[55077-299837]Cap_1_-_Onda_Plana_Uniforme

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Onda Plana Uniforme
Revisão das Equações de Maxwell
Os fenômenos do eletromagnetismo clássico podem ser inteiramente descritos pelas equações de Maxwell, cuja forma diferencial (local) é expressa a seguir:
Seja:
· E - campo elétrico [V/m]
· H - campo magnético [A/m]
· D - Deslocamento elétrico [C/m2]
· B - indução magnética [T]
· J - Densidade de corrente [A/m2]
· - Densidade Volumétrica de carga [C/m3]
1. Lei de Ampère: 				
2. Lei de Faraday:						
3. Lei de Gauss:						
4. Lei de Gauss do Magnetismo: 	
Para levar em conta as características do meio na análise de um fenômeno eletromagnético são necessárias as relações constitutivas, que consideram as seguintes propriedades do meio:
· - permissividade elétrica [F/m]
· - permeabilidade magnética [H/m]
· - condutividade elétrica [S/m]
As relações são:
1. 
2. 
3. (Lei de Ohm)
Para efeito do escopo desta disciplina, os meios serão considerados como lineares, homogêneos e isotrópicos, de forma que todos os resultados se basearão nestas premissas.
Equação de Onda Eletromagnética
Será considerado que os campos possuem variação temporal harmônica. Isto permitirá a representação destas grandezas na forma de fasores, o que viabilizará a eliminação de uma das variáveis das equações de Maxwell, simplificando o problema em 3 variáveis (x, y e z em coordenadas cartesianas).
Representação de uma função temporal na forma fasorial:
Assim, uma derivação temporal pode ser substituída pela seguinte operação fasorial:
Com isto, as equações de Maxwell na forma fasorial são:
1. 
2. 
3. 
4. 
As equações de Maxwell mostram que um campo elétrico variável no tempo pode gerar um campo magnético também variável, o qual por sua vez produz um campo elétrico variável e assim sucessivamente. Isto permite a propagação de energia sob a forma de uma onda eletromagnética.
Se aplicarmos o rotacional novamente sobre a lei de Faraday, teremos:
Usando a propriedade 
E considerando que o campo elétrico não é divergente:
Que é a equação vetorial de onda ou equação de Helmholtz, onde
Trata-se de uma equação diferencial parcial de segunda ordem, nos quais as soluções possíveis são funções harmônicas (exponenciais complexas) cuja demonstração foge do escopo deste material. Será abordada a seguir uma das soluções possíveis, baseadas em algumas hipóteses simplificadoras.
Onda Plana Uniforme
Uma das soluções possíveis para a equação de onda, permitindo-nos caracterizar o fenômeno ondulatório eletromagnético, é obtida a partir das seguintes hipóteses simplificadoras:
· O vetor campo elétrico só oscila na direção do eixo x;
· O campo se propaga na direção z, de forma que os campos só variam nesta direção.
Conforme será mostrado posteriormente, sob estas condições, o vetor campo magnético possui apenas componente no eixo y, a fim de satisfazer as equações de Maxwell. Com isto, os campos elétrico e magnético da onda são perpendiculares entre si e mutuamente perpendiculares à direção de propagação da onda, constituindo uma onda TEM (transversal eletromagnética), como pode ser atestado na figura abaixo. Assim, as frentes de onda são formadas por planos que contêm os vetores de campo, que são constantes em cada plano e por isso este modelo é conhecido por Onda Plana Uniforme.
Figura 1 - OPU
Sob tais condições, a equação de onda se resume a
Uma solução que satisfaz tais condições pode ser 
Onde E0 é a amplitude do campo elétrico (imposta pela fonte) e é a constante de propagação, expressa por
Onde:
· - constante de atenuação [Np/m]
· - constante de fase [rad/m]
 Aplicando o operador Re{ } sobre o fasor, obtêm-se as seguintes soluções no domínio do tempo:
Sentido z positivo: 
Sentido z negativo: 
Obs: Salvo quando indicado, considerará apenas o sentido de propagação z positivo a partir deste ponto.
Assim, a caracterização de uma onda eletromagnética passa pela determinação da constante de propagação a partir dos dados de entrada frequência (imposta pela fonte), permeabilidade magnética, permissividade elétrica e condutividade para um determinado meio. A partir da obtenção da constante de propagação e seus componentes (constantes de atenuação e fase), pode-se extrair propriedades da onda se propagando neste meio, como:
· 
Velocidade de fase: [m/s]
· 
Comprimento de onda: [m]
Com estas expressões já é possível lidar genericamente com qualquer meio. Entretanto, tais expressões podem ser simplificadas para certos tipos de meios, permitindo uma visão particular da OPU. Estes casos particulares serão vistos na sequência deste compêndio. Mas antes, passamos para a caracterização do campo magnético da OPU.
O seguinte script abaixo plota o gráfico do campo elétrico em diferentes instantes de tempo a partir dos dados das características de certo meio e da frequência de operação.
Figura 2 - Código Scilab para Análise de Propagação de OPU
Campo Magnético e Impedância Intrínseca do Meio
Para obtenção do campo magnético, aplicaremos a equação de Faraday
Como 
Assim teremos:
Observe que devido ao fato de o campo elétrico possuir apenas componente em x, o campo magnético deverá ter componente em y, satisfazendo assim as equações de Maxwell e confirmando as hipóteses da OPU.
Considerando a solução fasorial do campo elétrico e assumindo apenas a propagação na direção positiva de z:
Podemos definir a Impedância Intrínseca do Meio como 
De forma que 
Notar que a impedância é um número complexo e sua unidade é o ohm []. Se representarmos esta impedância na forma polar, a expressão no domínio do tempo para o campo magnético fica:
 [A/m]
O seguinte script em Scilab permite calcular a atenuação, a constante de fase e a impedância intrínseca de uma OPU, dados seus parâmetros, conforme solicitado pelo programa.
Figura 3 - Código Scilab para Determinação dos Parâmetros de uma OPU
Vetor de Poynting
Partindo-se da equação da Lei de Ampère no domínio do tempo:
E multiplicando-se os termos desta equação pelo campo elétrico:
Usando-se a propriedade temos
Como pode ser notado, as parcelas à direita da equação se referem às densidades volumétricas de potência dissipada por efeito Joule, armazenada no campo elétrico e magnético, respectivamente. Para obter a potência em um dado volume, passamos à integração volumétrica deste resultado:
Mas, pelo teorema de Stokes 
O que resulta:
O resultado acima nos mostra que a densidade superficial de potência de uma Onda Eletromagnética pode ser caracterizada pelo vetor . Este vetor é o chamado Vetor de Poynting.
Algumas propriedades importantes de uma Onda podem ser obtidas a partir deste vetor:
· A densidade superficial de potência é obtida pelo produto vetorial entre os campos elétrico e magnético;
· A direção e o sentido de propagação de uma onda são caracterizados por este vetor;
· É um indicativo do fluxo de potência de uma onda eletromagnética.
Para o caso particular da OPU definida anteriormente, o vetor de Poynting será:
O que nos dá o comportamento da densidade superficial de potência instantânea. Se quisermos visualizar esta potência em termos médios, podemos aplicar:
Ou fasorialmente:
, onde o * indica o fasor conjugado. Para ambas as situações, obtém-se:
Pelo fato de a potência entregue ao irradiador poder se espalhar ao longo do espaço, é usual se tratar em termos de densidade superficial de potência quando se lida com propagação de ondas eletromagnéticas no espaço livre, uma vez que ela dá uma ideia de quanta potência é entregue a um ponto do espaço. Caso se queira determinar o quanto de potência é entregue em uma determinada superfície no espaço, pode-se calcular pela seguinte expressão:
Tangente de Perdas
Se pegarmos a lei de Ampère:
Podemos reescrevê-la da seguinte forma:
Onde é denominada permissividade complexa do meio. Sendo um número complexo, podemos expressá-lo na forma polar, com um módulo e um ângulo de fase. Se feito isso, notaremos que a tangente do ângulo é igual ao fator . Este fator é conhecido por tangente de perdas. Istose deve ao fato das perdas Joule da OPU estarem relacionadas à condutividade do meio, presente neste fator.
Como já sabemos, a avaliação se um meio é condutor ou não está relacionada à sua condutividade elétrica. Todavia, quando lidamos com o fenômeno ondulatório, a noção de bom condutor ou não é relativa, dependendo também da frequência em questão. Para tanto, uma regra geral bem aceita para avaliar se um meio é condutor ou não passa pela determinação e análise do resultado da tangente de perdas, da seguinte forma:
 - o meio é isolante
- o meio é quase condutor
- o meio é condutor
O seguinte script em Scilab traça o gráfico da tangente de perdas em função da frequência para 3 tipos de meios: cobre, água do mar e vidro.
Figura 4 - Código Fonte para Análise da Tangente de Perdas em 3 Materiais Distintos
O gráfico resultante da execução do script é
Figura 5 - Gráfico da Análise da Tangente de Perdas versus Frequência em 3 Materiais Distintos
A importância da classificação do meio conferido pela tangente de perdas é a possibilidade de se calcular a constante de propagação e propriedades da OPU de forma simplificada, a partir da identificação do tipo de meio em questão. Por exemplo, se reescrevemos a constante de propagação:
E identificarmos que o termo é um binômio na forma , onde x é a tangente de perdas e n = ½ (raiz quadrada), podemos, para x pequeno, realizar a seguinte aproximação do binômio:
De forma que a constante de propagação é agora:
Para o que nos dá de forma direta e simplificada
 
E
 
É possível também simplificar, através desta aproximação, a determinação da impedância intrínseca do meio. 
Nas próximas seções, serão estudados casos particulares da OPU para determinados meios, cuja identificação apropriada nos permite uma caracterização simplificada da OPU nestes meios.
Propagação de OPU no Vácuo
No vácuo, temos = 0, = 0 e = 0. Assim:
 
 E desta forma não temos componente de atenuação na ausência de meio (vácuo).
 m/s
e a expressão do campo elétrico no vácuo fica:
 [V/m]
e o campo magnético no domínio do tempo é:
 [A/m]
Note que o campo magnético está em fase com o campo elétrico, uma vez que a impedância do vácuo é puramente real.
A densidade média de potência é:
 [W/m2]
Propagação de OPU em Dielétricos Ideais
Em um dielétrico ideal, temos = 0, = r0 e = r0. Assim:
e desta forma não temos componente de atenuação (α = 0).
 
onde β0 é a constante de fase no vácuo para uma dada frequência angular.
 m/s
Observe que a velocidade é uma fração da velocidade da luz, haja vista que as permissividades e permeabilidades relativas são maiores que um.
e a expressão do campo elétrico no vácuo fica:
 [V/m]
Note que a impedância intrínseca de um dielétrico ideal está relacionado com a impedância do vácuo, sendo também puramente real.
e o campo magnético no domínio do tempo é:
 [A/m]
Note que o campo magnético está em fase com o campo elétrico, uma vez que a impedância do dielétrico ideal também é puramente real.
A densidade média de potência é:
 [W/m2]
Note que, semelhante ao vácuo, o dielétrico ideal também não impõe perdas na OPU.
Uma observação importante acerca dos dielétricos, ideais ou não, é que estes não costumam ser ferromagnéticos (com exceção da ferrite, por exemplo), implicando que μr = 1.
Propagação de OPU em Bons Condutores
Quando temos um bom condutor, podemos inferir que . 
Assim:
O termo é conhecido por profundidade pelicular [m]. Podemos expressar o campo elétrico em um bom condutor em termos desta profundidade, na forma:
 [V/m]
Como pode ser notado, a profundidade pelicular está associada ao termo exponencial decrescente da OPU, indicando por quantos comprimentos uma OPU consegue penetrar em um condutor até praticamente se dissipar. Como a profundidade pelicular tende a diminuir à medida que a condutividade aumenta (melhores condutores), isto indica que o campo elétrico, correntes elétricas e o campo magnético tendem a se propagar pela superfície do bloco de material condutor, resultando no conhecido efeito skin. Por causa disto, há que se diferenciar a resistência elétrica de um condutor operando em corrente contínua e corrente alternada, sendo esta diferença considerável com o aumento da frequência.
Se pegarmos um bom condutor cilíndrico de comprimento l e seção circular com raio R, teremos:
 e 
 e 
Observe que em CA a resistência elétrica tende a aumentar.
Naturalmente, para o caso de bons condutores = 0 
Polarização de Onda
Embora fosse apresentada uma expressão de campo elétrico para OPU que oscilava somente em torno do eixo x, uma expressão mais genérica que satisfaz a equação de onda para uma OPU pode ser formulada como:
Note que omitimos na expressão os termos exponenciais de atenuação para torná-la menos complexa e facilitar os modos desta. Note também que o campo está contido no plano x-y, diferente da direção de propagação da onda.
Os valores assumidos por A, B e definem diferentes modos pelos quais o vetor campo elétrico pode se manifestar:
· Para A ≠ B e = 0: Polarização linear;
· 
Para A = B e : Polarização circular, sendo o sinal da defasagem o que denota se a circulação é à direita ou à esquerda;
· Para A ≠ B e qualquer: Polarização elíptica, com o sinal da defasagem indicando o sentido de rotação.
O script Scilab a seguir permite traçar a elipse descrita pelas componentes de campo elétrico A e B e seus respectivos ângulos de fase:
Figura 6 - Código Scilab para Geração de Gráfico de Polarização
A título de exemplo, se entrarmos com os valores de 2 e 1 V/m para as amplitudes x e y, bem como os ângulos de fase x e y iguais a 30° e 60° respectivamente, obteremos a seguinte elipse de polarização:
Figura 7 - Gráfico de Polarização Exemplo
A figura a seguir é uma representação dos campos elétrico e magnético para uma polarização circular à direita:
Figura 8 - Gráfico da OPU para Polarização Circular
A polarização da onda é importante para um sistema de transmissão no espaço livre, uma vez que determina um modo de casamento entre uma antena de transmissão e de recepção.
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