aula 1 usp - Circuitos Magneticos (teoria)

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PEA 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO 
ELÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PEA-2211: INTRODUÇÃO À ELETROMECÂNICA E À AUTOMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2006 
 2
Índice 
 
 
1. Resumo...............................................................................................................................3 
2. Introdução...........................................................................................................................3 
3. Circuito Magnético.............................................................................................................3 
4. Indutância Própria..............................................................................................................9 
5. Alimentação em Corrente Contínua e em Corrente Alternada.........................................10 
6. Fluxo de Dispersão e Fluxo Mútuo..................................................................................13 
7. Indutância Mútua..............................................................................................................14 
8. Referências Bibliográficas................................................................................................17 
Anexo I...................................................................................................................................18 
Parte Experimental.................................................................................................................19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
1. Resumo 
 
 Esta aula constará de uma parte teórica e de uma parte experimental. 
 Na parte teórica, o objetivo é introduzir a noção de circuitos magnéticos e a sua estreita 
relação com circuitos elétricos para a modelagem de um dispositivo elétrico. 
 Para tanto, será apresentado o formalismo matemático para a obtenção das equações básicas, 
culminando com a obtenção da indutância própria de um indutor e a dependência desta com a 
geometria, o material e o número de espiras do mesmo. Também serão mostrados os 
comportamentos deste indutor quando alimentado em corrente contínua e em corrente alternada 
(senoidal). 
 Por fim, será apresentado um transformador simples, no qual será possível mostrar as 
noções de fluxo de dispersão, fluxo mútuo e indutância mútua. 
 Através dos exemplos ao longo do texto, pretende-se capacitar o aluno com ferramentas que 
o permita analisar um circuito magnético e, em conjunto com o circuito elétrico associado, obter as 
grandezas elétricas e magnéticas de interesse. 
 
 Na parte experimental, o aluno irá comprovar as relações apresentadas na teoria, quais 
sejam: 
 - a dependência da indutância própria com a geometria do núcleo ferromagnético, com o 
material deste núcleo e com o número de espiras; 
 - a observação do fluxo mútuo e do fluxo de dispersão 
 
2. Introdução 
 
 Dispositivos elétricos e eletromecânicos estão presentes em diversas aplicações do nosso dia 
a dia. Talvez, pela correria cotidiana e pelo hábito de sempre vê-los funcionando, não nos 
atenhamos para o fato que tais itens se tornaram fundamentais, até mesmo indispensáveis, para a 
nossa vida moderna. 
 Os exemplos são os mais variados, indo do simples interruptor de uma lâmpada, até a um 
hidrogerador em Itaipu. Nessa gama, passamos por todos os motores elétricos de uso industrial, e 
doméstico; pelos solenóides, eletroímãs, motores e sensores de uso em automação; pelos diversos 
componentes de um computador: disco rígido, leitores de CD, o próprio teclado, o cooler; pelos 
telefones portáteis; pelas pequenas bobinas em circuitos impressos às grandes bobinas em aparelhos 
de ressonância magnética; e por aí em diante. 
 O que todos esses equipamentos têm em comum é o fato de funcionarem seguindo as leis de 
um dos fenômenos mais extraordinários, que é o eletromagnetismo. 
 O objetivo desta disciplina é a de dar os primeiros passos na utilização da teoria 
eletromagnética, vista em cursos de Física, em aplicações práticas mais próximas do nosso dia a dia. 
Podemos considerar que se trata de uma disciplina de eletromagnetismo aplicado. 
 Partiremos de aplicações sem movimento, como indutores e transformadores, e chegaremos 
às máquinas elétricas, que são o auge da conversão eletromecânica. São elas que permitem 
transformar energia elétrica em mecânica e vice-versa. Não fossem as máquinas elétricas, não 
teríamos o grau de conforto que temos hoje. Se alguma dúvida ainda pairar, tente então imaginar a 
sua casa iluminada por lampiões a gás ou o liquidificador com motor a explosão. 
 Convencido? 
 
3. Circuito Magnético 
 
 O estudo do circuito magnético é uma das etapas mais importantes na concepção de um 
equipamento elétrico. Em conjunto com circuitos elétricos, forma uma ferramenta poderosa de 
modelagem. É através desse estudo que, por exemplo, é possível fazer um telefone celular com um 
 4
peso reduzido ou instalar motores elétricos em espaços exíguos, como no caso de submarinos e 
espaçonaves. É por esse tópico, portanto, que iniciaremos nosso curso. 
 
 Em princípio, todos os equipamentos eletromagnéticos devem ser projetados e analisados 
pela aplicação das leis do eletromagnetismo, as quais são expressas pelas equações de Maxwell (ver 
Anexo I). 
 Todavia, duas dificuldades surgem de imediato: 
1. por utilizarem grandezas vetoriais, as equações de Maxwell devem ser resolvidas em cada ponto 
do domínio em estudo; 
2. a resolução analítica de equações integrais ou diferenciais não é fácil na maioria dos casos, face à 
complexidade das geometrias dos dispositivos sob estudo. 
 
 Uma estratégia para contornar essas dificuldades é a utilização de grandezas escalares e da 
simplificação criteriosa da geometria de forma a obter uma solução aproximada. É importante 
esclarecer que, embora aproximada, essa solução pode se adequar bem aos fins desejados. 
 É essa estratégia que será empregada a seguir. Antes, entretanto, dois preâmbulos são 
necessários. 
 
• Preâmbulo 1: Linhas de Campo e Linhas de Fluxo 
 
 Ao longo do texto, onde os exemplos adotados são bidimensionais, ou seja, as grandezas 
H
r
e B
r
estão no plano do papel, utilizaremos o termo “linhas de campo” ou “linhas de fluxo”, 
dependendo do contexto. Acreditamos que, neste início de curso, é preferível um entendimento do 
fenômeno ao invés de nos lançarmos em manipulações matemáticas. 
 Desta forma, “linhas de campo” serão entendidas como a direção que o campo magnético H
r
 
e a indução magnética B
r
assumem num determinado espaço. É o equivalente à conformação das 
limalhas de ferro quando expostas a um campo magnético de um ímã, conforme mostrado na 
figura 1. 
 
 
Figura 1: Limalhas de ferro em presença de campo magnético 
 
 Muito embora o fluxo magnético Φ seja uma grandeza escalar, assumiremos como 
“linhas de fluxo” a mesma direção da indução magnética B
r
, uma vez que elas estão relacionadas 
pela expressão: 
s
BdSΦ = ∫
rr
 
 
Linhas de Campo 
 5
 Uma analogia apropriada é o uso que fazemos de “setas” quando queremos representar a 
corrente elétrica I num circuito elétrico. Nesse caso, também temos uma grandeza escalar I que 
segue o caminho de numa grandeza vetorial, a densidade de corrente J
r
. Lembrando que: 
 
s
I JdS= ∫
rr
 
 
 Numa definição mais rigorosa para exemplos bidimensionais, “linhas de campo” e 
“linhas de fluxo” recebem o nome de linhas equipotenciais, as quais se referem ao potencial vetor 
magnético A
r
, que é definido por: 
 
B A= ∇×
rr
 
 
• Preâmbulo 2: O Material Ferromagnético 
 Para entendermos o comportamento magnético de um material ferromagnético, vamos 
iniciar com o que ocorre a nível atômico. Para tanto, vamos utilizar o modelo de Bohr para um 
átomo simples composto do núcleo e de um elétron, conforme mostrado na figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Modelo de Bohr 
 
 Por esse modelo, o átomo produz um campo magnético gerado pela órbita do elétronem 
torno do núcleo e pelo spin do elétron, de forma que, pela ação destes dois fenômenos, o átomo 
possui um momento magnético, ou seja, ele é um dipolo magnético ou um minúsculo ímã. 
 Nos materiais ferromagnéticos, por conta de uma interação quântica, esses dipolos se 
agrupam e formam domínios e cada domínio possui um único momento magnético. A figura 3, feita 
por microscópio eletrônico numa amostra de chapa de Fe, mostra claramente as divisões entre os 
domínios. As setas indicam os momentos magnéticos dos domínios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Domínios magnéticos numa chapa de Fe 
 
 Sem nenhuma excitação externa, os momentos magnéticos dos domínios estão orientados 
aleatoriamente, o que faz com que, em termo macroscópico, uma chapa de Fe, por exemplo, não 
tenha um momento preferencial, uma vez que os momentos dos domínios se cancelam entre si. 
 Todavia, na presença de um campo magnético externo, os momentos magnéticos dos 
domínios de um material ferromagnético tendem a se alinhar com esse campo e quanto maior o 
campo, maior o número de domínios com os momentos alinhados. 
 6
 A figura 4 apresenta, esquematicamente, essa dinâmica de alinhamento dos momentos 
magnéticos num material ferromagnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a. sem campo externo b. com campo externo 
Figura 4: Influência do campo externo nos momentos magnéticos 
 
 Essa característica de alinhamento dos momentos magnéticos na presença de um campo 
externo faz com que as linhas de campo passem preferencialmente pelo material ferromagnético, 
aumentando o valor do fluxo Φ e da indução B
r
 no seu interior. 
 Para ilustrar essa propriedade, a figura 5a mostra uma distribuição das linhas de campo de 
B
r
 no ar (por exemplo, podemos imaginar que se trata do magnetismo da Terra). A presença de um 
material ferromagnético altera essa distribuição, fazendo com que as linhas de campo passem 
preferencialmente pelo material ferromagnético, o que é ilustrado na figura 5b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a. No ar b. Na presença de material ferromagnético 
Figura 2: Linhas de campo de B
r
 
 
 Os materiais ferromagnéticos mais conhecidos são o Fe e suas ligas, como o FeSi, FeNi etc. 
Esses materiais são muito utilizados em dispositivos eletromecânicos (máquinas elétricas, 
atuadores, transformadores, etc) com o intuito de “canalizar” e aumentar o valor da indução B
r
 e do 
fluxo magnético Φ. 
 Essa propriedade de facilitar a passagem das linhas de campo é quantificada pela grandeza 
conhecida como permeabilidade magnética a qual é representada pela letra grega μ. Para se ter uma 
idéia, a permeabilidade magnética do ar, conhecida por 0μ , vale 
7
0 4 .10 [H / m]
−μ = π , enquanto que 
as dos materiais ferromagnéticos são alguns milhares de vezes superior. Normalmente, a 
permeabilidade de um material é representada por seu valor relativo em relação a 0μ , ou seja, 
material
r
0
μ
μ =
μ
. 
 Para este início de curso, os materiais ferromagnéticos serão supostos lineares, isso significa 
que a permeabilidade magnética μ será considerada constante, de forma que a relação constitutiva 
B H= μ
r r
 seja linear. Na prática, essa relação é não-linear devido a duas características dos materiais 
B
r
 B
r
externoH
r
 7
ferromagnéticos conhecidas por saturação magnética e histerese. Mas a não linearidade não será 
tratada neste início de curso. 
 
 
• O Circuito Magnético – Equação Básica 
 Para entendermos o desenvolvimento matemático, vamos admitir um indutor composto de 
um núcleo ferromagnético e uma bobina de N espiras, conforme mostrado na figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Indutor 
 
 A figura 4a mostra a representação bidimensional desse indutor. Fazendo uma corrente I 
circular pela bobina, no sentido indicado na figura 4a, sabemos, pela “regra da mão direita”, que 
surge um campo magnético H
r
no interior do núcleo ferromagnético no sentido horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a. Linhas de campo de H
r
 b. Caminho médio ℓm 
Figura 4: Núcleo ferromagnético 
 
 Vamos adotar um caminho médio ℓm, conforme indicado na figura 4b, e aplicar a equação 
de Maxwell que rege essa situação, qual seja, Hd NI=∫l
rr
l . Considerando um campo magnético 
médio Hm sobre o caminho ℓm, a integral toma a forma: 
 
Hm. ℓm=NI (1) 
 
 Sabemos, da relação constitutiva, que B H= μ
r r
, assim: 
 
 m m
1 B NI=
μ
l (2) 
 
 
Núcleo 
Ferromagnético 
Bobina 
N espiras 
Seção 
Transversal 
ℓm 
 8
 Multiplicando e dividindo o termo à esquerda pela seção transversal S do núcleo, temos: 
 
m m
1 B S NI
S
=
μ
l (3) 
 
 A parcela BmS pode ser admitida como o fluxo magnético Φ no núcleo (lembrar que 
S
BdSΦ = ∫
rr
). O termo 1 = ν
μ
 é conhecido como relutividade magnética. Então: 
m NI
S
ν Φ =
l (4) 
 Note que o termo m
S
ν
l é similar à expressão de resistência elétrica de um fio, cond
cond
R
S
= ρ
l . 
Por analogia, podemos chamar m
S
ℜ = ν
l de Relutância Magnética do núcleo ferromagnético e a 
expressão final fica na forma: 
mmℑ =ℜΦ (5) 
 
Na qual mm NIℑ = é conhecida como Força Magneto-Motriz. Repare que a expressão (5) é 
composta apenas de grandezas escalares. 
 
• O Circuito Magnético – Analogia com o Circuito Elétrico 
 
 Observando a equação (5), é imediata a sua associação com a Lei de Ohm. De fato, se 
fizermos uma analogia entre ambas, podemos construir a Tabela I apresentada a seguir. 
 
Tabela I: Analogia entre Circuito Magnético e Circuito Elétrico 
Circuito Magnético Circuito Elétrico 
mmℑ =ℜΦ em RIℑ = 
mm NIℑ = : Força magneto-motriz [A esp] emℑ : Força eletromotriz [V] 
ℜ : Relutância magnética [Aesp/Wb] ou [H-1] R: Resistência elétrica [Ω] 
Φ : Fluxo magnético [Wb] I: Corrente [A] 
μ: Permeabilidade magnética [H/m] σ: Condutividade elétrica [S/m] 
1
ν =
μ
: Relutividade magnética [H-1m] 1ρ =
σ
: Resistividade elétrica [Ωm] 
 
 
 
 
 
 
 
 
mmℑ 
Φ ℜ 
emℑ 
I R
 9
4. Indutância Própria 
 
 Para o indutor da figura 3, com uma bobina de N espiras, podemos determinar a sua 
indutância própria a partir da definição de indutância própria, qual seja: 
 
NL
I
Φ
= (6) 
 
Da expressão (5), obtemos que mmℑΦ =
ℜ
 ou, NIΦ =
ℜ
 e a expressão (6) resulta: 
 
2NL =
ℜ
 (7) 
 
 Portanto, da expressão (7), observamos que a indutância própria do indutor: 
 
- é diretamente proporcional ao quadrado do número de espiras N; 
 
- é inversamente proporcional à relutância, ou seja, quanto maior a permeabilidade 
magnética do núcleo, menor será a relutância e maior será a indutância própria. Portanto, 
indutores com núcleo ferromagnético têm indutâncias próprias bem superiores àqueles 
com núcleo de ar. 
 
• Exemplos Numéricos 
 
Para consolidar o que já foi visto, vamos realizar dois exemplos numéricos e observar a 
importância do circuito magnético na indutância própria do indutor. 
 
Exemplo 1 – Núcleo fechado: 
 
Vamos considerar o indutor ao lado. 
 
Sabe-se que: 
- Número de espiras: 100 
- Resistência ôhmica da bobina: 2,5 Ω 
- Permeabilidade relativa do material do núcleo: μr = 1000 
 
Pede-se: 
- A indutância própria do indutor 
- O modelo por circuito elétrico deste indutor 
 
Resolução: 
 
Pelas dimensões do núcleo ferromagnético, obtemos: 
 
- Seção transversal: S = (20x20).10-6 m2 
 
- ℓm = (4x60).10-3 + (2.π.10).10-3 =0,303m (reparar na Fig.3a que as linhas de campo H são 
curvilíneas nos cantos do núcleo. Por isso o comprimento médio foi aproximado por um quarto de 
circunferência em cada canto). 
 
100 mm 
60 mm 
20 mm
 10
A relutância magnética do núcleo, m
S
ℜ = ν
l , fica: 
5 1
4
0
1 0,303 6,03.10 H
1000 4.10
−
−
⎡ ⎤ℜ = ⋅ = ⎣ ⎦μ
 
 
E a indutância resulta: [ ]
2 2
5
N 100L 16,58 mH
6,03.10
= = ≅
ℜ
 
O modelo do indutor em termos de circuito elétrico fica: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 – Núcleo com entreferro: 
 
Vamos considerar que o mesmo indutor do exemplo 1 
possui, agora, um entreferro de 1mm, conforme 
mostrado na figuraao lado. 
 
Pede-se a indutância própria deste indutor. 
 
Resolução: 
 
Da mesma forma que o exemplo1, vamos iniciar pela 
determinação do circuito magnético. 
Repare que, com a introdução do entreferro, o circuito magnético passa a apresentar duas 
relutâncias em série, ou seja, uma referente ao núcleo ( ferroℜ ) e outra referente ao entreferro ( arℜ ). 
Esquematicamente: 
Sendo: 5 -1ferro 4
0
1 0,302 6,01.10 [H ]
1000 4.10−
ℜ = ⋅ =
μ
 
 
 5 -1ar 4
0
1 0,001 19,89.10 [H ]
4.10−
ℜ = ⋅ =
μ
 
 
Então, a relutância total do circuito fica: ( ) 5 5 -1total 6,01 19,89 .10 25,90.10 [H ]−ℜ = + = 
E a indutância: 
2
5
100L 3,86 [mH]
25,90.10
= = 
 
Note que a inclusão de um entreferro de 1mm apenas, ocasionou uma drástica redução na 
indutância própria do indutor. 
 
 
5. Alimentação em Corrente Contínua e em Corrente Alternada (senoidal) 
 
 O intuito deste item é mostrar o procedimento de análise do indutor quando alimentado por 
uma fonte de tensão contínua ou alternada (senoidal). Para este último caso será desenvolvida a 
expressão da força contra-eletromotriz que aparece devido à variação temporal do fluxo magnético. 
2,5 Ω
16,58 mH
1mm
 11
• Alimentação em corrente contínua 
 
 Vamos admitir que o indutor do exemplo 1 anterior seja alimentado por uma fonte de tensão 
contínua de 10 V e deseja-se saber a corrente I que percorre a bobina e o fluxo magnético Φ que 
passa pelo núcleo ferromagnético. 
 O melhor método para abordar o problema é utilizando o modelo por circuito elétrico, o que 
nos dá a seguinte configuração: 
 
 
 
 A determinação da corrente I é feita pela análise desse circuito elétrico, o que fornece a 
expressão: 
( ) ( ) ( )dI tV t RI t L
dt
= + 
 
 Por estarmos com uma alimentação em corrente contínua e admitindo a situação em regime 
(não em transitório), o termo dIL 0
dt
= e ficamos com o resultado 10I 4A
2,5
= = , ou seja, a corrente é 
apenas limitada pela resistência ôhmica da bobina. 
 
 O fluxo magnético é obtido pela expressão (5): 
 
5
5
NI 100.4mm 66,33.10 Wb
6,03.10
−ℑ = ℜΦ⇒Φ = = =
ℜ
 
 
• Alimentação em corrente alternada - tensão senoidal 
 
 Vamos admitir, agora, que o indutor do exemplo 1 é alimentado por uma fonte de tensão 
senoidal de valor eficaz 10 V e freqüência de 60 Hz. Nesse caso, o circuito elétrico correspondente 
fica: 
 
 
 
 E a equação ( ) ( ) ( )dI tV t RI t L
dt
= + , para alimentação senoidal, pode ser colocada na 
representação por números complexos, ou seja: 
V RI j LI= + ω& & & 
Sendo: j 1= − ; 2 fω = π e V& e I& grandezas complexas. O termo LL Xω = é chamado de Reatância 
Indutiva e sua unidade é [Ω]. 
 
 12
 Admitindo que a fonte de tensão tenha fase zero, ou seja, oV 10 0 V=& , o circuito pode ser 
resumido a: 
 
 
A impedância Z& é da forma ( )LZ R jX= +& ou, numericamente, ( )Z 2,5 j6, 25= + Ω& . 
Na forma polar: oZ 6,73 68, 20= Ω& e a corrente: 
o
o
o
10 0I 1, 49 68, 20 A
6,73 68, 20
= = −& 
 
Para a determinação do fluxo magnético Φ, temos duas possibilidades: 
 
1. utilizando a expressão (5), o que dá: 55
100.1,49 24,71.10 Wb
6,03.10
−Φ = = (valor eficaz) 
2. utilizando a expressão da força contra-eletromotriz E& sobre o indutor. 
 
Lembrando que ( ) ( )d tE t N
dt
Φ
= − e considerando que o fluxo é senoidal no tempo, ou seja: 
 
( ) maxt sen tΦ = Φ ω 
 
Temos: ( ) ( )max max
d sen t
E t N N cos t
dt
Φ ω
= − = − Φ ω ω (8) 
 
Ou seja, E(t) e Φ(t) possuem a mesma forma de onda, mas estão defasadas entre si de 90˚. 
 
O valor eficaz da expressão (8) é: maxeficaz max
E 1E N
2 2
= = Φ ω 
 
Lembrando que 2 fω = π , temos que: 
eficaz maxE E 4,44fN= = Φ& (9) 
 
Guarde e entenda a expressão (9) muito bem, pois ela será muito utilizada ao longo do curso! 
 
Voltando ao nosso problema, sabemos que a tensão E& pode ser obtida por: 
22
RE 10 V= − Δ& & 
Sendo que, a queda de tensão RVΔ & é determinada por RV R I 2,5 1,49 3,725VΔ = ⋅ = ⋅ =& & 
 
E a tensão E& resulta: 2 2E 10 3,725 9,28V= − ≅& 
 
 13
Substituindo em (9), temos: 5max
9, 28 34,83.10 Wb
4,44.100.60
−Φ = ≅ . 
Cujo valor eficaz é: 
5
5max
eficaz
34,83.10 24,63.10 Wb
2 2
−
−ΦΦ = = = , que, a menos de arredondamento, 
é o mesmo valor obtido pelo método 1. 
 
 Pelos exemplos anteriores, fica evidente a operação distinta do indutor para cada caso de 
alimentação e a forma como o fluxo, que é uma grandeza difícil de ser medida diretamente, pode 
ser obtida. 
 Note que, no exemplo 2, o fluxo pode ser obtido de forma indireta, mesmo não se 
conhecendo o valor da indutância do indutor, apenas pelos valores da tensão de alimentação, da 
corrente e da resistência ôhmica da bobina, que são grandezas de fácil obtenção por ensaio. 
 
6. Fluxo de Dispersão e Fluxo Mútuo 
 
 Usando a configuração idealizada da figura 3a, vamos introduzir uma segunda bobina no 
circuito magnético, conforme mostrado na figura 4. Essa segunda bobina está “em aberto”, ou seja, 
seus terminais não estão conectados a nenhuma fonte ou carga e, portanto, a corrente que passa por 
ela é 2I 0= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Núcleo ferromagnético com duas bobinas 
 
 Note que, nessa configuração, todo o fluxo produzido pela bobina 1 (da esquerda) passa pelo 
núcleo ferromagnético e atravessa a bobina 2. A esse fluxo comum entre as bobinas 1 e 2 dá-se o 
nome de fluxo mútuo. 
 
 Outra definição muito utilizada é a de fluxo concatenado. Fluxo concatenado é o produto do 
fluxo que atravessa a bobina pelo número de espiras dessa bobina. Assim, para as bobinas 1 e 2 da 
figura 4, temos os respectivos fluxos concatenados, λ1=N1Φ e λ2=N2Φ. 
 
 Todavia, é importante esclarecer que o modelo adotado até aqui, no qual o fluxo magnético 
passa exclusivamente pelo núcleo ferromagnético, é uma simplificação da realidade. Por maior que 
seja a permeabilidade magnética de um material ferromagnético, isso não ocorre na prática. Sempre 
haverá uma parcela do fluxo que passará pelo ar, conforme mostrado na figura 5 a seguir. 
 
 Pela própria figura 5 fica clara a necessidade dessa simplificação inicial, pois a existência de 
diversos caminhos pelo ar torna complexo o cálculo da integral Hd∫
rr
l . O fato de considerarmos o 
fluxo passando apenas no núcleo permite que usemos o argumento dos valores médios, Hm e ℓm, 
conforme a equação (1). 
 
Bobina 1 
N1 espiras 
Bobina 2 
N2 espiras 
Fluxo Φ
 14
 Com essa nova configuração, mostrada na figura 5, o fluxo que atravessa a bobina 1 é maior 
que o fluxo mútuo, em outras palavras, o fluxo que atravessa a bobina 1 é a soma do fluxo mútuo 
mais o fluxo que passa no ar. 
 
 A esse fluxo que passa pelo ar e não se concatena com a bobina 2 é dado o nome de fluxo 
de dispersão ( dΦ ). 
 
 Expressando matematicamente os fluxos concatenados, temos: 
 
λ1=N1(Φm+Φd) 
 
λ2=N2Φm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Fluxo Mútuo e Fluxo de Dispersão 
 
 É importante ressaltar que, pelo fato de passar pelo ar, que tem uma permeabilidade baixa, o 
fluxo de dispersão tem um valor significativamente inferior ao fluxo que passa no núcleo. 
 
 
7. Indutância Mútua 
 
 A colocação de mais uma bobina no núcleo impôs a necessidade de definirmos o fluxo 
mútuo entre as bobinas. Por conseqüência, podemos também definir uma indutância mútua 
associada a esse fluxo, que é expressa por: 
 
2
m
12 2
1 I 0
M N
I
=
Φ
= (10) 
Linhas do Fluxo de 
Dispersão Φd 
Fluxo Mútuo 
Φm 
 15
 Note que a indutância mútua M12 foi definida alimentando-se a bobina 1 e deixando a 
bobina 2 em aberto (I2=0). Podemos, entretanto, também definir uma indutância mútua (M21) 
alimentando-se a bobina 2 e deixando a bobina 1 em aberto. 
 No exemplo em questão, devido à simetria e à regularidade do caminho magnético para o 
fluxo mútuo entre as bobinas 1 e 2, podemos assumir que M12=M21=M. 
 
• Determinação dos fluxos mútuo e de dispersão em casos de alimentação senoidal 
 
 Vamos supor que a estrutura da figura 5 tem a bobina 1 alimentada por umafonte de tensão 
senoidal de valor eficaz 10 V e freqüência 60 Hz. Na bobina 2, em aberto, é conectado um 
voltímetro. Nessa situação, uma corrente senoidal I=2 A (valor eficaz) percorre a bobina 1. A 
figura 6 mostra essa configuração. 
 
 
Dados adicionais: 
Resistência da Bobina 1: R1=1Ω 
Resistência da Bobina 2: R2=1Ω 
Leitura do voltímetro: V2=15 V 
Número de espiras N1=100 
Número de espiras N2=200 
 
Pede-se: 
O valor da Indutância própria L1 
O valor da Indutância Mútua 
Os fluxos total, mútuo e de dispersão 
 
 Figura 6: Núcleo com alimentação senoidal 
 
Resolução: 
 
 O circuito elétrico para o exemplo em questão, considerando a indutância mútua, é 
apresentado na figura 7. 
 
 
 
Figura 7: Circuito elétrico com mútua 
 
Determinação da Indutância da Bobina 1 (L1): 
 
 A equação associada com a bobina 1, obtida pela análise do circuito da figura 7 é: 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )1 2
1 1 1 1
dI t dI t
V t R I t L M
dt dt
E t1
= + ±
14243
 (11) 
 
Lembrando que I2=0 e a alimentação é senoidal, a equação (11) pode ser colocada na forma: 
 16
 
1 1 1 1 1V R I jX I= +& & & ou ( )1 1 1 1
1
V R jX I
Z
= +& &
14243
&
 
Assim: 11
1
V 10Z 5
2I
= = = Ω
&
&
&
 e a reatância X1 é obtida por: 
2 2
1 1 1X Z R 25 1 4,90= − = − ≅ Ω& 
E a indutância L1 fica: 11
X 4,90L 13mH
2 f 2 60
= = ≅
π π
 
 
Determinação da Indutância Mútua (M): 
 
 A indutância mútua M é determinada utilizando-se a equação de circuito elétrico referente à 
bobina 2, qual seja: 
( ) ( ) ( )
( )
( )2 1
2 2 22
2
dI t dI t
V t R I t L M
dt dt
E t
= + ±
14243
 (12) 
Pelo fato de I2=0 e estarmos considerando grandezas senoidais, a expressão (12) toma a forma: 
 
2 M 1V X I=& & 
E a indutância mútua M é obtida por: 2
1
V1 1 15M 19,89mH
2 60 2 60 2I
= ⋅ = ⋅ ≅
π π
&
&
 
 
Determinação do Fluxo Mútuo (Φm): 
 
 Para a determinação do fluxo mútuo Φm, podemos partir da definição de indutância mútua: 
 
2
m
12 2
1 I 0
M N
I
=
Φ
= 
Isolando Φm, temos: 
3
41
m
2
MI 19,89.10 .2 1,99.10 Wb
N 200
−
−Φ = = ≅ (valor eficaz). 
 
 Uma outra forma de resolver é utilizando a expressão (9), uma vez que I2=0. 
 
Assim: 42 2 mutuo _ max mutuo _ max
15V 4,44fN 2,82.10 Wb
4,44.60.200
−= Φ ⇒ Φ = ≅& (valor de pico) 
 
Em valor eficaz: mutuo _ max 4m 1,99.10 Wb2
−ΦΦ = ≅ , que é o mesmo valor obtido anteriormente. 
 
Determinação do Fluxo Total (Φt): 
 
 Pela figura 5, observamos que o fluxo total Φt, que é a soma do fluxo mútuo Φm com o fluxo 
de dispersão Φd, é criado pela bobina 1, portanto é esse fluxo que induz a tensão 1E& . Assim, temos 
duas formas de determinar Φt: 
 17
1. utilizando a definição da indutância própria L1, ou seja, 1 11
1
NL
I
Φ
= , no qual Φ1= Φt 
 Numericamente: 
3
4
t
13.10 .2 2,60.10 Wb
100
−
−Φ = = (valor eficaz) 
 
2. utilizando a expressão (9) de forma que: 1 1 t _ maxE 4,44fN= Φ& , mas 
2 2
1 1 1E V V= − Δ& & & 
 Numericamente: 2 21E 10 2 9,8V= − ≅& e 
4
t _ max
9,8 3,68.10 Wb
4,44.100.60
−Φ = ≅ 
 E o valor eficaz é: t _ max 4t 2,60.10 Wb2
−ΦΦ = = 
 
Determinação do Fluxo de Dispersão (Φd): 
 
 O fluxo de dispersão Φd é obtido pela subtração: d t mΦ = Φ −Φ , ou seja: 
 
( ) 4 4d 2,60 1,99 .10 0,61.10 Wb− −Φ = − = (valor eficaz) 
 
 É importante esclarecer que, para o exemplo dado, esta é a única maneira de se determinar 
Φd, uma vez que no circuito elétrico adotado na figura 7 não há nenhuma tensão associada a esse 
fluxo. 
 Apenas a título de esclarecimento, os fluxos descritos neste exemplo, por serem também 
senoidalmente variáveis no tempo, devem ser tratados como grandezas complexas. Entretanto, 
como apenas os módulos são utilizados, foi abolida a notação complexa (ex: dΦ& ). 
 Dito isso, a subtração d t mΦ = Φ −Φ é uma operação com grandezas complexas, mas como 
os três fluxos têm a mesma fase, pois são todos produzidos pela mesma corrente, a utilização apenas 
dos módulos é aceitável. 
 
Considerações finais sobre o exemplo: 
 
 O exemplo apresentado, no qual duas bobinas são instaladas num núcleo ferromagnético, é 
uma antecipação de um dos dispositivos mais importantes na engenharia elétrica que é o 
transformador. O transformador, que se baseia no fenômeno da tensão induzida gerada por um fluxo 
mútuo variável no tempo (Lei de Faraday), é fundamentalmente utilizado para a variação de 
grandezas elétricas de uma bobina para outra. 
 Repare que no exemplo em questão, a tensão aplicada na bobina 1 é de 10V e na bobina 2 
surge uma tensão induzida de 15V. 
 Embora a modelagem utilizada no exemplo tenha se valido da indutância mútua, essa não é 
a modelagem mais utilizada, na prática, para transformadores. 
 Mas esse desenvolvimento deixaremos para as próximas aulas! 
 
 
8. Referências Bibliográficas: 
 
1. Eletromecânica – vol. I, Aurio Gilberto Falcone, ISBN: 85-212-0025-0, 1985. 
 18
 
ANEXO I 
 
Tabela I: Equações de Maxwell 
Forma Integral Forma Diferencial 
s s
dHd JdS DdS
dt
= +∫ ∫ ∫l
r r rr r r
l dDH J
dt
∇× = +
r
r r
 
S
BdS 0=∫
rr
 B 0∇⋅ =
r
 
s
dEd BdS
dt
= −∫ ∫l
r rr r
l dBE
dt
∇× = −
r
r
 
S v
DdS dV= ρ∫ ∫
rr
 D∇⋅ = ρ
r
 
 
 
Tabela II: Equações complementares 
Relações Constitutivas Equações Auxiliares 
D E= ε
r r
 J 0∇⋅ =
r
 
B H= μ
r r
 E V= −∇
r
 
J E= σ
r r
 s BdSΦ = ∫
rr
 
 
s
I JdS= ∫
rr
 
 
 
Tabela III: Grandezas Eletromagnéticas 
Símbolo Denominação Unidade 
H
r
 Intensidade Campo Magnético A/m 
B
r
 Densidade de Fluxo Magnético ou Vetor Indução Magnética T 
E
r
 Campo Elétrico V/m 
D
r
 Densidade de Fluxo Elétrico ou Vetor Deslocamento Elétrico C/m
2 
J
r
 Densidade de Corrente Elétrica A/m
2 
V Diferença de Potencial ou Tensão Elétrica V 
ρ Densidade Volumétrica de Carga C/m3 
σ Condutividade Elétrica S/m 
μ Permeabilidade Magnética H/m 
Φ Fluxo Magnético Wb 
I Corrente Elétrica A