Estatística e Probabilidade em Física

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Indaial – 2021
Estatística E 
ProbabilidadE Em Física
Prof. André Martorano Kuerten
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof. André Martorano Kuerten
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
K95e
Kuerten, André Martorano
Estatística e probabilidade em física. / André Martorano Kuerten. 
– Indaial: UNIASSELVI, 2021.
213 p.; il.
ISBN 978-65-5663-524-8
ISBN Digital 978-65-5663-518-7
1. Probabilidade. – Brasil. 2. Estatística. – Brasil. II. Centro 
Universitário Leonardo da Vinci.
CDD 530
aPrEsEntação
Acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Estatística e Probabilidade 
em Física.
Na Unidade 1, introduziremos noções básicas de Probabilidade e 
Estatística, tal como os conceitos e fundamentos de Estatística no Tópico 1, 
conceitos de Probabilidade no Tópico 2 e fundamentos da mesma no Tópico 3. 
Aqui nesta obra, por conceitos, entenderemos como uma abordagem menos 
rigorosa e voltada para situações do cotidiano enquanto para fundamentos 
teremos uma abordagem mais rigorosa do ponto de vista matemático.
Na Unidade 2 serão introduzidos a fórmula de Bayes com 
algumas aplicações dela (Tópico 1) e os chamados Processos Estocásticos 
(Tópico 2). Especificamente na primeira parte do Tópico 2 serão estudados 
os conceitos e fundamentos de tais processos, e, ao final deste tópico, 
fundamentaremos e aplicaremos um caso particular conhecido como 
processos markovianos. Já ao término desta unidade, faremos uma breve 
revisão de termodinâmica que será útil para a realização de nossos estudos 
na última unidade desta disciplina. 
Para finalizar esta disciplina, na Unidade 3, aplicaremos nossos 
conhecimentos para entender um pouco do papel que a probabilidade e 
estatística desenvolvem na ciência Física. No Tópico 1, estudaremos a Teoria 
Cinética dos Gases para então reescrever algumas facetas da termodinâmica 
em termos de entidades estatísticas. No Tópico 2, abordaremos 
conceitualmente a área conhecida em Física como Mecânica Estatística 
sem adentrar numa formulação matemática mais rigorosa. Por último, no 
Tópico 3, trabalharemos “outras aplicações em física”, em que usaremos 
nossos conhecimentos de processos estocásticos para descrever o chamado 
movimento browniano na primeira parte de tal tópico. Como segunda e 
última parte, veremos o papel da probabilidade no desenvolvimento da 
formulação básica da Mecânica Quântica.
Prof. André Martorano Kuerten
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfi m, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
Bons estudos!
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materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
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UNI
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LEMBRETE
sumário
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ................................... 1
TÓPICO 1 — CONCEITOS BÁSICOS E FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA ....................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 ESTATÍSTICA NO COTIDIANO ..................................................................................................... 4
3 TERMOS BÁSICOS ............................................................................................................................ 9
4 MEDIDAS DE POSIÇÃO................................................................................................................. 10
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 15
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 16
TÓPICO 2 — CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE ................................................... 19
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 19
2 PROBABILIDADE EM ALGUMAS SITUAÇÕES COTIDIANAS .......................................... 20
3 SISTEMAS DE DUAS OPÇÕES ..................................................................................................... 24
4 PREDIÇÕES NO CONTEXTO PROBABILÍSTICO ................................................................... 29
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 33
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 34
TÓPICO 3 — FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE.............................................................. 37
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 37
2 DEFINIÇÕES E CONCEITOS BÁSICOS ..................................................................................... 37
3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ............................................................................................................. 42
3.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS................................................................................... 43
3.1.1 Valor Médio .......................................................................................................................... 45
3.1.2 Dispersão .............................................................................................................................. 46
3.1.3 Desvio padrão ......................................................................................................................46
3.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS ................................................................................ 46
3.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: UMA APLICAÇÃO EM FÍSICA .............................................. 47
4 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE .................................................................................... 49
4.1 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS .................................................................................................... 49
4.1.1 Distribuição de Bernoulli .................................................................................................... 50
4.1.2 Distribuição binomial .......................................................................................................... 51
4.1.3 Distribuição de Poisson ...................................................................................................... 53
4.1.4 Distribuição de Probabilidade: uma aplicação em Física .............................................. 55
4.2 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS ................................................................................................. 58
4.2.1 Distribuição Gaussiana (Normal) ...................................................................................... 58
5 DISTRIBUIÇÃO DISCRETA PARA CONTÍNUA ...................................................................... 61
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 66
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 68
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 69
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 73
UNIDADE 2 — FÓRMULA DE BAYES, PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E BREVE 
REVISÃO DA TERMODINÂMICA .................................................................... 75
TÓPICO 1 — FÓRMULA DE BAYES ................................................................................................ 77
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 77
2 PROBABILIDADE CONDICIONAL ............................................................................................. 78
3 FÓRMULA DE BAYES ...................................................................................................................... 82
4 DISTRIBUIÇÕES A PRIORI E A POSTERIORI ......................................................................... 86
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 95
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 96
TÓPICO 2 — PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E CADEIAS DE MARKOV ............................. 99
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 99
2 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS: NOÇÕES BÁSICAS ............................................................... 99
3 CADEIAS DE MARKOV: NOÇÕES INTUITIVAS .................................................................. 105
4 CADEIAS DE MARKOV ............................................................................................................... 110
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 119
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 120
TÓPICO 3 — BREVE REVISÃO DA TERMODINÂMICA ....................................................... 123
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 123
2 TERMODINÂMICA: ESTRUTURA BÁSICA ........................................................................... 123
3 TRABALHO, CALOR E ENTROPIA ........................................................................................... 125
3.1 TRABALHO ................................................................................................................................. 125
3.2 CALOR ......................................................................................................................................... 129
3.3 ENTROPIA................................................................................................................................... 130
4 LEIS DA TERMODINÂMICA ...................................................................................................... 134
4.1 LEI ZERO ..................................................................................................................................... 134
4.2 PRIMEIRA LEI .............................................................................................................................. 135
4.3 SEGUNDA LEI ............................................................................................................................ 137
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 140
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 142
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 143
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 147
UNIDADE 3 — APLICAÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA EM FÍSICA ......... 149
TÓPICO 1 — TEORIA CINÉTICA DOS GASES ......................................................................... 151
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 151
2 TEORIA CINÉTICA DOS GASES: HIPÓTESES BÁSICAS ................................................... 151
3 TEMPERATURA: INTERPRETAÇÃO ESTATÍSTICA ............................................................. 152
4 PRESSÃO: INTERPRETAÇÃO ESTATÍSTICA ......................................................................... 157
5 DERIVANDO E REINTERPRETANDO ALGUMAS LEIS TERMODINÂMICAS ............ 160
5.1 LEI DOS GASES IDEAIS ............................................................................................................ 160
5.2 LEI DE BOYLE............................................................................................................................. 161
5.3 LEI DE DALTON ........................................................................................................................ 161
6 ENTROPIA: INTERPRETAÇÃO ESTATÍSTICA ...................................................................... 163
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 166
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 167
TÓPICO 2 — MECÂNICA ESTATÍSTICA .................................................................................... 171
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 171
2 MICROESTADOS E MACROESTADOS ................................................................................... 171
3 PROBABILIDADE E ENTROPIA .................................................................................................178
4 FÓRMULA ESTATÍSTICA PARA ENTROPIA: DEDUÇÃO MATEMÁTICA .................... 182
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 186
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 187
TÓPICO 3 — OUTRAS APLICAÇÕES EM FÍSICA .................................................................... 189
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 189
2 FORÇA ESTOCÁSTICA E MOVIMENTO BROWNIANO .................................................... 189
2.1 FORÇA ESTOCÁSTICA............................................................................................................. 190
2.2 MOVIMENTO BROWNIANO: DESCRIÇÃO FÍSICA .......................................................... 191
3 PROBABILIDADE E TEORIA QUÂNTICA .............................................................................. 195
3.1 DUALIDADE ONDA/PARTÍCULA ........................................................................................ 196
3.2 FUNÇÃO DE ONDA E EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER ................................................ 197
3.3 INTERPRETAÇÃO DE BORN .................................................................................................. 202
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 207
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 209
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 210
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 213
1
UNIDADE 1 — 
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender alguns aspectos básicos de estatística;
• fundamentar e desenvolver problemas de estatística;
• compreender alguns aspectos básicos de probabilidade;
• fundamentar e desenvolver problemas de probabilidade.
 Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS BÁSICOS E FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
TÓPICO 2 – CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
TÓPICO 3 – FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
CONCEITOS BÁSICOS E 
FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
1 INTRODUÇÃO
A estatística se faz presente em nossas vidas nos mais variados ramos da 
atividade humana. Ela está presente em situações cotidianas como em eventos 
esportivos, em informações cedidas por um determinado governo etc. Por exemplo, 
em um evento esportivo, geralmente, nos deparamos com certas informações que 
visam fundamentar as análises subsequentes dos cronistas esportivos acerca de 
certa equipe ou, mais em geral, acerca do próprio evento esportivo, ou mesmo 
da história do próprio esporte como um todo. Ali, a estatística pode surgir de 
diferentes formas possíveis, como na contagem de chutes ao gol por jogo, a 
eficiência de tais chutes etc.
Fundamentalmente, a estatística trabalha com uma grande quantidade 
de dados. A origem da própria palavra nos remete ao termo Estado, uma vez 
que este geralmente trabalha com quantidades enormes de dados, por exemplo, 
uma população, suas subdivisões em faixas etárias, pirâmide populacional, seja 
ela referente ao gênero, à classe social e à própria faixa etária etc. Em outras 
palavras, dados que serão úteis a um determinado município, estado, país etc. 
Como podemos ver em Memória (2004, p. 10): “a etimologia da palavra, do latim 
status (Estado), usada aqui para designar a coleta e a apresentação de dados 
quantitativos de interesse do Estado, [...]”. 
Como nos exemplos citados anteriormente, a estatística deve trabalhar 
como uma grande quantidade de dados e, a partir destes, organizar, analisar 
etc. Longe de tais situações corriqueiras, a estatística também desempenha papel 
importante no desenvolvimento das ciências básicas, como Biologia, Química 
e Física. Especificamente na ciência Física, ela tem fundamental importância 
na compreensão dos fenômenos termodinâmicos. Ao tratar um sistema físico 
microscópico com uma infinidade de partículas que seguem leis da Mecânica (seja 
ela Clássica ou Quântica), podem-se inferir os conceitos estatísticos, fundando, 
assim, o campo de estudo conhecido como Física Estatística, também conhecida 
como Mecânica Estatística. Outros ramos da Física também podem apresentar 
aspectos estatísticos como Teoria do Caos, Econofísica etc.
Para dar suporte conceitual e matemático para nossos estudos futuros 
de Probabilidade e Estatística em Física, no Tópico 1, apresentaremos as ideias 
básicas e os fundamentos matemáticos de Estatística, como construção e análise 
de tabelas, frequência, mediana, moda, variáveis aleatórias, população e amostra.
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
4
Iniciaremos o tópico apresentando situações cotidianas envolvendo 
estatística para que, posteriormente, ao logo do tópico, possamos introduzir 
alguns fundamentos e definições matemáticas que nos auxiliarão nos tópicos 
mais avançados ao longo do curso.
2 ESTATÍSTICA NO COTIDIANO
A estatística aparece em nosso dia a dia de diversas formas, como já 
havíamos mencionado, em eventos esportivos ou em estudos emitidos por um 
determinado governo.
Para iniciar nossos estudos, vamos supor que certa administração 
pública queira dar uma concessão de uso de uma rodovia para o setor privado. 
Para este fim, tal administração encomenda um estudo para quantificar o fluxo 
dos veículos que trafegam sobre esta rodovia. Para desenvolver tal pesquisa, 
contratam-se funcionários para então estimar tal fluxo em um certo ponto da 
estrada. Tais funcionários são requeridos de anotar a quantidade de motos, 
carros, ônibus e caminhões que circulam pela rodovia em tal ponto e em um 
dado intervalo de tempo.
Ao começar seu trabalho, um funcionário transmite para um computador 
os primeiros veículos que transitam em tal ponto, ou seja: carro, moto, carro, 
carro, caminhão, carro, caminhão, ônibus, moto e assim por diante.
Depois de um período de vinte quatro horas, os dados anotados naquele 
ponto foram organizados na seguinte tabela a seguir:
TABELA 1 – FLUXO DE VEÍCULOS NUM PERÍODO DE 24 HORAS
FONTE: O autor
Tipo de Veículo Quantidade
Moto 127
Carro 453
Ônibus 071
Caminhão 145
Desse modo, num período de um dia foram contados 127 motos, 453 
carros, 71 ônibus e 145 caminhões. A seguir, apresentamos uma representação 
gráfica dos dados anteriores. 
TÓPICO 1 — CONCEITOS BÁSICOS E FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
5
GRÁFICO 1 – COMPOSIÇÃO DO FLUXO DE VEÍCULOS
FONTE: O autor
Desde que o interesse sob os dados da tabela seja de cunho financeiro, 
torna-se útil associar para cada variedade (moto, carro, ônibus e caminhão) um 
valor numérico, que, neste caso, é uma estimativa sobre o preço a ser cobrado 
no futuro pedágio instalado naquele ponto específico. Atribuíram-se, então, os 
seguintes valores em reais:
TABELA 2 – PREÇO ESTABELECIDO PARA CADA TIPO DE VEÍCULO
Veículo Preço em R$
Moto 2,00
Carro 5,00
Ônibus 16,00
Caminhão 12,00
FONTE: O autor
As duas tabelas anteriores estão organizadas na única tabela a seguir:
TABELA 3 – FREQUÊNCIA DE OCORRÊNCIA VS PREÇO POR VEÍCULO - I
FONTE: O autor
Frequência R$
127 2,00
453 5,00
071 16,00
145 12,00
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
6
A tabela anterior estáorganizada de acordo com a frequência de 
ocorrência de um determinado dado (aqui, neste caso: moto, carro etc.).
É útil, ainda, organizar a tabela anterior em ordem crescente quanto ao 
valor da frequência, ou seja:
TABELA 4 – FREQUÊNCIA DE OCORRÊNCIA VS PREÇO POR VEÍCULO - II
FONTE: O autor
Frequência R$
071 16,00
127 2,00
145 12,00
453 5,00
Podemos ainda organizar em termos da frequência relativa, que é nada 
mais, nada menos, que pegar a razão entre a frequência e a totalidade do conjunto 
de dados.
Nesse caso, a totalidade de veículos é:
71 + 127 + 145 + 453 = 796.
As frequências relativas, de cada tipo de veículo, serão dadas por:
• Ônibus: 
• Moto: 
• Caminhão: 
• Carro: 
Neste caso, podemos reorganizar nossa tabela anterior como:
FONTE: O autor
TABELA 5 – FREQUÊNCIA RELATIVA DE OCORRÊNCIA VS PREÇO POR VEÍCULO
Frequência Relativa R$
0,089 16,00
0,159 2,00
0,182 12,00
0,573 5,00
TÓPICO 1 — CONCEITOS BÁSICOS E FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
7
Todos as diferentes formas de organização dadas anteriormente são 
construídas em termos de uma amostra que relata, neste nosso exemplo, o número 
de veículos que trafegam em um dado intervalo de tempo e em um dado ponto 
da rodovia. Tal amostra constitui apenas uma “parte” da realidade adjacente que 
é entendida, em estatística, como uma população.
Vamos considerar agora nossa tabela organizada como na Tabela 4. 
Notamos que o valor com maior frequência é de R$ 5,00. Chamamos este valor 
de moda.
Também é, muitas vezes, útil encontrar o valor central da configuração 
de dados. Neste caso pegamos os valores centrados e tiramos uma média deles, 
isto é: 
Tal valor é nomeado como a mediana associada com a amostra.
Podemos ainda prever o lucro esperado em um dia através de nossa 
amostra. Por exemplo, em um certo minuto foi verificado: carro, caminhão, carro, 
carro, ônibus, moto.
Desde que associamos valores a cada tipo de veículo, a sequência anterior 
é convertida numericamente como: 
5,00, 12,00, 5,00, 5,00, 16,00, 2,00.
Desse modo, para aquele dado minuto temos a amostra anterior.
Tal amostra pode ser convertida num lucro bruto esperado da seguinte 
maneira: 
Logo, a amostra, naquele minuto específico, fornece uma previsão de 
lucro de sete reais e cinquenta centavos.
Como vimos, na amostra referente a 24 horas, o total de veículos era 
de setecentos e noventa e seis. É um número grande e, então, nesses casos, é 
conveniente tabelarmos os dados numa tabela de frequência. Note que com a 
tabela organizada dessa maneira, torna-se mais simples calcular a previsão de 
lucro bruto nas 24 horas.
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
8
Nesse caso, multiplicamos a frequência pelo valor associado, isto é: 
71 . 16,00 + 127 . 2,00 + 145 . 12,00 + 453 . 5,00 = 5395.
Assim, o resultado anterior sugere um lucro bruto diário de cinco mil 
trezentos e noventa e cinco reais.
A seguir, podemos ver a contribuição de cada categoria no montante final 
de lucro bruto:
GRÁFICO 2 – PREVISÃO DE CONTRIBUIÇÃO NO LUCRO BRUTO TOTAL
FONTE: O autor
Podemos também encontrar o lucro bruto associado por veículo. Basta 
dividirmos o resultado acima pelo número total de veículos, ou seja 
Desse modo, para os preços estabelecidos por cada tipo de veículo, a 
fórmula anterior nos fornece o valor médio de aproximadamente seis reais e 
setenta e oito centavos por cada veículo rodado. Os números que acabamos de 
encontrar são conhecidos como medidas de posição.
TÓPICO 1 — CONCEITOS BÁSICOS E FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
9
3 TERMOS BÁSICOS
Um modelo estatístico é caracterizado por uma população A e uma 
amostra a. Uma população engloba todo o conjunto de elementos os quais 
possuem uma atribuição em comum. Um subconjunto de uma população é 
denominado amostra. A população pode ser infinita ou finita enquanto a amostra 
deve ser sempre finita.
Em outras palavras, a amostra carrega o conjunto de dados qual 
trabalhamos em modelos estatísticos através de uma amostragem. Uma 
amostragem pode ser aleatória ou intencionada. As variáveis estatísticas podem 
ser quantitativas ou qualitativas. Por sua vez, as variáveis quantitativas podem ser 
discretas ou contínuas enquanto as qualitativas podem ser nominais ou ordinais.
Como em Magalhães e Lima (2004, p. 8), as variáveis podem ser 
classificadas como:
FIGURA 1 – CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
FONTE: Adaptado de Magalhães e Lima (2004, p. 8)
Variável
Qualitativa
Quantitativa
Nominal
Ordinal
Discreta
Contínua
Considere que queremos estudar as temperaturas médias das cinco 
regiões brasileiras. Devido a certas dificuldades, podemos escolher aleatoriamente 
um grupo de cidades que representarão cada região. Agora, digamos que nossa 
pesquisa será aplicada para políticas de saúde pública e nos interessa apenas 
as sub-regiões de cada região que tradicionalmente apresentam as maiores e 
menores temperaturas médias.
Nesse caso, realizamos uma pesquisa intencionada, buscando escolher 
as cidades das regiões mais quentes e frias de cada região. Note que em nossa 
coleta de dados, buscaremos variáveis quantitativas, desde que mediremos a 
temperaturas em diferentes dias e locais. A temperatura é ainda uma variável 
contínua, isto é, assume valores reais e, em geral, não inteiros.
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
10
Supomos que, na mesma pesquisa, queremos considerar a população 
das cidades envolvidas. Desse modo, para essa amostragem, serão atribuídos 
valores quantitativos, desde que a população de uma cidade é um número 
inteiro. Dentro dessas cidades ainda podemos fazer uma pesquisa paralela para 
estabelecer a divisão social de cada município (classe A, B etc.). Nesse caso, a 
variável será qualitativa ordinal, uma vez que a uma “ordem” atribuída: A (alta), 
B (média-alta), C (média) etc.
Para finalizar, poderíamos querer saber a proporção da população de uma 
dada cidade que faz parte de um certo “grupo de risco”. Nossa coleta de dados 
se resumiria em obter as respostas “faz parte” ou “não faz parte”. Tal variável é 
classificada como qualitativa nominal.
4 MEDIDAS DE POSIÇÃO
Começaremos trabalhando as medidas de posição. Consideremos um 
conjunto de dados {di} de uma certa variável D. Define-se a média d como sendo 
a somatória de di pela quantidade de valores n, isto é:
 (1) 
Caso um certo conjunto de dados estão organizados de acordo com 
suas frequências fi, a expressão (1) torna-se uma média ponderada, e é então 
reescrita como:
 (2) 
Há ainda o conceito de classe. Classe é quando a variável é dividida 
em intervalos definidos por uma amplitude. O conjunto de dados {Di}, o qual 
devemos trabalhar, será construído pegando determinadas médias referentes a 
cada intervalo.
Matematicamente, temos:
Em que dif é o limite superior do intervalo e di0 o limite inferior.
TÓPICO 1 — CONCEITOS BÁSICOS E FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
11
Neste caso, a média será dada por:
 
 (3) 
 
Com Fi sendo a frequência de cada intervalo Ii e N a quantidade de 
intervalos.
Dada uma amplitude Ai, o intervalo Ii deve ser um semiaberto. Por 
exemplo, escolhendo:
I₁= ]d₁₀,dif]
Teremos os outros intervalos:
I₂= ]d₂₀,d2f], I₃= ]d₃₀,d3f]
E assim por diante. Em geral, as amplitudes Ai não necessitam serem 
iguais.
Ainda é útil definir a mediana e a moda associada ao conjunto de dados. 
A mediana dmed é definida como o dado que ocupa a “posição” central de um 
conjunto de dados, enquanto a moda dmod é o dado com maior frequência.
Como um exemplo, considere um clube de futebol em que a 
folha de pagamento do time titular é fornecida pela tabela a seguir:
TABELA 6 – FOLHA DE PAGAMENTO DO TIME - I
FONTE: O autor
4 3 5 7 6 4 4 2 6 8 7
Osvalores são dados em mil reais.
A média (1) é, então:
No entanto, organizada numa tabela de frequência, a mesma tabela torna-se:
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
12
TABELA 7 – FOLHA DE PAGAMENTO ORGANIZADA POR SUA FREQUÊNCIA
FONTE: O autor
fi 1 1 3 1 2 2 1
di 2 3 4 5 6 7 8
Agora, para encontrar d de acordo com a tabela anterior, devemos usar a 
equação (2). Obviamente, o resultado encontrado deve ser o mesmo. Por sua vez, 
a mediana dmed é obtida por organizar os dados em ordem crescente: 2, 3, 4, 4, 4, 
5, 6, 6, 7, 7, 8. Logo:
dmed = 5000.
Já para a moda temos:
dmod = 4000.
Agora, considere o caso que queremos analisar somente os jogadores que 
jogam “na linha”, ou seja, desconsiderando o salário do goleiro.
A nova tabela (já ordenada em ordem crescente) é então dada por
TABELA 8 – FOLHA DE PAGAMENTO DO TIME - II
FONTE: O autor
2 3 4 4 5 6 6 7 7 8
Note que, agora, nossa coleção de dados é par.
Nesse caso, para obtermos a mediana, devemos encontrar uma média 
entre os valores centrais, ou seja:
Podemos ainda trabalhar com frequências relativas Fi. Tal frequência é 
definida assim:
 (4) 
TÓPICO 1 — CONCEITOS BÁSICOS E FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
13
Com a frequência relativa (4) introduzida, a equação (2) torna-se:
d = ∑ Fi di, 
Enquanto a equação (3) pode ser reescrita como:
d = ∑ Fi Di , 
Com Fi definido analogamente como:
Outro tipo de frequência útil a ser introduzido, é a chamada frequência 
acumulada ai. Ela é obtida somando fi com seus antecessores, isto é:
ai = fi + fi-1 + fi-2 + ... + f₁.
Ainda, devemos definir a frequência acumulada relativa Ai por:
Ai = Fi + Fi-1 + Fi-2 +...+ F1.
Com essas novas definições, podemos reescrever a Tabela 6 como:
 (5) 
 (6) 
TABELA 9 – FOLHA DE PAGAMENTO ORGANIZADA PELA FREQUÊNCIA E FREQUÊNCIA ACUMULADA
FONTE: O autor
Ai 1/11 2/11 5/11 6/11 8/11 10/11 1
Fi 1/11 1/11 3/11 1/11 2/11 1/11 1/11
ai 1 2 5 6 8 10 11
fi 1 1 3 1 2 2 1
di 2 3 4 5 6 7 8
Para finalizar este tópico, vamos trabalhar o conceito de classe. Considere 
que o clube quer arrecadar dinheiro e começa a coletar os possíveis doadores 
do clube. De um total de 500 torcedores pesquisados, verificou-se 306 pessoas 
dispostas a doarem até R$ 50, 102 a doarem entre 50 e 100, 82 de 100 a 150, 9 de 
150 a 200 e uma pessoa de 200 a 250 reais. Assim, organiza-se a seguinte tabela:
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
14
TABELA 10 – POSSÍVEIS DOADORES E VALORES A SEREM DOADOS
FONTE: O autor
FONTE: O autor
dif / di0 fi ai
0 - 50 306 306
50 -100 102 408
100 -150 082 490
150 - 200 009 499
200 - 250 001 500
Por considerando o valor médio Di de cada intervalo, a tabela anterior 
rende:
TABELA 11 – POSSÍVEIS DOADORES E VALORES MÉDIOS A SEREM DOADOS
Di fi ai
25 306 306
75 102 408
100 082 490
125 009 499
150 001 500
Deste modo, usando (3), encontramos:
Logo, a capacidade de arrecadação do clube será de R$ 53,782 por 
torcedor. Assim, estipulando que o time tenha 25000 torcedores, a expectativa de 
arrecadação será de R$ 1344550.
Para reforçar seus estudos referente ao Tópico 1 e os tópicos subsequentes, 
pode ser útil ler Magalhães e Lima (2004).
DICAS
15
Neste tópico, você aprendeu que:
• Os conceitos de estatística podem ser tratados em situações corriqueiras.
• Uma tabela é melhor organizada em termos de suas frequências.
• Existem termos básicos que são úteis para trabalhar os modelos estatísticos.
• Os dados trabalhados em estatística formam uma amostra e estas fazem parte 
de uma população.
• Podemos encontrar valores numéricos importantes como moda e mediana e 
estas são medidas de posição.
• Medidas de posição podem fornecer grandezas desejáveis para um tratamento 
mais aprofundado de um certo conjunto de dados. 
• As variáveis estatísticas podem ser qualitativas e quantitativas, podendo ser 
ainda nominais ou ordinais, discretas ou contínuas.
RESUMO DO TÓPICO 1
16
AUTOATIVIDADE
1 Existem diferentes maneiras de organizar uma tabela a partir de dados 
brutos extraídos. Podemos organizar uma tabela através da frequência ou 
mesmo da amplitude. Ainda, muitas vezes, é útil considerar a frequência e 
amplitude relativas. 
Com as informações anteriores, suponha que certo filme para o público 
adolescente resolveu fazer um levantamento para saber a faixa etária de seu 
público e obteve os seguintes resultados: 
Desenvolva os itens pedidos a seguir: 
a) Reescreva a tabela em termos de frequência.
b) Reescreva a tabela em termos da amplitude.
c) Reescreva a tabela em termos de frequência relativa.
d) Reescreva a tabela em termos de amplitude relativa.
Com base em seus resultados, classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
para as falsas:
( ) A tabela em termos de frequência tem a forma:
( ) A tabela em termos de amplitude tem a forma: 
( ) A tabela em termos de frequência relativa tem a forma: 
14 17 13 13 18 13 20 19 18 18
16 15 13 19 17 17 15 14 20 16
13 15 16 13 14 14 18 16 15 13
17 16 18 14 13 17 19 20 14 13
16 16 19 14 14 19 14 17 16 20
13 21 15 14 17 18 16 15 20 14
fi 10 11 06 09 07 06 05 05 01
di 13 14 15 16 17 18 19 20 21
ai 10 21 27 35 44 50 53 59 60
di 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Fi 1/6 11/60 1/10 3/20 7/60 1/10 1/12 1/12 1/60
di 13 14 15 16 17 18 19 20 21
17
( ) A tabela em termos de amplitude relativa tem a forma: 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – F.
b) ( ) V – V – F – F.
c) ( ) V – F – V – V.
d) ( ) F – V – F – V.
2 Em estatística, é útil obter alguns valores numéricos para uma posterior 
análise das informações colhidas. Tais valores são conhecidos como medidas 
de posição e, entre eles, temos frequência, mediana, moda e o valor médio. 
Com a tabela a seguir: 
Encontre demonstrando o resultado, a mediana, moda e o valor médio. 
I- Mediana = 11,5. Moda = 13. Valor médio = 8,425.
II- Mediana = 10,5. Moda = 13. Valor médio = 8,425.
III- Mediana = 10. Moda = 11. Valor médio = 8,85.
IV- Mediana = 11,5. Moda = 11. Valor médio = 7,967. 
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Somente a afirmativa I está correta.
b) ( ) Somente a afirmativa II está correta.
c) ( ) Somente a afirmativa III está correta.
d) ( ) Somente a afirmativa IV está correta.
3 As chamadas variáveis aleatórias podem ser classificadas por diferentes 
atribuições, podendo ser uma variável quantitativa ou qualitativa. Caso a 
variável seja qualitativa, ela pode ser nominal ou ordinal enquanto que se 
for quantitativa, ela pode ser discreta ou contínua. A seguir, temos uma 
ilustração da classificação de variáveis aleatórias:
FONTE: Adaptado de Magalhães e Lima (2004, p. 8)
 
Ai 1/6 1/5 1/2 3/5 43/60 5/6 9/10 59/60 01
di 13 14 15 16 17 18 19 20 21
09 06 14 10 11 05 04 02 01
14 12 15 10 08 02 11 13 09
12 11 07 13 05 11 07 12 05
Variável
Qualitativa
Quantitativa
Nominal
Ordinal
Discreta
Contínua
18
Com suas próprias palavras, disserte sobre no que consiste cada tipo de 
variável aleatória.
4 Muitas vezes, usa-se o conceito de classe para trabalhar com certos dados 
estatísticos. Podemos dizer que em dados classificados por classes, se 
disponibilizam tais em razão de seus intervalos. Sendo dif o limite superior do 
intervalo, di0 o limite inferior e fi as frequências, através da tabela a seguir: 
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) A média associada a tabela é aproximadamente 27,41.
b) ( ) A média associada a tabela é aproximadamente 43,76.
c) ( ) A média associadaa tabela é aproximadamente 36,93.
d) ( ) A média associada a tabela é aproximadamente 32,26.
dif / di0 fi
0 - 20 26
20 - 40 59
40 - 60 22
60 - 80 07
80 - 100 01
19
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
1 INTRODUÇÃO
A probabilidade aparece em muitos ramos do conhecimento humano, tal 
como Economia, Biologia, Física, Teoria dos Jogos etc. Seu estudo, sob o ponto 
de vista matemático, remonta aos trabalhos de Bernoulli já no Século XVII, em 
sua obra intitulada Ars Conjectandi, publicado no século seguinte em 1713, como 
pode ser visto em Hald (2003). Inicialmente, o estudo da probabilidade surge com 
o emergente interesse em jogos de azar, como pode ser lido em Memória (2004), 
e se difundindo posteriormente sob as diversas ramificações do conhecimento 
humano. Hoje em dia, a probabilidade é entendida como um ramo da estatística, 
que estudamos anteriormente.
Um ramo, em especial, em que os conceitos de probabilidade têm 
fundamental importância é na ciência Física, já que ela aparece desde a Teoria 
do Caos como na própria fundação da Teoria Quântica. Na mecânica Quântica, a 
probabilidade surge nos debates iniciais acerca da interpretação do significado da 
função de onda de uma partícula. Tal interpretação conhecida como Interpretação 
de Born diz que tal função de onda pode ser compreendida desde que seu 
quadrado nos forneça uma onda de probabilidade.
O histórico artigo de Born (1954), pode ser obtido no site oficial do prêmio 
Nobel, no endereço: nobelprize.org/prizes/physics/1954/born/lecture/.
DICAS
Entretanto, longe de sua importância acadêmica em Física, a probabilidade 
torna-se familiar simplesmente por observar nossos acontecimentos diários. Nos 
eventos cotidianos, a probabilidade emerge, por exemplo, num sorteio da loteria 
federal, em jogos de tabuleiro, de cartas ou de dados, no mercado financeiro etc.
20
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
No Tópico 2, observando situações diversas mais próximas da realidade 
cotidiana, abordaremos os conceitos básicos de probabilidade, como sistema 
contendo apenas duas possibilidades, sua distribuição binomial de probabilidade 
e normalização, descritas em diferentes formas, como fazer predições em contextos 
probabilísticos usando valor esperado e desvio médio.
Espera-se, assim, que tal tópico sirva de suporte para um estudo mais 
aprofundado que será desenvolvido no Tópico 3.
2 PROBABILIDADE EM ALGUMAS SITUAÇÕES COTIDIANAS
Como já mencionado na Introdução, conceitos de probabilidade podem 
ser extraídos em diversas situações cotidianas. Alguns deles são os jogos de 
dados, cartas, loterias etc. Para começar nosso estudo, analisaremos tais situações 
ocorrentes em nosso dia a dia. 
Consideraremos, inicialmente, um desafio de dados não viciados. Em tal 
desafio, devemos prever o número que será sorteado após alguns lançamentos 
aleatórios de dados. A probabilidade de acertar a face correta é de uma em seis 
após um único lançamento de dado, ou simplesmente 1/6. Podemos representar 
esta situação matematicamente como:
Aqui P(n) representa a probabilidade de se obter um número específico n 
de um total de seis números possíveis. Caso agora queiramos prever duas jogadas 
consecutivas, devemos apenas multiplicar uma probabilidade pela outra, ou seja:
Aqui n′ detona que os números não são necessariamente iguais. A regra 
de multiplicação anterior pode ser generalizada para um número indeterminado 
de jogadas. Por exemplo, seja m o número de jogadas subsequentes, teremos 
então a regra de multiplicação reescrita como:
A forma de calcular a probabilidade é muito sensível ao jogo que estamos 
querendo analisar. Por exemplo, se quisermos acertar dois números diferentes 
independentes da ordem, teremos então (para m = 2):
TÓPICO 2 — CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
21
A forma anterior ocorre porque, na primeira jogada, temos uma chance 
em três enquanto na segunda uma chance em seis. Note que no primeiro caso 
somamos as probabilidades, isto é:
Quando introduzimos, formalmente, os conceitos de probabilidade, 
veremos, que, em geral, temos regras diferentes para eventos que são 
independentes e para eventos que são exclusivos. Por hora, vamos nos ater a 
eventos independentes onde a regra da multiplicação é válida.
Para ilustrar outra situação de aplicabilidade de eventos independentes, 
analisaremos o corriqueiro jogo da Mega Sena. De vez em quando ouvimos 
ou lemos que a probabilidade de se ganhar nesse sorteio é de uma entre 
50063860 milhões. Como se obtém esse valor? Nesse caso específico, para obter 
tal probabilidade, deve-se considerar que para cada bola sorteada, tem-se na 
próxima rodada um número total diferente de bolas, pois a cada sorteio uma bola 
é retirada para o sorteio posterior.
A maneira correta de se calcular a probabilidade da Mega Sena pode ser 
encontrada considerando a seguinte multiplicação:
Logo, podemos observar exatamente a probabilidade que nos é 
apresentada nos meios de comunicação. Note que apesar de o número total de 
bolas ter diminuído rodada após rodada (ao contrário do jogo de dados por 
exemplo), a probabilidade final é obtida através da regra de multiplicação.
No site da loteria federal, encontramos diferentes probabilidades para os 
chamados “bolões” da Mega Sena, isto é, apostando seis, sete bolas etc. Confira tais números 
e tente obtê-los assim como verificar também se o preço de cada bolão corresponde com 
a probabilidade encontrada de se ganhar nela apostando diferentes quantidades de bolas.
DICAS
1 1 1 .
6 6 36
+ =
22
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Nos exemplos analisados anteriormente, a possibilidade de se obter um 
determinado número em relação ao outro era igualmente provável. No entanto, 
há casos em que a probabilidade de se obter um dado valor é maior que a 
probabilidade de se obter outro.
Como exemplo, vamos imaginar a mesma aposta, mas agora com dados 
viciados. Vamos considerar ainda que certo dado foi manipulado para que a 
probabilidade de se obter o valor 6 seja de 50%. Os demais valores são igualmente 
prováveis. Nesse caso, a probabilidade de se obter qualquer valor que não seja 6 
deve ser de 1/10, pois a soma das probabilidades deve totalizar 100%, isto é:
Como devemos agora calcular a probabilidade de dada sequência?
Vamos considerar diferentes sequências contendo três jogadas:
• 6-1-4
• 6-6-2
• 6-6-6
• 3-5-2
 Para cada sequência, a probabilidade é fornecida na tabela a seguir:
TABELA 12 – PROBABILIDADE DE UMA SEQUÊNCIA ESPECÍFICA
FONTE: O autor
Sequência 6-1-4 6-6-2 6-6-6 3-5-2
Probabilidade
É interessante notarmos que podemos organizar a probabilidade de cada 
sequência como:
•
•
•
•
TÓPICO 2 — CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
23
Observando a estrutura matemática anterior, é possível generalizar a 
probabilidade de uma sequência qualquer (de número N indeterminado) em que 
cada face do dado esteja associada com uma probabilidade genérica de ocorrer. 
Considere a expressão a seguir: 
 (7)
 
Pi é a probabilidade de uma certa face ocorrer e Ni a quantidade de vezes 
que tal face aparece na sequência.
Agora repare que (7) pode fornecer qualquer resultado da tabela anterior 
apenas por computar o número de vezes em que as bolas aparecem na sequência, 
como, também, a probabilidade de cada bola ser sorteada.
Neste mesmo caso considerado anteriormente, devemos ainda considerar 
as relações auxiliares úteis:
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1,
E 
 
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = N.
Em muitos casos que estudaremos posteriormente durante o curso, pode 
ser conveniente usarmos as notações de produtório e somatório. Fazendo uso dessa 
notação, podemos reescrever (7) simplesmente como:
Já as relações (8) tornam-se
E
 (8)
24
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
3 SISTEMAS DE DUAS OPÇÕES
Muito úteis são os problemascontendo apenas duas opções possíveis, por 
exemplo, um jogo de cara ou coroa. Um problema muito usual na literatura é 
também considerar o “caminho aleatório” ou “marinheiro bêbado”. Tal problema 
consiste em analisar uma trajetória em que cada “passo” caminhado pelo 
marinheiro é sujeito a condições probabilísticas. Em uma dimensão (trajetória 
sobre uma linha reta) as opções possíveis são os passos:
• “Para frente”
• “Para trás”
Vamos supor que nosso marinheiro caminhe com uma probabilidade P> 
de seu passo ser dado para frente e uma probabilidade P< de seu passo ser dada 
para trás. Depois de N passos, a probabilidade do marinheiro ter dado N> passos 
para frente e N< passos para trás será dada por:
 (9) 
Note que temos aqui uma equação similar para os casos dados 
anteriormente com a única diferença que, neste caso, estamos considerando 
apenas duas possibilidades possíveis. De maneira também similar, teremos, 
ainda:
P< + P> = 1,
 E 
 
N< + N> = N,
Para ilustrar, vamos supor uma sequência de três passos, isto é, N = 3. 
Neste caso teremos os possíveis cenários:
• (P<)3 (P>)0
• (P<)2 (P>)1
• (P<)1 (P>)2
• (P<)0 (P>)3
Digamos que para cada três passos, a probabilidade do marinheiro dar um 
passo para frente é de P< = 2/3 enquanto que para trás é de P> = 1/3. Substituindo 
os valores em possibilidade anterior, encontramos as probabilidades referentes 
para cada caso, ou seja:
 (10) 
TÓPICO 2 — CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
25
•
•
•
•
Agora devemos reparar a desigualdade:
Podemos, então, nos indagar: por que a soma das probabilidades de cada 
possibilidade não totalizou 100%? Onde se encontra o fator 12/27?
Para solucionar essa pergunta, vamos considerar a situação em que o 
marinheiro anda dois passos para frente e um passo para trás.
Notamos que temos três configurações diferentes possíveis que satisfazem 
este caso. São eles:
• trás-frente-frente
• frente-trás-frente
• frente-frente-trás
Do modo similar, teremos três casos diferentes para dois passos para trás 
e um para frente. Já para os casos de três passos para frente ou para trás, teremos 
apenas uma possibilidade, ou seja:
frente-frente-frente ou trás-trás-trás.
Agora repare que:
Desse modo, temos encontrado o “12/27” que estava faltando.
Devemos reparar ainda que os fatores multiplicados aos termos 
probabilísticos, podem ser obtidos do seguinte modo:
26
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
E
O que acabamos de introduzir informalmente foi a noção de normalização. 
Ou seja, para calcular corretamente a probabilidade final, devemos normalizar cada 
contribuição. Tal termo de normalização pode ser representado matematicamente por:
 (11)
Podemos concluir então que a probabilidade de cada possibilidade ocorrer 
é dada pela multiplicação de (9) com (11), ou seja:
 (12) 
 
 
Como veremos mais adiante, a expressão obtida anteriormente é 
conhecida como distribuição binomial e será amplamente trabalhada por nós 
durante a Unidade 1.
Para o problema do caminho aleatório, você pode encontrar um 
desenvolvimento similar mais com maior rigor matemático em Salinas (1997)..
DICAS
Usando as relações (10), podemos reescrever (12) como se segue:
 (13) 
A partir daqui, devemos querer associar nossas fórmulas obtidas 
anteriormente com uma situação que tenha um certo contexto físico. Para isso, 
vamos considerar, por exemplo, que para cada passo dado tenhamos Δx de 
comprimento. A real distância percorrida é então pega como a diferença de 
passos para frente e passos para trás, isto é:
ΔX = X> – X<.
TÓPICO 2 — CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
27
A expressão anterior deve ser proporcional a N> – N< , ou seja, a diferença 
entre o que o marinheiro andou para frente e o que andou para trás convertidos 
em metros. X = X> + X< é a distância total percorrida e então está associada com N. 
Vamos reescrever (12) como:
 (14) 
Agora, necessitamos realizar um pouco de álgebra. Repararmos que:
E
Substituindo as relações anteriores em (14), como também:
P< = 1 – P>
Encontramos
 (15) 
 
Deste modo, na fórmula anterior, a probabilidade é calculada em termos 
da distância total percorrida X e da distância deslocada efetivamente ΔX.
Podemos usar a fórmula (15) para descrever, por exemplo, a probabilidade 
de se encontrar uma partícula em certa distância em uma dimensão. Por 
simplicidade, vamos continuar analisando o movimento do marinheiro. Vamos 
supor que cada passo do marinheiro é equivalente a um metro de distância. 
Vamos também supor que ele anda dez metros no total X = 10 m. Com a fórmula 
(15) em mãos, podemos calcular as diversas probabilidades de ele se encontrar 
em uma dada posição ΔX.
Considere inicialmente como um primeiro exemplo, a probabilidade de 
encontrar o marinheiro na posição ΔX = 10 m. Substituindo X = 10 e ΔX = 10 em 
(15), encontramos:
 
28
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Já para ΔX= 8 m, 6 m, 4 m, 2 m, teremos respectivamente:
Para o caso em que efetivamente o marinheiro “não andou” ΔX = 0, 
obtemos:
Enquanto para os casos em que ele andou “para trás”, isto é, ΔX < 0, 
encontramos:
E
Vamos prosseguir inicialmente fazendo uma análise simples. Se o 
marinheiro andar para frente com 100% de certeza (P> = 1), podemos notar que:
P(10) = 1
Enquanto todos os demais são iguais a zero, pois 1 – P> = 0. Ou seja, temos 
100% de certeza de que encontraremos o marinheiro na posição 10 m. No entanto, 
se a probabilidade de andar para frente for nula, teremos:
P(–10) = 1
TÓPICO 2 — CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
29
E os demais igual a zero, uma vez que P> = 0. Logo, temos 100% de 
certeza de que encontraremos o marinheiro na posição –10 m. Analisado o caso 
trivial, devemos agora querer estudar um caso não trivial. Consideraremos nosso 
exemplo inicial, em que P> = 2/3. Substituindo este valor em P(10), encontramos 
rapidamente:
P(10) ≃ 0,0173.
Já para P(8), teremos:
Com os dois resultados anteriores, vemos que é mais provável encontrar 
o marinheiro em 8 m (8,67 %) do que em 10 m (1,73 %). Realizando o mesmo 
procedimento para as posições, encontramos:
• P(6) ≃ 0,1951
• P(4) ≃ 0,2601
• P(2) ≃ 0,2276
• P(0) ≃ 0,1366
• P(-2) ≃ 0,0569
• P(-4) ≃ 0,0163
• P(-6) ≃ 0,0030
• P(-8) ≃ 0,0003
• P(-10) ≃ 0,0000
Logo, encontramos todas as possibilidades e suas probabilidades 
associadas ao contexto estabelecido por nós.
4 PREDIÇÕES NO CONTEXTO PROBABILÍSTICO
No subtópico anterior, temos calculado a probabilidade de encontrarmos 
em uma dada posição, um marinheiro que anda sujeito a regras probabilísticas. 
Todavia, como podemos falsear nosso modelo? Ou seja, como podemos sujeitar 
tal modelo a uma prova? Uma opção é considerar uma média entre as variáveis 
possíveis de se obter. Porém, como elaborar tal média, uma vez que cada valor 
possível carrega uma probabilidade para acontecer?
Para ilustrar, vamos, novamente, voltar para o problema do marinheiro. 
Por exemplo, se considerarmos uma média simples no exemplo do marinheiro, 
a média das posições ΔX nos forneceria o número zero. Por nossos resultados 
obtidos, a probabilidade em tal posição é de:
P(0) ≃ 13,66 %.
30
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Se repararmos, ainda, as probabilidades decaem para posições ΔX < 
0. Se continuarmosainda observando, podemos ver que a probabilidade vai 
aumentando até ΔX = 4 (P(4) ≃ 26,01 %) e novamente decai para ΔX > 4. Podemos 
resumir tais análises ao gráfico a seguir:
GRÁFICO 3 – PROBABILIDADE DE ENCONTRAR O MARINHEIRO EM CERTA POSIÇÃO - I
FONTE: O autor
Podemos reparar que o valor zero não nos fornece nenhuma informação 
relevante para a melhor compreensão do sistema. Vamos analisar então uma 
composição que leve em conta o valor ΔX, tal como seu “peso probabilístico” 
P(ΔX). Supomos uma simples multiplicação, ou seja:
P(ΔX) ⋅ ΔX.
Por simplicidade, vamos considerar agora X = 5 e –5 < ΔX < 5. Vamos 
manter P> = 2/3 como nos exemplos anteriores. É bom sempre lembrarmos que 
aqui os valores de ΔX são discretos. Usando (15), encontramos:
• P(5) ≃ 13,17 %
• P(3) ≃ 32,92 %
• P(1) ≃ 32,92 %
• P(–1) ≃ 16,46 %
• P(–3) ≃ 4,12 %
• P(–5) ≃ 0,41 %
TÓPICO 2 — CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
31
É interessante notar, nos resultados anteriores, que a probabilidade de se 
encontrar o marinheiro nas posições 1 m e 3 m é a mesma. Como já mencionamos e 
mostramos através do gráfico, a média simples nos dá uma informação que não nos 
fornece nenhuma informação importante. Diante das probabilidades encontradas 
anteriormente, intuitivamente, podemos pensar que uma média ideal, nos deva 
fornecer um valor entre 1 e 3. Consideramos então, a somatória de todos os valores 
multiplicados por seus respectivos pesos probabilísticos, ou seja:
∑ P(ΔX) ⋅ ΔX ≃ 0,0041(-5) + 0,0412(-3) + 0,1646(-1) + 0,3292(1) + 0,3292(3) + 0,1317(5)
≃ 1,667.
Deste modo, o valor final está entre 1 e 3, como queríamos!
No entanto, podemos perceber que valor não se encontra equidistante de 
1 e 3. Isso ocorre, pois os demais valores são também considerados. Observe o 
gráfico a seguir:
GRÁFICO 4 – PROBABILIDADE DE ENCONTRAR O MARINHEIRO EM CERTA POSIÇÃO - II
FONTE: O autor
Podemos agora notar que o valor encontrado nos fornece uma informação 
relevante do sistema. O que acabamos de encontrar, isto é:
<ΔX> = ∑ P(ΔX) ⋅ ΔX,
 
É conhecido como valor esperado ou apenas valor médio de ΔX.
(16)
32
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Outra definição importante, segue do desvio de uma dada variável 
quanto ao valor médio calculado. Por exemplo, os valores de nosso exemplo:
X = –5, –3, –1, 1, 3, 5
Se “desviam” Δ do valor esperado <ΔX>, simplesmente por tomar 
equações:
Δ(–5) = –5 – 1,667 = –6,667, Δ(–3) = –3 – 1,667 = –4,667
E assim por diante.
De modo geral, tem-se que o desvio médio Δ(X) de X é dado neste caso por:
Δ(X) = X – <X>. (17)
33
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Podemos quantificar alguns problemas probabilísticos simples de situações 
cotidianas, como num jogo de dado ou num jogo da loteria.
• O problema do caminho aleatório é útil para definir alguns conceitos 
importantes.
• Um sistema de duas opções, como o problema do marinheiro, segue uma 
distribuição binomial de probabilidade.
• Para podermos trabalhar com predições de um modelo guiado por 
probabilidade, devemos introduzir algumas grandezas matemáticas para 
tornar a análise do sistema em questão mais adequada, como valor médio e 
desvio médio.
34
AUTOATIVIDADE
1 A probabilidade aparece em nosso cotidiano de muitas maneiras diferentes, 
como em jogos de dados, jogos de cartas, na loteria etc. No jogo de “general”, 
a probabilidade de acertar a maior jogada é de uma em sete mil setecentos e 
setenta e seis. Tal jogo consiste em jogarmos simultaneamente cinco dados 
não viciados, enquanto a maior jogada é obtida quando os cinco dados 
fornecem o número seis. Desse modo, a probabilidade de se conseguir a 
maior jogada é de 1/65. Considerando que alguns dados sejam viciados, 
encontre a probabilidade da maior jogada para os seguintes casos:
1° caso: um dado viciado com a probabilidade de 1/3 para cair o número seis.
2° caso: um dado viciado com a probabilidade de 1/2 para cair o número 
quatro.
3° caso: dois dados viciados, um com probabilidade de 1/4 para cair o número 
seis e outro com probabilidade de 1/5 para cair o mesmo número.
4° caso: dois dados viciados, um com probabilidade de 1/3 para cair o número 
cinco e outro com probabilidade de 1/3 para cair o número seis.
5° caso: dois dados viciados, um com probabilidade de 1/3 para cair o número 
três e outro com probabilidade de 1/3 para cair o número dois.
Com base em seus resultados, analise as seguintes sentenças:
I- 1°: P = 1/3888, 2°: P = 1/12960, 3°: P = 1/4320, 4°: P = 1/4860, P = 1/12150.
II- 1°: P = 1/3888, 2°: P = 1/9750, 3°: P = 1/3830, 4°: P = 1/6440, P = 1/5150.
III- 1°: P = 1/496, 2°: P = 1/9750, 3°: P = 1/3830, 4°: P = 1/4860, P = 1/5150.
IV- 1°: P = 1/3888, 2°: P = 1/12960, 3°: P = 1/4320, 4°: P = 1/6440, P = 1/12150.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Somente a sentença I está correta.
b) ( ) Somente a sentença II está correta.
c) ( ) Somente a sentença III está correta.
d) ( ) Somente a sentença IV está correta.
2 O caminho aleatório é um bom exemplo dos chamados sistemas de duas 
opções. Sua fórmula matemática para a probabilidade é a seguinte:
Com base em seus conhecimentos de sistemas de duas opções, classifique V 
para as sentenças verdadeiras e F para falsas:
35
( ) O termo é um fator de normalização.
( ) P< + P> = P.
( ) N< + N> = N.
( ) A fórmula pode ser alternativamente representada por:
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – F – F.
b) ( ) F – V – V – V.
c) ( ) V – F – V – F.
d) ( ) F – F – V – V.
3 Sistemas probabilísticos, como o problema do caminhar do marinheiro, são 
úteis porque envolvem apenas duas possibilidades e preparam para uma 
melhor compreensão de sistemas probabilísticos mais complexos. Usando 
a fórmula do caminho do marinheiro:
E considerando X = 5 e P> = ¼, encontre todas as probabilidades para cada ΔX 
possível demonstrando o resultado e observe os seguintes resultados:
I- P (–5) = 0,237, P (–1) = 0,264, P (+3) = 0,015.
II- P (–4) = 0,124, P (+2) = 0,217, P (+4) = 0,017.
III- P (–3) = 0,396, P (+3) = 0,0015, P (+5) = 0,010.
IV- P (–4) = 0,124, P (–2) = 0,216, P (+2) = 0,217.
V- P (–3) = 0,396, P (+1) = 0,088, P (+5) = 0,001.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Somente afirmativa II está correta.
b) ( ) Somente afirmativa V está correta.
c) ( ) As afirmativas II e IV estão corretas.
d) ( ) As afirmativas I e V estão corretas.
e) ( ) As afirmativas I e III estão corretas.
4 Para um melhor entendimento dos possíveis resultados que podem ser 
acessados num sistema regido por probabilidades, torna-se útil a construção 
de gráficos. Em outra mão, podemos recuperar informações através de um 
gráfico, desde que sabemos o sistema aleatório de que estamos tratando. 
Considerando o caminho aleatório representado no gráfico a seguir: 
36
E sua fórmula matemática da questão anterior, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas:
( ) A probabilidade de o passo ser dado para frente é de 4/5.
( ) A probabilidade de o passo ser dado para trás é de 1/4.
( ) O valor esperado é 2,002.
( ) O valor esperado é 1,998.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – F – F.
b) ( ) V – F – V – F.
c) ( ) F – V – F – V.
d) ( ) F – V – V – V.
37
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE
1 INTRODUÇÃO
Depois do trabalho pioneiro de Bernoulli, ao longo dos séculos 
subsequentes, a probabilidade tem sido desenvolvida em termos de uma 
matemática mais formal e rigorosa. A primeira definição de probabilidade 
(conhecida hoje como definição clássica) foi fornecida pelo matemático francês 
Laplace, em sua obra intitulada como Théorie analytique des probabilités, em 1812.
De lá para cá, com o desenvolvimento formal em prática, ela pode 
efetivamente ser introduzida nos mais diferentes ramos do conhecimentohumano. Como sendo usual em matemática, a probabilidade tem sido 
formalizada em termos de objetos abstratos que podem tomar formas concretas 
em diferentes âmbitos.
Neste Tópico 3, abordaremos tais construções teóricas como a definição 
clássica de probabilidade, fenômenos aleatórios e espaço amostral, eventos, 
condições que a probabilidade deve satisfazer, variáveis aleatórias e buscaremos 
incorporá-las em diferentes problemas. Trabalharemos também com diferentes 
tipos de distribuições contínuas e discretas e aplicaremos os conhecimentos 
adquiridos previamente no tópico anterior. 
2 DEFINIÇÕES E CONCEITOS BÁSICOS
Já definimos informalmente alguns aspectos matemáticos importantes 
para contextualizar probabilidade no dia a dia, como caminho aleatório, 
distribuição binomial, valor médio e desvio médio. Aqui, discutiremos uma 
abordagem mais rigorosa acerca dos entes probabilísticos necessários.
Começaremos por definir o próprio conceito de probabilidade. A 
probabilidade pode ser definida como a possibilidade de um evento, entre outros 
possíveis eventos, ocorrer. Já a definição clássica de probabilidade, fornecida por 
Laplace (1812), é dada pelo quociente entre o número de casos prováveis n° e o 
número de casos possíveis N°:
 (18) 
 
38
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
O objeto matemático que carrega tal atribuição anterior é nosso P, 
trabalhado anteriormente. Para um melhor entendimento rigoroso, devemos 
compreender o conceito de fenômenos aleatórios e espaço amostral.
Espaço amostral é o conjunto de todos os valores que podem ser acessados 
em um fenômeno aleatório. Já um fenômeno aleatório pode ser entendido como 
um fenômeno em que estes valores não podem ser previstos com exatidão.
Isto é, aqui estamos distinguindo duas classes de fenômenos. Temos os 
fenômenos ditos determinísticos, que podem ser repetidos com exatidão em 
lugares diferentes, desde com as mesmas condições, e os fenômenos aleatórios, 
que não cumprirão esta propriedade.
Denotando o espaço amostral pela letra Ω, define-se um evento como um 
subconjunto de Ω. Um evento é dito elementar se o subconjunto de Ω contém 
somente um elemento de Ω.
Seguindo Magalhães e Lima (2004), vamos denotar eventos por letras 
latinas maiúsculas. Como é usual, A ∪ B e A ∩ B referem-se, respectivamente, 
à união e à intersecção de dois eventos A e B. Na prática, A ∪ B nos informa a 
ocorrência de um dos eventos A ou B, enquanto A ∩ B delega uma ocorrência 
simultânea dos referidos eventos. A e B são mutualmente exclusivos se A ∩ B = Ø, 
com Ø representando o conjunto vazio. Se A ∪ B = Ω e A ∩ B = Ø, A e B são ditos 
complementares.
A probabilidade P é uma função que associa aos eventos de Ω, um número 
real a. Podemos simbolizá-la matematicamente como:
P : A ↦ a, a ∈ R, A ⊂ Ω. 
Adicionalmente P deve satisfazer as seguintes condições:
• 0 ≤ P(A) ≤1, A ⊂ Ω
• P(Ω) = 1
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Se A e B são eventos mutualmente exclusivos, teremos, então:
A ∩ B = Ø.
Desde que P(Ø) = 0, o terceiro item é reescrito neste caso como segue:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Agora, se A e B são complementares, teremos também:
A ∪ B = Ω e P(Ω) = 1
 (19) 
TÓPICO 3 — FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE
39
Tal que o terceiro item se torna:
P(A) = 1 – P(B).
A e B são ditos para serem eventos independentes quando é possível 
desmembrar o termo P(A ∪ B) como se segue:
P(A∪B) = P(A)P(B).
A regra anterior é a regra de multiplicação que temos usado anteriormente 
em alguns casos.
Vamos, agora, clarificar a linguagem abstrata fornecida acima em três 
exemplos diferentes. O primeiro será dado através de alguns casos simples. 
Seguem eles:
Exemplo 1: vamos iniciar considerando um jogo de moeda com as 
possibilidades de se obter cara e coroa, um jogo de dados e logo após um jogo de 
cartas. No primeiro caso, o espaço amostral é especificado por dois eventos:
• Cara A
• Coroa B
Logo, podemos escrever o espaço amostral como:
Ω = {A , B}.
A probabilidade de cada evento é:
• P(A) = 1/2
• P(B) = 1/2
Logo 0 ≤ P(A) ≤ 1 e 0 ≤ P(B) ≤ 1 são satisfeitos. O terceiro item fornece:
P(A∪B) = P(A) + P(B) = ½ + ½ = 1
Desde que A ∩ B = Ø. Neste caso, A ∩ B = Ø é válido uma vez que se 
encontrarmos cara, a coroa é automaticamente excluída.
Voltamos para o caminho aleatório (12). Consideremos um único passo 
N = 1, tal que: 
40
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Logo, temos formalmente o mesmo caso do jogo de cara e coroa quando 
P(N<) = P< = 1/2 e P(N>) = P> = 1/2.
O espaço amostral é Ω = {N<, N>}. Como um passo para frente exclui o 
passo para trás, segue que N< ∩ N> = Ø. A união de N< e N>é N< ∪ N> = Ω, tal que: 
P< = P> – 1
Que é a relação qual já havíamos trabalhado anteriormente.
Exemplo 2: referente ao jogo de dado, o espaço amostral neste caso é:
Ω = {A , B, C, D, E, F}
A probabilidade de ocorrer um dos eventos pode ser representada como:
0 < P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P(E) = P(F) = < 1.
Logo, vemos que a primeira condição é satisfeita. P(Ω) = 1 indica a 
somatória das probabilidades individuais, logo também é satisfeita.
Agora queremos saber a probabilidade de observarmos A ou B, ou seja, P 
(A ∪ B). Se temos duas chances em seis possibilidades, a probabilidade deve ser 
de 1/3. Desde que A e B não podem ocorrer simultaneamente, pelo terceiro item 
teremos: 
P(A∪B) = P(A) + P(B) = 
Logo, tal item é satisfeito.
Exemplo 3: trataremos, agora, de um jogo de cartas de baralho. O jogo 
consiste em embaralhar quatro cartas com naipes diferentes e prever uma 
sequência de três cartas consecutivas. Os distintos eventos possíveis são resumidos 
na tabela a seguir:
TABELA 13 – EVENTOS POSSÍVEIS DO JOGO DE CARTAS
FONTE: O autor
A = ♣♠♢ E = ♣♡♠ I = ♠♦♣ M = ♢♠♣ Q = ♢♡♣ U = ♡♣♠
B = ♣♠♡ F = ♣♡♢ J = ♠♢♡ N = ♢♠♡ R = ♢♡♠ V = ♡♣♢
C = ♣♢♠ G = ♠♣♢ K = ♠♡♣ O = ♢♣♠ S = ♡♠♣ X = ♡♢♣
D = ♣♦♡ H = ♠♣♡ L = ♠♡♢ P = ♢♣♡ T = ♡♠♢ Z = ♡♢♠
TÓPICO 3 — FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE
41
Vale a pena notar, aqui, que os eventos que queremos encontrar não 
são dados pela ocorrência de um específico naipe, mas sim por uma sequência 
determinada de naipes. O espaço amostral neste caso é estipulado como:
Ω = {♣ , ♠ , ♢ , ♡}.
Os eventos ♣, ♠, ♢ e ♡ são elementares enquanto A, B, ... e Z são eventos 
fornecidos pela combinação de eventos elementares.
Por exemplo, a probabilidade de cada evento ocorrer é, neste caso, obtida 
pela regra de multiplicação com respeito aos eventos elementares. Supomos que 
queremos saber a probabilidade de J ocorrer. Então, para P(J) teremos:
P(J) = P(♠;♣,♢,♡)P(♢;♣,♡)P(♡;♣) = .
Para a probabilidade de se encontrar dois eventos sequências distintos, 
por exemplo P(J) ou P(K), teremos que observar os eventos:
• ♠♢♡
• ♠♡♣
Na primeira jogada, a probabilidade de sair ♠ é 1/4. Na segunda, teremos 
2/3. A partir da segunda jogada um dos eventos é descartado tal que a última 
jogada deve ter probabilidade de 1/2. Assim encontramos a probabilidade (regra 
da multiplicação) de 1/12. Agora, vamos considerar a probabilidade de ocorrer J 
ou I. Temos:
• ♠♢♡
• ♠♢♣
Assim, a probabilidade é de 1/4 na primeira jogada, 1/3 na segunda e 1 na 
terceira, tal que a probabilidade final é novamente de 1/12. Para finalizar, vamos 
considerar dois jogos em que nenhuma carta coincide em uma determinada 
jogada da sequência, por exemplo, J ou A. Temos:
• ♠♢♡
• ♣♠♢
Assim, a probabilidade da primeira jogada é 1/2. A partir daí um dos 
eventos é descartado tal que a probabilidade da segunda jogada é 1/3 e da terceira 
1/2. Assim, a probabilidade final é também de 1/12. Logo, a probabilidade de dois 
eventos distintos é dada pela regra:
P(J∪K) = P(J) + P(A, B etc) = .
Logo, J e A, B etc. são eventos mutualmente exclusivos.
42
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE EESTATÍSTICA
Os exemplos 1 e 2 são conhecidos como casos particulares de Laplace. Tais 
relatam eventos equiprováveis. Neste caso particular, se Ω = {A
1
, A
2
,..., A
n
} a probabilidade 
de cada evento é:
P(A
1
) = P(A
2
) = ... = P(A
n
) = .
 Entretanto, devemos ficar atentos que a definição geral de probabilidade engloba 
casos mais gerais, como por exemplo o do caminho aleatório ou a de um dado viciado.
DICAS
3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Começaremos formalizando o conceito de variável aleatória. Uma 
variável aleatória é uma função V que para cada elemento A de Ω associa um 
número real v:
V : A ↦ v, v ∈ ℝ, A ⊂ Ω. 
 
Devemos enfatizar aqui que uma variável aleatória V é uma função, desde 
que Ω ↦ ℝ, pois associa um número real v ∈ ℝ para cada elemento A do espaço 
amostral Ω. Notamos ainda que Ω é o domínio enquanto ℝ é o contradomínio.
Tal variável aleatória pode ser tanto discreta como contínua. Podemos 
caracterizar a natureza da variável aleatória da seguinte maneira:
• Variável aleatória discreta: assume valores específicos de um intervalo de ℝ, 
podendo ter uma quantidade finita ou infinita enumerável. 
• Variável aleatória contínua: pode assumir qualquer valor de um intervalo de 
ℝ, tendo uma quantidade infinita e não enumerável.
Como exemplo de variável discreta temos uma quantidade de partícula 
ou a quantidade de decaimentos radioativos de certa amostra, enquanto, de uma 
variável contínua, a massa de um certo corpo ou o volume que este corpo ocupa 
no espaço.
Aqui devemos reparar que apesar da semelhança estrutural de (19) e (20), 
a função V não é identificada com a função P, tal que em geral v ≠ a. Grosso modo, 
podemos pensar que V associa a A um valor numérico v que por sua vez estará 
associado com a probabilidade a através de (20). 
Uma função de probabilidade pode então ser definida como:
P(V(A) = v) = P(A).
 (20) 
TÓPICO 3 — FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE
43
Agora que já caracterizamos e diferenciamos os diferentes tipos de 
variáveis aleatórias, agora partiremos então para o estudo das definições de 
variáveis aleatórias discretas e contínuas.
3.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Como temos mencionado anteriormente, uma variável aleatória V é de 
natureza discreta se {vi} é um conjunto enumerável, podendo ser finito ou infinito.
Para ilustrar, consideraremos o caso trabalhado anteriormente no 
Exemplo 1 (jogo de cara ou coroa). Definiremos nossa variável aleatória como o 
número de coroas observadas num experimento aleatório. Podemos denotar as 
duas possibilidades como 0 (cara) e 1 (coroa). Desse modo, numa única jogada 
onde o espaço amostral é Ω = {C1=Cara, C2=Coroa}, podemos associar a cada 
elemento os valores 0 e 1 do seguinte modo:
C1 ↦ v1 (Cara ↦ 0),
C2 ↦ v2 : (Coroa ↦ 1).
Já se considerarmos que o experimento consiste em duas jogadas 
consecutivas, podemos denotar o espaço amostral associado com o experimento 
como:
Ω = {A = (C1, C1), B = (C1, C2), C = (C2, C1), D = (C2, C2)}.
Assim, a associação com cada elemento Ω realizada por nossa variável 
aleatória será feita da seguinte maneira: 
A ↦ v1 (Cara/Cara ↦ 0),
B ou C ↦ v2: (Cara/Coroa ou Coroa/Cara ↦ 1),
D ↦ v3 (Coroa/Coroa ↦ 2).
Com base nos dois exemplos anteriores, podemos perceber que uma variável 
aleatória é discreta quando associa valores a Ω que podem ser enumerados.
Agora perceba que dado um conjunto de variáveis aleatórias {vi} (discretas), 
o conjunto de probabilidades {Pi} está devidamente normalizado, se a somatória de 
Pi (vi) seja igual a um, isto é:
∑ Pi (vi) = P₁(v₁) + P₂(v₂) + ... + Pn (vn) = 1. 
 
Em nosso exemplo de duas jogadas de cara ou coroa: ∑ Pi (vi) = P₁(0) + 
P₂(1) + P3 (2) = ½ + ¼ + ½ = 1.
(21) 
44
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
O conjunto {Pi} é usualmente chamado de distribuição, que é uma função 
a qual associa uma probabilidade Pi para cada elemento vi de V, tal que para 
qualquer Pi:
0 ≤ Pi ≤ 1.
 
Podemos representar uma distribuição especificando a dupla vi e Pi(vi). 
Por exemplo, nos Gráficos 3 e 4, representamos a probabilidade de se encontrar 
o marinheiro numa certa posição ΔX. Assim, a distribuição para aquele caso é 
Pi(ΔXi), sendo a variável aleatória V = {ΔXi}. Notamos que a estrutura do andar 
do marinheiro é análoga ao do jogo de cara e coroa, sendo as opções cara/coroa 
substituídas por “passo para frente/trás”. No entanto, lá definimos -1 para 
“passo para trás” e para +1 “passo para frente”, de modo que nossas variáveis 
aleatórias levavam aos intervalos discretos –10, –8, –6, ..., 6, 8, 10 (Gráfico 3) e 
–5, –3, ..., 3, 5 (Gráfico 4).
Devemos notar também que uma distribuição se torna útil para responder 
outros problemas que podem surgir. Por exemplo, considerando ainda o 
problema do caminho aleatório, podemos nos perguntar qual a probabilidade 
(considerando por exemplo P> = 2/3) de o marinheiro ter efetivamente andado 
para trás depois de percorrer uma distância total ΔX? Para responder essa 
questão, começaremos considerando o caso do Gráfico 4 (ΔX=5). A variável 
aleatória é definida como sendo a soma dos passos para frente e trás. Assim, 
para a probabilidade de ter andado efetivamente para trás deve ser a soma das 
probabilidades Pi (ΔXi= –5, –3, –1), ou seja:
P(–5) + P(–3) + P(–1) = 0,41 + 4,12 + 16,46 = 20,99%.
Logo, o conhecimento da distribuição pode nos auxiliar para melhor 
analisar um certo sistema. Similarmente, para Gráfico 3 (ΔX=10), teremos:
P(–10) + P(–8) + P(–6) + P(–4) + P(–2) = 7,65 %.
Deste modo, podemos concluir que à medida em que o marinheiro anda 
menos chances teremos de encontrar nas posições atrás de onde começou sua 
caminhada.
Mais à frente, em 4. Distribuições de probabilidade, focaremos nossas 
atenções em algumas importantes distribuições as quais têm importantes 
aplicações em Física. No que segue, vamos nos ater para algumas definições 
importantes referentes as variáveis aleatórias. 
TÓPICO 3 — FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE
45
3.1.1 Valor Médio
Já havíamos trabalhado valor médio no contexto do caminho aleatório. 
Agora, o definiremos formalmente.
Dada uma variável aleatória V que associa elementos do espaço amostral 
Ω ao intervalo de valores discretos {vi}, definimos o valor médio <v>, do conjunto 
{vi}, da seguinte maneira:
<v(V)> = ∑ Pi (V = vi) ⋅ vi . 
Para entendermos melhor o papel, deixe-nos apresentar um exemplo.
Supomos que um grupo de investidores pretende comprar ações de certa 
empresa. Para se tomar a decisão da compra ou não de tais ações, uma seguinte 
tabela referente à probabilidade de valorização das ações da empresa é tomada 
em conta. Na tabela constam as seguintes informações:
 (22) 
TABELA 14 – PROBABILIDADE DE VALORIZAÇÃO DAS AÇÕES
FONTE: O autor
Valorização (R$) +30 +20 +10 -10 -20 -30
Probabilidade (%) 3,7 11,4 37,8 28,3 11,5 7,3
Observada a tabela, para se tomar a decisão, o grupo de investidores 
decide calcular sua esperança de lucro através da fórmula (22), ou seja:
<v> = 30(0,037) + 20(0.114) + 10(0,378) – 10(0,283) –20(0,115) – 30(0,073) = –0,15.
Assim, de acordo com a distribuição de probabilidade associada ao 
conjunto de valorização da ação, qual formam o conjunto de valores associada 
à variável aleatória, indica uma desvalorização de quinze centavos por ação, 
indicando, assim, que tal investimento deve gerar perdas. Notamos ainda que 
temos chamado a atenção ao termo esperança. De fato, muitas vezes, o valor 
médio é chamado de esperança matemática ou mesmo como valor esperado.
 
Outra quantidade importante que segue diretamente do valor médio é o 
desvio da medida Δ, o qual é definido como se segue:
Δ(vi) = vi – <v> .