Solução Problema 1.2 - Mecânica Analítica (Nivaldo A. Lemos)

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Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 3
Problema 1.2. Solução: Considere o setup da Figura 1.7 (pág. 28), só que num plano
vertical xz (y = 0) ao invés de horizontal xy (z = 0). Em analogia ao exemplo 1.4.4,
x = r cos θ y = 0 z = r sin θ (15)
ẋ = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ ẏ = 0 ż = ṙ sin θ + rθ̇ cos θ (16)
⇒ T = m
2
(ẋ2 + ẏ2 + ż2) =
m
2
(ṙ2 + r2θ̇2) . (17)
Além disso, temos o potencial gravitational (com o plano z = 0 como referencial nulo)
V = mgz = mgr sin θ . (18)
Lembrando que θ = ωt⇒ θ̇ = ω, a lagrangiana L = T − V do sistema é
L =
m
2
ṙ2 +
mω2
2
r2 −mgr sinωt . (19)
A equação de Lagrange para a part́ıcula é
d
dt
(
∂L
∂ṙ
)
− ∂L
∂r
= 0⇒ mr̈ −mω2r +mg sinωt = 0 . (20)
Para resolvê-la, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea corre-
spondente:
r̈h = ω
2rh ⇒ rh(t) = Aeωt +Be−ωt . (21)
A solução geral de (20) é r(t) = rh(t)+rp(t), onde rp(t) é uma solução particular qualquer
de (20). Um chute educado seria propor rp(t) = C sinωt que, após substituição em (20),
nos dá
−ω2C sinωt− ω2C sinωt+ g sinωt = 0⇒ C = g/2ω2 . (22)
Agora basta aplicar as condições iniciais na solução completa
r(t) = Aeωt +Be−ωt +
g
2ω2
sinωt (23)
para descobrir as constantes A e B. Encontramos o sistema{
r(0) = r0 ⇒ A+B = r0
ṙ(0) = 0⇒ A−B + g/2ω2 = 0
(24)
cuja solução é A = (r0 − g/2ω2)/2 e B = (r0 + g/2ω2)/2. Assim, obtemos
r(t) = r0
eωt + e−ωt
2
− g
2ω2
eωt − e−ωt
2
+
g
2ω2
sinωt (25)
⇒ r(t) = r0 coshωt−
g
2ω2
sinhωt+
g
2ω2
sinωt . (26)
3 Antonio Capanema