estatica cap5
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Capítulo 5
Estática do Corpo Rígido
Um corpo rígido é uma combinação de um grande número de partículas que ocu-
pam posições fixas umas em relação as outras.
Conceitos:
\u2022 Forças As forças que actuam num corpo rígido podem ser classificados em
dois grupos:
\u2013 forças exteriores - representando a acção dos outros corpos sobre o
corpo rígido e que condicionam o seu movimento ou repouso;
\u2013 forças interiores \u2013 mantêm unidas as diferentes partículas que con-
stituem o corpo rígido. Se o corpo for composto por vários partes as
forças de ligação são definidos por forças interiores.
\u2022 equilíbrio estático e 1a Lei de Newton (Capítulo 4);
\u2022 Princípio de transmissibilidade: \u2013 estabelece que as condições de equilíbrio
ou de movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma
forças actuando num dado ponto do corpo rígido for substituída por uma
força com a mesma intensidade, mesma direcção e mesmo sentido mas ac-
tuando num outro ponto, desde que as duas forças tem a mesma linha de
acção;
\u2022 3a Lei de Newton: \u2013 as forças de acção e reacção entre corpos em contacto
têm a mesma intensidade e a mesma linha de acção e sentidos opostos.
5.1 Equilíbrio do corpo rígido
Um corpo rígido livre está em equilíbrio quando o sistema de forças exteriores
actuantes se reduz a um sistema equivalente a zero (num ponto O arbitrário).
60 Estática do Corpo Rígido
x
~ey
~ez
z
y
O ~ex
~F3
~F1
~F2
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são:{
~RO =
\u2211
~Fi = ~0
~MO =
\u2211
(~ri × ~Fi) = ~0
(5.1)
As condições de equilíbrio podem ser expressos analiticamente:
\u2022 espaço: \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
Rx = 0
Ry = 0
Rz = 0
MOx = 0
MOy = 0
MOz = 0
\u21d4
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u2211
Fx = 0\u2211
Fy = 0\u2211
Fz = 0\u2211
MOx,i = 0\u2211
FOy,i = 0\u2211
FOz,i = 0
(5.2)
As equações (5.2 ) permitem determinar até seis incógnitas.
\u2022 plano - particularização do caso 3D: sistemas de forças coplanares,
(Secção3.18.3).
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
Rx = 0
Ry = 0
Mz = 0
\u21d4
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
\u2211
Fx = 0\u2211
Fy = 0\u2211
Mz,i = 0
(5.3)
As equações (5.3) permitem determinar até três incógnitas.
Podem ser escritos conjuntos de equações alternativas, diferentes do con-
junto (5.1) ou (5.3) e (5.2), desde que o conjunto não representa um sistema
de equações linearmente dependentes.
1. Um corpo rígido (CR) está em equilíbrio se o momento das forças exteri-
ores actuantes sobre o CR relativamente a três pontos (O1, O2 e O3) não
colineares for nulo.
~MO1 = ~0 ; ~MO2 = ~0 ; ~MO3 = ~0
5.2 Graus de liberdade. Apoios. Estatia 61
2. No caso plano um CR está em equilíbrio se o momento das forças exteriores
actuantes sobre o CR relativamente a dois pontos (O1, O2) e a soma das
projecções numa direcção não perpendicular ao direcção O1O2 forem nulos:\u2211
MFO1 = 0 ;
\u2211
MFO2 = 0 ;
\u2211
FO1O2 = 0 ;
3. Um corpo rígido (CR) está em equilíbrio se o momento das forças exteriores
actuantes sobre o CR relativamente a seis eixos que formam um tetraedro
no espaço for nulo.
Na realidade, de modo geral, a corpo rígido não se encontra livre e para resolver os
problemas é necessário identificar todas as forças que actuam sobre o corpo e de-
senhar o diagrama de corpo livre - DCL. Além das forças aplicadas (incluindo
o peso próprio ) há ainda que considerar as reacções exercidas pelos apoios \u2013
ligações com o exterior \u2013 e que asseguram o seu equilíbrio.
5.2 Graus de liberdade. Apoios. Estatia
Os apoios são sistemas que realizam as ligações do corpo rígido com o exterior,
constrangendo translações e rotações dando origem as reacções do exterior sobre
o corpo rígido.
5.2.1 Graus de liberdade
As translações e rotações independentes que determinam a flexibilidade de
movimentação de um corpo rígido livre representam os graus de liberdade.
As translações e rotaçoes correspondentes aos graus de liberdade genericamente
serão designados por movimentos fundamentais.
Um corpo rígido no espaço têm seis graus de liberdade, correspondentes a três
translações segundo três direcções ortogonais e três rotações em torno dos três
mesmos eixos.
No plano um corpo rígido têm três graus de liberdade, correspondentes às duas
translações segundo duas direcções ortogonais e á uma rotação em torno da di-
recção perpendicular ao plano.
5.2.2 Tipos de apoios
Os apoios retiram graus de liberdade e por consequência podem ser classificados
de acordo com o número de graus de liberdade restringidas, ou pelo número de
reacções que introduzem.
62 Estática do Corpo Rígido
Caso plano
No caso plano há que verificar quais dos três movimentos fundamentais são rest-
rigidos pelo apoio.
\u2022 Apoio simples ou móvel: - impede o deslocamento em apenas uma di-
recção e introduz uma força de reacção na direcção do deslocamento im-
pedido \u2013 uma reacção com linha de acção conhecida. A linha de acção da
reacção é perpendicular à superfície de apoio.
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
	 	
	 	
 
 
 
 
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd

 

 
O apoio ou ligação equivalente a uma reacção pode ser realizada através de
roletes, suporte basculante, contacto directo com superfície lisa, cabo curto,
biela curta, cursor sobre haste (espia) lisa, pino deslizante sem atrito, etc...
\u2022 Apoio duplo ou fixo (apoio fixo 2D): - impede duas translações se-
gundo duas direcções ortogonais e introduz uma força de reacção com
linha de acção desconhecida o que pode ser decomposta em duas direcções
ortogonais (ex. direcção dos eixos coordenados).
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
superficie
rugosa
O apoio fixo ou a ligação equivalente a uma reacção com linha de acção
desconhecida pode ser realizada através de articulação ou rotula sem atrito,
contacto directo com superfície rugosa ou áspera, etc...
\u2022 Encastramento: é uma ligação que impede duas translações e a rotação
- constrange às três graus de liberdade - e é equivalente a uma força de
reacção com linha de acção desconhecida (ou duas componentes ortogo-
nais) e um momento.
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufb00 \ufb00 \ufb00 \ufb00
\u3b1 \u3b1
5.2 Graus de liberdade. Apoios. Estatia 63
\u2022 Além destes apoios podem conceber-se outros sistemas de apoio que con-
strangem combinações de graus de liberdade. Exemplo: encastramento
deslizante.
Caso espacial
No caso de estruturas espaciais há que verificar quais dois seis movimentos fun-
damentais são impedidos pelo respectivo apoio.
\u2022 Apoio simples: - corresponde as ligações realizadas através de esferas,
contacto directo com superfícies lisas, cabos - impedindo a translação
numa única direcção (ver caso 2D), sendo equivalente a uma reacção
com linha de acção conhecida.
z
x
y
z
x
y
supeficie
lisa
\u2022 Apoio duplo ou apoio fixo 2D: - impede a translação se-
gundo duas direcções ortogonais e introduz uma força de
reacção com linha de acção desconhecida o que pode ser
decomposta em duas direcções ortogonais. Esta ligação pode ser real-
izada através de roletes sobre superfícies rugosas, rodas sobre caril e cursor
sobre haste lisa.
supeficie
rugosa
z
x
z
x
y y
\u2022 Apoio triplo ou apoio fixo 3D (rótula esférica): - impede a translação
segundo três direcções ortogonais e introduz uma força de reacção
com linha de acção desconhecida no espaço o que pode ser decomposta em
três direcções ortogonais. Esta ligação pode ser realizada através de rótula
esférica, contacto directo com superfícies rugosas.
64 Estática do Corpo Rígido
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
supeficie
rugosa
z
x
z
x
y y
\u2022 Rótula cilíndrica: - é uma ligação que impede duas rotações e três
translações - pode ser realizada através de dobradiças, chumaceiras, eixos,
veios concebidas para suportar cargas axiais ou rótulas cilíndricas. Introduz
uma força de reacção com linha de acção desconhecida no espaço o que
pode ser decomposta em três direcções ortogonais e dois momentos nas
direcções das rotações impedidas.
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
x
y
z
\u2022 Encastramento: é uma ligação que impede qualquer movimento ( três
translações e três a rotações) - e é equivalente a uma força de reacção
com linha de acção desconhecida no espaço