A - Circuitos Trifásicos

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Circuitos Trifásicos 
Anotações de Aula 
Cássio Magalhães 
FATEF São Vicente 
CIR CUI TOS T RIFÁSI COS 
 
 
Prof. Cássio Magalhães p. 1 
SUMÁRIO 
1 Introdução ............................................................................................................................................... 2 
2 Tensões trifásicas equilibradas ......................................................................................................... 3 
3 Conexão estrela-estrela equilibrada ................................................................................................ 6 
4 Conexão estrela-triângulo equilibrada ............................................................................................9 
5 Conexão triângulo-triângulo equilibrada ...................................................................................... 11 
6 Conexão estrela triângulo equilibrada ........................................................................................... 13 
7 Potência em um sistema equilibrado .............................................................................................. 15 
 
CIR CUI TOS T RIFÁSI COS 
 
 
Prof. Cássio Magalhães p. 2 
1 INTRODUÇÃO 
Iremos ver configurações para fontes e cargas para circuitos trifásicos. Os diferentes 
esquemas para conectar essas duas configurações serão abordadas. 
Abaixo temos 2 tipos de sistema: sistema trifásico bifilar e um sistema trifásico quadrifilar. 
O sistema bifásico é formado por um gerador com 2 bobinas, defasadas de 90º uma da 
outra. 
Já o sistema trifásico possui um gerador com 3 fontes de mesma amplitude, porém 
defasadas de 120º . 
Monofásico Bifásico Trifásico 
 
 
 
 
Os sistemas trifásicos são importantes em decorrência de 3 razões básicas 
1) Podemos tirar um sistema monofásico do mesmo sistema 
2) Por tem uma potência uniforme gera menor vibração em máquinas trifásicas 
3) É mais econômico que o monofásico 
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2 TENSÕES TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS 
As tensões trifásicas são produzidas normalmente por um gerador CA trifásico. Esse gerador 
é constituído, basicamente, por um ímã rotativo (denominado rotor) envolto por um 
enrolamento fixo (denominado estator). Três bobinas ou enrolamentos distintos com 
terminais a-a', b-b' e c-c' são dispostos e separados fisicamente a 120° em torno do estator. 
Como elas se encontram separadas a 120°, as tensões induzidas nas bobinas são iguais em 
magnitude, porém defasadas por 120° 
 
 
Um sistema trifásico típico é formado por três fontes de tensão conectadas a cargas por 
três ou quatro fios. Um sistema trifásico equivale a três circuitos monofásicos. As fontes de 
tensão podem ser interligadas em triângulo, ou então em estrela. 
 
Consideremos as tensões ligadas em estrela 𝑉 , 𝑉 𝑒 𝑉 são chamadas tensões de fase. Se 
as fontes de tensão tiverem a mesma amplitude e frequência e estiverem defasadas por 
120°, diz-se que as tensões estão equilibradas. 𝑉 = 𝑉 = 𝑉 
Portanto, as tensões de fase equilibradas são iguais em magnitude e estão defasadas entre 
si por 120° 
Por conta dessa defasagem há duas situações possíveis. Uma delas é expressa 
matematicamente como onde Vp é o valor eficaz ou valor RMS das tensões de fase. Isso é 
conhecido como sequência abc ou sequência positiva. 
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𝑉 = 𝑉 ∠0 
𝑉 = 𝑉 ∠ − 120 
𝑉 = 𝑉 ∠ − 240 = 𝑉 ∠120 
 
 
A outra possibilidade é a sequência acb ou sequência negativa 
𝑉 = 𝑉 ∠0 
𝑉 = 𝑉 ∠ − 120 
𝑉 = 𝑉 ∠ − 240 = 𝑉 ∠120 
 
 
Portanto, 
Sequência de fases é a ordem cronológica na qual as tensões passam através de seus 
valores máximos, ou ainda, também pode ser considerada como a ordem na qual as tensões 
de fase atingem seus valores de pico (ou máximos) em relação ao tempo. 
Conforme os fasores giram no sentido anti-horário com uma sequência abcabca... portanto, 
a sequência é abc ou bca ou cab. 
De modo similar à medida que eles forem girando no sentido anti-horário, passam o eixo 
horizontal em uma sequência acbacba... Isso descreve a sequência acb. 
Essa sequência de fases é importante em sistemas de distribuição de energia trifásicos, 
porque determina, por exemplo, o sentido da rotação de um motor ligado a uma fonte de 
energia elétrica. 
Diz-se que uma carga conectada em estrela ou em triângulo está desequilibrada se as 
impedâncias por fase não forem iguais em magnitude ou fase. Uma carga equilibrada é 
aquela no qual as impedâncias por fase são iguais em magnitude e fase. 
𝑍 = 𝑍 = 𝑍 = 𝑍 
𝑍 = 𝑍 = 𝑍 = 𝑍 
 
onde 𝑍 𝑒 𝑍 é a impedância de carga por fase. 
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𝑍 = 3𝑍 𝑜𝑢 𝑍 =
1
3
Z 
Como tanto a fonte trifásica quanto a carga trifásica podem estar conectadas em estrela ou 
então em triângulo, temos quatro conexões possíveis: 
 Conexão estrela-estrela (fonte conectada em estrela com uma carga conectada em 
estrela). 
 Conexão estrela-triângulo. 
 Conexão triângulo-triângulo. 
 Conexão triângulo-estrela 
Atividade 1: Determine a sequência de fases do conjunto de tensões 𝑣 = 200 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 +
10 ); 𝑣 = 200 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 − 230 ); 𝑣 = 200 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 − 110 ) 
Atividade 2: Determine a sequência de fases dados 𝑉 = 100∠30 𝑉, sendo uma sequência 
positiva (abc) 
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3 CONEXÃO ESTRELA-ESTRELA EQUILIBRADA 
Começaremos pelo sistema estrela-estrela, porque qualquer sistema trifásico equilibrado 
pode ser reduzido a um sistema estrela-estrela equivalente. Logo, a análise desse sistema 
deve ser considerada como a chave para resolução de todos os sistemas trifásicos 
equilibrados. 
Sistema estrela-estrela equilibrado é um sistema trifásico com uma fonte conectada em 
estrela equilibrada e uma carga conectada em estrela equilibrada. 
 
 
 
As tensões linha-linha ou, simplesmente, as tensões de linha 𝑉 , 𝑉 , 𝑉 estão relacionadas 
com as tensões de fase. Por exemplo 
𝑉 = 𝑉 + 𝑉 = 𝑉 − 𝑉 = √3𝑉 ∠30 𝑉 
𝑉 = 𝑉 − 𝑉 = √3𝑉 ∠ − 90 𝑉 
𝑉 = 𝑉 − 𝑉 = √3𝑉 ∠−150 𝑉 
Ou ainda 
𝑉 = √3𝑉 
 
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Aplicando a LKT a cada fase obtemos as correntes de linha, como segue 
𝐼 =
𝑉
𝑍
 
𝐼 = 𝐼 ∠ − 120 
𝐼 = 𝐼 ∠ − 240 
E ainda 
𝑉 = 𝑍 . 𝐼 = 0 
 
Portanto, a linha neutra pode ser eliminada sem afetar o sistema. Enquanto a corrente de 
linha é a corrente em cada linha, a corrente de fase é a corrente em cada fase da fonte ou 
carga. No sistema estrela-estrela, a corrente de linha é a mesma que a corrente de fase. 
Uma maneira alternativa de analisar um sistema estrela-estrela equilibrado é fazer como 
“por fase”. Observamos uma fase, a fase “a”, e analisamos o circuito monofásico equivalente 
 
𝐼 =
𝑉
𝑍
 
A partir de 𝐼 usamos a sequência de fases para obter outras correntes de linha. Portanto, 
desde que o sistema esteja equilibrado, precisamos apenas analisar uma fase. 
Atividade 3: Calcule as correntes de linha do circuito abaixo 
 
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Atividade 4: Um gerador trifásico conectado em estrela equilibrado com impedância por 
fase 0,4+ j0,3𝛺 é conectado a uma carga em estrela equilibrada com impedância 24+j19 𝛺 
por fase. A linha que conecta o gerador e a carga tem impedância 0,6+j0,7 𝛺 por fase. 
Supondo uma sequência positiva para as tensões da fonte e que 𝑉 = 120∠30 𝑉, determine: 
(a) as tensões de linha; (b) as correntes de linha. 
 
 
𝑉 = 120∠30 𝑍 = 25 + 𝑗20 
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4 CONEXÃO ESTRELA-TRIÂNGULO EQUILIBRADA 
Um sistema estrela-triângulo consiste em uma fonte conectada em estrela equilibrada 
alimentando uma carga conectada em triângulo equilibrada. O sistema estrela-triângulo 
equilibrado, afonte está conectada em estrela e a carga, conectada em triângulo. Nesse 
caso, não há, obviamente, nenhuma conexão neutra da fonte para a carga. 
 
 
 
Supondo a sequência positiva, as tensões de fase são novamente 
𝑉 = 𝑉 ∠0 
𝑉 = 𝑉 ∠ − 120 
𝑉 = 𝑉 ∠ − 240 = 𝑉 = +120 
As de linha 
𝑉 = √3𝑉 ∠30 𝑉 = 𝑉 
𝑉 = √3𝑉 ∠ − 90 𝑉 = 𝑉 
𝑉 = √3𝑉 ∠ − 150 𝑉 = 𝑉 
As correntes de fase 
𝐼 =
𝑉
𝑍
 ; 𝐼 =
𝑉
𝑍
 ; 𝐼 =
𝑉
𝑍
 
Aplicando LKC obtemos as correntes de linha 
𝐼 = 𝐼 − 𝐼 ; 𝐼 = 𝐼 − 𝐼 ; 𝐼 = 𝐼 − 𝐼 
Sendo 𝐼 = 𝐼 ∠ − 240 , temos 
𝐼 = 𝐼 √3∠ − 30 
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Ou seja, a magnitude de 𝐼 da corrente de linha é √3 vezes a magnitude 𝐼 da corrente de 
fase ou 
𝐼 = √3𝐼 
Uma maneira alternativa de analisar o circuito estrela-triângulo é transformar a carga 
conectada em triângulo em uma carga conectada em estrela equivalente. Usando a fórmula 
de transformação triângulo-estrela, 
𝑍 =
𝑍
3
 
Após essa transformação, temos um sistema estrela-estrela. O sistema trifásico estrela-
triângulo pode ser substituído pelo circuito monofásico equivalente que permite o cálculo 
apenas das correntes de linha. Lembrando o fato de que cada uma das correntes de fase 
está adiantada em relação à linha correspondente a 30° 
 
Atividade 5: Uma fonte conectada em estrela equilibrada com sequência abc com 𝑉 =
100∠10 𝑉 é conectada a uma carga em triângulo equilibrada (8+j4)𝛺 por fase. Calcule as 
correntes de fase e de linha. 
 
Atividade 6: Uma tensão de linha de uma fonte conectada em estrela equilibrada é 𝑉 =
120∠ − 20𝑉. Se a fonte estiver conectada a uma carga em triângulo de 20∠40𝛺, determine as 
correntes de fase e de linha. Suponha a sequência abc 
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5 CONEXÃO TRIÂNGULO-TRIÂNGULO EQUILIBRADA 
Um sistema triângulo-triângulo é aquele no qual tanto a fonte equilibrada quanto a carga 
equilibrada estão conectadas em triângulo. 
 
Supondo uma sequência positiva, as tensões de fase para uma fonte conectada em 
triângulo são: 
𝑉 = 𝑉 ∠0 
𝑉 = 𝑉 ∠ − 120 
𝑉 = 𝑉 ∠120 
As tensões de linha são as mesmas das tensões de fase. Supondo que não há impedância na 
linha, temos: 
𝑉 = 𝑉 ; 𝑉 = 𝑉 ; 𝑉 = 𝑉 
Logo, as correntes de fase 
𝐼 =
𝑉
𝑍
=
𝑉
𝑍
 
𝐼 =
𝑉
𝑍
=
𝑉
𝑍
 
𝐼 =
𝑉
𝑍
=
𝑉
𝑍
 
Aplicando a LKC nos nós, temos o mesmo modelo da seção anterior 
𝐼 = 𝐼 − 𝐼 ; 𝐼 = 𝐼 − 𝐼 ; 𝐼 = 𝐼 − 𝐼 
Da mesma forma, casa corrente de linha está atrasada em relação a corrente de fase 
correspondente a 30 , a magnitude 𝐼 da corrente de linha é √3 vezes a magnitude 𝐼 da 
corrente de fase 
𝐼 = √3𝐼 
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Podemos também converter a fonte e a carga em estrela, pois sabemos que 𝑍 = 
Atividade 7 - Uma carga conectada em triângulo equilibrada com impedância 20 − 𝑗15𝛺 está 
conectada a um gerador de sequência positiva ligado em triângulo com 𝑉 = 330∠0 𝑉. 
Calcule as correntes de fase da carga e as correntes de linha 
 
Atividade 8 - Uma fonte de sequência positiva e conectada em triângulo equilibrada 
alimenta uma carga conectada em triângulo equilibrada. Se a impedância de carga por fase 
for 18 + 𝑗12𝛺 e 𝐼 = 9,609∠35 𝐴, determine 𝐼 𝑒 𝑉 . 
 
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6 CONEXÃO ESTRELA TRIÂNGULO EQUILIBRADA 
Um sistema triângulo estrela equilibrado é formado por uma fonte conectada em triângulo 
equilibrada alimentando uma carga conectada em estrela equilibrada. Considerando uma 
sequência abc, temos 
𝑉 = 𝑉 ∠0 ; 𝑉 = 𝑉 ∠ − 120 ; 𝑉 = 𝑉 ∠120 
 
Podemos concluir que: 
𝐼 =
𝑉
√3
∠ − 30 
𝑍
 
Onde 𝐼 𝑒 𝐼 continuam com a defasagem ±120. Para as tensões 
𝑉 =
𝑉
√3
∠ − 30 ; 𝑉 =
𝑉
√3
∠ − 150 ; 𝑉 =
𝑉
√3
∠90 
 
Atividade 9: Uma carga conectada em estrela equilibrada com impedância por fase 40+j25
Ω é alimentada por uma fonte conectada em triângulo equilibrada e de sequência positiva 
com tensão de linha igual a 210 V. Calcule as correntes de fase. Use Vab como referência. 
Atividade 10: Em um circuito triângulo-estrela, 𝑉 = 240∠15 𝑒 𝑍 = 12 + 𝑗15𝛺 .Calcule as 
correntes de linha. 
Atividade 11: Uma fonte conectada em estrela de Vab=380V, alimenta uma carga conectada 
em estrela de 20 + 𝑗15𝛺. a) calcule a corrente de linha, b) calcule a corrente de linha se a 
carga fosse conectada em triângulo, c) analise e descreva os resultados. 
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7 POTÊNCIA EM UM SISTEMA EQUILIBRADO 
A potência instantânea total em um sistema trifásico equilibrado é constante, ou seja, ela 
não muda a cada instante que a fase muda. Isso ocorre tanto para cargas conectadas em 
triângulo como estrela. A potência média por fase, 𝑃 , é 1/3 da potência total 
𝑃 = 𝑉 . 𝐼 . cos θ 
A potência reativa é dada por 
𝑄 = 𝑉 . 𝐼 . sin 𝜃 
A potência aparente por fase 
𝑆 = 𝑉 . 𝐼 
E a potência complexa por fase é 
𝑆𝑝 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑉 . 𝐼∗ 
𝑉 𝑒𝐼 são respectivamente, a tensão de fase e a corrente de fase, onde a potência total é 
dada por: 
𝑃 = 𝑃 + 𝑃 + 𝑃 = 3. 𝑃 = 3. 𝑉 . 𝐼 . cos 𝜃 = √3. 𝑉 . 𝐼 . cos 𝜃 
De forma semelhante a potência reativa é 
𝑄 = 3. 𝑄 = 3. 𝑉 . 𝐼 . sin 𝜃 = √3. 𝑉 . 𝐼 . sin 𝜃 
A potência complexa total 
𝑆 = 3. 𝑆 = 3. 𝑉 . 𝐼∗ = 3. |𝐼 |. 𝑍 =
3. 𝑉
𝑍∗
 
Ou ainda 
𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = √3. 𝑉 . 𝐼 
 
Lembrando que 𝑉 , 𝐼 , 𝑉 𝑒 𝐼 são valores RMS (𝑉 =
√
) e que 𝜃 é o ângulo da impedância 
de carga ou ângulo entre a tensão de fase e a corrente de fase. 
Em relação as perdas temos as seguintes definições 
 Perda monofásico com dois fios (bifilar) - 𝑃 = 2. 𝐼 . 𝑅 
 Perda nos três fios (trifásico) – 𝑃 = 3. (𝐼 ) . 𝑅 
 
 
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Atividade 12: Determine a potência média total, a potência reativa e a potência complexa na 
fonte e na carga do circuito abaixo 
 
Atividade 13: Um gerador trifásico conectado em estrela equilibrado com impedância por 
fase 0,4+ j0,3𝛺 é conectado a uma carga em estrela equilibrada com impedância 24+j19 𝛺 
por fase. A linha que conecta o gerador e a carga tem impedância 0,6+j0,7 𝛺 por fase. 
Supondo uma sequência positiva para as tensões da fonte e que 𝑉 = 120∠30 𝑉, determine 
a potência complexa na fonte e na carga. 
Atividade 14: Um motor trifásico pode ser considerado uma carga conectada em estrela 
equilibrada. E absorve 5,6 kW quando a tensão de linha for 220 V e a corrente de linha for 
18,2 A. Determine o fator de potência do motor 
Atividade 15: Calcule a corrente de linha necessária para um motor trifásico de 30 kW de 
fator de potência 0,85 (atrasado), se ele estiver conectado a uma fonte equilibrada com 
tensão de linha 440 V 
Atividade 16: Duas cargas equilibradas são ligadas a uma linha de 60 HZ, 240 kV RMS, como 
mostrado na figura abaixo. A carga 1 absorve 30 kW com um fator de potência 0,6 
(atrasado), enquanto a carga 2 absorve 45 kVAr com fator de potência 0,8 (atrasado). 
Supondo a sequência abc, determine: (a) as potências complexa, real e reativa absorvidas 
pela carga conectada; (b) as correntes de linha; (c) kVAR nominal dos três capacitores 
ligados em triângulo em paralelo com a carga que elevará o fator de potência para 0,9 
(atrasado) e a capacitância de cada capacitor 
 
 
 
 
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Atividade 17: Suponha que as duas cargas equilibradas conforme figura anterior sejam 
alimentadas por uma linha de 60 Hz, 840 V RMS. A carga 1 conectada em estrela com 30 +
𝑗40 𝛺 por fase, enquanto a carga 2 é um motor trifásico equilibrado absorvendo 48 kW com 
fator de potência 0,8 (atrasado). Supondo-se a sequência abc, calcule: (a)a potência 
complexa absorvida pela carga associada; (b) o valor nominal de kVAR de cada um dos três 
capacitores ligados em triângulo em paralelo com a carga para elevar o fator de potência 
para o valor unitário; (c) a corrente drenada da fonte na condição de fator de potência 
unitário. 
𝑍 = 30 + 𝑗40 Ω 
𝑉 = 840 𝑉 
𝑆 =
3. 𝑉
𝑍∗
=
3.
840
√3 
30 − 𝑗40
= 8,5 + 𝑗11,3 𝑘𝑉𝐴 
 
 
𝑃 = 48𝑘𝑊 
𝐹𝑃 = 0,8 (𝐼) 
𝑉 = 840𝑉 
𝑆 = 48 + 𝑗36 𝑘𝑉𝐴 
 
𝑎) 𝑆 = 56,5 + 𝑗47,3 𝑘𝑉𝐴 = 73,7∠39,9 𝑘𝑉𝐴 
𝑏) 𝑍 = −47,3 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝑍 = −
47,3
3
= 15,7 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝑆 = 𝑃 
𝐶 =
1
𝑤. 𝑋
=
1
2. 𝜋. 60.47300
= 56𝑛𝐹 
𝑐)𝐼 =
𝑆
𝑉
=
56,47 . 10
840√3
= 38,31𝐴 
𝐼´ =
56,5 + 𝑗47,3 (10 )
840√3 
= 50,64𝐴 
 
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8 SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS 
Ocorrem por duas condições possíveis: 
1) as tensões de fonte não são iguais em magnitude e/ou diferem em fase por ângulos 
desiguais 
2) as impedâncias de carga são desiguais. 
 
Ou seja, um sistema desequilibrado se deve a fontes de tensão desequilibradas ou a uma 
carga desequilibrada. 
Como 𝑍 , 𝑍 , 𝑍 não são iguais, as correntes de linha são determinadas por: 
𝐼 =
𝑉
𝑍
 ; 𝐼 =
𝑉
𝑍
 ; 𝐼 =
𝑉
𝑍
 
Esse conjunto de correntes de linha desequilibradas produz corrente na linha neutra, que 
não é zero como no sistema equilibrado. Aplicar a lei dos nós ao nó “N” fornece a corrente 
da linha neutra 
𝐼 = −(𝐼 + 𝐼 + 𝐼 ) 
Atividade 18 A carga conectada em estrela desequilibrada tem tensões equilibradas de 100 
V e a sequência acb. Calcule as correntes de linha e a corrente neutra. Adote 𝑍 = 15𝛺; 𝑍 =
10 + 𝑗5𝛺; 𝑍 = 6 − 𝑗8𝛺 
 
Atividade 19: A carga conectada cm triângulo desequilibrada da Figura abaixo é alimentada 
por tensões linha-linha equilibradas de 440 V na sequência positiva. Determine as 
correntes de linha. 𝑉 como referência. 
 
 
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Atividade 20: Para o circuito desequilibrado abaixo, determine: (a) as correntes de linha; (b) 
a potência complexa total absorvida pela carga; (c) a potência complexa total absorvida 
pela fonte. 
 
 
Atividade 21: Determine as correntes de linha no circuito trifásico desequilibrado abaixo e a 
potência real absorvida pela carga. 
 
64∠80 ; 38,1∠ − 60 ; 42,5∠225 ; 4,84𝑘𝑊