Questoes_resolvidas_AP

Prévia do material em texto

Módulo4 
1 
 
 
 
 
Exercício 1: uma franquia de fast food com foco em 
sanduíches,apresenta lojas em todo o mundo. Para fazer uma pesquisa 
de satisfação dos clientes, dividiu-se a população de lojas em três 
estratos (países desenvolvidos, países em desenvolvimento e países do 
grupo asiático). Pretende-se trabalhar com uma amostra de tamanho n 
= 200. Com as informações a seguir, faça o esquema de uma 
amostragem estratificada. 
 
Estratos Tamanho do estrato (no de lojas) 
Países desenvolvidos N =700 
Países em desenvolvimento N =420 
Países do grupo asiático N = 270 
 
R.Total dos três estratos= 700+420+270= 1390 
Amostragem estratificada = (Nh/N)*n 
n1= (700/1390)*200= 100,719 --- n1= 101 
n2= (420/1390)*200= 60,4316 --- n2= 60 
n3= (270/1390)*200= 38,8489 ---n3= 39 
 
Exercício 2: obter os seguintes valores da distribuição t de Student: 
a) P (-2,160 < t < a) = 0,95 com 13 g.l; 
a= 2,160 são simétricos 
= − =  
 =  
 
b) P (a < t < 1,708) = 0,90 com 25 g.l; 
a= - 1,708 são simétricos 
= − =  
 =  
 
c) P (t > a) = 0,05 com 20 g.l 
0,05= é o ponto  
Achar na tabela o ponto  e 20 g.l 
a= 1,725 
 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
2 
 
 
 
Exercício 3 obter os seguintes valores da distribuição de 2: 
a) P (2 > a) = 0,025 com 21 g.l; 
a= 35,4789 na tabela 
 
b) P (2 < a) = 0,025 com 21 g.l; 
P (2 < a) = 1 – 0,025 
P (2 < a) = 0,975 ; 21 g.l 
a= 10,2829 na tabela 
 
c) P(2 > a) = 0,95 com 15 g. l. 
a= 7,2609 na tabela 
 
 
Exercício 4: obter os seguintes valores da distribuição F de Snedecor: 
a) P(F > a) = 0,10 com g1 = 5 e g
2 
= 25 g.l; 
Temos o grau de liberdade 
Gl1= 5 
Gl2= 25 
=  
a= 2,092 
 
b) P(F < a) = 0,90 com n1 = 6 e n
2 
= 26 g.l; 
Achar grau de liberdade 
n1= 6-1= 5 
n2= 26-1= 25 
P(F<a)= 1-0,90 
P(F<a)= 0,10 
=  
 a= 2,092 
 
c) P(F > a) = 0,05 com g1 = 13 e g
2 
= 29 g.l. 
Temos o grau de liberdade 
Gl1= 13 =  
Gl2= 29 
 a= 2,075 
Módulo4 
3 
 
 
 
Exercício 5: considere, por exemplo, que as despesas mensais com 
alimentação das 1.000 cabeças de gado de uma fazenda são nor- 
malmente distribuídas com desvio-padrão de US$ 3,00. Uma amostra 
de cem bois revelou uma despesa média mensal de US$ 27,00. Deter- 
mine o intervalo de confiança de 90% para a despesa média com ali- 
mentação dos bois desta fazenda. 
R: N= 1000 
=  desvio padrão conhecido e n >30 = uso Z 
n= 100 
x = 27 
1- =  
P(x – e < µ < + e) = 0,90 
 
 
 
 n/ N= 100/1000= 0,1>0,05 1- =  
 = 0,2847 =  
 e = z/2* 0,2847 =  
 e = 1,647*0,2847  =  
 e = 0,4683 Na tabela Z = 1,645 
P(x - e < µ< x + e) = (1-) 
P( 27- 0,4683 < µ< 27-0,4683)= 0,90 
P( 26,5317< µ<27,4683)= 0,90 
 
Exercício 6: um fabricante afirma que seus pneus radiais supor- tam 
em média uma quilometragem com mais de 40.000 km. Para tes- tar 
essa afirmação, um comprador selecionou uma amostra de 49 pneus. Os 
testes nessa amostra forneceram uma média de 43.000 km. Sabe- se 
que a quilometragem de todos os pneus tem desvio-padrão de 6.500 
km. Se o comprador testar essa afirmação ao nível de significância de 
5%, qual será sua conclusão? 
R: Ho= µ>= 40.000 
H1= µ< 40.000 
Z= 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
4 
 
 
 
 x = 43000 
µ = 40000 
 =  
n= 49 
Z cal= 43.000-40.000/(6500/ √49)= 3000/(6500/7) Zcal= 3,2307 
Z tab= Z 0,5-0,05= Z 0,45= Ztab 0,475 Ztab= 1,64 
 
Zcal > Ztab, está na região de aceitação, logo aceita Ho. 
 
 
 Exercício 7: duas técnicas de venda são aplicadas em dois gru- 
pos de vendedores. A técnica A foi aplicada em um grupo de 12 ven- 
dedores, resultando em um número de vendas efetivadas em média de 
76 e uma variância de 50. Já a técnica B foi aplicada em um grupo de 
15 vendedores, resultando em um número de vendas efetivadas em 
média de 68 e uma variância de 75. Considerando as variâncias esta- 
tisticamente iguais, e com uma significância de 0,05, verifique se as 
médias são estatisticamente iguais. 
R: Ho: µA - µB=0 
H1: µA - µB  
Técnica A 
n1= 12 
�̅�1 = 76 
𝑆1 = 50 
Técnica B 
n1= 15 
�̅�2 = 68 
𝑆2 = 75 
 
Estatisticamente iguais 
t= 
(𝑋1̅̅ ̅̅ −𝑋2)−(µ−µ2)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
𝑆𝑝√
1
𝑛1
+
1
𝑛2
 
Sp= √
(𝑛1−1)𝑆1
2+(𝑛2−1)𝑆𝑝2
𝑛1+𝑛2−2
 = Sp=√
(12−1)50+(15−1)75
12+15−2
 = 
Sp= √
11∗50+14∗75
27−2
 = √
550+1050
25
 =√
1600
25
 = √64 = Sp= 8 
Módulo4 
5 
 
 
V= n1+n2-2 V= 12+15-2 V= 25 
t= 
(𝑋1̅̅ ̅̅ −𝑋2)−(µ−µ2)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑆𝑝√
1
𝑛1
+
1
𝑛2
 = 
(76−68)−0
8√
1
12
+
1
15
 = 
8
8√
9
60
 = tcalc= 2,56 
 
t tabelado= tabela GL=25, com 0,050 
ttab= 2,060 
 Sendo tcalc > que ttab, cai na parte de rejeição de Ho. 
 
Exercício 8. Um empresário deseja saber se há futuros profissio- nais 
mais promissores em escolas de regiões pobres e de regiões ricas. Uma 
amostra de 16 estudantes de uma zona pobre resultou em um teste 
específico, uma média de 107 pontos e um desvio-padrão de 10 pontos. 
Já 14 estudantes de região rica apresentaram uma média de 112 pontos 
e um desvio-padrão de 8 pontos. Você deve verificar se a média dos 
pontos dos dois grupos é diferente ou igual, para que o empresário possa 
saber se ele pode investir em qualquer uma das áre- as ou uma das áreas 
é mais promissora (primeiro, verifique se as variâncias são 
estatisticamente iguais ou diferentes). 
R: Região Rica 
n=14 
�̅�𝑅 = 112 
𝑆𝑅 = 8 
Gl= nA – 1= 16-1= 15 
 
Região Pobre 
n=16 
�̅�𝑃 = 107 
𝑆𝑃 = 10 
Gl= nB – 1= 14-1= 13 
 
Ho:  ² =  ² Hipótese nula 
H1:  ² >  ² Hipótese alternativa – unilateral à direita. 
 
Para realizar o teste T para comparar as duas médias deve-se primeiro 
verificar se as variâncias podem ser assumidas iguais ou não. 
𝐹0 = 
102
82
= 1,56 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
6 
 
 
Região Crítica: 
GlA= 15 
GlA= 13 
𝐹15;13;0,05 = 2,53 
 
Decisão: como Fcalc < Ftab , aceitamos a Ho ou Hipótese nula, 
concluiu assim que as variâncias populacionais são estatitiscamente 
iguais. 
Sp=√
(𝑛1−1)𝑆𝑅
2+(𝑛2−1)𝑆𝑝2
𝑛1+𝑛2−2
 = √
(15∗100)+(13∗64)
16+14−2
 = √
1500+832
28
= √
2332
28
= 
Sp= √83,29 = 
Sp=9,126 
t= 
(𝑋1̅̅̅̅ −𝑋2)−(µ−µ2)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑆𝑝√
1
𝑛1
+
1
𝑛2
 = 
107̅̅ ̅̅ ̅−112̅̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅− 0
9,126√
1
16
+
1
14
 = 
−5− 0
9,126√0,133
 = 
−5
3,34
 = -1,497 
Região crítica: 
V= nA + nB – 2= 28 
= − =   =  
t= 2,048 
 
Como o valor achado caiu na região de aceitação de Ho, conclui-se 
que devemos aceitar a Ho que as médias amostrais são iguais. 
 
Exercício 9. Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% de uma 
populacional é de 152 a 160. Se 𝜎 = 15, qual tamanho de amostra foi 
utilizado nesse estudo? 
Intervalo de confiança → 0,95 
[152 ; 160]→ �̅�= 
152+160
2
= 
312
2
= 156 
𝑎= 1 -0,95=0,05 
𝑎
2
= 0,025 
0,50 – 0,025= 0,475 
Z (
𝑎
2
) = 1,96 (tabela) 
�̅� ±
𝑍 (
𝑎
2
) . 𝜎
√𝑁
 
152 = 156 ±
(1,96).(15)
√𝑁
 
N≅ 54 
Módulo4 
7 
 
 
 
Exercício 10.Uma pesquisa realizada pelo Society for HumanResouce 
Management perguntou a 346 pessoas que procuravam emprego por 
que os empregados trocam de emprego tão frequentemente. A resposta 
mais escolhida (152 vezes) foi “melhor remuneração em outro ligar”. 
a- Qual é a estimação por ponto da proporção de pessoas que procuram 
emprego eu escolheriam “melhor remuneração em outro lugar”, 
como a razão para trocar de emprego? 
𝑃1 =
152
346
≅ 0,44 
b- Qual é a estimação por intervalo de confiança de 955 da proporção 
populacional? 
𝑃1 = 0,44 
q= 1-0,44=0,56Intervalo de confiança de 95% Z(
𝑎
2
) = 1,96 
e= Z(
𝑎
2
) √
𝑃1.𝑞
𝑛
= 1,96 √
0,44.0,56
346
= 0,0529 
𝑃1 − 𝑒 < 𝑃 < 𝑃1 + 𝑒 
0,44 − 0,0529 < 𝑃 < 0,44 + 0,0529 
𝟎, 𝟑𝟖𝟖 < 𝑷 < 𝟎, 𝟒𝟐𝟗 
[0,39; 0,43] 
 
Exercício 11.Separam-se 20 pacientes em 2 grupos: um com 9 e outro 
com 11. O primeiro grupo foi sugerido à terapia A, enquanto que o 
segundo a terapia B. Registrou-se o tempo, em minutos, que cada 
paciente levou a concluir um determinada tarefa, obtendo-se as médias 
de cada grupo:𝑋1̅̅ ̅ = 7,3 𝑚𝑖𝑚 e 𝑋2̅̅ ̅ = 7,5 𝑚𝑖𝑚. Supõe-se que os 
respectivos desvios padrão são conhecidos: 𝜎1=𝜎2= 0,9 min. A 
psicóloga responsável por esses pacientes afirma que, seguindo a 
terapia A, o tempo de conclusão de referida tarefa é, em média, 0,5 min 
inferior (relativamente à terapia B). Formule e teste as hipóteses de 
modo a averiguar se a psicológica tem razão. Com base no teste 
formulado, diga, considerando uma significância de 5%, se a psicóloga 
está correta ou não? 
R: Como os desvios populacionais são conhecidos, deve-se trabalhar 
com a distribuição normal padrão como distribuição amostral para o 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
8 
 
 
teste de hipóteses. 
Hipóteses: 
𝐻0: 𝜇𝐴 ≥ 𝜇𝐵 
𝐻1: 𝜇𝐴 < 𝜇𝐵 → 𝐴𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑠𝑖𝑐ó𝑙𝑜𝑔𝑎 
Teste unilateral à esquerda 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
((𝑋𝐴̅̅ ̅̅ − 𝑋𝐵̅̅ ̅̅ )− (𝜇𝐴−𝜇𝐵))
√𝜎
2𝐴
𝑛𝐴
+
𝜎2𝐵
𝑛𝐵
 = 
(7,3−7,5)−0
√0,9
2
9
+
0,92
11
 
𝒁𝒄𝒂𝒍𝒄 = −𝟏, 𝟐𝟐 
 
Z0,475=1,96 
Assim: como 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝑍𝑡𝑎𝑏, 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝑠𝑒𝐻0, ou seja, não há evidências 
para a afirmação da psicóloga. 
 
Exercício 12.Deseja-se verificar se a criação de determinado tipo de 
cooperativa está associada com algum fator regional. Coletados os 
dados relevantes, obtemos a tabela abaixo. 
Estado 
Tipo de Cooperativa 
Total Consumidor Produtor Escola Outros 
São 
Paulo 214 237 78 119 648 
Paraná 51 102 126 22 301 
Rio G. 
Sul 111 304 139 48 602 
Total 376 643 343 189 1551 
 
Com base nos dados acima, pode-se dizer que existe algum tipo de 
dependência entre o estado e o Tipo de Cooperativa? (Considere 5% 
de significância). 
Resposta: Hipótese da região 
𝐻0: independe da região 
𝐻1:depende da região 
𝐹𝑒 = 
(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎). (𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙
 
𝐹𝑒𝐶,𝑆𝑃 ≅ 157,09 𝐹𝑒𝐶,𝑃𝑅 ≅ 72,96 𝐹𝑒𝐶,𝑅𝑆 ≅ 145,93 
 
𝐹𝑒𝑃,𝑆𝑃 ≅ 268,64 𝐹𝑒𝑃,𝑃𝑅 ≅ 124,78𝐹𝑒𝑃,𝑅𝑆 ≅ 249,57 
𝐹𝑒𝐸,𝑆𝑃 ≅ 143,30 𝐹𝑒𝐸,𝑃𝑅 ≅ 66,56𝐹𝑒𝐸,𝑅𝑆 ≅ 123,13 
𝐹𝑒𝑂,𝑆𝑃 ≅157,09 𝐹𝑒𝑂,𝑃𝑅 ≅ 36,67𝐹𝑒𝑂,𝑅𝑆 ≅ 73,35 
 
Módulo4 
9 
 
 
𝑥2 = ∑
(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)2
𝑓𝑒
𝐾
𝑖=1
 
𝑥2 ≅ 173,31 
 Cálculo do GL: 
V= (h-1) (K-1) 
V= (3-1)(4-1)-6Gl 
a=5%=0,05 𝑥𝑡𝑎𝑏
2 ≅ 12,59 
 
Assim: Como 𝑥𝑐𝑎𝑙𝑐
2 > 𝑥𝑡𝑎𝑏
2 , rejeita-se 𝐻0. Ou seja, a criação da 
cooperativa DEPENDE da região. 
 
Exercício 13. De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-
se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a ida média de 800 horas e 
o desvio padrão de 100 horas. 
a- Qual o intervalo de confiança de 99% para avida média da 
população? 
Resposta: �̅� − 𝑍∝
𝑍
𝑠
√𝑛
≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑍∝
𝑍
𝑆
√𝑛
 
�̅� = 800 𝑆 = 100 𝑆0,005 = 2,58 n=400 
781,1≤ 𝜇 ≤ 812,9 
 
b- Com que confiançadir-se-ia que vida média é 800 ± 0,98? 
Resposta:𝑍∝
𝑍
𝑠
√𝑛
= 0,98 → 𝑍∝
𝑍
100
√400
= 0,98 → 𝑍∝
𝑍
= 0,196 
 
c- Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança 
na estimativa 800 ±7,84? 
Resposta: 𝑍0,025 = 1,96 ∴ 𝑍0,025
𝑆
√𝑛
= 7,84 → 𝜇 = 625 
 
 
Exercício 14. Um consultor verificou que as medidas obtidas em uma 
avaliação após um treinamento têm distribuição normal com uma média 
igual a 72 e desvio-padrão 5. Ele decide atribuir conceitos para seu 
treinamento tal que os melhores 15% recebem conceito A. Qual é a 
média mínima que o funcionário submetido ao treinamento precisa 
receber para obter um conceito A. 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
10 
 
 
Resposta:seja X’ a mínima média 
PX>= 𝑋′ + 15 
O z corresponde a 0,15 e 1,04, assim temos: 
1,04 = X’ – 72/5 
1,04 * 5= X’ 72 
5,2 = X’-72 
X’=77,2 
A média mínima que o funcionário submetido ao treinamento precisa 
receber para obter um conceito A é 77,2. 
 
Exercício 15. Uma pesquisa sobre a qualidade de certo produto foi 
realizada enviando-se questionários a donas-de-casa pelo correio. 
Aventando-se a possibilidade de que os respondentes voluntários 
tenham um particular viés estão indicados abaixo. Você acha que existe 
relação entre a resposta e o número de tentativas? Considere uma 
significância de 5%. 
Opinião sobre o produto 
Nº de donas-de-casa 
1º tentativa 2º tentativa 3º tentativa 
Excelente 62 36 12 
Satisfatório 84 42 14 
Insatisfatório 24 22 24 
Resposta: Para verificar a existência de dependência, ou não 
deve-se utilizar o teste qui-quadrado. 
𝑥𝑐
2 = ∑
(𝑡𝑜𝑖 − 𝑓𝑒𝑖)
2
𝑓𝑒𝑖
𝐾
𝑖=1
 
 Total 
 62 (58,4) 36 (34,4) 12(17,2) 110 
 84 (74,4) 42 (43,8) 14 (21,9) 140 
 24 (37,2) 22 (21,9) 24 (10,9) 70 
Total 170 100 50 320 
 
𝑥𝑐
2 = 26,3 → 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 < 0,005, 𝑜𝑢 𝑥𝑐;4
2 < 𝑥0,005;4
2 
Logo, há dependência entre a resposta e o nº de tentativas. 
𝑥0,005;4
2 = 9,49 < 𝑥𝑐
2 = 26,3 
 
 
 
Exercício 17. A associação de Imprensa do Estado de São Paulo fez um 
Módulo4 
11 
 
 
levantamento com 1300 leitores, para verificar se a referência por 
leitura de uma determinando jornal é independente do nível de instrução 
do indivíduo. Os resultados obtidos foram: 
Grupo de Instrução Jornal A Jornal B Jornal C Outros Total 
1º Grau 10 8 5 27 50 
2º Grau 90 162 125 73 450 
Universitário 200 250 220 130 800 
Total 80 420 350 250 1300 
 
a-Construa as hipóteses adequadas a esta situação. 
𝐻0= preferência de leitura de um determinado jorna, independente do 
nível de instrução do indivíduo; 
𝐻1= preferência de leitura de um determinado jorna, independente do 
nível de instrução do indivíduo; 
𝐸𝑖𝑗= 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑥 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙
 
 
Cálculos dos valores esperados sob H. 
 
Número esperado de leitores com 1º Grau de instrução. 
Jornal A =𝐸𝑖𝑗= 
50 𝑥 300
1𝑥300
→ 
15.000
1.300
 → 11,54 
Jornal B = 𝐸𝑖𝑗= 
50 𝑥 420
1𝑥300
→ 
21.000
1.300
 → 16,15 
Jornal C = 𝐸𝑖𝑗= 
50 𝑥 350
1𝑥300
→ 
17.500
1.300
 → 13,46 
Outros = 𝐸𝑖𝑗= 
50 𝑥 230
1𝑥300
→ 
11.500
1.300
 → 8,85 
 
Número esperado de leitores com 2º Grau de instrução. 
Jornal A =𝐸𝑖𝑗= 
450 𝑥 300
1𝑥300
→ 
135.000
1.300
 → 103,85 
Jornal B =𝐸𝑖𝑗= 
450 𝑥 420
1𝑥300
→ 
189.000
1.300
 → 145,38 
Jornal C =𝐸𝑖𝑗= 
450 𝑥 350
1𝑥300
→ 
157.000
1.300
 → 121,15 
Outros =𝐸𝑖𝑗= 
450 𝑥 230
1𝑥300
→ 
103.500
1.300
 → 79,61 
 
Número esperado de leitores com 2º InstruçãoUniversitário. 
Jornal A =𝐸𝑖𝑗= 
800 𝑥 300
1𝑥300
→ 
240.000
1.300
 → 184,61 
Jornal B =𝐸𝑖𝑗= 
800 𝑥 420
1𝑥300
→ 
336.000
1.300
 → 258,46 
Jornal C =𝐸𝑖𝑗= 
800 𝑥 350
1𝑥300
→ 
280.000
1.300
 → 215,38 
Outros =𝐸𝑖𝑗= 
800 𝑥 230
1𝑥300
→ 
184.000
1.300
 → 141,54 
 
b-Qual o número esperado de leitores do 2° Grau que leem o jornal B? 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
12 
 
 
𝐸𝑖𝑗= 
450 𝑥 420
1𝑥300
→ 
189.000
1.300
 → 145,38 
 
Resposta: O número esperado é de aproximadamente 146. 
 
c-Conclua sobre suas hipóteses apresentada no item (a) utilizado um 
nível de significância de 5%. 
𝑥2 = ∑
(𝑓𝑜𝑖 − 𝑓𝑒𝑖)
2
𝑓𝑒𝑖
𝐾
𝑖=1
 
x - nº de classes – frequência encontrada 
fo – frequência observado 
fe – frequência esperada 
 
𝑥2 =
(10−11,54)2
11,54
+ 
(8−16,15)2
16,15
+ 
(5−13,46)2
13,46
+
(27−8,85)2
8,85
+
(90−103,85)2
103,85
+
(162−145,38)2
145,38
+
(125−121,15)2
121,15
+
(73−79,62)2
79,62
+
(200−184,62)2
184,62
+
(250−258,46)2
258,46
+
(2200−215,38)2
215,38
+
(130−141,54)2
141,54→ 
𝑥2 =
2,37
11,54
+
66,42
16,15
+
71,57
13,46
+
333,06
8,85
+
191,82
103,85
+
276,22
145,38
+
14,82
121,15
+
43,82
79,62
+
236,54
184,62
+
71,57
258,46
+
21,34
215,38
+
133,17
141,54
→ 
𝑥2 = 0,21 + 4,11 + 5,32 + 37,22 + 1,85 + 1,90 + 0,12 + 0,55 + 1,28 + 0,10 + 0,94 → 
𝑥2 = 53,88 
 
GL= {
𝐺𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢çã𝑜 (𝑠) → 𝑠 = 3 (1º 𝐺𝑟𝑎𝑢 + 2º 𝐺𝑟𝑎𝑢 + 𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜)
 𝐺𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑙 (𝑟) → 𝑟 = 3 (𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑙𝐴 + 𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑙 𝐵 + 𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑙 𝐶)
} 
GL= Grau de liberdade (V) 
 
V= (r -1) . (s – 1) → 𝑉 = (4 − 1). (3 − 1) → 𝑉 = 3 . 2 → 𝑉 = 6 
 
Grau de significância (a ) = 5% 𝑥𝑡𝑎𝑏
2 = (5%; 6) = 12,5916 
 
 
 
Exercício 18. Um investidor dispões de certa importância em dinheiro 
para investir no momento. Três possibilidades alternativas de carteira 
estão disponíveis. Os lucros estimados para cada carteira, sob cada 
condição econômica, são indicados na tabela de remuneração: 
 
EVENTOS 
CARTEIRAS 
A B C 
Economia decresce $500 $-2.000,00 $-7.000,00 
Não há mudança $1.00,00 $2.000,00 $-1.000,00 
Economia cresce $2.00,00 $5.000,00 $20.000,00 
 
Com base em experiência passada, i investidor atribui as seguintes 
probabilidades para cada condição econômica: P (a economia decresce) 
Módulo4 
13 
 
 
= 0,30; P (não há mudanças) = 0,50; e P (a economia cresce) = 0,20. 
a- Determine a melhor seleção de carteiras para o investidor de 
acordo com o critério do valor monetário esperado. Discuta. 
 
 Impacto no custo 
Probabilidade A B C 
0.3 150 -600 -2100 
0.5 500 1000 -500 
0.2 400 1000 4000 
Soma 1050 1400 1400 
 
R: Tratando os lucros previstos como riscos, e usando o cálculo da 
Reserva de Contingência para os riscos (“probabilidade” vezes 
“lucro”), vemos que a carteira B é a mais segura. O cálculo mostra que 
ela apresenta o mesmo valor total de reserva que a carteira C, mas a 
carteira C apresenta maior risco de perda de dinheiro (80% versus 30% 
da carteira B). Além disso, a probabilidade de não haver mudanças é a 
maior dentre as três. 
 
b- Qual seria o efeito nos resultados se as probabilidades das 
condições econômicas fossem: 
 
a. 0,1; 0,6; 0,3? Carteira C parece mais atrativa, embora mais 
arriscada. Carteira B ainda seria a aposta mais segura (probabilidade de 
não haver mudanças é a maior). 
 
 
 Impacto no custo 
Probabilidade A B C 
0.1 50 -200 -700 
0.6 600 1200 -600 
0.3 600 1500 6000 
Soma 1250 2500 4700 
 
b. 0,1; 0,3; 0,6? Carteira C é a melhor aposta (probabilidade de a economia crescer é a maior). 
 
 Impacto no custo 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
14 
 
 
Probabilidade A B C 
0.1 50 -200 -700 
0.3 300 600 -300 
0.6 1200 3000 12000 
Soma 1550 3400 11000 
 
c. 0,4; 0,4; 0,2? Carteira A é a aposta mais segura, pois a 
probabilidade de decrescimento ou não haver mudanças é a mesma, e 
nesse cenário a carteira B apresenta maior probabilidade de perda de 
dinheiro que a A. 
 
 Impacto no custo 
Probabilidade A B C 
0.4 200 -800 -2800 
0.4 400 800 -400 
0.2 400 1000 4000 
Soma 1000 1000 800 
 
 
Exercício 19. Acredita-se que a proporção de pacientes que apresentam 
complicações após um tipo de cirurgia é de 5% enquanto que a 
proporção de pessoas que têm complicações após um segundo tipo de 
cirurgia é de 15%. Deseja-se fazer uma pesquisa com o intuito de 
comprovar estatisticamente que o primeiro tipo de cirurgia é mais 
eficiente que o segundo. Qual deve ser o tamanho da amostra para cada 
grupo de pacientes se deseja detectar, com um poder de 90%, que o 
segundo procedimento apresenta mais complicações do que o primeiro 
a um nível de significância de 5%? 
Resposta: 
p1proporção esperada para a cirurgia1= 5% = 0,05 
p2 proporção esperada para a cirurgia 2 = 15% = 0,15 
 
Pode o teste está associado a probabilidade de rejeitar Ho. 
Módulo4 
15 
 
 
 
 
 
R: O tamanho da amostra é 153. 
 
 
Exercício 20.O psicológico de uma indústria deseja testar se os tempos 
de resposta dos engenheiros para uma determinada situação de 
emergência. Foram feitos testes em três grupos distintos de 
engenheiros, com diferentes experiências. Os resultados destes testes 
encontram-se na tabela abaixo. 
Com base nos dados da tabela, podemos afirmar que há diferença entre 
os tempos médios de respostas dos grupos de engenheiros? 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
16 
 
 
Grupos Tempos de Resposta 
1 2 3 4 9 10 14 19 20 
2 1 6 8 15 16 17 21 22 
3 5 7 11 12 13 18 24 25 
 
Calcule, com base nas distribuições de frequência, os valores da 
variância, desvio padrão os tempos. 
Grupos Tempos de Resposta média desvpad variância 
1 2 3 4 9 10 14 19 20 10,125 7,03943 49,55357 
2 1 6 8 15 16 17 21 22 13,25 7,478541 55,92857 
3 5 7 1
1 
12 13 18 24 25 14,375 7,366672 54,26786 
Vamos fazer essa análise 2 a 2 (comparar os grupos 1 e 2, depois 1 e 3, 
e por fim 2 e 3), resolvendo de forma similar à questão 9. 
G1méd = 10,125 s1
2 = 7,03943 n1 = n2 = n3 = 8 
G2méd = 13,25 s2
2 = 7,478541 
Queremos saber se μ1 = μ2 (essa é a hipótese H0). 
Cálculo de s²: 
 
s² = [(8 - 1)*7,03943 + (8 - 1)*7,478541]/(8 + 8 - 2) 
s² = 7,258985 
Cálculo de t: 
 
t = (10,125 - 13,25)/raiz(s²*(1/8 + 1/8)) 
t = -0,86100… 
Consultando o t tabelado em Student, com 5% de significância e grau 
de liberdade gl = 14 (nx + ny - 2), temos: 
ttab = 2,144, que é maior que o módulo do tcalc, logo não se rejeita a 
hipótese H0. Ou seja, as médias muito provavelmente são iguais entre 
os grupos 1 e 2. 
------------------------ 
G1méd = 10,125 s1
2 = 7,03943 n1 = n2 = n3 = 8 
G3méd = 14,375 s3
2 = 7,366672 
Queremos saber se μ1 = μ3 (essa é a hipótese H0). 
Cálculo de s²: 
Módulo4 
17 
 
 
s² = 7,203051 
Cálculo de t: 
t = -1,18005… 
Consultando o t tabelado em Student, com 5% de significância e grau 
de liberdade gl = 14 (nx + ny - 2), temos: 
ttab = 2,144, que é maior que o módulo do tcalc, logo não se rejeita a 
hipótese H0. Ou seja, as médias muito provavelmente são iguais entre 
os grupos 1 e 3. 
-------------- 
Não é necessário fazer uma terceira análise, uma vez que o resultado 
das duas primeiras mostra que as médias são iguais entre os dois pares 
de grupos já escolhidos. 
 
Exercício 21. Os tempos de vida de lâmpada de 75w são conhecidos 
por serem normalmente distribuídos com desvio padrão de 25 horas. 
Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas foi sorteada e testada, obtendo-
se uma média amostra de 1014 horas. Com essas informações: (a) 
construa um intervalo bilateral de 95% de confiança para a vida média. 
R: Desvio Padrão = 25 
Tamanho amostra = 25 
Média =1014 
*amostra pequena (n< 3) 
*não conheça a variância 
Utiliza a tabela t 
1-a= 0,95 ∝ = 0,05 →
∝
2
= 0,025 
GL= n-1 
GL= 25-1 
GL= 24 
Usando a tabela T de Student, t
∝
2
 com 24gl t
∝
2
= 2,604 
E=t
∝
2
 .
𝑆
√𝑛
→ 𝑒 = 2,064 .
25
√25
 
𝑃(�̅� – e < 𝜇 < �̅� + 𝑒) = (1−∝) 
P(1014 – 10,32 < 𝜇 < 1014 +10,32)= 0,95 
P (1.003,64 < 𝜇 < 1.024,32) = 0,95 
 
(b) determine um limite inferior de 95% de confiança para avida média. 
Se o nível de confiança e 95%, então ∝= 5%. 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
18 
 
 
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑍, 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑍
∝
2 
 𝑒𝑍
∝
2 
= 1,96 
Podemos fazer o limite inferior como LI= 1014 – (𝑍
∝
2 
) .
∝
√𝑛
→ 1014 −
(1,96.5) = 1014 − 9,8 
LI= 1,004,2 
 
Exercício 22. Uma máquina automática para encher pacotes de café 
enche-os segundo uma distribuição normal, com média 𝜇 e variância 
sempre igual a 400𝑔2. A máquina foi reguada para 𝜇 = 500𝑔. 
Desejamos, periodicamente, colher uma amostra de 16 pacotes e 
verificar se a produção está sob controle, isto é, se 𝜇 = 500𝑔 ou não. 
Se uma dessas amostras apresentasse uma média x=402g, você pararia 
ou não a produção para regular a máquina? 
Resposta: 
𝜇 = 500𝑔 n= 16�̅�= 492g𝑆2= 400 𝜎= 20 
{
𝐻0: 𝜇 = 500(ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑛𝑢𝑙𝑎 
𝐻1: 𝜇 ≠ 500 (ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
} 
Como o desvio padrão (𝜎) é conhecido e a variância é a mesma. Logo 
trata-se de uma distribuição normal. 
 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐= 
�̅̅̅�−𝜇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
𝜎
√𝑛
→ 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐= 
492−500̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
20
√16
→ −
8
5
→ −1,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z tab= Z 0,5−Z 0,05 ⇒Z tab= Z 495 ⇒Z tab± 2,57 
Sendo: −Z tab<Z cal< +Ztab 
RegiãodeAceitação 
−2,57 < −1,6 < +2,57 
Considerando 99% de certeza, pode-se afirmar que a produção está sob 
controle (𝜇 = 500𝑔 ), logo não será necessário para realização de 
 
, 0 5 0,005 0,495 
 
2 
0,005 
2 
0,005 1 99 0 , 
 Zcalc -2,57-1,6 0 2,57 
Z 
calc 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Aceitação 
x x 
Módulo4 
19 
 
 
regulagem no maquinário. 
 Exercício 23.uma pesquisa foi conduzida a fim de estudar a 
variabilidade de respostas fisiológicas do filo plâncton marinho no 
litoral sul de São Paulo. Diversas variáveis foram investigadas em 
amostras de água na condição natural e submetidas a quatro situações 
experimentais definidas de acordo coma a luminosidade ambiental 
(30% e 100%) e a condição de água (N= com nutrientes e SN= sem 
nutrientes). Os dados da tabela refere-se a medidas da clorofila a 
(mg/m3). Pode-se dizer que existe diferença entre as condições às quais 
a água foi submedida?Caso se identifique, via ANOVA, que existe 
diferença entre os tratamentos, calcule o intervalo de confiança de 95% 
para as médias de cada um dos tratamentos. Com base nesses intervalos 
de confiança, quais seriam os tratamentos que poderiam ser 
considerados iguais? 
30% SN 30% N 100% SN 100% N 
6,2 12,7 7 8,3 
4,8 11,3 4,4 7,1 
3 9,3 3,8 11,7 
5,6 9,5 5 10 
7,1 11,7 5,5 8,5 
4,8 15,3 3,2 12,4 
 
30% SN – 31,5 30% N – 69,8 100% SN – 28,9 100% N – 58= 183,2 
R= 6 t=4 
Hipótese nula H0→não existe diferença entre os tratamentos. 
Hipótese alternativa H1→há diferença entre os tratamentos. 
 (6,2)² = 38,44 (12,7)² = 161,29 (7,0)² = 49 (8,3)² = 68,89 
 (4,8)² = 23,04 (11,3)² = 127,89 (4,4)² = 19,36 (7,1)² = 50,41 
 (3,0)² = 9,00 (9,3)² = 86,49 (3,8)² = 14,44 (11,7)² = 136,89 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
20 
 
 
 (5,6)² = 31,36 ( 9,5)² = 90,25 (5,0)² = 25,0 (10,0)² = 100,0 
 (7,1)² = 50,41 (11,7)² = 138,89 (5,5)² = 30,35 (8,5)² = 72,25 
 (4,8)² = 23,04 (15,3)² = 234,09 (3,2)² = 10,24 (12,4)² = 153,76 
 175,29 836,7 148,28 582,20 
 Total: 1.742,78 
 
SQ total= 1.742,48 -
(188,2)²
24
= 266,68 
SQ Ente = ∑
𝑇2
𝑦
𝑡
𝑖=1 − 𝐶 
SQ Ente = 
1
6
(31,5²+69,8² + 28,9² + 58²) – (
188,2²
24
) → 𝑆𝑄 𝐸𝑛𝑡𝑒 =
 
1
6
(992,25 + 4.872,04 + 835,21 + 3.364 → 𝑆𝑄 𝐸𝑛𝑡𝑒 = (
1
6
 . 10.063,5) – 
1.475,801 →SQ Ente = 1.677,25 -1.475,80 →201,45 
SQ Dento= SQ Total – SQ Ente 
SQ dento= 266,68 – 201,45 → 65,23 
 FV SL SQ QM 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 Sig 
 Ente 3 201,45 67,15 20,58 0,05 
 Dento 20 65,23 3.2615 
 Total 23 266,68 
 
𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄 = 20,58 
𝐹𝑡𝑎𝑏 = (0,05; 𝑉1 = 3; 𝑉2 = 20) = 3,098 
Existe diferença significante ente, pois o 𝐹𝑡𝑎𝑡 <
𝐹𝑐𝑎𝑙 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝐹𝑐𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑖𝑎 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖çã𝑜. 
Módulo4 
21 
 
 
Exercício 24. Para verificar se duas dietas para emagrecer são 
igualmente eficazes, um médico, do SUS, separou ao acaso um 
conjunto de pacientes em dois grupos. Cada paciente seguiu a dieta 
designada para o seu grupo durante 4 meses. O médico registrou a perda 
de peso em Kg de cada paciente por grupo. Os dados estão apresentados 
no quadro a seguir: 
Resultados Dieta 1 Resultados Dieta 1 
10 2 
5 1 
6 7 
3 4 
9 4 
8 5 
7 2 
5 5 
6 3 
5 4 
GRUPO 1 ( DIETA 1 ). GRUPO 2 ( DIETA 2 ). 
 
3 5 5 5 6 
6 7 8 9 10 
 
 
1 2 2 3 4 
4 4 5 5 7 
 
n1=10 Elementos n2 =10 Elementos 
Resultados Resultados 
Dieta 1 fi Xi .Fi ( Xi – X )² . Fi Dieta 2 fi Xi .Fi ( Xi – X )² . Fi 
3 1 3 ( 3-6,4 )2.1 = 
11,56 
 1 1 1 ( 1-3,7 )².1 = 7,29 
5 3 15 ( 5-6,4 )2.3 = 5,88 2 2 4 ( 2-3,7 )².2 = 5,78 
6 2 12 ( 6-6,4 )2.2 = 0,32 3 1 3 ( 3-3,7 )².1 = 0,49 
7 1 7 ( 7-6,4 )2.1 = 0,36 4 3 12 ( 4-3,7 )².3 = 0,27 
8 1 8 ( 8-6,4 )2.1 = 2,56 5 2 10 ( 5-3,7 )².2 = 3,38 
9 1 9 ( 9-6,4 )2.1 = 6,76 7 1 7 ( 7-3,7 )².1 = 
10,89 
10 1 10 ( 10-6,4 )2.1 = 
12,96 
 
 10 64 40,40 10 37 28,10 
Dieta 1 
Média 
�̅�= 
∑ 𝑥𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖=1
∑ 𝑓𝑖𝑖=1
 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
22 
 
 
�̅�=
(10+15+12+3+9+8+7)
(1+3+2+1+1+1+1)
→
64
10
→ 𝑋1 = 6,4 
Variância 
𝑆2=
∑ (𝑥𝑖 �̅�𝑖)2.𝑓𝑖𝑛𝑖=1
(𝑛−1)
 
𝑆2= 
(3−6,4)2.1+(15−6,4)2.3+(12−6,4)2.2+(7−6,4)2.1+(8−6,4)2.1+(9−6,4)2.1+(10−6,4)2.1 
(10−1)
 
𝑆2=
40,40
9
→ 𝑆2=4,49 
Desvio Padrão 
𝜎 = √𝑆2 → √4,49 ≅ 2,12 
 
Dieta 2 
Média 
�̅�= 
∑ 𝑥𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖=1
∑ 𝑓𝑖𝑖=1
 
�̅�=
(1+4+3+12+110+7)
(1+2+1+3+2+1)
→
37
10
→ 𝑋1 = 3,7 
Variância 
𝑆2=
∑ (𝑥𝑖 �̅�𝑖)2.𝑓𝑖𝑛𝑖=1
(𝑛−1)
 
𝑆2= 
(1−3,7)2.1+(4−3,7)2.2+(3−3,7)2.1+(12−3,7)2.3+(10−3,7)2.3+(10−3,7)2.2+(7−3,7)2.1 
(10−1)
 
𝑆2=
28,10
9
→ 𝑆2=3,12 
Desvio Padrão 
𝜎 = √𝑆2 → √3,12 ≅ 1,77 
Teste se as variâncias populacionais são guais: 
Ho: ⇒Hipótese Nula 
H ⇒Hipótese Alternativa 
 
Módulo4 
23 
 
 
F=
𝑆1
2
𝜎1
2
𝑆2
2
𝜎2
2
→ 𝐹 =
𝑆1
2
𝜎1
2 .
𝑆2
2
𝜎2
2 →para hipótese de 𝜎2
1 = 𝜎2
2 𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠: 
F=
𝑆1
2
𝜎1
2 .
𝑆2
2
𝜎2
2 → 𝐹 =
𝑆1
2
𝑆1
2 → 𝐹 =
4,49
3,12
→ 𝐹 ≅ 1,439 
Sendo F=1,439 (calculado), encontrar o valor de F=? (tabela) da seguinte 
forma? α = 5% ( nível de significância ), ou α = 0,05. 
GL ( Grau de liberdade ) 1 ( numerador) GL1 = n1 - 1 
GL ( Grau de liberdade ) 2 ( numerador) GL1 = n2 - 1 
n1=10 GL1=10−1 GL1 = 9 
{
𝑛1 = 10 𝐺𝐿1 = 10 − 1 𝐺𝐿1 = 9
𝑛2 = 10 𝐺𝐿2 = 10 − 1 𝐺𝐿2 = 9
} 
Consultando a tabela f – fisher ( 5% ) chegamos a 3,179 
 
 
 
 
 
 
 Sendo Fcalc = 1,439 
<Ftab= 1,739, considerando que Fcalcémenor que F tabencontra-se na 
região de aceitação, logo σ12 = σ22onde as variâncias são iguais, ou seja 
com 95% de certeza, pode- se dizer que a variância do grupo 1 é 
estatisticamente igual a do grupo 2. 
Usando uma nova hipótese: 
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 → 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝜇1 = 𝜇2 
(sP) – Desvio Padrão Ponderado 
sP=
(𝑛1−1).𝑆1
2+ (𝑛2−1).𝑆2
2
𝑛1+𝑛2−2
→ 𝑠𝑃 = 
(10−1).4.49+(10−1).3,12
10+10−2
→ 𝑠𝑃 = √
19.449.(9.3.12)
28
→ 𝑠𝑃 = √
40,41+28,08
28
→
𝑠𝑃 = √
68,49
28
→ 𝑠𝑃 = √3,805 → 𝑠𝑃 ≅ 1,951 
𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
(𝑋1̅̅ ̅ − 𝑋2̅̅ ̅) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑠𝑃. √
1
𝑛1
+
1
𝑛2
→ 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
(6,4 − 3,7). 0
1,95. √
1
10
+
1
10
 → 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 =
2,7
1,95. √0.2
→ 
 
 
2 
0,025 2 
0,025 
 -3 ,179 0 1,439 3,179 F ( tabela ) 
 Rejeição Rejeição 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Aceitação 
x x 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
24 
 
 
𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 =
2,7
1,95.0,447
→ 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 ≅ 3,096 
Onde V é o número de graus em liberdade 
V= n1+n2−2⇒V= 10+10−2 ⇒V=18 
 
 
 
Sendo Tcalc( 3,096 ) >Ttab ( 2,101 ) Região de rejeição de H0. 
Conclui-se que, com 95% de certeza, pode-se afirmar que a que a perda 
de peso médio dos dois grupos foram diferentes, portanto uma das 
dietas foi mais eficaz que a outra. 
Exercício 25. A Nielsen Media Research relatou que o tempo médio 
que as famílias passam assistindo televisão, no período de 20h às 23h, 
é de 8,5 horas por semana. Dado um tamanho de amostra de 300 
famílias e um desvio-padrão σ da população igual a 3,5 horas, qual é a 
estimação por intervalo de confiança de 95% da média de tempo que as 
pessoas assistem a televisão durante o período das 8h as 11h da noite? 
Resposta. 
Amostra - 300 Tempo médio período de 8 a 11 
horas x=8,5 
Desvio padrão ( 
σ ) - 3,5 
Z ( α/2 ) = 1,96 
Intervalo da coeficiência da 
estimação = 95% 
 
�̅� ± 𝑒→ �̅� ±
𝑍 (
𝑎
2
) . 𝜎
√𝑁
→ 8,5 ±
1,96.3,5
√300
 → 
Li= 8,5 −
1,96.3,5
√300
→ 8,5 −
6,86
17,32
→ 8,5 − 0,4 → 8,1 
Li= 8,5 +
1,96.3,5
√300
→ 8,5 +
6,86
17,32
→ 8,5 + 0,4 → 8,9 
e= ±
1,96.35
√300
→ 𝑒 = ±0,3961 
P(�̅� − 𝑒 < 𝜇 < �̅� + 𝑒) = 1 − 𝑎 
P(8,5 − 0,396 < 𝜇 < 8,5 + 0,3961) = 0,95 
P(8,1039 < 𝜇 < 8,8961) = 0,95 
 
0,025 
 -2 ,101 0 2,101 3,096 
0,025 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Aceitação 
x x 
Buscando o t na tabela ao nível de probabilidade 
T 
tab T 18 
 2 
 2,101 
Módulo4 
25 
 
 
P(𝟖, 𝟏 < 𝝁 < 𝟖, 𝟗) = 𝟎, 𝟗𝟓 
 
 
Exercício 26. Dados dos salários anuais mais bonificações recebidas 
pelos CEOs das empresas são publicadas na AnnualPaySurvey 
(Pesquisa de Salarios Anuais) da revista Business Week. Uma amostra 
preliminar revelou que o desvio padrão é igual a US$ 675, sendo os 
dados fornecidos em milhares de dólares. Quantos CEOs devem estar 
contidos em uma amostra se quisermos obter uma estimativa da média 
populacional dos salários anuais mais bonificações, com uma margem 
de erro de US$ 100 mil? (nota: a margem de erro desejada seria E = 100 
se os dados forem expressos em milhares de dólares). Use 95% de 
confiança. 
Resposta. 
Desvio padrão ( σ)= 675 Confiança = 95% 0,95 
e = 100 0,5 − 0,025 = 0,475 ⇒Tab Z(α/2) = 1,96 
N = ? 
e= Z ( α/2 ) .
𝜎
√𝑁
=1,96 → 100 = 1,96.
675
√𝑁
→ 100√𝑁 = 1,96𝑥675 → 
100√𝑁 = 1.323 → √𝑁 = 
1.323
100
 → √𝑁= 13,23 → 𝑁 = 175,03 → 𝑁 = 175,03 
 
R: O número de CEOs que devem estar contidos na amostra é 175. 
 
 
Exercício 27. Um instrutor tem duas turmas, A e B, para determinada 
disciplina. A turma A tem 16 estudantes e a turma B tem 25 estudantes. 
Em um mesmo exame, embora não tivesse havido diferença 
significativa entre as notas médias, a turma A acusou desvio padrão de 
9, enquanto que , para a turma B, o desvio padrão foi de 12. Podemos 
concluir que a variabilidade da turma B eja maior do que a variabilidade 
da turma , ao nível de significância: 
𝐺𝐿𝐴 → 16 − 1 → 15𝑁𝐴 → 16𝜎 → 9 
𝐺𝐿𝐵 → 25 − 1 → 24𝑁𝐴 → 25𝜎 → 12 
a- 0,01; 
Ho: 𝜎𝐴
2 
𝐻1: 𝜎𝐵
2 Teste unilateral a direita 
𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐=
𝑆𝐵
2
𝜎𝐵
2 .
𝑆𝐴
2
𝜎𝐴
2 → 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝐻0 = 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑆𝐵
2
𝑆𝐴
2 →
(12)2
(9)2
→≅ 1,78 
𝐹𝑡𝑎𝑏 = (𝐺𝐿𝐵; 𝐺𝐿𝐴)) → 𝐹(24;15)
𝑎=0,01 = (𝐺𝐿𝐵; 𝐺𝐿𝐴)) → 𝐹(24;15)
𝑎=0,01 → 𝐹𝑡𝑎𝑏 = 2,889 
𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝐹𝑡𝑎𝑏 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐻0 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
26 
 
 
 
Resposta: Com 99% de certeza pode-se afirmar que a variância da 
turma A é estatisticamente igual a variância da turma B, portanto, não 
há variabilidade. 
b- 0,05; 
Ho: 𝜎𝐴
2= 𝜎𝐵
2 
𝐻1: 𝜎𝐵
2 > 𝜎𝐴
2 Teste unilateral a direita 
 
𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐=
𝑆𝐵
2
𝜎𝐵
2 .
𝑆𝐴
2
𝜎𝐴
2 → 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝐻0 = 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑆𝐵
2
𝑆𝐴
2 →
(12)2
(9)2
→≅ 1,78 
𝐹𝑡𝑎𝑏 = (𝐺𝐿𝐵; 𝐺𝐿𝐴)) → 𝐹(24;15)
𝑎=0,01 = (𝐺𝐿𝐵; 𝐺𝐿𝐴)) → 𝐹(24;15)
𝑎=0,01 → 𝐹𝑡𝑎𝑏 = 2,018 
𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝐹𝑡𝑎𝑏 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐻0 
 
Resposta: Com 95% de certeza pode-se afirmar que a variância da 
turma A é estatisticamente igual a variância da turma B, portanto, não 
há variabilidade. 
 
Exercício 28.Dois grupos A e B consistem, cada um, de 100 indivíduos 
portadores de determinada enfermidade. Aplica-se um soro ao grupo A, 
mas não ao grupo B(aqui chamado de grupo controle). Fora isso, os dois 
grupos são tratados de maneira idêntica. Contrata-se que, nos grupos A 
e B, 73% e 65%, respectivamente, se curam da enfermidade. Teste a 
hipótese de que o soro é eficiente, ao nível de significância de 0,01. 
Grupo A 
𝑛𝐴 = 100 
𝑃𝐴 = 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣í𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑜𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑠𝑜𝑟𝑜. 
�̂� = 73% ∶ 100 = 0,73 
�̂�𝐴 = 1 − �̂�𝐴 = 1 − 0,73 = 0,27 
Grupo B 
𝑛𝐵 = 100 
𝑃𝐵 = 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣í𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑜𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑠𝑜𝑟𝑜. 
�̂�𝐵 = 65% ∶ 100 = 0,65 
�̂�𝐵 = 1 − �̂�𝐴 = 1 − 0,65 = 0,35 
 
�̂�𝐴𝑒 �̂�𝐵 𝑐𝑜𝑟𝑒𝑒𝑠𝑝𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑎𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝐴 𝑒 𝐵; 
𝑃𝐴 𝑒 𝑃𝐵 𝑐𝑜𝑟𝑒𝑒𝑠𝑝𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑎𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝐴 𝑒 𝐵; 
�̂�𝐴 𝑒 �̂�𝐵 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, �̂�𝐴 = 1 − �̂�𝐴 𝑒 �̂�𝐵 = 1 − �̂�𝐵 . 
 
𝐻0: 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 𝑜 𝑠𝑜𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑖 𝑖𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 
𝐻1 > 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 𝑜 𝑠𝑜𝑟𝑜 é 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
(�̂�𝐴 − �̂�𝐵) − (𝑃𝐴 − 𝑃𝐵)
(�̂�𝐴−�̂�𝐵)
𝑛𝐴
+
(�̂�𝐵−�̂�𝐵)
𝑛𝐵
→
(0,73 − 0,65) − 0
√
(0,73 .0,27)
100
+
(0,65 .0,35)
100
→
0.08
√0,001971 + 0,002275
→
0,08
√0,004246
→
0.08
0,0652
≅ 1,23 
Testando a hipótese de que o soro é eficiente ao nível de significância 
de 0,01 (∝= 0,01), temos: 1-∝= 0,99 → 0,50 − 0,01 →
Módulo4 
27 
 
 
0,49 𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑍𝑡𝑎𝑏 = 2,33. 
Como 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 = 1,23 < 𝑍𝑡𝑎𝑏 =
2,33, 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑜 𝐻0 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑐𝑜𝑚 99% 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑠𝑜𝑟𝑜 𝑛ã𝑜 𝑓𝑜𝑖 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧. 
 
 
Exercício 29. Uma parte importante das responsabilidades do 
atendimento de um setor público diz respeito à velocidade com que os 
processos são processados. Suponha que uma variável importante do 
atendimento ao público se refira ao fato de a pessoa encarregada do 
registro dos processos realizar sua tarefa no prazo de 2h. Dados 
anteriores indicam que há uma probabilidade de 0,60 de que a pessoa 
encarregada conclua o processamento em 2h. 
a) Se for selecionada uma amostra de cinco atendimentos, qual é a 
probabilidade de que a pessoa encarregada pelo processamento: 
n = 5 p = 0,6 q = 1 – p →q = 1-0,60 q = 0,40 
a.Qual o número esperado de processos que serão realizados no período de duas horas cada? 
x = n⋅ p ⇒x = 5⋅0,6 ⇒�̅� = 3 
p(x) = 
𝑛!
x!(n−x)! 
⋅𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥⇒ p(3) = 
5!
3!(5−3)!
⋅ 0,63⋅ 0,45−3⇒ 
p(3) = 
5𝑥 42𝑥3!
3!(2)!
⋅0,216 ⋅0,16 ⇒ p(3) = 10⋅0,216 ⋅0,16 ⇒ p(3)= 0,3456 ⇒ p(3) = 34,56% 
b. Em todos os cinco casos realizará o processamento em 2h? 
p(x) = 
𝑛!
x!(n−x)! 
⋅𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥⇒ p(x=5) = 
5!
5!(5−5)!
⋅ 0,65⋅ 0,45−5⇒ 
p(x=5) = 1⋅0,0778 .1⇒ p(x=5)= 0,0778 ⇒ p(x=5)= 7,78% 
 
c. Em pelo menos três casos realizará o processamento em 2h? 
p(x≥ 3) = [𝑝(3) + 𝑝(4) + 𝑝(5)] 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝(𝑥) =p(x) = 
𝑛!
x!(n−x)! 
⋅𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥 
p(3) = 
𝑛!
x!(n−x)! 
⋅𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥⇒ p(3) = 
5!
3!(5−3)!
⋅ 0,63⋅ 0,45−3⇒ 
p(3) = 
5𝑥 42𝑥3!
3!(2)!
⋅0,216 ⋅0,16 ⇒ p(3) = 10 ⋅ 0,216 ⋅ 0,16 ⇒ p(3)= 0,3456 ⇒ p(3) = 34,56% 
 
p(4) = 
𝑛!
x!(n−x)! 
⋅𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥⇒ p(4) = 
5!
4!(5−4)!
⋅ 0,64⋅ 0,45−4⇒ 
p(4) = 
5𝑥 4!
4!(1)!
⋅ 0,1296 ⋅1⇒ p(4) = 5⋅ 0,1296 ⋅ 0,4⇒ p(4)= 0,2592⇒ p(3) = 25,92% 
p(5)= 7,78% 
p(x ≥ 3) = [p(3)+p(4)+p(5)] 
p(x ≥ 3) = (34,56+25,92+7,78) ⇒p(x ≥ 3) = 68,26% 
 
 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
28 
 
 
Exercício 30. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 
processos aleatoriamente de um lote muito grande de processos para 
arquivamento. Sabe-se que, em geral, 20% dos processos apresentam 
algum tipo de irregularidade. 
10 processos aleatórios com margem de 20% irregulares. 
n=10 p=0,2 q=0,8 
P(n=x)= 𝐶𝑛
𝑥. 𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥 
a)Qual a probabilidade de que não mais do que 2 processos extraídos 
estejam irregulares? 
P(x≤ 2) = 𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) 
P(0)= 
10!
0!(10−0)!
. 0, 20. 0,810−0 → 𝑝(0) = 1 .1 . 0,1074 → 𝑝(0) = 10,74% 
P(1)= 
10!
1!(10−1)!
. 0, 21. 0,810−1 → 𝑝(1) = 10 .0,2 . 0,1364 → 𝑝(1) = 0,2684 → 𝑝(1) = 26,84% 
P(2)=
10!
2!(10−2)!
. 0, 22. 0,810−2 → 𝑝(2) =
105.9 .8!
2!8!
. 0,04 . 0,1678 → 𝑝(2) = 45 . 0,04 . 0,1678 →
𝑝(2) = 0,3020 → 𝑝(2) = 30,20% 
P(x≤ 2) = 10,74 + 26,84 + 30,20 → P(x ≤ 2) = 67,78 
 
b) Qual a probabilidade de todos os processos estarem regulares? 
P(x)= 
𝑛!
𝑥!(𝑛−𝑥)!
. 𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥 → 𝑝(𝑥 = 0) =
10!
0!(10−0)!
. 0, 20. 0,810−0 → 𝑝(0) = 1 .1 . 0,1074 → 𝑝(0) = 10,74%c) Qual o valor esperado de processos irregulares? E qual o desvio padrão? 
�̅� = n⋅p⇒�̅�= 0,2⋅10 ⇒�̅� = 2 
Desvio padrão(σ) ⇒ s = √𝑛. 𝑝. 𝑞 → 𝑠 = √10 . 0,2 . 0,8 → 𝑠 = √1,6 → 𝑠 = 1,2649 
 
Exercício 31. Uma parte importante das responsabilidades do 
atendimento de um setor público diz respeito à velocidade com que os 
processos são processados. Suponha que uma variável importante do 
atendimento ao público se refira ao fato de a pessoa encarregada do 
registro dos processos realizar sua tarefa no prazo de 2h. Dados 
anteriores indicam que há uma probabilidade de 0,60 de que a pessoa 
encarregada conclua o processamento em 2h. 
 
a) Se for selecionada uma amostra de cinco atendimentos, qual é a 
probabilidade de que a pessoa encarregada pelo processamento: 
a. Qual o número esperado de processos que serão realizados no 
período de duas horas cada? 
Módulo4 
29 
 
 
 
E(X) = N . P 
E(X) = 5 . 0,6 = 3 
 
b. Em todos os cinco casos realizará o processamento em 2h? 
 P(X = 5): (5!/5!0!)*(0,6^5)*(0,4^0) = 0,07776 
 
c. Em pelo menos três casos realizará o processamento em 2h? 
 P(X = 3): (5!/3!2!)*(0,6^3)*(0,4^2) = 0,3456 
 
Exercício 32. Quando um poluente é descarregado continuamente num 
rio, por experiências pretéritas, sabe-se que o número esperado de 
excessos aos padrões regulatórios, referentes à qualidade da água, é 
tratado por meio de uma distribuição de Poisson com taxa de 8 excessos 
por mês. Com base nestas informações, determine o número esperado 
de excessos em uma semana, em 15 dias e em 1 mês? Faça um gráfico 
contemplando estas probabilidades e discuta a sua simetria relativa. 
Determine qual a probabilidade de se ter 2 ou mais excessos em 1 
semana, em 2 semanas e em um mês. 
 
 Nessa distribuição de Poisson, λ = 8 excessos/mês. Considerando 1 mês = 30 dias e 1 
semana = 7 dias, temos que o valor esperado para uma semana é: 
 (1 semana) λ*7/30 = 1,8666… excessos 
 (15 dias) λ*½ = 4 excessos 
 (1 mês) λ = 8 excessos 
 Para calcular as probabilidades, temos que saber que: 
P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) 
Para 1 semana, λ = 1,8666… = 28/15, logo: 
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - e-λλ0/0! - e-λλ1/1! = 
= 1 - e-28/15(28/15)0/0! - e-28/15(28/15)1/1! = 0,5567 
Para 2 semanas, aproximando para 15 dias, λ = 4, logo: 
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - e-λλ0/0! - e-λλ1/1! = 1 - e-440/0! - e-441/1! = 0,9084 
Para 1 mês, λ = 8, logo: 
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - e-λλ0/0! - e-λλ1/1! = 1 - e-880/0! - e-881/1! = 0,9969 
 
Exercício 33. De acordo com os dados da tabela abaixo, verifique quais 
fontes de geração de energia (quadrilhões de BTU) mais estão 
correlacionadas linearmente com o aumento de liberação de CO2 na 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
30 
 
 
atmosfera (MM m3). Justifique estatisticamente suas conclusões. 
 
 
 CO2 
 Ano (MM m3) Carvão Gás Natural Hidro 
 
 1986 1,385 19,509 16,541 3,071 
 1987 1,436 20,141 17,136 2,635 
 1988 1,515 20,738 17,599 2,334 
 1989 1,541 21,346 17,847 2,839 
 1990 1,474 22,456 18,362 2,997 
 1991 1,494 21,594 18,229 2,961 
 1992 1,527 21,629 18,375 2,575 
 1993 1,527 20,249 18,584 2,851 
 1994 1,663 22,111 19,348 2,650 
 1995 1,694 22,029 19,101 3,181 
 
 
O gráfico acima mostra o desenvolvimento dos números da tabela, ao 
longo dos anos citados. Apenas ao observar as inclinações das três 
linhas superiores (a mudança de coeficiente angular), ano após ano, 
verifica-se que a curva laranja (gás natural) mais se aproxima com a 
verde (emissão de CO2), embora a curva de crescimento da linha verde 
não seja tão aparente a olho nu. 
Módulo4 
31 
 
 
 
Fazendo outro gráfico (o mostrado acima), com a variação entre anos, 
podemos ter uma noção melhor da correlação linear. O gráfico foi 
montado assim: 
%crescimento de 1986 a 1987 = [N(1987) - N(1986)] / N(1986) 
Assim, esse gráfico mostra o crescimento (ou decrescimento) 
percentual, ano a ano, de cada variável. Podemos observar, por 
exemplo, como a energia Hidro (linha azul) tem a menor correlação 
com a emissão de CO2 (linha verde). Logo, em ordem decrescente, as 
fontes de geração de energia estão correlacionadas linearmente com a 
emissão de CO2 assim: 
Gás Natural > Carvão > Hidro 
De fato, usando o Coeficiente de Correlação de Pearson para os três 
pares r(x,y), temos: 
 
r(CO2, Gás Natural) = 0,8710 | r(CO2, Carvão) = 0,6405 | r(CO2, Hidro) 
= 0,0470 
O coeficiente r é sempre um número entre -1 e 1. Quanto mais próximo 
de 1 ou de -1, mais correlatas são as séries, e quanto mais próximo de 
0, menos correlatas. Os coeficientes comprovam, estatisticamente, o 
que analisamos a olho nu. 
 
Exercício 33. Para examinar os efeitos do ambiente de trabalho na 
iniciativa em relação ao trabalho, um psicólogo que atua em indústrias 
escolhe aleatoriamente em grupo de 18 treinandos de vendas, recém-
contratados, para três cômodos da casa – seis treinandos por cômodo. 
Todos os cômodos são idênticos exceto quanto à cor das paredes. Um é 
verde-claro, o outro é azul-claro e o terceiro é vermelho-escuro. 
Durante o programa de treinamento, com duração de uma semana, os 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
32 
 
 
treinandos permanecem em seus respectivos cômodos. Ao final do 
programa, é utilizada uma escala de atitudes para medir a iniciativa de 
cada treinando em relação ao trabalho. São obtidos os seguintes dados: 
Verde-Claro Azul- Claro Vermelho-Escuro 
46 59 34 
51 54 29 
48 47 43 
42 55 40 
58 49 45 
50 44 34 
 
Considerando que as premissas de normalidade e de homogeneidade 
das variâncias foram atendidas, verifique se as cores dos cômodos têm 
influência na iniciativa em relação ao trabalho. Considere uma 
significância de 5%. 
Temos 18 pares (x,y), onde x é a iniciativa e y é a cor (1 para verde-
claro, 2 para azul-claro e 3 para vermelho-escuro). Calculando o 
coeficiente de correlação de Pearson, para saber se há alguma 
correlação linear entre essas amostras, temos: 
 
r(grau de iniciativa, cor da sala) = -0,59433. Ou seja, há um grau de 
correlação linear entre as duas variáveis. 
Precisamos fazer um teste de hipóteses para saber se há mesmo uma 
correlação na população, visto que há uma correlação na amostra. 
H0: p = 0 (não há relacionamento na população), H0: p ≠0 (há 
relacionamento) 
Nosso r é r = -0,59433. A distribuição amostral de r, simétrica em torno 
de “0”, caso p = 0, será: 
t = r/√[(1 - r2)/(n - 2)] = -2,95582 | n = 18 (número de pares) 
Consultando a tabela t de Student, para um teste bilateral com 5% de 
significância e grau de liberdade igual agl = n - 2 = 16, temos que t = 
2,120. 
Dado que -2,95582 < -2,120, rejeita-se H0 e pode-se afirmar que há uma 
relação entre as duas variáveis. 
 
Exercício 34. As despesas mensais com alimentação em uma família 
Módulo4 
33 
 
 
de quatro pessoas numa cidade grande giram em torno de R$ 420,00 
com desvio padrão de R$ 80,00. Supondo que as despesas mensais 
sigam uma distribuição normal, faça ou responda o que se pede: 
a) Que percentagem dessas despesas é menor do que R$ 350,00? 
μ = 420 e σ = 80 
P(X < 350) = ??? 
z de x quando x = 350, nesse caso, é: z = (x - μ)/σ = -0,875 
Consultando uma tabela Z de distribuição normal, temos que P(Z < -0,875) = 19,08% 
 
b) Que percentagem dessas despesas está entre R$ 250,00 e R$ 350,00? 
z de x quando x = 250, nesse caso, é: z = (x - μ)/σ = -2,125 
Consultando uma tabela Z de distribuição normal, temos que P(Z < -2,125) = 1,68% 
Logo, a resposta é dada por P(Z < -0,875) menos P(Z < -2,125) = 19,08 - 1,68 = 17,4% 
 
c) Que percentagem dessas despesas é menor do que R$ 250,00 ou maior do que R$ 450,00? 
P(X < 250) = P(Z < -2,125) = 1,68% (da questão anterior) 
Para achar P(X > 450), é só encontrar P(X < 450) e fazer “1 - P(X < 450)”. 
z de x quando x = 450, nesse caso, é: z = (x - μ)/σ = 0,375 
Consultando uma tabelaZ de distribuição normal, temos que P(Z < 0,375) = 64,62% 
Logo, P(X > 450) = 100% - 64,62% = 35,38% 
E o resultado pedido é P(X > 450) mais P(X < 250) = 35,38% + 1,68% = 37,06% 
 
d) Determine o primeiro e o terceiro quartil da distribuição dos gastos mensais com alimentação. 
É sabido que o primeiro quartil de uma distribuição normal está em z = -⅔ e o terceiro quartil está 
em z = ⅔ . Logo os valores do 1º e do 3º quartil são: 
x = zσ + μ. x1q = -⅔ * 80 + 420 = 366,6666… e x3q = ⅔ * 80 + 420 = 473,3333... 
 
Exercício 35. Um psicólogo de indústrias deseja estudar os efeitos das 
motivações nas vendas, em determinada empresa. De 24 novos 
vendedores que estão sendo treinados, 12 serão pagos por hora e 12 por 
comissão. Os 24 indivíduos são designados aleatoriamente para cada 
grupo. Os dados a seguir representam o volume de vendas alcançado 
durante o primeiro mês de emprego: 
Remuneração por hora Remuneração por comissão 
256 212 224 261 
239 216 254 228 
222 236 273 234 
207 219 285 225 
228 225 237 232 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
34 
 
 
241 230 277 245 
 
a) Há evidências de que as variâncias amostrais são diferentes, a 
um nível de significância de 10%? 
desvio padrão do volume de vendas (rem. p hora) = 13,839 | média = 227,58 
desvio padrão do volume de vendas (rem. p comissão) = 21,588 | média = 247,91 
Fazendo X a amostra “remuneração por hora” e Y a amostra “remuneração por comissão”, temos: 
Xméd = 227,58 sx
2 = 13,8392 = 191,518 
Yméd = 247,91 sy
2 = 21,5882 = 466,0417 
Utilizando o teste F para comparação de variâncias, a tabela ANOVA, para 10% e graus de liberdade 11 e 11 (gl 
= n - 1), temos: 
F10%(11; 11) = 2,227 
Fazendo o F calculado, temos: F = maior s² / menor s² = 466,0417/191,518 = 2,433 
2,433 > 2,227ou seja, rejeita-se a hipótese de que as variâncias sejam iguais. 
 
b)Com base na resposta do item (a), verifique, a um nível de 
significância de 5%, se existe diferença entre as remunerações 
médias. 
Xméd = 227,58 sx
2 = 13,8392 = 191,518 nx = ny = 12 
Yméd = 247,91 sy
2 = 21,5882 = 466,0417 
Queremos saber se μx = μy (essa é a hipótese H0). 
Cálculo de s²: 
 
s² = [(12 - 1)*191,518 + (12 - 1)*466,0417]/(12 + 12 - 2) 
s² = 328,77985 
Cálculo de t: 
 
t = (227,58 - 247,91)/raiz(s²*(1/12 + 1/12)) 
t = -2,74638… 
Consultando o t tabelado em Student, com 5% de significância e grau 
de liberdade gl = 22 (nx + ny - 2), temos: 
ttab = 2,074, que é menor que o módulo do tcalc, logo rejeita-se a hipótese 
H0. Ou seja, há uma diferença significativa entre as médias das 
Módulo4 
35 
 
 
remunerações. 
 
Exercício 36. O gerente de marketing de uma fábrica de automóveis 
está interessado em determinar a proporção de novos proprietários de 
carros compactos que teriam adquirido um air-bag inflável para o lado 
do passageiro se o mesmo estivesse disponível a custo adicional de R$ 
300,00. Por informações anteriores, o gerente acredita que a proporção 
é igual a 0,30. Suponha que seja feito um levantamento de 200 novos 
proprietários de carros compactos e 79 indiquem que teriam comprado 
air-bags infláveis. 
a) No nível de significância de 0,10, há evidências de que a proporção 
da população é diferente de 0,30? 
R: Segundo o levantamento, p = 0,395. E p0 = 0,30. 
Hipótese H0: p = p0 versus hipótese H1: p > 0,30 
Sendo uma distribuição normal, e com significância de 10%, temos que 
ztabelado = 1,282 
Encontrando o zcalculado: 
z = (p - p0)/raiz(p0*(1 - p0)/n) 
z = (0,395 - 0,30)/raiz((0,30*0,70)/200) 
z = 2,93176… 
Como o z calculado é maior que o tabelado, rejeita-se H0e pode-se 
afirmar que a proporção é diferente. 
 
b) Fazer novamente o teste agora considerando que 70 proprietários 
tivessem indicado que teriam comprado os air-bags infláveis? 
R: Segundo o novo levantamento, p = 0,35. E p0 = 0,30. 
O ztabelado = 1,282 é o mesmo. Encontrando o zcalculado: 
z = (p - p0)/raiz(p0*(1 - p0)/n) 
z = (0,35 - 0,30)/raiz((0,30*0,70)/200) 
z = 1,54303… 
O z calculado ainda é maior que o tabelado. 
 
Exercício 37. O diretor de recursos humanos de um hospital com 1200 
leitos está avaliando candidatos ao cargo de administrador do 
departamento de cobrança e pagamentos. Dos concorrentes, 22 foram 
convidados para entrevistas. Seguindo as entrevistas, as classificações 
dos candidatos estão apresentadas considerando o tipo de grau de 
mestre obtido MBA (masterof business administration) ou MPH 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
36 
 
 
(masterofpublichealth). As classificações abaixo estão em escala 
ordinal onde quanto menor a ordem maior a preferência. Com base nos 
dados, há evidências de que existe diferença conforme a formatação? 
(considere uma significância de 0,05) 
Candidatos com MBA Candidatos com MPH 
1 2 3 6 
4 5 7 10 
8 9 13 14 
11 12 16 18 
15 17 19 20 
 21 22 
 
 
 
Exercício 38. Um fabricante afirma que seus pneus radiais suportam 
em média uma quilometragem com mais de 40.000km. Para testar essa 
afirmação um comprador selecionou uma amostra de 49 pneus. Os 
testes nessa amostra forneceram um média de 43.000km. Sabe-se que a 
quilometragem de todos os pneus tem desvio padrão de 6.500km. Se o 
comprador testar essa afirmação ao nível de significância de 5% qual 
será sua conclusão? 
R: Hipóteses 
H0: μ = 40000 km 
H1: μ > 40000 km 
Teste: Média = 43000 km; n = 49 pneus; s = 6500 km 
Teste t: tcalculado = (Média - μ)/(s/raiz(n)) ---->tcalculado = (43000 - 
40000)/(6500/raiz(49)) 
tcalculado = 3,230769 
Módulo4 
37 
 
 
O ttabelado unilateral para 48 graus de liberdade (49 - 1) e 5% de 
significância é ttabelado = 1,677 
Como tcalculado>ttabelado, rejeita-se H0 e pode-se afirmar que a 
quilometragem é maior que 40000 km. 
 
Exercício 39. Para investigar a lealdade de consumidores a um 
determinado produto, sorteou-se uma amostra de 200 homens e 200 
mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de fidelidade 100 
homens e 120 mulheres. Os dados trazem evidências de diferença de 
grau de fidelidade entre os sexos? (considere uma significância de 5%). 
Resposta: 
Hipóteses H0: phomem = pmulher versus Ha: phomem<pmulher (na questão, há mais mulheres fiéis) 
Na questão, phomem = 0,50 e pmulher = 0,60. 
Sendo pmulher - phomem uma distribuição normal, e com significância de 5%, temos que ztabelado = 1,645. 
(pm - ph)0 = 0,00 e pm - ph = 0,10, com p’ = (100+120)/(200+200) = 0,55 
Cálculo de zcalculado: 
z = [(pm - ph) - (pm - ph)0]/raiz[p’*(1 - p’)*(1/nh + 1/nm)] 
z = (0,10 - 0,00)/raiz((0,55*0,45)*(1/200 + 1/200) 
z = 2,01008… 
Como zcalculado>ztabelado, rejeitamos H0 e pode-se afirmar que, 
provavelmente, há uma diferença de fidelidade da marca entre os sexos. 
 
Exercício 40. Deseja-se estimar qual a porcentagem média da receita 
familiar gasta com alimentação pelos moradores de uma grande vila 
industrial. Para isso, selecionou-se uma amostra de 16 famílias, que 
apresentou os seguintes resultados: 41, 44, 35, 42, 34, 22, 42, 42, 38, 
62, 29, 63, 38, 45, 48, 40. 
a) Determine um intervalo de 95% para a porcentagem média de todas 
as famílias de moradores da vila. 
desvio padrão = 10,3471%; tamanho da amostra = 16 famílias; média = 
41,5625% 
Assumindo que a distribuição é Normal e que a amostra é pequena (n < 
30), temos que uma estimativa para o erro padrão da média é: 
σ/√n = 10,3471/√16 = 2,5867 
Usando a tabela t de Student, com 95% de confiança e grau de liberdade 
= n - 1 = 15, encontramos t = 2,13145. Assim, o erro máximo da 
estimativa é: 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
38 
 
 
e = t * σ/√n = 2,13145 * 2,5867 = 5,5134 
E assim, o intervalo pedido é (41,5625 - 5,5134; 41,5625 + 5,5134) = (36,0491%; 47,0759%). 
 
b) Que suposição você fez para responder a pergunta anterior? 
Intervalo bilateral, distribuição normal, nível de confiança de 95% 
 
Exercício 41. É sabido que os discosproduzidos por certa companhia 
apresentam uma probabilidade de 0,01 de serem defeituosos, 
independentes uns dos outros. A companhia vende os discos em pacotes 
de 10 e oferece um reembolso se mais do que um disco do pacote for 
defeituoso. Diante disso, qual a proporção de embalagens que serão 
reembolsadas? Se uma pessoa comprar três pacotes, qual a 
probabilidade de um dos pacotes ser reembolsado? 
pdisco = 0,01 
A distribuição é binomial. Para cada pacote, a probabilidade de não 
haver nenhum disco defeituoso e de haver exatamente 1 disco 
defeituoso é: 
P(X = 0) = [10!/(10!0!)]*0,010*0,9910 = 0,9044 
P(X = 1) = [10!/(9!1!)]*0,011*0,999 = 0,0913 
Logo, a probabilidade de o pacote ser trocado é: 
P(o pacote é trocado) = 1 - 0,9044 - 0,0913 = 0,0043 
 
Daí, se uma pessoa compra 3 pacotes, assumindo uma combinação e não um 
arranjo, a probabilidade de reembolso de 1 pacote é: 
(1 - 0,0043)*(1 - 0,0043)*0,0043 = 0,00426 que é aproximadamente 0,0043 
 
Exercício 42. Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% de uma 
média populacional é de 152 a 160. Se o σ = 15, qual o tamanho da 
amostra foi utilizado nesse estudo? 
Resposta. 
O desvio padrão da amostra é igual a 95% 0,95 
[152;160] �̅�= ⇒�̅�=156 
Intervalo de Confiança. 
Desvio Padrão (σ )=15 
Módulo4 
39 
 
 
�̅� =
𝑍(
𝑎
2
).𝜎
√𝑁
para encontrar N deve-se igualar a expressão ao intervalo de 
confiança. 
152=160±�̅� ±
𝑍(
𝑎
2
).15
√𝑁
 
P=0,95a=1-0,95 → 𝑎 = 0,05 →
𝑎
2
→
0,05
2
→ 0,025 
0,50-0,025 → 0,4750 → 𝑍(𝑎/2) = 1,9 
152=156±
1,96
√𝑁
→ (152 − 156). √𝑁 = −29,4 → −4√𝑁 = −29,4 
√𝑁=
29,4
4
→ √𝑁= 
864.36
16
→ 𝑁 
 
Exercício 43.As primeiras semanas de 2004 foram boas para o mercado 
de ações. Uma amostra de 25 grandes fundos de capitalização ilimitada 
apresentou os seguintes retornos no intervalo de um ano, com 
vencimento em 16 de janeiro de 2004. 
7 3,2 1,4 5,4 8,5 
2,5 2,5 1,9 5,4 1,6 
1 2,1 8,5 4,3 6,2 
1,5 1,2 2,7 3,8 2 
1,2 2,6 4 2,6 0,6 
 
(a) Qual é a estimação por ponto do retorno médio populacional no 
intervalo de um ano, até o presente, para os fundos de capitalização 
ilimitada? 
0,6 1 1,2 1,2 1,4 1,5 1,6 1,9 2 2,1 2,5 2,5 2,6 
2,6 2,7 3,2 3,8 4 4,3 5,4 5,4 6,2 7 8,5 8,5 
 
Retorno Xi fi Xi .Fi ( Xi – X )² . Fi 
0,6 1 0,6 7,563 
1 1 1 5,523 
1,2 2 2,4 9,245 
1,4 1 1,4 3,803 
1,5 1 1,5 3,423 
1,6 1 1,6 3,063 
1,9 1 1,9 2,103 
2 1 2 1,823 
2,1 1 2,1 1,563 
2,5 2 5 1,445 
2,6 2 5,2 1,125 
2,7 1 2,7 0,423 
3,2 1 3,2 0,023 
CursodeGraduaçãoemAdministraçãoaDistância 
 
40 
 
 
3,8 1 3,8 0,203 
4 1 4 0,423 
4,3 1 4,3 0,903 
5,4 2 10,8 8,405 
6,2 1 6,2 8,123 
7 1 7 13,323 
8,5 2 17 53,045 
 25 83,7 125,5425 
 
Média 
∑ 𝑥𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖−1
𝑛
 = �̅� = 
83,70
25
 = �̅�1 ≅ 3,35 
 Variância 
𝑆2=
∑ (𝑥𝑖 �̅�𝑖)2.𝑓𝑖𝑛𝑖=1
(𝑛−1)
→ 𝑆2 =
125 .5425
24
→ 5,2309 
Desvio Padrão 
𝜎 = √𝑆2 → √2,2309 ≅ 2,29 
 Resposta letra a- ∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 →
83,7
25
→ 3,35 
A estimação por ponto do retorno médio populacional no intervalo de 
um ano, até o presente é de 3,35. 
 
b- Dado que a população tenha uma distribuição normal, desenvolva 
um intervalo de confiança de 95% de retorno médio populacional no 
intervalo de uma ano, até o presente, para os fundos de capitalização 
ilimitada. 
Intervalo de confiança = 95% : 100 = 0,95 
a= 1 = 0,95 = 0,05 
𝑎
2
→ 𝑇(
𝑎
2
) →
0,05
2
→ 0,025 
Grau de confiança: 
GL= (n-1) → 𝐶 = 𝐺𝐿 = 25 − 1 → 24 
T(a2;GL) → 𝑇(0,025 ; 24) = 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 (𝑇) = 2,064 
e= T ( α/2 ) .
𝜎
√𝑁
→2,064 .
2,29
√25
≅ 0,95 
P(�̅� − 𝑒 < 𝜇 < �̅� + 𝑒) = 1−∝ 
P(3,35 − 0,95 < 𝜇 < 3,35 + 0,95) = 1 − 0,05 
P(2,4 < 𝜇 < 4,3) = 0,95 ou 
IC=[2,4;4,3] 
 
Módulo4 
41 
 
 
Exercício 44. Instruções: Para responder à questão a seguir utilize as 
informações abaixo. Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(0< Z < 1) = 0,341 , P(0< Z < 1,6) = 0,445 , P(0< Z < 2) = 0,477 
Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm 
distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 
1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes 
ao mês em questão. Qual a probabilidade de que o depósito exceda R$ 
6.000,00? 
 
 
 
 
 
 
𝑍 = 
𝑥 − 𝜇
𝛿
√𝑛
 = 
6000 − 9000
1500
√1
= 
−3000
1500
= −2 
Na tabela Z 
𝜇 = 𝑅$ 9.000,00 
𝜎 = 𝑅$ 1.500,00 
n = 1 mês