Aula 3 - Teoria de Rankine

Prévia do material em texto

Sejam bem-vindos!
ENGENHARIA CIVIL
Obras de terras e contenções 
Engenharia Civil
Obras de terra e contenções 
Prof. Alan de Paula Almeida 
E-mail_alan.almeida@fmu.br
Aula 3
Obras de terra e contenções na engenharia 
Teoria de Rankine 
O muro de arrimo são estruturas de contenção ou seja para conter um determinado 
terrapleno ou aterro, exemplo, podem ser de vários tipos ou materiais o principio 
de um muro de gravidade é combate ao seus empuxos pelo seu peso próprio e 
portanto este é o seu principio de atuação.
E. Ativo
E. Ativo
E. Passivo
E. Passivo
N.T
N.T
Teoria de Rankine (1857)
Segundo Wikipédia (2018), William John Macquorn Rankine (1820-1872) foi 
um polímata escocês, tendo concluido o curso de Engenharia Civil em 1838. 
Na Engenharia Civil desenvolveu técnicas na área da mecânica dos sólidos 
como a teoria dos empuxos de solos, apresentada em 1857, com algumas 
observações diferentes da teoria de Coulomb (1776).
Teoria de Rankine (1857)
Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra utilizam-se 
dos métodos de equilíbrio limite. Nestes métodos admite-se que a cunha de solo situada 
em contato com a estrutura de suporte esteja num dos possíveis estados de plastificação, 
ativo ou passivo - ele considera a totalidade da massa de solo em estado de equilíbrio 
plástico. Esta cunha tenta deslocar-se da parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as 
análises de equilíbrio dos corpos rígidos (indeformável). A análise de Rankine se apóia nas 
equações de equilíbrio interno do maciço. Estas equações são definidas para um elemento 
infinitesimal do meio e estendida a toda a massa plastificada através de integração ao 
“longo de sua altura”.
Teoria de Rankine (1857)
Sendo a parede vertical considerada perfeitamente lisa (sem atrito, inicialmente) a 
distribuição de pressão junto ao muro crescem linearmente com a profundidade e no caso de 
solos não coesivos o ponto de aplicação se situa a uma distância vertical de 1/3 da altura do 
muro e sua resultante é determinada pela área do diagrama.
Teoria de Rankine (1857)
Rankine, no desenvolvimento de sua teoria impõe algumas condições iniciais pressupostas como 
fundamentais para os primeiros passos da análise da resistência ao cisalhamento das massas de 
solos. São elas:
a) O solo do terrapleno considerado é areia pura seca (sem coesão) homogênea em todo o espaço 
semi-infinito considerado;
b) O terrapleno é constituído de uma camada única e contínua de mesmo solo e sua superfície 
superior é horizontal (solo homogêneo);
c) O atrito entre o terrapleno e o paramento vertical do plano de contenção é considerado nulo;
d) O terrapleno não tem nenhuma sobrecarga (concentrada, linear ou distribuída).
Teoria de Rankine (1857)
Condição do empuxo ativo
Figura – Empuxo ativo: Estado de tensões e plano de ruptura
Teoria de Rankine (1857)
A condição inicial de Rankine impõe a condição de c = 0 (coesão nula). Tomando-se a 
equação analítica da rutura, temos:
Teoria de Rankine (1857)
Condição do empuxo passivo
Figura – Empuxo passivo: Estado de tensões e plano de ruptura
Teoria de Rankine (1857)
Teoria de Rankine (1857)
Para os diversos valores de ɸ, apresenta-se na Tabela 6.7 os coeficientes de empuxo 
ativo e passivo, segundo a teoria de Rankine.
Tabela – Coeficientes de empuxo ativo e passivo de Rankine, em função de ɸ
Teoria de Rankine (1857)
Outras considerações (diferentes das condições iniciais impostas pela teoria) 
Mantendo-se a mesma conceituação de Rankine quanto aos coeficientes de empuxo, 
sairemos agora das condições iniciais (ideais). As considerações serão
abordadas para a condição ativa mas, por similaridade, podem ser consideradas para 
condição passiva.
Teoria de Rankine (1857)No caso de haver sobrecarga no terrapleno
No caso de se considerar a ocorrência de uma sobrecarga uniformemente distribuída no 
terrapleno, com intensidade “ q” (Figura), pode-se transformar esta sobrecarga em uma 
altura equivalente de solo da camada (h0).
Figura – Diagrama de tensões considerando uma sobrecarga no terrapleno
Teoria de Rankine (1857)No caso de haver sobrecarga no terrapleno
Teoria de Rankine (1857)
No caso de considerar o solo também coesivo
No caso de se considerar a ocorrência de fração fina (argilosa) no solo, o que
implica em também considerar a coesão “C” no cálculo, a equação analítica da rutura
permanece completa. Ou seja:
Teoria de Rankine (1857)
No caso de considerar o solo também coesivo
O diagrama de tensões corresponde ao ilustrado na Figura. Pela equação anterior vê-se que 
haverá um ponto em que σh = 0. Esse ponto corresponde a:
Figura – Diagrama de tensões (ativo) considerando o solo coesivo e aspecto de fendas de tração que tendem a ocorrer nos solos
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar o solo também coesivo
Tem-se uma região de tensões de tração, inicial, de altura hI, devido a ocorrência de “C”, 
portanto, como os solos não resistem à tração, ocorrerão aberturas de “fendas” ou 
“trincas” de tração na sua superfície, como ilustrado na Figura. 
Figura - Aspecto de fendas de tração que evoluíram para 
escorregamento de terra - estabilização do talude
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar o solo também coesivo
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar o solo também coesivo
Como se pode ver no diagrama das 
tensões acima, a área de tração será 
compensada por igual área de 
compressão, correspondente a 
mesma profundidade hI, 
equivalendo à profundidade da 
altura crítica. Teoricamente, na 
profundidade da altura crítica não 
há desenvolvimento de empuxo. 
Logo, essa é a altura em que se 
pode fazer um corte sem 
necessidade de estrutura de 
contenção ou escoramento, como 
ilustrado na Figura.
Figura – Altura de escavação de vala sem necessidade de escoramento
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar o solo também coesivo
Tratando-se de solos argilosos, com possíveis variações de “C” no período de utilização, o 
IPT/SP recomenda que se adote um coeficiente de segurança, adotando-se hcrit = hI, em 
função de constatações práticas ou seja, a altura correspondente a fenda de tração.
Assim, deve-se considerar a resultante de empuxo (Ea) como a tensão correspondente a 
representada pela área do triângulo hachurado da Figura, ilustrado por Caputo e Caputo 
(2017), que considera hI como z0.
Figura – Resultante de empuxo ativo considerando o solo 
coesivo (Caputo e Caputo, 2017)
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar o solo também coesivo
Figura – Resultante de empuxo passivo considerando o solo coesivo
Teoria de Rankine (1857)No caso de haver mais de uma camada
Calculam-se a as tensões desenvolvidas em cada camada individualmente. O que ocorre é que no cálculo das 
tensões na camada 2, que se considera a camada 1 como uma sobrecarga sobre a camada 2, como no cálculo 
de tensões verticais, agora será multiplicado pelo K da camada em questão (2), uma vez que o comportamento 
na camada 2 vai ser diferente que na camada superior (1). Haverá então uma descontinuidade no gráfico, por 
haver alteração do coeficiente K. 
Figura – Diagrama de tensões considerando ocorrência de várias camadas (Ex. σ2>σ1)
Teoria de Rankine (1857)No caso de haver mais de uma camada
Teoria de Rankine (1857)No caso de ocorrer NA da camada
Ressalta-se que o conceito do coeficiente K é uma relação de tensões efetivas como já 
destacado.
Essa consideração já foi feita anteriormente quando se abordou a ocorrência de pressão 
neutra. No caso de ocorrência de pressão neutra “u”, devem-se calcular as duas parcelas de 
empuxo, conforme figura abaixo, sendo que para a camada sob NA está especificada as duas 
parcelas de contribuição (solo - efetiva + água), destacada a da água.
Teoria de Rankine (1857)No caso de ocorrer NA da camada
Costuma-se, na grande maioria dos casos, se fazer um sistema de drenagem no terrapleno, 
de maneira que a águanão desenvolva pressão neutra sobre o parâmetro vertical da 
estrutura de contenção, mas, supondo-se que por qualquer problema não se possa fazer a 
drenagem deve-se considerar o acréscimo desta pressão, como ilustrado.
Figura – Diagrama de tensões considerando NA na camada (ɸ2 < ɸ2 - K2>K1
Teoria de Rankine (1857)No caso de ocorrer NA da camada
Observe que na faixa do NA tem-se a pressão neutra agindo em valor integral considerando-
se assim o coeficiente de empuxo da mesma igual a 1,0, por se tratar de um fluido (transmite 
a mesma pressão em todas as direções). Em relação à parcela do solo, γ2 é o peso específico 
submerso por se referir a tensão efetiva do solo.
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar a inclinação do terrapleno 
Se a superfície livre do terrapleno tem uma inclinação β (Figura), os valores dos coeficientes 
de empuxos serão, segundo dedução analítica de Rankine, respectivamente: (com os seus 
pontos de aplicação ainda no terço inferior da altura h)
Figura – Diagrama de tensões considerando o terrapleno inclinado
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar atrito entre parâmetro vertical e solo 
Considerando a ocorrência de atrito entre o contato dos materiais da superfície do paramento vertical 
do muro e o solo que se encontra atrás deste, parte do empuxo que atua no paramento vertical será 
“usado” para vencer esse esforço de atrito. Para se considerar esse valor do empuxo despendido na 
parede, adota-se inclinar a resultante de empuxo de um ângulo ϕ, em relação a horizontal (Figura 
abaixo), decompondo esse resultante em duas componentes normais entre si, ficando a horizontal 
menor que seu valor absoluto. O professor Pimenta Velloso em seu livro “Muros de Arrimo” adota os 
valores da Tabela
Tabela - Valores de ângulo de atrito solo-muro recomendados por Pimenta Velloso
Teoria de Rankine (1857)No caso de considerar atrito entre parâmetro vertical e solo 
Figura – Resultante de empuxo ativo (a) e passivo (b), considerando atrito solo/estrutura
Exercício
NT
O muro de arrimo da figura está suportando um 
solo de peso especifico igual a 16 KN/m³ e com um 
coeficiente de empuxo ativo igual a 1/3. Pelo 
método de Rankine, qual será o valor do empuxo 
ativo sobre este muro?
6m
O muro de arrimo são estruturas de contenção ou seja para conter um determinado 
terrapleno ou aterro, exemplo, podem ser de vários tipos ou materiais o principio 
de um muro de gravidade é combate ao seus empuxos pelo seu peso próprio e 
portanto este é o seu principio de atuação.
E. Ativo
E. Ativo
E. Passivo
E. Passivo
N.T
N.T
Exercício
NT
Ea
Não esquecem empuxo ativo, está 
empurrando o muro para derrubar...
Formula de Rankine
E = 
K γ h²
2K – Coeficiente de empuxo 
γ – Peso especifico do solo 
h² - Altura 
6m
Exercício
NT
6m
Ea
K = 1/3 = 0,33 
H = 6m
γ = 16 kN/m³
E = 
K γ h²
2
= 
0,33∗ 16∗ (6)²
2
= 95,04 KN/m
Onde vai atuar Ea ( Empuxo ativo )
1
3
∗ ℎ 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
1
3
∗ 6 = 2𝑚 − 𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 2 𝑚 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
2m
Exercício
Calcular o empuxo passivo e 
ativo do perfil geotécnico 
Areia
γ = 20 Kn/m²
Φ = 30º
3 m
Argila
γ = 18 Kn/m²
Φ = 35º
12 m
NT
EaEp
Empuxo ativo
Ka = Tg² ( 45 -
ϕ
2
) = 0,27
Ea = 
0,27∗18∗(12)²
2
= 350 Kn/m
Empuxo passivo
Kp = Tg² ( 45 + 
30
2
) = tg 60 2 = 3
Ep = 
Kp∗γ∗2
2
= 
3 ∗ 20 ∗(3)²
2
= 270 Kn/m
Exercício
Considere um muro de concreto ciclópico (peso) com 3,0 m de altura, para 
contenção de uma areia, cujos parâmetros são apresentados na figura 
abaixo.
Considere uma carga de “multidão” distribuída sobre o terrapleno, 
majorada em 50%, por motivo de segurança.
Pede-se determinar, utilizando-se da teoria de Rankine:
a) O diagrama de tensões de empuxo;
b) A resultante de empuxo (E);
c) O ponto de aplicação da resultante de empuxo (d) e
d) Considerando o conceito de “momento de tombamento” Mtom = E.d, 
sendo d o “braço de alavanca” – distância na vertical do ponto de aplicação 
da resultante em relação ao ponto “A” de “rotação” do muro, calcule-o.
σ = 1,9 t / m³
Φ = 30º
Exercício
a) O diagrama de tensões de empuxo (Ativo);
Ka = Tg² ( 45 - ϕ
2
) = Tg ( 45 -
30
2
) = 0,33
Sobrecarga de multidão. Considerado 4 pessoas/m2. 1,5, temos:
Obs. Com majoração de 50% equivale a 6 pessoas de 80 kgf/m2
σ v = 4 * 80 = 320 Kgf/m² = 0,32 t/m² = 3,2 kn/m² 
σ v = 3,2 * 1,5 = 4,8 Kn/m²
Tensões no topo e na base do muro:
σ topo = Ka * σ v = 0,33 * 4,8 = 1,6 kn/m²
σ base = σ topo * 𝐾𝑎 * γ *H = 1,6 * 0,33 * 19 * 3,0 = 30,09 Kn/m² 
σ = 1,9 t / m³
Φ = 30º
σ topo 
Exercício
Diagrama de tensões de empuxo (a) e “croqui” das resultantes de empuxo (b):
σh = ( kN/ m² )
Exercício
Diagrama de tensões de empuxo (a) e “croqui” das resultantes de empuxo (b):
σh = ( kN/ m² )1,6
3
,0
1,6
1,5
1,0
E¹=4,8 
E²= 30,09 
σb = ( kN/ m² )30,09 
1,9 
Exercício
b) A resultante de empuxo (E);
E = E1 + E2
Exercício
b) A resultante de empuxo (E);
E = E1 + E2
E = B¹ x H + 
B2 x H
2
= 1,6 x 3 + 
19 𝑥 3
2
=
E = 33,3 kN/m
(obs. Resultante corresponde a uma força, calculada para 1 metro linear de muro)
1,6
3
,0
0
1,9
Exercício
C) O ponto de aplicação da resultante de empuxo (d) e
d = ? Aplicando a igualdade de momento total igual a soma dos parciais ...
E * d = E1 * d1 + E2 * d2
33,3 * d = 4,8 * 1,5 + 30,09 * 1=
33,3 * d = 37,29
d = 1,12 m 
1,5
1,0
E1
E2
4,8 
30,09 
Exercício
d) Considerando o conceito de “momento de tombamento” Mtom = E.d, sendo d o “braço 
de alavanca” – distância na vertical do ponto de aplicação da resultante em relação ao 
ponto “A” de “rotação” do muro, calcule-o.
Mtom = E.d
Mtom = 33,3 * 1,12 = 37,30 kN/m
Próxima Aula 
Aprenderemos sobre EMPUXO Analisar a influência dos diversos 
parâmetros do solo e da interação solo-estrutura em estruturas 
de contenção.