FENTRAN_Transferência de calor

Prévia do material em texto

Universidade Federal Fluminense
Aula 7 – Transferência de Calor
FENÔMENOS DE
TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)
Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
 MECÂNICA DOS FLUIDOS
▪ Estática, cinemática e dinâmica dos fluidos
▪ Equações diferenciais e integrais
▪ Escoamento em tubos
 TRANSFERÊNCIA DE CALOR
▪ Regimes e formas de transferência
▪ Condução
▪ Convecção
▪ Irradiação
▪ Camada Limite
 TRANSFERÊNCIA DE MASSA
▪ Difusão molecular, difusão turbulenta
▪ Lei de Fick
▪ Advecção
 ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
 BIBLIOGRAFIA:
▪ LIENHARD, John H., A Heat Transfer Textbook. 4ª ed. Cambridge, MA: 
Phlogiston Press, 2012. Disponível em: web.mit.edu/lienhard. Acesso em 
10/05/2015.
▪ INCROPERA F. P. & DE WITT, D. P., Fundamentos de Transferência de Calor e 
de Massa. 7ª ed. LTC, 2014.
▪ Imagens disponíveis na internet.
 Introdução
▪ Grandezas físicas
▪ 1ª e 2ª Lei da Termodinâmica
 Condução
▪ Lei de Fourier
▪ Equação da difusão
 Convecção
▪ Lei de Newton do resfriamento
▪ Solução da capacidade aglomerada
▪ Camada limite
 Radiação
▪ Espectro eletromagnético
▪ Corpo negro
▪ Lei de Stefan-Boltzmann
Introdução
 Grandezas térmicas:
▪ Temperatura: T (K)
▪ Calor: Q (J) 
▪ Taxa de transferência de calor: (J/s = W)
▪ Fluxo de calor: (W/m²)
ሶ𝑄 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
Ԧ𝑞 =
𝑑 ሶ𝑄
𝑑𝐴
𝑛
− ሶ𝑄 + ሶ𝑄
Ԧ𝑞
 Condições para existência de transferência de calor em um 
determinado domínio
▪ ???
• Condições para inexistência de transferência 
de calor em um determinado domínio:
– Sistema isotérmico
– Totalmente isolado (adiabático)
 1ª Lei da Termodinâmica:
Sistema
dU/dt
dQ/dt dW/dt
(+)( - ) (+)( - )
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= ሶ𝑄 −
𝑑𝑊
𝑑𝑡
→ ሶ𝑄 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 𝑝
𝑑V
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
 1ª Lei da Termodinâmica:
– Processo à volume constante:
– Processo à pressão constante:
0
ሶ𝑄 = 𝑝
𝑑V
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
ሶ𝑄 = 𝑝
𝑑V
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 𝑚𝑐𝑣
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑚𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
ሶ𝑄 = 𝑝
𝑑V
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
𝑑𝐻
𝑑𝑡
 1ª Lei da Termodinâmica:
– Processo à volume constante:
– Processo à pressão constante:
– Substância incompressível:
ሶ𝑄 = 𝑝
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
ሶ𝑄 =
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 𝑚𝑐𝑣
𝑑𝑇
𝑑𝑡
ሶ𝑄 = 𝑝
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 𝑚𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0
→ ሶ𝑄 = 𝑚𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑡
→ 𝑐𝑝 = 𝑐𝑣 = 𝑐
 2ª Lei da Termodinâmica
▪ Variação da entropia:
▪ Taxa de variação da entropia:
(à temperatura constante)
▪ ... do sistema:
▪ Enunciado de Clausius:
𝑑𝑆𝑖 =
𝑑𝑄𝑖
𝑇𝑖
ሶ𝑆𝑖 =
𝑑𝑆𝑖
𝑑𝑡
=
ሶ𝑄𝑖
𝑇𝑖
ሶ𝑆 = ∑ ሶ𝑆𝑖 = ∑
ሶ𝑄𝑖
𝑇𝑖
ሶ𝑆 > 0 → ∑
ሶ𝑄𝑖
𝑇𝑖
> 0
 2ª Lei da Termodinâmica
1 2
?
T1>T2
ሶ𝑄
ሶ𝑆 > 0 → ∑
ሶ𝑄𝑖
𝑇𝑖
> 0 →
ሶ𝑄1
𝑇1
+
ሶ𝑄2
𝑇2
> 0 ሶ𝑄1 = ሶ𝑄2 = ሶ𝑄
→ −
ሶ𝑄
𝑇1
+
ሶ𝑄
𝑇2
> 0
 2ª Lei da Termodinâmica
1 2 T1>T2
ሶ𝑄
ሶ𝑆 > 0 → ∑
ሶ𝑄𝑖
𝑇𝑖
> 0 →
ሶ𝑄1
𝑇1
+
ሶ𝑄2
𝑇2
> 0 ሶ𝑄1 = ሶ𝑄2 = ሶ𝑄
?
 Formas de transferência de calor:
▪ Condução
▪ Convecção
▪ Radiação
 Formas de transferência de calor:
▪ Condução
(𝑇1 > 𝑇2)
(𝑇1 > 𝑇2)
 Formas de transferência de calor:
▪ Condução
(𝑇1 > 𝑇2)
 Formas de transferência de calor:
▪ Condução
 Formas de transferência de calor:
▪ Convecção
Disponível em: https://rogeriofisica.wordpress.com/2010/03/14/conveccao-e-radiacao/. Acesso em 10/06/2013
Transferência 
de Calor
• Formas de transferência de calor:
–Irradiação
 Modos de transferência de calor:
Disponível em: http://labvirtual.eq.uc.pt/. Acesso em 10/06/2013. 
 Modos de transferência de calor:
Disponível em: http://labvirtual.eq.uc.pt/. Acesso em 10/06/2013. 
Condução
 Condução
Lei de Fourier (1822):
“O fluxo de calor, resultante da
condução térmica é proporcional à
magnitude do gradiente de temperatura,
com sentido contrário.”
Fluxo de calor  (-) gradiente de temperatura
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768 – 1830)
Lei de Fourier:
▪ Unidimensional:
▪ Tridimensional:
Fluxo de calor ~ (-) gradiente de temperatura
k: condutividade 
térmica
𝑞 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
Ԧ𝑞 = −𝑘𝛻𝑇
𝑊
𝑚𝐾
Condução de Calor
 Coeficiente de condutividade térmica
Freon Água Mercúrio Cobre
GASES
SÓLIDOS E LÍQUIDOS 
NÃO-METÁLICOS
SÓLIDOS E LÍQUIDOS 
METÁLICOS
Equação da difusão (1D) 𝑞 = −𝑘 𝜕𝑇
𝜕𝑥
ሶ𝑄𝑒 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥
→ ሶ𝑄 = −𝑘𝐴
𝜕𝑇
𝜕𝑥
ሶ𝑄𝑠 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥+𝛿𝑥
ሶ𝑄𝑎𝑏𝑠 = ሶ𝑄𝑒 − ሶ𝑄𝑠 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥
+ 𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥+𝛿𝑥
𝛿𝑥 = −
𝑘𝐴 ฬ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑥
− 𝑘𝐴 ฬ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑥+𝛿𝑥
𝛿𝑥
𝛿𝑥
= 𝐴
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝛿𝑥
lim
𝛿→0
ሶ𝑄𝑎𝑏𝑠 = 𝑚𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
A
𝜌𝑉 = 𝜌 𝐴𝛿𝑥
1ª Lei da Termodinâmica
⇒ 𝜌𝐴𝛿𝑥 𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝐴
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝛿𝑥 ⇒ 𝜌𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞𝑓
+𝑞𝑓
Equação da difusão (1D) 𝑞 = −𝑘 𝜕𝑇
𝜕𝑥
ሶ𝑄𝑒 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥
→ ሶ𝑄 = −𝑘𝐴
𝜕𝑇
𝜕𝑥
ሶ𝑄𝑠 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥+𝑑𝑥
ሶ𝑄𝑎𝑏𝑠 = ሶ𝑄𝑒 − ሶ𝑄𝑠 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥
+ 𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥+𝑑𝑥
𝑑𝑥
= −
𝑘𝐴 ฬ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑥
− 𝑘𝐴 ฬ
𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑥+𝛿𝑥
𝛿𝑥
𝛿𝑥
= 𝐴
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝛿𝑥
lim
𝛿→0
ሶ𝑄𝑎𝑏𝑠 = 𝑚𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Ax
𝜌𝑉 = 𝜌 𝐴𝛿𝑥
1ª Lei da Termodinâmica
⇒ 𝜌𝐴𝛿𝑥 𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝐴
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝛿𝑥 ⇒ 𝜌𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞𝑓
+𝑞𝑓
ሶ𝑄𝑒 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥
ሶ𝑄𝑠 = −𝑘𝐴 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥+𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝐴𝑥
𝑞𝑓
Equação da difusão (1D)
 Geral:
 Meio homogêneo sem fontes internas
 ... e permanente:
ρ𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑞𝑓
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝑘
𝜌𝑐
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐
difusividade 
térmica 
(m²/s)
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
= 0 (distribuição linear 
de temperatura)
 Exemplo:
O topo de uma laje (k = 35 W/m.K) é mantida à 110°C e o fundo à 50°C. Se a área da laje é 0,4
m² sua espessura é de 3 cm, calcule o fluxo de calor q e a taxa de transferência de calor Q após
atingido regime permanente.
y
x
z
Q
A = 0,4 m²T=110°C
T=50°C
k = 35 W/m.K e = 5 cm
Para 
condução 1D: 𝑞 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
... permanente e em meio 
homogêneo sem fontes internas 
→ distribuição linear de T:
= −𝑘
Δ𝑇
Δ𝑥
= −35
50 − 110
0,03
= 70
𝑄 = 𝑞𝐴 = 70 ∙ 103 ∙ 0,4 = 28
𝑘𝑊
𝑚2
𝑘𝑊
kn
Tn
Ln
k2
T2
L2
Resistência térmica
(condução 1D)
Camadas
em série
𝑅𝑖 =
𝐿𝑖
𝑘𝑖
𝑚2𝐾
𝑊
Δ𝑇 = Δ𝑇1 + Δ𝑇2 +⋯+ Δ𝑇𝑛
𝑞 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
→ 𝑞𝑖 = −𝑘
Δ𝑇𝑖
Δ𝑥𝑖
(homogêneo e permanente)
→ Δ𝑇𝑖 = −
𝐿𝑖𝑞𝑖
𝑘
𝐿𝑖
= −𝑞1𝑅1 − 𝑞2𝑅2 −⋯− 𝑞𝑛𝑅𝑛
𝑅𝑖
= −𝑅𝑖𝑞𝑖
𝑞 = 𝑞1 = 𝑞2 = ⋯ = 𝑞𝑛 → Δ𝑇 = −𝑞 𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑛
𝑅𝑒𝑞
→ Δ𝑇 = −𝑅𝑒𝑞𝑞
k1
L1
T1
q q1 q
. . .
qnq2
Resistência térmica
(condução 1D)
Camadas
em série
Camadas
em paralelo
k1
e1
q1
k2
q2 L2
e2
𝑇
ሶ𝑄𝑡
. . .
𝑇𝑎
𝑇𝑏
𝑅𝑖 =
𝐿𝑖
𝑘𝑖
Δ𝑇 = −𝑅𝑒𝑞𝑞
𝑅𝑒𝑞 = ∑𝑅𝑖
ሶ𝑄𝑡 = ሶ𝑄1 + ሶ𝑄2 +⋯+ ሶ𝑄𝑛
→ 𝑞𝑖 = −
Δ𝑇𝑖
𝑅𝑖
→ 𝑅𝑒𝑞 =
∑𝑒𝑖
∑ Τ𝑒𝑖 𝑅𝑖
= ∑ ሶ𝑄𝑖
𝑞𝐴𝑡 = ∑𝑞𝑖𝐴𝑖
𝑏(𝑒1 + 𝑒2 +⋯+ 𝑒𝑛)
𝑏𝑒𝑖
→ 𝑞𝑏∑𝑒𝑖 = 𝑏∑𝑞𝑖𝑒𝑖
→ 𝑞∑𝑒𝑖 = −∑
Δ𝑇𝑖
𝑅𝑖
𝑒𝑖 = −Δ𝑇∑
𝑒𝑖
𝑅𝑖
→ Δ𝑇 = −𝑞
∑𝑒𝑖
∑ Τ𝑒𝑖 𝑅𝑖
𝑏
kn
en
qn
𝑅𝑒𝑞
kn
Tn
Ln
k2
T2
L2
k1
L1
T1
q q1 q
. . .
qnq2
𝑇
kn
Tn
Ln
k2
T2
L2
k1
L1
T1
q q1 q
. . .
qnq2
k1
L1
k2
L2
. . .
𝑇𝑖
kn
Ln
ሶ𝑄
ሶ𝑄1
ሶ𝑄
. . . ሶ𝑄3
ሶ𝑄2
𝑇𝑓
𝐴𝑛

𝑘1
𝐿1
𝑘2
𝐿2
𝑇𝑖
𝑘𝑛
𝐿𝑛
ሶ𝑄 ሶ𝑄1
ሶ𝑄
. . .
ሶ𝑄3
ሶ𝑄2
𝑇𝑓
𝐴𝑛
. . .

𝑅1 𝑅2 𝑅𝑛
𝑅𝑒𝑞
Δ𝑇1 Δ𝑇2
Δ𝑇𝑛
𝑅𝑖 =
)l n( Τ𝑟𝑒 𝑟𝑖
2𝜋𝐿𝑖𝑘𝑖
 Exemplo:
Uma chapa de cobre (kc = 372 W/m.K) tem 3,0 mm de espessura e possui uma camada de aço inoxidável
protetora contra corrosão em cada lado com 2,0 mm de espessura (ka = 17 W/m.K). A temperatura é de 400 °C
num dos lados desta parede composta e de 100 °C no outro. Calcule o calor conduzido através da parede.
eqqRT −=

=
=
n
1i
ieq RR
i
i
i
k
L
R =
a
a
c
c
n
1i i
i
eq
k
L
2
k
L
k
L
R +== 
=
17
102
2
372
103
R
33
eq
−− 
+

=
W
Km
1043,2
2
4−=
4
eq 1043,2
400100
R
T
q
−
−
−=

−=
26 mW102,1q=
T 1
 =
 4
0
0
°C
T 2
=1
0
0
°C
2
,0
 m
m
3
,0
 m
m
2
,0
 m
m
T 1
 =
 4
0
0
°C
T 2
=
1
0
0
°C
2
,0
 m
m
3
,0
 m
m
2
,0
 m
m
k ck a k a
Equação da difusão (1D)
 Geral:
Equação da difusão (3D)
 Geral
 Homogêneo, sem fontes e permanente:
ρ𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑞𝑓
ρ𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝛻(𝑘𝛻𝑇) + 𝑞𝑓
𝛻2𝑇 = 0
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝛻2𝑇 (Laplace) em coordenadas:
▪ cartesianas:
▪ cilíndricas:
▪ esféricas:
𝛻2𝑇 =
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
𝛻2𝑇 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑇
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
𝛻2𝑇 =
1
𝑟
𝜕2 𝑟𝑇
𝜕𝑟2
+
1
𝑟2 sen𝜃
𝜕
𝜕𝜃
sen𝜃
𝜕𝑇
𝜕𝜃
+
1
𝑟2 sen2 𝜃
𝜕2𝑇
𝜕𝜙2
 Exemplo:
Determine a distribuição da temperatura em regime permanente num cilindro
comprido oco com raio interno Ri, raio externo Re, utilizando a equação de difusão
térmica. Considere as temperaturas interna e externa constantes e iguais a Ti e Te,
respectivamente e material homogêneo.
Ri
Re
Ti
Te
 Exemplo:
02 = T
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T


+


+









=

Permanente e homogêneo:
Coordenadas cilíndricas:
Ri
Re
Ti
Te
𝑇 − 𝑇𝑖
𝑇𝑒 − 𝑇𝑖
=
ln
𝑟
𝑅𝑖
ln
𝑅𝑒
𝑅𝑖
ሶ𝑄 = −𝐴𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=−
2𝜋𝐿𝑘 𝑇𝑖−𝑇𝑒
ln
𝑅𝑖
𝑅𝑒
Convecção
 difusão: movimento molecular aleatório
+
 advecção: movimento macroscópico do fluido
Th
Tcorpo
escoamento
Fronteira
 difusão: movimento molecular aleatório
+
 advecção: movimento macroscópico do fluido
Th
Tcorpo
escoamento
Fronteira
 Convecção
▪ Isaac Newton, 1704:
Th
Tcorpo
escoamento
− TT
dt
dT
corpo
corpo
Isaac Newton
(1643 – 1727)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
 Convecção• 1ª Lei da Termodinâmica:
Lei de Newton do resfriamento:
ሶ𝑄 ∝
𝑑𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑑𝑡
→ 𝑞 ∝
𝑑𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑑𝑡
∝ 𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞
𝑞 ∝ 𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞
𝑞 = ℎ(𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞)
𝑞 = ℎ(𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞)
SITUAÇÃO h (W/m²K)
Convecção natural em gases
Parede vertical de 0,3m no ar, T=30°C 4,33
Convecção natural em líquidos
Tubulação horizontal com De = 40mm, T=30°C 570
Fio de 0,25mm de diâmetro no metanol, T=30°C 4000
Convecção forçada de gases
Ar a 30 m/s sobre placa plana de 1 m, T = 70°C 80
Convecção forçada de líquidos
Água a 2 m/s sobre uma placa de 60 mm, T = 15°C 590
Mistura anilina-álcool a 3 m/s num tubo de Di = 25 mm, T = 80°C 2600
Sódio líquido a 5 m/s num tubo de Di = 13 mm a 370°C 75000
Água fervente
Furante fervura laminar a 1 atm 300
Numa chaleira 4000
Num fluxo máximo de convecção-fervura, sobre condições ótimas 1000000
Condensação
Num tubo condensador de água gelada típico 15000
Mesmo, porém condensando benzeno 1700
ℎ : coeficiente de transferência de calor
തℎ : coeficiente médio de toda superfície
 condução:
 convecção:
𝑅𝑖 =
𝐿𝑖
𝑘𝑖
𝑅𝑒𝑞 = ∑𝑅𝑖
kn
Tn
Ln
k2
T2
L2
k1
L1
T1
q q1
. . .
qnq2
Resistência térmica (1D)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒çã𝑜
𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑇∞
Δ𝑇 = −𝑅𝑒𝑞𝑞
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝐿𝑖
𝑘𝑖
𝑚2𝐾
𝑊
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = തℎ 𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞ = −തℎ 𝑇∞ − 𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 → Δ𝑇 = −
1
തℎ
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
Δ𝑇
𝑅𝑒𝑞
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
തℎ𝑖
Em série:
⇒ 𝑅𝑒𝑞 = ∑𝑅𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑑 + ∑𝑅𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑣
Condução Convecção
Camada plana
𝐿𝑖
𝑘𝑖𝐴𝑖
1
ℎ𝑖𝐴𝑖
Casca 
cilíndrica
ln( Τ𝑟𝑒 𝑟𝑖)
2𝜋𝐿𝑖𝑘𝑖
1
2𝜋 𝑟𝑠 𝐿 ℎ𝑖
 Exemplo
Uma parede de um edifício tem 1,5 cm de argamassa (interna e externa) e 9 
cm de espessura correspondente a tijolos maciços de cerâmica. Num dia em que a 
temperatura externa é de 35°C e a interna é mantida por ar-condicionado em 23°C, 
calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm de EPS 
(poliestireno expandido).
Dados (NBR 15220-2 Desempenho térmico de edificações Parte 2):
- Coeficiente de transferência de calor: 7,7 W/m².K e 25,0 W/m².K (interno e 
externo)
- Condutividade térmica: argamassa 1,15 W/m.K; tijolos de cerâmica 0,70 W/m.K e 
EPS 0,04 W/m.K
 Exercício
Uma parede de um edifício tem 1,5 cm de argamassa (interna e externa) e 9 cm de espessura 
correspondente a tijolos maciços de cerâmica. Num dia em que a temperatura externa é de 35°C e a 
interna é mantida por ar-condicionado em 23°C, calcule:
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
 Exercício
- Coeficiente de transferência de calor: 7,7 W/m².K e 25,0 W/m².K (interno e externo)
- Condutividade térmica: argamassa 1,15 W/m.K; tijolos de cerâmica 0,70 W/m.K e EPS 0,04 W/m.K
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
kEPS = 0,04 W/m.K
 Exercício
...calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm de EPS (poliestireno expandido).
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
eqqRT −=
i
i
i
k
L
R =
Condução:
Convecção:
i
i
h
1
R =
conv
n
1i
i
cond
n
1i
ieq RRR 





+





= 
==






++







++=
iea
a
c
c
a
a
h
1
h
1
k
L
k
L
k
L






++





++=
7,7
1
25
1
15,1
015,0
7,0
09,0
15,1
015,0
324,0=
W
Km2
eq
a
R
T
q

−=
324,0
3523−
−= 37= 2m
W
kEPS = 0,04 W/m.K
 Exercício
...calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm de EPS (poliestireno expandido).
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
eqqRT −=
i
i
i
k
L
R =
Condução:
Convecção:
i
i
h
1
R =
2a m
W
37q =
EPSeq
'
eq RRR +=
EPS
EPS
eq
k
L
R +=
04,0
03,0
324,0 +=
kEPS = 0,04 W/m.K
07,1=
W
Km2
'
eq
b
R
T
q

−=
07,1
3523−
−= 11=
2m
W
 Exercício
...calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm de EPS (poliestireno expandido).
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
eqqRT −=
i
i
i
k
L
R =
Condução:
Convecção:
i
i
h
1
R =
2a m
W
37q =
kEPS = 0,04 W/m.K
2b m
W
11q =
%70q →
Convecção
Solução pela capacidade concentrada
 Transferência simultânea por condução e convecção
condução
convecção
 Razão entre resistência térmica condutiva e convectiva (Biot):
𝐿
𝑇0
𝑇𝑠
𝑇∞
𝛿𝑡
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
camada 
limite 
térmica
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑑
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑣
sólido
(parede 
infinita)
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣
=
ൗ𝐿 𝑘
ൗ1 തℎ
=
തℎ𝐿
𝑘
Número 
de Biot:
𝐵𝑖 =
തℎ𝐿𝑐
𝑘𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
Para corpos com diferentes geometrias: 𝐿𝑐 =
𝑉
𝐴𝑠
Ex.:
• parede plana comprida: 𝐿𝑐 = 𝐿
• cilindro: 𝐿𝑐 = Τ𝑅𝐻 2𝐻 + 2𝑅
• cilindro com base isolada: 𝐿𝑐 = Τ𝑅𝐻 2𝐻 + 𝑅
• cilindro longo: 𝐿𝑐 = 𝑅/2
• esfera: 𝐿𝑐 = 𝑅/3
fluido
𝑥
𝑇
𝐿
𝑇0
𝑇𝑠
𝑇∞
𝛿𝑡
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
camada 
limite 
térmica
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑑
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑣
(sólido) (fluido)
𝑥
𝑇
 Razão entre resistência térmica condutiva e convectiva (Biot):
𝐿
𝑇0
𝑇𝑠
𝑇∞
𝛿𝑡
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
camada 
limite 
térmica
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑑
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑣
sólido
(parede 
infinita)
Se 𝐵𝑖 = Τതℎ𝐿𝑐 𝑘𝑐:
• >> 1: transferência governada pela condução
• << 1: transferência governada pela convecção
• nenhum dos dois acima: ambos são relevantes
 𝐵𝑖 ≪ 1 (apenas convecção) – método da capacidade concentrada
1ª Lei da Termodinâmica:Lei de resfriamento de Newton:
𝑞 = തℎ 𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞
ሶ𝑄 = 𝑞𝐴 = തℎ𝐴 𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞
ሶ𝑄 =𝑚𝑐
𝑑𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
−തℎ𝐴 𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞ = 𝑚𝑐
𝑑
𝑑𝑡
𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞
𝜉 𝜉
→ 𝑑𝑡 = −
𝑚𝑐
തℎ𝐴
𝑑𝜉
𝜉
𝑇𝐾
→ න
0
𝑡
𝑑𝑡 = −𝑇𝐾න
𝜉𝑖
𝜉 𝑑𝜉
𝜉
→ 𝑡 = −𝑇𝐾 ቚln 𝜉
𝜉𝑖
𝜉
→ 𝑡 = −𝑇𝐾 ln
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒−𝑡/𝑇𝐾
 Exercício
Numa chopada de engenharia no DCE, uma lata de 250 mL de cerveja é retirada do isopor a 2 °C para ser
entregue ao aluno Sagaz, num ambiente a 40°C. A lata, colocada sobre uma superfície isolante, tem 6,0 cm de
diâmetro e 9,0 cm de altura. Para esta situação, o coeficiente de transmissão térmica entre a superfície da lata e o
ar (തℎ) é 7 W/m²K. Neste momento, uma simpática aluna de arquitetura aparece ao seu lado e ele resolve
conversar com ela sobre o cenário político atual do país. Admitindo-se que a temperatura apropriada para
consumo é de, no máximo, 4°C, quanto tempo Sagaz tem para concluir sua conversa? Ignore a irradiação térmica
e comente as demais suposições feitas para o cálculo. Considere Bi << 1.
kg250,0m =
C2Ti =
C40T =
KmW7h 2=
C4Tf =
6,0 cm
9
,0
 c
m
 Exercício
kg250,0m =
C2Ti =
C40T =
KmW7h 2=
C4Tf =
kTt
i
e
TT
TT /−

 =
−
−
Ah/mcTk =






−
−
−=→


TT
TT
lnTt
i
k
KkgJ4200c =
=A +RH2
2R ( )203,009,003,02 += 2m0198,0=
Ah/mcTk =
0198,07
420025,0


= 7575= s






−
−
−=


TT
TT
lnTt
i
k 





−
−
−=
402
404
ln7575 409= s s49min6=
6,0 cm
9
,0
 c
m
𝐵𝑖 =
തℎ𝐿𝑐
𝑘𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝐿𝑐 = Τ𝑉 𝐴𝑠 = Τ3 ⋅ 9 2 ⋅ 9 + 3 = 1,3 𝑐𝑚
=
7 ⋅ 0.013
0,61
𝑘𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 ≅ 𝑘á𝑔𝑢𝑎 = 0,61 𝑊/𝐾𝑚
=
7 ⋅ 0.013
0,61
= 0,15
= Τ𝑅𝐻 2𝐻 + 𝑅
Convecção
Camada limite térmica
 Camada limite - velocidade
 Camada limite – velocidade
▪ Análise dimensional: 
▪ Grupos :
➔
 Camada limite - velocidade
– Número de Nusselt:
– Número de Prandtl
 Camada limite – temperatura
f
L
k
hL
Nu =
k
c
Pr
p
=
Convecção
Trocador de calor
Radiação
▪ Espectro eletro-magnético:
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
𝑓 =
𝑐0
𝜆
▪ Espectro eletro-magnético:
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
Caracterização Comprimento de onda l
Raios cósmicos < 0,3 pm
Raios gama 0,3 - 100 pm
Raio-X 0,01 - 30 nm
Luz ultravioleta 3 - 400 nm
Luz visível 0,4 - 0,7 m
Infravermelho próximo 0,7 - 30 m
Infravermelho distante 30 - 1000 m
Ondas milimétricas 1 - 10 mm
Microondas 10 - 300 mm
Ondas curtas de rádio e TV 300 mm - 100 m
Ondas longas de rádio 100 m - 30 km
 Incidência de energia num corpo
q - incidente
q - refletido
q - transmitido
q - absorvido
 +  +  = 1
 - absortividade
 - reflectividade
 - transmissividade
Ex.: transmissividade do vidro varia com o comprimento de onda
q - incidente
q - refletido
q - transmitido
q - absorvido
Corpo negro:
É um corpo que absorve totalmente a energia incidente, ou seja, com 
reflexão e transmissão nula. Toda a energia emitida pelo corpo negro é 
proveniente de radiação térmica, se caracterizando portanto como um 
radiador térmico perfeito.
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
 Incidência de energia num corpo
 - absortividade
 - reflectividade
 - transmissividade
Casos 
especiais:
Obs.: Quando há apenas radiação de calor, 𝛼 = 𝜀.
𝛼 + 𝜌 + 𝜏 = 1
Classificação 
do corpo
Descrição   
Negro Absorve todo calor incidido
Opaco
Não há radiação seu 
interior
Totalmente 
transparente
Não absorve nem reflete 
calor
Totalmente 
refletor
Não absorve nem transmite
1 0 0
1 -  1 -  0
0 0 1
0 1 0
▪ Lei de Stefan-Boltzmann
▪ Corpo negro
▪ Geral (corpo cinza):
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
4)( TTe =
Constante de Stefan-Boltzmann:
4T)T(e =
𝜎 = 5,670400 ∙ 10−8 𝑊
𝑚2𝐾4
𝜀: emissividade
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
Disponível em: http://www.industriahoje.com.br/siderurgia-mundial-
resiste-cortar-excesso-de-produção. Acesso em: 11/06/2015.
( ) ( ) 1e
ch2
,Te
Thc5
2
0
B0b −l

=l
ll
0
50
100
150
0 1 2 3 4 5 6 7
en
er
gi
a
m
o
n
o
cr
o
m
át
ic
a
em
it
id
a
(k
W
/m
²/

m
)
Comprimento de onda (m)
faixa visível
998 K
1262 K
1449 K
1646 K
F
a
ix
a
 v
is
ív
e
l
Max Planck, 1901.
𝑐0 = 2,99792458 ∙ 10
8 Τ𝑚 𝑠
ℎ = 6,62606876 ∙ 10−34𝐽 ∙ 𝑠
𝜅𝐵 = 1,3806503 ∙ 10
−23 Τ𝐽 𝐾
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
( ) ( ) 1e
ch2
,Te
Thc5
2
0
B0b −l

=l
ll
Disponível em: http://ofelino.blogspot.com.br/2013/09/veias-
incandescentes.html. Acesso em 11/06/2015.
Max Planck, 1901.
𝑐0 = 2,99792458 ∙ 10
8 Τ𝑚 𝑠
ℎ = 6,62606876 ∙ 10−34𝐽 ∙ 𝑠
𝜅𝐵 = 1,3806503 ∙ 10
−23 Τ𝐽 𝐾
0
50
100
150
0 1 2 3 4 5 6 7
en
er
gi
a
m
o
n
o
cr
o
m
át
ic
a
em
it
id
a
(k
W
/m
²/

m
)
Comprimento de onda (m)
faixa visível
998 K
1262 K
1449 K
1646 K
F
a
ix
a
 v
is
ív
e
l
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
( ) ( ) 1e
ch2
,Te
Thc5
2
0
B0b −l

=l
ll
Max Planck, 1901.
𝑐0 = 2,99792458 ∙ 10
8 Τ𝑚 𝑠
ℎ = 6,62606876 ∙ 10−34𝐽 ∙ 𝑠
𝜅𝐵 = 1,3806503 ∙ 10
−23 Τ𝐽 𝐾
0
50
100
150
0 1 2 3 4 5 6 7
en
er
gi
a
m
o
n
o
cr
o
m
át
ic
a
em
it
id
a
(k
W
/m
²/

m
)
Comprimento de onda (m)
faixa visível
998 K
1262 K
1449 K
1646 K
F
a
ix
a
 v
is
ív
e
l
Comprimento de máxima emissão (Lei de Wien):
𝜆𝑇 𝑒𝜆=𝑚á𝑥 = 2897,77 𝜇𝑚 ∙ 𝐾
𝜕𝑒𝜆𝑏
𝜕𝜆
= 0 →
Fonte: University of Colorado - http://phet.colorado.edu/pt_BR/
 Troca de calor entre dois corpos negros
▪ Fluxo líquido transferido do corpo 1:
▪ Taxa de transferência líquida transferida do corpo 1:
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
Corpo 2Corpo 1
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
𝑞𝑙𝑖𝑞 = 𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
𝑞1 = 𝜎𝑇1
4 𝑞2 = 𝜎𝑇2
4
 Exemplo 1:
Uma parede comprida e preta a 27°C faceia outra cuja superfície encontra-se a 127°C. Entre as paredes 
há vácuo. Se a segunda parede tem espessura de 10 cm e condutividade térmica de 17,5 W/m.K, qual é a sua 
temperatura no lado de trás? (assuma estado permanente)
UFF – Transferência de Calor: Radiação – www.hidrouff.uff.br
T
p
=
 2
7
°C
T
i 
=
 1
2
7
°C
e = 0,10m
k
 =
 1
7
,5
 W
/m
.K
T
e
 =
 ?
vácuo
qirrad. qcond.
( )4p4iI TTq −= ( )448 3004001067,5 −= −
992= 2m
W
L
T
kqC

−=
10,0
T127
5,17 e
−
−=
IC qq = 992
10,0
T127
5,17 e =
−
−→
C133Te =→
( )4p4iI TTq −= ( )448 3004001067,5 −= −
992= 2m
W
L
T
kqC

−=
10,0
T127
5,17 e
−
−=
IC qq = 992
10,0
T127
5,17 e =
−
−→
C133Te =→
T
p
=
 2
7
°C
T
i 
=
 1
2
7
°C
e = 0,10m
k
 =
 1
7
,5
 W
/m
.K T
e
 =
 ?
vácuo
qirrad. qcond.
 Troca de calor entre dois corpos negros
Corpo 2Corpo 1
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
𝑞1 = 𝜎𝑇1
4 𝑞2 = 𝜎𝑇2
4
– Taxa de transferência líquida transferida 
do corpo 1:
– Quando há mais corpos (3, 4, ...):
• 𝐹12 : fator de forma – fração da energia 
emitida por 1 que é interceptada por 2
– Corpos cinzas:
• ℱ12 : fator de transferência – depende 
também das emissividades dos corpos
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1ℱ12𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1𝐹12𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
 Exemplo 2:
Um termopar preto mede a temperatura em uma câmara com paredes pretas. Se o ar ao redor do 
termopar está a 20°C, as paredes a 100°C e o coeficiente de transferência de calor entre o termopar e o ar é 75 
W/m²K, qual será a temperatura lida pelo termopar?
𝐴𝑡𝑝 തℎ 𝑇𝑡𝑝 − 𝑇𝑎𝑟 = −𝐴𝑡𝑝𝐹12 𝜎 𝑇𝑡𝑝
4 − 𝑇𝑝
4
1
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝐴𝑡𝑝 തℎ 𝑇𝑡𝑝 − 𝑇𝑎𝑟
ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑 = 𝐴𝑡𝑝 𝐹12 𝜎 𝑇𝑡𝑝
4 − 𝑇𝑝
4
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 = ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑
→ 75 𝑇𝑡𝑝 − 20 = −5,67 ∙ 10
−8 𝑇𝑡𝑝 + 273
4
− 100 + 273 4 → 𝑇𝑡𝑝 = 28,4°𝐶
câmara
Tar=20°C
Tparede=100°C
ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣
câmara
Tar=20°C
Tparede=100°C
ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣
Termopar
câmara
Tar=20°C
Tparede=100°C
Termopar
 BIBLIOGRAFIA:
▪ LIENHARD, John H., A Heat Transfer Textbook. 4ª ed. Cambridge,MA: 
Phlogiston Press, 2012. Disponível em: web.mit.edu/lienhard. Acesso em 
10/05/2015.
▪ INCROPERA F. P. & DE WITT, D. P., Fundamentos de Transferência de Calor e 
de Massa. 7ª ed. LTC, 2014.
▪ Imagens disponíveis na internet.
HidroUFF.uff.br