Trigonometria Lista 2

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍ-UESPI 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA-CCN 
CURSO LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA 
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA II -2014.2 CARGA HORÁRIA: 90 HORAS 
PROFESSOR: AFONSO NORBERTO DA SILVA 
 
 
1. (G1 - cftrj 2014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC 4 cm, BC 13 cm  e 
 60 ,  calcule os possíveis valores para a medida do lado AB. 
 
2. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a sequência (c,d,e), denominada S2, 
são progressões aritméticas formadas por números reais. 
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S1, a nova sequência de três 
números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa 
PG. 
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2, a nova sequência que se 
forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine 
a razão r de S2, para o caso em que r .
2
π
π  
 
3. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo 
representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência 
AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões 
abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km. 
 
 
 
a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? 
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( ) 3 / 4.θ  Determine a distância d entre o 
ponto C e o satélite. 
 
4. (Fuvest 2013) 
 
 
2 
 
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em 
um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 
representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos 
dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço 1OP tem comprimento 6 e o braço 
1 2P P tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor 
do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do 
chão, determine 
a) o seno e o cosseno do ângulo 2
ˆP OQ entre a reta 2OP e o plano do chão; 
b) a medida do ângulo 1 2
ˆOP P entre os braços do guindaste; 
c) o seno do ângulo 1
ˆP OQ entre o braço 1OP e o plano do chão. 
 
5. (Unicamp 2013) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano 
horizontal, contém água até a altura 
3
.
4
a Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um 
ângulo θ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo. 
 
 
 
a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, 
determine a tangente do ângulo θ . 
b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π   calcule o valor 
numérico da expressão cos(2 ) sen(2 ).θ θ 
 
6. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem 
de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas 
na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um 
teodolito. 
 
 
 
 
 
3 
 
Visada Ângulo 
^
ACB 
 
^
BCD 
 
^
ABC 
 
 
a) Calcule a distância entre A e B. 
b) Calcule a distância entre B e D. 
 
7. (Fuvest 2012) 
 
 
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5 , o 
ângulo interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de vértice B mede 2α . Sabe-se, 
também, que 2 cos(2 ) 3cos 1 0α α   
 
Nessas condições, calcule 
a) o valor de sen α ; 
b) o comprimento do lado AC . 
 
8. (Uftm 2011) Dado um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 20 cm, e o ângulo 
α formado por esses dois lados, tal que 4sen 3cos ,α α determine: 
 
a) O valor numérico de sen .α 
b) O perímetro desse triângulo. 
 
9. (Epcar (Afa) 2011) O período da função real f definida por  
sen 3x sen x
f x
cos3x cosx



 é igual a 
 
10. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem 2
cm e 2 3cm , respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida de 
OB intercepta AB no ponto C (≠ B). 
 
a) Mostre que mede 15°. 
b) Calcule o comprimento de AC 
 
11. (Ufpe 2011) Quantas soluções a equação trigonométrica 2sen x cosx 5 4  admite no 
intervalo  0,60  ? 
Parte do gráfico da função 2sen x cosx está esboçada abaixo. 
 
6
π
3
π
6
π
4 
 
 
 
12. (Ufscar 2010) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na 
figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial N. A fração visível da superfície 
da Terra por um astronauta na nave N é dada em função do ângulo è, mostrado na figura, pela 
expressão: 
 
 
1 sen
f
2
θ
θ

 
 
 
 
a) Determine o ângulo  , em graus, para o qual é visível da nave a quarta parte da superfície 
da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R = 
6.400 km.) 
 
b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfície da Terra com 
ângulo  = 15o, determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as 
aproximações 2 1,4 e 6 2,4  .) 
 
13. (Ufpe 2010) Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto B deve ser ligada com um 
cabo subterrâneo de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância AB, são 
medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P, situados na margem oposta do 
rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA = 30°, POA = 30°, APB = 45° e OP = (3 + 3 )km, 
calcule AB em hectômetros. 
 
 
5 
 
 
14. (Ufg 2010) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um 
condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir. 
 
 
 
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na 
figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão 
instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000 
m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do 
polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 
 
15. (Ita 2010) Considere a equação 
 
2 2 x x(3 2cos x) 1 tg 6tg 0.
2 2
 
    
 
 
 
a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[. 
b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x. 
 
16. (Ufpe 2010) Quantas soluções a equação trigonométrica 
 
sen x = 1 cosx 
 
admite, no intervalo [0, 80 π )? 
 
17. (Fgv 2009) No quadrilátero ABCD mostrado na figura a seguir, B e D são ângulos retos, 
BC x, CD 2x, AD 3x e  . θ Determine: 
 
a) O comprimento dos segmentos AC e AB em função de x. 
b) O valor de sen .θ 
 
 
 
6 
 
18. (Insper 2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado na figura, em que 
AB 4cm, AD 3cm  e  90 .  
 
 
 
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ˆABC e BD BC, então a medida do 
lado CD, em centímetros, vale 
a) 2 2. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 2 3. 
e) 15. 
 
19. (Ucs 2014) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, 
possa ser expressa, em função do tempo t , em dias decorridos desde o início do ano, por 
2 (t 105)
T(t) 14 12sen .
364
π  
   
 
 
 
Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês 
de 
a) julho. 
b) setembro. 
c) junho. 
d) dezembro. 
e) março. 
 
20. (Cefet MG 2014) A função    2 2f(x) sec x sen 2x sen x cos x tg x
2
π
π
 
       
 
 deve ser 
reescrita como produto de uma constante pelas funções seno e cosseno, calculadas no mesmo 
valor x, como   m nf x k sen x cos x.   
 
O valor de m é 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 
21. (G1 - ifsp 2014) A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulooposto à base 
mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 
a) 3. 
b) 2. 
7 
 
c) 3. 
d) 1 3. 
e) 2 3. 
 
22. (G1 - cftrj 2014) Sejam ABC e DEF dois triângulos equiláteros. Sabendo que o perímetro 
de DEF é 3 unidades maior do que o perímetro de ABC e sua área é o dobro da área de ABC, 
qual é a medida dos lados de ABC? 
 
23. (Fgv 2014) A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de medida R, é uma corda de 
outro semicírculo de diâmetro 2R e centro O. 
 
 
 
a) Calcule o perímetro da parte sombreada. 
b) Calcule a área da parte sombreada. 
 
24. (Ufg 2013) Considere duas paredes paralelas, com distância de 4 m entre si e alturas de 
10 m e 5 m. Uma fonte de luz puntiforme encontra-se na base da parede mais baixa e começa 
a deslocar-se horizontalmente no sentido oposto à parede mais alta, com velocidade constante. 
São realizadas medições consecutivas, em intervalos de tempo iguais, da distância da fonte de 
luz até a base da parede mais baixa, obtendo-se uma sequência, cujos três primeiros valores 
são: x – 1, 3x – 2 e 2x. Sabendo-se que são realizadas 11 medições, determine a altura da 
sombra da parede mais baixa na parede mais alta, projetada pela fonte de luz, no instante da 
décima primeira medição. 
 
25. (Uerj 2013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de 
mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados 
para a Rua Beta. Observe o esquema: 
 
 
 
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A 
mede 20 m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 
 
26. (Ufmg 2013) Um quadrado Q tem área igual à área de n quadrados de área unitária de 1 
cm
2
, mais a área de um quadrado K. 
Considerando essas informações, responda às questões abaixo em seus contextos. 
a) Suponha que n 19 e que a área do quadrado Q é de 100 cm
2
. CALCULE a medida do lado 
do quadrado K. 
b) Suponha que o lado do quadrado K mede 8 cm e que n 57. CALCULE a medida do lado 
do quadrado Q. 
 
8 
 
27. (Ufg 2013) Um agricultor pretende dividir um terreno em duas partes que possuam a 
mesma área. A figura a seguir representa o terreno e a divisão deve ser feita ao longo da linha 
vertical tracejada. 
 
 
 
Considerando-se o exposto, determine o valor de x, com precisão de uma casa decimal. 
 
Dado: 34 5,83 
 
28. (Ueg 2012) A figura representa no plano cartesiano um triângulo ABC, com coordenadas A 
(0,5), B (0,10) e C (x,0), em que x é um número real positivo. 
 
 
 
Tendo em vista as informações apresentadas, 
 
a) encontre a função F que representa a área do triângulo ABC, em função de sua altura 
relativa ao lado AB; 
b) esboce o gráfico da função F. 
 
29. (Ufmg 2012) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 126. Os pontos P e Q 
dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o 
segmento BC em três partes iguais. 
 
9 
 
 
 
Com base nessas informações, 
 
a) Determine a área do triângulo QBN. 
b) Determine a área do triângulo sombreado PQM. 
 
30. (Ufba 2012) Na figura, os triângulos MNP e MNQ são retângulos com hipotenusa comum 
MN, o triângulo MNP é isósceles, e seus catetos medem cinco unidades de comprimento. 
Considerando 
1
tg
3
α  e a área de MNQ igual a x unidades de área, determine o valor de 4x. 
 
 
 
31. (Ufpr 2012) Calcule a área do quadrilátero P1P2P3P4 , cujas coordenadas cartesianas são 
dadas na figura abaixo. 
 
 
 
32. (Ufg 2012) Três irmãos herdaram uma propriedade rural em Goiás e necessitam repartir as 
terras. A figura a seguir representa a propriedade, que é retangular, medindo 2000 m por 1500 
m, e está integralmente utilizada para lavouras e pastagens, exceto a reserva legal mínima de 
mata nativa, também em formato retangular, com 1200 m de comprimento, representada pela 
região sombreada na figura. 
As linhas destacadas na figura apresentam uma proposta de partilha das terras em que a 
região de mata nativa fica dividida em um retângulo e dois triângulos. 
 
10 
 
 
 
Considerando-se que os três irmãos devem ficar com propriedades de mesma área e que, para 
cada uma delas, deve ser garantida a reserva legal mínima de vegetação nativa, que no estado 
de Goiás é de 20% da área da propriedade, determine quais devem ser as medidas 
assinaladas por x e y. 
 
33. (Ufjf 2012) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD paralelos, sejam M o ponto médio 
do segmento CD e 1S a área do triângulo BMC. 
 
a) Considere P o ponto de interseção do segmento AM com BD. Sabendo que a área do 
triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação existente entre a 
altura H do triângulo BMC relativa à base MC e altura h do triângulo DPM relativa à base 
MD. 
b) Sabendo que CD 2 e AB 6, calcule a área do trapézio em função da altura H do 
triângulo BMC. 
 
34. (Ueg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência de raio r = 2 cm, em que AC é o 
diâmetro e AB é uma corda. Sabendo-se que o ângulo BÔC = 600, calcule a área da região 
hachurada. 
 
 
 
35. (Fuvest 2012) 
 
 
Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta 
AO . Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3 e BC 2 3 . Nessas 
condições, determine 
11 
 
 
a) a medida do segmento CD ; 
b) o raio da circunferência; 
c) a área do triângulo AOB; 
d) a área da região hachurada na figura. 
 
36. (Uftm 2012) A figura indica um triângulo retângulo ABC, com BC 6, e um triângulo 
retângulo ABP de vértice P móvel em BC. Quando P coincide com B, o triângulo ABP 
desaparece, e 0 .α   Quando P coincide com C, o triângulo ABP se sobrepõe perfeitamente 
ao triângulo ABC, e 45 .α   
 
 
 
a) Calcule a área do triângulo APC na situação em que 30 .α   
b) Chamando PC de y, e adotando α em radianos, determine y em função de ,α bem como o 
domínio e a imagem dessa função. Considere na sua resolução a existência do triângulo 
APB. 
 
37. (Pucrj 2012) Considere o triângulo acutângulo ABC. Sabemos que o segmento AB mede 
13 e que o segmento AC mede 10. Seja BE a altura relativa ao vértice B, isto é, E pertence 
ao segmento e AC BE é perpendicular a ,AC conforme a figura. Sabemos que BE mede 
12. 
 
 
 
a) Calcule quanto mede o lado .BC 
b) Seja CF a altura relativa ao vértice C. Calcule o comprimento de CF . 
c) Seja X um ponto sobre o lado .BC Os pontos Y e Z pertencem aos lados AB e ,AC 
respectivamente. Sabemos que XY é perpendicular a AB , que XZ é perpendicular a ,AC 
e que XY = 5. Calcule o comprimento do segmento XZ . 
 
38. (Ufpe 2011) Na figura abaixo AB AD 25,  BC 15 e DE 7. Os ângulos ˆˆDEA,BCA e 
ˆBFA são retos. Determine AF. 
 
12 
 
 
 
39. (Unesp 2011) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade 
inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. 
Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, 
considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à 
rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em 
metros, ela atingirá o outro lado da quadra? 
 
40. (G1 - col.naval 2011) Seja ABC um triângulo com lados AB 15, AC 12 e BC 18. Seja 
P um ponto sobre o lado AC, tal que PC 3AP. Tomando Q sobre BC, entre B e C, tal que a 
área do quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC, qual será o valor de BQ? 
 
41. (Fuvest 2010) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma 
bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir. 
 
 
 
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola 
vermelha. 
Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de 
incidênciae de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? 
 
 
 
 
13 
 
42. (G1 - cp2 2010) Em 2.000 a. C, os egípcios já sabiam calcular o valor aproximado de  . 
No documento conhecido hoje como Papiro de Rhind, o escriba Ahmes fez o registro de 26 
problemas geométricos. Num deles, encontra-se descrito o procedimento utilizado, na época, 
para o cálculo da área de um círculo: 
 
“Corte 1/9 do diâmetro de um círculo e construa um quadrado com o restante. Esse 
quadrado tem a mesma área do círculo.” 
 
 
 
Vamos verificar a precisão dos cálculos egípcios! Suponha que o diâmetro do círculo mede 
18 cm. 
a) Calcule a medida da área do quadrado representado acima. 
b) Supondo que as áreas do quadrado e do círculo tenham a mesma medida, como admitiam 
os egípcios, encontre o valor de  utilizado por eles, com aproximação até a 2ª casa 
decimal. 
c) Considerando o valor atual de  , utilizamos frequentemente a aproximação   3,14. Qual 
a diferença percentual entre este valor e o utilizado pelos egípcios? (Escreva sua resposta 
com aproximação de duas casas decimais) 
 
43. (G1 - cp2 2010) Na figura abaixo, as bases do trapézio isósceles ABCD medem 10 cm e 
30 cm e a medida do ângulo BÂD é 60º. Além disso, AE = EB 
 
 
 
a) Determine a altura do trapézio ABCD. 
b) Utilizando o Teorema de Pitágoras, encontre a medida DE. 
c) Calcule a medida da área do triângulo DCE. 
 
44. (Ueg 2010) Seja α a medida do lado de um octógono regular circunscrito a uma 
circunferência de raio R. Com base nessa informação, determine a medida do perímetro desse 
octógono em função do raio R . 
 
14 
 
45. (G1 - cp2 2010) Juliana recortou de uma tira de cartolina retangular seis triângulos 
retângulos idênticos, em que um dos catetos mede 3 cm (figura 1). Com esses triângulos, fez 
uma composição que tem dois hexágonos regulares (figura 2). 
 
 
 
a) Qual é a medida do ângulo interno do hexágono menor? 
b) Quais são as medidas x e y dos ângulos dos triângulos retângulos? 
c) Qual é a medida do perímetro do hexágono menor? 
 
15 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 
 
 
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos: 
 
2 2 2
2
2
13 4 x 2 4 x cos60
1
13 15 x 8x
2
x 4x 3 0
      
   
  
 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3. 
 
Resposta: 1 cm ou 3 cm. 
 
Resposta da questão 2: 
 a) Como (12,a,b) é uma progressão aritmética, segue que 
 
 
b 12
a b 2a 12.
2

    
 
 Além disso, sabendo que (12,a 1,b 5)  é uma progressão geométrica crescente, vem 
 
 
2 2
2
(a 1) 12 (b 5) a 2a 1 12 (2a 7)
a 22a 85 0
a 17.
         
   
 
 
 
 Portanto, a razão pedida é dada por 
 
 
a 1 17 1
12 12
3
.
2
 


 
 
b) Como (c,d,e) é uma progressão aritmética, segue que e 2d c  e r d c.  Daí, sabendo 
que senc send sene 0   e send 0, vem 
 
16 
 
 
sen(2d c) senc send 0
2d c c 2d c c
2 sen cos send 0
2 2
2 send cos(d c) send 0 send (2 cosr 1) 0
1
cosr
2
2
r ,
3
π
    
      
       
   
         
  
 
 
 
 pois r .
2
π
π  
 
Resposta da questão 3: 
 a) No triângulo assinalado: 
R é a medida do raio da terra. 
R 1
cos 60
R R 2
α α    

 
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por: 
2 R 2 6400 12800
km.
3 3 3
π π π   
  
 
 
 
 b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: 
 
2 2 2
2 2 2
2
d R (2R) 2.R.2R.cos
d 5R 4.R .(3/4)
d 2.R
d R 2
d 6400. 2 km
θ  
 



 
 
17 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 
 
 
a)  2
2 1 10
sen P ÔQ .
102 10 10
   
b)      
2 2 2
1 2 2 1 2 1
ˆOPP 90 , pois OP PP OP   
 
c) 1 2 2 1 2 2
ˆ ˆOPP OP Q logo POP P OQΔ Δ α   
   1
2 6 6 3ˆEntão, sen P OQ sen 2 2sen .cos 2 .
10 52 10 2 10
α α α       
 
Resposta da questão 5: 
 a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado: 
 
 
 
a a
14 4tg
a 2
θ

  
 
18 
 
b) Se tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π   temos: 
 
 
 
2 2
2 2
1 4
sen e cos
17 17
Logo, cos2 sen2 cos sen 2.sen .cos
4 1 1 4 16 1 8 7
2. .
17 17 17 1717 17 17 17
θ θ
θ θ θ θ θ θ
 
    
   
         
   
 
 
Resposta da questão 6: 
 a) 
 
 
 
No triângulo ABC assinalado, temos: 
      
 
   
 
    
2 2 2
2 2
2 2
15 x x 2 x x cos120
1
225 2x 2x
2
225 3x x 75 x 5 3m
 
 
b) 
 
 
 
19 
 
No triângulo BDC, temos: 
2 2 2
2
y 15 10 2 15 10 cos60
y 225 100 150
y 175
y 5 7m
      
  


 
 
Resposta da questão 7: 
 a) Observe o cálculo a seguir: 
2 2
2
2
2
2.cos(2 ) 3.cos 1 0
2.(cos sen ) 3.cos 1 0
2.(2.cos 1) 3.cos 1 0
4cos 3.cos 1 0
25
1
cos3 5
cos 4
8
cos 1(não coném)
1 15
logo, sen = 1
4 4
α α
α α α
α α
α α
Δ
α
α
α
α
  
   
   
  

 

 
 
  
 
 
 
b) traçando uma reta r representada na figura, temos: 
 
15 5x
10cos
x
15 5x
1 10
4 x
10x 4 15 20x
30x 4 15
2 15
x
15
α




 


 
 
 
 
 
20 
 
Resposta da questão 8: 
 a) Sabendo que 2 2sen cos 1α α  e 
4
cos sen ,
3
α α então: 
 
2
2 24 25sen sen 1 sen 1
3 9
3
sen .
5
α α α
α
 
    
 
 
 
 
b) Seja a medida do lado oposto ao ângulo .α Sabendo que 
4
cos sen
3
α α e 
3
sen ,
5
α  
então 
4
cos .
5
α  Logo, pela Lei dos Cossenos, encontramos: 
 
2 2 2 2
2
4
20 20 2 20 20 800 640
5
160
4 10 cm.
        
 
 
 
 
Portanto, o perímetro do triângulo é dado por: 
 
20 20 4 10 4(10 10)cm.    
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
3x x 3x x
2.sen .cos
2 2f(x)
3x x 3x x
2.cos .cos
2 2
sen(2x)
f(x)
cos(2x)
f(x) tg(2x)
 

 


 
Logo, o período é P = 
2 2

π π
. 
 
Resposta da questão 10: 
 a) Utilizando o teorema dos senos, temos: 
 
 
o
2 3 2 2 3
sen
sen 2sen135


 
   
 Sabendo que 
2
32
4
32
15
4
26
15
2
2 









 
 oo sensen , concluímos então que: 
 = 15
o
 
b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB = 2 3cm . 
 
21 
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 Temos que 
2 2
2
2
5 5
sen x cosx 1 cos x cosx
4 4
1
cos x cosx 0
4
1
cosx 0
2
1
cosx
2
cosx cos x 2k , k .
3 3
     
   
 
   
 
 
 
      
 
Assim, no intervalo [0, 2 ] a equação possui duas raízes 
3



 e 
5
3
 


 e, portanto, no intervalo 
[0, 60 ] existem 
60
2 30 2 60
2

   

 soluções. 
 
Resposta da questão 12: 
 a) Como  é agudo, segue que: 
 
1 1 sen 1
sen 30 .
4 2 2
 
       
 Do triângulo NAC, vem: 
 
R 6400
sen sen30 d 12800 6400 6.400km.
R d 6400 d
        
 
 
 
b) Para 15 ,   segue que 
1 sen15
f(15 ) .
2
 
  
 Mas 
 
sen15 sen(45 30 )
sen45 cos30 sen30 cos45
2 3 1 2
2 2 2 2
6 2
4
2,4 1,4
4
1
.
4
    
     
   





 
 Portanto, 
 
1
1
34f(15 ) .
2 8

   
22 
 
 
Resposta da questão 13: 
 De acordo com os dados do problema temos a figura. 
 
 
 
o o
3 3 y 3 3 3.y
y 3 1
2 2sen120 sen30
 
      
 
O triângulo POB é isósceles logo, OB 3 3  
 
Portanto,  AB x 3 3 3 1 2km 20hm       . 
 
Resposta da questão 14: 
 Como AQ AR AS AT AP RS ST TP PQ,        segue que os triângulos ARS, AST, 
ATP e APQ são equiláteros. Logo, ˆ ˆ ˆ ˆRAS SAT TAP PAQ 240     implica em: 
ˆQAR 360 240 120 .     
 
 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo QAR, obtemos: 
2 2 2
2 22
2 2
2 2
ˆQR AQ AR 2 AQ AR cosQAR
1
3000 2 AQ 2 AQ
2
3 AQ 3000
3000
( 3 AQ) 3000 AQ 1000 3 m.
3
      
 
       
 
  
    
 
Portanto, a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono é: 
1000 3 m. 
 
23 
 
Resposta da questão 15: 
 a) (3– 2cos
2
x).(1 + tg
2
)
2
(
x
= 6.tg )
2
(
x
 (3 – 2cos
2
x)













2
cos
2
.6
2
cos
1
2 x
x
sen
x
  (3 – 2cos
2
x) = 6.sen






2
x
.cos 





2
x
 
3 – 2(1 – sen
2
 x) = 3.senx  2sen
2
 x - 3.senx + 1 = 0 
 
Senx = 1  x = 
2

 
senx = ½  x = 
6

 ou x =
6
5
 S = {
6

,
2

,
6
5
} 
 
b) cotg 0
2
cotg ,3
6
cot 

g 
6
5
= 3 
 
Resposta da questão 16: 
 Resolvendo para 0 x 2  π 
 
2 2 2senx 1 cosx sen x 1 cosx 1 cos x 1 cosx cos x cosx 0
3
logo, cosx = 0 ou cos x = 1 x = , x = (não convém) ou x 0
2 2
           
 
π π 
Temos então, duas raízes para cada volta e um total de 40 voltas ([0, 80 π )). Logo, o número 
de raízes será 40. 2 = 80. 
 
Resposta da questão 17: 
 a) AC 13 x e AB 2 3 x . 
b)
3
( 3 4)
13
 . 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Como AB 4cm, AD 3cm e A 90 ,  pelo Teorema de Pitágoras, segue de imediato que 
BD 5cm. Além disso, sendo BD BC, tem-se que o triângulo BCD é isósceles de base CD. 
Logo, se M é o ponto médio de CD, então DMB 90  e MBD .
2
α
 
 
Do triângulo ABD, obtemos 
 
AB 4
cos .
5BD
α   
 
Daí, sabendo que 
1 cos
sen ,
2
θ
θ

 vem 
 
4
1
1 cos 15sen .
2 2 2 10
α α


   
24 
 
 
Portanto, do triângulo BMD, encontramos 
 
CD
1 CD2sen
2 2 510BD
CD 10 cm.
α
  

 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
A temperatura média máxima ocorre quando 
 
2 (t 105) 2 (t 105)
sen 1 sen sen
364 364 2
2 (t 105)
2k
364 2
t 105 91 364k
t 196 364k, k .
π π π
π π
π
    
     
   

  
   
   
 
 
Assim, tomando k 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o 
início do ano, ou seja, no mês de julho. 
 
Resposta da questão 20: 
 [E] 
 
Lembrando que sen2x 2senxcosx, sen x cosx
2
π 
  
 
 e cos( x) cosx,π   vem 
2 2
2
2
2
3
f(x) sec x sen(2x) sen x cos( x) tg x
2
1 sen x
2senxcosx cos x ( cosx)
cosx cos x
2 sen x cosx.
π
π
 
       
 
     
   
 
 
Portanto, tem-se que m 3. 
 
Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
 
 
Aplicando o teorema dos cossenos, temos: 
 
25 
 
 
2 2 2
2 2
2
2
3 3 x x 2 x x cos120
1
27 2x 2x
2
27 3x
x 9
x 3
      
 
    
 


 
 
 
Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm. 
 
Resposta da questão 22: 
 Considerando x a medida do lado do triângulo ABC e y a medida do lado do triângulo DEF, 
temos o seguinte sistema. 
 
 
) II ( 2xy
4
3x
2
4
3y
 ) I ( 1xy3x3y3
22








 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
 
12x
21
21
12
1
x
1x2x
x21x








 
 
Portanto, a medida dos lados do triângulo ABC é ( 2 1) unidades. 
 
Resposta da questão 23: 
 a) Considere a figura. 
 
 
 
Como tem-se que o triângulo é equilátero. Logo, o perímetro da 
parte sombreada é dado por 
 
 
 
 
 
AO BO AB R,   ABO
1 1 R
ACB ADB 2 R 2
6 2 2
5 R
u.c.
6
π π
π
      

26 
 
b) A área da parte sombreada é igual a 
 
 
 
Resposta da questão 24: 
 Como as três primeiras distâncias são x 1, 3x 2 e 2x  e a velocidade da fonte de luz é 
constante. Então: 
 
3x 2 (x 1) 2x (3x 2)
3x 2 x 1 2x 3x 2
2x 1 x 2
3x 3
x 1
     
     
   


 
 
Concluímos então que a primeira medição indicará 0m, a segunda medição indicará 1m a 
terceira medição indicará 2m e a 11ª medição indicará 10m. 
 
Logo, a figura que representa a sombra da fonte luminosa até a 11ª medição está representada 
abaixo, onde foi calculado o comprimento da sombra por semelhança de triângulo. 
 
 
 
 
Resposta da questão 25: 
 
 Sejam Ah e Bh , respectivamente, as alturas dos trapézios A e B. 
Como A e B são trapézios, e as frentes dos terrenos têm o mesmo comprimento, segue que a 
lateral maior do terreno A (ou lateral menor do terreno B) é a base média do trapézio maior 
formado por A e B. Daí, A Bh h h  e, portanto, 
 
x 20
20
2 h
1 x 60 12
x 20 2 3x 20 2
x
2 h
2
x 100 m.




  
 


 
 
 
 
 
2 2 2
2 2
2
1 R 1 R 3 R 3 1
R R
2 2 6 4 4 24
R
3 u.a.
4 6
π π π
π
   
           
   
 
  
 
27 
 
Resposta da questão 26: 
 Seja AQ a área do quadrado Q e AK a área do quadrado k, então temos Q KA n 1 A .   
 
a) Sendo k o lado do quadrado K , então: 
 
100 = 19 + k
2
 
 
k
2
 = 81 
 
k = 9 cm 
 
b) Seja q o lado do quadrado q, então: 
 
q
2
 = 57 + 8
2
 
 
q
2
 = 121 
 
q = 11 cm 
 
Resposta da questão 27: 
 
 
 
O triângulo CGF é isósceles, logo CG = GF = x. 
 
O triângulo ADE é isósceles, logo CD = DE = 300. 
 
Igualando as áreas dos dois trapézios, temos a seguinte equação: 
 
2 2
2
2
(100 x 100) x (400 100) (300 x)
2 2
200x x 150000 500x 300x x
2x 400x 150000 0
x 200x 75000 0
     

    
  
  
 
 
Logo, 
200 100 34
x
2
x 100 50 5,83
x 191,5m
 

   

 
 
28 
 
Resposta da questão 28: 
 a) 
10.x 5x
F(x)
2 2
  
5x
F(x)
2
 
 
 
 
b) Observe o gráfico a seguir: 
 
 
 
Resposta da questão 29: 
 a) 
2 2
Maior
menor
Menor menor
A L 126 3x
A 14ua
A l A x
   
       
   
 
 
b) 
2 2
ABC
PBM
PBM PBM
A L 126 3x
A 56ua
A l A 2x
   
       
   
 
 
Portanto: 
PBM
PQM QBM PQM
A 56
A A A 28ua
2 2
     
 
Resposta da questão 30: 
 Como 
1
tg ,
3
α  segue que 
NQ 1
MQ 3 NQ.
3MQ
    
 
Se a área de MNQ é igual a x, então 
2
MQ NQ 3 NQ
x x .
2 2
 
   
 
Sabendo que MNP é isósceles, segue de imediato que MN 5 2 u.c. 
 
29 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MNQ, obtemos 
2 2 2 22 2
2
MQ NQ MN (3 NQ) NQ (5 2)
NQ 5.
     
 
 
Portanto, 
2
3 NQ
4x 4 6 5 30.
2

     
 
Resposta da questão 31: 
 
 
 
1 2 3 4A A A A A A
2.1 5.4 4.3 6.3
A 8.6
2 2 2 2
A 48 1 10 6 9
A 48 26
A 22 unidades de área
    
    
    
 

 
 
Resposta da questão 32: 
 
 
 
Área total do terreno: 3 km
2
 
Área que cabe a cada filho: 1 km
2
 
 
      k 1,2 0,2 1,5 2 k 0,5 
 
k m 0,2 1
0,5 m 0 2
m 0,4
  
  

 
 
30 
 
1A 0,8 1  
(0,4 x) 1
0,8 x 1,2 km
2
 
   
 
2A 0,8 1  
 0,5 y 0,8
0,8 y 1,5 km
2
 
   
 
Resposta da questão 33: 
 a) Considere a figura. 
 
 
 
 Como M é o ponto médio de CD, segue que MD MC. 
 Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, obtemos 
 
 
1 MD h 1 MC H
(DPM) (BMC)
4 2 4 2
H 4h.
 
    
 
 
b) A área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC é dada por 
 
 
AB CD 6 2
(ABCD) H H 4H.
2 2
 
     
 
Resposta da questão 34: 
 setor(AOB) AOBA A A  Δ 
2.2 .120 1
A 2.2.sen120
360 2
4. 1 3
A 2.2
3 2 2
4.
A 3
3
   
   
 
π
π
π
 
 
Resposta da questão 35: 
 
 
 
 
 
31 
 
a) Temos: 
 
2
CD 8 3.2 3
CD 48
CD 4 3



 
 
b) No triângulo ADC, temos: 
   
2 22 2 2(2r) 4 3 8 3 4r 192 48 r 36 r 6         
 
c)  
22 2 2 2h 3 3 6 h 36 27 h 9 h 3         
6 3.3
A A 9. 3
2
   
 
d) 
3 1
sen 30 e = 120°
6 2
α α β     
Área pedida: 
 
2
AOB
.6
A A
3
A 12 9 3
A 3 4 3 3
Δ
π
π
π
 
 
  
 
 
Resposta da questão 36: 
 a) Se 45α   quando P coincide com C, então o triângulo ABC é isósceles. Logo, 
AB BC 6.  
 Para 30 ,α   segue que 
 
 
BP BP
tg tg30 BP 2 3.
6AB
α       
 
 Portanto, a área do triângulo APC é dada por 
 
 
(APC) (ABC) (ABP)
6 6 6 2 3
2 2
18 6 3
6(3 3) u.a.
 
 
 
 
 
 
b) De (a), segue que BP 6 tg .α  Logo, para 0
4
π
α  temos 
 
 PC BC BP y 6 6 tg .α      
 Por conseguinte, o domínio dessa função é | 0
4
πα α
 
   
 
 e sua imagem é 
{y | 0 y 6}.   
 
 
 
32 
 
Resposta da questão 37: 
 
 
 
a) 2 2 2EA 12 13 EA 5 e EC 5.    
Portanto, os triângulos EAB e ECB são congruentes pelo caso LAL e BC = 13. 
 
b) 
10 12 13 CF 120
CF .
2 2 13
 
   
 
c) 
10 XZ 13 5 10 12 11
10XZ 55 XZ .
2 2 2 2
  
      
 
Resposta da questão 38: 
 Considere a figura. 
 
 
 
Como   AB 25 5 5 e   BC 15 5 3, segue que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo 
retângulo de lados 5, 3 e 4. Logo,   AC 5 4 20. 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, vem 
33 
 
    
 
 
2 2 2 2 2 2AD DE AE AE 25 7
AE 576
AE 24.
 
Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por AA, temos que 

   
GC BC 15 7 35
GC .
24 8DE AE
 
 
Logo,     
35 125
AG AD GC 20 .
8 8
 
Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são semelhantes por AA. Desse modo, 

   
125
24
AF AG 8AF 15.
25AE AD
 
 
Resposta da questão 39: 
 Considere a figura abaixo. 
 
 
 
Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA. 
Portanto, sabendo que AB 21dm,DE 9dm  e BE 120dm, vem 
AB BC 21 120 EC
9DE EC EC
7 EC 360 3 EC
EC 90dm 9 m.

  
    
  
 
 
Resposta da questão 40: 
 [C] 
 
 
Como  PC 3 AP, segue que     
4
AP PC AC AC PC.
3
 
Se (ABC), (PQC) e (APQB) denotam, respectivamente, a área do triângulo ABC, a área do 
triângulo PQC e a área do quadrilátero APQB, então: 
 
34 
 

 
  

        
      
     
 
BC BQ
(ABC) (PQC) (APQB)
(ABC) 2 (PQC)
(PQC) (APQB)
1 1ˆ ˆAC BC senPCQ 2 PC QC senPCQ
2 2
4
PC BC 2 PC (BC BQ)
3
2 BC 3 BC 3 BQ
BQ 6 u.c.
 
 
Resposta da questão 41: 
 
yy
xx




8,0
4,0
9,0
2,1
~~ 321
 
Aplicando a propriedade da proporção 
Nas duas últimas razões: 
yy
xx




8,0
4,0
9,0
2,1
 
8,0
4,0
9,0
2,1 

 xx
 
Resolvendo temos: x = 6/17 
Resposta x = 6/17 m 
 
 
 
Resposta da questão 42: 
 a) 2
2
25618.
9
8
m





 
 
b) 16,32569. 2   
 
c) %64,0
14,3
14,316,3


 
 
 
35 
 
Resposta da questão 43: 
 a) .10
10
60  h
h
tg o 3 cm 
 
b) (DE)
2
 = (10. 3 )
2
 + 5
2
 
 DE = 5 13 cm 
 
c) A = 350
2
310.10
 cm
2 
 
 
 
Resposta da questão 44: 
 Sejam O o centro da circunferência, M o pé da perpendicular baixada de O sobre um dos 
lados do octógono e A um dos vértices adjacentes a M. Segue que: 

  
180ˆMOA 22 30'.
8
 
 
 
Sabemos que MO R e 2 MA a.  
O perímetro do octógono é dado por 2P 8a. 
Assim, devemos encontrar uma relação entre a e R. 
Do triângulo OMA, obtemos: 
MAˆ ˆtgMOA a 2R tgMOA.
MO
    
 
Mas 
2
ˆtgMOA tg22 30'
1 cos45
1 cos45
2
1
2 2 (2 2) 2 22 2 1.
22 2 2 2
1
2
 
 

 

  
     


 
 
Portanto,    2P 8a 16R ( 2 1). 
36 
 
 
Resposta da questão 45: 
 a) oe 60
6
360
 logo i = 180
º
 – 60
º
 = 120
º 
 
b) x = 60
º 
(ângulo externo do hexágono menor) e y = 30
º 
(complemento de x) 
 
 
c) x = lado do hexágono menor = AB – 3 
 6
3
60cos  AB
AB
o 
 
 Logo, x = 6 – 3 = 3 
 P = 6.x = 6.3 = 18