prova 1 - nota 8,5

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA E ESTATÍSTICA 
Disciplina: MÉTODOS ESTATÍSTICOS – Professor José Fletes. 
 
PROVA INDIVIDUAL- UNIDADE I - 18/Mar./2021 
 Para entregar dia 24/03 até 00:00h . 
 
Esta avaliação tem por base os Capitulos 1 a 4 do livro-texto, bem como os 
capítulos 1 a 7 do livro “Andar do Bêbado e as notas de aula da Unidade I 
 
 
N O M E: Aline Bortoluzzi MATRÍCULA Nº: 19250241 
 
 
Q.1 (Vale 3,0) – (Teoria da probabilidade, Variáveis aleatórias e Modelos teóricos) – Você foi 
convidado(a) por seus colegas, que ainda não cursaram a disciplina, a proferir uma palestra sobre a 
importância da Teoria da Probabilidade na formação profissional. 
 
1.1- Que aspectos relevantes Você abordaria sobre Teoria da probabilidade? 
 
Para a Matemática, o cálculo das probabilidades é um ramo que estuda os fenômenos 
aleatórios, ou seja, observações ou experimentos que, quando realizados, não apresentam 
resultados conhecidos de antemão. A palavra probabilidade é derivada do latim probare, que 
significa testar ou provar. É muito comum usarmos a palavra provável para indicar algo de que não 
se tem certeza se vai acontecer. Esta palavra também está associada às palavras sorte, azar, 
incerto, chance, duvidoso. Os fenômenos aleatórios estão presentes, em nossa vida cotidiana. 
Algumas definições importantes na teoria da probabilidade: 
• Experimento aleatório: é aquele experimento que, quando repetido em iguais condições, 
pode fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se 
fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de 
experimento aleatório; 
• Ponto amostral: um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento 
aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na 
face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral 
desse experimento; 
• Espaço amostral: é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento 
aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um 
experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do 
espaço amostral referente a ele. 
• Espaços equiprováveis: É denominado espaço equiprovável quando todos os pontos 
amostrais possuem a mesma chance de ocorrer, como no caso de uma moeda lançada. A 
possibilidade de cair com a cara ou coroa voltada para cima é a mesma. 
 
1.2 – Que aspectos destacaria sobre Variáveis aleatórias (discretas e contínuas), 
distribuições de probabilidade e os parâmetros de valor esperado e variância? 
 
Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado 
(valor) depende de fatores aleatórios. Exemplos: 
• Número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas; 
• Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote; 
• Número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção; 
• Número de pessoas que visitam um determinado site, num certo período de tempo. 
Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao 
conjunto de números reais. Existem diversos modelos probabilísticos que procuram descrever 
vários tipos de variáveis aleatórias: são as distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias 
(discretas ou contínuas). A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é, portanto, 
uma descrição das probabilidades associadas com os possíveis valores de X. Os valores que X 
assume determinam o suporte (S). 
• Variáveis discretas → suporte em um conjunto de valores enumeráveis (finitos ou 
infinitos). 
• Variáveis contínuas → suporte em um conjunto não enumerável de valores. 
A variância, dá o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória em relação à sua 
média ou esperança E(X). 
Para o cálculo da variância das variáveis discretas temos a seguinte fórmula: 
 
E para as variáveis contínuas: 
 
Os modelos de probabilidade são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações 
que encontramos na natureza, ou experimentos por nós construídos. Esses modelos são expressos 
por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros. O 
modelo deve representar, na medida do possível, a complexidade que envolve o mundo real da 
população em estudo. Lembrando que uma variável aleatória fica completamente caracterizada 
pela sua função de probabilidade e seus parâmetros. 
 
1.3 – Que modelos teóricos de probabilidade (discretos e contínuos) Você destacaria 
para mostrar a sua importância no campo da engenharia? 
 
Modelo de Bernoulli (modelo teórico discreto) 
Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo Bernoulli se assume apenas os valores 0 
(“fracasso”) ou 1 (“sucesso”). Sua função de probabilidade é dada por 
 
onde o parâmetro 0 ≤ p ≤ 1 é a probabilidade de sucesso. 
 
Modelo Binomial (modelo teórico discreto) 
Definição: 
• X terá distribuição binomial se: 
 >> X = X1 + X2 + ... + Xn 
 >> X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias discretas independentes com distribuição de 
Bernoulli, com parâmetro p constante. 
 
• X: número de “sucessos” em n realizações de um experimento de Bernoulli 
 >> Com probabilidade de “sucesso” p constante (0 < p < 1) 
 
Modelo Poisson (modelo teórico discreto) 
Definição: Experimento aleatório com espaço amostral infinito enumerável. As ocorrências são 
independentes e aleatórias. 
Exemplos: 
➢ chamadas telefônicas por minuto; 
➢ mensagens que chegam a um servidor por segundo; 
➢ acidentes por dia; 
➢ defeitos por m2; etc. 
 
Modelo Normal (modelo teórico contínuo) 
A distribuição normal é extremamente importante em Estatística pois serve de fundamento para 
muitas técnicas de inferência e aproximações. Este modelo, também chamado de modelo de 
Gauss, foi estabelecido por volta de 1733 pelo matemático francês Abraham De Moivre, e serve 
para explicar inúmeros fenômenos naturais, físicos, psicológicos, sociológicos. Um processo 
gaussiano é um modelo estatístico em que as observações ocorrem em um domínio contínuo, por 
exemplo, tempo ou espaço. Nesse processo, cada ponto em algum espaço de entrada contínua 
está associada com uma variável aleatória com distribuição normal. Além disso, cada conjunto 
finito dessas variáveis aleatórias tem uma distribuição normal multivariada. A distribuição de um 
processo gaussiano é a distribuição conjunta de todas as infinitas variáveis aleatórias, e, como tal, 
é uma distribuição de funções com um domínio contínuo. 
 
Uma breve conclusão para encerrar a palestra aos colegas: 
 
O estudo da probabilidade é de grande importância para a tomada de decisões em nossa 
sociedade, de modo que nos faz observar dados, fazer previsões e obter informações diversas, 
tanto na parte pessoal como profissional. E assim com essa previsão poder tomar decisões com 
ciência das probabilidades para as adversidades em uma empresa por exemplo. 
 
 
Q.2 (Vale 1,0) – Leia o texto sugerido no link abaixo. 
 
https://www.kickante.com.br/sites/default/files/modernizacao_loterica14_10.pdf] 
 
2.1 – Do texto de John Hacker, escolha um dos 23 problemas das loterias e emita a sua opinião 
pessoal-profissional: 
 
Quanto mais jogos maiores são as chances ? 
Acredito que sim, quanto mais jogos a pessoa jogar maior a sua chance de ser premiado, pois 
assim eleva a probabilidade de ganhar. Se as chances de ganho na Mega-Sena são de 
aproximadamente 1 em 50 milhões, com dois bilhetes seriam de 2 em 50 milhões. Simplificando a 
matemática, isso significa que as chances passam a ser de 1 em 25 milhões – o dobro. 
A cada novo bilhete adquirido, as chances multiplicam-se proporcionalmente: o dobro para 2 
bilhetes, o triplo para 3 e assim por diante. 
 
 
https://www.kickante.com.br/sites/default/files/modernizacao_loterica14_10.pdf2.2 – O que Você pode concluir quanto ao item Loteria Para Engenheiros que o autor 
aborda? 
O texto inicia falando sobre a capacidade do raciocínio de um engenheiro para resolver 
problemas do cotidiano, inclusive sobre algo trivial como apostar em loterias. O problema que o 
autor aborda é justamente que seja formulado um método matemático simples, para a resolução 
do problema para ser compreendido por qualquer indivíduo independente do estudo e que possa 
ser usado universalmente nos jogos de loterias. 
 
 
Q.3 (Vale 1,0) – Escolha uma das loterias da caixa e discorra sobre seus aspectos básicos. 
Mostre o cálculo das probabilidades de acerto em função do nº de jogadas e justifique a regra 
de probabilidade e/ou modelo aplicado 
 
http://loterias.caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landing/megasena/ 
Obs.: o link fornecido é para mega-sena, mas no final Você tem acesso às outras loterias. 
 
Sua escolha - Loteria: MEGA-SENA 
 
CÁLCULOS: 
 
C60,6 = 60*59*58*57*56*55 
 6*5*4*3*2*1 
 
C60,6 = 36.045.979.200 
 720 
 
C60,6 = 50.063.860 possibilidades 
 
Logo, se apostarmos 1 jogo de seis dezenas, a probabilidade de ganharmos é de 1 em 50.063.860, 
que corresponde a 0,000002% de chance de ganhar. 
 
JUSTIFICATIVA: Não importa a ordem dos 6 números que escolhemos dos 60, logo basta 
apenas fazer uma combinação de eventos possíveis para descobrir as possibilidades e assim ter a 
probabilidade de acertar os 6 números. 
 
 
Q.4 (Vale 2,0) – Seu colega/amigo que cursa Engenharia e está para se graduar, sabendo 
que Você está cursando a disciplina de Probabilidade e Estatística lhe consulta sobre o 
problema abaixo: 
 
1ª situação: O sistema abaixo é formado por seis componentes, cada um com probabilidade 
de falha igual a 0,c. Dadas as características do serviço, convém alcançar uma confiabilidade 
do sistema superior a 0,98. 
 
Qual é a confiabilidade do sistema? 
 
Notação: Gi = i-ésimo gerador; Mi = i-ésimo motor 
Obs,: c é o 3º dígito sequencial de sua matrícula 
C= 2 = probabilidade de falha = 0,2 
http://loterias.caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landing/megasena/
 
 G1 M1 
 
 
 G2 M2 
 
 G3 M3 
 
Cálculos: 
Probabilidade de funcionar é dada por 1 – P(falhar) = 1 – 0,2 = 0,8 
Logo, 
P(G1M1 ∪ G2M2 ∪ G3M3) = P(G1 ∩ M1) + P(G2 ∩ M2) + P(G3 ∩ M3) − P(G1M1 ∩ G2M2) − 
P(G1M1 ∩ G3M3) − P(G2M2 ∩ G3M3) + P(G1M1 ∩ G2M2 ∩ G3M3) 
 
P(G1M1 ∪ G2M2 ∪ G3M3) = 0,64 + 0,64 + 0,64 − 0,4096 − 4096 − 0,4096 + 0,26 
P(G1M1 ∪ G2M2 ∪ G3M3) = 0,9512 
 
Resposta para a 1ª situação: 0,9512 
 
2ª situação: Na 1ª situação o custo de aquisição da instalação superou as possibilidades 
financeiras da empresa. O seu colega de engenharia propõe a seguinte solução: incorporar 
um elemento gerador (G3) com um dispositivo de comutação que permita acionar de forma 
indistinta os motores descritos. O custo dessa solução é 50% daquela da 1ª situação e 
poderia ser absorvida pela empresa. A probabilidade de falha do G3 é igual a 0,a. Qual é 
agora a confiabilidade do sistema? Satisfaz a condição pedida na 1ª situação? 
Obs,: a é o 1º dígito de sua matrícula 
A= 1 = probabilidade de falha = 0,1 
 
 G1 M1 
 
 
 
 G3 
 
 
 G2 M2 
Cálculos: 
 
Probabilidade de funcionar é dada por 1 – P(falhar) = 1 – 0,1 = 0,9 
 
Calculando o primeiro sistema paralelo: 
P(G1 ∪ G2 ∪ G3) = P(G1) + P(G2) + P(G3) − P(G1 ∩ G2) − P(G1 ∩ G3) − P(G2 ∩ G3) + P(G1 
∩ G2 ∩ G3) 
 
P(G1 ∪ G2 ∪ G3) = 0,9 + 0,9 + 0,9 − 0,81 − 0,81 − 0,81 + 0,729 
P(G1 ∪ G2 ∪ G3) = 0,999 
 
Calculando o segundo sistema paralelo: 
P(M1 ∪ M2) = P(M1) + P(M2) − P(M1 ∩ M2) 
P(G1 ∪ G2 ∪ G3) = 0,9 + 0,9 − 0,81 
P(G1 ∪ G2 ∪ G3) = 0,99 
 
Sitema em série: 
P(1 ∩ 2) = 0,98901 
 
Resposta 2ª situação = 0,98901 
Podemos afirmar que a segunda situação satisfaz a primeira condição. 
 
Q.5 (Vale 1,5) – Os postos de gasolina distribuem-se ao longo da rodovia com uma média 
de 1 posto a cada xy km. Em vista da greve na entrega de gasolina, existe uma probabilidade 
de 0,a que no próximo posto não haja gasolina. 
Adote que as “disponibilidades” de gasolina nos diferentes postos são estatisticamente 
independentes. 
Obs,: a é o 1º dígito, b o 2º dígito, x é o antepenúltimo e y o penúltimo dígito de sua matrícula. 
 
a=1; b=9; x=2; y=4; xy=24 km 
 
5.1) Qual é probabilidade que existam não mais que dois (2) postos nos próximos 25 km? 
 
1 -> 24 fazendo regra de três obtemos o resultado ℷ= 1,042 
ℷ -> 25 
 
Nosso X vai variar de 0 a 2, então, usando a formula de Poisson, obtemos: 
P(X = 0) = 1,0420 × e -1,042 = 0,35275 + 
 0! 
P(X = 1) = 1,042¹ × e -1,042 = 0,36756 + 
 1! 
P(X = 2) = 1,042² × e -1,042 = 0,1915 
 2! 
 
Resultado da soma: 0,91181. Ou seja há probabilidade de 91,18% para que não exista mais que 
dois postos nos próximos 25 km. 
 
5.2) Qual é a probabilidade de que nos próximos três (3) postos no máximo um (1) tenha 
gasolina para vender? 
 
P(x) = Cn,x . px . (1-p)n-x 
P(x ≤ 1) = P(0) + P(1) 
P(x ≤ 1) = C3,0 · 0, 90 · (0, 1)3 + C3,1 · 0, 91 · (0, 1)2 
P(x ≤ 1) = 0, 028 
 
Logo a probabilidade de que nos próximos 3 postos no máximo 1 tenha gasolina é de 2,8%. 
 
5.3) Um motorista que está na estrada nota que o mostrador de combustível do carro lhe 
indica “tanque vazio”. De “experiências” passadas, em situações semelhantes, sabe que pode 
ir por mais ab km. 
Qual é a probabilidade que ele fique na estrada por falta de combustível? 
 
ab = 19 km 
 
1 -> 24 fazendo regra de três obtemos o resultado x= 0,7916 
x -> 19 
 
Usando a fórmula de Poisson temos: 
 
P(X = 0) = 0,79160 × e -0,7916 = 0,45312 
 0! 
Logo a probabilidade de que não encontre nenhum posto é de 45,31% 
 
 
Q.6 (Vale 1,5) – Você está com viagem marcada para Maceió (MCZ), saindo de 
Florianópolis (FLN) e mudando de aeronave em São Paulo (SAO). Considere que o tempo 
da viagem aérea entre as cidades segue aproximadamente o modelo de Gauss com as 
características abaixo: 
- De FLN a SAO: Média de 6x minutos com desvio padrão de y minutos. 
- Em São Paulo (SAO) Você aguarda por xy minutos a troca de aeronave. 
- De SAO a MCZ: Média de 16x minutos com desvio padrão de ab minutos 
Obs.: a é o 1º dígito, b é o 2º dígito, x é o antepenúltimo e y penúltimo dígito de sua 
matrícula. 
a=1; b=9; x=2; y=4 
 
- De FLN a SAO: Média de 62 minutos com desvio padrão de 4 minutos. 
- Em São Paulo (SAO) Você aguarda por 24 minutos a troca de aeronave. 
- De SAO a MCZ: Média de 162 minutos com desvio padrão de 19 minutos 
 
6.1- Qual é média e o desvio padrão para o tempo entre FLN e MCZ? 
Sugestão: construa um gráfico explicativo para a situação. 
 
Média = 62 + 24 + 162 
Média = 248 minutos 
 
Desvio padrão 
σ² = 19² + 4² 
σ² = 377 
σ = √377 
σ = 19,42 
 
6.2- Qual é a probabilidade de que o tempo entre FLN e MCZ seja de no máximo 
de 319 minutos? 
 
Sabendo que x – média ≤ 319 – 248 = 71 
 
Z= x – média 
 σ 
z= 71 
 19,42 
Z= 3,65 
 
Conferindo na tabela temos que z= 0,9999, logo a probabilidade de ser menor que 319 é 99,99%.