Trabalho - Prof João - Teoria dos conjuntos

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Trabalho – Fundamentos da Matemática – Teoria dos Conjuntos 
 
 
 
Pais da teoria dos conjuntos e os principais 
símbolos lógicos 
 
Discente: Ana Clara Lopes Mariano da Cruz 
 
Docente: Prof. Dr. João Alves Bento 
 
 
 
 
 
 
Anápolis 
2021 
1 
 
1 PAIS DA TEORIA DE CONJUNTOS 
1.1 George Cantor 
Teoria dos conjuntos foi fundada por um único artigo de 1874 por Georg Cantor: "A 
respeito de uma propriedade característica de todos os números algébricos reais". E a partir 
desta teoria que chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos 
cardinais e ordinais e estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos, que colocam novos 
problemas quando se referem a conjuntos infinitos. 
Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência (potência 
significando "tamanho"). Fez a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) (em 
inglês chamam-se countable — que se podem contar) e conjuntos contínuos (ou não-
enumeráveis) (em inglês uncountable — que não se podem contar). Provou que o conjunto dos 
números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo 
(logo, maior que o anterior). Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de 
Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a 
"hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os 
numeráveis e os contínuos — em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta 
hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela teoria dos conjuntos. Foi 
ele que utilizou pela primeira vez o símbolo para representar o conjunto dos números reais. 
 
1.2 Augustus de Morgan 
Augustus De Morgan foi um matemático e lógico britânico. Formulou as leis de De Morgan 
e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a ideia da indução matemática. Um de 
seus primeiros trabalhos, Elementos de aritmética distingui-se pelo tratamento filosófico das 
ideias de número e magnitude. Além disso, contribuiu para o simbolismo matemático propondo 
o uso do solidus (traço inclinado) para a impressão das frações. 
Sua maior contribuição para o conhecimento foi como reformador da lógica. 
Efetivamente, o renascimento dos estudos de lógica que começaram na primeira metade do 
século XIX deveu-se quase que inteiramente aos trabalhos de De Morgan e Boole, outro 
matemático inglês. As realizações mais importantes de De Morgan foram o lançamento das 
fundações de relações e a preparação do caminho para o nascimento da lógica simbólica (ou 
matemática). 
 
1.3 Leonhard Paul Euler 
Leonhard Paul Euler foi um matemático e físico, fez importantes descobertas em várias 
áreas da matemática como o cálculo e a teoria dos grafos. Também introduziu muitas das 
terminologias da matemática moderna e da notação matemática, particularmente na análise 
matemática, como também no conceito de função matemática. É também reconhecido por seus 
trabalhos na mecânica, dinâmica de fluidos, óptica, astronomia e teoria da música. 
Euler trabalhou em quase todas as áreas da matemática: geometria, cálculo infinitesimal, 
trigonometria, álgebra e teoria dos números, bem como deu continuidade na física newtoniana, 
teoria lunar e outras áreas da física. É uma figura seminal na história da matemática, e suas 
obras, muitas das quais são de interesse fundamental, ocupam entre 60 e 80 volumes. O nome 
de Euler está associado a um grande número de temas. Euler é o único matemático que tem 
dois números em homenagem a ele: O número e, aproximadamente igual a 2,71828, e a 
2 
 
constante de Euler-Mascheroni γ (gama) por vezes referida apenas como "constante de Euler", 
aproximadamente igual a 0,57721. Não se sabe se γ é racional ou irracional. 
Dentre todos os seus trabalhos, analisamos o que envolve teoria dos números. Muitos 
dos primeiros trabalhos de Euler na teoria dos números foram baseadas nas obras de Pierre de 
Fermat. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat, e refutou algumas das suas conjeturas. 
Euler ligou a natureza da distribuição privilegiada, com ideias de análise. Conseguiu provar que 
a soma dos recíprocos dos primos divergem. Ao fazer isso, descobriu a conexão entre a função 
zeta de Riemann e os números primos, o que é conhecido como a fórmula do produto Euler para 
a função zeta de Riemann. 
Euler provou identidades de Newton, Pequeno teorema de Fermat, teorema de Fermat 
em somas de dois quadrados, e fez contribuições distintas ao Teorema de Fermat-Lagrange. 
Inventou também a função φ totiente (n). Usando as propriedades desta função, generalizou o 
teorema de Fermat ao que é hoje conhecido como o teorema de Euler. Contribuiu de forma 
significativa para a teoria dos números perfeitos, que havia fascinado os matemáticos desde 
Euclides. Euler também conjeturou a lei da reciprocidade quadrática. O conceito é considerado 
como um teorema fundamental da teoria dos números, e suas ideias pavimentaram o caminho 
para o trabalho de Carl Friedrich Gauss. 
 
1.4 John Venn 
John Venn foi um matemático inglês, professor de ciência moral na Universidade de 
Cambridge, estudou e ensinou lógica e teoria das probabilidades. Desenvolveu a lógica 
matemática de Boole, tendo estabelecido uma forma de representação gráfica das intersecções 
e uniões de conjuntos, através de diagramas que levam o seu nome. Por exemplo, Venn 
representou 3 círculos R, S, e T como objectos típicos de um conjunto U. As intersecções desses 
círculos e seus complementos dividem U em 8 regiões disjuntas, havendo na relação de cada 
um deles com os outros 256 combinações booleanas diferentes. 
 
2 PRINCIPAIS SÍMBOLOS LÓGICOS E SEUS SIGNIFICADOS 
Símbolo 
Ler como 
Explicação 
Categoria 
⇒ 
 
→ 
 
⊂ 
condicional 
(implicação) 
A ⇒ B é verdade (em 3 das 4 possibilidades) 
ambos falsos, ambos verdadeiros ou B 
verdadeiro 
 
→ pode significar o mesmo que ⇒ (pois 
existe outro caso onde ele indica a relação 
entre domínio e contra domínio de 
uma função; veja tabela de símbolos 
matemáticos). 
 
⊂ pode significar o mesmo que ⇒ (pois 
existe outro caso onde ele 
indica subconjunto). 
implica, 
se .. então 
lógica proposicional, Heyting 
álgebra 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Condicional_material
https://pt.wikipedia.org/wiki/Condicional_material
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Subconjunto
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_de_Heyting
https://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_de_Heyting
3 
 
⇔ 
 
≡ 
↔ 
se e somente se (sse) 
A ⇔ B é verdade apenas se A e B forem falso 
ou A e B forem verdadeiro. 
 
A<->B é verdade quando 
( A -> B & B -> A) 
é verdade 
se e apenas se; sse 
lógica proposicional 
¬ 
 
˜ 
! 
negação 
A proposição ¬A é verdadeiro se e somente 
se A é falso. 
negado 
lógica proposicional 
∧ 
 
• 
& 
conjunção logica 
A proposição A ∧ B é verdadeiro se A e B são 
ambos verdadeiro; senão é falso. 
e (and) 
lógica proposicional, 
Álgebra booleana 
∨ 
 
+ 
ǀǀ 
disjunção lógica (inclusiva) 
A proposição A ∨ B é verdadeiro 
se A ou B (ou ambos) é verdadeiro; se ambos 
são falsos, a proposição é falsa. 
ou (or) 
lógica proposicional, Álgebra 
booleana 
 
⊕ 
 
⊻ 
Disjunção exclusiva 
A proposição A ⊕ B é verdadeira quando 
pelo menos um A ou B, mas nunca ambos, é 
verdadeiro. A ⊻ B tem mesmo significado. 
xor 
lógica proposicional, Álgebra 
booleana 
 
⊤ 
Tautologia 
A proposição ⊤ é, independente de 
condições, verdadeira. 
verdade, verdadeiro, 
(top, verum) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Se_e_somente_se
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nega%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicionalhttps://pt.wikipedia.org/wiki/Conjun%C3%A7%C3%A3o_l%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Disjun%C3%A7%C3%A3o_l%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Disjun%C3%A7%C3%A3o_exclusiva
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tautologia_(l%C3%B3gica)
4 
 
 
T 
1 
lógica proposicional, Álgebra 
booleana 
 
⊥ 
 
F 
0 
Contradição 
A proposição ⊥ é, independente de 
condições, falsa. 
(bottom, falsum) falsidade, falso 
lógica proposicional, Álgebra 
booleana 
∀ 
 
() 
quantificador universal 
∀ x: P(x) ou (x)P(x) significa 
P(x) é verdadeiro para todo x. 
para todo; para qualquer um; 
para cada 
lógica de primeira ordem 
∃ 
quantificador existencial 
∃ x: P(x) significa que há pelo menos um x 
para o qual P(x) é verdadeiro. 
existe; 
há pelo menos um 
lógica de primeira ordem 
∃! 
quantificador para unicidade 
∃! x: P(x) significa que existe exatamente 
um x para o qual P(x) é verdadeiro. 
existe exatamente um 
lógica de primeira ordem 
:= 
 
≡ 
:⇔ 
definição 
x := y ou x ≡ y significa x está sendo definido 
como outro nome usando y (mas note que ≡ 
pode significar congruência). 
 
P :⇔ Q significa P está sendo definido para 
ser logicamente equivalente a Q. 
é definido como 
conceito universal 
( ) 
grupo que possui precedência 
é realizado primeiro as operações de dentro 
do parenteses. 
parênteses, (brackets) 
conceito universal 
Catraca x ⊢ y 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Contradi%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booliana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3o_universal
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3o_existencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3o_de_unicidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem
https://pt.wikipedia.org/wiki/Defini%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equival%C3%AAncia_l%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Catraca_(s%C3%ADmbolo)
5 
 
⊢ 
deduz que 
significa y permite ser provado a partir 
de x (em um sistema formal especificado). lógica proposicional, lógica de 
primeira ordem 
⊨ 
dupla catraca x ⊨ y significa que x semanticamente 
acarreta y 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dupla_catraca