Prova resolvida - Desenho Geométrico

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Matemática em Exerćıcios
Prova resolvida - Desenho Geométrico
Professor Guilherme Miguel Rosa
Questão 1. Em uma folha de papel está desenhado um ćırculo, mas seu centro não está marcado.
Justifique como é posśıvel obter a posição do centro com régua e compasso.
Solução: Considere um triângulo qualquer inscrito no ćırculo, ou seja, um triângulo cujos vértices
A, B e C são pontos do ćırculo. Buscamos um ponto P que equidista de A, B e C. Basta desenhar
as mediatrizes de dois dos três lados do triângulo, a interseção delas é o ponto P procurado. Isso
acontece pois qualquer ponto sobre uma das mediatrizes equidista de dois dos três pontos do ćırculo,
mas P está nas duas mediatrizes ao mesmo tempo, logo a sua distância até o terceiro ponto do ćırculo
também é a mesma.
Questão 2. Dados dois segmentos AB = x e AC = y, descreva os passos da construção, com régua
e compasso, do segmento de medida
√
x2 + y2.
Solução: Seja z a medida do segmento pedido. Então z =
√
x2 + y2 =⇒ z2 = x2 + y2. Trata-se do
Teorema de Pitágonas, desde que x, y e z sejam as medidas dos lados de um triângulo retângulo, onde
z é a medida da hipotenusa e x e y as medidas dos catetos. Portanto, basta construir um triângulo
retângulo de catetos x e y, tomando a hipotenusa como solução do problema. Passos da construção:
• Considere um segmento AB de medida qualquer x. Trace uma reta r perpendicular ao segmento
AB passando por um dos extremos, digamos, por A.
• Sobre a reta r, tome o ponto C de modo a obter o segmento AC de medida qualquer y.
• Trace o segmento BC solucionando o problema.
Questão 3. Descreva os passos da construção de um quadrado com metade da área do quadrado dado.
Solução: Considerando um quadrado de lado l e área l2, devemos construir um novo quadrado de
área
l2
2
. Portanto, o lado do novo quadrado deve ser igual a
√
l2
2
=
l√
2
=
l
√
2
2
. Como a diagonal de
um quadrado de lado l é l
√
2, a diagonal do quadrado que deve ser constrúıdo corresponde ao lado do
quadrado dado, pois
l
√
2
2
√
2 = l. Então, devemos construir um quadrado cuja diagonal corresponde
ao lado do quadrado dado. Passos da construção:
• Construir uma ćırcunferência de diâmetro AC com medida l, que será uma das diagonais do
quadrado.
• Traçar a mediatriz de AC.
• Chamando os pontos de interseção da madiatriz com a circunferência de B e D, temos que o
segmento BD é a outra diagonal do quadrado.
• O quadrilátero ABCD é o quadrado pedido.
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