Tarefa assíncrona 01

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Tarefa assíncrona
1) Estudar os slides 2 a 6
2) Fazer para entregar os exercícios 
propostos nos slides 7 e 8, com 
relatório com os gráfico obtidos e 
anexar os programas desenvolvidos 
no Octave.
Parâmetros variantes no tempo
Vamos considerar agora dois casos em que os parâmetros 𝜃𝑖
0 são variantes no tempo:
caso 1: os parâmetros mudam abruptamente mas infrequentemente;
A matriz P no algoritmo dos mínimos quadrados é então periodicamente inicializada para αI,
onde α é um número grande. Isto implica que o ganho K(t) no estimador torna-se grande e a
estimativa pode ser atualizada com um passo maior. Uma versão mais sofisticada é executar n
estimadores em paralelo, os quais são inicializados sequencialmente. A estimativa é então escolhida
usando alguma decisão lógica.
caso 2: os parâmetros mudam lentamente, mas de forma contínua.
O caso de parâmetros que variam lentamente pode ser tratado com modelos matemáticos relativamente
simples. Um método pragmático é substituir o critério dos mínimos quadrados por
𝑉 መ𝜃, 𝑡 =
1
2
σ𝑖=1
𝑡 𝜆𝑡−𝑖 𝑦 𝑖 − 𝜑𝑇(𝑖) መ𝜃
2
onde λ é um parâmetro tal que 0< λ ≤1. O parâmetro λ é chamado de fator de esquecimento ou fator de
descontinuidade. Esta função V implica que um peso variante no tempo para os dados é introduzido. Aos dados
mais recentes é dado um peso “um”, mas os dados que são n-vezes “velhos” têm peso 𝜆𝑛.
Teorema - Mínimos quadrados recursivos com fator de esquecimento
Assumindo que a matriz Φ(t) tem posto completo para 𝑡 ≥ 𝑡0. O parâmetro መ𝜃 que minimiza a função 𝑉 መ𝜃, 𝑡 =
1
2
σ𝑖=1
𝑡 𝜆𝑡−𝑖 𝑦 𝑖 − 𝜑𝑇(𝑖) መ𝜃
2
é dado recursivamente por
መ𝜃 𝑡 = መ𝜃 𝑡 − 1 + 𝐾 𝑡 𝑦 𝑡 − φ𝑇 𝑡 መ𝜃 𝑡 − 1
𝐾 𝑡 = 𝑃 𝑡 φ 𝑡 = 𝑃 𝑡 − 1 φ 𝑡 𝜆 + φ𝑇(𝑡)𝑃 𝑡 − 1 φ 𝑡
−1
𝑃(𝑡) = 𝐼 − 𝐾 𝑡 φ𝑇 𝑡 𝑃(𝑡 − 1)/𝜆
Estimação de parâmetros em sistemas dinâmicos
a) Resposta finita ao impulso
Por exemplo, um filtro FIR ou de resposta ao impulso finita, é um tipo de filtro digital caracterizado por
uma resposta ao impulso que se torna nula após um tempo finito.
O modelo pode ser descrito pela equação:
𝑦 𝑡 = 𝑏1𝑢 𝑡 − 1 + 𝑏2𝑢 𝑡 − 2 +⋯+𝑏𝑛 𝑢 𝑡 − 𝑛
𝑦 𝑡 = φ𝑇(𝑡 − 1)𝜃
onde 𝜃 =
𝑏1
⋮
𝑏𝑛
e φ(t − 1) =
𝑢 𝑡 − 1
⋮
𝑢 𝑡 − 𝑛
.
Note que a formulação dos mínimos quadrados pode ser aplicada ao modelo apresentado.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resposta_ao_impulso
https://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_digital
b) Modelos de função de transferência
O método dos mínimos quadrados pode ser usado para identificar parâmetros em
sistemas dinâmicos. Seja o sistema descrito pelo modelo
𝐴 𝑧 𝑦 𝑡 = 𝐵 𝑧 𝑢(𝑡)
onde 𝐴 𝑧 = 𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛 e 𝐵 𝑧 = 𝑏1𝑧
𝑚−1 + 𝑏2𝑧
𝑚−2 +⋯+ 𝑏𝑚.
Esta equação pode ser escrita como a equação a diferenças:
𝑦 𝑡 + 𝑎1𝑦 𝑡 − 1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑦 𝑡 − 𝑛 = 𝑏1𝑢 𝑡 + 𝑚 − 𝑛 − 1 +⋯+ 𝑏𝑚𝑢 𝑡 − 𝑛
Isolando-se y(t), tem-se:
𝑦 𝑡 = −𝑎1𝑦 𝑡 − 1 −⋯− 𝑎𝑛𝑦 𝑡 − 𝑛 + 𝑏1𝑢 𝑡 + 𝑚 − 𝑛 − 1 +⋯+ 𝑏𝑚𝑢 𝑡 − 𝑛
Defindo-se o vetor de parâmetros e o vetor regressor
como
𝜃 =
𝑎1
⋮
𝑎𝑛
𝑏1
⋮
𝑏𝑚
e φ(t − 1) =
−𝑦 𝑡 − 1
⋮
−𝑦(𝑡 − 𝑛)
𝑢 𝑡 + 𝑚 − 𝑛 − 1
⋮
𝑢 𝑡 − 𝑛
tem-se 𝑦 𝑡 = φ𝑇(𝑡 − 1)𝜃.
Note que o sinal de saída aparece atrasado no vetor de regressão. O modelo é portanto
chamado um modelo autoregressivo. O caminho no qual os elementos são ordenados no vetor
𝜃 é arbitrário desde que φ(t − 1) seja ordenado de acordo com 𝜃.
Exercícios:
• 1) Utilizar esses dados para testar o algoritmo com fator de esquecimento. Variar o valor de lambda e observar os resultados
• t=(0:0.01:2)’;
• u1=sin(t); u2=cos(2*t); u3=3*sin(5*t);
• a=2+.1*exp(t);
• lamb=0.95;
• Y=3*u1+a.*u2+6*u3;
• P=10000*eye(3,3);
• theta=[0;1;3]; (estimativa inicial para theta)
2) Dado o arquivo com u, t e y para um sistema FIR dado por: 
y[k]=b1*u[i-1]+b2*u[k-2]+b3*u[k-3] 
- Fazer o programa no Octave para estimar b1, b2 e b3; 
- Plotar as curvas dos parâmetros estimados em função do tempo. 
3) Dado o arquivo com u, t e y para um sistema dado pela função de transferência abaixo: 
𝑌(𝑧)/𝑈(𝑧)=(𝑏1𝑧+𝑏2)/(𝑧
2+𝑎1𝑧+𝑎2)
- Fazer o programa no Octave para estimar b1, b2, a1 e a2; 
- Plotar as curvas dos parâmetros estimados em função do tempo.