book mec

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2018
Mecânica i
Prof. Rudiney Hoffmann Casali
Copyright © UNIASSELVI 2018
Elaboração:
Prof. Rudiney Hoffmann Casali
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
C334m
 Casali, Rudiney Hoffmann
 Mecânica I. / Rudiney Hoffmann Casali – Indaial: UNIASSELVI, 2018.
 195 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0177-1
 1. Mecânica – Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
 
 
 CDD 531
III
apresentação
Caro acadêmico! Seja bem-vindo ao mundo da mecânica, uma extensa 
área de conhecimento da física clássica. Você entrará em contato com a teoria 
que fundamenta o estudo de um dos fenômenos que permeia o universo 
em que vivemos e que fascinou o homem ainda nos primórdios de nossa 
sociedade, o movimento dos corpos no espaço. 
O movimento dos corpos sempre despertou o interesse dos pensadores, 
o trânsito de corpos celestes, o deslocamento de partículas subatômicas ou o 
próprio conceito de temperatura, derivado do movimento das moléculas que 
compõem um corpo, sempre manteve ocupadas as mentes dos maiores filósofos 
e cientistas da história. Por isso, estudaremos, aqui, não apenas a descrição 
do movimento dos corpos, mas também suas origens e as consequências que 
dele decorrem. Focaremos o mundo macroscópico, aquele que nos rodeia e 
primeiro ambiente espacial explorado pelo pensamento científico humano.
Iniciaremos nossa jornada pelo estabelecimento dos conceitos mais 
primários para a descrição do deslocamento dos corpos, as grandezas 
físicas e suas unidades de medida serão nossa primeira parada. Focaremos 
especificamente os conceitos de posição, tempo e massa, sem os quais 
seria impossível iniciar nossos estudos. Revisaremos a geometria analítica, 
focando os pontos de maior interesse. Aqui tentaremos esclarecer e reforçar 
as relações entre matemática e física. Isso será importante, pois é fundamental 
que você seja capaz de conectar essas duas áreas. A matemática nos fornecerá 
as ferramentas de descrição de mundo e a física se encarregará de delinear as 
condições de contorno para aplicação das equações matemáticas.
Agora sim, munidos dos conceitos básicos, podemos iniciar o estudo 
da cinemática dos corpos, o campo da física que descreve o movimento, 
sem se preocupar muito com sua causa. Vamos estudar o movimento da 
velocidade constante e da inconstante também. Aqui você também perceberá 
nosso esforço em manter evidente as influências do cálculo, geometria 
analítica e álgebra linear, disciplinas com as quais você terá contato e cujas 
propriedades serão essenciais para entendermos, por exemplo, como calcular 
um deslocamento no espaço. Ou como encontrar a função horária da posição 
e do tempo. Você reconhecerá as relações entre o movimento retilíneo 
uniforme e o uniformemente variado. Estudaremos também um pouco o 
movimento circular, alguns rodopios apenas. Vamos definir as bases para a 
discussão da cinemática aplicada ao movimento circular, acelerado ou não.
A seguir debateremos a origem do movimento, vamos discutir as 
leis de Newton e suas consequências. Da noção de alteração de estado de 
movimento, passando pela aceleração dos corpos, as leis de ação e reação e a 
definição matemática propriamente dita para a força que atua em um corpo, 
alterando seu estado de movimento. Com esse espírito vamos conhecer 
IV
algumas das manifestações de força mais comuns em nosso cotidiano. 
Essa ideia de associar a física ao cotidiano do leitor, seja lembrando-o o 
que conhece, mesmo que intuitivamente, as propriedades e características 
de muitos fenômenos que discutiremos aqui. E assim iremos até o fim da 
segunda unidade, transitando da gravitação, para as forças de contato mais 
familiares e também algumas não tão familiares assim. Falaremos tanto das 
forças normais, como o peso e sua contrapartida sobre qualquer superfície, 
a força normal. Falaremos também de forças reparadoras e resistivas. 
Então faremos uma breve explanação pelas forças eletromagnéticas, tão 
importantes no desenvolvimento tecnológico que alcançamos, finalizando 
com uma também sintética discussão do âmbito nuclear.
No fim, mas não menos importante, discutiremos o que alimenta 
o movimento, a energia mecânica, a conservação desta e todo o sistema 
colocado em movimento, com corpos colidindo na linha, no plano ou no 
espaço, atuando uns sobre os outros, conservando energia mecânica e 
momento linear. Falaremos do trabalho realizado por uma força ao longo 
de um deslocamento. Do impacto das forças conservativas na descrição de 
sistemas. E das colisões entre corpos em movimentos e seus desdobramentos.
Esta será uma longa jornada e espero aguçar sua curiosidade, 
incentivando-o a fazer pesquisas em trabalhos de ensino e pesquisa por nós 
sugeridas. Você será encorajado a propor discussões, aprender com ideias 
novas e inspirado a propor suas próprias ideias para o melhoramento da 
educação tão próxima de você, como um personagem atuante do ensino, 
mas também em níveis geograficamente mais abrangentes, principalmente 
como um incentivador da curiosidade científica e amor pelo conhecimento. 
É um trabalho bastante complexo compartilhar ideias ainda desconhecidas 
para muitos. Isto requer dedicação e compromisso. 
Para essa obra mantivemos em mente a intensão de conectar, sempre 
que possível, a física e sua fiel companheira, a matemática. Em muitos 
trechos do texto, você se deparará com comentários e referências a áreas da 
matemática de nosso interesse e que se fazem presentes na descrição de cada 
um dos fenômenos da natureza aos quais vamos nos ater. A física ocorre 
quando a matemática encontra o mundo lá fora, sejam as escalas muito 
pequenas ou muito grandes, lá estarão ambas. Assim como a gramática 
encerra o conjunto de regras de uma língua, a matemática encerra o conjunto 
de regras que utilizamos para descrever o mundo através da física. Se você é 
um amante da física, deve também nutrir apreço pela matemática.
Também foi de nosso interesse realizar conexões relevantes entre os 
assuntos abordados nesta obra e trabalhos de ensino e divulgação científica 
publicados em revistas nacionais de relevância para o ensino de física. 
Esse é um livro voltado para estudantes de licenciatura em física, futuros 
professores, de modo que nos pareceu importante, durante toda a realização 
deste livro, trazer referências relevantes para o aperfeiçoamento da profissão 
que você estudante desempenhará no futuro. Por isso recomendamos ao 
V
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiaisimpressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
leitor que faça as leituras sugeridas, pois elas trarão boas ideias e interessantes 
insights para o ensino de física em nível médio. 
Como método de produção desse trabalho tentamos focar nossa 
atenção à fenomenologia, explorando nossa visão dos fenômenos. Tentamos 
escrever tudo aquilo que achamos que nossos professores deveriam ter-nos 
dito, e talvez não o tenham feito. É uma tarefa complicada estar do outro lado 
da capa, mas encaramos o desafio de escrever sobre física com honestidade e 
dedicação. Não importa onde estejamos, somos sempre estudantes.
Esperamos poder instigar no leitor, pelo menos um pouco, o mesmo 
tipo de curiosidade e admiração pelo mundo que sentimos desde os tempos 
de nossas primeiras primaveras e que também sentimos ao escrever esta 
obra. Tentamos por isso conservar o ponto de vista do estudante, que há 
pouco, ou há muito, deixou a escola, mas que tem curiosidade em descobrir 
e gosto pelo aprendizado. Convidamo-lo, então, para esta experiência!
Prof. Rudiney Hoffmann Casali
VI
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda 
mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza 
materiais que possuem o código QR Code, que 
é um código que permite que você acesse um 
conteúdo interativo relacionado ao tema que 
você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, 
acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor 
de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa 
facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VII
VIII
IX
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA ............................................................................................................... 1
TÓPICO 1– INTRODUÇÃO À FÍSICA ............................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 INTRODUÇÃO À FÍSICA .................................................................................................................. 4
3 GRANDEZAS FÍSICAS ...................................................................................................................... 8
4 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDA ..................................................................................... 11
5 VETORES E OPERAÇÕES COM VETORES ................................................................................. 16
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 23
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 24
TÓPICO 2 – CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL ........................................................................... 27
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 27
2 VELOCIDADE MÉDIA E INSTANTÂNEA ................................................................................... 27
3 VELOCIDADE MÉDIA DOS CORPOS .......................................................................................... 28
4 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) .......................................................................... 29
5 ACELERAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA ................................................................................... 31
6 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) ................................... 32
7 QUEDA LIVRE ..................................................................................................................................... 35
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 38
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 39
TÓPICO 3 – CINEMÁTICA BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL .................................... 41
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 41
2 DESCRIÇÃO GEOMÉTRICA ............................................................................................................ 41
3 LANÇAMENTO OBLÍQUO ............................................................................................................... 43
4 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) .......................................................................... 50
5 ACELERAÇÃO TANGENCIAL E RADIAL .................................................................................... 54
6 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) .................................... 55
7 MOVIMENTO RELATIVO ................................................................................................................ 59
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 62
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 71
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 72
UNIDADE 2 – DINÂMICA ................................................................................................................... 75
TÓPICO 1 – DINÂMICA E SEUS PRINCÍPIOS ............................................................................... 77
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 77
2 A MECÂNICA NEWTONIANA ........................................................................................................ 78
3 EQUILÍBRIO DE FORÇAS ................................................................................................................ 82
4 PRINCÍPIO DA INÉRCIA ................................................................................................................ 83
5 LEIS DE NEWTON .............................................................................................................................. 83
5.1 1ª LEI DE NEWTON ....................................................................................................................... 83
5.2 2ª LEI DE NEWTON ....................................................................................................................... 84
5.3 3ª LEI DE NEWTON ....................................................................................................................... 84
suMário
X
6 LEIS DE CONSERVAÇÃO ................................................................................................................. 86
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 89
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 90
TÓPICO 2 – APLICAÇÕES DO CONCEITO DE FORÇA ............................................................... 93
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 93
2 O DIAGRAMA DE FORÇAS ............................................................................................................ 93
3 FORÇA GRAVITACIONAL ..............................................................................................................96
4 FORÇA PESO .....................................................................................................................................101
5 FORÇA NORMAL .............................................................................................................................103
6 FORÇA DE ATRITO ..........................................................................................................................104
7 FORÇAS RESISTIVAS E DE ARRASTO ......................................................................................108
8 FORÇA REPARADORA ...................................................................................................................114
9 FORÇA DE EMPUXO .......................................................................................................................118
10 FORÇAS ELÉTRICA, MAGNÉTICA E ELETROMAGNÉTICA ............................................121
11 FORÇAS DE INTERAÇÃO NUCLEAR .......................................................................................125
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................127
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................131
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................132
UNIDADE 3 – APLICAÇÕES DA DINÂMICA .............................................................................. 137
TÓPICO 1 – ENERGIA MECÂNICA, CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA E 
TRABALHO .................................................................................................................... 139
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 139
2 ENERGIA MECÂNICA E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA ........................... 139
3 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA ......................................................................... 147
3.1 TEOREMA TRABALHO-ENERGIA .......................................................................................... 152
3.2 POTÊNCIA ................................................................................................................................... 154
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 156
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 157
TÓPICO 2 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA .................................................................................159
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................159
2 FORÇAS CONSERVATIVAS............................................................................................................159
3 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA ...........................................................................163
4 FORÇAS NÃO CONSERVATIVAS ................................................................................................164
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................166
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................167
TÓPICO 3 – MOMENTO LINEAR, CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR E 
 ESTUDO DAS COLISÕES...........................................................................................169
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................169
2 MOMENTO LINEAR DE UM CORPO .........................................................................................169
3 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR ...............................................................................171
4 SISTEMA DE PARTÍCULAS E CENTRO DE MASSA ..............................................................172
5 FORÇA E IMPULSO .........................................................................................................................177
6 COLISÕES ELÁSTICAS, TOTALMENTE ELÁSTICAS E INELÁSTICAS ...........................182
7 COLISÕES EM DUAS OU MAIS DIMENSÕES ........................................................................185
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................187
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................189
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................191
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................193
1
UNIDADE 1
CINEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo dessa unidade, você deverá ser capaz de:
• introduzir o leitor ao mundo da física;
• introduzir o conceito de grandezas;
• debater a importância dos sistemas de unidades de medida;
• descrever o movimento dos corpos;
• conceituar grandezas fundamentais da cinemática;
• definir vetores de posição, velocidade e aceleração;
• investigar o movimento em 1,2 e 3D;
• introduzir a noção de relatividade de sistemas de referência, 
movimento relativo;
• explanar sobre as analogias com o movimento circular.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado..
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO À FÍSICA
TÓPICO 2 – CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
TÓPICO 3 – CINEMÁTICA BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO À FÍSICA
1 INTRODUÇÃO
Começamos aqui nossa trajetória pelo pensamento clássico do movimento. 
Esta unidade foi dividida em três tópicos. No primeiro deles nos debruçaremos 
sobre a física em seu caráter mais introdutório. Definiremos alguns conceitos 
fundamentais para a leitura daqui em diante. Começaremos com as grandezas 
físicas, seu conceito e variedade. Discutiremos uma forma de medir tais grandezas, 
com sistemas de unidades de medida, muito importantes para a quantificação 
do mundo. Trataremos também de sua descrição, revisando brevemente alguns 
conceitos espaciais importantes, vetores serão recorrentes. 
Depois disso, podemos então iniciar a discussão da cinemática. 
Definiremos a posição de um corpo no espaço e, considerando o tempo que leva 
para uma determinada variação em sua posição, definiremos a velocidade. Assim 
completamos a discussão sobre o movimento retilíneo uniforme. Ao estudarmos 
também o tempo que a velocidade de um corpo no espaço leva em duas 
configurações, inicial e final, definiremos a aceleração e o movimento retilíneo 
uniformemente variado. Por fim trataremos a queda livre dos corpos. Tratamos 
com mais atenção a cinemática unidimensional, você verá que a descrição do 
movimento no plano ou no espaço é, de uma certa forma, uma repetição daquela 
unidimensional.
De certa forma, pois assim como tratamos o movimento retilíneo em três 
dimensões, taramos também o movimento circular uniforme e o movimento 
circular uniformemente variado. Você verá que para o movimento circular, o 
plano é o limite inferior em dimensões. Falamos ainda sobre o movimento relativo 
entre corpos em diferentes referenciais.
Mãos à obra! Vamos começar realizando uma breve biografia de um dos 
mais importantes expoentes das ciências e grande influenciador da forma como 
vemos o mundo e descrevemos o movimento dos corpos GalileuGalilei.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
4
2 INTRODUÇÃO À FÍSICA
Observando o mundo a nossa volta, podemos perceber que as revoluções 
científicas e tecnológicas têm nos presenteado com diversos dispositivos que 
facilitam nossa vida e nossa interação com o mundo e com as pessoas. É de 
grande valor, portanto, tornarmos cientes do funcionamento de tais tecnologias e 
conhecimentos científicos. 
A intenção desse livro é a de apresentar as bases científicas sobre as quais 
tais desenvolvimentos vêm se alicerçando. Vamos discutir tópicos em física, com 
algumas aplicações às tecnologias do cotidiano, focando nos fenômenos naturais 
e como esses permeiam a nossa vida diária. Para isso tentaremos descrever 
minuciosamente os conceitos apresentados. Os detalhes serão importantes, por 
isso não julgue como entediante uma passagem mais detalhada, abra sua mente 
para essa discussão em conjunto. 
Tentaremos também aproximar a física de sua ferramenta de trabalho, a 
matemática. É importante que você seja capaz de conectar aquilo que aprenderá 
nas disciplinas de matemática, especialmente a de cálculo, com sua aplicação à 
física, os momentos em que uma encontra a outra. Sempre que conveniente, você 
encontrará alguns apontamentos da conexão de alguma equação que descreve 
um fenômeno físico, e sua correspondente classificação no campo da matemática. 
Discutiremos tanto a interpretação física de tais equações, quanto sua sintaxe 
matemática. A matemática é uma linguagem e como ferramenta da física, campo 
que tenta descrever a natureza, deve ser aprendida, entendida e discutida. 
Toda a abordagem desenvolvida nesse livro se baseará em três concepções 
filosóficas, e também nas combinações entre elas. Essas concepções filosóficas são a 
de espaço, tempo e massa, três conceitos fundamentais para a construção tanto da 
mecânica clássica de Isaac Newton, objeto desse livro de estudos, quanto da mecânica 
relativística de Albert Einstein – vale ressaltar que, devido às baixas velocidades e às 
pequenas massas envolvidas, a mecânica de Newton pode ser vista como um caso 
particular daquela de Einstein. Trataremos dessas três concepções filosóficas (espaço, 
tempo e massa) mais adiante no texto, em um momento mais adequado, em que 
tentaremos construir definições claras para todas elas. Antes disso vamos conhecer, 
brevemente, a história de um dos maiores precursores das ciências naturais, com seu 
empirismo e visão de mundo Galileu Galilei (1564-1642) mudou a forma de se fazer 
ciência e influenciou muitos pensadores que o sucederam. 
Nascido em Pisa, na Itália, em 1564, Galileu Galilei é filho de Vincenzio 
Galilei, músico e comerciante e de Giulia Ammannati, mudou-se para Florença 
ainda pequeno onde foi educado no colégio do convento jesuíta, de onde saiu 
um noviço, ainda com 15 anos de idade, a chamado do pai. Foi admitido na 
Universidade de Pisa em 1581, com o intuito de estudar medicina, mas em 1585 
abandonou o curso, com interesses voltados para a matemática, e retornou 
à Florença para lecionar. Mais tarde, em 1592, após a morte do pai, mudou-se 
para Pádua, também para lecionar (GENTILE, G. e TUMMINELLI, C. Istituto 
Giovanni Treccani, Rome, 1935). Teve uma relação com Marina Gabba e muitos 
filhos, não exatamente legítimos.
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
5
FIGURA 1 – GALILEU GALILEI, POR JUSTUS SUSTERMANS 1636
FONTE: Disponível em: <goo.gl/dGkJgt>. Acesso em: 9 mar. 2018.
Galilei estará para sempre marcado na história como uma das mais 
brilhantes mentes de todos os tempos, seu trabalho inspirou o estudo de diversos 
campos das ciências naturais, da astronomia à mecânica. Embora haja discussões 
sobre a autenticidade de sua autoria, como o inventor do objeto, Galileu foi um dos 
primeiros pensadores a apontar um telescópio para o céu e trazer observações a 
respeito da topologia lunar, das manchas solares e do movimento de Vênus, entre 
muitos outros. Galilei foi um dos pioneiros do heliocentrismo e quase foi queimado 
na fogueira, pela inquisição romana. Na Figura 1 ele é retratado por Justus 
Sustermans, um pintor barroco Belga, nascido na Antuérpia no fim do século XVI. 
FIGURA 2 – ALLA PRESENZA DEL GRANDUCA GALILEO EFFETTUA 
L’ESPERIMENTO DELLA CADUTA DEI GRAVI DALLA TORRE DI PISA, POR 
LUIGI CATANI 1816
FONTE: Disponível em: <goo.gl/itPjYx>. Acesso em: 9 mar. 2018.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
6
Mas não apenas à mecânica celeste ficam restritos os trabalhos e os 
resultados de Galilei, a ele também devemos muitos desenvolvimentos em 
outro tipo de mecânica, a clássica. Veremos que ele foi um dos precursores do 
estudo do movimento dos corpos aqui na Terra, em nosso cotidiano. Talvez a 
mais interessante de suas ideias foi aquela que afirmava que corpos caem com 
velocidade independente de sua massa. É preciso notar que até o momento 
contemporâneo a Galilei, a associação da massa ou peso dos corpos, mesmo que 
esses ainda fossem conceitos teoricamente recentes, à velocidade com que cairiam 
de uma determinada altura era muito impregnado no senso comum. Até hoje 
esta não é uma prática incomum. Sua experiência de lançamento de dois objetos, 
um claramente mais leve que o outro, do alto torre de Pisa, verídica ou mítica, 
adicionou didática ao conceito que a permeia. Uma representação dele pode ser 
vista no quadro da Figura 2, pintada por Luigi Catani (1762-1840), um italiano 
nascido em Florença, e hoje exposto no Museo Galileo, na mesma cidade. Na 
pintura Galilei observa de longe a queda de dois objetos, provavelmente rochas 
de diferentes tamanhos e massas. Com o auxílio de um prumo rudimentar ele 
compara as linhas de queda dos objetos, além de detectar a aparente inclinação 
da torre. Hoje em dia o experimento já foi realizado, inclusive em gigantescas 
câmaras de vácuo, e mostrou-se factível e fidedigno à teoria proposta. 
Galilei não se destacou apenas por seu trabalho, ele obteve seu acesso à 
prosperidade também por como realizava seu trabalho. Foi um dos primeiros a 
desenvolver e adotar o método científico, ou o mais próximo disso que podia em 
seu tempo. A matematização das teorias que explicavam os fenômenos naturais, 
indiscutivelmente, pavimentou o trajeto que a física clássica e a física moderna 
percorreram até aqui. E focar nessa estratégia é um dos objetos desta obra, 
ajudá-lo a perceber essas relações entre a física e a língua que escolhemos para 
representá-la. 
Em seu livro De Motu Antiquiora, "Antigos escritos sobre o movimento" em 
uma tradução livre, publicado em 1687, Galilei aborda o movimento e apresenta 
um raciocínio que vai de encontro com o pensamento aristotélico regente na 
época. Para Aristóteles o movimento de um objeto só se dá mediante a constante 
ação de um ímpetus externo ao próprio objeto.
Sugerimos aqui a leitura do trabalho intitulado “A complexidade do movimento 
local na Física aristotélica”, publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física. Disponível 
em: <https://goo.gl/4yTpCV, de novembro de 2012 (CAMPOS, A.; RICARDO, 2012), para um 
entendimento mais amplo, mas breve, da visão de mundo desse grande pensador grego.
DICAS
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
7
Com a superioridade tecnológica de seu tempo, frente o contexto do período 
de Aristóteles, Galilei observava seu mundo, e deve ter notado alguns dos efeitos 
mais práticos, dos fenômenos com os quais ambos os pensadores se depararam. 
Possivelmente as armas de guerra deram pistas a Galilei, como os canhões de guerra. 
Foi influenciado pelas observações que fez de um projétil de canhão lançado que ele 
escreveu uma, ainda rústica, equação que descrevia seu movimento. Galilei foi um 
dos primeiros a ver na matemática a linguagem ideal para decodificar e descrever a 
natureza. E isso com certeza vale uma posição na história. 
Em Siderus Nunicus, algo como o Mensageiro Sideral, ele divulga algumas 
conclusões de suas observações astronômicas, ainda em 1610. E ele concluiu que 
elas confirmavam o modelo de Nicolau Copérnico (1473-1543), que colocava o Sol 
no centro da órbitados planetas. O problema residia em um decreto "promulgado" 
pela igreja, que proibia o debate do heliocentrismo ou modelos do tipo. Embora 
tenha causado uma situação embaraçosa, frente à igreja, Galilei não foi acusado 
de "heresia", mas mesmo assim voltou atrás em suas afirmações a respeito da 
posição do Sol no espaço e escapou de uma "punição" severa, imposta pela igreja. 
Sua produção científica continuou por toda a vida, em 1612 ele publicou 
um trabalho pomposamente intitulado de Discorso intorno alle cose che stanno in su 
l’acqua o che in quella si muovono, endereçado ao gran-duque da Toscana, Cosimo 
II. O trabalho ficou conhecido como "Discurso sobre os corpos flutuantes" e nele 
Galilei estabelece suas teorias sobre a hidrostática. Em Dialogo di Galileo Galilei 
sopra i due Massimi Sistemi del Mondo Tolemaico e Copernicano, ou "Diálogo sobre os 
dois principais sistemas do mundo", publicado em 1632 ele publica contundentes 
referências ao heliocentrismo e acaba preso em Roma, até que uma audiência com 
o Papa Urbano VIII fosse marcada. Suas transgressões à imposição geocêntrica 
foram a fonte de seu problema. Já no fim da vida, escreveu, em 1638, Discorsi e 
Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze, ou "Discurso sobre duas 
novas ciências", em que discutia suas ideias acerca da mecânica. Morreu cego, em 
1643, na cidade de Arcetri, na Toscana. 
Foram muitas realizações na vida de Galilei, ela foi muito produtiva para 
a ciência, para um aprofundamento em sua história e na história de muitos outros 
cientistas da história.
Sugerimos a leitura do livro intitulado “Os 100 Maiores Cientistas da História: 
uma classificação dos cientistas mais influentes do passado e do presente”. (SIMMONS, J. C. 
2002). Um compêndio de breves biografias que podem chamar sua atenção.
DICAS
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
8
Galilei não só mudou o curso da metodologia de produção de conhecimento, 
mas também mostrou que para conhecer melhor a física e interpretar com mais 
rigor a natureza, você deve conhecer a matemática e sua relação com a física 
e os fenômenos naturais; deve conhecer a ferramenta com que trabalha para 
descrever o mundo para seus alunos. É importante que você não só se preocupe 
em conhecer a matemática, mas também como conectá-la à física de forma clara e 
despretensiosa. Deduza as expressões e discuta seus significados físicos, quando 
aplicamos tais equações ao mundo a nossa volta. 
Vamos agora seguir e discutir algo de cunho mais técnico e menos histórico. 
Falaremos a respeito de um dos conceitos mais primordiais e fundamentais para 
o entendimento de qualquer conteúdo físico. Discutiremos a seguir as grandezas 
físicas, suas unidades de medidas e um pouco de revisão matemática da geometria. 
3 GRANDEZAS FÍSICAS 
Uma vez que a física trata de fenômenos naturais e do estudo de como 
tais fenômenos ocorrem, é necessário também definir aquilo que chamaremos de 
grandezas físicas. Aqui, essas grandezas serão as quantidades que pretendemos 
quantificar. Você vai perceber que dois conceitos andarão de mãos dadas daqui 
em diante: o primeiro é o próprio conceito de grandezas físicas e o segundo o de 
unidades de medidas. 
Embora talvez você ainda não tenha tido contado com uma formalização 
do tema, perceba que já faz uso desses conceitos desde que nasceu, por exemplo, 
a posição de uma bola de tênis, arremessada no espaço, a velocidade com que 
ela se move e sua aceleração são grandezas físicas e cada uma delas é mensurada 
através de uma unidade de medida particular. A simples atuação, durante uma 
brincadeira escolar na infância ou durante uma prática esportiva no fim de 
semana já nos mune do senso comum a respeito do tema. Entretanto, todos esses 
conceitos serão abordados com calma e aprofundamento mais adiante, mas você 
já os conhece há muito tempo. 
Faremos aqui uma pequena consideração a respeito dos dois tipos de 
grandezas: as grandezas físicas escalares e vetoriais. As grandezas escalares são 
as do tipo mais simples, por assim dizer. O tempo t de voo entre duas localidades, 
a massa m de uma pessoa e a temperatura T em um determinado ambiente são 
exemplos desse tipo de grandeza. Essas quantidades ficam completamente descritas 
pela informação numérica que as define e nenhum outro tipo de informação é 
necessário para um perfeito entendimento da medição. As grandezas vetoriais são 
um pouco mais complexas, é necessário complementar seu valor quantificador 
com mais informações, sobre sua direção e sentido. Veremos mais adiante que 
estas tratam de vetores, em sua concepção matemática, e que seu valor numérico 
corresponderá ao módulo do vetor, seu comprimento propriamente dito. Essa 
complementação fará sentido físico quando falarmos em posição r, deslocamento 
∆r, velocidade v e aceleração a, que são exemplos de grandezas vetoriais. 
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
9
FIGURA 3 – DAVI E GOLIAS, POR OSMAR SCHINDLER, 1888
FONTE: Disponível em: <goo.gl/ojm7RW>. Acesso em: 9 mar. 2018.
Para um olhar mais avizinhado às nossas percepções de mundo, observe a 
Figura 3, vemos uma litografia do pintor alemão Osmar Schindler (1867-1927), que 
retrata a batalha bíblica entre Davi e Golias. Segundo a crença religiosa, Golias, 
um gigante guerreiro, foi morto por um jovem pastor de ovelhas chamado Davi, 
que viria a se tornar o rei dos Judeus. Simbolismos religiosos à parte, a observação 
da obra é um bom exercício para o entendimento do conceito de vetores. 
A Figura 4 apresenta uma descrição visual do que queremos discutir. 
Note que ao girar a atiradeira, na figura representada por uma faixa de pano com 
uma pedra na extremidade, Davi altera, a cada momento, tanto o vetor posição 
da pedra r em relação a sua própria posição, à esquerda, como também altera 
o vetor velocidade da mesma v, mostrado à direita. Há outros vetores ainda 
contidos nessa visualização, como a aceleração a, definida pela variação temporal 
do vetor velocidade e outras forças, que abordaremos mais tarde. Note que, para 
criar uma identidade com a notação aplicada às intervenções gráficas, podemos 
manter no texto o uso da notação em negrito, para os vetores. 
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
10
FIGURA 4 – VETORES DE POSIÇÃO E VELOCIDADE DA PEDRA QUE DAVID ARREMESSA EM 
GOLIAS, EM RELAÇÃO A SUA PRÓPRIA POSIÇÃO
FONTE: Disponível em: <goo.gl/ojm7RW>. Acesso em: 9 mar. 2018.
A morte de Golias se dá também por uma característica muito interessante 
do movimento da pedra, no momento em que Davi solta a faixa, a pedra é ejetada 
de sua trajetória circular, em um movimento retilíneo, até a testa do gigante. 
Vamos agora seguir para a discussão de como mensuramos tais grandezas. Como 
criamos nossos instintivos padrões de comparação entre lento e rápido, leve e 
pesado ou perto e longe? 
Uma vez estabelecido o conceito de grandezas físicas, faz sentido 
quantificar os valores associados a essas grandezas, para tal feito é importante 
levar em conta que o estabelecimento dessa quantificação necessita da criação de 
parâmetros de comparação. Você também já está habituado a essa quantificação. 
Por exemplo, quando percebeu que corria mais rápido, ou mais devagar, que um 
colega na escola, já estava fazendo uso desses padrões de medida. Do mesmo 
modo, quando queremos evidenciar que um parque é grande, costumeiramente 
o comparamos com um determinado número de campos de futebol, uma 
padronização bastante difundida pela mídia. Assim, isso também se passa com a 
física, para o tratamento de grandezas físicas estabelecemos aquilo que chamamos 
de unidades de medidas. Tenha em mente, então, que é impossível medir ou 
quantificar uma grandeza física a menos que essa quantificação seja determinada 
por um parâmetro de comparação. Em síntese, podemos dizer que as unidades 
de medida desempenharão esse papel comparativo. 
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
11
4 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDA 
Para que o comércio entre as nações funcionasse a todo vapor, e mais tarde 
para que o trabalho científico pudesseser reconhecido e reproduzido em diferentes 
partes do mundo, foi necessária uma unificação das unidades de medidas, que 
definem as grandezas físicas. Tal decisão tinha como intenção a padronização 
dessas unidades. Para isso foi necessário criar padrões de comparação, assim 
como os campos de futebol usados para avaliar o tamanho de um parque, como 
vimos no exemplo anterior. 
Logo após o fim da Segunda Guerra Mundial, em 1948, durante a 9ª 
Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), o Comitê Internacional de Pesos e 
Medidas foi incumbido de desenvolver o chamado Sistema Prático de Unidades e 
Medidas. Para cada uma das grandezas básicas discutidas anteriormente, propôs-
se um objeto de comparação, ou um experimento que permitisse o cálculo direto 
ou indireto de tal unidade. Foi também nessa conferência em que se decidiu que 
as unidades de medida seriam representadas pelas respectivas primeiras letras, 
minúsculas, dos nomes das grandezas, exceto no caso de derivações de nomes 
próprios, devendo, então, serem escritas em letra maiúscula. Em 1960, durante a 
11ª CGPM, realizada na França, o Sistema Prático de Unidades foi sancionado sob 
a denominação de Sistema Internacional de Unidades (SI). 
Por fim, na 14ª CGPM, realizada em 1971, definiram-se as sete grandezas 
fundamentais, juntamente com suas unidades, que compõem o SI. A posição/
deslocamento, medida em metro (m); a massa, medida em quilograma (kg); o 
tempo, aferido em segundo (s); a corrente elétrica, determinada em ampère (A); 
a temperatura, medida em kelvin (K); a quantidade de matéria, relacionada à 
contagem de elementos que compõem um sistema, cuja unidade é o mol (mol); 
e por fim, a intensidade luminosa, mensurada em candela (cd). Todas essas 
informações podem ser verificadas no Quadro 1.
QUADRO 1 – GRANDEZAS FÍSICAS FUNDAMENTAIS, SUAS UNIDADES E SÍMBOLOS NO SI
Grandeza Unidade Símbolo
Posição/deslocamento Metro m
Tempo Segundo s
Massa Quilograma kg
Corrente elétrica Ampère A
Temperatura Kelvin K
Quantidade de matéria Mol mol
Intensidade luminosa Candela cd
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
12
É importante ressaltar que, mesmo atualmente, o SI não é único sistema de 
medidas utilizado, não sendo adotado em alguns países, como Mianmar, Libéria e 
Estados Unidos da América. Uma das razões para o SI não ter pegado nos Estados 
Unidos pode ter sido pela resistência dos industriais em realizar a monumental 
tarefa de recalibrar todas as máquinas na cadeia de produção, uma vez que o 
país já era largamente industrializado no momento da unificação das unidades. 
Os americanos já possuíam um maquinário extenso e não seria financeiramente 
viável. Alterar o padrão de medida que as pessoas estão acostumadas a tomar 
como comparação deve ser bastante complicado, você sabe disso. Faça o teste, tente 
calcular a área do seu apartamento em pés quadrados. Conjecture mentalmente 
a largura de um armário em polegadas, ou quantos galões de gasolina cabem no 
tanque do seu carro. Mesmo assim, hoje em dia muitos medidores modernos já 
trazem marcadores para os dois sistemas, talvez aos poucos o SI passe a se tornar 
o sistema dominante por lá. O Sistema Imperial Britânico de Medidas é o maior 
concorrente do SI e o mais utilizado no dia a dia dos países anglófonos, por razões 
óbvias. Esse sistema também estabelece as mesmas sete grandezas fundamentais 
que vimos anteriormente, mas adota unidades diferentes para cada uma delas. 
Por exemplo, o pé (ft), para o comprimento, o segundo (s), para o tempo e a libra 
(lb), para a massa. 
De fato essas grandezas, posição, massa e tempo, serão as mais 
importantes que consideraremos aqui, no campo da mecânica. Há uma razão 
para essa especial atenção. Como seria possível descrever eventos consecutivos 
sem as noções de quando e onde? O tempo e o espaço nos dão o referencial para 
descrever o movimento de um corpo, ou melhor, de uma massa, já que, quando 
uma partícula, de determinada massa, altera sua posição no espaço, faz isso 
através de uma sucessão temporal de eventos. Concluímos então que essas três 
grandezas são um tripé essencial em nossa descrição e entendimento do mundo. 
Como introduzido anteriormente, vamos agora discutir os conceitos de espaço, 
tempo e massa. 
O espaço é um conceito que se apresenta bastante claro para nós, pelo 
menos aquele na escala cotidiana, com as dimensões de nosso planeta. Se 
compararmos objetos de diferentes tamanhos, como as imagens clássicas do 
átomo e suas módicas dimensões, e a imensidão do sistema solar, teremos uma 
ideia do vasto espectro de ordens de grandeza. Nós vivemos na escala 10º m, e, 
portanto, nosso padrão de comparação no SI para o espaço é o metro. 
Hoje em dia ele é medido como o comprimento do percurso percorrido 
pela luz, no vácuo, em um intervalo de tempo correspondente à fração de 
1
299792458
 de um segundo (29). Essa razão está associada à velocidade da luz 
no vácuo, cujo valor é da ordem de c= 299792458 m/s 83 10≈ × m/s. A Figura 5 
apresenta o protótipo utilizado para a padronização do metro, até a década de 
1960, uma liga de platina e irídio. 
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
13
FIGURA 4 – O PROTÓTIPO INTERNACIONAL DO METRO
FONTE: Disponível em: <goo.gl/3mZNkz>. Acesso em: 9 mar. 2018.
O conceito de tempo parece algo mais subjetivo, talvez heurístico. Todos 
reconhecemos sua existência, mas temos alguma dificuldade em defini-lo. Einstein 
disse que a diferença entre o presente, o passado e o futuro é meramente uma ilusão. 
Talvez ele estivesse se referindo às suas próprias ideias de relativização de nossa 
percepção do tempo. Afinal uma hora esperando na fila do banco sempre parece 
durar muito mais que o mesmo período sentado à mesa de um bar, divertindo-se 
com seus amigos. Daí nossa dificuldade natural em conceituar o que é o tempo. 
O tempo é, no fim das contas, uma invenção humana, uma forma de ordenar 
fatos e acontecimentos de modo a obter pelo menos a ilusão de controle. Pense 
por um momento, muitas vezes quando pensamos em tempo, associamos um 
acontecimento de nossa memória, do qual queremos nos lembrar, a outros fatos, 
como uma forma de estabelecer um referencial temporal. A marcação do tempo 
faz então menção a uma sequência sucessiva, eventualmente periódica, de fatos 
catalogados, como o movimento dos ponteiros do relógio. Talvez a forma mais 
primordial que o homem adotou como "...sequência sucessiva, eventualmente 
periódica, de fatos catalogados ..." tenha sido o nascer e o pôr do Sol. O homem 
começou a contar o número de ciclos. Talvez tenha delimitado o ciclo em seu início 
quando o astro aparece e, em seu fim, quando ele desaparece no horizonte. Então 
a percepção de dois eventos consecutivos nos dá uma referência temporal. Dessa 
forma, saber o que é o tempo pode ser menos importante, em termos práticos, do 
que saber o que é um intervalo de tempo. Assim, podemos definir uma unidade 
para o intervalo de tempo que decorre entre eventos consecutivos. Para o SI essa 
unidade é o segundo (s), definido como a duração de 9192631770 períodos da 
radiação correspondente à transição entre dois níveis do estado fundamental do 
átomo do césio 133. 
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
14
FIGURA 5 – O PROTÓTIPO INTERNACIONAL DO QUILOGRAMA
FONTE: Disponível em: <goo.gl/3mZNkz>. Acesso em: 9 mar. 2018.
A massa é a grandeza física associada à inércia dos corpos, ou seja, à 
resistência associada à alteração do estado de movimento de um corpo, e sua 
unidade no SI é o quilograma (kg). O quilograma foi, até o fim de 2017, definido 
pelo protótipo internacional do quilograma, um objeto cilíndrico, feito de uma 
liga de irídio e platina com massa igual a de um litro de água pura, destilada. 
Esse cilindro está guardado em um ambiente evacuado, desde 1889, no Escritório 
Internacional de Pesos e Medidas, do francês Bureau International de Poids et. 
Mesures (BIPM), na cidade de Sèvres, na França. Na Figura 6 pode-se ver a peça 
cilíndrica que representa o protótipo, guardado em duas câmaras, uma dentroda 
outra, sob vácuo. Esse foi o método escolhido para determinar o quilograma até 
o fim de 2017, porque depois disso ele, assim como o metro, passou a ser medido 
em termos de uma constante fundamental da natureza. O principal motivo 
dessa alteração é que o cilindro, guardado na França, não tem mais a massa de 
um quilograma e isso preocupa bastante os metrologistas. Na prática, o que se 
passa é que a manipulação do cilindro, para limpeza, e a evaporação do material 
tornaram o cilindro mais leve em níveis de precisão altíssimos, muito além da 
precisão a que estamos acostumados em nosso dia a dia, mas significativa em 
termos da metrologia envolvida. 
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
15
FIGURA 6 – OS PROTÓTIPOS INTERNACIONAIS DO QUILOGRAMA E DO 
METRO
FONTE: Disponível em: <goo.gl/b5AJBT>. Acesso em: 9 mar. 2018.
O projeto Avogadro, organizado pela organizado pela CGPM, tem como 
objetivo estabelecer uma nova forma de definir o quilograma em termos de 
constantes fundamentais, através de dois experimentos interessantes. Um deles, 
aperfeiçoa a balança de Watt, uma balança de dois pratos, em que em um deles 
está uma massa equilibrada por uma força magnética, gerada por uma corrente 
controlável. O outro experimento pretende realizar uma contagem de átomos em 
uma esfera de silício puro com massa de um quilograma. Essa contagem ajuda 
a calcular a constante de Avogadro, NA=6,022 x 1023 /mol, que está associada à 
quantidade de partículas em um corpo de certa massa. O objetivo maior do projeto 
é encontrar, por meio desses dois experimentos, valores para a constante de Planck 
λ= 6,62607004 x 10-34 m2 kg/s, que descreve a relação entre a energia de um fóton e 
sua frequência de vibração, que concordem entre si, com uma precisão da ordem 
de um bilionésimo. 
Sugerimos a leitura do texto intitulado “Para manter o peso”, publicado na 
revista FAPESP de junho de 2017. Disponível em: <https://goo.gl/CtX6KY>. A reportagem 
apresenta em descrição clara todo o processo para alteração do método de medição do 
quilograma, em termos agora de uma constante física. 
DICAS
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
16
Na Figura 7 podem-se ver, colocados lado a lado, o protótipo internacional 
do quilograma, agora fora das câmaras evacuadas, e o protótipo internacional do 
metro, unidade parâmetro para a distância no SI. 
Como no SI é possível organizar essas unidades básicas em diferentes 
agrupamentos, o sistema CGS aceita as unidades das grandezas básicas massa, em 
gramas (g); tempo, em segundos (s); e comprimento, em centímetros (cm). No sistema 
MKS tomamos o quilograma (kg), ou seja, a massa de uma grama (g) multiplicada 
por mil como unidade para a massa. Para o comprimento consideramos o metro 
(m) a unidade comparativa e também o segundo (s) para o tempo. O conceito de 
unidade de medida se baseia em uma comparação entre o objeto cuja medida é 
tomada e aquele usado como unidade de comparação. Medimos tudo em termos 
dessas unidades que definimos para as grandezas físicas. 
Agora que já discutimos os conceitos de grandezas físicas e de unidades 
de medida, podemos nos dedicar à descrição mais aperfeiçoada de uma das 
ferramentas mais importantes para o trabalho com grandezas físicas vetoriais, o 
vetor. Você verá a seguir que é necessário atentar para um conjunto de definições 
e regras, antes de podermos tratar lucidamente não só as grandezas, mas também 
das operações com essas grandezas vetoriais. 
5 VETORES E OPERAÇÕES COM VETORES 
Vamos tornar nossa atenção para um aspecto mais matemático e muito 
importante, do estudo da física. O conceito de vetores é importante para o 
tratamento das grandezas vetoriais, normalmente porque precisamos fazer 
considerações espaciais em determinados problemas. Desse modo, vamos 
começar o estudo dos vetores e de suas operações definindo o que um vetor 
representa. 
Um vetor é o que os matemáticos chamam de um elemento do espaço 
vetorial, detentor de algumas propriedades. Sua utilidade é a de descrever 
determinado objeto no espaço. Ele pode tomar algumas formas gráficas, as 
mais comuns são v, com uma seta por cima, v, em negrito ou vˆ, com um acento 
circunflexo por cima. Fique atento, todas elas são convenções possíveis. 
Os matemáticos não estão muito interessados na descrição do que o objeto 
é em realidade e por que ele se comporta como ele se comporta. A eles importa 
a descrição desse objeto no espaço. Os físicos têm uma intensão diferente, e dão 
uma utilização um pouco diferente para essas entidades matemáticas. Para eles, 
os vetores servem como ferramentas para descrição do mundo e dos fenômenos 
naturais. Interessam-nos as quantidades escalares e também qualquer grandeza 
cuja descrição possa ser decomposta em diferentes direções espaciais. 
Veja um exemplo. Considere que você esteja, pela primeira vez, dentro 
de um escritório, à noite e em meio a um blackout. Alguém sai de uma sala e lhe 
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
17
chama, você pergunta onde ela está e ela lhe diz que você deve testar o disjuntor, 
que fica no canto próximo ao armário de metal. Como você chega lá? A posição 
do armário de metal no espaço é uma grandeza vetorial, você precisaria conhecer 
há quantos metros à esquerda e ao fundo ele está, e à que altura do solo. Não é 
possível descrever a posição do armário com apenas uma informação. O espaço 
em que vivemos é tridimensional, e grandezas vetoriais precisam carregar 
informações sobre as três dimensões. 
É para isso que serve um vetor, ele contém em si essas três informações, 
daí aqueles que chamaremos de vetor posição, ou de vetor velocidade, ou de 
vetor aceleração. Todas essas são grandezas físicas vetoriais e por isso faremos 
aqui uma breve recapitulação de geometria analítica, com a definição de alguns 
tópicos que nos serão de especial interesse. 
A Figura a seguir, apresenta uma descrição pictórica do que chamamos de 
vetor. Perceba que ainda não há um sistema de referências estabelecido, lidaremos 
com isso mais adiante. Observe o vetor r, ele é representado por um segmento de 
reta, com uma seta que aponta para uma determinada direção, num sentido que 
pode ser estabelecido por uma simples convenção. A origem do vetor, por sua 
vez, fica do lado oposto à seta. 
FIGURA 7 – VETOR r
FONTE: O autor
É claro que o conceito de vetor não fica atrelado apenas às dimensões 
espaciais, você pode associar vetores a grandezas cujas propriedades não sejam 
relacionadas ao espaço. Em programação, por exemplo, a ideia de vetores é 
aplicada à descrição de qualquer conjunto de informação que caracterizem um 
objeto. Tabelas de dados, formulários de inscrição e a posição de cada dígito em 
um código de identificação apresentam alguma relação com os vetores. Esse 
conceito você também já deve ter utilizado em algum momento da sua vida. 
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
18
FIGURA 8 – VETOR EM UM SISTEMA BIDIMENSIONAL
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
FONTE: O autor
Vamos agora introduzir em nosso espaço vetorial um sistema de 
referências. Ele serve como marco comparativo, em relação a quem vamos definir 
todas as posições, velocidades, acelerações, forças ou qualquer outra grandeza 
vetorial. Em princípio, então, vamos considerar o vetor v da figura acima, ele 
tem uma origem, cuja posição coincide com a origem do sistema de referências 
xy, tem um comprimento |v| e faz um θ com o eixo x. Note que o vetor v tem 
projeções no eixo x e no eixo y dadas por: 
A equação (2.1) apresenta uma versão vetorial do estudo do teorema de 
Pitágoras para as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Por isso, que 
podemos pensar no módulo do vetor v como o comprimento da hipotenusa do 
triângulo. Assim, ele será dado por: 
Somando as duas partes da decomposição de v podemos defini-lo como 
uma combinação linear em termos do sistema de referências como: 
(1.1)cosxv v θ=

sinyv v θ=

→
→
(1.2)2 2x yv v v= +
→
(1.3)
x yv v v= +
  
 ,ˆ ˆx yv i v j= +
→ → →
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
19
FIGURA 10– SOMA DE VETORES
 FONTE: O autor
Em que os vetores unitário î e ĵ podem ser entendidos como unidades de 
medidas do vetor v em cada uma das direções x e y e com x xv v=

 e y yv v=

 
representando as duas possívels representações para os módulos dos vetores vx 
e vy, respectivamente, que poderemos adotar. 
Com isso em mente, lembre-se do exemplo da sala escura, durante o 
blackout, a moça deveria ter dito algo como, "...o armário fica a aproximadamente 
um metro de altura, uns três metros no fundo da sala, à sua direita...", isso teria 
facilitado a sua tarefa. Uma vez estabelecido que algumas grandezas físicas 
podem ser associadas a vetores, podemos pensar em algumas operações que 
podem ser realizadas com essas grandezas vetoriais. A posição de um corpo no 
espaço pode mudar com o tempo, a velocidade com que esse corpo se move pode 
variar também, e assim por diante. 
A primeira operação de que vamos tratar é a da soma s u v= +
  
. O 
percurso realizado e a posição final de uma partícula que se move com o tempo 
será dada pela soma de todos os vetores posição, o mesmo vale para a velocidade 
e a aceleração, respectivamente. A figura a seguir apresenta o vetor soma s = 
u + v. Perceba que a notação aplicada à figura, para os vetores, é v, são duas 
notações possíveis. Voltando à Figura 10, percebe-se que a soma pode ser feita, 
geometricamente, ao se aplicar a lei do paralelogramo. Você pode transladar o 
vetor u da origem até a seta do vetor v, respeitando o ângulo entre os vetores, e 
fazer o mesmo com o vetor v. O vetor soma s será dado pela reta que liga os dois 
extremos do paralelogramo. 
Em termos da definição analítica de um vetor, apresentada em função de 
um sistema de referências e com o vetor u = uxî + uyĵ e o vetor v = vxî + vyĵ teríamos 
algo como:
→ →
→ →
→ → →
(1.4)( ) ( )x x y ys u v u v i u v j= + = + + +ˆ ˆ  → → →
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
20
A subtração geométrica de vetores, ou a soma com vetores de sinal oposto, 
também explora a lei do paralelogramo, mas aqui as duas setas e tem-se d = u – v ,uma 
descrição visual pode ser vista na figura a seguir. Perceba que agora não cruzamos 
mais a diagonal mais longa, mas a mais curta. 
→ → →
FIGURA 11 – SUBTRAÇÃO DE VETORES
FONTE: O autor
Em termos da definição analítica de um vetor, teríamos algo como: 
FIGURA 12 – MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
v
2v
FONTE: O autor
Uma vez estabelecidos os conceitos de soma e subtração de vetores 
podemos agora seguir para os produtos que os envolvem. O produto por escalar 
é aquele que pode alterar tanto o módulo de um vetor, seu comprimento, ou 
o sentido dele. Vamos defini-lo como p = av , em que α ∈ N. A figura (1.12) 
a apresenta uma descrição geométrica de um vetor cujo comprimento foi 
multiplicado por dois. 
→ →
(1.5)( ) ( )x x y yd u v u v i u v j= − = + − +ˆ ˆ

 
→ → →
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO À FÍSICA
21
O produto escalar entre dois vetores é definido como a projeção de um 
vetor sobre o outro, desse modo vamos definir: 
Compare a equação (1.6) com o gráfico da figura a seguir e perceba o 
ângulo θ entre os vetores u e v. Perceba também quanto o vetor u é projetado no 
vetor v. 
FIGURA 13 – PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES
FONTE: O autor 
O produto vetorial entre dois vetores v e u gerará um vetor que é 
perpendicular ao plano formado por esses dois vetores. Observe a equação a seguir:
Note como a sequência î → ĵ → k nunca é quebrada na primeira linha da 
equação (1.7). Todos os termos são compostos pelo produto de duas decomposições 
do vetor v, em uma determinada direção que não coincide com nenhuma daquelas 
decomposições, de modo que a sequência acima é sempre mantida. Apenas na 
segunda linha; que no caso de um vetor unitário, é o negativo da primeira, apresenta 
termos que quebram essa sequência. Na segunda linha a sequência tem o sentido 
inverso, por isso o sinal negativo. Ela tem a forma î ← ĵ ← k.O resultado dessa 
�
�
(1.6) cosu v u v θ⋅ =
   → → → →
(1.7)
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
i j k
u v u u u
v v v
 
 
× =  
 
  
 
( ) ( ) ( )y z z x x yu v i u v j u v k= ⋅ + ⋅ + ⋅ ˆˆ ˆ
( ) ( ) ( )z yz x z y xu v i u v j u v k− ⋅ − ⋅ − ⋅ ˆˆ ˆ
→ →
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
22
contagem de termos em cada uma das três direções origina um vetor resultante 
u x v. Esse vetor tem a particularidade de ser perpendicular ao plano formado 
pelos vetores u e v. Em uma representação escalar, podemos dizer que o módulo 
|u x v| do vetor resultante do produto vetorial dos vetores u e v é dado da seguinte 
forma: 
→ →
→ →
→ →→ →
FIGURA 14 – PRODUTO VETORIAL ENTRE VETORES
FONTE: O autor
Comparando a equação (1.8) com o gráfico da Figura 14 podemos perceber 
o ângulo θ entre os vetores u e v. Podemos também perceber que o vetor p = u x v 
é perpendicular tanto aos vetores u e v quanto ao plano formado por eles. 
→ → → → →
Para uma dedução mais detalhada da equação (1.8) e um aprofundamento nos 
tópicos de geometria analítica e álgebra linear, sugerimos o estudo das obras ”Geometria 
analítica” e “Álgebra linear”:
STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron books, 1987.
STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Makron books, 1987.
DICAS
Comparando o produto escalar e o produto vetorial, notam-se vetores 
perpendiculares que têm produto escalar nulo, uma vez que 0
2
 cosπ = , o que 
significa que não há nenhuma projeção envolvida. Nota-se também que dois 
vetores colineares têm produto vetorial nulo, uma vez que sin 0 = 0, o que era de 
se esperar, uma vez que eles não formam um plano, perpendicular ao qual um 
novo vetor poderia ser gerado. 
(1.8) sin u v u v θ× =
   → → → →
23
Neste tópico, você aprendeu que:
• Até aqui vimos como a física se organiza em termos qualitativos, uma vez que 
organizamos as grandezas em escalares, vetoriais e quantitativos, uma vez que 
realizamos medições padronizadas pelas unidades de medida que definimos 
até o momento. 
• Começamos definindo as grandezas em dois tipos, escalares e vetoriais, 
e especificamos que a diferença está associada à descrição de diferentes 
grandezas. 
• A posição de um corpo é uma grandeza escalar, assim como a velocidade 
com que ele se desloca e a aceleração com que sua velocidade varia. O corpo 
pode realizar diferentes tipos de movimentos, em cada uma das três direções 
espaciais em que estamos imersos. 
• Uma vez estabelecidos os dois conceitos de grandezas físicas, introduzimos 
a ideia de unidade, que é um parâmetro comparativo, em relação ao qual 
mensuramos uma grandeza. Um quilograma de feijão representa uma massa 
comparativamente idêntica à massa de um cilindro composto de uma liga de 
irídio e platina, guardado no escritório internacional de pesos e medidas, na 
França. 
• Fizemos uma descrição geométrica das grandezas vetoriais através da revisão 
do conceito de vetores.
• Trabalhamos com algumas operações matemáticas com vetores, principalmente 
com o intuito de prepará-lo para o próximo tópico, em que estudaremos o 
movimento de um corpo no espaço.
RESUMO DO TÓPICO 1
24
AUTOATIVIDADE
→ →
→ →
1 As unidades de medida representam padrões de comparação que criamos 
para conceber uma quantidade, em um processo de medição de uma 
grandeza física. Relacione as grandezas físicas e suas unidades de medida: 
(a ) Massa. 
(b ) Comprimento. 
(c ) Tempo. 
( ) Usado para distinguir posições relativas e afastamentos no espaço. 
( ) Quantidade associada à inércia dos corpos em movimento. 
( ) Associado ao conceito de entropia, estrutura a distribuição de eventos 
sucessivos. 
2 Recordando nossa discussão anterior, a respeito do metro, considere as 
seguintes afirmações e classifique-as como Verdadeira (V) ou falsa (F): 
a) ( ) Representa o comprimento do percurso de um raio de luz, no vácuo, em 
(1/3×10⁸) segundos. 
b) ( ) É representado por um protótipo específico, objeto de comparação. 
c) ( ) É definido em termos da constante de Planck. 
3 Recordandonossa discussão anterior, a respeito do(s) segundo(s), considere 
as seguintes afirmações e classifique-as como Verdadeira (V) ou falsa (F):
a) ( ) Definido como o tempo necessário para um feixe de luz cruzar a distância 
de um metro. 
b) ( ) Unidade utilizada para a catalogação de eventos periódicos sucessivos. 
c) ( ) Definido como a duração de um número astronômico de eventos 
consecutivos no átomo de césio 133. 
4 Recordando nossa discussão anterior, a respeito do quilograma, considere as 
seguintes afirmações e classifique-as como Verdadeira (V) ou falsa (F):
a) ( ) O quilograma correspondia à massa de um litro de água destilada. 
b) ( ) Será substituído em breve por um objeto cilíndrico, feito de uma liga de 
irídio e adamantium. 
c) ( ) Foi concebido com a intensão de unificar sistemas de medidas diversos, 
provenientes de outras culturas. 
5 Considere os vetores 1 2 3 ˆˆ ˆ v i j k= + +

 e 3 2 1 ˆˆ ˆ u i j k= + +
 e calcule:
a) |v| e |u| 
b) v + u 
→ →
25
→ →
→ →
→ → c) v - u 
d) v . u 
e) v x u
6 Imagine que um campo de futebol americano tenha as medidas de 0,030 mi 
de largura e 0,056 mi de comprimento. Imagine também que um campo de 
futebol (aquele que jogamos no Brasil) tenha as medidas de 0,07 km de largura 
e 0,10 km de comprimento. Compare as áreas dos dois campos e apresente a 
relação entre eles. 
7 Calcule o produto vetorial entre os vetores e ̂ ˆ x yu u i u j= +

 .ˆxv v i=
→→
26
27
TÓPICO 2
CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Vamos agora discutir o movimento dos corpos, descrevendo-os sob a ótica 
do tratamento matemático. Vamos emprestar o conceito matemático de taxa de 
variação e empregá-lo na discussão da taxa de variação temporal da posição de 
um corpo no espaço. Como nossa intensão, no momento, é discutir os conceitos, 
vamos nos ater ao caso unidimensional, isso evitará confusões desnecessárias. 
Mais adiante introduziremos novas dimensões e você já estará familiarizado com 
a teoria, podendo se concentrar apenas na extrapolação espacial.
2 VELOCIDADE MÉDIA E INSTANTÂNEA 
Uma vez que balizamos nosso conceito comum de tempo em termos de 
um intervalo de tempo, a ideia de movimento se tornou muito intrigante para 
nós, pois ela conecta tempo e espaço, através da variação de um em função do 
outro, do espaço em função do tempo, mais especificamente. 
Galileu foi o primeiro a estudar o movimento dos corpos. Mas com o 
interesse pelo movimento dos corpos, é preciso saber contar o tempo, estabelecer 
um padrão periódico, para poder contá-lo. O Sol nasce todas as manhãs e se põe 
todas as tardes. Esse intervalo repetitivo virou o dia. E dentro desse intervalo 
muitas coisas acontecem, padrões comparativos que ocorrem em intervalos 
menores de tempo precisavam ser adotados. A ampulheta, o relógio à corda, o 
digital, o atômico. Você entendeu a ideia. 
Voltando a Galilei, ele estudou o rolar lento de esferas de metal através 
de um trilho levemente curvado. Para alongar os intervalos de tempo. E como 
ainda não confiava em métodos externos, usou o batimento do próprio coração 
para medi-los. A esfera de metal levava tantos batimentos para chegar ao fim 
do trilho. Ele foi o primeiro a perceber que a relação entre espaço percorrido 
pela esfera metálica e o tempo que ela levou para isso era quadrática. Alguns 
eventos demoravam para ocorrer, outros eram muito mais curtos. Há diversas 
formas de como essa relação entre espaço e tempo pode se dar, mas o conceito de 
movimento relaciona todas elas. 
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
28
A cinemática fará uso de uma área muito importante da matemática, 
conhecida como cálculo diferencial e integral. Essa área da matemática trata 
das taxas de variação de uma grandeza em relação à outra e também das somas 
infinitesimais, cálculos de áreas debaixo de curvas de funções e estudo de 
funções. Você já deve estar familiarizado aos conceitos do cálculo a essa altura, 
mas tentaremos aqui manter clara essa relação entre a física e sua aplicação da 
matemática. Muito bem, a cinemática tem origem no termo grego para movimento 
e é do movimento de pontos espaciais e corpos que ela trata. Como você viu 
anteriormente, é possível determinar a posição de um corpo no espaço, visto que 
tenhamos um ponto, ou sistema de referências. Lembramos que focaremos em 
apenas uma direção, pensaremos aqui em termos de uma reta. 
3 VELOCIDADE MÉDIA DOS CORPOS
Como estamos interessados no movimento de um corpo ao longo dessa 
reta, se esse corpo mover sua posição variará ao longo da reta e ele levará algum 
tempo para fazer isso, essa taxa de variação da posição do corpo ao longo da reta 
é o que definiremos como velocidade média: 
( )
( )
0
0
 
x x xv
tt t
− ∆
= =
∆−
(1.9)
(1.10)
Aqui, o termo ∆ é o que representa a variação e a razão entre as duas 
variações representa a taxa dessa variação. Por extenso esse símbolo significa a 
diferença entre o valor final e inicial da grandeza estudada, para a posição isso é 
∆x = (x − x0), para o tempo que se passou nessa transição, ∆t = (t − t0). 
O conceito de ∆t se aplica a diferenças mensuráveis de tempo, mas 
também temos interesse em estudar variações instantâneas no comportamento 
dos corpos. Se esse ∆t tender a valores muito pequenos? Com que taxa de variação 
da posição com o tempo nos movemos quando levamos um susto? Para isso, 
vamos aplicar aqui o conceito de limites, muito importante para o cálculo e de 
aplicação pertinente aqui, escreveremos: 
0
lim
t
x dv x
t dt∆ →
∆
= =
∆
Essa será a definição da velocidade instantânea, como se comporta um 
corpo imediatamente após o início do movimento. Note como agora a notação 
muda de ∆ para d, essa é a simbologia matemática para o drástico apequenamento 
da variação temporal da posição. A velocidade instantânea emerge da aplicação 
prática da ideia de limite à variação temporal. Fique atento, vamos utilizar muito 
esse conceito, ele é importante e deve ser discutido em sala de aula. Como possível 
fonte de inspiração.
TÓPICO 2 | CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
29
Gostaríamos de sugerir aqui a leitura do trabalho intitulado: “Velocidades média 
e instantânea no Ensino Médio: uma possível abordagem”. Disponível em: <https://goo.gl/
ytrr5U>, de Souza, P. V. S.; Donangelo R., 2012), que propõem uma abordagem interessante 
para o tema. Em sua proposta os autores tentam expor o distanciamento entre o conteúdo 
escolar e o cotidiano do estudante e promover a ação inversa. Os autores propõem métodos 
investigativos de aprendizagem, explorando objetos acessíveis ao aluno e a eles mesmos. 
Eles, por exemplo, tratam o tema da velocidade média através do uso de um automóvel em 
miniatura e discutem uma possível relação entre a escala do brinquedo e a velocidade média 
que o mesmo atingiria, se fosse funcional. Seria essa uma velocidade média também em 
escala com a do automóvel original? Eis aqui um interessante tema de investigação.
DICAS
4 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
Seguindo a sequência de eventos descrita nas subseções anteriores, vamos 
estudar um pouco mais a fundo o movimento unidimensional de um corpo. 
Suponha que o corpo se mova com uma velocidade constante v. Considerando 
a equação (2.10), percebemos que ela representa a taxa de variação da posição 
com o tempo. A operação de derivação está associada à taxa de variação de uma 
função, e sua operação inversa, a integração à soma de termos infinitesimalmente 
pequenos. Vamos reescrever a equação (2.10) de modo a estudar o efeito da 
integração em seus termos: 
vdt dx= (1.11)
(1.12)
(1.13)
Realizando a integração dos dois lados da função teremos uma expressão 
para a posição x em função do tempo t, ou: 
0 0
 
x t
x t
dx v dt=∫ ∫
( )0 0x x v t t+ = −
( ) ( )0x t x t v t+ = ∆
Optando pela notação x(t0) = x0, poderemos então escrever a posição de 
um corpo em função do tempo como: 
( ) 0x t x v t+ = ∆
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
30
Para o caso em que t0 = 0, teremos: 
( ) 0xt x vt+ = (1.14)
(1.15)
Aí está, então, a função posição de um corpo em movimento retilíneo 
uniforme e a figura a seguir, apresenta a função posição de um corpo que segue 
em movimento retilíneo uniforme, ou seja, a velocidade constante. A curva preta 
apresenta o deslocamento de um corpo que inicialmente se encontrava na origem 
do sistema de referências, na curva azul o corpo já mantinha uma posição inicial 
não nula. Para as curvas azul e vermelha, a partícula se move a uma taxa de um 
metro por segundo, a partícula cujo deslocamento é regido pela linha verde se 
move a uma taxa duas vezes maior. Compare as retas azul e verde e perceba 
como a inclinação aumenta com a velocidade. Isso fica bem claro, uma vez que as 
duas retas partem da mesma posição de origem. 
FIGURA 15 – FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO NO MRU
4
3.5
3
2
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.5
0.5
2.5
t (s)
x 
(t)
 (
m
)
FONTE: O autor 
Note a semelhança entre a equação (1.14) e aquela para a equação da reta, 
dada por: 
y a bx= +
Em que a é o coeficiente linear, b é o coeficiente angular e x é a variável 
independente. Lembre-se de que a é o valor de y quando x = 0 e que yb
x
∆
=
∆
 
representa a taxa de variação.
 x∆ Até aqui nosso corpo se move com velocidade constante, mas essa 
velocidade pode variar. 
TÓPICO 2 | CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
31
Como ainda manteremos um movimento em apenas uma direção, apenas 
variações no sentido e no módulo serão considerados. 
5 ACELERAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
Eventualmente é possível que a taxa com que o corpo muda de posição 
com o tempo também varie, ou seja, a velocidade com a qual a partícula se move, 
pode aumentar ou diminuir. Se a velocidade representa a taxa de variação da 
posição com o tempo, podemos supor que a taxa de variação da velocidade com 
o tempo será a aceleração do veículo. Exatamente, definiremos assim a aceleração 
média de um corpo: 
( )
( )
0
0
 
v v va
tt t
− ∆
= =
∆−
(1.16)
(1.17)
(1.18)
Novamente aqui podemos especular sobre a alteração instantânea da 
velocidade, ao tomarmos o limite de um tempo muito pequeno, teremos: 
0
lim 
t
v da v
t dt∆ →
∆
= =
∆
E assim definiremos a aceleração instantânea de um corpo cuja velocidade 
varia com o tempo. Perceba que como a aceleração representa a taxa de variação da 
velocidade com o tempo, sua unidade de medida é o [a] = (m/s)/s, ou também [a] = 
(m/s2). Note também que a aceleração representa a segunda derivada da posição: 
 d da x
dt dt
 
=  
 
É interessante como aplicamos a interpretação matemática ao mundo ao 
nosso redor. Você deve se manter atento não só para os fenômenos naturais, como 
também para as novas tecnologias que surgem, no dia a dia. Não apenas porque 
elas nos apresentam novas formas de aplicação dos fenômenos naturais, como 
o eletromagnetismo das televisões modernas, a hidrodinâmica em algumas das 
fontes energéticas ou dinâmica dos fluidos, presente nos componentes hidráulicos 
do maquinário das indústrias. Você também pode tirar proveito dessa tecnologia 
ao apresentá-la ou fazer uso dela, como ferramenta didática. 
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
32
Com isso em mente, gostaríamos de sugerir a leitura do trabalho intitulado 
“Medindo a aceleração de um elevador”. Disponível em: <https://goo.gl/8w6VJm>, de Franco, 
Marranghello e Rocha, 2016). Nele, os autores sugerem um experimento interessante a 
respeito do conceito de aceleração. Utilizando um tablet e softwares livres para a medição 
de dados, eles propõem uma prática de baixo custo para um exercício prático de ensino de 
física.
DICAS
6 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 
(MRUV)
Após um breve momento para a definição do conceito de aceleração, 
vamos nos atentar à aplicação desse conceito no movimento de uma partícula 
sobre a reta. 
Considerando a equação (2.17), percebemos que ela representa a taxa de 
variação da velocidade com o tempo. Vamos novamente aplicar o conceito de 
integral aos dois lados dessa equação e estudar como ela se comporta. 
;da v
dt
=
;adt dv=
0 0
t v
t v
adt dv=∫ ∫
( ) ( )0 0v t v a t t− = −
( ) 0 . v t v a t= + ∆
(1.19)
(1.20)
Para o caso em que t0 = 0, teremos: 
( ) 0 v t v at= +
O mesmo tratamento dispensado à Figura 15 é agora concedido ao 
corpo que segue em movimento retilíneo uniformemente variado. A Figura 16 
apresenta duas curvas, uma preta para um corpo que partiu do repouso, e uma 
azul, para um corpo que já se movia com uma velocidade inicial, no momento em 
que começam a contar o tempo.
TÓPICO 2 | CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
33
Compare as Figuras 15 e 16 e perceba que, a despeito de se tratarem de 
duas grandezas vetoriais distintas, seu comportamento é matematicamente o 
mesmo. São duas expressões, de tipo semelhantes à equação da reta (2.14). O 
MRU guarda uma relação linear com a passagem do tempo. 
FIGURA 16 – FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE NO MRUV
4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3
2
1
0
3.5
2.5
1.5
0.5
t (s)
v(
t) 
(m
/s
)
 FONTE: O autor
É possível também, escrever a expressão para a posição em função do tempo. 
É preciso considerar novamente a equação (2.17), ela define a velocidade como a 
taxa de variação da posição com o tempo, mas com a operação inversa à derivação é 
possível calcular a expressão para a posição em função do tempo, fazendo: 
(1.21)
(1.22)
dx = vdt;
0 0
x t
x t
dx vdt=∫ ∫
Aplicando na equação (2.21), a equação (2.20), teremos uma nova equação 
integral, dada por: 
dx = vdt;
;dv x
dt
=
0 0
x t
x t
dx vdt=∫ ∫
( )
0
0 0
t
t
x t x v at dt − = + ∫
( ) ( ) ( )20 0 0
1
2
x t v t t a t t= − + −
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
34
Uma vez que v0 representa a velocidade inicial do veículo, que pode 
ser nula ou uma constante positiva ou negativa, e que a aceleração a é também 
constante, elas podem ser removidas da integração. Para o caso de t0 = 0, teremos: 
FIGURA 17 – FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO NO MRUV
3.5
2.5
3
2
1
1.5
0.5
0 0 0.5 1 1.5 2
t (s)
x 
(t)
 (m
)
FONTE: O autor 
A figura acima apresenta a função horária para a posição apresentada pela 
equação (1.22), ela mostra como se dá o comportamento da posição uma partícula, 
que se move sob a ação e uma aceleração, em função do tempo. Discutiremos mais 
adiante essa discussão quando tratarmos o lançamento oblíquo de corpos. Aqui 
você pode ter uma noção do comportamento parabólico de uma partícula sob 
tais circunstâncias, a linha tracejada e com pontos (vermelha) mostra um corpo 
que parte da origem. Já as linhas tracejadas (azul) e sólida (verde) partem de uma 
posição inicial diferente de zero. Além disso a maior inclinação da linha sólida se 
deve à duplicação da aceleração à que o corpo está submetido. 
Esse resultado também pode ser alcançado pela dupla integração direta 
da equação (1.18), o que é, indireta e exatamente o que acabamos de fazer. Ou 
seja, para uma partícula que prossiga em um movimento retilíneo uniformemente 
variado, sua posição se altera quadraticamente com o tempo, mais ou menos 
como o resultado que Galileu obteve para uma esfera que descia um trilho curvo, 
com a aceleração da gravidade. 
( ) 20 0
1
2
x t x v t at= + + (1.23)
(1.24)
Voltando à equação (1.23), perceba como ela guarda uma relação íntima 
com a equação da parábola, definida pela relação:
2y ax bx c= + +
TÓPICO 2 | CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
35
Vamos agora tratar de um assunto bastante importante para o 
desenvolvimento do conteúdo a seguir. Falaremos sobre o que ocorre quando 
um corpo é deixado cair em um campo gravitacional uniforme, sob a aceleração 
da gravidade g. Vamos discutir os efeitos dessa suposição e demonstrar como ela, 
em breve, será importante para o estabelecimento de conceitos mais complexos, 
como o da conservação de energia. 
7 QUEDA LIVRE 
O movimento de queda livra é bastante interessante, pois demonstra 
a aceleração dos corpos, quando submetidos a uma queda, a partir de uma 
velocidade inicial nula. A partir daqui, sempre que tratarmos do movimento de 
um corpo no espaço, faremos menção a