MatV123_30

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�
b)
sen =
5
5
γ
cos =
2 5
5
γ
tg γ 5 1
2
sen β 5 3
5
cos β 5 4
5
tg β 5 3
4
b) sen β = AC
BC
5
3
5
cos β = 
AB
BC
5
4
5
tg β = 
AC
AB
5
3
4
 
Resolução:
a) sen γ 5 
AB
BC
5 5
1
5
5
5
cos γ 5 
AC
BC
5 5
2
5
2 5
5
tg γ 5 
AB
AC
5
1
2
sen
h
d
α 5
Resolução:
a) sen
cateto oposto
hipotenusa
h
d
senα ⇒ α5 5 5 hh
d
b) sen 30°
1
d
1
2 d
d m5 5 5⇒ ⇒1 2
Resolução das atividades complementares
Matemática
M2 — Trigonometria nos Triângulos
	 p.	 23
	 1	 Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo assinalado.
a) 
	 2	 Sabendo que sen 10° 5 0,17; sen 65° 5 0,90 e cos 50° 5 0,64, calcule:
a) cos 25° 0,90 b) cos 80° 0,17 c) sen 40° 0,64
Resolução:
a) cos 25° 5 sen 65° 5 0,90
b) cos 80° 5 sen 10° 5 0,17
c) sen 40° 5 cos 50° 5 0,64
	 3	 (UFG) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento d que forma um ângulo α com a 
horizontal. Após subir a rampa, esta pessoa estará h metros acima da posição em que se encontrava 
inicialmente, como mostra a figura abaixo.
a) Que relação existe entre os valores de α, h e d? 
b) Supondo α 5 30° e h 5 1 m, qual o valor de d? 2 m
α
d
h
5
�
Resolução:
1) O triângulo XZB é retângulo e isósceles: XZ 5 h
2) No triângulo BZY, como XY 5 30, tem-se ZY 5 30 2 h 
e tg 60°
h
30 h
h
30 h
h h
h 3
5
2
5
2
5 2
1 5
Æ 3 30 3 3
1 30 3
⇒ ⇒
( ) ⇒⇒ ⇒h
h
5
1
?
2
2
5 2
30 3
3 1
3 1
3 1
45 15 3
X
Z
B
Y
h
45 60
h
30
30 – h
Resolução:
a) Do enunciado, temos a figura, cotada em m, em que α e β são as medidas, em graus, dos ângulos 
DÂB e CT̂D, respectivamente:
r: medida do raio da circunferência
No triângulo ABD, temos que B̂ = 90° e D̂ = β.
No triângulo CTD, temos que T̂ = 90° e D̂ = β.
Como os triângulos ABD e CTD têm dois ângulos com medidas iguais, eles são semelhantes.
b) No triângulo retângulo ABD, temos:
tg
BD
10
BD e CD r.α 5 5 5 5 21
2
1
2
5 5Æ Æ
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABD, temos:
(AD)2 = (BD)2 + (AB)2 ⇒ (AD)2 = 52 + 102 ⇒ AD = 5 5 .
Como os triângulos ABD e CTD são semelhantes, temos:
raio de Luz
sombra
10 m
C
r
B A
α
D
T
β
r
BD 2 r 
10 5 22( ) m
CT
AB
CD
AD
r
10
r
r m5 5
2
5 ? 2Æ Æ5
5 5
10 5 2( )
	 4	 (Fatec-SP) De dois observatórios, localizados nos pontos X e Y da superfície da Terra, é possível 
enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45º e 60º, conforme é mostrado na figura a seguir. 
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à 
superfície da Terra, é:
a) 30 2 15 3
b) 30 1 15 3
c) 60 2 30 3
d) 45 2 15 3
e) 45 1 15 3
45 60
h
X Z
B
Y
	 5	 (IBMEC-SP) Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um plano horizontal projeta uma sombra 
de 10 metros, a partir do ponto B em que está apoiada ao solo, como indica a figura. 
Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz, 
BD um segmento que passa por C, perpendicular à sombra BA, 
e admitindo A, B, C, D e T coplanares:
a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são semelhantes;
b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do ângulo BÂD é 
 
1
2
.
raio de luz
sombra
10 m
C
B A
D
T
�
Resolução:
cos 30° 5 
BC
AB
cos 30ºÆ 5 3
2
BC 5 AB ⋅ cos 30° 5 
10 3
2
BC 5 5 3 cm
BA
5 cm O
C
30°
Resolução:
sen 60° 5 
h
5
h 5 0,87 ? 5 5 4,35 m
sen 30° 5 
y
5
y 5 0,5 ? 5 5 2,5 m
x 5 h 2 y 5 4,35 2 2,5 5 1,85 m
5 m
30° 60°
60°
30°
x
y h
2 3 cm2 3( )
L2 3 tg 60° 5
2
2
L
L
3
3
3
3
3
3 3 3
5
2
2
2 5 2
L
L
L L3
Resolução:
Para o triângulo da figura, temos:
L
L
L
1
Daí,
1 5
5
2
2
5
2
2
5 2
5
3 4 3
4 3 1 3
1 3
4 3 12
2
6 2 3
2 3
( )
( )
22 3( ) cm
� 2 l
	 6	 Em uma circunferência de raio 5 cm, considere o diâmetro AB e a corda BC, de modo que 
med (AB̂C) 5 30°. Determine BC. 5 3 cm
	 7	 (Unic-MT) Uma escada de 5 metros de comprimento está encostada num muro vertical formando 
com ele um ângulo de 30°. Um homem, ao subir nessa escada, observa que, devido a problemas de aderência 
com o piso horizontal, esta escorrega sem se afastar do muro e pára no ponto em que o ângulo formado 
entre ela e o piso horizontal é de 30°. Nessas condições, o deslocamento efetuado pela escada junto ao muro 
foi de:
a) 1,85 m c) 2,50 m e) 5,00 m
b) 0,85 m d) 4,35 m
Dados:
sen �0° 5 0,5
cos �0° 5 0,87
	 8	 (UERJ) Na figura, observa-se um quadrado ABCD e dois 
triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos 
mede 2 cm, calcule o lado l do quadrado ABCD.
B
A
C
D
L
60°
1
3
L � 2
L � 
3 � L
3
�
Resolução:
tg 45° 5 
4x
x
x
x
x x2 2
2
1
5
1
1 5
4
1
4
4
4 4Æ Æ
x2 − 4x 1 4 5 0 ⇒ x’ 5 x” 5 2
C A
B
60°
Resolução:
sen 60° 5 
60
BC BC
Æ 3
2
60
5
BC 5 40 3
cos 60° 5 
AC AC
40 340 3
1
2
Æ 5
AC 5 20 3
BC 1 AC 5 (40 3 1 20 3 ) km 5 60 3 km
Resolução:
tg 60° 5 
8
x x
xÆ Æ3 8 8 3
3
5 5
x  4,62 cm
y 5 47 − 2x ⇒ y 5 47 − 2 ? 4,62
y  37,76 cm
x  4,62 cm; y  37,76 cm
x
8
60°
	 9	 (Unisinos-RS) Observe o triângulo retângulo ao lado desenhado, 
no qual as medidas dos catetos são 4x e x2 + 4. O valor de x é:
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
45°
4x
x2 � 4
	10	 (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B 
ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu 
erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 
120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto 
que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo 
ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, a distância, em quilômetros, que o avião voou partindo 
de A até chegar a B foi:
a) 30 3 c) 60 3 e) 90 3
b) 40 3 d) 80 3
(Oeste) C A
120°
B (Norte)
	11	 A ranhura trapezoidal é utilizada na construção 
de guias para elementos de máquinas. A mais comum 
é a ranhura conhecida como rabo de andorinha, indicada 
na figura. 
Determine os valores de x e y.
x
47 cm
y
8 cm
60°
5
Resolução:
∆ABE
cos 30° 5 
AB
AE AE
AEÆ Æ3
2
9
6 35 5
∆AEF
tg 30° 5 
EF
AE
EF
6 3
EFÆ Æ3
3
65 5
∆ADF ~ ∆AEF (caso ALA)
DF 5 EF ⇒ DF 5 6 cm
Resolução:
x 1 2x 5 30 ⇒ x 5 10 m
tg 30° 5 
�x
x
x x
h
�0°
h
Resolução:
b 1 c 5 41 cm
tg α 5 b 5 1,05 ⇒ b 5 1,05c
 c
1,05c 1 c 5 41 ⇒ c 5 20 cm
b 5 1,05 ? 20 ⇒ b 5 21 cm
a2 5 202 1 212 5 400 1 441 5 841
a 5 29 cm
b
C
A B
α
c
a
B
A D
C
F
E
60°
60°
60°
30°
9
30°
30°
30°
h
x
h
10
Æ 3
3
5
∴ h m5 10 3
3
10 3
3
m
	12	 (Cefet-PR) Se na figura ao lado AB = 9 cm, o segmento DF 
mede, em centímetros:
a) 5 c) 8 e) 6
b) 4 d) 7
	13	 (Faap-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30 m. A base maior 
mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo agudo mede 30°. 
B
A D
C
F
E
60°
30°
	14	 Num triângulo retângulo, a tangente de um dos ângulos agudos é 1,05 e a soma dos comprimentos 
dos catetos é 41 cm. Qual o comprimento da hipotenusa desse triângulo? 29 cm
�
Resolução:
tg 60° = 
QR
MR
QR
5
QRÆ Æ3 5 35 5
Strapézio = 
MN QP
2
QR
20
2
1
? 5
1
?
10
5 3
Strapézio = 75 3 cm
2
M N
Q 10
10 S 55 R
60° 60°
P
C
A
40 m x
B
30 45
Resolução:
sen °
40
sen 30°
x x
x m
45
2
2
40
1
2 20 25 5 5Æ Æ
	15	 (UECE) Na figura, MNPQ é um trapézio isósceles, 
MN = 20 cm, QP = 10 cm e θ = 60°. Então, a área desse trapézio, 
em centímetros quadrados, é:
a) 55 3 c) 75 3
b) 65 3 d) 85 3
	 p.	 29
	16	 (Fameca-SP) Dois amigos, André e Bruno, estão num campo aberto empinando pipa. Eles estão, 
respectivamente, nas posições A e B. Os fios dessas pipas se enroscam e se rompem, fazendo com que as duas 
pipas caiam juntas num ponto C, distante 40 m de André. A distância de Bruno até as pipas é:
a) 10 2 m
b) 10 3 m
c) 20 m
d) 20 2 m
e) 20 3 m
C
A B
30 45
M N
θ
Q P
7
Resolução:
00. (verdadeira)
tg (AD̂B) = 2tg (AB̂D) ⇒ tg α 5 2tg β ⇒ y
x
x
y
y x2 25 ? 52 2Æ 
Pitágoras: x2 + y2 = 32 
Substituindo  em , vem:
x21 2x2 5 32 ⇒ 3x2 5 9 ⇒ x2 5 3 ⇒ x = 3 
Logo: 
y2 = 2x2 ⇒ y2 = 2(β)2
y2 = 6 ⇒ y = 6 
 AB = 6 cm
sen α = y ⇒ sen α = 6
3 3
sen β = x ⇒ sen β = 3
3 3
11. (verdadeira)
	17	 (UFES) No quadrilátero ABCD da figura ao lado, tem-se:
– ângulo BÂD é reto;
– BD 5 3 cm e CD 5 6 cm;
– BD̂C 5 60º;
– a tangente de AD̂B é o dobro da tangente de AB̂D.
Utilize as informações acima para analisar as afirmações seguintes:
 I – II
 0 – 0 – AB 5 6 cm
 1 – 1 – O seno de um dos ângulos agudos no triângulo ABD é igual a 
 
3
3
.
 2 – 2 – BC 5 3 3 cm
 3 – 3 – O perímetro do quadrilátero ABCD é igual a (6 6 1 4 3 ) cm.
 4 – 4 – AC 5 
 33 1 6
 cm
Em questões como a 17, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na II.
8
33. (falsa)
perímetro 5 AB 1 BC 1 CD + DA 
p 5 6 1 3 3 + 6 1 3
p 5 ( 6 1 4 3 1 6) cm
44. (falsa)
Usando a Lei dos Cossenos, temos:
AC2 5 AD2 1 DC2 − 2 ? AD ? DC ? cos (60º + α)
AC2 5 ( 3 )2 1 62 − 2 ? 3 ? 6 ? [cos 60° ? cos α − sen 60º ? sen α]
AC2 5 3 1 36 − 12 3 
1
2
3
3
3
2
6
3
? 2 ?




AC2 5 39 − 12 3 3
6
2
2
2



 5 39 − 6 1 6 6
AC 5 33 6 61
Usando a Lei dos Cossenos, temos:
z2 = DB2 + DC2 2 2 ? DB ? DC ? cos 60°
z2 = 32 + 62 − 2 ? 3 ? 6 ? 
1
2
z2 = 27
z = 3 3 cm
22. (verdadeira)
Resolução:
BD AB) AD AB AD cos 30°25 1 2 ? ? ?( ( )2 2
BD 5 1 2 ? ? ? 5 53 4 2 3 2
3
2
1 1
BD 5 DC 5 1 ⇒ AC 5 2 1 1 5 3
x2 5 (AB)2 1 (AC)2 − 2 ? AB ? AC ? cos 30°
x2 5 3 1 9 − 2 ? 3 ? 3 ? 3
2
x2 5 3 ⇒ x 5 3 cm
B
2 D
30°
x
α β
A C
3
	18	 (Fuvest-SP) Na figura abaixo, AD = 2 cm, AB = 3 cm, a medida do ângulo BÂC é 30° e BD = DC, 
onde D é ponto do lado AC. A medida do lado BC , em centímetros, é:
a) 3
b) 2
c) 5
d) 6
e) 7
B
D
A C
�
Resolução:
Do enunciado, temos a figura, em que O é o centro da circunferência:
Sendo S: área do triângulo ABC;
 S1: área dos triângulos AOB e BOC;
 S2: área do triângulo AOC,
temos:
 S = 2 ? S1 − S2
 S = 2
1
2
? ? ? ? 2
?
OA OB sen 45°
OA OC
2
( ) ( ) ( ) ( )
 
S 5 ? ? 2
?
2 2
2
2
2 2
2
 S = 2 − 1
A área pedida é quatro vezes a área do triângulo ABC, ou seja, 4( 2 − 1).
C
O
45°
45°
0
A
B
OA 5 OB 5 OC 5 2
Resolução:
Da figura, obtemos:
A área do setor OABCD é igual 
1
3
 da área do círculo. Logo:
S1 = 
1
3
 ? π ? r2 ⇒ S1 = 
1
3
 ? π ? 62 ⇒ S1 = 12π
A área do triângulo OAD é igual a:
S2 = 
1
2
 ? OA ? OD ? sen 120° ⇒ S2 = 
1
2
 ? 6 ? 6 ? 3
2
 ⇒ S2 = 9 3
A área do setor OBC é 
1
6
 da área do círculo. Logo:
S3 = 
1
6
 ? π ? r2 ⇒ S3 = 
1
6
 ? π ? 62 ⇒ S3 = 6π
A área do triângulo OBC (triângulo eqüilátero) é:
S4 = 
L2 3
4
 ⇒ S4 = 
62 3
4
? ⇒ S4 = 9 3
A área S da região colorida é:
S = S1 − S2 − (S3 − S4) ⇒ S = 12π 2 9 3 − (6π − 9 3 )
 S = 6π
 S = 6 ? 3,14
 S = 18,84
O
A
6 6
D
B
30° 30°60°
C
	19	 (Mackenzie-SP) Na figura, um octógono regular e um quadrado estão inscritos na circunferência de 
raio r = 2 . A área da região sombreada é:
a) 
 
4 2 21( ) c) 
 
4( 2 11)
5
 e) 
 
2 111
8
b) 
 
2
2
11 d) 
 
8 2
7
O
A D
B C
	20	 (UFPE) O círculo da ilustração abaixo tem raio 6, o ângulo BÔC mede 60° 
e os ângulos AÔB e CÔD medem 30°. Qual o inteiro mais próximo da área da região 
colorida? (Obs.: use a aproximação π  3,14.) 19
�0
Resolução:
Do enunciado, temos a figura ao lado, cotada em m.
a) Os triângulos PYQ e ZYX são semelhantes. Logo:
QY
YX
PQ
ZX
QY
QY QX
PQ
ZX
QY
QY
QY5
1
5
1
5 5Æ Æ Æ
4
2
5
8
3
Assim, a medida aproximada da sombra é igual a 2,67 m.
b) Do item anterior, sabemos que QY 5 
8
3
.
Como XY 5 QX 1 QY, temos que XY 5 4 1 
8
3
, ou seja, XY 5 
20
3
.
A área S pedida, em m2, é tal que:
S 5 
1
2
 ? ZX ? XY ? sen 45° ⇒ S 5 
1
2
5
20
3
2
2
25 2
3
? ? ? 5Æ S
Adotando 2 5 1,41, temos que S 5 
25 1 41
3
? ,
, ou seja, S 5 11,75 m2
5 Q
4
2
α
sombra
Z
Y
P
X
45
45
B
A
120°
4 3 cm
30°30° C
Resolução:
BC
sen 120°
AC
sen 30°
5 Æ
4 3
3
2
AC
1
2
AC cm5 5Æ 4
AC 5 AB
S 5 
1
2
 ? AB ? AC ? sen 120° ⇒ S 5 1
2
4 4
3
2
? ? ?
S 5 4 3 cm2
chão horizontal
	21	 (Unesp-SP) Uma estátua de 2 metros de altura e um poste 
de 5 metros de altura estão localizados numa ladeira de inclinação 
igual a 45°, como mostra a figura. A distância da base do poste 
à base da estátua é 4 metros, e o poste tem uma lâmpada acesa 
na extremidade superior.
Adotando 2 = 1,41 e sabendo que tanto o poste quanto 
a estátua estão na vertical, calcule:
a) o comprimento aproximado da sombra da estátua projetada 
sobre a ladeira; 2,67 m
b) a área do triângulo XYZ indicado na figura. 11,75 m2
5 m
4 m
2 m
sombra
Z
Y
X
45
	 p.	 30
	22	 (Unifor-CE) Um triângulo isósceles é tal que um de seus ângulos mede 120° e o lado oposto a esse 
ângulo mede 4 3 cm. A área desse triângulo é, em centímetros quadrados:
a) 3 b) 2 c) 2 3 d) 4 e) 4 3
��
Resolução:
cos
° cos
α 1 ±
α > α
5 2 5
5 2
4
9
5
3
90
5
3
Æ
4 3
4 3 2
3
sen sen 30°
sen 1
2
sen
α
α
α
5
5 5Æ
Resolução:
BC
sen 120°
AC
sen 30°
BC
AC
sen 120°
sen 30°
B
5 5Æ Æ CC BC
4
3
2
1
2
4 35 5Æ
�5° 5 γ
�0°
α 5 75°
A
�0 m
B
D
C
β 5 �0°
Resolução:
∆ABC
α 1 β 1 γ 5 180° ⇒ 75° 1 60° 1 γ 5 180° ⇒ γ 5 45°
Pela Lei dos Senos, temos:
AB
sen 45°
AC
sen 60°
30
sen 45°
AC
sen 60°
AC
5 5
5
Æ
300 30
3
2
2
2
15 6? ? ? 5
5
sen 60°
sen 45°
AC
tg 30°
CD
A
Æ Æ
CC
CD
15 6
CD
CD
2
CD
2
15 m
3
3
15 2
15 2
2
15
5 5
5 5 5
Æ
Æ
B
A
4 4120°
30° 30° C
	23	 (UFES) No triângulo ABC da figura ao lado, o cosseno 
do ângulo obtuso α é igual a:
a) 1
9
 c) 2
3
2
 e) 
5
2
b) 2
1
2
 d) 2
5
3 A B
C
4
3
30°
α
	24	 (UEBA) Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se  = 120°, a medida do lado BC é:
a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 8 3
	25	 (UnB-DF) Um observador, situado no ponto A, distante 30 m 
do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30°, conforme a figura. 
Baseado nos dados da figura, determine a altura do edifício em metros 
e divida o resultado por 2 . 15 m
D
B
C
A
60°
75°30°Dados: 
AB 5 �0 m
med (CÂD) 5 �0° 
med (CÂB) 5 75°
med (AB̂ C) 5 �0°
med (DĈ A) 5 �0°
��
Resolução:
SABCDE 5 SABC 1 SAEDF 1 SFDC
∆ABC
(AC)2 5 402 1 382 2 2 ? 40 ? 38 ? cos 60°
(AC)2 5 1 600 1 1 444 2 2 ? 1 520 ? 
1
2
 5 1 524
AC 5 39 m
FC 5 39 − 25 5 14
FC 5 14 m
SABCDE 5 
38 sen 60°
2
? ?
1 ? 1
?40
30 25
14 30
2
SABCDE 5 760 ? 0,86 1 750 1 210 5 1 613,60
preço: 35,00 ? 1 613,60 5 R$ 56 476,00
E
D
C
F
B
A
30 m
38 m
40 m
25 m
25 m
60°
Resolução:
S 5 
10 sen 30°
2
? ?
5
?
5
10 100 0 5
2
25
,
S 5 25 cm2
�0 cm �0 cm
75° 75°
A
A 6
x
D
B C
120°
Resolução:
S 5 2 ? 
1
2
 ? 6 ? x ? sen 120° 5 20,785
6 ? x ? 0,866 5 20,785 ⇒ 5,196x 5 20,785
x 5 4 m
�0°
B C
	26	 O terreno ABCDE, representado pela figura ao lado, foi vendido 
a R$ 35,00 o metro quadrado. Qual o seu valor? Use sen 60° = 0,86. 
R$ 56 476,00
E
D
C
B
A
30 m
38 m
40 m
25 m
60°
	27	 Qual é a área de um triângulo isósceles no qual cada lado congruente mede 10 cm e o ângulo 
adjacente à base mede 75°? 25 cm2
A D
B C
120°
	28	 (Unisinos-RS) O paralelogramo da figura tem área 20,785 m2. 
O comprimento do lado AD é 6 m. Então, o comprimento do lado AB 
será, em metros, aproximadamente igual a:
a) 3 c) 5 e) 7
b) 4 d) 6
Dados: 
sen �0° 5 sen ��0° 5 0,8��
cos �0º 5 2cos ��0° 5 0,5
��
10 4 2
2
1
km
2
2
km2
Resolução:
cos 135° 5 
2 2
2
a) (AC)2 5 4 1 1 − 2 ? 2 ? 1 ? cos 135° 
 (Lei dos Cossenos)
��5°
� km
O
R
A
B
C
� km
(AC)
AC
AC
sen 135°
R
2 5
4 2
2
5 2 2
5 2 2
2
5 1
?
5 1
5 1
5
R
AC
sen 135°
5
R
5
5
?
5
1
?
5
1
5
1
2
2 2
2
2
2
5 2 2
2
2 2
22
2
2
10 4 2
2
4 2
2
2 1
? 5
1
5
1
5
? ?
R
10
km
b) S
sen
ABC
135°
2
S kmABC
25 5
2
2
2
2
Æ
Resolução:
S
50 sen 60°
S
3
2
S
1
1
2
5
? ?
5 ?
5
? ?
40
2
1000 866 03
40 70
� ,
ssen 75°
2
S
S
sen
2
3
� 1400 0 9659 1352 26
70 60
? 5
5
? ?
, ,
135°
2
S4
5 ?
5
?
5
2100
2
2
1484 92
60 50
2
1500
� ,
St 5 S1 1 S2 1 S3 1 S4 � 5 203,21 m
2
�0m
75°
��5°
�0 m
�0°50 m 70 m




R
AC
sen 135°
5
R
5
5
?
5
1
?
5
1
5
1
2
2 2
2
2
2
5 2 2
2
2 2
22
2
2
10 4 2
2
4 2
2
2 1
? 5
1
5
1
5
? ?
R
10
km
b) S
sen
ABC
135°
2
S kmABC
25 5
2
2
2
2
Æ
	29	 (Unicamp-SP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência, tais que AB = 2 km, BC = 1 km e a 
medida do ângulo seja de 135°.
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
	30	 Podemos calcular a área aproximada de um terreno irregular dividindo-o em triângulos formados a 
partir de um mesmo vértice, como mostra a figura.
Dê a área aproximada desse terreno. � 5 203,21 m2
40 m
70 m
60 m
50 m
60°
75°
135°
��
A
D
E
1
2 3
4
�
C
B
Resolução:
SABCD 5 SEAB 1 SEBC 1 SECD 1 SEDA (I)
SEAB 5 
1
2
 ? 1 ? 4 ? sen (180° 2 θ) 5 2 sen θ
SEBC 5 
1
2
 ? 4 ? 3 ? sen θ 5 6 sen θ
SECD 5 
1
2
 ? 3 ? 2 ? sen (180º 2 θ) 5 3 sen θ
SEDA 5 
1
2
 ? 2 ? 1 ? sen θ 5 sen θ
Substituindo em (I), temos:
SABCD 5 2 sen θ 1 6 sen θ 1 3 sen θ 1 sen θ
SABCD 5 12 sen θ
	31	 (Fuvest-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD 
e θ é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será:
a) 12 sen θ
b) 8 sen θ
c) 6 sen θ
d) 10 cos θ
e) 8 cos θ
A
D
E
θ
C
B