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MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
1 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 O que se entende por variável aleatória? 
 Até agora nossos estudos estavam praticamente voltados mais para definirmos nosso 
Espaço Amostral U, sem associarmos suas respectivas probabilidades aos experimentos 
aleatórios. 
 Existem, contudo, experimentos cujos resultados podem ser expressos por 
quantidades numéricas. Ou ainda, por vezes, desejamos atribuir um valor específico a cada 
resultado do experimento aleatório. 
 Quando realizamos a observação dos resultados de um experimento que pode ser 
resultado repetidamente sob condições essencialmente inalteradas (experimento aleatório), 
não poderemos, de antemão, dizer qual particular resultado irá ocorrer na próxima tentativa, 
muito embora sejamos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do 
experimento. Assim, por exemplo, antes de lançar um dado poderemos descrever que os 
possíveis resultados são: l, 2, 3, 4, 5, 6, mas qual desses, em particular, irá ocorrer, no 
próximo lançamento é impossível predizer com absoluta certeza. Variável aleatória é, pois 
o resultado da observação de experimentos não determinísticos. 
 Entretanto o resultado de um experimento não é necessariamente, um número. De 
fato na observação das peças que saem de uma máquina poderemos, simplesmente, anotar 
as categorias "defeituosas" ou "não defeituosas". Contudo, em muitas situações 
experimentais, estamos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro como 
um número. Mesmo no exemplo acima, poderemos atribuir um número a cada resultado 
(não numérico) do experimento. 
 U: observação das peças (telhas) que saem de uma máquina 
 X número de peças defeituosas 
 X = 0, 1, 2, 3, .....................,n 
 Portanto, chama-se variável aleatória a uma variável cujo valor é um número 
determinado pelo resultado de um experimento ou através da observação, e aos quais 
podemos associar probabilidade. 
 As variáveis aleatórias podem ser classificadas em: 
1- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETA 
 Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1, x2, x3, ...........xn. Diremos que 
X é uma variável aleatória discreta. Se o número de valores tomados por X é finito ou 
infinito numerável. 
Exemplo: U: Lançamento de quatro moedas 
Seja, 
 X: o número de caras observadas. 
 X = 0, 1, 2, 3, 4 
De modo geral podemos dizer que as variáveis aleatórias discretas são as que resultem de 
contagens. 
 
2- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 Seja X uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor num intervalo, 
diremos que X é uma variável aleatória contínua. 
Exemplos: 
a) Número de horas de duração de uma lâmpada 
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b) 
b) A altura de um indivíduo que pode ser: 1,65m, l,652m, 1,6524m, conforme 
a precisão de medida. 
 De modo geral podemos afirmar que as variáveis aleatórias contínuas são aquelas 
que resultem de "medição", em especial, de tempo, temperatura, comprimento, peso, 
volume, etc. 
 Um aspecto interessante é o que o mesmo experimento pode dar margem à 
observações de várias variáveis, e a escolha da que vai ser observada fica a critério do 
observador. Como exemplo vejamos o experimento "jogar 4 moedas simultaneamente". 
Como variável aleatória poderemos escolher "o número de caras obtidas ou a distância 
mínima entre 2 moedas". A primeira seria uma variável aleatória discreta e a Segunda seria 
uma variável aleatória contínua. 
 
 
1- VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
 
1.1- FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
A probabilidade de que a variável aleatória assuma o valor X, é a função de 
probabilidade de X que representamos por P(X = xi) ou simplesmente por P(X). 
 
f(x) = P(X = xi) f(x) = 0 se X  xi 
 n 
  f(xi) = 1 
 
i = 1 
 
 Portanto a função que associa probabilidade aos possíveis valores de uma variável 
aleatória, denomina-se função de probabilidade. 
 A função P(X) pode ser expressa por uma tabela ou gráfico 
Exemplo 
Seja E: o espaço amostral no lançamento de 2 moedas e X: o número de caras C obtidas. 
Isto é: 
 E = (K,K); (K,C); (C,K); (C,C) 
 X = 0, 1, 2  
 
TABELA: X 0 1 2 
 
 P(X) 1/4 1/2 1/4 
 
GRÁFICO: 
 P(X) 
 1/2 
 
 1/4 
 
 
 0 1 2 X 
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1.2- FUNÇÃO REPARTIÇÃO 
 Define-se função repartição da variável aleatória X, no ponto x, como sendo a 
probabilidade de que x assuma um valor menor ou igual a X, isto é: 
F(X) = P(X  x). No exemplo acima teremos: 
 
F(X) = 1/4 se x  0 
F(X) = 1/2 se 1  x  2 
F(X) = 1/4 se x  2 
 
2- VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 
 
2.1- FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE 
 Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é 
uma função que satisfaz as seguintes condições. 
 
 f(x)  0 
 
 f(x).d(x) = 1 
 b 
Assim P( a  x  b) = f(x).d(x) 
 a 
 
2.2- FUNÇÃO REPARTIÇÃO +oo 
 F(X) = P(X  x) = P( -oo  x  +oo) = f(x).dx = 1 
 -oo 
 
 Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de 
probabilidade. 
 f(x) = 2x para 0  x  1 
0 para  (qualquer) outro valor 
 para x  0  F(x) = 0 
f(x) = para 0  x  1  F(x) = 2x.dx = 2x
2
 x = x
2
 
 0 2 0 
 para x  1  F(x) = 1 
 
Representação gráfica 
 
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 F(x) 
 1 
 
 
 1 x 
Exemplo/Exercício Seja f(x) = 3/2 (1 - x
2
 ), 0  x  1 
 0, caso contrário 
Ache a função repartição e esboce o gráfico. 
 
 
 
3- DISTRIBUIÇÃO DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
3.1- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 No contexto das distribuições de probabilidades, os valores individuais de 
probabilidades podem ser designados pelo símbolo f(x), que enfatiza a existência de uma 
função matemática (variáveis contínuas). Por P(X = x), que enfatiza que a variável 
aleatória pode assumir diversos valores, ou simplesmente por P(X). 
 Para umavariável aleatória discreta todos os possíveis valores da variável aleatória 
podem ser listados numa tabela com as probabilidades correspondentes: distribuição de 
probabilidade Binomial, Hipergeométrica e de Poisson. Para uma variável aleatória 
contínua não podem ser listados todos os possíveis valores fracionários da variável, e desta 
forma as probabilidades são determinadas por uma função matemática, são retratadas, 
tipicamente, por uma função densidade ou por uma curva de probabilidade. 
3.2 VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS. n 
Média, Valor Esperado ou Esperança Matemática:  = E(X) =  xi.P(xi) 
 
i = 1
 
 
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3.3 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA MATEMÁTICA: 
3.3.1- A média de uma constante é a própria constante 
E(X) =  k.P(xi) = k. P(xi) = k 
3.3.2- A média de uma variável multiplicada por uma constante é igual à constante 
multiplicada pela média da variável. 
E(k.X) =  k.xi.P(xi) = k. xi.P(xi) = k.E(xi) 
3.3.3- A média da soma ou da diferença é a soma ou diferença das médias. 
E( X + Y) = E( X ) + E( Y ) ou E(X - Y) = E(X) - E(Y) 
3.3.4- Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média fica 
somada ou subtraída da mesma constante. 
E(X + k) = E(X) + E(k) = E(X) + k ou E(X- k) = E(X) - k 
3.3.5- A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das 
médias. 
E(X.Y) =  xi.yj.P(xiyj) = xi.yi.P(xi).P(yj) =  xi.P(xi). yj.P(yj) = E(X).E(Y) 
3.4- VARIÂNCIA 
 A forma geral de desvios para a fórmula da variância de uma distribuição discreta de 
probabilidade é: 
V(X) = 
2
(X) =   xi - E(X)
2
.p(xi) 
 
 ou 
V(X) = 
2
(X) = E(X
2
) - E(X)
2 
 ( Fórmula Computacional) 
3.5- PROPRIEDADE DA VARIÂNCIA 
3.5.1- A variância de uma constante é zero 

2
(X) = V(k) = E k - E(k)
2
 = E(k - k)
2
 = 0 
3.5.2- Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica 
multiplicada pelo quadrado da constante. 
V(k.X) = 
2
(k.X) = kX - E(k.X)
2
 = k.X - k.E(X)
2
 = k(X - E(X)
2
 
 = k
2
.X - E(X)
2
 = k
2
.V(X) 
3.5.3- Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância não se 
altera. 
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
2
(X + k) = 
2
(X) + 
2
(k) = 
2
(X) + 0 = 
2
(X) 
3.5.4- A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias independentes é a 
soma das respectivas variâncias. 

2
(X +Y) = 
2
(X) + 
2
(Y) e 

2
(X - Y) = 
2
(X) + 
2
(-Y) = 
2
(X) + (-1)
2
.
2
(X) = 
2
(X) + 
2
(Y) 
EXEMPLO: 
 A tabela abaixo está registrado o número de caminhonetes solicitadas em uma agência 
de aluguel de carros durante um período de 50 dias. 
Demanda 
possível X 
Nº de dias Probabilidade 
P(X) 
Valor Ponde-
rado X:P(X) 
Demanda ao 
quadrado X
2
 
Quad. Ponde-
rado X
2
.P(X) 
 3 3 0,06 = 3/50 0,18 9 0,54 
 4 7 0,14 = 7/50 0,56 16 2,24 
 5 12 0,24 1,20 25 6,00 
 6 14 0,28 1,68 36 10,08 
 7 10 0,20 1,40 49 9,80 
 8 4 0,08 0,64 64 5,12 
 TOTAL 50 1,00 E(X) = 5,66 E(X
2
) = 33,78 
OBS. A probabilidade de serem solicitadas exatamente sete (7) caminhonetes em um 
determinado dia aleatoriamente escolhido no período é de 0,20 e de cinco (5) é de 0,24. 
Determine: 
a) A esperança matemática 
b) A variância, cálculo computacional. 
a) E(X) = 5,66 
 Isto é, o valor esperado para dados discretos pode ser fracionário porque ele 
representa um valor médio de longo prazo e não o valor específico para qualquer 
observação dada. 
c) V(X) = 2(X) = E(X2) - E(X)2 = 33,78 - (5,66)2 = 33,78 - 32,04 = 1,74 
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Isto é a variação do número de caminhonetes em torno da média ao quadrado é de 1,74. 
Exercícios 
1- Um dentista tem 5 cadeiras disponíveis para pacientes em sua sala de espera. A 
probabilidade do número de cadeiras ocupadas X é dada por: 
X P(X) 
0 0,304 
1 0,228 
2 0,171 
3 0,128 
4 0,096 
5 0,073 
a) Ache a média E(X) =  da variável aleatória X. E(x) = 1,7 
b) Calcule a variância e o desvio padrão, da variável aleatória X. V(X) = 2,53 
c) Calcule P( 2  X  5). 0.468 
d) Desenvolva no formato tabular a cdf ( Função de Distribuição Acumulada) dessa 
distribuição. 
e) Desenvolva a função repartição dessa distribuição. 
2- Considere uma moeda perfeita lançada 3 vezes. Seja X o número de caras obtida. 
Calcule 
a) a distribuição de X 
b) média de X E(x) = 1,5 
c) a variância ² = 0,75 
3- Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem 
reposição, e defina a V.A X igual a número de bolas pretas. 
a) Obtenha a distribuição de X 
b) Obtenha a média e a variância da V.A X E(X) =1,875 ² = 0,502 
4- Uma moeda é lançada 4 vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Calcule 
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a) a distribuição de Y 
b) a média e variância de Y  = 2 , ² = 1 
5- Considere uma mesa contendo 10 frutas das quais 4 estão estragadas. Retire três dessas 
frutas ao acaso, sem reposição e defina a V.A. X igual a número de frutas estragadas. 
a) Obtenha a distribuição de X 
b) Obtenha a média e a variância da V.A.  = 1,2 , ² = 0,560 
 
 
 
4-DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
4.1- INTRODUÇÃO: DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
 Seja um experimento que consiste na realização de uma prova, cujos resultados só 
podem ser "sucesso" ou "fracasso". Observando ainda que na realização desta prova os 
eventos são independentes, vamos chamar de X uma variável aleatória que de acordo com 
a pressuposição citada, somente assumirá valores 0 e 1, sendo 0 a ocorrência do evento 
"fracasso" e 1 a ocorrência do evento "sucesso" com probabilidades 
P(X = 0) = q X 0 1 
P(X = 1) = p P(X) q p  p + q = 1  q = 1 - p 
Obs. 
q = l- p é complementar de p, pois p + q = 1. 
2- E(X) =  xi.p(xi) = 0.q + 1.p = p  E(X) = p 
3- V(X)= E(X
2
) - E(X)
2
 = 0
2
.q + 1
2
.p - p
2
 = p - p
2
 = p(1 - p) = p.q  
 V(X) = p.q 
Consideremos que: 
a) n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas. 
b) Cada prova é uma prova de Bernoulli ou seja, admite dois resultados: sucesso ou 
fracasso que são mutuamente exclusivos. 
c) A probabilidade de sucesso ou fracasso é a mesma em cada prova, isto é, constantes. 
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d) p é a probabilidade de sucesso em cada prova e q = 1 - p a ocorrência do fracasso. 
 
4.2- DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa única (sucesso), e q 
= 1 - p é a probabilidade de que o evento não ocorra (insucesso), então a probabilidade do 
evento ocorrer exatamente x vezes em n tentativas, isto é, de que haja X sucessos e n - x 
insucesso, é dado por: 
 
 P(X = x) = n p
x
 . qn - x 
 x 
 
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Baseados na propriedades da E(X) e V(X) e como a variável binomial X é uma soma 
de variáveis independentes do tipo Bernoulli, teremos que: 
E(X) = E( x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = E(x1) + E(x2) + E(x3) +........+ E(xn) = np 
  
 
V(X) = V(x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = V(x1) + V(x2) + V(x3) + ......+ V(xn) = p.q + p.q + 
p.q + .........+ p.q = n.pq. = n.p.(1 - p) 
 
 
FÓRMULAS GERAIS: 
 E(X) = xi.p(xi) 
 P(X = xi) = n . p
xi
.(1 - p) 
n - xi
 
 xi 
 E(X) =  xi. n .p
xi
. (1 - p)
n - xi
 
 xi 
 V(X) = (xi – E(X))².p(xi) 
E(x) =  = n.p 
V(x) = ² = n.p.q 
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 TRIÂNGULO DE PASCAL UMA FERRAMENTA IMPORTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 
 
n = 0 0 
 0 
 
 
n = 1 1 1 
 0 1 
 
 
n = 2 2 2 2 
 0 1 2 
 
 
n = 3 3 3 3 3 
 0 1 2 3 
 
 
n = 4 4 4 4 4 4 
 0 1 2 3 4 
 
 
n = 5 5 5 5 5 5 5 
 0 1 2 3 4 5 
 
 
n = 6 6 6 6 6 6 6 6 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
n n n n n n n n ... n 
 0 1 2 3 4 5 6 n 
 Substituindo-se cada número combinatório pelo respectivo valor, o triângulo de 
Pascal fica assim: 
 
Números Combinatórios n n! 
 Ou binomiais p = Cn,p = 
 p!.(n-p)! 
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 P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 
 
n = 0 1 
 
n = 1 1 1 
 
n = 2 1 2 1 
 
n = 3 1 3 3 1 
 
n = 4 1 4 6 4 1 
 
n = 5 1 5 10 10 5 1 
 
n = 6 1 6 15 20 15 6 1 
. 
. 
. 
 
 Observe que o triângulo de Pascal continua infinitamente, à medida que vai 
aumentando o valor de n. 
 
 
 APLICAÇÕES 
1- Em uma fábrica de parafusos um terço da produção é defeituosa. Em uma amostra de 6 
parafusos, pergunta-se 
a) Qual a probabilidade de que não tenham nenhum defeituoso? 
b) Qual a probabilidade de que o número de parafusos defeituosos seja no máximo 2? 
c) Qual o número esperado de parafusos defeituosos? 
d) Qual a dispersão em torno do número esperado de parafusos defeituosos? 
Solução 
 X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6  defeituosos 
a) P(X = 0) = 6 . (1/3) 
0
.(2/3)
6-0
 = (2/3)
6
 = 64/729 
 0 
b) P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 64 / 729 + 192 / 729 + 240 / 729 = 
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 = 496 / 729 = 68% 
c) E(X) =  xi.P(xi) = 0.64 / 729 + 1.192 / 729 + 2.240 / 729 + 3.160 / 729 + 4.60 / 729 
 5.12 / 729 + 6.1 / 729  E(X) = 2 defeituosos 
ou E(X) = n.p = 6.1/3 = 2 defeituosos 
d) V(X) = 
2
(X) = E(X
2
) - E(X)
2
 
V(X) = 0
2
.64/729 + 1
2
.192/729 + 2
2
.240/729 + 3
2
.160/729 + 4
2
.60/729 + 5
2
.12/729 + 
 6
2
.1/729 = 5,33 
V(X) = 5,33 - 2
2
 = 1,33 ou V(X) = n.p.q = 6.1/3.2/3 = 1,33   = 1,33 = 
1,15 
2- Num hospital 5 pacientes devem submeter-se a um tipo de operação da qual 80% 
sobrevivem. Qual a probabilidade de que: 
a) Todos sobrevivem R 32,775 
b) Pelos menos dois sobrevivem R 99,33% 
c) No máximo 3 não consigam sobreviver. R 99,33% 
d) Qual é o número esperado de sobreviventes? R 4 sobreviventes 
3- Se 2/3 da população de certo município não assistem regularmente a programas de 
televisão e, colocando 250 pesquisadores cada um entrevistando 8 pessoas, estimar 
quantos desse pesquisadores informarão que até 2 das pessoas consultadas são 
telespectadores habituais. 
Solução 
 X . Assistem regularmente televisão p = 1/3 
 q = 2/3 
 X = 0, 1, 2 
P(X=0) = 8 .(1/3)
0
.(2/3)
8
 = 256/6561 
 0 
P(X=1) = 8 .(1/3)
1
.(2/3)
7
 = 1024/6561 P(X  2) = 256 + 1024 + 1792 
 1 6561 
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P(X=2) = 8 .(1/3)
2
.(2/3)
6
 = 1792/6561 P(X) = 3072 = 46,82% 
 2 6561 
 
Logo E(X) = n.p 250.(3072/6561) = 117,055  117 pesquisadores. 
 
 
 
 
 
4- DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 Quando a amostragem se faz semreposição de cada item amostrado de uma 
população finita, não se pode aplicar o processo de Bernoulli, uma vez que exite uma 
mudança sistemática na probabilidade de sucesso á medida que os itens são retirados da 
população. A distribuição Hipergeométrica é uma distribuição discreta de probabilidade 
apropriada quando existe amostragem sem reposição em uma situação que, se não fosse por 
isso, seria um processo de Bernoulli. 
 Suponha-se que tenhamos um lote de N peças e M das quais são defeituosas. 
Suponha-se que escolhemos, ao acaso n peças desse lote ( n  N); sem reposição. Seja X o 
número de peças defeituosas encontradas. Desde que X = x se, e somente se, obtivermos 
exatamente k peças defeituosas ( dentre as M defeituosas do lote) e exatamente ( n - x) não 
defeituosas ( dentre as N - M não defeituosas do lote, teremos: 
 
 M N - M 
 P(X = x) = x . n - x 
 N 
 n 
 
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
E(X) = n.p 
 
V(X) = 
2
(X) = n.p.q. N - n 
 
 N - 1 
 
 
E(x) =  xi.p(xi) =  xi. M N - M 
 x n - x (*) 
 N 
 n 
 
APLICAÇÕES 
 
1- Em uma sala há 6 homens e 5 mulheres. Uma comissão de 4 pessoas é formada ao acaso. 
Qual a probabilidade de que: 
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a) apareçam 3 homens na comissão, 
b) não apareça nenhum homem, 
c) Qual o número esperado de homens na comissão e o número de mulheres? 
 
Solução 
a) 
N = 11 (total de pessoas) 
n = 4 ( número de pessoas na comissão) 
M = 6 ( quantidade de homens) 
N - M = 5 ( quantidade de mulheres) 
x = 3 (quantidade de homens na comissão) 
 6 5 
P(X = 3) = 3 1 = 20.5/330 = 10 / 33 
 
 11 
 4 
 
 6 5 
b) P(X = 0) = 0 4 = 1.5 / 330 = 1 / 66 
 
 11 
 4 
c) E(X) = E(x) = 4.6/11 = 24/11 = 2,l8  2 homens 
 
 E(X) = E( N - x) = 4.5/11 = 20/11  2 mulheres 
 Poderia calcular E(X) usando a fórmula (*). 
 
2- Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 
lâmpadas ao acaso para iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que: 
a) exatamente duas estejam queimadas? 
b) Pelo menos uma seja boa? 
c) Pelo menos duas estejam queimadas? 
d) Encontre o número esperado de lâmpadas queimadas e a dispersão em torno da média. 
 
Solução 
X: lâmpadas queimadas 
M: total de lâmpadas queimadas = 5 
k: lâmpadas queimadas (ao acaso) 
n: número de lâmpadas (ao acaso) = 6 
N: total de lâmpadas = 12. 
 
 5 7 
a) P(X=2) = 2 4 = 10.35/924 = 350/924 
 
 12 
 6 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
15 
 
b) X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 
P(X  5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) 
 = 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 
 0 6 + 1 5 + 2 4 + 3 3 + 4 2 + 5 1 
 
 12 12 12 12 12 12 
 6 6 6 6 6 6 
 = 7/924 + 105/924 + 350/924 + 350/924 + 105/924 + 7/924 
 = 924/924 = 1 = 100% 
c) P(X  2) = p(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 
 = 350 + 350 + 105 + 7 = 812 / 924 = 87,88% 
 924 
d) E(X) = n.p = 6.5/12 = 2,5  2 lâmpadas queimadas 
 
2
(X) = V(X) = n.p.q. N - n = 6. 5/12. 7/12. 12 - 6 = 0,795 
 N - 1 12 - 1 

2
(X) = 0,795 = 0,89  1 lâmpada 
 
 
 
5-DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 A distribuição de Poisson pode ser usada par determinar a probabilidade de um dado 
número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço. 
Tal processo, chamado de processo de Poisson é similar ao processo de Bernoulli, exceto 
que os eventos ocorrem em um continuum ao invés de ocorrerem em tentativas ou 
observações fixadas. Um exemplo de tal processo é a chegada de chamadas em uma 
central telefônica. Tal como no caso do processo de Bernoulli, supõe-se que os eventos são 
independentes e que o processo é estacionário (a média não altera dentro da especificação). 
 Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um dado número 
de sucessos em um processo de Poisson: o número médio de sucessos para a específica 
dimensão de tempo ou espaço de interesse. Este número médio é geralmente representado 
por  ou . A fórmula para determinar a probabilidade de um dado número X de sucessos 
em uma distribuição de Poisson é: 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
16 
 
 P(X / ) = 
X
.e
- 
 e = 2,71828........ 
 X! 
PARÂMETRO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
E(X) =  e V(X) = 
2
 =  
EXEMPLOS 
1- Em um cruzamento de 2 ruas o número médio de acidentes é igual a 2 semanais. 
Determinar 
a) a probabilidade de que uma determinada semana ocorram 3 acidentes. 
b) A probabilidade de que não ocorra nenhum acidente 
c) A probabilidade de que ocorra acidente. 
Solução 
X = 0, 1, 2, 3, ......., n 
a) P(X = 3) = 2
3
.e
-2
 = 8/6.2,7183
-2
 = 4/3.0,13534 = 0,18 = 18% 
 3! 
b) P(X = 0) = 2
0
.e
-2
 = 0,13534 = 13,53% 
 0! 
d) P(X  1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,13534 = 0,86466 = 86,47% 
2- Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por 
hora. A probabilidade de que menos do que três chamadas sejam recebidas durante 
uma hora aleatoriamente escolhida é: 
P(X < 3) /  = 5) = P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 5
0
.e
-5
 + 5
1
.e
-5
 
 0! 1! 
 
 + 5
2
.e
-5
 = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1248 = 12,5% 
 2! 
 
EXERCÍCIOS 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
 
1- Descobriu-se que a chegada de clientes a um Banco, durante intervalos 
aleatoriamente escolhidos de 10minutos, segue a distribuição de probabilidade da 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
17 
 
tabela, abaixo. Calcular o número esperado de chegadas por intervalo de 10 
minutos bem como calcular a variância das chegadas.E(X) = 2, V(X) = 1,9 
 
Nº de 
chegadas X 
 0 1 2 3 4 5 
Probabilida
-de P(X) 
 0,15 0,25 0,25 0,20 0,10 0,05 
 
2- Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro é 
causado por um motorista embriagado é cerca de 0,229. Nos próximos três 
acidentes, qual a é probabilidade de que: 
a) exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado? 40,8% 
b) No mínimo um acidente seja causado por um motorista embriagado? 57,6% 
c) Se você tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes causados por 
motoristas embriagados nos 10 próximos acidentes: 
 Pdf (*) Cdf (**) 
0 0,0742 0,0742 
1 0,2205 0,2947 
2 0,2947 0,5893 
3 0,2334 0,8227 
4 0,1213 0,9440 
5 0,0432 0,9873 
6 0,0107 0,9980 
7 0,0018 0,9998 
8 0,0002 1,0000 
9 0,0000 1,0000 
10 0,0000 1,0000 
 
(*) pdf - Probability Distribution Function (Função de Distribuição de Probabilidade) 
(**) Cdf - Cumulative Distribution Function ( Função de Distribuição Cumulativa) 
1- ache P(x=3) 23,34% 
2- ache P(5  x  9) 1,27% 
3- qual é a média e a variância da distribuição tabulada acima? =2,29, ² =1,77 
 
 
3- Existem 90% de probabilidade de que um certo tipo de componente se comporte de 
forma adequada sob condições de elevadas temperatura. Se o dispositivo em questão tem 
quatro de tais componentes, determinar, por meio da fórmula de probabilidades binomiais a 
probabilidade de cada um dos eventos. 
a) Todos os componentes se comportam de forma adequada, por conseguinte, o 
dispositivo funciona. 65,61% 
b) O dispositivo não funciona por falhar um dos quatro componentes. 29,16% 
c) O dispositivo não funciona por que falham um ou mais dos componentes. 34,39% 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
18 
 
4-Suponha que 40% dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor da 
representação sindical e que se peça uma resposta anônima a uma amostra aleatória de 10 
empregados. Qual a probabilidade de estarem a favor da representação sindical: 
a) a maior parte dos que responderam? 16,08% 
b) Menos da metade dos que responderam? 63,92% 
 
5- De 20 estudantes em uma classe, 15 não estão satisfeitos com o texto utilizado. Se uma 
amostra aleatória de quatro alunos se perguntar sobre o texto, determinar a probabilidade de 
que estivessem descontentes com o texto: 
a) exatamente três estudantes. 46,96% 
b) No mínimo três estudantes. 75,13% 
6- Somente um de cada mil geradores montados em uma fábrica apresenta defeitos, sendo 
que os geradores defeituosos se distribuem aleatoriamente ao longo da produção. 
a) Qual a probabilidade de que um carregamento de 500 geradores não inclua gerador 
defeituoso algum? 60,65% 
b) Qual a probabilidade de um carregamento de 100 geradores contenha no mínimo 
um gerador defeituosos? 9,52% 
 
7- Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja 
defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao 
acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? 
Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Pb = 37,58% e Pp = 
40,6% 
8- Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem corte a uma taxa de um por 
2000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 pés a fita magnética tenha: 
a) nenhum corte? 36,79% 
b) No máximo 2 cortes? 91,97% 
c) Pelo menos dois cortes? 26,42% 
 
9- Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de 
Poisson, com a média de 8 chamadas por minuto. Determinar a probabilidade de que 
num minuto aleatoriamente escolhido se tenha. 
a) três ou mais chamadas 98,62% 
b) menos do que 5 chamadas 9,96% 
c) entre 7 (inclusive) e nove (exclusive) chamadas. 27,92% 
 
10- Uma máquina, fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum defeito, um, 
dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade 90%, 5%, 3%, 1% e 1%, 
respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é 10 u.m. e à medida que 
apresente defeito, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual o preço médio 
de venda destas placas? E(x) = 9,34 u.m 
 
11- Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias 15% das 
vezes, por atraso na entrega, mercadoria fora de especificação danos, etc. causando 
reclamações por parte dos clientes. Calcule a probabilidade de: 
a) não ocorrer reclamações nas 10 entregas de hoje. R 19,69% 
b) Acontecer pelo menos uma reclamação nas 4 primeiras entregas. R 47,80% 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
19 
 
c) Acontecer no máximo uma reclamação nas 10 entregas. R 54,43% 
 
12- Em um pedágio de determinada rodovia chegam em média 600 carros por hora. 
Determine a probabilidade de : 
a) chegarem exatamente 10 carros em um minuto R: 12,51% 
b) chegarem menos que 5 caros em um minuto R:2,92% 
 
 
 
 
 
 
 
II-DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE : 
EXPONENCIAL E NORMAL 
 
1– DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE EXPONENCIAL 
 
 É uma distribuição de Poisson, uma vez que o tempo ou espaço são um 
continuum(distribuição contínua). 
Uma vez que o processo de Poisson é estacionário, a distribuição exponencial aplica-se 
quer estejamos interessados com o tempo entre dois eventos sucessivos, ou quer no 
tempo decorrido até acontecer o primeiro evento após um ponto aleatoriamente 
selecionado A probabilidade exponencial de que o primeiro evento ocorrerá dentro do 
intervalo especificado de tempo ou espaço é: 
 
 P(T  t) = 1 – e
-
 
 
A probabilidade exponencial de que o primeiro evento não ocorrerá dentro do intervalo 
especificado de tempo ou espaço é: 
 
P(T > t) = e
- 
 
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 E(t) = 1/ 
 
 V(T) = 1/² 
 
EXEMPLOS 
 
1- Um departamento de conserto de máquinas recebe em média, 5 chamadas por hora. 
Iniciando em um ponto do tempo aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade de que 
a primeira chamada chegue dentro de meia hora? 
Solução 
/hora= 5   = 2,5 
Logo P((T  ½) = 1 – e
- 
 = 1 – e
-2,5 
 + 1 – 0,0821 = 0,9179 = 91,79% 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
20 
 
 
2- Em média, um navio atraca um certo porto a cada 2 dias. Qual a probabilidade de 
que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo 
navio? 
Solução 
Média a cada 2 dias = 1 
 = média pó período de 4 dias = 1.2 = 2 
Logo P(T > 4 ) = e
- 
 = e
-2 
= 0,1353 = 13,53% 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
Em média seis pessoas por hora se utilizam de um caixa-automático de um banco em uma 
grande loja de departamentos. 
a) Qual a probabilidade de que se passem pelo menos 10 minutos entre a chegada de 
dois clientes? R. 0,3678 
b) Qual a probabilidade de que, depois da saída de um cliente, não se apresente outro 
em pelo menos 20 minutos R.0,1353 
c) Qual a probabilidade de que chegue um segundo cliente dentro de 1 minuto após a 
chegado do primeiro R0,0952 
 
 
 
 
 
 
2-DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 A distribuição normal de probabilidade é uma distribuição de probabilidade 
contínua que é simétrica ( X = Me = Mo) e mesocúrtica K = Q3 - Q1 = 0,263 
 2(P90 - P10) 
 
 A curva que representa a distribuição normal de probabilidade é freqüentemente 
descrita como tendo uma forma de sino, como segue o exemplo. 
 
 F(X) 
 
 
 
 
 
 
 
 X = Me = Mo X 
 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
21 
 
A distribuição de probabilidade normal é importante na inferência estatística por três razões 
distintas. 
1- As medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem esta distribuição 
2- Probabilidades normais podem ser usadas freqüentemente como aproximações de 
outras distribuições de probabilidades, tais como as distribuições Binomiais e de 
Poisson. 
3- As distribuições de estatísticas da amostra tais como a Média e a Proporção 
freqüentemente seguem a distribuição normal independentemente da distribuição da 
população. 
 Como para qualquer distribuição contínua de probabilidade, o valor da probabilidade 
pode somente ser determinado para um intervalo de valores da variável. A altura da função 
densidade, ou curva de probabilidade, para uma variável normalmente distribuida é dada 
por: 
 -1/2( x - )
2
 
 f(x) = l .e  
 
 2 .  
 
onde:  = 3,14159... 
 e = 2,7183..... 
 : é a média da distribuição 
 : é o desvio padrão da distribuição 
 
 Em particular, a distribuição normal de probabilidade com  = 0 e  = 1 é 
conhecida como distribuição normal padronizada(reduzida), na qual as tabelas de 
probabilidades da normal são construídas. 
 Qualquer conjunto de valores de X normalmente distribuídos pode ser convertido 
em valores normais padronizados Z pelo uso da fórmula. 
 
 Z = x -  
  
Logo 
 
 -1/2.z
2 
 -z
2
/2 
 f(x) = 1 .e = 1 . e (-oo, + oo) 
 2 . 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
 
 f(z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 z 
  
  
 Parâmetros da distribuição N(, ) 
 
E(x) =  = 0 
V(x) = 
2 
= 1  N ( 0 , 1) 
 
Exemplos 
 
 1- As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com 
média de 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno aleatório 
medir: 
a) entre 1,50m e 1,80m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) mais de 1,75 m 
 
 
 
 
 
 
c) menos de 1, 48m 
 
 
 
 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
23 
 
 
 
 
 
 
d) qual deve ser a medida mínima para escolher 10% dos mais altos? 
 
 
 
 
 
 
e) abaixo de qual estatura estão os 20% mais baixos? 
 
 
 
 
 
 
 
2- Sabe-se que a vida útil de um componente elétrico segue uma distribuição normal 
com média  = 2000 horas e desvio padrão  = 200 horas, determine. 
a) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2000 
e 2400 horas 47,72% 
b) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure mais do 
que 2200 horas. 15,87% 
c) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 1500 
e 2100 horas. 68,53% 
d) A probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2100 
e 2500 horas. 30,23% 
 
 
 
 
 
 
 
2- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS 
 
 Quando o número de observações ou tentativas forem relativamente grande, a 
distribuição de probabilidade normal pode ser utilizada para a aproximações das 
probabilidades binomiais. 
 
 Regra aceitável n  30 
 "regra de bolso" n.p  5 
 n.(1 - p)  5 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
24 
 
 
 Para uso da distribuição normal de probabilidade como uma aproximação da 
distribuição de probabilidade binomial, a média e o desvio padrão se baseiam no valor 
esperado e na variância do número de sucessos de uma distribuição binomial, ou seja: 
 
 E(x) =  = n.p 
 
  = n.p.(1 - p) 
 
 Aplicações 
 
1- Para um grande número de clientes potenciais, sabe-se que 20% dos contactados 
pessoalmente por agentes de vendas realizarão uma compra. Se um representante de 
vendas visita 30 clientes potenciais, podemos determinar a probabilidade de que 10 ou 
mais farão uma compra. 
a) utilizando as probabilidades binomiais. 
b) Utilizando a aproximação normal do valor de probabilidade binomial. 
 
Solução 
a) P(x  10) = ..... 6,11% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  = n.p = 30.2/10= 6 
 
  = n,p.(1-p) = 30.0,2.0,8 = 2,19 
 
P binomial (x  10) = Pbin.( x  9,5 / = 6,  = 2,19) = …. = 5,48% 
 
 
 
 
 
 
 Obs. Supõe-se que a classe de eventos "10 ou mais começa em 9,5 quando se utiliza 
a aproximação normal. Esta subtração de meia unidade é chamada correção de 
continuidade e é necessária porque embora não existem eventos possíveis no intervalo 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
25 
 
entre 9 e 10 sucessos, a área sob a curva normal deve ser distribuída entre duas classes 
adjacentes. Se no exemplo, fosse pedida a probabilidade de "mais de 10" sucessos, a 
correção apropriada de continuidade implicaria adicionar 0,5 a 10 e determinar a área do 
intervalo começando em 10,5. 
 A correção de continuidade tem um efeito muito pequeno e pode, portanto, ser 
omitida quando existir um grande número de valores da viável X. 
 
Portanto Pbin(x  10) = P(x  9,5) = .... 
 
2- Uma moeda é lançada 12 vezes. Determinar a probabilidade de que o número de coroas 
ocorra entre 4 e 7 inclusive o 4 e o 7. 
a) pela distribuição binomial 
b) pela distribuição normal 
 
 
 
 
 
3- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES DE POISSON 
 
 Quando a média  de uma distribuição de Poisson for relativamente grande a 
distribuição normal de probabilidade pode ser usada como uma aproximação das 
probabilidades de Poisson. Uma regra conveniente é que tal aproximação é aceitável 
quando   10. 
 A média e o desvio padrão da distribuição normal de probabilidade, n o caso, 
baseiam-se no valor esperado e na variância do número de sucessos em uma processo de 
Poisson, ou seja: 
 
  =  
  =  
 
Aplicação 
 
 Um departamento de conserto de máquinas recebe em média, 10 chamadas em cada 
período de 8 horas. Podemos determinar a probabilidade de que mais de 15 chamadas 
serão recebidas em um período de 8 horas aleatoriamente escolhido. 
a) pela distribuição de Poisson 
b) pela distribuição normal 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
26 
 
4- Métodos de Amostragem e Distribuições Amostrais 
 
OBJETIVOS DO CAPÍTULO: 
 
 Explicar porque em muitas situações uma amostra é a única forma plausível de 
aprender alguma coisa sobre uma população. 
 Explicar os métodos de selecionar uma amostra 
 Distinguir entre amostragem probabilística e amostragem não probabilística 
 Definir e construir uma distribuição amostral de médias amostrais 
 Explicar o Teorema do Limite Central e sua importância para a Inferência Estatística 
 Calcular Intervalos de Confiança para Médias e Proporções 
 Determinar que tamanho uma amostra deve ter para estimar médias e proporções 
 
Porque amostrar uma população 
 
 Natureza destrutiva de certos testes 
 A impossibilidade física de checar todos os itens na população 
 O custo de estudar todos os itens em uma população é freqüentemente proibitivo 
 Muitas vezes as estimativas baseadas em uma amostra são mais precisas do que os 
resultados obtidos através de um levantamento censitário 
 Tempo muito elevado para a apuração de resultados em censos 
 
6.1 Amostragem Probabilística 
 
 O que é uma amostragem probabilística ? 
 É uma amostra selecionada de tal forma que cada item ou pessoa na população estudada 
têm uma probabilidade (não nula) conhecida de ser incluída na amostra. 
 
Métodos de Amostragem Probabilística: 
 
 Amostragem Aleatória Simples (AAS) 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
27 
 
Uma amostra escolhida de tal forma que cada item ou pessoa na população tem a mesma 
probabilidade de ser incluída. 
Se a população tem um tamanho N, cada pessoa desta população tem a mesma 
probabilidade igual a 1/N de entrar na amostra. Utilizamos uma tabela de números 
aleatórios para sortear (com mesma probabilidade) os elementos da amostra. Também pode 
ser utilizada uma função randômica: No Excel, por exemplo, temos a função ALEATÓRIO 
ENTER. 
 Amostragem Aleatória Sistemática 
Os itens ou indivíduos da população são ordenados de alguma forma – alfabeticamente ou 
através de algum outro método. Um ponto de partida aleatório é sorteado, e então cada k-
ésimo membro da população é selecionado para a amostra. 
 
 Amostragem Aleatória Estratificada 
A população é inicialmente dividida em subgrupos (estratos) e uma subamostra é 
selecionada a partir de cada estrato da população. 
 
 Amostragem aleatória Estratificada com Repartição Proporcional 
Suponhamos que a população é subdividida em k estratos. Sejam: 
 
N = o número de indivíduos na população 
n = o número de indivíduos na amostra 
Ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato da população 
ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato na amostra 
 
k1,2,...., i 
N
N
nn ii 
os estratos devem ser o mais homogêneos possíveis com relação às características 
relevantes da pesquisa (variáveis que se correlacionam fortemente com a variável estudada) 
para um mesmo tamanho amostral, a amostragem aleatória estratificada com repartição 
proporcional é mais precisa (menor variância do estimador) do que a amostragem aleatória 
simples (AAS). 
 
 Amostragem Aleatória Estratificada com Repartição de Neyman (ou repartição 
ótima) 
 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
28 
 
Se conhecermos a variância de cada estrato populacional referente a variável que estamos 
desejando estimar o seu parâmetro, um método mais adequado é o da repartição de 
Neyman. 
 



k
i
ii
ii
k
i
ii
ii
N
N
n
W
w
nn
i
11




 
para um mesmo tamanho amostral a precisão é maior para amostra aleatória estratificada 
com repartição de Neyman (repartição ótima) do que para a amostra aleatória estratificada 
com repartição proporcional que por sua vez é maior do que a amostra aleatória simples 
 
 
 Amostragem por Conglomerados 
 
A população é inicialmente subdividida inicialmente em subgrupos (estratos) e uma 
amostra de estratos é selecionada (por exemplo, com probabilidade proporcional ao 
tamanho de cada estrato). A seguir, amostras são selecionadas dos estratos selecionados 
previamente. 
A principal vantagem da amostra por conglomerados é a de possibilitar considerável 
redução de custos (em relação por exemplo a uma amostragem aleatória estratificada) para 
um mesmo tamanho amostral. 
O método costuma ser empregado quando não dispomos de um cadastro da população 
(como no caso da amostragem sistemática) e os custos de ser elaborado um cadastro para 
toda a população é muito elevado. 
 
 Erro amostral: A diferença entre a estatística amostral e seu correspondente parâmetro. 
 
 Uma distribuição de probabilidade consiste de uma lista de todos os possíveis valores 
das médias amostrais de um dado tamanho amostral constante selecionado da 
população e a probabilidade de ocorrência associada a cada média amostral. 
 
 Exemplo 1 – Uma empresa tem 5 sócios. Semanalmente, os sócios relatam o número 
de horas de atendimento a clientes 
Sócio Horas 
1 22 
2 26 
3 30 
4 26 
5 22 
 
 
 MATERIALDE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
29 
 
 Dois sócios são selecionados aleatoriamente. Quantas amostras ‘distintas são possíveis? 
 O número de amostras distintas de dois elementos tomados em 5 objetos corresponde a: 
 
10
)!3)(!2(
!5
25 C 
 
Sócios Total Média 
1,2 48 24 
1,3 52 26 
1,4 48 24 
1,5 44 22 
2,3 56 28 
2,4 52 26 
2,5 48 24 
3,4 56 28 
3,5 52 26 
4,5 48 24 
 
 Organize as médias amostrais em uma distribuição de freqüências. 
 
Média 
Amostral 
freqüência Freqüência Relativa 
(Probabilidade) 
22 1 1/10 
24 4 4/10 
26 3 3/10 
28 2 2/10 
 
 Calcule a média das médias amostrais e compare-a com a média da população. 
 
 A média da população é: 
2,25
5
2226302622


 
 
 A média das médias amostrais é: 
 
2,25
10
)2)(28()3)(26()4)(24()1)(22(


 
 
 Observe que a média das médias amostrais é igual a média populacional 
 
 
 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
30 
 
6.2 Teorema do Limite Central 
 
 Para uma população com média  e uma variância 2 , a distribuição amostral das 
médias de todas as possíveis amostras de tamanho n, geradas a partir da população, será 
aproximadamente normalmente distribuída – com a média da distribuição amostral 
igual  e variância igual n/2 - assumindo que o tamanho amostral é 
suficientemente grande, ou seja, 30n . 
 
 Em outras palavras, se a população tem qualquer distribuição (não precisa ser 
necessariamente normal) com média igual a  e variância igual a 2 , então a 
distribuição amostral dos valores médios amostrais é normalmente distribuída com a 
média das médias ( X

) igual a média da população ( X ) e o erro 
padrão das médias amostrais igual a n

, desde que n 30 . 
 
 Note que o erro padrão das médias amostrais mostra quão próximo da média da 
população a média amostral tende a ser. 
 
 O erro padrão das médias amostrais é calculado por: 
 
n
X
X

 
 
X
 é o símbolo para o erro padrão das médias amostrais 
X
 é o desvio padrão da população 
n é o tamanho da amostra 
 
Se  não é conhecido e n  30 (considerada uma amostra grande), o desvio padrão da 
amostra, designado por s, é usado para aproximar o desvio padrão da população,  . A 
fórmula para o erro padrão torna-se: 
 
n
s
s
X
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
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31 
 
onde 
1
)(
1
2





n
XX
s
n
i
i
 
 
6.3 Estimativa de Ponto 
 
 Estimativa de ponto é um valor (chamado um ponto) que é usado para estimar um 
parâmetro populacional 
 Exemplos de estimativas de ponto são a média amostral, o desvio padrão amostral, a 
variância amostral, a proporção populacional, etc. 
 
Exemplo: O número de itens defeituosos produzidos por uma máquina foi registrado em 
cinco horas selecionadas aleatoriamente durante uma semana de trabalho de 40 horas. O 
número observado de defeituosos foi 12,4,7,14 e 10. Portanto, a média amostral é 9,4. 
Assim a estimativa de ponto para a média semanal do número de defeituosos é 9,4. 
 
6.4 Estimativa de Intervalo 
 
 Uma Estimativa de Intervalo estabelece uma faixa de valores dentro da qual um 
parâmetro populacional provavelmente cai. 
 O intervalo dentro do qual um parâmetro populacional é esperado ocorrer é chamado de 
intervalo de confiança. 
 Os intervalos de confiança que são extensivamente usados são os de 95 % e 99 %. 
 Um intervalo de confiança de 95 % significa que cerca de 95 % dos intervalos 
construídos similarmente conterão o parâmetro que está sendo estimado. 
 Outra interpretação do intervalo de confiança de 95 % é que 95 % das médias amostrais 
para um tamanho de amostra especificado cairão a uma distância máxima de 1,96 
desvios padrões da média populacional. 
 Para o intervalo de confiança de 99 %, 99 % das médias amostrais para um tamanho 
amostral especificado cairão a uma distância máxima de 2,58 desvios padrões da média 
populacional. 
 
Os intervalos de confiança para 95 % e 99 % são construídos como segue, para n  30: 
 O IC de 95 % para a média populacional  é dado por: 
 
n
s
X 96,1 
 
 O IC de 99 % para a média populacional  é dado por: 
 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
32 
 
n
s
X 58,2 
 Em geral, um intervalo de confiança para a média, é calculado por: 
n
s
ZX  
onde Z é obtido da tabela de distribuição normal padrão. 
 
Exemplo 2 
 
Uma universidade quer estimar o número médio de horas trabalhadas por semana por seus 
estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas com um desvio 
padrão de 4 horas. 
 
A estimativa de ponto do número médio de horas trabalhadas por semana é 24 horas (média 
amostral). 
 
Qual é o intervalo de confiança de 95 % para o número médio de horas trabalhadas por 
semana ? 
Usando a fórmula anterior ( 
n
s
X 96,1 ) temos 
49
4
96,124  ou 22,88 a 
25,12. O limite de confiança inferior é 22,88. O limite superior de confiança é 25,12. O 
grau de confiança (nível de confiança) utilizado é 0,95. 
 
Interprete os resultados 
 
 Se nós tivéssemos tempo para selecionar aleatoriamente 100 amostras de tamanho 49 da 
população de alunos do campus e calcular as médias amostrais e os intervalos de 
confiança para cada uma destas 100 amostras, a média populacional (parâmetro) do 
número de horas trabalhadas estaria contida em cerca de 95 dos 100 intervalos de 
confiança. Cerca de 5 dos 100 intervalos de confiança não conteriam a média 
populacional. 
 
 
 
6.5 Intervalo de Confiança para Uma Proporção Populacional 
 
Um intervalo de confiança para uma proporção populacional é dado por: 
 
p
 Z p 
 
onde: 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
33 
 
 
p é a proporção amostral 
p
 é o erro padrão da proporção amostral e é dado por: 
 
n
pp
p
)1( 
 
 
O intervalo de confiança é construído por: 
n
pp
p
)1(
 Z 

 
onde: 
 
p é a proporção amostral 
Z é o valor da variável normal padrão para o grau de confiança adotado. 
n é o tamanho amostral 
 
Exemplo 3 
 
Um planejador financeiro está estudando os planos de mudança de jovens executivos. Uma 
amostra de 500 jovens executivos que possuem suas próprias casas revelou que 175 
planejam vendê-las e retirarem-se para o interior do País. Construa um intervalo de 
confiança de 98 % para o parâmetro proporção populacional de executivos que planejam 
mudar para o interior. 
 
 Aqui n = 500, 35,0
500
175 p 
 e Z = 2,33 (para adotado confiança de nível 98,0  ) 
 
 O CI de 98 % é 0,0497 0,35ou 
500
)65,0()35,0(
33,235,0 

 
 
Interprete a resposta 
 
6.6 Fator de Correção de População Finita 
 
 Uma população que tem um limite superior definido é chamada de finita. Em 
estatística, considera-se como população finita quando 05,0
N
n (ou seja, quando a 
fração amostral é maior do que 5 %). 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTOESTATÍSTICA II - Mário
 
34 
 
 Para uma população finita, onde o número total de objetos é N e o tamanho da amostra 
é n, o seguinte ajuste é feito para os erros padrões da média amostral e da proporção 
amostral. 
 
 Erro padrão da média amostral: 
1


N
nN
n
X

 
 Erro padrão da proporção amostral: 
1
)1(



N
nN
n
pp
p 
 
 
 Este ajuste é chamado de Fator de Correção de População Finita (FCPF) 
 
Nota: se 05,0
N
n , o fator de correção de população finita é ignorado. 
 
Exemplo 4 
 
A universidade do exemplo 2 quer estimar o número médio de horas trabalhadas por 
semana pelos estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas e 
um desvio padrão de 4 horas. Construa um intervalo de confiança para o número médio de 
horas trabalhadas se há somente 500 estudantes no campus. 
 
 Agora 05,0098,0
500
49

N
n
. Portanto, temos que usar o FCPF 
  25,11 ; 93,22
1500
49500
49
4
96,124 


 
 
6.7 Selecionando uma Amostra 
 
 Há 3 fatores que determinam o tamanho de uma amostra, nenhum dos quais tendo uma 
relação direta com o tamanho da população. Eles são: 
1. O grau de confiança adotado 
2. O máximo erro permissível 
3. A variabilidade da população 
 
Uma fórmula de cálculo conveniente para determinar o tamanho amostral n é: 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
35 
 
2







E
Zs
n 
 
onde: 
 
E é o erro permissível 
 
Z é o valor da variável normal padrão associado ao grau de confiança adotado 
 
s é o desvio padrão da amostra piloto 
 
Exemplo 5 
 
Um grupo de consumidores deseja estimar a média de gasto mensal em eletricidade para 
um domicílio familiar simples em Julho. Baseado em estudos similares o desvio padrão é 
estimado como sendo R$ 20,00. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 99 % 
com um erro máximo admissível de 00,5$R . Qual deve ser o tamanho da amostra? 
 
   
10750,106
5
2058,2
2





 
n 
 
 
 
 
6.8 Tamanho Amostral para Estimativa de Proporções 
 
 A fórmula para determinar o tamanho amostral no caso de estimativa de proporções é: 
 
2
)1( 






E
Z
ppn onde 
 
p é a proporção estimada, baseada na experiência passada ou em uma amostra piloto 
 
Z é o valor da variável normal padrão associado ao grau de confiança adotado. 
 
E é o máximo erro permissível que o pesquisador tolera. 
 
Exemplo 6 
 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
36 
 
 Um clube deseja estimar a proporção de crianças que tem um cachorro. Se o clube 
deseja que a estimativa esteja no máximo afastada 3 % da proporção populacional, 
quantas crianças devem conter a amostra? Assuma um intervalo de confiança de 95 % 
e que o clube estimou, com base em experiência anterior, que aproximadamente 30 % 
das crianças têm um cachorro. 
 
   8934,893
03,0
96,1
70,030,0
2






n 
 
 
 
 
7. Teste de Hipóteses – Amostras Grandes 
 
 
OBJETIVOS: 
 
 Definir hipóteses e Testes de Hipóteses 
 Descrever os 5 passos do procedimento de Teste de Hipóteses 
 Distinguir entre Teste de Hipóteses Unicaudal e Bicaudal 
 Realizar um teste para a média populacional 
 Realizar um teste para a diferença entre duas médias ou proporções populacionais 
 Descrever os erros estatísticos associados aos testes de hipóteses 
 
Nota: 
 
 Se nada é conhecido acerca da população, a estimação é usada para fornecer uma 
estimativa de ponto e de intervalo acerca da população. 
 Se alguma informação acerca da população é proposta ou suspeitada, o Teste de 
Hipóteses é usado para determinar a plausibilidade desta informação. 
 
 
O que é uma hipótese ? 
 
 Hipótese: uma sentença sobre o valor de um parâmetro populacional desenvolvida para 
o propósito de teste. 
 Exemplos de hipóteses, ou sentenças, feitas acerca de um parâmetro populacional são: 
 A renda média mensal proveniente de todas as fontes para os analistas de sistemas é de 
US 3625 
 Vinte por cento de todos os transgressores juvenis são presos e sentenciados a prisão. 
 
O que é um Teste de Hipóteses ? 
 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
37 
 
 Teste de Hipóteses: um procedimento, baseado na evidência amostral e na teoria da 
probabilidade, usado para determinar se a hipótese é uma afirmação razoável e não seria 
rejeitada, ou é não razoável e seria rejeitada. 
 A seguir são propostos 5 passos para um teste de hipóteses: 
 
 
Passo 1: Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa 
 
Passo 2: Selecione um nível de significância 
 
Passo 3: Identifique a Estatística de teste 
 
Passo 4: Formule uma regra de decisão 
 
Passo 5: Tome uma amostra e obtenha uma decisão: Não rejeitar H0 ou rejeitar H0 e 
aceitar H1 
 
 
 Hipótese Nula H0: Uma afirmação (sentença) sobre o valor de um parâmetro 
populacional 
 
 Hipótese Alternativa H1: Uma afirmação (sentença) que é aceita se os dados amostrais 
fornecem evidência de que a hipótese nula é falsa. 
 
 Nível de Significância: A probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é 
efetivamente verdadeira, ou seja, valor de  (alfa) 
 
 
 Erro Tipo I: Rejeitar a Hipótese Nula, H0, quando ela é efetivamente verdadeira. A 
probabilidade do erro tipo I é igual ao nível de significância,  (alfa). 
 
 
 Erro Tipo II: Aceitar a Hipótese Nula, H0, quando é efetivamente falsa. A 
probabilidade do erro tipo II é igual a  (beta) 
 
 
 
 
Tipos de Erros 
 
 
 Aceita H0 Rejeita H0 
H0 é verdadeira Decisão Correta Erro Tipo I 
H0 é falsa Erro Tipo II Decisão Correta 
 
Alfa = erro tipo I Beta = erro tipo II 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
38 
 
 
 
Estatística de Teste (ou z efetivo ou valor de t): Um valor, determinado a partir da 
informação amostral, usado para determinar se devemos ou não rejeitar a hipótese nula. 
 
 Valor Crítico (ou z crítico ou valor de t): O ponto divisor entre a região onde a hipótese 
nula é rejeitada e a região onde ela não é rejeitada. Este valor é obtido a partir da 
tabela de z (normal padrão) ou da tabela de t (t de Student). 
 
7.1 Testes de Significância Unicaudais 
 
 Um teste é unicaudal quando a hipótese alternativa, H1, estabelece uma direção tal 
como: 
 
 H0: A renda média das mulheres é menor que ou igual a renda média dos homens. 
 
 H1: A renda média das mulheres é maior que a renda média dos homens. 
 
 A região de rejeição neste caso é a cauda direita (superior) da curva. 
 
Figura com distribuição normal mostrando a região de rejeição para um teste unicaudal 
 
 
7.2 Testes de Significância Bicaudais 
 
 Um teste é bicaudal quando não existe uma direção especificada para a hipótese 
alternativa H1, tal com: 
 
 H0: A renda média das mulheres é igual a renda média dos homens. 
 
 H1: A renda média das mulheres não é igual a renda média dos homens. 
 
 A região de rejeição neste caso é dividida igualmente em duas caudas da curva. 
 
Figura com distribuição normal mostrando a região de rejeição para um teste bicaudal 
 
(distribuição amostral para a estatística z para um teste bicaudal, 0.05 de nível de 
significância. 
Testando a Média Populacional: AmostraGrande, Desvio Padrão da População é 
conhecido. 
 
 Neste caso a estatística de teste (z efetivo) é dado por: 
 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
39 
 
n
X
z



 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 Os processadores de uma indústria indicam o ponto (marca) que a garrafa contem 16 
onças (medida inglesa de peso) do produto. O Departamento de Controle de Qualidade 
é responsável pelo controle da quantidade incluída na garrafa. Uma amostra de 36 
garrafas é selecionada por hora e o seu conteúdo pesado. Na última hora uma amostra 
de 36 garrafas apresentou um peso médio de 16,12 onças com um desvio padrão de 0,5 
onças. 
 
 Ao nível de significância de 0,05 podemos concluir que o processo está fora de 
controle? 
 
 
Passo 1: Estabelecer a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa: 
 
16 :H 16 : 10  H 
 
Passo 2: Estabelecer a regra de decisão: 
 
H0 é rejeitado se o z (efetivo – calculado com base nos valores amostrais) < -1,96 ou z > 
1,96. 
 
Passo 3: calcule o valor da estatística de teste ( z efetivo) 
 
 
 
44,1
]
36
5,0[
]1612,16[ z
 
 
Passo 4: Qual é a decisão sobre H0? 
 
H0 não é rejeitada, porque 1,44 é menor que o valor crítico de 1,96. 
 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
40 
 
7.3 P-value de um Teste de Hipótese 
 
 P-value: Esta é a probabilidade (considerando que a hipótese nula é verdadeira) de ter 
um valor para a estatística de teste no mínimo tão extremo como o valor calculado 
(efetivo) para o teste. 
 
 Se o p-value é menor que o nível de significância (alfa), H0 é rejeitada. 
 
 Se o p-value é maior que o nível de siginificância (alfa), H0 não é rejeitada. 
 
 
 
7.4 Cálculo do P-value 
 
 Teste Unicaudal (para a direita ou cauda superior): 
 
p-value = P{z  valor da estatística de teste calculada} 
 
 Teste Unicaudal (para a esquerda ou cauda inferior): 
 
p-value = P{z  valor da estatística de teste calculada} 
 
 
 Teste Estatístico Bicaudal 
 
p-value = 2P{z valor absoluto do valor da estatística de teste calculado} 
 
Para o exemplo anterior, z = 1,44, e desde que era um teste bicaudal, então o 
 
p-value = 1498,0)4251,05,0(2}44,1{2 zP . Desde que 0,1498 > 0,05, não é 
rejeitada H0. 
 
 
Testando para a Média Populacional: Grandes Amostras, Desvio Padrão Populacional 
desconhecido 
 
 Aqui  é desconhecido, portanto o estimamos com o desvio padrão amostral s. 
 
 Quanto maior for o tamanho amostral for n  30, o z efetivo pode ser aproximado com 
n
s
X
z


 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
41 
 
 
Exemplo 2 
 
 
 A cadeia de Lojas Arjo emite o seu próprio cartão de crédito. O administrador de 
crédito quer verificar se o saldo não pago mensal é maior do que US$ 400. O nível de 
significância é fixado em 0,05. Uma amostra aleatória de 172 saldos não pagos revelou 
uma média amostral de US$ 407 e o desvio padrão amostral de US$ 38. O admistrador 
de crédito pode concluir que a média populacional é maior que US$ 400, ou é razoável 
assumir que a diferença de US$ 7 (US$ 407 – US$ 400 é devido a chance (variação 
aleatória)? 
 
 Etapa 1: Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa. 
 
0 1: 400 H : 400H    
 
 Etapa 2: Estabeleça a regra de decisão. 
 
H0 é rejeitada se o z (efetivo) > 1,645. 
 
 Etapa 3: Calcule o valor da estatística de teste. 
 
42,2
172
38
400407


z 
 
 Etapa 4: Qual é a decisão sobre H0? 
 
H0 é rejeitada. O administrador conclui que a média dos saldos nào pagos é maior do que 
US$ 400. 
 
 
Figura ilustrando a região de rejeição do exemplo 
 
 
 
7.5 Teste de Hipóteses: Duas Médias Populacionais 
 
 Assuma que os parâmetros para duas populações são: 2121 e ,,  . 
 
 
 Caso I: Quando 21, são conhecidos, a estatística de teste (Z efetivo) é: 
 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
42 
 
2
2
2
1
2
1
21
nn
XX
z




 
 
 Caso II: Quando 21, não são conhecidos mas os tamanhos amostrais n1 e n2 são 
maiores ou iguais a 30, a estatística de teste (Z efetivo) é: 
 
 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
XX
z



 
 
 
Exemplo 3 
 
 Na indústria X foi realizado um estudo para comparar o número médio de anos de 
serviço para aqueles que se aposentaram em 1975 com aqueles que se aposentaram no 
último ano. Os seguintes dados amostrais foram obtidos. A um nível de significância de 
0,01 podemos concluir que os trabalhadores que se aposentaram no último ano tiveram 
mais anos de serviço? 
 
Característica 1975 Último ano 
Média Amostral 25,6 30,4 
Desvio Padrão Amostral 2,9 3,6 
Tamanho amostral 40 4,5 
 
 
 
 Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa 
 
Considere que a população 2 é aquela dos que se aposentaram no último ano. 
121120 :H :  H 
 
 Estabeleça a regra de decisão 
 
Rejeitar H0 se o z (efetivo) > 2,33. 
 
 Calcule o valor da estatística de teste (valor de z efetivo): 
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 ESTATÍSTICA II - Mário
 
43 
 
 
80,6
40
9.2
45
6,3
6,254,30
22



z
 
 
 Nota: Desde que neste problema estamos testando para: 
 
 H0 : 12   
 
Precisamos trocar as posições das variáveis na equação do z efetivo (a seguinte equação). 
 
 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
XX
z



 
 
 
Z efetivo 
 
 
 Qual é a decisão sobre a hipótese nula ? Interprete os resultados? 
 
Desde que o Z efetivo = 6,80 > Z crítico = 2,33, H0 é rejeitada. Aqueles que se aposentaram 
no último ano tiveram mais anos de serviço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS- ESTATÍSTICA II: 
ASSUNTO: INTERVALO DE CONFIANÇA E TESTE DE HIPÓTES. 
 
1-Uma amostra aleatória simples de 40 itens resultou em uma média amostral de 25. O 
desvio-padrão da população é  = 5 
a) Qual é o erro-padrão da média,  x ? R. 0,79 
b- Qual é a margem de erro para uma probabilidade de 95%? R. 23,45 a 26,55 
 
 MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO 
 ESTATÍSTICA II - Mário
 
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2-Uma amostra aleatória simples de 50 itens resultou em uma média amostral de 32 e um 
desvio-padrão da amostra de 6. 
a)Forneça um intervalo de confiança de 90% para a média da população. R.30,60 a 33,40 
b)Forneça um intervalo de confiança de 95% para a média da população. R.30,34 a 33,66 
c)Forneça um intervalo de confiança de 99% para a média da população. R.29,81, a 34,19 
 
3-Os ganhos médios semanais dos indivíduos que trabalham em vários setores foram 
apresentados no The New York Times 1998 Amanac. Os ganhos médios semanais para os 
indivíduos do setor de serviços foram US$369. Considere que esse resultado foi baseado 
em uma amostra de serviço de 250 indivíduos e que o desvio-padrão da amostra foi de 
US$50. Calcule um intervalo