Listas 1, 2 e 3 com Soluções PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (PE) UnB

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Universidade de Braśılia
Departamento de Estat́ıstica Prof. Dr. Jhames Sampaio
1a Lista de PE
1. Dadas as populações abaixo, classifique as suas respectivas variáveis como qualitativas
(ordinal ou nominal) ou quantitativas (cont́ınuas ou discretas):
a) População: Alunos de uma escola.
Variável: Cor dos cabelos.
b) População: Casais residentes em uma cidade.
Variável: Números de filhos.
c) População: As jogadas sucessivas de um dado.
Variável: O ponto obtido em cada jogada.
d) População: Pacientes canceŕıgenos
Variável: Peso de cada paciente canceŕıgeno.
e) População: Estação meteorológica de uma cidade.
Variável: Precipitação pluviométrica, durante um ano.
f) População: Alunos de uma universidade.
Variável: Conceito obtido.
g) População: Nascidos vivos numa determinada data.
Variável: Altura.
h) População: Casais residentes em uma cidade.
Variável: Sexo dos filhos.
2. Um eleição irá ocorrer na próxima semana e, selecionando uma amostra aleatória da
população de eleitores, tentaremos predizer qual candidato (Republicano ou Demo-
crata) prevalecerá. Qual dos métodos de seleção abaixo você acha que seria melhor
para obtermos uma amostra representativa?
(a) Eleitores presentes em um jogo de basquete colegial.
(b) Eleitores presentes em um luxuoso restaurante metropolitano.
(c) Sortear 100 nomes da lista de eleitores com idade para votar.
(d) Utilizar as pesquisas de telespectadores de uma TV local.
3. Para estimar o número de fumantes em uma cidade, via pura observação, decidiu-se
por escolher um dos locais abaixo para tomar uma amostra representativa:
(a) parque aquático;
(b) bar aberto;
(c) shopping;
(d) biblioteca.
4. Use os dados da tabela abaixo e construa a distribuição de frequências das variáveis:
a) Estado civil.
b) Região de procedência.
c) Número de filhos dos empregados casados.
d) Idade.
Número Estado Grau de Número Salário Idade Região de
do funcionário civil instrução de filhos (x sal. mı́n.) (anos) procedência
1 solteiro fundamental — 4,00 26 interior
2 casado fundamental 1 4,56 32 capital
3 casado fundamental 2 5,25 36 capital
4 solteiro médio — 5,73 20 outra
5 solteiro fundamental — 6,26 40 outra
6 casado fundamental 0 6,66 28 interior
7 solteiro fundamental — 6,86 41 interior
8 solteiro fundamental — 7,39 43 capital
9 casado médio 1 7,59 34 capital
10 solteiro médio — 7,44 23 outra
11 casado médio 2 8,12 33 interior
12 solteiro fundamental — 8,46 27 capital
13 solteiro médio — 8,74 37 outra
14 casado fundamental 3 8,95 44 outra
15 casado médio 0 9,13 30 interior
16 solteiro médio — 9,35 38 outra
17 casado médio 1 9,77 31 capital
18 casado fundamental 2 9,80 39 outra
19 solteiro superior — 10,53 25 interior
20 solteiro médio — 10,76 37 interior
21 casado médio 1 11,06 30 outra
22 solteiro médio — 11,59 34 capital
23 solteiro fundamental — 12,00 41 outra
24 casado superior 0 12,79 26 outra
25 casado médio 2 13,23 32 interior
26 casado médio 2 13,60 35 outra
27 solteiro fundamental — 13,85 46 outra
28 casado médio 0 14,69 29 interior
29 casado médio 5 14,71 40 interior
30 casado médio 2 15,99 35 capital
31 solteiro superior — 16,22 31 outra
32 casado médio 1 16,61 36 interior
33 casado superior 3 17,26 43 capital
34 solteiro superior — 18,75 33 capital
35 casado médio 2 19,40 48 capital
36 casado superior 3 23,30 42 interior
5. A MB Indústria e Comércio, desejando melhorar o ńıvel de seus funcionários em cargos
de chefia, montou um curso experimental e indicou 25 funcionários para a primeira
turma. Os dados referentes à seção a que pertencem, notas e graus obtidos no curso
estão na tabela abaixo. Como havia dúvidas quanto à adoção de um único critério
de avaliação, cada instrutor adotou seu próprio sistema de aferição. Usando dados da
tabela referida, responda às questões:
a) Após observar atentamente cada variável, e com o intuito de resumi-las, como você
identificaria (qualitativa ordinal ou nominal e quantitativa discreta ou cont́ınua)
cada uma das 9 variáveis listadas?
b) Apenas olhando a tabela, indique as diferenças existentes entre as distribuições
das variáveis Direito, Estat́ıstica e Poĺıtica.
c) Construa o histograma com 8 classes para as notas da variável Redação.
d) Construa a distribuição de frequências da variável Metodologia e faça um gráfico
para indicar essa distribuição.
e) Sorteado ao acaso um dos 25 funcionários, qual a probabilidade de que ele tenha
obtido grau A em Metodologia?
f) Se, em vez de um, sorteássemos dois, a probabilidade de que ambos tivessem tido
A em Metodologia é maior ou menor do que a resposta dada no item e)?
g) Olhando para a seção ao qual os funcionários pertecentem, qual delas teve melhor
aproveitamento na disciplina Estat́ıstica?
Func. Seção (*) Adm. Direito Redação Est. Inglês Metodologia Poĺıtica Economia
1 P 8,0 9,0 8,6 9,0 B A 9,0 8,5
2 P 8,0 9,0 7,0 9,0 B C 6,5 8,0
3 P 8,0 9,0 8,0 8,0 D B 9,0 8,5
4 P 6,0 9,0 8,6 8,0 D C 6,0 8,5
5 P 8,0 9,0 8,0 9,0 A A 6,5 9,0
6 P 8,0 9,0 8,5 10,0 B A 6,5 9,5
7 P 8,0 9,0 8,2 8,0 D C 9,0 7,0
8 T 10,0 9,0 7,5 8,0 B C 6,0 8,5
9 T 8,0 9,0 9,4 9,0 B B 10,0 8,0
10 T 10,0 9,0 7,9 8,0 B C 9,0 7,5
11 T 8,0 9,0 8,6 10,0 C B 10,0 8,5
12 T 8,0 9,0 8,3 7,0 D B 6,5 8,0
13 T 6,0 9,0 7,0 7,0 B C 6,0 8,5
14 T 10,0 9,0 8,6 9,0 A B 10,0 7,5
15 V 8,0 9,0 8,6 9,0 C B 10,0 7,0
16 V 8,0 9,0 9,5 7,0 A A 9,0 7,5
17 V 8,0 9,0 6,3 8,0 D C 10,0 7,5
18 V 6,0 9,0 7,5 9,0 C C 6,0 8,5
19 V 6,0 9,0 6,8 4,0 D C 6,0 9,5
20 V 6,0 9,0 7,5 7,0 C B 6,0 8,5
21 V 8,0 9,0 7,7 7,0 D B 6,5 8,0
22 V 6,0 9,0 8,7 8,0 C A 6,0 9,0
23 V 8,0 9,0 7,3 10,0 C C 9,0 7,0
24 V 8,0 9,0 8,5 9,0 A A 6,5 9,0
25 V 8,0 9,0 7,0 9,0 B A 9,0 8,5
(*) - P = Departamento pessoal, T = Seção técnica e V = Seção de vendas.
6. As taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores
munićıpios do Brasil estão listadas abaixo.
3,67 1,82 3,73 4,10 4,30
1,28 8,14 2,43 4,17 5,36
3,96 6,54 5,84 7,35 3,63
2,93 2,82 8,45 5,28 5,41
7,77 4,65 1,88 2,12 4,26
2,78 5,54 0,90 5,09 4,07
a) Construa a distribuição de frequências com classes de amplitude de tamanho 2
começando em zero e terminando em 10.
b) Faça um histograma à partir do item a).
7. Dispomos de uma relação de 200 aluguéis de imóveis urbanos e uma relação de 100
aluguéis de imóveis rurais.
Classes de aluguéis (codificados) Zona urbana Zona rural
2 ` 3 10 30
3 ` 5 40 50
5 ` 7 80 15
7 ` 10 50 5
10 ` 15 20 0
Total 200 100
a) Construa os histogramas das duas distribuições.
b) Com base nos histogramas, discuta e compare as duas distribuições.
8. O número de divórcios em uma cidade, de acordo com a duração do casamento, está
representado na tabela abaixo:
Anos de casamento No de divórcios
0 ` 6 2.800
6 ` 12 1.400
12 ` 18 600
18 ` 24 150
24 ` 30 50
a) Qual a duração média dos casamentos? E a mediana?
b) Encontre a variância e o desvio padrão da duração dos casamentos.
c) Construa o histograma da distribuição.
d) Encontre q(0, 25) e q(0, 75).
e) A distribuição parece simétrica?
9. O que acontece com a mediana, a média e o desvio padrão de uma série de dados
quando:
a) cada observação é multiplicada por 2;
b) soma-se 10 a cada observação;
c) subtrai-se a média geral x de cada observação;
d) de cada observação subtrai-se x e divide-se o total pelo desvio padrão D(x).
10. Na Questão 5, temos os resultados de 25 funcionários em vários exames a que se
submeteram. Sabe-se agora que os critérios adotados em cada exame não são com-
paráveis, por isso decidiu-se usar o desempenho relativo em cada exame. Essa medida
será obtida do seguinte modo:
(I) Para cada exame serão calculados a média x e o desvio padrão D(x).
(II) A nota X de cada aluno será padronizada do seguinte modo:
Z =
X − x
D(x)
.
a) Interprete o significado de Z.
b) Calcule as notas padronizadas dos funcionários para o exame de Estat́ıstica.
c) Com os resultados obtidosno item b), calcule z e D(z).
d) Se alguma nota estivar fora do intervalo (−2D(z), 2D(z)) esse funcionário deve
ser considerado um caso at́ıpico. Existe alguém nessa situação?
e) O funcionário 1 obteve 9,0 em Direito, em Estat́ıstica e em Poĺıtica. Em qual
disciplina seu desempenho relativo foi melhor?
11. Supondo que podem existir valores repetidos no conjunto X = {x1, . . . , xn}, demonstre
a validade da propriedade
Var(X) =
k∑
i=1
fix
2
i − x2, 1 6 k 6 n.
12. A distribuição de frequências do salário anual (x 10 salários mı́nimos) dos moradores
do bairro A que tem alguma forma de rendimento é apresentada na tabela abaixo:
Faixa salarial Frequência
0 ` 2 10.000
2 ` 4 3.900
4 ` 6 2.000
6 ` 8 1.100
8 ` 10 800
10 ` 12 700
12 ` 14 2.000
Total 20.500
a) Construa um histograma da distribuição.
b) Calcule a média e use o item anterior para calcular o desvio padrão.
c) O bairro B apresenta, para a mesma variável, uma média de 7,2 e um desvio
padrão de 15,1. Em qual dos bairros a população é mais homogênea em relação
à renda?
d) Com base na distribuição acumulada decida qual é a faixa salarial dos 10% mais
ricos da população.
e) Qual a “riqueza total” dos moradores do bairro?
13. Se 0 < α < 1, uma média aparada a 100α% é obtida eliminando-se 100α% dentre
as maiores e menores observações e calculando-se a média aritmética das restantes.
Por exemplo, se tivermos 10 observações ordenadas x(1) < x(2) < · · · < x(10), a média
aparada a 10% é
x(0, 10) =
x(2) + · · ·+ x(9)
8
.
a) Calcule a média aparada a 10% e 25% para os dados da variável Salários referentes
à tabela presente na Questão 4.
b) Qual a intenção do autor ao criar a medida de posição média aparada?
14. Numa pesquisa sobre rotatividade de mão de obra, para uma amostra de 40 pessoas
foram observadas duas variáveis: número de empregos nos últimos dois anos (X) e
salário mais recente, em número de salários mı́nimos (Y ). Os resultados foram:
Indiv́ıduo X Y Indiv́ıduo X Y
1 1 6 21 2 4
2 3 2 22 3 2
3 2 4 23 4 1
4 3 1 24 1 5
5 2 4 25 2 4
6 2 1 26 3 2
7 3 3 27 4 1
8 1 5 28 1 5
9 2 2 29 4 4
10 3 2 30 3 3
11 2 5 31 2 2
12 3 2 32 1 1
13 1 6 33 4 1
14 2 6 34 2 6
15 3 2 35 4 2
16 4 2 36 3 1
17 1 5 37 1 4
18 2 5 38 3 2
19 2 1 39 2 3
20 2 1 40 2 5
a) Usando a mediana, classifique os indiv́ıduos em dois ńıveis, alto e baixo, para
cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequências conjunta das
duas classificações.
b) Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando pouco?
c) Qual a porcentagem das pessoas que ganham pouco?
d) Entre as pessoas com baixa rotatividade, qual a porcentagem das que ganham
pouco?
e) A informação adicional dada em d) mudou muito a porcentagem observada em
c)? O que isso significa?
f) Verifique se há associações entre as variáveis rotatividade e salário.
15. A companhia A de dedetização afirma que o processo por ela utilizado garante um efeito
mais prolongado do que aquele obtido por seus concorrentes diretos. Uma amostra de
vários ambientes dedetizados foi colhida e anotou-se a duração do efeito de dedetização.
Os resultados estão na tabela abaixo. Você acha que existe alguma evidência a favor
ou contra a afirmação feita pala companhia A?
Duração do efeito de dedetização
Companhia Menos de De 4 a 8 Mais de
4 meses meses 8 meses
A 64 120 16
B 104 175 21
C 27 48 5
16. Prove que
1
n
∑
i
(
xi − x
D(x)
)(
yi − y
D(y)
)
=
∑
xiyi − nxy√
(
∑
x2i − nx2) (
∑
y2i − ny2)
.
17. Abaixo estão os dados referentes à porcentagem da população economicamente ativa
empregada no setor primário e o respectivo ı́ndice de analfabetismo para algumas
regiões metropolitanas brasileiras.
Regiões metropolitanas Setor primário Índice de analfabetismo
São Paulo 2,0 17,5
Rio de Janeiro 2,5 18,5
Belém 2,9 19,5
Belo Horizonte 3,3 22,0
Salvador 4,1 26,5
Porto Alegre 4,3 16,6
Recife 7,0 36,6
Fortaleza 13,0 38,4
a) Faça o diagrama de dispersão.
b) Você acha que existe uma dependência linear entre as duas variáveis?
c) Calcule o coeficiente de correlação.
d) Existe alguma região com comportamento diferente das demais? Se existe, elimine
o valor correspondente e recalcule o coeficiente de correlação.
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Gabarito
1. a) Qualitativa nominal.
b) Quantitativa discreta.
c) Quantitativa discreta.
d) Quantitativa cont́ınua.
e) Quantitativa cont́ınua.
f) Qualitativa ordinal.
g) Quantitativa cont́ınua.
h) Qualitativa nominal.
2. Item (c).
3. Item (b).
5. a) Seção: Variável qualitativa nominal.
Administração: Variável quantitativa cont́ınua.
Direito: Variável quantitativa cont́ınua.
Redação: Variável quantitativa cont́ınua.
Estat́ıstica: Variável quantitativa cont́ınua.
Poĺıtica: Variável quantitativa cont́ınua.
Economia: Variável quantitativa cont́ınua.
Inglês: Variável qualitativa ordinal.
Metodologia: Variável qualitativa ordinal.
8. a) x = 6, 90 e x̃ = 5, 35.
b) Var(X) = 27, 62 e D(X) = 5, 26.
d) q1 = 2, 68 e q3 = 10, 07.
e) Assimétrica.
9. a) 2x̃, 2x e 2D(X).
b) 10 + x̃, 10 + x e D(X).
c) x̃− x, 0 e D(X).
d) x̃−xD(X) , 0 e 1.
10. a) Média seja zero e o desvio padrão 1.
b) 0,58; 1,35; 1,35; -0,95; -0,95; 0,58; -0,18; -0,95; -0,18; -0,18; -0,18; -0,18; -0,95;
0,58; 1,35; -0,18; 0,58; 0,58; -3,26; 0,58; 0,58; -0,18; 0,58; -0,95; 0,58
c) z = 0 e D(Z) = 1.
d) O funcionário 19 é um caso at́ıpico.
e) Poĺıtica.
12. b) A média é 3,9172 e o o desvio padrão é 3,9631.
c) Bairro A.
d) A faixa salarial dos 10% mais ricos é [11, 8592 ; 14, 0000].
e) Aproximadamente 80.302,6.
13. a) x(0, 10) = 10, 84 e x(0, 25) = 10, 52.
b) Eliminar a contribuição exagerada que valores at́ıpicos proporcionam à média
aritmética.
14. a) Considere baixa rotatividade para valores menores que 2 e baixo salário para va-
lores menores que 2,5
b) 2, 5%.
c) 50%.
d) 12, 5%.
e) Bastante modificada; observe que maioria das pessoas que ganham pouco tem
alta rotatividade.
f) Parece haver uma associação entre alta rotatividade e baixos salários.
15. Não há diferença entre as 3 empresas.
17. b) O gráfico indica uma dependência linear positiva entre as variáveis.
c) 0,87.
d) As regiões de Porto Alegre e Fortaleza parecem fugir à curva. O novo coeficiente
de correlação é aproximadamente 0,99.
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1a Lista de PE – Solução
1. a) Qualitativa nominal.
b) Quantitativa discreta.
c) Quantitativa discreta.
d) Quantitativa cont́ınua.
e) Quantitativa cont́ınua.
f) Qualitativa ordinal.
g) Quantitativa cont́ınua.
h) Qualitativa nominal.
2. O item (c) seria a melhor opção.
3. O ambiente a ser escolhido deveria ser um bar, item (b). Isto porque nos outros
ambientes não deve haver fumantes em potencial para observação.
4. a) Segue abaixo a distribuição de frequências para a variável Estado civil.
Estado civil Frequência (ni) Frequência relativa (fi)
Solteiro 16 0,4444
Casado 20 0,5556
Total 36 1,0000
b) Segue abaixo a distribuição de frequências para a variável Região de procedência.
Região de procedência Frequência (ni) Frequência relativa (fi)
Interior 12 0,3333
Capital 11 0,3056
Outra 13 0,3611
Total 36 1,0000
c) Segue abaixo a distribuição de frequências para a variável Número de filhos.
Número de filhos Frequência (ni) Frequência relativa (fi)
0 4 0,20
1 5 0,25
2 7 0,35
3 3 0,15
5 1 0,05
Total 20 1,00
d) Segue abaixo a distribuição de frequências para a variável Idade.
Idade Frequência (ni) Frequência relativa (fi)
20 ` 25 2 0,0556
25 ` 30 6 0,1667
30 ` 35 10 0,2778
35 ` 40 8 0,2222
40 ` 45 8 0,2222
45 ` 50 2 0,0556
Total 36 1,0000
5. a) Seção: Variável qualitativa nominal.
Administração: Variável quantitativa cont́ınua.
Direito: Variável quantitativa cont́ınua.
Redação: Variável quantitativa cont́ınua.
Estat́ıstica: Variável quantitativacont́ınua.
Poĺıtica: Variável quantitativa cont́ınua.
Economia: Variável quantitativa cont́ınua.
Inglês: Variável qualitativa ordinal.
Metodologia: Variável qualitativa ordinal.
b) A distribuição dos dados para a variável Direito é uniforme (todos os funcionários
obtiveram mesmo desempenho) enquanto a distribuição dos dados para as variáveis
Estat́ıstica e Poĺıtica é mais dispersa.
c) Para construirmos o histograma com 8 classes para a variável Redação precisamos
antes determinar a amplitude das classes para em seguida obtermos a frequência
relativa e a altura de cada um dos blocos. Para facilitar a visualização desses
resultados é sempre interessante recorrermos à distribuição de frequências dos
dados em questão.
Lembre-se que calculamos a altura dos blocos pela fórmula hi = fi/∆i, onde ∆i
é a amplitude das classes. Em nosso caso, deveremos ter 8 classes de amplitude
0,5, ou seja, ∆i é constante e igual a 0,5 ou ∆i = ∆ = 0, 5.
Redação Frequência (ni) Frequência relativa (fi) Altura (hi)
6, 0 ` 6, 5 1 0,04 0,08
6, 5 ` 7, 0 1 0,04 0,08
7, 0 ` 7, 5 4 0,16 0,32
7, 5 ` 8, 0 5 0,20 0,40
8, 0 ` 8, 5 4 0,16 0,32
8, 5 ` 9, 0 8 0,32 0,64
9, 0 ` 9, 5 1 0,04 0,08
9, 5 ` 10, 0 1 0,04 0,08
Total 25 1,00
Segue abaixo o histograma para a variável Redação.
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Histograma da variável R (Redação)
Notas de Redação
F
re
q
u
ê
n
c
ia
d) O primeiro passo é obtermos a distribuição de frequências da variável em questão,
ou seja, Metodologia.
Metodologia Frequência (ni) Frequência relativa (fi)
A 7 0,28
B 8 0,32
C 10 0,40
Total 25 1,00
Tendo em vista que a nossa variável é qualitativa ordinal, tanto o gráfico em barras
quanto o gráfico em pizza são recomendáveis para representar a distribuição dos
dados. Como exemplo, iremos construir o gráfico em pizza da variável.
28%
32%
40%
Grafico Pizza
 
 
A
B
C
e) Sorteando ao acaso um dos 25 funcionários, a probabilidade de que ele tenha ob-
tido grau A em Metodologia está explicitado na tabela de distribuição de frequências,
ou seja, 28%.
f) A probabilidade é menor, pois seriam 42 possibilidades num total de 600, ou seja,
a probabilidade seria de 7%.
6. a) É fácil observar que a taxa de crescimento geométrico anual é uma variável quan-
titativa cont́ınua. Como a amplitude dos intervalos já foi especificada, vamos
construir um histograma com 5 classes de mesma amplitude e, novamente, preci-
saremos da frequência relativa e da altura.
Taxa de Cresc. Frequência (ni) Frequência relativa (fi) Altura (hi)
0 ` 2 4 0,1333 0,0667
2 ` 4 9 0,3000 0,1500
4 ` 6 12 0,4000 0,2000
6 ` 8 3 0,1000 0,0500
8 ` 10 2 0,0667 0,0333
Total 30 1,0000
b) À partir dos resultados obtidos no item a) segue o histograma para a variável
Taxa de crescimento.
1 3 5 7 9
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Histograma da variável T (Taxa de crescimento)
Taxa de crescimento
F
re
q
u
ê
n
c
ia
7. a) Como em todos os exemplos anteriores, utilizamos a distribuição de frequências
para facilitar a construção do histograma:
Classes de Aluguéis Frequência (ni) Frequência relativa (fi) Altura (hi)
2 ` 3 10 0,05 0,05
3 ` 5 40 0,20 0,10
5 ` 7 80 0,40 0,20
7 ` 10 50 0,25 0,08
10 ` 15 20 0,10 0,02
Total 200 1,00
A diferença neste caso é que as classes não possuem mesma amplitude. Desse
modo teremos hi = fi/∆i onde ∆1 = 1, ∆2 = 2, ∆3 = 2, ∆4 = 3 e ∆5 = 5. O
histograma resultante segue abaixo:
2 3 5 7 10 15
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Histograma da variável Zu (Classes de aluguéis para a zona urbana)
Classes de aluguéis
F
re
q
u
ê
n
c
ia
De maneira análoga obtemos a distribuição de frequências para a Zona rural:
Classes de Aluguéis Frequência (ni) Frequência relativa (fi) Altura (hi)
2 ` 3 30 0,30 0,30
3 ` 5 50 0,50 0,25
5 ` 7 15 0,15 0,08
7 ` 10 5 0,05 0,02
10 ` 15 0 0,00 0,00
Total 100 1,00
e o histograma resultante segue abaixo:
2 3 5 7 10 15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Histograma da variável Zr (Classes de aluguéis para a zona rural)
Classes de aluguéis
F
re
q
u
ê
n
c
ia
b) Pode-se observar claramente à partir dos histogramas que as classes de aluguéis
para a zona urbana possuem distribuição bem mais simétrica em relação à zona
rural, onde as classes de aluguéis decaem muito rapidamente à medida que au-
mentamos o seu valor. Outro ponto a se destacar é a frequência zero para classes
maiores do que 10.
8. Para respondermos grande parte dos itens, basta construirmos a tabela de distribuição
de frequências. Sendo xi’s os pontos médios dos intervalos de classe, segue abaixo a
tabela:
xi fi fixi xi − x (xi − x)2 fi(xi − x)2
3 0,56 1,68 -3,9 15,21 8,52
9 0,28 2,52 2,1 4,41 1,23
15 0,12 1,80 8,1 65,61 7,87
21 0,03 0,63 14,1 198,81 5,96
27 0,01 0,27 20,1 404,01 4,04∑
1,00 x = 6, 90 Var(X) = 27, 62
a) Pela tabela acima podemos ver que a média é x = 6, 90. Para o cálculo da
mediana, note que a mesma está situada no primeiro intervalo de classe e assim
aplicamos o prinćıpio estudado sobre as alturas dos histogramas de tal forma que
56%
6− 0
=
50%
x̃− 0
.
Resolvendo a equação obtemos x̃ = 5, 35.
b) Da tabela temos que Var(X) = 27, 62, então D(X) = 5, 26.
c) Lembre-se que calculamos a altura dos blocos pela fórmula hi = fi/∆i, onde ∆i é
a amplitude das classes. Em nosso caso, temos 5 classes de amplitude 6, ou seja,
∆i = ∆ = 6. As respectivas alturas são h1 = 0, 093, h2 = 0, 047, h3 = 0, 020,
h4 = 0, 005 e h5 = 0, 002. O histograma segue abaixo:
3 9 15 21 27
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Histograma da variável A (Anos de casamento)
Anos de casamento
F
re
q
u
ê
n
c
ia
d) Note que q1 = q(0, 25) está situado no primeiro intervalo de classe e assim aplica-
mos o prinćıpio estudado sobre as alturas dos histogramas de tal forma que
56%
6− 0
=
25%
q1 − 0
.
Resolvendo a equação obtemos q1 = 2, 68. Agora, veja que q3 = q(0, 75) está
situado no segundo intervalo de classe e aplicando o mesmo prinćıpio temos que
28%
12− 6
=
19%
q3 − 6
.
Resolvendo a equação obtemos q3 = 10, 07.
e) Ao observamos o histograma já podemos verificar que os dados são assimétricos.
Se desejarmos uma medida algébrica, basta notar que x̃− q1 = 2, 67 é bem menor
que q3 − x̃ = 4, 72.
9. a) Se cada observação é multiplicada por 2, as estat́ısticas de ordem permanecem
nas mesmas posições, porém multiplicadas por 2 e, portanto, a mediana é 2x̃.
A média será dada por
2x1 + · · ·+ 2xn
n
= 2x.
O desvio padrão será√
(2x1 − 2x)2 + · · ·+ (2xn − 2x)2
n
= 2
√
(x1 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2
n
= 2D(X).
b) Somando-se 10 unidades à mediana, a mesma apenas será transladada assim como
as outras estat́ısticas de ordem, mantendo a posição central e, portanto, seu valor
é 10 + x̃.
A média, por sua vez, será
(10 + x1) + · · ·+ (10 + xn)
n
=
10n + x1 + · · ·+ xn
n
= 10 + x.
Por fim, o desvio padrão será√
(10 + x1 − (10 + x))2 + · · · (10 + xn − (10 + x))2
n
= D(X).
c) Por argumentos análogos aos itens anteriores a mediana será x̃− x.
A média dos dados será
1
n
n∑
i=1
(xi − x) =
1
n
n∑
i=1
xi − x = 0
O desvio padrão obviamente não será alterado, visto que a média acima é zero.
d) Após padronizarmos os dados teremos o conjunto
(
x1−x
D(X) , · · · ,
xn−x
D(X)
)
. A mediana
será simplesmente dada por x̃−xD(X) .
A média, como no caso anterior, será zero.
O desvio padrão, por sua vez, será√√√√( x1−xD(X))2 + · · ·+ (xn−xD(X))2
n
=
1
D(X)
√
(x1 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2
n
= 1
10. a) Z é a nota dos funcionários com posição e escala corrigidas, ou seja, normalizada.
Pelo item d) da Questão 9 é de se esperar que a média seja zero e o desvio
padrão seja 1.
b) A nota de cada funcionário normalizada segue na tabela abaixo em ordem cres-
cente segundo as colunas:
0,58 1,35 1,35 -0,95 -0,95
0,58 -0,18 -0,95 -0,18 -0,18
-0,18 -0,18 -0,95 0,58 1,35
-0,18 0,58 0,58-3,26 0,58
0,58 -0,18 0,58 -0,95 0,58
c) z = 0 e D(Z) = 1.
d) Considerando o desvio padrão obtido, o intervalo em questão será (−2, 2) e, por-
tanto, o funcionário 19 é um caso at́ıpico, pois z19 = −3, 26. Para os dados
originais, sua nota foi 4,0 e está bem abaixo das demais.
e) Para a variável Direito não temos variabilidade, então devemos observar as variáveis
Estat́ıstica e Poĺıtica. Para Estat́ıstica já calculamos sua nota normalizada no
item b) e esta é dada por 0,58. A média da variável Poĺıtica é p = 7, 76 e o seu
desvio padrão é D(P ) = 1, 64. Segue que a nota normalizada do funcionário em
Poĺıtica é 0,76 e esta representa seu melhor desempenho relativo.
11. Primeiramente, observe que
Var(X) =
∑n
i=1(xi − x)2
n
=
∑n
i=1 (x
2
i − 2xix + x2)
n
=
∑n
i=1 x
2
i
n
− 2x
∑n
i=1 xi
n
+
∑n
i=1 x
2
n
=
∑n
i=1 x
2
i
n
− 2x2 + x2
=
∑n
i=1 x
2
i
n
− x2
Se separássemos os valores segundo suas frequências, teŕıamos
Var(X) =
∑k
i=1 nix
2
i
n
− x2 =
k∑
i=1
fix
2
i − x2.
12. a) Temos sete intervalos de classe com amplitude ∆ = 2 e as respectivas alturas dos
blocos são h1 = 0, 2439, h2 = 0, 0951, h3 = 0, 0488, h4 = 0, 0269, h5 = 0, 0195,
h6 = 0, 0171 e h7 = 0, 0488. O histograma segue abaixo:
1 3 5 7 9 11 13
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Histograma da variável S (Salários)
Salários
F
re
q
u
ê
n
c
ia
b) Sendo xi’s os pontos médios dos intervalos de classe, a tabela com os valores
necessários segue abaixo:
xi fi fixi x
2
i fix
2
i
1 0,4878 0,4878 1 0,4878
3 0,1902 0,5706 9 1,7118
5 0,0976 0,4880 25 2,4400
7 0,0537 0,3759 49 2,6313
9 0,0390 0,3510 81 3,1590
11 0,0341 0,3751 121 4,1261
13 0,0976 1,2688 169 16,4944∑
1,0000 x = 3, 9172 31,0504
A média já está na tabela e seu valor é 3,9172. Pela fórmula encontrada na
Questão 11, a variância é dada por Var(X) = 31, 0504− (3, 9172)2 = 15, 7059 e,
então, o valor do desvio padrão é 3,9631.
c) O Bairro A é mais homogêneo, pois tem desvio padrão menor.
d) Para encontrarmos a faixa dos 10% mais ricos basta encontrarmos o quantil
q(0, 90). Note que este quantil está situado no sexto intervalo de classe e então
3, 41%
12− 10
=
3, 17%
q(0, 90)− 10
.
Resolvendo a equação encontramos q(0, 90) = 11, 8592 e a faixa salarial dos 10%
mais ricos é [11, 8592 ; 14, 0000].
e) Para encontrarmos a riqueza total basta multiplicarmos a média pelo total de
observações. No nosso caso, esse valor é aproximadamente 80.302,6.
13. a) x(0, 10) = 10, 84 e x(0, 25) = 10, 52.
b) A intenção do autor é eliminar a contribuição exagerada que valores at́ıpicos
proporcionam à média aritmética.
14. a) Ordenando ambas as variáveis, as medianas encontradas são
x̃ =
x(20) + x(21)
2
=
2 + 2
2
= 2
e
ỹ =
y(20) + y(21)
2
=
2 + 3
2
= 2, 5.
Desse modo iremos considerar baixa rotatividade valores menores que 2 e baixo
salário valores menores que 2,5. A distribuição conjunta das duas variáveis segue
abaixo:
Y \X Baixo Alto Total
Baixo 1 19 20
Alto 7 13 20
Total 8 32 40
b) 1/40 = 2, 5%.
c) 20/40 = 50%.
d) 1/8 = 12, 5%.
e) Bastante modificada; observe que maioria das pessoas que ganham pouco tem
alta rotatividade.
f) Parece haver uma associação entre alta rotatividade e baixos salários.
15. Para avaliar essa afirmação fazemos as tabelas com a distribuição relativa. Primeira-
mente, segue abaixo a tabela em relação ao total de colunas:
Duração do efeito de dedetização
Companhia Menos de De 4 a 8 Mais de Total
4 meses meses 8 meses
A 33% 35% 38% 34%
B 53% 51% 50% 52%
C 14% 14% 12% 13%
Total 100% 100% 100% 100%
Agora, temos a tabela em relação ao total de linhas:
Duração do efeito de dedetização
Companhia Menos de De 4 a 8 Mais de Total
4 meses meses 8 meses
A 32% 60% 8% 100%
B 35% 58% 7% 100%
C 34% 60% 6% 100%
Total 34% 59% 7% 100%
É fácil notar que não há diferença entre as 3 empresas.
16. Lembrando, novamente, o resultado obtido na Questão 11, ou seja
Var(x) =
1
n
∑
x2i − x2,
temos que
1
n
∑
i
(
xi − x
D(x)
)(
yi − y
D(y)
)
=
1
n
∑
(xiyi − xyi − yxi + xy)√(
1
n
∑
x2i − x2
) (
1
n
∑
y2i − y2
)
=
1
n
∑
xiyi − x
∑
yi − y
∑
xi +
∑
xy√(∑
x2i−nx2
n
)(∑
y2i−ny2
n
)
=
∑
xiyi − nxy − nyx + n
∑
xy√
(
∑
x2i − nx2) (
∑
y2i − ny2)
=
∑
xiyi − nxy√
(
∑
x2i − nx2) (
∑
y2i − ny2)
.
17. a) Abaixo segue o diagrama de dispersão do Setor primário versus o Índice de anal-
fabetismo para as Regiões metropolitanas em questão:
2 4 6 8 10 12 14
15
20
25
30
35
40
Dispersão das regiões metropolitanas
Setor primário
Ín
di
ce
 d
e 
an
al
fa
be
tis
m
o
b) O gráfico indica uma dependência linear positiva entre as variáveis.
c) Utilizando a equação obtida na Questão 16, o valor do coeficiente de correlação
é aproximadamente 0,87.
d) Se observarmos a linha de tendência linear, as regiões de Porto Alegre e Fortaleza
parecem fugir à curva. Calculando o coeficiente de correlação ao suprimir esses
valores obtemos aproximadamente 0,99.
Universidade de Braśılia
Departamento de Estat́ıstica
2a Lista de PE
1. Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios.
a) Lançamento de dois dados e uma moeda, anota-se a configuração obtida.
b) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo
de uma hora.
c) Investigam-se famı́lias com 4 crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo.
d) Numa entrevista telefônica com 250 assinantes, pergunta-se se o proprietário tem
ou não máquina de secar roupa.
e) Um fichário de 10 nomes contém 3 nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após
ficha, até o último nome de mulher ser selecionado, e anota-se o número de fichas
selecionadas.
f) Um relógio mecânico pode parar a qualquer momento por falha técnica. Mede-
se o ângulo em graus que o ponteiro dos segundos forma com o eixo imaginário
orientado do centro ao número 12.
g) De cada famı́lia entrevistada numa pesquisa, anotam-se a classe social a que
pertence {A, B, C, D} e o estado civil do chefe da famı́lia.
h) Altura, em metros, de um aluno selecionado aleatoriamente da turma de Proba-
bilidade e Estat́ıstica.
i) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r 6 N) com filamento partido.
Anota-se o número de lâmpadas verificadas até que uma lâmpada defeituosa seja
encontrada.
2. Considere o conjunto {a, b, c, d}
a) Calcular o número de amostras ordenadas com reposição.
b) Calcular o número de amostras ordenadas sem reposição.
3. O prefixo telefônico de uma universidade é 452.
a) Quantos números telefônicos de sete d́ıgitos podem-se formar?
b) Quantos números telefônicos de sete d́ıgitos diferentes podem-se formar? Qual
a probabilidade de, obtido um número ao acaso, este apresentar os sete d́ıgitos
diferentes?
4. Um sistema é composto de 5 componentes, cada um podendo funcionar ou falhar.
Considere um experimento que consiste em observar o estado de cada componente, e
o resultado do experimento é dado como um vetor (x1, x2, x3, x4, x5), onde xi é igual a
1 se o componente está funcionando e 0 se ele falhar.
a) Quantos resultados são posśıveis no espaço amostral desse experimento?
b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem ambos
funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os compo-
nentes 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Seja W o evento “o sistema irá funcionar”.
Especifique os resultados de W.
c) Seja A o evento “os componentes 4 e 5 irão falhar”. Quantos resultados existem
no evento A?
d) Escreva todos os posśıveis resultados do evento A ∩W .
5. Considere o experimento de jogar dois dados sequencialmente e anotar os resulta-
dos. Descreva o espaço amostral do experimento e calcule a probabilidade dos eventos
abaixo.
a) A soma dá 7.
b) A soma dá 6.
c) A soma dá 2.
d) A soma é maior ou igual a 6 e menor ou igual a 8.
e) O segundo dado tem valor maior que o primeiro.
6. Se 3 bolas são selecionadas aleatoriamente de uma urna contendo6 bolas brancas e
5 bolas pretas, calcule a probabilidade de que uma bola seja branca e as outras duas
sejam pretas. Mostre que se considerarmos a seleção das bolas de forma ordenada a
probabilidade será a mesma que no caso em que não consideramos ordem na seleção.
7. Sejam P(A) = 0, 5 e P(B) = 0, 7. Com base nas informações, responda:
a) A e B podem ser eventos disjuntos?
b) Qual o valor mı́nimo de P(A ∩B)?
c) Qual o valor máximo de P(A ∩B)?
8. Um estabelecimento aceita os cartões VISA e American Express (AMEX). Um total
de 24% dos seus clientes carregam um cartão da AMEX, 61% carregam um VISA e
11% carregam os dois. Qual a porcentagem de clientes que carrega um cartão aceito
pelo estabelecimento?
9. Sejam A,B e C eventos associados a um experimento aleatório. Expresse em notação
de conjuntos e faça os diagramas de Venn dos seguintes eventos:
a) somente A ocorre;
b) A e B ocorrem, mas C não;
c) todos os três ocorrem;
d) pelo menos um deles ocorre;
e) pelo menos dois deles ocorrem;
f) exatamente um deles ocorre;
g) exatamente dois deles ocorrem;
h) nenhum deles ocorre;
i) não mais que dois deles ocorrem;
j) no máximo 3 deles ocorrem.
10. Calcule as probabilidades relativas aos itens da Questão 9 supondo que
P(A) = 0, 35; P(B) = 0, 40; P(C) = 0, 15; P(A ∩B) = 0, 10; B ∩ C = A ∩ C = ∅.
11. Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabili-
dade que um erro de cálculo aconteça no processador do tipo A é de 1/30, no tipo B
é 1/80 e em ambos 1/1000. Determine a probabilidade de que
a) pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro;
b) nenhum dos processadores tenha apresentado erro;
c) apenas o processador A tenha apresentado o erro;
d) somente um dos processadores tenha apresentado erro;
12. Sejam A, B e C eventos associados a um experimento aleatório. Demonstre e interprete
a equação abaixo:
P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C).
13. Um clube tem 200 membros dos quais 36 jogam tenis, 28 jogam squash e 18 jogam
badminton. Além disso, 22 membros jogam ambos tenis e squash, 12 jogam tenis e bad-
minton, 9 jogam squash e badminton, e 4 jogam os três esportes. Qual a probabilidade
de um membro do clube jogar ao menos um dos esportes?
14. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: em-
perramento dos mancais, queima dos enrolamentos ou desgaste das escovas. Suponha
que a probabilidade de emperramento seja duas vezes a probabilidade de queima, e
esta quatro vezes a probabilidade do desgaste das escovas. Considere que as situações
citadas acima não ocorrem simultaneamente. Qual a probabilidade de falha devida a
cada uma dessas circunstâncias?
15. Uma escola primária está oferecendo três cursos de ĺınguas: uma em espanhol, outra em
francês, e uma em alemão. As aulas são abertas a qualquer um dos 100 alunos da escola.
Há 28 alunos na aula de espanhol, 26 na aula de francês e 16 na aula de alemão. Há
12 alunos que estão cursando espanhol e francês, 4 alunos cursando espanhol e alemão
e 6 alunos cursando francês e alemão. Além disso, existem 2 estudantes que cursam
todas as três ĺınguas.
a) Se um estudante é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou
ela não esteja em nenhuma das aulas de ĺıngua?
b) Se um estudante é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou
ela esteja estudando exatamente uma ĺıngua?
c) Se dois alunos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo
menos um está cursando um idioma?
16. Se P(A ∪B) = 0, 7 e P(A) = 0, 4, determine o valor de P (B) no caso de:
a) A e B serem mutuamente exclusivos (disjuntos);
b) A e B serem independentes;
c) A ⊆ B (A estar contido em B).
17. Um total de 28% dos homens brasileiros fumam cigarros, 7% fumam charuto, e 5%
fumam cigarro e charuto.
a) Qual o percentual dos que não fumam nem cigarro nem charuto?
b) Qual o percentual dos que fumam cigarro mas não fumam charuto?
18. Se n pessoas estão presentes em uma sala de reunião, qual a probabilidade de que
nenhum par de pessoas celebrem aniversário no mesmo dia do ano? Qual o tamanho
de n para que essa probabilidade seja menor que 1
2
? E se tivermos 50 pessoas na turma,
qual seria a probabilidade?
19. Dois dados simétricos tiveram dois de seus lados pintados de vermelho, dois pintados
de preto, um pintado de amarelo e o outro lado pintado de branco. Quando este par
de dados é lançado, qual é a probabilidade de ambas as faces apresentarem a mesma
cor?
20. Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 e 4 moedas de R$ 0,50. Qual a probabilidade
de ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50 ?
21. Considere uma mão de poker formada de 5 cartas escolhidas aleatoriamente de um
baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de sáırem os jogos abaixo?
a) Um par (duas cartas de mesma denominação e as outras cartas distintas entre si,
por exemplo, {A♣, A♦, 2♣, 3♥, 4♠});
b) Dois pares (dois grupos de duas cartas de mesma denominação e uma carta dis-
tinta das demais, por exemplo, {Q♥, Q♠, 10♦, 10♣, 7♥});
c) Trinca (três cartas de mesma denominação e as outras cartas distintas entre si,
por exemplo, {7♣, 7♥, 7♠, 10♠, J♦});
d) Flush (todas as cartas de mesmo naipe, porém fora de sequência, por exemplo,
{2♣, 4♣, 10♣, J♣, K♣});
e) Quadra (quatro cartas de mesma denominação e a carta restante distinta das
demais, por exemplo, {K♠, K♥, K♦, K♣, 6♠}.
22. Um pintor produz pelo menos um quadro por dia (esse pintor pode produzir 1, 2, 3, . . .
quadros por dia). A probabilidade de esse pintor produzir k quadros em um dia
qualquer é dado por pk, k = 1, 2, . . . Qual o valor de p?
23. Um par de dados é lançado até que a soma 5 ou 7 apareça. Encontre a probabilidade
de que a soma 5 apareça primeiro. {Dica: Seja En o evento “ocorre 5 no n-ésimo
lançamento e não ocorre 5 nem 7 nos primeiros n− 1 lançamentos”. Calcule P(En) e
argumente que a probabilidade desejada é
∑∞
n=1P(En).}
24. Sejam A e B dois eventos disjuntos de um experimento, onde P(A) = 0, 13 e P(B) =
0, 39. Suponha que esse experimento é repetido até que ocorra pelo menos um dos
eventos citados. Determine a probabilidade do evento A ocorrer antes do evento B.
25. Suponha que uma urna contém 8 bolas vermelhas e 4 bolas brancas. Retiramos 2
bolas da urna sem reposição. Se assumirmos que cada bola na urna tem a mesma
probabilidade de ser selecionada, qual é a probabilidade de que ambas as bolas retiradas
sejam vermelhas?
26. Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecionadas uma após a
outra, sem reposição. Se essas peças forem extráıdas ao acaso, qual será a probabilidade
de que:
a) as duas primeiras peças sejam defeituosas;
b) das duas primeiras peças inspecionadas, uma seja perfeita e a outra defeituosa;
c) de duas peças inspecionadas, a segunda peça ser defeituosa;
d) as oito primeiras peças inspecionadas serem perfeitas.
27. Três pessoas deixam seus guarda-chuvas ao chegar numa festa. Ao sair, cada um pega
um guarda-chuva aleatoriamente. Qual a probabilidade de pelo menos uma pessoa ter
pego o guarda-chuva certo?
28. 400 pessoas são classificadas segundo sexo e estado civil, obtendo-se a seguinte tabela:
Solteiro (S) Casado (C) Desquitado (D) Outros (O)
Feminino (F) 150 40 10 20
Masculino (M) 50 60 40 30
a) Calcule P(S|F ), P(C|F ), P(D|F ), P(O|F ).
b) Verifique que P (S|F ) + P(C|F ) + P(D|F ) + P(O|F ) = 1.
c) Repita os itens anterior substituindo F por M .
d) Calcule P(F |S), P(M |S) e verifique que P(F |S) + P(M |S) = 1.
e) Repita o item anterior substituindo S por C, D e O.
f) Apresente formalmente as distribuições de estado civil, estado civil dado F e
estado civil dado M .
g) Apresente formalmente as distribuições de sexo, sexo dado S, sexo dado C, sexo
dado D e sexo dado O.
h) Repita os itens anteriores substituindo a tabela acima por uma tabela equivalente
onde constem apenas probabilidades em vez de frequênciasabsolutas.
29. Considere 100 alunos dos cursos de Computação e Matemática que cursam a disciplina
de Probabilidade e Estat́ıstica. Desses alunos, 10 são homens e são do curso de Com-
putação, 40 são mulheres e são do curso de Matemática. Ao todo são 60 mulheres. Um
indiv́ıduo é selecionado ao acaso.
a) Qual a probabilidade de estar cursando Matemática dado que é mulher?
b) Qual a probabilidade de estear cursando Computação dado que é homem?
c) Qual a probabilidade de ser homem dado que cursa Computação?
d) Qual a probabilidade de ser mulher dado que cursa Matemática?
30. Dos usuários de uma biblioteca universitária 30% são alunos da graduação, 38% são
alunos da pós e 32% professores. A consulta a livros estrangeiros é de 25%, 50% e 80%
nas três categorias de usuários, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de que um usuário qualquer utilize um livro em português?
b) Se um usuário retirou um livro em português, calcule a probabilidade de que seja
aluno da graduação. Faça o mesmo para os outros casos.
31. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou
um prato à base de carne. Sabe-se que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem
salada, 30% das mulheres escolhem carne e 75% dos fregueses são homens. Considere
os eventos H = “o freguês é do sexo masculino”, M = “o freguês é do sexo feminino”, A
= “o freguês prefere salada” e B = “o freguês prefere carne”. Calcule as probabilidades
P(A|H), P(B|M) e P(M |A).
32. Sejam A e B eventos de Ω. Mostre que as afirmações abaixo são todas equivalentes:
i) A e B são independentes.
ii) A e Bc são independentes.
iii) Ac e Bc são independentes.
iv) Ac e B são independentes.
33. Sejam A, B, D e E eventos de Ω. Mostre que as afirmações abaixo são verdadeiras:
a) Se P(A) = 0 e B é um evento qualquer, então A e B são independentes.
b) Se P(A) = 1 e B é um evento qualquer, então A e B são independentes.
c) Os eventos D e Dc são independentes se e somente se P(D) = 0 ou P(D) = 1.
d) Ache uma condição para que um evento E seja independente dele mesmo.
34. Suponha que a probabilidade de viver 70 anos ou mais é de 0,6 e que a probabilidade
de viver 80 anos ou mais é 0,2. Se uma pessoa fez 70 anos, qual é a probabilidade de
que comemore o aniversário número 80?.
35. Suponha que se testam os chips para um circuito integrado e que a probabilidade de que
sejam declarados com falhas quando efetivamente as tem seja 0,95. Suponha também
que a probabilidade de que sejam declarados em bom estado quando efetivamente estão
em bom estado seja 0,97. Se 0,5% dos chips apresentam falhas, qual é a probabilidade
de que um chip que foi declarado com falhas seja bom?
36. Ao responder a uma pergunta em um teste de múltipla escolha, o aluno ou sabe a
resposta ou chuta. Seja p a probabilidade de que o aluno saiba a resposta e 1 − p
a probabilidade de que o aluno chute. Suponha que um aluno que tente adivinhar a
resposta, possa acertá-la com probabilidade 1/m, onde m é o número de alternativas da
questão de múltipla escolha. Qual é a probabilidade condicional de que um estudante
realmente sabia a resposta, uma vez que ele ou ela respondeu o teste corretamente?
Calcule a probabilidade para m = 5 e p = 1/2.
37. Em um determinado estágio de uma investigação criminal, o inspetor responsável está
60% convencido da culpa de um certo suspeito . Suponha, no entanto, que uma nova
peça de evidência, mostrando que o criminoso tem uma certa caracteŕıstica (como
canhoto, calv́ıcie, ou cabelo castanho), é descoberta. Se 20% da população possui esta
caracteŕıstica, quão certo da culpa do suspeito o inspetor deve estar agora?
38. Um chimpanzé fêmea deu à luz. Não é certo, no entanto, qual dos dois chimpanzés
machos é o pai. Antes que qualquer análise genética seja realizada, considera-se que
a probabilidade de que o macho número 1 seja o pai é p e a probabilidade de que o
macho número 2 seja o pai é 1−p. A partir do DNA obtido da mãe, do macho número
1 e do macho número 2, há ind́ıcios de que, em um local espećıfico do genoma, a mãe
tem o par de genes (A, A), o macho número 1 possui o par de genes (a, a), e o macho
número 2 tem o par de genes (A, a). Se um teste de DNA mostra que o chimpanzé
bebê tem o par de genes (A, a), qual é a probabilidade de que o macho número 1 seja
o pai?
39. Dois gabinetes idênticos em aparência tem duas gavetas. O gabinete A contém uma
moeda de prata em cada gaveta e o gabinete B contém uma moeda de prata em
uma das suas gavetas e uma moeda de ouro na outra. Um gabinete foi selecionado
aleatoriamente, uma de suas gavetas foi aberta, e uma moeda de prata foi encontrada.
Qual é a probabilidade de que exista uma moeda de prata na outra gaveta?
40. Considere o experimento de selecionar, ao acaso, um ponto do ćırculo (disco) de raio
1 centrado na origem.
a) Descreva o espaço amostral do experimento.
b) Defina uma medida de probabilidade adequada ao experimento.
c) Qual a probabilidade do evento A = (0, 0)?
d) Mostre os que eventos B = “a distância entre o ponto escolhido e a origem é 6
1/2” e C =“a primeira coordenada do ponto escolhido é maior que a segunda
coordenada” são independentes.
41. Uma gravidez ectópica é duas vezes mais propensa a se desenvolver quando a gestante
é fumante do que quando ela não é fumante. Se 32% das mulheres em idade fértil são
fumantes, qual a percentagem de mulheres com gravidez ectópica que são fumantes?
42. Sejam P(A) = 1
2
, P(B) = 1
3
, P(C) = 1
4
e P(A ∩ B) = 1
5
. Suponha que A e C são
eventos independentes; e que B e C são eventos disjuntos. Calcule:
a) P(A ∪ C);
b) P(A ∪B ∪ C);
c) P(B|C);
d) P [(B ∪ C)|A];
e) P [A|(B ∪ C)].
43. Três lojas A, B, e C tem 50, 75 e 100 empregados, respectivamente, e 50%, 60% e 70%
dos quais são, respectivamente, mulheres. Abandonos são igualmente prováveis entre
todos os funcionários, independentemente do sexo. Uma funcionária mulher abandona.
Qual é a probabilidade de que ela tenha trabalhado na loja C?
44. Cinquenta e dois por cento dos estudantes de uma certa universidade são mulheres.
Cinco por cento dos alunos desta faculdade estão se graduando em engenharia da
computação. Dois por cento dos estudantes são mulheres se formando em engenharia
da computação. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade
condicional de que
a) o aluno seja do sexo feminino, uma vez que o aluno está se formando em engenharia
da computação;
b) esse aluno está se formando em engenharia da computação, uma vez que o aluno
é do sexo feminino.
Universidade de Braśılia
Departamento de Estat́ıstica
Respostas
1. a) Ω = {(d1, d2,m) : d1, d2 ∈ {1, ..., 6} , m ∈ {C,K}}, onde C = coroa e K = cara.
b) Ω = {0, 1, 2, . . .}
c) Ω = {(c1, c2, c3, c4) : ci ∈ {F,M}}, onde F = Feminino, M = Masculino.
d) Ω = {(e1, e2, . . . , e250) : ei ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , 250}, onde 0 significa que o entre-
vistado não tem máquina e 1 significa que entrevistado tem máquina.
e) Ω = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
f) Ω = {θ ∈ R : 0 6 θ 6 360o}.
g) Ω = {(c, ec) : c ∈ {A,B,C,D} e ec ∈ {So, Ca}}, onde So = Solteiro e Ca =
Casado.
h) Ω = {h ∈ R+}.
i) Ω = {1, 2, 3, . . . , N − r + 1}
2. a) 44.
b) 4!.
3. a) 104.
b) 10× 9× 8× 7 e 10× 9× 8× 7
104
.
4. a) 25.
b) {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 0),
(1, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1),
(1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0, 1)}
c) 8.
d) {(1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)}.
5. a) 1/6.
b) 5/36.
c) 1/36.
d) 16/36.
e) 15/36.
6. 4/11
7. a) Não.
b) 0, 2.
c) 0, 5.
8. 0, 74.
9. a) A.
b) A ∩B ∩ Cc.
c) A ∩B ∩ C.
d) A ∪B ∪ C.
e) [(A ∩B)] ∪ [(A ∩ C)] ∪ [(B ∩ C)].
f) [A ∩ (B ∪ C)c] ∪ [B ∩ (A ∪ C)c] ∪ [C ∩ (A ∪B)c].
g) [(A ∪B) ∩ Cc] ∪ [(A ∪ C) ∩Bc] ∪ [(B ∪ C) ∩ Ac].
h) Ac ∩Bc ∩ Cc.
i) (A ∪B ∪ C) ∩ (A ∩B ∩ C)C.
j) Similar ao item d.
10. a) 0, 35.
b) 0, 10.
c) 0, 00.
d) 0, 80.
e) 0, 10.
f) 0, 70.
g) 0, 10.
h) 0, 20.
i) 0, 80.
j) 0, 80.
11. a) 269/6000.
b) 5731/6000.
c) 97/3000.
d) 263/6000.
12. Demonstração.
13. 43/200
14. P(“emperramento”) = 8/13; P(“queima”) = 4/13; P(“desgaste”) = 1/13.
15. a) 0, 5.
b) 32/100.
c) 149/198.
16. a) 0, 3.
b) 0, 5.
c) 0, 7.
17. a) 0, 7.
b) 0, 23.
18.
(365)(364)(363) · · · (365− n+ 1)
(365)n
.
19. 5/18.
20. 5/9.
21. a)
13
(
4
2
)(
12
3
)(
4
1
)(
4
1
)(
4
1
)(
52
5
) .
b)
(
13
2
)(
4
2
)(
4
2
)(
44
1
)(
52
5
) .
c)
13
(
4
3
)(
12
2
)(
4
1
)(
4
1
)(
52
5
) .
d)
4
(
13
5
)
− 40(
52
5
) .
e)
13
(
4
4
)(
48
1
)(
52
5
) .
22. p = 1/2.
23. 2/5.
24. 0, 25.
25. 14/33.
26. a) 33/95.
b) 48/95.
c) 57/95.
d) 1/125970.
27. 2/3.
28. a) P(S|F ) = P(S∩F )P(F )
15
22
, P(C|F ) = 2
11
, P(D|F ) = 1
22
e P(O|F ) = 1
11
.
b) Basta somar as probabilidades calculadas no item anterior.
c) P(S|M) = 5
18
,P(C|M) = 1
3
, P(D|M) = 2
9
e P(O|M) = 1
6
.
d) P(F |S) = 3
4
, P(M |S) = 1
4
.
e) P(F |C) = 2
5
, P(M |C) = 3
5
, P(F |D) = 1
5
, P(M |D) = 4
5
, P(F |O) = 2
5
e P(M |O) =
3
5
.
f) P(S) = 1
2
, P(C) = 1
4
,P(D) = 1
8
,P(O) = 1
8
,P(S|F ) = 15
22
,P(C|F ) = 2
11
,P(D|F ) =
1
22
,P(O|F ) = 1
11
,P(S|M) = 5
18
,P(C|M) = 1
3
,P(D|M) = 2
9
e P(O|M) = 1
6
.
g) P(F ) = 11
20
,P(M) = 9
20
,P(F |S) = 3
4
,P(M |S) = 1
4
,P(F |C) = 2
5
,P(M |C) =
3
5
,P(F |D) = 1
5
,P(M |D) = 4
5
,P(F |O) = 2
5
e P(M |O) = 3
5
.
h) Basta dividir cada valor na tabela por 400 e repetir os passos via definição.
29. a) 2/3.
b) 1/4.
c) 1/3.
d) 4/7.
30. a) 0,479.
b) Aproximadamente 0,4697 ; 0,3967 e 0,1336.
31. P(A|H) = 0, 20 ; P(B|M) = 0, 30 e P(M |A) ≈ 0, 5385.
32. Demonstração.
33. a) Demonstração.
b) Demonstração.
c) Demonstração.
d) Demonstração.
34. 1/3.
35. 0, 863.
36. 5/6.
37. 0,882.
38.
2p
1 + p
.
39. 2/3.
40. a) Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}.
b) Para um evento A ⊂ Ω é natural definirmos P(A) = Área(A)
π
.
c) 0.
d) Os eventos são independentes.
41. 32/66.
42. a) 5/8.
b) 91/120.
c) 0.
d) 13/20.
e) 39/70.
43. 1/2.
44. a) 0,40.
b) 0,038.
Universidade de Braśılia
Departamento de Estat́ıstica
2a Lista de PE – Solução
1. a) Ω = {(d1, d2,m) : d1, d2 ∈ {1, ..., 6} , m ∈ {C,K}}, onde C = coroa e K = cara.
b) Ω = {0, 1, 2, . . .}
c) Ω = {(c1, c2, c3, c4) : ci ∈ {F,M}}, onde F = Feminino, M = Masculino.
d) Ω = {(e1, e2, . . . , e250) : ei ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , 250}, onde 0 significa que o entre-
vistado não tem máquina e 1 significa que entrevistado tem máquina.
e) Ω = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
f) Ω = {θ ∈ R : 0 6 θ 6 360o}.
g) Ω = {(c, ec) : c ∈ {A,B,C,D} e ec ∈ {So, Ca}}, onde So = Solteiro e Ca =
Casado.
h) Ω = {h ∈ R+}.
i) Ω = {1, 2, 3, . . . , N − r + 1}
2. a) Como as amostras são ordenadas com reposição, para qualquer posição podemos
ter qualquer uma das 4 letras. Desse modo teremos um total de 4×4×4×4 = 44
posśıveis amostras.
b) Como as amostras são ordenadas sem reposição, uma letra utilizada em uma
determinada posição não poderá ser novamente utilizada na posição seguinte.
Desse modo teremos um total de 4× 3× 2× 1 = 4! posśıveis amostras.
3. a) Como os três primeiros d́ıgitos são 452, sobram quatro d́ıgitos que podem ser
qualquer um dos números de 0 a 9. Desse modo teremos 10× 10× 10× 10 = 104
posśıveis números telefônicos.
b) Comos os três primeiros são d́ıgitos 452 e os números seguintes devem ser distintos,
teremos 10×9×8×7 posśıveis números telefônicos. Desse modo, a probabilidade
desejada é
10× 9× 8× 7
104
.
4. a) O espaço amostral (finito e discreto) já está bem definido no corpo do problema.
Basta observar que temos 2 possibilidades para cada posição e então n(Ω) = 25.
b) O evento em questão é
W = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 0),
(1, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1),
(1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0, 1)}
c) Como as posições 4 e 5 serão necessariamente 0, temos n(A) = 23 = 8.
d) A ∩W = {(1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)}.
5. O espaço amostral é dado por Ω = {(i, j), i = 1, . . . , 6 e j = 1, . . . , 6} e n(Ω) = 36.
a) A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} =⇒ n(A) = 6 =⇒ P(A) = 1/6.
b) B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} =⇒ n(A) = 5 =⇒ P(A) = 5/36.
c) C = {(1, 1)} =⇒ n(A) = 1 =⇒ P(A) = 1/36.
d) Basta unirmos os eventos A e B ao evento cuja soma dá 8 (o qual denotaremos
por D). É fácil ver que D = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}, e a probabilidade
que queremos é P(A ∪B ∪D) = n(A ∪B ∪D)/n(Ω) = 16/36.
e) O evento é
E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 5), (4, 6),
(5, 6)}
e P(E) = 15/36.
6. Tendo em vista que o espaço amostral é finito e discreto, podemos concluir facilmente
que n(Ω) =
(
11
3
)
. Representando o evento pedido por E, n(E) =
(
6
1
)(
5
2
)
e a probabili-
dade desejada é
P(E) =
(
6
1
)(
5
2
)(
11
3
) = 4
11
.
Se considerarmos a ordem, n(Ω) = 11 · 10 · 9 = 990. Agora, existem 6 · 5 · 4 = 120
maneiras no qual a primeira bola é branca e as outras duas são pretas; 5 ·6 ·4 = 120 no
qual a primeira é preta, a segunda é branca e a terceira é preta; e 5·4·6 = 120 maneiras
no qual as duas primeiras são pretas e a terceira é branca. Enfim, são 360 maneiras de
ordenar 2 bolas pretas e uma branca. Conclúımos, assim, que a probabilidade desejada
também é 4/11.
7. a) Note que P(A) + P(B) = 1, 2. Do terceiro axioma da probabilidade sabe-
mos que a probabilidade da união de eventos disjuntos é dada pela soma das
probabilidades de cada evento. Supondo que A e B são disjuntos temos que
P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Por outro lado temos que A ∪ B ⊂ Ω e, do se-
gundo axioma da probabilidade, segue que 0 6 P(A ∪ B) 6 1. Por contradição,
conclúımos que os eventos A e B não podem ser disjuntos.
b) O menor valor para P(A ∩B) é o valor que maximiza P(A ∪B), ou seja, 0,2.
c) A maior intersecção entre dois eventos ocorre quando um evento está contido em
outro. Como P(B) > P(A), devemos ter A ⊂ B de modo que P(A ∩ B) =
P(A) = 0, 5.
8. Sejam os eventos V = “o cliente carrega um cartão VISA” e A = “o cliente carrega
um cartão AMEX”. A probabilidade desejada é
P(V ∪ A) = P(V ) + P(A)− P(V ∩ A) = 0, 61 + 0, 24− 0, 11 = 0, 74.
9. Nas soluções abaixo representamos os eventos de interesse em notação de conjuntos,
seguidas das respectivas representações em diagramas de Venn:
a) A
b) A ∩B ∩ Cc
c) A ∩B ∩ C
d) A ∪B ∪ C
e) [(A ∩B)] ∪ [(A ∩ C)] ∪ [(B ∩ C)]
f) [A ∩ (B ∪ C)c] ∪ [B ∩ (A ∪ C)c] ∪ [C ∩ (A ∪B)c]
g) [(A ∪B) ∩ Cc] ∪ [(A ∪ C) ∩Bc] ∪ [(B ∪ C) ∩ Ac]
h) Ac ∩Bc ∩ Cc
i) (A ∪B ∪ C) ∩ (A ∩B ∩ C)C
j) Similar ao item d.
10. a) P(A) = 0, 35.
b) Como A∩C = ∅, segue que A∩B ∩C = ∅ e P(A∩B ∩Cc) = P (A∩B) = 0, 10.
c) Como A ∩ C = ∅, segue que A ∩B ∩ C = ∅ e P(A ∩B ∩ C) = 0, 00.
d) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) +
P(A ∩B ∩ C) = 0, 35 + 0, 4 + 0, 15− 0, 10− 0− 0 + 0 = 0, 80.
e) Como B∩C = A∩C = A∩B∩C = ∅, segue que P [(A∩B)]∪[(A∩C)]∪[(B∩C)] =
P(A ∩B) = 0, 10.
f) Como B∩C = A∩C = ∅, segue que P [A∩(B∪C)c]∪[B∩(A∪C)c]∪[C∩(A∪B)c] =
P(A) + P(B)− 2P(A ∩B) = 0, 70.
g) Como B∩C = A∩C = ∅, segue que P [(A∪B)∩Cc]∪[(A∪C)∩Bc]∪[(B∪C)∩Ac] =
P(A ∩B) = 0, 10.
h) P(Ac ∩Bc ∩ Cc) = 1− P(A ∪B ∪ C) = 0, 20.
i) Como A∩B∩C = ∅, segue que P(A∪B∪C)∩(A∩B∩C)C = P(A∪B∪C) = 0, 80.
j) Similar ao item d.
11. Considere os eventos A e B definidos por:
A = “Erro de cálculo com processador tipo A”
B = “Erro de cálculo com processador tipo B”
Do enunciado nós temos que P(A) = 1
30
, P(B) = 1
80
, P(A ∩B) = 1
1000
.
a)
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B)
=
1
30
+
1
80
− 1
1000
=
269
6000
.
b)
P(Ac ∩Bc) = 1− P((Ac ∩Bc)c)
= 1− P (A ∪B)
=
5731
6000
.
c)
P(A ∩Bc) = P(A)− P(A∩B)
=
1
30
− 1
1000
=
97
3000
d) Como A ∩Bc e Ac ∩B são eventos disjuntos, a probabilidade desejada é
P(A ∩Bc) + P(Ac ∩B) = 97
3000
+
92
8000
=
263
6000
.
12. Pensando em A ∪B como um evento e C como outro evento, segue que
P(A ∪B ∪ C) = P([A ∪B] ∪ C)
= P(A ∪B) + P(C)− P([A ∪B] ∩ C)
= P(A) + P(B)− P(A ∩B) + P(C)− P([A ∩ C] ∪ [B ∩ C])
= P(A) + P(B)− P(A ∩B) + P(C)− [P(A ∩ C) + P(B ∩ C)− P(A ∩B ∩ C)]
= P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩B)− P(A ∩ C)− P(B ∩ C) + P(A ∩B ∩ C).
13. O espaço amostral é claramente finito e discreto. Vamos denotar os respectivos eventos
por T, S e B, referentes à cada esporte. Utilizando o Prinćıpio da Inclusão-Exclusão
explicitado na Questão 12 para três eventos, temos
P(T∪S∪B) = P(T )+P(S)+P(B)−P(T∩S)−P(T∩B)−P(S∩B)+P(T∩S∩B) = 43
200
.
14. Considere os eventos E, Q e D definidos por:
E = “Emperramento dos mancais”
Q = “Queima dos enrolamentos”
D = “Desgaste das escovas”
Do enunciado nós temos que P(E) = 2P(Q) e P(Q) = 4P(D). Do texto sabemos que
esses são os únicos modos de falha do motor, ou seja, P(E) + P(Q) + P(D) deve ser
um. Utilizando os valores informados nós temos que
8P(D) + 4P(D) + P(D) = 1
de onde segue que
P (D) =
1
13
, P (Q) =
4
13
e P (E) =
8
13
.
15. O espaço amostral é claramente finito e discreto. Vamos denotar os respectivos eventos
por E, F e A, referentes à cada idioma.
a) Utilizando o resultado da Questão 12 temos P(E ∪ F ∪ A) = P(E) + P(F ) +
P(A) − P(E ∩ F ) − P(E ∩ A) − P(F ∩ A) + P(E ∩ F ∩ A) = 0, 5. Portanto, a
probabilidade desejada é 1− 0, 5 = 0, 5.
b) Observe no diagrama de Vein constrúıdo abaixo que a probabilidade desejada é
32/100.
c) Também pelo diagrama de Vein acima, sabemos que 50 alunos não cursam ne-
nhum idioma. É fácil notar que a probabilidade de selecionarmos 2 alunos que
não estejam cursando nenhum idioma é
(
50
2
)
/
(
100
2
)
= 49/198 e a probabilidade
desejada é então 1− 49/198 = 149/198.
16. a) Como A ∩B = ∅ temos que P(A ∩B) = 0, desse modo
P(A ∪B) = P(A) + P(B)⇔
0, 7 = 0, 4 + P(B)⇔
P(B) = 0, 3
b) Como A e B são independentes segue que
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B)⇔
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A)× P (B)⇔
0, 7 = 0, 4 + P(B)− 0, 4P(B)⇔
0, 3 = 0, 6P(B)⇔
P(B) = 0, 5.
c) Como A ⊂ B segue que A ∪B = B e, portanto, P(B) = 0, 7.
17. Represente o evento “um homem fumar cigarro” por A e o evento “um homem fumar
charuto” por B, desse modo temos
a) P(Ac∩Bc) = P ((A ∪B)c) = 1−P(A∪B) = 1−[P(A)+P(B)−P(A∩B)] = 0, 7.
b) De modo muito simples, queremos A\(A∩B) = A∩(A∩B)c. Após cálculos simples
chegamos à expressão P(A∩ (A∩B)c) = P(A)−P(A∩B) = 0, 28−0, 05 = 0, 23.
18. Como cada pessoa pode celebrar seu aniversário em um dos 365 dias do ano (estamos
ignorando anos bissextos), nosso espaço amotral é finito, discreto e existe um total de
(365)n possibilidades, ou seja, n(Ω) = (365)n. Desse modo, a probabilidade desejada é
(365)(364)(363) · · · (365− n+ 1)
(365)n
.
Para alguns pode ser uma surpresa o fato de que quando n > 23 essa probabilidade é
menor que 0,5, ou seja, com 50% de chances duas pessoas fazem aniversário no mesmo
dia do ano.
Quando n = 50 essa probabilidade cai para 0,03. Isso significa que com probabilidade
de 97%, duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia do ano.
19. Vamos considerar os eventos, A = “os dois lados são vermelhos”, B = “os dois lados
são pretos”, C = “os dois lados são brancos” e D = “os dois lados são amarelos”. Nosso
espaço amostral é finito discreto, n(Ω) = 36 e os eventos A,B,C e D são disjuntos,
então
P(A∪B∪C∪D) = P(A)+P(B)+P(C)+P(D) = 4/36+4/36+1/36+1/36 = 5/18.
20. Como existem nove moedas das quais iremos selecionar duas, n(Ω) =
(
9
2
)
. Para que
tenhamos R$ 1,50 devemos selecionar uma moeda de cada cada tipo, desse modo
P(“obtermos R$ 1,50”) =
(
5
1
)(
4
1
)(
9
2
) .
21. O espaço amostral do experimento é finito, discreto e n(Ω) =
(
52
5
)
. Com base nessas
propriedades, seguem nos itens abaixo as probabilidades pedidas.
a)
13
(
4
2
)(
12
3
)(
4
1
)(
4
1
)(
4
1
)(
52
5
)
b)
(
13
2
)(
4
2
)(
4
2
)(
44
1
)(
52
5
)
c)
13
(
4
3
)(
12
2
)(
4
1
)(
4
1
)(
52
5
)
d)
4
(
13
5
)
− 40(
52
5
)
e)
13
(
4
4
)(
48
1
)(
52
5
)
22. Seja Ak = “produzir k-quadros”, k = 1, 2, 3, . . .
Os eventos Ak são disjuntos, desse modo temos que
P(“produzir pelo meno um quadro”) = P
(
∞⋃
k=1
Ai
)
=
∞∑
k=1
P(Ak)
=
∞∑
k=1
pk
=
p
1− p
.
Como a probabilidade de produzir pelo menos um quadro por dia é um, resolvendo a
equação p
1−p = 1 segue que p = 0, 5.
23. A primeira observação importante é a de que o espaço amostral do experimento é
infinito discreto. Por essa razão, lançamos mão da medida definida segundo os axiomas
da probabilidade apresentados em aula. Defina En como sendo o evento “ocorre 5 no
n-ésimo lançamento e não ocorre 5 nem 7 nos primeiros n−1 lançamentos”. Podemos
concluir facilmente que P(En) =
(
4
36
) (
26
36
)n−1
.
A sequência de eventos {En, n > 1} é uma sequência de eventos disjuntos, portanto a
probabilidade desejada é
P
(
∞⋃
n=1
En
)
=
∞∑
n=1
P(En) =
∞∑
n=1
(
4
36
)(
26
36
)n−1
=
2
5
.
24. Como no exemplo anterior o espaço amostral do experimento é infinito discreto e,
seguindo a mesma ideia, defina En como sendo o evento “ocorre A na n-ésima repetição
e não ocorre A nem B nas primeiras n− 1 repetições”. Desse modo, segue que
P(En) = 0, 13× P(Ac ∩Bc)n−1
= 0, 13× P ((A ∪B)c)n−1
= 0, 13× {1− P(A ∪B)}n−1
= 0, 13× {1− [0, 13 + 0, 39]}n−1
= 0, 13× 0, 48n−1
A sequência de eventos {En, n > 1} é uma sequência de eventos disjuntos, portanto a
probabilidade desejada é
P
(
∞⋃
n=1
En
)
=
∞∑
n=1
P(En) =
∞∑
n=1
0, 13× 0, 48n−1 = 0, 25.
25. Considere os eventos V1 = “A primeira bola é vermelha” e V2 = “A segunda bola é
vermelha”. Pela lei da multiplicação temos
P(V1 ∩ V2) = P(V1)P(V2|V1) =
8
12
· 7
11
=
14
33
.
26. a) Seja A = “As duas primeiras peças são defeituosas”, então
P(A) = 12
20
× 11
19
=
33
95
.
b) Seja B = “Uma peça é perfeita e a outra defeituosa”, então
P (B) =
8
20
× 12
19
+
12
20
× 8
19
=
48
95
.
c) Seja C = “A segunda peça é defeituosa”, então
P (C) =
8
20
× 12
19
+
12
20
× 11
19
=
57
95
.
d) Seja D = “As oito primeiras peças são perfeitas”, então
P (D) =
8
20
× 7
19
× 6
18
× 5
17
× 4
16
× 3
15
× 2
14
× 1
13
=
1
125970
.
27. Considere os eventos
A = “pelo menos uma pessoa pega o guarda-chuva correto”
Aj = “a j-ésima pessoa pega o guarda-chuva correto, j = 1, 2, 3.
Como temos três guarda-chuvas, existem 3! maneiras distintas de cada pessoa selecio-
nar um guarda-chuva. Os eventos Aj não são disjuntos, de modo que
P(A) = P(A1 ∪A2 ∪A3)
= P(A1) + P(A2) + P(A3)− P(A1 ∩A2)− P(A2 ∩A1)− P(A3 ∩A2) + P(A1 ∩A2 ∩A3).
Agora, note que
P(Aj) =
2!
3!
=
2
6
=
1
3
P(Ai ∩ Aj) =
1!
3!
=
1
6
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) =
1!
3!
=
1
6
Desse modo, temos que P(A) = 1
3
+ 1
3
+ 1
3
− 1
6
− 1
6
− 1
6
+ 1
6
= 2
3
.
28. a) Como existem 400 pessoas no total, segue da definição que
P(S|F ) = P(S ∩ F )
P(F )
=
150/400
(150 + 40 + 10 + 20)/400
=
15
22
.
Seguindo a mesma ideia encontramos P(C|F ) = 2
11
, P(D|F ) = 1
22
e P(O|F ) = 1
11
.
b) Basta somar as probabilidades calculadas no item anterior.
c) Repetindo o procedimento do item a) obtemos P(S|M) = 5
18
,P(C|M) = 1
3
,
P(D|M) = 2
9
e P(O|M) = 1
6
cuja soma é um.
d) Segue da definição que
P(F |S) = P(F ∩ S)
P(S)
=
150/400
(150 + 50)/400
=
3
4
.
Seguindo a mesma ideia encontramos P(M |S) = 1
4
que somada à probabilidade
anterior dá um.
e) Repetindo o procedimento do item d) obtemos P(F |C) = 2
5
, P(M |C) = 3
5
,
P(F |D) = 1
5
, P(M |D) = 4
5
, P(F |O) = 2
5
e P(M |O) = 3
5
cujas somas nas respec-
tivas condicionais é um.
f) P(S) = 1
2
, P(C) = 1
4
,P(D) = 1
8
,P(O) = 1
8
,P(S|F ) = 15
22
,P(C|F ) = 2
11
,P(D|F ) =
1
22
,P(O|F ) = 1
11
,P(S|M) = 5
18
,P(C|M) = 1
3
,P(D|M) = 2
9
e P(O|M) = 1
6
.
g) P(F ) = 11
20
,P(M) = 9
20
,P(F |S) =3
4
,P(M |S) = 1
4
,P(F |C) = 2
5
,P(M |C) =
3
5
,P(F |D) = 1
5
,P(M |D) = 4
5
,P(F |O) = 2
5
e P(M |O) = 3
5
.
h) Basta dividir cada valor na tabela por 400 e repetir os passos via definição.
29. Considere a tabela abaixo constrúıda a partir dos dados:
Sexo/Curso Computação Matemática Total
Homem 10 30 40
Mulher 20 40 60
Total 30 70 100
Defina os eventos H = “O aluno é homem”, F = “O aluno é mulher”, C = “O aluno
é da computação”, M = “O aluno é da matemática”.
a) P (M |F ) = P (F∩M)
P (F )
= 40/100
60/100
= 2
3
b) P (C|H) = P (H∩C)
P (H)
= 10/100
40/100
= 1
4
c) P (H|C) = P (C∩H)
P (C)
= 10/100
30/100
= 1
3
d) P (F |M) = P (M∩F )
P (M)
= 40/100
70/100
= 4
7
30. Considere os eventos
U1 = “O usuário é aluno da graduação”
U2 = “O usuário é aluno da pós-graduação”
U3 = “O usuário é professor”
A = “O livro é em português”
a) Da lei da multiplicação segue que
P(A) = P(A|U1)P(U1) + P(A|U2)P(U2) + P(A|U3)P(U3)
= 0, 30× 0, 75 + 0, 38× 0, 50 + 0, 32× 0, 20
= 0, 479.
b) Da definição segue que
P(U1|A) =
P(U1 ∩ A)
P(A)
=
P(A|U1)P(U1)
P(A)
=
0, 30× 0, 75
0, 479
' 0,4697
P(U2|A) =
P(U2 ∩ A)
P(A)
=
P(A|U2)P(U2)
P(A)
=
0, 38× 0, 50
0, 479
' 0,3967
P(U3|A) =
P(U3 ∩ A)
P(A)
=
P(A|U2)P(U2)
P(A)
=
0, 32× 0, 20
0, 479
' 0,1336
31. Diretamente do enunciado temos que P(A|H) = 0, 20 e P(B|M) = 0, 30. Para o
cálculo da última probabilidade temos
P(M |A) = P(M ∩ A)
P (A)
=
P(A|M)P (M)
P (A)
=
P(A|M)P (M)
P(A|M)P (M) + P(A|H)P (H)
=
[1− P(B|M)][1− P(H)]
[1− P(B|M)][1− P(H)] + P(A|H)P (H)
=
[1− 0, 30][1− 0, 75]
[1− 0, 30][1− 0, 75] + 0, 20× 0, 75
' 0, 5385
32. Primeiramente suponha que A e B são independentes e note que A = (A∩B)∪(A∩Bc).
Como A ∩B e A ∩Bc são eventos disjuntos, temos
P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩Bc)
= P(A)P(B) + P(A ∩Bc).
Passando o termo P(A)P(B) para o lado esquerdo da igualdade segue que
P(A ∩Bc) = P(A)− P(A)P(B)
= P(A)[1− P(B)]
= P(A)P(Bc).
Provamos assim que A e Bc são independentes. As demais equivalências seguem de
forma análoga.
33. a) Como A ∩ B ⊂ A, temos que P(A ∩ B) 6 P(A) = 0, portanto P(A ∩ B) = 0.
Por outro lado, P(A)P(B) = 0.
b) Note que A ⊂ A ∪B, de modo que
P(A ∩B) = P(A) + P(B)− P(A ∪B)
= 1 + P(B)− 1
= P(B)
= P(A)P(B).
c) Se D e Dc são independentes temos que P(D)P(Dc) = P(D ∩Dc) = P(∅) = 0.
d) Sob a hipótese segue que P(E) = P(E ∩ E) = P(E)P(E) = [P(E)]2.
34. Considere os eventos
A1 = “A pessoa vive 70 anos ou mais”
A2 = “A pessoa vive 80 anos ou mais”
A probabilidade de interesse é dada por
P(A2|A1) =
P(A1 ∩ A2)
P(A1)
=
P(A2)
P(A1)
=
0, 2
0, 6
=
1
3
35. Considere os eventos
B1 = “O circuito apresenta falha”
B2 = “O circuito não apresenta falha”
D1 = “O circuito é declarado com falha”
D2 = “O circuito é declarado sem falha”
A probabilidade de interesse é dada por
P (B2|D1) =
P(B2 ∩D1)
P(D1)
=
P(D1|B2)P(B2)
P(D1)
=
P(D1|B2)P(B2)
P(D1|B1)P(B1) + P(D1|B2)P(B2)
=
(1− P(D2|B2))(1− P(B1))
P(D1|B1)P(B1) + (1− P(D2|B2))(1− P(B1))
=
(0, 95)(0, 03)
(0, 05)(0, 95) + (0, 95)(0, 03)
' 0, 863
36. Considere os eventos R = “O aluno responde corretamente” e S = “O aluno sabe a
resposta”. A probabilidade desejada é
P(S|R) = P(S ∩R)
P(R)
=
P(R|S)P(S)
P(R|S)P(S) + P(R|Sc)P(Sc)
=
p
p+ (1/m)(1− p)
=
mp
1 + (m− 1)p
.
Para m = 5 e p = 1/2 a probabilidade desejada é 5/6.
37. Considere os eventos A = “O suspeito é culpado” e B = “O suspeito possui a carac-
teŕıstica”. A probabilidade desejada é
P(A|B) = P(A ∩B)
P(B)
=
P(B|A)P(A)
P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac)
=
1 · (0, 6)
1 · (0, 6) + (0, 2) · (0, 4)
' 0, 882.
38. Considere que todas as probabilidades são condicionadas ao evento em que a mãe tem
o par de genes (A, A), o macho número 1 possui o par de genes (a, a), e o macho
número 2 tem o par de genes (A, a). Agora, seja Mi o evento em que o macho número
i é o pai, i = 1, 2, e seja B(A,a) o evento em que o chimpanzé bebê tem o o par de genes
(A, a). Então, a probabilidade desejada é
P(M1|B(A,a)) =
P(M1 ∩B(A,a))
P(B(A,a))
=
P(B(A,a)|M1)P(M1)
P(B(A,a)|M1)P(M1) + P(B(A,a)|M2)P(M2)
=
1 · p
1 · p+ (1/2)(1− p)
=
2p
1 + p
.
39. Considere os eventos abaixo:
C1 = “O gabinete A foi sorteado”,
C2 = “O gabinete B foi sorteado”,
S1 = “Uma moeda de prata foi sorteada na primeira gaveta aberta”,
S2 = “Uma moeda de prata foi sorteada na segunda gaveta aberta”.
A probabilidade desejada é
P(S2|S1) =
P(S1 ∩ S2)
P(S1)
=
P(S1 ∩ S2|C1)P(C1) + P(S1 ∩ S2|C2)P(C2)
P(S1|C1)P(C1) + P(S1|C2)P(C2)
=
(1)(1
2
) + (0)(1
2
)
(1)(1
2
) + (1
2
)(1
2
)
=
2
3
.
40. a) Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}.
b) Para um evento A ⊂ Ω é natural definirmos P(A) = Área(A)
Área(Ω)
= Área(A)
π
.
É importante comentar que a área do evento A precisa estar bem definida. De
fato, isso nem sempre ocorre.
c) A probabilidade do evento A = (0, 0) é zero.
d) P(B) = π(1/2)
2
π
= 1
4
, P(C) = π(1)
2
π
= 1
2
e P(B ∩ C) =
π(1/2)2
π
2
= 1
8
.
Como P(B ∩ C) = P(B)P(C), os eventos são independentes.
41. Das informação obtidas no texto, conclúımos que
P(E|S) = 2P(E|Sc) e P(S) = 0, 32.
Dessa maneira, segue que
P(S|E) = P(S ∩ E)
P(E)
=
P(E|S)P(S)
P(E|S)P(S) + P(E|Sc)P(Sc)
=
2P(E|Sc)P(S)
2P(E|Sc)P(S) + P(E|Sc)P(Sc)
=
2P(S)
2P(S) + P(Sc)
=
32
66
.
42. a) P(A ∪ C) = P(A) + P(C)− P(A)× P(C) = 1
2
+ 1
4
− 1
2
× 1
4
= 5
8
b) Como B ∩ C = ∅, segue que
P(A ∪B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩B)− P(A ∩ C)
=
1
2
+
1
3
+
1
4
− 1
5
− 1
2
× 1
4
=
91
120
.
c) P(B|C) = P(C∩B)P(C) =
0
1/4
= 0
d) Como B e C são disjuntos, da definição de probabilidade condicional segue que
P [(B ∪ C)|A] = P [A ∩ (B ∪ C)]
P(A)
=
P [(A ∩B) ∪ (A ∩ C)]
P(A)
=
P(A ∩B) + P(A ∩ C)
P(A)
=
1
5
+ 1
2
× 1
4
1
2
=
13
20
.
e) Como B e C são disjuntos, da definição de probabilidade condicional segue que
P [A|(B ∪ C)] = P [(B ∪ C) ∩ A]
P(B ∪ C)
=
P [(A ∩B) ∪ (A ∩ C)]
P(B ∪ C)
=
P(A ∩B) + P(A ∩ C)
P(B) + P(C)
=
1
5
+ 1
2
× 1
4
1
3
+ 1
4
=
39
70
.
43. Seja W o evento em que uma mulher abandona o emprego e C o evento em que o
empregado trabalha na loja C. A probabilidade desejada é
P(C|W ) = P(W ∩ C)
P(C)
=
P(W |C)P(C)
P(W |A)P(A) + P(W |B)P(B) + P(W |C)P(C)
=
(0, 7)100
225
(0, 5) 50
225
+ (0, 6) 75
225
+ (0, 7)100
225
=
1
2
.
44. Considere E o evento em que o aluno cursa engenharia da computação e F o evento
em que o aluno é do sexo feminino.
a) P(F |E) = P(F ∩ E)
P(E)
=
0, 02
0, 05
= 0, 40.
b) P(E|F ) = P(E ∩ F )
P(F )
=
0, 02
0, 52
' 0, 038.
Universidade de Braśılia
Departamento de Estat́ıstica
3a Lista de PE
1. Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna contendo 8 bolas brancas, 4
pretas, e duas bolas laranjas. Suponha que um jogador ganha 2 reais por cada bola
preta selecionada e perde 1 real para cada bola branca selecionada. Seja X o ganho do
jogador. Quais são os posśıveis valores de X, e quais são as probabilidades associadas
a cada valor?
2. Seja X uma variável aleatória discreta com P(X = 0) = 0, 25, P(X = 1) = 0, 125,
P(X = 2) = 0, 125 e P(X = 3) = 0, 5.
a) Construa o gráfico da função probabilidade de massa e da função de distribuição
acumulada.
b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana de X.
c) Calcule a variância de X.
d) Calcule as probabilidades P(0 < X < 1), P(X 6 2), P(X > 3) e P(X > 2, 5).
3. Suponha que a função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por
F (x) =

0, se x < 0,
1
4
, se 0 6 x < 1,
1
2
, se 1 6 x < 2,
11
12
se 2 6 x < 3,
1, se x > 3.
a) Construa o gráfico de F (x).
b) Encontre P(X = i), i = 1, 2, 3.
c) Encontre P
(
1
2
< X < 3
2
)
.
4. Seja X uma variável aleatória que representa o número de peças produzidas por uma
máquina em um peŕıodo de um dia. A probabilidade da máquina estar desligada em um
dia qualquer é 1
2
(Se a máquina estiver desligada, então ela não produz nenhuma peça).
A probabilidade da máquina estar ligada e produzir i peças é dada por P(X = i) = pi,
i = 1, 2, 3, . . . Pergunta-se:a) Qual é o valor de p?
b) Qual a probabilidade da máquina produzir pelo menos 5 peças em um dia?
c) Qual a probabilidade da máquina produzir um número par de peças em um dia?
5. Seja X uma variável aleatória que assume os valores -1, 0 e 1 com as respectivas
probabilidades
P(X = −1) = 0, 2, P(X = 0) = 0, 5 e P(X = 1) = 0, 3.
Encontre a esperança e a variância de X.
6. A partir de dados do último censo, a assistente social de um centro de saúde constatou
que, para as famı́lias da região, 20% delas não possuem filhos, 30% possui um filho,
35% possui dois filhos e as famı́lias restantes se dividem igualmente entre três, quatro
ou cinco filhos.
a) Determine a função de distribuição acumulada da variável N , referente ao número
de filhos das famı́lias na região.
b) Se uma famı́lia é escolhida aleatoriamente nessa região, qual a probabilidade de
que o número de filhos nessa famı́lia seja maior o igual a 2?
c) Calcule o valor esperado e a variância da variável N .
7. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades:
P(X = x) = k
x
, onde X assume os valores 1, 3, 5, 7.
a) Determine o valor de k.
b) Calcule P(X < 5).
8. Considere uma moeda viciada onde a probabilidade de ocorrência da face cara é quatro
vezes a probabilidade de ocorrência da face coroa. Essa moeda é jogada três vezes. Seja
X o número de caras que aparece. Determine a distribuição de probabilidades de X e
também a função de distribuição acumulada.
9. Considere o experimento de jogar dois dados sequencialmente e anotar os resultados.
Seja X a variável que computa a soma dos resultados observados nos dois dados.
Encontre a distribuição de probabilidades da variável X e calcule sua esperança.
10. Suponha que o tempo X, em minutos, necessários para um operário processar uma
certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades:
k 2 3 4 5 6 7
P(X = k) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1
a) Calcule E(X), o tempo médio de processamento de uma peça.
b) Calcule Var(X).
c) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se ele
processa a peça em menos de 6 minutos, ganha R$ 0,50 por minuto poupado
(por exemplo, se o operário processa a peça em 4 minutos, ele recebe a quantia
adicional de R$ 1,00). Encontre o ganho médio do operário por peça processada.
11. Um pintor produz pelo menos um quadro por dia (esse pintor pode produzir 1, 2, 3, . . .
quadros por dia). Seja X uma variável aleatória que denota o número de quadros
produzidos por esse pintor em um dia qualquer. A distribuição de probabilidades de
X é dado por P(X = k) = (0, 5)k, para k = 1, 2, . . .
a) Calcule P(X < 10).
b) Calcule E(X).
c) Se o pintor vende cada quadro produzido por R$ 50,00, qual é o ganho esperado
desse pintor em um mês (considere um mês de 30 dias) de trabalho?
12. Um jogo popular em ruas e cassinos consiste no seguinte: um jogador aposta em um
dos números de 1 a 6 e três dados são, então, lançados. Se o número apostado pelo
jogador aparecer i vezes (onde i = 1, 2, 3), o jogador ganha i unidades, e se o número
apostado pelo jogador não aparecer em qualquer um dos dados, então o jogador perde
uma unidade. Este jogo é justo para o jogador?
13. Suponha que duas equipas jogam uma série de jogos que termina quando um deles
ganhar i jogos. Suponha que cada jogo realizado é ganho pela equipe A, de forma
independente, com probabilidade p.
a) Encontre o número esperado de jogos que são realizados quando i = 2.
b) Encontre o número esperado de jogos que são realizados quando i = 3.
c) Mostre que, em ambos os casos (a e b), este número é maximizado quando
p = 1/2.
14. A cada noite um meteorologista diferente nos dá a probabilidade de que irá chover no
dia seguinte. Para julgar quem tem melhores previsões, iremos pontuá-los da seguinte
maneira: Se um meteorologista diz que irá chover no dia seguinte com probabilidade
p, então ele ou ela receberá a pontuação de
1− (1− p)2, se chover,
1− p2, se não chover.
Iremos, então, manter o controle de pontos ao longo de um determinado peŕıodo de
tempo e concluir que o meteorologista com a pontuação média mais alta é quem me-
lhor prediz o tempo. Suponhamos agora, que um dado meteorologista está ciente do
nosso mecanismo e quer maximizar sua pontuação esperada. Se essa pessoa realmente
acredita que vai chover amanhã com probabilidade p∗, qual o valor de p ele ou ela deve
propor de forma a maximizar o resultado esperado?
15. Suponha que, em voo, motores de avião irão falhar com probabilidade 1− p, indepen-
dentemente de motor para motor. Se um avião precisa da maioria de seus motores
operando para completar um voo bem sucedido, para que valores de p um avião com
5 motores é prefeŕıvel a um avião com 3 motores?
16. Uma prova consiste em 25 perguntas do tipo múltipla escolha. Cada questão tem 5
respostas, sendo que apenas uma delas é verdadeira. A nota, X, é igual ao número
de respostas corretas. Uma pessoa lança um dado equilibrado e indica a resposta cujo
número aparece na face de cima do dado (se sair 6 o lance é desconsiderado).
a) Qual é a distribuição da variável “nota” nestas condições?
b) Calcule as probabilidades dos eventos abaixo utilizando o modelo escolhido no
item anterior: {X 6 1}, {X < 1}, {X > 1}, {X > 1}, {2 6 X 6 4}, {2 6 X <
4}, {2 < X 6 4}, {2 < X < 4}.
c) Quais das hipóteses do modelo deixariam de ser satisfeitas se a pessoa respondesse
seriamente em vez de usar o esquema acima descrito?
17. Uma companhia de seguros vendeu apólices a 20 pessoas com mesma idade e condições
de saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa nas
condições dos assegurados sobreviva 10 anos à data dos contratos é de 0,9. Calcule as
probabilidades dos seguintes eventos:
a) todas as pessoas sobrevivem;
b) nenhuma sobrevive;
c) sobrevivem ao menos 5 pessoas;
d) sobrevivem ao menos 15 pessoas;
e) morrem exatamente 3 pessoas;
f) morrem no máximo 2 pessoas;
g) morrem no mı́nimo 5 pessoas;
h) valor médio e variância do número sobreviventes;
i) valor médio e variância do número de mortos.
18. Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos
casos. Dentre os que tem essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos
à cirurgia. A partir de alguma suposição adicional que julgue necessária, calcule as
probabilidades abaixo.
a) Todos serem curados.
b) Pelo menos dois não serem curados.
c) Ao menos 10 ficarem livres da doença.
19. Bactérias de uma certa classe aparecem na água à taxa média de 0,8 por cm3. Calcule
a probabilidade de que em 5 cm3 de água tenhamos:
a) no mı́nimo duas bactérias;
b) pelo menos 13 bactérias;
c) nenhuma bactéria;
d) no máximo sete bactérias.
20. A taxa de suićıdios num certo páıs é de 1 para cada 250.000 habitantes por semana.
Considere uma cidade de 500.000 habitantes e responda aos itens abaixo.
a) Qual a probabilidade de ocorrerem 6 ou mais suićıdios numa semana?
b) Você utilizaria o mesmo modelo se em vez de suićıdios a questão tratasse da
dengue? Justifique.
21. Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas a boas peças formando um lote com
12 peças no total. Escolhendo ao acaso 4 dessas peças, determine a probabilidade de
encontrar:
a) pelo menos 2 peças defeituosas;
b) no máximo uma peça defeituosa;
c) no mı́nimo uma peça boa.
22. Considere uma urna com 10 bolas brancas e 20 bolas vermelhas. Retira-se uma amostra
de 5 bolas, uma a uma. Qual a probabilidade de 3 bolas serem brancas se:
a) a amostra for sem reposição?
b) a amostra for com reposição?
23. Quando a moeda 1 é lançada, aparece cara com probabilidade 0,4. Quando a moeda
2 é lançada, aparece cara com probabilidade 0,7. Uma dessas moedas é escolhida
aleatoriamente e lançada 10 vezes.
a) Qual é a probabilidade de que a moeda mostre cara exatamente 7 vezes?
b) Tendo