Exercícios Estatística

Prévia do material em texto

PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CADERNO DE EXERCÍCIOS 
 
2013/2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
2 
 
ÍNDICE 
 
FICHA 1 .............................................................................................................................................. 3 
Estatística Descritiva .................................................................................................................... 3 
FICHA 2 ............................................................................................................................................ 12 
Álgebra ......................................................................................................................................... 12 
Álgebra de Acontecimentos e Probabilidades Simples .................................................. 12 
Teoremas de Bayes e da Probabilidade Total ................................................................... 23 
FICHA 3 ............................................................................................................................................ 30 
Variáveis Aleatórias Unidimensionais .................................................................................. 30 
Variáveis Aleatórias Bidimensionais ..................................................................................... 40 
FICHA 4 ............................................................................................................................................ 45 
Distribuições Teóricas Discretas ............................................................................................. 45 
FICHA 5 ............................................................................................................................................ 59 
Distribuições Teóricas Contínuas ........................................................................................... 59 
FICHA 6 (Esta Matéria não demos) ............................................................................................. 68 
Inferência Estatística .................................................................................................................. 68 
Intervalos de confiança ......................................................................................................... 68 
Testes de hipótese .................................................................................................................. 75 
 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
3 
FICHA 1 
Estatística Descritiva 
 
1 - Indicar quais das seguintes variáveis são discretas e quais são contínuas 
1.1 - Valor do PIB nacional. 
R: Variável contínua 
 
1.2 - Produtividade média do girassol de regadio no Alentejo. 
R: Variável contínua 
 
1.3 - Número de sapatos de um dado tamanho nas sapatarias de Santarém. 
R: Variável discreta 
 
1.4 - Efectivo militar em Trás-os-Montes. 
R: Variável discreta 
 
1.5 - Número médio de pontos por jogador numa dupla de voleibol de praia num determinado 
torneio. 
R: Variável discreta 
 
1.6 - Toneladas de tomate que chegam por dia a uma fábrica. 
R: Variável contínua 
 
1.7 - Número médio de sobreiros nas explorações de montado do Alentejo. 
R: Variável contínua 
 
2 - No quadro seguinte apresenta-se o absentismo dos 50 colaboradores de uma empresa de 
serviços, registado durante o período de um ano (foram excluídas as faltas por motivos 
justificáveis). 
6 4 4 6 0 6 5 13 11 6 
4 3 3 11 4 4 8 4 7 7 
8 6 6 5 6 6 8 3 3 6 
6 1 0 10 6 3 3 2 3 2 
2 3 1 8 6 2 2 3 2 0 
2.1 - Sendo X a variável em causa, como pode defini-la? E como a classifica? 
Definição: X — nº de dias de absentismo dos colaboradores da empresa de serviços; 
Classificação: é uma variável discreta. 
 
2.2 - Organize os dados num quadro de distribuição de frequências, com as frequências 
observadas, relativas e acumuladas. 
i - é o índice do grupo de valores; 
x - é cada um dos valores que a variável pode tomar; 
i = 1 significa “o primeiro valor da variável” e esse valor é “x = 0” 
i x Fi fi CumFi Cumfi 
1 0 3 0,06 3 0,06 
2 1 2 0,04 5 0,1 
3 2 6 0,12 11 0,22 
4 3 9 0,18 20 0,4 
5 4 6 0,12 26 0,52 
6 5 2 0,04 28 0,56 
7 6 12 0,24 40 0,8 
8 7 2 0,04 42 0,84 
9 8 4 0,08 46 0,92 
10 9 0 0 46 0,92 
11 10 1 0,02 47 0,94 
12 11 2 0,04 49 0,98 
13 12 0 0 49 0,98 
14 13 1 0,02 50 1 
 50=∑= iFN 
Do x21 até ao x26 
todos valem 4 
De i até i = 4 {
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
4 
 
2.3 - Determine a proporção de empregados que faltaram mais de 3 dias por ano. 
Proporção de colaboradores que faltaram mais de 3 dias/ano = 1- Cumf4 = 1 – 0,4 = 0,6. 
Cumf4 ► é a proporção de indivíduos que faltaram desde i = 1 até i = 4, isto é, desde x = 0 até x = 3 que 
significa de 0 a 3 dias de faltas. Se à totalidade (100% ou “1”) for retirado Cumf4 ficamos com a proporção 
dos que faltaram mais de 3 dias. 
 
2.4 - Calcule e diga o respectivo significado de ∑
=
4
1i
iF , ∑
=
14
6i
iF , ∑
=
5
1i
if . 
2044321
4
1
==+++=∑
=
CumFFFFFF
i
i (número de colaboradores que faltaram até 3 vezes, inclusive. 
Repare-se que i = 4 corresponde a x = 3); 
24265051414131211109876
14
6
=−=−=++++++++=∑
=
CumFCumFFFFFFFFFFF
i
i (número de 
colaboradores com 5 ou mais faltas. Repare-se que i=6 corresponde a x=5); 
52,0554321
5
1
==++++=∑
=
Cumfffffff
i
i (proporção de colaboradores. que faltaram até 4 vezes, 
inclusive); 
 
2.5 - Construa o diagrama de barras e o gráfico de frequências relativas acumuladas. 
Diagrama de barras: 
 
 
Gráfico de frequências relativas acumuladas: 
 
 
2.6 - Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
Média: 
( )∑ =×= fixµ 02,01000,0908,0804,0724,0604,0512,0418,0312,0204,0106,00 ×+×+×+×+×+×+×+×+×+×+×=
76,402,01301204,011 =×+×+×+ faltas; 
Desvio padrão: 
2
2222222
2 34,8
50
76,450131120...1203 =×−×+×++×+×=∑ ×−×=
n
nxFi µσ faltas 
89,234,822 === σσ faltas 
Coeficiente de variação: 
%7,60%100
76,4
89,2
%100 =×=×=
µ
σ
cv 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
5 
2.7 - Determine a mediana algébrica e graficamente. 
4
2
44
2
2625 =+=+= xxMe (ver gráficos) 
 
2.8 - Determine a moda, o 20º percentil, o 9º decil e o 3º quartil. 
Moda: 
6=Mo ► é o número que mais ocorre; 
20º Percentil: 
1020,050 =×=× pN ► pN × é inteiro 
2
2
22
2
1110
20 =
+=+= xxP 
9º Decil: 
4590,050 =×=× pN ► pN × é inteiro 
8
2
88
2
4645
9 =
+=
+
=
xx
D 
3º Quartil: 
5,3775,050 =×=× pN ► pN × não é inteiro 
( ) 8381373 === + xxQ 
 
3 - Os rendimentos médios mensais (€) de 48 famílias do sector do calçado estão registados no 
quadro seguinte. 
 999 1210 870 1360 1330 1340 1485 830 986 1265 
 1267 1227 1267 826 865 1278 1250 848 1170 1459 
 1190 956 1345 1436 823 1393 1350 1243 868 1267 
 800 1339 1235 1336 935 950 1132 905 1376 923 
 896 1267 847 921 1465 800 871 1235 
∑ 5152 5999 5564 5879 5418 5761 6088 5061 4410 4914 54236 
3.1 - Construa o quadro de distribuição de frequências. 
O primeiro passo para construção do quadro de distribuição de frequências é definir o número de classes. 
Para isso vamos usar a expressão da regra de Sturges. 
Número de classes ► 
( )
( )
( )
( ) 58,62log
48log
1
2log
log
1 =+=+≈ Nm 
Assim, o número de classes será, em princípio, 6 ou 7. 
Analisando os dados verificamos que a amplitude dos mesmos é: 
Amplitude dos dados 685800485.1)()( =−=−= xMinxMax 
Ao estabelecer o número de classes e ao atribuir a cada classe uma dada amplitude definimos um intervalo 
onde todos os nossos valores deverão estar dentro. Se a nossa amplitude de dados é de 685 então o intervalo 
resultante da definição das classes terá que ter uma amplitude sempre maior que a anterior. Devemos, tanto 
quanto possível, criar classes que tenham uma amplitude “simpática”, facilmente manipulável, cujo centro 
seja também um valor “amigável” (ver diapositivos 27 a 29 da apresentação 1). Assim, e analisando os 
nossos dados, podemos verificar que, se usarmos 7 classes comamplitude de 100 unidades cada, criamos um 
intervalo com amplitude de 700 (maior que 685). Se a primeira classe começar em 790 [valor inferior ao 
menor valor dos dados (800)] a última classe acaba em 1.490 [valor superior ao maior valor dos dados 
(1.485)]. As classes terão assim valores com os quais é “simpático” trabalhar. 
Classe i Fi fi CumFi Cumfi 
[790 , 890[ 11 0,229 11 0,229 
[890 , 990[ 8 0,167 19 0,396 
[990 , 1090[ 1 0,021 20 0,417 
[1090 , 1190[ 2 0,042 22 0,458 
[1190 , 1290[ 13 0,271 35 0,729 
[1290 , 1390[ 8 0,167 43 0,896 
[1390 , 1490[ 5 0,104 48 1,000 
 N=48 
 
3.2 - Represente graficamente os dados através de um histograma, do polígono de frequências e do 
gráfico das frequências relativas acumuladas. 
Ver diapositivos 
47 e 48 da 
apresentação 1 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
6 
Histograma e polígono de frequências: 
 
 
Gráfico das frequências relativas acumuladas: 
 
 
3.3 - Determine a média e a variância dos dados simples. 
Para dados simples vamos trabalhar com os 48 dados tal qual: 
Média: 
92,129.1
48
54236
48
==∑= xix 
Variância: 
( ) ( ) ( ) =×−++++++=×−∑=
48
92,129.148485.1465.1459.1...823800800 2222222
22
2
n
xnx
s
220,565.48= 
 
3.4 - Determine a média, a mediana, a moda e a variância dos dados agrupados. 
Para trabalhar com dados agrupados temos que partir do pressuposto de que, dentro de cada classe, os valores 
se encontram distribuídos uniformemente. Partindo desse pressuposto resulta que, a média dos valores de 
cada classe, é o valor médio dessa classe. Assim, temos: 
Classe i Fi CumFi fi Cumfi Ci 
[790 , 890[ 11 11 228,0
48
11 = 0,228 840
2
890790 =+ 
[890 , 990[ 8 19 167,0
48
8 = 0,395 940
2
990890 =+ 
[990 , 1090[ 1 20 021,0
48
1 = 0,416 1040
2
1090990 =+ 
[1090 , 1190[ 2 22 042,0
48
2 = 0,458 1140
2
11901090 =+ 
[1190 , 1290[ 13 35 271,0
48
13 = 0,730 1240
2
12901190 =+ 
[1290 , 1390[ 8 43 167,0
48
8 = 0,897 1340
2
13901290 =+ 
[1390 , 1490[ 5 48 104,0
48
5 = 1 1440
2
14901390 =+ 
 N=48 1 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
7 
Média: 
( ) ( )
50,127.1
48
440.15340.18...940884011 =×+×++×+×=∑
×
=
n
CF
x ii 
Mediana: 
242/482/ ==N , portanto a classe mediana é a classe 5 
( ) 50,205.1100
271,0
458,05,0
190.1
5,0
inf 1 =×−+=×
−
+= − h
f
Cumf
LMe
i
i
i 
iL inf ► Fronteira inferior da classe que contém a mediana 
( )1−iCumf ► Frequência acumulada da classe anterior à classe que contém a mediana 
h ► Amplitude do intervalo de classe que contém a mediana 
if ► Número de observações da classe que contém a mediana 
Moda: 
75,258.1100
)813()213(
)213(
190.1inf
21
1 =×
−+−
−+=×
+
+= h
dd
d
LMo i 
Variância: 
( ) ( ) ( ) =×−×+×++×+×=×−∑ ×=
48
50,127.148440.15340.18...940884011 22222
22
2
n
xnCF
s ii
275,093.46= 
 
3.5 - Classifique a distribuição em termos de assimetria. 
( ) ( )
09,1
75,093.46
50,205.150,127.133 −=−×=−×=
s
Mex
GAS 
Esta distribuição é assimétrica negativa. 
 
4 - Obteve-se uma amostra de 200 indivíduos e registou-se a sua altura, tendo-se procedido à sua 
distribuição em classes, como consta no seguinte quadro: 
Altura (cm) N.º Indivíduos 
[148,5 , 155,5[ 4 
[155,5 , 162,5[ 12 
[162,5 , 169,5[ 44 
[169,5 , 176,5[ 64 
[176,5 , 183,5[ 56 
[183,5 , 190,5[ 16 
[190,5 , 197,5[ 4 
4.1 - Classifique a variável e defina-a. 
X ► Altura dos indivíduos; é uma variável contínua. 
 
4.2 - Determine as frequências relativas e as frequências relativas acumuladas. 
Classe i Altura (cm) N.º Indivíduos (Fi) fi CumFi Cumfi Ci 
1 [148,5 ; 155,5[ 4 0,02 4 0,02 152
2
5,1555,148 =+ 
2 [155,5 ; 162,5[ 12 0,06 16 0,08 159
2
5,1625,155 =+ 
3 [162,5 ;169,5[ 44 0,22 60 0,30 166
2
5,1695,162 =+ 
4 [169,5 ; 176,5[ 64 0,32 124 0,62 173
2
5,1765,169 =+ 
5 [176,5 ; 183,5[ 56 0,28 180 0,90 180
2
5,1835,176 =+ 
6 [183,5 ; 190,5[ 16 0,08 196 0,98 187
2
5,1905,183 =+ 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
8 
7 [190,5 ; 197,5[ 4 0,02 200 1 194
2
5,1975,190 =+ 
 N=200 1 
 
4.3 - Qual a proporção de indivíduos com altura inferior a 176,5 cm? Qual a altura máxima 
correspondente aos 30 % de indivíduos mais baixos? 
Proporção de indivíduos com altura inferior a 176,5 cm ► %6262,04 ==Cumf (como neste caso 176,5 é 
extremo da classe, não é preciso interpolação). 
Altura máxima correspondente aos 30% de indivíduos mais baixos ► Percentil 30 ► cmP 5,16930 = 
 
O cálculo do P40 não era pedido, no entanto fica a resolução: 
( ) 69,1717
32,0
30,040,0
5,169
40,0
inf
4
14
44,040 =×
−+=×
−
+== − h
f
Cumf
LP χ 
 
4.4 - Construa o histograma e o polígono de frequências. 
 
 
4.5 - Calcule a média e o desvio padrão dos dados agrupados. 
Média: 
( ) ( )
cm
n
CF
x ii 70,173
200
194418716...159161524 =×+×++×+×=∑
×
= 
Desvio padrão: 
( ) ( ) ( ) =×−×+×++×+×=×−∑ ×=
200
70,173200194418716...159161524 22222
22
2
n
xnCF
s ii
2097,69 cm= ► cms 3,809,69 == 
 
4.6 - Construa o diagrama de extremos e quartis. 
Para fazer o diagrama de extremos e quartis há que calcular Q1, Q2 (ou mediana) e Q3. 
iL inf ► Fronteira inferior da classe que contém a mediana 
( )1−iCumf ► Frequência acumulada da classe anterior à classe que contém a mediana 
h ► Amplitude do intervalo de classe que contém a mediana 
if ► Número de observações da classe que contém a mediana 
( ) 90,1677
22,0
08,025,0
5,162
25,0
inf 11 =×
−+=×
−
+= − h
f
Cumf
LQ
i
i
i 
( ) 88,1737
32,0
30,050,0
5,169
50,0
inf 12 =×
−+=×
−
+= − h
f
Cumf
LQ
i
i
i 
( ) 75,1797
28,0
62,075,0
5,176
75,0
inf 13 =×
−+=×
−
+= − h
f
Cumf
LQ
i
i
i 
 
Os valores máximo e mínimo (como não temos os dados originais) são os extremos do intervalo das classes. 
 
 
Polígono de frequências Histograma 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
9 
4.7 - A distribuição é simétrica? 
( ) ( )
07,0
3,8
88,17370,17333 −=−×=−×=
s
Mex
GAS 
( ) 88,1737
32,0
30,050,0
5,169
50,0
inf 1 =×−+=×
−
+= − h
f
Cumf
LMe
i
i
i 
Esta distribuição é assimétrica negativa. 
 
5 - O conjunto de dados {69, 85, 75, 89, 73, 61, 62, 75, 98, 63} é uma amostra que representa as 
classificações percentuais de 10 estudantes num teste de estatística. Determine: 
61 62 63 69 73 75 75 85 89 98 N=10 
5.1 - A média, a mediana e a moda desta amostra; 
Média: 
( ) ( )
%75
10
98898575757369636261 =+++++++++=∑=
n
x
x i 
Mediana: 
Como N=10, o ponto central é entre 73 e 75, então: %74
2
7573 =+=Me 
Moda: 
%75=Mo , porque é o nº que mais ocorre, e são classificações percentuais. 
 
5.2 - O desvio absoluto médio, a variância e o desvio padrão; 
Desvio absoluto médio: 
( ) ( )
%4,9
10
75987589...75627561
=
−+−++−+−
=
∑ −
=
n
xx
DM
i
 
Variância: 
( ) ( ) ( ) ( )
4,137
10
75109889...6261 22222
22
2 =×−++++=×−∑=
n
xnx
s 
Desvio padrão 
%72,114,137 ==s 
 
5.3 - O coeficiente de variação; 
%63,15%100
75
72,11
%100 =×=×=
x
s
cv 
 
5.4 - O coeficiente de assimetria; 
( ) ( )
256,0
72,11
747533 =−×=−×=
s
Mex
GAS , Distribuição muito ligeiramente assimétrica positiva 
Ou: 
( ) ( )
0
72,11
7575
1 =
−=−=
s
Mox
G 
 
5.5 - O coeficiente de curtose. 
( )
( )
( )
( ) 344,05,615,932
6385
2 1090
13
1 =−×
−=
−×
−
=
PP
QQ
C 
( ) 775,010 =×=k , Parte inteira deste produto ► ( ) 85817753 ==== + xxPQ 
( ) 225,010 =×=k , Parte inteira deste produto ► ( ) 63312251 ==== + xxPQ 
( ) 990,010 =×=k , k é inteiro ► ( ) ( ) 5,93
2
9889
2
109
90 =
+=
+
=
xx
P 
( ) 110,010 =×=k , k é inteiro ► ( ) ( ) 5,61
2
6261
2
21
10 =
+=
+
=
xx
P 
Ver diapositivos 48 
e 65 da 
Apresentação 1 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
10 
 
5.6 - Calcule e interprete o 30º percentil. 
( ) 330,010 =×=k , k é inteiro ► ( ) ( ) 66
2
6963
2
43
30 =
+=
+
=
xx
P 
O valor 66 deixa à sua esquerda 30% dos valores observados. 
 
6 - Numa série de 31 medições de temperaturas diárias no mês de Março obteve-se uma média de 
20º C e um desvio padrão de 6º C. Depois destes resultados obtidos chegou-se à conclusão que 
uma das temperaturas diárias estava enganada,a qual foi registada com o valor de 32º C. 
Determine a média e o desvio-padrão, admitindo que se omite a temperatura incorrecta. 
Média: 
( )
( )( )
( )
( ) ( ) CCxCx
n
x
x i
ii
dias º62031º20º20
3131
31
31 =×=∑⇔=
∑=
∑
= 
( ) ( )
( )
( )
C
n
x
x
i
dias º6,19
30
588
30
32620
30
30
30 ==
−=
∑
= 
Desvio padrão: 
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )( ) ⇔=−∑⇔=×−∑=×−∑= 36
31
400.12
6
31
2031 2312
22
31
31
22
312
31
iii xx
n
xnx
s
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Cxxx iii º516.13400.12116.13136400.12 231231231 =∑⇔+=∑⇔×=−∑⇔ 
( )( ) ( )( ) Cxx ii º492.12024.1516.13322231230 =−=−∑=∑ 
( )( ) ( )
( )
24,32
30
2,967
30
6,1930492.12 2
30
22
302
30 ==
×−=
×−∑
=
n
xnx
s
i 
Cs º68,524,32 == 
 
7 - A produção (kg) por talhão de 10 variedades de ervilhas para congelar foi a seguinte: 
21, 18, 30, 12, 14, 17, 28, 10, 16, 25 
Cada talhão tinha a mesma área e a mesma densidade de plantas. Determinar: 
7.1 - Média, mediana e a moda. 
Dados ordenados: 
10 12 14 16 17 18 21 25 28 30 N=10 
 
Média: 
( ) ( )
kg
n
x
x i 1,19
10
30282521181716141210 =+++++++++=∑= 
Mediana: 
kgMe 5,17
2
1817 =+= 
Moda: 
Não tem 
 
7.2 - Variância, desvio padrão e coeficiente de variação. 
Variância: 
( ) ( ) ( ) 22222222222 09,41
10
9,410
10
1,1910302825...141210
kg
n
xnx
s ==×−++++++=×−∑= 
Desvio padrão: 
kgs 41,609,41 == 
Coeficiente de variação: 
%56,33%100
1,19
41,6
%100 =×=×=
x
s
cv 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
11 
 
7.3 - Calcule e interprete o 90º percentil. 
29
2
3028
2
109
90 =
+=+= xxP ► ( ) 990,010 =×=k , k é inteiro 
 
8 - O consumo de frangos por pessoa em duas mesas do restaurante “O Rei dos Frangos” está 
registado na seguinte tabela. 
Mesa 1 1 1 1 1 1 1 
Mesa 2 0 0 0 1 1 1 
 
8.1 - Calcule a média do consumo de frangos para cada uma das mesas. 
Mesa 1: 
( ) ( )
1
6
111111 =+++++=∑=
n
x
x i 
Mesa 2: 
( ) ( )
5,0
6
111000 =+++++=∑=
n
x
x i 
 
8.2 - Calcule o coeficiente de variação para cada uma das mesas. A média é representativa em 
ambos os casos? 
Mesa 1: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
6
111111111111 222222
2
2 =−+−+−+−+−+−=∑ −=
n
xx
s i 
00 ==s 
0%100
1
0
%100 =×=×=
x
s
cv 
Mesa 2: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
25,0
6
1111115,005,005,00 222222
2
2 =−+−+−+−+−+−=∑ −=
n
xx
s i 
5,025,0 ==s 
%100%100
5,0
5,0
%100 =×=×=
x
s
cv 
A representatividade da média é muito maior para a mesa 1 do que para a mesa 2, uma vez que o peso 
relativo do desvio padrão, relativamente à média é muito maior para esta ultima. 
 
9 - Considere um conjunto de n dados. Prove que se estes dados forem divididos pelo desvio 
padrão, então o novo conjunto de dados tem um desvio padrão igual a 1. 
FALTA A RESOLUÇÃO 
 
 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
12 
FICHA 2 
Álgebra 
 
Álgebra de Acontecimentos e Probabilidades Simples 
 
1 - Uma caixa contém 5 lâmpadas das quais 2 são defeituosas. As lâmpadas defeituosas estão 
numeradas de 1 a 2 e as boas estão numeradas de 3 a 5. Extraem-se 2 lâmpadas ao acaso, 
sucessivamente sem reposição (experiência I) e com reposição (experiência II). 
1.1 - Enumere os acontecimentos elementares do espaço de resultados associado a cada uma das 
experiências. 
Sem reposição (experiência I): 
L1ª tiragem (em coluna) 1 2 3 4 5 
L2ª tiragem (em linha) 
1 (1, 1) ■× (2, 1) ■× (3, 1) × (4, 1) × (5, 1) × 
2 (1, 2) ■× (2, 2) ■× (3, 2) × (4, 2) × (5, 2) × 
3 (1, 3) ■ (2, 3) ■ (3, 3) (4, 3) (5, 3) 
4 (1, 4) ■ (2, 4) ■ (3, 4) (4, 4) (5, 4) 
5 (1, 5) ■ (2, 5) ■ (3, 5) (4, 5) (5, 5) 
 
Com reposição (experiência II): 
L1ª tiragem (em coluna) 1 2 3 4 5 
L2ª tiragem (em linha) 
1 (1, 1) ■× (2, 1) ■× (3, 1) × (4, 1) × (5, 1) × 
2 (1, 2) ■× (2, 2) ■× (3, 2) × (4, 2) × (5, 2) × 
3 (1, 3) ■ (2, 3) ■ (3, 3) (4, 3) (5, 3) 
4 (1, 4) ■ (2, 4) ■ (3, 4) (4, 4) (5, 4) 
5 (1, 5) ■ (2, 5) ■ (3, 5) (4, 5) (5, 5) 
 
1.2 - Defina no espaço de resultados de cada experiência, os acontecimentos adiante indicados: 
A1 - “saída de uma lâmpada defeituosa na 1ª tiragem”; ■ 
A2 - “saída de uma lâmpada defeituosa na 2ª tiragem”; × 
A3 - “saída de duas lâmpadas defeituosas”; 
A4 - “saída de pelo menos uma lâmpada defeituosa”; 
A5 - “saída de exactamente uma lâmpada defeituosa”; 
A6 - “saída de uma soma de números inscritos nas lâmpadas inferior a sete”. 
Sem reposição (experiência I): 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,2;4,2;3,2;1,2;5,1;4,1;3,1;2,11 =A 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,5;1,5;2,4;1,4;2,3;1,3;1,2;2,12 =A 
( ) ( ){ }1,2;2,1213 =∩= AAA 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,2;5,1;4,2;4,1;3,2;3,1;2,5;2,4;2,3;2,1;1,5;1,4;1,3;1,2214 =∪= AAA 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,2;5,1;4,2;4,1;3,2;3,1;2,5;2,4;2,3;1,5;1,4;1,321
21
5 =∩
∪=
AA
AA
A 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,5;2,4;1,4;2,3;1,3;4,2;3,2;1,2;5,1;4,1;3,1;2,16 =A 
Com reposição (experiência II): 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,2;4,2;3,2;2,2;1,2;5,1;4,1;3,1;2,1;1,11 =A 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,5;2,4;2,3;2,2;2,1;1,5;1,4;1,3;1,2;1,12 =A 
( ) ( ) ( ) ( ){ }2,2;1,2;2,1;1,1213 =∩= AAA 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,5;1,5;2,4;1,4;2,3;1,3;5,2;4,2;3,2;2,2;1,2;5,1;4,1;3,1;2,1;1,1214 =∪= AAA
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,2;5,1;4,2;4,1;3,2;3,1;2,5;2,4;2,3;1,5;1,4;1,321
21
5 =∩
∪=
AA
AA
A 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
13 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,5;2,4;1,4;3,3;2,3;1,3;4,2;3,2;2,2;1,2;5,1;4,1;3,1;2,1;1,16 =A 
 
2 - As peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas 
(N). As peças vão sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a uma paragem quando se 
obtenham duas peças defeituosas consecutivas ou quando se tenham registado quatro peças. 
Descreva o espaço de resultados desta experiência. 
Podemos facilitar esta tarefa construindo um esquema em árvore: 
 
 
 
3 - Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de dois dados perfeitos, um 
vermelho e outro verde. 
3.1 - Defina o espaço de resultados desta experiência enumerando os acontecimentos elementares 
que o compõem; 
Há que ter em atenção que o dado tem 6 hipóteses. 
Vermelho 1 2 3 4 5 6 
Verde 
1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) 
2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) 
3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) 
4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) 
5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) 
6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) 
 
3.2 - Defina no espaço de resultados os seguintes acontecimentos: 
A - “a soma dos resultados é sete”; 
B - “os resultados observados são ímpares”; 
C - “o produto dos resultados é 12”. 
{ })1,6();2,5();3,4();4,3();5,2();6,1(=A 
{ })5,5();5,3();5,1();3,5();3,3();3,1();1,5();1,3();1,1(=B 
{ })3,4();4,3();2,6();6,2(=C 
 
4 - (Gama 5 pág. 137) Quantos são os códigos de 4 algarismos diferentes que se podem formar com 
os algarismos “1”, “2”, “3” e “4” e em que: 
4.1 - Apareça o grupo “42” (isto é, o “4” apareça sempre imediatamente antes do “2”)? 
A posição do “4” só pode ser nas 3 primeiras casas para que “2” possa estar após o “4”. 
4 2 
 4 2 
 4 2 
Para cada “42” podem ter-se duas combinações: 1,3 e 3,1. Logo 3×2=6, então podemos ter 6 códigos. 
 
4.2 - O “1” apareça junto do 3 em qualquer ordem, (isto é, imediatamente antes ou depois do “3”)? 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
14 
A posição do “3” relativamente ao “1” pode ser antes ou depois dele. 
1 3 
3 1 
 1 3 
 3 1 
 1 3 
 3 1 
Para cada “13” ou “31” podem ter-se duas combinações: 2,4 e 4,2. Logo 6×2=12, então podemos ter 12 
códigos. 
 
5 - Sejam A1 e A2 dois acontecimentos, tais que: 
A1 - “realiza-se quando um automobilista, escolhido ao acaso numa bomba de gasolina, verifica o 
ar dos pneus”; 
A2 - “realiza-se quando um automobilista, escolhido ao acaso numa bomba de gasolina, verifica o 
óleo do motor”. 
5.1 - Exprima em função deles os seguintesacontecimentos: 
A - “realiza-se quando um automobilista não verifica o ar dos pneus”; 
B - “realiza-se quando um automobilista verifica o ar dos pneus ou o óleo do motor”; 
C - “realiza-se quando um automobilista não verifica o ar dos pneus nem o óleo do motor”; 
D - “realiza-se quando um automobilista não verifica o ar dos pneus ou verifica o óleo do motor”; 
E - “realiza-se quando um automobilista verifica o ar dos pneus e não verifica o óleo do motor”; 
F - “realiza-se quando um automobilista verifica o óleo do motor e não verifica o ar dos pneus”; 
G - “realiza-se quando um automobilista verifica uma e uma só das duas”. 
1AA = 21 AAE −= 
21 AAB ∪= 12 AAF −= 
( ) 2121 AAAAC ∩=∪= ( ) ( )2121 AAAAG ∩−∪= 
( )21 AAD −= 
 
5.2 - Os acontecimentos E e F são incompatíveis? 
R: Sim E e F são incompatíveis, pois não se interceptam 
 
5.3 - Exprima o acontecimento G em função de E e F. 
R: FEG ∪= 
 
6 - (Gama 3 pág 137) Considere o seguinte espaço amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e os 
acontecimentos: A={1, 2, 7}; B={2, 3, 4}; C={6}, Determine: 
6.1 - A ; 
R: S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ► { }6543 , , , A = 
 
6.2 - ( )CA ∪ ; 
R: ( ) { }7 6, 2, 1,CA =∪ 
 
6.3 - ( ) CBA ∪∩ ; 
R: S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ► { }7651 , , , B = 
 S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ► { }7 5, 4, 3, 2, 1,C = 
Então: ( ) { }7 5, 4, 3, 2, 1,CBA =∪∩ 
 
6.4 - CB ∩ ; 
Os números que se repetem são 1,5 e 7, nos acontecimentos “não B” e “não C” 
R: { }751 , , CB =∩ 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
15 
6.5 - CBA ∩∩ ; 
Como os números que se repetem entre os acontecimentos A e B, é o 2 e o acontecimento C é 6, então a 
intersecção entre todos os acontecimentos (o que se repete entre todos) é um conjunto vazio. 
R: { }2=∩ BA , então: { }=∩∩ CBA 
 
6.6 - ( ) ( )CABA ∩∩∪ ; 
R: ( ) { }76543 ;;;;BA =∪ e ( ) { }6=∩ CA , então: ( ) ( ) { }6=∩∩∪ CABA , porque é o número que se repete. 
 
7 - Considere o espaço de resultados: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} e os acontecimentos: A={1, 3, 5}; B={2, 4, 6}; 
C={1, 2, 3}. Determine: 
7.1 - C 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ► { }6,5,4=C 
 
7.2 - CB ∩ 





=
−
6,4,2B e 





=
−
3,2,1C , então: { }2=∩ CB 
 
7.3 - CA ∩ 
=A {1, 2, 3, 4, 5, 6}={2, 4, 6} e { }6,5,4=C (calculado na alínea 7.1), e os números que se repetem são { }6,4 , 
portanto { }6,4=∩ CA . 
 
7.4 - ( ) ACB ∪∩ 





=
−
6,4,2B e 





=
−
3,2,1C , o número que se repete é { }2=∩ CB , e a união com { }5,3,1=A , resulta em: 
( ) { }5,3,2,1=∪∩ ACB 
 
8 - (Gama 11 pág. 138) Considere um dado desequilibrado em que o “5” e o “6” ocorrem o dobro 
das vezes do “4” que, por sua vez, ocorre o triplo das vezes do “1”, do “2” ou do “3”. Se se lançar o 
dado uma vez, qual a probabilidade do resultado obtido ser: 
( ) ( ) ( )4sair 26sair 5sair PPP ×== 
( ) ( ) ( ) ( )3sair 32sair 31sair 34sair PPPP ×=×=×= 
( ) ( ) ( )3sair 2sair 1sair PPP == 
Como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16sair 5sair 4sair 3sair 2sair 1sair =+++++ PPPPPP , podemos escrever que: 
P(sair 1)+P(sair 2)+P(sair 3)+3×P(sair 1)+3×P(sair 2)+3×P(sair 3)+2×P(sair 5)+2×P(sair 6)+2×P(sair 4) 
Ou seja: 18222333111 =++++++++ , então: ( )
18
1
1sair =P 
P(sair 1) P(sair 2) P(sair 3) P(sair 4) P(sair 5) P(sair 6) 
18
1
 
18
1
 
18
1
 
18
3
 
18
6
 
18
6
 
 
8.1 - Um número par; 
P(sair par)=P(sair 2)+P(sair 4)+P(sair 6)= 
9
5
18
10
18
6
18
3
18
1 ==++ 
 
8.2 - Um número maior que 3; 
P(sair maior que 3)=P(sair 4)+P(sair 5)+P(sair 6)= 
6
5
18
15
18
6
18
6
18
3 ==++ 
 
8.3 - Um quadrado perfeito. 
Um quadrado perfeito é um número que é um quadrado de um número natural 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
16 
P(sair um quadrado perfeito)=P(sair 1)+P(sair 4)=
9
2
18
4
18
3
18
1 ==+= 
 
9 - Num lago existem 10 caracóis aquáticos da espécie X, 15 da espécie Y e 50 da espécie Z. Os 
caracóis foram capturados um de cada vez para inspecção. 
( )
75
10
501510
10
sair =
++
=XP ; ( )
75
15
501510
15
sair =
++
=YP ; ( )
75
50
501510
50
sair =
++
=ZP 
9.1 - Se depois da inspecção cada caracol for devolvido ao lago, calcular a probabilidade de, em 2 
capturas sucessivas: 
Com devolução: 
9.1.1 - Os 2 caracóis serem da espécie X. 
( ) 02,0
5625
100
75
10
75
10
sair e sair ==×=XXP 
 
9.1.2 - Um caracol ser da espécie X e outro da espécie Z. 
P(sair 1 da espécie X e outro da espécie Z)=P(sair X e sair Z)+P(sair Z e sair X)= 
18,0
5625
1000
75
10
75
50
75
50
75
10 ==×+×= 
 
9.2 - Se o caracol não for devolvido ao lago depois da captura, calcular a probabilidade de, em 2 
capturas sucessivas: 
Sem devolução 
9.2.1 - Os 2 caracóis serem da espécie X. 
( ) 016,0
5550
90
74
9
75
10
sair e sair ==×=XXP 
 
9.2.2 - Um caracol ser da espécie X e outro da espécie Z. 
P(1 da espécie X e outro da espécie Z)=P(sair X e sair Z)+P(sair Z e sair X)= 
18,0
5550
1000
74
10
75
50
74
50
75
10 ==×+×= 
 
9.3 - Qual a probabilidade de, numa captura, obter um caracol da espécie X ou Y? 
( ) ( ) ( ) 3333,0
3
1
75
15
75
10
sair sair ==+=+=∪ YPXPYXP 
 
10 - Numa determinada cidade existem 5 hotéis. Se 3 pessoas escolhem ao acaso um desses hotéis 
para passar uma noite, qual a probabilidade de ficarem em hotéis diferentes? 
Vamos resolver este problema através do quociente entre casos favoráveis e casos possíveis. 
Os casos favoráveis contam o número de maneiras diferentes de atribuir hotéis ao conjunto das três pessoas. 
Se a primeira pessoa escolher um hotel dos 5 possíveis, a segunda pessoa só pode escolher um dos 4 restantes 
e o terceiro poderá escolher um dos 3 que sobram. Assim, os casos favoráveis são: 60345 =×× . Por outro 
lado, os casos possíveis não incluem a restrição de as três pessoas “ficarem em hotéis diferentes”. Assim, os 
casos possíveis são: 125555 =×× . Finalmente a probabilidade pedida vem: 
( ) 48,0
125
60
555
345
diferentes hotéis em ficarem pessoas 3 ==
××
××=P 
 
11 - Um gerente de um restaurante admite que todos os clientes terão, no fim da refeição, ou fruta, 
ou queijo, ou ainda café, ou qualquer combinação e que a probabilidade de terem fruta é de 0,7, 
fruta e queijo 0,25, queijo e café 0,35 e fruta e café 0,5. Sabe também que a probabilidade de terem 
fruta ou queijo é 0,9 e de terem fruta ou café é de 0,95. Calcular a proporção de clientes que terão: 
( )FP ( )QFP ∩ ( )CQP ∩ ( )CFP ∩ ( )QFP ∪ ( )CFP ∪ 
0,70 0,25 0,35 0,50 0,90 0,95 
Sabe-se também que: 
P(F∪C∪Q)=P(F)+P(Q)+P(C)–P(F∩Q)–P(Q∩C)–P(F∩C)+P(F∩Q∩C)=1 ◄ todos 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
17 
11.1 - Queijo ou café; 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 45,025,07,09,09,09,0 =+−=⇔∩+−=⇔=∩−+=∪ QPQFPFPQPQFPQPFPQFP 
A proporção de clientes que terão queijo é de 45%. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 75,05,07,095,095,095,0 =+−=⇔∩+−=⇔=∩−+=∪ CPCFPFPCPCFPCPFPCFP
A proporção de clientes que terão café é de 75%. 
( ) ( ) ( ) ( ) 85,035,075,045,0 =−+=∩−+=∪ CQPCPQPCQP 
A proporção de clientes que terão queijo ou café é de 85%. 
 
11.2 - Fruta, queijo e café; 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔=∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ 1CQFPCFPCQPQFPCPQPFPCQFP 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]⇔∩−∩−∩−++−=∩∩⇔ CFPCQPQFPCPQPFPCQFP 1 
( ) ( ) 20,05,035,025,075,045,07,01 =−−−++−=∩∩⇔ CQFP 
A proporção de clientes que terão fruta, queijo e café é de 20%. 
 
11.3 - Apenas café. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,02,05,035,075,0café apenas =+−−=∩∩+∩−∩−= FQCPCFPCQPCPP 
A proporção de clientes que terão apenas café é de 10%. 
 
12 - Sejam A e B dois acontecimentos independentes tais que P(A)=0,4 e P(B-A)=0,18. 
12.1 - Represente os acontecimentos através de um diagrama de Venn. 
 
 
12.2 - Determine P(B). 
( ) ( ) ( ) ( ) 58,018,040,0 =+=∩−+=∪ BAPBPAPBAP 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔=⇔=⇔−=−⇔=×−+
60,0
18,0
18,060,040,058,040,058,040,040,0 BPBPBPBPBPBP
( ) 30,0=⇔ BP 
 
13 - Sejam A, B e C três subconjuntos de Ω, tal que A e B são independentes e A e C são 
incompatíveis. Seja P(A)=0,2; P(B)=0,4 e P(C)=0,45. 
13.1 - Represente através de um diagrama de Venn o espaço de resultados Ω. Sabendo que 
P(B∩C)=0,1, calcule a probabilidade de um elementode Ω escolhido ao acaso: 
 
Não esquecer que A e B são independentes e portanto P(AB)=P(A)×P(B) 
 
13.2 – Sabendo que P(B∩C)=0,1, calcule a probabilidade de um elemento de Ω escolhido ao acaso: 
13.2.1 - Pertencer a pelo menos um dos subconjuntos; 
Não esquecer que A e B são independentes e portanto P(AB)=P(A)×P(B) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 87,01,04,02,045,04,02,0 =−×−++=∩−−++=∪∪ CBPABPCPBPAPCBAP 
 
13.2.2 - Pertencer exclusivamente a B; 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
18 
P(pertence exclusivamente a B) ( ) 22,01,04,02,04,0 =−×−= 
 
13.2.3 - Pertencer a A sabendo que pertence a B; 
( ) ( )( )
( ) ( )AP
BP
ABP
BAP ==×== 2,0
4,0
4,02,0
| , como se pode ver P(A|B)=P(A). Como se sabia A e B são 
independentes. 
 
13.2.4 - Pertencer a C sabendo que pertence a B. 
( ) ( )( ) 25,04,0
1,0
| ===
BP
CBP
BCP 
 
14 - Numa turma de 25 alunos, qual a probabilidade de não existirem alunos que façam anos no 
mesmo dia? 
A probabilidade de nenhum par dentro daqueles 25 alunos fazer anos no mesmo dia será calculada através do 
quociente entre os casos favoráveis e os casos possíveis. 
( ) ==
possíveis casos
favoráveis casos
dia memo no anosfazer alunos depar nenhumP 
4313,0
365365365...365365365
341342343...363364365 =
××××××
××××××= 
 
15 – Considere dois acontecimentos A e B. Sabe-se que: ( ) ( ) xBPAP =+ e ( ) yBAP =∩ 
Comecemos por representar graficamente esta situação. 
 
15.1 – Não se realizar nenhum dos acontecimentos. 
P(não se realizar nenhum acontecimento)= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−+−=∪− ABPBPAPBAP 11 
( ) ( )yxyx +−=−−= 11 
 
15.2 – Realizar-se um e um só acontecimento. 
P(realizar-se um e um só acontecimento)= ( ) ( ) ( ) yxABPBPAP 22 −=−+ 
 
15.3 – Realizar-se no máximo um dos acontecimentos. 
P(realizar-se um e um só acontecimento)= ( ) ( ) ( ) yxABPBPAP 22 −=−+ 
 
16 - (Gama 14 pág 138) Num colégio com 100 alunos, 42 estudam Matemática, 68 Psicologia, 54 
História, 22 simultaneamente Matemática e História, 25 simultaneamente Matemática e Psicologia, 
7 História mas nem Matemática nem Psicologia, 10 estudam as três disciplinas. Escolheu-se um 
aluno ao acaso: 
A construção do diagrama de Venn é, nestes casos, muito útil. Para isso devem ser representados os 
conjuntos definidos no enunciado com as respectivas intercepções (caso seja dito que há incompatibilidade 
entre dois deles, essa intercepção não é representada). Cada uma das regiões definidas corresponde a um 
grupo muito concreto. Por exemplo, a região correspondente à intercepção das três disciplinas quer dizer que 
os alunos em questão têm as três disciplinas e no enunciado é dito que são “10”. É também referido que 22 
alunos estudam simultaneamente Matemática e História: ora já é sabido que 10 alunos estudam Matemática 
e História (mas estudam também Psicologia) mas há, pelos vistos, mais 12 que só estudam aquelas duas 
disciplinas. Há 25 alunos que estudam simultaneamente Matemática e Psicologia. De novo, é sabido que 10 
alunos estudam Matemática e Psicologia (mas estudam também História) mas há, pelos vistos, mais 15 que 
só estudam aquelas duas disciplinas. 
É este o tipo de raciocínio que tem que ser feito para se chegar a construção do diagrama de Venn que vem a 
seguir. 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
19 
M(Matemática)= 42,0
100
42
42 == 
P(Psicologia)= 68,0
100
68
68 == 
H(História)= 54,0
100
54
54 == 
22,0
100
22
22 ===⇔∩ MHHM 
25,0
100
25
25 ===⇔∩ MPPM 
07,0
100
7
7 ===PMH 
10,0
100
10
10 ===MHP 
 
 
 
 
16.1 - Qual é a probabilidade desse aluno estudar Matemática ou História? 
Hipótese 1: ( ) ( ) ( ) ( ) 74,022,054,042,0 =−+=∩−+=∪ HMPHPMPHMP 
Hipótese 2: ( ) ( ) 74,0
100
74
100
2571012155 ==+++++=∪ HMP 
Outra hipótese: 
( )
74,0
100
818
1 =+− 
 
16.2 - Se esse aluno estudar Psicologia, qual é a probabilidade de estudar as outras duas 
disciplinas? 
( ) ( )( ) 15,068,0
10,0
| ===
PP
MHPP
PMHP 
 
16.3 - Se esse aluno não estudar Psicologia, qual é a probabilidade de estudar as outras duas 
disciplinas? 
( ) ( )( ) 375,032,0
12,0
| ===
PP
PMHP
PMHP 
 
16.4 - Se esse aluno estudar Matemática, qual é a probabilidade de também estudar as outras duas 
disciplinas? 
( ) ( )( ) 24,042,0
10,0
| ===
MP
MHMP
MPHP 
 
16.5 - Qual é a probabilidade desse aluno estudar Matemática e também as outras duas 
disciplinas? 
( ) 10,0
100
10 ==MHPP 
 
16.6 - Se esse aluno estudar História, qual é a probabilidade de estudar Matemática mas não 
estudar Psicologia? 
( ) ( )( ) 222,054,0
12,0
| ===
HP
HPMP
HPMP 
 
17 - Gama 16 pág. 138) Considere a experiência que consiste em lançar, dois dados e registar o 
número saído em cada um deles. 
17.1 - Se um dos dados mostrar "6": 
Subconjunto dos pares em que num dos dados há um “6”: 
Ω6 = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)} 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
20 
 
17.1.1 - Qual é a probabilidade do outro mostrar "5"? 
P(um dado ter 5|outro dado tem 6) 18,0
11
2 == 
 
17.1.2 - Qual é a probabilidade da soma dos números saídos em ambos ser menor do que 9? 
P(soma<9|um dado tem 6) 36,0
11
4 == 
 
17.2 - Se a soma dos números saídos for 9, qual a probabilidade de um dos dados mostrar “4”? 
Subconjunto dos pares em que num dos dados há um “9”: 
ΩƩ9 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 
P(um dado ter 4|soma dos dados é 9) 5,0
4
2 == 
 
18 - Numa determinada cidade existem 3 rádios locais. Num inquérito realizado a um número 
elevado de habitantes dessa cidade foram obtidos os seguintes resultados: 
40% dos inquiridos é ouvinte da rádio A. 
35% dos inquiridos é ouvinte da rádio B. 
30% dos inquiridos é ouvinte da rádio C. 
12% dos inquiridos é ouvinte da rádio A e da rádio B. 
10% dos inquiridos é ouvinte da rádio B e da rádio C. 
25% dos inquiridos é ouvinte da rádio A mas não da C. 
74% dos inquiridos é ouvinte de pelo menos uma rádio. 
Calcule a probabilidade de um habitante escolhido ao acaso: 
Para se poder fazer o preenchimento do diagrama de Venn há que identificar as percentagens associadas a 
cada uma das regiões identificadas. Em função dos dados disponíveis, é necessário alguma perspicácia para 
encontrar as expressões para fazer este processo. 
 
( ) ( ) 26,074,01rádio 1 menos peloouvir 1rádio nenhumaouvir não =−=−= PP 
( ) ( ) ( ) ( ) 55,010,030,035,0 =−+=−+=∪ BCPCPBPCBP 
( ) ( ) ( ) 19,055,074,0 apenas =−=∪−∪∪= CBPCBAPAP 
( ) ( ) ( ) ( ) 09,012,019,040,0 apenas =−−=−−= ABPAPAPBACP 
( ) ( ) ( ) ( ) 11,009,010,030,0 apenas =−−=−−= BACPBCPCPCP 
( ) ( ) ( ) 06,019,025,0 apenas não mas =−=−= APCAPCABP 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 06,006,009,019,040,0 apenas =−−−=−−−= CABPBACPAPAPABCP 
( ) ( ) ( ) 04,006,010,0 =−=−= ABCPBCPABCP 
( ) ( ) ( ) ( ) 19,006,010,035,0 apenas =−−=−−= CABPBCPBPBP 
 
18.1 - Ser ouvinte das rádios A e C. 
( ) 15,006,009,0 =+=ACP 
 
18.2 - Não ser ouvinte da rádio A e não ser ouvinte da rádio B. 
( ) ( ) ( ) 37,012,035,040,01 =−+−=∪=∩ BAPBAP 
ou ( ) ( ) 37,019,004,006,006,009,019,01 =+++++−=∩ BAP 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
21 
ou ( ) 37,026,011,0 =+=∩ BAP 
 
18.3 - Ser ouvinte das rádios A e B mas não da C. 
( ) ( ) ( ) 06,019,025,0 apenas não mas =−=−= APCAPCABP , já tinha sido calculado. 
 
18.4 - Ser ouvinte apenas da rádio A. 
( ) ( ) ( ) 19,055,074,0 apenas =−=∪−∪∪= CBPCBAPAP , já tinha sido calculado. 
 
19 - Calcule a probabilidade de sair pelo menos uma vez o número “1”, quando se lança um dado 
3 vezes. 
Sair “pelo menos uma vez o número 1” é complementar de “ nunca sair o 1”. Calculemos a probabilidade 
deste último. 
( ) 579,0
216
125
6
5
6
5
6
5
1 osair nunca ==××=P então ( ) 421,0579,011 o vezuma menos pelosair =−=P 
 
20 - São escolhidas duas cartas ao acaso de um baralho. Qual a probabilidade de sair um “Black 
Jack”? Isto é, qual a probabilidade de uma carta ser um Às e a outra um Rei, uma Rainha, um 
Valete ou um Dez? 
Tal como nos é dito, um Black Jack é um conjunto de duas cartas nas quais se tem um Ás e uma outra carta 
que pode ser um Rei, uma Rainha,um Valete ou um Dez. Assim, e para o Ás, podemos definir dois 
acontecimentos: 
A1 - primeira carta um Ás; 
A2 -segunda carta um Ás. 
Relativamente à outra carta, o Rei, a Rainha, o Valete ou o Dez, podemos igualmente definir dois 
acontecimentos: 
B1 - primeira carta ser Rei ou Dama ou Valete ou Dez; 
B2 - segunda carta ser Rei ou Dama ou Valete ou Dez. 
( ) ( ) ( ) 0483,045116521651452JackBlack 2121 =×+×=∩+∩= ABPBAPP 
 
21 - (Gama 23, adaptado, pág. 139) Há um saco preto que contém 9 bolas coloridas, sendo 1 bola 
branca, 1 amarela, 1 azul, 2 verdes, 2 vermelhas e 2 castanhas. Retiraram-se 3 bolas sucessivamente 
do saco e registou-se a cor de cada uma. Determine: 
21.1 - A probabilidade de, pelo menos, uma das 3 bolas ser vermelha, sabendo que a experiência 
foi realizada com reposição. 
Saco com 9 bolas: 
• 1 branca 
• 1 amarela 
• 1 azul 
• 2 verdes 
• 2 vermelhas 
• 2 castanhas 
Retiraram-se 3 bolas sucessivamente, sabendo que a experiência foi realizada com reposição. 
P(1 vermelha)=P(1 vermelha)+P(2 vermelhas)+P(3 vermelhas) 
O problema pode ser resolvido a partir de: 1-P(0 vermelhas), ou seja: ( )
9
7
1 =− VVVP , sendo que o 
numerador é calculado através da subtracção do numero total de bolas pelo numero de bolas vermelhas(9-
2=7). Mas como é com reposição e a experiência foi realizada 3 vezes… 
P (pelo menos uma V)=1–P(nenhuma V = ( ) 529,0471,01
9
7
11
3
=−=




−=− VVVP 
 
21.2 - A probabilidade de, exactamente, uma das 3 bolas ser vermelha sabendo que a experiência 
foi realizada sem reposição. 
Este exercício pode ser resolvido de várias formas 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
22 
( ) ( ) ( ) 5,0
2
1
6
1
6
1
6
1
7
2
8
6
9
7
7
6
8
2
9
7
7
6
8
7
9
2 ==++=




 ××+




 ××+




 ××=++ VVVPVVVPVVVP 
Mas também podia ser desta forma: 
P(exactamente uma ser V)=P(VNN)+P(NVN)+P(NNV) ( ) 5,0
7
6
8
7
9
2
33 =×××=×= VVVP e o processo 
pode ser explicado do seguinte modo: 
Na primeira tiragem são duas bolas vermelhas em nove, na segunda consideram-se sete não vermelhas em 
oito (porque já se retirou uma bola), e na terceira são seis não vermelhas em sete (porque já se retiraram duas 
bolas). 
 
22 - Lança-se um dado perfeito, de faces numeradas de “1” a “6”, três vezes seguidas. Determine a 
probabilidade de: 
A probabilidade de sair qualquer uma das faces é 
6
1
 porque os acontecimentos elementares são equiprováveis. 
22.1 - Obter a face com o número “5” no terceiro lançamento? 
P(obter face “5” no 3º lançamento)= 1666,0
6
1 = (aquilo que saiu antes não influencia o resultado). 
 
22.2 - Obter uma e uma só vez a face com o número “4”? 
P(obter uma e uma só face “4”)= ( ) ( ) ( ) =




 ××+




 ××+




 ××=++
6
1
6
5
6
5
6
5
6
1
6
5
6
5
6
5
6
1
444444444 PPP 
35,0
72
25
216
25
216
25
216
25
6
1
6
5
6
5
6
5
6
1
6
5
6
5
6
5
6
1 ==++=




 ××+




 ××+




 ××= 
 
22.3 - Obter pela primeira vez a face com o número “2” no terceiro lançamento? 
P(obter pela primeira vez face “2” no 3º lançamento)= ( ) 12,0
216
25
6
1
6
5
6
5
222 ==




 ××=P 
 
23 - O Tobias vai fazer um duelo com o Rambo. A probabilidade do Tobias acertar o tiro no 
Rambo, em qualquer um dos rounds, é 0,4 e a probabilidade do Rambo acertar, em qualquer um 
dos rounds, é 0,9. Em cada round o Tobias é o primeiro a disparar e depois é o Rambo, se ainda 
estiver vivo. Calcule a probabilidade do Tobias sobreviver a este duelo sabendo que cada um deles 
dispõe de 2 balas. 
TAi – Tobias acertou no tiro i, com i=1;2►0,4 
TEi – Tobias errou no tiro i, com i=1;2►1-0,4=0,6 
RAi – Rambo acertou no tiro i, com i=1;2►0,9 
REi – Rambo errou no tiro i, com i=1;2►1-0,9=0,1 
P(Tobias sobreviver)=P(T acertar à 1ª)+P(T acertar à 2ª)+P(R não acertar)= 
=P(TA1)+P(TE1)×P(RE1)×P(TA2)+P(TE1)×P(RE1)×P(TE2)×P(RE2)= 
( ) ( ) ( ) 4276,01,06,01,06,04,01,06,04,0 =×××+××+= 
 
24 - Na biblioteca de uma escola a probabilidade de encontrar alguém a ler um livro é 0,6, a 
probabilidade de encontrar alguém a ler uma revista científica é 0,4 e a probabilidade de estar 
alguém a ler um livro ou uma revista é 0,7. Qual a probabilidade de: 
( ) 6,0livroler =P , ( ) 4,0revistaler =P e ( ) 7,0=∪ RLP 
 
24.1 - Não se encontrar ninguém a ler nem um livro nem uma revista? 
( ) 3,07,01 =−=∪ RLP 
 
24.2 - Estar alguém a fazer apenas uma das duas coisas? 
( ) ( ) ( ) 4,03,07,0coisas das uma apenas =−=−∪= LRPRLPP 
Cálculo auxiliar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,07,01 =−==−+=∪ LRPLRPRPLPRLP 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
23 
Probabilidades Condicionadas 
Teoremas de Bayes e da Probabilidade Total 
 
25 - Uma loja de brinquedos emprega 3 senhoras para fazerem embrulhos durante a época de 
Natal. Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 3% das vezes; Helena 
embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 8% das vezes; Joana, que embrulha os 
restantes presentes, esquece-se 5% das vezes de tirar o preço. Suponha que tinha ido a essa loja 
verificando, em casa, que o seu presente tinha preço. 
P(R) = 0,30 P(H) = 0,20 P(J) = 1 – (0,30 + 0,20) = 0,50 
P(P|R) = 0,03 P(P|H) = 0,08 P(P|J) = 0,05 
25.1 - Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana. 
P(J|P) = [P(P|J) × P(J)] / P(P) = [0,05 × 0,50] / 0,05 = 0,50 
Calcula-se primeiro P(P): 
P(P) = P(R) × P(P|R) + P(H) × P(P|H) + P(J) × P(P|J) = 
= 0,30 × 0,03 + 0,20 × 0,08 +0,50 × 0,05 = 0,05 
 
25.2 - Qual a empregada que mais provavelmente o terá embrulhado? 
Faz-se o mesmo tipo de cálculo para a Raquel e para a Helena e obtém-se: 
P(R|P) = 0,32; P(H|P) = 0,18. Como para a Joana tínhamos P(J|P) = 0,50, logo é a Joana. 
 
26 - Um agricultor produz sementes de uma leguminosa em 3 campos distintos A, B e C; em A 
produz 12% das sementes, em B 30% e as restantes em C. Para que possam ser homologadas para 
comercialização não podem apresentar mais que uma determinada percentagem de impurezas e 
de sementes de infestantes. Sabe-se por amostragem que 2% dos sacos de sementes provenientes 
de A, 3% dos provenientes de B e 5% dos provenientes de C são rejeitados. 
P(A) = 0,12 P(B) = 0,30 P(C) = 1 – (0,12 + 0,30) = 0,58 
P(R|A) = 0,02 P(R|B) = 0,03 P(R|C) = 0,05 
 
26.1 - Qual a probabilidade de um saco escolhido ao acaso ser recusado. 
P(R) = P(A) × P(R|A) + P(B) × P(R|B) + P(C) × P(R|C) = 
= 0,12 × 0,02 + 0,30 × 0,03 + 0,58 × 0,05 = 0,0404; 
 
26.2 - Se posteriormente se retirar um saco e se verificar que é para recusar determine a 
probabilidade de ser proveniente do campo B. 
P(B|R) = [P(R|B) × P(B)] / P(R) = [0,03 × 0,30]/0,0404 = 0,223 
 
27 - Um comerciante recebe ovos de 3 proveniências: A, B e C, segundo as seguintes percentagens: 
A – 10%, B – x%, C – y% 
A percentagem de ovos estragados varia segundo as proveniências e sabe-se que, dos ovos 
provenientes de A, 5% são estragados; dos ovos provenientes de B, 10% são estragados; dos ovos 
provenientes de C, 15% são estragados. 
Por outro lado sabe-se que 12% do total dos ovos recebidos pelo comerciante são estragados. 
Calcular x e y. 
P(A) = 0,10 P(B) = x P(C) = y 
P(E|A) = 0,05 P(E|B) = 0,10 P(E|C) = 0,15 
P(E) = 0,12 
 
Como temos 2 incógnitas vamos resolver por um sistema. Quais são as equações do sistema? Uma, é a 
expressão de cálculo da probabilidade total de “estragados”, a outra é a soma das percentagens de ovos por 
proveniência que terá de somar 100%. 
 
⇔



=++
=×+×+×=
1)()()(
12,0)|()()|()()|()()(
CPBPAP
CEPCPBEPBPAEPAPEP
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
24 
⇔



−=
=×+×−+
⇔



=++
=×+×+×
⇔
yx
yy
yx
yx
90,0
12,015,010,0)90,0(005,0
110,0
12,015,010,005,010,0



=
=
⇔



−=
=
⇔





−=
=
⇔



−=
=
⇔



−=
=+−
⇔
40,0
50,0
50,090,0
50,0
90,0
05,0
025,0
90,0
025,005,0
90,0
025,015,010,0
x
y
x
y
yx
y
yx
y
yx
yy
 
P(B)=0,40 e P(C)=0,50 
 
28 - Gama 19 pág. 139) A e B são fornecedores de um artigo a uma empresa transformadora que o 
armazenanum contentor. Sabe-se que 5% dos artigos de A e 9% dos artigos de B são defeituosos, 
razão pela qual A fornece à referida empresa transformadora o quádruplo de B. 
Foi escolhido ao acaso um dos artigos do contentor e verificou-se que não é defeituoso. Qual é a 
probabilidade de ter sido fornecido por A? 
05,0)|( =ADP e 09,0)|( =BDP ; logo 95,0)|( =ADP e 91,0)|( =BDP . 
)(4)( BPAP ×= 
51)(1)(51)()(41)()( =⇔=⇔=+×⇔=+ BPBPBPBPBPAP e assim sendo 54514)( =×=AP 
Então: 
058,009,05105,054)|()()|()()( =×+×=×+×= BDPBPADPAPDP , logo 942,0058,01)( =−=DP 
E assim: 
[ ] 807,0942,0/8,095,0)(/)()|()|( =×⇔×= DPAPADPDAP 
 
29 - (Exame 13set13) Numa joalharia há três armários: um com 2 gavetas e os outros dois com 3 
gavetas: 
� armário das 2 gavetas há um relógio de ouro numa gaveta e um de prata na outra; 
� um dos armários das 3 gavetas há um relógio de prata em cada gaveta; 
� outro armário das 3 gavetas existem 2 gavetas com um relógio de ouro e a outra gaveta 
com um relógio de prata. 
A experiência consiste em escolher ao acaso um armário e abrir aleatoriamente uma das gavetas. 
 
3 Armários: A1 (2 gavetas) ► ( )OP; ► ( )1| APP ► 
2
1
 
 A2 (3 gavetas) ► ( )PPP ;; ► ( )2| APP ► 1 
 A3 (3 gavetas) ► ( )OPP ;; ► ( )3| APP ► 
3
1
 
 
29.1 - Qual a probabilidade de encontrar um relógio de prata? 
( ) ( ) ( )
3
1
321 === APAPAP 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =×+×+×= 332211 ||| APPAPAPPAPAPPAPPP 
( ) 611,0
18
11
3
1
3
1
1
3
1
2
1
3
1 ==×+×+×== PP 
 
29.2 - Supondo que depois da experiência se obteve um relógio de ouro, qual a probabilidade de 
ter sido do armário das 2 gavetas? 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) 4286,0
18
11
1
3
1
2
1
1
||
| 11111 =
−
×
=
−
×=×=
PP
APAOP
OP
APAOP
OAP 
 
30 - Uma empresa recebe diariamente leite de 3 distritos diferentes. Ao chegar cada entrega o 
produto é classificado de acordo com a qualidade em regular (R), bom (B) e extra (E). Determinar a 
origem mais provável de um lote recentemente entregue sabendo que é de qualidade extra e que 
as classificações até à data são: 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
25 
Distritos Total entregue (l) 
Quantidade (l) 
R B E 
1 1 000 000 200 000 500 000 300 000 
2 3 000 000 500 000 2 000 000 500 000 
3 2 500 000 600 000 1 500 000 400 000 
 Σ=1 200 000 
 
Determinar a origem mais provável de um lote, sabendo que é de qualidade extra: 
( ) 25,0
4
1
12
3
1200000
300000
|1 ====EP 
( ) 42,0
12
5
1200000
500000
|2 ===EP 
( ) 33,0
3
1
12
4
1200000
400000
|3 ====EP 
Portanto a origem mais provável é 0,42, que corresponde ao lote do distrito 2. 
Repare que esta conclusão podia ser tirada observando apenas a coluna de leite de qualidade extra. Como se 
pode reparar, é o distrito que apresenta maior “peso” na qualidade extra. 
 
31 - (Gama 20 pág. 139) Numa sala estão três caixas iguais, numeradas de 1 a 3 e contendo bolas 
coloridas conforme se mostra na tabela: 
Caixa 
Nº bolas 
vermelhas 
Nº bolas 
brancas 
Nº bolas 
azuis 
 
1 2 3 5 Σ=10 
2 4 1 3 Σ=8 
3 3 4 3 Σ=10 
De uma caixa seleccionada aleatoriamente extraiu-se uma bola e verificou-se que era vermelha. 
Qual a probabilidade de ter sido retirada da caixa 3? 
 
Acho que a resolução mais correcta é a seguinte: 
Aqui, P(V) deve ser calculado através do teorema das probabilidades totais porque existem três 
“probabilidades de ser vermelha”, uma em cada subconjunto. Assim a P(V) total terá que ser calculada deste 
modo. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1
3
1
10
3
3
1
8
4
3
1
10
2
33|22|11| =×+×+×=×+×+×= PVPPVPPVPVP 
CA: 
Caixa 1: ( ) 10
2
532
2 =
++
Vermelhas
 
Caixa 2: ( ) 8
4
314
4 =
++
Vermelhas
 
Caixa 3: ( ) 10
3
343
3 =
++
Vermelhas
 
 
32 - Uma empresa tem n clientes de entre os quais k estão satisfeitos. Num inquérito a 2 clientes 
calcule a probabilidade de: 
32.1 - Escolher dois clientes satisfeitos; 
( )
nn
kk
n
k
n
k
P
−
−=
−
−×=
2
2
1
1
ssatisfeito clientes 2ter 
 
32.2 - O segundo cliente escolhido estar satisfeito. 
( ) ( ) ( ) =
−
×−+
−
−×=+=
11
1
;;satisfeitoestar cliente 2º o
n
k
n
kn
n
k
n
k
SSPSSPP 
( )
( ) n
k
nn
nk
nn
kkn
nn
kknkk
nn
kkn
nn
kk =
−
−=
−
−=
−
−+−=
−
−+
−
−=
1
1
22
22
2
2
2
2
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
26 
 
33 - Uma empresa de distribuição tem 20%, 30% e 50% dos seus clientes nos distritos de Leiria, 
Santarém e Lisboa. A probabilidade de um cliente escolhido ao acaso comprar o produto X é igual 
a 0,4 no distrito de Leiria, 0,7 no distrito de Santarém e 0,6 no distrito de Lisboa. 
( ) 20,0Leiria =P ( ) 30,0Santarém =P ( ) 50,0Lisboa =P 
( ) 40,0Leiria =X|P ( ) 70,0Santarém =X|P ( ) 60,0Lisboa =X|P 
33.1 - Calcule a probabilidade de um cliente escolhido ao acaso comprar o produto X. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =×+×+×= LisboaLisboaSantarémSantarémLeiriaLeiria X|PPX|PPX|PPXP 
59,060,050,070,030,040,020,0 =×+×+×= 
 
33.2 - Os acontecimentos “cliente escolhido ao acaso comprou o produto X” e “cliente escolhido ao 
acaso é de Santarém” são independentes? Justifique. 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 21,030,070,0SantarémSantarém|SantarémSantarém
Santarém
Santarém| =×=×=∩⇔∩= PXPXP
P
XP
XP
Se os acontecimentos fossem independentes, ( ) ( ) ( ) 177,030,059,0SantarémSantarém =×=×=∩ PXPXP , 
que é diferente de 0,21. Logo estes acontecimentos não são independentes. 
 
33.3 - Telefonou um cliente que comprou o produto X, qual a probabilidade do cliente ser de 
Lisboa? 
( ) ( ) ( )( ) 51,059,0
50,060,0LisboaLisboa|
|Lisboa =×=×=
XP
PXP
XP 
 
34 - Num determinado estabelecimento 8% dos cestos de compras têm fiambre, 6% têm queijo e 
5% têm queijo e fiambre. Interpretando estas frequências relativas como probabilidades: 
( ) 08,0=FP ( ) 06,0=QP ( ) 05,0=FQP 
 
34.1 - Calcule o quociente entre a probabilidade da intersecção e a probabilidade da intersecção sob 
a hipótese de independência, para as compras de fiambre e queijo. Interprete este quociente. 
Se ( )Fiambre""comprar de ntosacontecimeF e ( )Queijo""comprar de ntosacontecimeQ fossem dois 
acontecimentos independentes, ( ) ( ) ( ) 0048,006,008,0 =×=×= QPFPFQP . O quociente entre ( )FQP e 
( )FQP , considerados independentes, vem: ( )( ) 42,100048,0
05,0 ==
teindependenFQP
FQP . 
Portanto a probabilidade real de um cliente comprar “F” e “Q” é mais de 10 vezes superior à probabilidade 
de um cliente comprar “F” e “Q”, caso estes acontecimentos fossem independentes. Significa isto que há uma 
forte dependência entre a compra de “F” e “Q” por parte dos clientes. 
 
34.2 - Neste estabelecimento 5% dos homens compram fiambre e 10% das mulheres compram 
fiambre. Qual a probabilidade de um cliente que entra no estabelecimento ser homem? 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔=×+×= 08,0|| MPMFPHPHFPFP 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 40,0
05,0
02,0
10,008,005,008,0110,005,0 =⇔
−
−=⇔−=×−⇔=−×+×⇔ HPHPHPHPHP 
 
35 - Os clientes do clube de vídeo BOM FILME foram segmentados em 3 grupos de acordo com a 
frequência de alugueres: segmento 1 (“heavy users”), segmento 2 (“medium users”), e segmento 3 
(“light users”). Os 3 segmentos representam 15%, 35% e 50% dos clientes. Em cada um desses 
segmentos, a proporção de alugueres de filmes de ação é respetivamente 45%, 5% e 20%. 
( ) 15,01 Segmento =P ( ) 35,02 Segmento =P ( ) 50,03 Segmento =P 
( ) 45,01 Segmento =A|P ( ) 05,02 Segmento =A|P ( ) 20,03 Segmento =A|P 
35.1 - Qual a probabilidade de um cliente escolhido ao acaso não alugar um filme de acção? 
( ) ( ) 815,0185,011 =−=−= APAP 
CA: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =×+×+×= 3 Seg3 Seg2 Seg2 Seg1 Seg1 Seg A|PPA|PPA|PPAP 
1850200500050350450150 ,,,,,,, =×+×+×= 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
27 
 
35.2 - Os acontecimentos “pertence ao segmento 1” e “alugou um filme de ação” são 
independentes? Justifique. 
Se os acontecimentos forem independentes: 
( ) ( ) ( ) 02775,0185,015,01 Segmento1 Segmento =×=×=∩ APPAP 
Na realidade, e através da expressão ( ) ( )( )1 Segmento
1 Segmento
1 Segmento
P
AP
A|P
∩= , temos que: 
( ) ( ) ( ) 0675,045,015,01Segmento1 Segmento1 Segmento =×=×=∩ A|PPAP . 
Podemos então concluir que estes acontecimentos não são independentes. 
 
35.3 - Qual o segmento mais provável, sabendo que alugou um filme de ação? 
( ) ( ) ( )( ) 365,0185,0
15,045,01 Segmento1 Segmento
|1 Segmento =×=×=
AP
PA|P
AP 
( ) ( ) ( )( ) 095,0185,0
35,005,02 Segmento2 Segmento
|2 Segmento =×=×=
AP
PA|P
AP 
( ) ( ) ( )( ) 540,0185,0
50,020,03 Segmento3 Segmento
|3 Segmento =×=×=
AP
PA|P
AP 
O segmento mais provável é o segmento 3. 
 
35.4 - Entram 3 clientes no clube de vídeo, qual a probabilidade de pertencerem todos a segmentos 
diferentes? 
( ) =diferentes Segmentos de serem clientes 3P 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++++= 123213132312231321 ; S; SSP; S; SSP; S; SSP; S; SSP; S; SSP; S; SSP 
( ) 1575,050,035,015,06 =×××= 
 
36 - Um laboratório realiza testes para diagnosticar uma determinada doença que incide sob 3% da 
população. A probabilidade de um teste diagnosticar a doença a uma pessoa doente é igual a 0,86 e 
a probabilidade de diagnosticar como tendo a doença uma pessoa saudável é igual a 0,1. Calcule a 
probabilidade de: 
Sejam: 
P=O acontecimento “teste dar positivo”; 
S=O acontecimento “ser saudável”; 
D=O acontecimento “ser doente”. 
( ) 030,DP = ( ) 97,0=SP ( ) 86,0| =DPP ( ) 10,0| =SPP 
36.1 - Ser diagnosticada a doença a uma pessoa; 
Ser diagnosticada a doença significa que o teste dá positivo 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1228,010,097,086,003,0|| =×+×=×+×= SPPSPDPPDPPP 
 
36.2 - Uma pessoa com resultado positivo no teste ter a doença. 
( ) ( ) ( )( ) 21,01228,0
03,086,0|
| =×=×=
PP
DPPDP
PDP 
 
37 - Numa empresa de torrefação de café existem 3 máquinas de ensacar grão torrado, A, B e C. A 
máquina C ensaca o dobro da quantidade de A, ensacando as máquinas A e B a mesma 
quantidade. No total 2,5% dos sacos têm defeito. Sabe-se que 3% e 2,5% dos sacos com defeito são 
oriundos das máquinas B e C respectivamente. Verificou-se que um dado saco é defeituoso. Qual a 
probabilidade de ter sido produzido por A? 
( ) 250,AP = ( ) 25,0=BP ( ) 50,0=CP 
( ) ?| =ADP ( ) 03,0| =BDP ( ) 025,0| =CDP ( ) 025,0=DP 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇔×+×+×= CDPBDPADPDP |50,0|25,0|25,0 
( ) ( ) ⇔+×=⇔×+×+×=⇔ 02,0|25,0025,0025,050,003,025,0|25,0025,0 ADPADP 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
28 
( ) ( ) ( ) ( ) 02,0||
25,0
005,0
|25,0005,0|25,002,0025,0 =⇔=⇔×=⇔×=−⇔ ADPADPADPADP 
 
38 - Uma empresa de transporte público tem três linhas numa cidade, de forma que 45% dos 
autocarros cobre o serviço da linha 1, 25% cobre a linha 2 e 30% cobre a linha 3. Sabe-se que a 
probabilidade de que, diariamente, um autocarro avarie é de 2%, 3% e 1% respetivamente para 
cada linha. 
( ) 4501 ,LP = ( ) 2502 ,LP = ( ) 3003 ,LP = 
( ) 02,0| 1 =LAP ( ) 03,0| 2 =LAP ( ) 01,0| 3 =LAP 
38.1 - Calcule a probabilidade de que, num dia, um autocarro sofra uma avaria? 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔×+×+×= 332211 ||| LPLAPLPLAPLPLAPAP 
( ) ( ) 0195,030,001,025,003,045,002,0 =⇔×+×+×=⇔ APAP 
 
38.2 - Sabendo que um autocarro não sofreu avaria, calcule a probabilidade de o mesmo cobrir o 
serviço da linha 3. 
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
( )
303,0
0195,01
30,001,01
1
|1|
| 33333 =−
×−=
−
×−
=
×
=
AP
LPLAP
AP
LPLAP
ALP 
 
39 - Suponha que num inquérito 30% dos inquiridos tem formação superior, 50% tem formação 
técnico-profissional e 20% não tem formação específica. 
Sendo a percentagem de desempregados em cada um dos grupos anteriores de 15, 5 e 25% 
respetivamente: 
 
Figura 1 
( ) 30,FSP = ( ) 50,TPP = ( ) 20,SFEP = 
( ) 15,0| =FSDP ( ) 05,0| =TPDP ( ) 25,0| =SFEDP 
39.1 - Qual a probabilidade de estar desempregado? 
( ) ( ) 075,025,02,005,05,015,03,0 =⇔×+×+×= DPDP 
 
39.2 - Qual a probabilidade de estar empregado, sabendo que não tem formação superior? 
 
Figura 2 
( )FSDP | , corresponde à área escura dentro da totalidade da Figura 2. 
Podemos calcular: 
( ) ( ) ( ) 7,02,05,0 =+=+= SFEPTPPFSP 
Calculamos primeiro a parte correspondente à área riscada: 
( ) ( ) ( ) 075,005,0025,0 =+=∩+∩=∩ SFEDPTPDPFSDP 
CA: 
( ) ( ) ( ) 025,05,005,0| =+=×=∩ TPPTPDPTPDP 
( ) ( ) ( ) 05,02,025,0| =+=×=∩ SFEPSFEDPSFEDP 
Correspondente à probabilidade de ter emprego e não ter formação: 
( ) ( ) 625,0075,07,07,0 =−=∩−=∩ FSDPFSDP 
Portanto estar empregado, sabendo que não tem formação superior será: 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
29 
( ) ( )( ) 893,07,0
625,0
| ==∩=
FSP
FSDP
FSDP 
 
39.3 - Os acontecimentos “ter formação técnico-profissional” e “estar desempregado” são 
independentes? 
( ) ( ) ( ) 025,05,005,0| =×=×=∩ TPPTPDPDTPP 
( ) ( ) 0375,05,0075,0 =×=× TPPDP 
Os acontecimentos não são independentes ( ) ( ) ( )TPPDPDTPP ×≠∩ . 
 
40 - Suponha que a entrevista de candidatura a um emprego, é uma experiência aleatória e que a 
nossa atenção se centra em dois acontecimentos “o candidato tem boa aparência” (acontecimento 
A) e “o candidato conseguiu o emprego” (acontecimento E). Sabendo que ( ) 5,0=AP , ( ) 3,0=EP , e 
( ) 6,0=∪ EAP . 
40.1 - Calcule a probabilidade de: 
40.1.1 - O candidato ter boa aparência e conseguir o emprego; 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,06,03,05,03,05,06,0 =⇔−+=⇔−+=⇔−+=∪ AEPAEPAEPAEPEPAPEAP 
 
40.1.2 - O candidato ter boa aparência sabendo que conseguiu o emprego. 
( ) ( )( ) 67,03,0
2,0
| ===
EP
AEP
EAP 
 
40.2 - Os acontecimentos “o candidato tem boa aparência” e “o candidato conseguiu o emprego” 
são independentes? Justifique. 
Conclui-se pela alínea anterior que ( ) ( )APEAP ≠| , logo não são independentes. ??????? 
 
 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
30 
FICHA 3 
 
Variáveis Aleatórias Unidimensionais 
 
1 - (Gama 1, pag 198) Considere as variáveis aleatórias seguintes. Indique quais são as variáveis 
aleatórias discretas e contínuas justificando a resposta. 
1.1 - M = idade de uma estrela escolhida ao acaso. 
1.2 - N = número de estrelas que se podem observar, à noite, a olho nu. 
1.3 - O = número de avarias de uma máquina num intervalo de tempo. 
1.4 - P = tempo entre avarias consecutivas de uma máquina. 
1.5 - Q = classificação média obtida pelos alunos do 12º ano, no exame nacional de Matemática de 
um determinado ano lectivo. 
1.6 - R = número de alunos do 12º ano com classificação negativa, no exame nacional de 
Matemática de um determinado ano lectivo. 
1.7 - S = número de cabelos de uma mulher. 
1.8 - T = duração de uma partida de futebol. 
1.9 - U = número de interrupções numa partida de futebol. 
1.10 - V = quantidade de comida (em kg) ingerida, por dia, por um adulto. 
1.11 - W = número de espectadores numa partida de futebol disputada num estádio com lotação 
de 50 000 pessoas. 
1.12 - X = produção diária de leite numa fábrica de lacticínios. 
1.13 - Y = produção diária de uma fábrica de parafusos. 
1.14 - Z = produção diária de calças de uma fábrica de confecções. 
Variáveis discretas: 1.2; 1.3; 1.6; 1.7; 1.9; 1.11; 1.13; e 1.14; 
Variáveis contínuas: 1.1, 1.4; 1.5; 1.8; 1.10 e 1.12. 
 
2 - Uma célula por multiplicação origina, no máximo, 4 células filhas. A probabilidade de formação 
de x células filhas é dada por: 
x 1 2 3 4 
f(x) 1/4 3/8 1/8 1/4 
 
Acumulado 2/8 5/8 6/8 8/8=1 
Para resolver exercícios deste género, é aconselhável a inserção de uma linha com os acumulados, que como se 
pode verificar nas alíneas do exercício, facilita a resolução dos mesmos. 
 
2.1 - Verificar que f(x) é uma função de probabilidade. Traçar o gráfico de f(x). 
f(x)≥0, { }4,3,2,1∈∀x e 14/18/18/34/1 =+++ 
 
 
2.2 - Determinar a função de distribuição F(x) e traçar o respectivo gráfico. 
 
 








≥
<≤
<≤
<≤
<
=
4;1
43;8/6
32;8/5
21;4/1
1;0
)(
x
x
x
x
x
xF 
 
 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
31 
Na primeira parte dos ramos da função, começando em 0, coloca-se os acumulados, terminando assim em 1, 
que representa 100% do universo em estudo, sendo que na primeira parte do ramo se coloca o valor 
acumulado da parte inferior em que se situa o valor de x. 
 
2.3 - Calcular a probabilidade deformação de pelo menos 2 células filhas. 
Há duas hipóteses para resolver este problema, ou consideramos os acumulados maiores que 2 (neste caso o x 
é “3”), ou consideramos o universo (1=100%) subtraído do acumulado menor que 2 (neste caso o x é “1”), 
não se considerando para o efeito o sinal de igual. 
4/38/18/34/1)2( =++=≥XP ou 4/34/11)1(1)2( =−=−=≥ FXP 
 
3 - O número de lançamentos num ramo é uma variável aleatória X, que toma os valores x, com 
probabilidade p(x) = k x , x = 1, 2,..., 10. 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
p(x) 1k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k 10 k 
 
Acumuladas 
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 
1/55 3/55 6/55 10/55 15/55 21/55 28/55 36/55 45/55 55/55 
Simples 1/55 2/55 3/55 4/55 5/55 6/55 7/55 8/55 9/55 10/55 
3.1 - Calcular k de modo que p(x) seja uma função de probabilidade. 
55/1110987654321 =⇔=+++++++++ kkkkkkkkkkk 
 
3.2 - Calcular a probabilidade de um ramo ter 2 lançamentos. 
55/2)2()2( === pXP 
 
3.3 - Calcular o número médio de lançamentos por ramo. 
7
55
385
55
10
10
55
9
9
55
8
8
55
7
7
55
6
6
55
5
5
55
4
4
55
3
3
55
2
2
55
1
1 ==×+×+×+×+×+×+×+×+×+×=µ 
Lançamentos por ramo. 
 
4 - Sendo X uma variável aleatória com função de probabilidade: 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 
f(x) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,1 
 
Acumulado 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 0,9 1 = 100% 
Para resolver exercícios deste género, é aconselhável a inserção de uma linha com os acumulados, que como se 
pode verificar nas alíneas do exercício, facilita a resolução dos mesmos. 
 
4.1 - Determinar a função de distribuição de X. 















≥
<≤
<≤
<≤
<≤
<≤
<≤
<≤
<
=
7;1
76;9,0
65;8,0
54;6,0
43;4,0
32;3,0
21;2,0
10;1,0
0;0
)(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xF 
 
4.2 - Calcular P(X > 2), P(X < 4), P(X ≥ 1X ≤ 4). 
%707,01,01,02,02,01,0)2( ==++++=>XP ou %707,03,01)2( ==−=>XP 
%404,01,01,01,01,0)4( ==+++=<XP 
%33,838333,0
6
5
6,0
5,0
2,01,01,01,01,0
2,01,01,01,0
)4(
)41(
)4|1( ====
++++
+++=
≤
≤≤=≤≥
XP
XP
XXP 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
32 
 
4.3 - Calcular µ e σ. 
7,31,071,062,052,041,031,021,011,00)( =×+×+×+×+×+×+∑ ×+×=×= xfxµ 
∑ =−×= 222 )( µσ xfx 
=−×+×+××+×++×+×+×= 222222222 7,31,071,061,02,052,0431,021,011,00 
41,469,131,18 =−= 
1,241,4 ==σ 
 
5 - Numa experiência com um inibidor de apetite, o número de refeições, N, que um rato toma por 
dia é anotado. Em cada dia são fornecidas 2 refeições. 
Tendo N uma função de probabilidade 2 ,1 ,0= , 
2
1
7
4
)(
n
nnNP 




== , calcular a média e a variância 
do número de refeições comidas por dia. 
Temos que calcular primeiro a função de probabilidade: 
n 0 1 2 
P(N=n) 
7
4
 
2
1
7
4 0 =





 
7
2
 
2
1
7
4 1 =





 
7
1
 
2
1
7
4 2 =





 
( ) ( ) ( ) 7/47/227/217/40)( =×+∑ ×+×=×= NPxµ 
( ) ( ) ( ) ( ) 53,07/47/127/217/40)( 2222222 =−×+∑ ×+×=−×= µσ NPx 
 
6 - Sendo X uma variável aleatória discreta com função de distribuição: 















≥
≤
≤
≤
≤
=
4 , 1
4<2 ; 
8
6
2<0 ; 
8
5
0<2- ; 
8
3
2-<4- ; 
8
1
4-< ; 0
)(
x
x
x
x
x
x
xF
 Determinar a função de probabilidade f(x), µ e σ2 . 
Para resolver este problema precisamos de definir a função de probabilidade f(x). 
O raciocínio que deve ser feito será um raciocínio contrário àquele que se faz quando, a partir da função de 
probabilidade, se pede a função de distribuição, F(x). Se analisarmos a função F(x) percebemos que, até ao 
ponto “-4” (exclusive), isto é, para “x<-4”, a probabilidade acumulada é “0”. Já a partir deste ponto, isto é, 
de “x=-4” e até ao ponto “x=-2” (exclusive), isto é, no intervalo “x≤-4”, a probabilidade acumulada é 
“1/8”. Ora isto só é possível se no ponto “x=-4” a probabilidade for “1/8” e daí até “x=-2” (exclusive) não 
houver nenhum ponto de probabilidade diferente de “0”. 
No ponto “x=-2” a probabilidade acumulada passa para “3/8”; ora isso só é possível se, nesse ponto, 
houver um acréscimo de probabilidade de “2/8”. Repare-se que essa probabilidade acumulada se mantém 
até “x=0” (exclusive), o que significa que, desde o ponto “x=-2” até “x=0” (exclusive), não houve nenhum 
ponto com probabilidade diferente de “0”. 
Este raciocínio terá que ser feito para todos os outros pontos apresentados na F(x). 
A função de probabilidade f(x) vem então: 
X -4 -2 0 2 4 
f(x) 1/8 2/8 2/8 1/8 2/8 
Neste caso para calcular f(x), fazemos ao contrário, como f(-4) é 1/8 e o acumulado seguinte é 3/8, basta 
subtrair 3/8 – 1/8, e chegamos ao f(-2), e assim sucessivamente. 
 
Podemos agora calcular µ e σ2. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ =×+×+×+×−+×−=×= 4/18/248/128/208/228/14)(xfxµ 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
33 
( ) ( )∑ =−×+×+×+×−+×−=−×= 44,74/18/248/128/208/228/14)( 222222222 µσ xfx 
 
7 - Um dado produto pode ser classificado, consoante a sua qualidade, em 5 classes distintas: 1, 2, 
3, 4 e 5. Sendo X a classe atribuída ao produto, com função de probabilidade: 
x 1 2 3 4 5 
f(x) K 2k 4k 2k k 
 
Simples 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 1=100% 
Acumuladas 0,1 0,3 0,7 0,9 1=100% 
7.1 - Determinar k. 
1,01101242 =⇔=⇔=++++ kkkkkkk 
 
7.2 - Qual a probabilidade de que um produto tomado ao acaso, tenha uma classificação menor do 
que 4 e superior a 1? 
Classificação menor que 4 e superior a 1 são as classificações 2 e 3, portanto basta somar as duas. 
604020)3()2(41 ,=,+,=X=+PX=) = P<X<P( 
 
7.3 - Calcular “1 – F(2)”, e indicar o seu significado. 
1-F(2)=1–0,3 (acumulada)=0,7 e significa a probabilidade de, escolhendo ao acaso, obter um produto com 
qualidade superior à segunda (X=2). 
 
8 - Sendo X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é a seguinte: 
x 0 1 2 3 4 5 
P(X = x) 0,100 0,300 0,400 0,100 0,050 0,050 
 
Acumuladas 0,1 0,4 0,8 0,9 0,95 1=100% 
8.1 - Representar graficamente a respectiva função de distribuição. 











≥
<≤
<≤
<≤
<≤
<≤
<
=
5,0,1
54,95,0
43,9,0
32,8,0
21,4,0
10,1,0
0,0
)(
x
x
x
x
x
x
x
xF 
 
8.2 - Calcular P(X < 4,5), P(X ≥ 2), P(X ≥ 2X ≤ 4) e P(2<X<4,5). 
95,0)5,4(5,4)( ==< FXP Se é menor que 4,5, verifica-se a frequência acumulada no “x” mais próximo, que 
é o 4. 
6,0)2( =≥XP Neste caso podemos fazer de duas maneiras, ou subtraímos 1-F(1)=1–0,4=0,6; ou então 
somamos todas as frequências relativas maiores ou iguais que 2: 
0,400+0,100+0,050+0,050=0,6. 
579,0
95,0
4,095,0
)4(
)1()4(
)4(
)42(
)4|2( =−=−=
≤
≤≤=≤≥
F
FF
XP
XP
xXP Também poderia ser feito através das 
frequências simples: 579,0
95,0
55,0
05,01,04,03,01,0
05,01,04,0
)4(
)42( ==
++++
++=
≤
≤≤
XP
XP 
15,08,095,0)3()5,4()5,42( =−=−=<< FFXP Também poderia ser feito através das frequências simples 
15,005,01,0)5,42( =+=<< XP 
 
9 - (Gama, 2, pág. 198) Considere a selecção aleatória de 4 cartas de um baralho de 10 cartas, com 3 
copas, 2 ouros e 5 paus. Seja X a variável aleatória que representa o número de copas seleccionadas 
consecutivamente. Determine: 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
34 
Se se retirarem sucessivamente 4 cartas dum baralho de 10 cartas, onde existem apenas “3 cartas de copas 
(C)” é óbvio que só se podem obter, no máximo 3 cartas de copas sendo as outras não-copas (N). Percebemos 
assim que a nossa variável X só pode assumir os valores 0, 1, 2, 3. 
9.1 - A função de probabilidade de X. 
Para se determinar a função de probabilidade tem que se calcular a probabilidade da variável em estudo, X, 
assumir os valores possíveis (0, 1, 2 e 3). Assim: 
6
1
7
4
8
5
9
6
10
7
)()0( ==NNNN=PX=P ××× Para que não haja copas terá de se começar com 7, sobre o nº total de 
cartas, e como não há reposição, fazem-se as seguintes três tentativas reduzindo no numerador e no 
denominador. 
2
1
7
3
8
5
9
6
10
7
4)(4)()()()()1( ==NNNCP=NNNC+PNNCNPNCNN+PCNNN = PXP ×××××+= As copas 
foram retiradas na última selecção, onde estava 4/7 passou para “3”/7. 
=NNCCP=NNCC+PNCNC+PNCCN+PCNNC+PCNCN+PCCNN=PX=P )(6)()()()()()()2( ×
10
3
7
2
8
3
9
6
10
7
6 == ×××× Ascopas foram retiradas na última selecção (3) e na penúltima (2), ou seja “3”/8 e 
“2”/7, respectivamente. 
30
1
7
1
8
2
9
3
10
7
4)(4)()()()()3( ==CCCNP=NCCC+PCNCC+PCCNC+PCCCN=PX=P ××××× As copas foram 
consideradas nas três últimas posições, “3”/9, “2”/8 e “1”/7. 
 
x 0 1 2 3 
f(x) 1/6 1/2 3/10 1/30 
 
9.2 - A função de distribuição acumulada de X. 








≥
<≤
<≤
<≤
<
=
3,1
32,30/29
21,6/4
10,6/1
0,0
)(
x
x
x
x
x
xF 
 
9.3 - A média e a variância de X. 
∑ =×+×+×+×=×= 5/630/1310/322/116/10)(xfxµ 
( )∑ =−×+×+×+×=−×= 56,05/630/1310/322/116/10)( 22222222 µσ xfx 
 
10 - Dada a função 



 ≤≤
=
x
xx
xf
 de valoresoutros , 0
10 , -
3
4
)(
2
 
10.1 - Mostre que se trata de uma função densidade de probabilidade (fdp). 
Para mostrar que é uma fdp temos que provar que f.(x)≥0 e que 1)( =∫+∞∞− dxxf . 
Fazer o gráfico para ver que f.(x) está sempre “acima” do eixo do x: 
 
Para a construção do gráfico interessa saber que “4/3-x2” é uma parábola virada para baixo porque o “x” é 
negativo, e que a igualando a zero dá 4/3 e que igualando a um dá 1/3, dando-nos assim os pontos por onde 
passa. 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
35 
O integral ∫
+∞
∞− dxxf )( corresponde à área delimitada pelo eixo do x e a função f.(x) (linha vermelha). Vamos 
verificar se dá 1. 
1
3
)0(
)0(
3
4
3
)1(
)1(
3
4
3
3
3
4
0
3
4
0)(
33
1
0
1
0 1
2 =








−×−








−×=








−∫ =∫+




 −∫ +=∫ ∞+∞+∞−
∞+
∞−
x
xdxdxxdxfdxxf 
[ ] 1
3
3
00
3
1
3
4 =




=−−




 −= 
 
10.2 - Determine F(x) e calcule P(X ≤ 0,5). 
Recordemos que a função F(x) nos permite saber qual a probabilidade acumulada até um qualquer valor de x. 
Como sabemos, as probabilidades acumuladas associadas a este tipo de funções são dadas pelas áreas por elas 
definidas: a probabilidade acumulada até um dado valor x corresponde à área à esquerda desse valor 
delimitada superiormente pela fdp e inferiormente pelo eixo do x . O cálculo das expressões capazes de nos 
darem essas áreas são obtidas pelos integrais da fdp até ao valor x. Este tipo de integrais em que um dos 
valores de integração é um valor não definido x chama-se “integral indefinido”. Por questões de melhor 
compreensão, nas expressões a integrar, a variável “x” será substituída por “t ”. Deste modo podemos ver 
nitidamente a variável “t” a ser substituída pela variável “x” aquando do integral. 
Nos intervalos onde a fdp for diferente de “0”, as expressões que se vão obter vão ter presente a variável “x” 
que será depois substituída pelo valor que se quiser. Como a fdp pode estar definida por vários ramos 
(expressões por intervalos) também o cálculo da função de distribuição terá que ser definida para esses 
mesmos ramos. 
A fdp apresenta 3 ramos: de “-∞ a 0”, de “0 a 1” e de “1 a +∞”. Estes não ser os intervalos de cálculo da 
F(x). 
[-∞ x <0] ou [x < 0] (ver a definição da fdp porque os sinais destes intervalos terão que respeitar os sinais da 
fdp). 
Quando x é menor que “0” (ver a fdp) a função é “0”. 
00)( =∫=∫ ∞−∞−
xx dtdttf 
[ ]10 ≤≤ x 
33
4
3
)0(
)0(
3
4
3
)(
)(
3
4
33
4
3
4
0)(
333
0
3
0
2 xx
x
x
t
tdttdtdttf
x
xxx −=








−−








−=








−=∫ 




 −+∫=∫ ∞−∞− 
[ ]+∞≤< x1 ou 1>x 
1
3
1
3
4
3
)0(
)0(
3
4
3
)1(
)1(
3
4
33
4
0
3
4
0)(
3331
0
3
10
2 =−=








−−








−=








−=∫+∫ 




 −+∫=∫ ∞−∞−
t
tdtdttdtdttf xxxx 
Podemos então, escrever: 







>
≤≤−
<
=
1; 1
10 ;
33
4
0; 0
)(
3
x
x
x
x
x
xF 
P(x≤0,5) = ?, Para resolver este exercício, basta verificar em que ramo do sistema está, e neste caso é no 2º 
ramo 10 ;
33
4 3 ≤≤− xxx , pelo que basta substituir onde está “x” por 0,5. 
24
15
24
1
6
4
3
5,0
5,0
3
4
)5,0()5,0(
3
=−=−×==≤ FxP , 0,5 Está no intervalo [ ]10 ≤≤ x 
 
11 - Sendo X o peso (g) das proteínas existentes em cada embalagem de um dado alimento, com 
função de densidade de probabilidade. 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
36 
( )







≤<−
≤<
=
x
xx
xx
xf
 de valoresoutros , 0
3
7
1 , 37
4
1
10 ,
)(
2
 
11.1 - Traçar o gráfico de f(x). 
 
 
11.2 - Determinar a função de distribuição de X. 
Nesta fdp temos 4 ramos. 
[ ]0<x 
00)( =∫=∫ ∞−∞−
xx dtdttf 
[ ]10 ≤≤ x 
( )
33
)0(
3
)(
12
0)(
333
0
12
0
2 xxtdttdtdttf
x
xxx =








−








=








+
=∫+∫=∫
+
∞−∞− 



 ≤<
3
7
1 x 
( ) =








+
−+








=∫ 




 −+∫+∫=∫
+
∞−∞−
x
xxx tt
t
dttdttdtdttf
1
111
0
3
1
1
0
2
11
3
7
4
1
3
)37(
4
1
0)( 
=




 −−








−+=
















−−








−+
















−








=
8
3
4
7
8
3
4
7
3
1
2
)1(3
)1(7
4
1
2
)(3
)(7
4
1
3
)0(
3
)1( 22233 x
x
x
x 








−+−=
24
25
4
7
8
3 2
x
x
 



 >
3
7
x 
( ) =








+
−+








=∫+∫ 




 −+∫+∫=∫
+
∞−∞−
3/7
1
111
0
3
3/7
3/7
1
1
0
2
11
3
7
4
1
3
0)37(
4
1
0)(
t
t
t
dtdttdttdtdttf xxx 
=




 −−




 −+=






















−−




















−




+








−








=
8
3
4
7
72
147
12
49
3
1
2
)1(3
)1(7
4
1
2
3
7
3
3
7
7
4
1
3
)0(
3
)1( 2
2
33
 
1
72
99
72
147
72
294
72
24 =−−+= 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
37 
Podemos escrever: 











>
≤<−+−
≤<
≤
=
3
7
,1
3/71,
24
25
4
7
8
3
10,
3
0,0
)( 2
3
x
x
xx
x
x
x
xF 
 
11.3 - Calcular a probabilidade de, numa embalagem escolhida ao acaso, o peso das proteínas ser: 
11.3.1 - Pelo menos 0,5 g. 
=−=








−=−=≥
24
1
1
3
)5,0(
1)5,0(1)5,0(
3
FXP 23/24 
 
11.3.2 - Não superior a 2 g. 
=−+−==≤
24
25
4
)2(7
8
)2(3
)2()2(
2
FXP 23/24 
 
11.4 - Calcular F(2) - F(0,5), indicar o seu significado e representar este valor graficamente 
aproveitando o gráfico traçado na alínea a). 
12
11
24
22
24
1
24
23
)5,0()2( ==−=− FF 
 
Nota: a área correspondente à alínea 11.4 é aquela que está entre 1/2 e 2. A verde está P(X≥0,5) e a 
laranja F(0,5). 
 
12 - A eficiência, X, de uma enzima digestiva pode ser descrita pela função de densidade de 
probabilidade ( ) 10 , 35
4
1
)( 2 ≤≤−= xxxf . 
12.1 - Calcular a probabilidade de a enzima ter uma eficiência maior do que 50%. 
( ) =
















−−







−=








−=∫ −=>
3
)5,0(
3)5,0(5
3
)1(
3)1(5
4
1
3
35
4
1
35
4
1
)5,0(
331
5,0
3
5,0
2 xxdxxXP x 
( ) ( )
32
13
32
19
1
8
19
4
4
1
8
1
8
20
15
4
1 =−=










−=










 −−−= 
 
12.2 - Calcular a média e a variância da eficiência. 
Média: 
( ) ( ) =








−=∫ −=∫ −×=∫ ×=
∞+
∞−
1
0
421
0
3
1
0
2
4
3
2
5
4
1
35
4
1
35
4
1
)(
xx
dxxxdxxxdxxfxµ 
16
7
4
3
2
5
4
1
4
)0(3
2
)0(5
4
)1(3
2
)1(5
4
1 4242 =




 −=








−−








−= 
Variância da eficiência: 
( ) ( ) =∫ −−=−∫ −×=∫ −×= +∞
∞−
1
0
2422
1
0
22222 35
4
1
35
4
1
)( µµµσ dxxxdxxxdxxfx 
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2013/2014 
38 
075,0
256
49
5
3
3
5
4
1
16
7
5
)0(3
3
)0(5
5
)1(3
3
)1(5
4
1
16
7
5
3
3
5
4
1 253532
1
0
53
=




−




 −=




−
















−−








−=




−








−= xx 
 
12.3 - Calcular F(0,5). 
32
19
32
13
1)5,0(1)5,0( =−=>−= XPF 
 
13 - Sendo X uma variável aleatória que representa a quantidade (kg) procurada por cliente de 
determinado produto