[55077-299832]Cap_3_-_Linhas_de_TransmissAo

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Linhas de Transmissão
Linhas de Transmissão são meios guiados de sinais variantes no tempo cujos comprimentos elétricos são relevantes em relação ao comprimento de onda transmitidos (maiores que λ/10), de forma que formam uma rede a parâmetros distribuídos, o que impede a análise do comportamento das grandezas elétricas (tensões, correntes e potências) sob as hipóteses das teorias de circuitos elétricos a parâmetros concentrados. Neste caso, as distâncias dos circuitos passam a ser uma variável importante na análise.
Figura 17 - Diferentes tipos de LTs: (a) Cabo Coaxial (b) Par Bifilar (c) Microfita (d) Linha com Plano de Terra (e) Microfita
A tabela abaixo sumariza os principais parâmetros distribuídos para os tipos de linhas de transmissão comumente empregados.
	Parâmetros
	Cabo Coaxial
	Par Bifilar
	Microfita
	R (Ω/m)
	
(
	
	
	L (H/m)
	
	
	
	G (S/m)
	
	
	
	C (F/m)
	
	
	
 - profundidade pelicular do condutor, 
Figura 18 - Dimensões das LTs conforme tabela anterior
O código Scilab abaixo foi desenvolvido para obtenção dos parâmetros distribuídos de um cabo coaxial, a partir de seus dados de entrada:
Figura 19 - Código Scilab para Obtenção dos Parâmetros de um Cabo Coaxial
Como podemos observar na figura a seguir, tais estruturas são um meio guiado para uma onda eletromagnética, conectando a fonte à carga. Esta, dependendo do contexto, pode ser um gerador de RF (fonte) e uma antena (carga) no caso de transmissão, ou uma antena fazendo o papel de fonte e o receptor de RF fazendo o papel de carga, no caso de recepção.
Particularmente para as LTs, a onda eletromagnética guiada é do tipo TEM, com os campos elétricos e magnéticos transversais e pertencentes a um plano perpendicular à direção de propagação. Isto pode ser visto nas figuras a seguir, para o caso de um cabo coaxial e de uma microfita.
Figura 20 - Configuração dos Campos para um Cabo Coaxial
Figura 21 - Configuração dos Campos para Microfita
Uma facilidade do estudo das LTs quando comparadas as OPUs é que, sendo um meio guiado, o caráter vetorial dos campos elétricos e magnéticos podem ser substituídos pela análise das variáveis escalares de circuitos, representados pelas tensões e correntes na linha.
O código Scilab abaixo gera um gráfico que permite avaliar a fronteira entre a validade da teoria de circuitos e a necessidade de aplicar a abordagem de Linhas de Transmissão, para uma dada situação.
Figura 22 - Código Scilab: Fronteira entre Parâmetros Concentrados ou Distribuídos de uma LT
O resultado do código acima é apresentado abaixo.
Figura 23 - Gráfico da Fronteira entre Parâmetro Concentrado e Distribuído de uma LT
Equações Telegráficas de uma LT
Em geral, o modelo de circuito para uma LT a parâmetros distribuídos pode ser ilustrado pela seguinte figura:
Figura 24 - Parâmetros Distribuídos de uma LT
Se pegarmos um segmento infinitesimal de comprimento desta linha e representarmos as variáveis de circuito (tensões e correntes), teremos:
Figura 25 - Segmento Infinitesimal de uma LT
Assim, usando as leis de Kirchoff, obtêm-se as seguintes equações para este segmento, considerando as tensões e correntes fasoriais:
Podemos rearranjar estas equações de forma:
Fazendo :
Se derivarmos mais uma vez com relação à z a primeira equação:
e substituindo a derivada da corrente pela última equação:
que é uma equação de onda do tipo:
cuja solução fasorial pode ser descrita por:
a solução para corrente também é da forma:
Obs: considera-se o sentido z positivo da fonte para a carga.
Constante de Propagação
O termo:
é a constante de propagação da onda na LT, a partir do qual podemos extrair uma série de informações, como a constante de atenuação, a constante de fase, o comprimento de onda e a velocidade de fase.
Se a LT é sem perdas (R = 0 e G = 0):
e a onda não possui constante de atenuação, apenas de fase. 
Impedância Característica da LT
Tomemos a seguinte equação:
Substituindo pela solução da equação de onda, teremos:
De forma que pela igualdade de termos:
Podemos definir a impedância característica do meio como sendo:
de forma que:
Assim,
Para uma LT sem perdas:
Tensões e Correntes numa LT
Vamos agora determinar a tensão e corrente na entrada da LT (após a fonte) e a tensão e corrente na saída da LT (na carga). Partindo do pressuposto que a origem do eixo z está na carga e que a LT tenha comprimento l, a entrada da linha está situada em z = -l. 
Na carga (z = 0) teremos:
O que resulta em:
Usando este resultado e substituindo na resposta da equação de onda para o ponto na entrada da linha (z = -l):
e usando as identidades hiperbólicas:
teremos:
Realizando procedimento análogo, obteremos:
Normalmente, também estamos interessados em obter a tensão e corrente na carga a partir da tensão e corrente na entrada da linha. Realizando as devidas manipulações algébricas nos resultados obtidos acima, isolando a tensão e corrente na carga para obter:
As potências podem ser obtidas como segue:
onde φ é a defasagem entre as respectivas tensões e correntes.
para o caso de uma LT sem perdas, basta substituir os cossenos e senos hiperbólicos pelas seguintes relações:
Reflexão e Onda Estacionária
Como pode ser notado, a resposta das equações telegráficas de uma LT são constituídas de uma componente incidente e outra refletida, tanto para a tensão quanto para corrente. A existência da componente refletida indica a presença de um fenômeno indesejável de retorno de potência em direção à fonte e que deve ser eliminado ou minimizado.
Se dividirmos a equação:
por:
obteremos
se estabelecermos a relação
a partir do equacionamento anterior, obteremos o coeficiente de reflexão de tensão, ou:
coeficiente similar pode ser obtido também para corrente. De maneira também similar, temos o coeficiente de onda estacionária de tensão ou Voltage Standing Wave Ratio (VSWR), definido como:
Todas as considerações já realizadas para a OPU (faixa de valores, valores desejáveis, etc.) também valem no que tange às LTs.
Impedância de Entrada
Queremos determinar a impedância de entrada vista a partir da entrada da LT. Para tanto, podemos partir da seguinte relação:
Assim,
Se colocarmos em evidência e notarmos que
 
e
 
embora o resultado acima fosse obtido para o ponto z = l, ele vale para a obtenção da impedância de entrada de qualquer ponto da linha a partir de z = 0.
Para uma linha sem perdas, teremos e desta forma:
e a expressão da impedância de entrada fica:
1.1 Casamento de Impedâncias
 Vimos que a presença de reflexão está diretamente relacionada com as impedâncias presentes no circuito. Estas reflexões ocorrem quando há descasamentos, como a diferença de impedância entre LT e carga. Como esta é indesejável, veremos duas técnicas para casamento de impedâncias, a fim de mitigar este problema.
1.1.1 Transformador de Quarto de Onda
Esta técnica consiste em colocar uma LT intermediária com comprimento de um quarto de onda, entre a carga e a LT a ser casada, como pode ser visto na figura abaixo.
Figura 26 - Casamento via Transformador de Quarto de Onda
Desta forma o projeto consiste em determinar qual a impedância característica desta LT intermediária, a fim de promover o casamento. Isto pode ser obtido através do seguinte equacionamento:
Esta técnica só é adequada quando estiver envolvido somente uma frequência de operação, uma vez que o casamento está atrelado ao comprimento de onda.
1.1.2 Stub (Toco)
Como pode ser visto na figura a seguir, esta técnica consiste em casar a impedância a partir da conexão em paralelo de um pedaço da LT terminada em curto-circuito. O problema de projeto passa a ser então a determinação do ponto de conexão do toco (d) e o tamanho deste (l).
Figura 27 - Estube ou Toco
O toco é posicionado a d da carga a fim de que a impedância de entrada ZIN1 formada pela carga mais um trecho da linha com comprimento d tenha parte real igual a Z0. Para finalizar o casamento, basta agora compensar aparte reativa de ZIN1, o que é feito pela linha terminada em curto colocada em paralelo e de comprimento l de forma que a impedância ZIN2 tenha este efeito reativo compensador. Assim, a impedância em paralelo formada por ZIN1 e ZIN2 é igual a Z0. Ou, raciocinando em termos de admitâncias, teremos:
A solução analítica para este problema é mais bem compreendida se analisarmos algumas situações particulares de fácil resolução. Estas situações serão exploradas nos casos a seguir.
1.1.2.1 1º Caso: Carga com Parte Real da Admitância igual à Admitância da Linha
Neste caso, o toco pode ser conectado em paralelo com a carga, bastando apenas a determinação do comprimento da linha l a fim de que se compense a parte reativa da admitância da carga. Em outras palavras:
1.1.2.2 2º Caso: Impedância da Carga Puramente Resistiva e maior que Z0
Nesse caso, teremos um máximo de tensão na carga e a razão de onda estacionária vale:
Se caminharmos ao longo da linha para encontrar a distância d no qual a parte real da admitância de entrada iguala a admitância da linha e utilizarmos a relação acima, obtém-se:
De onde é possível se determinar d. Neste ponto, a admitância do curto deve compensar a admitância de entrada. Em outras palavras,
Com alguma manipulação algébrica e usando o resultado anterior, obtém-se:
Possibilitando assim obter l e concluir o projeto do estube para este caso.
1.1.2.3 3º Caso: Demais situações
Para estas a resolução analítica envolve uma série de cálculos, sendo recomendável o uso de algum programa computacional ou o uso do ábaco de Smith, como será apresentado a seguir.
1.2 Ábaco ou Carta de Smith
Surgido nos anos 50 com o objetivo de facilitar o projeto dos nascentes sistemas de alta frequência desenvolvidos a partir da II Guerra Mundial, trata-se de um ábaco no qual é possível obter soluções geométricas para problemas de linhas de transmissão com razoável precisão.
Figura 28 - Código Scilab para Geração de uma Carta de Smith Simples
Figura 29 - Carta de Smith Gerada pelo Código Acima
A carta consiste basicamente de um gráfico de plano complexo de representação do coeficiente de reflexão, obtido pela razão entre a impedância da carga e a impedância característica da linha de transmissão. O eixo das abscissas é a parte real do gráfico e o eixo das ordenadas, a parte imaginária. Assim, qualquer impedância normalizada tem sua parte real a partir de círculos e a parte imaginária pelas curvas como a seguir.
Figura 30 - Composição Básica de uma Carta de Smith
1.2.1 Plotando uma Impedância
Consiste em:
· Achar a impedância normalizada na forma ZL/Z0;
· Com a parte real, encontre o círculo correspondente;
· Com a parte imaginária, encontre a curva relacionada. Observe que valores imaginários positivos estão na semicircunferência de cima, enquanto os valores negativos estão abaixo.
Exemplo:
Figura 31 - Determinando uma Impedância na Carta
1.2.2 Encontrando o Coeficiente de Reflexão
Trace uma reta da origem da carta até a coordenada da impedância. Chame este segmento de OP. Prolongue esta reta até o círculo maior (raio zero). Chame este segmento de OQ. O ângulo de fase de pode ser lido diretamente na escala de ângulos da carta, para a abertura do segmento em relação ao eixo das abscissas. O módulo será a razão OP/OQ.
Figura 32 - Encontrando o Coeficiente de Reflexão
A partir disto, é possível encontrar o coeficiente de onda estacionária, bastando traçar uma circunferência (com um compasso, por exemplo), com centro na origem da carta e raio OP. O ROE é ponto deste círculo que intercepta o eixo das abscissas da carta. Leia na escala deste eixo diretamente.
1.2.3 Determinando a Impedância de Entrada
Represente o comprimento da linha em termos do comprimento de onda envolvido. Para a impedância de carga normalizada, leia a escala de comprimentos de onda. A este, some o comprimento da linha. Na escala de comprimento de onda, encontre o ponto correspondente no círculo da impedância normalizada. Agora é só multiplicar pela norma Z0.
Figura 33 - Determinando a Impedância de Entrada via Carta
1.2.4 Projetando um Stub
Como o Stub envolve impedâncias em paralelo, é conveniente saber como representar admitâncias. Para tanto, basta encontrar o ponto “espelho” da impedância no círculo desta, como abaixo.
Figura 34 - Obtendo a Admitância
O projeto do Stub consiste inicialmente em verificar a posição na escala de comprimento de onda para a admitância da carga. No exemplo abaixo, 0,112. Encontre os dois pontos de interceptação do círculo desta admitância com o círculo de raio unitário. Por conta disto, há dois resultados possíveis. Consideraremos apenas yd apontado na figura, a título de exemplo. Considerando este ponto, trace uma reta da origem da carta até a escala de comprimentos de onda. Leia o valor (no nosso exemplo, 0,187). O ponto d de conexão do Stub à linha é igual a diferença entre este valor e o da admitância (0,075).
Encontre a parte imaginária de yd. Seu conjugado será o ponto yl. Leia o valor em termos de comprimentos de onda para esta coordenada (0,324). O comprimento l do Stub será a diferença entre este valor e 0,25, resultando em 0074.
Figura 35 - Projetando o Stub
1.3 Exercícios
1 – Calcule a velocidade de propagação e a impedância característica de um cabo RG58/U, cujas dimensões são b = 1,47 mm e a = 0,45 mm. O dielétrico é o polietileno, com r = 2,25.
2 – Uma LT sem perdas (utilizada como fio de descida nas antenas de TV) possui impedância característica de 300 . Em 82 MHz, o comprimento de onda na linha é de 3 m. Calcule os valores de L e C (por metro) da linha.
3 – Uma LT sem perdas de 300 conecta uma antena a um receptor FM. A linha tem 2 m de comprimento e a velocidade de propagação na linha é de 2,5 x 108 m/s. A impedância de carga (receptor FM) é de 300 e a antena pode ser considerada uma fonte de tensão alternada de amplitude 0,6 mV e impedância interna de 300 , com f = 100 MHz. Determinar a tensão, a corrente e a potência (a) na entrada da linha e (b) na carga.
4 – Refazer o exercício anterior, supondo que a carga são dois receptores FM idênticos, cada um de impedância de 300 , ligados em paralelo na saída da linha.
5 – Uma LT com Z0 = 50 alimenta um resistor R = 20 em série com um capacitor C, produzindo um coeficiente de onda estacionária de 4. Se a frequência de operação é de 600 MHz, calcule o valor de C.
6 – Uma LT com 50 m de comprimento, terminada em sua impedância característica, fornece 1250 W à carga. A potência na entrada da linha é de 1600 W. Determinar:
(a) o rendimento da transmissão
(b) a constante de atenuação da linha
(c) a relação entre as amplitudes da tensão no ponto médio da linha e nos terminais de entrada
7 – Projetar um transformador de /4 para casar uma LT sem perdas, com L = 1,22 H/m e C = 13,6 pF/m com uma carga resistiva pura de 560 , com f = 40 MHz.
8 – Uma carga de 200 é conectada a uma LT sem perdas de 0,2 de comprimento e 600 . A linha de 600 é carga de outra LT de 300 . Que impedância deve ser conectada em paralelo na junção das linhas de modo que o coeficiente de onda estacionária na LT de 300 seja unitário?
9 – Uma LT sem perdas, com Z0 = 50 Ω e vf = 2 × 108 m/s, opera na frequência de 30 MHz e é terminada por um curto-circuito (ZL = 0). Obter o elemento localizado equivalente, visto dos terminais de entrada, se o comprimento l da linha for de: a) 1 m; b) 5/3 m (l = λ/4); c) 2 m; d) 3 m; e) 10/3 m (l = λ/2); f) 4 m; g) 5 m (l = 3λ/4). Repetir o exercício se a terminação for um circuito aberto (ZL = ∞).
Figura 36 - Referência para o Exercício 9
10 – Uma linha alimentada de 300 é conectada a uma linha de 3 m de comprimento e 150 terminada com um resistor de 150 . As duas linhas não apresentam perdas e usam o ar como material isolante, sendo a frequência de operação 50 MHz. Determine:
(a) a impedância de entrada na linha de 3 m
(b) a razão de onda estacionária na linha alimentada
(c) a impedância característica se um transformador de ¼ de onda fosse usado entre as duas linhas paraconseguir um VSWR = 1 na linha alimentada
11 – Seria possível a construção de um cabo coaxial sem perdas com r = 2,25 ter uma impedância característica de 600 ? Justifique sua resposta.
12 – Uma linha de transmissão sem perdas de 50 usa um material isolante com r = 2,25. Quando terminada em um circuito aberto, qual o comprimento que a linha deve ter para que sua impedância de entrada seja equivalente a um capacitor de 10 pF em 50 MHz? Considere a velocidade da onda como vf = 
13 - Uma linha de 300 é terminada em uma carga de 300+j300 . Calcule o coeficiente de reflexão e de onda estacionária.
14 - As seguintes medidas foram obtidas numa LT para uma frequência de 1,6 MHz: impedância de circuito aberto com módulo de 900 e fase de -30o; impedância de curto circuito com módulo de 400 e fase de -10o. Determine a impedância característica da LT em questão.
15 - Dois transformadores de /4 são usados em cascata para conectar uma linha de 50 a uma carga de 75 , conforme a figura abaixo. Determine a impedância característica Z01 se Z02 = 30 e se não houver onda refletida à esquerda do ponto A.
16 - Certa antena transmissora apresenta impedância de 50 . É então usado um cabo coaxial de mesma impedância entre o transmissor e a antena para haver o casamento. A fim de aumentar o ganho na transmissão, deseja-se colocar duas dessas antenas em paralelo, continuando-se a usar a mesma LT. Projete um transformador de /4 para ser inserido entre as antenas e o coaxial, sabendo que a frequência é 300 MHz e r = 2,25.
17 - Qual deve ser o raio exterior de um cabo coaxial sem perdas, cujo dielétrico é Teflon (r = 2,1), para que a linha tenha uma impedância característica de 50 ? O diâmetro do fio interno é de 1 mm.
18 - A atenuação de uma linha de 10 metros vale 0,2 dB/m. Calcule a potência na entrada para que se tenha 10 Watts na saída, o rendimento da LT e o coeficiente de atenuação em Népers por metro.
19 - O barramento de uma rede de computadores é composto de um cabo coaxial de 400 m de comprimento. Esse cabo tem impedância característica de 50 e velocidade de propagação de 200 x 106 m/s. A rede não está funcionando apropriadamente. Medindo-se a impedância em um dos terminais (o outro está terminado com 50 ), obteve-se uma impedância de 100 a 100 kHz. Considerando a possibilidade do cabo estar em curto-circuito, determine a provável localização desse defeito.
20 - Para o circuito abaixo, determine (a) o coeficiente de reflexão na carga (b) o coeficiente de onda estacionária (c) a impedância de entrada Zin (d) a tensão na entrada da linha (e) a tensão na saída da linha.
21 - – Deseja-se casar uma carga de 170 em uma LT de 50 . Determine a impedância característica de um transformador de /4.
22 - Para o circuito da figura abaixo com uma LT sem perdas, determine a impedância de entrada e a tensão na carga.
23 - Para um cabo coaxial RG-214, considerado sem perdas, com a = 1,105 mm, b = 3,62 mm e dielétrico de Teflon (r = 2,1), operando a 1 GHz, qual o comprimento da linha, em termos de comprimento de onda, caso o seu comprimento for 50 cm.
24 - Uma rede de distribuição de energia é formada por um circuito aéreo com impedância característica de 450 conectado a uma rede subterrânea com 50 . Se a rede aérea foi atingida por uma descarga atmosférica com uma tensão de surto de 90 kV e um transformador com tensão suportável de impulso (TSI) de 100 kV está conectado em um ponto da rede aérea onde a amplitude da onda estacionária de tensão é máxima, o transformador irá suportar a referida descarga? Justifique apresentando os devidos cálculos.
25 - Duas antenas dipolo de meia onda, cada uma com impedância de 75 , são conectadas em paralelo através de um par de linhas de transmissão e a combinação é conectada a uma linha de transmissão, conforme esquema abaixo. Todas as LTs são sem perdas e de 50 . Calcule a impedância de entrada da linha.
26 - Deseja-se casar uma carga de 170 em uma LT de 50 .
a) Determine a impedância característica do transformador de quarto de onda requerido;
b) Determine o comprimento do estube e seu ponto de conexão em paralelo com a LT, a partir da carga.
27 - Num experimento de reflexão terminado em aberto com um cabo coaxial RG9U de 50 e 127,4 m de comprimento, um pulso na entrada retornou à fonte em 1,284 s. Com base nestes dados, determine (a) a velocidade de propagação no cabo (b) Os parâmetros L e C da linha.
28 - A SIL (Surge Impedance Loading) ou Carregamento Característico, é a potência fornecida a uma carga resistiva que é igual à impedância de surto (impedância característica da LT considerada sem perdas). Considere uma linha de transmissão trifásica, circuito simples, de 60 Hz, com 100 km de comprimento, cujos parâmetros distribuídos são R = 0,1 /km, L = 2,5 mH/km e C = 0,01 F/km. Se esta LT opera com valor nominal de 100 kV, qual será a sua SIL, em MW?
29 - O circuito abaixo operando em 300 MHz alimenta uma carga cuja admitância vale . Nessas condições, determine:
a) O coeficiente de onda estacionária.
b) O estube para a promoção do casamento de impedâncias.
30 - Considere, na questão anterior, incluso o estube no circuito, a ocorrência de um defeito na carga de forma que a admitância . Determine as correntes na entrada e saída da LT.
Respostas dos Exercícios
1. v = 2x108 m/s e Z0 = 47,4 
2. 
3. (a) IS = 1 A VS = 0,3 mV PS = 1,5.10-10 W
(b) IL = 1-288° A VL = 0,3-288° mV PL = 1,5.10-10 W
4. 
5. 7,2 pF
6. (a) 78,1 % (b) 2,47x10-3 Np/m (c) 0,94
7. ≈ 410 Ω e 2 m
8. Z = 354,9 – j62,8 
9. (a) indutor (b) aberto (c) capacitor (d) (e) curto (f) (g) aberto
10. (a) 150 (b) s = 2 (c) 212,2 
11. Não, pois: 
O que implica numa razão entre raios inviável de se construir na prática.
12. l = 5,68 cm
13. 
14. 
19. d = 352,4 m
20. (a) = 1/3 (b) s = 2 (c) 100 (d) 2,67 V (e) 2,67 V
22.25 e -2 V
23. l = 2,41
25. 107,57 – j56,7 
27. (a) 1,98 x 108 m/s (b)
28. 20 MW
29. (a) 2,62 (b) 
30. 
-
+
-
+
-
+
=
0
0
0
0
0
V
V
V
V
Z
I
V
L
L
(
)
(
)
(
)
(
)
l
Z
V
l
I
l
I
Z
l
V
Z
L
L
L
L
in
×
+
×
×
+
×
=
g
g
g
g
sinh
cosh
sinh
cosh
0
0
(
)
l
I
L
g
cosh
r
c
e