BASES DA MATEMATICA

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DESCRIÇÃO
Interpretação de gráficos e seus principais pontos.
PROPÓSITO
Reconhecer que, na vida cotidiana, muitas quantidades dependem de uma ou mais variáveis; portanto, o
conceito de gráfico das funções torna-se essencial ao profissional, pois os gráficos fazem parte da
comunicação cotidiana e conseguem, muitas vezes, passar informações independentemente de idiomas
locais.
PREPARAÇÃO
Este tema tem como pré-requisito o entendimento das operações com números. Antes de iniciar seus
estudos, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone ou
computador.
javascript:void(0)
CALCULADORA DE SEU SMARTPHONE OU
COMPUTADOR
Existem vários aplicativos disponíveis. Um exemplo desses aplicativos é o Geogebra.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Interpretar os conceitos básicos de intervalo
MÓDULO 2
Identificar pontos no plano
MÓDULO 3
Interpretar as informações contidas em um gráfico
MÓDULO 4
Identificar pontos notáveis de um gráfico
Assista o porquê desse Tema ser fundamental para você.
MÓDULO 1
 Interpretar os conceitos básicos de intervalo
RECONHECIMENTO E CONTEXTO
Este Módulo ficará mais fácil e interessante se você começar assistindo o presente vídeo.
INTRODUÇÃO
No decorrer deste tema, os intervalos merecem destaque. Será necessário que você analise situações
gráficas e localize os melhores momentos – os intervalos – para possíveis intervenções.
A PALAVRA INTERVALO NOS REMETE A UMA FORMA DE
MEDIR.
Quando consideramos o intervalo das 9 às 11 horas, temos todos os minutos, segundos e qualquer
subdivisão de tempo compreendida nesse período.
No contexto matemático, os intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais R.
 EXEMPLO
Todos os valores entre 3 e 5. 
 
Isto significa, por exemplo, que o número irracional π, que é aproximadamente 3,14, pertence a este
intervalo, bem como o número 4, pois eles são maiores que 3 e menores que 5.
É claro que você pode usar a Língua Portuguesa para descrever tais conjuntos, mas a Matemática
também é uma linguagem com características próprias, que serão abordadas ao longo deste tema.
CONCEITOS
Intuitivamente, ao pensar em números reais, você deve imaginar uma reta infinita, onde cada ponto dela
é um número real. Esse objeto será chamado de Reta Real e admite o símbolo R. Essa reta é
organizada de forma crescente do menos infinito ( - ∞ ) ao mais infinito ( + ∞ ).
 
 Reta Real.
UM INTERVALO É UM SUBCONJUNTO DOS NÚMEROS
REAIS.
Para uma representação gráfica desse conceito, adotaremos a seguinte notação:
 
A bola fechada indica que o extremo do intervalo está contido no conjunto.
 
A bola aberta indica, em nossa representação, que o extremo do intervalo não está contido no
conjunto.
Portanto:
 
TRANSFERINDO A LINGUAGEM
Quando tratarmos do conjunto dos números reais, os símbolos:
 
A bola fechada é representada por:
≥ (maior ou igual) e ≤ (menor ou igual) ou [ ] (colchetes)
EXEMPLO
Se x∈R e - 4 ≤ x ≤ 2, isso significa que x pode ser maior que -4 ou igual a -4 e menor que 2 ou igual a 2;
portanto, dentro do intervalo.
 
Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma:
[ − 4 , 2 ] = { X∈R ; − 4 ≤ X ≤ 2 }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, todos os números reais a partir do número -4 até o número 2. Um intervalo que possui as
extremidades é chamado de intervalo fechado.
 
A bola aberta é representada por:
> (maior) e < (menor) ou ( ) (parênteses) ou ] colchetes [
EXEMPLO
Se x∈R e - 4 < , x pode ser maior que -4 e menor que 2. Portanto, os extremos não fazem parte do
conjunto.
 
Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma:
(−4,2)={X∈R;−4<X<2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, todos os números reais depois do número -4 anteriores ao número 2. Um intervalo que não
possui as extremidades é chamado de intervalo aberto.
A amplitude de um intervalo é sempre definida por:
Amplitude=LS−LI
Onde: 
 
LS = Limite superior do intervalo 
LI – Limite inferior do intervalo
Portanto, nos casos anteriores, podemos calcular a amplitude do intervalo subtraindo a extremidade
mais à direita da extremidade mais à esquerda:
2−(-4)=6
Isto é, nos dois casos, o intervalo possui a amplitude de 6 unidades.
Você deve estar se perguntando:
MESMO COM OS INTERVALOS ABERTOS, ONDE AS
EXTREMIDADES NÃO ESTÃO INCLUÍDAS, A AMPLITUDE É
A MESMA DOS INTERVALOS FECHADOS?
A resposta é sim!
Isso acontece porque, mesmo nos intervalos abertos, é possível pensar que podemos ficar bem perto do
limite aberto. Na verdade, podemos ficar “infinitamente” perto de um limite aberto. Logo, a amplitude
(também traduzida na figura como o comprimento do trecho da reta) será igual se o limite for fechado ou
aberto.
Agora, vamos entender as semirretas.
 EXEMPLO
x∈R e x≥6, x pode ser maior que 6 ou igual a 6 e, portanto, estará dentro do intervalo (destacado em
vermelho).
 
Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma:
[6,∞)={X∈R;X≥6}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OU SEJA, TODOS OS NÚMEROS REAIS A PARTIR DO
NÚMERO 6. NOTE QUE UMA SEMIRRETA PODE POSSUIR,
NO MÁXIMO, UMA EXTREMIDADE E, NESTE CASO,
DIREMOS QUE A SEMIRRETA É FECHADA.
 EXEMPLO
x∈R e x<6, isto significa que x pode ser apenas menor que 6, e nunca igual a 6; portanto, 6 não está
dentro do intervalo.
 
Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma:
(−∞,6)={X∈R;X<6}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OU SEJA, TODOS OS NÚMEROS REAIS ANTES DO NÚMERO
6. A SEMIRRETA QUE NÃO POSSUI A SUA EXTREMIDADE É
DENOMINADA SEMIRRETA ABERTA.
NOTE QUE UMA SEMIRRETA TEM A AMPLITUDE INFINITA.
 
Imagem: Shutterstock.com
VAMOS APLICAR O QUE ESTUDAMOS ATÉ AGORA?
Designaremos os valores de 1 até 12 como os meses do ano, 1 para janeiro, 2 para fevereiro, e assim
por diante, até chegarmos a 12 para dezembro.
 
CARACTERIZE POR INTERVALOS O SEGUNDO
TRIMESTRE DO ANO:
Escreva a sua resposta aqui
RESPOSTA
javascript:void(0)
O segundo trimestre de um ano contém os meses de abril, maio e junho. No gráfico da reta que temos,
consideramos 1 para janeiro, 2 para fevereiro, e assim em diante. Assim, podemos seguir a lógica de 1 para
janeiro; 2 para fevereiro; 3 para março; 4 para abril; 5 para maio; 6 para junho; 7 para julho; ....; 12 para
dezembro.
Logo, o segundo trimestre seria o intervalo dos números que representam os meses de abril, maio e junho,
que seriam 4, 5 e 6. Portanto, o intervalo do segundo trimestre seria [4, 6]. Representado pela figura:
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE OS INTERVALOS A SEGUIR:
I.
II.
A) x∈R;-1<x≤5 e x∈R;0,5<x<3,14
B) x∈R;-1<x≤5 e x∈R;0,5≤x<3,14
C) x∈R;-1≤x≤5 e x∈R;0,5<x<3,14
D) x∈R;-1≤x≤5 e x∈R;0,5≤x≤3,14
E) x∈R;-1<x<5 e x∈R;0,5<x<3,14
2. VEJA, A SEGUIR, O DESEMPENHO DE UM CORREDOR DURANTE UMA
COMPETIÇÃO DOS 100 METROS RASOS. A RETA EM QUESTÃO MOSTRA A
MARCAÇÃO DA DISTÂNCIA NA PISTA E, A CADA 10 METROS, É APRESENTADO
O DESEMPENHO DO CORREDOR EM COMPARAÇÃO À SUA VELOCIDADE
MÁXIMA.
EM QUAL DOS INTERVALOS A SEGUIR O CORREDOR MANTEVE A SUA
VELOCIDADE MAIOR OU IGUAL À DE 99% DE SUA CAPACIDADE MÁXIMA.
A) [ 50 , 80 ].
B) [ 30 , 100 ].
C) [ 0, 50 ) e ( 80 , 100 ].
D) ( 59, 61 ).
E) [ 50 , ∞ ).
GABARITO
1. Considere os intervalos a seguir:
I.
II.
A alternativa "B " está correta.
 
A atividade em questão tem o propósito das associações, isto é, > , < bola aberta e ≥, ≤ bola fechada.
Assim, devemos procurar a alternativa que contenha aberto em -1, fechado em 5, fechado em 0,5 e
aberto em 3,14. A única alternativa com exatamente essa combinação é a letra b.
Vamos apresentar algumas soluções aceitáveis para cada uma das representações.
a. x∈R;-1<x≤5 ou os números reais maiores que -1 e menores ou iguais a 5 ou os números reais entre
-1e 5, incluindo o número 5 ou (-1, 5]. 
 
b. x∈R;0,5≤x<3,14 ou os números reais maiores ou iguais a 0,5 e menores que 3,14 ou os números
reais entre 0,5 e 3,14, incluindo o número 0,5 ou ( 0,5 , 3,14 ].
2. Veja, a seguir, o desempenho de um corredor durante uma competição dos 100 metros rasos.
A reta em questão mostra a marcação da distância na pista e, a cada 10 metros, é apresentado o
desempenho do corredor em comparação à sua velocidade máxima.
Em qual dos intervalos a seguir o corredor manteve a sua velocidade maior ou igual à de 99% de
sua capacidade máxima.
A alternativa "A " está correta.
 
A palavra maior ou igual presume que estamos considerando o valor de 99% em nossa análise. Sendo
assim, o intervalo que corresponde ao que foi pedido é a letra A.
MÓDULO 2
 Identificar pontos no plano
Este Módulo ficará mais fácil e interessante se você começar assistindo o presente vídeo.
INTRODUÇÃO
Na vida cotidiana, muitas quantidades mensuráveis dependem de uma ou mais variáveis. Por exemplo:
o crescimento das plantas depende da luz solar e das chuvas; a velocidade depende da distância
percorrida e do tempo gasto; a tensão elétrica depende da corrente e resistência.
O PLANO CARTESIANO É UMA DAS FORMAS MAIS
EFICIENTES PARA REPRESENTAR O RELACIONAMENTO
ENTRE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS.
PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano foi criado com o objetivo inicial de marcar pontos no plano pelo matemático e
filósofo René Descartes (1596-1650).
Neste módulo, apresentaremos algumas ideias de como podemos fazer uso dessa ferramenta.
 
Imagem: Shutterstock.com
CONCEITOS
O plano cartesiano apresenta duas linhas numéricas: uma horizontal, da esquerda para a direita, e outra
vertical, de baixo para cima.
javascript:void(0)
 
 Exemplo de plano cartesiano.
Utiliza-se a letra x para simbolizar os valores sobre a reta horizontal e a letra y para simbolizar os
valores sobre a reta vertical.
Observe que:
À medida que x aumenta, o ponto se move mais para a direita. Quando x diminui, o ponto se
move mais para a esquerda.
À medida que y aumenta, o ponto se move mais para cima. Quando y diminui, o ponto se
move mais para baixo.
 ATENÇÃO
As retas horizontal e vertical também são chamadas, respectivamente, de "abscissa" e "ordenada”. O
ponto ( 0,0 ) é chamado de “origem”.
As coordenadas são sempre escritas em determinada ordem. A coordenada horizontal vem primeiro.
Então, em seguida, vem a coordenada vertical. Isso é chamado de par ordenado.
PAR ORDENADO
javascript:void(0)
Par de números em uma ordem especial.
OS NÚMEROS SÃO SEPARADOS POR VÍRGULA E, EM
TORNO DELES, FICAM OS PARÊNTESES.
VEJAMOS UM EXEMPLO:
Vamos marcar os pontos no plano cartesiano: (1,-2); (2, 4); (-3,0);(-1,-2); (0, 5). Em primeiro lugar,
precisamos montar uma tabela com os pontos dados:
x y
1 -2
2 4
-3 0
-1 -2
0 5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Percebeu que a notação se parece com a de intervalo aberto que aprendemos no Módulo 1? Portanto,
você deve se manter atento ao que é pedido no enunciado de cada questão.
Agora, marcaremos as coordenadas no plano cartesiano. Sendo a primeira na reta horizontal, abscissa,
e a segunda na vertical, ordenada.
 
VAMOS VERIFICAR SE VOCÊ ENTENDEU?
Na figura a seguir, vemos o ponto (4,2).
 
DIGA O QUE OCORRE SE MOVIMENTÁSSEMOS O PONTO:
1. Duas unidades para cima.
2. Três unidades para a esquerda e, depois, duas unidades para baixo.
Escreva a sua resposta aqui
RESPOSTA
O ponto moveria duas unidades na reta da variável y para cima. Logo, parou em 4,4.
O ponto moveria 3 unidades para a esquerda, parando em 1,2 e, depois, foi deslocado duas unidades
para baixo, parando em 1,0.
 SAIBA MAIS
Pesquise calculadoras e aplicativos na Internet para representar os pontos no plano cartesiano. O
GeoGebra é um exemplo de ferramenta disponível na internet.
 
Imagem: Shutterstock.com
Acabamos de vislumbrar o plano cartesiano como forma de representação gráfica de uma tabela,
ilustrando a relação de dois ou mais objetos ou grandezas.
javascript:void(0)
Um gráfico, nessas condições, é uma estrutura matemática bem definida. Em todos os exemplos e nas
atividades, vimos que podemos representar pontos em uma tabela e as tabelas no plano cartesiano.
Essa associação entre as tabelas e os pontos no plano cartesiano forma a ideia central do módulo 3.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ENEM 2016) UMA FAMÍLIA RESOLVEU COMPRAR UM IMÓVEL EM UM
BAIRRO CUJAS RUAS ESTÃO REPRESENTADAS NA FIGURA. AS RUAS COM
NOMES DE LETRAS SÃO PARALELAS ENTRE SI E PERPENDICULARES ÀS
RUAS IDENTIFICADAS COM NÚMEROS. TODOS OS QUARTEIRÕES SÃO
QUADRADOS, COM AS MESMAS MEDIDAS, E TODAS AS RUAS TÊM A MESMA
LARGURA, PERMITINDO CAMINHAR SOMENTE NAS DIREÇÕES VERTICAL E
HORIZONTAL. DESCONSIDERE A LARGURA DAS RUAS.
A FAMÍLIA DESEJA QUE ESSE IMÓVEL TENHA A MESMA DISTÂNCIA DE
PERCURSO ATÉ O LOCAL DE TRABALHO DA MÃE, LOCALIZADO NA RUA 6
COM A RUA E, 6,E; O CONSULTÓRIO DO PAI, NA RUA 2 COM A RUA E, 2,E; E A
ESCOLA DAS CRIANÇAS, NA RUA 4 COM A RUA A, 4,A.
COM BASE NESSES DADOS, O IMÓVEL QUE ATENDE ÀS PRETENSÕES DA
FAMÍLIA DEVERÁ SER LOCALIZADO NO ENCONTRO DAS RUAS:
A) ( 3 , C ).
B) ( 4 , C ).
C) ( 4 , D ).
D) ( 4 , E ).
E) ( 5 , C ).
2. A TABELA A SEGUIR APRESENTA A RELAÇÃO ENTRE AS IDADES E AS
ALTURAS DE UMA FAMÍLIA. JÁ A FIGURA REPRESENTA GRAFICAMENTE A
TABELA.
NOMES IDADES (ANOS) ALTURAS (METROS)
DANIELLE 45 1,80
BERNARDO 12 1,50
RODRIGO 50 2,05
ADEMIR 82 1,76
MARCELO 38 1,86
GUARA 72 1,60
YASMIN 5 1,00
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
ASSOCIE CADA PONTO À PESSOA CORRESPONDENTE NA TABELA.
NOMES LETRAS
DANIELLE D
BERNARDO E
RODRIGO C
ADEMIR F
MARCELO E
GUARA B
YASMIN G
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A
NOMES LETRAS
DANIELLE D
BERNARDO F
RODRIGO G
ADEMIR A
MARCELO E
GUARA B
YASMIN G
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
B
NOMES LETRAS
DANIELLE D
BERNARDO F
RODRIGO C
ADEMIR A
MARCELO E
NOMES LETRAS
GUARA D
YASMIN G
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
C
NOMES LETRAS
DANIELLE D
BERNARDO E
RODRIGO C
ADEMIR A
MARCELO F
GUARA B
YASMIN G
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
D
NOMES LETRAS
DANIELLE D
NOMES LETRAS
BERNARDO F
RODRIGO C
ADEMIR A
MARCELO E
GUARA B
YASMIN G
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
E
AGORA MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
GABARITO
1. (ENEM 2016) Uma família resolveu comprar um imóvel em um bairro cujas ruas estão
representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às
ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas,
e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e
horizontal. Desconsidere a largura das ruas.
A família deseja que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da
mãe, localizado na rua 6 com a rua E, 6,E; o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, 2,E; e a
escola das crianças, na rua 4 com a rua A, 4,A.
Com base nesses dados, o imóvel que atende às pretensões da família deverá ser localizado no
encontro das ruas:
A alternativa "C " está correta.
 
Deve-se notar que podemos caminhar apenas pelas ruas; dessa forma, procuramos o ponto que tenha
exatamente a mesma distância dos pontos 6,E; 4,A e 2,E. A partir da figura, podemos perceber que a
família pretende morar em 4,D. Note que o ponto só poderia estar no interior de um triângulo, onde
somente é possível a locomoção pelas ruas. Desta forma, a figura a seguir ilustra a nossa conclusão.
2. A tabela a seguir apresenta a relação entre as idades e as alturas de uma família. Já a figura
representa graficamente a tabela.
Nomes Idades(anos) Alturas (metros)
Danielle 45 1,80
Bernardo 12 1,50
Rodrigo 50 2,05
Ademir 82 1,76
Marcelo 38 1,86
Guara 72 1,60
Yasmin 5 1,00
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Associe cada ponto à pessoa correspondente na tabela.
Nomes Letras
Danielle D
Bernardo E
Rodrigo C
Ademir F
Marcelo E
Guara B
Yasmin G
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A
Nomes Letras
Nomes Letras
Danielle D
Bernardo F
Rodrigo G
Ademir A
Marcelo E
Guara B
Yasmin G
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
B
Nomes Letras
Danielle D
Bernardo F
Rodrigo C
Ademir A
Marcelo E
Guara D
Yasmin G
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
C
Nomes Letras
Danielle D
Bernardo E
Rodrigo C
Ademir A
Marcelo F
Guara B
Yasmin G
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
D
Nomes Letras
Danielle D
Bernardo F
Rodrigo C
Ademir A
Marcelo E
Guara B
Nomes Letras
Yasmin G
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
E
Agora marque a alternativa correta:
A alternativa "E " está correta.
 
Podemos perceber que as idades de todos os membros da família são diferentes. Logo, as letras estão
em ordem decrescentes das idades.
Nomes Letras
Danielle D
Bernardo F
Rodrigo C
Ademir A
Marcelo E
Guara B
Yasmin G
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Interpretar as informações contidas em um gráfico
Este Módulo ficará mais fácil e interessante se você começar assistindo o presente vídeo.
INTRODUÇÃO
Neste módulo, você será apresentado ao conceito de função. O objetivo é fazer com que você perceba o
quanto essas ideias estão à nossa volta, mesmo que não sejam percebidas.
 
Imagem: Shutterstock.com
O QUE É FUNÇÃO?
A palavra função apareceu pela primeira vez em um artigo de Gottfried Leibniz, em 1692. Ele chamou
de função as quantidades geométricas variáveis relacionadas a uma curva. No entanto, foi Daniel
Bernoulli, em 1718, que definiu o conceito de função de maneira formal pela primeira vez, e se tratava
de algo bem diferente do que conhecemos hoje em dia.
 
Imagem: Wikipedia
javascript:void(0)
javascript:void(0)
GOTTFRIED LEIBNIZ (1646 – 1716)
Filósofo alemão e figura central na história da Matemática e da Filosofia.
 
Imagem: Wikipedia
DANIEL BERNOULLI (1700 – 1782)
Matemático suíço, lembrado por suas aplicações da Matemática à Mecânica.
 SAIBA MAIS
Para conhecer mais sobre a história e a formalização do conceito de função, leia o livro História da
Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas.
PODEMOS PERCEBER O CONCEITO DE FUNÇÃO QUANDO
TEMOS DUAS QUANTIDADES ("VARIÁVEIS") E
OBSERVAMOS QUE HÁ UMA RELAÇÃO ENTRE ELAS. SE
ACHARMOS QUE, PARA CADA VALOR DA PRIMEIRA
VARIÁVEL, EXISTE APENAS UM VALOR DA SEGUNDA
VARIÁVEL, DIZEMOS QUE A SEGUNDA VARIÁVEL É UMA
FUNÇÃO DA PRIMEIRA VARIÁVEL.
No módulo anterior, vimos que podemos representar tabelas utilizando o plano cartesiano, no qual uma
função não é nada além de uma tabela em que todos os valores da primeira coluna estão relacionados
aos valores da segunda coluna, sem ambiguidades entre os valores da primeira coluna e os da
segunda. É claro que esta não é a definição formal de função, mas, na prática, é o que se deseja.
VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE FUNÇÃO:
1) Vamos fazer uma tabela com a seguinte relação: a cada número real x, associamos o seu valor ao
quadrado (x⋅x=x²). A seguir, podemos acompanhar o que ocorre com esta tabela de forma associada ao
plano cartesiano.
Valor de x Valor de y=x²
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Os valores da primeira coluna da tabela dependem explicitamente dos valores da segunda.
Devido à nossa experiência com o Ensino Médio, é possível ligar os pontos azuis, tendo, assim, melhor
compreensão do todo que a tabela poderia nos dar.
 
2) Desta vez, faremos uma tabela com a seguinte relação: a cada número real x, associamos sua raiz
quadrada x.
Valor de x Valor de y=x
-1 i∉R
0 0
1 1
2 2
3 3
4 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Percebemos que -1, em particular, não gera valores em nossa tabela, pois estamos trabalhando
apenas com números reais.
Note que todo valor maior ou igual a zero possui um lugar em nossa tabela. O caso é que os
valores menores que zero não fazem parte dela.
O MAIOR CONJUNTO DE VALORES ADMISSÍVEIS DE UMA
FUNÇÃO, EM ANALOGIA À PRIMEIRA COLUNA DE NOSSAS
TABELAS, É CONHECIDO COMO DOMÍNIO DA FUNÇÃO.
3) Qual é o custo de azulejar qualquer parede quadrada, com azulejos quadrados de 10cm (0,1m) de
lado, sabendo que cada 1m² dos azulejos é vendido a R$32 nas Casas Pitágoras?
SOLUÇÃO:
Temos de analisar o problema e entender as suas variáveis. Primeiramente, devemos perceber que o
metro quadrado depende do comprimento lado do quadrado. Assim, podemos fazer uma primeira tabela:
Lado da parede quadrada Parede em m² Quantidade de azulejos
1 1 100
Lado da parede quadrada Parede em m² Quantidade de azulejos
2 4 400
3 9 900
x x2 100⋅x²
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para preencher a última coluna, basta entendermos quantos azulejos de 0,1m de lado são necessários
para preenchermos um metro quadrado. A figura a seguir ilustra a ideia de um metro quadrado dividido
em azulejos de 10cm de lado e, como podemos ver, são necessários 100 azulejos.
 
Podemos perceber que a quantidade 100 representa o número necessário de azulejos para preencher
um metro quadrado de azulejos, que custa R$32 nas Casas Pitágoras. Sendo assim, existe uma relação
de 100 → R$32. Concluímos, então, que a tabela final relaciona a metragem da parede com o custo em
azulejos.
Lado da parede quadrada Custo em azulejos $
1 32
2 32⋅4
Lado da parede quadrada Custo em azulejos $
3 32⋅9
x 32⋅x2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Daí, a relação que expressa o custo e a metragem da parede é Cx=32⋅x² reais.
AMBIGUIDADE
Um conceito importante sobre a construção da relação entre uma tabela e a sua representação gráfica é
que ela não pode ser ambígua, isto é, os valores do que estamos caracterizando por variável
dependente não devem gerar duas possibilidades.
VAMOS ENTENDER MELHOR A QUESTÃO DA
AMBIGUIDADE E POR QUE ELA NÃO É UMA FUNÇÃO:
EXEMPLO:
Veja uma tabela com as soluções da equação y²=x, onde x ∈ [ 0 , ∞ ).
Valores de x Solução de y²=x
0 0
1 1 ou -1
2 2 ou -2
3 3 ou -3
4 2 ou -2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Neste exemplo, fica clara a ambiguidade pela não unicidade das soluções do problema, deixando-
nos o dilema em cada ponto, se estamos considerando a parte positiva ou negativa.
QUANDO ESSE TIPO DE FENÔMENO OCORRER, DIREMOS
QUE A RELAÇÃO ESTABELECIDA NÃO É UMA FUNÇÃO.
Portanto, 
uma função f é uma tabela de pares ordenados com a seguinte propriedade: 
se (x,y) e (x,b) estiverem na mesma tabela, então b = y.
EM OUTRAS PALAVRAS, UMA TABELA NÃO PODE CONTER
PARES ORDENADOS DISTINTOS QUE POSSUAM O MESMO
PRIMEIRO ELEMENTO.
Sendo f uma função, o domínio de f é: o conjunto de todos os x, para o qual exista um y, tal que o par
(x,y) esteja na tabela f.
DESTA FORMA, AO OBSERVARMOS UM GRÁFICO NO
PLANO CARTESIANO, O QUE DEVEMOS PERCEBER, A FIM
DE ENTENDER SE ELE REPRESENTA UMA FUNÇÃO, É SE
AS RETAS VERTICAIS O TOCAM EM UM ÚNICO PONTO.
VEJA OS EXEMPLOS:
Não é função
 
Não é função
 
É função
 
 ATENÇÃO
Você já deve ter notado que sempre associamos as tabelas a uma figura no plano cartesiano, que
representa todos os pontos possíveis das tabelas em questão. 
 
Essas figuras são chamadas de gráficos. Quando as tabelas representarem, de fato, uma função, a
imagem será chamada de gráfico defunção.
 
Imagem: Shutterstock.com
RECONHECIMENTO E CONTEXTO
Agora, apresentaremos uma série de exemplos a fim de que você possa entender que nem sempre
podemos, de forma explícita, construir a tabela, embora a relação com o gráfico ainda se faça presente.
1) A ilustração a seguir mostra um homem andando por um brinquedo em um parque:
 
QUESTÃO 1
Quais diferentes medidas podemos ver em função do tempo associadas à ilustração?
Escreva a sua resposta aqui
RESPOSTA
A altura do homem em relação ao solo e sua velocidade variam em função do tempo.
javascript:void(0)
QUESTÃO 2
Agora, com uma caneta e um papel, tente desenhar o gráfico da altura do homem em função do
tempo.
RESPOSTA
Observe o gráfico da altura do homem em função do tempo. 
 
 
2) A ilustração a seguir apresenta um recipiente sendo cheio por água.
 
QUESTÃO 1
Quais diferentes variáveis podemos ver em função do tempo associadas à ilustração?
Escreva a sua resposta aqui
RESPOSTA
A quantidade de litros de água que está dentro do recipiente e a velocidade em que o recipiente fica cheio
variam em função do tempo.
QUESTÃO 2
Agora, com uma caneta e um papel, tente desenhar o gráfico da quantidade de litros de água no
recipiente em função do tempo.
RESPOSTA
Ao analisarmos a ilustração com cuidado, percebemos que já havia água no balde; depois, ele recebe
mais um litro de água, além do que já estava entrando, fazendo com que o fluxo de água fosse maior
nesse intervalo de tempo, retornando, mais tarde, à vazão natural. Obtemos assim: 
 
javascript:void(0)
 
OS GRÁFICOS DOS EXEMPLOS QUE ACABAMOS DE VER
REPRESENTAM UMA TABELA EM QUE A QUANTIDADE DE
ÁGUA NO RECIPIENTE OU A ALTURA DA CABEÇA DO
HOMEM VARIAM SEM AMBIGUIDADE EM FUNÇÃO DO
TEMPO, APRESENTANDO, ASSIM, O CONCEITO DE
FUNÇÃO.
Geralmente, na escola, estudamos funções como fórmulas pré-estabelecidas. No entanto, como vimos
nos exemplos anteriores, essa ideia não é completa. Devemos ser capazes de enxergar o conceito de
função na diversidade à nossa volta, conforme os exemplos a seguir:
 
Imagem: Biomechanic blog
1)
A imagem mostra um gráfico do desempenho do corredor Usain Bolt ao conquistar o recorde mundial
dos 100 metros rasos, no campeonato mundial de atletismo.
A reta vertical apresenta a velocidade do corredor em metros por segundo (m/s), e a reta horizontal
mostra a distância percorrida em metros.
O gráfico é uma função que mede a velocidade do corredor em cada momento da trajetória.
 
Imagem: Actualitix
2)
Já esta imagem mostra o crescimento do PIB argentino, do início dos anos 1960 até a década de 2010.
O gráfico apresenta o histórico do desenvolvimento econômico argentino. A partir dele, podemos
apresentar uma tendência, auxiliando um futuro investidor.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUAL DAS OPÇÕES A SEGUIR NÃO APRESENTA UM GRÁFICO DE FUNÇÃO?
A
B
C
D
E
MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
2. EM 2020, HOUVE UMA PANDEMIA GLOBAL PROVOCADA PELO VÍRUS SAR-
COV-2. TAL PANDEMIA TROUXE DANOS INCALCULÁVEIS ÀS ECONOMIAS
GLOBAIS E PROVOCOU MILHARES DE MORTES PELO MUNDO INTEIRO. O
ESTUDO DO EPIDEMIOLOGISTA NEIL FERGUSON, DO IMPERIAL COLLEGE,
APRESENTOU UM GRÁFICO MOSTRANDO REQUISITOS DE LEITO DE
CUIDADOS INTENSIVOS (UTI) POR 100 MIL HABITANTES EM DIFERENTES
CENÁRIOS:
MOSTRA O NÚMERO DE LEITOS DE UTI POR 100 MIL HABITANTES QUE A
INGLATERRA POSSUÍA EM 2019, ANTES DO SURTO.
MOSTRA A EPIDEMIA NÃO MITIGADA.
MOSTRA O ISOLAMENTO DO CASO.
MOSTRA O ISOLAMENTO DOS CASOS E A QUARENTENA DAS FAMÍLIAS.
MOSTRA UMA ESTRATÉGIA DE MITIGAÇÃO COM O FECHAMENTO DE
ESCOLAS E UNIVERSIDADES.
MOSTRA O ISOLAMENTO DE CASOS, A QUARENTENA DOMÉSTICA E O
DISTANCIAMENTO SOCIAL DAS PESSOAS COM MAIS DE 70 ANOS.
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) Nenhum dos gráficos apresentados nas figuras são funções.
B) Os picos em todos os cenários ocorrem em maio.
C) Em todos os cenários, em junho, na Inglaterra, serão necessários 150 leitos de UTI a cada 100 mil
habitantes.
D) O sistema de saúde inglês volta ao normal em todos os cenários em agosto.
E) Os picos de todos os cenários na Grã-Bretanha ocorrem no mês de junho.
GABARITO
1. Qual das opções a seguir não apresenta um gráfico de função?
A
B
C
D
E
Marque a opção correta:
A alternativa "C " está correta.
 
Os itens A, B e D são funções, e o item C não é uma função, de acordo com o que foi visto neste
módulo, pois a reta vertical toca o gráfico em mais de um ponto.
Em relação à alternativa E, o ponto é que, na “tabela” que apresenta o gráfico, o que ocorreu foi que ela
pulou alguns valores. De acordo com a definição de função, podemos entender que, em momento
algum, é relatado que não é possível pularmos valores. Sendo assim, o item E não contradiz em nada a
definição de função. Logo, também se trata de um gráfico de função.
2. Em 2020, houve uma pandemia global provocada pelo vírus SAR-CoV-2. Tal pandemia trouxe
danos incalculáveis às economias globais e provocou milhares de mortes pelo mundo inteiro. O
estudo do epidemiologista Neil Ferguson, do Imperial College, apresentou um gráfico mostrando
requisitos de leito de cuidados intensivos (UTI) por 100 mil habitantes EM DIFERENTES
CENÁRIOS:
Mostra o número de leitos de UTI por 100 mil habitantes que a Inglaterra possuía em 2019,
antes do surto.
Mostra a epidemia não mitigada.
Mostra o isolamento do caso.
Mostra o isolamento dos casos e a quarentena das famílias.
Mostra uma estratégia de mitigação com o fechamento de escolas e universidades.
Mostra o isolamento de casos, a quarentena doméstica e o distanciamento social das
pessoas com mais de 70 anos.
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
 
A letra A é falsa, pois não há ambiguidade nos pontos, portanto todos os cenários são funções.
Para responder se o item B é verdadeiro ou falso, temos duas opções: fazer o recorte do mês de maio
ou fazer o recorte dos picos. O mesmo vale pra avaliarmos o item E.
Optamos por fazer o recorte dos picos, como ilustra a figura:
O gráfico deixa claro que os picos se concentram durante os meses de maio e junho é não só em maio
ou só em junho.
No caso do item C, percebemos que o cenário amarelo e azul não chegam aos 150 leitos de UTI por
100 mil habitantes.
Esse raciocínio evidencia que a resposta é a letra D. O recorte a seguir deixa claro que em todos os
cenários o sistema de saúde inglês volta a normalidade no mês de agosto.
MÓDULO 4
 Identificar pontos notáveis de um gráfico
Este Módulo ficará mais fácil e interessante se você começar assistindo o presente vídeo.
INTRODUÇÃO
Estamos chegando ao final deste tema. Dessa forma, é sempre bom entendermos o que aprendemos
até aqui. Já sabemos como definir intervalos e marcar pontos no plano cartesiano, identificar gráficos de
funções e, a partir da nossa observação, termos uma ideia de qual tipo de gráfico determinado
fenômeno está produzindo.
O intuito deste último módulo é identificar pontos especiais nos gráficos de função com o objetivo de
balizar o processo de tomada de decisão.
 
Imagem: Shutterstock.com
RAÍZES OU ZEROS
As raízes ou zeros de uma função f serão os valores no eixo OX, que também fazem parte da sua
função/tabela ( x , y ), onde y = f(x). Isto é, correspondem aos valores x que são associados ao valor
zero, ( x , 0 ).
Você, provavelmente, encontrará a seguinte representação nos livros de cálculo:
SÃO OS VALORES DE X TAIS QUE FX = 0. 
 
GRAFICAMENTE, SÃO OS VALORES DA FUNÇÃO QUE SE
ENCONTRAM SOBRE A RETA HORIZONTAL (EIXO OX ).
VAMOS VER ALGUNS EXEMPLOS:
1) Descreveremos o conjunto das raízes apresentados no gráfico das funções a seguir.
O gráfico das funções a serem consideradas está em roxo.
 
Neste gráfico, podemos perceber que o gráfico da função nunca toca o eixo OX.
Este tipo de gráfico é comumente conhecido como gráfico de uma função constante.
Sendo assim, o conjunto de todas as suas raízes é vazio.
2) As raízes de uma função são os valores da primeira coordenada, cujográfico da função f está sobre o
eixo OX. Neste caso, temos uma única raiz, x=1.
 
AGORA É COM VOCÊ!
Analise os gráficos a seguir e responda:
QUAIS SÃO AS RAÍZES DAS FUNÇÕES A SEGUIR?
 
Escreva a sua resposta aqui
RESPOSTA
Podemos ver os valores na reta horizontal que são tocados pelo gráfico da função, isto é, {-1,0,1,2}.
Desta forma, temos que a função em questão possui 4 raízes.
javascript:void(0)
 
Escreva a sua resposta aqui
RESPOSTA
Os valores no eixo OX fazem parte da sua tabela/ gráfico da função. Neste sentido, podemos ver o valor x=0
e x=4.
O caso aqui é que todos os valores de x maiores que 4 fazem parte da nossa tabela e estão sobre o eixo
horizontal. Portanto, as raízes da função dada pelo gráfico são 4 e [4,∞). Ou seja, a função pode ter uma
infinidade de raízes.
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UM GRÁFICO
Devemos sempre ter em mente que, quando falamos em ponto de máximo ou mínimo de um gráfico,
este é um par ordenado, um elemento da nossa tabela, e, por isso, possui dois valores associados.
javascript:void(0)
 
O valor de x é o que geralmente chamamos na literatura de máximo ou mínimo.
O valor de y = f ( x ) é o valor máximo ou valor mínimo.
Muitas vezes, podemos nos confundir com o que o problema pede quando essas ideias não estão
claras.
 EXEMPLO
Temos na imagem a seguir que:
O máximo da função ocorre em x = -0.45, e o seu valor máximo é y = f (-0.45) = 1.65.
O mínimo ocorre em x = 1.4, e o seu valor mínimo é y = f (1.4) = -1.21.
 
TRATA-SE DO QUE CHAMAMOS NA LITERATURA DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS GLOBAIS. 
 
DADO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO F, O PONTO DE
MÁXIMO (OU MÍNIMO) (X , F(X)) TEM A PROPRIEDADE DE
SER O PONTO MAIS ALTO (OU MAIS BAIXO) DO GRÁFICO.
EM LINGUAGEM MATEMÁTICA, É O PONTO (X0, F (X0) TAL
QUE F (X0) ≥ F(X) (F(X0) ≤ F(X) ) PARA TODO X ADMISSÍVEL.
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O GRÁFICO ABAIXO APRESENTA A TAXA DE DESEMPREGO DE 2013.
EM QUAIS MESES HÁ O MAIOR ÍNDICE DE DESEMPREGO E O MENOR ÍNDICE?
A) Maior índice: dezembro; Menor índice: junho.
B) Maior índice: junho; Menor índice: dezembro.
C) Maior índice: agosto; Menor índice: setembro.
D) Maior índice: janeiro; Menor índice: setembro.
2. O GRÁFICO A SEGUIR MOSTRA O NÍVEL DE ÁGUA EM UM RESERVATÓRIO
DURANTE O ANO DE 2015. 
 
SE OS NÍVEIS DE ÁGUA NO RESERVATÓRIO DEPENDEM DOS NÍVEIS DE CHUVA
NA REGIÃO, ASSINALE, RESPECTIVAMENTE, OS MESES DO ANO EM QUE MAIS
CHOVEU E EM QUE MENOS CHOVEU NO ANO DE 2015.
A) Janeiro e dezembro.
B) Fevereiro e novembro.
C) Março e outubro.
D) Fevereiro e setembro.
E) Janeiro e agosto.
GABARITO
1. O gráfico abaixo apresenta a taxa de desemprego de 2013.
Em quais meses há o maior índice de desemprego e o menor índice?
A alternativa "B " está correta.
 
A taxa mais alta do gráfico é 6,2%, ou seja, ponto mais alto do gráfico. Portanto o maior índice de
desemprego ocorre no mês de junho, e o menor índice, em dezembro, onde se encontra o ponto mais
baixo do gráfico, 4,5%.
2. O gráfico a seguir mostra o nível de água em um reservatório durante o ano de 2015. 
 
Se os níveis de água no reservatório dependem dos níveis de chuva na região, assinale,
respectivamente, os meses do ano em que mais choveu e em que menos choveu no ano de 2015.
A alternativa "D " está correta.
 
O mês de fevereiro teve o maior volume de chuvas. Além disso, podemos perceber que, em novembro,
choveu mais que em setembro.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Matemática é, a rigor, uma linguagem que permite analisar e descrever diversas situações. Como toda
língua, ela possui seus conceitos mais elementares, que abrem caminho para toda a beleza, cultura e os
mistérios que circundam civilizações antigas e as mais modernas tecnologias.
Este tema buscou apresentar as funções a partir de conceitos elementares, como intervalos e o plano
cartesiano, e desmistificar o entendimento das funções, correlacionando-as a uma lista ou tabela onde o
plano cartesiano não é nada além do objeto de manifestação gráfica de seus resultados.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
CONNALLY, E. et al. Functions Modeling Change: A Preparation for Calculus. Nova York: Wiler, 2010.
FOMIN, D. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. IEZZI, G..
MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013.
LIMA, E. L. Curso de Análise – Volume 1. Rio de janeiro: IMPA, 2008.
ROQUE, T. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro:
Zahar, 2012.
SPIVAK, M. Calculus: cálculo infinitesimal. Barcelona: Reverté, 1970.
EXPLORE+
Para conhecer mais sobre a história e a formalização do conceito de função, leia o livro História da
Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas, de Tatiana Roque.
Pesquisa na Internet o projeto Um livro aberto, que conta com a colaboração de professores
universitários de todo o Brasil.
Pesquise sites e aplicativos de calculadoras científicas e aplicativos que ajudem a fazer contas.
Procure na Internet o livro Biomechanic of sprinting.
Consulte o Portal do Saber, da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.
CONTEUDISTA
Marcelo Leonardo dos Santos Rainha
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);
DESCRIÇÃO
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito
matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de
função real de uma variável real.
PROPÓSITO
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de
problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
MÓDULO 2
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
MÓDULO 3
Definir funções crescentes e decrescentes
MÓDULO 4
Definir funções periódicas
MÓDULO 1
 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
INTRODUÇÃO
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas
aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar.
É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas,
porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para
todos os possíveis valores da variável independente.
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para
os quais a fórmula matemática define uma função.
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o
domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ.
Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra
as definições básicas relativas às funções.
DEFINIÇÃO
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a
função assume valores reais, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥2 e os
seus domínios.
𝐷1=ℝ
D(f) = {x ∈ R| f(x) ∈ R}
𝐷3=[0;+∞[
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor
restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la.
EXEMPLO 1
Qual é o domínio da função ?
Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está
definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ∗.
D2 = {−2; −√2; −1; 0; 1; √2; 2}
f(x) = 1
x
EXEMPLO 2
Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula define uma função 𝑓:𝑋→ℝ?
Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[.
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função?
g(x) = √x
EXEMPLO 3
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e
Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no
projeto assinado pelaarquiteta Eliana Marques Lisboa.
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca,
faça o que se pede:
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno.
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a
área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura.
Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3.
EXEMPLO 4
SABENDO QUE O COMPRIMENTO DO TERRENO
DE JOÃO É DE 100 M, UTILIZE A EXPRESSÃO
OBTIDA 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) PARA DETERMINAR A
ÁREA DO TERRENO ONDE SERÁ CONSTRUÍDA
A PISCINA.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
javascript:void(0)
Conforme visto no exemplo 3, a área do terreno é dada pela expressão A=x⋅(120−x), onde x é
o número de metros de comprimento do terreno.
Logo, temos:
A(100)=100⋅(120−100)=2000 m2
Isso significa que a imagem de 100 pela função A é 2000.
 ATENÇÃO
Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função.
O gráfico de uma função pode ser definido como:
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)}
Portanto, a ordenada 𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓 é o valor de 𝑓 na abscissa 𝑥
correspondente.
O gráfico de 𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras
informações.
LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a
função assume valores reais, ou seja:
COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝒂
PERTENCE AO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 𝒇?
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de
𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único.
EXEMPLO 1
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto
em Tocantins.
 COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝑏 PERTENCE
À IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 𝑓?
O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓 se a reta horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico
de 𝑓 em pelo menos um ponto.
EXEMPLO 2
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de
crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em
2029 e 2018, respectivamente.
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
DOMÍNIO
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o
gráfico no Eixo 𝑂𝑥.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Vemos que o domínio da função 𝑓 é o intervalo no eixo das abscissas indicado em vermelho.
Seu domínio é o intervalo fechado: 
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
D(f) = [−1, 4]
javascript:void(0)
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Vemos que o domínio da função 𝑔 é o conjunto no eixo das abscissas indicado em vermelho.
 Seu domínio é a união de intervalos disjuntos (intervalos cuja interseção é vazia): 
.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função.
D(g) = [−   ,  1) ∪ (1 ,  5]7
2
javascript:void(0)
IMAGEM
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu
gráfico no Eixo 𝑂𝑦.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦?
Vemos que a imagem da função 𝑓 é o intervalo fechado indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
Sua imagem é o intervalo fechado ,
.
[− ; ]9
4
37
12
Im(f) =[− ; ]9
4
37
12
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂y?
Vemos que a imagem da função 𝑔 é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂y
Sua imagem é o intervalo .
.
EXEMPLO 3
(−2;  5, 25]
Im(g) = (−2; 5, 25]
javascript:void(0)
Gráfico da função ℎ
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo
indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
Sua imagem é o intervalo .
.

(−2;  5, 25]
Im(h) = (−2;   5, 25]
Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos:
Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem
deste subconjunto é dada por 𝒇(𝑫)={ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }.
EXEMPLO 4
Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função.
EXEMPLO 5
Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo destacado em verde no Eixo 𝑂𝑦, que é
um subconjunto da imagem de 𝑓.
Ao traçar as retas e de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑦, temos:
[− ; ]2
3
5
12
y = 5
12
y = − 2
3

Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas e , temos:
Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo da
imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑥.
y = − 2
3
y = 5
12
[− ; ]2
5
5
12
A parte do Eixo 𝑂𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]:

VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎1, 𝑎 2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓),
tais que 𝑎1≠𝑎2, os números 𝑓(𝑎1) e 𝑓(𝑎2) na imagem de 𝑓 são também distintos.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de injeção, sobrejeção e bijeção.
EXEMPLO 1
A função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva?
Observe que: 𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓(2)
 
Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem.
 
Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑
 
A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, é possível observar que há retas
horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez.
 ATENÇÃO
Teste da reta horizontal
Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no
máximo, um ponto.
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva.
EXEMPLO 2
A função 𝑔(𝑥)=𝑥3 é injetiva.
Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙𝟑
Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta
horizontal, a função 𝑔 é injetiva.
FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS
SOBREJETORAS
Se 𝐴,𝐵⊂ℝ, uma função 𝑓:𝐴→𝐵 é chamada sobrejetora ou sobrejetiva, quando 𝑓(𝐴)=𝐵.
Repare que, quando restringimos o contradomínio de uma função para sua imagem, ou
seja,𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)⟶𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)), estamos garantindo que não há qualquer elemento do
contradomínio que não seja imagem de algum elemento do domínio. Assim, essa é uma forma
de garantir que a função seja sobrejetiva.
BIJETORAS
Uma função 𝑓, que é simultaneamente injetora e sobrejetora, é chamada de bijetora ou
bijetiva.
Assim, a função 𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)→𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)) (que já é sobrejetora) será bijetora se, e somente se, for
injetora.
RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS
GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA
INVERSA
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e
sua inversa.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva.
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓−1:
 E 
SE "LEVA" EM ENTÃO "TRAZ" "DE VOLTA"
EM 
f :  A → B f −1 :  B → A
f a b f −1 b
a
 E 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É preciso notar que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas o que essa equivalência significa geometricamente?
Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da
função 𝑓−1.
Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relação à reta 𝒚=𝒙
No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎) são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas
isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓−1.
O GRÁFICO DE 𝐟−𝟏 É OBTIDO REFLETINDO-SE O
GRÁFICO DE 𝐟 EM TORNO DA RETA 𝐲=𝐱.
Simetria entre osgráficos de 𝒇 e 𝒇−𝟏
Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos:
f(a) = b ⇔ f −1(b) = a
Dom(f) = Im(f −1) Dom(f −1) = Im(f)
f(a) = b ⇔ f −1(b) = a
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓−1,
obteremos de volta 𝑥.
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓−1, e, em
seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦.
EXEMPLO 1
Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e
sua inversa.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Definir funções crescentes e decrescentes
INTRODUÇÃO
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função
em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como:
ONDE A FUNÇÃO É CRESCENTE?
ONDE ELA É DECRESCENTE?
O LUCRO DA EMPRESA AUMENTOU?
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da
reta real e algumas de suas aplicações.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função crescente e função decrescente.
DEFINIÇÃO
Uma função é considerada crescente quando os valores das imagens, ,
aumentam à medida que os valores de aumentam, ou seja, para , temos: 
.
Em termos gráficos:
Uma função é considerada decrescente quando os valores das imagens, ,
diminuem à medida em que os valores de aumentam, ou seja, para , temos 
.
EXEMPLO 1
f : R → R  f(x)
x x2 > x1
f(x2 ) > f(x1 )
f : R → R f(x)
x x2 > x1
f(x2) < f(x1)
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a
Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90:
Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao
mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a
previsão é de um aumento significativo das chuvas acumuladas.
EXEMPLO 2
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início
de 2010 a 2058.
Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa
bruta de mortalidade.
EXEMPLO 3
Considere a função 
 
 
Note que essa função é crescente em toda a reta real.
De fato, dados , temos que .
EXEMPLO 4
f(x) = x3
x1 < x2 f(x1) = x13 < x
2
3 = f(x2)
Considere a função 
Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela
é constante no intervalo [0,1].
As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I.
EXEMPLO 5
Vamos praticar: analise o gráfico da função.
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em e
decrescente em .
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Definir funções periódicas
f(x)=
⎧⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
−x2,  x < 0
0,  0 ≤ x ≤ 1
(x − 1)
2
,  x > 1
(−∞, −0. 22) ∪ (1. 55, +∞)
(−0. 22, 1. 55)
javascript:void(0)
INTRODUÇÃO
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma
repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos.
Veja a seguir alguns exemplos:
AS ESTAÇÕES DO ANO
OS BATIMENTOS CARDIÁCOS
OS MOVIMENTOS DOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO
DE PULSO
O MOVIMENTO DOS PLANETAS
A CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA
A CIRCULAÇÃO DO SANGUE
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as
periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções
trigonométricas:
 SENO
 COSSENO
 TANGENTE
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função periódica.
DEFINIÇÃO
Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥),
para todo 𝑥 no domínio da função.
O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período
da 𝑓.
 ATENÇÃO
Se uma função 𝑓 é periódica de período 𝑇, então, 𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑇, onde
𝑛∈ℕ, já que:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯=𝑓(𝑥+𝑛𝑇)
ELETROCARDIOGRAMA
Exame que tem o objetivo de detectar se existe alguma falha na condução elétrica pelo
coração.
EXEMPLO 1
Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao
eletrocardiograma de uma pessoa saudável:
Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em
intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓 é uma função periódica de período T.
EXEMPLO 2
Considere a função:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5.
x 0 1 2 3 4 5
f : N → Z,  tal que f(x) = (−1)x
javascript:void(0)
f(x) (-1)0=1 (-1)1=-1 (-1)2=1 (-1)3=-1 (-1)4=1 (-1)5=-1
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1.
3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1.
ESTA É UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2.
POR QUÊ?
Ora, quando 𝑥 varia duas unidades, o valor da função se repete, ou seja:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥+6)...
Dessa forma, podemos afirmar que o período dessa função é 2.
EXEMPLO 3
Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico.
Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e
dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋.
Pensando no ciclo, é possível perceber que:
Quando o ângulo 𝒕 cresce de O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕)
Cresce de 0 𝑎 1
Decresce de 1 𝑎 0
Decresce de 0 𝑎 −1
Cresce de −1 𝑎 0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3.
O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥 e ocorre em ambos os
sentidos dos pulmões (inspiração e expiração).
0 a  π
2
 a ππ
2
π a  3π
2
 a 2π3π
2
O fluxo pode ser representado pela função:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração
𝜔 = período respiratório
 o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo
A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas
estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
f(x) = Asen(ωx)
ω = → T =2π
T
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de
problemas de nosso cotidiano é realizada com o auxílio das funções.
O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais
aprofundada, a determinar o domínio e a imagem de alguns tipos de funções algébricas, bem
como reconhecer geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e bijetora.
É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os exemplos
apresentados para compreender melhor o conteúdo.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e
das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008.
DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4.
FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013.
v. 1.
LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de
Janeiro: SBM, 2006. v. 1.
LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.).
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010.
MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. JornalGGN,
mar. 2020.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1.
VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus?
Publicação em: 20 mar. 2020.
EXPLORE+
Pesquise e consulte:
O aplicativo on-line GeoGebra;
O Portal OBMEP do Saber.
Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra:
BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.).
CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.).
No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um
exercício interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em diferentes
locais do planeta.
CONTEUDISTA
Loisi Carla Monteiro Pereira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);
DEFINIÇÃO
Vinculação das funções a fenômenos físicos, químicos, biológicos e econômicos por meio de modelos
matemáticos.
PROPÓSITO
Utilizar as funções e respectivas propriedades para modelar problemas, buscando sua solução ou
previsão.
PREPARAÇÃO
Conhecimentos sobre o conceito de função e de propriedades das funções afins, quadráticas,
exponenciais e logarítmicas devem estar bem consolidados. Recomenda-se o uso de calculadora científica
(ou mesmo a do seu smartphone ou computador). Também pode-se utilizar um aplicativo de produção de
gráficos, como o GeoGebra, para visualizar as funções manipuladas.
OBJETIVOS
Reconhecer fenômenos físicos e econômicos usando funções polinomiais
Identificar modelos matemáticos associados a funções exponenciais e logaritmos em situações financeiras
e pesquisas biológicas e químicas
Aplicar funções periódicas aos modelos físicos e econômicos
APRESENTAÇÃO
Neste vídeo, faremos uma breve contextualização do tema.
 Reconhecer fenômenos físicos e econômicos usando funções polinomiais
COMENTÁRIO DO PROFESSOR
Neste módulo, abordaremos modelos e modelagens feitos a partir do uso de funções de primeiro e
segundo grau. Veremos, a seguir, vários problemas em que a solução é possível por meio do
conhecimento das propriedades dessas funções.
EXEMPLO 1
Vamos resolver o primeiro problema juntos?
 SAIBA MAIS
Utilizando o GeoGebra, podemos entender e identificar essas manipulações.
FECHAR
GRÁFICO:
https://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/modelos_e_modelagem_usando_funcoes/index.html
FECHAR
EXEMPLO 2
Em 2018, a greve dos caminhoneiros abalou a economia nacional. Esse movimento tinha como principal
reivindicação a redução da carga tributária sobre o diesel nos postos e nas refinarias do Brasil. A carga
tributária já vinha aumentando nos anos anteriores, o que intensificou as exportações de diesel dos EUA
para o Brasil de maneira significativa, conforme podemos ver no próximo gráfico.
SUPONDO QUE, A PARTIR DE 2016, O CRESCIMENTO DA
EXPORTAÇÃO CONTINUASSE DE MANEIRA LINEAR AO
LONGO DOS ANOS SEGUINTES, QUAL SERIA A
QUANTIDADE DE BARRIS POR DIA QUE OS EUA
EXPORTARIAM PARA O BRASIL EM 2019?
SOLUÇÃO
Podemos observar no gráfico que, em 2016, os EUA exportaram 122 milhares de barris por dia para o
Brasil e, em 2017, esse número chegou a 209 milhares de barris por dia. Como o crescimento seria linear
a partir do ano de 2016, vamos considerá-lo o ano inicial, representado por t = 0, e 2017 como o ano t = 1.
A quantidade de (milhares de) barris exportados para o Brasil, nesse caso, é dado por uma função do
primeiro grau, onde t representa o ano considerado. Conforme os dados anteriores, temos que:
 
B(t) =  at +  b
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo esses valores na função, teremos:
e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a quantidade de milhares de barris por dia é representada:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para saber a quantidade exportada em 2019, devemos nos atentar à seguinte lógica: se 2016 corresponde
a t=0, 2017 corresponde a t=1, 2018 corresponde a t=2, então, 2019 corresponde a t=3. Logo, o valor
procurado será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B(0)  =  122    e     B(1)  =  209
122 =  a. 0 +  b       ⇒       b = 122
209 =  a. 1 +  b      ⇒         209 = a + 122          ⇒         a = 87
B(t) =  87t +  122
B(3) =  87. 3 +  122 = 383 milhares de barris por dia.
EXEMPLO 3
Agora, vamos ao terceiro problema.
 SAIBA MAIS
Utilizando o GeoGebra, podemos entender e identificar essas manipulações.
FECHAR
VERIFICANDO O APRENDIZADO
https://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/modelos_e_modelagem_usando_funcoes/index.html
 Identificar modelos matemáticos associados a funções exponenciais e logaritmos em situações
financeiras e pesquisas biológicas e químicas
COMENTÁRIO DO PROFESSOR
As funções exponenciais e logarítmicas são usadas, com frequência, em várias áreas da sociedade.
Destacaremos, principalmente, as aplicações em pesquisas de laboratórios sobre produção agrícola, o
crescimento de determinadas espécies de plantas, as aplicações e os investimentos financeiros a juros
compostos e, finalmente, a desintegração de materiais e elementos radioativos na natureza.
EXEMPLO 1
Mais uma vez, vamos resolver o primeiro problema juntos!
EXEMPLO 2
Este exemplo foi uma das questões de um dos concursos públicos realizados pela Petrobras em 2010.
(PETROBRAS - 2010) Um estudo em laboratório revelou que a altura média de determinada espécie de
planta é dada, a partir de um ano de idade, pela função:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SABENDO QUE H(X) REPRESENTA A ALTURA MÉDIA, EM
METROS, E X REPRESENTA A IDADE, EM ANOS, QUAL É, EM
METROS, A ALTURA MÉDIA DE UMA PLANTA DESSA
ESPÉCIE AOS 5 ANOS DE IDADE?
SOLUÇÃO
Note que a altura desejada é exatamente o valor de h(5). Para encontrar esse valor, vamos utilizar as
seguintes propriedades de exponenciais e de logaritmos:
Portanto, a altura dessa planta aos 5 anos de idade será de 1,6 metro.
h(x)  =  log(101.35. 4√2x)
h(5)  =  log(101,35. 4√2. 5)  =   
log(101,35. 4√10)  =  log(101,35.  10 1/4)  =
log(101,35.  100,25)  = log(101,35 + 0,25)  =  
log(101,6)  = 1. 6m
EXEMPLO 3
Uma das principais áreas em que usamos, implicitamente, funções exponenciais e logarítmicas é na
análise de investimentos e empréstimos no regime de juros compostos. A fórmula do montante para o
regime de capitalização composto é dada por uma função exponencial que depende do tempo t.
Vejamos como resolver uma situação desse tipo no vídeo.
EXEMPLO 4
Outra aplicação um pouco mais delicada, porém com alto grau de interesse para a sociedade, ocorre nos
laboratórios químicos em pesquisas sobre a radiação e o tempo de vida de determinados compostos da
natureza.
Assim como toda matéria existente no planeta, os elementos químicos radioativos da natureza
desintegram-se com o passar dos anos; no entanto, veremos que o tempo de desintegração não depende
da massa inicial do elemento, mas sim dos compostos que cada um possui. Vejamos como resolver uma
situação desse tipo.
Segundo Marcondes (s.d.), o trítio é o mais pesado dos três isótopos de hidrogênio, sendo menos
abundante e radioativo, emitindo radiação do tipo beta. Esse composto é utilizado, principalmente, como
combustível nuclear para a produção de energia por fusão nuclear e possui meia vida de 12 anos, ou seja,
a cada 12 anos a massa do trítio cai pela metade, como podemos ver no gráfico:
Note que o decrescimento da massa do trítio é do tipo exponencial. Podemos obter a massa do trítio
utilizando a seguinte fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde M0 representa a massa inicial do trítio e M(t) representa a massa de trítio após t anos.
COM BASE NESSAS INFORMAÇÕES, QUANTOS ANOS
SERÃO NECESSÁRIOS PARA QUE DETERMINADA MASSA
DE TRÍTIO SE REDUZA A UM QUINTO DA MASSA INICIAL?
SOLUÇÃO
Dados:
Queremos saber qual é o tempo t necessário para que uma massa inicial M0 se reduza a um quintodessa
massa, ou seja, queremos encontrar t tal que: 
Substituindo esse valor na expressão (𝑰), temos:
M(t)  =  M0 .  (2
−t/12),  (I)
log(0, 2)  =   − 0, 699 e log(2)  =  0, 301
M(t) =    m0
5
= m0.(2−2/12)  ⇒   =  2−t/12   ⇒ 0, 2  =   2−t/12m05
1
5
Aplicando o logaritmo nessa igualdade, obtemos que:
Ou seja, para certa quantidade de trítio desintegrar-se a um quinto de sua massa inicial, são necessários
28 anos aproximadamente.
 SAIBA MAIS
Esse exemplo nos mostra que a desintegração do trítio é relativamente rápida se comparada a outros
materiais radioativos.
Você com certeza já deve ter ouvido falar sobre o bombardeio nuclear realizado pelos EUA ao Japão em
1945, um dos principais acontecimentos históricos lembrado até os dias atuais, principalmente pelos
japoneses como podemos ver na próxima reportagem.
Um dos principais componentes das bombas nucleares é o Urânio U-235. Devido ao seu alto índice
radioativo, não são necessários muitos quilos de urânio para provocar um estrago gigantesco como o que
aconteceu no Japão. A bomba lançada em Hiroshima, por exemplo, tinha apenas 7 quilos de Urânio U-235
e um poder destrutivo equivalente a 20 mil toneladas de TNT (FONSECA, s.d.).
Segundo Betz (2015), o urânio natural é composto basicamente pelos urânios U-238 (cerca de 99,3%) e U-
235 (cerca de 0,7%). Estudos preveem que o Urânio U-238 leva cerca de 4,5 bilhões de anos para chegar
à meia vida, enquanto o Urânio U-235 leva cerca de 704 milhões de anos. Ou seja, o tempo de
desintegração do urânio é muito lento se comparado a outros materiais. O objetivo das pesquisas nessa
área é saber o tempo e a taxa de radiação prejudiciais à saúde.
FECHAR
VERIFICANDO O APRENDIZADO
log(0, 2)  =  log(2−t/12)  ⇒ −0, 699 = . log(2) ⇒
−0, 699 = .  0, 301  ⇒ −0, 301. t  =   − 8, 388  ⇒
⇒ t ≅27, 9  ≅28 anos.
−t
12
−t
12
https://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/modelos_e_modelagem_usando_funcoes/index.html
 Aplicar funções periódicas aos modelos físicos e econômicos
COMENTÁRIO DO PROFESSOR
Você sabia que é possível aplicar funções trigonométricas para resolver problemas práticos? Essas
funções podem ser utilizadas para saber, por exemplo, a periodicidade da altura das marés, o tempo de
claridade diária de uma região, a relação dessas funções com as propriedades métricas em um triângulo e
até mesmo para medir a pressão arterial de um paciente.
As funções trigonométricas possuem uma propriedade particular que é a periodicidade, ou seja, são
funções que geram ciclos e, por isso, adaptam-se a muitas situações práticas.
EXEMPLO 1
Mais uma vez, vamos resolver o primeiro problema juntos!
 SAIBA MAIS
Utilizando o GeoGebra, podemos verificar e visualizar nossas operações de maneira gráfica.
Nota-se a importância dos questionamentos (b) e (c) apresentados no exemplo 1, pois, caso o
questionamento fosse apenas sobre o período vespertino (entre 12h e 18h), as respostas seriam diferentes
(as respostas de (b) e (c) seriam, respectivamente, apenas 16h e apenas 12h), porque, nesse caso,
estaríamos alterando o momento de análise da função, ou seja, alterando o domínio da função e isso pode
causar variações na imagem.
FECHAR
EXEMPLO 2
Vamos descobrir a real proporção da Torre Eiffel?
https://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/modelos_e_modelagem_usando_funcoes/index.html
EXEMPLO 3
Em determinada região, o tempo de duração do dia (número de horas de claridade diária) é dado pela
função 𝒇:[𝟎,𝟑𝟔𝟓] → 𝑹, cuja expressão é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde x é o número de dias decorridos desde o início do ano.
(Fonte: Aplicações das funções trigonométricas no estudo de fenômenos periódicos – UNESP)
Observe o gráfico de f dado a seguir e responda as perguntas:
(a)
Qual é o tempo mínimo e o tempo máximo de horas de claridade diária?
(b)
Quais são os meses do ano em que ocorrem os menores números de horas de claridade diária?
(c)
Suponha que uma família pretenda viajar para essa região nas férias e queira aproveitar pelo menos 12h
de claridade diária. Em quais meses do ano a viagem deve ocorrer?
SOLUÇÃO
(a) Lembre-se que a função da forma 𝑔(𝑥) = sen(𝒂𝒙+𝒃) tem a imagem dada pelo intervalo 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏 ,𝟏].
Desse modo, a imagem da função:
Pode ser obtida:
f(x)  =   + sen( )353
7
3
2π−79
265
f(x)  =   + sen( )353
7
3
2π ( x−79 )
365
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nessa região, a quantidade mínima de horas de claridade diária é de 9,3 horas e a quantidade máxima é
de 14 horas.
(b) Ao analisar o gráfico, podemos perceber que os menores números de horas de claridade diária
ocorrem nos primeiros e nos últimos dias do ano. Assim, os meses com menor número de horas de
claridade diária são janeiro e dezembro.
(c) Analisando o gráfico, podemos notar que o período que possui pelo menos 12 horas de claridade diária
está entre os dias 88 e 253 do ano. Lembrando que:
Janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias;
Fevereiro possui 28 dias (ou 29 em ano bissexto);
Abril, junho, setembro e novembro possuem 30 dias.
−1 ≤ sen( )≤ 1(multiplicando )⇒2π ( x−79 )365
7
3
− ≤ sen( )≤ (somando )⇒73
7
3
2π ( x−79 )
365
7
3
35
3
≤ + sen( )≤ ⇒283
35
3
7
3
2π ( x−79 )
365
42
3
9, 3 ≤ + sen( )≤ 14 ⇒353
7
3
2π ( x−79 )
365
9, 3 ≤ f(x) ≤ 14
Consequentemente, os melhores meses para a viagem se situam entre os dias 88 e 253 do ano. São eles:
abril, maio, junho, julho e agosto.
EXEMPLO 4
(PETROBRAS - 2004) Considere que um indivíduo enxerga uma torre com um ângulo de visão de 45°, isto
é, o ângulo entre o segmento de reta l, que liga seus olhos ao topo da torre, e o segmento de reta t, que
liga seus olhos à base da torre, é igual a 45°, conforme a figura.
NESSA SITUAÇÃO, SE O COMPRIMENTO DE L É IGUAL A 40
METROS E O COMPRIMENTO DE T É IGUAL A 30 METROS,
ENTÃO, A ALTURA H DA TORRE É SUPERIOR A 30M?
SOLUÇÃO
Note que temos poucas informações a respeito dos componentes envolvidos. No entanto, podemos
resolver esse problema rapidamente se utilizarmos a lei dos cossenos:
Considere o triângulo ABC, cujos ângulos são 𝛼, 𝛽, 𝛾, representados abaixo:
Valem as seguintes relações:
a2 = b2 + c2 − 2. b. c. cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2. a. c. cos(β)
Assim, utilizando os dados da figura do enunciado, temos que:
Como 803 < 900 e a função raiz quadrada é uma função crescente, então:
Portanto, a altura da torre é menor do que 30 metros.
EXEMPLO 5
Vamos entender um pouco sobre a pressão arterial e o que ela representa? A pressão arterial é a força
que o sangue exerce contra a parede das artérias de acordo com os batimentos cardíacos. Essa pressão é
apresentada por dois valores, por exemplo, 12 por 8 (como é conhecida popularmente), sendo esses
valores chamados de pressão sistólica e pressão diastólica, respectivamente. Ou seja:
c2 = a2 + b2 − 2. a. b. cos(γ)
h2 = 302 + 402 − 2. 30. 40. cos(45º)  ⇒
h2 = 900 + 1600  −  2. 30. 40. ⇒ h2  =  2500  − 1200√2  ⇒
√2
2
h2 ≅803 ⇒  h ≅√803
h ≅803  < √900  = 30
"A PRESSÃO SISTÓLICA, OU MÁXIMA, É AQUELA QUE
MARCA A CONTRAÇÃO DO MÚSCULO CARDÍACO QUANDO
ELE BOMBEIA SANGUE PARA O CORPO. A DIASTÓLICA, (OU
MÍNIMA) POR SUA VEZ, É A DO MOMENTO DE REPOUSO, EM
QUE OS VASOS PERMANECEM ABERTOS PARA O SANGUE
PASSAR.”
SAÚDE (2016).
A pressão arterial é medida durante o intervalo de tempo de um batimento cardíaco, que determina um
ciclo completo. Ou seja, os valores máximo e mínimo da pressão sanguínea são medidos dentro do
intervalo de tempo de um batimento, conforme podemos ver na próxima imagem, onde o intervalo de
cada ciclo tem tempo P:
Esses tipos de ciclo podem ser modelados por uma função trigonométrica que nos apresentará muitas
informações a respeito. A pressão é medida em mmHG (que simboliza a unidade de milímetros de
mercúrio) e, nos monitores médicos, a pressão de um paciente que tem pressão de 11 por 7 na linguagem
popular, por exemplo, aparece para o médico como máxima 110 mmHG e mínima70 mmHG.
AGORA QUE ENTENDEMOS UM POUCO SOBRE A
PRESSÃO ARTERIAL E O QUE ELA REPRESENTA,
VAMOS ANALISAR O EXEMPLO.
Em uma consulta médica, verificou-se que a variação da pressão sanguínea de uma pessoa podia ser
modelada pela expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde f(t) representa o valor da pressão em mmHG e t representa o tempo em segundos. O gráfico de f é
dado a seguir.
f(t)  =  90 + 20. cos( )8πt3
Agora, responda as perguntas a seguir:
(a)
Qual é o intervalo de tempo de um batimento cardíaco?
(b)
Qual é a quantidade de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?
(c)
Qual é a pressão arterial dessa pessoa comentada pelo médico de acordo com a linguagem popular?
SOLUÇÃO
(a) O intervalo de tempo de um batimento cardíaco equivale a um ciclo completo, ou seja, como
, então esse intervalo do ciclo corresponde ao período dessa função. Lembrando que o período de uma
função do tipo
é dado por
, logo, no caso da nossa função
, temos
e o período será:
Portanto, o intervalo de tempo de um batimento cardíaco é de 0,75 segundo.
(b) Pelo item (a), sabemos que o intervalo de tempo de um batimento cardíaco é de 0,75 segundo. Como 1
minuto possui 60 segundos, para encontrar a quantidade x de batimentos cardíacos por minuto, basta
resolvermos a seguinte regra de três, simples e direta:
f(t)  =  90 + 20. cos( )8πt
3
g(t) =  d  + c. cos(at + b)
P = 2π
| a |
f(t)
a = 8π
3
P   =   = = 2π x = = = 0, 75  segundos2π
| a |
2π
8π
3
3
8π
6π
8π
3
4
Agora, sabemos que os batimentos cardíacos dessa pessoa correspondem a 80 batimentos por minuto.
(c) Lembrando que uma função da forma 𝑔(𝑡)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕+𝒃) tem imagem 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏 ,𝟏], então, sendo
, temos que:
Logo, a pressão máxima dessa pessoa, vista pelo médico no seu monitor, é de 110 mmHG e a pressão
mínima é de 70 mmHG. Na linguagem popular, o médico disse ao paciente que sua pressão era de 11 por
7.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Conclusão
  = ⇒ 0, 75 = 60  ⇒ x = = 801
x
0,75
60
60
0,75
f(t)   =  90 + 20. cos( )8πt
3
−1 ≤ cos( )≤ 1 (multiplicando 20)  ⇒8πt3
−20 ≤ 20. cos( )≤ 20 (somando 90)  ⇒8πt3
70 ≤ 90  + 20. cos( )≤ 110  ⇒8πt3
im(f) =  [70, 110]
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como vimos, podemos descrever várias situações do mundo real por meio de equações. Toda vez que o
fazemos estamos criando um modelo. Ou seja, criar um modelo para interpretar uma situação (ou um
fenômeno), ou modelar uma situação, nada mais é do que traduzir os comportamentos observados em
equações matemáticas.
Modelar situações tem infinitas aplicações. Os modelos não ajudam a prever o que acontecerá com o
fenômeno estudado em determinado ponto. Você se lembra da corrida de táxi? Com o modelo, podemos
saber de antemão exatamente o quanto custará a corrida para qualquer endereço fixo.
A melhor forma de criar um modelo é entender sempre, de forma geral, o comportamento do fenômeno e,
depois, testar com resultados conhecidos equações matemáticas que se apresentam como solução.
Assim, encontramos uma equação matemática que traduza o comportamento do fenômeno.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BETZ, M. E. M. Fissão nuclear: por que se usa o urânio? In: CREF, 2015.
BONJORNO, J.R; BONJORNO, R. A; BONJORNO, V.; RAMOS, C. M. Física Fundamental. Volume
único, São Paulo: FTD, 1999.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
FOMIN, D. A. Círculos Matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
FONSECA, B. T. Enriquecimento de urânio. In: InfoEscola. Consultado em meio eletrônico em: 7 abr.
2020.
GIOVANNI, J.R; BONJORNO, J.R. Matemática Fundamental - Uma Nova Abordagem. Volume único,
São Paulo: FTD, 2002.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 4.ed., São Paulo: Atual, 1998.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2013.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 2. ed., Harbra, 1982.
MARCONDES, R. Trítio. In: InfoEscola. Consultado em meio eletrônico em: 7 abr. 2020.
MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Física contexto & aplicações. São Paulo: Scipione, 2016.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5. ed., São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
SAÚDE é Vital. Pressão arterial: qual número é mais perigoso? In: Saúde, 2016.
EXPLORE+
Leia os seguintes textos:
Funções, de O projeto Livro Aberto de Matemática.
Cálculos envolvendo meia-vida, de Mundo Educação.
Função exponencial - Aplicações em biologia, química e matemática, de Uol Educação.
Fissão Nuclear: por que se usa o urânio?, de CREF.
Enriquecimento do urânio, de InfoEscola.
Meia-vida ou período de semidesintegração, de Brasil Escola.
São Paulo Faz Escola: Download dos Cadernos do Aluno volume 1 e 2, de NPE Catanduva.
Pressão arterial: qual número é mais perigoso?, de Revista Saúde.
CONTEUDISTA
Aleksandro de Mello
 CURRÍCULO LATTES
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DESCRIÇÃO
Os conceitos de vetor e matriz e suas representações geométrica e algébrica.
PROPÓSITO
Expor os conceitos básicos de vetor e matriz, relacionando-os às suas aplicações no cotidiano.
PREPARAÇÃO
Antes de começar, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOSProcessing math: 12%
MÓDULO 1
Identificar o conceito de vetor e sua aplicação através de representações geométrica e algébrica
MÓDULO 2
Aplicar pontos e vetores no plano através das funções trigonométricas seno e cosseno
MÓDULO 3
Operar com matrizes
MÓDULO 4
Reconhecer matrizes como transformações lineares
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Assista o vídeo Vetores e matrizes no plano:
MÓDULO 1
 Identificar o conceito de vetor e sua aplicação através de representações geométrica e
algébrica
INTRODUÇÃO
Várias grandezas de nosso cotidiano podem ser plenamente descritas pela especificação de sua
magnitude (ou intensidade). O comprimento de uma mesa, a área de uma fazenda, a capacidade
volumétrica de um recipiente com suco de laranja ou a temperatura ambiente, por exemplo, são
grandezas expressas de maneira adequada por apenas um número associado à unidade de
medida escolhida.
Assim, temos metro para o comprimento da mesa; quilômetro quadrado para a área de uma
fazenda; mililitro para a capacidade do recipiente e graus Celsius para a temperatura ambiente.
Grandezas dessa natureza, que são definidas apenas pelo valor numérico que especifica sua
magnitude, são denominadas grandezas escalares. No entanto, há inúmeras grandezas que
não ficam completamente definidas ao indicar apenas a sua magnitude.
A intensidade da velocidade de um avião, por exemplo, indica o quão rápido ele se desloca, mas
nada informa em qual direção ou sentido seu deslocamento (movimento) ocorre.
Da mesma forma, quando aplicamos uma força para empurrar uma pessoa, é essencial informar
em qual direção e sentido estamos atuando, para que a nossa ação fique claramenteProcessing math: 12%
definida. Tais grandezas, descritas com a especificação de sua magnitude, direção e sentido são
denominadas de grandezas vetoriais.
 
Imagem: David Crockett/Shutterstock.com
No estudo da Física, em especial, já conhecemos inúmeras grandezas desta natureza. Além de
velocidade, aceleração e força, mais conhecidas, há outros conceitos mais elaborados, como
campo elétrico e campo magnético, em que os aspectos de direção e sentido também são
pertinentes. Logo, é importante definir uma nova entidade que irá representar tais grandezas,
que são os famosos vetores.
VETORES
Um vetor, portanto, é uma entidade abstrata que possui três elementos associados: magnitude
(ou intensidade ou, ainda, módulo), direção e sentido.
RELEMBRANDO
Se você estudou um pouco de Física no Ensino Médio, deve se lembrar de que eram usadas
setinhas para representar geometricamente as grandezas vetoriais. Vamos relembrar essa
questão para que fique claro que as setinhas, também chamadas de segmentos orientados, são,
de fato, uma utilíssima forma de representar vetores.
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