A2_CONT_Propagação de erros_

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FISD42 –Física Geral Experimental I
Profa. Maria do Rosário Zucchi
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
Depto de Física da Terra e do Meio Ambiente
A2 (cont.)-Teoria dos Erros
Propagação de Erros
Elaborado por professores do DFTMA:
Roberto Max de Argollo;
Clemiro Ferreira; 
Tereza Sakai;
Francisco Clodorian Fernandes Cabral; 
Alexandre Barreto Costa;
Alberto Brum Novaes e
Friedrich W, Gutmann
Profa Maria Zucchi
Textos de Laboratório
Teoria de Erros – Física I
Universidade Federal da Bahia
http://www,fis,ufba,br/sites/fis,ufba,br/files/teoria_dos_erros,pdf
http://www.fis.ufba.br/sites/fis.ufba.br/files/teoria_dos_erros.pdf
Exemplo: Volume de um cilindro ( ത𝑉 ± sv)?
Como o volume do cilindro varia com a medida do diâmetro (ഥ𝐷 ± sD) e/ou da altura (ഥ𝐻 ± sH)?
Qual é a incerteza no volume?
Como combinar as duas variações (ഥ𝐷 ± sD e ഥ𝐻 ± sH )? 
D =2R
H
𝑉 = 𝜋𝑅2𝐻 =
𝜋
4
𝐷2𝐻
Profa Maria Zucchi
Como estimar incertezas de uma medida indireta???
Como realizar Propagação de Erros?
Medimos A e B e suas incertezas. Com calcular a incerteza de C, se C =A+B?
ത𝑉 =
𝜋
4
ഥ𝐷2 ഥ𝐻
di
de
leli
Propagação de erros (Medidas Indiretas)
Medidas indiretas: São todas aquelas relacionam as medidas
diretas por meio de fórmulas matemáticas,
Suponhamos que uma grandeza é calculada a partir das variáveis medidas
diretamente e através de uma expressão matemática R = (X,Y). Então, R
tem um erro como resultado dos erros de X e Y.
ത𝑅 = 𝑅 ത𝑋, ത𝑌
 O Valor mais provável de uma medida indireta, considerando
uma função R=(X,Y) é obtido substituindo o valor mais
provável das variáveis medidas diretamente na relação
matemática que expressa a medida indireta ou seja:
Profa Maria Zucchi
Propagação de erros 
Lima & Zappa (2014)
Comportamento geral da grandeza indireta f em função da grandeza direta x
Lima & Zappa (2014)
 O desvio padrão de uma medida indireta para uma função R(X,Y),
quando as medidas diretas são independentes, é definido por:
𝑠𝑅 =
𝜕𝑅
𝜕𝑋
2
𝑠𝑋
2 +
𝜕𝑅
𝜕𝑌
2
𝑠𝑌
2
𝑋 = ሜ𝑋 𝑒 𝑌 = ሜ𝑌
Onde as derivadas no ponto do valores médios das variáveis e sx e sy são os
desvios padrões das variáveis medidas diretamente. A fórmula de propagação de
erros independentes terá o número de termos, na soma dentro da raiz, igual ao
número de variáveis medidas diretamente.
Propagação de erros 
Profa Maria Zucchi
Calculando as derivadas...
𝜕𝑉
𝜕𝐷
=
𝜕
𝜋
4
𝐷2𝐻
𝜕𝐷
=
𝜋
4
𝐻
𝜕 𝐷2
𝜕𝐷
=
𝜋
4
𝐻 2𝐷 =
𝜋
2
𝐷𝐻
𝜕𝑉
𝜕𝐻
=
𝜕
𝜋
4
𝐷2𝐻
𝜕𝐻
=
𝜋
4
𝐷2
𝜕 𝐻
𝜕𝐻
=
𝜋
4
𝐷2
Desse modo a incerteza no volume é:
𝑠𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝐷
2
𝑠𝐷
2 +
𝜕𝑉
𝜕𝐻
2
𝑠𝐻
2 =
𝜋
2
𝐷𝐻
2
𝑠𝐷
2 +
𝜋
4
𝐷2
2
𝑠𝐻
2 =
𝜋
4
𝐷2H 2
𝑠𝐷
𝐷
2
+
𝑠𝐻
𝐻
2
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝐷 = ഥ𝐷 𝑒 𝐻 = ഥ𝐻
𝑠𝑉
𝑉
= 2
𝑠𝐷
𝐷
2
+
𝑠𝐻
𝐻
2
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝐷 = ഥ𝐷, 𝐻 = 𝐻 𝑒 𝑉 = ഥ𝑉
Profa Maria Zucchi
O volume do cilindro depende tanto do raio , ou diâmetro grandeza medida D, cuja
incerteza é sD, e da altura H, com incerteza sH, Assim, a incerteza do volume é dada por:
𝑠𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝐷
2
𝑠𝐷
2 +
𝜕𝑉
𝜕𝐻
2
𝑠𝐻
2
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝐷 = ഥ𝐷 𝑒 𝐻 = ഥ𝐻
A mesma incerteza no raio
acarreta em incertezas
diferentes no volume!
Exemplo: Volume de um cilindro
𝑠𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑅
2
. 𝑠𝑅2 = 2𝜋𝑅𝐻 2𝑠𝑅2 = 2𝜋𝑅𝐻𝑠𝑅
𝑉 = 𝜋 ത𝑅2𝐻
Como uma variação na
medida do raio afeta o
volume?
Essa variação é a
mesma, independente da
medida do raio?
Profa Maria Zucchi
Dado o volume em função do raio R:
O desvio propagado do volume é:
Expressões simplificadas:
 Produto de fatores elevados a diferentes potências (utilizada em
fórmulas quem tem multiplicação e/ou divisão). Seja R = A xpyq ,
onde x e y são valores reais conhecidos e A é uma constante ou
número. O resultado é:
 Soma ou diferença, Seja R = bx±cy , onde b e c são constantes
reais , Usando a definição :
𝑠𝑅 = 𝑏
2𝑠𝑋
2 + 𝑐2𝑠𝑌
2
𝑠𝑅 = ത𝑅 𝑝
2
𝑠𝑋
ത𝑋
2
+ 𝑞2
𝑠𝑌
ത𝑌
2
Profa Maria Zucchi
Pela derivada:
𝑠𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝐷
2
𝑠𝐷
2 +
𝜕𝑉
𝜕𝐻
2
𝑠𝐻
2 =
𝜋
2
𝐷𝐻
2
𝑠𝐷
2 +
𝜋
4
𝐷2
2
𝑠𝐻
2
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝐷 = ഥ𝐷 𝑒 𝐻 = ഥ𝐻
Exemplo: Calcule o volume de um cilindro e seu desvio propagado, sendo
os valores médios para o diâmetro e da altura: (ഥ𝐷 ± sD ) = (7,40±0,81) cm
e da altura ( ഥ𝐻 ± sH ) = (8,20 ±0,35) cm . (sem o uso de derivadas)
ത𝑉 = 𝜋 ത𝑅2 ഥ𝐻 =
𝜋
4
ഥ𝐷2 ഥ𝐻
𝑠𝑉 = ത𝑉 2
2
𝑠𝐷
ഥ𝐷
2
+ 12
𝑠𝐻
ഥ𝐻
2
=
𝜋
4
ഥ𝐷2 ഥ𝐻 22
𝑠𝐷
ഥ𝐷
2
+ 12
𝑠𝐻
ഥ𝐻
2
𝑠𝑉 = 2
2 𝜋
4
ഥ𝐷2 ഥ𝐻
2 𝑠𝐷
ഥ𝐷
2
+
𝜋
4
ഥ𝐷2 ഥ𝐻
2 𝑠𝐻
ഥ𝐻
2
=
𝜋
2
ഥ𝐷 ഥ𝐻
2
𝑠𝐷
2 +
𝜋
4
ഥ𝐷2
2
𝑠𝐻
2
𝑠𝑅 = ത𝑅 𝑝
2
𝑠𝑋
ത𝑋
2
+ 𝑞2
𝑠𝑌
ത𝑌
2
R = A xpyq
Profa Maria Zucchi
D =2R
H
Expressões simplificadas:
xxx
ത𝑉 =
𝜋
4
(7,40)28,20=
𝑠𝑉 = ത𝑉 2
2 0,81
7,40
2
+ 12
0,35
8,20
2
=
Utilizando a derivada:
𝑠𝜋 =
𝜕
𝜕𝐷
2
𝑠𝐷
2 +
𝜕
𝜕𝐶
2
𝑠𝐶
2 = −1𝐷−2𝐶 2𝑠𝐷
2 +
1
𝐷
2
𝑠𝐶
2
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝐷 = ഥ𝐷 𝑒 𝐶 = ҧ𝐶
Exercício: Foram medidos os valores do diâmetro (ഥ𝐷 ± sD )=(7,5 ±0,1)cm e da
circunfêrencia ( ҧ𝐶± sC)=(23,2±0,2) cm de uma lata e avaliados os respectivos desvios.
Calcule o valor de pi e seu desvio propagado (ത𝜋 ± 𝑠𝜋 ).
ത𝜋 =
ҧ𝐶
ഥ𝐷
=
23,2
7,5
= 3,1066667
𝑠𝜋 = ത𝜋 1
2
𝑠𝐶
ҧ𝐶
2
+ (−1)2
𝑠𝐷
ഥ𝐷
2
= 0,0492637
𝑠𝑅 = ത𝑅 𝑝2
𝑠𝑋
ത𝑋
2
+ 𝑞2
𝑠𝑌
ത𝑌
2
R = A.xpyq
Profa Maria Zucchi
xxx
C=2R=D
 =
𝐶
𝐷
= 𝐶.𝐷−1
Utilizando a expressão simplificada:
 = ത ± 𝑠𝜋 = 3,107 ± 0,049
Expressões simplificadas:
 3,058; 3,156  =3.1415.. está no intervalo 
Exercício: Calcule a área superficial da lata e seu desvio propagado sendo os
valores médios para o diâmetro e da altura: (ഥ𝐷 ± sD ) = (7,40 ±0,81) cm e da altura
( ഥ𝐻 ± sH ) = (8,20 ±0,35) cm .
Profa Maria Zucchi
xxx
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2 × 𝜋𝑅
2 + 2𝜋𝑅. 𝐻 =
𝜋
2
𝐷2 + 𝜋𝐷𝐻
𝑠𝐴 =
𝜕𝐴𝑠𝑢𝑝
𝜕𝐷
2
𝑠𝐷
2 +
𝜕𝐴𝑠𝑢𝑝
𝜕𝐻
2
𝑠𝐻
2 = 𝜋ഥ𝐷 + 𝜋ഥ𝐻 2𝑠𝐷
2 + 𝜋ഥ𝐷 2𝑠𝐻
2
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 𝐴𝑡𝑜𝑝𝑜+ 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒+ 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑠𝐴 = 𝜋 7,40+ 8,20
20,812 + 7,40 20,352 = 40,521 𝑐𝑚2
𝐴𝑠𝑢𝑝 =
𝜋
2
𝐷2 + 𝜋𝐷𝐻 =
𝜋
2
7,402 + 𝜋. 7,40.8,20= 276,640𝑐𝑚2
𝐴𝑠𝑢𝑝 = ҧ𝐴𝑠𝑢𝑝 ± 𝑠𝐴 = 277 ± 41 𝑐𝑚
2
Usando a derivada:
Exercício: Calcule a área superficial da lata e seu 
desvio propagado sendo os valores médios para o 
diâmetro e da altura: (ഥ𝐷 ± sD ) = (7,40 ±0,81) cm
e da altura ( ഥ𝐻 ± sH ) = (8,20 ±0,35) cm . 
𝑠𝑅 = ത𝑅 𝑝
2
𝑠𝑋
ത𝑋
2
+ 𝑞2
𝑠𝑌
ത𝑌
2
R = A.xpyq
Profa Maria Zucchi
Expressões simplificadas:
xxx
R = b x±c y
𝑠𝑅 = 𝑏
2𝑠𝑋
2 + 𝑐2𝑠𝑌
2𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2 × 𝜋𝑅
2 + 2𝜋𝑅.𝐻 =
𝜋
2
𝐷2 + 𝜋𝐷𝐻
𝑠𝐴(𝑡+𝑏) = 𝐴𝑡+𝑏 2
2 𝑠𝐷
ഥ𝐷
2
=
𝜋
2
𝐷2. 2.
𝑠𝐷
ഥ𝐷
= 𝜋ഥ𝐷𝑠𝐷
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 𝐴𝑡𝑜𝑝𝑜 + 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝐴𝑡+𝑏 + 𝐴𝑙
𝐴𝑡+𝑏 𝐴𝑙
𝑠𝐴(𝑙) = ҧ𝐴𝑙
𝑠𝐷
ഥ𝐷
2
+
𝑠𝐻
ഥ𝐻
2
= 𝜋𝐷𝐻
𝑠𝐷
ഥ𝐷
2
+
𝑠𝐻
ഥ𝐻
2
= 𝜋ഥ𝐻𝑠𝐷
2 + 𝜋ഥ𝐷𝑠𝐻
2
𝑠𝐴(𝑠𝑢𝑝) = 𝑠𝐴(𝑡+𝑏)
2
+ 𝑠𝐴(𝑙)
2
= 𝜋ഥ𝐷𝑠𝐷
2 + 𝜋ഥ𝐻𝑠𝐷
2 + 𝜋ഥ𝐷𝑠𝐻
2
𝑠𝐴(𝑠𝑢𝑝) = 𝜋 ഥ𝐷 + ഥ𝐻
2𝑠𝐷
2 + ഥ𝐷2𝑠𝐻
2
Lima & Zappa (2014)
Expressões para os cálculos dos valores médios e incertezas combinadas ou erros 
propagados de algumas grandezas físicas independentes
Regras para representação do valor e do desvio de
uma medida:
 O desvio padrão, tanto da medida direta quanto da medida indireta,
deverá ser expresso com dois algarismos significativos.
 O desvio avaliado deverá ser escrito somente com um algarismo
significativo. Exemplo: Diâmetro =(43,885± 0,005) cm
 O valor da medida deverá sempre ter o mesmo número de casas
decimais que o desvio. Seja ele o desvio padrão ou avaliado;
 O desvio tem a mesma unidade que a medida!
Profa Maria Zucchi
Exemplo: Volume=(144,58± 0,75) cm3
“Embora este Guia proporcione uma metodologia para
avaliar incertezas, ele não pode substituir o raciocínio
crítico, a honestidade intelectual e a habilidade
profissional, A avaliação de incerteza não é uma tarefa de
rotina nem uma tarefa puramente matemática; ela
depende de conhecimentodetalhado da natureza do
mensurando e da medição, A qualidade e utilidade da
incerteza indicada para o resultado de uma medição
dependem, portanto, em suma, da compreensão, análise
crítica e integridade de todos aqueles que contribuem
para o estabelecimento de seu valor,”
Salienta-se uma importante recomendação em: Avaliação de dados de medição -
Guia para a expressão de incerteza de medição (2008), sendo:
Profa Maria Zucchi
Referências
TEXTOS DE LABORATÓRIO – Teoria de Erros – Física I
Universidade Federal da Bahia
http://www,fis,ufba,br/sites/fis,ufba,br/files/teoria_dos_erros,pdf
Fundamentos da teoria de erros 
José Henrique Vuolo (1996 )- Editora Blucher
Análise de dados para Laboratório de Física
Carlos R A Lima e Fábio Zappa (2014)
https://www,ufjf,br/carlos_lima/files/2019/01/analisedados,pdf
Profa Maria Zucchi
http://www.fis.ufba.br/sites/fis.ufba.br/files/teoria_dos_erros.pdf