Eletromagnetismo Aplicado - Magnetodinâmica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CAMPUS MUCAMBINHO
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
FRANÇUEUDES P. DE ABREU, JAMILLE M. DAMASCENO, JOSÉ C. F. FROTA,
MATEUS P. ALVES, NICOLE F.F. MATOS
ELETROMAGNESTISMO APLICADO – MAGNETODINÂMICA
SOBRAL
2021
“Sucesso é a soma de pequenos esforços repeti-
dos todos os dias.”
(Robert Collier)
RESUMO
Neste trabalho traremos um resumo acerca dos principais tópicos relacionados a Magnetodinâ-
mica, como as suas equações, a blindagem, as perdas no cobre e no ferro, as correntes induzidas
por variação de indução e variação geométrica e também por dissipação num disco maciço, entre
outros assuntos. Além de abordarmos o conceito acerca desses temas, serão apresentados alguns
exemplos e figuras para melhor compreensão dos mesmos.
Palavras-chave: Correntes, Equações, Magnetodinâmica,
ABSTRACT
In this work we will bring a summary of the main topics related to Magnetodynamics, such
as its equations, shielding, losses without copper and iron, as currents induced by variation of
induction and geometric variation and also by dissipation in a massive disk, among other subjects.
In addition to addressing the concept of concept, necessarily, some examples and figures for a
better understanding of them.
Keywords: Currents, Equations, Magnetodynamics.
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.0.1–Atenuação e inversão de fase do campo P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 3.5.1–Bloco Condutor Semi-Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 3.5.2–Variação de J para dois pontos distintos no bloco condutor . . . . . . . . . . 14
Figura 3.5.3–Penetração de Corrente com Movimento de uma Corda . . . . . . . . . . . 15
Figura 3.5.4–Posicionamento das Diversas Grandezas Eletromagnéticas . . . . . . . . . . 15
Figura 4.0.1–Campo uniforme no entreferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Figura 4.0.2–Blindagem para campos contínuos com alta permeabilidade . . . . . . . . . 18
Figura 4.0.3–Blindagem com cobre para campo senoidal; f = 0Hz . . . . . . . . . . . . 19
Figura 4.0.4–Blindagem com cobre para campo senoidal; f = 250Hz . . . . . . . . . . . 19
Figura 4.0.5–Blindagem com cobre para campo senoidal; f = 1500Hz . . . . . . . . . . 20
Figura 5.2.1–Chapa de material ferromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 5.3.1–Curva 01 -Histerese e Curva 02 - Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 6.1.1–Anel Condutor e Indutor B - Vista Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 6.2.1–Barras Condutoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 6.3.1–Placas Condutoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 6.4.1–Distribuição do fluxo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 6.4.2–Distribuição de fluxo f = 500Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 6.5.1–Circuito Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 AS EQUAÇÕES DA MAGNETODINÂMICA . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 A PENETRAÇÃO DE CAMPOS EM CONDUTORES . . . . . . . . . . 9
3.1 A equação de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 A equação de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 A equação de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 A equação de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 A solução das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 A BLINDAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 AS PERDAS NO COBRE E NO FERRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1 Perdas no cobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Perdas no ferro: correntes de Foucault em Lâminas . . . . . . . . . . . 21
5.3 Perdas no ferro: histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.1 As perdas anômalas ou excedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 EXEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.1 Correntes induzidas por variação de indução . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.1.1 Anel Condutor Filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Correntes induzidas por variação geométricas . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3 Efeitos do movimento de um imã em relação a uma placa condutora . . 28
6.4 Visualização da penetração de campo em função da frequência . . . . . 29
6.5 O transformador de tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6
1 INTRODUÇÃO
Na Magnetodinâmica é possível examinar como os fenômenos variam com relação ao
tempo, isso porque ela possui ferramentas que possibilitam abordar, através de sucessões de casos
estáticos, uma grande quantidade de casos dinâmicos. As equações relativas à Magnetodinâmica,
de acordo com aproximações das equações de Maxwell, são:
rotH = J (1.1)
divB = 0 (1.2)
rotE =−∂B
∂ t
(1.3)
Possuindo as seguintes relações características:
B = µH (1.4)
J = σE (1.5)
Na Magnetodinâmica, temos que −∂B/∂ t é diferente de zero.
Pelo fato da Magnetodinâmica levar em consideração a variável tempo, temos que
seus problemas podem ter uma complexidade maior. No entanto, como a indução magnética B e o
campo elétrico E são perpendiculares, praticamente todos os problemas são tridimensionais, e que
portanto, sejam difíceis de serem abordadas. Além disso, para que as soluções sejam encontradas,
é previso que aproximações sejam feitas, através de estratégias numéricas e algebrismos.
Esses fatos, todavia, não impossibilitam que fenômenos de Magnetodinâmica sejam
demonstrados, já que elas estão presentes em quase todas as estruturas elétricas que agem de
acordo com a variável no tempo.
7
2 AS EQUAÇÕES DA MAGNETODINÂMICA
Assim como na Magnetóstatica, as equações (1.1) e (1.2) também são bastante
utilizadas na Magnetodinâmica. Dessa forma, temos que a equação de maior interesse, pois é ela
que caracteriza a "quase estática", é:
rotE =−∂B
∂ t
(2.1)
sendo que B indica a variação em relação ao tempo, que por sua vez cria um campo elétrico E.
Para que essa expressão seja escrita em forma de integral, é necessária uma superfície
aberta S, delimitada por L(S), de maneira que B e E estejam definidos. Com isso, temos:
∫
S
rotE ·ds =−
∫
S
∂B
∂ t
·ds (2.2)
Aplicando o teorema de Stokes, temos:
∮
L(S)
E ·dl =−
∫
S
∂B
∂ t
·ds (2.3)
Analisando a equação (6), temos que a variável B cria um campo elétrico E em uma
espira que é rotacional a −∂B/∂ t, de maneira que a circulação de E ao longo de L(S) conduz
uma fem sob a forma de tensão. Dessa maneira, temos:
U =
∮
L(S)
E ·dl (2.4)
Além disso, observando a outra integral da igualdade, percebemos que B depende
apenas do tempo já que é considerado como constante na superfície S e como a integração em S
e a derivaçaõ no tempo são independentes, podemos escrever então:
−
∫
S
∂B
∂ t
·ds =−
∫
S
dB
dt
·ds =− d
dt
∫
S
B ·ds =−dφ
dt
(2.5)
sendo φ o fluxo magnético. Com isso, igualando os dois termos encontrados a partir da equação
(6), temos:
U =−dφ
dt
(2.6)
8
A equação (2.6) é conhecida como "Lei de Faraday, e implica que uma variação
no tempo de indução magnética cria uma força eletromotriz, por conta disso, está fortemente
relacionada com a geração de eletricidade.
9
3 A PENETRAÇÃO DE CAMPOS EM CONDUTORES
A teoria da penetração de campos explica o comportamento no espaço e no tempo
das grandezas eletromagnéticas em meios condutores, ferromagnéticos ou não.
Partindo-se das equações de Maxwell, é possível obter equações diferenciais parciais
de 2ª ordem que expressam as variações no espaço e no tempo dos campos vetoriais H, B, E e J. ,
temos:
∆
2 p~= σ µ
d p~
dt
(3.1)
Em que:
• σ : condutividadeelétrica do meio onde se analisa o fenômeno da penetração;
• µ : a permeabilidade magnética. O campo vetorial genérico P assume o papel das variáveis
H, B, E e J.
A equação acima é conhecida como a equação da difusão para campos eletromagnéticos.
Para facilitar a análise do conjunto de equações que descreve o fenômeno de penetração - ou
atenuação - de campos em meios condutores, são feitas duas hipóteses simplificadoras:
• O campo vetorial cuja atenuação está sendo analisada varia senoidalmente;
• A região condutora onde ocorre a atenuação do campo é um bloco semi-infinito, limitado
pelo plano xy, como mostra a ilustração da Figura 3.0.1.
• A redução do comprimento das setas à medida que aumenta a distância da superfície do
bloco sugere a atenuação do campo P. A inversão na direção das setas sugere a primeira
inversão de fase da onda senoidal que representa o campo genérico P.
• O campo P se extingue logo após a primeira inversão de fase.
3.1 A equação de H
A quarta das equações de Maxwell descreve as características do campo elétrico
originando um fluxo magnético variável. Os campos magnéticos originados são variáveis no
tempo, gerando assim campos elétricos do tipo rotacionais.
Utilizando a equação rot H = J, podemos aplicar o rotacional em ambos os seus
lados:
rotrot(H) = rotJ (3.2)
10
Figura 3.0.1 – Atenuação e inversão de fase do campo P
Fonte: Estrela, Mirela Arruda (p.3).
rot(rotH) = grad(divH)−∆H (3.3)
Assumindo que o meio é linear temos:
divB = 0;divH = 0;∆divH = 0 (3.4)
que faz com que:
rot(rotH) =−∆H (3.5)
Quanto ao lado direito , rot J , temos:
RotJ = rot(σE) =−σ ∂B
∂ t
=−σ µ ∂H
∂ t
(3.6)
Por fim, substituindo , obtemos:
∆H = σ µ
∂H
∂ t
(3.7)
3.2 A equação de B
A lei de Ampère descreve a relação entre um campo magnético e a corrente elétrica
que o origina. Ela estabelece que um campo magnético é sempre produzido por uma corrente
elétrica ou por um campo elétrico variável.
11
Ela pode ser obtida substituindo H = B/µ em ambos os lados da equação (3.7).
Dessa forma, temos:
∆B = σ µ
∂B
∂ t
(3.8)
3.3 A equação de E
A Lei de Gauss para a eletricidade relaciona os campos elétricos e suas fontes,
as cargas elétricas, e pode ser aplicada mesmo para campos elétricos variáveis com o tempo.
Partamos a expressão rotE =−∂B/∂ t, a qual aplicamos o rotacional de ambos os lados. Temos
então:
rot(rotE) =−rot ∂B
∂ t
(3.9)
Assumindo que não há cargas estáticas no domínio deste estudo e que ε é constante
a equação divD = ρ se transforma em:
divE = 0 (3.10)
Aplicando a igualdade (~∆A = graddivA− rotrotA) do lado esquerdo da Eq. (3.9),
temos:
rot(rotE) = graddivE−∆E (3.11)
que com divE = 0, torna-se:
rot(rotE) = ∆E (3.12)
Quanto ao lado direito da expressão (3.9) temos:
−rot ∂B
∂ t
=−∂ (rotB)
∂ t
=−∂ (µrotB)
∂ t
=−µ ∂J
∂ t
=−µσ ∂E
∂ t
(3.13)
Subistituindo as Eqs. (3.12) e (3.13) na Eq. (3.9) chegamos a:
∆E = µσ
∂E
∂ t
(3.14)
12
3.4 A equação de J
A equação de J pode ser obtida também pela equação rotE =−∂B/∂ t, substituindo
E por J/σ temos então:
1
σ
rotJ =−µ ∂H
∂ t
(3.15)
Aplicando o rotacional em ambos os lados temos:
rot(rotJ) =−µσ ∂ rot(H)
∂ t
(3.16)
O seu lado esquerdo dá, tendo em vista que divJ = 0:
rot(rotJ) = grad.divJ−∆J =−∆J (3.17)
e temos então:
∆J = µσ
∂J
∂ t
(3.18)
3.5 A solução das equações
Note que as equações assumem a mesma forma matemática abaixo:
∆P = µσ
∂P
∂ t
(3.19)
onde o campo vetorial genérico P assume o papel das variáveis H, B, E e J (OBERZINER et al.,
2008). Desse modo, procuraremos a solução para uma destas grandezas,e as conclusões obtidas
poderão ser estendidas as outras. Notemos, no entanto que a expressão, sob a forma explícita
fica sendo, para o componente na direção Ox:
∂Px2
∂x2
+
∂Px2
∂y2
+
∂Px2
∂ z2
= µσ
∂Px
∂ t
(3.20)
Utilizaremos a equação relativa à J, onde utilizando a notação complexa de Euler,
temos que:
J = Joe jωt (3.21)
onde o vetor j é
√
−1, ω = 2 é a pulsação, f é a frequência e Jo a amplitude da
senóide. Temos então que:
∂J
∂ t
= jωJ0e jωt = jωJ (3.22)
13
que a aplicação da equação dá:
∆J− jσ µωJ = 0 (3.23)
Utilizando a variável γ tal que :
γ =
√ 2
σ µω
(3.24)
Obtendo:
∆J− 2 j
γ2
J = 0 (3.25)
suporemos que o material condutor é um bloco semi-infinito, ou seja,este bloco será
limitado pelo plano Oxy, temos:
Figura 3.5.1 – Bloco Condutor Semi-Infinito
Fonte: Bastos, João Pedro (p.230).
Consideraremos a existência de um campo elétrico oscilante E0 na direção OX
estendendo-se por todo o contorno do bloco condutor. Se a componente tangencial de E for
contínua, o campo E0 também será estabelecido na fronteira, mas deve começar de dentro
do condutor, o que significa que existe uma densidade de corrente J0 = σE0, que também é
conhecida. Depois de fazer suposições geométricas, J tem apenas um componente que depende
apenas de z na direção de OX . Em seguida, a fórmula adota a seguinte forma simplificada:
∂ 2Jx(z)
∂ z2
− 2
γ2
j · Jx(z) = 0 (3.26)
cuja solução é:
Jx(z, t) = JOe−z/γcos(ωt− z/γ) (3.27)
Notamos que, à medida que z aumenta, ou seja, penetramos no bloco condutor, a
amplitude diminui e a fase varia. Examinando a amplitude JOe−z/γ , notamos que esta decresce
14
exponencialmente. Chamaremos“profundidade de penetração” o valor γ . Quando z = γ , ou seja,
quando estivermos na profundidade de penetração, temos:
Joe−z/γ = Joe = 0,37Jo (3.28)
Neste ponto z = γ , J vale 37% de Jo. Consideraremos para efeito práticos que J se
torna desprezível quando z = 3γ . Observando a equeação temos:
γ =
√
2
σ µω
=
√
1
σ µΠ f
(3.29)
notamos que quanto maior a frequência, menor é a penetração de campo; por outro
lado, se o meio é ferromagnético, menor será a penetração, e finalmente, quanto maior a
condutividade, menor será .Quanto à fase ela também varia com z, o que faz com que, se na
periferia do condutor(z=0) nos temos cos(xt−0), em um outro ponto z 6= 0 teremos cos(xt−α);
. Suponhamos que:para z = z1, temos ωt− z1/γ = 0 e J1 = Joe−z1/γ
Para z = z2, temos ωt− z1/γ = 180◦ e J2 = Joe−z2/γ
Podemos obserjar J para os valores de z = zeez =2:
Figura 3.5.2 – Variação de J para dois pontos distintos no bloco condutor
Fonte: Bastos, João Pedro (p.240).
Podemos fixar da equação:
Jx(z, t) = JOe−z/γcos(ωt− z/γ) (3.30)
É a de um movimento harmônico amortecido, como por exemplo no caso de uma
corda fixada em uma parede, à qual impomos um movimento variável :
15
Figura 3.5.3 – Penetração de Corrente com Movimento de uma Corda
Fonte: Bastos, João Pedro (p.241).
O que foi visto acima é também válido para H, B e E, tanto sob aspecto qualitativo
quanto qualitativo, pois as equações possuem os mesmos coeficientes. A profundidade de
penetração γ é a mesma para todas as grandezas; quando uma delas extingue-se todas as outras
irão se extiguir. Apenas salientamos que H e B são perpendiculares à J e E, tendo em vista a
relação rot H = J, temos:
Figura 3.5.4 – Posicionamento das Diversas Grandezas Eletromagnéti-
cas
Fonte: Bastos, João Pedro (p.241).
Como uma série de hipóteses foram feitas para que pudéssemos obter os resultados
a, uma questão fica colocada: qual a aplicabilidade destes resultados em dispositivos reais?A
resposta a esta questão deve ser efetuada sob os dois pontos de vistas:
- Quanto à geometria semi-infinita do bloco utilizado: calculando a profundidade
16
de penetração para o cobre, a uma freqüência de 60Hz, obtemos γ = 8,6mm. Esta dimensão é
pequena em relação às dimensões de uma estrutura eletromagnética usual (motores, transforma-
dores,cabos de linhas de transmissão, etc). Isto faz com que possamos, em boa aproximação,
considerar que a massa do condutor tenha uma dimensão grande em relação a γ . É evidente que
se a estrutura tiver dimensões muito pequenas em relação a γ e formas que não pudessem ser
assinaladas à blocos, teríamos que reavaliar o estudo do efeito.
- Quanto à variação temporal de grandezas, considerada senoidal, é interessante
notar que agrande maioria dos dispositivos existentesfuncionam utilizando este tipo de variação.
Por outro lado,uma variação de forma não senoidal pode ser decomposta em série de Fourier,
ou seja, em um somatório de sinais de diferentes pulsações e que teriam então diferentes γ . No
entanto, o componente fundamental da série (de mesma frequência que a onda imposta) é o que
possui maior penetração, pois tem a menor pulsação. As outras harmônicas teriam em geral
menor amplitude e menor penetração.
17
4 A BLINDAGEM
A blindagem eletromagnética é a prática de reduzir o campo eletromagnético em um
espaço, bloqueando o campo com barreiras feitas de materiais condutores ou magnéticos. A
blindagem eletromagnética que bloqueia as frequências de rádio e a radiação eletromagnética
também é conhecida como blindagem RF. A blindagem pode reduzir o acoplamento de ondas de
rádio, campos eletromagnéticos e eletrostáticos. Um invólucro condutivo usado para bloquear
campos eletrostáticos também é conhecido como gaiola de Faraday.
A redução depende muito dos materiais usados, sua espessura, o tamanho do volume
blindado e a frequência dos campos de interesse. A espessura do material determina quais
frequências serão bloqueadas para entrar ou sair da gaiola de Faraday. Para baixas frequências
como 10kHz é necessária uma camada de aço macio de 6mm para obter uma redução de 80dB,
mas uma frequência de 30MHz pode ser protegida por folha de cobre com espessura de 0,03mm.
Suponhamos que uma certa área deva ser protegida de campos magnéticos externos,
os quais supostamente poderiam perturbar, por exemplo, alguma experiência. Deve-se então
proceder a uma proteção com o objetivo de impedir a penetração desses campos nessa região,
ou seja, vamos proceder a uma "blindagem"eletromagnética. Pela equação da profundidade de
penetração:
δ =
√
2
µσω
(4.1)
É óbvio que campos continuos não serão bloqueados por um meio condutor, visto
que tende ao infinito para f= 0 Hz. Neste caso, somente um meio de alta permeabilidade (mesmo
que não condutor) pode constituir uma blindagem por um efeito de "drenagem"de fluxo, tendo
em vista que este passará preferencialmente pelo meio de alta permeabilidade.
Para campos alternados, a confecção de uma blindagem utiliza a expressão (4.1).
Como já visto, o campo sofre forte atenuação bascada nos conceitos apresentados no parágrafo
precedente. Para o cobre (µ = µ0 e 5.8∗107S/m) a equação acima assume a forma:
δ =
0.0661√
f
(4.2)
onde f é a frequência do campo. Assim, percebe-se que a espessura de uma placa de
cobre, usada como blindagem, deve ser calculada em função da frequência.
18
Para que se tenha uma ideia de comportamento de blindagem, consideremos as Figs.
4.0.1. A região que desejamos proteger se encontra na zona do entreferro, que na Fig. 9999999
apresenta um campo relativamente homogêneo. Este campo é gerado pelo par de bobinas B da
figura.
A Fig. 4.0.2 mostra a blindagem para um campo continuo através de um material
com alta permeabilidade. Como a caixa constituída por esse material forma um caminho de
baixa relutância, o fluxo magnético "prefere"passar pelo mesmo. Desta forma, a zona no interior
da caixa fica protegida do campo magnético continuo. Existem materiais de altissima permea
bilidade (e caros) fabricados para esse fim.
Figura 4.0.1 – Campo uniforme no entreferro
Fonte: Bastos, João Pedro (p.245).
Figura 4.0.2 – Blindagem para campos contínuos com alta
permeabilidade
Fonte: Bastos, João Pedro (p.246).
As Figs. 4.0.3, 4.0.4 , 4.0.5 mostram os efeitos de uma blindagem de cobre para
campos senoidais. Na Fig. 4.0.3 a frequência do campo magnético é 0Hz e, portanto, com δ
que tende a infinito, a blindagem não tem nenhuma eficiência pois, como sua permeabilidade é
19
Figura 4.0.3 – Blindagem com cobre para campo senoidal;
f = 0Hz
Fonte: Bastos, João Pedro (p.246).
Figura 4.0.4 – Blindagem com cobre para campo senoidal;
f = 250Hz
Fonte: Bastos, João Pedro (p.246).
igual à do ar, o fluxo se comporta como se a caixa de cobre não existisse e a configuração de
campo é idéntica à apresentada na Fig. 4.0.1. Na Fig. 4.0.4, a frequência do campo é de 250Hz.
A profundidade de penetração para esta frequência é δ = 4.18mm mas, como a espessura da
placa é de 2mm, o campo penetra parcialmente na zona do interior da caixa. Na Fig. 4.0.5 temos
um campo de 1500Hz(δ = 1.71mm) e, como esperado, a penetração na zona a ser protegida é
praticamente nula. É importante frisar novamente que nesses dois últimos casos a blindagem é
possível, pois temos correntes induzidas na própria caixa de cobre. Essas correntes, segundo a lei
de Lenz, estabelecem-se no sentido de criar um fluxo contrário ao fluxo imposto pelas bobinas.
Notamos, portanto, que esses dois tipos de blindagem são fundamentalmente dife-
rentes, pois o primeiro (4.0.2) funciona baseado na atração do campo magnético (devido à alta
permeabilidade), enquanto que nos casos de campos alternados (Figs. 4.0.4, 4.0.5) o principio é
justamente o contrário, ou seja, a repulsão do fluxo pela corrente induzida.
Fica uma questão: por que não utilizar sempre um material condutor de alta permea-
20
Figura 4.0.5 – Blindagem com cobre para campo senoidal;
f = 1500Hz
Fonte: Bastos, João Pedro (p.247).
bilidade, que iria conjugar os dois tipos de blindagem? Na realidade, a blindagem deve ser bem
calculada e dependerá do caso tratado. Um meio condutor com valor de uterá uma profundidade
de penetração pequena e, se o campo incidente tiver grande intensidade, as correntes induzidas
na fina camada de condutor (δ é pequeno) podem ter densidades J muito elevadas e causarem
forte aquecimento e mesmo provocar a fusão da blindagem. Se não for este o caso, uma técnica
que pode ser utilizada é combinar os dois tipos de material (cobre com ferro, por exemplo) que
trará uma boa proteção para campos continuos e variáveis. Novamente, para cada caso, um
estudo especifico deverá ser feito.
21
5 AS PERDAS NO COBRE E NO FERRO
Sabe-se que em qualquer tipo de dispositivo, seja ele mecânico ou elétrico, existem
perdas, que, em geral convertem-se em aquecimento. Existem vários tipos de perdas como:
perdas de ferro, perdas de cobre, perdas por histerese, perdas por correntes parasitas, perda de
dispersão e perdas dielétricas. Mas as principais perdas de origem elétricas são as perdas no
cobre e no ferro.
5.1 Perdas no cobre
As perdas no cobre dependem diretamente da resistência do enrolamento, que pode
ser facilmente calculada com auxílio da expressão:
Rcobre =
ρ f io.lespira.N
ncondutores
(5.1)
Onde:
lespira = comprimento médio de uma espira;
ρ f io = resistividade do fio por cm.
As perdas Joule são:
Pcobre = Rcobre.I2 (5.2)
Essas perdas variaram de acordo com a carga e conhecidas, (BARBI et al., 2002)
portanto, também são conhecidas como perdas variáveis. As perdas de cobre variam conforme o
quadrado da corrente de carga.
5.2 Perdas no ferro: correntes de Foucault em Lâminas
As perdas de ferro são causadas pelo fluxo alternado. Num núcleo de material
ferromagnético submetido a campos variáveis, há formação de anéis de correntes induzidas.
Normalmente, o núcleo é laminado com o objetivo de impedir a circulação totalmente livre dessas
correntes (Illustrationprize, 2021) . Examinemos uma fina chapa de material ferromagnético na
qual existe indução variável B, paralela a achapa na direção Ox.
22
Figura 5.2.1 – Chapa de material ferromagnético
Fonte: Bastos, João Pedro (p.249).
Será feita a suposição que lx e ly são muito superiores a e, portanto, sendo as chapas
finas, as correntes induzidas não afetarçao globalmente o fluxo magnético. Podemos assumir
que a densidade de corrente J induzida não depende das coordenadas x e y, onde a componente
de J está na direção Oy. Pela equaçãop J = σ .E, o mesmo ocorrer com E.
Aplicando a equação rotE =−∂B/∂ t, encontramos a solução:
Ey(z) =
∂Bx
∂ t
z+K (5.3)
É necessário que para z = 0 tenhamos Ey = 0, o que faz a variável K ser nula.
Assim:
Ey(z) =
∂Bx
∂ t
z (5.4)
Sabemos que a potênciadissipada pode ser calculada pelo efeito Joule, logo:
Pf =
∫
y
σE2y dv (5.5)
Onde V é o volume da lâmina. Aplicando a expressão de Ey(y) na equação acima
temos:
Pf (t) = σ
(
∂Bx
dt
)2 ∫ lx
0
∫ ly
0
∫ +e/2
−e/2
z2dzdxdy (5.6)
Pf (t) =
σ
12
(
∂Bx
dt
)2
lxlye3 =
σ
12
(
∂Bx
dt
)2
e2V (5.7)
Supondo que Bx varie senoidalmente segundo Bx = Bmcosωt, temos ∂Bx/dt =
−ωBmsenωt. A expressão (22) fica:
Pf (t) =
σ
12
(
∂Bx
dt
)2
lxlye3 =
σ
12
(
∂Bx
dt
)2
e2V (5.8)
23
Calcularemos então, o valor médio da potência, para tanto, notemos que o valor
médio de sen2ωt é 1/2. A potência Pf = Pf /V por unidade de volume é então:
Pf (t) =
σ
24
σω
2e2Bm2 (5.9)
Podemos notar, por esta expressão, que:
Pf depende de e2, ou seja, depende quadraticamente da espessura da chapa.
Pf depende de w2, ou seja, do quadrado da freqüência.
Como a resistência R do bloco condutor é R = l/σS, temos que a potência dissipada
por efeito Joule é P = R.I2
5.3 Perdas no ferro: histerese
Admitamos a magnetização de um determinado material ferromagnético através da
utilização de uma corrente alternada (Paulo Moises, 2021). Durante essa magnetização, numa
primeira fase, a corrente elétrica de magnetização na sua alternância positiva vai crescendo até
ao seu máximo valor, e, em consequência o campo magnético acompanha este crescimento
atingindo também o seu valor máximo (curva 1).
Figura 5.3.1 – Curva 01 -Histerese e Curva 02 - Histerese
Fonte: Paulo Moises. Disponível em:<www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/paulomoises/Artigos_Máquinas/
Perdas_Histerese/Perdas_histerese.PDF>
Durante esta fase é consumida uma quantidade de energia por unidade de volume do
material dada por:
Wmc =
W
V
=
∫ B1
0
HdB (5.10)
www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/paulomoises/Artigos_M�quinas/Perdas_Histerese/Perdas_histerese.PDF
www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/paulomoises/Artigos_M�quinas/Perdas_Histerese/Perdas_histerese.PDF
24
A qual é proporcional á área de cor azul na Figura 3. Quando a corrente magnetizante
inicia o seu percurso de diminuição desde o valor máximo da alternância positiva até zero, o
valor do campo vai igualmente diminuindo de H1 até um valor próximo de zero.
Durante esta fase devolve-se uma quantidade de energia por unidade de volume do
material ferromagnético dada por:
Wmc =
W
V
=
∫ B2
B1
HdB (5.11)
A quantidade de energia devolvida é portanto proporcional á área de cor azul (curva
2).
De forma análoga é possível verificar que algo de semelhante ocorre durante a
alternância negativa da corrente de magnetização.
Conclui-se portanto que durante um ciclo de magnetização, uma quantidade de
energia, proporcional á área do ciclo histerético, não é devolvida, sendo gasta no trabalho de
orientação dos domínios magnéticos. Esta energia é dissipada sob a forma de calor, constituindo
as chamadas perdas por histerese.
Quando a corrente magnetizante que cria o campo magnético é sinusoidal, com uma
frequência f, existem f ciclos de magnetização por segundo. Em consequência teremos uma
dissipação de energia por histerese f vezes superior á dissipada num só ciclo.
5.3.1 As perdas anômalas ou excedentes
Quando são feitas medições de perdas no ferrro, ao adicionarmos as perdas por
correntes de Foucault e as perdas por histerese calculadas por meios tradicionais, verifica-se
que as perdas medidas são em geral superiores às calculadas . Esta diferença chama-se perdas
"excedentes "ou ’"anômalas". Essas perdas representam em geral, uma parcela relativamente
pequena no somatório das diferentes perdas, porém, dependendo do dispositivo , elas podem ser
consideráveis.
25
6 EXEMPLOS
6.1 Correntes induzidas por variação de indução
Heinrich Friedrich Emil Lenz, em 1833, observou que a corrente induzida em uma
espira por um fluxo magnético variável (CARVALHO, 2007) tem um sentido tal que o campo
magnético que ela cria tende a contrariar a variação do fluxo magnético através da espira.
A relação que dá a força eletromotriz induzida numa espira devido à variação do
fluxo magnético é conhecida como Lei de Faraday-Lenz:
f em =−dφ/dt =−d(BS)/dt (6.1)
Perceba que temos algumas situações:
1. Quando B varia temporalmente e S é constante:
f em =−SdB
dt
(6.2)
2. Quando B é constante e S varia temporalmente
f em =−BdS
dt
(6.3)
3. Quando B e S variam temporalmente
f em =−SdB
dt
−BdS
dt
(6.4)
6.1.1 Anel Condutor Filiforme
Temos que, na superfície definida pelo anel condutor (BASTOS, 2004) existe uma
indução magnética vertical Bo constante e uniforme. A partir de t=0, o campo B(t) começa a
variar segundo a lei B(t)= B1(1+Kt)
Temos os seguintes dados:
S f = 2mm2;R = 1cm;σ = 107S/m;Bo = 1T ;K = 60T/s (6.5)
Para Calcular a corrente induzida na espira circular e assumindo que a indução
externa B(t) creça no sentido indicado na figura (b), precisamos saber duas coisas:
26
Figura 6.1.1 – Anel Condutor e Indutor B - Vista Superior
Fonte: Bastos, João Pedro (p.257).
• Já que o diâmetro do fio em relação a R é pequeno, é válido considerar que E seja constante
• A indução B1 é muito menor que a indução imposta Bt, ou seja, apenas Bt será considerado
Aplicando a Equação de Maxwell:∮
L(s))
E ·dl =−
∫
S
∂B
∂ t
·ds (6.6)
Onde S é a superfície definida pela própria espira circular e L(s) o caminho que
envolve S1 coincidindo com a própria espira. Notando que B(t) só depende do tempo e que os
pares de vetores E,dl e −∂B/∂ t , ds são colineares e do mesmo sentindo, portanto:
E2Π =
dB
dt
ΠR2 (6.7)
E =
R
2
· d
dt
(B0 +B0Kt) =
R
2
B0K (6.8)
Como J = σE:
J = σKB0
R
2
(6.9)
I = σKB0
RS f
2
(6.10)
O campo que se estabelece pela corrente I da espira vale:
H =
I
2R
= 300A/m (6.11)
27
Como B1 = µ0H, temos que a indução B1 é:
B1 = 0.377x10−1T (6.12)
6.2 Correntes induzidas por variação geométricas
Na figura temos barras condutoras, e uma delas pode ser movida sem que sejam
criadas resistências nos pontos de contato. Imaginemos que uma indução uniforme B exista na
região desta espira retangular quando a barra é deslocada com velocidade v.
Figura 6.2.1 – Barras Condutoras
Fonte: Bastos, João Pedro (p.260).
Uma f.e.m será criada na espira, tendo em vista que há uma variação de fluxo na
mesma.
f em =
∮
L(s))
E ·dl =−
∫
S
∂B
∂ t
·ds (6.13)
onde S é a seção variável da espira e L(S) o caminho que a limita. Cabe notar que a variação
de fluxo neste caso corresponde ao fluxo que atravessa a parcela de superfície, criada quando a
barra passa da posição 1 para 2 com a velocidade v = dz/dt.
Como B não depende do tempo e como ds e B são colineares temos, em módulo
f em =
d
dt
∫
S
Bds =
d
dt
(Baz) (6.14)
se S = za. Sendo a e B constantes, temos
f em = Ba
dz
dt
= Bav (6.15)
28
O valor da corrente I que circulará na espira poderá ser obtido pela expressão f.e.m.
= R I. A resistênciada espira depende de σ , de sua seção transversal e de seu comprimento l.
6.3 Efeitos do movimento de um imã em relação a uma placa condutora
Vamos aqui analisar qualitativamente duas situações relacionadas ao movimento do
ímã em relação à placa condutora. O primeiro caso é mostrado na primeira Figura , onde o ímã
se aproxima da placa perpendicularmente a ela.
Figura 6.3.1 – Placas Condutoras
Fonte: Bastos, João Pedro (p.266).
Na referência da placa, o fluxo magnético aumenta à medida que o ímã se aproxima.
O link será formado na placa desta forma, e por isso, devido à proximidade do ímã, geraremos
um fluxo oposto ao crescimento do fluxo. Portanto, o fluxo é inicialmente insignificante (o ímã
está longe da placa),pela soma dos fluxos do imã se aproxima com o fluxo criado pelos anéis de
corrente induzido, será mantido.
Normalmente esperamos que o campo magnético variável não penetre um determi-
nado volume. Portanto, podemos envolver este volume com um pedaço de material condutor.
Quando o campo externo muda, nesta "blindagem magnética", os anéis de corrente induzida
impedirá que o campo magnético penetre no volume, semelhante ao exemplo da Figura abaixo.
Obviamente, se o campo magnéticofor constante, a blindagem magnética não funcionará porque
quando o pulso é zero, a profundidade de penetração tende ao infinito. Observe também que
29
a espessura da placa condutora deve ser calculada com base no material a ser utilizado e na
dapulsação w do campo elétrico externo.
O segundo caso que queremos verificar é mostrado na Figura 5.18, onde o ímã se
move paralelamente à placa condutora. Examinemos o conjunto de anéis de correntes induzidas
.Na primeira região relativa à estes anéis, as correntes irão se estebelecer no sentido mostrado na
figura, pois elas tendem a se opor a um fluxo crescente devido ao movimento do imã. Porém, na
região 2, irá ser criada correntes no sentido tal que este fluxo tenderá a ser mantido.
Estes dois exemplos evidenciam as leis de Faraday e Lenz, ou simplesmente a
equação dada por:
rotE =−∂B
∂ t
(6.16)
6.4 Visualização da penetração de campo em função da frequência
Para visualização da penetração de campo em função da frequência, considera-se
uma estrutura constituída por um circuito magnético laminado (portanto σ = 0), com uma bobina
indutora e uma peça de material ferromagnético condutor. Na figura 6.4.1, obtemos, através da
utilização do sistema EFCAD, a distribuição do fluxomagnético quando a corrente imposta na
bobina é contínua, ou seja, a penetração só é limitada pela geometria do domínio de estudo. Na
figura 6.4.2 temos a distribuição de fluxo para as frequências de 500Hz, onde observamos que a
penetração de campo diminui com o aumento da frequência.
Figura 6.4.1 – Distribuição do fluxo magnético.
Fonte: Bastos, João Pedro (p.243).
Dos resultados numéricos fornecidos por EFCAD, notemos que o fluxo total gerado
pela bobina diminui com o aumento da freqüência, o que é norma, pois a medida que a penetração
diminui, há um aumento da relutância global da estrutura.
30
Figura 6.4.2 – Distribuição de fluxo f = 500Hz.
Fonte: Bastos, João Pedro (p.243).
6.5 O transformador de tensão
Na figura 5 temos um circuito magnético, no qual, o circuito elétrico C1 possui
uma alimentação senoidal. Este último possui N1 espiras. Calculemos o fluxo gerado por C1,
admitindo que a permeabilidade µ do circuito magnético seja muito alta em relação a do ar, e
que no circuito C2 não hajam correntes.
Figura 6.5.1 – Circuito Magnético
Fonte: Bastos, João Pedro (p.267).
Temos, partindo de rotH = J, a lei de Ampère
Onde lc é o comprimento médio do circuito magnético. A corrente total envolvida por lc é I,
multiplicando pelas N1 espiras. Admitindo que H é constante em lc, temos:
H =
N1I
lc
(6.18)
31
O fluxo é então:
φ = µ
N1I
lc
S (6.19)
Onde S é a seção do circuito magnético. Como I é a única grandeza variável no
tempo, temos:
dφ
dt
=
µN1S
1c
dI
dt
(6.20)
e
dI
dt
=
1c
µN1S
dφ
dt
(6.21)
Desprezando os efeitos resistivos, a tensão U1 é dada por:
U1 = L
dI
dt
=
1c
µN1S
dφ
dt
(6.22)
L, é a indutância de N1, pode ser expressa:
L = µ
N21 S
1c
(6.23)
Aplicando as equações, temos:
U1 = N1
dφ
dt
(6.24)
Calculemos agora a tensão U2 detectada em um voltímetro colocado no circuito C2.
Caso este circuito só tenha uma espira, já vimos que, utilizando a equação rotE =−∂B
∂ t sob a
forma integral obtemos, em módulo:∮
m
E ·dl = dφ
dt
(6.25)
onde lm é o comprimento da espira de C2. Como o circuito magnético possui alta
permeabilidade, o dφdt atravessando a espira é idêntico ao gerado por C1. Imaginemos então que
C2 possua N2 espiras, e multipliquemos ambos os lados da equação por N2. Obtemos:
N2
∮
m
E ·dl = N2
dφ
dt
(6.26)
32
O lado esquerdo da expressão acima representa a circulação total do campo E nas
N2 espiras, supondo que lm seja o comprimento médio das mesmas. Assim sendo, esta integral
representa a tensão U2 detectada no voltímetro:
U2 = N2
dφ
dt
(6.27)
Assim, dividindo as equações, obtemos:
U2
U1
=
N2
N1
(6.28)
Obtemos assim a expressão segundo o qual a relação entre as tensões dos circuitos é
diretamente proporcional a relação entre os números de espiras dos mesmos.
33
REFERÊNCIAS
BARBI, I.; FONT, C. H. I.; ALVES, R. L. Projeto físico de indutores e transformadores.
Documento Interno (INEP–2002), 2002.
BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo para Engenharia: Estática e Quase-estática. [S.l.:
s.n.], 2004.
CARVALHO, C. A história da indução eletromagnética contada em livros didáticos de física.
Universidade Federal do Paraná, 2007.
Illustrationprize. Perdas em um transformador. 2021. Disponível em: <https:
//illustrationprize.com/pt/692-types-of-losses-in-a-transformer.html>. Acesso em: 18 maio
2021.
OBERZINER, A. P. B. et al. As equações de maxwell e aplicações. Florianópolis, SC, 2008.
Paulo Moises. As perdas por histerese. 2021. Disponível em: <http://www.estgv.ipv.pt/
PaginasPessoais/paulomoises/Artigos_Máquinas/Perdas_Histerese/Perdas_histerese.PDF>.
Acesso em: 20 maio 2021.
https://illustrationprize.com/pt/692-types-of-losses-in-a-transformer.html
https://illustrationprize.com/pt/692-types-of-losses-in-a-transformer.html
http://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/paulomoises/Artigos_M�quinas/Perdas_Histerese/Perdas_histerese.PDF
http://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/paulomoises/Artigos_M�quinas/Perdas_Histerese/Perdas_histerese.PDF
	Resumo
	Abstract
	Sumário
	Introdução
	As Equações da Magnetodinâmica
	A penetração de campos em condutores
	A equação de H
	A equação de B
	A equação de E
	A equação de J
	A solução das equações
	A blindagem
	As perdas no cobre e no ferro
	Perdas no cobre
	 Perdas no ferro: correntes de Foucault em Lâminas
	Perdas no ferro: histerese
	As perdas anômalas ou excedentes
	Exemplos
	Correntes induzidas por variação de indução
	Anel Condutor Filiforme
	Correntes induzidas por variação geométricas
	Efeitos do movimento de um imã em relação a uma placa condutora
	Visualização da penetração de campo em função da frequência
	 O transformador de tensão
	REFERÊNCIAS