Unidade I - Aula 04 - Classificação das Taxas de Juros e Equivalência entre Taxas 2018-2

Prévia do material em texto

Matemática Financeira 
Unidade I: Aula 04 
• Classificação das Taxas de Juros e Equivalência entre Taxas 
Profº. Francisco Nilson da Silva 
E-mail:fnilson.s@hotmail.com 
Matemática Financeira 
• Taxa Nominal; 
• Taxa Efetiva; 
• Taxa Nominal e Efetiva (exemplo); 
• Taxas Equivalentes; 
• Exercícios. 
 Tópicos da aula de hoje 
 
 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
 Taxa Nominal 
É aquela cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de 
tempo do período de capitalização. 
Ex.: Taxa de 72% ao mês com capitalização anual. 
 Taxa Efetiva 
Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com 
a unidade de tempo do período de capitalização dizemos que é taxa 
efetiva. 
Ex.: Taxa de 2% ao mês com capitalização mensal. 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
 Exemplo 1: 
Um cliente obtém um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser 
liquidado, no final de um ano, em um único pagamento de R$ 
130.000,00, garantido por uma nota promissória. Entretanto, o banco 
solicita a esse cliente que mantenha 20% do valor recebido como 
saldo médio. A taxa nominal e efetiva no período considerado são de: 
Taxa Nominal = 
𝐹𝑉 −𝑃𝑉
𝑃𝑉
 = 
130.000 −100.000
100.000
 = 30% 
Taxa Efetiva = 
𝐹𝑉 −𝑃𝑉
𝑃𝑉
 = 
110.000 −80.000
80.000
 = 35,50% 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
Taxa Real: A taxa real é calculada a partir da taxa efetiva, 
considerando-se os efeitos inflacionários no período. Para ilustrar, 
com base no problema anterior (Exemplo 1), analisando a taxa de 
rendimento através do ponto de vista no emprestador, e admitindo 
que a taxa de inflação, no período correspondente ao prazo do 
empréstimo (seis meses), tenha sido de 5%. 
 
• A taxa real é obtida como segue: 
Taxa Real = 
1+𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎
1+𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
 -1 = 
1 + 0,375
1+0,05
 -1 = 
1,375
1,05
 - 1 = 30,95% 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
 Exemplo 2: 
Um agiota empresta R$ 20.000,00 para receber RS 30.000,00 no final 
de seis meses. Entretanto, no ato, paga a um intermediário uma 
comissão de 5% sobre o valor emprestado, ou seja, R$ 1.000,00. As 
taxas, no período, são as seguintes: 
Taxa Nominal = 
𝐹𝑉 −𝑃𝑉
𝑃𝑉
 = 
30.000 −20.000
20.000
 = 50% 
Taxa Efetiva = 
𝐹𝑉 −𝑃𝑉
𝑃𝑉
 = 
30.000 −21.000
21.000
 = 42,86% 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
Continuação do exemplo anterior! 
A taxa real é calculada a partir da taxa efetiva, considerando-se os 
efeitos inflacionários no período. Para ilustrar, vamos tomar o 
segundo exemplo do item anterior, analisando a taxa de rendimento 
do ponto de vista do emprestador, e admitindo que a taxa de inflação, 
no período correspondente ao prazo do empréstimo (seis meses), 
tenha sido de 25%. 
Taxa Real = 
1+𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎
1+𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
 -1 = 
1 + 0,4286
1+0,25
 -1 = 
1,4286
1,25
 - 1 = 14,29% 
Nota: Para se calcular a taxa real no período há uma tendência generalizada de se subtrair a taxa 
de inflação da taxa efetiva, obtendo no nosso caso, uma taxa real de 17,857%, o que é errado 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
TAXAS EQUIVALENTES: duas taxas, em períodos distintos de 
capitalização composta, são equivalentes quando produzem o mesmo 
montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um capital 
inicial de mesmo valor. 
 
Por exemplo 1: 2% ao mês equivalem a 26,824% ao ano, e 48% ao 
ano equivalem a 10,297% ao trimestre, ou 3,321% ao mês. 
iq = [(1 + it)
q/t -1]. 100 
iq = [(1 + it)
q/t -1]. 100 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
Taxa que eu quero 
Taxa que eu tenho 
Prazo que eu quero (q) 
Prazo que eu tenho (t) 
Exemplo 2: Determinem a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia. 
 
Resolução: 
 
iq = [(1 + 0,001612)
360/1 -1]. 100 
Iq = Taxa que eu quero = ? 
It = Taxa que eu tenho = 0,1612% a.d ou 0,001612 a.d 
Tt = tempo que tenho = 1 dia 
Tq = Tempo que quero = 1 ano = 12 meses = 360 dias 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
Resposta: 78,58% ao ano. 
Exemplo 2: Determinem a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia. 
 
Resolução: 
 
iq = [(1 + 0,001612)
360/1 -1]. 100 
iq = [(1,001612)
360 -1]. 100 
iq = [1,785775481
 -1]. 100 
iq = 0,785775481. 100 
iq = 78,5775481 
iq = 78,58% a.a 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
HP – 12C Direto 
100 CHS PV 
0,1612 i 
360 n 
PV 
100 
HP – 12C Pela Formula 
1 ENTER 
0,001612 ENTER + 
360 ENTER 
1 ÷ 
YX 
1 - 
100 x 
- 
 Exercícios 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
1. Execute as transformações abaixo utilizando as relações das 
taxas equivalentes. 
 
a) 24 % ao ano para mês; Resposta: 1,81% a.m. 
b) 2 % ao mês para ano; Resposta: 26,82% a.a. 
c) 3 % ao trimestre para ano; Resposta: 42,58% a.a. 
d) 18 % ao ano para semestre. Resposta: 8,63% a.s. 
 Exercícios 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
2. Determinar as taxas mensal e anual equivalentes de juros de 
um capital de R$67.000,00 que produz um montante de 
R$171.929,17 ao final de 17 meses. 
Resposta: 5,7% a.m. e 94,5% a.a. 
 Exercícios 
 Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros e 
Equivalência entre Taxas 
3. Valeria, Estela e Karina chateadas por que ainda não 
receberam as caixas de bis. Resolveram fazer três 
exigências a turma: 
a) Determinem a taxa anual equivalente a 2% ao mês. Resposta: 
26,82% a.a. 
b) Determinem a taxa mensal equivalente a 
60,103% ao ano. Resposta: 4% ao mês. 
c) Determinem a taxa anual equivalente a 
0,1612% ao dia. Resposta: 78,58% ao ano. 
 
 Continua!!! 
Matemática Financeira/ 
Classificação das Taxas de Juros 
A todos um ótimo semestre de 
2018.2 
Profº. Francisco Nilson da Silva 
E-mail:fnilson.s@hotmail.com