AULA 06 - LAJES EM CONCRETO ARMADO - PRÉ DIMENSIONAMENTO

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ESTRUTURA DE CONCRETO
Aula 06: Lajes em Concreto Armado
Profª Ana Laryssa
ana.saboia@estacio.br
OBJETIVOS
2
Lajes Maciças
1
PRÓXIMOS 
PASSOS
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
Introdução
• As lajes são elementos planos, horizontais, com duas dimensões maiores
que a terceira, sendo esta a sua espessura;
• A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no
pavimento, provenientes das ações das pessoas, dos equipamentos e dos
móveis sobre a construção (cargas de utilização), e transferi-los para os
apoios;
• Nos edifícios convencionais, as lajes maciças têm grande contribuição no
consumo de concreto, sendo este de aproximadamente 50%.
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
• Quanto à armação das lajes, a armação metálica é classificada
em Positiva e Negativa onde a primeira fica embaixo e a segunda fica
na parte de cima da laje;
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Lajes Maciças
• Isto ocorre, pois o momento fletor
pode ser positivo ou negativo e por
isso a armação metálica é
posicionada para combater estes
esforços;
• Por exemplo, usualmente o
momento fletor negativo está
localizado nas regiões sobre as vigas.
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Lajes Maciças
• Laje maciça é aquela onde toda a espessura é composta por concreto,
contendo armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras
transversais, e apoiada em vigas ou paredes ao longo das bordas.
• As lajes maciças de concreto, com espessuras
que normalmente variam de 7 cm a 15 cm, são
projetadas para os mais variados tipos de
construção, como edifícios de múltiplos
pavimentos.
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CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES
• As lajes maciças podem ser classificadas
segundo diferentes critérios, como em
relação à forma geométrica, dos tipos de
vínculos nos apoios, quanto à direção, etc.
• As formas geométricas podem ter as mais
variadas formas possíveis, porém, a forma
retangular é a grande maioria dos casos da
prática.
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CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
• As lajes maciças podem ser classificadas em convencionais e protendidas;
• As Lajes Maciças Convencionais são construídas com fôrmas, no local da
obra, com vergalhões metálicos em seu interior (geralmente aço CA 50);
• São as lajes mais comuns em obras convencionais, e são apoiadas em vigas;
• Elas podem ser utilizadas em projetos menores, como, por exemplo, em
reformas residenciais, por isso os exemplos de construções importantes com
esta tecnologia são, em sua maioria, residenciais e comerciais.
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CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
• As lajes de concreto protendido são diferentes das lajes de
concreto convencionais devido as suas armações;
• Diferente das lajes convencionais, as lajes protendidas possuem
cordoalhas, mais resistentes às tensões que as usuais armações
metálicas;
• A protensão ajuda a resolver problemas que podem ocorrer quanto a
deformações;
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CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
• A laje protendida permite melhor uso da
área de concreto, reduzindo a espessura
da laje se comparado com o utilizado nas
lajes convencionais;
• Esta característica permite a cobertura de
vãos maiores com um número menor de
vigas, havendo menor peso da construção
e de consumo de materiais.
Cordoalhas
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CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
Laje em Concreto Armado
CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO 
Existem dois casos: laje armada em uma direção ou laje armada em duas
direções.
a) Laje armada em uma direção
As lajes armadas em uma direção tem relação entre o lado maior e o lado
menor superior a dois, isto é:
(Lambda (Λ ou λ)
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CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO 
a) Laje armada em uma direção
Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção
do menor vão, chamada direção principal.
Na outra direção, chamada secundária, os esforços solicitantes são bem
menores e, por isso, são comumente desprezados nos cálculos.
Os esforços solicitantes e as flechas são calculados supondo-se a laje
como uma viga com largura de 1 m, segundo a direção principal da laje.
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CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO 
b) Laje armada em duas direções (ou em cruz)
Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são
importantes segundo as duas direções principais da laje. A relação entre
os lados é menor que dois, tal que:
(Lambda (Λ ou λ)
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CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO 
• Nas lajes armadas em duas direções, as duas armaduras são
calculadas para resistir os momentos fletores nessas direções.
• As denominações lajes armadas em uma direção, na realidade,
também têm armaduras nas duas direções. A armadura principal, na
direção do menor vão, é calculada para resistir o momento fletor
nessa direção, obtido ignorando-se a existência da outra direção.
Portanto, a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa
na direção do menor vão.
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CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO 
• Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição, com
seção transversal mínima dada pela NBR 6118. Como a armadura
principal é calculada para resistir à totalidade dos esforços, a
armadura de distribuição tem o objetivo de solidarizar as faixas de
laje da direção principal, prevendo-se, por exemplo, uma eventual
concentração de esforços.
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VÃOS EFETIVOS
h
𝑏 𝑏ℓ0
ℓ0
2
ℓ
ℓ0
• A primeira etapa no projeto de
lajes consiste em determinar os
vãos livres (ℓ0) e os vãos teóricos
(ℓ)
• O vão livre ( ℓ0 ) é a distância
existente livre entre as faces dos
apoios da laje
• O vão teórico ( ℓ ) é a distância
entre os centros dos apoios
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VINCULAÇÃO NAS BORDAS
• De modo geral são três os tipos de apoio das lajes: paredes de
alvenaria ou de concreto, vigas ou pilares de concreto. Dentre eles,
as vigas nas bordas são o tipo de apoio mais comuns nas construções.
• Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes
torna-se necessário estabelecer os vínculos da laje com os apoios,
sejam eles pontuais como os pilares, ou lineares como as vigas de
borda.
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VINCULAÇÃO NAS BORDAS
• A etapa seguinte do projeto das lajes consiste em identificar os tipos
de vínculo de suas bordas.
• Existem, basicamente, três tipos: borda livre, borda simplismente
apoiada e borda engastada (Tabela 1).
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VINCULAÇÃO NAS BORDAS
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CONDIÇÕES DE APOIO
 engaste: Quando duas lajes contínuas têm
espessuras muito diferentes, como mostrado
na Figura, pode ser mais adequado considerar
a laje de menor espessura (L2) engastada na
de maior espessura (L1), mas a laje com maior
espessura pode ser considerada apenas
apoiada na borda comum as duas lajes.
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CONDIÇÕES DE APOIO
 No caso onde as lajes não têm continuidade ao longo de toda a borda comum,
o critério simplificado para se considerar a vinculação é o seguinte (Figura):
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VINCULAÇÃO NAS BORDAS
Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro bordas
das lajes retangulares, as lajes recebem números que diferenciam as
combinações de vínculos nas bordas, como indicados na Figura a seguir.
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VINCULAÇÃO NAS BORDAS
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VINCULAÇÃO NAS BORDAS
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• Em lajes em balaço, o engaste pode ser classificado como perfeito;
• Este tipo de engaste é normalmente utilizado em varandas, marquises e outros;
• Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a
consideração de borda engastada somente para a laje com menor espessura, admitindo-
se simplesmente apoiada a laje com maior espessura. É claro que cuidados devem ser
tomados na consideração dessas vinculações, devendo-se ainda analisar a diferença
entre os momentos atuantes nas bordas das lajes, quando consideradas engastadas.
• Uma diferença significativa entre os momentos negativos de duaslajes adjacentes
poderia levar à consideração de borda engastada para uma das lajes e simplesmente
apoiada para a outra, em vez de engastada para ambas.
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
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VINCULAÇÃO NAS BORDAS
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ESPESSURA MÍNIMA 
A NBR 6118 (item 13.2.4.1) estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças 
deve respeitar: 
a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiada em vigas, com o mínimo de ℓ /42 para lajes 
de piso biapoiadas e ℓ /50 para lajes de piso contínuas; 
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel.
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COBRIMENTOS MÍNIMOS 
A NBR 6118 (item 7.4.7.2) estabelece os valores a serem prescritos para o
cobrimento nominal das armaduras das lajes.
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COBRIMENTOS MÍNIMOS 
A NBR 6118 (item 7.4.7.2) estabelece os valores a serem prescritos para o cobrimento
nominal das armaduras das lajes.
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PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS
Laje em Concreto Armado
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Laje em Concreto Armado
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Laje em Concreto Armado
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
𝒍𝒆𝒇 = 𝒍𝟎 +
𝒕𝟏
𝟐
+
𝒕𝟐
𝟐
Onde,
ℓ0 é a distância existente livre entre as
faces dos apoios da laje
𝑡1 é a largura do apoio 1 (no caso das
lajes, as vigas)
𝑡2 é a largura do apoio 2 (no caso das
lajes, as vigas)
Não importando se o apoio 1 é o da
direita e o apoio 2 o da esquerda, ou
vice-versa.
Ou seja, em ambos os casos, para a
laje L8, devemos adotar 𝑡1 = 𝑡2 =
20 𝑐𝑚.
Ou seja, temos um vão livre horizontal de 480 cm ሺ𝑙0 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 =
Laje em Concreto Armado
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Com isso, o vão teórico será:
1. Para a direção horizontal
𝑙𝑒𝑓 = 𝑙0 +
𝑡1
2
+
𝑡2
2
𝑙𝑒𝑓 = 480 𝑐𝑚 + 10 𝑐𝑚 + 10 𝑐𝑚
𝒍𝒆𝒇 = 𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒎
1. Para a direção vertical
𝑙𝑒𝑓 = 𝑙0 +
𝑡1
2
+
𝑡2
2
𝑙𝑒𝑓 = 280 𝑐𝑚 + 10 𝑐𝑚 + 10 𝑐𝑚
𝒍𝒆𝒇 = 𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒎
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1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Laje em Concreto Armado
2º passo: Definir se a laje é unidirecional ou bidirecional
→ bidirecional
→ unidirecional
λ=
500
300
= 1,67 < 2
(Lambda (Λ ou λ)
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3º passo: Identificar os tipos de vínculos de cada borda da laje
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3º passo: Identificar os tipos de vínculos de cada borda da laje
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3º passo: Identificar os tipos de vínculos de cada borda da laje
n = número de bordas engastadas
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3º passo: Identificar os tipos de vínculos de cada borda da laje
(γ GAMA)
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4º passo: Calcular a altura útil da laje
A altura útil, identificada na figura abaixo pela letra d, é a distância entre o
centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra mais
comprimida de concreto.
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4º passo: Calcular a altura útil da laje
Laje em Concreto Armado
4º passo: Calcular a altura útil da laje
No nosso caso, temos:
𝑙𝑥 = 300 𝑐𝑚
e
0,7 × 𝑙𝑦 = 0,7 × 500 𝑐𝑚 = 350 𝑐𝑚
Lembrando que o valor de 𝒍∗ deve estar em cm!
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4º passo: Calcular a altura útil da laje
No nosso caso, temos:
Dos dois valores que encontramos, vemos que 𝑙𝑥 = 300 𝑐𝑚 é o menor deles.
Aplicando os valores na equação acima:
𝑑 = 2,5 − 0,1 × 𝑛 ×
𝑙∗
100
𝑑 = 2,5 − 0,1 × 3 ×
300
100
𝑑 = 2,5 − 0,3 × 3
𝑑 = 2,2 × 3
𝒅 = 𝟔, 𝟔 𝒄𝒎
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5º passo: Calcular a altura total da laje
A altura total da laje, ou a espessura total, é calculada somando-se a altura útil com
a metade do diâmetro da armadura tracionada e com o cobrimento da laje.
Colocando em forma de equação:
𝒉 = 𝒅 + ∅/𝟐 + 𝒄
Como não sabemos ainda o diâmetro da armadura ∅ e nem o cobrimento da laje 𝑐 ,
devemos supor esses dois valores. Para o diâmetro da armadura, supomos um valor de
bitola frequentemente utilizado em lajes maciças de concreto, como 5 mm ou 8 mm. E
para o valor do cobrimento também supomos um valor usado comumente, como 2 cm
ou 2,5 cm.
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5º passo: Calcular a altura total da laje
Para o nosso caso, podemos usar os maiores valores para sermos mais
conservadores. Com isso:
ℎ = 𝑑 + ∅/2 + 𝑐
ℎ = 6,6 𝑐𝑚 +
0,8 𝑐𝑚
2
+ 2,5 𝑐𝑚
ℎ = 9,5 𝑐𝑚
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5º passo: Calcular a altura total da laje
Laje em Concreto Armado
5º passo: Calcular a altura total da laje
A tabela a seguir fornece a estimativa das espessuras das lajes.
Tabela – Estimativa de h
Laje 𝒍𝒙 (cm) 𝒍𝒚 (cm) λ 𝟎, 𝟕𝒍𝒚 𝒄𝒎 𝒍
∗ 𝒄𝒎 n 𝒅 ሺ𝒄𝒎) 𝒉 ሺ𝒄𝒎)
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5º passo: Calcular a altura total da laje
Laje 𝒍𝒙 (cm) 𝒍𝒚 (cm) λ 𝟎, 𝟕𝒍𝒚 𝒄𝒎 𝒍
∗ 𝒄𝒎 n 𝒅 ሺ𝒄𝒎) 𝒉 ሺ𝒄𝒎)
L8 300 cm 500 cm 1,67 350 cm 300 cm 3 6,6 9,5 cm
10 cm
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Para lajes em balanço, o pré-dimensionamento é diferente
Laje em Concreto Armado
Para lajes em balanço, o pré-dimensionamento é diferente
• Coeficientes
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Para lajes em balanço, o pré-
dimensionamento é diferente
• Coeficientes
L -> maior vão (ly)
l -> menor vão (lx)
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Para lajes em balanço, o pré-dimensionamento é diferente
• Coeficientes
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Para a laje em balanço L1
λ=
600
170
= 3,52 > 2
→ unidirecional
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Para a laje em balanço L1
d=
170
0,5 𝑥 25
= 13,6
A altura útil d será igual a:
PARA EXERCITAR
• Explique o que são lajes e qual a sua principal função nas estruturas.
• Qual a importância de se dimensionar corretamente uma laje se considerarmos o custo de 
concreto armado e seu impacto no custo total da obra?
• O que é uma armadura positiva? E uma armadura negativa?
• O que significa um momento fletor positivo? E um negativo?
• Por que geralmente o momento fletor negativo em lajes está localizado sobre vigas?
• Qual a diferença entre vão livre e vão teórico?
• Quais as diferenças entre lajes maciças convencionais e lajes maciças protendidas?
• Por que as cordoalhas utilizadas nas lajes protendidas são mais resistentes às tensões que as 
usuais armações metálicas?
• Cite 3 vantagens das lajes maciças protendidas em comparação com as lajes maciças 
convencionais.
• Faça o pré-dimensionamento das outras 9 lajes do pavimento do exemplo.
Saiba mais
• Documentário: Oscar Niemeyer - a vida é um sopro
Disponível em: 
< https://www.youtube.com/watch?v=CASrRa7B6-c >. Acesso 
em 06 set. 2019.
https://www.youtube.com/watch?v=CASrRa7B6-c
Obrigada pela atenção!