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PROPOSIÇÕES LÓGICAS
É UMA FRASE DECLARATIVA
(DECLARAÇÃO)
ADMITE VALORES LÓGICOS:
VERDADEIRO (V) FALSO (F)
É UMA ORAÇÃO (PRESENÇA DE SUJEITO E PREDICADO) 
É DECLARATIVA
TEM UM, E SOMENTE UM, VALOR LÓGICO. (OU V OU F) 
FRASES EXCLAMATIVAS
FRASES INTERROGATIVAS 
FRASES IMPERATIVAS (ORDENS)
SENTENÇAS SEM VERBO 
FRASES ABERTAS: “X + 1 = 7” 
FRASES PARADOXAIS: “SÓ SEI QUE NADA SEI.” 
CONCEITO CARACTERÍSTICAS BÁSICAS
MACETE (NÃO PROPOSIÇÕES)
ORDENS
PARADOXAIS
ABERTAS
INTERROGATIVAS
EXCLAMATIVAS
SEM VERBO
O PAI É SEVERINONÃO SÃO PROPOSIÇÕES
PROPOSIÇÕES LÓGICAS
NÃO PODE SER DIVIDIDA EM
PROPOSIÇÕES MENORES.
SÃO DUAS OU MAIS PROPOSIÇÕES CONECTADAS
ENTRE SI, RESULTANDO NUMA ÚNICA 
DECLARAÇÃO.
SIMPLES
COMPOSTAS
UMA PROPOSIÇÃO SÓ PODE TER UM DOS DOIS VALORES LÓGICOS, ISTO É, 
OU É VERDADEIRA (V) OU FALSA (F), NÃO PODENDO TER OUTRO VALOR
PRINCÍPIO DA TERCEIRO EXCLUÍDO
PRINCÍPIO DA IDENTIDADE
PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO
TIPOS DE PROPOSIÇÃO
REPRESENTAÇÃO
DAS
PROPOSIÇÕES
Exemplo
P: JOÃO É PROFESSOR.
Q: 10 > 12.
R: EVA FOI AO HOSPITAL VISITAR BIA
NA RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
ENVOLVENDO PROPOSIÇÕES, 
UTILIZA-SE, PARA FACILITAR A 
RESOLUÇÃO, A REPRESENTAÇÃO 
POR MEIO DE LETRAS.
UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA É SEMPRE VERDADEIRA. UMA 
PROPOSIÇÃO FALSA É SEMPRE FALSA. 
PRINCÍPIOS
UMA PROPOSIÇÃO NÃO PODE SER VERDADEIRA E FALSA
SIMULTANEAMENTE. 
CONECTIVO:
REPRESENTAÇÃO:
VALOR LÓGICO:
CONECTIVO:
REPRESENTAÇÃO:
VALOR LÓGICO:
e
^
VERDADEIRO = AMBAS FOREM V
FALSO = UMA OU MAIS FOR F
ou
v
VERDADEIRO = UMA OU MAIS FOR V
FALSO = AMBAS/TODAS FOREM F
CONJUNÇÃO
DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
TIPOS
CONCEITO
ELEMENTOS QUE UNEM AS PROPOSIÇÕES
SIMPLES PARA FORMAR AS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS. 
CONECTIVOS LÓGICOS
DISJUNÇÃOCONJUNÇÃO
CONECTIVOS LÓGICOS
MACETE (CONDICIONAL)
A VELHA FOFOQUEIRA É FALSA
V  F (F)
VL  VALOR LÓGICO
OBS:
CONECTIVO:
REPRESENTAÇÃO:
VALOR LÓGICO:
↔
VERDADEIRO = FOREM IGUAIS
FALSO = FOREM DIFERENTES
SE E SOMENTE SE
CONECTIVO:
REPRESENTAÇÃO:
VALOR LÓGICO:
OU . . .OU
v
VERDADEIRO = VL CONTRÁRIOS
FALSO = VL IGUAIS
CONECTIVO:
REPRESENTAÇÃO:
VALOR LÓGICO:
SE . . . ENTÃO
→
VERDADEIRO = DEMAIS CASOS
FALSO = PRIMEIRA V E SEGUNDA F
CONDICIONALDISJUNÇÃO EXCLUSIVA
BICONDICIONAL
SE P, Q 
Q, SE P
QUANDO P, Q
TODO P É Q
P IMPLICA Q
P É CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA Q
Q É CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA P
P SOMENTE SE Q
P SE E SÓ SE Q
SE P ENTÃO Q E SE Q ENTÃO P
P SOMENTE SE Q E Q SOMENTE SE P
TODO P É Q E TODO Q É P
P É CONDIÇÃO SUFICIENTE E NECESSÁRIA PARA Q
Q É CONDIÇÃO SUFICIENTE E NECESSÁRIA PARA P
A PROPOSIÇÃO BICONDICIONAL É EQUIVALENTE A UMA 
CONJUNÇÃO DE DUAS CONDICIONAIS
p ↔ q = (p → q) ^ (q → p)
OBS:
CONECTIVOS LÓGICOS
EXPRESSÕES EQUIVALENTES AO “SE ... ENTÃO”
EXPRESSÕES EQUIVALENTES AO “SE E SOMENTE SE”
VALOR LÓGICO DE P VALOR LÓGICO DE Q ( P ^ Q) (P V Q) (P V Q) (P → Q) (P ↔ Q)
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
CONECTIVOS LÓGICOS
P É CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA Q.
Q É CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA P
NA PROPOSIÇÃO, p ↔ q
P É CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE 
PARA Q, E VICE-VERSA.
TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS:
CONDIÇÃO SUFICIENTE X CONDIÇÃO NECESSÁRIA
NA PROPOSIÇÃO, p → q
NEGAÇÃO
OPERADOR “NÃO”
VALOR 
LÓGICO
EXPRESSÕES 
EQUIVALENTES
VALOR LÓGICO CONTRÁRIO DO 
VALOR DA PROPOSIÇÃO QUE SE 
DEVE NEGAR
NÃO É VERDADE QUE...
É FALSO QUE...
É MENTIRA QUE...
NO CASO DE DUPLA NEGAÇÃO:
* NÃO HÁ ALTERAÇÃO.
NO CASO DE VÁRIAS NEGAÇÕES:
* QUANTIDADE ÍMPAR = VL SERÁ INVERTIDO
* QUANTIDADE PAR = VL CONTINUA O MESMO
P ~P
V F
F V
BASTA EXCLUIR A PALAVRA “NÃO”
EX: MARIA NÃO É PROFESSORA
NEGATIVA: MARIA É PROFESSORA
SIMBOLO
¬ ~ou
USADO PARA NEGAR
PROPOSIÇÕES SIMPLES
TABELA-VERDADE DA NEGAÇÃO:
NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO:
NÚMERO DE LINHAS:
n = QUANTIDADE DE PROPOSIÇÃO 
SIMPLES
TAUTOLOGIA
CONTRADIÇÃO
CONTINGÊNCIA
PROPOSIÇÃO COMPOSTA CUJO
VALOR LÓGICO É SEMPRE V
NA ÚLTIMA COLUNA DA TABELA-
VERDADE SÓ HÁ VALOR LÓGICO V
PROPOSIÇÃO COMPOSTA CUJO VALOR LÓGICO É 
SEMPRE F
NA ÚLTIMA COLUNA DA TABELA-VERDADE
SÓ HÁ VALOR LÓGICO F
PROPOSIÇÃO COMPOSTA CUJO
VALOR LÓGICO PODE SER V OU F
NA ÚLTIMA COLUNA DA TABELA-
VERDADE HÁ VALOR LÓGICO V E F
𝟐𝒏É UMA TABELA EM QUE SÃO ANALISADOS OS VALORES LÓGICOS DE 
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS.
TABELA-VERDADE
CONCEITO:
ARGUMENTAÇÃO LÓGICA 
TIPOS DE QUESTÕES
1. VERIFICAR SE OS ARGUMENTOS SÃO VÁLIDOS OU INVÁLIDOS 
2. QUAL A CONCLUSÃO MAIS APROPRIADA PARA DETERMINADO CONJUNTO DE 
INFORMAÇÕES 
3. RECONHECER O TIPO DE ARGUMENTO QUE ESTÁ SENDO EMPREGADO 
ARGUMENTO LÓGICO
RELAÇÃO QUE ASSOCIA UM CONJUNTO DE PROPOSIÇÕES
(PREMISSAS OU HIPÓTESES), A UMA PROPOSIÇÃO
(CONCLUSÃO OU TESE)
OBS.: NEM TODOS OS CONJUNTOS DE PROPOSIÇÕES SÃO ARGUMENTOS.
É NECESSÁRIO QUE:
1. UMA DELAS (A CONCLUSÃO) EXPRIMA A IDEIA QUE SE QUER 
DEFENDER.
2. AS DEMAIS (AS PREMISSAS) SEJAM APRESENTADAS COMO
RAZÕES A FAVOR DESSA IDEIA.
ARGUMENTO LÓGICO 
P1
P2
...
Pn
____
C
P1 ; P2 ; ... ; Pn ⊢ C
REPRESENTAÇÃO DE UM 
ARGUMENTO 
FORMA SIMBÓLICA 
FORMA PADRONIZADA 
ANALOGIA 
ARGUMENTO DEDUTIVO 
ARGUMENTO INDUTIVO 
ARGUMENTOS CATEGÓRICOS E HIPOTÉTICOS 
SILOGISMO 
REDUCTIO AD ABSURDUM 
DILEMA 
MODUS PONENS 
MODUS TOLLENS TIPOS DE ARGUMENTOS
QUANDO A CONCLUSÃO ESTÁ EXPLÍCITA NAS 
PREMISSAS. 
SÃO ESTÉREIS (NÃO PRODUZEM CONHECIMENTO NOVO ) 
ESTRUTURA DO SILOGISMO 
SILOGISMO FORMADO POR DUAS PREMISSAS E UMA CONCLUSÃO 
TERMO MAIOR TERMO MÉDIO TERMO MENOR 
ENCONTRADO NA PREMISSA MAIOR
E NA CONCLUSÃO 
ENCONTRADO NAS DUAS 
PREMISSAS, MAS NUNCA NA 
CONCLUSÃO. 
ENCONTRADO NA PREMISSA 
MAIOR E TAMBÉM NA 
CONCLUSÃO 
TODO HOMEM É MAMÍFERO. 
TODO MENINO É HOMEM.
LOGO, TODO MENINO É MAMÍFERO 
TERMO MAIOR 
TERMO MÉDIO
TERMO MENOR 
EXEMPLIFICANDO
1. TODO SILOGISMO CONTÉM 
SOMENTE 3 TERMOS: MAIOR, MÉDIO 
E MENOR 
2. OS TERMOS DA CONCLUSÃO NÃO
PODEM TER EXTENSÃO MAIOR QUE 
OS TERMOS DAS PREMISSAS
3. O TERMO MÉDIO NÃO PODE 
ENTRAR NA CONCLUSÃO
4. O TERMO MÉDIO DEVE SER UNIVERSAL
AO MENOS UMA VEZ 
5. DE DUAS PREMISSAS NEGATIVAS, 
NADA SE CONCLUI
6. DE DUAS PREMISSAS AFIRMATIVAS NÃO
PODE HAVER CONCLUSÃO NEGATIVA
7. A CONCLUSÃO SEGUE SEMPRE A 
PREMISSA MAIS FRACA 
8. DE DUAS PREMISSAS PARTICULARES, 
NADA SE CONCLUI
REGRAS DE VALIDADE DE UM SILOGISMO 
ARGUMENTO 
DEDUTIVO 
CONCEITO 
ARGUMENTO DEDUTIVO 
REDUCTIO AD ABSURDUM 
(REDUÇÃO AO ABSURDO)
DEMONSTRAR UMA CONCLUSÃO A PARTIR DA 
PROVA DE QUE SUA NEGAÇÃO É FALSA. 
P NÃO-P 
UMA PROPOSIÇÃO 
FALSA OU UMA 
CONTRADIÇÃO 
NÃO-P É FALSO. 
LOGO, P É 
VERDADEIRO. 
DEMONSTRAR
ADMITIR
DEDUZIR
CONCLUIR
DILEMA 
DILEMA SIMPLES 
CLASSIFICAÇÃO (VALOR LÓGICO 
ATRIBUÍDO)
A CONCLUSÃO É COMPOSTA POR 
UMA PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA 
A CONCLUSÃO É COMPOSTA 
POR UMA DISJUNÇÃO 
UTILIZAÇÃO DA VERACIDADE DE UMA 
PROPOSIÇÃO DISJUNTIVA E DE UMA 
PROPOSIÇÃO CONDICIONAL. 
UTILIZAÇÃO DA VERACIDADE DE UMA 
PROPOSIÇÃO DISJUNTIVA, DE UMA PROPOSIÇÃO 
CONDICIONAL E DA CORRESPONDENTE 
PROPOSIÇÃO CONTRAPOSITIVA. 
P → Q ; R → S ; P ˅ R ⊢ Q ˅ S P → Q, R → S, ~Q ˅ ~S ⊢ ~P ˅ ~R
DILEMA DESTRUTIVO DILEMA COMPLEXO DILEMA CONSTRUTIVO 
CLASSIFICAÇÃO (SENTENÇA EM 
SUA CONCLUSÃO)
ARGUMENTO DEDUTIVO 
MODUS PONENS 
(AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTE)
AQUELE QUE SE BASEIA EM UMA PROPOSIÇÃO 
CONDICIONAL DA FORMA P → Q
É IMPOSSÍVEL TER-SE PREMISSAS VERDADEIRAS
E CONCLUSÃO FALSA. 
FORMA SIMBÓLICA
P → Q ; P ⊢ Q
+ =P1: "SE P, ENTÃO Q" P2: P C: Q
EXEMPLIFICANDO
P1: SE A CASA ESTÁ COMPLETAMENTE FECHADA, ENTÃO 
OS MORADORES SAÍRAM.
P2: A CASA ESTÁ COMPLETAMENTE FECHADA.
C: LOGO, OS MORADORES SAÍRAM. 
É BASEADO NA EQUIVALÊNCIA DE UMA 
PROPRIEDADE CONDICIONAL E A RESPECTIVA
CONTRAPOSITIVA. 
FORMA SIMBÓLICA
P → Q ; ~Q ⊢ ~P
+ =P1: "SE P, ENTÃO Q" P2: ~Q C: ~P
P1: SE VOCÊ NÃO DISSIPOU AS DÚVIDAS DO CAMINHO QUE 
TRAÇOU PARA SI MESMO, ENTÃO VOCÊ NÃO É UM SÁBIO.
P2: ORA, VOCÊ É UM SÁBIO.
C: LOGO, VOCÊ DISSIPOU AS DÚVIDAS DO CAMINHO QUE TRAÇOU 
PARA SI MESMO. 
EXEMPLIFICANDO
MODUS TOLLENS
(NEGAÇÃO DO CONSEQUENTE)
ARGUMENTO INDUTIVO 
CONCEITO DEDUÇÃOINDUÇÃO
1. SE TODAS AS PREMISSAS SÃO VERDADEIRAS, A 
CONCLUSÃO É PROVAVELMENTE VERDADEIRA, MAS 
NÃO NECESSARIAMENTE VERDADEIRA.
2. A CONCLUSÃO CONTÉM INFORMAÇÃO NÃO 
PRESENTE NAS PREMISSAS, MESMO IMPLICITAMENTE.
3. PARTE-SE DE INFORMAÇÕES PARTICULARES PARA 
SE CHEGAR NUMA CONCLUSÃO UNIVERSAL.
x
ANALOGIA 
QUANDO SE RESSALTAM CARACTERÍSTICAS 
EM COMUM PARA CONCLUIR O MESMO
RESULTADO VÁLIDO PARA AS DEMAIS
(MESMO SEM DEPENDÊNCIA ENTRE ELAS)
1) NÚMERO DE ENTIDADES ENVOLVIDAS
2) NÚMERO DE CARACTERÍSTICAS EM COMUM
3) RELEVÂNCIA DAS CARACTERÍSTICAS ENVOLVIDAS PARA 
A CONCLUSÃO DESEJADA.
4) FORÇA DA CONCLUSÃO EM RELAÇÃO À PREMISSA.
5) NÚMERO DE DESANALOGIAS ENVOLVIDAS 
PODEM SER CLASSIFICADAS COMO:
FORTE: SE INDICAR, INTUITIVAMENTE, QUE 
A CONCLUSÃO TEM ALTA CHANCE DE 
REALMENTE OCORRER.
FRACA, CASO CONTRÁRIO. 
FATORES QUE INFLUENCIAM A FORÇA DA 
ANALOGIA:
1. SE TODAS AS PREMISSAS SÃO 
VERDADEIRAS, A CONCLUSÃO DEVE SER 
VERDADEIRA.
2. A INFORMAÇÃO CONTIDA NA CONCLUSÃO 
JÁ ESTAVA PRESENTE NAS PREMISSAS, 
MESMO QUE IMPLICITAMENTE.
3. PARTE-SE DE INFORMAÇÕES GERAIS
PARA SE CHEGAR NUMA CONCLUSÃO 
PARTICULAR. 
AQUELE CUJA CONCLUSÃO TRAZ MAIS
INFORMAÇÕES QUE AS PREMISSAS FORNECEM.
CONCLUSÃO PROVÁVEL, MAS NÃO CERTA.
PARTE-SE DE INFORMAÇÕES PARTICULARES
PARA SE CHEGAR NUMA CONCLUSÃO
UNIVERSAL. 
NÃO PODEM SER AVALIADOS COMO SENDO 
VÁLIDOS OU INVÁLIDOS, E SIM COMO MAIS 
FORTES OU MAIS FRÁGEIS. 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA DUAS PROPOSIÇÕES SÃO LOGICAMENTEEQUIVALENTES QUANDO APRESENTAM 
TABELAS-VERDADE IDÊNTICAS.
IDEMPOTENTE
ABSORÇÃO
COMUTATIVAS
ASSOCIATIVAS
DISTRIBUTIVAS
p ^ p = p
p ˅ p = p
p ˅ (p ^ q) = p
p ^ (p ˅ q) = p
p ^ q = q ^ p
p ˅ q = q ˅ p
p ⟷ q = q ⟷ p
(p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r)
(p ˅ q) ˅ r = p ˅ (q ˅ r)
p ^ (q ˅ r) = (p ^ q) ˅ (p ^ r)
p ˅ (q ^ r) = (p ˅ q) ^ (p ˅ r)
CONCEITO
PROPRIEDADES 
FUNDAMENTAIS DE 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
CONDICIONAL PARA CONDICIONAL CONDICIONAL PARA DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO PARA CONDICIONAL
1º PASSO:
2º PASSO:
p ⟶ q = ~q ⟶ ~p
TROCAM-SE OS TERMOS DA 
CONDICIONAL DE POSIÇÃO
NEGAM-SE AMBOS OS TERMOS
1º PASSO:
2º PASSO:
p ⟶ q = ~p ˅ q
3º PASSO:
NEGA-SE O PRIMEIRO TERMO
MANTÉM-SE O SEGUNDO TERMO
TROCA-SE O CONECTIVO CONDICIONAL PELO OU
1º PASSO:
2º PASSO:
3º PASSO:
p ˅ q = ~p ⟶ q
NEGA-SE O PRIMEIRO TERMO
MANTÉM-SE O SEGUNDO TERMO
TROCA-SE O CONECTIVO OU PELA CONDICIONAL
BICONDICIONAL PARA CONJUNÇÃO
p ⟷ q
(p ⟶ q) ^ (q ⟶ p)
(~q ⟶ ~p) ^ (q ⟶ p)
(p ⟶ q) ^ (~p ⟶ ~q)
(~q ⟶ ~p) ^ (~p ⟶ ~q)
BICONDICIONAL PARA BICONDICIONAL
1º PASSO:
2º PASSO:
p ⟷ q = ~p ⟷ ~q
NEGAM-SE AMBOS OS TERMOS
MANTEM-SE O CONECTIVO 
BICONDICIONAL
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA PARA BICONDICIONAL
É EQUIVALENTE A UMA BICONDICIONAL COM UM DOS TERMOS 
NEGADOS
OU
p v q = p ⟷ ~q
p v q = ~p ⟷ q
EQUIVALÊNCA LÓGICA
QUADRO-RESUMO:
NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO 
(1ª LEI DE MORGAN) 
~(p e q) = ~p ou ~q
1º PASSO:
2º PASSO:
3º PASSO: TROCAMOS E POR OU
NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO 
(2ª LEI DE MORGAN) 
1º PASSO:
2º PASSO:
3º PASSO:
NEGAMOS A PRIMEIRA PARTE: ~p
NEGAMOS A SEGUNDA PARTE: ~q
TROCAMOS OU POR E
~(p ou q) = ~p e ~q
NEGAÇÃO DA CONDICIONAL 
1º PASSO:
2º PASSO:
3º PASSO:
MANTÉM A PRIMEIRA PARTE: p
NEGAMOS A SEGUNDA PARTE: ~q
TROCAMOS “SE ENTÃO” POR E
~(p ⟶ q) = p ^ ~q
NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL 
1º PASSO:
2º PASSO:
3º PASSO:
MANTÉM A PRIMEIRA PARTE: p
MANTÉM A SEGUNDA PARTE: q
TROCAMOS SE SOMENTE SE PELO OU
EXCLUSIVO
~(p ⟷ q) = p ˅ q
NEGAMOS A PRIMEIRA PARTE: ~p
NEGAMOS A SEGUNDA PARTE: ~q
NEGAÇÃO LÓGICA
CONCEITO
É UM CONJUNTO DE AFIRMAÇÕES CUJO
ENCADEAMENTO LÓGICO RESULTARÁ 
EM UMA CONCLUSÃO,
TIPO 1 TIPO 2
HÁ NO CONJUNTO DE INFORMAÇÕES TRAZIDAS NO
ENUNCIADO UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES OU UMA 
CONJUNÇÃO.
NÃO HÁ NO CONJUNTO DE INFORMAÇÕES TRAZIDAS 
NO ENUNCIADO UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES OU UMA 
CONJUNÇÃO.
TIPOS DE QUESTÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA
IMPLICAÇÃO LÓGICA
TIPO 1 TIPO 2
1º PASSO:
2º PASSO:
1º PASSO:
2º PASSO:
3º PASSO:
CONSIDERAR AS PREMISSAS COMO VERDADEIRAS E, 
COM O CONHECIMENTO DAS TABELAS-VERDADE 
DOS CONECTIVOS, DESCOBRIR OS VALORES 
LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES PRESENTES 
NAS PREMISSAS
VERIFICAR ENTRE AS OPÇÕES DE RESPOSTA AQUELA 
QUE TRAZ UMA PROPOSIÇÃO NECESSARIAMENTE
VERDADEIRA DIANTE DOS VALORES LÓGICOS DAS 
PROPOSIÇÕES SIMPLES, ENCONTRADOS NO PASSO 
ANTERIOR
ATRIBUIR UM VALOR LÓGICO PARA UMA DAS 
PROPOSIÇÕES SIMPLES, PREFERENCIALMENTE 
AQUELA QUE MAIS SE REPETE.
SUBSTITUIR ESTE VALOR LÓGICO NAS PREMISSAS, 
QUE SERÃO CONSIDERADAS VERDADEIRAS, E 
OBSERVAR SE IRÁ APARECER ALGUMA 
CONTRADIÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS.
VERIFICAR ENTRE AS OPÇÕES DE RESPOSTA 
AQUELA QUE TRAZ UMA PROPOSIÇÃO
NECESSARIAMENTE VERDADEIRA DIANTE DOS 
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES, 
ENCONTRADOS NO PASSO ANTERIOR
MÉTODO DE RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES
IMPLICAÇÃO LÓGICA
EXEMPLO: QUESTÃO TIPO 1
CONSIDERE VERDADEIRAS AS PREMISSAS A SEGUIR:
P1: SE PAULO É MÉDICO, ENTÃO SANDRA NÃO É ESTUDANTE.
P2: SE SANDRA NÃO É ESTUDANTE, ENTÃO ANA É SECRETÁRIA.
P3: OU ANA NÃO É SECRETÁRIA, OU MARINA É ENFERMEIRA.
P4: MARINA NÃO É ENFERMEIRA.
LOGO, PODE-SE CONCLUIR QUE: 
A) PAULO É MÉDICO OU ANA É SECRETÁRIA.
B) SANDRA É ESTUDANTE E PAULO É MÉDICO. 
C) PAULO É MÉDICO OU ANA NÃO É SECRETÁRIA. 
HÁ UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES OU UMA CONJUNÇÃO?
SIM (P4 É SIMPLES). LOGO: TIPO 1 
APLICAR PASSO 1:
1- COMEÇAR PELA P4 (PROPOSIÇÃO SIMPLES):
P1: P ⟶ ~S
P2: ~S → A
P3: ~A ∨ M
P4: ~M
REPRESENTAÇÃO:
~M É V. LOGO, M É F
2 - SUBSTITUIR M POR F EM P3: 
~A ∨ F => PARA QUE A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
SEJA VERDADEIRA, É PRECISO QUE ~A SEJA V. 
LOGO, A É F. 
3 - SUBSTITUIR A POR F EM P2: 
~S → F => PARA QUE A CONDICIONAL SEJA 
VERDADEIRA, É NECESSÁRIO QUE A 
PROPOSIÇÃO ~S SEJA F. LOGO, S É V
4 - SUBSTITUIR ~S POR F EM P1: 
P ⟶ F => PARA QUE A CONDICIONAL SEJA 
VERDADEIRA, É NECESSÁRIO QUE A 
PROPOSIÇÃO P SEJA F. LOGO, P É F
APLICAR PASSO 2:
A) PAULO É MÉDICO OU ANA É SECRETÁRIA.
ITEM ERRADO. TEMOS UMA DISJUNÇÃO. SERÁ V SE AO 
MENOS UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES FOR V. 
B) SANDRA É ESTUDANTE E PAULO É MÉDICO. 
ITEM ERRADO. TEMOS UMA CONJUNÇÃO. SERÁ V QUANDO 
AS DUAS PROPOSIÇÃO SIMPLES FOREM V.
C) PAULO É MÉDICO OU ANA NÃO É SECRETÁRIA.
ITEM CERTO. TEMOS UMA DISJUNÇÃO. SERÁ V SE AO 
MENOS UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES FOR V.
A SEGUNDA PARTE É V. LOGO, TODA A PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA É V.
RESPOSTA: C
EXEMPLO: QUESTÃO TIPO 2
CONSIDERE VERDADEIRAS AS PREMISSAS A SEGUIR:
P1: SE OCORRER UMA CRISE ECONÔMICA, ENTÃO O DÓLAR NÃO SUBIRÁ.
P2: OU O DÓLAR SUBIRÁ, OU OS SALÁRIOS SERÃO REAJUSTADOS, MAS NÃO AMBOS.
P3: OS SALÁRIOS SERÃO REAJUSTADOS SE, E SOMENTE SE, NÃO OCORRER UMA CRISE ECONÔMICA. 
LOGO, PODE-SE CONCLUIR QUE:
A) O DÓLAR NÃO SUBIRÁ, OS SALÁRIOS NÃO SERÃO REAJUSTADOS E NÃO OCORRERÁ UMA CRISE ECONÔMICA. 
B) O DÓLAR NÃO SUBIRÁ, OS SALÁRIOS SERÃO REAJUSTADOS E OCORRERÁ UMA CRISE ECONÔMICA. 
C) O DÓLAR NÃO SUBIRÁ, OS SALÁRIOS SERÃO REAJUSTADOS E NÃO OCORRERÁ UMA CRISE ECONÔMICA. 
HÁ UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES OU 
UMA CONJUNÇÃO?
NÃO. LOGO: TIPO 2 
REPRESENTAÇÃO:
P1: A → ~B
P2: B ˅ C 
P3: C ↔ ~A 
APLICAR PASSO 1:
ESCOLHIDA A PROPOSIÇÃO C, QUE APARECE NA P2 E NA P3.
ATRIBUIR VALOR LÓGICO V. 
1 - SUBSTITUIR C POR V EM P2 E EM P3: 
2 - SUBSTITUIR A POR F E ~ B POR V EM P1: 
APLICAR PASSO 2:
P1: F → V => VERDADE!
P2: F ˅ V
P3: V ↔ V 
REUNINDO OS RESULTADOS OBTIDOS, TEREMOS:
A É F => “NÃO OCORRERÁ UMA CRISE ECONÔMICA”.
B É F = > “O DÓLAR NÃO SUBIRÁ”.
C É V => “OS SALÁRIOS SERÃO REAJUSTADOS” 
APLICAR PASSO 3:
RESPOSTA: C
ANALISANDO AS ALTERNATIVAS, CONCLUÍMOS QUE A OPÇÃO CORRETA É A LETRA C 
P1: A → ~B
P2: B ˅ V => PARA QUE A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA SEJA 
V, É PRECISO QUE B SEJA F. LOGO, B É F.
P3: V ↔ ~A => PARA QUE A BICONDICIONAL SEJA V, É PRECISO 
QUE ~A SEJA V. LOGO, A É F. 
ENCONTRAMOS OS VALORES LÓGICOS DE TODAS AS PROPOSIÇÕES SIMPLES, SEM 
HAVER QUALQUER PROBLEMA NA HIPÓTESE C = V. 
DIAGRAMAS LÓGICOS
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
NENHUM S É P 
P
S
TODO S É P = V ALGUM S É P 
ALGUM S NÃO É P 
SERÁ F
SERÁ V
SERÁ F
TODO S É P NÃO
SIGNIFICA O MESMO 
QUE TODO P É S
TODO S É PNENHUM S É P 
ALGUM S NÃO É P
ALGUM S É P 
TODO S É P
S
P
ATENÇÃO!
DIAGRAMAS LÓGICOS
TODO S É P 
NENHUM S É P = V ALGUM S É P 
ALGUM S NÃO É P 
SERÁ F
SERÁ F
SERÁ V
P S
NENHUM S É P É 
LOGICAMENTE 
EQUIVALENTE A 
DIZER QUE 
NENHUM P É S
P S
NENHUM S É P 
ALGUM S É P = V TODO S É P 
ALGUM S NÃO É P 
SERÁ F
INDETERMINADO
INDETERMINADO
ALGUM S É P É 
LOGICAMENTE 
EQUIVALENTE A 
DIZER QUE ALGUM P 
É S
ALGUM S É P 
NENHUM S É P 
DIAGRAMAS 
LÓGICOS
S P
TODO S É P 
ALGUM S NÃO É P = V NENHUM S É P 
ALGUM S É P 
SERÁ F
INDETERMINADO
INDETERMINADO
ALGUM S NÃO É P 
QUALIDADE E EXTENSÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
PROPOSIÇÃO SÍMB. QUANTIFICADOR EXTENSÃO QUALIDADE
TODO S É P 
NENHUM S É P 
ALGUM S É P 
ALGUM S NÃO É P 
A
E
I
O
TODO
NENHUM
ALGUM
ALGUM
UNIVERSAL
UNIVERSAL
PARTICULAR
PARTICULAR
AFIRMATIVO
AFIRMATIVO
NEGATIVO
NEGATIVO
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 
CATEGÓRICAS 
PELO MENOS UM A É B
TODO A NÃO É B 
PELO MENOS UM A NÃO É B 
ALGUM A NÃO É B 
EXISTE A QUE NÃO É B 
TODO A É B 
ALGUM A É B 
NENHUM A É B 
ALGUM A É B
EXISTE A QUE NÃO É B 
NENHUM A NÃO É B 
TODO A É B NENHUM A É B
ALGUM A NÃO É B
RELAÇÃO DE OPOSIÇÃO ENTRE 
AS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
TODO A É B NENHUM A É B
ALGUM A É B ALGUM A NÃO É B
CONTRÁRIAS 
SUBALTERNAS SUBALTERNAS 
SUBCONTRÁRIAS
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
ESTUDA O CÁLCULO DA QUANTIDADE DE AGRUPAMENTOS
QUE PODEM SER FORMADOS COM OS ELEMENTOS DE UM 
DETERMINADO CONJUNTO, SOB CERTAS CONDIÇÕES.
CONCEITO
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
QUANDO UMA TAREFA PUDER SER DIVIDIDA EM n
ETAPAS, E CADA ETAPA PUDER SER REALIZADA DE mi 
MANEIRAS DIFERENTES (COM “i” VARIANDO DE 1 ATÉ n), 
O NÚMERO DE MANEIRAS PELAS QUAIS PODEMOS 
CONCLUIR A TAREFA É IGUAL AO PRODUTO:
2 OPÇÕES DE ENTRADA;
3 OPÇÕES DE PRATO PRINCIPAL;
2 OPÇÕES DE SOBREMESA
EXEMPLIFICANDO
2 x 3 x 2 = 12 opções 
m1 x m2 x m3 x ... x mn
FERRAMENTAS DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA
UM RESTAURANTE OFERECE EM SEU CARDÁPIO 2 OPÇÕES PARA A 
ENTRADA, 3 OPÇÕES DE PRATO PRINCIPAL E 2 OPÇÕES PARA A 
SOBREMESA. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES UM CLIENTE 
PODE ALMOÇAR NESSE RESTAURANTE, SABENDO QUE ELE 
ESCOLHEU UMA ENTRADA, UM PRATO PRINCIPAL E SOBREMESA? 
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
1º PASSO: CRIAR UM RESULTADO POSSÍVEL:
UMA POSSIBILIDADE É (1 2). 12. É POSSÍVEL? SIM!
2º PASSO: INVERTENDO A ORDEM: (2 1).
ENCONTRAMOS O NÚMERO 21.
3º PASSO: OS DOIS RESULTADOS FORAM IGUAIS OU DIFERENTES?
FORAM DIFERENTES: 12 ≠ 21 
LOGO: O CAMINHO DA RESOLUÇÃO SERÁ POR ARRANJO! 
IDENTIFICANDO O CAMINHO DA RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
DICA PARA DEFINIR O CAMINHO ENTRE ARRANJO OU COMBINAÇÃO 
QUAL FERRAMENTA UTILIZARÍAMOS PARA CALCULAR QUANTOS NÚMEROS 
DE DOIS ALGARISMOS DISTINTOS PODEM SER FORMADOS COM OS 
ALGARISMOS 1, 2, 3, E 4? 
1° PASSO
2° PASSO
3° PASSO
SEGUINDO O DIAGRAMA, TEMOS:
ELEMENTOS IGUAIS OU DISTINTOS? DISTINTOS
A ORDEM É IMPORTANTE? SIM
ARRANJO OU COMBINAÇÃO? 
ELEMENTOS
DISTINTOS
ARRANJO, COMBINAÇÃO OU PERMUTAÇÃO
ORDEM É IMPORTANTE?
SIM
ARRANJO OU
PERMUTAÇÃO
COMBINAÇÃO
NÃO
NÚMERO DE ELEMENTOS (N) É IGUAL AO NÚMERO
DE AGRUPAMENTOS DESEJADOS (P)?
SIM NÃO
PERMUTAÇÃO ARRANJO OU PFC
IGUAIS
PFC
CRIARMOS UM
RESULTADO
POSSÍVEL PARA 
O CONJUNTO
INVERTERMOS A 
ORDEM DO 
RESULTADO
QUE ACABAMOS 
DE CRIAR
SE OS DOIS 
RESULTADOS FOREM 
IGUAIS, O CAMINHO DA 
RESOLUÇÃO É POR 
COMBINAÇÃO; CASO 
CONTRÁRIO, POR 
ARRANJO
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
FÓRMULA DO ARRANJO:
EM QUE:
n: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO
UNIVERSO;
p: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO
DESEJADOFÓRMULA DA COMBINAÇÃO:
n: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO
UNIVERSO
p: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO
DESEJADO
Cn,p=
n!
n−p ! .p!
An,p=
n!
n−p !
FATORIAL DE UM NÚMERO 
CÁLCULO DA COMBINAÇÃO: 
CÁLCULO DO ARRANJO:
É O PRODUTO DO NÚMERO PELO SEU ANTECESSOR, 
PELO ANTECESSOR DO ANTECESSOR... ATÉ CHEGAR 
A 1 O ÚLTIMO TERMO DO PRODUTO.
EX:
7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1
4! = 4. 3. 2. 1
OBS: 0!= 1!= 1
EXEMPLO DE QUESTÃO 
DE COMBINAÇÃO:
EXEMPLO DE QUESTÃO 
DE ARRANJO:
COMO NÃO É PERMITIDO REPETIÇÕES, TRATA-SE DE UMA QUESTÃO 
DE ARRANJO.
APLICANDO A FÓRMULA DO ARRANJO, TEMOS:
TEMOS QUE: N = 8 E P = 4. 
OS ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO DEVEM SER DISTINTOS? SIM
A ORDEM ENTRE OS ELEMENTOS É IMPORTANTE? NÃO
LOGO, TRATA-SE DE UMA QUESTÃO DE COMBINAÇÃO
TENDO QUE N = 15 E P = 10, APLICANDO A FÓRMULA DA COMBINAÇÃO:
A15,10 =
15!
15−10 ! 10! =
15!
5! 10! =
15. 14. 13. 12. 11.10!
5. 4. 3. 2. 1. 10! = 3003
An,p=
n!
n−p !
A8,4 =
8!
8−4 ! =
8!
4! =
8. 7. 6. 5. 4!
4! = 1.680
COM AS LETRAS M, N, O, P, Q, S, T E X, 
FORMAM-SE CÓDIGOS DE QUATRO LETRAS, 
SENDO QUE REPETIÇÕES DAS LETRAS NÃO 
SÃO PERMITIDAS. QUAL O NÚMERO DE CÓDIGOS 
POSSÍVEIS?
ANA PRECISA FAZER UMA PROVA DE MATEMÁTICA
COMPOSTA DE 15 QUESTÕES. CONTUDO, PARA SER 
APROVADA, ANA SÓ PRECISA RESOLVER 10 
QUESTÕES DAS 15 PROPOSTAS. ASSIM, DE QUANTAS 
MANEIRAS DIFERENTES ANA PODE
ESCOLHER AS QUESTÕES? 
PERMUTAÇÃO
É UM CASO PARTICULAR DO ARRANJO. 
CONCEITO
É A MUDANÇA DE POSIÇÃO DOS ELEMENTOS DE UM 
AGRUPAMENTO, EM QUE A ORDEM SEJA IMPORTANTE.
O NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIVERSO (N)
É IGUAL AO NÚMERO DE ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO
DESEJADO (P).
OBS: NA PERMUTAÇÃO, NÃO IREMOS CALCULAR A QUANTIDADE DE 
AGRUPAMENTOS E SIM A QUANTIDADE DE FORMAS DE MUDARMOS OS 
ELEMENTOS DE UM DADO AGRUPAMENTO DE POSIÇÃO.
TIPOS DE PERMUTAÇÃO: 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
NÚMERO DE MANEIRAS DE ARRUMAR n ELEMENTOS 
EM n POSIÇÕES
DIFERENCIA APENAS PELA ORDEM DOS ELEMENTOS
NÃO HÁ REPETIÇÃO DE ELEMENTOS.
FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO SIMPLES:
EXEMPLIFICANDO
Pn= n! = 4! = 4. 3 . 2. 1 = 24
Pn= n!
DETERMINAR QUANTOS 
ANAGRAMAS POSSUI A 
PALAVRA AMOR
PERMUTAÇÃO
SIMPLES COM REPETIÇÃO CIRCULAR
PERMUTAÇÃO
NÚMERO DE MANEIRAS DE ARRUMAR n ELEMENTOS 
EM n POSIÇÕES
SE DIFERENCIA PELA ORDEM EM QUE OS ELEMENTOS 
APARECEM, E QUE PELO MENOS UM DESSES N 
ELEMENTOS SE REPETE.
n: NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIVERSO;
n1, n2 e n3: NÚMERO DE REPETIÇÕES DE CADA ELEMENTO QUE SE 
REPETE.
NA PALAVRA ARARAQUARA, TEMOS DEZ LETRAS, SENDO 
QUE O “A” APARECE CINCO VEZES E O “R” APARECE TRÊS
VEZES. LOGO:
n = 10
n1 = 5
n2 = 3
Pn
n1,n2,n3= n!n1! . n2. n3
Pn
n1,n2,n3= n!n1! . n2. n3
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO:
EXEMPLIFICANDO
P10
5,3= 10!5! 3! =
10 . 9 . 8 . 7. 6. 5!
3 . 2. 5! =10. 9. 8. 7 = 5040
CALCULAR QUANTOS ANAGRAMAS PODEM SER FORMADOS 
COM AS LETRAS DA PALAVRA “ARARAQUARA” 
PERMUTAÇÃO
É UM CAMINHO DE RESOLUÇÃO PARA QUESTÕES QUE SAEM POR 
PERMUTAÇÃO, E EM QUE OS ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO 
DESEJADO ESTARÃO DISPOSTOS NUMA LINHA FECHADA.
TODOS OS ELEMENTOS TERÃO UM ELEMENTO À SUA ESQUERDA E À 
SUA DIREITA.
n: NÚMERO DE ELEMENTOS DO 
CONJUNTO UNIVERSO
TEMOS 6 PESSOAS PARA OCUPAREM OS 6 LUGARES 
DISPONÍVEIS. ASSIM:
APLICAR A FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO CIRCULAR
n = 6
PCircular= (n−1)
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
EXEMPLIFICANDO
FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO CIRCULAR:
UMA MESA CIRCULAR TEM SEUS 6 LUGARES QUE SERÃO 
OCUPADOS PELOS 6 PARTICIPANTES DE UMA REUNIÃO. 
NESSA SITUAÇÃO, QUAL NÚMERO DE FORMAS DIFERENTES 
PARA SE OCUPAR ESSES LUGARES COM OS PARTICIPANTES 
DA REUNIÃO?
PCircular= (n−1)
PCircular= 6−1 ! = 5! = 120
COMBINAÇÃO COM 
REPETIÇÃO 
NÚMERO DE MANEIRAS DE FORMAR P AGRUPAMENTOS 
DISTINTOS OU NÃO ENTRE N ELEMENTOS DISTINTOS DADOS.
ARRANJO COM 
REPETIÇÃO
QUANDO CADA ELEMENTO DO AGRUPAMENTO DESEJADO É 
TRATADO MAIS DE UMA VEZ (COM REPOSIÇÃO) E, QUANDO A 
ORDEM É IMPORTANTE. 
NÃO DETERMINA QUE DEVEM SER “ALGARISMOS DISTINTOS”
CR3,6= C(3 + 6 − 1, 3)=
3 + 6 − 1 !
6! (3 − 1) ARn,p= n
p
AR5,4= 5
4=5. 5. 5. 5= 625
CR3,6=
8!
6! . 2! =
8 . 7 . 6!
6! . 2 =
56
2 = 28
CRn,p= C(n + p −1, p)=
n + p −1 !
p! (n −1)
ARn,p= n
p
FÓRMULA DA COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO: FÓRMULA DO ARRANJO COM REPETIÇÃO: 
EXEMPLIFICANDO EXEMPLIFICANDO
SUPONHA QUE UM SITE VENDE TRÊS TIPOS DE 
CURSOS: TEORIA, QUESTÕES E VÍDEOS. DE QUANTAS 
MANEIRAS UMA PESSOA PODE COMPRAR 6 CURSOS? 
DETERMINAR QUANTOS NÚMEROS DE 4 
ALGARISMOS PODEM SER FORMADOS COM OS 
ALGARISMOS DO CONJUNTO{1, 3, 5, 7, 9} 
PRINCÍPIO DA CASA 
DOS POMBOS 
SE TIVERMOS n POMBOS E p CASAS, E n > p, ENTÃO 
PELO MENOS UMA CASA TERÁ DOIS POMBOS.
CONCEITO
PASSOS PARA RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
EXEMPLIFICANDO
IMAGINE QUE TEMOS 3 CAIXAS MENORES, UMA PARA CADA COR 
DAS BOLAS, E QUE VAMOS RETIRAR AS BOLAS E COLOCA-LAS 
EM CADA CAIXA MENOR, REFERENTE À SUA COR.
1° PASSO: “CASAS” = CAIXAS MENORES.
“POMBOS” = BOLAS.
2° PASSO: CADA CAIXA MENOR TERÁ PELO MENOS UMA BOLA
3° PASSO: NÚMERO DE BOLAS DEVE SER MAIOR QUE O DA CAIXAS 
MENORES.
4° PASSO: CADA CAIXA MENOR DEVE TER PELO MENOS UMA BOLA, 
PARA GARANTIR QUE A PRÓXIMA BOLA TIRADA SEJA UMA COR REPETIDA.
LOGO, DEVE-SE TIRAR PELO MENOS 4 BOLAS.
IDENTIFICAR QUAIS SÃO AS “CASAS” E OS “POMBOS”,
DISTRIBUIR OS POMBOS NAS CASAS; 
DETERMINAR A RELAÇÃO EXISTENTE ENTRE AMBOS
APLICAR O PRINCÍPIO DA CASA DO POMBOS
SUPONHA QUE UMA CAIXA CONTÉM 3 TIPOS DE BOLAS 
(AZUIS, VERDES, AMARELAS). QUAL O NÚMERO 
MÍNIMO DE BOLAS QUE DEVEMOS RETIRAR DA CAIXA 
PARA GARANTIRMOS QUE TEMOS DUAS BOLAS DA 
MESMA COR? 
PROBABILIDADES
ESTUDO DA POSSIBILIDADE OU CHANCE DE 
ACONTECER UM DETERMINADO EVENTO.
CONCEITO
TEORIA DAS PROBABILIDADES
É AQUELE QUE, MESMO REPETIDO DIVERSAS 
VEZES SOB CONDIÇÕES IDÊNTICAS, PODE 
APRESENTAR RESULTADOS DIFERENTES.
LANÇAR UMA MOEDA E OBSERVAR A 
FACE DE CIMA;
LANÇAR UM DADO E OBSERVAR O 
RESULTADO;
É O CONJUNTO "S" DE TODOS OS 
RESULTADOS POSSÍVEIS DE UM 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO.
LANÇAR UMA MOEDA E OBSERVAR A FACE DE CIMA.
S = {CARA, COROA}.
N(S) = 2.
LANÇAR UM DADO E OBSERVAR O RESULTADO.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
N(S) = 6.
É QUALQUER SUBCONJUNTO DO ESPAÇO AMOSTRAL. 
OU SEJA, É O RESULTADO DESEJADO OU FAVORÁVEL.
N(S) = NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM ESPAÇO AMOSTRAL
NÚMERO DE ELEMENTOS DE CADA EVENTO N(X)
LANÇAR UM DADO E OBSERVAR A FACE PARA CIMA.
IDENTIFICAR O NÚMERO DE ELEMENTOS DO EVENTO 
QUE CONSISTE EM OBTER UM RESULTADO PAR NO 
LANÇAMENTO DO DADO
EVENTO: A = {2, 4, 6}. DAÍ, N(A) = 3.
TIPOS DE QUESTÕES
TEORIA DAS PROBABILIDADES TEORIA DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
CONCEITOS IMPORTANTES: 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO:
EX:
ESPAÇO AMOSTRAL: 
EX:
EVENTO:
EX:
CÁLCULO DA 
PROBABILIDADE 
A PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO X , SERÁ 
CALCULADA POR:
EXEMPLO:
1º PASSO: DEFINIR O ESPAÇO AMOSTRAL: ESCOLHER UMA BOLA, 
DE UMA URNA QUE CONTÉM 10 BOLAS.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Daí, n(S) = 10
2º PASSO: DEFINIR O EVENTO: A BOLINHA RETIRADA DA URNA 
DEVE SER UM MÚLTIPLO DE 2. 
OS NÚMEROS QUE SÃO MÚLTIPLOS DE 2 SÃO: {2, 4, 6, 8, 10}. 
LOGO, HÁ 5 RESULTADOS FAVORÁVEIS. OU SEJA: n(X) = 5
3º PASSO: EFETUAR O CÁLCULO DA PROBABILIDADE :
FÓRMULA:
P X = n(X)
n(S)
= 510 = 0,5 = 50%
1º PASSO: 
2º PASSO: 
3º PASSO: 
DEFINIR O NÚMERO DE ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL 
[n(S)], QUE É O NÚMERO DE RESULTADOS POSSÍVEIS.
DEFINIR O NÚMERO DE ELEMENTOS DO EVENTO [n(X)], 
QUE É O NÚMERO DE RESULTADOS FAVORÁREIS.
EFETUAR O CÁLCULO DA PROBABILIDADE: P X = n(X)
n(S)
P X = n(X)
n(S)
= n° De Resultados Favoráveis
n° De Resultados Possíveis
UMA URNA CONTÉM DEZ BOLINHAS NUMERADAS DE 1 A 
10. UMA BOLINHA É ESCOLHIDA AO ACASO. QUAL É A 
PROBABILIDADE DE SE OBSERVAR UM MÚLTIPLO DE 2? 
AXIOMAS DA 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADES
PROBABILIDADE DA 
INTERSECÇÃO DE 
EVENTOS 
1º) A PROBABILIDADE TEM VALOR MÁXIMO 100% (EVENTO CERTO) 
O CONTRÁRIO DO EVENTO CERTO É O IMPOSSÍVEL, CUJA 
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA É DE 0%. 
2º) A SOMA DAS PROBABILIDADES DE CADA ELEMENTO DO ESPAÇO 
AMOSTRAL É IGUAL A 1. 
QUANDO A QUESTÃO SOLICITAR A CHANCE DE OCORRÊNCIA CONJUNTA DE DOIS OU MAIS 
EVENTOS.
OS EVENTOS ESTARÃO LIGADOS PELO CONECTIVO “E” (DE FORMA EXPLÍCITA OU IMPLÍCITA )
P(B | A) É A PROBABILIDADE DE OCORRER O EVENTO B SABENDO QUE O EVENTO A JÁ OCORREU. 
0 ≤ P(X) ≤ 1 
P(A e B) = P(A) x P(B | A)
EXEMPLO: NUM LANÇAMENTO DE UM DADO, TEREMOS:
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 = 100%
CONSIDERE QUE EM UMA CAIXA CONTENHA 10 BOLAS, SENDO 8 
BRANCAS E 2 PRETAS. SE DUAS BOLAS FOREM ESCOLHIDAS 
ALEATORIAMENTE, QUAL A PROBABILIDADE DE AMBAS SEREM 
PRETAS?
EXEMPLO:
SEJAM OS EVENTOS:
A: OCORRE QUANDO A PRIMEIRA BOLA SELECIONADA É PRETA;
B: OCORRE QUANDO A SEGUNDA BOLA SELECIONADA É PRETA.
A PROBABILIDADE DE A PRIMEIRA BOLA SER PRETA É DADA POR:
P A = 210
SE É DADO QUE A PRIMEIRA BOLA É PRETA, ENTÃO SOBRA UMA ÚNICA BOLA 
PRETA (CASO FAVORÁVEL), EM 9 BOLAS RESTANTES. 
DAÍ, A PROBABILIDADE DE B, DADO A: 
P(B | A) = 19
POR FIM, A PROBABILIDADE DA INTERSEÇÃO 
SERÁ:
P(A∩ B) = P(A) x P(B | A)
P(A ∩ B) = 210 x 
1
9
P(A ∩ B) = 290 = 
1
45
P(A ∩ B) = 0,02222… = 2,222%
PROBABILIDADES
PROBABILIDADE DE EVENTOS 
INDEPENDENTES 
A E B, SÃO CONSIDERADOS INDEPENDENTES QUANDO A 
OCORRÊNCIA, OU NÃO OCORRÊNCIA, DE UM DELES NÃO
AFETA A PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DO OUTRO. 
NO CASO DE TRÊS EVENTOS: 
OBS: É NECESSÁRIO QUE SEJAM VERIFICADAS AS 4 IGUALDADES.
A PROBABILIDADE É DADA, POR:
P A e B = P(A ∩ B)= P A x P(B)
AO EFETUARMOS DOIS LANÇAMENTOS CONSECUTIVOS DE UM DADO, O 
EVENTO OBTER UM RESULTADO PAR EM CADA UM DELES É 
INDEPENDENTE, POIS O RESULTADO DO PRIMEIRO LANÇAMENTO EM 
NADA INFLUENCIA O RESULTADO DO SEGUNDO.
EXEMPLO:
TRÊS EVENTOS, A, B e C, SÃO INDEPENDENTES SE, E 
SOMENTE SE, OCORREREM AS SEGUINTES IGUALDADES:
P(A∩ B∩ C) = P(A) x P(B) x P(C)
P(A∩ B) = P(A) x P(B)
P(A∩ C) = P(A) x P(C)
P(B∩ C) = P(B) x P(C)
PROBABILIDADES
PROBABILIDADE DE EVENTOS 
MUTUAMENTE EXCLUDENTES 
DOIS EVENTOS, A E B, SÃO MUTUAMENTE EXCLUDENTES SE ELES 
NÃO PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE. 
CONCLUSÕES DIANTE DE DOIS EVENTOS 
MUTUAMENTE EXCLUDENTES, A E B:
CONCEITO
P(A | B) = 0 PROBABILIDADE DE A OCORRER DADO QUE B OCORREU É 0
P(B | A) = 0
P(A e B) = 0
PROBABILIDADE DE B OCORRER DADO
QUE A OCORREU É 0
PROBABILIDADE DE A E B OCORREREM 
SIMULTANEAMENTE É 0
P(A) + P(B) = 1 A SOMA DAS PROBABILIDADES DE A E BSERÁ SEMPRE IGUAL A 100%
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUDENTES
PROBABILIDADE DA UNIÃO 
DE DOIS EVENTOS 
PROBABILIDADES
QUANDO A QUESTÃO TROUXER UMA PERGUNTA REFERENTE 
A DOIS EVENTOS, LIGADOS ENTRE SI PELO CONECTIVO “OU”, 
DE FORMA EXPLÍCITA OU IMPLÍCITA.
OBS.: [P(A E B)] TRATA DA PROBABILIDADE DE 
OCORRÊNCIA SIMULTÂNEA DOS EVENTOS A E B. 
SE A E B FOREM MUTUAMENTE EXCLUDENTES, 
A FÓRMULA SE REDUZ A:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
P(A ou B) = P(A) + P(B)
OU ∪ SOMAR
E ∩ MULTIPLICAR
BIZU
EXEMPLO:
QUANDO PAULO VAI AO FUTEBOL, A PROBABILIDADE DE ELE ENCONTRAR RICARDO É 
0,4; A PROBABILIDADE DE ELE ENCONTRAR FERNANDO É IGUAL A 0,10; A 
PROBABILIDADE DE ELE ENCONTRAR AMBOS, RICARDO E FERNANDO, É IGUAL A 0,05. 
ASSIM, QUAL A PROBABILIDADE DE PAULO ENCONTRAR RICARDO OU FERNANDO?
1º: DEFINIR OS EVENTOS MENCIONADOS NA QUESTÃO:
A: OCORRE QUANDO, ESCOLHENDO-SE AO ACASO UM DIA EM QUE 
PAULO VAI AO FUTEBOL, ELE ENCONTRA RICARDO.
B: O EVENTO EQUIVALENTE, QUANDO PAULO ENCONTRA
FERNANDO.
2º: DEFINIR A PROBABILIDADE DE PAULO ENCONTRAR RICARDO OU
FERNANDO. 
ESTAMOS DIANTE DA REGRA DO OU, LOGO:
P(A) = 0,4
P(B) = 0,1
P(A ∩ B) = 0,05
APLICANDO A FÓRMULA, TEMOS:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
P(A ou B) = 0,4 + 0,1 – 0,05 = 0,45
PROBABILIDADE DO 
EVENTO COMPLEMENTAR 
SÃO COMPLEMENTARES QUANDO:
A UNIÃO DOS DOIS EVENTOS RESULTA NO ESPAÇO AMOSTRAL; 
OS DOIS EVENTOS SÃO MUTUAMENTE EXCLUDENTES 
(A INTERSECÇÃO ENTRE AMBOS É VAZIA).
É INDICADO POR UMA BARRA EM CIMA DA LETRA: A E Ā (COMPLEMENTARES)
PROBABILIDADES
1º: CALCULAR A PROBABILIDADE DE LÍGIA VERIFICAR O ÓLEO OU O PNEU:
OCORRE O EVENTO A QUANDO, NO DIA ESCOLHIDO, ELA VERIFICA O ÓLEO.
OCORRE O EVENTO B QUANDO, NO DIA SORTEADO, ELA VERIFICA O PNEU.
P(A) = 0,28
P(B) = 0,11
P(A e B) = 0,04 
SUBSTITUINDO NA FÓRMULA DA REGRA DO OU, TEMOS:
P(A OU B) = P(A) + P(B) – P(A E B)
P(A OU B) = 0,28 + 0,11 – 0,04 = 0,35
2º: CALCULAR A PROBABILIDADE DE LÍGIA VERIFICAR NENHUM DOS DOIS. 
1 = P(A) + P(തA)
OU
P(തA) = 1 – P(A)
QUANDO CALCULAMOS A PROBABILIDADE DO COMPLEMENTAR DE UM 
EVENTO E, ESTAMOS CALCULANDO A PROBABILIDADE DE NÃO OCORRER 
O EVENTO E. 
BIZU
QUANDO LÍGIA PÁRA EM UM POSTO DE GASOLINA, A PROBABILIDADE DEELA 
PEDIR PARA VERIFICAR O NÍVEL DE ÓLEO É 0,28; A PROBABILIDADE DE ELA 
PEDIR PARA VERIFICAR A PRESSÃO DOS PNEUS É 0,11 E A PROBABILIDADE DE 
ELA PEDIR PARA VERIFICAR AMBOS, ÓLEO E PNEUS, É 0,04. PORTANTO, QUAL A 
PROBABILIDADE DE LÍGIA PARAR EM UM POSTO DE GASOLINA E NÃO PEDIR 
NEM PARA VERIFICAR O NÍVEL DE ÓLEO E NEM PARA VERIFICAR A PRESSÃO 
DOS PNEUS?
EXEMPLO:
P(PELO MENOS UM DOS DOIS) = 1 – P(NENHUMA DOS DOIS)
P(PELO MENOS UM DOS DOIS) = 1 – 0,35 = 0,65 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
PROBABILIDADES
É A PROBABILIDADE DE UM EVENTO OCORRER, DADO QUE 
OUTRO OCORREU.
A PROBABILIDADE DE A OCORRER, DADO QUE B OCORREU, É 
A DIVISÃO ENTRE A PROBABILIDADE DE A E B OCORREREM 
SIMULTANEAMENTE E A PROBABILIDADE DE B OCORRER.
A: OCORRER UM RESULTADO PAR;
B: OCORRER UM RESULTADO INFERIOR A 4.
PARA O EVENTO A SER ATENDIDO, OS RESULTADOS FAVORÁVEIS SÃO 2, 
4 E 6. 
PARA O EVENTO B SER ATENDIDO, OS RESULTADOS FAVORÁVEIS SÃO 1, 
2 E 3. 
PARA QUE A E B OCORRAM SIMULTANEAMENTE (RESULTADO PAR E 
INFERIOR A 4), A ÚNICA POSSIBILIDADE É O RESULTADO IGUAL A 2. ISTO É, 
APENAS 1 DOS 6 RESULTADOS NOS ATENDE. ASSIM: P A B = P(A ∩ B)
P(B)
EXEMPLO:
NO LANÇAMENTO DE UM DADO, QUAL É A PROBABILIDADE 
DE OBTER UM RESULTADO PAR, DADO QUE FOI OBTIDO UM 
RESULTADO INFERIOR A 4?
P(A ∩ B) = 16 P(B) =
3
6
P A B = P(A∩B)
P(B)
= 
1
6
3
6
= 13 = 33,3%
CONCEITO
TEOREMA DE BAYES 
SEJAM OS EVENTOS:
A: ANA CHEGA ATRASADA AO TRABALHO;
Ā: ANA CHEGA AO TRABALHO EM TEMPO (É O EVENTO 
COMPLEMENTAR DE A);
A1: ANA VAI AO TRABALHO DE CARRO;
A2: ANA VAI AO TRABALHO DE ÔNIBUS;
A3: ANA VAI AO TRABALHO DE BICICLETA.
SÃO FORNECIDOS OS SEGUINTES DADOS:
P(A1) = 0,2 P(A|A1) = 0,15
P(A2) = 0,3 P(A|A2) = 0,1
P(A3) = 0,5 P(A|A3) = 0,08
BASEADO NO DIAGRAMA DE ÁRVORE, UTILIZA-SE QUANDO 
QUEREMOS CALCULAR A PROBABILIDADE DE UM EVENTO DA 
PRIMEIRA PARTE DO “GALHO” (B) DADA A CERTEZA DE 
OCORRÊNCIA DE UM EVENTO DA SEGUNDA PARTE DO “GALHO” 
(C). 
CONCEITO
CONSIDERE QUE HÁ TRÊS FORMAS DE ANA IR PARA O TRABALHO: DE CARRO, DE 
ÔNIBUS E DE BICICLETA. EM 20% DAS VEZES ELA VAI DE CARRO, EM 30% DAS 
VEZES DE ÔNIBUS E EM 50% DA VEZES DE BICICLETA. DO TOTAL DAS IDAS DE 
CARRO, ANA CHEGA ATRASADA EM 15% DELAS, DAS IDAS DE ÔNIBUS, CHEGA 
ATRASADA EM 10% DELAS E, QUANDO VAI DE BICICLETA, CHEGA ATRASADA EM 8%
DELAS. SABENDO-SE QUE UM DETERMINADO DIA ANA CHEGOU ATRASADA AO 
TRABALHO, QUAL A PROBABILIDADE DELA TER IDO DE CARRO?
P Ak A =
P Ak .P A Ak
σk=1
n P Ak .P(A | Ak)
EXEMPLO:
P A1 A =
P A1 .P A A1
P A1 .P A A1 + P A2 .P A A2 + P A3 .P A A3
P A1 A =
0,20 . 0,15
0,20 . 0,15 + 0,30 . 0,10 + 0,50 . 0,08
P A1 A = 0,30 = 30%
A
B1
B2
C1
C2
C3
C4
TEOREMA DA 
PROBABILIDADE TOTAL 
UTILIZA-SE QUANDO QUEREMOS CALCULAR A PROBABILIDADE DE UM 
EVENTO DA SEGUNDA PARTE DO “GALHO” DADA A CERTEZA DE 
OCORRÊNCIA DE UM EVENTO DA PRIMEIRA PARTE DO “GALHO”.
SEJAM OS EVENTOS:
A: MULHERES;
Ā: HOMENS (É O EVENTO COMPLEMENTAR DE A);
A1: FUMANTE;
A2: NÃO FUMANTE.
SÃO FORNECIDOS OS SEGUINTES DADOS:
P(A1) = 40%
P(A|A1) = 40%
P(Ā|A1) = 60%
P(A2) = 60%
P(A|A2) = 60%
P(Ā|A2) = 40%
P(A) = σk=1
n P(A | Ak) . P Ak
CONCEITO
QUAL TEOREMA USAR?
PROBABILIDADE TOTALBAYES
A QUESTÃO PEDE:
P(A)
A QUESTÃO PEDE:
P A1 A
BIZU:
EXEMPLO:
CONSIDERE QUE NUMA CIDADE 40% DA POPULAÇÃO ADULTA É FUMANTE, 40%
DOS ADULTOS FUMANTES SÃO MULHERES E 60% DOS ADULTOS NÃO-FUMANTES 
SÃO MULHERES. QUAL A PROBABILIDADE DE UMA PESSOA ADULTA DA CIDADE 
ESCOLHIDA AO ACASO SER UMA MULHER?
P(A) = P A A1 . P A1 + P A A2 . P A2
P(A) = 0,40 . 0,40 + 0,60 . 0,60
P(A) = 0,52 = 52,0%
PROBABILIDADE COM 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
1º PASSO: RESULTADOS POSSÍVEIS.
QUEREMOS ESCOLHER 3 PESSOAS DENTRE 15 POSSÍVEIS. É UM CASO 
DE COMBINAÇÃO DE 15, TOMADOS 3 A 3:
2º PASSO: RESULTADOS FAVORÁVEIS.
PRIMEIRO VAMOS ESCOLHER O ESTRANGEIRO. TEMOS QUE 
ESCOLHER 1 ESTRANGEIRO ENTRE 5 POSSÍVEIS. O NÚMERO 
DE MANEIRAS DE FAZER ISSO É:
EM SEGUIDA, ESCOLHEMOS OS DOIS NACIONAIS. TEMOS QUE 
ESCOLHER 2, ENTRE OS 10 EXISTENTES. O NÚMERO DE 
MANEIRAS DE FAZER ISSO É:
APLICANDO O PFC, TEMOS:
5 × 45
3º PASSO: CÁLCULO DA PROBABILIDADE.
A PROBABILIDADE É IGUAL À DIVISÃO ENTRE NÚMERO DE CASOS 
FAVORÁVEIS E POSSÍVEIS: 
EXEMPLO:
CONSIDERE UM GRUPO DE 15 PESSOAS DOS QUAIS 5 SÃO 
ESTRANGEIROS. AO SE ESCOLHER AO ACASO 3 PESSOAS DO 
GRUPO, SEM REPOSIÇÃO, QUAL A PROBABILIDADE DE EXATAMENTE 
UMA DAS TRÊS PESSOAS ESCOLHIDAS SER UM ESTRANGEIRO?
C15, 3 = 
15 . 14 . 13
3 . 2 . 1 = 5 . 7 . 13
C5, 1 = 5 
C15, 3 = 
10!
2! . 8! = 45
P= 5 x 455 x 7 x 13 =
45
91
TRIÂNGULOS
CONSIDERE O TRIÂNGULO ABAIXO.
A, B e C SÃO OS VÉRTICES DO TRIÂNGULO.
a, b e c SÃO OS LADOS DO TRIÂNGULO.
x, y e z SÃO OS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO 
ALTURA (H) DO TRIÂNGULO É UM SEGMENTO QUE PARTE
DA BASE (B) SENDO PERPENDICULAR A ELA 
OBS:
C
A
Ba
cb
x
y
z
h
•□
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO:
C
A
B
A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE QUALQUER 
TRIÂNGULO É 180º.
CLASSIFICAÇÃO DOS 
TRIÂNGULOS
QUANTO AOS ÂNGULOS
QUANTO AOS LADOS
TODOS OS ÂNGULOS DO
TRIÂNGULO FOREM AGUDOS 
HOUVER UM ÂNGULO 
RETO (= 90º) 
HOUVER UM ÂNGULO
OBTUSO (> 90º)
2 LADOS DO TRIÂNGULO
TÊM A MESMA MEDIDA
NENHUM LADO DO
TRIÂNGULO TÊM A MESMA
MEDIDA
3 LADOS DO TRIÂNGULO TÊM 
A MESMA MEDIDA
ACUTÂNGULO
RETÂNGULO
OBTUSÂNGULO
EQUILÁTERO 
ISÓSCELES
ESCALENO
TRIÂNGULOS
É A SEMIRRETA PERPENDICULAR A UM LADO DO 
TRIÂNGULO, TRAÇADA A PARTIR DO SEU PONTO 
MÉDIO 
É O CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA 
AO TRIÂNGULO (O TRIÂNGULO FICA DENTRO DA 
CIRCUNFERÊNCIA)
É O PONTO DE ENCONTRO DAS BISSETRIZES DOS 
ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO
É O CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA NO 
TRIÂNGULO 
É O SEGMENTO DE RETA QUE UNE O VÉRTICE DO 
TRIÂNGULO AO PONTO MÉDIO DO LADO OPOSTO.
É O PONTO DE ENCONTRO DAS TRÊS MEDIANAS.
LOCALIZA-SE A 2/3 DO VÉRTICE.
É O PONTO DE ENCONTRO DAS TRÊS ALTURAS DE UM 
TRIÂNGULO.
b
a c•M
MEDIANA
•
CA
B
CIRCUNCENTRO
••
•
□
•
MEDIATRIZ
O
O CIRCUNCENTRO PODE FICAR DENTRO OU 
FORA DO TRIÂNGULO 
MEDIATRIZ 
CIRCUNCENTRO
INCENTRO 
MEDIANA
BARICENTRO (CENTRO DE GRAVIDADE ) 
ORTOCENTRO 
AO = OB = OC
b
a c
B
•
•
□
•
•
•
o
b
a c
BARICENTRO ORTOCENTRO
CONGRUÊNCIA 
DE TRIÂNGULOS 
DOIS TRIÂNGULOS SÃO CONGRUENTES
QUANDO SEUS LADOS CORRESPONDENTES
APRESENTAM MEDIDAS IGUAIS.
CONCEITO
TENHAM TRÊS LADOS CONGRUENTES 
(caso LLL – lado, lado, lado) TENHAM DOIS LADOS CONGRUENTES, ASSIM COMO O ÂNGULO ENTRE AMBOS.
(caso LAL – lado, ângulo, lado) 
TENHAM UM LADO E DOIS ÂNGULOS 
CONGRUENTES
(casos ALA – ângulo, lado, ângulo; LAA –
lado, ângulo, ângulo) 
E
D
FB
A
C
B
A
C E
D
F
B
A
C E
D
F
B
A
C E
D
F
PARA QUE DOIS TRIÂNGULOS SEJAM CONGRUENTES, É 
SUFICIENTE QUE (PELO MENOS UM): 
SEMELHANÇA 
DE TRIÂNGULOS 
DOIS TRIÂNGULOS ABC E A’B’C’ SÃO DITO SEMELHANTES, SE: 
OS ÂNGULOS CORRESPONDENTES FOREM CONGRUENTES 
OS LADOS CORRESPONDENTES FOREM PROPORCIONAIS 
TEOREMA FUNDAMENTAL: SE UMA RETA É PARALELA A UM DOS LADOS 
DE UM TRIÂNGULO E INTERCEPTA OS OUTROS DOIS EM DOIS PONTOS 
DISTINTOS, ENTÃO O TRIÂNGULO QUE ELA DETERMINA É SEMELHANTE AO 
PRIMEIRO.
CONSIDERANDO QUE A RETA R É PARALELA AO 
LADO AB, OS TRIÂNGULOS ABC E XYC SÃO 
SEMELHANTES.C
A
B
b
a
c
C’
A’
B’
b’
a’
c’
C
A B
X Y
r
(෠A = ෠A′, ෡B =෡B′ e ෡C = ෡C′)
( aa′ =
b
b′ =
c
c′ )
ÁREA DO TRIÂNGULO 
É DADA PELO PRODUTO ENTRE A MEDIDA DA BASE 
E DA ALTURA, DIVIDIDO POR 2: 
POR MEIO DA MEDIDA DE SEUS LADOS. 
EM QUE: 
a, b, e c = LADOS DO TRIÂNGULO
S = SEMIPERÍMETRO
RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
DADO O TRIÂNGULO ABAIXO: 
EM QUE:
a – HIPOTENUSA
b e c – CATETOS
h – ALTURA RELATIVA A HIPOTENUSA
m e n – PROJEÇÕES DOS 
CATETOS SOBRE A 
HIPOTENUSA•□
c b
a
m n
h
AS RELAÇÕES MÉTRICAS QUE PODEMOS ESTABELECER SÃO:
1)
2) 
3)
4)
5) TEOREMA DE PITÁGORAS:
b.c = a.h
c² = a.m
b² = a.n
h² = m.n
a2= b2 + c²
A = b . h2
A= s. s−a . s−b .(s−c)
s = a + b + c2
OUTRA MANEIRA:
TRIGONOMETRIA
SEJA UMA CIRCUNFERÊNCIA DE CENTRO O SOBRE A QUAL 
TOMAMOS DOIS PONTOS DISTINTOS, A E B. A ABERTURA DO 
ÂNGULO α DESCREVE NA CIRCUNFERÊNCIA O ARCO AB. 
OS ÂNGULOSSÃO MEDIDOS EM GRAUS (º) OU RADIANOS (RAD). 
USAR UMA SIMPLES REGRA DE TRÊS: 
α
A
B
o
EXEMPLO:
x rad 60°
π rad 180°
180 . x = 60 . π
x = 60π180 =
π
3
π
3 radPORTANTO, 60 º =180º  rad
CONVERTER 60º PARA RADIANOS 
ARCOS E ÂNGULOS CONVERSÃO DE GRAUS PARA RADIANOS:
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
MENOR QUE 90º (OU π2)
MAIOR QUE 90º (OU π2 ). IGUAL A 90º (OU
π
2).
IGUAL A 180º (OU π ).
α
α
ÂNGULO RASOÂNGULO AGUDO
ÂNGULO OBTUSO ÂNGULO RETO
α
α
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
TRATA-SE DE UM CÍRCULO DE RAIO = 1, COM DOIS
EIXOS ORTOGONAIS QUE PASSAM PELO SEU CENTRO.
CONCEITO
O ÂNGULO POSITIVO É MARCADO A PARTIR DO PONTO 
ORIGEM (0º), NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO.
OBS.: 
O ÂNGULO NEGATIVO É A PARTIR DO PONTO 
ORIGEM (0º), NO SENTIDO HORÁRIO.
DIVIDIDO EM 4 QUADRANTES
OS ÂNGULOS CRESCEM A PARTIR DO EIXO 
HORIZONTAL NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO.
1° QUADRANTE2° QUADRANTE
3° QUADRANTE 4° QUADRANTE
90° = π2
0°180° = π
270° = 3 π2
EXEMPLOS: CICLO TRIGONOMÉTRICO 
MARCAÇÃO DO ÂNGULO DE 60°:
COMO “O ÂNGULO POSITIVO É MARCADO A PARTIR DO PONTO 
ORIGEM (0º), NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO”. TEMOS:
MARCAÇÃO DO ÂNGULO DE -120°:
COMO “O ÂNGULO NEGATIVO É A PARTIR DO PONTO ORIGEM 
(0º), NO SENTIDO HORÁRIO”. TEMOS:
A
p
0°
90°
180°
270°
3° Q
2° Q 1° Q
4° Q
60°
O PONTO P MARCA A EXTREMIDADE DO 
ARCO DESCRITO PELO ÂNGULO.
‘’ A
p
0°
90°
180°
270°
3° Q
2° Q 1° Q
4° Q
-120°
ÂNGULOS CÔNGRUOS 
(CONGRUENTES) 
DOIS ÂNGULOS SÃO CONGRUENTES QUANDO POSSUEM O 
MESMO PONTO INICIAL (0º) E O MESMO PONTO FINAL (P). 
CONCEITO
PARA ISSO, BASTA FAZER UMA OPERAÇÃO DE 
DIVISÃO POR 360º. DAÍ:
O QUOCIENTE 1 SIGNIFICA O NÚMERO DE VOLTAS 
COMPLETAS.
JÁ O RESTO 120 É EXATAMENTE O ÂNGULO 
CONGRUENTE A 480º.
PARA O –150° COMPLETAR UMA VOLTA 
FALTA PERCORRER UM VALOR ABSOLUTO 
EM GRAUS DE 210º, VISTO QUE:
210º = 360º – 150º. 
LOGO: 
210º É O ÂNGULO POSITIVO CONGRUENTE
A –150º. 
K = Número De Voltas
EXEMPLO:
EXEMPLO: (ÂNGULO NEGATIVO):
CALCULAR O ÂNGULO CONGRUENTE A 480º. 
480 360
120 1
Logo: 480º = 120º 
DETERMINAR O ÂNGULO POSITIVO 
CONGRUENTE A –150º 
‘’ A
p
0°
90°
180°
270°
3° Q
2° Q 1° Q
4° Q
210°
-150°
FORMA GENERALIZADA:
EM RADIANOS: a + 2.K.π
EM GRAUS: a + K.360°
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO
1°: PROJETAR ORTOGONALMENTE SUA EXTREMIDADE
SOBRE O EIXO VERTICAL.
2°: MEDIR A DISTÂNCIA ENTRE ESSA PROJEÇÃO E O CENTRO O
DO CICLO (LEVANDO EM CONTA A ORIENTAÇÃO DO EIXO PARA CIMA)
DADO UM ÂNGULO X, TEMOS QUE SENO DE X É 
UM VALOR NO INTERVALO [-1, 1], OU SEJA: 1º e 2º QUADRANTES = VALORES POSITIVOS
3º e 4º QUADRANTES = VALORES NEGATIVOS 
CÁLCULO: SINAIS DA FUNÇÃO SENO:
‘’
P
SEN α
P1
α
EIXO DOS SENOS
O
−1 ≤ SEN x ≤ 1
‘’
II I
I I I IV
+ +
- -
SENOS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSENO 
1°: PROJETAR ORTOGONALMENTE SUA EXTREMIDADE
SOBRE O EIXO HORIZONTAL
2°: MEDIR A DISTÂNCIA ENTRE ESSA PROJEÇÃO E O 
CENTRO O DO CICLO.
DADO UM ÂNGULO X, TEMOS QUE O COSSENO DE X
É UM VALOR NO INTERVALO [-1, 1], OU SEJA:
SINAIS DA FUNÇÃO COSSENO:
1º e 4º QUADRANTES 
(VALORES POSITIVOS)
2º e 3º QUADRANTES 
(VALORES NEGATIVOS)
‘’
II I
I I I IV
+
+
-
- COSSENOS
RELAÇÃO FUNDAMENTAL ENTRE 
SENOS E COSSENOS 
CÁLCULO:
‘’
P
COS α P2
α
EIXO DOS COSSENOS
O
−1 ≤ COS x ≤ 1 SEN2x + COS2x = 1 
FUNÇÃO TANGENTE
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
UTILIZAR A RELAÇÃO: 
POSITIVA QUANDO O SENO E O COSSENO
TIVEREM O MESMO SINAL
(1º QUADRANTE E 3º QUADRANTE)
NEGATIVA QUANDO O SENO E O COSSENO
TIVEREM SINAIS DIFERENTES.
(2º QUADRANTE E 4º QUADRANTE)
QUANDO O COSSENO DE X FOR ZERO A 
TANGENTE NÃO ESTARÁ DEFINIDA.
‘’
II I
I I I IV
+
+
-
-
TANGENTES
‘’
P
COS α
α
O
SEN α
TG α
A TANGENTE É UMA RETA 
PARALELA AO EIXO DOS SENOS, 
VARIANDO DE -∞ A +∞.
TG x =SEN xCOS x
CÁLCULO: SINAIS DA FUNÇÃO TANGENTE:
FUNÇÕES COTANGENTE, SECANTE E 
COSSECANTE
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Ou:
O SINAL DA FUNÇÃO COTANGENTE É 
O MESMO DA FUNÇÃO TANGENTE.
O SINAL DA FUNÇÃO SECANTE É O 
MESMO DA FUNÇÃO COSSENO.
O SINAL DA FUNÇÃO COSSECANTE É 
O MESMO DA FUNÇÃO SENO
COTANGENTES:
SECANTES:
COSSECANTES:
COTG x = COS x
SEN x
COTG x = 1TG x
SEC x = 1COS x
COSSEC x = 1
SEN x
FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
TG2x + 1 = SEC2x
COTG2x + 1 = COSSEC2x
DESDOBRAMENTOS DA RELAÇÃO FUNDAMENTAL:
VALORES NOTÁVEIS:
X SEN X COS X TG X COTG X SEC X COSSEC X
30°
0°
60°
45°
90°
180°
270°
00 0 01 1
1
2
3
2
3
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
1 1
2
2
2
2
3
2
1
2 3
1
3
2
2
3
1 10 0
0 0
0 0
- -
- -
--
-1 -1
-1 -1
RELAÇÕES 
ENTRE 
ÂNGULOS 
A SOMA DELES É IGUAL A 90º (OU π2).
A SOMA DELES É IGUAL A 180º (OU π ).
A SOMA DELES É IGUAL A 360º (OU 2 π ) 
A SUBTRAÇÃO DELES É IGUAL A 180º (OU π )
ÂNGULOS COMPLEMENTARES:
ÂNGULOS SUPLEMENTARES:
ÂNGULOS REPLEMENTARES:
ÂNGULOS EXPLEMENTARES:
COS (90° − θ) = SEN θ
SEN (90° − θ) = COS θ
TG (90° − θ) = 1TG θ
COS (180° − θ) = − COS θ
SEN (180° − θ) = SEN θ
TG (180° − θ) = − TG θ COS (180° + θ) = − COS θ
SEN (180° + θ) = - SEN θ
TG (180° + θ) = TG θ
COS (360° − θ) = COS θ
SEN (360° − θ) = - SEN θ
TG (360° − θ) = − TG θ
OUTRAS RELAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
SEN2X = 2. SENX .COSX
COS2X = COS2x − SEN2x
COS(a + b) = COSa . COSb − SENa . SEN b
COS(a − b) = COSa . COSb + SENa . SEN b
SEN(a + b) = SENa . COSb + SEN b .COSa
SEN(a − b) = SENa . COSb − SEN b .COSa
TG(a + b) = TGa + TG b1 −TGa .TG b
TG(a − b) = TGa − TG b1 + TGa .TG b
ARCO DUPLO: 
SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS: 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
UM TRIÂNGULO RETÂNGULO É AQUELE QUE APRESENTA 
UM ÂNGULO DE 90º
OPOSTA AO ÂNGULO DE 90º
MAIOR LADO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO (c)
AQUELE QUE ESTÁ OPOSTO AO ÂNGULO.
ÂNGULO α : Lado (a) 
ÂNGULO β : Lado (b)
AQUELE QUE ESTÁ ADJACENTE AO ÂNGULO.
ÂNGULO α : Lado (b)
ÂNGULO β : Lado (a)
A
B
C
a
b
c
β
α
CONCEITO
HIPOTENUSA:
CATETO OPOSTO (CO):
CATETO ADJACENTE (CA): 
EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO: 
PARA SABER SE USA SENO OU COSSENO:
ÂNGULO SEPARADO DO CATETO = SENO
ÂNGULO ENCOSTADO DO CATETO = COSSENO.
cosα= bc
senα= ac
MACETE!
senθ= cohip
cosθ= cahip tgθ=
co
ca
TEOREMA DE PITÁGORAS 
DADO UM TRIÂNGULO RETÂNGULO COM LADOS 
MEDINDO “a”, “b” E “c”.
TEMOS:
b = 3
c = 4
LOGO:
a2= 32 + 42
a2= b2 + c2
a2= 9 + 16 = 25
a
b
c
a2= b2 + c2
“ A SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS É IGUAL 
AO QUADRADO DA HIPOTENUSA ”.
TEOREMA DE PITÁGORAS:
EXEMPLO:
DADO UM TRIÂNGULO RETÂNGULO, E SABENDO QUE 
SEUS CATETOS VALEM 3 E 4. CALCULE O VALOR DA SUA 
HIPOTENUSA.
a
b
c
a = 5
CONCEITO
GEOMETRIA PLANA 
ESTUDA AS FIGURAS QUE NÃO POSSUEM VOLUME 
TAMBÉM É CHAMADA DE EUCLIDIANA
CONCEITO
QUE COMEÇA EM UM PONTO QUALQUER DE UMA RETA 
E NÃO TEM FIM. 
COMEÇA EM UM PONTO QUALQUER DA RETA E TERMINA 
EM OUTRO PONTO DESTA MESMA RETA.
NÚMERO INFINITO DE PONTOS EM SEQUÊNCIA
MENOR DISTÂNCIA ENTRE QUAISQUER DOIS PONTOS 
PERTENCENTES A ELA.
INDICADO POR UMA LERA MAIÚSCULA DO ALFABETO (A, B, C, P, ...). 
INDICADA POR UMA LETRA MINÚSCULA DO ALFABETO 
(s, t, q, r, ...) 
SEMIRRETA
SEGMENTO DE RETA 
PONTO
RETA
DESENHAR OS PONTOS X,, Y E Z NESSA ORDEM
O ENUNCIADO DA QUESTÃO AFIRMA QUE 
XZ = 3a + a = 32. DAÍ:
COM ISSO, É POSSÍVEL CONCLUIR QUE:
A SOLUÇÃO QUE NÓS ACHAMOS É UMA SOLUÇÃO POSSÍVEL,
MAS NÃO ERA ESSA QUE O EXAMINADOR QUERIA.
DEVEMOS PERCEBER QUE A QUESTÃO NADA AFIRMA
QUANTO À ORDEM DOS PONTOS X, Y E Z.
DESSA FORMA, VAMOS INVERTER A ORDEM DOS PONTOS Y
E Z. O ENUNCIADO DA QUESTÃO AFIRMA QUE XZ = 32. DAÍ:
3a + a = 32
a = 8
XY = 3a = 3 . 8 = 24
3a a
X Y Z
EXEMPLO:
SEJAM X, Y E Z TRÊS PONTOS DISTINTOS DE UMA RETA. O 
SEGMENTO XY É IGUAL AO TRIPLO DO SEGMENTO YZ. 
O SEGMENTO XZ MEDE 32 CENTÍMETROS. DESSE MODO, UMA DAS 
POSSÍVEIS MEDIDAS DO SEGMENTO XY, EM CENTÍMETROS, É IGUAL A:
a) 27 
b) 48
c) 35 
3a − a = 32
a = 16
XY = 48
GABARITO: b
GEOMETRIA PLANA 
DEFINIDO POR TRÊS PONTOS NÃO-COLINEARES (QUE NÃO 
ESTÃO NA MESMA RETA).
DENOMINAREMOS O PLANO POR UMA LETRA GREGA 
MINÚSCULA QUALQUER (α, β, γ...)
ABERTURA FORMADA POR DUAS SEMIRRETAS QUE PARTEM 
DE UM MESMO PONTO.
EM QUE:
A MEDIDA AÔB CORRESPONDE α .
AS MEDIDAS OA EOB SÃO OS LADOS DO ÂNGULO;
O É O VÉRTICE DO ÂNGULO.
É UMA SEMIRRETA DE ORIGEM NO VÉRTICE DO ÂNGULO QUE 
O DIVIDE EM DOIS ÂNGULOS CONGRUENTES (MESMA MEDIDA).
DIVIDE O LADO OPOSTO EM SEGMENTOS PROPORCIONAIS AOS 
LADOS ADJACENTES.
RETA QUE DIVIDE O ÂNGULO EXTERNO EM DUAS PARTES 
IGUAIS.
o
A
B
A
BC D
PLANO
ÂNGULO
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA 
BISSETRIZ EXTERNA 
BD
DC =
AB
AC
CLASSIFICAÇÃO DOS 
ÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À 
MEDIDA 
AQUELE QUE MEDE 0°
(OU 0 RADIANOS).
AQUELE QUE MEDE MAIS QUE 0° (OU 0 RADIANOS) E 
MENOS QUE 90° (OU 2𝜋 RADIANOS).
AQUELE QUE MEDE EXATAMENTE 90°
(OU 2 𝜋 RADIANOS).
AQUELE QUE SUA MEDIDA VALE MAIS QUE 90° (OU 
2𝜋 RADIANOS) E MENOS QUE 180° (OU 𝜋 RADIANOS).
O ÂNGULO RASO É AQUELE QUE MEDE 
180° (OU 𝜋 RADIANOS).
RETO: 
NULO: AGUDO: 
RASO: 
OBTUSO:
CLASSIFICAÇÃO 
QUANTO À POSIÇÃO 
QUANDO ELES POSSUEM A MESMA 
MEDIDA. 
SE UM DOS LADOS DE UM DELES COINCIDE COM UM DOS 
LADOS DO OUTRO ÂNGULO. NA FIGURA ABAIXO, α E β SÃO 
CONSECUTIVOS.
QUANDO SÃO CONSECUTIVOS E NÃO POSSUEM PONTOS 
INTERNOS COMUNS. NA FIGURA ABAIXO, α E β SÃO 
ADJACENTES.
SÃO ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS CONCORRENTES E 
QUE POSSUEM SEUS DOIS LADOS NAS MESMAS RETAS. NA FIGURA 
ABAIXO, α E γ SÃO OPOSTOS PELO VÉRTICE.
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
α
β
θ
β
αγ
β α
OBS: DOIS ÂNGULOS 
OPOSTOS PELO VÉRTICE 
TÊM MEDIDAS IGUAIS, OU 
SEJA, SÃO 
CONGRUENTES.
CONGRUENTES: 
ADJACENTES: 
CONSECUTIVOS:
OPOSTOS PELO VÉRTICE: 
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À 
COMPLEMENTAÇÃO 
DIZEMOS QUE α E β SÃO COMPLEMENTARES 
QUANDO A SOMA DE SUAS MEDIDAS É IGUAL A 
90°. ASSIM, DIZEMOS QUE α É O COMPLEMENTO
DE β E VICE-VERSA.
DIZEMOS QUE α E β SÃO SUPLEMENTARES 
QUANDO A SOMA DE SUAS MEDIDAS É IGUAL A 
180°. ASSIM, DIZEMOS QUE α É O SUPLEMENTO
DE β E VICE-VERSA.
COMPLEMENTO: 
OS ÂNGULOS DE 60º E 30º SÃO COMPLEMENTARES, POIS A 
SOMA DE AMBOS É 90º
SUPLEMENTO: 
OS ÂNGULOS 150º E 30º SÃO SUPLEMENTARES, 
POIS A SOMA DE AMBOS É 180º
90° − 30° = 60°
180°−30°=150°
CALCULAR O SUPLEMENTO E O COMPLEMENTO DE 30º 
COMPLEMENTARES:
SUPLEMENTARES: 
EXEMPLO: 
CIRCUNFERÊNCIA
CONCEITO
FIGURA CONSTITUÍDA DE INFINITOS PONTOS, EM QUE A 
DISTÂNCIA DE QUALQUER PONTO DELA ATÉ O SEU 
CENTRO C É SEMPRE IGUAL AO SEU RAIO R.
SEGMENTO DE RETA QUE PASSA PELO CENTRO E 
UNE DOIS PONTOS DA CIRCUNFERÊNCIA. 
O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
FÓRMULA: 
DIÂMETRO: 
PERÍMETRO: ÁREA:
FÓRMULA: 
FÓRMULA: D = 2.R
Área = π.R2
ou
Área = π.D
2
4
C = 2.π.R
ou
C = π.R
POLÍGONO
FIGURA PLANA FORMADA POR TRÊS OU MAIS SEGMENTOS 
DE RETA QUE SE INTERCEPTAM DOIS A DOIS.
CONCEITO
SEGMENTOS DE RETA = LADOS DO POLÍGONO. 
PONTOS DE INTERSEÇÃO = VÉRTICES DO POLÍGONO.
CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS:
OS PROLONGAMENTOS DOS LADOS NUNCA FICARÃO NO 
INTERIOR DA FIGURA ORIGINAL 
EXISTEM DOIS PONTOS CONTIDOS NO POLÍGONO PARA QUE O 
SEGMENTO DE RETA COM ESSES DOIS PONTOS NAS EXTREMIDADES 
POSSUA PONTOS FORA DO POLÍGONO.
A
B
A
POLÍGONO CONVEXO: 
POLÍGONO CÔNCAVO: 
A, B, C e D SÃO OS VÉRTICES DO POLÍGONO.
AB, BC, CD e DA SÃO OS LADOS DO POLÍGONO.
POLÍGONO
DIAGONAL: É QUALQUER SEGMENTO DE RETA
QUE LIGA DOIS VÉRTICES NÃO ADJACENTES DE
UM POLÍGONO.
NÚMERO DE DIAGONAIS QUE PARTE DE UM
VÉRTICE DO POLÍGONO DE ‘‘n’’ LADOS:
n = 5 LADOS, LOGO:
a) n -3 = 5 – 3 = 2 diagonais
b) d = n (n−3)2
d = 5.(5−3)2 =
5.2
2 = 5
ICOSÁGONODECÁGONOPENTÁGONOQUADRILÁTEROTRIÂNGULO
POLÍGONOS
3 lados 4 lados 5 lados 10 lados 20 lados
ALGUNS TIPOS EM RELAÇÃO À QUANTIDADE DE LADOS:
NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO 
d = n (n−3)2
n − 3
CONSIDERE O POLÍGONO DE CINCO LADOS DISPOSTO ABAIXO:
a) TOMANDO COMO REFERÊNCIA O VÉRTICE DE CIMA, 
QUANTAS DIAGONAIS PODEM SER TRAÇADAS? 
b) QUAL A QUANTIDADE DE DIAGONAIS DO PENTÁGONO? 
EXEMPLO:
POLÍGONOCONSIDERE O POLÍGONO ABAIXO COM OS ÂNGULOS DESCRITOS:
A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO É 
DADA POR:
A SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO:
SE O POLÍGONO FOR REGULAR, ELE TEM TODOS OS LADOS 
E OS ÂNGULOS CONGRUENTES, LOGO:
ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO DE n LADOS:
ÂNGULO EXTERNO DE UM POLÍGONO DE n LADOS:
𝑒2
𝑒1
𝑒𝑛
𝑒4
𝑒3
𝑒5𝑖3
𝑖2
𝑖1
𝑖4
𝑖5
𝑖𝑛
Si = i1 + i2+... in = n −2 .180°
Se = e1+ e2+... en = 360° 3602
Si
n
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS 
EXEMPLO: SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS 
DETERMINE A MEDIDA DO ÂNGULO REPRESENTADO 
POR X NA FIGURA A SEGUIR:
30°
30°
70°
x
30°
30°
70°
x
a
b
DIVIDIR O QUADRILÁTERO EM DOIS TRIÂNGULOS, DE 
ACORDO COM A FIGURA A SEGUIR:
O ÂNGULO A PODE SER OBTIDO PELA SOMA 
DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM 
TRIÂNGULO:
a + 30 + 70 = 180
a + 100 = 180
a = 180 – 100
a = 80°
O ÂNGULO B, POR SUA VEZ, É ADJACENTE AO 
ÂNGULO A, LOGO, SUA MEDIDA É DADA POR:
a + b = 180
80 + b = 180
b = 180 – 80
b = 100°
O ÂNGULO C É ADJACENTE A X, LOGO, C + X = 180. PARA DESCOBRIR C, BASTA 
FAZER A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO PEQUENO:
100 + 30 + c = 180
130 + c = 180
c = 180 – 130
c = 50°
Então:
50 + x = 180
x = 180 – 50
x = 130°
1°
2°
3°
4°
5°
TEOREMA DE 
TALES 
CONCEITO
DADA A FIGURA, TEMOS:
TRÊS RETAS HORIZONTAIS (r1, r2 e r3), PARALELAS ENTRE SI,
SENDO CORTADAS POR DUAS RETAS TRANSVERSAIS (t1 e t2). 
O TEOREMA DE TALES NOS DIZ QUE SEGMENTOS 
CORRESPONDENTES SÃO PROPORCIONAIS. DAÍ:
r1
r2
r3
𝐭𝟏 𝐭𝟐
•
•
•
•
• •
A
B
C
D
E
F
AB
BC =
DE
EF
UM FEIXE DE RETAS PARALELAS CORTADO POR 
DUAS TRANSVERSAIS FORMA SEGMENTOS DE 
RETAS PROPORCIONAIS. 
x + y + z = 90
TEMOS QUE:
PELO TEOREMA DE TALES, TEMOS:
PELAS PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO, TEMOS:
SABEMOS QUE x + y + z = 90, DAÍ:
A B
•
•
•
•
• •
2
10
18
x
y
z
• •
x
2 =
y
10 =
z
18
x
2 =
y
10 =
z
18 =
x + y + z
2 + 10 + 18
x
2 =
y
10 =
z
18 =
90
30 = 3
x
2 = 3 → x = 6
y
10 = 3 → y = 30
z
18 = 3 → z = 54
DADO A FIGURA ABAIXO, ONDE UM FEIXE DE 4 RETAS 
PARALELAS DETERMINA SOBRE UMA RETA TRANSVERSAL, A, 
SEGMENTOS QUE MEDEM 2 CM, 10 CM E 18 CM, 
RESPECTIVAMENTE. DETERMINE AS MEDIDAS DOS SEGMENTOS 
SOBRE A TRANSVERSAL B, SABENDO QUE O SEGMENTO DA 
TRANSVERSAL B, COMPREENDIDO ENTRE A PRIMEIRA E A 
QUARTA PARALELA, MEDE 90 CM. 
EXEMPLO:
CÁLCULO DE x: CÁLCULO DE y: CÁLCULO DE z: 
QUADRILÁTERO
É O POLÍGONO QUE POSSUI QUATRO LADOS E A SOMA DE
SEUS ÂNGULOS INTERNOS VALE 360°
AS DIAGONAIS DO QUADRILÁTERO SÃO SEGMENTOS DE RETA
QUE UNEM SEUS VÉRTICES OPOSTOS.
BIZU!
CONCEITO
O QUADRILÁTERO É CIRCUNSCRITO A UMA 
CIRCUNFERÊNCIA, QUANDO ESTÁ DO LADO DE FORA 
E SEUS LADOS TANGENCIAM A CIRCUNFERÊNCIA.
TEMOS:
A + B = C + D
(4𝑥 - 9) + (3𝑥 + 3) = 3𝑥 + 2𝑥
x = 3
PERÍMETRO DO QUADRILÁTERO: 
p = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
p = (4𝑥 - 9) + (3𝑥 + 3) + 3𝑥 + 2𝑥
p = 12𝑥 - 6
SUBSTITUINDO O VALOR DE X, TEMOS: 
p = 12.3 - 6 = 36 - 6 = 30
B
•
•
•
•
• •
••
A
C
D
P
Q
R
S
SEMPRE QUE UM QUADRILÁTERO FOR CIRCUNSCRITO 
A UMA CIRCUNFERÊNCIA, A SOMA DE SEUS LADOS 
OPOSTOS É IGUAL. 
EXEMPLO:
UM QUADRILÁTERO CONVEXO CIRCUNSCRITO A UMA 
CIRCUNFERÊNCIA POSSUI OS LADOS A, B, C E D, MEDINDO (4X - 9), 
(3X + 3), 3X E 2X, RESPECTIVAMENTE. SABENDO-SE QUE OS 
LADOS A E B SÃO LADOS OPOSTOS, CALCULE O PERÍMETRO DO 
QUADRILÁTERO.
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 
RETÂNGULO
b
a
QUADRADO
a
a
TRIÂNGULO
•□
c b
a
α
h
ou
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
a
a
a
h
□•
PARALELOGRAMO
b
a
h
área = a . b
área = a²
área = base x altura2 =
a x h
2
área = a . b . senα2
h = a 32
área = a² 34
área = base x altura = a x h
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 
TRAPÉZIO
□
h
•
c
b
B
d
LOZANGO
D d
a
a
a
a
ÁREA DO CÍRCULO
COMPRIMENTO DE UMA 
CIRCUNFERÊNCIA
r
•o
SETOR CIRCULAR
•o α
r
área = πr2área = B + b .h2
área =D. d2
D = diagonal maior
d = diagonal menor
C= 2πr
área =απr
2
360°
GEOMETRIA ESPACIAL 
É O ESTUDO DA GEOMETRIA NO ESPAÇO 
CONCEITO
ESTUDA AS FIGURAS QUE POSSUEM MAIS DE DUAS DIMENSÕES
(SÓLIDOS GEOMÉTRICOS)
SEGMENTOS DE RETA QUE UNEM DUAS FACES DO 
SÓLIDO.
PONTOS ONDE MAIS DE DUAS ARESTAS DO SÓLIDO 
SE ENCONTRAM.
É UM PLANO DO SÓLIDO (CADA PLANO É UMA FACE)
SÓLIDOS 
GEOMÉTRICOSFACE:
ARESTAS:
VÉRTICES:
PRISMA RETO PRISMA OBLÍQUO
PRISMA
PIRÂMIDE
CILINDRO
CONE
ESFERA
FACE
ARESTA VÉRTICE
PRISMA 
POLIEDRO QUE APRESENTA DUAS FACES OPOSTAS PARALELAS.
CONCEITO
OBS.: O PRISMA CUJAS BASES SÃO PARALELOGRAMOS É 
CHAMADO DE PARALELEPÍPEDO.
MEDIDA DA DISTÂNCIA ENTRE SUA BASE
INFERIOR E SUA BASE SUPERIOR. 
SOMA DAS ÁREAS DE CADA QUADRILÁTERO 
DE SUAS FACES LATERAIS.
SOMA DE SUA ÁREA LATERAL COM A ÁREA DE SUAS 
DUAS BASES (A INFERIOR E A SUPERIOR).
É CALCULADO MULTIPLICANDO-SE A ÁREA 
DE SUA BASE PELA MEDIDA DE SUA 
ALTURA:
FACE 
LATERAL
VÉRTICES
ARESTA
ALTURA DO PRISMA:
ÁREA LATERAL:
ÁREA TOTAL: VOLUME:
Volume = Área da base x Altura
ARESTA
PRISMA RETO 
PRISMA 
AS ARESTAS LATERAIS TÊM O MESMO
COMPRIMENTO.
ARESTAS PERPENDICULARES AO PLANO DA 
BASE.
AS FACES LATERAIS SÃO RETANGULARES.
PRISMA OBLÍQUO 
AS ARESTAS LATERAIS TÊM O MESMO COMPRIMENTO.
ARESTAS OBLÍQUAS AO PLANO DA BASE. 
AS FACES LATERAIS NÃO SÃO RETANGULARES. 
L h
VOLUME:
ÁREA TOTAL: 2xÁrea da base + Área lateral 
V = Área da base x Altura
OBS: NÃO CONFUNDIR A ALTURA DO PRISMA 
OBLÍQUO COM A ARESTA VERTICAL DAS FACES 
LATERAIS. 
PIRÂMIDE
SÓLIDO FORMADO POR UMA FACE INFERIOR (BASE) E UM 
VÉRTICE QUE UNE TODAS AS FACES LATERAIS.
CONCEITO
O NÚMERO DE FACES LATERAIS DE UMA PIRÂMIDE 
CORRESPONDE AO NÚMERO DE LADOS DO POLÍGONO DA 
BASE.
É A MEDIDA DA DISTÂNCIA ENTRE O 
VÉRTICE E SUA BASE INFERIOR.
SOMA DAS ÁREAS DE CADA TRIÂNGULO DE 
SUAS FACES LATERAIS. 
SOMA DE SUA ÁREA LATERAL COM A ÁREA
DE SUA BASE.
VOLUME: É CALCULADO MULTIPLICANDO-SE A ÁREA 
DE SUA BASE PELA MEDIDA DE SUA 
ALTURA E DIVIDINDO-SE O RESULTADO 
POR 3
V = Área da base x Altura3
FACE 
LATERAL
VÉRTICE
ALTURA DA PIRÂMIDE:
ÁREA LATERAL: 
ÁREA TOTAL:
PIRÂMIDE
É OBTIDO AO SE TRAÇAR UMA SEÇÃO TRANSVERSAL
EM UMA PIRÂMIDE. Pirâmide maior
Pirâmide menor
Tronco da pirâmide
APÓTEMA: É A ALTURA DE CADA FACE 
LATERAL. 
AL= AL(pirâmide maior) - AL(pirâmide menor) 
Vtronco=Vpirâmide maior−Vpirâmide menor
TRONCO DE PIRÂMIDE
VOLUME DO TRONCO:
ÁREA LATERAL DO TRONCO:
APÓTEMA
FACE LATERAL
EXEMPLO: TRONCO DE PIRÂMIDE
DETERMINE A CAPACIDADE DE UM RESERVATÓRIO EM 
FORMA DE TRONCO DE PIRÂMIDE REGULAR DE BASE 
QUADRADA E DIMENSÕES INDICADAS NA FIGURA:
6 m
8 m
3 m
3
3
4
h
DETERMINAR AS MENIDAS DA PIRÂMIDE:
h
3 =
h + 3
4
4h = 3h + 9
h = 9
POR SEMELHANÇA DE 
TRIÂNGULOS, TEMOS:
H = 3 + 9 = 12
VOLUME DA PIRÂMIDE MAIOR:
VOLUME DA PIRÂMIDE MENOR:
V = Área da base x Altura3 = (8 . 8) .123 = 256 m3
V = Área da base x Altura3 = (6 . 6) .93 = 108 m3
VOLUME DO TRONCO:
Vtronco=Vpirâmide maior−Vpirâmide menor
Vtronco = 256 – 108 = 148 m3
CILINDRO 
É SEMELHANTE A UM PRISMA, SENDO QUE SUA 
BASE É UM CÍRCULO. 
CONCEITO
É A MEDIDA DA DISTÂNCIA ENTRE SUA 
BASE INFERIOR E SUA BASE SUPERIOR.
É CALCULADO MULTIPLICANDO-SE A ÁREA
DE SUA BASE PELA MEDIDA DE SUA 
ALTURA.
PODE SER FORMADO PELA ROTAÇÃO DE UM QUADRADO 
OU RETÂNGULO EM TORNO DE UM DE SEUS LADOS.
Atotal== 2. π. R. (h + R)
Alateral = 2. π. R. h
V = Área da base x Altura = π. R². h
h
R
ALTURA DO CILINDRO:
ÁREA LATERAL:
ÁREA TOTAL: 
VOLUME:
CONE
SEMELHANTE A UMA PIRÂMIDE, SENDO QUE SUA 
BASE É UM CÍRCULO. 
CONCEITO
PODE SER FORMADO PELA ROTAÇÃO DE UM TRIÂNGULO 
RETÂNGULO EM TORNO DE UM DE SEUS CATETOS.
É A MEDIDA DA DISTÂNCIA ENTRE O 
VÉRTICE E SUA BASE INFERIOR.
SOMA DE SUA ÁREA LATERAL COM A 
ÁREA DE SUA BASE.
É CALCULADO MULTIPLICANDO-SE A ÁREA DE 
SUA BASE PELA MEDIDA DE SUA ALTURA E 
DIVIDINDO-SE ESSE RESULTADO POR 3.
□••ALTURA DO CONE:
ÁREA LATERAL:
ÁREA TOTAL:
VOLUME:
Atotal = π. R. ( R+g)
Alateral = π. R.g
V = Área da base x Altura3 =
π.R2.h
3
h
R
g
ONDE:
g = GERATRIZ (APÓTEMA)
ESFERA
CONCEITO
É UM SÓLIDO FORMADO POR UMA SUPERFÍCIE CURVA, ONDE 
TODOS OS SEUS PONTOS POSSUEM A MESMA DISTÂNCIA DE 
UM OUTRO PONTO DENOMINADO CENTRO.
QUALQUER SEGMENTO DE RETA QUE SAI DO 
CENTRO DA ESFERA E VAI ATÉ SUA 
EXTREMIDADE. 
PODE SER FORMADA PELO GIRO DE UMA 
SEMICIRCUNFERÊNCIA EM TORNO DE UM EIXO.
•
A = 4.π.R2 V =
4
3 . π.R
3
RAIO:
ÁREA: VOLUME:
R
MATRIZES
É UMA TABELA, QUE SERVE PARA A ORGANIZAÇÃO DE 
NÚMEROS, SENDO LIMITADA POR COLCHETES (OU 
PARÊNTESES).
CONCEITO
LINHAS = ENUMERADAS DE CIMA PARA BAIXO
COLUNAS = ENUMERADAS DA ESQUERDA PARA A DIREITA
INDICA O TAMANHO E O FORMATO DE UMA MATRIZ, 
DETERMINANDO A QUANTIDADE DE LINHAS E DE COLUNAS. 
EX: A MATRIZ DO EXEMPLO (A), É DE ORDEM: 3 X 3
UM ELEMENTO DE UM DETERMINADA MATRIZ SERÁ 
REPRESENTADO SIMBOLICAMENTE POR aij
i = Linha
j = Coluna
ONDE:
ORDEM DE UMA MATRIZ:
ELEMENTOS DE UMA MATRIZ:
CONVENÇÃO:
A = 
3 5 3
2 −3 1
1 4 2
LINHAS
COLUNAS
EX:
NÃO ESQUEÇA DA SEQUÊNCIA CORRETA:
LINHAS X COLUNAS.
EX:
O ELEMENTO a21 ,OCUPA A PRIMEIRA LINHA E A 
SEGUNDA COLUNA DA MATRIZ.
REPRESENTAÇÃO
DE UMA MATRIZ
UMA MATRIZ A, DO TIPO m x n, PODE SER 
REPRESENTADA GENERICAMENTE DA SEGUINTE FORMA:
A QUESTÃO GERALMENTE FORNECE A LEI DE FORMAÇÃO E 
PEDE PARA DETERMINAR A MATRIZ CORRESPONDENTE.
EX: 
A QUESTÃO DISSE QUE SE TRATA DE UMA MATRIZ 3X3, 
LOGO:
FINALIZAMOS A 
CONSTRUÇÃO DA MATRIZ X: 
FORMA GENÉRICA:
LEI DE FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ:
a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2n
a31
⋮
am1
a32
⋮
am2
⋯ a3n
⋮
⋯
⋮
amn
ENCONTRAR A MATRIZ DO TIPO 3 X 3 QUE POSSUI A SEGUINTE 
LEI DE FORMAÇÃO: 
X= xij, tal que xij= (i + j)
2
x11= (1 + 1)2= 22= 4
x12= (1 + 2)2= 32= 9
x13= (1 + 3)2= 42= 16
x21= (2 + 1)2= 32= 9
x22= (2 + 2)2= 42= 16
x23= (2 + 3)2= 52= 25
x31= (3 + 1)2= 42= 16
x32= (3 + 2)2= 52= 25
x33= (3 + 3)2= 62= 36
X=
4 9 16
9 16 25
16 25 36
TIPOS DE 
MATRIZES 
MATRIZ TRANSPOSTA
MATRIZ LINHA
MATRIZ COLUNA MATRIZ NULA
MATRIZ RETANGULAR
MATRIZ QUADRADA MATRIZ DIAGONAL
MATRIZ TRIANGULAR
MATRIZ IDENTIDADE
MATRIZ OPOSTA
MATRIZ SIMÉTRICA
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA
TIPOS DE 
MATRIZES 
FORMADA POR APENAS UMA LINHA.
É UMA MATRIZ LINHA, DO TIPO 1 X 3, 
OU SEJA, TEM 1 LINHA E 3 COLUNAS; 
(2 4 8) EX: 
APRESENTA UMA ÚNICA COLUNA.
EX: 
É UMA MATRIZ COLUNA, DO TIPO 
3X1, FORMADA POR 3 LINHAS E 
1 COLUNA.
EX: 
O NÚMERO DE LINHAS É DIFERENTE
DO NÚMERO DE COLUNAS.
É UMA MATRIZ RETANGULAR DO 
TIPO 3 X 2 
TEM O MESMO NÚMERO DE LINHAS E 
DE COLUNAS
EX: 
É UMA MATRIZ 2 X 2, POR ISSO, 
CHAMADA DE MATRIZ QUADRADA 
DE ORDEM 2.
4
8
9 2 −4
1 0
−9 3
7 6
−1 5
3 6 0
−7 5 −1
4 8 2
DIAGONAL
PRINCIPAL
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
MATRIZ LINHA
MATRIZ COLUNA
MATRIZ RETANGULAR 
MATRIZ QUADRADA 
DIAGONAIS DA MATRIZ 
QUADRADA 
OS ELEMENTOS SÃO TODOS IGUAIS 
A ZERO.
EX:
TIPOS DE 
MATRIZES 
É AQUELA MATRIZ QUADRADA CUJOS 
ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL SÃO 
DIFERENTES DE ZERO, E TODOS OS DEMAIS 
ELEMENTOS SÃO IGUAIS A ZERO.
EX: 
É A MATRIZ QUADRADA EM QUE TODOS
OS ELEMENTOS ACIMA OU ABAIXO DA 
DIAGONAL PRINCIPAL SÃO IGUAIS A ZERO.
EX: 
ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL SÃO 
TODOS IGUAIS A 1, E OS DEMAIS ELEMENTOS 
DA MATRIZ, IGUAIS A 0 (ZERO).
EX:
É A MATRIZ “NEGATIVA” DA MATRIZ
ORIGINAL. 
FORMADA INVERTENDO TODOS OS SINAIS 
DOS ELEMENTOS DA MATRIZ A.
2 0 0
0 3 0
0 0 4
1 0 0
3 1 0
2 5 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 EX:
A=
2 −1
0 7
−3,5 1
−A=
−2 1
0 −7
3,5 −1
MATRIZ NULA 
MATRIZ DIAGONAL MATRIZ TRIANGULAR 
MATRIZ IDENTIDADE MATRIZ OPOSTA 
TIPOS DE 
MATRIZES 
A MATRIZ TRANSPOSTA DE A, DESIGNADA POR 
At, SERÁ AQUELA QUE RESULTAR DE UMA 
TRANSPOSIÇÃO ENTRE LINHAS E COLUNAS DA 
MATRIZ ORIGINAL.
QUEM É LINHA VAI VIRAR COLUNA
EXEMPLO:
TRANSPOSTA DA MATRIZ 
TRANSPOSTA:
É AQUELA QUE É IGUAL A SUA TRANSPOSTA
EX1: 
EX2: 
MATRIZ 
IDENTIDADE
É A MATRIZ QUADRADA EM QUE:
A SUA TRANSPOSTA É IGUAL À SUA 
MATRIZ OPOSTA.
EX:
A= 5 67 8
At= 5 76 8
(At)t= A
ENCONTRAR A MATRIZ TRANSPOSTA DE:
At = −A
MATRIZ TRANSPOSTA MATRIZ SIMÉTRICA 
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA 
A =
1 −4 5
−4 3 1
5 1 8
A = At
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
EIXO DE 
SIMETRIA
At =
0 5 2
−5 0 −6
−2 6 0
−A =
0 5 2
−5 0 −6
−2 6 0A =
0 −5 −2
5 0 6
2 −6 0
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
BASTA FAZER A OPERAÇÃO ENTRE OS ELEMENTOS
QUE ESTÃO NAS MESMAS POSIÇÕES.
EX: 
MULTIPLICAREMOS O NÚMERO REAL FORNECIDO PORCADA UM DOS ELEMENTOS DA MATRIZ 
EX: 
DUAS MATRIZES SERÃO DITAS IGUAIS SE TIVEREM 
O MESMO NÚMERO DE LINHAS E COLUNAS E SE 
TODOS OS SEUS ELEMENTOS FORAM IGUAIS.
1 3
5 4 +
4 2
−2 −1 = 
5 5
3 3
DUAS MATRIZES SÓ PODEM SER SOMADAS OU SUBTRAÍDAS 
SE POSSUÍREM O MESMO NÚMERO DE LINHAS E DE 
COLUNAS. 
O RESULTADO DA OPERAÇÃO SERÁ SEMPRE UMA OUTRA 
MATRIZ DE MESMA ORDEM 
BIZUS
3x
4 2
1 3
5 2
=
12 6
3 9
15 6
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO 
REAL POR UMA MATRIZ 
IGUALDADE DE MATRIZES 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
SÓ PODEMOS MULTIPLICAR DUAS MATRIZES SE O NÚMERO DE 
COLUNAS DA PRIMEIRA FOR IGUAL AO NÚMERO DE LINHAS DA 
SEGUNDA. 
A MATRIZ-PRODUTO TERÁ O NÚMERO DE LINHAS DA 
PRIMEIRA MATRIZ E O NÚMERO DE COLUNAS DA SEGUNDA.
1º PASSO: VERIFICAR SE A MULTIPLICAÇÃO É POSSÍVEL
2º PASSO: OBTER A ORDEM DA MATRIZ-PRODUTO
3º PASSO: DESENHAR A FORMA GENÉRICA DA 
MATRIZ-PRODUTO
4º PASSO: ENCONTRAR O VALOR DE CADA ELEMENTO
DA MATRIZ-PRODUTO
5º PASSO: SUBSTITUIR CADA ELEMENTO ENCONTRADO
NA MATRIZ-PRODUTO
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
A MATRIZ-PRODUTO SERÁ OBTIDA MULTIPLICANDO-SE CADA 
ELEMENTO DE UMA LINHA DA PRIMEIRA MATRIZ PELO ELEMENTO 
CORRESPONDENTE NA COLUNA DA SEGUNDA MATRIZ E 
SOMANDO-SE OS VALORES OBTIDOS. 
PASSO-A-PASSO DA MULTIPLICAÇÃO DE 
MATRIZES: 
EXEMPLO: MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
1º e 2º PASSOS: 
CONCLUSÃO: O PRODUTO É POSSÍVEL E A 
MATRIZ-PRODUTO C TERÁ A ORDEM 2 X 1. 
3º PASSO: 
4º PASSO: 
MULTIPLICAR UMA LINHA DA PRIMEIRA COLUNA POR UMA 
COLUNA DA SEGUNDA MATRIZ 
EFETUAR A MULTIPLICAÇÃO ENTRE AS MATRIZES A E B: 
A= 1 2 34 5 6 e B = 
7
8
9
2 x 3 3 x 1
C = A x B=
C11
C21
C11
1ª COLUNA DA 
SEGUNDA MATRIZ
1ª LINHA DA 
PRIMEIRA MATRIZ
C21
1ª COLUNA DA 
SEGUNDA MATRIZ
2ª LINHA DA 
PRIMEIRA MATRIZ
C11 = (1 x 7) + (2 x 8) + (3 x 9) = 7 + 16 + 27 = 50
C21 = (4 x 7) + (5 x 8) + (6 x 9) = 28 + 40 + 54 = 122
C = A x B= 50122
PROPRIEDADES DA 
MULTIPLICAÇÃO DE 
MATRIZES 
(A x B) x C = A x (B x C)
A x ( B + C) = A x B + A x C
A x I = I x A = A, 
ONDE I É A MATRIZ IDENTIDADE.
ASSOCIATIVA 
DISTRIBUTIVA 
ELEMENTO NEUTRO 
(A x B)t= At x Bt
A x A−1= I
(A x B)−1= A−1 x B−1
MATRIZ INVERSA 
É UMA MATRIZ QUADRADA DE MESMA ORDEM DE A 
QUE, MULTIPLICADA POR ELA, RESULTA NA MATRIZ 
IDENTIDADE (I). LOGO:
CONCEITO
NEM SEMPRE SERÁ POSSÍVEL A EXISTÊNCIA DA 
MATRIZ INVERSA.
PARA TER MATRIZ INVERSA, O DETERMINANTE
DE A DEVE SER DIFERENTE DE ZERO.
OBTIDA FAZENDO-SE O INVERSO DESSE NÚMERO
EX: A x A
−1= A−1 x A = I
MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ 
DE PRIMEIRA ORDEM 
B= [3] B−1= [ 13 ]
SE A NÃO É UMA MATRIZ QUE POSSUI
INVERSA, DIZEMOS QUE A É UMA MATRIZ 
SINGULAR.
EX: 
DAÍ, A INVERSA DA 
MATRIZ M SERÁ:
MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ 
DE SEGUNDA ORDEM 
MATRIZ INVERSA 
A MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA 
ORDEM É DETERMINADA CONFORME O EXEMPLO ABAIXO: 
M= 0 −15 1
M−1= a b
c d M
−1 x M = I
a b
c d
x 0 −15 1 = 
1 0
0 1
5b −a + b
5d −c + d
= 1 00 1
5b = 1 => b = 15
−a + b = 0 => a = 15
5d = 0 => d = 0
−c + d = 1 => c = -1
M−1=
1
5
1
5
−1 0
DETERMINANTES
CONCEITO
PARA CADA MATRIZ QUADRADA PODEMOS ASSOCIAR
UM ÚNICO NÚMERO REAL (DETERMINANTE)
É COMO UM RESULTADO DE UMA MATRIZ QUADRADA.
SEU DETERMINANTE SERÁ O PRÓPRIO ELEMENTO 
QUE COMPÕE A MATRIZ
SE A = [3], ENTÃO DET A = 3 
SE B = [-1], ENTÃO DET B = -1 
EX:
É O PRODUTO DA DIAGONAL PRINCIPAL MENOS O PRODUTO
DA DIAGONAL SECUNDÁRIA. 
A = 4 23 5
DET A = 4x5 – 3x2
DET A = 20 - 6 
SE A = a b
c d
, ENTÃO:
DET A = a d – bc
DET A = 14
MATRIZ QUADRADA DE 2ª ORDEM 
MATRIZ QUADRADA DE 1ª ORDEM 
DETERMINANTES
SEJA A MATRIZ A, DO TIPO 3 X 3:
DEVE-SE USAR UM PROCEDIMENTO CONHECIDO COMO 
REGRA PRÁTICA DE SARRUS
REPETIR A PRIMEIRA E A SEGUNDA COLUNA, 
NA ORDEM, APÓS A TERCEIRA COLUNA:
MULTIPLICAR AS DIAGONAIS PARA DIREITA E SOMAR OS 
VALORES:
MULTIPLICAR OS VALORES NAS DIAGONAIS PARA A ESQUERDA 
E SUBTRAIR OS VALORES:
SOMAR AS DUAS PARCELAS:
MATRIZ QUADRADA DE 3ª ORDEM 
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+++
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
---
1° PASSO:
2° PASSO:
3° PASSO:
4° PASSO:
DET A = a11. a22. a33+ a12. a23. a31+ a13. a21. a32- a13. a22. a31- a11. a23. a32- a12. a21. a33
EXEMPLO: MATRIZ QUADRADA DE 3ª ORDEM 
1° PASSO:
2° PASSO:
2.2.1 + 3.4.0 + 1.1.5
3° PASSO:
– 0.2.1 – 5.4.2 – 1.1.3
SOMAR AS DUAS PARCELAS:4° PASSO:
Det A = 2.2.1 + 3.4.0 + 1.1.5 – 0.2.1 – 5.4.2 – 1.1.3
Det A = 4 + 0 + 5 – 0 – 40 – 3
CALCULAR O DETERMINANTE DA MATRIZ 3×3 ABAIXO:
A =
2 3 1
1 2 4
0 5 1
A =
2 3 1
1 2 4
0 5 1
2 3
1 2
0 5
DetA = -34
MULTIPLICAR OS VALORES NAS DIAGONAIS PARA A 
ESQUERDA E SUBTRAIR OS VALORES:
MULTIPLICAR AS DIAGONAIS PARA DIREITA E 
SOMAR OS VALORES:
REPETIR A PRIMEIRA E A SEGUNDA COLUNA, 
NA ORDEM, APÓS A TERCEIRA COLUNA:
PROPRIEDADES 
DOS 
DETERMINANTES 
PROPRIEDADE 1: FILA NULA 
SE UMA FILA (LINHA OU COLUNA) DE UMA 
MATRIZ É FORMADA APENAS POR ZEROS, 
SEU DETERMINANTE É NULO. 
PROPRIEDADE 2: FILAS PARALELAS IGUAIS 
SE UMA FILA É PROPORCIONAL (OU IGUAL) A OUTRA 
PARALELA, O DETERMINANTE É NULO. 
PROPRIEDADE 3: COMBINAÇÃO LINEAR 
DE FILAS PARALELAS 
SE UMA FILA É COMBINAÇÃO LINEAR DE 
OUTRAS PARALELAS, O DETERMINANTE 
É NULO. 
PROPRIEDADE 4: DETERMINANTE 
DA MATRIZ TRANSPOSTA 
O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ É IGUAL 
AO DE SUA TRANSPOSTA: 
PROPRIEDADE 5: TEOREMA DE JACOBI 
O DETERMINANTE NÃO SE ALTERA SE A UMA FILA 
SOMAMOS OUTRA FILA PARALELA MULTIPLICADA POR 
UM NÚMERO QUALQUER. 
Det A = Det (At)
PROPRIEDADES 
DOS 
DETERMINANTES 
PROPRIEDADE 6: 
TROCA DE FILAS PARALELAS 
SE TROCARMOS UMA FILA DE LUGAR COM OUTRA 
PARALELA, O DETERMINANTE MUDA DE SINAL. 
PROPRIEDADE 7: 
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE 
SE MULTIPLICARMOS UM FILA POR UM NÚMERO K, O 
DETERMINANTE TAMBÉM É MULTIPLICADO POR K. 
PROPRIEDADE 8: MULTIPLICAÇÃO DE 
UMA MATRIZ POR UMA CONSTANTE 
SE MULTIPLICARMOS UMA MATRIZ POR UM 
NÚMERO K, O DETERMINANTE É MULTIPLICADO 
POR Kn, ONDE N É A ORDEM DA MATRIZ. 
PROPRIEDADE 9: TEOREMA DE 
BINET - PRODUTO DE MATRIZES 
O DETERMINANTE DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES É A 
MULTIPLICAÇÃO DOS DETERMINANTES. ASSIM: 
PROPRIEDADE 10: MATRIZ INVERSA 
O DETERMINANTE DA INVERSA É O INVERSO DO 
DETERMINANTE: 
PROPRIEDADE 11: MATRIZ TRIANGULAR 
OU MATRIZ DIAGONAL 
O DETERMINANTE É IGUAL AO PRODUTO DOS 
ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL. 
Det(A . B) = Det A . Det B
DetA−1= 1DetA
MENOR COMPLEMENTAR 
DADA UMA MATRIZ QUADRADA A, O MENOR COMPLEMENTAR DE UM 
ELEMENTO DE A É O DETERMINANTE QUE SE OBTÉM QUANDO 
SE EXTRAEM A LINHA E A COLUNA QUE CONTÊM AQUELE 
ELEMENTO. 
CONCEITO
O ELEMENTO A23 É IGUAL A 29:
A MATRIZ QUE SOBRA É:
DETERMINAR O MENOR COMPLEMENTAR, DO 
ELEMENTO A23, DA MATRIZ ABAIXO.
A =
5 10 17
13 20 29
25 34 45
A =
5 10 17
13 20 29
25 34 45
5 10
25 34
M23 = 5 𝑥 34 - 10 𝑥 25 = 170 - 250 = -80 
COFATOR 
O COFATOR OU ADJUNTO DO ELEMENTO A I J DE UMA 
MATRIZ A É UM NÚMERO REAL, INDICADO POR A I J, CUJO 
CÁLCULO É REALIZADO DA SEGUINTE FORMA: 
CONCEITO
QUANDO A SOMA DA LINHA E DA COLUNA DO ELEMENTO 
QUE DEU ORIGEM AO MENOR COMPLEMENTAR FOR PAR, 
O ADJUNTO COINCIDE COM O MENOR COMPLEMENTAR 
SE A SOMA DA LINHA E DA COLUNA DO ELEMENTO 
FOR ÍMPAR, O ADJUNTO É O OPOSTO DO MENOR 
COMPLEMENTAR (SINAL NEGATIVO)
A) CÁLCULO DE A11:
B) CÁLCULO DE A32:
Aij= (−1)
i+j. Mij
Aij = Mij , se i + j for par 
Aij = − Mij , se i + j for ímpar 
NA MATRIZ ABAIXO, CALCULAR OS COFATORES:
a) A11
b) A32 A =
2 3 1
4 5 6
1 2 7
EXEMPLO
A11= (−1)1+1.D11
A11= 1.
5 6
2 7 =1. 5x7 − 6x2 = 23
A32= (−1)3+2.D32
A32= 1.
2 1
4 6 = −1. 2x6 − 1x4 = −8
TEOREMA DE LAPLACE 
SERVE DE AUXÍLIO PARA CALCULARMOS O 
DETERMINANTE DE QUALQUER MATRIZ QUADRADA, DE 
QUALQUER ORDEM. 
CONCEITO
ESCOLHER UMA FILA, DE PREFERÊNCIA A QUE 
TIVER MAIS ZEROS. 
MULTIPLICAR CADA ELEMENTO DESSA FILA PELO 
SEU RESPECTIVO COFATOR. 
O DETERMINANTE DA MATRIZ SERÁ A SOMA DOS 
VALORESENCONTRADOS NO 2º PASSO. 
O DETERMINANTE É IGUAL À SOMA DOS PRODUTOS 
DOS ELEMENTOS DE UMA FILA (LINHA OU COLUNA) 
PELOS RESPECTIVOS COFATORES.
REGRA:
ETAPAS:
1º PASSO:
2º PASSO:
3º PASSO:
ESCOLHER A 4ª COLUNA, POIS É A QUE TEM MAIS ZEROS 
O ELEMENTO a14 MULTIPLICADO PELO SEU COFATOR RESULTA:
O ELEMENTO a24 MULTIPLICADO PELO SEU COFATOR RESULTA:
M34 É O MENOR COMPLEMENTAR DO ELEMENTO a34
QUE É O DETERMINANTE QUE SE OBTÉM SUPRIMINDO A 3ª 
LINHA E A 4ª COLUNA: 
LOGO, TEREMOS: 
A=
1 2
2 3
1 0
1 0
2 −3
2 1
2 1
1 4
CONSIDERE A MATRIZ QUADRADA (A) ABAIXO, DE ORDEM 
A. CALCULE O SEU DETERMINANTE USANDO O TEOREMA 
DE LAPLACE.
0 x A14 = 0
1 x A34 = 1 x (−1)3+4 x M34
O ELEMENTO a34 MULTIPLICADO PELO SEU COFATOR RESULTA:
0 x A24 = 0
M34=
1 2 1
2 3 1
2 1 1
M34 = -2
1 x (−1)7 x (-2) = 2
O ELEMENTO a44 MULTIPLICADO PELO SEU COFATOR RESULTA:
4 x A44 = 4 x (−1)4+4 x M44
M44=
1 2 1
2 3 1
2 −3 2
M44 = -7
LOGO, TEREMOS: 4 x (−1)8 x (-7) = -28
Det A = 0 + 0 + 2 +(-28) = -26
1º PASSO: 
2º PASSO: 
3º PASSO: 
EXEMPLO: