Limites em Cálculo para Farmácia

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Gabriella Cardoso Nobre – Farmácia 015 
 
Limites 
 
Por que estudar limites se estou em 
farmácia? 
A ideia de limite é um conceito básico no 
Cálculo, seu estudo ajuda a compreender o 
comportamento de uma população de longo 
prazo, a taxa de crescimento de um tumor ou, 
até mesmo, a área de uma folha. 
DEFINIÇÃO INFORMAL 
Este tipo de cálculo busca o que acontece com 
a função quando x se aproxima de um valor de 
F(x) = Y. Diz-se que o limite de uma função 
qualquer, nesse caso a F(x), será um número L 
que será obtido ao comparar valores abaixo ou 
acima de um número de referência. Dessa 
forma, de todos os números obtidos pela 
simulação, L será o que mais aparece nas 
tendências. 
Exemplo: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
 
𝑥 − 1
√𝑥 − 1
 
 
Lê-se: Limite de x menos 1 sobre raiz de x menos 1 com 
x tendendo a 1. 
A princípio ele pede números inferiores e 
maiores que 1 e necessariamente diferentes 
de 1 e próximos a ele. 
Sabendo disso, vamos construir nossa linha de 
raciocínio. 
 
Nessa linha temos valores aleatórios, 
necessariamente diferentes de 1 e próximos a 
1, ou seja, x valor que tende a 1. Sabendo com 
quais quer trabalhar, basta simular e 
identificar, com base na função F(x), o valor 
obtido para cada simulação. 
 
X F(x) = Y 
0,5 1,7 
0,9 1,94 
0,99 1,99 
1,01 2,00 
1,05 2,02 
1,09 2,04 
Nessa tabela, pode-se ver que os valores de x 
quando simulados em F(x) tendem a um valor 
específico. Para números inferiores a 1 eles 
está por volta de 1,9. Mas para valores acima 
de 1 encontramos o 2,0. Dessa forma, o limite 
de valores que tendem a 1 é 2. Já que em todas 
as simulações os números se aproximam de 2. 
lim 
𝑥→1
𝑥−1
√𝑥−1
= 2
 
NOTAÇÕES 
(1) 𝑥 → 𝑎+ (lê -se “x tende a a pela direita”) → significa que os números a serem analisados se 
aproximam de a pelo lado direito da régua. 
(2) 𝑥 → 𝛼− (lê-se “x tende a a pela esquerda”) → significa que os números a serem analisados se 
aproximam de a pelo lado esquerdo da régua. 
(3) 𝑥 → 𝑎 → significa que os números a serem analisados se aproximam de a por ambos os lados 
(direito e esquerdo). 
(4) 𝑥 → +∞ → significa que x se aproxima do infinito no quadrante positivo em determinada função. 
(5) 𝑥 → −∞ → significa que x se aproxima do infinito no quadrante negativo em determinada função. 
 
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TEOREMAS 
TEOREMA DA UNICIDADE 
Para um limite quando x → a existir este deve ter ambos os limites laterais iguais. Se forem, o 
limite x→ a será igual ao valor encontrado. 
lim
𝑥⟶𝑎−
𝐹(𝑥) = lim
𝑥⟶𝑎+
𝐹(𝑥) = lim
𝑥⟶𝑎
𝐹(𝑥) = 𝐿 
TEOREMA DO CONFRONTO 
Quando não conseguimos achar o valor de algum limite 
talvez possamos usar o teorema do confronto (ou teorema 
do sanduíche como também é conhecido), que em sua base 
é uma função (f(x)) cujo valor é determinada entre duas 
funções (h(x) e g(x)), como podemos ver no gráfico: 
Esse teorema funciona somente quando: 
[ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 
[ lim
𝑥⟶𝑋𝑜
ℎ(𝑥) = lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝑔(𝑥) 
TEOREMA DE FUNÇÕES POLINOMIAIS 
Os limites de funções polinomiais podem ser obtidos por substituição da incógnita pelo valor que x 
tende. 
TEOREMA DAS CONSTANTES 
O limite de uma constante é sempre o valor da constante. 
Exemplo: lim
𝑥⟶2
7 = 7 
TEOREMAS DE FUNÇÕES RACIONAIS 
Os limites podem ser obtidos por substituição desde que o limite do denominador não seja 0. 
ÁLGEBRA DOS LIMITES 
Se lim
𝑥⟶𝑋0
𝐹(𝑥) = 𝐴 lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐺(𝑥) = 𝐵, então; 
Soma 
lim
𝑥⟶𝑋𝑜
[𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥)] = 𝐴 + 𝐵 = lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐹(𝑥) + lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐺(𝑥) 
Subtração 
lim
𝑥⟶𝑋𝑜
[𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)] = 𝐴 − 𝐵 = lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐹(𝑥) − lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐺(𝑥) 
 
 
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Multiplicação 
lim
𝑥⟶𝑋𝑜
[𝐹(𝑥) ∗ 𝐺(𝑥)] = 𝐴 ∗ 𝐵 = [ lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐹(𝑥)] ∗ [ lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐺(𝑥)] 
Constante 
lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝑘 ∗ 𝐹(𝑥) = 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝐾 ∗ [ lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐹(𝑥)] ; 𝐾 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙 
Divisão 
lim
𝑥⟶𝑋𝑜
1
𝐺(𝑥)
=
1
𝐵
 𝑒 lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
=
𝐴
𝐵
= 
lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐹(𝑥)
lim
𝑥⟶𝑋𝑜
𝐺(𝑥)
 ; 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐵 ≠ 0 
 
FORMAS INDERTEMINADAS DE UM LIMITE 
Na matemática, quando uma conta resulta nos seguintes resultados ela será considerada 
indeterminada: 
0
0
 ; 
∞
∞
 ; ∞ − ∞ ; 01 ; ∞0 ; 1∞ 
 
LIMITES INDERTEMINADOS 
Para um limite ser indefinido, seu resultado, ao substituir a incógnita pelo valor que x tende, será 
indeterminado. 
Exemplo: 
Quando isso acontecer devemos manipular a equação de forma que seu resultado passe a não ser 
indeterminado. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥2 − 1
𝑥3 + 1
=
0
0
 → 
(𝑥2 − 12)
(𝑥3 − 13)
=
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 12)
=
𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 + 1
=
(−1) − 1
(−1)2 − (−1) + 1
=
−2
3
= −
2
3
Formas de manipular limites 
Cancelando um Fator Comum 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒙𝟐 − 𝟒
𝒙 − 𝟐
= 
𝟎
𝟎
 
Para resolver expressões assim devemos manipulá-la com propriedades de fatoração algébrica. Em 
seguida, substituiremos a incógnita pelo valor que x tende, neste caso, o número 2. 
lim
𝑥→2
(𝑥2 − 22)
𝑥 − 2
= 
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= 
𝑥 + 2
1
= 2 + 2 = 4 
Neste caso, conseguimos rearranjar a equação de forma que o limite real é 4. 
 
Exercício 1: Tente encontrar o limite real de: 
lim
𝑡⟶−5
𝑡2 + 3𝑡 − 10
𝑡 + 5
= 
0
0
 
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Resposta: 
(𝑡+5)(𝑡−2)
(𝑡+5)
= 𝑡 − 2 = (−5) − 2 = −𝟕 
 
Desenvolvendo o numerador e simplificando 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝟎
(𝟐 + 𝒙 )𝟐 − 𝟒
𝒙
= 
𝟎
𝟎
 
Neste caso vamos abrir a fatoração de (2 + x)2. 
lim
𝑥⟶0
(2 + 𝑥)𝑥 − 4
𝑥
= 
(22 + 2 ∗ 22 ∗ 𝑥 − 22) − 4
𝑥
=
4 + 𝑥2
1
= 4 + 02 = 4 
Vimos então que o limite real quando x tende a 0 é igual a 4. 
 
Racionalizando o numerador 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶−𝟑
√𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 − 𝟐
𝒙 + 𝟑
=
𝟎
𝟎
 
 
Para resolver vamos racionalizar o (√𝑥2 + 𝑥 − 2 − 2) pelo seu conjugado. 
lim
𝑥⟶−3
√𝑥2 + 𝑥 − 2 − 2
𝑥 + 3
∗
(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + 2)
(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + 2)
=
[(√𝑥2 + 𝑥 − 2)2 − (2)2]
(𝑥 + 3)(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + 2)
=
𝑥2 + 𝑥 − 2 − 4
(𝑥 + 3)(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + 2)
= 
𝑥2 + 𝑥 − 6
(𝑥 + 3)(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + 2)
=
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
(𝑥 + 3)(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + 2)
=
𝑥 − 2
(√𝑥2 + 𝑥 − 2 + 2)
= (𝑥 = −3) = −
5
4
 
 
LIMITES NO INFINITO 
São aqueles em que a variável da função tende ao infinito e representamos de duas formas: 
𝑥 ⟶ +∞ ; 𝑥 ⟶ −∞ 
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As propriedades permanecem inalteradas nesse tipo de limite. 
TEOREMA 
Se n é um número inteiro positivo, então: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶ + ∞
𝟏
𝒏𝒏
= 𝟎 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶ −∞
𝟏
𝒏𝒏
= 𝟎 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶ + ∞
𝑲 = 𝑲 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶ − ∞
𝑲 = 𝑲 
 
LIMITES NO INFINITO DE FUNÇÕES RACIONAIS 
Podemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de n que aparece no denominador. 
(1) Denominador com mesmo grau 
lim
𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥⟶+∞
3𝒙𝟐 + 5𝑥 − 3
2𝒙𝟐 + 1
 
÷ (𝑥2)
÷ (𝑥2)
= 
3 +
5
𝑥 −
3
𝑥2
2 +
1
𝑥2
=
lim
𝑥→+∞
3 + lim
𝑥→+∞
5
𝑥 − lim𝑥→+∞
3
𝑥2
lim
𝑥→+∞
2 + lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
=
3 + 0 − 0
2 + 0
=
3
2
 
(2) Grau do numerador menor que o grau do denominador 
Neste caso, divide-se pelo maior grau do denominador. 
lim
𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥⟶−∞
2𝑥 + 3
3𝑥3 − 2
 
÷ (𝑥3)
÷ (𝑥3)
= 
2
𝑥2
+
3
𝑥3
3 −
2
𝑥3
=
lim
𝑥→−∞
2
𝑥2
+ lim
𝑥→−∞
3
𝑥3
lim
𝑥→−∞
3 − lim
𝑥→−∞
2
𝑥3
=
0 + 0
3 + 0
=
0
3
= 0 
(3) Grau do numerador é maior que o grau do denominador 
Neste caso, divide-se pelo maior grau do denominador. 
lim
𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥⟶−∞
2𝑥2 + 4𝑥 − 5
3𝑥 + 4
 
÷ (𝑥)
÷ (𝑥)
= 
2
𝑥 + 4 −
5
𝑥
3 +
4
𝑥
=
lim
𝑥→−∞
2
𝑥 + lim𝑥→−∞
4 − lim
𝑥→−∞
5
𝑥
lim
𝑥→−∞
3 + lim
𝑥→−∞
4
𝑥
=
−∞ + 4 − 0
3 + 0
=
−∞
3
= −∞ 
OBS: No cálculo de limites no infinito de funções racionais, podemos considerar apenas o limite no 
infinito entre termos de maiores graus, tanto no numerador, quantono denominador. 
lim
𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥⟶+∞
3𝑥5 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 1
2𝑥7 + 5𝑥3 − 2𝑥2
 = 
3𝑥5
2𝑥7
 
÷ 𝑥7
÷ 𝑥7
=
3
𝑥5
2
=
lim
𝑥→+∞
3
𝑥5
lim
𝑥→+∞
2
=
0
2
= 0 
 
 
 
 
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LIMITES INFINITOS 
É quando os valores de f (x) ficarem tão grande quanto quisermos tomando valor de x suficientemente 
próximos a a, mas diferentes de a. 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ± ∞ 
 
TEOREMA 
Se n é um número inteiro positivo, então: 
lim
𝑥→0+
1
𝑛𝑛
= +∞ lim
𝑥→0−
1
𝑛𝑛
= { 
+∞ ; se n for par
 -∞ ; se n for ímpar
 
 
A representação do infinito é dada pela direção do crescimento da função. Se esta crescer sem cota 
tendendo ao infinito do quadrante positivo será dada por: (+∞). Se estivesse no quadrante negativo 
seria: (−∞). 
 
ASSÍNDETA VERTICAL 
(Limites infinitos) 
Retomando à figura 1, a assíndeta vertical é a reta a = x. Basicamente serve para ilustrar quatro 
situações específicas. Sendo elas: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝐹(𝑥) = +∞ ; 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝐹(𝑥) = +∞ 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝐹(𝑥) = −∞ ; 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝐹(𝑥) = −∞ 
 
 
Em cada caso o gráfico cresce ou decresce sem cota, ajustando-se ainda mais a assíndeta à medida 
que x tende a a pelo lado indicado no limite. 
 
* O termo “assíndeta” vem do grego que significa: “que não se intersecta”. 
 
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ASSÍNDETA HORIZONTAL 
(Limites no infinito) 
Será uma assíndeta horizontal quando o gráfico F(x) se aproxima da reta y = L quando x cresce sem 
cota e, no segundo exemplo, o gráfico de F(x) se aproxima da reta y = L quando x decresce sem cota. 
Se ocorrer algum desses limites podemos dizer que a reta y = L é uma assíndeta horizontal do gráfico 
F(x).