Teoria da Amostragem - Distribuição Amostral

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NOTAS DE AULA - ESTATÍSTICA 
 
 
TEORIA DA AMOSTRAGEM 
ESTIMAÇÃO 
 
 
ISABEL C. C. LEITE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2007
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 1 
 
 
 
TEORIA DA AMOSTRAGEM – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ES TIMADORES 
 
 
A teoria da amostragem é um estudo das relações existentes entre uma população e as amostras 
dela extraídas. 
É útil em: 
• estimação de parâmetros populacionais; 
• determinação das causas de diferenças observadas entre amostras. 
Constitui o que chamamos de estatística indutiva ou inferência estatística que consiste em 
inferir conclusões importantes sobre uma população a partir da análise de resultados observados em 
amostras aleatórias. Como toda conclusão deduzida a partir da amostragem é acompanhada de um 
grau de incerteza ou risco, o problema fundamental da inferência estatística é medir este grau de 
incerteza ou risco das generalizações. 
 
Parâmetro: medida numérica que descreve uma população. Genericamente representado por θ. 
 Exemplos: média (µ ), variância ( 2σ ). 
Estatística ou estimador: medida numérica que descreve uma amostra. Genericamente 
representado por θ̂ . Exemplos: média (x ), variância ( 2S ). 
Estimativa: valor numérico de um estimador. 
Erro amostral: erro que ocorre pelo uso da amostra. Denotado por ε e definido por: θθε −= ˆ . 
 
Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de um estimador (ou estatística) da 
amostra formada quando amostras de tamanho n são colhidas várias vezes de uma população. 
Por exemplo, se o estimador da amostra for a sua média, a distribuição será uma distribuição 
amostral de médias das amostras. 
 
 
Para cada distribuição amostral pode-se calcular a média, o desvio-padrão, etc. 
 
 
n 
n 
n 
n 
1x
2x
n 
3x
n 
4x
n 
Distribuição 
amostral de 
 x 
População 
M
Repetir esse processo 
para todas as amostras 
de tamanho n 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 2 
 
 
Distribuição amostral das médias 
 
Consideremos o seguinte problema. 
Seja X o peso real de pacotes de café, enchidos automaticamente por uma máquina. Sabe-se 
que a distribuição de X pode ser representada por uma normal, com parâmetros 2 e σµ . 
Suponhamos que a máquina esteja regulada para encher os pacotes segundo uma distribuição 
normal com média 500 gramas e desvio padrão de 10 gramas, isto é, ( )100,500~ NX . Sabemos 
que, às vezes, a máquina desregula-se e quando isto acontece o único parâmetro que se altera é a 
média, permanecendo a mesma variância. Para manter a produção sob controle iremos recolher uma 
amostra de 100 pacotes e pesá-los. Como essa amostra nos ajudará a tomar uma decisão? 
Usaremos a média x da amostra como informação pertinente para uma decisão. Mesmo que a 
máquina esteja regulada, dificilmente x será igual a 500 gramas, dado que os pacotes apresentam 
certa variabilidade de peso. Mas se x não se afastar muito de 500 gramas, não existirão razões para 
suspeitarmos da qualidade do procedimento de produção. Só iremos pedir uma revisão se o erro 
amostral (x– 500) for “muito grande”. 
O problema que se apresenta agora é o de decidir o que é próximo ou distante de 500 gramas. 
Se o mesmo procedimento de colher a amostra de 100 pacotes fosse repetido um número muito 
grande de vezes, sob a condição de a máquina estar regulada, teríamos idéia do comportamento da 
variável x , e saberíamos dizer se aquele valor observado é ou não um evento raro de ocorrer. Caso 
o seja, é mais fácil suspeitar da regulagem da máquina do que do acaso. 
Portanto é importante conhecer as propriedades da distribuição da variável x . 
 
As médias x das amostras de tamanho n retiradas de uma população com média µ e desvio 
padrão σ formam a distribuição amostral com os seguintes parâmetros: 
 
• O valor esperado ou média é igual à média populacional: ( ) ( ) µµ == xxE . 
• A variância é igual à variância populacional dividida pelo tamanho da amostra: 
( )
n
xxVar
2
2)(
σσ == . 
OBS: Se a população é finita e de tamanho N conhecido, e se a amostragem é feita sem 
reposição, então ( )
1
)(
2
2
−
−⋅==
N
nN
n
xxVar
σσ . 
Temos, portanto, para desvio padrão das médias amostrais: 
• ( )
n
x
σσ = , se a população é infinita, ou se a amostragem é feita com reposição; 
• ( )
1−
−=
N
nN
n
x
σσ , se a população é finita, ou se a amostragem é feita sem reposição. 
 
Observemos pelas fórmulas apresentadas que quanto maior o tamanho da amostra, menor será a 
variância de x , ou seja, o estimador x será mais preciso à medida que o tamanho da amostra 
aumentar. 
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Teorema do limite central 
 
Se de uma população com parâmetros (µ , 2σ ) for retirada uma amostra de tamanho 
suficientemente grande, a distribuição de x será aproximadamente normal, seja qual for a forma da 
distribuição da população. 
Ou seja, 












−
−≅





≅
1
,ou,
22
N
nN
n
Nx
n
Nx
σµσµ 
 
com distribuições padronizadas dadas por: 
 
1
ou
−
−
−=−=
N
nN
n
x
Z
n
x
Z ii
i
i σ
µ
σ
µ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aplicações 
 
1. Voltando ao problema inicial, onde uma máquina enchia pacotes cujos pesos seguiam uma 
distribuição normal N(500,100). Colhendo-se uma amostra de n = 100 pacotes e pesando-os, x 
terá uma distribuição normal com média 500 e variância 100/100 = 1. Logo, se a máquina 
estiver regulada, a probabilidade de encontrarmos a média de 100 pacotes diferindo de 500 g de 
menos de 2 gramas será 
( ) ( ) %95)22(5024982500 ≅<<−=<<=<− zPxPxP 
Ou seja, dificilmente 100 pacotes terão uma média fora do intervalo (498,502). Caso isto ocorra, 
podemos considerar como um evento raro, e será razoável supor que a máquina esteja 
desregulada. 
 
2. Admite-se que as alturas de 3000 estudantes do sexo masculino de uma universidade são 
normalmente distribuídas, com a média 172,72 cm e o desvio padrão 7,62 cm. Se forem obtidas 
80 amostras de 25 estudantes cada uma, quais serão a média e o desvio padrão esperados da 
distribuição amostral das médias resultantes se amostragem for feita: (a) com reposição; (b) 
sem reposição? 
 
Solução: 
 
O número de amostras de 25 elementos que podem ser obtidas teoricamente de um grupo de 
3000 estudantes, com e sem reposição, são: (3000)25 e C3000,25, respectivamente, muito maiores do 
que 80. Por isso não se obtém uma verdadeira distribuição amostral das médias, mas apenas uma 
experimental. Apesar disso, visto que o número de amostras é grande, haverá uma concordância 
muito estreita entre as duas distribuições amostrais. 
(a) ( ) ( ) cm. 524,1
25
62,7
x e cm 72,172 =====
n
x
σσµµ 
(b) ( ) ( ) cm, 518,1
13000
253000
25
62,7
1
x e cm 72,172 =
−
−=
−
−===
N
nN
n
x
σσµµ que é apenas 
ligeiramente menor que 1,524 cm e pode, portanto, para todos os fins práticos, ser considerado igual 
ao da amostragem com reposição. 
 
Conclusão: pode-se considerar esta distribuição amostral experimental das médias 
aproximadamente normal, com a média 172,72 cm e desvio padrão 1,524 cm. 
 
 
3. Em quantas amostras do problema anterior pode-se esperar que a média se encontre: 
(a) entre 169,67 cm e 173,48cm; 
(b) abaixo de 170,00 cm? 
 
Resp: (a) o número esperado de amostras é 536687,080 ≅⋅ . 
 (b) o número esperado de amostras é 30375,080 =⋅ . 
 
 
 
 
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Dimensionamento de uma amostra 
 
Muitas vezes é importante sabermos qual deverá ser o tamanho de uma amostra de modo a 
obter um erro de estimação ε previamente estipulado com determinado grau de confiança dos 
resultados obtidos. 
 
Exemplo: Seja ( ): 1200,840X N . Qual deverá ser o tamanhode uma amostra de tal forma que 
( )1196 1204 0,90P x< < = ? 
Solução: Se 
( )
( )
2
1200
1200 e 840 840 28,98
x
x
n n
µ
µ σ
σ
 =
= = ⇒ 
= =

 
Para o intervalo dado temos que 4xε µ= − = ± 
Como ( )
x
z
x
µ
σ
−= e 0,45 1,64z z= = , segue-se que 
4
1,64 141,13
28,98
n
n
±± = ∴ = . 
Concluímos que, se retirarmos uma amostra de 141 elementos da população X, teremos 90% de 
confiança que x estará no intervalo (1196,1216) e ( )1196 0,05P x < = ou ( )1216 0,05P x > = ; 
isto significa que o risco que corremos de que o valor da média caia fora do intervalo anterior é de 
10%. 
 
 
Distribuição amostral da soma, ou diferença, entre duas médias 
 
Sejam duas populações independentes com distribuição amostral das médias dadas por 
 
2 2
1 2
1 21 2
1 2
, e ,x N x N
n n
σ σµ µ
   
≅ ≅   
   
. 
 
Considerando amostras independentes das duas populações, temos: 
 
( )
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2
,x x N
n n
σ σµ µ
 
± ≅ ± + 
 
 
A distribuição normal padrão para ( )1 2x x± será ( ) ( )1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
i
x x
z
n n
µ µ
σ σ
± − ±
=
+
 
 
Aplicação: Numa escola A, os alunos submetidos a um teste obtiveram média 70 com desvio 
padrão 10. Em outra escola B, os alunos submetidos ao mesmo teste obtiveram média 65 com 
desvio padrão 15. Se colhermos na escola A uma amostra de 36 alunos e na B, uma de 49 alunos, 
qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias seja superior a 6 unidades? Resp. 0,3557 
 
 
 
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Distribuição amostral das proporções 
 
Consideremos uma população infinita onde a probabilidade de ocorrência de um evento 
(denominado seu sucesso) é p, enquanto a de sua não ocorrência (fracasso) é q = 1 – p. Tomemos 
todas as amostras possíveis de tamanho n extraídas desta população e, para cada amostra, 
determinemos a proporção p̂ de sucessos. 
Temos, portanto, o parâmetro p̂ que expressa a probabilidade, ou proporção, ou freqüência 
relativa, de determinado evento da população. 
nº de casos favoráveis ao evento na amostra
ˆ
nº total de casos da amostra
x
p
n
= = 
 
Obtemos assim uma distribuição amostral das proporções. 
Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral de ̂p é aproximadamente 
normal com 
• média: ( )p̂ pµ = , 
• desvio padrão: ( )p̂
pq
n
σ = , 
onde: p = verdadeira probabilidade populacional de “sucessos” 
 q = 1 – p 
 n = tamanho da amostra. 
Assim, ˆ ,
pq
p N p
n
 ≅  
 
 e sua distribuição normal padronizada é expressa por 
ˆ i
i
p p
Z
pq
n
−= . 
Aplicação 
 
Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por certa máquina são defeituosas. Qual é a 
probabilidade de, em uma remessa de 400 dessas ferramentas, revelarem-se defeituosas: 
(a) 3% ou mais; 
(b) 1,5 % ou menos? 
 
Solução: 
Temos: ( )ˆ 0,02p pµ = = e ( )ˆ
0,02 0,98
0,007
400p
pq
n
σ ⋅= = = . 
(a) Calculando a variável padronizada z para p̂ 1 = 0,03: 1
0,03 0,02
1,43
0,007
z
−= = 
( )ˆ( 0,03) 1,43 0,5 0,4236 0,0764P p P z≥ = ≥ = − = ou 7,64% 
 
(b) Calculando a variável padronizada z para p̂ 1 = 0,015: 1
0,015 0,02
0,71
0,007
z
−= = − 
( )ˆ( 0,015) 0,71 0,5 0,2611 0,2389P p P z≤ = ≤ − = − = ou 23,89 % 
 
 
 
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Distribuição amostral da soma, ou diferença, entre duas proporções 
 
Sabemos da distribuição amostral das proporções que para amostras suficientemente grandes, 
 
1 1
1 1
1
ˆ ,
p q
p N p
n
 
≅  
 
 e 2 22 2
2
ˆ ,
p q
p N p
n
 
≅  
 
. 
 
Considerando amostras independentes das duas populações, temos: 
 
( ) 1 1 2 21 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ,
p q p q
p p N p p
n n
 
± ≅ ± + 
 
 
A distribuição normal padrão para ( )1 2ˆ ˆp p± será 
( ) ( )1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ
i
p p p p
z
p q p q
n n
± − ±
=
+
. 
 
Estimação 
 
Um dos métodos para realizar inferências a respeito dos parâmetros é a estimação, que 
determina estimativas dos parâmetros populacionais. 
Existem dois tipos de estimação de um parâmetro populacional: estimação por ponto e a 
estimação por intervalo. 
 
 
Estimação por ponto 
 
A partir das observações, usando o estimador, procura-se encontrar um valor numérico único 
(estimativa) que esteja bastante próximo do verdadeiro valor do parâmetro. 
Este procedimento não permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo, mas 
a distribuição por amostragem dos estimadores torna possível o estudo das qualidades do estimador. 
 
ESTIMADORES PONTUAIS DOS PRINCIPAIS PARÂMETROS POPULACIONAIS 
Parâmetro Estimador 
Média (µ) n
i
i 1
1
x x
n =
= ∑ 
Variância (σ 2) ( )22
1
1
1
n
i
i
S x x
n =
= −
− ∑
 
Desvio padrão (σ) ( )2
1
1
1
n
i
i
S x x
n =
= −
− ∑
 
Proporção (p) 
ˆ
x
p
n
= , onde 
x = número de elementos da amostra que possuem a 
característica 
n = tamanho da amostra 
 
 
 
 
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Exemplo: Para avaliar a taxa de desemprego em determinado estado, escolhe-se uma amostra 
aleatória de 1000 habitantes em idade de trabalho e contam-se os desempregados: 87. Estimar a 
proporção de desempregados em todo o estado. 
87
ˆ 0,087
1000
p = = 
Estimação por intervalo 
 
Procura determinar um intervalo que contenha o valor do parâmetro populacional, com certa 
margem de segurança. Este procedimento permite julgar a magnitude do erro que podemos estar 
cometendo. 
Com base na amostra, uma maneira de expressar a precisão da estimação é calcular os limites 
de um intervalo, o Intervalo de Confiança (IC), tais que (1 α− ) seja a probabilidade de que o 
verdadeiro valor do parâmetro esteja contido nele. 
Portanto, 
α : grau de desconfiança, nível de incerteza ou nível de significância. 
1 α− : coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade; 
Formalizando, se denotarmos o parâmetro de interesse por θ, desejamos obter um intervalo 
com limite inferior I e limite superior S tal que 
P(I < θ < S) = 1 α− , 
onde α é um valor pequeno, ou seja 1α− é próximo de 1. 
Os limites deste intervalo são variáveis aleatórias, pois dependem da amostra selecionada. Um 
intervalo deste tipo é denominado intervalo de 1 - α (××××100)% confiança para o parâmetro θ. 
Valores de α mais comumente usados são 
α = 0,10 1 – α = 0,90 ou 90% 
α = 0,05 1 – α = 0,95 ou 95% 
α = 0,01 1 – α = 0,99 ou 99% 
 
A precisão com que se conhece θ depende da amplitude deste intervalo dada por S – I. Quanto 
menor esta amplitude melhor determinado estará o parâmetro. 
 
A figura abaixo ilustra o conceito de intervalo de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
µ
1
AMOSTRA
2
3
4
5
6
7
..
.
INTERVALOS DE CONFIANÇA 
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O verdadeiro valor do parâmetro estará contido em 1α− (××××100) % desses intervalos. 
Observe que algumas estimativas intervalares incluem e outras não incluem o verdadeiro valor 
do parâmetro da população. Ao retirarmos uma amostra e calcularmos um intervalo de confiança, 
não sabemos na verdade se o parâmetro da população se encontra naquele intervalo calculado. O 
importante é saber que se está utilizando um método com 1 α− (××××100) % de probabilidade de 
sucesso. 
 
Intervalos de confiança para a média de uma população normal com variância conhecida 
 
Consideremos uma população normal com média desconhecida que desejamos estimar e com 
variância conhecida, ( )2?,X N σ= . 
Procedimento para a construção do IC: 
1. Retiramos uma amostra casual simples de n elementos. 
2. Calculamos a média da amostra x . 
3. Calculamos o desvio padrão da média amostral: 
n
σ
. 
4. Fixamos o nível de significância α, e com ele determinamos zα , tal que 
( ) ,P z zα α> = ou seja, ( ) ( ) e 2 2P z z P z zα α
α α> = < = . 
Logo, devemos ter ( ) 1P z zα α< = −zα− zα 
 
 
Neste caso o Intervalo de Confiança de 1α− (×100)% para µ é dado por: 
, x z x z
n n
α α
σ σ − + 
 
 
Usando uma notação mais simples, teremos ( )( ) ( )1 2IC , 1 % ,µ α µ µ− = . 
 
Exemplos: 
 
1. A duração de vida de uma peça de equipamento é tal que 5σ = horas. Foram amostradas 
aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo-se média de 500 horas. Desejamos construir um intervalo 
de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança. 
 
Solução: Temos ( )5, 100, 500, 1 100 95%n xσ α= = = − = . 
 
 
 
2
α 1 α− 2
α
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O gráfico da distribuição normal padrão será: 
 
0
0,95
0,0250,025
D istribuição Norm al (0,1)
-1,96 1,96
 
 
 
 
 
 
z = 1,96 corresponde à área 0,475 
Substituindo os dados na fórmula, temos o intervalo de confiança solicitado, 
 
( )499,02 500,98 95%P µ< < = , 
 
significando que com 95% de confiança a duração média da peça está entre 499,02 e 500,98 horas. 
Portanto, se fossem construídos intervalos dessa mesma maneira, para um grande número de 
amostras, em 95% dos casos os intervalos incluiriam µ . 
 
Para os casos de populações finitas, multiplica-se o desvio padrão pelo fator de correção, 
gerando o IC: 
, 
1 1
N n N n
x z x z
N Nn n
α α
σ σ − −− ⋅ + ⋅  − − 
 
 
 
2. Admitindo os mesmos dados do exemplo anterior, consideremos como população a produção 
de 1000 peças. Nesse caso o intervalo para a média será (499,07;500,93), conforme os cálculos 
abaixo. 
1 2
5 1000 100 5 1000 100
500 1,96 . e 500 1,96 .
1000 1 1000 1100 100
µ µ− −= − ⋅ = + ⋅
− −
 
 
Logo, o intervalo (499,07;500,93) contém a duração média das 1.000 peças com 95% de 
confiança. 
 
 
Amostras Grandes - População Normal ou não Normal 
 
Se n é suficientemente grande (em geral, n > 30), mesmo sem conhecermos a distribuição da 
população, os limites do Intervalo de Confiança para a média (µ) poderão ser calculados com base 
na distribuição Normal padrão. Da mesma forma podemos utilizar o desvio padrão amostral S no 
lugar de σ (desvio-padrão populacional), caso este não seja conhecido. 
 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 11 
 
 
Intervalos de confiança para a proporção 
 
Lembremos que quando p populacional é conhecida, ˆ
x
p
n
= tem distribuição aproximadamente 
normal, ˆ ,
pq
p N p
n
 ≅  
 
. Para construirmos o IC para p desconhecida, determinamos p̂ na amostra 
e consideramos ˆ
ˆ ˆ
p
pq
n
σ ≅ . 
Logo, ao nível α de significância, ( ) 1P z zα α< = − , onde 
ˆ
ˆ
p
p p
z
σ
−= . 
Desenvolvendo os cálculos, como foi feito para a média, chegamos à formula do IC para a 
proporção p populacional. 
( )( ) ( )1 2IC , 1 % ,p p pα− = = ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ;pq pqp z p zn nα α
 
− +  
 
 
Exemplo: 
Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo 
escolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos, dos quais 80 foram favoráveis. 
a. Faça um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao 
nível de 4% de significância. 
b. Qual o valor do erro de estimação ocorrido no intervalo acima? 
 
Solução: Dados n = 100, x = 80, α = 4%, temos que 
 ̂ ˆ0,80 , 0,20p q= = e ˆ
0,8 0,2
0,04
100p
σ ⋅≅ = . 
a. 0,48 2,05z zα = = ⇒ ( ) ( )IC ,96% 0,718;0,882p = 
Temos uma confiança de 96% que de 71,8% a 88,2% dos alunos do curso serão favoráveis à 
modificação curricular. 
b. 
ˆ
ˆ
p
p p
z
σ
−= ⇒ ˆ
ˆ
p
p
z zσ σ
ε ε σ
σ
= ∴ = ⋅ 
 2,05 0,04 0,082 8,2%ε ε= ⋅ = ∴ = 
 O erro de estimação cometido em (a) é de 8,2% para 96% de confiança e uma amostra de 
100 alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 12 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
• BUSSAB, Wilton de O. MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5ª edição. São Paulo: Saraiva, 
2006. 
• MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – Volume 2 – Inferência. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 2000. 
• MARTINS, Gilberto de A. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2005. 
• SPEIGEL, Murray R. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1993. 
• Notas de aula dos professores do Departamento de Estatística – UFBA, disponíveis no site 
www.est.ufba.br.