Intervalos de Confiança

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Aula 3 - Intervalos de Confiança
Retomando...
Vimos que um estimador pontual para 𝜇 é a média amostral. Logo, um intervalo de confiança para a média populacional é dado por:
Ɛ representa o erro amostral, comumente chamado de margem de erro, e é encontrado a partir da distribuição amostral da média;
Existem 2 formas de construirmos um intervalo de confiança para a média populacional 𝜇: 
1) Usando a distribuição Normal como distribuição amostral da média. 
2) Usando a t de Student como distribuição amostral da média.
Intervalo de confiança para a média 𝜇 usando a distribuição Normal
Caso uma das situações abaixo ocorra na prática, o uso da distribuição Normal para construir um intervalo de confiança para a média populacional, é adequado:
1. A variância populacional (𝝈²) é dita ser conhecida;
2. O tamanho da amostra usada é ≥30 (com a variância populacional conhecida ou não).
O intervalo de confiança para a média populacional, com coeficiente de confiança (1-𝜶), é dado por:
OBS: assumindo uma confiança de 95% no estudo.
A área marcada significa os 95% de confiança no estudo. O nível de significância será de 5%, que precisará está em algum lugar. No limite superior e inferior são onde podemos encontrar as observações. Para saber qual é o z precisamos ir na tabela da normal encontrar qual é a área que retornaria o quantil z. O resultado do z é incluído no cálculo do intervalo de confiança, no erro amostral.
Intervalo de confiança para a média 𝜇 usando a distribuição t de Student
Caso a variância populacional (𝝈²) seja desconhecida e n < 30, sugere-se o uso da distribuição t para construção do IC para a média populacional.
Assim, o intervalo de confiança para a média populacional, com coeficiente de confiança (1-𝜶) é dado por:
O que vai mudar na expressão do intervalo de confiança?: Somente irá mudar o quantil; invés da normal, será usada o t.
O quantil da t é encontrado, observando em sua tabela 2 informações:
· o grau de liberdade 𝛎 = n-1;
· o nível de significância 𝛂 do estudo.
Por quê a distribuição t aproxima melhor os dados na situação que temos amostras pequenas? Porque ela corrige em um dos seus parâmetros levando em consideração o tamanho da amostra.
Existem observações que estão na calda da distribuição, o que são bem distantes do centro da distribuição. Quando a amostra é pequena, a distribuição normal não consegue aproximar muito bem as informações que estão na calda. Por isso, temos a nossa confiança máxima no intervalo, que é bilateral. O erro máximo que esperamos cometer em nosso estudo 2,5% em cada calda (considerando 95% de confiança no estudo).
A distribuição t justamente porque ela tem um parâmetro que modela a tendência central, parâmetro que modela a dispersão e parâmetro que leva em consideração essa distribuição na altura (que leva em consideração a dispersão dos dados) e o tamanho da amos, pois o grau de liberdade é n-1.
Ilustração prática do Intervalo de confiança
Se temos 95% de confiança em nosso estudo, estamos garantindo que em 95% das vezes que tirarmos uma amostra de mesmo tamanho, o verdadeiro valor do parâmetro estaria ali. Ou seja, dos 100 intervalos, estaríamos errando apenas 5 vezes. 
No gráfico a seguir com 25 (100%) intervalos, em uma amostra 1 (5%) não está representando bem o comportamento em termos de média dessa população. 
Isso é o ideal. No real, não conseguimos coletar tantas amostras assim. E se a gente usasse essa amostra que não está representando bem? Por isso que fazer uma inferência e generalização para a população tendo apenas uma amostra pode ser problemático, pode não refletir de forma satisfatória a população. 
Assim, devemos levar em consideração a característica que queremos inferir, a medida de dispersão e o quantil que está regendo a distribuição (que tem haver com a questão da aleatoriedade). 
Exemplos em publicações científicas
Exemplos:
1) Considere um estudo que avaliou a pressão sistólica em uma amostra de 100 pessoas, com idade entre 50 e 70 anos. A pressão sistólica média observada na amostra foi igual a 85mm/Hg. Supondo que a variância na população é conhecida e igual a 64mm/Hg, construa um intervalo de confiança considerando um nível de significância de 5%. Interprete o resultado obtido.
Aqui é suposto conhecer a variância populacional. De qualquer forma, poderíamos usar a distribuição normal por conta do tamanho da amostra. 
2) Considere as informações abaixo, referentes ao número de horas que 25 pacientes têm de alívio da dor crônica, após administração de uma droga por via intravenosa. Construa um IC para o tempo médio de alívio da dor, considerando uma confiança de 95%.
É uma amostra inferior a 30 e todas as medidas descritivas para a variável tempo foram calculadas com base na amostra. Ou seja, o tamanho da amostra é pequeno e a variância populacional é desconhecida. Usaremos o t de student. 
Importante!
A maioria dos softwares estatísticos usam a distribuição t-Student para obter IC’s para as médias;
Para amostras grandes, o uso da distribuição t-Student ou da Normal resultam em IC’s idênticos, por isso, para amostras grandes é comum ter intervalos construídos a partir da Normal (mesmo a variância populacional sendo desconhecida, o que é comum na prática);
Ter um intervalo de confiança estreito indica boa precisão, mas NÃO NECESSARIAMENTE que o resultado amostral é próximo do populacional, pois podem haver vieses.
Intervalo de confiança para a proporção populacional
Vimos que a distribuição amostral da proporção é aproximadamente normal (pelo TCL);
Quanto maior o tamanho amostral n, melhor será esta aproximação;
Assim, um intervalo com coeficiente de confiança (1-𝜶) para a proporção populacional, é dado por:
Exemplos
1. Uma votação realizada entre 400 eleitores, escolhidos ao acaso entre todos os eleitores de determinada cidade, indicou que 55% deles são favoráveis ao candidato que se lançará nas próximas eleições.
a) Assumindo uma confiança de 99%, construa um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de eleitores que pretende votar no referido candidato nas próximas eleições.
b) Se o número de eleitores nesta cidade for de 230 mil pessoas, quais seriam os números mínimo e máximo de votos que este candidato teria?
Resumindo...
Aumentar o tamanho da amostra aumenta a precisão das estimativas, mas:
· Não garante ausência de viés;
· viés pode produzir resultados bastante incorretos.
Como evitamos os vieses?
· Garantindo que os instrumentos de mensuração (coleta de dados) estejam sendo usados corretamente e sejam apropriados para o que se deseja avaliar;
· Implementando o procedimento amostral corretamente e aleatoriamente (amostragem probabilística, de preferência).
Não esquecer: desenho, objetivo do estudo e tipo de variáveis ajudam na escolha do tipo de método de análise, incluindo os intervalos de confiança.
Erros amostrais e não amostrais
Erros Não Amostrais: Ocorrem quando:
▪ Os dados são coletados, registrados ou analisados incorretamente; 
▪ Usa-se instrumentos/equipamentos defeituosos para realização de mensurações; 
▪ Questionários ou formulários têm questões formuladas de modo tendencioso.
Erros Amostrais: Ocorrem quando:
▪ A amostra não reflete a população: ou seja, não é representativa; Exemplo: amostra tem mais jovens e a população tem mais idosos;
▪ O tamanho da amostra não é adequado: quanto maior o tamanho da amostra, menor o erro cometido e vice-versa.
Mensurando o erro de estimação
Vimos na construção dos intervalos de confiança para a média e proporção, que os limites (inferior e superior) de confiança trazem informação sobre a estimativa pontual e a magnitude do erro cometido no processo de estimação;
Quanto mais preciso for o intervalo, menor será o erro de estimação, lembrando que:
Para IC’s para a média, usando a distribuição Normal, o erro de estimação é dado por:
Para IC’s para a média, usando a distribuição t, o erro de estimação é dado por:
Para IC’s para a proporção, o erro de estimação é dado por:
Tamanho amostral e Intervalo de Confiança
O tamanho amostralé função de vários fatores:
▪ desenho e objetivos do estudo; 
▪ variabilidade dos dados; 
▪ margem de erro tolerável; 
▪ magnitude do efeito a ser detectado; 
▪ grau de confiança desejado e poder do estudo.
Muitos resultados publicados são provenientes de estudos com baixo poder estatístico devido ao inadequado tamanho amostral ou desenho de estudo.