0.MA.Elemento Textual - Modelagem e simulação de sistemas

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MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE 
SISTEMAS 
Marcos Costa Hunold 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO À MODELAGEM I ................................................................3 
2 INTRODUÇÃO À MODELAGEM II ............................................................ 35 
3 REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS .......................................... 71 
4 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS MECÂNICOS, TÉRMICOS E 
HIDRÁULICOS .......................................................................................... 110 
5 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS ........................... 171 
6 ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO
 ................................................................................................................ 198 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 INTRODUÇÃO À MODELAGEM I 
Caros alunos, neste bloco apresentaremos alguns conceitos e características 
importantes sobre o desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas físicos e 
sua utilização dentro da engenharia. 
Além disso, procuraremos neste primeiro momento trabalhar as ferramentas básicas 
da análise de sistemas dinâmicos, muito utilizadas na área de controle de processos 
quando se deseja projetar o sistema de controle de um sistema físico ou avaliar o 
comportamento dinâmico de um sistema, dispositivo ou equipamento. 
Uma ferramenta muito importante é a Transformada de Laplace e para trabalhar de 
forma adequada com esta ferramenta, pois será necessário ter conhecimento dos 
números complexos e de funções de variáveis complexas. 
É fundamental que você, caro aluno, pratique os exercícios indicados nas referências 
ao longo do texto apresentado e quaisquer dúvidas que você tiver, consulte o tutor ou 
o professor responsável pela disciplina. 
 
1.1 Conceituação e caracterização de modelos matemáticos de sistemas físicos 
O processo de modelagem implica no desenvolvimento de modelos matemáticos de 
sistemas físicos que podem ser químicos, mecânicos, elétricos (e suas combinações), 
sistemas biológicos e até sistemas econômicos que representem a realidade ou o 
comportamento de variáveis importantes destes sistemas. 
Estes modelos são elaborados para demonstrar o comportamento dinâmico do sistema, 
ou seja, quando aplicamos uma entrada no sistema que é uma variável ou grandeza 
física importante no estudo, desejamos observar o comportamento da saída do sistema, 
que é influenciado pela entrada em questão. Além disso, estes modelos matemáticos 
, 
 
 
4 
 
são utilizados no projeto de controladores, dentro da teoria de controle clássico e 
moderno. 
Trata-se de um tema de extrema importância dentro da área de controle, assim, é 
imprescindível entender algumas classificações, nomenclaturas e metodologias 
utilizadas para a elaboração de modelos matemáticos de sistemas físicos, que em sua 
maioria são dinâmicos, ou seja, as grandezas físicas variam com o tempo e 
posteriormente, se o sistema for estável, atingem o regime permanente ou estado 
estacionário, representado por um valor final fixo. 
Por serem dinâmicos, estes modelos matemáticos são representados, em sua maioria, 
por equações diferenciais não lineares (conceito que será abordado futuramente). Se 
estas equações puderem ser linearizadas, conseguimos a partir de ferramentas 
matemáticas como a transformada de Laplace, obter uma solução que descreve a 
operação do sistema. 
A abordagem adotada para avaliar a dinâmica de sistemas é dada partindo dos seguintes 
passos: 
 Definir o sistema e seus componentes; 
 Formular o modelo matemático e fornecer as hipóteses adotadas na proposta 
do modelo; 
 Definir as equações diferenciais que descrevem o modelo matemático 
considerando as variáveis de entrada e saída do modelo, e se necessário, 
linearizar as equações obtidas; 
 Avaliar o comportamento dinâmico das saídas do sistema em função das 
entradas dadas. A solução do modelo pode ser analítica ou por simulação 
numérica do modelo matemático; 
 Examinar se as soluções e as hipóteses estão adequadas para, caso necessário, 
revisar o modelo e as hipóteses. Quando se tem uma bancada experimental é 
possível validar o modelo matemático de uma forma mais precisa, refinando a 
solução. 
, 
 
 
5 
 
Como sistemas, em sua maioria, não são lineares ou possuem efeitos não-lineares como 
atrito, zona morta e histerese, torna-se importante avaliar a qualidade do modelo frente 
à complexidade proposta para o mesmo. Esse compromisso acontecer de forma que os 
resultados obtidos tenham um pequeno erro em relação à realidade. 
Neste primeiro momento, vamos elaborar algumas definições e classificações para os 
modelos matemáticos. 
Definição de modelo matemático – consiste de um conjunto de equações matemáticas 
que descrevem o comportamento de um sistema, representando os aspectos essências. 
Para que servem? 
Servem para estudar o comportamento dinâmico de um sistema ao longo do tempo, 
tanto para o transitório, como para o regime permanente. 
Este estudo é fundamental dentro da teoria de controle, que avalia o modelo 
matemático como possuindo uma saída que tem seu comportamento influenciado por 
uma entrada (visão clássica do controle) ou através das variáveis de estado (visão 
moderna do controle) que são grandezas associadas às energias cinética e potencial de 
um sistema físico qualquer. 
A figura 1.1 ilustra como se obter uma relação entre a entrada e saída de um sistema, 
dentro da visão clássica do estudo de controle, onde os modelos matemáticos são 
utilizados. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
6 
 
Fonte: Autor. 
Figura 1.1 – Processo para determinação de uma representação algébrica de um 
sistema físico. 
A seguir, são apresentados alguns exemplos de sistemas físicos e as suas variáveis de 
interesse para desenvolvimento de um modelo matemático que representa a dinâmica 
do sistema. 
 Um gerador de vapor onde queremos estabelecer o comportamento do nível de 
água em função da vazão de água de alimentação; 
 A posição angular de um eixo do motor CC em função da tensão de alimentação; 
 A temperatura de um forno em função da corrente aplicada em um banco de 
resistências ou de um ventilador. 
Como se observa, existe sempre uma entrada que altera uma saída do sistema. A partir 
daí, identificam-se os componentes a serem modelados, as relações constitutivas destes 
componentes e as leis físicas, para então aplicar o processo de desenvolvimento do 
modelo matemático. 
Esse processo gera uma equação diferencial que quando linear e a derivadas ordinárias 
permitem obter uma relação algébrica entre a entrada e saída do sistema, conhecida 
como Função de Transferência. Para obtê-la, devemos aplicar a transformada de 
Laplace. 
Estas ferramentas matemáticas serão apresentadas adiante. 
 
Formas de obter um modelo matemático 
Existem duas formas para se determinar um modelo: 
, 
 
 
7 
 
 Modelos teóricos (analíticos) obtidos a partir das leis físicas e das relações 
constitutivas 
 Modelos empíricos obtidos a partir de dados experimentais do sistema físico em 
escala. Neste caso, o modelo é desenvolvido por método de identificação de 
sistemas. 
 
1.2 Método de modelagem 
A partir de um sistema físico a ser estudado, identificam-se os componentes e efeitos 
importantes que deverão ser modelados. Posteriormente, aplicam-se as leis físicas que 
regem o comportamento das variáveis analisadas e determinam-se as equações 
matemáticas do modelo proposto. 
Vejamos um exemplo para obter um modelo matemático: a composição de um trem 
A figura 1.2 ilustra uma composição com locomotiva e vagão. 
 
Fonte: <https://www.youtube.com/watch?v=NOnkTwtVg74&t=163s>. 
 Figura 1.2 – Composição de um trem ferroviário. 
 
Se quisermos estudar o deslocamento destes elementos devemos avaliar a 
fenomenologia da área da mecânica de translação chamada de dinâmica. 
Podemos isolar a locomotivae um vagão, por exemplo. A locomotiva com a sua força 
motriz, movimenta o vagão devido ao engate existente entre os dois componentes da 
, 
 
 
8 
 
composição. Este engate não pode ser rígido, 
inclusive possui uma mola interna e 
elementos de amortecimento, o que é 
possível notar na figura 1.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fontes: <http://vfco.brazilia.jor.br> e <http://vfco.brazilia.jor.br> , respectivamente. 
Figura 1.3 – Engate de trens com elementos internos e foto com o engate fixo. 
 
Existem então, os seguintes efeitos que devem ser considerados: atrito nos mancais, 
atrito do ar, inércia (massa) da locomotiva e do vagão, acoplamento dos vagões e força 
motriz da locomotiva. Podemos considerar no engate um efeito de mola e um efeito de 
amortecimento, garantindo assim a possibilidade de deslocamentos e velocidades 
diferenciados entre a locomotiva e o vagão. 
Simplificando o sistema teríamos então duas massas acopladas, conforme o esquema 
da figura 1.4. 
, 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autor 
Figura 1.4 – Esquema com as massas da locomotiva (m1) e do vagão (m2) e o 
acoplamento. 
 
Este esquema, ao incluir a representação com as forças e deslocamentos dos corpos 
com o objetivo de aplicar as leis de Newton é chamada de Diagrama de Corpo Livre, ou 
simplesmente DCL. A figura 1.5, a seguir, apresenta o DCL para as duas massas unidas. 
O acoplamento é modelado com um efeito de mola, em paralelo com um efeito de 
amortecimento. 
Foram incluídos na representação os deslocamentos x1 e x2, a constante da mola k e a 
constante do amortecedor b e todas as forças presentes, exceto as forças devidas ao 
acoplamento. 
 
Fonte: Autor 
 Figura 1.5 – DCL com os dois corpos unidos pela massa e amortecedor 
 
As figuras 1.6 e 1.7 apresentam os corpos isolados no DCL para aplicação da segunda lei 
de Newton. 
m2 m1 
v1 v2 
, 
 
 
10 
 
 
Fonte: Autor 
Figura 1.6 – DCL para o corpo de massa m1. 
 
Aplicando a lei de Newton: 
∑𝑭(𝒕) = 𝒎𝟏. 𝒂𝟏(𝒕) 
Substituindo as forças e lembrando que o sinal das forças na equação é definido em 
função do sentido de deslocamento e que: 
𝒂(𝒕) =
𝒅𝟐𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Teremos a seguinte equação: 
𝑭(𝒕) − 𝑭𝒂𝒓(𝒕) − 𝑭𝒂𝒕𝟏(𝒕) − 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂(𝒕) − 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕(𝒕) = 𝒎𝟏
𝒅𝟐𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Utilizando as relações das forças com a variável de interesse, neste caso, deslocamento 
do corpo 1, x1(t), vem que: 
{
 
 
𝑭𝒂𝒓(𝒕) = 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏(𝒕)
𝟐 (𝒏ã𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓)
𝑭𝒂𝒕𝟏(𝒕) = 𝒃𝟏𝒗𝟏(𝒕) 
𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂(𝒕) = 𝒌[𝒙𝟏(𝒕) − 𝒙𝟐(𝒕)] 
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕(𝒕) = 𝒃[𝒗𝟏(𝒕) − 𝒗𝟐(𝒕)] 
 
Observações: 
1) A velocidade deve ser expressa em função do deslocamento do corpo, pois 
desejamos uma relação entre a entrada, no caso a força motriz, F(t), e a saída, 
que é o deslocamento do corpo x1(t). 
, 
 
 
11 
 
Lembrando que a velocidade é a derivada da posição, isto é: 
𝒗(𝒕) =
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
 
Podemos expressar a correta equação matemática que fornece o comportamento 
dinâmico da composição de trens. 
1) No caso da mola e do amortecedor estas relações citadas são chamadas de 
relações constitutivas, pois estão associadas aos componentes do sistema. Já as 
forças de resistência do ar e do atrito nos mancais (atrito dinâmico) são efeitos 
que surgem devido às características físicas de elementos. Futuramente, 
apresentaremos os três elementos e esse processo de modelagem em detalhe 
para sistemas mecânicos translacionais e rotacionais. 
A equação para o corpo de massa m1 fica igual a: 
𝑭(𝒕) − 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏(𝒕)
𝟐 − 𝒃𝟏𝒗𝟏(𝒕) − 𝒌[𝒙𝟏(𝒕) − 𝒙𝟐(𝒕)] − 𝒃[𝒗𝟏(𝒕) − 𝒗𝟐(𝒕)] = 𝒎𝟏
𝒅𝟐𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Substituindo 𝒗𝟏(𝒕) por 
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
, vemos que: 
𝑭(𝒕) − 𝒃𝒂𝒓
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
𝟐
− 𝒃𝟏
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
− 𝒌[𝒙𝟏(𝒕) − 𝒙𝟐(𝒕)] − 𝒃 [
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
−
𝒅𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
]
= 𝒎𝟏
𝒅𝟐𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Isolando no primeiro membro todos os termos de deslocamento: 
𝒎𝟏
𝒅𝟐𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒃 [
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
−
𝒅𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
] + 𝒃𝒂𝒓
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
𝟐
+ 𝒃𝟏
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝒌[𝒙𝟏(𝒕) − 𝒙𝟐(𝒕)]
= 𝑭(𝒕) 
Como se verifica, temos duas saídas: 𝒙𝟏(𝒕) 𝒆 𝒙𝟐(𝒕). 
Se quisermos analisar o comportamento destas variáveis será necessário obter uma 
segunda equação a partir da análise de forças do corpo de massa m2. 
Observando o DCL para o corpo m2: 
, 
 
 
12 
 
 
Fonte: Autor 
 Figura 1.7– DCL para o corpo de massa m2. 
 
Aplicando as leis de Newton e lembrando que o corpo m2 não está sujeito a força motriz 
F(t) e a força de resistência do ar, vemos que: 
−𝑭𝒂𝒕𝟐(𝒕) + 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂(𝒕) + 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕(𝒕) = 𝒎𝟐
𝒅𝟐𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Substituindo as forças pelas relações com o deslocamento dos corpos e as velocidades, 
teremos: 
−𝒃𝟐𝒗𝟐(𝒕) + 𝒌[𝒙𝟏(𝒕) − 𝒙𝟐(𝒕)] + 𝒃[𝒗𝟏(𝒕) − 𝒗𝟐(𝒕)] = 𝒎𝟐
𝒅𝟐𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Substituindo as velocidades pelas derivadas dos deslocamentos: 
−𝒃𝟐
𝒅𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝒌[𝒙𝟏(𝒕) − 𝒙𝟐(𝒕)] + 𝒃 [
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
−
𝒅𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
] = 𝒎𝟐
𝒅𝟐𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Isolando no primeiro membro todos os termos de deslocamento: 
𝒎𝟐
𝒅𝟐𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒃𝟐
𝒅𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
− 𝒃 [
𝒅𝒙𝟏(𝒕)
𝒅𝒕
−
𝒅𝒙𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
] − 𝒌[𝒙𝟏(𝒕) − 𝒙𝟐(𝒕)] = 𝟎 
 
Esta equação, juntamente com a equação do corpo um, fornece o comportamento dos 
deslocamentos dos corpos em função das forças. Se quisermos analisar o 
comportamento dinâmico, deveremos em primeiro lugar fornecer os valores das 
, 
 
 
13 
 
constantes da mola, do amortecedor, das massas e a partir daí, proceder pela solução 
do sistema de equações. 
Neste momento, podemos linearizar o termo quadrático e avaliar o comportamento dos 
deslocamentos em função da força F(t) aplicada utilizando a solução analítica, através, 
por exemplo, da transformada de Laplace, ou então, avaliar a resposta através da 
simulação do sistema por método numérico, como por exemplo, o método de Runge-
Kutta de ordem 4. 
Existem programas computacionais para realizar esta simulação, como o Matlab, o 
Octave, o Scilab, dentre outros. O processo de simulação e a solução analítica para 
sistemas dinâmicos serão apresentadas nos próximos blocos. 
A seguir, apresentamos algumas definições importantes da área de desenvolvimento de 
modelos matemáticos. 
1.3 Características e classificações de modelos de sistemas dinâmicos. 
 Modelos: parâmetros distribuídos versus parâmetros concentrados 
Esta classificação diz respeito à forma da variação espacial das variáveis. 
Os modelos de parâmetros concentrados são assim designados se as variáveis 
espaciais são desprezíveis e as propriedades não mudam com a posição. Por outro 
lado, os modelos de parâmetros distribuídos têm lugar quando as variações espaciais 
são relevantes. 
Modelo de parâmetro distribuído 
Exemplo: Estudo da temperatura em uma placa unidimensional em função de fluxos 
de calor de entrada e saída. 
Neste estudo, por se tratar de uma placa de espessura ínfima e de comprimento 
muito maior que a largura L, aplica-se a equação geral da condução de calor 
desenvolvida apenas em uma direção. Assim, se verifica pelo balanço de energia que 
, 
 
 
14 
 
a temperatura varia em função da posição linear (no eixo x), ou seja, na largura L da 
placa e também em função do tempo t. 
Desta forma, ao montar o modelo matemático inicial do sistema dinâmico proposto, 
verificaremos que a análise deve ser feita com derivadas parciais, já que a 
temperatura é dada em função da posição x. 
A figura 1.8 ilustra o esquema do fluxo através da placa de largura L. Os parâmetros 
massa M, densidade ρ, calor específico da placa cp e o coeficiente de condutividade 
térmica da placa k. 
 
 
 
Fonte: Autor 
Figura 1.1.8 – Variação da temperatura em uma placa unidimensional em função 
dos fluxos de calor de entrada e saída. 
 
A equação obtida a partir da equação geral de conduçãode calor é dada por: 
𝒄𝒑𝝆
𝜹𝑻
𝜹𝒕
+ 𝒌
𝜹𝟐𝑻
𝜹𝒙𝟐
= 𝟎 
 
Com condições de contorno: {
𝒒(𝒙 = 𝟎) = 𝒒𝒊𝒏
𝒒(𝒙 = 𝑳) = 𝒒𝒐𝒖𝒕
 
, 
 
 
15 
 
 
Com condições iniciais: 𝑻(𝒙) = 𝑻𝟎 
Onde q representa o fluxo de calor por unidade de área. 
Este modelo calcula a temperatura da placa em qualquer posição x e em qualquer 
instante de tempo t. 
Modelo de parâmetros concentrados 
No estudo da temperatura média em uma placa unidimensional em função de fluxos 
de calor de entrada e saída, avalia-se a temperatura apenas ao longo do tempo 
assumindo um modelo simplificado, onde a temperatura ao longo de x tem um único 
valor médio ou �̅�. 
Neste caso, o equacionamento será dado por: 
𝑴𝒄𝒑
𝒅�̅�
𝒅𝒕
= 𝒒𝒊𝒏(𝒕)𝑨 − 𝒒𝒐𝒖𝒕(𝒕)𝑨 
Onde A representa a área da placa unidimensional. 
Como condição inicial, temos que: 
�̅�(𝒕 = 𝟎) = 𝑻𝟎 
 
 Modelos determinísticos e estocásticos 
Um modelo é determinístico quando tem um conjunto de entradas conhecido e do qual 
resultará um único conjunto de saídas. Assim, associam a cada experimento um resultado 
bem definido, enquanto os modelos estocásticos incorporam elementos 
probabilísticos e os resultados são expressos em termos de probabilidade. 
 
Exemplos de modelo determinístico: a variação da temperatura da água quando se 
aplica uma taxa de calor conhecida em uma panela ou um movimento de 
, 
 
 
16 
 
deslocamento vertical de uma suspensão, quando o carro passa por uma lombada na 
pista. 
Exemplos de modelo estocástico: o crescimento populacional de um país ou o 
modelo matemático para representar uma fila de um banco. 
 
 Modelos lineares e modelos não-lineares 
Os modelos são ditos lineares quando apresentam relações lineares entre as variáveis 
consideradas no problema e quando satisfazem as propriedades de linearidade, caso 
contrário, são classificados como não lineares. Estes modelos podem ainda ser 
considerados explícitos ou implícitos, conforme a possibilidade de resolução direta 
ou a necessidade de aplicação de métodos numéricos. 
 
Exemplo de modelo não-linear: movimento de um pêndulo. 
A figura 1.9 apresenta o esquema de um pêndulo e das variáveis de análise do 
comportamento da posição angular do pêndulo, θ, em função de um torque externo 
aplicado, τe. 
Para obter o deslocamento angular da massa m em função do torque aplicado, deve 
ser utilizada a segunda lei de Newton para movimentos oscilatórios. Obtém-se então 
a equação descrita a seguir. 
 
, 
 
 
17 
 
Fonte: Autor 
 Figura 1.9 – Esquema de um pêndulo com indicação das variáveis de interesse. 
∑𝛕(𝒕) = 𝑰. 𝜶(𝒕) 
 
Onde: I é o momento de inércia, α é a aceleração angular e τ são os torques atuantes 
no sistema. 
 
No caso do pêndulo, o momento de inércia é dado por: 
𝑰 = 𝒎𝒍𝟐 
Lembrando que: 
𝜶(𝒕) =
𝒅𝟐𝜽(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Ao aplicar o torque externo, cria-se o torque devido a massa na direção oposta ao 
movimento do corpo. Assim, a segunda lei de Newton resulta em: 
𝝉𝒆(𝒕) −𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽(𝒕). 𝑳 = 𝒎𝑳
𝟐
𝒅𝟐𝜽(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
 
Com simples manipulação de variáveis, isola-se a variável de saída no primeiro 
membro da equação e chega-se a seguinte equação: 
𝒎𝑳𝟐
𝒅𝟐𝜽(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
+𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽(𝒕). 𝑳 = 𝝉𝒆(𝒕) 
Esta equação não é linear, pois a variável de saída, θ, está associa a um seno. Trata-
se de uma equação diferencial de segunda ordem com o termo em θ associado a uma 
função trigonométrica. 
Podemos até trabalhar com a equação não-linear, mas para a análise analítica do 
movimento angular do pêndulo com a aplicação da transformada de Laplace e 
determinação da função de transferência é necessário linearizar tal equação e obter 
um modelo matemático linearizado. 
, 
 
 
18 
 
Exemplo de modelo linear: movimento de um pêndulo linearizado. 
O processo de linearização sempre deve ser feito em torno de um ponto de operação. 
Existe um método geral que utiliza a expansão em série de Taylor [DORF,2018] e será 
apresentado a seguir. 
Aqui, podemos utilizar como exemplo de modelo matemático linear, o mesmo 
exemplo do pêndulo, em torno do ponto de operação dado por 𝜽 ≈ 𝟎°. Neste valor 
podemos afirmar que: 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝜽, isto é, para valores de 𝜽 em torno de 𝟎° o seno é 
aproximadamente igual ao arco (confira calculando o seno de um ângulo, por 
exemplo de π/40=0,078). 
A equação do modelo do movimento do pêndulo passa a ser linear e dado por: 
𝒎𝑳𝟐
𝒅𝟐𝜽(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
+𝒎𝒈𝑳𝜽(𝒕) = 𝝉𝒆(𝒕) 
 Modelos estacionários (ou estáticos) e modelos dinâmicos 
Os modelos estacionários são aqueles onde as variáveis de interesse não se alteram 
em função do tempo. Os modelos dinâmicos são chamados assim, pois as variáveis 
de interesse se alteram com o tempo. Estes últimos, representam sistemas físicos 
onde existe um transitório para as variáveis de interesse, até que o sistema entra em 
regime permanente ou estado estacionário, caso seja estável. 
Tais sistemas são representados por modelos matemáticos com equações 
diferenciais, conforme vimos nos exemplos anteriores. 
 
 Modelos com variáveis discretas (ou modelo discreto) e modelos com variáveis 
contínuas (ou modelo contínuo) 
Os modelos com variáveis discretas são aqueles em que as variáveis têm um número 
contável entre quaisquer dois valores. Já os modelos com variáveis contínuas são 
aqueles em que as variáveis numéricas têm um número infinito de valores entre dois 
valores quaisquer. 
, 
 
 
19 
 
Como exemplo de modelo discreto é o modelo para representar o fluxo de carros em 
uma via. Já o exemplo de modelo contínuo é o modelo do fluxo de água em uma 
tubulação. 
 
 Modelos de sistemas invariantes no tempo (contínuo ou discreto) e modelos de 
sistemas variantes no tempo 
Considere um sistema representado pela sua relação entrada-saída, isto é, uma 
entrada u(t) leva a uma saída y(t), em tempo contínuo. Pode ser uma relação dada 
por uma função linear ou até por uma equação diferencial. 
Um sistema é dito invariante no tempo quando com a evolução do período, ainda 
que as variáveis evoluam, a relação entre elas se mantém constante. Em 
contrapartida, quando não existe a invariância no tempo, além de as variáveis 
evoluírem, as relações entre elas não se mantêm as mesmas à medida que o tempo 
passa. 
Esta invariância independe da natureza do tempo, ou seja, do modelo ser em tempo 
contínuo ou em tempo discreto. 
A característica de variância pode ocorrer em um sistema normalmente invariante 
no tempo, como por exemplo, no sistema de suspensão de um veículo, ilustrado na 
figura 1.10, dada a seguir. 
Se a constante da mola variar com o tempo ou a constante do amortecedor variar 
com tempo, teremos um sistema variante no tempo. Embora o sistema continue 
funcionando razoavelmente bem, ele terá um comportamento diferente a cada 
momento, uma vez que as características de força dos componentes além de 
variarem com o deslocamento do corpo para a mola e com a velocidade para o 
amortecedor, irão variar em função destes parâmetros. 
No nosso dia a dia, as variações destes parâmetros são muito pequenas, a não ser 
quando o amortecedor ou a mola apresentam algum problema, defeito ou estão no 
fim da sua vida útil. 
, 
 
 
20 
 
 
Linearização de modelos matemáticos de sistemas físicos 
Os sistemas dinâmicos, em geral, dentro de uma faixa ampla de valores das variáveis 
analisadas são não-lineares. Por exemplo, o sistema de suspensão de uma roda de um 
veículo, representado por uma massa, mola e amortecedor ilustrado na figura 1.10. 
 
 
 
Fonte: Autor 
 Figura 1.10 – Representação da suspensão de uma roda de um veículo. 
 
Em geral, definem-se relações lineares para representar a força de um amortecedor. Isto 
é válido apenas para uma pequena faixa de valores. 
Outro fator a ser considerado é que a mola segue a lei de Hooke dentro de uma variação 
no deslocamento onde ocorre apenas a deformação elástica. Caso a força seja elevada,pode ocorrer uma deformação plástica permanente. 
Um sistema para ser considerado como linear em termos de entrada e saída deve 
satisfazer o princípio da superposição de efeitos e a propriedade da homogeneidade. 
O princípio da superposição de efeitos diz: dado um sistema qualquer em repouso, que 
quando sujeito a uma entrada u1 produz uma saída y1, e quando sujeito a uma outra 
entrada u2 produz uma segunda saída y2, o princípio da superposição é válido para o 
sistema se quando for aplicada uma entrada igual a u1+u2 produzir uma saída y1+y2. 
, 
 
 
21 
 
A propriedade da homogeneidade diz: Dado um sistema qualquer em repouso que 
quando é sujeito a uma entrada u1 produz uma saída y1, o sistema segue a propriedade 
se quando for aplicada uma entrada βu1 produzir uma saída βy1. 
Para o exemplo anterior, onde foi considerada a força de resistência do ar na análise do 
movimento de translação da composição locomotiva+vagão, verificou-se que se tratava 
de uma relação não-linear, já que não segue o princípio da superposição de efeitos. 
𝑭𝒂𝒓(𝒗) = 𝒃𝒂𝒓𝒗
𝟐 
𝑭𝒂𝒓𝟏(𝒗𝟏) = 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏
𝟐 𝒆 𝑭𝒂𝒓𝟐(𝒗𝟐) = 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐
𝟐, 𝒍𝒐𝒈𝒐 𝑭𝒂𝒓𝟏(𝒗𝟏) + 𝑭𝒂𝒓𝟐(𝒗𝟐)
= 𝒃𝒂𝒓(𝒗𝟏
𝟐 + 𝒗𝟐
𝟐) 
Como podemos ver, o resultado da soma das forças é diferente da força de resistência 
devido à soma de velocidades v1 e v2: 
𝑭𝒂𝒓𝟏(𝒗𝟏 + 𝒗𝟐) = 𝒃𝒂𝒓(𝒗𝟏 + 𝒗𝟐)
𝟐 
Assim, se desejarmos linearizar a relação, devemos aplicar a seguinte metodologia para 
a relação apresentada: 
𝑭𝒂𝒓(𝒗) = 𝒃𝒂𝒓𝒗
𝟐 
Para ilustrar, esta relação ao longo da variação da velocidade de 0 a 5m/s foi criado um 
gráfico apresentado na figura 1.11. 
Foi proposto também um ponto de operação (onde será feita a linearização) e traçada 
a reta tangente à curva neste ponto de operação. 
 
, 
 
 
22 
 
 
Fonte: Autor 
Figura 1.11 – Gráfico da relação entre a velocidade do corpo e a força de resistência 
do ar. 
 
 
O ponto de linearização escolhido é (3,9) ou v0 = 3m/s e Far(v0) = 9N. A função do 
exemplo tem o coeficiente de arrasto bar = 1. 
Em torno desse valor, podemos aproximar a relação não-linear pela relação dada pelo 
truncamento da série de Taylor na primeira ordem, isto é: 
𝑭𝒂𝒓(𝒗) = 𝒃𝒂𝒓𝒗
𝟐 ≈ 𝑭𝒂𝒓(𝒗𝟎) +
𝒅𝑭𝒂𝒓(𝒗)
𝒅𝒗
|
𝒗=𝒗𝟎
. (𝒗 − 𝒗𝟎) 
Como 𝑭𝒂𝒓(𝒗) = 𝟏. 𝒗
𝟐 então teremos: 
𝒅𝑭𝒂𝒓(𝒗)
𝒅𝒗
|
𝒗=𝟑
=
𝒅𝒗𝟐
𝒅𝒗
|
𝒗=𝟑
= 𝟐𝒗|𝒗=𝟑 = 𝟐. 𝟑 = 𝟔 
Logo: 
𝑭𝒂𝒓(𝒗) = 𝟗 + 𝟔. (𝒗 − 𝟑) ⇒ 𝑭𝒂𝒓(𝒗) = 𝟔𝒗 − 𝟗 
 
Reta tangente ao 
ponto de operação 
(3,9) 
, 
 
 
23 
 
A função obtida é linear em torno do ponto de operação e está representada pela reta 
da equação acima. 
Note que a aproximação obtida está relacionada com o ponto de operação e o resultado 
do modelo linear é válido somente em torno deste ponto. Para verificar a qualidade da 
aproximação analisemos os valores da força para velocidades em torno de 3 m/s, 
apresentados na tabela a seguir: 
Tabela 1.1- Valores da força para velocidades em torno de 3 m/s. 
Velocidade 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 
Força (não 
linear) 
7,29 7,84 8,41 9 9,61 10,24 10,89 
Força (linear) 7,20 7,80 8,40 9 9,60 10,20 10,80 
Fonte: Autor 
 
Como verificado, a aproximação para o valor de velocidade de 2,7m/s tem um erro de 
1,23%, o que é um valor pequeno e que permite a aproximação. 
Observações: 
1) Normalmente, admite-se que os elementos mecânicos e elétricos têm relações 
lineares para uma faixa ampla de valores de suas variáveis, mas o mesmo não se 
aplica para elementos de modelos de sistemas térmicos, fluídicos e de pressão. 
2) O processo de linearização segue o processo descrito no exemplo, e é válido para 
pequenas variações em torno do ponto de operação, dada uma função não linear 
qualquer f(x). 
Qualquer função não linear pode ser expressa por uma expansão em série de 
Taylor, dado por: 
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎) +
𝒅𝒇
𝒅𝒙
|
𝒙=𝒙𝟎
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟏!
+
𝒅𝟐𝒇
𝒅𝒙𝟐
|
𝒙=𝒙𝟎
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟐
𝟐!
+ ⋯ 
Esta aproximação é na verdade uma expressão polinomial de infinitos termos (a 
calculadora trabalha com esta aproximação com 10 a 20 termos. Quando mais 
termos forem utilizados, mais precisa é a aproximação. Porém, quando se deseja 
, 
 
 
24 
 
linearizar, devemos obter o resultado da série truncando no termo de primeira 
ordem, ou da derivada de f(x). 
Assim teremos uma equação linear, já que: 
𝒇(𝒙) ≈ 𝒇(𝒙𝟎) +
𝒅𝒇
𝒅𝒙
|
𝒙=𝒙𝟎
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟏!
 
O termo da derivada da função em x0 corresponde à inclinação da reta tangente 
que passa pelo ponto de operação. Assim a função f(x) pode ser descrita pela 
equação: 
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 
ou 
∆𝒇 = 𝒎∆𝒙 
Esta última relação satisfaz as condições para um sistema ser linear. 
3) No exemplo do movimento do pêndulo, o termo não linear era dado pelo torque 
devido à massa m, isto é: 
𝝉𝒎(𝒕) = 𝒎𝒈𝑳𝒔𝒆𝒏𝜽(𝒕) 
A linearização a ser feita é da função 𝒔𝒆𝒏𝜽: 
𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝒇(𝜽𝟎) +
𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒅𝜽
|
𝜽=𝜽𝟎
(𝜽 − 𝜽𝟎)
𝟏!
 
O ponto escolhido no exemplo foi para 𝜽𝟎 = 𝟎
° = 𝟎 𝒓𝒂𝒅 (o ideal é trabalhar 
em radianos). 
Neste valor: 𝒇(𝟎) = 𝒔𝒆𝒏(𝟎) = 𝟎 
Ainda teremos que o coeficiente m será dado por: 
𝒎 =
𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒅𝜽
|
𝜽=𝜽𝟎
= 𝒄𝒐𝒔𝜽|𝜽=𝟎 = 𝐜𝐨𝐬(𝟎) = 𝟏 
Portanto, em radianos: 
, 
 
 
25 
 
𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝟎 + 𝟏
(𝜽 − 𝟎)
𝟏!
= 𝜽 ⇒ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝜽 
Este resultado tem uma boa aproximação para −𝝅 𝟒⁄ ≤ 𝜽 ≤
𝝅
𝟒⁄ . 
Para outro valor de ponto de operação, por exemplo: 
𝜽𝟎 =
𝝅
𝟒
⇒ {
𝒔𝒆𝒏(𝝅 𝟒⁄ ) = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 
𝒎 =
𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒅𝜽
|
𝜽=𝜽𝟎
= 𝒄𝒐𝒔𝜽|𝜽=𝝅 𝟒⁄ = 𝐜𝐨𝐬(
𝝅
𝟒⁄ ) = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕
 
Teremos a seguinte aproximação: 
𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟕𝟎𝟕
(𝜽 − 𝝅 𝟒⁄ )
𝟏!
⇒ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝟎, 𝟏𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝜽 
 
 
As linearizações apresentadas aqui, estão relacionadas com funções não-lineares. 
Quando se aplica a equações diferenciais é importante verificar que não chegaremos a 
solução da equação se tivermos termos independentes da função, como exemplificado 
acima. Nesta situação, não podemos aplicar a transformada de Laplace. 
No entanto, podemos avaliar pequenas variações em torno do ponto de operação, 
impondo que o sistema estava em regime permanente no ponto de operação estudado. 
 
1.4 Álgebra de números complexos e funções de variáveis complexas: definição, 
representações e operações matemáticas 
Os números complexos dentro da visão de conjuntos, englobam o conjunto dos 
números reais e mais um, o conjunto dos números imaginários. Assim, um número 
complexo é definido como um par ordenado (a,b) cujo elemento a representa a sua 
parte real e o elemento b a sua parte imaginária. 
Representação da parte imaginária e o plano complexo 
, 
 
 
26 
 
A parte imaginária é representada por um valor real multiplicado pelas letras i ou j, onde 
i=j=√−𝟏 (a letra j é utilizada principalmente quando se trabalha na área de elétrica, a 
fim de distinguir da grandeza corrente que é representada com a letra i). Sendo z um 
número complexo, ele será representado pelo par ordenado (a,b) utilizando as 
representações cartesiana ou retangular, a representação polar e a representação na 
forma de Euler ou Exponencial. 
A figura 1.12 ilustra a representação de um número complexo no plano cartesiano ou 
plano complexo. Na verdade, ele será representado por um ponto e as projeções do 
ponto nos eixos são o valor de cada elemento do par ordenado. 
 
Fonte: Autor. 
Figura 1.12 – Plano complexo com a representação de um número complexo z. 
 
As formas efetivas de se representar matematicamente os números complexos estão 
descritas a seguir. 
 
Representação Retangular ou Cartesiana 
Nesta representação o par ordenado é a soma da parte real com a imaginária, isto é: 
z=a+bj 
, 
 
 
27 
 
Onde: a é a parte real e b é o valor numérico associado a parte imaginária. 
Exemplo: representar graficamente no plano complexoos seguintes números: 
 𝒛𝟏 = 𝟐 + 𝟑𝐣; 𝒛𝟐 = 𝟐 𝐞 𝒛𝟑 = −𝟑𝐣 
 
PLANO COMPLEXO: 
 
Figura 1.13 – Plano complexo com a representação dos números z1, z2 e z3. 
 
 
Representação Polar 
Nesta representação, trabalha-se com o módulo e a fase do número complexo. Na 
representação do número complexo no eixo cartesiano, o par ordenado (a,b) retratam 
as projeções do número no eixo real e no eixo imaginário, respectivamente. 
Para a representação polar, o número complexo z é representado pelo módulo (|z|), 
que representa a distância do ponto aonde está localizado o número complexo até a 
origem do plano. Esta distância é representada por um segmento de reta. 
A fase representa o ângulo que o segmento de reta forma com o eixo real. A figura 1.14 
ilustra este fato. 
Temos então que: 
, 
 
 
28 
 
 𝒛 = |𝒛|∡𝜽 ou ou 
Onde: z=r é o módulo e 𝜽 é 𝐚 fase. 
 
 
 
Conversão entre a representação polar e retangular 
Esta conversão é feita observando as relações de 
Pitágoras no triângulo retângulo formado. 
 Retangular para polar 
→ {
|𝒛| = √𝒂𝟐 + 𝒃²
𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏
𝒃
𝒂
= 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂
 
 
 
Figura 1.14 – Plano complexo com a representação do número z. 
 
 Polar para retangular 
→ {
𝒂 = |𝒛|. 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒃 = |𝒛|. 𝐬𝐞𝐧𝜽
 
Uma vez calculado o par (a, b), a representação cartesiana é dada por: 
𝒛 = |𝒛|. (𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝐣𝐬𝐞𝐧𝜽) 
 Exemplos de exercícios de conversão de representações: 
𝒂) 𝒛𝟏 = 𝟏 + 𝒋 
𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓
→ Sendo a=b=1, então |𝒛𝟐| = √𝟏
𝟐 + 𝟏²= √𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏 e 𝜽 =
𝒂𝒕𝒂𝒏 
𝟏
𝟏
= 𝟒𝟓° 
Assim: 
𝒛 = |𝒛||𝜽 
 
𝒛 = 𝒓|𝜽 
 
𝒛𝟏 = 𝟏, 𝟒𝟏|𝟒𝟓
𝒐 
 
, 
 
 
29 
 
A fase pode ser dada em radianos também: 
 b) 𝒛𝟐 = −𝟐 
𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓
→ Sendo a=-2 e b=0, então |𝒛𝟐| = √(−𝟐)
𝟐 + 𝟎𝟐 = 𝟐 e 𝜽 =
𝒂𝒕𝒂𝒏 
𝟎
𝟐
= 𝟏𝟖𝟎° 
Assim: 
c) 𝒛𝟑 = −𝟑𝒋 
𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓
→ Sendo a=0 e b=-3, então |𝒛𝟑| = √𝟎
𝟐 + (−𝟑)²= 𝟑 e 𝜽 =
𝒂𝒕𝒂𝒏
−𝟑
𝟎
= −𝟗𝟎° 
Assim: ou 
Um exemplo de conversão de polar para retangular: 
a) 
𝑹𝒆𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
→ 𝒛𝟒 = 𝟒. (𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎
𝒐 + 𝒋 𝐬𝐢𝐧𝟔𝟎𝒐) 
 𝒛𝟒 = 𝟒. (
𝟏
𝟐
+ 𝒋√
𝟑
𝟐
) 
 𝒛𝟒 = 𝟐 + 𝟑, 𝟒𝟒𝒋 
 
Representação Exponencial ou de Euler 
Esta representação utiliza a função exponencial para definir o número complexo. Utiliza 
o módulo e a fase descritos da seguinte forma: 
𝒛 = |𝒛|. 𝒆𝒋𝜽 = 𝒓. 𝒆𝒋𝜽 
Onde: z=r é o módulo e 𝜽 é 𝐚 fase. 
Esta representação é utilizada já que as operações algébricas podem ser trabalhadas na 
forma exponencial através das propriedades da potenciação. 
Exemplos: 
𝒛 = 𝟐. 𝒆𝒋𝝅 
𝒛 = 𝟏, 𝟒𝟏|𝝅/𝟒 
 
𝒛 = 𝟐 |−𝟗𝟎𝒐 
 
𝒛 = 𝟐 |𝟐𝟕𝟎𝒐 
 
𝒛𝟒 = 𝟒 |𝟔𝟎
𝒐 
 
, 
 
 
30 
 
Corresponde ao módulo 2 com fase de “π” ou 1800. Note que esta representação utiliza 
o módulo e a fase da representação polar, mas com a função exponencial. 
 
 
 
 
 Operações Algébricas com Números complexos 
 Soma e subtração: preferencialmente, trabalha-se com a representação 
retangular. 
Exemplo: determine 𝒛𝟑 = 𝒛𝟐+𝒛𝟏 dado que 𝒛𝟐 = 𝟏𝟎 + 𝟓𝒋 𝒆 𝒛𝟏 = 𝟑 − 𝟑𝒋. 
𝒛𝟑 = 𝟏𝟎 + 𝟓𝐣 + 𝟑 − 𝟑𝐣 
𝒛𝟑 = 𝟏𝟑 + 𝟐𝒋 (somar ou subtrair as partes reais e partes imaginárias). 
 Multiplicação e divisão: preferencialmente, trabalha-se na representação polar. 
Neste caso, devemos multiplicar ou dividir os módulos e somar ou subtrair as 
fases, dependendo se for a operação de multiplicação ou de divisão, 
respectivamente. 
Na representação cartesiana, basta multiplicar ou dividir os números complexos. 
Exemplos: 
a) Execute 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 para e 
 
 
b) Execute 𝒛𝟒 =
𝒛𝟏
𝒛𝟐
 para os mesmos valores de z1 e z2 
𝒛𝟒 =
𝒛𝟏
𝒛𝟐
 = 
𝟑𝟎 |𝟑𝟎°
𝟏𝟎 |−𝟓𝟎°
 = 
𝟑𝟎
𝟏𝟎
 |𝟑𝟎°− (−𝟓𝟎°) = 𝟑 | 𝟖𝟎° 
𝒛𝟒 = 𝟑 |𝟖𝟎° 
𝒛𝟏 = 𝟑𝟎 |𝟑𝟎
𝒐 
 
𝒛𝟐 = 𝟏𝟎 |−𝟓𝟎
𝒐 
 
𝒛𝟑 = 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝟑𝟎. 𝟏𝟎 | 𝟑𝟎
𝒐 + (−𝟓𝟎𝒐) 
 
 
𝒛𝟑 = 𝟑𝟎𝟎 |−𝟐𝟎
𝒐 
 
, 
 
 
31 
 
Observações: 
 Em função de uma melhor apresentação opta-se por utilizar para a 
representação polar. 
A fase dada pela notação com a indicação de ângulo: 
𝒛𝟒 = 𝟑 ∡ 𝟖𝟎° 
 É possível multiplicar e dividir na forma retangular. Veja o exemplo: 
Execute 𝒛𝟑 =
𝒛𝟏
𝒛𝟐
 dado que 𝒛𝟏 = 𝟏𝟎 + 𝟓𝒋 𝒆 𝒛𝟐 = 𝟑 − 𝟑𝒋 
𝒛𝟑 =
𝟏𝟎 + 𝟓𝒋 
𝟑 − 𝟑𝒋
.
𝟑 + 𝟑𝒋
𝟑 + 𝟑𝒋
⇒ 𝒛𝟑 =
𝟑𝟎 + 𝟏𝟓𝒋 + 𝟑𝟎𝒋 + 𝟏𝟓𝒋𝟐
𝟗 − 𝟗𝒋𝟐
 
Como j2 = -1, vem que: 
𝒛𝟑 =
𝟑𝟎 + 𝟏𝟓𝒋 + 𝟑𝟎𝒋 − 𝟏𝟓
𝟗 + 𝟗
⇒ 𝒛𝟑 =
𝟏𝟓 + 𝟒𝟓𝒋
𝟏𝟖
⇒ 𝒛𝟑 =
𝟓
𝟔
+
𝟏𝟓
𝟔
𝒋 
 Se tivermos um número complexo na forma polar e outro na forma retangular, 
qualquer operação irá requerer a conversão de um deles. Ela deve ocorrer de 
forma a facilitar os cálculos. 
 Um número complexo importante é o conjugado. 
Exemplificando: o conjugado do número complexo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒋 é igual ao 
número �̅� = 𝒛∗ = 𝒂 − 𝒃𝒋. Note que ele tem os mesmos valores de parte real e 
imaginária, porém, com sinal negativo na parte imaginária. 
 As operações com a representação de Euler são feitas lembrando das 
propriedades da exponencial. Por exemplo: 
Dado 𝒛𝟏 = 𝟐. 𝒆
𝒋
𝝅
𝟐 e 𝒛𝟐 = 𝟑. 𝒆
𝒋
𝝅
𝟒 
Exemplos: a) O valor do produto de z1 com z2 será igual a: 
𝒛 = 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝟐. 𝒆
𝒋
𝝅
𝟐 . 𝟑. 𝒆𝒋
𝝅
𝟒 = 𝟐. 𝟑. 𝒆𝒋(
𝝅
𝟐+
𝝅
𝟒) ⇒ 𝒛 = 𝟔𝒆𝒋
𝟑𝝅
𝟒 
b) A soma de z1 com z2 será igual a: 
, 
 
 
32 
 
𝒛 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝟐. 𝒆
𝒋
𝝅
𝟐 + 𝟑. 𝒆𝒋
𝝅
𝟒 
Neste caso, devemos converter para a forma cartesiana ou retangular, lembrando que: 
𝒆𝒋𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋. 𝒔𝒆𝒏𝜽 
 
Dessa forma, teremos: 
𝒛 = 𝟐. (𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟐
+ 𝒋. 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟐
) + 𝟑. (𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟒
+ 𝒋. 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟒
) 
𝒛 = 𝟐. (𝟎 + 𝒋. 𝟏) + 𝟑. (
√𝟐
𝟐
+ 𝒋.
√𝟐
𝟐
) ⇒ 𝒛 = 𝒋. 𝟐 + 𝟑.
√𝟐
𝟐
+ 𝟑.
√𝟐
𝟐
. 𝒋 ⇒ 𝒛
= 𝒋. 𝟐 + 𝟐, 𝟏𝟐 + 𝒋. 𝟐, 𝟏𝟐 
Finalmente: 
𝒛 = 𝟐, 𝟏𝟐 + 𝒋. 𝟒, 𝟏𝟐 
 
Funções de variáveis complexas 
Normalmente, quando trabalhamos com modelos matemáticos, avaliamos as variáveis 
no tempo, sendo estas, independentes de funções que representam o comportamento 
de variáveis de interesse no processo de modelagem. 
Porém, quando trabalhamos na engenharia de controle, fazemos uso de transformações 
algébricas que levam as funções do domínio do tempo para o domínio de variáveis 
complexas, isto é, representadas através dos números complexos, como veremos a 
seguir. 
Por exemplo, dado um número complexo z, com parte real e imaginária. Uma função de 
F(z), isto é, uma função de variáveis complexas poderia ser uma função polinomial, 
exponencial, trigonométrica, etc. 
Vejamos alguns exemplos: 
, 
 
 
33 
 
1) Função polinomial: 
𝑭(𝒛) = 𝟏 + 𝒛𝟐 
 
2) Função racional polinomial: 
𝑭(𝒛) =
𝟐𝒛𝟐 + 𝒛 + 𝟏
𝒛𝟑 + 𝟏
 
3) Função exponencial e racional: 
𝑭(𝒛) =
𝒆𝟎,𝟐𝒛
𝒛 + 𝟑
 
Observação: podemos utilizar outra letra para configurar um número complexo. 
Por exemplo, a letra “s”, que é um número complexo dado por: 
𝒔 = 𝝈 + 𝒋𝝎 
Onde σ representa a parte real e ω a parte imaginária. Podemos ter funções nesta 
variável independente: 
1) Função racional: 
𝑭(𝒔) =
𝟏𝟎
𝒔 + 𝟏
 
2) Função racional com exponencial: 
𝑭(𝒔) =
𝒆−𝟐𝒔
(𝒔 + 𝟓)(𝒔 + 𝟑)
 
As operações algébricas (soma, subtração, multiplicação e divisão) seguem as mesmas 
regras quando trabalhamos com funções a variáveis reais, tomando o cuidado de 
lembrar, quando necessário, das operações com númeroscomplexos. 
A seguir vamos utilizar a variável complexa s na definição da transformada de Laplace. 
 
 
Conclusão 
, 
 
 
34 
 
Vimos neste bloco os conceitos, as características de modelos matemáticos de sistemas 
físicos e uma ferramenta matemática muito utilizada na análise de sistemas dinâmicos 
que é a transformada de Laplace. 
Para trabalhar adequadamente com esta ferramenta, apresentamos a álgebra com os 
números complexos e as funções de variáveis complexas. 
É importante que você, aluno, faça todos os exercícios recomendados e que ao perceber 
dificuldades na solução, busque ajuda do tutor, do professor ou mesmo dos livros 
recomendados em cada bloco. 
 
 
Bibliografia Consultada e Recomendada 
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5a ed. São Paulo: Pearson, 2010. 
NISE, S. Engenharia de sistemas de Controle. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
KLUEVER, C. A. Sistemas dinâmicos: modelagem, simulação e controle 1ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018. 
DORF, R. C. Sistemas de controle modernos. 13ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
2 INTRODUÇÃO À MODELAGEM II 
Caros alunos, nesta etapa, daremos continuidade ao bloco anterior. 
É fundamental que você pratique os exercícios indicados nas referências ao longo do 
texto apresentado. 
Quaisquer dúvidas que você tiver, consulte o tutor ou o professor responsável pela 
disciplina. 
 
2.1 Transformada de Laplace: definição, propriedades e aplicações na solução de 
equações diferenciais 
A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que propicia uma mudança 
de representação de variáveis que são analisadas no tempo, tais como: temperatura, 
vazão, corrente elétrica, etc. São representadas na variável complexa da transformada, 
conhecida como variável “s”. 
Esta transformação permite representar funções variadas como função impulso, degrau, 
rampa, parábola, exponenciais, senóide e suas compostas em funções algébricas na 
variável “s”. 
A diferenciação e integração tornam-se operações algébricas, com isto, é possível 
resolver uma equação diferencial tanto para o transitório quanto para o regime 
permanente (ou estado estacionário), com operações e transformações algébricas sobre 
funções. Esta solução é feita com o uso de tabelas de pares de funções no tempo versus 
, 
 
 
36 
 
funções na variável da Transformada de Laplace, obtidas a partir da definição da 
Transformada, que é apresentada a seguir. 
Além disso representação de sistemas dinâmicos com a transformada de Laplace são 
utilizadas na área de controle clássico. 
Definição: 
 A função f(t), no domínio do tempo, t, e f(t) = 0 para todo t<0; 
 “s” uma variável complexa com parte real e imaginária dada por 𝒔 = 𝝈 + 𝒋𝝎; 
 𝓛 é o símbolo operacional da Transformada de Laplace (operador de Laplace); 
 F(s) é a Transformada de Laplace da função f(t). 
 
A Transformada de Laplace será definida por: 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
 
Observações: 
1) 𝓛[𝒇(𝒕)] é uma representação que utiliza o operador de Laplace e deve ser lido 
como a “Laplace de f(t)” e a representação F(s) deve ser lida como a 
“transformada de Laplace” ou simplesmente F(s). 
É importante observar que 𝓛[𝒇(𝒕)] e 𝑭(𝒔) são representações para uma função 
em “s”, que é a variável independente da transformada de Laplace. 
2) Calcular a transformada de Laplace é calcular a integral de Laplace da função f(t). 
Se a função for complicada, trata-se de um cálculo difícil de ser feito. Assim, 
existem tabelas com o valor de F(s) para as principais funções f(t) que são 
utilizadas na área de controle. 
 
Algumas funções utilizadas na análise de sistemas dinâmicos e sua transformada de 
Laplace: 
 Função degrau unitário: esta função é muito utilizada na área de controle, pois 
representa uma variação de um valor inicial para um valor final de forma abrupta 
, 
 
 
37 
 
e em um instante específico. Temos, em especial, a função degrau unitário, 
porque varia de zero para um. Ela é denotada por f(t) = 1(t) e é definida pela 
seguinte expressão: 
𝟏(𝒕) = {
 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 < 𝟎
𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≥ 𝟎
 
A figura 2.1 a seguir apresenta o gráfico da função degrau unitário. 
 
 
Fonte: autor. 
Figura 2.1 – Gráfico da função degrau. 
 
Cálculo da transformada de Laplace: 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = ∫ 𝟏𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= −
𝒆−𝒔𝒕
𝒔
|
𝟎
∞
= −(
𝒆−𝒔∞
𝒔
−
𝒆−𝒔𝟎
𝒔
) =
𝟏
𝒔
 
 
Observações: 
1) Utiliza-se também o degrau de amplitude A. 
O gráfico é o mesmo mas temos que: 
𝒇(𝒕) = {
 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 < 𝟎
𝑨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≥ 𝟎
 𝒐𝒖 𝒇(𝒕) = 𝑨. 𝟏(𝒕) 
A transforma de Laplace é dada, acrescentando o valor de A na transformada de 
Laplace do degrau unitário, isto é: 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = 𝑨.
𝟏
𝒔
 
f(t) = 1(t) 
0 1 
, 
 
 
38 
 
2) É comum representar as funções com o atraso. Para o degrau, utiliza-se a 
seguinte representação: 1(t - t0) para representar o degrau com um atraso t0. O 
gráfico da figura 2.2 ilustra o atraso para t0=2segundos. 
 
 
 
 
 
Fonte: autor. 
Figura 2.2 – Gráfico da função degrau atrasada de 2 segundos. 
 
A expressão matemática é dada por: 
𝟏(𝒕 − 𝟐) = {
 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 < 𝟐
𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≥ 𝟐
 
O cálculo da transformada de Laplace fica, neste caso, igual a: 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = ∫ 𝟏(𝒕 − 𝟐)𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟐
= −
𝒆−𝒔𝒕
𝒔
|
𝟐
∞
= −(
𝒆−𝒔∞
𝒔
−
𝒆−𝒔𝟐
𝒔
) =
𝒆−𝟐𝒔
𝒔
 
 Função pulso: a função pulso é definida pela diferença entre dois degraus de 
amplitude A/t0, um degrau de início em t1 e um segundo degrau em t2. 
Se t1=0s e t2=t0 for qualquer valor, teremos a seguinte expressão para 
representar a função: 
𝒇(𝒕) =
𝑨
𝒕𝟎
. 𝟏(𝒕) −
𝑨
𝒕𝟎
. 𝟏(𝒕 − 𝒕𝟎) = {
 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 < 𝟎 𝒆 𝒕 ≥ 𝒕𝟎
𝑨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝒕𝟎
 
O gráfico desta função é dado na figura 1.17. 
2 
f(t)=1(t-
2) 
1 
t(s) 
, 
 
 
39 
 
 
Fonte: autor. 
Figura 1.17 – Gráfico da função pulso a partir da diferença de dois degraus. 
O pulso foi desenhado com pontilhado e foi definido pela diferença de dois degraus. A 
transformada de Laplace pode ser calculada através da transformada de Laplace do 
degrau. 
𝑭(𝒔) = ∫
𝑨
𝒕𝟎
𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
−∫
𝑨
𝒕𝟎
𝟏(𝒕 − 𝒕𝟎)𝒆
−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝒕𝟎
=
𝑨
𝒕𝟎
. [
𝟏
𝒔
− (
𝒆−𝒔𝒕
−𝒔
|
𝒕𝟎
∞
)]
=
𝑨
𝒕𝟎
. (
𝟏
𝒔
−
𝒆−𝒔𝒕𝟎
𝒔
) 
 Função impulso unitário: esta função é conhecida como função Delta de Dirac, 
δ(t), e é dada pela seguinte expressão: 
𝜹(𝒕) = {
 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≠ 𝟎
∞ 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 = 𝟎
, 𝒄𝒐𝒎 ∫ 𝜹(𝒕)𝒅𝒕 = 𝟏
∞
−∞
 
A expressão anterior, embora utilizada em diversos livros não é a definição da função, 
mas demonstra ideia do comportamento da mesma. A figura 2.4 apresenta o gráfico 
da função impulso. 
 
Fonte: autor. 
, 
 
 
40 
 
Figura 2.4 – Gráfico da função impulso obtida a partir de um pulso com t0 tendendo a 
zero. 
 
A função pode ser obtida da função pulso, supondo A=1, percebe-se que a área 
sob a função pulso é igual a 1, fazendo t0 tender a zero e mantendo a área igual 
a 1. A amplitude no limite será igual a infinito, o que está caracterizado na 
expressão do impulso unitário. 
A transformada de Laplace da função impulso unitário é então, calculada a partir 
da transformada da função pulso aplicando o limite: 
𝓛[𝜹(𝒕)] = 𝓛 [𝐥𝐢𝐦
𝒕𝟎→𝟎
𝒇(𝒕)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒕𝟎→𝟎
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒕𝟎→𝟎
𝟏
𝒕𝟎
. (
𝟏
𝒔
−
𝒆−𝒔𝒕𝟎
𝒔
) = 𝐥𝐢𝐦
𝒕𝟎→𝟎
(
𝟏 − 𝒆−𝒔𝒕𝟎
𝒕𝟎𝒔
) 
Este limite só pode ser calculado se aplicarmos a regra de L’Hospital (derivar o 
numerador e o denominador da expressão com relação à t0): 
𝓛[𝜹(𝒕)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒕𝟎→𝟎
(
𝒔𝒆−𝒔𝒕𝟎
𝒔
) = 𝟏 
 Função Rampa Unitária: esta função é dada pela reta que se inicia na origem e 
tem coeficiente angular igual a 1. Assim, possui a seguinte expressão: 
 
𝒇(𝒕) = {
 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 < 𝟎
𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≥ 𝟎
 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆𝒇(𝒕) = 𝒕 
O gráfico da figura 2.5 ilustra o comportamento da função rampa unitária no 
tempo. 
 
f(t) 
, 
 
 
41 
 
Fonte: Autor 
Figura 2.5 – Gráfico da rampa unitária. 
 
A transformada de Laplace é dada por: 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = ∫ 𝒕𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
=
𝟏
𝒔𝟐
 
Essa integral é calculada através do método de integração por partes, resultando 
no valor especificado acima. A rampa pode ser com coeficiente angular qualquer 
k, alterando portanto, a inclinação da reta. 
Neste caso, a transformada de Laplace será dada por: 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = ∫ 𝒌𝒕𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
=
𝒌
𝒔𝟐
 
 
 Função Exponencial: a função exponencial é representada pela expressão dada 
a seguir. 
𝒇(𝒕) = 𝒆−𝒂𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≥ 𝟎 
A transformada de Laplace é calculada pela integral da seguinte exponencial. 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = ∫ 𝒆−𝒂𝒕𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= ∫ 𝒆−(𝒔+𝒂)𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= −
𝒆−(𝒔+𝒂)𝒕
𝒔 + 𝒂
|
𝟎
∞
=
𝟏
𝒔 + 𝒂
 
Além destas funções trabalham com seno, cosseno, combinações de funções 
exponenciais com as trigonométricas, dentre outras. Para facilitar os cálculos são 
utilizadas tabelas de transformada de Laplace. 
A seguir, temos uma dessas tabelas onde se representa a função em t, f(t) e a 
correspondente função em s, F(s) ou simplesmente os pares de transformada de 
Laplace. 
Além desta tabela apresentamos a tabela das propriedades da transformada de Laplace. 
, 
 
 
42 
 
 
Observação: 
1) Condição de existência: a transformada de Laplace existe se a integral da 
transformada converge. Isto ocorre se a função f(t) for contínua por partes em 
cada intervalo finito correspondente, pata t > 0, e se f(t) for de ordem 
exponencial, conforme t tende a infinito, isto é, caso exista uma constante real 
σ > 0, tal que: 
𝒆−𝝈𝒕. |𝒇(𝒕)| → 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 → ∞ 
1) As propriedades apresentadas se aplicam no cálculo da transformada de Laplace, 
mas o ponto de interesse aqui é utilizar a transformada de Laplace e suas 
propriedades para resolver equações diferencias ordinárias a coeficientes 
constantes e também para determinar a representação de sistemas dinâmicos 
dada pela função de transferência. 
 
 
 
Tabela 2.1 – Pares de Transformada de Laplace. 
 Função f(t) Função F(s) Função f(t) Função F(s) 
1 𝜹(𝒕) 1 12 
𝟏
𝒂𝒃
[𝟏(𝒕) +
𝟏
𝒂 − 𝒃
(𝒃𝒆−𝒂𝒕
− 𝒂𝒆−𝒃𝒕)] 
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝒂)(𝒔 + 𝒃)
 
2 𝟏(𝒕) 
𝟏
𝒔
 13 
𝟏
𝒂𝟐
[𝟏(𝒕) − 𝒆−𝒂𝒕 − 𝒂𝒕𝒆−𝒂𝒕] 
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝒂)𝟐
 
3 𝒕 
𝟏
𝒔𝟐
 14 
𝟏
𝒂𝟐
[𝒂𝒕 − 𝟏(𝒕) − 𝒆−𝒂𝒕] 
𝟏
𝒔𝟐(𝒔 + 𝒂)
 
4 
𝒕𝒏−𝟏
(𝒏 − 𝟏)!
 (𝒏
= 𝟏, 𝟐,… ) 
𝟏
𝒔𝒏
 15 𝒆−𝒂𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 
𝝎
(𝒔 + 𝒂)𝟐 +𝝎𝟐
 
5 𝒕𝒏 
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
 16 𝒆−𝒂𝒕𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
𝒔 + 𝒂
(𝒔 + 𝒂)𝟐 +𝝎𝟐
 
6 𝒆−𝒂𝒕 
𝟏
𝒔 + 𝒂
 17 𝟏(𝒕) − 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
𝝎𝟐
𝒔(𝒔𝟐 +𝝎𝟐)
 
7 𝒕𝒆−𝒂𝒕 
𝟏
(𝒔 + 𝒂)𝟐
 18 
𝟏
𝒂
[𝟏(𝒕) − 𝒆−𝒂𝒕] 
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝒂)
 
, 
 
 
43 
 
8 
𝒕𝒏−𝟏𝒆−𝒂𝒕
(𝒏 − 𝟏)!
 (𝒏
= 𝟏, 𝟐,… ) 
𝟏
(𝒔 + 𝒂)𝒏
 19 
𝟏
𝒃 − 𝒂
(𝒆−𝒂𝒕 − 𝒆−𝒃𝒕) 
𝟏
(𝒔 + 𝒂)(𝒔 + 𝒃)
 
9 𝒕𝒏𝒆−𝒂𝒕 
𝒏!
(𝒔 + 𝒂)𝒏+𝟏
 20 
𝟏
𝒃 − 𝒂
(𝒃𝒆−𝒃𝒕 − 𝒂𝒆−𝒂𝒕) 
𝒔
(𝒔 + 𝒂)(𝒔 + 𝒃)
 
10 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 
𝝎
𝒔𝟐 +𝝎𝟐
 21 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
𝒔𝟐 −𝝎𝟐
(𝒔𝟐 +𝝎𝟐)𝟐
 
11 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
𝒔
𝒔𝟐 +𝝎𝟐
 22 
𝟏
𝟐𝝎
𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 
𝒔
(𝒔𝟐 +𝝎𝟐)𝟐
 
 Função f(t) Função F(s) 
23 
𝟏
√𝟏 − 𝝃𝟐
𝝎𝒏𝒆
−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒏√𝟏 − 𝝃
𝟐) 𝒕 (𝟎 < 𝝃 < 𝟏) 
𝝎𝒏
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐
 
24 
−
𝟏
√𝟏 − 𝝃𝟐
𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 [(𝝎𝒏√𝟏 − 𝝃
𝟐) 𝒕 − ∅] 
∅ = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈
√𝟏 − 𝝃𝟐
𝝃
(𝟎 < 𝝃 < 𝟏; 𝟎 < ∅ < 𝝅 𝟐⁄ ) 
𝒔
𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐
 
25 
𝟏(𝒕) −
𝟏
√𝟏 − 𝝃𝟐
𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 [(𝝎𝒏√𝟏 − 𝝃
𝟐) 𝒕 + ∅] 
∅ = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈
√𝟏 − 𝝃𝟐
𝝃
(𝟎 < 𝝃 < 𝟏; 𝟎 < ∅ < 𝝅 𝟐⁄ ) 
𝝎𝒏
𝟐
𝒔(𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐)
 
Fonte: autor, extraída de OGATA (2010). 
 
Tabela 2.2 – Propriedades da Transformada de Laplace. 
, 
 
 
44 
 
Fonte: extraída de OGATA (2010). 
 
 
 
Além das propriedades acima, com a transformada de Laplace, é possível determinar o 
valor inicial e o valor final de funções na variável “s”. 
2.2 Teoremas do valor inicial e final 
Para encontrar o valor inicial e final de f(t) qualquer, pode-se utilizar os teoremas do 
valor inicial e final, respectivamente, aplicando-se para valor inicial f(0) e final, f(∞). 
Contudo, em elétrica, isto denotaria valores segundo o que segue: 
, 
 
 
45 
 
𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎) = 𝓛 [
𝒅𝒇
𝒅𝒕
] = ∫
𝒅𝒇
𝒅𝒕
𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
 
Se analisarmos o resultado da integral, o termo exponencial anula se s tender ao infinito. 
Se lembrarmos que f(0) não depende de s, concluímos que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒔→∞
[𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→∞
∫
𝒅𝒇
𝒅𝒕
𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= ∫
𝒅𝒇
𝒅𝒕
𝐥𝐢𝐦
𝒔→∞
𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= 𝟎 
Logo, o valor inicial, f(0), para t=0s, é dado por: 
𝒇(𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→∞
𝒔𝑭(𝒔) 
Por outro lado, se t tender ao infinito, calcularemos o valor final, e por analogia do 
exemplo anterior, concluímos facilmente que: 
𝒇(∞) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
𝒔𝑭(𝒔) 
Exemplo: calcule o valor inicial e final da função pela transformada de Laplace: 
𝒙(𝒕) = 𝟏(𝒕) − 𝒕𝒆−𝟓𝒕 
Solução: Obtendo a transformada de Laplace da função: 
𝓛[𝒙(𝒕)] = 𝑿(𝒔) =
𝟏
𝒔
−
𝟏
(𝒔 + 𝟓)𝟐
 
Valor inicial: 
𝒙(𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→∞
𝒔𝑿(𝒔) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→∞
𝒔 [
𝟏
𝒔
−
𝟏
(𝒔 + 𝟓)𝟐
] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→∞
[𝟏 −
𝒔
(𝒔 + 𝟓)𝟐
] = 𝟏 − 𝟎 = 𝟏 
Valor final: 
𝒙(∞) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
𝒔𝑿(𝒔) = = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
𝒔 [
𝟏
𝒔
−
𝟏
(𝒔 + 𝟓)𝟐
] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[𝟏 −
𝒔
(𝒔 + 𝟓)𝟐
] ⇒ 
𝒙(∞) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[
(𝒔 + 𝟓)𝟐 − 𝒔
(𝒔 + 𝟓)𝟐
] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[
𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝒔 + 𝟐𝟓 − 𝒔
𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝒔 + 𝟐𝟓
] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[
𝒔𝟐 + 𝟗𝒔 + 𝟐𝟓
𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝒔 + 𝟐𝟓
] ⇒ 
, 
 
 
46 
 
𝒙(∞) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[
𝒔𝟐
𝒔𝟐
] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[𝟏] = 𝟏 
Cálculo da transformada inversa de Laplace 
A Transformada Inversa de Laplace, evidentemente irá retornar a função ao domínio do 
tempo, qual seja, f(t), onde t>0. 
𝓛−𝟏[𝑭(𝒔)] = 𝒇(𝒕) = ∫ 𝑭(𝒔)𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒔
𝒄+𝒋∞
𝒄−𝒋∞
 
Como verificado, é uma integral com os extremos dados por números complexos, o que 
torna o seu cálculo bastante complicado. 
Utiliza-se novamente a tabela, mas no sentido contrário, ou seja, a partir de F(s) chega-
se em f(t). 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 1: calcule a transformada inversa (ou anti-transformada) da função dada a 
seguir: 
𝑭(𝒔) = 
𝟏𝟎
𝒔𝟐 + 𝟒
 
Solução: ao observar os pares da tabela de transformada, verifica-se que os valores são 
literais. Assim, devemos comparar a nossa função em s (que tem valores numéricos) 
com aquelas da tabela que tem o termo ”s” ao quadrado e o termo independente. 
Verifica-se a existência de duas funções: o seno e o cosseno. Como não há em F(s) um 
termo em s no numerador, então devemos associar este exemplo numérico com a 
transformada do seno (par 10), que é dada por: 
𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 ↔ 
𝝎
𝒔𝟐 +𝝎𝟐
 
Basta então, determinar o valor de ω do exemplo numérico. Devemos utilizar a 
comparação do termo do denominador da expressão acima, ou seja: 
, 
 
 
47 
 
𝝎𝟐 = 𝟒 → 𝝎 = 𝟐𝒓𝒂𝒅/𝒔 
Se observamos o numerador, existe o valor 10 e não 2. Assim, devemos fazer uma 
simplificação algébrica para chegar no valor de f(t): 
𝑭(𝒔) = 
𝟏𝟎
𝒔𝟐 + 𝟒
= 𝟓.
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟒
 
O valor 5 é mantido na função f(t), a partir da propriedade que diz que: 
𝓛[𝑨𝒇(𝒕)] = 𝑨𝑭(𝒔) 
Finalmente: 
𝒇(𝒕) = 𝟓. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 
 
Exemplo 2: calcule a transformada inversa da função dada a seguir: 
𝑭(𝒔) = 
𝟏𝟎
𝒔𝟐 + 𝟓𝒔 + 𝟒
 
Solução: para calcular f(t), sempre que aparecer um trinômio no denominador, será 
necessário calcular as suas raízes. De acordo com o valor das raízes, você deve avaliar 
qual será o par a ser utilizado: 
a) Raízes reais e diferentes: transforma-se o trinômio em um produto de binômios 
e utiliza-se o par 19 da tabela. 
 
b) Raízes reais e iguais: neste caso, transforma-se o trinômio em umquadrado 
perfeito e utiliza-se o par 7 da tabela. 
c) Raízes complexas: neste caso devemos utilizar o par 23, identificando o valor de 
ωn (frequência natural) e 𝝃(fator de amortecimento) por comparação de 
denominadores. 
Vejamos em qual caso o exemplo se encaixa, calculando as suas raízes. 
𝒔𝟐 + 𝟓𝒔 + 𝟒 = 𝟎 
, 
 
 
48 
 
Por Bhaskara: 𝒔𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−𝟓 ± √𝟓𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
−𝟓 ± √𝟐𝟓 − 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟓 ± √𝟗
𝟐
 
Teremos duas raízes reais e distintas dadas por: 
𝒔𝟏,𝟐 =
−𝟓 ± 𝟑
𝟐
→ {
𝒔𝟏 = −𝟒
𝒔𝟐 = −𝟏
 
Logo, o denominador de F(s) será transformado em um produto de dois binômios: 
𝑭(𝒔) = 
𝟏𝟎
𝒔𝟐 + 𝟓𝒔 + 𝟒
=
𝟏𝟎
(𝒔 + 𝟒)(𝒔 + 𝟏)
 
Comparando com o par 19: 
𝟏
𝒃 − 𝒂
(𝒆−𝒂𝒕 − 𝒆−𝒃𝒕) ↔
𝟏
(𝒔 + 𝒂)(𝒔 + 𝒃)
 
Adotando a=4 e b=1 e mantendo o valor do numerador de F(s), teremos: 
𝑭(𝒔) = 𝟏𝟎
𝟏
(𝒔 + 𝟒)(𝒔 + 𝟏)
 
𝓛−𝟏
→ 𝒇(𝒕) = 𝟏𝟎.
𝟏
𝟏 − 𝟒
(𝒆−𝟒𝒕 − 𝒆−𝟏𝒕) → 𝒇(𝒕)
= −
𝟏𝟎
𝟑
(𝒆−𝟒𝒕 − 𝒆−𝟏𝒕) 
 
Exemplo 3: calcule a transformada inversa da função dada a seguir: 
 
𝑭(𝒔) = 
𝟓
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟒
 
Solução: neste exemplo, teremos as seguintes raízes: 
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟒 = 𝟎 
, 
 
 
49 
 
Por Bhaskara: 𝒔𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−𝟒 ± √𝟒𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
−𝟒 ± √𝟏𝟔 − 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟒 ± √𝟎
𝟐
 
Teremos duas raízes reais e iguais: 
𝒔𝟏,𝟐 =
−𝟒 ± 𝟎
𝟐
→ {
𝒔𝟏 = −𝟐
𝒔𝟐 = −𝟐
 
Teremos, então, um quadrado perfeito: 
𝑭(𝒔) = 
𝟓
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟒
=
𝟓
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟐)
=
𝟓
(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
Comparando com o par 7: 
𝒕𝒆−𝒂𝒕 ↔ 
𝟏
(𝒔 + 𝒂)𝟐
 
Adota-se a = 2 e mantendo o valor do numerador de F(s), teremos: 
𝑭(𝒔) = 𝟓
𝟏
(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
𝓛−𝟏
→ 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒆−𝟐𝒕 
 
Exemplo 4: calcule a transformada inversa da função dada a seguir: 
𝑭(𝒔) = 
𝟒
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓
 
Solução: neste exemplo, teremos as seguintes raízes: 
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓 = 𝟎 
Por Bhaskara: 𝒔𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−𝟒 ± √𝟒𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟓
𝟐. 𝟏
=
−𝟒 ± √𝟏𝟔 − 𝟐𝟎
𝟐
=
−𝟒 ± √−𝟒
𝟐
 
Teremos duas raízes complexas: 
, 
 
 
50 
 
𝒔𝟏,𝟐 =
−𝟒 ± 𝒋√𝟒
𝟐
→ {
𝒔𝟏 = −𝟐 + 𝒋
𝒔𝟐 = −𝟐 − 𝒋
 
Observação: lembre que √−𝟒 = √−𝟏. √𝟒 = 𝒋√𝟒 𝒐𝒖 √𝟒𝒋. 
Devemos comparar com o par 23 e determinar o valor de ωn e 𝝃, para então determinar 
f(t): 
𝟏
√𝟏 − 𝝃𝟐
𝝎𝒏𝒆
−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒏√𝟏 − 𝝃
𝟐) 𝒕 ↔ 
𝝎𝒏
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐
 
Essa comparação deve ser sempre feita entre os termos dos denominadores: 
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓 𝒆 𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐 
Note que o termo em s ao quadrado dos dois trinômios deve ser igual a 1 para podermos 
compará-los. Assim, teremos as seguintes relações: 
{
𝝎𝒏
𝟐 = 𝟓 → 𝝎𝒏 = √𝟓 → 𝝎𝒏 = 𝟐, 𝟐𝟑𝟔
𝟐𝝃𝝎𝒏 = 𝟒 → 𝝃 =
𝟒
𝟐𝝎𝒏
→ 𝝃 =
𝟒
𝟐. 𝟐, 𝟐𝟑𝟔
= 𝟎, 𝟖𝟗𝟒
 
Com estes valores, é necessário ainda manipular algebricamente o numerador de F(s): 
𝑭(𝒔) = 
𝟒
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓
=
𝟓
𝟓
𝟒
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓
=
𝟒
𝟓
𝟓
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓
 
 Assim, a transformada inversa será igual a: 
𝒇(𝒕) = 
𝟒
𝟓
𝟏
√𝟏 − 𝝃𝟐
𝝎𝒏𝒆
−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒏√𝟏 − 𝝃
𝟐) 𝒕
= 𝟎, 𝟖
𝟏
√𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟐
𝟐, 𝟐𝟑𝟔𝒆−𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟐, 𝟐𝟑𝟔√𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟐) 𝒕 
Finalmente: 
𝒇(𝒕) = 𝟒𝒆−𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏𝒕 
Para obter a transformada de Laplace inversa de funções mais complicadas, costuma-se 
converter a função em uma soma de termos mais simples, as quais estão presentes na 
, 
 
 
51 
 
tabela os pares de transformada da soma. Esse processo é conhecido como expansão 
em frações parciais. 
Veja situações em que é necessário aplicar a expansão: 
Exemplo 5: calcule a transformada inversa da função dada a seguir: 
𝑭(𝒔) = 
𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟔𝒔 + 𝟕
𝒔𝟐 + 𝒔 + 𝟓
 
Solução: neste exemplo, a ordem do numerador é maior que a do denominador. Neste 
caso, deve-se dividir o numerador pelo denominador até que o resultado apresente um 
resto com a ordem do numerador inferior ao do denominador. 
Executando a divisão: 
 
Logo: 
𝑭(𝒔) = 𝒔 + 𝟏 + 
𝟐
𝒔𝟐 + 𝒔 + 𝟓
 
Calculando a transformada inversa, isto é, 𝓛−𝟏[𝒔 + 𝟏 + 
𝟐
𝒔𝟐+𝒔+𝟓
] .Resulta em: 
𝒇(𝒕) =
𝒅𝜹(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝜹(𝒕) + 𝟒, 𝟔𝒆−𝟎,𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐, 𝟏𝟖𝒕 
Observação: a transformada inversa do termo em “s” em F(s) é obtida a partir da 
transformada da derivada de uma função, sendo esta função o impulso unitário: 
𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝓛[𝜹(𝒕)] = 𝟏 𝒆 
𝓛 [
𝒅𝒇(𝒕)
𝒅𝒕
] = 𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎) 
, 
 
 
52 
 
Para o impulso unitário a condição inicial da derivada é nula. Logo: 
𝓛 [
𝒅𝜹(𝒕)
𝒅𝒕
] = 𝒔𝓛[𝜹(𝒕)] = 𝒔. 𝟏 = 𝒔 
Portanto: 
𝓛−𝟏[𝒔] =
𝒅𝜹(𝒕)
𝒅𝒕
 
Para o trinômio devemos calcular as raízes, que serão complexas. Daí, calcular ωn e 𝝃 e 
só então, utilizar o par 23. Faça os cálculos e verifique a sua resposta. 
 
Exemplo 6: calcule a transformada inversa da função dada a seguir: 
𝑭(𝒔) = 
𝟐𝒔 + 𝟏𝟎
(𝒔 + 𝟏𝟎)(𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓)
 
Solução: se observarmos a tabela de pares de transformada de Laplace, não 
encontraremos um par que forneça a transformada inversa de Laplace desta função. 
Neste caso, devemos aplicar a expansão em frações parciais, obtendo a soma de funções 
em “s” que estão representadas na tabela: 
𝑭(𝒔) = 
𝒓𝟏
𝒔 + 𝟏𝟎
+
𝒓𝟐𝒔 + 𝒓𝟑
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓
 
O segundo termo da soma pode ser desmembrado em dois termos que estão 
representados na tabela (par 24 e par 23, respectivamente): 
𝑭(𝒔) = 
𝒓𝟏
𝒔 + 𝟏𝟎
+
𝒓𝟐𝒔
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓
+
𝒓𝟑
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓
 
Devemos então calcular os valores de r1, r2 e r3. Esse processo pode ser feito de duas 
formas: pelo teorema dos resíduos de Cauchy ou através de regras práticas. 
Vamos apresentar alguns cálculos da expansão em frações parciais através do teorema, 
antes de resolver o exemplo. 
, 
 
 
53 
 
Expansão em frações parciais 
Uma função F(s) dada por: 
𝑭(𝒔) =
𝑩(𝒔)
𝑨(𝒔)
=
𝒂𝒎𝒔
𝒎 + 𝒂𝒎−𝟏𝒔
𝒎−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏𝒔 + 𝒂𝟎
(𝒔 + 𝒑𝟏)(𝒔 + 𝒑𝟐)… (𝒔 + 𝒑𝒏)
 
Pode ser reescrita como uma soma de termos associadas as raízes do denominador: 
𝑭(𝒔) =
𝑩(𝒔)
𝑨(𝒔)
=
𝒓𝟏
(𝒔 + 𝒑𝟏)
+
𝒓𝟐
(𝒔 + 𝒑𝟐)
+ ⋯+
𝒓𝒏
(𝒔 + 𝒑𝒏)
 
Onde r1, r2 ... rn são chamados de resíduos e p1, p2 ... pn e são as raízes (com sinal 
trocado) do denominador. Estas raízes podem ser reais e distintas, reais e diferentes e 
complexas. Para cada situação teremos um tipo de cálculo para determinação dos 
resíduos. 
Caso 1: raízes reais distintas 
Os resíduos são calculados através da expressão dada a seguir. 
𝒓𝒌 = [(𝒔 + 𝒑𝒌)
𝑩(𝒔)
𝑨(𝒔)
]
𝒔=−𝒑𝒌
 
Este caso pode ser aplicado no exemplo 6, para determinar o valor de r1: 
𝒓𝟏 = [(𝒔 + 𝒑𝟏)
𝑩(𝒔)
𝑨(𝒔)
]
𝒔=−𝒑𝟏
= [(𝒔 + 𝟏𝟎)
𝟐𝒔 + 𝟏𝟎
(𝒔 + 𝟏𝟎)(𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓)
]
𝒔=−𝟏𝟎
=
𝟐. (−𝟏𝟎) + 𝟏𝟎
(−𝟏𝟎)𝟐 + 𝟖(−𝟏𝟎) + 𝟐𝟓
 
𝒓𝟏 =
−𝟐𝟎 + 𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎 − 𝟖 𝟎 + 𝟐𝟓
=
−𝟏𝟎
 𝟒𝟓
= −
𝟐
𝟗
 
 
 
Caso 2: raízes complexas conjugadas 
, 
 
 
54 
 
Os resíduos podem ser calculados como no caso 1, considerando que as raízes são 
complexas, o que torna o cálculo mais trabalhoso. Assim, prefere-se manter o trinômio e no 
numerador devemos utilizar dois termos (em “s” e o termo independente) e daí determinar 
dois resíduos. No exemplo 6, teremos: 
𝟐𝒔 + 𝟏𝟎
(𝒔 + 𝟏𝟎)(𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓)
= 
𝒓𝟏
𝒔 + 𝟏𝟎
+
𝒓𝟐𝒔 + 𝒓𝟑
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓
 
Para 𝒓𝟏 = −
𝟐
𝟗
 , vemos que: 
 
Podemos então comparar os termos do numerador: 
𝟗(𝟐𝒔 + 𝟏𝟎) = −𝟐(𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓) + 𝟗(𝒓𝟐𝒔 + 𝒓𝟑)(𝒔 + 𝟏𝟎) ⇒ 
𝟏𝟖𝒔 + 𝟗𝟎 = −𝟐𝒔𝟐 − 𝟏𝟔𝒔 − 𝟓𝟎 + 𝟗(𝒓𝟐𝒔
𝟐 + 𝟏𝟎𝒓𝟐𝒔 + 𝒓𝟑𝒔 + 𝟏𝟎𝒓𝟑) ⇒ 
𝟏𝟖𝒔 + 𝟗𝟎 = (−𝟐 + 𝟗𝒓𝟐)𝒔
𝟐 + (𝟗𝟎𝒓𝟐 + 𝟗𝒓𝟑 − 𝟏𝟔)𝒔 − 𝟓𝟎 + 𝟗𝟎𝒓𝟑 
Por comparação dos dois membros da expressão acima, vem que: 
{
−𝟐 + 𝟗𝒓𝟐 = 𝟎 (𝟏)
𝟗𝟎𝒓𝟐 + 𝟗𝒓𝟑 − 𝟏𝟔 = 𝟏𝟖 (𝟐)
−𝟓𝟎 + 𝟗𝟎𝒓𝟑 = 𝟗𝟎 (𝟑)
 
 
De (1), vem que: 𝒓𝟐 = 𝟐/𝟗 
De (3), vem que: 𝟗𝟎𝒓𝟑 = 𝟏𝟒𝟎⟶ 𝒓𝟑 = 𝟏𝟒/𝟗 
A equação (2), pode ser utilizada para verificar os valores dos resíduos: 
𝟗𝟎
𝟐
𝟗
+ 𝟗
𝟏𝟒
𝟗
− 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟏𝟖 
Assim: 
, 
 
 
55 
 
𝑭(𝒔) =
𝟐𝒔 + 𝟏𝟎
(𝒔 + 𝟏𝟎)(𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓)
= −
𝟐
𝟗
 
𝟏
𝒔 + 𝟏𝟎
+
𝟐
𝟗𝒔 +
𝟏𝟒
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓
=
𝟐
𝟗
(
−𝟏
𝒔 + 𝟏𝟎
+
𝒔 + 𝟕
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓
) 
O primeiro termo tem transformada inversa dada pelo par 6, sendo igual a: 
𝓛−𝟏 [−
𝟐
𝟗
 
𝟏
𝒔 + 𝟏𝟎
] = −
𝟐
𝟗
𝒆−𝟏𝟎𝒕 
O segundo termo da expressão pode ser calculado de duas formas: 
 Utilizando os pares 15 e 16 da tabela e manipulação algébrica: 
𝓛−𝟏 [
𝝎
(𝒔 + 𝒂)𝟐 +𝝎𝟐
] = 𝒆−𝒂𝒕𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 
𝓛−𝟏 [
𝒔 + 𝒂
(𝒔 + 𝒂)𝟐 +𝝎𝟐
] = 𝒆−𝒂𝒕𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 
Tomando o denominador de 
𝒔+𝟕
𝒔𝟐+𝟖𝒔+𝟐𝟓
, vem que: 
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓 = (𝒔 + 𝟒)𝟐 + 𝟗 
Assim, teremos a seguinte manipulação algébrica: 
𝒔 + 𝟕
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟐𝟓
=
𝒔 + 𝟒 + 𝟑
(𝒔 + 𝟒)𝟐 + 𝟗
=
𝒔 + 𝟒
(𝒔 + 𝟒)𝟐 + 𝟗
+
𝟑
(𝒔 + 𝟒)𝟐 + 𝟗
 
Calculando a transformada inversa dos dois termos finais: 
𝓛−𝟏 [
𝒔 + 𝟒
(𝒔 + 𝟒)𝟐 + 𝟗
] = 𝒆−𝟒𝒕𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 
𝓛−𝟏 [
𝟑
(𝒔 + 𝟒)𝟐 + 𝟗
] = 𝒆−𝟒𝒕𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 
Desta forma, f(t) será dado por: 
𝒇(𝒕) = −
𝟐
𝟗
𝒆−𝟏𝟎𝒕 +
𝟐
𝟗
𝒆−𝟒𝒕𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 +
𝟐
𝟗
𝒆−𝟒𝒕𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 
, 
 
 
56 
 
 
Caso 3: raízes reais e iguais 
Neste caso, a expressão com os resíduos será dada por: 
𝑭(𝒔) =
𝑩(𝒔)
𝑨(𝒔)
=
𝒓𝟏
(𝒔 + 𝒑)𝒌
+
𝒓𝟐
(𝒔 + 𝒑)𝒌−𝟏
+⋯+
𝒓𝒌
(𝒔 + 𝒑)
 
Os resíduos são calculados através da seguinte expressão: 
𝒓𝒌−𝒊 =
𝟏
𝒊!
[
𝒅𝒊
𝒅𝒔𝒊
(𝒔 + 𝒑)𝒌
𝑩(𝒔)
𝑨(𝒔)
]
𝒔=−𝒑
 
Onde k representa a multiplicidade da raiz (maior ordem dos polinômios) e i varia de 0 
a k-1. 
Obs.: 0!=1 (zero fatorial é igual a 1) 
 
Exemplo 7: calcule a transformada inversa da função dada a seguir: 
𝑭(𝒔) = 
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟑
 
Solução: devemos aplicar a expansão em frações parciais para a raiz de multiplicidade 3 
(k=3) e para o termo 1/s: 
𝑭(𝒔) = 
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟑
=
𝒓𝟏
𝒔 + 𝟏
+
𝒓𝟐
(𝒔 + 𝟏)𝟐
+
𝒓𝟑
(𝒔 + 𝟏)𝟑
+
𝒓𝟒
𝒔
 
Para a raiz múltipla: 
Cálculo de r1: (i=0) 
𝒓𝟑 =
𝟏
𝟎!
[(𝒔 + 𝟏)𝟑
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟑
]
𝒔=−𝟏
= (
𝟏
𝒔
)
𝒔=−𝟏
= −𝟏 
Cálculo de r2: (i=1) 
 
, 
 
 
57 
 
 
𝒓𝟐 =
𝟏
𝟏!
[
 
 
 
 𝒅(𝒔 + 𝟏)𝟑
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟑
𝒅𝒔
]
 
 
 
 
𝒔=−𝟏
= (
𝒅
𝟏
𝒔
𝒅𝒔
)
𝒔=−𝟏
= (
𝒅𝒔−𝟏
𝒅𝒔
)
𝒔=−𝟏
= (−
𝟏
𝒔𝟐
)
𝒔=−𝟏
= −𝟏 
Cálculo de r3: (i=2) 
𝒓𝟏 =
𝟏
𝟐!
[
 
 
 
 𝒅𝟐(𝒔 + 𝟏)𝟑
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟑
𝒅𝒔𝟐
]
 
 
 
 
𝒔=−𝟏
=
𝟏
𝟐
(
𝒅𝟐
𝟏
𝒔
𝒅𝒔𝟐
)
𝒔=−𝟏
=
𝟏
𝟐
(
𝒅𝟐𝒔−𝟏
𝒅𝒔𝟐
)
𝒔=−𝟏
=
𝟏
𝟐
(
𝟐
𝒔𝟑
)
𝒔=−𝟏
=
𝟏
𝟐
.−𝟐 = −𝟏 
Cálculo de r4: 
𝒓𝟒 = [(𝒔 + 𝟎)
𝑩(𝒔)
𝑨(𝒔)
]
𝒔=𝟎
= [𝒔
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟑
]
𝒔=𝟎
=
𝟏
(𝟎 + 𝟏)𝟑
= 𝟏 
Assim: 
𝑭(𝒔) = 
𝟏
𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟑
=
−𝟏
𝒔 + 𝟏
+
−𝟏
(𝒔 + 𝟏)𝟐
+
−𝟏
(𝒔 + 𝟏)𝟑
+
𝟏
𝒔
 
𝒇(𝒕) = 𝓛−𝟏 [
−𝟏
𝒔 + 𝟏
+
−𝟏
(𝒔 + 𝟏)𝟐
+
−𝟏
(𝒔 + 𝟏)𝟑
+
𝟏
𝒔
]
= −𝒆−𝒕 − 𝒕𝒆−𝒕 −
𝟏
(𝟑 − 𝟏)!
𝒕𝟑−𝟏𝒆−𝒕 + 𝟏(𝒕) 
𝒇(𝒕) = −𝒆−𝒕 − 𝒕𝒆−𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒕𝟐𝒆−𝒕 + 𝟏(𝒕) 
 
2.3 Aplicação da Transformada de Laplace: solução de equações diferenciais 
A principal aplicação é na solução de equações diferenciais, mas a transformada de 
Laplace é aplicada na área de controle para facilitar a representação, pois a partir dela 
, 
 
 
58 
 
equações diferenciais e funções trigonométricas, exponenciais e suas combinações são 
transformadas em funções algébricas racionais na variável “s”. 
A maior dificuldade é que por se tratar de uma transformação matemática, as funções 
obtidas não têm sentido físico. No entanto, na análise de sistemas de controle, 
estabelecem vínculos entre o sentido físico e a representação através de algumas 
propriedades desta representação de sistemas de controle. 
A transformada de Laplace fornece a solução da equação para uma entrada qualquer, 
mas também para condições iniciais. Ela também fornece a solução para o transitório e 
para o regime permanente (ou estado estacionário). 
Procura-se aqui estabelecer um vínculo com sistemas físicos. Por exemplo: queremos 
observar o comportamento de um nível de um tanque de água (saída do sistema) com 
a vazão de água de entrada (entrada do sistema) ou a carga de um capacitor em um 
circuito RC quando se varia a tensão de alimentação do circuito. 
Adota-se o seguinte procedimento para a solução de uma equação diferencial ordinária 
a coeficientes constantes: 
Procedimento - etapas: 
1) Aplicar a Transformada de Laplace a cada um dos membros da equação 
diferencial; 
2) Aplicar as propriedades da transformada de Laplace para obter uma equação 
algébrica na variável “s”; 
3) Rearranjar a equação, isolando a variável dependente; 
4) Substituir o valor das condições iniciais e o valor da entrada; 
5) A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida achando‐se a 
Transformada Inversa de Laplace da variável dependente. 
 
Exemplos 
, 
 
 
59 
 
Os modelos matemáticos apresentados a seguir serão deduzidos nos blocos 
subsequentes. Neste momento, apresentamos a equação diferencial obtida para que se 
possa demonstrar o procedimento de solução das equações diferenciais. 
1) Um sistema de nível está representado na figura 1.20 
2) 
 
Fonte: autor. 
Figura 2.6 – Esquema do comportamento do nível de um tanque em função da vazão 
de entrada, com uma saída de vazão. 
 
Este sistema pode ser modelado com a entrada dada pela vazão qin(t) que altera 
o comportamento do nível h(t), segundo a equação diferencial dada a seguir. 
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟑𝒉(𝒕) = 𝒒𝒊𝒏(𝒕) 
Determine o comportamento do nível ao longo do tempo sabendo que h(0)=1m 
e qin(t) teve uma variação de 0 para 2m3/s segundo um degrau, isto é: 
𝒒𝒊𝒏(𝒕) = 𝟐. 𝟏(𝒕) 
Solução: seguindo o procedimento dado 
1) Aplicar a transformada de Laplace aos dois termos da equação: 
𝓛 [
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟑𝒉(𝒕)] = 𝓛[𝒒𝒊𝒏(𝒕)] 
2) Aplicar as propriedades: 
, 
 
 
60 
 
 𝓛[𝒇𝟏(𝒕) + 𝒇𝟐(𝒕)] = 𝓛[𝒇𝟏(𝒕)] + 𝓛[𝒇𝟐(𝒕)] = 𝑭𝟏(𝒔) + 𝑭𝟐(𝒔) 
 𝓛[𝑨𝒇(𝒕)] = 𝑨. 𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑨𝑭(𝒔) 
 𝓛 [
𝒅𝒇(𝒕)
𝒅𝒕
] = 𝒔𝓛[𝒇(𝒕)] − 𝒇(𝟎) = 𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎) 
Teremos os seguintes passos: 
𝓛 [
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
] + 𝟑𝓛[𝒉(𝒕)] = 𝓛[𝒒𝒊𝒏(𝒕)] 
 
𝒔𝓛[𝒉(𝒕)] − 𝒉(𝟎) + 𝟑𝓛[𝒉(𝒕)] = 𝓛[𝒒𝒊𝒏(𝒕)] 
Mudando a notação: 
𝒔𝑯(𝒔) − 𝒉(𝟎) + 𝟑𝑯(𝒔) = 𝑸𝒊𝒏(𝒔) 
 
3) Isolando H(s): 
𝒔𝑯(𝒔) + 𝟑𝑯(𝒔) = 𝑸𝒊𝒏(𝒔) + 𝒉(𝟎) ⇒ 𝑯(𝒔). [𝒔 + 𝟑] = 𝑸𝒊𝒏(𝒔) + 𝒉(𝟎) ⇒ 𝑯(𝒔)
=
𝑸𝒊𝒏(𝒔)
𝒔 + 𝟑
+
𝒉(𝟎)
𝒔 + 𝟑
 
4) Substituindo h(0) e Qin(s) pela transformada de Laplace de qin(t): 
𝑸𝒊𝒏(𝒔) = 𝓛[𝒒𝒊𝒏(𝒕)] = 𝓛[𝟐. 𝟏(𝒕)] =
𝟐
𝒔
 
Obtemos: 
𝑯(𝒔) =
𝟐/𝒔
𝒔 + 𝟑
+
𝟏
𝒔 + 𝟑
⇒ 𝑯(𝒔) =
𝟐
𝒔(𝒔 + 𝟑)
+
𝟏
𝒔 + 𝟑
 
5) É comum memorizar algumas poucas transformadas de Laplace para serem 
aplicadas. Desta forma, é interessante aplicar a expansão em frações parciais no 
primeiro termo de H(s): 
𝟐
𝒔(𝒔 + 𝟑)
=
𝒓𝟏
𝒔
+
𝒓𝟐
𝒔 + 𝟑
 
, 
 
 
61 
 
Cálculo dos resíduos: 
𝒓𝟏 = [𝒔
𝟐
𝒔(𝒔 + 𝟑)
]
𝒔=𝟎
= [
𝟐
(𝒔 + 𝟑)
]
𝒔=𝟎
=
𝟐
(𝟎 + 𝟑)
=
𝟐
𝟑
 
 
𝒓𝟐 = [(𝒔 + 𝟑)
𝟐
𝒔(𝒔 + 𝟑)
]
𝒔=−𝟑
= [
𝟐
𝒔
]
𝒔=−𝟑
=
𝟐
−𝟑
= −
𝟐
𝟑
 
Logo: 
𝑯(𝒔) =
𝟐
𝟑
𝟏
𝒔
−
𝟐
𝟑
𝟏
𝒔 + 𝟑
+
𝟏
𝒔 + 𝟑
=
𝟐
𝟑
𝟏
𝒔
+
𝟏
𝟑
𝟏
𝒔 + 𝟑
 
 
Calculando a transformada inversa: 
𝒉(𝒕) = 𝓛−𝟏 [
𝟐
𝟑
𝟏
𝒔
+
𝟏
𝟑
𝟏
𝒔 + 𝟑
] ⇒ 𝒉(𝒕) =
𝟐
𝟑
𝟏(𝒕) +
𝟏
𝟑
𝒆−𝟑𝒕 
 
Observações: 
 Em t=0s, a exponencial será igual a 1 e teremos h(0)=2/3+1/3=1m. 
 Em t tendendo a infinito, o segundo termo de h(t) será nulo e o nível irá 
estabilizar em 2/3=0,66m. 
 Calcule o valor de x(t) a partir da equação diferencial dada a seguir, sabendo que 
F(t)=δ(t) e que as condições iniciais são nulas. 
𝒅𝟐𝒙(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟒𝒙(𝒕) = 𝑭(𝒕) 
Solução: aplicando Laplace aos dois membros da equação: 
𝓛 [
𝒅𝟐𝒙(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟒𝒙(𝒕)] = 𝓛[𝑭(𝒕)] 
Aplicandoas propriedades: 
, 
 
 
62 
 
𝓛[𝒇𝟏(𝒕) + 𝒇𝟐(𝒕)] = 𝓛[𝒇𝟏(𝒕)] + 𝓛[𝒇𝟐(𝒕)] = 𝑭𝟏(𝒔) + 𝑭𝟐(𝒔) 
𝓛[𝑨𝒇(𝒕)] = 𝑨. 𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑨𝑭(𝒔) 
𝓛 [
𝒅𝟐𝒇(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
] = 𝒔𝟐𝓛[𝒇(𝒕)] − 𝒔𝒇(𝟎) − �̇�(𝟎) 
Logo: 
𝓛 [
𝒅𝟐𝒙(𝒕)
𝒅𝒕
] + 𝟒𝓛[𝒙(𝒕)] = 𝓛[𝑭(𝒕)] ⇒ 𝒔𝟐𝓛[𝒙(𝒕)] − 𝒔𝒙(𝟎) − �̇�(𝟎) + 𝟒𝓛[𝒙(𝒕)]
= 𝓛[𝑭(𝒕)] 
 
Substituindo as condições inicias 𝒙(𝟎) 𝒆 �̇�(𝟎) por zero, alterando a notação da variável 
em “s” 𝓛[𝒙(𝒕)] = 𝑿(𝒔) 𝒆 𝓛[𝑭(𝒕)] = 𝑭(𝒔): 
𝒔𝟐𝑿(𝒔) + 𝟒𝑿(𝒔) = 𝑭(𝒔) 
Lembrando que a força é dada por um impulso unitário, isto é: 
𝓛[𝑭(𝒕)] = 𝑭(𝒔) = 𝓛[𝜹(𝒕)] = 𝟏 
Vemos que: 
𝒔𝟐𝑿(𝒔) + 𝟒𝑿(𝒔) = 𝟏 
Isolando X(s), obtemos: 
𝑿(𝒔)[𝒔𝟐 + 𝟒] = 𝟏 ⇒ 𝑿(𝒔) =
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟒
 
Calculando a transformada inversa: 
𝒙(𝒕) = 𝓛−𝟏 [
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟒
] 
Na tabela de transformada de Laplace, utilizamos o par 10: 
𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 ↔
𝝎
𝒔𝟐 +𝝎𝟐
 
, 
 
 
63 
 
Avaliando ω através do denominador: 
𝝎𝟐 = 𝟒 ⇒ 𝝎 = 𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔 
 
 
Este valor de 𝝎 deve aparecer no numerador de X(s), assim devemos elaborar a seguinte 
manipulação numérica: 
𝒙(𝒕) = 𝓛−𝟏 [
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟒
𝟐
𝟐
] =
𝟏
𝟐
𝓛−𝟏 [
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟒
] ⇒ 𝒙(𝒕) = 𝟎, 𝟓𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 
 
Simulação de Sistemas Dinâmicos 
Uma forma de simular um sistema dado por uma equação diferencial de difícil solução 
analítica é utilizando métodos numéricos. 
Existem diversos programas que implementam soluções numéricas. Um deles é o 
Matlab, através da programação de um método numérico como o método de Euler, 
Runge-kutta, etc. e da área de simulação chamada de Simulink. Nessa última opção, a 
solução é obtida através de blocos que permitem a implementação de equações 
diferenciais com termos não lineares. 
Os blocos que serão utilizados no Matlab e o diagrama apresentado a seguir serão 
melhor explicados ao longo da disciplina. 
 
Exercício de fixação 
Um sistema físico de nível é modelado segundo uma equação diferencial que representa 
o comportamento do nível, h(t), em função da vazão de água de alimentação, qin(t), 
dada a seguir. 
, 
 
 
64 
 
𝟐
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟑√𝒉(𝒕) = 𝒒𝒊𝒏(𝒕) 
Como se verifica, o modelo não é linear pois tem um termo de nível quadrático. 
Determine: 
a) A simulação da equação não-linear para um degrau de vazão de 1 m3/s, supondo 
que o nível inicial era nulo. 
b) O modelo linear a partir da linearização do termo não-linear, em torno do ponto 
de operação, determinado pela equação não-linear, supondo a situação de 
regime para o degrau dado no item (a). 
c) O resultado analítico do modelo linear, para uma entrada degrau de amplitude 
igual a 0,1, aplicando-se a transformada de Laplace. 
Solução: 
a) Para utilizar um diagrama de blocos do sistema que pode ser determinado a 
partir da equação do sistema de nível, devemos isolar o termo de derivada. 
𝟐
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟑√𝒉(𝒕) = 𝒒𝒊𝒏(𝒕) ⇒
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
=
𝟏
𝟐
𝒒𝒊𝒏(𝒕) −
𝟑
𝟐
√𝒉(𝒕) 
A equação pode ser implementada pelo diagrama de blocos da figura 2.7: 
Fonte: autor. 
Figura 2.7 – Diagrama de blocos para determinação numérica de h(t) no Matlab. 
, 
 
 
65 
 
 
Esta representação permite obter o gráfico da resposta de modelos de sistemas 
não-lineares. 
Não será apresentado neste instante como se monta e configura o simulink para 
realizar a simulação do modelo. 
 
Outra forma de simular é aplicar um método numérico. Como exemplo, vamos 
trabalhar com a transformação da derivada de primeira ordem, utilizando o 
método de Euler em uma diferença para frente, isto é: 
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
≈
𝒉(𝒌 + 𝟏) − 𝒉(𝒌)
∆𝒕
 
Onde ∆𝒕 representa o passo de integração, que deve ser pequeno para o 
resultado do método ser adequado. A equação discreta e iterativa é determinada 
pela substituição da diferença para frente, obtendo: 
𝒉(𝒌 + 𝟏) − 𝒉(𝒌)
∆𝒕
=
𝟏
𝟐
𝒒𝒊𝒏(𝒌) −
𝟑
𝟐
√𝒉(𝒌) 
Isolando 𝒉(𝒌 + 𝟏) no primeiro membro da equação e fazendo 𝒉(𝟎) =
𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏(𝒌) = 𝟏, para qualquer valor de k≥0, vemos que: 
𝒉(𝒌 + 𝟏) = [
𝟏
𝟐
𝒒𝒊𝒏(𝒌) −
𝟑
𝟐
√𝒉(𝒌)] ∆𝒕 + 𝒉(𝒌) 
Foi elaborado um programa no Matlab (chamado de script) que calcula o valor 
de h, segundo a equação acima, utilizando um passo de integração igual a ∆𝒕 =
𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒔. 
Programa no Matlab: 
%Programa de simulação numérica de equação diferencial 
% Definindo valor do passo, do valor inicial de h e k. 
dt=0.001; 
, 
 
 
66 
 
k=1; 
h(1)=0; 
qin=1; 
% Cálculo dos valores de h(k): 
for s=0.001:dt:4 
 k=k+1; 
 h(k)=(0.5*qin-1.5*sqrt(h(k-1)))*dt+h(k-1); 
end 
%Selecionando pontos de 0,02s em 0,02s para plotar 
t=0:0.02:4; 
i=1; 
for j=1:20:4001 
 n(i)=h(j); 
 i=i+1; 
end 
% Elaborando o gráfico da solução 
plot(t,n) 
 
Tabela 2.3 - Valores obtidos no programa 
t (s) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,4 1,8 2,0 2,4 2,8 3,0 
h(m)
.10-2 
0,0 5,08 7,5 8,8 9,7 10,2 10,7 10,9 11,02 11,07 11,1 11,1 
 
O gráfico da resposta temporal do nível do tanque em função de uma variação 
em degrau da vazão de entrada do modelo não-linear está representada na 
figura 2.8 
, 
 
 
67 
 
 
Fonte: autor. 
Figura 2.8 – Gráfico da resposta ao degrau unitário para o modelo não-linear. 
 
Assim, partindo do estado inicial onde o tanque estava vazio, com vazões de 
entrada e saída nulas, determinamos um regime novo (ponto de operação) onde 
h=0,11m, e as vazões são iguais a 1m3/s. 
b) Para a entrada fornecida percebe-se que houve uma pequena variação de nível. 
Para linearizar e avaliar a resposta do modelo linear através da transformada de 
Laplace, adotaremos o ponto de operação onde o nível estabilizou no item 
anterior, isto é, na cota: 
h0 = 0,111m. 
 
O elemento a ser linearizado é a função quadrática que relaciona o nível com a 
vazão de saída, dada pela relação: 
𝒒𝒐𝒖𝒕(𝒕) = 𝟑√𝒉(𝒕) 
𝒇(𝒉) = √𝒉 ≈ √𝒉𝟎 +
𝒅√𝒉
𝒅𝒉
|
𝒉=𝒉𝟎
.
(𝒉 − 𝒉𝟎)
𝟏!
= √𝒉𝟎 +
𝟏
𝟐
𝟏
√𝒉𝟎
(𝒉 − 𝒉𝟎) 
Substituindo o valor de h0, vem que: 
, 
 
 
68 
 
√𝒉 ≈ √𝟎, 𝟏𝟏𝟏 +
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟎, 𝟏𝟏𝟏
(𝒉 − 𝟎, 𝟏𝟏𝟏) = 𝟎, 𝟑𝟑 + 𝟏, 𝟓(𝒉 − 𝟎, 𝟏𝟏𝟏) 
Logo: 
√𝒉 ≈ 𝟏, 𝟓𝒉 + 𝟎, 𝟏𝟔𝟔 
Indo na equação não-linear e substituindo o valor de √𝒉, vem que: 
𝟐
𝒅𝒉(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟑[𝟏, 𝟓𝒉(𝒕) + 𝟎, 𝟏𝟔𝟔] = 𝒒𝒊𝒏(𝒕) 
Estes valores de h(t) e qin(t) são absolutos e portanto, no modelo, surge o termo 
independente de h(t). Para podermos resolver este impasse, devemos avaliar 
uma variação de nível em torno do ponto de operação, isto é: 
𝒉(𝒕) = �̂�(𝒕) + 𝒉𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏(𝒕) = �̂�𝒊𝒏(𝒕) + 𝒒𝟎 
Na condição de regime proposta 𝒉𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝒎 𝒆 𝒒𝟎 = 𝟏𝒎
𝟑/𝒔. 
Assim: 
𝟐
𝒅[�̂�(𝒕) + 𝒉𝟎]
𝒅𝒕
+ 𝟑{𝟏, 𝟓[�̂�(𝒕) + 𝒉𝟎] + 𝟎, 𝟏𝟔𝟔} = �̂�𝒊𝒏(𝒕) + 𝒒𝟎 
Como 𝒉𝟎 é constante, a derivada será nula, dessa forma teremos a equação igual 
a: 
𝟐
𝒅�̂�(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟒, 𝟓�̂�(𝒕) + 𝟒, 𝟓𝒉𝟎 + 𝟎, 𝟒𝟗𝟗𝟖 = �̂�𝒊𝒏(𝒕) + 𝒒𝟎 
Na situação do regime permanente, a derivada é nula e não temos os termos das 
variações de nível e de vazão. Assim, teremos: 
𝟒, 𝟓𝒉𝟎 + 𝟎, 𝟒𝟗𝟗𝟖 = +𝒒𝟎 𝒐𝒖 𝒒𝟎 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟑 ≈ 𝟏 
Dessa forma, cancelam-se os termos constantes e a equação final linearizada fica 
igual a: 
, 
 
 
69 
 
𝟐
𝒅�̂�(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟒, 𝟓�̂�(𝒕) = �̂�𝒊𝒏(𝒕) 
a) Para avaliar a resposta analítica do sistema linear para uma pequena variação 
em degrau de vazão, é necessário aplicar a transformada de Laplace na equação 
diferencial acima: 
 
𝓛 [𝟐
𝒅�̂�(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝟒, 𝟓�̂�(𝒕)] = 𝓛[�̂�𝒊𝒏(𝒕)] 
 
Aplicando as propriedades da transformada: 
 
𝟐. [𝒔. �̂�(𝒔) − �̂�(𝟎)] + 𝟒, 𝟓�̂�(𝒔) = �̂�𝒊𝒏(𝒔) 
A condição inicial da variação do nível é nula, pois se deseja avaliar com o modelo 
linearizado o comportamento do sistema em torno do ponto de operação. Assim, 
lembrando que a vazão de entrada deve variar segundo um degrau de amplitude 0,1, 
teremos: 
�̂�𝒊𝒏(𝒔) = 𝓛[�̂�𝒊𝒏(𝒕)] = 𝓛[𝟎, 𝟏. 𝟏(𝒕)] =
𝟎, 𝟏
𝒔
 
Fazendo as substituições e isolando �̂�(𝒔), vem