
O sistema de numeração decimal é o nosso sistema numérico por padrão, 
e nós, seres humanos, o utilizamos para representar valores e quantidades em 
processos de comunicação. É um sistema posicional, no qual o valor de um 
símbolo (ou algarismo) é proporcional à posição que ocupa no número. A 
posição é crescente da direita para a esquerda, partindo da posição 0 (zero), e 
decrescente da esquerda para a direita, sendo que assume valores negativos a 
partir da vírgula. Sua base, expressa pela letra grega Beta em maiúsculo (β), é 
10, e isso também define seu conjunto de símbolos, algarismos ou números: 
 
 
3 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
A posição do símbolo no número refere-se ao expoente da base do 
sistema (β = 10). A Figura 1 traz o exemplo: 
Figura 1 – Exemplo de representação decimal 
 
No capítulo 2 do livro Tópicos de matemática aplicada são apresentadas 
as formas das operações aritméticas básicas deste sistema de numeração. 
1.2 Sistema de numeração octal 
Nos primórdios da era da computação digital foi criado um sistema melhor 
adaptado aos computadores, o sistema octal, usado como alternativa ao sistema 
binário, vigente até então. 
Pode-se verificar o uso desse sistema na computação e nas linguagens 
de programação das primeiras gerações. Este sistema prevaleceu na 
programação em linguagem de máquina e na comunicação entre os 
computadores por algum tempo, tinha a base (β) 8, a qual define o conjunto de 
símbolos (ou seja, os algarismos ou números) utilizados: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
O sistema octal também é um sistema posicional, no qual o valor efetivo 
de um número depende da sua posição. 
Para representarmos em Octal o mesmo exemplo usado anteriormente 
para o sistema de numeração decimal, teremos o que nos mostra a Figura 2: 
Figura 2 – Exemplo de representação em octal 
 
 
 
4 
1.3 Sistema de numeração hexadecimal 
O sistema de numeração binário é de difícil compreensão para nós, pois 
gera números relativamente grandes para representar valores comuns no dia-a-
dia. Para fazer frente a esses problemas passamos a utilizar o sistema de 
numeração hexadecimal, o mais utilizado nas linguagens de programação, em 
especial nas linguagens da primeira até a terceira geração. 
Entre outras representações, o sistema hexadecimal é usado para 
referenciar os endereços de memória e de rede, a cor e os caracteres em 
interfaces nas aplicações da internet, e diversos outras. Este sistema tem como 
base (β) o 16, e os símbolos expandem os números de 0 a 9 com letras, 
compondo o seguinte conjunto de símbolos: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. 
Um aspecto interessante desse sistema é que os valores em hexadecimal 
podem ser representados de diversos modos, tais como:0xNNNN, NNNNh ou 
#NNNN, sendo “N” um dígito do sistema hexadecimal. 
As letras ou símbolos alfabéticos desse sistema equivalem a valores do 
sistema decimal, como mostrado na Figura 3: 
Figura 3 – Símbolos alfabéticos do sistema hexadecimal 
 
Na Figura 4 apresentamos algumas representações de valores no sistema 
hexadecimal e seu equivalente no sistema decimal: 
Figura 4 – Representação em sistema hexadecimal 
 
 
 
5 
1.4 Sistema de numeração binário 
O sistema numérico utilizado, por padrão, pelos computadores é o 
sistema de numeração binário. Isto se deve ao uso dos circuitos eletrônicos 
digitais, que apresentam apenas dois estados: ligado ou desligado, aceso ou 
apagado, presente ou ausente, alto ou baixo, verdadeiro ou falso, entre outros. 
Por isso, o sistema de numeração binário é utilizado para representar as 
informações digitais e para a comunicação entre computadores e dispositivos 
digitais, permitindo que a informação digital seja validada ou conferida, já que 
seus valores são apenas dois. O sistema de numeração binário tem a base (β) 
é 2 e um conjunto muito reduzido de símbolos: 
N = {0, 1}. 
A Figura 5 apresenta a representação de valores em binário e sua 
equivalência decimal: 
Figura 5 – Representação de um número no sistema binário 
 
TEMA 2 – CONVERSÃO ENTRE OS SISTEMAS 
Diferente dos computadores, nós utilizamos o sistema de numeração 
decimal para expressarmos valores e quantidade. É comum haver a 
necessidade de converter números expressos em outros sistemas para o 
sistema decimal, ou do sistema decimal para outros sistemas. Também é 
necessário converter números expressos nos demais sistemas entre si para a 
realização de operações ou identificação de representações. Ou seja, é 
necessário conhecermos o processo de conversão de uma base β qualquer para 
outra base β, o que denominamos conversão de base. 
 
 
6 
O processo de conversão de base está sujeito às limitações de 
representação e de cálculo, e às restrições do ambiente computacional, o que 
pode ocasionar erros, como resultados inexatos e imprecisões. 
2.1 Conversão de uma base qualquer (β) para a base 10 (decimal) 
Para executar a conversão de um valor expresso na base β (uma base 
qualquer) para a base decimal (10) executamos a fatoração do número expresso. 
Isso já foi utilizado por nós na apresentação dos sistemas de numeração. A 
Figura 6 apresenta a fórmula geral: 
Figura 6 – Fatoração de um número na conversão para a base 10 
 
Nessa representação os dígitos do sistema de base β são as letras (a, b, 
c, d, e). Os expoentes de β na fórmula são as posições ocupadas cada dígito. O 
valor das posições dos dígitos inteiros, à esquerda da vírgula, cresce da direita 
para a esquerda, a partir do 0 (zero). Já as posições dos valores fracionários, à 
direita da vírgula, aumentam à medida em que o dígito se desloca à direita, 
porém o valor diminui, posto que o expoente é negativo. A Figura 7 mostra essa 
forma de expressão: 
Figura 7 – Conversão de uma base qualquer β para a base 10 
 
2.2 Conversão da base decimal para uma base β 
Para convertermos um valor expresso no sistema decimal (base 10) para 
um sistema de base β fazemos divisões sucessivas do número na base 10 pela 
base β, até que o quociente seja menor que β. Isto se aplica à conversão da 
parte inteira do valor. Já para o valor fracionário devemos fazer multiplicações 
sucessivas pela base β até obtermos um valor exclusivamente inteiro. Ao 
 
 
7 
efetuarmos cada multiplicação devemos descartara parte inteira da 
multiplicação anterior. A Figura 8 é um exemplo de conversão de valores 
expressos no sistema decimal para o sistema binário: 
Figura 8 – Conversão de decimal para binário 
 
Um outro exemplo de conversão do sistema decimal para o sistema octal 
está na Figura 9: 
Figura 9 – Conversão de decimal para octal 
 
A Figura 10 representa uma conversão do sistema decimal para o sistema 
hexadecimal: 
Figura 10 – Conversão de decimal para hexadecimal 
 
 
 
8 
2.3 Conversão da parte fracionária 
Como já adiantamos, a conversão da parte fracionária, valores entre 0 e 
1, de um valor expresso no sistema decimal para um sistema de base β é feita 
por multiplicações sucessivas da parte fracionária por β, até se obter um valor 
exclusivamente inteiro. 
A cada multiplicação remove-se a parte inteira, como mostrado na 
conversão do sistema decimal para o sistema binário na Figura 11: 
Figura 11 – Conversão da parte fracionária 
 
2.4 Conversão direta 
Uma opção para fazer a conversão entre sistemas é a substituição direta, 
que é possível nos casos da conversão dos sistemas hexadecimal e octal para 
binário, ou vice-versa. Isso porque as bases destes sistemas, 16 e 8, são 
potências de 2, representadas por conjuntos fixos de dígitos binários: 
Três dígitos binários para cada dígito octal, já que 23 = 8 
Quatro dígitos binários para cada digito hexadecimal, já que 24 = 16 
Os exemplos da Figura 12 a seguir demonstram o processo: 
Figura 12 – Conversão direta entre binário e octal/hexadecimal 
 
 
 
9 
TEMA 3 – ERROS DE CONVERSÃO 
Na conversão entre sistemas podem ocorrer erros de dois tipos: 
1. Os erros de precisão, que ocorrem em função da quantidade insuficiente 
de dígitos para representar o valor. Nos sistemas de computação digital o 
número de dígitos binários usados para representar os números é 
geralmente pré-definido e limitado: caso haja a necessidade de 
representar um valor com uma quantidade de dígitos maior que o limite, 
ocorrerá um erro de precisão. Esta ocorrência é típica das variáveis em 
programas de computador. 
2. Os erros de exatidão ocorrem quando há a aproximação, o 
arredondamento ou a ocorrência de dízimas periódicas. Neste caso, 
devido à limitação do número de dígitos ou da capacidade de cálculo, 
geralmente há uma interrupção inesperada da representação. 
Embora possam parecer a mesma coisa, há uma diferença entre os tipos 
de erros, e sua ocorrência gera consequências distintas no ambiente 
computacional. 
O limite de precisão resulta em truncamento, e afeta principalmente os 
cálculos com os números irracionais, com o número π (Pi). Em geral este número 
é representado com duas casas decimais, como 3,14, porém as calculadoras 
podem representá-lo com oito casas decimais (3,1415926), o que é razoável 
para maioria dos cálculos. Porém, em cálculos mais extensos é necessário usar 
uma maior precisão, tal como a representação do Pi com cinquenta e duas casas 
decimais: 
 
O uso de precisões maiores requer a aplicação de algoritmos 
computacionais específicos. Por exemplo, já se tem realizado o cálculo de Pi 
com trilhões de dígitos. Os erros de conversão, assim como os demais erros, 
podem ser expressos de forma absoluta ou relativa. 
3.1 Erro absoluto 
O erro absoluto é a diferença entre o valor real e a forma na qual foi 
expresso. Calculamos o erro absoluto pela seguinte fórmula: 
 
 
10 
𝑬𝑨𝒙 = x - �̅� 
Tomando o exemplo dado do valor de Pi, sendo x o valor de Pi com sete 
casas decimais e �̅� o valor de Pi com dois decimais, então temos: 
3,1415926 - 3.14 = 0,0015926 
É claro que isto é apenas um exemplo, pois o valor real de Pi é algo ainda 
desconhecido. 
3.2 Erro relativo 
O erro relativo é a razão entre o erro absoluto EA e o valor real x, isto é: 
𝑬𝑹𝒙 = 
𝑬𝑨𝒙
𝒙 
 
Ou: 
𝑬𝑹𝒙 = 
 𝒙 − �̅�
𝒙 
 
Se utilizarmos os valores do exemplo dado: 
𝑬𝑹𝒙 = 
𝟑,𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔 − 𝟑.𝟏𝟒
𝟑,𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔
 → 𝑬𝑹𝒙 = 5 x 10-4 ou 0,05% 
TEMA 4 – LÓGICA BINÁRIA 
Você já se perguntou de que forma as operações de um computador 
podem ser executadas, já que esse usa somente o sistema binário? 
As informações que os computadores armazenam e processam são bits, 
dígitos binários, pois os circuitos eletrônicos do computador digital operam 
somente com os dígitos zero (0) e um (1). Portanto, todos os cálculos 
computacionais, por mais complexos que sejam, são realizados com a lógica e 
a aritmética binária. 
O computador digital é uma formidável combinação de diversos circuitos 
eletrônicos que realizam um altíssimo volume de operações, o que o torna capaz 
de realizar as mais complexas operações matemáticas por meio da 
programação. 
 
 
11 
Estes circuitos elementares são conhecidos como portas lógicas, e 
realizam as operações mais básicas da lógica e aritmética binária. Estas 
operações são realizadas no nível dos bits, e são apresentadas a seguir. 
4.1 NOT: “não “ou “negação” 
A operação de negação (NÃO ou NOT) ou inversão, também chamada de 
complemento, é realizada apenas com um operador: um único bit. Apresenta 
como resultado o inverso do valor desse operador. Nas expressões lógicas essa 
operação é representada por um til “~” que precede o valor, ou por uma barra 
horizontal colocada sobre o valor negado / inverso - 𝐴, que se lê “A barra” ou “A 
barrado” ou “A negado”. A tabela verdade é a seguinte (Tabela 1): 
Tabela 1 - Tabela verdade da operação NOT 
 
4.2 AND: “e” 
É a operação de conjunção binária, isto é, uma operação muito 
semelhante à multiplicação. Esta operação, como resultado, apresenta um valor 
1 na saída apenas quando todos os operandos apresentam um valor 1. Para os 
demais valores o resultado é “0”. Esta operação é representada pelo símbolo 
“&” (E comercial) ou, em inglês, “Ampersand”. A tabela verdade para esta 
operação é (Tabela 2): 
Tabela 2 – Tabela verdade da operação AND 
 
 
 
12 
4.3 OR: “ou” 
É a operação de disjunção binária, que é semelhante à soma ou adição. 
Nesta operação, há um resultado 1 quando qualquer um dos operandos tem 
valor 1. 
A operação OR é assinalada nas expressões lógicas com o sinal de 
adição (+), e sua tabela verdade (Tabela 3) é a seguinte: 
Tabela 3 – Tabela verdade da operação OR 
 
4.4 XOR: “ exclusivo” 
Está é a operação lógica binária de disjunção exclusiva, a qual tem por 
finalidade detectar uma desigualdade entre os valores dos operandos. Somente 
apresenta um valor 1 como resultado quando os operandos têm valores 
diferentes. É representada pelo sinal de adição contornado por um círculo: ⊕. A 
tabela verdade é a seguinte (Tabela 4): 
Tabela 4 – Tabela verdade da operação XOR 
 
4.5 SHIFT: “deslocamento” 
A operação binária de deslocamento (ou rotação) de bits efetua a divisão 
ou multiplicação por 2 (e por seus múltiplos). Dado um número binário, ao 
 
 
13 
deslocarmos os bits da direta para a esquerda em uma posição (operação 
representada pelo sinal <<), multiplicamos o valor por 2. 
Realizando o deslocamento no sentido contrário, da esquerda para a 
direita (operação representada pelo sinal >>), dividimos o valor por 2, com o 
resultado inteiro. Essa operação é demonstrada na Figura 13: 
Figura 13 – Operação SHIFT 
 
É bom ressaltar: as posições deslocadas são preenchidas com “0”, e 
dessa forma a operação só apresenta resultados inteiros. Entretanto, no caso de 
utilizarmos a aritmética de ponto flutuante, os valores fracionários da divisão por 
2 serão apresentados 
TEMA 5 – ARITMÉTICA BINÁRIA 
As operações aritméticas básicas são realizadas por meio de circuitos 
semelhantes aos – ou compostos pelos – das operações lógicas, ou seja, as 
portas lógicas. 
Do ponto de vista matemático, essas operações em nada diferem das 
operações aritméticas fundamentais que conhecemos nos primeiros anos de 
nossa formação: soma, subtração, multiplicação e divisão. 
Os processos para a realização das operações seguemas mesmas 
regras, e são simples. Uma atenção especial é necessária devido ao fato de 
tratarmos de um sistema com apenas dois dígitos, o qual não é natural para nós, 
seres humanos. 
5.1 Adição binária 
A adição ou soma binária assemelha-se à soma decimal, incluindo a 
operação de “vai-um” – que aqui denominamos Carry Out, porém utilizando 
somente os dígitos do sistema de numeração binário (zero e um). Esta operação 
Em binário 0 1 0 0 1 1 0 1 << 1 0 0 1 1 0 1 0
Em decimal x 2
Em binário 0 1 0 0 1 1 0 1 >> 0 0 1 0 0 1 1 0
Em decimal / 2
77 154
77 38
 
 
14 
é designada pelo sinal de adição (+) nas equações, e as regras da operação são 
as seguintes: 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 0 e “vai um” (Carry Out = 1) 
1 + 1 + 1 = 1 e “vai um” (Carry Out = 1) 
A tabela verdade da operação apresentada na Tabela 5, que relaciona os 
resultados. 
Tabela 5 – Tabela verdade da adição binária 
 
Vamos exemplificar a operação demonstrando a soma dos seguintes 
valores (Figura 14): 101 + 011. 
Figura 14 – Exemplo 
 
Convém notar que não utilizamos a soma binária com dois bits apenas, 
mas sim com todo tipo de valores. No exemplo a seguir vamos realizar a soma 
dos valores decimais 65 e 68, tanto no sistema decimal como no sistema binário. 
Na Figura 15 podemos validar o resultado: 
 
 
 
15 
Figura 15 – Validação do resultado 
 
Primeiro fizemos a conversão dos operadores para o sistema binário e, 
em seguida, somamos bit a bit, sempre observando as regras da operação. 
Vejamos mais este exemplo: somar os valores octais 3705 e 3717. (Figura 16) 
Figura 16 – Exemplo 
 
Da mesma forma que no exemplo anterior, primeiro fizemos a conversão 
para o sistema binário e a seguir somamos bit a bit, observando as regras da 
operação. Vamos realizar mais esta operação: somar os valores hexadecimais 
89F e 457 (Figura 17). 
Figura 17 – Exemplo 
 
Seguimos os mesmos passos das operações anteriores: conversão e 
soma bit a bit, obedecendo as regras. Em seu ambiente virtual de aprendizagem 
(UNIVIRTUS), foi disponibilizada uma lista de exercícios com operações de 
soma. Acesse essa lista e resolva-os. Troque ideias a respeito dessa operação 
com seus colegas de turma por intermédio do fórum. 
 1 1 
65 1000001
+ 68 + 1000100
133 10000101
"Vai um"→
(Carry Out)
 1 1 11111 1111 
3705 11111000101
+ 3717 + 11111001111
7624 111110010100
"Vai um"→
(Carry Out)
 1 11111 
89F 100010011111
+ 457+ 10001010111
CF6 110011110110
"Vai um"→
(Carry Out)
 
 
16 
5.2 Multiplicação binária 
A multiplicação binária segue o mesmo modelo da multiplicação decimal, 
porém com a utilização apenas dos dois dígitos binários: zero e um. Uma boa 
opção para estruturar a operação é colocar o número maior acima do número 
menor. Assim a operação fica mais clara. A tabela verdade (Tabela 6) da 
operação é a mesma da operação lógica AND, como segue: 
Tabela 6 – Tabela verdade da multiplicação binária 
 
As regras para a operação de subtração binária são simples, a saber: 
0 x 0 = 0 
0 x 1 = 0 
1 x 0 = 0 
1 x 1 = 1 
Os resultados de cada multiplicação de um bit são colocados em linhas 
seguidas, deslocando-se um dígito para a esquerda, e realizando uma soma ao 
término dos dígitos do multiplicador, como mostra a Figura 18: 
Figura 18 – Exemplo 
 
 
6 110
x 5 x 101
30 110
+ 000 
110 
11110
 
 
17 
Vamos para mais um exemplo (Figura 19): realizar, em modo binário, a 
operação decimal 22 x 7: 
Figura 19 – Exemplo 
 
5.3 Subtração binária 
A subtração binária segue o mesmo processo da subtração decimal, 
incluindo o artifício de “pedir emprestado” um dígito de maior valor (à esquerda), 
quando se subtrai um valor maior de um valor menor, isto é, 1 (um) de 0 (zero). 
É semelhante à operação XOR, e também pode ser realizada por meio da soma 
com complemento de 2. A tabela verdade da operação de subtração binária é a 
seguinte (Tabela 7): 
Tabela 7 – Tabela verdade da multiplicação binária 
 
As regras para a operação de subtração binária são: 
0 - 0 = 0 
0 - 1 = 1 e “pede emprestado” 1 ao dígito da esquerda 
1 - 0 = 1 
1 - 1 = 0 
Exemplo: realizar a subtração 5 – 3 em binário. 
22 10110
x 7 x 111
154 10110
+ 10110 
10110 
10011010
 
 
18 
Figura 20 – Exemplo 
 
Outro exemplo: realizar a subtração 68 – 65 em binário. 
Figura 21 – Exemplo 
 
E mais um exemplo: realizar a subtração 22-7 em binário. 
Figura 22 – Exemplo 
 
5.4 Divisão binária 
O modelo da divisão binária segue o mesmo processo da divisão em 
decimal, operando inclusive com os mesmos componentes: 
O valor a ser dividido: dividendo; 
O número que deve estar contido n vezes no dividendo: divisor; 
O valor que se busca – o resultado da divisão: quociente; 
Caso a divisão não seja inteira, temos o resto, isto é: dividendo – (divisor 
* quociente). O resto sempre deve ser menor que o quociente. 
Figura 23 – Realizando a divisão decimal 42/ 6 em binário (101010/110) 
 
68 1000100
- 65 1000001
3 11
22 10110
- 7 111
15 1111
 
 
19 
Conferindo o resultado em Decimal: 42 / 6 = 7 
Realizando a divisão decimal 37 / 4 usando o sistema binário teremos 
(Figura 24): 
Figura 24 – Exemplo 
 
Resultado em decimal: 37 / 4 = 9, e resto = 1. 
É importante observar dois aspectos muito importantes neste último caso: 
Sobra um resto, pois a divisão não é inteira; 
Realizada a primeira divisão, quando “100” – dividendo - é dividido por 
“100” – divisor, ao fazer a descida do valor “1” do dividendo ainda não se tem um 
valor que possa ser dividido por “100”. 
Foi adicionado um digito “0” ao quociente e descido mais um dígito. No 
caso é “0”, o que faz o dividendo ser ainda insuficiente, pois “010” é menor que 
“100”. 
Então, repete-se este passo: acrescenta-se um zero ao quociente e 
desce-se mais um dígito, formando assim o valor 0101 que, desta forma, pode 
ser dividido por 100, restando então o valor 1. Mais um exemplo: vamos realizar 
a divisão decimal 22 / 7 usando o sistema binário (Figura 25): 
Figura 25 – Exemplo 
 
Note que há a mesma ocorrência dos dois aspectos, de forma semelhante 
à do exemplo anterior. 
37 4 100101 100
- 36 9 100 1001
1 0101
- 100
1
22 7 10110 111
- 21 3 111 011
1 1000
- 111
 1 
 
 
20 
FINALIZANDO 
Conhecer os sistemas numéricos e as operações apresentadas é um 
passo fundamental para conhecer o funcionamento dos sistemas 
computacionais, e também para o entendimento das operações que estes 
realizam. 
A maior parte destes processos apresentados são feitos por software e 
hardware, entretanto, o estudo destas operações e dos processos e o domínio 
das técnicas apresentadas é indispensável para a evolução na escalada do 
conhecimento. Dominar as operações mais fundamentais realizadas por um 
sistema computacional digital ajuda-nos a compreender o funcionamento, as 
restrições e as potencialidades desse sistema. 
 
 
 
21 
REFERÊNCIAS 
GUIMARÃES, C.H.C. Sistemas de numeração: aplicação em computadores 
digitais. Rio de Janeiro: Interciência, 2014. 
LEITE, A. E., CASTANHEIRA, N.P. Teoria dos números e teoria dos 
conjuntos. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
MACEDO, L. R. D., CASTANHEIRA, N. P., ROCHA, A. Tópicos de matemática 
aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013. 
TANEMBAUM, A. S. Organização estruturada de computadores. São Paulo: 
Pearson Prentice Hal, 2014.