Atividades para prova Dehon

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A regra de três simples e composta é a proporção entre duas ou mais grandezas, que podem ser 
velocidades, tempos, áreas, distâncias, cumprimentos, entre outros. 
 
É o método para determinar o valor de uma incógnita quando são apresentados duas ou mais razões, sejam 
elas diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
As grandezas 
 
Dentro da regra de três simples e composta existem grandezas diretamente e inversamente proporcionais. 
 
Caracteriza-se por grandezas diretas aquelas em que o acréscimo ou decréscimo de uma equivale ao 
mesmo processo na outra. Por exemplo, ao triplicarmos uma razão, a outra também será triplicada, e assim 
sucessivamente. Entenda melhor a seguir: 
 
Supondo que cada funcionário de uma microempresa com 35 integrantes gasta 10 folhas de papel 
diariamente. Quantas folhas serão gastas nessa mesma empresa quando o quadro de colaboradores aumentar 
para 50? 
 
Funcionários Papéis 
 
 
 35 10 
 50 x 
 
Ao analisarmos o caso percebemos que o aumento de colaboradores provocará também um aumento no 
gasto de papel. Logo, essa é uma razão do tipo direta – que deve ser resolvida através da multiplicação 
cruzada: 
 
35x = 50.10 
35x = 500 
x = 500/35 = 14,3 
 
Portanto, serão necessários 14,3 papéis para suprir as demandas da microempresa com 50 funcionários. 
 
 
Por outro lado, as grandezas inversas ocorrem quando o aumento ou diminuição de uma resultam em 
grandezas opostas. Ou seja, se uma é quadruplicada, a outra é reduzida pela metade, e assim por 
diante. Vejamos: 
 
Se 7 pedreiros constroem uma casa grande em 80 dias, apenas 5 deles construirão a mesma casa em quanto 
tempo? 
 
Pedreiros Dias 
 7 --------------- 80 
 5 ---------------- x 
 
Nesta situação, é preciso inverter um das grandezas, pois a relação é inversamente proporcional. Isso 
acontece porque a diminuição de pedreiros provoca o aumento no tempo de construção. 
 
 
 Pedreiros Dias 
 7 ------------------ x 
 5 ----------------- 80 
 
5x = 80.7 
5x = 560 
X = 560/5 = 112 
 
Sendo assim, serão 112 dias para a construção da casa com 5 pedreiros. 
 
1) Durante um naufrágio, os sobreviventes dividiram a comida que lhes sobrou em partes iguais. Sabendo 
que a quantidade de comida duraria 9 dias para os 12 náufragos, caso fossem encontrados mais 4 
sobreviventes e a comida fosse redistribuída, a quantidade de dias aproximadamente que ela duraria seria de: 
A) 2 dias. 
B) 4 dias. 
C) 5 dias. 
D) 6 dias. 
E) 8 dias. 
 
2) Na pandemia de covid-19, uma confecção se dedicou à fabricação de máscaras de tecido. Quando a 
confecção tinha 8 funcionários, o total de máscaras produzidas diariamente era de 184 máscaras. Com o 
objetivo de atingir uma produção de 500 máscaras diárias, quantos funcionários no mínimo devem ser 
contratados a mais? 
A) 21 
B) 22 
C) 14 
D) 15 
E) 16 
 
3) Para viajar de uma cidade para a outra, com uma velocidade média de 60 km/h, leva-se 2 horas e 30 
minutos. Quanto tempo seria gasto para fazer esse mesmo percurso caso a velocidade fosse de 75 km/h? 
A) 2 horas e 15 minutos 
B) 2 horas 
C) 1 hora e 45 minutos 
D) 1 hora e 30 minutos 
E) 1 hora e 15 minutos 
 
4) Uma das bebidas mais consumidas no mundo é o refrigerante. Durante o verão, devido às altas 
temperaturas, o consumo dessa bebida tende a ser maior e, com isso, uma fabricante local da cidade de 
Juazeiro do Norte decidiu aumentar a produção da bebida. Sabendo que ele consegue produzir e engarrafar 
4.000 refrigerantes em 8 horas, qual será o tempo necessário de trabalho para produzir 5.000 refrigerantes? 
a) 8 horas e 30 minutos 
b) 10 horas e 30 minutos 
c) 9 horas 
d) 9 horas e 30 minutos 
e)10 horas 
 
5) Para realizar uma reforma em larga escala em um condomínio fechado, contratou-se uma empreiteira que 
planejou essa reforma de acordo com a quantidade de funcionários disponíveis na empresa. Na primeira 
proposta, seriam necessários 15 funcionários para realizar a reforma em 10 dias, porém, durante a reunião de 
condomínio, decidiram que o prazo deveria ser de no máximo 6 dias para a conclusão da obra. Buscando 
atender à solicitação do condomínio, qual deve ser a quantidade de funcionários a mais que devem ser 
contratados? 
A) 10 
B) 12 
C) 15 
D) 20 
E) 25 
6) Uma indústria utiliza como matéria-prima principal a cana-de-açúcar em suas produções. Entre os 
produtos derivados da cana-de-açúcar, está o açúcar, utilizado com frequência em nossa alimentação. Com 
uma tonelada de cana-de-açúcar, a produção é aproximadamente 128 kg de açúcar. Qual é a quantidade de 
cana-de-açúcar necessária para produzir 448 kg de açúcar? 
A) 2,5 toneladas 
B) 2,8 toneladas 
C) 3,2 toneladas 
D) 3,5 toneladas 
E) 4 toneladas 
 
7) Para esvaziar totalmente uma piscina com volume de 24.000 L, com 3 ralos de mesma vazão, são 
necessárias cerca de 10 horas. Qual seria o tempo necessário em horas para esvaziar a piscina se ela tivesse 
um ralo a menos? 
A) 11 
B) 12 
C) 13 
D) 14 
E) 15 
 
8) Uma festa teve os seus detalhes planejados para que os organizadores não comprassem mais do que a 
quantidade necessária de comida e bebida. Sabendo que ela foi planejada para 70 pessoas e que a quantidade 
de salgadinhos consumidos por essas 70 pessoas é de 1.190 salgadinhos, caso 15 pessoas faltassem, qual 
seria a quantidade de salgadinhos consumidos? 
A) 935 
B) 255 
C) 545 
D) 600 
E) 720 
 
9) Um pintor gasta 2 galões de tinta para pintar uma parede de 45m². Responda quantos litros de tinta serão 
necessários para pintar 135 m², sabendo que cada galão contém 3,6L. 
A) 23L 
B) 19,3L 
C) 28,8L 
D) 21,6L 
 
10) Uma imagem tem 2,5 cm de largura e 4,5 cm de comprimento para a confecção de um porta-retratos. 
Sabendo que essa imagem será ampliada de modo que o lado maior meça 18 cm e preservando as mesmas 
medidas, a área ocupada pela imagem vai ser de? 
A) 10 
B) 11 
C) 12 
D) 13 
E) 14 
 
11) Em uma empresa de revisão de redação, 12 corretores igualmente eficientes corrigem 1560 redações em 
5 horas. Se mais 5 corretores, com a mesma eficiência, se juntarem à equipe inicial, qual será a quantidade 
de redações corrigidas nesse mesmo tempo? 
A) 650 
B) 2210 
C) 2300 
D) 2450 
E) 3000 
 
12) Dois sócios, Artur e Bruno, obtiveram como lucro de um negócio o valor de R$ 7.200,00. Esse lucro foi 
repartido em partes proporcionais ao que cada um havia investido. Artur investiu R$ 2.400,00 e Bruno 
investiu R$ 1.600,00 e, por isso, ao final, Artur teve direito a um lucro maior que Bruno. A diferença entre o 
lucro de Artur e o lucro de Bruno foi de 
A) R$ 1.200,00 
B) R$ 1.360,00 
C) R$ 1.400,00 
D)R$ 1.440,00 
E) R$ 1.500,00 
 
 
 
A regra de três composta é a razão e proporção entre três ou mais grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais, ou seja, as relações que aparecem em mais de duas colunas. 
 
Exemplo: 
 
Uma loja demora 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8 costureiras. Caso 6 funcionárias estiverem 
trabalhando, quantos dias levará para a produção de 300 peças? 
 
 Dias Peças Costureiras 
4 160 8 
 x 300 6 
 
Inicialmente, deve-se analisar cada grandeza em relação ao valor desconhecido, isto é: 
 
• Relacionando os dias de produção com a quantidade de peças, percebe-se que essas grandezas são 
diretamente proporcionais, pois aumentando o número de peças cresce a necessidade de mais dias de 
trabalho. 
• Relacionando a demanda de costureiras com os dias de produção, observa-se que aumentando a quantidadede peças o quadro de funcionárias também deveria aumentar. Ou seja, as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
 
 
Após análises, organiza-se as informações em novas colunas: 
 
 Dias Peças Costureiras 
4 160 8 
 x 300 6 
 
 
4/x = 160/300. 6/8 
4/x = 960 / 2400 
960x = 2400. 4 
960x = 9600 
 x = 9600/ 960 = 10 dias. 
 
1) Para realizar o acabamento de um condomínio fechado, 2 pedreiros foram contratados. Sabendo que eles 
conseguiram fazer o reboco de 48 m² por dia, trabalhando 6 horas diárias, qual seria a produtividade se 
fossem contratados mais 4 pedreiros para trabalhar 4 horas por dia? 
A) 72 m² 
B) 80 m² 
C) 92 m² 
D) 96 m² 
E) 100 m² 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/razao-e-proporcao
2) Para produção de um determinado tipo de peça em uma empresa, 5 máquinas com produtividades 
idênticas produzem 260 peças em 5 dias, operando 4 horas por dia. Sabendo que duas máquinas deram 
defeito, qual será a quantidade de peças produzidas durante 10 dias se as máquinas restantes operarem 
durante 10 horas? 
A) 680 
B) 780 
C) 850 
D) 900 
E) 920 
3) A quantidade de ração utilizada para alimentar 10 cachorros em um canil, durante 15 dias, é de 60 kg. 
Caso cheguem mais 8 cachorros no canil, quantos dias 80% dessa ração duraria aproximadamente? 
A) 6 dias 
B) 5 dias 
C) 4 dias 
D) 8 dias 
E) 10 dias 
4) Em uma construção, 4 pedreiros levam 18 dias para realizar a construção de um muro com 2 metros de 
altura. Caso houvesse 2 pedreiros a mais e a altura do muro fosse de 4 metros, quanto tempo esses pedreiros 
levariam? 
A) 20 dias 
B) 24 dias 
C) 28 dias 
D) 30 dias 
E) 22 dias 
5) Quatro torneiras enchem um reservatório em 10 horas. Quantas horas levarão 7 torneiras para encher 2 
tanques? 
A) Entre 8 e 9 horas 
B) Entre 9 e 10 horas 
C) Entre 10 e 11 horas 
D) Entre 11 e 12 horas 
E) Entre 12 e 13 horas 
6) Em uma fábrica de perfumes, 3 máquinas produzem 900 perfumes em 12 dias. Quantos dias serão 
necessários para 8 máquinas produzirem 1200 perfumes? 
A) 2 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
E) 10 
7) Em uma plantação de milho, duas colheitadeiras carregam 5 caminhões durante 4 horas. Determine 
quanto tempo 5 colheitadeiras levariam para carregar 15 caminhões. 
A) Entre 3 e 4 horas 
B) Entre 4 e 5 horas 
C) Entre 5 e 6 horas 
D) Entre 7 e 8 horas 
E) Mais que 8 horas 
8) Sabendo que 4 impressoras iguais produzem 800 panfletos em 40 minutos, quantos folhetos seriam 
produzidos em 1 hora havendo 6 dessas impressoras? 
A) 1000 
B) 1200 
C) 1400 
D) 1600 
E) 1800 
9) (Enem 2009) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, 
alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e, 
nos primeiros 10 dias, trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com 
os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias 
seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a 
quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: 
A) 920 kg. 
B) 800 kg. 
C) 720 kg. 
D) 600 kg. 
E) 570 kg. 
10) (Enem 2017) Uma indústria tem um setor totalmente automatizado. São quatro máquinas iguais, que 
trabalham simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas. Após esse período, as máquinas 
são desligadas por 30 minutos para manutenção. Se alguma máquina precisar de mais manutenção, ficará 
parada até a próxima manutenção. Certo dia, era necessário que as quatro máquinas produzissem um total de 
9 000 itens. O trabalho começou a ser feito às 8 horas. Durante uma jornada de 6 horas, produziram 6 000 
itens, mas na manutenção observou-se que uma máquina precisava ficar parada. Quando o serviço foi 
finalizado, as três máquinas que continuaram operando passaram por uma nova manutenção, chamada 
manutenção de esgotamento. Em que horário começou a manutenção de esgotamento? 
A) 16 h 45 min 
B) 18 h 30 min 
C) 19 h 50 min 
D) 21 h 15 min 
E) 22 h 30 min 
 11) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis clientes em 10 minutos. Considere que, 
nessa agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência e que a média citada sempre é mantida. 
Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 45 clientes é de: 
A) 45 minutos. 
B) 30 minutos. 
C) 20 minutos. 
D) 15 minutos. 
E) 10 minutos. 
 12) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de 
limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 
6 horas quando o reservatório está cheio. Essa indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 
500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os 
ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do 
novo reservatório deverá ser igual a 
A) 2 
B) 4 
C) 5 
D) 8 
E) 9 
 
 
1) am * an = am + n 
Multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. 
 
2) am : an = am – n 
Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. 
 
3) (am)n = am * n 
Potência de potência, multiplicar os expoentes. 
 
4) 
Potência com expoente racional: o expoente do radicando se transforma no numerador do expoente da 
base fora da raiz, e o índice da raiz passa a ser o denominador. 
 
5)a–n = 1/an, a ≠ 0 
Potência com expoente negativo: inverso da base elevado ao expoente positivo. 
 
6) a0 = 1 
Toda base diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1. 
 
7) se a > 0 e a ≠ 0, temos 𝑎𝑚= 𝑎𝑛 apenas se m = n. 
 
Exemplos 
 
a) 42 * 43 = 42 + 3 = 45 
 
b) 104 : 102 = 104 – 2 = 102 
c) (63)2 = 63*2 = 66 
 
d) 
 
e)2–2 = (1/2)2 = 1/4 
 
f) 32 * 33 : 34 = 32 + 3 – 4 = 31 
 
g) 2–2 : 26 = 2– 2 – 6 = 2–8 = (1/2)8 = 1/256 
 
h) 10000 = 1 
 
i) ((72)3)4 = 7 2*3*4 = 724 
 
j) 3x = 81 → 3x = 34 → x = 4 
1) Determine o valor de cada uma das potências abaixo. 
a) 251 
b) 1500 
c) (7/9)-2 
 
2) Sabendo que o valor de 57 é 78 125, qual o resultado de 58? 
a) 156 250 
b) 390 625 
c) 234 375 
d) 312 500 
As potências (-2)4 e -24 são iguais ou diferentes? E qual o resultado? 
3) Em um sítio há 12 árvores. Cada árvore possui 12 galhos e em cada galho tem 12 maçãs. Quantas maçãs 
existem no sítio? 
a) 144 
b) 1224 
c) 1564 
d) 1728 
 
4) O valor da expressão 20x3 + 2x2y5, para x = - 4 e y = 2 é: 
a) 256 
b) - 400 
c) 400 
d) – 256 
 
5) ( 36 . 3-2 ) : 34 é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 3-3 
d) 3-8 
 
6) Verifique se as sentenças são falsas ou verdadeiras: 
a) (x . y)4 = x4 . y4 
b) (x + y)4 = x4 + y4 
c) (x - y)4 = x4 - y4 
d) (x + y)0 = 1 
 
7) O valor de (0,3)-1 + (- 27)0,333... é: 
 
8) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. 
Esse número de bactérias pode ser escrito como 
a) 109 
b) 1010 
c) 1011 
d) 1012 
e) 1013 
 
10) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações 
culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no 
evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma 
representação possível do número esperado de participantes para o último dia é 
a) 3 × 345 
b) (3 + 3 + 3) × 345 
c) 33 × 345 
d) 3 × 4 × 345 
e) 34 × 345 
Racionalização de denominadores é a técnica utilizada quando uma fração tem um número irracional no 
denominador e se deseja encontrar uma segunda fração equivalente à primeira fração, mas que não tenha um 
número irracional em seu denominador. Para fazer isso, é necessário realizar operações matemáticas para 
reescrevera fração de forma que ela não tenha em seu denominador uma raiz não exata. 
Quando o denominador da fração é irracional, utilizamos algumas técnicas para transformá-lo em um 
denominador racional, como a racionalização. Quando há uma raiz quadrada no denominador, podemos 
dividir em dois casos. O primeiro deles é quando a fração possui apenas uma raiz em seu radical. 
Exemplo 1: 
 
Para racionalizar esse denominador, vamos encontrar a fração equivalente a essa, mas que não tenha um 
denominador irracional. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo 
número — nesse caso, será exatamente o denominador da fração, ou seja, √3. 
 
Na multiplicação de frações, multiplicamos reto. Sabemos que 1 · √3 = √3. Já no denominador, temos que 
√3 ·√3 = √9 = 3. Com isso, chegamos ao seguinte: 
 
Logo, temos uma representação da fração cujo denominador não é um número irracional. 
Exemplo 2: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-raiz-quadrada.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-com-fracao.htm
O segundo caso é quando existe uma adição ou uma diferença entre uma raiz não exata. 
 
Quando há no denominador uma diferença ou uma adição de termos, sendo um deles a raiz não 
exata, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Chamamos de 
conjugado de √2 – 1 o inverso do segundo número, isto é, √2 + 1. 
 
Realizando a multiplicação no numerador, temos que: 
3(√2 + 1) = 3√2 +3 
Já o denominador é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. O seu resultado 
sempre é o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. 
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1² 
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1² 
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1 
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1 
Então, racionalizando o denominador dessa fração, temos que: 
 
• Racionalização quando há uma raiz de índice maior que 2 
Agora veja alguns exemplos quando há no denominador uma raiz de índices maiores que 2. 
 
 
Como o objetivo é eliminar o radical, vamos multiplicar o denominador, de forma que a raiz desse 
denominador possa ser cancelada. 
Exemplo 1: 
 
Nesse caso, para eliminar o expoente do radical, vamos multiplicar pela raiz cúbica de 2² no numerador e 
no denominador, para que apareça dentro do radical 2³ e, assim, seja possível cancelar a raiz cúbica. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produtos-notaveis.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-soma-pela-diferenca.htm
 
Realizando a multiplicação, temos que: 
 
 
 
1) Racionalizando o denominador da fração a seguir, encontramos: 
 
A) 1 + √3. 
B) 2(1 + √3). 
C) – 2(1+ √3). 
D) √3. 
E) √3 –1. 
2) (IFCE 2017 — adaptada) Aproximando os valores de √5 e √3 até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 
1,73, respectivamente. Aproximadamente, o valor da expressão numérica a seguir até a segunda casa 
decimal é: 
 
A) 1,98. 
B) 0,96. 
C) 3,96. 
D) 0,48. 
E) 0,25. 
 
3) Racionalize as seguintes expressões: 
 
a) 
7
√2
 
 
b) 
7√10
√2
 
 
 
c) 
2
3+√3
 
 
d) 
√6− √2
√6+√2
 
 
e) 
2
√31
4 
 
 
A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio do tipo ax2+bx+c, 
em que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em 
encontrar valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, 
isto é, a𝑥2 + bx +c = 0.
• Método de solução para equações completas 
O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes de uma equação 
do 2º grau do tipo a𝑥2 + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação: 
1) (ESPM -SP) As soluções da equação abaixo são dois números 
 
a) primos. 
b) positivos. 
c) negativos. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomios.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-reais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
d) pares. 
e) ímpares. 
 
2) Determine o conjunto solução da equação – 3x² + 18x – 15 = 0. 
 
 
 
 
3) Analisando a equação do segundo grau x² – 2x +1 = 0, podemos afirmar que ela possui: 
a) nenhuma solução real. 
b) uma única solução real. 
c) duas soluções reais. 
d) três soluções reais. 
e) infinitas soluções reais. 
 
4) Das equações quadráticas abaixo e sabendo que a = 1, qual é a equação que possui as soluções x1 = 2 e x2 = - 3? 
a) x² + x – 6 = 0 
b) x² – x – 6 = 0 
c) x² +5x + 6 = 0 
d) x² – 5x +6 = 0 
e) x² + x – 1 = 0 
 
5) O produto entre as raízes da equação 2x² + 4x - 6 = 0 é igual a: 
a) - 2 
b) 2 
c) 1 
d) 3 
e) - 3 
 
 
6) Resolva as equações do 2º grau: 
a) 4x² - 36 = 0 
b) 7x² - 21 = 0 
c) x² + 9 = 0 
d) x² - 7x = 0 
e) 3x² - 4x = 0 
 f) x² - 3 x = 0 
 
 
Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x2 - Sx + P e é 
indicado quando as raízes são números inteiros. 
Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes: 
 
 
Sendo, 
x1 e x2: raízes da equação do 2º grau 
a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau 
 
Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que 
satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima. Se não for possível encontrar números inteiros que 
satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução. 
1) O valor do produto das raízes da equação 4x2 + 8x - 12 = 0 é: 
a) - 12 
b) 8 
c) 2 
d) - 3 
e) não existe 
 
2) A equação x2 - x - 30 = 0 apresenta duas raízes iguais a: 
a) - 6 e - 5 
b) - 1 e - 30 
c) 6 e - 5 
d) 30 e 1 
e) - 6 e 5 
3) Se 1 e 5 são as raízes da equação x2 + px + q = 0, então o valor de p + q é : 
a) - 2 
b) - 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
4) (Fuvest) Se m e n são raízes de x² – 6x + 10 = 0, então 1/m + 
1/n vale: 
a) 6 
b) 2 
c) 1 
d) 3/5 
e) 1/6 
 
1) Qual o valor de x nos triângulos a seguir? 
 
a) 48 cm 
b) 49 cm 
c) 50 cm 
d) 24 cm 
e) 20 cm 
 
2) Para descobrir a altura de um prédio, Luiz mediu a sombra do edifício e, em seguida, mediu sua 
própria sombra. A sombra do prédio media 7 metros, e a de Luiz, que tem 1,6 metros de altura, media 
0,2 metros. Qual a altura desse prédio? 
a) 50 metros 
b) 56 metros 
c) 60 metros 
d) 66 metros 
e) 70 metros 
3) (Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 m. 
Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do 
prédio, em metros, é: 
 
a) 25 
b) 29 
c) 30 
d) 45 
e) 75 
 4) (Unirio) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de 
disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a 
aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura 
anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco mede, em m, aproximadamente: 
 
a) 3,0 
http://www.unirio.br/
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
 
Representação e fórmula 
Para melhor entendermos o enunciado do teorema, representaremos graficamente o feixe de retas paralelas 
interceptadas por retas transversais. 
 
Observe que as retas r, s e t são paralelas e denotadas por r//s//t, as retas p e q são as transversais, os 
segmentos AB, BC, DE e EF foram determinados pelas intersecções das retas, e que, pelo teorema de Tales, 
esses segmentos são proporcionais, ou seja, as razões entre eles são iguais. 
 
Em consequência das propriedades das proporções, podemos escrever o resultado do teorema de Tales 
destas maneiras: 
 
 
 
 
1)(Enem) A planta de determinado bairro de uma cidade apresentou o desenho a seguir. O responsável pelo 
departamento de obras do município constatou a ausência de algumas medidas nessa planta, as quais ele 
representou no projeto por x e y. 
 
Com base nos dados do projeto, esse responsável pôde calcularcorretamente os respectivos valores de x e y: 
a) 35 m e 56 m 
b) 25 m e 40 m 
c) 35 m e 70 m 
d) 56 m e 70 m 
e) 56 m e 84 m 
2) Sabendo que as retas a, b e c são paralelas, utilize o Teorema de Tales e determine o valor de x na figura a 
seguir: 
 
3) Aplique o Teorema de Tales no intuito de determinar o valor de x, sabendo que as retas a, b e c são 
paralelas. 
 
 
4) (Fuvest–SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são 
perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para 
essa rua tem 180m? 
 
 
O teorema da bissetriz interna diz que: uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em 
segmentos proporcionais aos lados adjacentes. 
 
Ou seja: 
 
1)Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do ângulo A. 
 
 
 
2) Calcule a medida do lado AC do triângulo abaixo, sabendo que AG é bissetriz do ângulo A. 
 
 
 
 
Fórmula do teorema de Pitágoras 
Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a fórmula é representada da seguinte maneira: 
a2 = b2 + c2 
Sendo, 
a: hipotenusa 
b: cateto 
c: cateto 
1) A área do triângulo retângulo que possui base medindo 5 cm e hipotenusa medindo 13 cm é igual a: 
A) 30 cm² 
B) 60 cm² 
C) 24 cm² 
D) 16 cm² 
E) 12 cm² 
2) Uma represa no formato retangular possui dimensões de 30 metros por 40 metros. Qual será a distância 
percorrida por uma pessoa que atravessa essa represa pela sua diagonal? 
A) 45 metros 
B) 50 metros 
C) 65 metros 
D) 70 metros 
E) 80 metros 
3) Analisando os triângulos a seguir, podemos afirmar que a soma x + y é igual a: 
 
A) 29 
B) 9 
C) 30 
D) 38 
E) 40 
4) Utilize a relação pitagórica para encontrar a diagonal. 
 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 42 
E) 49 
5) Um garoto observa uma coruja no alto de um poste de 8 metros de altura. A sombra projetada desse poste 
no chão possui comprimento de 6 metros naquele horário. Sabendo que o poste forma um ângulo de 90° 
com o solo, qual é a distância do garoto até a coruja? 
a) 6 metros 
b) 8 metros 
c) 10 metros 
d) 12 metros 
e) 14 metros 
Tabela trigonométrica com ângulos notáveis 
1) (Fuzileiros Navais Turmas I e II - 2019) Uma aeronave decolou sob um ângulo de 30º em relação à 
pista. Após percorrer 100 metros de distância, no ar, nessa mesma angulação, qual a sua altura em relação à 
pista? 
 
a) 50 metros 
b) 100 metros 
c) 150 metros 
https://1.bp.blogspot.com/-68dmeNJQbrc/XhX3X-RqTEI/AAAAAAAAJbE/zpp05VKdcB4ddwAEFOPVpbqE6WJdoDZ0QCLcBGAsYHQ/s1600/tabela-seno-cosseno-tangente-relacoes-trigonometricas-triangulo-retangulo.png
d) 200 metros 
e) 250 metros 
2) Analisando o triângulo retângulo, com suas medidas dadas em centímetros, podemos afirmar que o valor do seno 
do ângulo ꞵ é igual a: 
 
A) 3/5 
B) 4/5 
C) 5/4 
D) 4/3 
E) ¾ 
3) Um terreno possui o formato de um retângulo cuja base mede 8 cm, sabendo que o ângulo formado entre a base 
e a diagonal é de 30º, qual o valor que mais se aproxima da diagonal? (Use √3 = 1,7) 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
4) Uma tirolesa será feita em uma montanha que possui 100 metros de altura. Sabendo que ela será amarrada de tal 
modo que forme com o chão um ângulo de 30º, qual deve ser o tamanho do cabo da tirolesa? 
A) 100 m 
B) 125 m 
C) 150 m 
D) 175 m 
E) 200 m 
5) (Cesgranrio) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 
30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: 
A) 0,5 m 
B) 1 m 
C) 1,5 m 
D) 1,7 m 
E) 2 m 
 
 
1) Determine a área de um retângulo, sabendo que este tem 46 cm de perímetro e que o comprimento excede 
em 7 cm a largura. 
 
 
 
2) Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato retangular medindo 10 m por 4 m e, para isso, 
quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o número mínimo de 
cerâmicas que serão usadas é igual a: 
a) 3100. 
b) 2100. 
c) 1500. 
d) 1000. 
e) 500 
3) Calcular a área de um círculo de comprimento 50,24 cm. 
 
 
 
 
4) Paulo decidiu aproveitar o espaço não utilizado do seu quarto para construir um banheiro. Conversando 
com um arquiteto, Paulo descobriu que para o cômodo com vaso sanitário, pia e chuveiro ele precisaria de 
uma área mínima de 3,6 m2. 
Respeitando as indicações do arquiteto, qual das figuras abaixo representa a planta correta para o banheiro 
de Paulo? 
 
a) 2,55 m x 1,35 m 
b) 1,55 m x 2,25 m 
c) 1,85 m x 1,95 m 
5) Wilson tem um terreno retangular e desejando plantar uma horta, colocou dois irrigadores neste terreno, 
ambos com alcance circular de raio igual a 4metros, como na figura abaixo. Qual a área que os irrigadores 
não alcançam, que será uma parte do terreno que Wilson não irá fazer a horta? Utilize π = 3,14. 
 
A) 100,48 m². 
B) 36,48 m². 
C) 102,88 m². 
D) 27,52 m². 
6) A área da figura abaixo é: 
 
a) 24 cm² 
b) 30 cm² 
c) 36 cm² 
d) 33 cm² 
e) 48 cm² 
 
 
 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/05/exec15.jpg
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a 
seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. 
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, 
notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o 
valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da 
função com o eixo y no plano cartesiano. Observe: 
 
 Função crescente Função decrescente 
 
 
1) (Encceja 2018) Uma prestadora de serviços cobra pela visita à residência do cliente e pelo tempo 
necessário para realizar o serviço na residência. O valor da visita é R$ 40 e o valor da hora para realização 
do serviço é R$ 20. 
Uma expressão que indica o valor a ser pago (P) em função das horas (h) necessárias à execução do serviço 
é: 
A) P = 40h 
B) P = 60h 
C) P = 20 + 40h 
D) P = 40 + 20h 
2) (UFSM) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é 
denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância percorrida. Se o preço da 
bandeirada é de R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou 
R$ 19 para ir de sua casa ao shopping é de: 
A) 5 km 
B) 10 km 
C) 15 km 
D) 20 km 
E) 25 km 
3) Podemos afirmar que o zero da função f(x) = -2x + 5 é igual a: 
A) 2 
B) 2,5 
C) -2,5 
D) -3 
E) 3 
4) Sobre o comportamento da função f(x) = 4x – 3, marque a alternativa correta: 
A) f(x) é crescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a 4. 
B) f(x) é decrescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a 4. 
C) f(x) é decrescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a -3. 
D) f(x) é crescente, pois seu coeficiente angular é negativo e igual a -3. 
E) f(x) é decrescente, pois o seu coeficiente linear é negativo e igual a -3. 
5) (U. E. Londrina) Seja a função f, tal que f(x) = ax + b. Se os pontos (0, -3) e (2, 0) pertencem ao gráfico 
de f, então a + b é igual a: 
a) 9/2 
b) 3 
c) 3/2 
d) -3/2 
e) 1 
6) Calcule a raiz ou zero das funções: 
a) f(x) = 3x + 12 b) f(x) = -10 +60x 
c) f(x) = -2x + 9 d) f(x) = 7x -28 
e) h(x) = -35 +7x f) g(x) = -6x +18 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por: 
J = C . i . t 
Onde, 
J: juros 
C: capital 
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para 
isso, basta dividir o valor dado por 100. 
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo. 
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do período de tempo. 
Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital).Sua fórmula será: 
M = C + J → M = C + C . i . t 
Da equação acima, temos, portanto, a expressão: 
M = C . (1 + i . t) 
 
1) (Vunesp) Num balancete de uma empresa consta que certo capital foi aplicado a uma taxa de 30% ao ano 
durante 8 meses, rendendo juros simples no valor de R$ 192,00. O capital aplicado foi de: 
A) R$ 288,00. 
B) R$ 880,00. 
C) R$ 960,00. 
D) R$ 2.880,00. 
 
2) Durante quanto tempo um capital deve ser mantido em investimento a juros simples com taxa de 2% a.m. 
para que ele gere um montante que seja o dobro do capital investido? 
A) 3 anos e 4 meses. 
B) 3 anos e 6 meses. 
C) 3 anos e 9 meses. 
D) 4 anos. 
E) 4 anos e 2 meses 
 
3) Um capital foi aplicado a juros simples com taxa de 5% ao mês, durante cinco meses. Se no fim desse 
período o juro produzido foi de R$ 152,25, qual foi o montante ao término da aplicação? 
A) R$ 761,25. 
B) R$590,75. 
C) R$609,00. 
D) R$706,12. 
E) R$ 692,30. 
4) Para completar a compra de um carro, Júlia pegou emprestado de sua amiga R$ 10.000,00 e pagou, ao 
final, R$ 12.250,00. Sabendo que a taxa de juros da operação empregada foi 2,5% a.m., quanto tempo Júlia 
levou para pagar sua amiga? 
A) 6 meses. 
B) 7 meses. 
C) 8 meses. 
D) 9 meses. 
E) 10 meses. 
5) Qual deve ser o capital aplicado a uma taxa de juros simples de 10% a.a. para que, em 6 meses, renda R$ 
217,50 de juro? 
A) R$ 4350,00. 
B) R$ 453,00. 
C) R$ 3.750,00. 
D) R$ 3.575,00. 
E) R$ 345,00. 
6) (IFMG) Chiquinho aplicou a quantia de R$ 500,00 a juros simples durante 6 meses. A taxa de aplicação 
foi de 5% ao mês. O montante obtido foi de: 
A) R$ 650,00. 
B) R$ 700,00. 
C) R$ 750,00. 
D) R$ 800,00. 
 
 
 
 
Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. 
Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as 
equações. 
Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, é 
igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas. 
Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu 
valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação. 
Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor 
final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o 
valor da outra incógnita. 
Exemplo 
Resolva o seguinte sistema de equações: 
 
Resolução 
Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, para isolar o x. 
Assim temos: 
 
Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira: 
 
Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, para encontrar o 
valor do x: 
 
Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam ambas as 
equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20. 
Método da Adição 
No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das 
incógnitas. 
Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo 
valor e sinais contrários. 
Exemplo 
Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior: 
 
Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos começar a 
calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo: 
 
Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação: 
 
Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na mais 
simples: 
 
Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da substituição. 
Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, podemos 
multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível utilizar esse método. 
1) João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos 
cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro 
do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de 
cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos 
cachorros e quantos gatos João possui? 
 
 
 
 
 
2) Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-se, 
ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de André? 
 
 
 
 
 
3) A soma das idades de Joaquim e Lúcio é 60 anos. Sabendo que a idade de Joaquim é o triplo da idade de 
Lúcio, qual é a idade de cada um deles? 
a) 15 e 45 anos 
b) 30 e 30 anos 
c) 20 e 40 anos 
d) 5 e 55 anos 
e) 10 e 50 anos 
4) Qual é o par ordenado que resolve o sistema a seguir? 
 
a) (1, 4) 
b) (2, 6) 
c) (40, 10) 
d) (20, 30) 
e) (10, 40) 
 
5) A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo desse número x e 
número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a: 
a) -15 
b) -12 
c) -10 
d) -4 
e) - 2 
6) (VUNESP) Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número 
de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é: 
a) 68. 
b) 75. 
c) 78. 
d) 81. 
e) 84. 
7) Faetec - 2012 
Carlos resolveu, em um final de semana, 36 exercícios de matemática a mais que Nilton. Sabendo que o 
total de exercícios resolvidos por ambos foi 90, o número de exercícios que Carlos resolveu é igual a: 
a) 63 
b) 54 
c) 36 
d) 27 
e) 18 
 
 
 
 
https://www.vunesp.com.br/