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ENSINO A
DISTÂNCIA
TEORIA DAS ESTRUTURAS II
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Nenhuma parte pode ser reproduzida, transmitida ou duplicada sem o consentimento 
da Editora, por escrito. O Código Penal brasileiro determina, no art. 184, “dos crimes 
contra a propriedade intelectual”. 
Editoração: Patrícia Fernandes Fraga 
 Tayane Medeiros d’Oliveira
Projeto gráfico e diagramação: Ana Lúcia Dal Pizzol
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PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Apresentar, discutir, interpretar e aplicar conceitos que estejam em conformidade 
com o estabelecido pelas diretrizes curriculares CNE/CES dos cursos superiores de 
Engenharia Civil e Arquitetura e Urbanismo, no que tange o desenvolvimento de 
atividades profissionais de coleta de dados, estudo, planejamento, projeto e especificação 
de estruturas. 
Exibir, discutir, interpretar e aplicar conceitos acerca do comportamento mecânico 
de estruturas e conjuntos de elementos estruturais associados aos sistemas estruturais 
específicos, de maneira que possam atender de forma satisfatória às solicitações de 
trabalho e as condições de uso as quais estão submetidos.
Estimular o desenvolvimento de modelos cognitivos, teóricos e práticos de 
interpretação, análise crítica e proposição de solução para problemas de ordem mecânica 
nas estruturas.
Permitir a compreensão do comportamento mecânico das estruturas, além da 
utilização de métodos científicos no desenvolvimento de projetos estruturais.
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O PAPEL DA DISCIPLINA PARA A FORMAÇÃO DO ACADÊMICO
A disciplina Teoria das Estruturas II é essencial para a formação profissional sólida 
de todo Arquiteto e Urbanista e Engenheiro Civil. É ela que permite a estes profissionais 
a compreensão das características e dos comportamentos físicos dos distintos elementos 
estruturais que compõem as edificações e nelas exercem papéis importantes: receber e 
transferir cargas com segurança e, também, manter a edificação em pé, com estabilidade. 
Para que você compreenda a importância das estruturas, vamos fazer uma 
comparação com o corpo humano. Como você um dia aprendeu, o corpo de todo ser 
humano é composto de diversos sistemas, em que cada um deles desempenha um papel 
específico: Sistema Digestório, Sistema Circulatório, Sistema Respiratório, Sistema 
Reprodutor, Sistema Locomotor, Sistema Esquelético, dentre outros. Peço a você que 
recorde de um sistema específico do corpo humano: o Sistema Esquelético. Observe 
que este sistema é responsável pela sustentação do nosso corpo, apresentando unidades 
estruturais, os ossos, que através de conexões específicas suportam e transferem o 
carregamento de todos os nossos tecidos, órgãos, sistemas para áreas determinadas do 
corpo, nas quais toda esta carga pode ser dissipada.
Veja, também, que para o Sistema Esquelético funcionar de maneira adequada 
e cumprir com as funções que lhe foram determinadas por milênios de evolução da 
natureza, é necessário que sejamos cônscios de nossos limites, seja no que tange o 
comportamento físico dos ossos, bem como nossa capacidade de suportar cargas. Uma 
vez que estes comportamentos não são compreendidos, bem como os limites não são 
respeitados, as consequências são fissuras, chegando até o ponto da fratura. 
Agora, faça uma comparação com as estruturas de uma edificação: ela é composta de 
unidades estruturais que são as barras verticais, as barras horizontais, placas, cascas e cada um 
destes elementos, assim como os ossos do nosso corpo, suportam e transferem carregamento 
de todo o edifício para áreas determinadas, em que esta carga pode ser dissipada.
Observe que, para que as estruturas mencionadas trabalhem de maneira adequada 
e cumpram, cada uma, com as funções que lhes foram determinadas pelo projeto 
estrutural, é necessário que tanto o engenheiro civil quanto o arquiteto urbanista 
conheçam comportamento físico, bem como os limites de cada elemento, seja uma barra 
horizontal, uma barra vertical, uma placa ou uma casca. 
Assim, é conhecendo o comportamento das estruturas que tanto engenheiros 
civis como arquitetos e urbanistas têm mais segurança no desenvolvimento de projetos 
estruturais e projetos arquitetônicos, bem como proporcionam maior estabilidade e 
eficiência estrutural nas construções. 
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PROFESSOR
APRESENTAÇÃO DO AUTOR
ALEXANDRE MARTINS DE LIMA
Sou Doutor em Desenvolvimento 
Sustentável no Trópico Úmido, com área 
de concentração em História Social. Tenho 
Mestrado em Engenharia Civil, com área 
de concentração em Estruturas e Materiais. 
Graduado em Arquitetura e Urbanismo, 
formado pela Universidade Federal do Pará. 
Sou professor no Ensino Superior desde 
2002, atuante nos cursos de Arquitetura e 
Urbanismo, Engenharia Civil, Engenharia 
de Produção, Engenharia Elétrica, Design 
Gráfi co, Design de Interiores, lecionando 
disciplinas que vão desde o Desenho à Mão Livre a Estruturas e Materiais de Construção. 
O que me permite transitar em tantas disciplinas e cursos diferentes é minha sólida e 
variada formação acadêmica, aliada à minha atuação profi ssional. Estas são partes 
indissociáveis de um único universo: a teorização acadêmica e a prática profi ssional. 
Além de professor no Ensino Superior, também desenvolvo projetos arquitetônicos 
através do Escritório SFN Arquitetura, com sede em Belém, mas atuante em toda a 
região Norte e Nordeste do Brasil. Como arquiteto e urbanista, desenvolvo projetos 
arquitetônicos e urbanísticos de baixa, média e alta complexidade, porém concentro 
minha produção em projetos de edifi cações residenciais unifamiliares e edifi cações de 
múltiplos pavimentos. 
Latt es: htt p://latt es.cnpq.br/6760812737854507
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SUMÁRIO
UNIDADE 1 - ESTUDO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO 
DAS FORÇAS .......................................................................................................................................................................................11
INTRODUÇÃO À UNIDADE ........................................................................................................................................12
1.1 GRAUS ESPECÍFICOS DE ESTATICIDADE....................................................................................................12
1.2 MÉTODO DAS FORÇAS .......................................................................................................................................18
1.2.1 Método das Forças: Vigas ..................................................................................................................................... 21
1.2.2 Método das Forças: Pórticos ............................................................................................................................ 27
1.2.3 Método das Forças: Treliças .............................................................................................................................. 32
CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................................................................43
EXERCÍCIO FINAL ....................................................................................................................................................... 44
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................................. 46
UNIDADE 2 - ESTUDO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO 
DA RIGIDEZ .........................................................................................................................................................................................47
INTRODUÇÃO À UNIDADE ...................................................................................................................................... 48
2.1 MÉTODO DA RIGIDEZ ........................................................................................................................................ 49
2.1.1 Método da Rigidez: Treliças ..................................................................................................................................52
 2.1.2 Método da Rigidez: Vigas ....................................................................................................................................56
2.1.3 Método da Rigidez: Pórticos ...............................................................................................................................60
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................67
EXERCÍCIO FINAL ....................................................................................................................................................... 68
REFERÊNCIAS ...............................................................................................................................................................71
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UNIDADE 3 - AÇÕES OU CARGAS EM ESTRUTURAS ...............................................................73
INTRODUÇÃO À UNIDADE ....................................................................................................................................... 74
3.1 AÇÕES OU CARREGAMENTOS PERMANENTES .................................................................................... 77
3.2 AÇÕES OU CARREGAMENTOS VARIÁVEIS ..............................................................................................82
3.3 CARREGAMENTOS VERTICAIS ..................................................................................................................... 84
3.4 AÇÕES PROVENIENTES DAS LAJES ......................................................................................................... 86
3.5 CARREGAMENTOS HORIZONTAIS .............................................................................................................. 86
3.5.1 Ação dos Ventos ...........................................................................................................................................................88
CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................................................................101
EXERCÍCIO FINAL ......................................................................................................................................................102
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................................104
UNIDADE 4 - DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS.................105
INTRODUÇÃO À UNIDADE .................................................................................................................................... 106
4.1 DIMENSIONAMENTO DE PLACAS (LAJES E MARQUISES) ........................................................... 107
4.1.1 Lajes Armadas em Uma Direção ..................................................................................................................... 110
4.1.2 Lajes Armadas em Duas Direções ................................................................................................................ 116
4.2 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS HORIZONTAIS (VIGAS) ..........................................................130
4.2.1 Viga Simplesmente Armada à Flexão ........................................................................................................ 131
4.2.2 Viga Duplamente Armada à Flexão ........................................................................................................... 135
4.2.3 Viga Armada ao Cisalhamento .......................................................................................................................137
4.3 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS VERTICAIS (PILARES) ...........................................................139
4.3.1 Índice de Esbeltez ( ) ......................................................................................... 140
4.3.2 Excentricidade das Cargas no Pilar ........................................................................................................... 141
4.3.3 Área de Armadura Longitudinal ................................................................................................................... 142
4.3.4 Armadura Mínima Longitudinal, Espaçamento Longitudinal e Armadura 
Transversal .................................................................................................................................................................................144
4.4 DIMENSIONAMENTO DE ESCADAS ..........................................................................................................149
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4.4.1 Cálculo da Espessura .............................................................................................................................................149
4.4.2 Esforços............................................................................................................................................................................150
4.4.3 Cálculo da Área de Armadura ......................................................................................................................... 151
4.4.4 Cálculo da Quantidade e Espaçamento da Armadura ...............................................................154
4.5 DIMENSIONAMENTO DE FUNDAÇÕES ...................................................................................................155
4.5.1 Fundações Superficiais - Sapatas ............................................................................................................... 155
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................................................... 160
EXERCÍCIO FINAL .......................................................................................................................................................161
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................................163
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UNIDADE
ESTUDO DE 
ESTRUTURAS 
HIPERESTÁTICAS PELO 
MÉTODO DAS FORÇAS
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INTRODUÇÃO À UNIDADE
Antes de abordarmos o método das forças em elementos e sistemas estruturais, 
lembre-se que um sistema é um conjuntode elementos interdependentes, com o objetivo 
de formar um todo organizado, que cumpre uma função específica – tornando-se 
necessário que antes definamos o que são estruturas hiperestáticas. 
Na mecânica estrutural, denominamos de estruturas hiperestáticas aquelas nas 
quais o número de reações é superior ao número de equações da estática. Assim, estas 
equações passam a ser insuficientes para a determinação de todas as reações em uma 
dada estrutura.
É importante mencionar que a hiperestaticidade é uma condição específica, que 
está relacionada com o grau de estaticidade das estruturas. Que tal lembrar dos três graus 
específicos de estaticidade estrutural? Vamos lá?
1.1 GRAUS ESPECÍFICOS DE ESTATICIDADE
Existem três graus específicos de estaticidade que caracterizam as estruturas, 
sendo elas classificadas: 
• Estruturas hipostáticas.
• Estruturas isostáticas.
• Estruturas hiperestáticas.
 9 Estruturas Hipostáticas 
De maneira simplificada, as estruturas hipostáticas são aquelas nas quais o número 
de reações de apoio (ou vinculares) é inferior ao número das equações de equilíbrio (ou 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
equações da estática) disponíveis, caracterizando o sistema pelo excesso de equações em 
relação ao número de reações, como pode ser observado na Figura 01. Desta maneira, o 
sistema apresenta “N” soluções e, consequentemente, não tem validade como proposta 
de solução estrutural. Qualquer estrutura deste tipo não deve ser utilizada como 
proposta estrutural nos projetos de engenharia e de arquitetura, uma vez que a maior 
característica das estruturas hipostáticas é a instabilidade, o que acaba gerando algum 
tipo de movimentação na estrutura. Esta característica é observada porque os apoios são 
insuficientes para restringir os movimentos da estrutura. Porém, é possível que aconteça 
de o carregamento impedir os graus de liberdade que os apoios não foram capazes de 
interditar. Neste caso específico, apresenta-se o que é definido como equilíbrio instável.
 
Figura 01 - Exemplos de modelos hipostáticos, nos quais a quantidade de reações é menor do que a 
quantidade de equações de equilíbrio
Fonte: Elaborada pelo autor (2021).
É possível que a estrutura apresente reações de apoio superiores ao número 
de equações da estática; no entanto, pode ainda ser classificada como uma estrutura 
hipostática. Para que isto ocorra, basta que a estrutura esteja equilibrada somente em 
um único sentido, não impedindo que uma força contrária, em um sentido oposto, 
desequilibre todo o sistema. Um exemplo deste tipo de estrutura está na Figura 02.
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Figura 02 - Carrinho de supermercado, em que o usuário aplica forças e ele se movimenta. 
Fonte: Shutterstock (2021).
Um carrinho de supermercado possui uma estrutura formada por barras 
solidarizadas. Analisando o sistema, é possível classificar como uma estrutura hipostática, 
posto que, se forem aplicadas forças horizontais neste carrinho, ele apresentará 
movimento tanto linear quanto de rotação. Também temos exemplos cotidianos de 
estruturas hipostáticas em mobiliários que usamos, como cadeiras e mesas, apresentado 
na Figura 03. 
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Figura 03 - Mesa e cadeiras: estruturas hipostáticas. 
Fonte: Shutterstock (2021).
Estes mobiliários são compostos principalmente por barras e placas, à semelhança 
da estrutura de um edifício. As cadeiras e mesas suportam os esforços do peso das 
pessoas sentadas ou apoiada neles, no entanto, sofrem deslocamento ao receberem 
ação de forças horizontais. Um exemplo de estrutura semelhante são os guindastes de 
pórticos para containers. 
Observando a Figura 04, a estrutura em si se apresenta estável, exatamente como o 
comportamento observado em uma cadeira. Porém, ao receber força no plano horizontal, 
ela se desloca. Isto acontece para que ela possa transportar os containers de um local ao 
outro ao longo dos portos ao redor do globo. 
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Figura 04 - Guindastes de pórtico apresentam estrutura estável e firme, capazes de suportar esforços no 
plano vertical. A estrutura se desloca inteira ao receber esforços no plano horizontal. 
Fonte: Shutterstock (2021).
 9 Estruturas Isostáticas
O prefixo “iso”, presente no nome deste tipo de estrutura, provém de uma palavra 
grega que significa igualdade. Por consecução, as estruturas isostáticas são aquelas em 
que o número das reações de apoio, ou vinculares, é igual ao número das equações de 
equilíbrio, ou equações da estática, disponíveis. Assim, diz-se que o sistema é determinado. 
Estas estruturas são caracterizadas por não possuírem nenhum tipo de movimento, pois 
não apresentam nenhum grau de liberdade, como pode ser observado na Figura 05. 
Figura 05 - Modelos de viga simplesmente apoiada, no qual o sistema é determinado devido o número 
de reações vinculares ser igual ao número de equações de equilíbrio.
Fonte: Elaborada pelo autor (2021).
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9 Estruturas Hiperestáticas
As estruturas hiperestáticas são as mais frequentemente utilizadas na construção 
civil, uma vez que este tipo de infraestrutura possui uma espécie de “reserva de 
segurança”, pois apresenta condições além das necessárias para manter o equilíbrio 
estático do sistema, mantendo a sua estabilidade. A hiperestaticidade é uma condição, 
como mencionada no início desta introdução, ocasionada pelo número de reações 
vinculares ser maior do que o número de equações de equilíbrio. É importante lembrar 
que este tipo de estrutura apresenta graus diferentes de hiperestaticidade. O excesso das 
reações, em relação às equações de equilíbrio, caracteriza cada grau de hiperestaticidade. 
Desta forma, temos o grau 01 e grau 02, como mostram as Figuras 6A e 6B.
Figura 6A - Estrutura hiperestática grau 01. Figura 6B - Estrutura hiperestática grau 02.
Fonte: Elaborada pelo autor (2021).
IMPORTANTE
Os graus de estaticidade têm a ver com a quantidade de reações de apoio e a 
quantidade de equações da estática!
Hipostática: quantidade de reações é menor do que a quantidade de equações.
Isostática: quantidade de reações é igual a quantidade de equações.
Hiperestática: quantidade de reações é maior que a quantidade de equações.
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SUGESTÃO DE LEITURA
Para você relembrar os conceitos trabalhados até aqui e avançar um pouco 
mais na análise estrutural, recomendamos a leitura do PDF sobre “Conceitos 
Básicos em Análise Estrutural”, em: 
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_2_Conceitos_basicos_de_anali-
se_estrutural.pdf
1.2 MÉTODO DAS FORÇAS
Agora que fi zemos uma breve introdução sobre a estaticidade das estruturas, 
começaremos a trabalhar com uma metodologia de avaliação e cálculo de estruturas 
hiperestáticas, especifi camente as vigas, os pórticos e as treliças. Perceba que pórticos e 
vigas são elementos muito utilizados nas construções desde a antiguidade. Um exemplo 
clássico está na estrutura porticada do Partenon, na Grécia, que você pode ver na Figura 
07. Vale ressaltar que, na Arquitetura e Urbanismo, o conjunto pilar-viga-pilar é também 
denominado de “sistema arquitravado”. 
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Figura 07 - Partenon, na Acrópole de Atenas. O conjunto viga-pilar-viga que compõe pórticos sucessivos 
também é conhecido na arquitetura como “sistema arquitravado”.
Fonte: Shutterstock (2021).
Já as treliças se popularizaram nas construções, principalmente após a Revolução 
Industrial, com a introdução das barras metálicas na construção civil. As treliças foram 
utilizadas em diversas pontes ao redor do mundo, como pode ser observado na Figura 
08. Isto ocorreu não só por sua grande capacidade de receber e transmitir cargas, como 
também pela possibilidade de vencer grandes vãos. 
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Figura 08 - Ponte treliçada da Ferrovia Union Pacific, atravessando o Rio Neosho, em Fort Gibson, 
Oklahoma, Estados Unidos. A ponte ainda permanece em uso.
Fonte: Shutterstock (2021).
Agora que você, estudante, já lembrou dos elementos estruturais relevantes na 
história da construção mundial, neste momento, é importante estabelecer um método 
avaliativo de estruturas. Utilizar um método de avaliação é fundamental, uma vez que 
ele organiza o trabalho do engenheiro civil e do arquiteto e urbanista, estabelece como 
princípio inicial a coleta de dados, posteriormente a avaliação das peças estruturais e do 
sistema em geral e, posteriormente, a proposição do cálculo e sua validação. 
Para que possamos trabalhar de maneira adequada com o Método das Forças, 
é importante observarmos que, na maioria dos modelos de Engenharia Civil e de 
Arquitetura e Urbanismo, as estruturas projetadas, construídas e analisadas apresentam 
mais reações de apoio do que com ações da estática, caracterizando, assim, sistemas 
estruturais hiperestáticos, necessitando de mais equações auxiliares para serem 
resolvidas. 
O Método das Forças também é denominado de Método da Flexibilidade, pois 
utiliza as condições de compatibilidade de deslocamentos para que sejam, então, 
determinadas as redundantes estáticas; obtendo, desta forma, as reações de apoio da 
estrutura em análise. O Método das Forças parte do pressuposto de que a estrutura 
está necessariamente em regime elástico-linear, ocorrendo pequenos deslocamentos e 
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deformações na estrutura, fazendo o uso do Princípio da Superposição de Efeitos (PSE).
Para desenvolver a análise correta de uma estrutura hiperestática através do Método 
das Forças ou da Flexibilidade, é necessário considerar as etapas distintas a seguir:
• 1ª etapa: Executar a liberação da estrutura, tornando-a uma estrutura isostática.
• 2ª etapa: Empregar o princípio da Superposição de Efeitos (PSE) para efetuar a 
decomposição da estrutura em sistemas interdependentes.
• 3ª etapa: Fazer a determinação dos deslocamentos.
• 4ª etapa: Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural.
• 5ª etapa: Desenvolver o cálculo dos esforços solicitantes e deformações na 
estrutura. 
1.2.1 Método das Forças: Vigas
Consideraremos as etapas do método acima descrito para realizar a análise 
e o cálculo de vigas. Cabe lembrar que as vigas são elementos estruturais sujeitos a 
carregamentos transversais. As vigas são comumente utilizadas no sistema laje-viga-
pilar e têm como função estrutural:
• Transferir os esforços verticais recebidos diretamente das lajes para os pilares.
• Transmitir uma carga estrutural concentrada, caso esta sirva de apoio a um 
pilar.
Para aplicação direta do Método das Forças, tomaremos como elemento de primeira 
análise o cálculo de uma viga engastada e apoiada. Calcularemos as reações de apoio na 
viga e traçaremos os diagramas dos esforços. Consideraremos como atuantes na peça 
estrutural apenas a flexão como efeito de deformação, bem como a rigidez constante na 
barra, conforme a Figura 09. 
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Figura 09 - Barra horizontal hiperestática engastada e apoiada.
Fonte: Adaptada pelo autor (2021), a partir de HIBBELER (2013).
Consideraremos para o exemplo em questão a carga q: 10kN/m e comprimento L: 
3m. Vamos às etapas do método das forças: 
1ª etapa: Executar a liberação da estrutura, tornando-a uma estrutura isostática; 
vamos, então, eliminar o apoio do ponto B, conforme mostra a Figura 10 e, assim, 
transformaremos a barra em uma viga em balanço, e o problema passa a ser isostático.
Figura 10 - Barra horizontal isostática engastada.
Fonte: Adaptada pelo autor (2021), a partir de HIBBELER (2013).
2ª etapa: Empregar o princípio da Superposição de Efeitos (PSE) para efetuar a 
decomposição da estrutura em sistemas interdependentes; assim, a estrutura isostática 
será dividida em duas: uma estrutura básica, sem o apoio B, que denominaremos de 
SISTEMA 0, e a estrutura com o engaste, que denominaremos SISTEMA 1, conforme 
mostra a Figura 11.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Figura 11 - Barra horizontal isostática decomposta em sistemas distintos.
Fonte: Adaptada pelo autor (2021), a partir de HIBBELER (2013).
3ª etapa: Fazer a determinação dos deslocamentos. Desta forma, vamos calcular os 
deslocamentos para cada um dos sistemas decompostos, começando pelo Sistema 0. A 
fórmula do deslocamento é a seguinte: 
 
δ = qL4
 8EI 
Em que:
δ é o deslocamento causado pelo carregamento j no grau de liberdade (deslocamento 
ou rotação), associado ao hiperestático i.
No sistema 0, δ é o deslocamento vertical no ponto B (movimento restringido pelo 
hiperestático X1, então i = 1) pelo carregamento externo (para carregamento externo, 
sempre igual a 0).
Faremos o cálculo do Sistema 1: 
• Deslocamento vertical no ponto B (movimento restringido pelo hiperestático 
X1, então i = 1) pela carga unitária associada ao hiperestático X1 (então, j = 1). 
• Neste sistema, será calculado o deslocamento ocasionado pela carga unitária 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
aplicada na direção do hiperestático 1 (X1). Assim, a estrutura real e virtual, 
neste sistema, é igual e formada pela carga unitária na ponta do balanço.
M(x) = m(x) = −x.
O trabalho externo, realizado pela carga virtual unitária no ponto B, será dado pela 
formulação: 
Wext = 1 ∗ δ11
O trabalho interno na estrutura será, considerando apenas a parcela de fl exão:
4ª etapa: Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural. Quando 
dividimos a estrutura inicial em dois sistemas, o Sistema 0 e o Sistema 1, foram mantidas 
as mesmas condições dos esforços nas estruturas, no entanto, perdeu-se a condição de 
deslocamento vertical no apoio B. Para que possamos restaurar o sistema considerado, é 
necessário igualar a soma dos deslocamentos dos sistemas no ponto B ao deslocamento 
fi nal do apoio B - ou seja, zero. 
δB = δ0 + δ1 ∗ X1 = 0
 A partir desta fórmula, extrai-se o valor de:
 
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RB = X1:
RB = X1 = − 3qL
 8
É importante observar que o sinal negativo é indicador que a direção considerada 
para reação de apoio é contrária do estabelecido nos exemplos anteriores. Assim, com 
esta reação determinada através de cálculos, as demais podem ser calculadas com as 
equações de equilíbrio da estática, determinadas a seguir: 
HA = 0
RA = − 5qL 
 8
MA = qL2 
 8
5ª etapa: Desenvolver o cálculo dos esforços solicitantese deformações na 
estrutura. Para tanto, vamos voltar ao início do problema, em que foram estabelecidos a 
carga q: 10kN/m e comprimento L: 3m. As Figuras de 12 a 14 demonstram os diagramas 
das reações de apoio, do esforço cortante e do momento fletor. 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Figura 12 - Reações de apoio calculadas.
Fonte: Adaptada pelo autor (2021), a partir de LOPEZ (2018).
Figura 13 - Gráfico do esforço cortante na barra.
Fonte: Adaptada pelo autor (2021), a partir de LOPEZ (2018).
Figura 14 - Gráfico do momento fletor na barra.
Fonte: Adaptada pelo autor (2021), a partir de LOPEZ (2018).
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
1.2.2 Método das Forças: Pórticos
Uma ótima aplicação do Método das Forças ocorre em pórticos estaticamente 
indeterminados, com um andar. Para mais andares, um método mais aconselhável seria 
o método da rigidez.
Para elucidar esta aplicação do Método das Forças em Pórticos, observe a Figura 15.
Figura 15 - Pórtico hiperestático biapoiado.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
1ª etapa: Executar a liberação da estrutura, tornando-a uma estrutura isostática; 
vamos, então, dar um grau de liberdade ao apoio da esquerda. Assim, o apoio que era do 
2º grau se transforma em 1º grau.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Figura 16 - Pórtico isostático biapoiado.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Suponha que o Módulo de Elasticidade do pórtico seja de 205GPa e o Módulo de 
Elasticidade seja de 1.686cm4. Vamos agora determinar as reações de apoio do pórtico.
2ª etapa: Empregar o princípio da Superposição de Efeitos (PSE) para efetuar 
a decomposição da estrutura em sistemas interdependentes; assim, a estrutura 
isostática será dividida em duas: uma estrutura básica, com apoio do 1º e do 2º grau, 
que denominaremos de SISTEMA 0, e a estrutura com dois apoios, do 2º grau, que 
denominaremos SISTEMA 1, conforme mostra a Figura 17.
SISTEMA 0
+
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SISTEMA 1
=
Figura 17 - Superposição de efeitos.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
3ª etapa: Fazer a determinação dos deslocamentos. Desta forma, vamos calcular os 
deslocamentos para cada um dos sistemas decompostos, começando pelo SISTEMA 0. A 
fórmula do deslocamento é a seguinte: 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Já para o SISTEMA 1, o deslocamento:
4ª etapa: Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural. Quando 
dividimos a estrutura inicial em dois sistemas, o SISTEMA 0 e o SISTEMA 1, foram 
mantidas as mesmas condições dos esforços nas estruturas; no entanto, perdeu-se a 
condição de deslocamento vertical no apoio da esquerda. Para que possamos restaurar 
esta condição no sistema considerado, é necessário igualar a soma dos deslocamentos 
dos sistemas ao deslocamento final do apoio - ou seja, zero.
Aplicando as três equações da estática ( ; ; ), chegamos 
às demais reações, conforme Figura 18.
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Figura 18 - Reações do Pórtico Hiperestático biapoiado.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
5ª etapa: Desenvolver o cálculo dos esforços solicitantes e deformações na estrutura. 
As Figuras de 19 e 20 demonstram os diagramas do esforço cortante e do momento fletor.
Figura 19 - Gráfico do esforço cortante na barra.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Figura 20 - Gráfico do momento fletor na barra.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
1.2.3 Método das Forças: Treliças
Em estruturas treliçadas, o grau de hiperestaticidade é determinado pela equação:
Entende-se que b é o número de barras, o R o número de reações, e N o número de 
nós. Caso a inequação não seja atendida, e os termos que estão à esquerda sejam iguais 
aos termos que estão à direita, a treliça será considerada isostática e não hiperestática.
O Método das Forças é adequado para treliças indeterminadas estaticamente de 
primeiro e segundo graus. O exemplo a seguir ilustra uma destas situações. Para elucida 
esta aplicação do Método das Forças em Treliças, faremos o exemplo da Figura 21.
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Figura 21 - Treliça hiperestática.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Repare que se empregarmos a equação,
Teremos:
Logo, a treliça é hiperestática grau 1.
Vamos calcular o esforço interno solicitante na barra AC, considerando A*E o 
mesmo para todas as barras.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
IMPORTANTE 
Para calcular os esforços solicitantes, vamos utilizar o Método das Forças em 
suas cinco etapas:
01: Liberar a estrutura.
02: Aplicar a superposição dos efeitos.
03: Determinar os deslocamentos.
04: Compatibilização estrutural.
05: Calcular esforços e deformações.
1ª etapa: Vamos cortar a barra AC de modo que ela não resista a nenhum esforço.
Figura 22 - Treliça isostática.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Suponha que o Módulo de Elasticidade do pórtico seja de 205GPa e a área da seção 
transversal seja de 100cm4. Vamos determinar as reações de apoio do pórtico.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
2ª etapa: Empregar o princípio da Superposição de Efeitos (PSE) para efetuar a 
decomposição da estrutura em sistemas interdependentes. Assim, a estrutura isostática 
será dividida em duas: uma estrutura básica, sem a barra AC, que denominaremos de 
SISTEMA 0, e a estrutura com uma carga redundante na barra AC, que denominaremos 
SISTEMA 1.
3ª etapa: Fazer a determinação dos deslocamentos. Desta forma, vamos calcular os 
deslocamentos para cada um dos sistemas decompostos, começando pelo SISTEMA 0. A 
fórmula do deslocamento é a seguinte: 
Já para o SISTEMA 1, o deslocamento:
4ª etapa: Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural. Quando 
dividimos a estrutura inicial em dois sistemas, o SISTEMA 0 e o SISTEMA 1, é necessário, 
agora, igualar a soma dos deslocamentos dos sistemas ao deslocamento final do apoio, 
ou seja, zero.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Como o resultado foi positivo, diz-se que a barra está sujeita à tração.
5ª etapa: Pelo Método dos Nós, é possível calcular todos os demais esforços nas 
barras restantes, conforme Figura 23.
Figura 23 - Reações e Esforços Internos Solicitantes da Treliça Hiperestático.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
SUGESTÃO DE VÍDEO
Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui, assista ao vídeo sobre 
o Método das Forças:
https://www.youtube.com/watch?v=jWmWaiazK34
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
SUGESTÃO DE LEITURA 
Para que você avance além dosconceitos e exemplos trabalhados nesta 
Unidade, recomendamos que você faça a leitura do PDF sobre estruturas estatica-
mente indeterminadas, através do link: 
https://core.ufsc.br/files/2019/03/Apostila_190311.pdf
NA PRÁTICA 
Pratique um pouco mais do assunto estudado na Unidade 1 através dos exercí-
cios práticos:
EXERCÍCIO A) Usando o método das forças, calcule as reações na viga (Figura 24). Considere 
como constante os valores de E*I.
Figura 24 - Viga Hiperestática.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Considerando RB como redundante, a viga se transforma em isostática do tipo engastada e 
livre. O deslocamento na extremidade livre é calculado como:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Agora, introduzindo a reação RB como carga, a viga fica engastada e livre, com uma carga na 
extremidade. Neste caso, o deslocamento será calculado por:
Fazendo:
Aplicando as três equações da estática ( ), chega-se ao valor das 
outras reações:
EXERCÍCIO B) Usando o Método das Forças, calcule as reações no pórtico (Figura 25). Consi-
dere como constante os valores de E*I.
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Figura 25 - Pórtico Hiperestática.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Considerando MA como redundante, o engaste do pórtico se transforma em um apoio do 2º 
gênero, tornando a estrutura isostática. A rotação, neste caso, pode ser calculada, como:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Agora, introduzindo a reação MA como binário unitário real, deste modo:
Fazendo:
Aplicando, agora, as três equações da estática ( ), chega-se 
ao valor das outras reações:
EXERCÍCIO C) Usando o Método das Forças, calcule o esforço interno solicitante na barra CE 
(Figura 26). Considere a área da seção transversal das barras da treliça A=400mm², o momento 
de inércia da viga AF igual a 20*106mm4 e o módulo de elasticidade de todas as peças igual a 
200GPa.
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Figura 26 - Viga treliçada Hiperestática.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Como se deseja calcular o esforço na barra CE, inicialmente esta será suprimida, para que a 
estrutura se transforme em isostática. Assim, o deslocamento será em função apenas da viga 
principal.
Agora, aplicando uma carga unitária real e uma carga unitária virtual nas extremidades do 
membro CE, tem-se:
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Fazendo:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Através dos exemplos dados e resolvidos, é esperado que você tenha conseguido 
fixar de forma adequada as etapas do Método das Forças. É importante que, ao realizar os 
exercícios, particione o problema por meio das diversas etapas que tratamos aqui.
Momentaneamente, este Método suprime a força excedente, tornando a viga 
isostática, ocasionando um novo cálculo do grau de liberdade, assim como posteriormente 
se introduz a força retirada como carga e se calcula o deslocamento ou rotação para este 
caso. Assim, o Método introduz equações que, juntamente as três equações da estática, 
serão suficientes para calcular os esforços na estrutura hiperestática.
O Método das Forças encontra aplicabilidade prática em diversas situações 
cotidianas, desde pequenas obras, como residências, obras de mediano porte, como 
edificações comerciais, e projetos de grande monta, como hospitais, shopping centers, 
dentre outros. Assim, não importa a dimensão ou porte do que você esteja calculando. No 
entanto, para aplicação adequada do Método, é necessário observar que partimos sempre 
do pressuposto de que a estrutura está em regime elástico linear, ocorrendo pequenos 
deslocamentos e deformações na estrutura, fazendo uso do princípio da superposição de 
efeitos (PSE).
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
EXERCÍCIO FINAL
QUESTÃO 01. Calcule a reação RA que o vínculo A deve produzir para equilibrar 
a viga:
a) 5,87kN.
b) 9,18kN.
c) 7,58kN.
d) 0,0kN.
e) 13,45kN.
QUESTÃO 02. Calcule a reação RB que o vínculo B deve produzir para equilibrar 
a viga:
a) 5,87kN.
b) 9,18kN.
c) 7,58kN.
d) 0,0kN.
e) 13,45kN.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
QUESTÃO 03. Calcule a reação MA que o vínculo A deve produzir para equilibrar 
a viga:
a) 5,87kN.m.
b) 9,18kN.m.
c) 7,58kN.m.
d) 0,0kN.m.
e) 13,45kN.m.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas. 8a ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2013.
LEET, Kenneth M; GILBERT, Anne M.; UANG, Chia- Ming. Fundamentos da análise 
estrutural. 3a ed. Porto Alegre: AMGH, 2009.
LOPEZ, Rafael Holdorf. Estruturas estaticamente indeterminadas. UFSC: 2018. Disponível 
em: <https://core.ufsc.br/files/2019/03/Apostila_190311.pdf>
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UNIDADE
2ESTUDO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
INTRODUÇÃO À UNIDADE
O Método da Rigidez pode ser encontrado em obras de referência de análise 
estrutural, com as seguintes denominações: Método Direto da Rigidez, Método Matricial 
da Rigidez e, também, Método dos Deslocamentos. Assim como o Método explorado no 
capítulo anterior, o Método da Rigidez é uma metodologia de análise e de cálculo passível 
de aplicação em estruturas hiperestáticas de barras que se comportam de forma elástica 
linear. Esta é uma condição de contorno que necessariamente deve ser obedecida para o 
uso do Método da Rigidez.
É importante ressaltar que este Método é bastante utilizado para realização de 
análise computacional de qualquer estrutura (uma das ferramentas de análise e cálculo, 
o software FTOOL, utiliza este Método), mesmo daquelas estruturas estaticamente 
indeterminadas. Uma curiosidade sobre esta metodologia de análise estrutural é que foi 
originado no campo aeronáutico. Os engenheiros aeroespaciais conseguiram aproximar 
o comportamento estrutural de partes específicas de uma aeronave a partir do uso de 
equações relativamente simples, mas que demandavam muito tempo de cálculo, seja 
com a antiga régua de cálculo ou com auxílio de calculadora, como a HP. 
Com o crescente emprego de computadores na engenharia civil e o surgimento 
de programas específicos de cálculo estrutural, o uso destas equações começou a ser 
resolvido de maneira muito mais fácil, mais simples e mais rápido, pois demandavam 
pouquíssimo tempo de processamento computacional.
O método direto dá rigidez e é a aplicação mais comumente difundida do Método 
dos Elementos Finitos (MEF). Através dele, as propriedades destes materiais são 
computadas em apenas uma única equação matricial, que determina o comportamento 
interno da estrutura projetada. Os dados que se desconhecem na estrutura, ou seja, 
que são indeterminados, são as forças e também os deslocamentos, que podem ser 
determinados atravésda resolução desta equação. 
Nos próximos tópicos, exploraremos junto a você a aplicação prática do Método da 
Rigidez ou Método dos Deslocamentos em vigas, pórticos e treliças.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
2.1 MÉTODO DA RIGIDEZ
O Método da Rigidez, ou método matricial de análise e cálculo de estruturas, parte 
da condição básica de atribuir a cada barra elástica da estrutura considerada uma matriz 
de rigidez, denominada de matriz de rigidez do elemento. Importante observar que isto 
é feito para cada uma das barras. Partindo do conjunto de matrizes de cada elemento, 
mediante uma matriz de conectividade, que estabelece a maneira como as barras são 
conectadas através de nós, chega-se a uma matriz, denominada matriz de rigidez global. 
É nesta matriz que encontraremos relacionados os deslocamentos dos nós com as forças 
equivalentes sobre cada um deles, de acordo com a equação a seguir:
Figura 27 - Equação matricial.
Fonte: Elaborada pelo autor (2021).
Nesta equação:
Fi são as forças nodais equivalentes sobre a estrutura considerada.
Ri são as reações e hiperestáticas desconhecidas atuantes na estrutura.
�i são os deslocamentos nodais que são as incógnitas da estrutura.
n é o número de graus de liberdade observados na estrutura.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
A energia de deformação elástica também pode ser expressa em termos da matriz 
de rigidez, segundo a relação expressa na equação seguinte:
kij �i �j
Considerando as condições de aplicação do Teorema de Maxwell-Bett i, deduz-se 
que a matriz de rigidez deve ser simétrica e, assim sendo, conduz ao seguinte: 
k
ij = 
k
ji
IMPORTANTE
O Teorema de Maxwell-Betti, também conhecido como “Teorema da Reciproci-
dade”, demonstra que se em uma estrutura considerada pelo engenheiro civil ou 
arquiteto o comportamento exibido for elástico linear, ao se considerar dois sistemas de força (f1 
e f2), que provoquem dois campos de deslocamentos (Df1 e Df2), então o produto das forças do 
sistema F1, com o deslocamento no ponto de aplicação obtido no sistema F2, é igual ao produto 
das forças do sistema F2 com o deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no sistema 
F1.
Isto posto, o passo seguinte é construir o vetor de força de nodais equivalentes 
a partir das forças aplicadas sobre cada barra. É importante lembrar que este vetor 
depende das ações externas sobre a estrutura considerada, e junto a estas forças, deve-se 
considerar também as possíveis reações sobre a estrutura em seus apoios, cujos valores 
são desconhecidos. 
A partir daí, constrói-se um sistema linear de equações, que servirá para os 
deslocamentos e para as incógnitas. O número de reações e deslocamentos incógnitos 
dependerá do número de nós:
• É igual a 3N para problemas bidimensionais;
• É igual a 6N para problemas tridimensionais.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Este sistema gerado, para efeito de cálculo, pode ser dividido em dois subsistemas 
de equações:
• Subsistema 1: neste subsistema, serão agrupadas todas as equações lineares do 
sistema original, que contém somente os deslocamentos incógnitos.
• Subsistema 2: este subsistema age para o restante das equações e, assim que 
todo o subsistema um for resolvido, os valores serão substituídos no subsistema 
dois, permitindo que o engenheiro calculista e o arquiteto e urbanista encontrem 
os valores das reações incógnitas.
IMPORTANTE
A resolução do subsistema 1 de equações trará o resultado dos deslocamen-
tos. Os valores encontrados serão em seguida utilizados no subsistema dois, cuja 
resolução é mais trivial e simples. 
Por fi m, a partir das reações, das forças das equivalentes e dos deslocamentos, são 
calculados os esforços nas uniões das barras, que são os nós a partir dos quais podem 
ser determinados os esforços em qualquer ponto desejado da estrutura e, portanto, 
suas tensões máximas, que permitem dimensionar adequadamente todas as sessões da 
estrutura considerada. 
SUGESTÃO DE VÍDEO 
Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui sobre o Método da 
Rigidez, assista ao vídeo sobre os seus conceitos iniciais: 
https://www.youtube.com/watch?v=CWnhKpLW7Ek
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
2.1.1 Método da Rigidez: Treliças
Para esta aplicação, deve-se considerar a treliça rotulada, pois será possível 
determinar a matriz de rigidez K. Para isto, primeiramente é estabelecido a matriz de 
rigidez de cada barra k’ da treliça.
Consequentemente, as forças desenvolvidas em cada barra são calculadas pelo 
sistema de matrizes:
Sendo a matriz de rigidez de cada membro calculado por:
E a matriz coluna d é o deslocamento imposto sobre as extremidades de cada 
membro.
Como a treliça é formada de várias barras, deve-se transformar as matrizes q e d, 
definidos em coordenadas locais, para coordenadas globais. Para isto, primeiramente 
calculamos os termos dos cossenos diretores para a primeira barra:
De modo que a transformação de coordenadas locais em globais se dê em:
Fazendo o mesmo para as cargas, tem-se:
Fazendo a devida substituição de d em q:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Agora, substituindo q em Q resulta:
Em que:
Por fim:
 
Para elucidar, deve-se determinar a matriz de rigidez para a treliça a seguir 
considerando AE constantes.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Figura 28 - Treliça exemplo, considerando AE constantes. 
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Posicionando os deslocamentos nos nós de 1 a 6, o número dos nós de 1 a 3 e o 
número de barras 1 e 2, pode-se reescrever a treliça.
Figura 29 - Treliça exemplo, considerando o início do cálculo dos esforços atuantes.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Calculando-se os termos dos cossenos diretores para a primeira barra, faz-se:
A matriz de rigidez para a barra 1 será:
 
Calculando-se os termos dos cossenos diretores para a segunda barra, faz-se:
A matriz de rigidez para a barra 1 será:
 
Note que esta matriz possui seis linha e seis colunas, mas algumas delas estão 
ocultas, por possuírem valores nulos; porém, na hora de somar e , a resultante K 
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56
TEORIA DAS ESTRUTURAS II
será uma matriz 6x6, conforme visto a seguir:
SUGESTÃO DE VÍDEO
Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui sobre o Método da 
Rigidez aplicado às treliças, assista ao vídeo abaixo: 
https://www.youtube.com/watch?v=tswcG7MyVDA
 2.1.2 Método da Rigidez: Vigas
Os conceitos apresentados no tópico anterior serão amplifi cados para uma análise 
de vigas.
No caso de vigas, podemos abreviar a análise matricial como
Sendo que:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
 
A matriz de rigidez do membro (k) é simétrica, sendo cada membro a representação 
dos deslocamentos de força cortante e momento fletor. O valor de é o deslocamento, 
e é a rotação, enquanto esão as forças cortantes, e e são os 
momentos.
Como exemplo, pede-se para calcular as reações de apoio da viga a seguir.
Figura 30 - Viga exemplo, biapoiada e com balanço.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Identificando todos os elementos da viga, tem-se a imagem a seguir:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Figura 31 - Viga exemplo, iniciando o cálculo de esforços.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Os valores de 1 a 6 são os códigos dos elementos, sendo de 1 a 4 os graus de liberdade 
não restringidos, e 5 e 6, os restringidos. Por isso, tem-se:
 
Assim, cada elemento da viga terá sua própria matriz de viga.
 
E
 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Montando a matriz de rigidez de deslocamentos e cargas, tem-se
 
Fazendo a multiplicação das quatro primeiras linhas por coluna e igualando, 
chegamos às equações:
Resolvendo este sistema de quatro incógnitas e quatro equações, o resultado é:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Agora, faz-se a multiplicação das duas últimas linhas pela coluna e se iguala aos 
valores de Q, logo:
2.1.3 Método da Rigidez: Pórticos
Todos os conceitos apresentados anteriormente darão subsídio para a aplicação a 
seguir; contudo, para pórticos, será exigido o uso de matrizes de transformação, já que os 
membros têm orientação diferentes.
Os resultados de seis relações de deslocamento-cargas resultantes para o membro 
do pórtico podem ser expressos como:
Sendo o q a matriz coluna responsável pelas forças axiais, cortantes e momentos 
fletores, o k a matriz de rigidez e o d os deslocamentos locais.
Para se chegar a matriz coluna d, deve-se fazer:
T é a matriz transformação, que transforma a matriz de deslocamentos globais D 
na matriz de deslocamentos locais d.
Consequentemente,
O mesmo acontece na matriz de componente de cargas, que é igual a:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Assim,
Ou:
Por fim,
O k é que a matriz de rigidez global para o membro, com a seguinte aparência:
Para aplicar a teoria anterior, consideremos o pórtico a seguir, que se deve 
calcular as cargas nos nós. Deve-se considerar: ; e 
 para cada membro.
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Figura 32 - Pórtico exemplo.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
Considerando a origem da coordenada global em (1), deste modo:
 
Figura 33 - Pórtico exemplo, iniciando o cálculo de esforços.
Fonte: Elaborada pelo autor, a partir do software Ftool (2021).
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Assim:
 
Os termos da matriz k são previamente calculados abaixo: 
Calculando para o membro 1 os termos dos cossenos diretores para a primeira 
barra, faz-se:
Consequentemente:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
 
Calculando os termos dos cossenos diretores para a primeira barra para o membro 
2, faz-se:
Consequentemente:
 
Fazendo:
Expandido a expressão acima para se determinar os deslocamentos, tem-se:
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Resolvendo o sistema acima, chega-se:
Aplicando este resultado em , é possível calcular as reações:
No nó (2) é possível se determinar os esforços internos aplicando:
O resultado segue abaixo:
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SUGESTÃO DE VÍDEO
Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui sobre o Método da 
Rigidez aplicado em pórticos , assista ao vídeo abaixo: 
 https://www.youtube.com/watch?v=Ohao_Bt7FwE
SUGESTÃO DE LEITURA
Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui e avançar além dos 
conceitos e exemplos dados, recomendamos que você faça a leitura complemen-
tar através do seguinte link: 
http://eventos.ifg.edu.br/secitecitumbiara/wp-content/uploads/sites/9/2018/03/10.-Aplica%-
C3%A7%C3%A3o-do-m%C3%A9todo-da-rigidez-direta-na-an%C3%A1lise-matricial-de-treli%-
C3%A7as.pdf
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O Método da Rigidez é um excelente sistema para calcular os esforços atuantes, além 
de possuir aplicação tanto em estruturas isostáticas quanto em estruturas hiperestáticas. 
Todavia, ele se torna mais complexo à medida que o suporte tem muitas barras, nós e 
vínculos. Deste modo, resulta em matrizes grandes que, em muitas situações, são difíceis 
de serem calculadas à mão.
Esta última afirmação é facilmente resolvida se você, arquiteto e urbanista e 
engenheiro civil, estiver sendo auxiliado por algum aplicativo computacional. Os 
principais software estruturais utilizam o Método da Rigidez em seus cálculos. Por isto, 
esta técnica é excelente para ser implementada em computadores.
Cabe ao futuro profissional compreender como é o processo de cálculo destes 
software para poder realizar suas próprias interpretações e análises estruturais.
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EXERCÍCIO FINAL
QUESTÃO 01. Para aplicar o método da rigidez em treliças, deve-se considerar 
a treliça rotulada, pois assim será possível determinar a matriz de rigidez K. 
Para isto, primeiro se estabelece a matriz de rigidez de cada barra k’ da treliça. 
Consequentemente, as forças desenvolvidas em cada barra são calculadas pelo 
sistema de matrizes:
a. .
b. .
c. .
d. .
e. .
f. .
QUESTÃO 02. Sobre o Método da Rigidez, leia as assertivas abaixo: 
I - O método da rigidez pode ser encontrado em obras de referência de análise 
estrutural com as seguintes denominações: Método Direto da Rigidez, Método 
Matricial da Rigidez e Método dos Deslocamentos.
II - O método direto da rigidez é a aplicação mais comumente difundida do 
Método dos Elementos Finitos (MEF). Através dele, as propriedades destes dias dos 
materiais são computadas em apenas uma única equação matricial que determina 
o comportamento interno da estrutura projetada.
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III - Uma curiosidade sobre este método de análise estrutural é que ele foi originado 
no campo aeronáutico. Os engenheiros aeroespaciais conseguiram aproximar o 
comportamento estrutural de partes específi cas de uma aeronave a partir do uso 
de equações relativamente simples, mas que demandavam muito tempo de cálculo, 
seja com a antiga régua de cálculo, ou com auxílio de calculadora, como a HP.
Sobre as assertivas, é correto afi rmar que: 
a. Somente a I está correta.
b. Somente a II está correta.
c. Somente a I e a III estão corretas.
d. Somente a II e a III estão corretas.
e. As alternativas I, II e III estão corretas.
QUESTÃO 03. Observe a matriz abaixo.
Nesta equação:
Fi são as forças nodais equivalentes sobre a estrutura considerada.Ri são as reações e hiperestáticas desconhecidas atuantes na estrutura.
�i são os deslocamentos nodais que são as incógnitas da estrutura.
n é o número de graus de liberdade observados na estrutura.
A energia de deformação elástica também pode ser expressa em termos da Matriz 
de Rigidez, segundo a relação expressa na equação:
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REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas. 8a ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2013.
LEET, Kenneth M; GILBERT, Anne M.; UANG, Chia- Ming. Fundamentos da análise 
estrutural. 3a ed. Porto Alegre: AMGH, 2009. 
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UNIDADE
3AÇÕES OU CARGAS EM ESTRUTURAS
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INTRODUÇÃO À UNIDADE
Há alguns anos, uma notícia vinda de Balneário Camboriú causou enorme 
discussão na construção civil brasileira. Imagens e vídeos que rodaram as redes sociais 
do país mostravam as ondas que se formavam na piscina de um dos apartamentos de luxo 
do edifí cio de 177 metros Millenium Palace, durante um temporal. O grande alvoroço em 
torno do caso foi ocasionado porque o gigantesco edifí cio nitidamente balançava com a 
força da ventania. 
Para aqueles que cursam Arquitetura e Urbanismo e Engenharia Civil, a situação 
não chega a ser estranha – na verdade, é o tipo de comportamento estrutural esperado, 
uma vez que as estruturas de concreto armado se comportam dentro de um regime 
denominado elastoplástico – no entanto, para leigos no assunto, assistir um edifí cio 
gigantesco balançar e formar ondas em uma piscina é, no mínimo, assustador. 
SUGESTÃO DE VÍDEO
Para você relembrar do fato que estamos relatando aqui, assista ao vídeo no 
link abaixo: 
https://www.youtube.com/watch?v=OIrWzOw70Y0
Muitos arquitetos e engenheiros, à época, foram consultados para debater e 
explicar o fato. A oscilação da estrutura é absolutamente normal e previsível, mas com 
uma carga de vento de uma determinada magnitude, como no caso ocorrido, é possível 
que a “movimentação” de uma determinada estrutura seja mais perceptível. Mas, observe 
que este foi um efeito causado por uma carga lateral atuante, neste caso, a ação do vento. 
O carregamento nas estruturas não é representado unicamente pelo peso de tudo 
que ela abarca, protege, armazena ou contém. Existem diversos outros carregamentos 
atuantes que devem ser necessariamente considerados pelo arquiteto e urbanista 
projetista e pelo engenheiro civil calculista. Dentre elas, o peso próprio da estrutura e a 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
ação do vento. 
Em um outro caso, desta vez mais trágico, ligado ao carregamento em estruturas, 
um edifí cio de 34 pavimentos (ainda em construção) desabou, em Belém. O engenheiro 
civil calculista e o dono da construtora foram condenados pela justiça paraense, e o juiz 
do caso ressaltou que o desabamento do edifí cio Real Class, em 2011, foi ocasionado 
pela falha na concepção do sistema estrutural projetado, pois não considerou as cargas 
horizontais decorrentes da ação do vento e do desequilíbrio da própria estrutura, que era 
assimétrica. Assim, a estrutura que já estava construída não resistiu aos ventos entre 30 
a 39 km/h. 
SUGESTÃO DE VÍDEO
Para você relembrar do desabamento do edifício Real Class, em Belém, assista 
o vídeo no link abaixo: 
https://www.youtube.com/watch?v=ED7djN_MY8s
Como você certamente já percebeu, neste capítulo do seu material de estudos 
trataremos dos principais carregamentos em estruturas de concreto armado. Este assunto 
é de suma importância para que tanto os arquitetos e urbanistas projetistas conheçam 
os carregamentos atuantes nas edifi cações que concebem quanto os engenheiros 
civis calculistas estejam atentos aos carregamentos e esforços aos quais as estruturas 
são submetidas e devem necessariamente resistir, para que estas sejam calculadas, 
dimensionadas e construída de maneira correta e apresentem comportamento dentro 
das normas. 
É muito importante você não perder de vista que uma das responsabilidades dos 
arquitetos e urbanistas é a própria defi nição estrutural, conforme as especifi cidades 
do projeto arquitetônico. Assim, esta defi nição perpassa pelo estabelecimento do tipo 
de material empregado na edifi cação – madeira, aço, concreto armado, por exemplo – 
bem como pelo estabelecimento da técnica construtiva utilizada até o pré-lançamento 
estrutural. Cabe ao engenheiro civil, posteriormente, validar as decisões tomadas 
pelos arquitetos durante a elaboração do projeto arquitetônico e desenvolver o cálculo 
estrutural. 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
A partir do momento que todas as exigências dimensionais para a estrutura 
considerada tenham sido defi nidas pelo engenheiro civil calculista, chega-se à etapa de 
determinação das cargas que esta estrutura precisa suportar. Esta previsão de carga não 
é feita pelos arquitetos e urbanistas, mas pelos engenheiros civis, com base no tipo de 
estrutura que foi determinada para o projeto. Tomando os exemplos dos dois edifí cios 
dados anteriormente, as estruturas mais altas precisam resistir não só às cargas verticais 
oriundas do seu peso próprio, o peso dos elementos de vedação, preciso dos elementos 
de revestimento, dentre outros carregamentos incidentes, mas também deve suportar as 
cargas laterais ou horizontais, causadas pelo vento. 
Deste modo, para validar e desenvolver o cálculo estrutural de uma determinada 
edifi cação, é preciso inicialmente especifi car todos os carregamentos atuantes sobre ela. 
Para tanto, é necessário conhecer a NBR 6120 – Ações para o cálculo de Estruturas de 
Edifi cações. 
IMPORTANTE
A NBR 6120 foi revisada e recebeu um novo texto em 2019. Na edição de 1980, 
ela era denominada como “Cargas para o cálculo de estrutura de edificações”. Na 
revisão de 2019, o termo “cargas” foi substituído por “ações”. Para você conhecer um pouco mais 
sobre a evolução desta norma, acesse o link abaixo:
http://portalclubedeengenharia.org.br/wp-content/uploads/2019/08/NBR6120-2019-CLUBE-
-DE-ENGENHARIA-RJ-em-PDF.pdf
A NBR 6120 estabelece dois tipos de ações, ou carregamentos, que vamos tratar 
agora: as ações permanentes e as ações variáveis.
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3.1 AÇÕES OU CARREGAMENTOS PERMANENTES
Neste tipo de ação ou carga, devem ser considerados os pesos dos diversos 
elementos estruturais, além dos pesos de todos os objetos que sejam permanentemente 
conectados ou associados à estrutura. Desta forma, considerando as edificações, as 
ações permanentes são representadas pelo peso de todos os elementos estruturais - 
pilares, vigas, lajes, visto na Figura 34 - de todos os elementos de vedação e acabamentos 
(Figura 35) de todos os elementos componentes das instalações prediais - elétricas, 
hidrossanitárias, de lógica e transmissão de dados, dentre outras - e outros componentes 
acessórios diversos. 
Figura 34 - Exemplos de elementos estruturais que devem ser considerados para o cálculo das ações 
permanentes em uma edificação.
Fonte: Shutterstock (2021).
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Figura 35 - Exemplos de elementos de vedação e acabamento que devem ser considerados para o 
cálculo das ações permanentes em uma edificação.
Fonte: Shutterstock (2021).
De acordo com HIBBELER (2013), é possível “estimar” as ações permanentes em uma 
determinada estrutura com base nos pesos e tamanhos de estruturas semelhantes: o peso 
médio para construções em madeira é estimado entre 1.9 a 2.4 kN/m2; para construções 
metálicas, o peso médio é estimado em 2.9 a 3.6 kN/m2; as de concreto armado apresentam 
peso médio estimado entre 5.3 a 6.2 kN/ m2. A NBR 6120-2019 estabelece que, na falta de 
determinação experimental do peso de cada elemento, é necessário recorrer às tabelas de 
1 a 9 da NBR referida, que apresentam os peso específico aparente de diversos materiais 
e elementos de construção comumente utilizados em nosso país. 
A NBR aqui estudada também considera a existência de ações ou carregamentos 
permanentes, devido aos materiais de armazenagem. Estes materiais geralmente 
são armazenados em grandes tanques e silos construído especificamente para esta 
finalidade. A norma indica que, devido à variabilidade do tipo de material armazenado 
e do peso específico deste, é de extrema importância a avaliação cuidadosa dos valores 
utilizados para as condições específicas do projeto considerado, recomendando que 
sejam consultados o Eurocode 1, Part 4, Silos and Tanks e AS 3774, Loads on bulk solids 
containers. 
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De maneira geral, as ações permanentes não são grandes se comparadas com o 
carregamento de projeto para estruturas simples, como uma viga ou uma edificação com 
um único pavimento. No entanto, em edificações de múltiplos pavimentos, sejam elas 
residenciais ou comerciais, é de extrema importância desenvolver o cálculo preciso de 
todas as cargas permanentes, a fim de que o calculista possa projetar corretamente todas 
as peças estruturais, principalmente as dos pavimentos mais baixos, pois estes suportam 
sempre a maior quantidade de peso da estrutura acima deles. 
Para que você consiga assimilar de forma adequada como calcular o peso de um 
elemento estrutura, considerando as tabelas da NBR 6120-2019, vamos aos seguinte 
exemplos:
 9 Exemplo 01: 
Um arquiteto e urbanista precisa calcular o peso de uma laje de concreto armado 
que está projetando como cobertura para uma garagem de dois carros. O projetista 
considera que cada vaga seja de 2,50 m x 5,00 m, e elas estejam dispostas uma ao lado 
da outra, e que a laje deva cobrir pelo menos 50 centímetros a mais para cada lado para 
proporcionar algum conforto aos usuários da garagem. Como a laje terá somente função 
de cobertura, o arquiteto e urbanista estima que sua espessura seja de oito centímetros. 
Inicialmente, deveremos considerar a área total da laje. Cada vaga mede 2,50 de 
largura, estão dispostas lado a lado e a laje deve ter mais 50 centímetros para cada lado. 
Assim, temos: 
.50 + 2.50 + 2.50 + .50 = 6.00 de largura 
Agora, cada vaga mede 5.00 de comprimento, sendo que, no sentido longitudinal, a 
laje também deverá ter mais 50 centímetros para cada lado. Assim, temos: 
.50 + 5.00 + .50 = 6.00 m de comprimento
Para calcularmos o peso da peça estrutural, vamos usar a seguinte fórmula: 
Laje (peso próprio) : V x γ
c
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Em que:
V : volume da laje.
γc : peso específico do concreto armado (segundo a tabela 1, da NBR 6120-2019, o 
peso específico do concreto armado é de 25 kN/m3).
No caso em questão, o volume da laje é:
Largura (L) x Altura (H) x profundidade (P)
6.00 x .08 x 6.00 = 2.88 m3
Aplicando na fórmula:
2.88 x 25 = 72 kN/m
 
Assim, a laje projetada pelo arquiteto e urbanista apresenta peso próprio de 72 
kN/m.
 9 Exemplo 02: 
Um engenheiro civil necessita calcular a carga incidente em um bloco de fundação 
oriunda do peso próprio de um pilar em concreto armado. O pilar em questão apresenta 
seção transversal de 25 cm x 50 cm e altura de 3.50 m. Perceba que a carga incidente, neste 
caso, é o próprio peso do pilar. Assim, usaremos a mesma fórmula do cálculo anterior: 
Pilar (peso próprio) : V x γ
c
Em que:
V : volume da barra (neste caso, uma barra vertical, que é o pilar).
γc : peso específico do concreto armado (segundo a tabela 1, da NBR 6120-2019, o 
peso específico do concreto armado é de 25 kN/m3).
No caso em questão, o volume do pilar é:
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Largura (L) x Altura (H) x profundidade (P)
.25 x .50 x 3.50 = 0.437 m3
Aplicando na fórmula:
0.437 x 25 = 10.93 kN/m
Assim, o peso próprio do pilar incidindo diretamente sobre o bloco de fundação é 
de 10.93 kN/m.
IMPORTANTE
É de fundamental importância que você consulte as tabelas de peso específico 
de materiais e elementos de construção apresentadas pela NBR 6120-2019. É a 
NBR que estabelece parâmetros para o cálculo estrutural correto. Na literatura técnica especí-
fica, você encontrará uma série de dados e números que são utilizados na resolução de situa-
ções-problema, cujas fontes não são citadas. Mas, para nós, arquitetos e urbanistas e engenhei-
ros civis brasileiros, é obrigatória a estrita obediência às Normas da ABNT. Então, para que você 
calcule corretamente as ações permanentes, não esqueça de utilizar os dados apresentados 
pela NBR!
Observe, caro aluno e cara aluna, que os elementos de vedação utilizados – 
paredes em blocos cerâmicos, em blocos cimentícios, blocos de gesso, dentro outros 
materiais – também são cargas permanentes na estrutura, assim como os revestimentos 
de piso, parede e forro. A lógica do cálculo da ação do peso destes elementos sobre a 
estrutura considerada é a mesma utilizada nos dois últimos exemplos, havendo sempre 
a necessidade de consultar as tabelas da NBR 6120-2019 para verifi cação de valores dos 
pesos específi cos dos materiais considerados pelo projeto. 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
IMPORTANTE
Quando em um projeto arquitetônico forem previstas paredes divisórias 
mas seu posicionamento não está definido, o que comumente acontece com os 
apartamentos de “planta livre”, pode ser admitida, além dos demais carregamentos, uma carga 
uniformemente distribuída por metro quadrado de piso, não menor que um terço do peso por 
metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 kN/m2. 
3.2 AÇÕES OU CARREGAMENTOS VARIÁVEIS
Em conformidade com a NBR 6120-2019, são ações cujos valores, estabelecido 
de maneira consensual, apresentam variabilidade signifi cativa em torno de sua 
média durante a vida útil da edifi cação. Os seus valores apresentam de 25% a 35% de 
probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável em um período de tempo 
de 50 anos. 
Como exemplos de ações variáveis em uma estrutura, tem-se o uso e a ocupação 
de uma determinada laje pelos usuários, conforme pode ser visto na Figura 36. Ao 
longo do tempo, os equipamentos e mobiliários podem sofrer modifi cações em seu 
posicionamento, podem ser modifi cados e consequentemente alterar seus pesos. Os 
usuários, a seu turno, movimentam-se continuamente nas lajes e os pesos, que são 
carregamentos, também variáveis, seja no valor quanto no posicionamento. Segundo a 
NBR 6120-2019, do mesmo modo são exemplos de ações variáveis as forças exercidas 
pelas ações do vento nas estruturas, bem como a variação de temperatura. 
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