Exercícios de Capacitores

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Lista de exercı́cios 4 – Capı́tulo 24 Tipler & Mosca
1. Em um capacitor de placas paralelas, a área das placas é de 2m2 e a distância de separação entre elas
é de 1,0mm. O capacitor é carregado por um potencial de 100V . (a) Qual é o valor do campo elétrico
entre as placas? (b) Qual é a energia por unidade de volume no espaço entre as placas? (c) Determine
a energia total multiplicando a resposta do item (b) pelo volume total entre as placas. (d) Determine a
capacitância C. (e) Calcule a energia total a partir da equação U = CV
2
2 , e compare a resposta com o
resultado do item (c).
2. Um capacitor esférico consiste em duas cascas esféricas concêntricas de raios R1 e R2. (a) Mostre que a
capacitância pode ser expressa por C = 4πε0R1R2/(R2−R1). (b) Mostre que quando os raios das cascas
são aproximadamente iguais, a capacitância pode ser expressa, com boa aproximação, pela expressão da
capacitância de um capacitor de placas paralelas, C = ε0A/d, onde A é a área da esfera e d = R2 −R1.
3. Duas esferas metálicas concêntricas possuem raios r1 = 10cm e r2 = 10,5cm, respectivamente. A esfera
interna tem uma carga Q= 5nC distribuı́da uniformemente sobre sua superfı́cie, e a esfera externa possui
uma carga −Q sobre sua superfı́cie. (a) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico interno
às esferas. Sugestão: as esferas podem ser tratadas como placas planas paralelas separadas de uma
distância de 0,5cm - por quê? (b) Determine a capacitância desse sistema de duas esferas e mostre que
a energia total armazenada no campo é, aproximadamente, igual a U = Q2/2C.
4. Um capacitor de placas paralelas com área de 500cm2 é carregado por uma diferença de potencial V e,
em seguida, desconectado da fonte de tensão. Quando as placas são movidas, afastando-se de 0,4cm, a
tensão entre as placas aumenta de 100V . (a) Qual é o valor da carga Q na placa positiva do capacitor?
(b) Qual é o valor da energia armazenada no capacitor devido ao movimento das placas?
5. Para o circuito mostrado, determine (a) a capacitância equiva-
lente total entre os terminais, (b) a carga armazenada em cada
capacitor, e (c) a energia total armazenada.
6. Para o circuito mostrado, determine (a) a capacitância equiva-
lente total entre os terminais, (b) a carga armazenada em cada
capacitor, e (c) a energia total armazenada.
7. Um capacitor de placas paralelas com ar entre elas possui capacitância de 0,14µF . As placas estão
afastadas de 0,5mm. (a) Qual é a área de cada placa? (b) Qual é a diferença de potencial se o capacitor
possui uma carga de 3,2µC? (c) Qual é a energia armazenada? (d) Qual é o valor da carga que o
capacitor pode armazenar antes de ocorrer a ruptura dielétrica do ar entre suas placas?
1
8. Um capacitor cilı́ndrico consiste em um fio longo com raio R1 e comprimento L com uma carga +Q e
uma casca cilı́ndrica externa de raio R2 e comprimento L com uma carga −Q. (a) Determine o campo
elétrico e a densidade de energia em um ponto qualquer do espaço. (b) Qual é a energia presente em uma
casca cilı́ndrica de raio r, espessura dr e volume 2πrLdr? (c) Integre a expressão obtida no item (b) para
obter a energia total armazenada no capacitor e campare o resultado com aquele obtido pela expressão
U =CV 2/2.
9. Um capacitor esférico é constituı́do de uma esfera interna de raio R1 com carga +Q e uma casca esférica
externa concênctrica de raio R2 e carga −Q. (a) Determine o campo elétrico e a densidade de energia
em um ponto qualquer do espaço. (b) Calcule a energia no campo eletrostático em uma casca esférica de
raio r, espessura dr e volume 4πr2dr entre os condutores. (c) Integre a expressão obtida no item (b) para
obter a energia total armazenada no capacitor e campare o resultado com aquele obtido pela expressão
U =CV 2/2.
10. A membrana do axônio de uma célula nervosa pode ser reprentada por uma casca cilı́ndrica fina de raio
R = 10−5m, comprimento L = 0,1m e espessura d = 10−8m. A membrana possui carga positiva em um
de seus lados e carga negativa no outro, e atua como capacitor de placas paralelas de área A = 2πrL e
distância de separação d. A constante dielétrica da membrana é aproximadamente κ = 3. (a) Determine
a capacitância da membrana. Se a ddp entre os terminais da membrana é de 70mV , determine (b) a carga
em cada lado da membrana, (c) o campo elétrico que a atravessa.
11. Um capacitor de placas paralelas possui capacitância C0 e separação d entre suas placas. Duas cama-
das de dielétricos com constantes κ1 e κ2, espessuras idênticas d/2 e com áreas iguais são inseridas
entre as placas, conforme mostrado na Figura abaixo. Quando a carga nas placas é Q, determine (a) o
campo elétrico em cada dielétrico e (b) a diferença de potencial entre as placas. (c) Mostre que a nova
capacitância é dada por C = κ1κ2/(κ1 +κ2)C0. (d) Mostre que esse sistema pode ser considerado como
sendo uma combinação em série de dois capacitores de espessura d/2 preenchido com dielétricos de
constantes κ1 e κ2.
12. Um capacitor de placas paralelas é preenchido com dois dielétricos de dimensões idênticas, conforme
mostrado na Figura abaixo. (a) Mostre que esse sistema pode ser considerado como sendo de dois
capacitores com área igual a A/2 conectados em paralelo. (b) Mostre que a capacitância é aumentada
pelo fator (κ1 +κ2)/2.
2
13. Determine a capacitância equivalente do capacitor de placas
paralelas mostrado na figura ao lado.
14. As placas de um capacitor de placas paralelas possuem uma área A = 1m2 e uma distância de separação
d = 0,5cm. Preenchendo completamente o espaço entre as placas condutoras existe uma placa de vidro
cuja constante dielétrica vale κ = 5. O capacitor é carregado por uma diferença de potencial de 12V e,
em seguida, removido da fonte de carga. Qual é o trabalho necessário para retirar a placa de vidro do
capacitor?
15. Um capacitor de placas paralelas com área A e distância de separação x recebe uma carga Q e, em
seguida, a fonte de carga é removida. (a) Determine a energia eletrostática armazenada em função de
x. (b) Determine o aumento da energia dU decorrente de um aumento dx na distância de separação das
placas utilizando dU = (dU/dx)dx. (c) Se F é a força exercida por uma das placas sobre a outra, o
trabalho necessário para mover uma placa de uma distância dx é Fdx = dU . Mostre que F = Q2/2ε0A.
(d) Mostre que a força citada no item (c) é igual a EQ/2, onde Q é a carga sobre uma das placas e E é o
campo elétrico entre as placas. Discuta as razões do fator 1/2 nesse resultado.
16. Um capacitor de placas paralelas retangulares com comprimento a e largura b possui um dielétrico de
largura b parcialmente inserido entre as placas (distância x), conforme mostrado na Figura. (a) Determine
a capacitância em função de x. Despreze os efeitos nas bordas. (b) Mostre que a resposta fornece os
resultados esperados para x = 0 e x = a.
3
17. Um capacitor é fabricado a partir de dois cilindros concêntricos cujos raios são a e b(b > a) e cujo
comprimento é L � b. O cilindro interno possui carga +Q e o cilindro externo possui carga −Q. A
região entre os dois cilindros é preenchida com um dielétrico cuja constante dielétrica é κ . (a) Determine
a diferença de potencial entre os cilindros. (b) Determine a densidade de carga livre σliv nos cilindros
interno e externo. (c) Determine a densidade de carga ligada σlig nas superfı́cies cilı́ndricas interna e
externa do dielétrico. (d) Determine a energia eletrostática total armazenada. (e) Qual será o trabalho
mecânico necessário para remover a casca cilı́ndrica dielétrica, considerando que não haja atrito?
18. Dois capacitores de placas paralelas possuem a mesma distância de separação e a mesma área das placas.
Inicialmente, a capacitância de ambos é de 10µF . Quando um dielétrico é inserido, de modo que
preenche totalmetne o espaço entre as placas de um dos capacitores, a capacitância desse capacitoraumenta para 35µF . Os capacitores de 35µF e 10µF são conectados em paralelo e carregados por uma
tensão de 100V . A fonte então é removida. (a) Qual é a energia armazenada nesse sistema? (b) Quais
são os valores das cargas nos dois capacitores? (c) O dielétrico é então removido do capacitor. Quais
são as novas cargas nas placas dos capacitores. (d) Qual é a energia ginal armazenada no sistema?
19. Um capacitor de placas paralelas com área A e distância de separação d é carregado por uma diferença de
potencial V e, em seguida, desconectado da fonte de carga. Um material dielétrico de constante κ = 2,
espessura d e área A/2 é inserido entre as placas. Seja σ1 a densidade de carga livre na superfı́cie do
condutor na interface com o dielétrico e σ2 a densidade de carga livre no condutor na interface com o
ar. (a) Por que o campo elétrico deve ter o mesmo valor no material dielétrico e no espaço livre entre as
placas? (b) Mostre que σ1 = 2σ2. (c) Mostre que a nova capacitância é 3ε0A/2d e que a nova diferença
de potencial é 2V/3.
20. Uma esfera condutora de raio R1, é carregada com carga Q. A esfera é circundada por uma camada
dielétrica esférica concêntrica que tem raio interno R1, e raio externo R2, e um dielétrico cuja constante
é κ . O sistema é colocado bem distante de outros corpos. (a) Determine o campo elétrico em um ponto
qualquer do espaço. (b) Qual é o potencial na superfı́cie da esfera condutora relativamente a V = 0 no
infinito? (c) Determine a energia potencial eletrostática total do sistema.
Respostas
1. (a) 100kV/m, (b) 44,3mJ/m3, (c) 88,6µJ, (d) 17,7nF , (e) 88,5µJ.
3. (a) U = uV ≈ Q
2
8πε0
r2−r1
r21
= 56,0nJ (aproximação), (b) C = 4πε0 r2r1r2−r1 = 0,234nF , U =
Q2
2C = 53,4nJ
(exato).
4. (a) Q = ε0A∆V
∆d = 11,1nC, (b) ∆U =
Q∆V
2 = 0,553µJ.
5. (a) 15,2µF , (b) Q12 = 2,4mC, Q4 = Q15 = 0,632mC, (c) U =
CeqV 2
2 = 0,304J.
6. (a) 0,24µF , (b) Q0,3 = Q1,25 = 2,4µC, Q0,25 = 0,48µC, (c) U =
CeqV 2
2 = 12,1µJ.
7. (a) A = Cd
ε0
= 7,91m2, (b) V = QC = 22,9V , (c) U =
CV 2
2 = 36,7µJ, (d) Qm = 210µC.
8. (a) E =

0, r < R1
2kλ
r , R1 < r < R2
0, r > R2
e u =

0, r < R1
ε0E2
2 =
2k2ε0Q2
r2L2 , R1 < r < R2
0, r > R2
, (b) dU = 2πrLdru(r) = kQ
2
rL dr,
4
(c) U = kQ
2
L ln
(
R2
R1
)
.
9. (a) E =

0, r < R1
kQ
r2 , R1 < r < R2
0, r > R2
e u =

0, r < R1
ε0E2
2 =
k2ε0Q2
2r4 , R1 < r < R2
0, r > R2
, (b) dU = 4πr2dru(r) = kQ
2
2r2 dr, (c)
U = kQ
2
2
(
R2−R1
R2R1
)
.
10. (a) C = κrL2kd = 16,7nF , (b) Q = 1,2nC, (c) E = 7×
6 V/m.
11. (a) E = Q
κε0A
, (b) V = Qd2ε0A
(
1
κ1
+ 1
κ2
)
, (c) C = 2C0
(
κ1κ2
κ1+κ2
)
.
13.
(
κ3 +
2κ1κ2
κ1+κ2
)
ε0A
2d .
14. W = ε0κ
2AV 2
2d
(
1− 1
κ
)
= 2,5µJ .
15. (a) U = Q
2
2ε0A
x, (b) dU = Q
2
2ε0A
dx, (c) F = Q
2
2ε0A
, (d) F = QE2 .
16. (a) C (x) = ε0bd (a+(κ −1)x), (b) C (0) =
ε0ba
d =C0 e C (a) =
κε0ab
d = κC0.
17. (a) V = 2kQ
κL ln
(b
a
)
, (b) σliv (a) =
Q
2πaL e σliv (b) = −
Q
2πbL , (c) σlig (a) = −
Q(κ−1)
2πaLκ e σlig (b) =
Q(κ−1)
2πbLκ ,
(d) U = kQ
2
κL ln
(b
a
)
, (e) W = ∆U = kQ
2(κ−1)
κL ln
(b
a
)
.
18. (a) U = 12CeqV
2 = 0,23J, (b) Q1 = 3,5mC e Q2 = 1,0mC, (c) Q1 = Q2 = 12Q = 2,25mC, (d) U =
1
2
Q2t
Ceq
= 0,51J.
20. (a) E =

0, r < R1
kQ
κr2 , R1 < r < R2
kQ
r2 , r > R2
, (b) V (R1) =
kQ
κ
(
R1(κ−1)+R2
R1R2
)
, (c) U = 12QV (R1) =
kQ2
2κ
(
R1(κ−1)+R2
R1R2
)
.
5