Estruturas Hiperestáticas 1

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Universidade Federal do Espírito Santo 
Prof. Pedro Sá 
Introdução 
Método dos Esforços 
 Deslocamentos nas Estruturas 
 Formulação do Método 
Método dos Deslocamentos 
 Ações de Engastamento Perfeito 
 Formulação do Método 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Universidade Federal do Espírito Santo 
Prof. Pedro Sá 
Bibliografia 
Análise de Estruturas Reticuladas 
 Humberto Lima Soriano e Sílvio Lima 
Análise de Estruturas – Conceitos e Métodos Básicos 
 Luiz Fernando Martha 
Análise de Estruturas Reticuladas 
 James Gere e William Weaver, Jr. 
Curso de Análise Estrutural, Vols. 2 e 3 
 José Carlos Süssekind 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
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Introdução 
Objetivos da Teoria das Estruturas 
A Teoria das Estruturas estuda a distribuição, ao longo da extensão de 
um corpo sólido, dos esforços e deslocamentos que surgem em suas 
seções planas, provocados pelas cargas que ele recebe de agentes 
externos. 
Estrutura é o conjunto das partes do corpo destinadas a receber, 
absorver e transmitir estas cargas. 
As cargas são denominadas esforços externos ativos (previamente 
conhecidos) e provocam os esforços externos reativos e os esforços 
internos (ambos incógnitos). 
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Introdução 
Objetivos da Teoria das Estruturas 
Este curso aborda a solução de Estruturas Reticuladas, isto é, 
constituídas por um conjunto de barras retas. 
viga 
pórtico plano 
pórtico 
espacial 
grelha treliça plana 
treliça 
espacial 
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Introdução 
Objetivos da Teoria das Estruturas 
As incógnitas de um problema de Análise de Estruturas Reticuladas são 
as reações de apoio e os esforços internos nos seus elementos, além 
dos deslocamentos de suas seções transversais (ou pontos dos seus 
eixos). 
R1 
R2 
R3 
R4 
R5 
d1 
d2 
d3 
d4 
Reações de Apoio: R1 a R5 
Deslocamentos: d1 a d4 
Os esforços internos são 
determinados pelo 
Método das Seções 
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Introdução 
Conceitos Básicos 
Eixo: Lugar geométrico dos centróides das seções das barras que 
compõem a estrutura. 
Nós: Pontos discretos dos eixos das barras, onde se pretende 
determinar os esforços e deslocamentos incógnitos. 
São nós, obrigatoriamente, as extremidades das barras e 
os pontos que representam os apoios da estrutura. 
Membro ou Elemento: segmento entre dois nós consecutivos. 
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Introdução 
Conceitos Básicos 
Sistema Global (x,y,z) – SG: Sistema de eixos cartesianos ortogonais de 
referência da estrutura como um todo. 
Sistemas Locais (xM,yM,zM) – SL: Sistemas de eixos cartesianos ortogonais 
de referência de cada membro ou elemento. 
i: membro ou elemento 
j: nó inicial 
k: nó final 
i 
j 
k 
x 
y 
z 
zM 
xM 
yM 
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Conceitos Básicos 
Tipos de Nós: 
Nó Rígido Nó Flexível ou Rotulado Nó Rígido - Rotulado 
Nó Rígido: Transmite forças e momentos 
Nó Flexível: Transmite apenas forças 
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Conceitos Básicos 
Tipos de Apoios: 
No plano x-y: 
a: 
b: 
c: 
d: 
e: 
f: 
g: 
0;0;0 ;0;0;0 x  zyzyx MRR dd
0;0;0 ;0;0;0  zyxzyx MRR dd
0;0;0 ;0 ;0;0  zyxzyx MRR dd
0;0;0 ;0 ;0;0  zyxzyx MRR dd
0;0;0 ;0 ;0;0  zyxzyx MRR dd
0;0;0 ;0 ;0;0  zyxzyx MRR dd
0;0;0 ;0 ;0;0  zyxzyx MRR dd
a b 
d e 
f g 
c 
x 
y 
z SG 
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Introdução 
Conceitos Básicos 
Tipos de Elementos: 
Elementos de pórtico espacial: 
x 
y 
z N,dz T,z 
Mx,x 
Vx,dx 
My,y 
Vy,dy 
  0xF
  0yF
  0zF
  0xM
  0yM
  0zM
Elementos de pórtico plano: 
x 
y 
z N,dz 
Mx,x Vy,dy 
  0yF
  0zF
  0xM
Elementos de grelha: 
  0yF
  0xM
  0zM
x 
y 
z T,z 
Mx,x Vy,dy 
Elementos de viga: 
x 
y 
z 
Mx,x Vy,dy   0yF
  0xM
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Conceitos Básicos 
Tipos de Elementos: 
Elementos de treliça espacial: 
  0xF
  0yF
Elementos de treliça plana: 
  0yF
  0zF
  0zF
x 
y 
z N, dz 
dx dy 
x 
y 
z 
dy 
N, dz 
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Introdução 
Definição de Estrutura Hiperestática 
As reações de apoio podem ser determinadas pelas equações de 
equilíbrio da Estática, levando em conta todos os esforços externos 
ativos e reativos da estrutura, e os esforços internos, pelo Método das 
Seções, o qual também utiliza as equações de equilíbrio da Estática, 
porém levando em conta os esforços internos numa determinada seção 
transversal e os esforços externos em um dos lados desta seção. 
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Introdução 
Definição de Estrutura Hiperestática 
Em suma, o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos pode 
ser feito por meio das equações de equilíbrio da Estática, escritas com 
base na aplicação do Método das Seções, isolando cada nó da estrutura. 
Desta forma, as equações de equilíbrio dos esforços externos utilizadas 
para a determinação das reações de apoio estarão implicitamente 
consideradas. 
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Introdução 
Definição de Estrutura Hiperestática 
Exemplo: 
0 0 111  VqzRFy
Incógnitas: R1, R2, V1, V2, M1, M2 
Equilíbrio do Nó 1: 
02 0 21111  qzzVMM x
  0 0 22121  VRzzqVFy
Equilíbrio do Nó 2: 
   
    022
 0
2
2
12
2
11
1221111


MLzqzLq
LzVzLVMM x
R1 
V1 M1 
1 
M2 
V2 
3 
R2 
2 
V2 
M2 M1 
V1 
z 
R1 R2 
q 
y 
S1 S2 
z1 
z2 
1 2 3 
L1 L2 
  0 0 2212  zLLqVFy
Equilíbrio do Nó 3: 
 
  02
 0
2
221
22122


zLLq
zLLVMM x
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Definição de Estrutura Hiperestática 
Se a estrutura contém vínculos que oferecem um número de ações 
externas reativas (reações apoio) superiores ao número de Equações de 
Equilíbrio da Estática, relativas somente aos esforços externos, ela é dita 
externamente hiperestática. 
R1 R2 R3 
q 
z 
y Equações de Equilíbrio: 
2 equações e 3 incógnitas 
  0xM
  0yF
Incógnitas: R1, R2, R3 
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Definição de Estrutura Hiperestática 
Se a estrutura possui um número de elementos tal que o número de 
esforços internos incógnitos seja superior ao número de Equações de 
Equilíbrio da Estática oferecido pelo Método das Seções, ela é dita 
internamente hiperestática. 
Equações de Equilíbrio: 
3 equações e 6 incógnitas 
  0zM
  0yF
R1 R2 
R3 
P1 
x 
y 
P2 
P3 
S1 
R2 
P3 
S1 V1 
V2 
M1 
M2 
N1 
N2 
  0xF
Incógnitas: N1, M1, V1 , N2,M2, V2 
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Introdução 
Definição de Estrutura Hiperestática 
O Grau de Hiperestaticidade ou de indeterminação estática de uma 
estrutura é a diferença entre o número de esforços incógnitos e o 
número de equações de equilíbrio da Estática aplicáveis, isto é, o 
número de equações complementares necessárias ao cálculo de todos 
os esforços na estrutura. 
De um modo geral, pode ser calculado pela diferença entre o número de 
esforços incógnitos (o número de reações de apoio somado ao número 
de esforços internos em todos os elementosda estrutura) e o número 
de equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do 
Método das Seções, isolando cada um dos seus nós. 
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Definição de Estrutura Hiperestática 
Grau de Hiperestaticidade (g): 
rnenimrg  
onde 
r é o número de reações de apoio, 
i é o número esforços internos na seção do elemento, 
m é o número de membros ou de elementos da estrutura, 
e é o número equações de equilíbrio da Estática aplicáveis a cada nó da estrutura, 
n é o número de nós da estrutura e 
nr é o número de equações de equilíbrio adicionais, devidas às seções rotuladas. 
Observação: Podem existir nós e elementos de natureza distinta na estrutura; nestes 
casos, os produtos im e en da fórmula podem se desdobrar em mais de uma parcela. 
número de incógnitas = r+Sim 
número de equações = Sen+nr 
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Definição de Estrutura Hipergeométrica 
Se a estrutura contém vínculos suficientes para evitar deslocamentos 
dos nós ou que, de alguma forma, se conheça todos os seus 
deslocamentos de nós, ela é dita isogeométrica. Caso contrário, a 
estrutura é hipergeométrica. 
estrutura isogeométrica estrutura hipergeométrica 
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Definição de Estrutura Hipergeométrica 
O Grau de Hipergeometria ou de indeterminação cinemática de uma 
estrutura é o número de deslocamentos de nós incógnitos da estrutura, 
isto é, o número de equações necessárias à determinação destes 
deslocamentos. 
O grau de hipergeometria de uma estrutura é facilmente determinado e 
é também conhecido como o número de graus de liberdade da 
estrutura, para deslocamentos de nós. 
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Definição de Estrutura Hipergeométrica 
Grau de Hipergeometria (d): 
 ndd L
onde 
dL é o número de direções livres de cada nó e 
n é o número de nós da estrutura. 
Um nó de uma estrutura plana pode ter até três graus de liberdade. 
Nó de pórtico plano: dL = 3, dois deslocamentos lineares e um angular; 
Nó de grelha: dL = 3, dois angulares e um linear; 
Nó de viga: dL = 2, um linear e um angular. 
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Definição de Estrutura Hipergeométrica 
Como os elementos de treliça não transmitem momento, seus nós não 
estão sujeitos a deslocamentos angulares. 
Um nó de uma estrutura espacial pode ter até seis graus de liberdade. 
dL = 6, três deslocamentos lineares e três angulares. 
Grau de Hipergeometria (d): 
Nó de treliça plana: dL = 2, dois deslocamentos lineares; 
Nó de treliça espacial: dL = 3, três deslocamentos lineares. 
Nó de pórtico espacial: dL = 6, três deslocamentos lineares e três 
angulares. 
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Definição de Estrutura Hipergeométrica 
a b 
d e 
f g 
c 
x 
y 
z SG 
Grau de Hipergeometria (d): 
Apoios no plano x-y: 
a,b: dL = 2, 
c,d,e: dL = 1, 
f,g: dL = 0 
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Métodos de Cálculo 
Existem dois métodos de obtenção dos esforços e dos deslocamentos: 
MÉTODO DOS ESFORÇOS ou MÉTODO DIRETO 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ou MÉTODO INDIRETO 
Como visto, o objeto da Teoria das Estruturas é a determinação de todos 
os esforços (externos e internos) que atuam numa determinada 
estrutura e dos deslocamentos de suas seções, isto é, da sua deformada. 
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Métodos de Cálculo 
O Método dos Esforços ou Método Direto, também conhecido por 
Método da Flexibilidade, determina inicialmente os esforços e, 
posteriormente, os deslocamentos. 
O Método dos Deslocamentos ou Método Indireto, também conhecido 
por Método da Rigidez, determina inicialmente os deslocamentos e, 
posteriormente, os esforços. 
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Métodos de Cálculo 
As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a 
estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal 
(SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos. 
No Método dos Esforços, o SP é uma estrutura isostática que, portanto, 
pode ser resolvida a partir das Equações de Equilíbrio da Estática. 
As equações utilizadas neste método são Equações de Compatibilidade 
de Deslocamentos de Nós entre as duas estruturas. 
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Métodos de Cálculo 
As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a 
estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal 
(SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos. 
No Método dos Deslocamentos, o SP é uma estrutura isogeométrica 
que pode ser resolvida pelo Método Direto. 
As equações utilizadas são Equações de Equilíbrio de Esforços nos Nós 
do SP. 
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Métodos de Cálculo 
estrutura a ser calculada 
SP – Método Direto 
SP – Método Indireto 
M1 
M21 M22 
M3 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
R1 R2 R3 
v 
R2 
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Métodos de Cálculo 
Equação Utilizada pelo Método Direto: v = 0 
As alterações dos vínculos provocam o 
desaparecimento de esforços incógnitos que, por sua 
vez são aplicados ao SP. As equações utilizadas pelo 
Método Direto refletem a compatibilização entre os 
deslocamentos dos dois sistemas. 
v 
R2 
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Métodos de Cálculo 
Equações Utilizadas pelo Método Indireto: SM1 = 0 
SM2 = 0 
SM3 = 0 
As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de 
deslocamentos incógnitos que, por sua vez são impostos ao SP. 
As equações utilizadas pelo Método Indireto refletem as 
condições de equilíbrio dos esforços que atuam nos nós do SP. 
M1 
M21 M22 
M3 
1 
2 
3 
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Fim do Capítulo