Estatística Inferencial

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Introdução 
Estatística Inferencial é um ramo da estatística a qual 
compreende técnicas que são utilizadas para tomadas de 
decisões sobre uma população estatística. Ou seja, as 
decisões são baseadas unicamente na observação de uma 
amostra ou na elaboração de um juízo. 
População é o conjunto de todos os elementos que 
interessam ao estudo. Como por exemplo; o conjunto de 
todos os eleitores de um determinado estado. 
Amostra é um subconjunto da população. Como por 
exemplo; os eleitores de uma determinada cidade do estado 
em estudo. 
Um exemplo de aplicação da estatística inferencial são os 
testes de opiniões sobre produtos. Nesse caso não há 
como entrevistar a todos, logo escolhe-se um grupo de 
possíveis consumidores e se faz a entrevista com eles. Ou 
seja, será coletado os dados a partir de uma amostra de 
consumidores, os quais fornecerá dados da amostra e por 
meio desses dados o pesquisador poderá fazer suas 
estimativas e testar as hipóteses que deseja verificar. 
A obtenção de amostra ocorreria da seguinte forma; da 
população total daquela cidade selecionaríamos um 
consumidor alvo ao qual sabemos que se interessa pelo 
produto. Calculamos a quantidade total desse público alvo 
naquela cidade e selecionamos uma amostra com uma 
quantidade razoável desses consumidores. A partir daí 
temos a nossa amostra. De onde eles podem ser na região 
daquela cidade o pesquisador pode escolher; se será só de 
um bairro ou de cada bairro um pouco... 
No entanto, se realizarmos várias vezes a amostragem 
descrita, provavelmente obteremos amostras compostas 
por consumidores diferentes. Mas apesar de diferentes, 
podemos ter respostas próximas ou iguais nas diversas 
amostras. 
 
Conceitos Iniciais 
Parâmetro são as características numéricas de uma 
população, em geral desconhecidas e sobre as quais temos 
interesse. Usualmente são representadas por letras 
gregas. Os mais comuns no estudo da EI são a média (𝜇) e 
o desvio padrão (𝜎). 
Estimador é a combinação dos elementos da amostra 
(geralmente fórmulas: função das variáveis aleatórias 
constituintes da amostra), construída com a finalidade de 
representar, ou estimar, um parâmetro de interesse na 
população. Em geral é representado por letras gregas com 
um acento circunflexo. Podem também ser chamados de 
estimativas pontuais (pois dependem dos valores 
pertencentes à amostra aleatória) ou simplesmente 
estimativas. Estimativa é o valor encontrado através do 
estimador. 
→ Um estimador também é uma variável aleatória, assim 
como os valores encontrados na análise para formação 
da amostra. E como tal, possui uma distribuição de 
probabilidades que por sua vez, formará a base das 
argumentações probabilísticas utilizadas na 
extrapolação da informação da amostra para os 
parâmetros da população. 
 
 
Exemplo: Temos uma amostra com a quantidade de faltas 
dos funcionários, abaixo temos alguns estimadores de 
parâmetros: 
Inferencial 
 
 
Estimativa da média populacional é 3,44 faltas, ou seja; o 
número médio de faltas por funcionário em cada ano é 
aproximadamente 4. A parte bege simboliza o estimador, e 
a parte azul escuro a estimativa. 
ESTIMAÇÃO PONTUAL 
No estimador chamado de pontual, inferimos sobre a 
população, considerando apenas um valor da estimativa. 
Essas estimativas por ponto não nos dão uma ideia sobre 
confiança e as margens de erro que deveriam ser aplicadas 
ao resultado. O melhor estimador para a média populacional 
µ, é a média aritmética amostral que é dada por: 
 
Já o melhor estimador para a variância populacional σ² é 
s², a variância amostral dada por: 
 
ESTIMATIVA POR INTERVALO 
Estimação por intervalo consiste na construção de um 
intervalo em torno da estimativa pontual, de modo que esse 
tenha uma probabilidade conhecida de conter o verdadeiro 
valor do parâmetro. A estimação por intervalos nos fornece 
uma informação mais precisa em relação ao parâmetro, 
esta é a melhor forma de estimar o parâmetro populacional. 
Para você estimar parâmetros populacionais por meio de 
dados amostrais, é necessário o conhecimento da 
distribuição amostral da estatística que está sendo usada 
como estimador (visto anteriormente). Pode-se ter 
estimadores intervalo para a média, proporção, variância, 
diferença de médias e diferença de proporções da 
população 
 
Teorema central do limite 
O teorema define que independente de qual seja a 
distribuição de X, a distribuição de sua média se aproximará 
da normal à medida que o número de elementos da amostra 
cresce (desde que média e variância existam). 
Ou seja; qualquer que seja a distribuição da variável de 
interesse para grandes amostras, a distribuição das médias 
amostrais será aproximadamente normalmente distribuída, 
e tenderão a uma distribuição normal à medida que o 
tamanho de amostra crescer. Então podemos ter uma 
variável original com uma distribuição muito diferente da 
Normal (pode até mesmo ser discreta), mas se tomarmos 
várias amostras grandes desta distribuição, e então 
fizermos um histograma das médias amostrais, a forma se 
parecerá como uma curva Normal. 
 
 
Assim, pelo teorema central do limite, temos que quanto 
maior o tamanho da amostra, melhor é a aproximação à 
distribuição normal. Além disso, o teorema nos garante que 
para n grande a distribuição da média amostral, 
devidamente padronizada, se comporta segundo uma 
distribuição normal de probabilidades com média 0 e 
variância 1. 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
Uma aplicação importante relaciona-se com a distribuição 
da proporção amostral, que é definida como sendo a fração 
de indivíduos com uma dada característica em uma amostra 
de tamanho n. Se construirmos para o i-ésimo indivíduo uma 
variável aleatória Yi, tal que: 
 
Assim, podemos escrever a proporção amostral (que é a 
média de variáveis aleatórias convenientemente definidas), 
como sendo: 
 
Assumindo que a proporção de indivíduos com a 
característica na população é p e que os indivíduos são 
selecionados aleatoriamente, temos que Y1, ... , Yn formam 
uma sequência de variáveis aleatórias do modelo Bernoulli. 
Assim, a média e a variância do modelo Bernoulli são dadas 
por p e p(1-p)/n, respectivamente. A partir do teorema 
central do limite temos que: 
 
Estimação da média populacional 𝜇 
INTERVALOS DE CONFIANÇA 
Os estimadores vistos até o momento são pontuais, pois 
fornecem estimativas numéricas para o parâmetro de 
interesse. A partir de agora, veremos o método que 
incorpora à estimativa pontual uma margem de erro, 
chamado de estimação intervalar ou estimação por 
intervalo. 
O intervalo de confiança pode ser interpretado da seguinte 
forma: se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho 
e para cada uma calcularmos os correspondentes 
intervalos de confiança com coeficiente de confiança (1-
𝛼)%, esperamos que a proporção de intervalos que 
contenham o valor de 𝜇 seja igual a (1-𝛼)%. Dessa forma, 
se construirmos 100 intervalos para a média 𝜇 com 90% 
de confiança, é de se esperar que 90 desses intervalos 
contenham a verdadeira média 𝜇. 
Os casos a serem analisados são os seguintes: 
 
Também podemos dizer que calculamos o intervalo de 
confiança para estimar a média populacional e em qualquer 
situação a fórmula do intervalo de confiança para a média 
da população. Assim, o intervalo de confiança pode ser 
descrito como: 
 
❖ Caso 1: a variância populacional 𝜎² é conhecida 
 
Quando a variância populacional é conhecida e supondo uma 
amostra de tamanho n, temos, pelo teorema central do 
limite, que a média amostral tem distribuição normal com a 
mesma média 𝜇 e a variância 
𝜎2
𝑛
. Para um valor 0 <
𝛼 < 1, podemos obter na tabela da distribuição normal Z 
padronizada um valor Za/2 tal que: 
 
Lembrando que a distribuição normal é simétrica, portanto, 
a área 𝛼 deve ser igualmente distribuída em torno de 0; 
 
EXEMPLIFICAÇÃO: Observe a formula a seguir: 
temos que; X é a média, Zc da tabela 
normal e n é o tamanho da amostra. 
Sigma já sabemos que é o desvio-
padrão.A parte após o +/- é a nossa margem de erro, o nosso 
intervalo. Por exemplo: 
 
Resolução: 
 
Donde podemos obter a resposta pela formula acima 
descrita de qual é o intervalo: 
 
Ou 
 
❖ Caso 2: a variância populacional 𝜎² é desconhecida e 
a amostra é grande (n>=30) 
 
Na maioria das aplicações, a variância populacional é 
desconhecida. Quando isso acontece, o estimador não 
viciado, S², pode ser usado para estimar a variância 
populacional. Nos casos em que a amostra é grande, n>=30, 
o teorema central do limite fornece boa aproximação para 
a distribuição da média amostral. Então o intervalo de 
confiança de (1-𝛼)% é expresso da forma: 
 
Tal que 𝑆 = √𝑆2 . Portanto, a construção do intervalo de 
confiança é semelhante à que foi feita no 1º caso, a única 
diferença é que no lugar de 𝜎 usa-se o desvio padrão 
amostral S 
 
EXEMPLIFICANDO: Como parte de uma revisão anual das 
apólices de seguro de vida, a Statewice Insurance Company 
selecionou uma amostra aleatória simples de 36 
proprietários de apólices de seguro de vida Statewide As 
correspondentes apólices de seguro de vida são revistas 
em termos de garantia de cobertura. Para o estudo, um 
gerente solicitou uma estimativa do intervalo de confiança 
de 90% da idade média para a população dos proprietários 
da apólice de seguro de vida. A idade média da amostra é 
�̅� = 39,5 anos. O desvio padrão da amostra é 𝑆 =
7,77. O valor de 𝑧0,05 = 1,645. 
 
Portanto o intervalo de 90% é dado por: 
[ 39,5 − 1,645 
7,77
√36
; 39,5 + 1645
7,77
√36
 ] 
→ [39,5 − 2,13; 39,5 + 2,13] 
 
A margem de erro é 2,13 e a estimativa da idade média da 
população de proprietários de apólices de seguros com 
90% de confiança, é 37,37 a 41,63 anos. 
 
❖ Caso 3: a variância populacional 𝜎² é desconhecida e 
a amostra é pequena (n>=30) 
Se tivermos uma amostra pequena e pretendemos 
construir um intervalo de confiança, mas não conhecemos 
𝜎², podemos utilizar a distribuição t-Student, ou 
simplesmente, distribuição t, para construir o intervalo de 
confiança. 
A distribuição t é utilizada na determinação de valores 
críticos denotados por ta/2.. Observe na tabela da 
distribuição t que nas linhas aparece o número de graus de 
liberdade, que é dado por n-1. Os graus de liberdade, (gl) 
correspondem ao número de valores que podem variar 
após terem sido impostas certas restrições a todos os 
valores. 
As propriedades da distribuição t-Student são: 
 
Podemos agora determinar os valores para a margem de 
erro para construir intervalos de confiança: 
 
Tal que Ta/2,n-1 é o valor de t que fornece uma área de 
𝛼
2
 
na extremidade superior da distribuição t com n-1 graus de 
liberdade. E o intervalo de (1-𝛼)% de confiança é dado por: 
 
O intervalo de confiança para 𝜇, com coeficiente de 
confiança (1-𝛼)% também pode ser expresso por: 
 
 
EXEMEPLIFICANDO: Consideremos que após estudos sobre 
a quantidade de faltas dos funcionários em determinada 
empresa, foram encontrados os seguintes valores dos 
parâmetros a seguir: �̅� = 3,44 faltas e 𝑆2 = 2,006 
faltas², sendo 𝑆 = √𝑆2 = √2,006 = 1,4163 
falta. Assim, calculemos um intervalo de 95% de confiança 
para o número médio de faltas por funcionário: 
 
 
 
Para encontrar o valor de T0,025;24 , Consultamos a tabela 
a seguir que mostra a distribuição T. como a amostra é de 
tamanho 25, temos 24 graus de liberdade. Na tabela da 
distribuição T, o valor crítico que deixa área de 2,5% acima 
da curva, com 24 graus de liberdade é T0,025;24 = 2,064. 
 
Grau de 
liberdade 
0,005 
(unilateral) 
0,01 
(bilateral) 
0,01 
(unilateral) 
0,02 
(bilateral) 
0,025 
(unilateral) 
0,05 
(bilateral) 
0,05 
(unilateral) 
0,10 
(bilateral) 
21 2,831 2,518 2,080 1,721 
22 2,819 2,508 2,074 1,717 
23 2,807 2,500 2,069 1,714 
24 2,797 2,492 2,064 1,711 
25 2,787 2,485 2,060 1,708 
 
P (-2,064 <= T <= 2,064) = 0,95 
 
Assim o intervalo de 95% de confiança para a média será 
dado por ; 
 
IC (𝜇, 95%) = [3,44 ± 2,064
1,4163
√25
] → 
[3,44 ± 0,585] → [2,855; 4,025] 
 
Sendo a margem de erro igual a 0,585 faltas. 
 
Teste de Hipótese para média 
populacional 
 
COMPONENTES DE UM TESTE DE HIPÓTESES 
 
• Hipótese nula (H0): É a afirmação sobre o valor de um 
parâmetro populacional (como por exemplo a média ou 
a proporção). Nesse tipo de hipótese deve escrever-se 
como o parâmetro sendo =, ≤ 𝑜𝑢 ≥ que o valor 
suposto. 
 
 
• Hipótese alternativa (Ha): É uma afirmação que deve ser 
verdadeira se a hipótese alternativa comporta apenas 
uma das três formas: 
 
 
ERROS EM TESTES DE HIPÓTESES 
 
• Erro do tipo 1: consiste em rejeitar a hipótese nula 
quando ela é verdadeira. Como por exemplo se uma 
indústria farmacêutica deseja testar um novo 
medicamento no combate à dor de cabeça e ela sabe 
que em geral o tempo de alívio de dor dos analgésicos 
comuns é de 15 minutos, mas espera que seu produto 
tenha um tempo de alívio da dor abaixo do normal; para 
ser mais eficiente. Seria um erro dizer que o produto 
dessa indústria farmacêutica possuí um tempo de alívio 
da dor menor que 15 minutos pois pode ser menor que 
15 minutos ou igual já que esse é o tempo normal de 
todos os analgésicos. A probabilidade de rejeitar H0 
quando ela é verdadeira é chamada de nível de 
significância (denotada por 𝛼), geralmente é fixada 
antes de se realizar o teste. 
• Erro do tipo 2: Consiste em não rejeitar a hipótese nula 
quando ela é falsa. Como por exemplo dizer que o tempo 
de reação do novo medicamento (citado no exemplo do 
erro anterior), possuí um tempo de reação igual ou 
superior a 15 minutos, vemos claramente que está 
errado, mas em alguns casos não... A probabilidade de 
não rejeitar H0 
Além dessas definições apresentadas até agora, há outra 
definição muito importante; a estatística de teste que nada 
mais é que um valor baseado nos dados amostrais para 
tomar uma decisão sobre a rejeição da hipótese nula. No 
caso de teste para média ela será formada pela média 
amostral e pelo desvio padrão. Veremos mais a frente como 
se constrói a estatística de teste. 
Temos também a região crítica, que é o conjunto de todos 
valores da estatística de teste que levam à rejeição da 
hipótese nula. E o valor crítico que é o valor ou valores que 
separa(m) a região crítica dos valores da estatística de 
teste que não levam à rejeição da hipótese nula. Os valores 
críticos dependem da natureza da hipótese nula, da 
distribuição amostral da estatística de teste de nível de 
significância 𝛼. 
 
ESTÍTISTICA DE TESTE 
A chamaremos Z e a denotaremos e a calcularemos por 
Zcalc. É utilizada no teste de hipóteses e é construída a 
partir do teorema central do limite. Na média a estatística 
de teste é dada por; 
 
Onde 𝜇0 é valor extremo dado pela hipótese nula. Além 
disso, podemos definir a estatística de teste para a 
proporção; 
 
Sendo 𝑝0 é o valor extremo fornecido pela hipótese nula. 
 
 
TIPOS DE TESTES: BILATERAL E UNILATERAL 
As caudas em uma distribuição de probabilidades são as 
regiões extremas delimitadas por valores críticos. A partir 
de H0, dá para saber qual é o tipo de teste. A cauda 
corresponderá à região crítica que contém os valores 
conflitantes com a hipótese nula: 
 
Quando o teste é unilateral definimos as hipóteses assim: 
 
Contudo, alguns autores usam as mesmas hipóteses 
definidas de forma diferente; trocando os sinais da hipótese 
nula por sinais de igualdade. No entanto, em nada muda a 
construção do teste. 
 
Estudos de Casos 
1. TESTE UNILATERAL QUANDO A VARIÂNCIA 
POPULACIONAL 𝝈𝟐 É CONHECIDA OU A AMOSTRA É 
GRANDE (N>30): 
 
Quando se realiza um teste unilateral, a hipótese alternativa 
é Ha; 𝜇 < 𝜇0, no caso do teste unilateral esquerdo ou Ha; 
𝜇 > 𝜇0, no caso de um teste unilateral direito. A partir de 
uma amostra dos dados calcula-se a média amostral �̅� . No 
caso em que a variância populacional 𝜎2 é conhecida, a 
estatística de teste será: 
 
Mas no caso em que a variância 𝜎2 é desconhecida, mas a 
amostra é grande (n>30)utiliza-se o valor do desvio padrão 
S dos dados da amostra como uma estimativa de 𝜎. 
Portanto a estatística de teste será: 
 
E dessa forma construímos a regra de rejeição: 
 
 
Quando se observa o valor da estatística Zcalc (estatística 
de teste) na região crítica, deve-se rejeitar H0. Caso 
contrário, não se deve rejeitar H0. Denotando RC de região 
crítica, podemos escrever: 
 
2. TESTE BILATERAL QUANDO A VARIÂNCIA 
POPULACIONAL 𝝈𝟐 É CONHECIDA OU A AMOSTRA É 
GRANDE (N>30): 
Quando se realiza um teste bilateral, a hipótese alternativa 
é Ha: 𝜇 ≠ 𝜇0 (𝜇0 é o valor especificado por H0 ). A partir 
de uma amostra dos dados calcula-se a média amostral �̅� . 
Assim, quando a variância é conhecida, a estatística de 
teste será: 
 
Quando a variância é desconhecida, mas a amostra é 
grande, utiliza-se o valor de S dos dados como uma 
estimativa de 𝜎, igual ao caso unilateral. Portanto, a 
estatística de teste será: 
 
Dessa forma, construímos a regra de rejeição: 
 
Quando se observa o valor da estatística Zcalc na região 
crítica, deve-se rejeitar H0. Caso contrário, não se deve 
rejeitar H0. Podemos escrever a região crítica da forma: 
 
3. TESTE UNILATERAL QUANDO A VARIÂNCIA 
POPULACIONAL 𝝈𝟐 É DESCONHECIDA OU A AMOSTRA 
É PEQUENA (N<30): 
Para realizar testes com pequenas amostras, vamos seguir 
o mesmo raciocínio que foi utilizado na estimação intervalar. 
Em vez de utilizar a aproximação normal, iremos recorrer 
à distribuição t de Student. A estatística de teste, que 
chamaremos t calculado e denotaremos tcalc, neste caso é: 
 
A região crítica é construída utilizando a distribuição t com 
n-1 graus de liberdade. No caso em que a hipótese é 
unilateral temos que quando se observa o valor da 
estatística tcalc na região crítica, deve-se rejeitar H0 . Caso 
contrário, não se vede rejeitar H0. Podemos escrever: 
 
 
O valor crítico t𝛼, 𝑛 − 1 é o valor de t da tabela t Student 
que fornece uma área de 𝛼 na extremidade superior da 
distribuição t com n-1 graus de liberdade, conforme se vê 
no gráfico abaixo: 
 
4. TESTE BILATERAL QUANDO A VARIÂNCIA 
POPULACIONAL 𝝈𝟐 É DESCONHECIDA OU A AMOSTRA 
É PEQUENA (N<30): 
Seguindo o mesmo raciocínio do caso anterior, o teste 
bilateral também segue à distribuição t-Student. A 
estatística de teste será dada por: 
 
A região crítica é construída utilizando a distribuição t com 
n-1 graus de liberdade. No caso em que a hipótese é bilateral 
temos: 
 
Quando se observa o valor da estatística tcalc na região 
crítica, deve-se rejeitar H0. Caso contrário não se deve 
rejeitar a hipótese nula. Podemos escrever a região crítica 
no teste bilateral RC como sendo: 
 
 
 
O valor crítico t𝑎 ∕ 2, 𝑛 − 1 é o valor de t da tabela t-
Student que fornece uma área de 𝛼 ∕ 2 na extremidade 
superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade. 
 
Valor 𝜌 Nível Descritivo 
Ao realizarmos um teste de hipóteses, partimos de um dado 
valor de 𝛼 prefixado, para construir a regra de decisão. 
Uma alternativa é deixar a cargo de quem vai utilizar as 
conclusões do teste a escolha do valor para a probabilidade 
𝛼, que não precisará ser fixado a priori. A ideia consiste 
em calcular, supondo que a hipótese nula seja verdadeira, a 
probabilidade (usando a distribuição t ou normal padronizada) 
de se obter estimativas mais desfavoráveis ou extremas do 
que está sendo fornecida pela amostra (pelas estatísticas 
tcalc ou Zcalc). 
 
Uma outra forma é utilizando o valor 𝜌, denotado por 𝛼 ∗. 
Ele funciona em todos os quatro casos descritos 
anteriormente. Valores pequenos desse parâmetro indicam 
que a hipótese nula é falsa. Sendo a amostra nossa 
ferramenta de inferência sobre a população, ela fornece 
uma estimativa que teria probabilidade muito pequena de 
acontecer se a hipótese nula fosse verdadeira. O conceito 
do que é pequeno fica a cargo do pesquisador do teste, que 
assim decide qual 𝛼 usar para comparar com o valor obtido 
𝛼 ∗. Quando não é definido o valor de 𝛼 para se fazer 
comparação recomenda-se usar nível 0,05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DE 𝝆 NOS CASOS 
 
 
Alguns valores de nível descritivo não estão acessíveis nas 
tabelas das distribuições normais padronizadas e t. Quando 
não há maneiras disponíveis para fazer o cálculo, mas 
somente as tabelas, pode-se fazer uma aproximação para 
o valor p, dizendo entre quais valores ele se situa. 
 
Em casos bilaterais, ao calcularmos o nível descritivo (valor 
𝜌), precisaremos considerar que forma da região envolve 
os valores de Zcalc e tcalc que se distanciam muito (para 
mais ou para menos) daquele previsto pela hipótese nula. 
Dessa forma, o procedimento usual é multiplicar por dois as 
probabilidades obtidas em uma das caudas, de modo a 
preservar a ideia de afastamento bilateral. Assim, ao 
testarmos 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 contra 𝐻𝑎: 𝜇 ≠ 𝜇0, a 
definição do valor 𝜌 depende da relação entre �̅� e 𝜇0 que 
é o mesmo que avaliar se Zcalc e tcalc são maiores que 
zero: 
 
Para encontrar o valor de 𝜌 quando Zcalc > 0 e tcalc > 0, 
fazemos o seguinte: 
 
Referências: 
O ESTATÍSTICO. Estimativa e Estimador. Vamos extrapolar? - O Estatístico. O Estatístico, 21 Oct. 2016. Disponível em: 
<https://oestatistico.com.br/estimativa-e-estimador/>. Acesso em: 9 dec. 2021. 
RESPONDE AÍ. Teorema Central do Limite / Resumo e Exercícios Resolvido. Respondeai.com.br, 2013. Disponível 
em:<https://www.respondeai.com.br/conteudo/probabilidade-e-estatistica/variaveis-aleatorias/teorema-central-do-
limite/854>. Acesso em: 27 dec. 2021. 
UFPR. Teorema Central do Limite. Ufpr.br, 2016. Disponível em:<http://www.leg.ufpr.br/~silvia/CE001/node38.html>. Acesso 
em: 27 dec. 2021. 
FERNANDA KARINE RUIZ, C.; JOAQUIM OSVALDO PEREIRA, G.; WILTON REZENDE, F. Estatística Inferencial. [S.l.]: 10, 2010. p. 
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