Atividade 4 - Soluções (CA-T05)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo A Turmas: T05
Prof.: Adriano Veiga de Oliveira Data: 13/10/2021
ATIVIDADE 4
1. Calcule o limite
(a) lim
x→2
sen(
√
x + 2− 2)
x− 2
Solução: Observe que lim
x→2
(
√
x + 2− 2) = 0 e lim
x→2
(x− 2) = 0. Assim,
lim
x→2
sen(
√
x + 2− 2)
x− 2
= lim
x→2
√
x + 2− 2
x− 2
= lim
x→2
√
x + 2− 2
x− 2
·
√
x + 2 + 2√
x + 2 + 2
= lim
x→2
x + 2− 4
(x− 2)(
√
x + 2 + 2)
= lim
x→2
x− 2
(x− 2)(
√
x + 2 + 2)
= lim
x→2
1√
x + 2 + 2
=
1√
4 + 2
=
1
4
.
(b) lim
x→−3
sen(x + 3)
x2 + 4x + 3
Solução: Observe que lim
x→−3
(x + 3) = 0 e lim
x→−3
(x2 + 4x + 3) = 0. Assim,
lim
x→−3
sen(x + 3)
x2 + 4x + 3
= lim
x→−3
x + 3
x2 + 4x + 3
= lim
x→−3
x + 3
(x + 1)(x + 3)
= lim
x→−3
1
x + 1
=
1
−2
= −1
2
.
2. [Momento de reflexão] Calcule o limite
lim
x→1
tg(x− 1)
x2 − 5x + 4
Solução: Podemos escrever
tg(x− 1)
x2 − 5x + 4
=
sen(x− 1)/ cos(x− 1)
x2 − 5x + 4
=
1
cos(x− 1)
· sen(x− 1)
x2 − 5x + 4
Por outro lado,
lim
x→1
1
cos(x− 1)
=
1
cos(0)
=
1
1
= 1.
Além disso, como lim
x→1
(x− 1) = 0 e lim
x→1
(x2 − 5x + 4) = 0, temos que
lim
x→1
sen(x− 1)
x2 − 5x + 4
= lim
x→1
x− 1
x2 − 5x + 4
= lim
x→1
x− 1
(x− 1)(x− 4)
= lim
x→1
1
x− 4
=
1
−3
= −1
3
.
Portanto,
lim
x→1
tg(x− 1)
x2 − 5x + 4
=
(
lim
x→1
1
cos(x− 1)
)
·
(
lim
x→1
sen(x− 1)
x2 − 5x + 4
)
= 1 ·
(
− 1
3
)
= −1
3
.