Lista 1 1 - Solução

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Área Conhecimento em Algoritmos e Teoria DCC/UFMG Fundamentos de Teoria da
Computação 2021/2
SOLUÇÃO DE LISTA DE EXERCÍCIOS
Lista 1 - Parte 1
(Linguagens Regulares: Autômatos Finitos e Não-determinismo)
Leitura necessária:
• Introdução à Teoria da Computação, 2a Edição (Michael Sipser):
– Caṕıtulo 1.1: Autômatos Finitos
– Caṕıtulo 1.2: Não-determinismo
• Material suplementar:
– Conjunto de slides: Aula 1.1 - Autômatos Finitos e Não-determinismo.
Revisão.
1. Responda formalmente às seguintes perguntas:
(a) O que é um autômato finito determińıstico (AFD)? O que é a linguagem reconhecida por um
AFD?
Solução do professor: Um autômato finito determińıstico é uma 5-tupla (Q,Σ, δ, q0, F ), onde:
1. Q é um conjunto finito de estados,
2. Σ é um conjunto finito chamado de alfabeto,
3. δ : Q× Σ→ Q é uma função de transição,
4. q0 ∈ Q é o estado inicial, e
5. F ⊆ Q é o conjunto de estados de aceitação (ou estados finais).
A linguagem L(M) reconhecida por um AFD M é o conjunto de todas as cadeias que podem ser
formadas com o alfabeto de entrada Σ tais que, ao iniciar o processamento no estado inicial q0,
a máquina M executa transições de acordo com a função de transição δ e termina de consumir a
palavra parando num estado de aceitação qi ∈ F .
(b) O que é um autômato finito não-determińıstico (AFN)? O que é a linguagem reconhecida por um
AFN?
Solução do professor: Um autômato finito não-determińıstico é uma 5-tupla (Q,Σ, δ, q0, F ),
onde:
1. Q é um conjunto finito de estados,
2. Σ é um conjunto finito chamado de alfabeto,
3. δ : Q× Σ� → P(Q) é uma função de transição, onde Σ� = Σ ∪ {�},
4. q0 ∈ Q é o estado inicial, e
5. F ⊆ Q é o conjunto de estados de aceitação (ou estados finais).
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A linguagem L(N) reconhecida por um AFN N é o conjunto de todas as cadeias que podem ser
formadas com o alfabeto de entrada Σ tais que, ao iniciar o processamento no estado inicial q0,
a máquina N executa transições de acordo com a função de transição δ, e existe ao menos uma
computação que termina de consumir a palavra parando num estado de aceitação qi ∈ F .
(c) Explique o que significa dizer que AFNs são equivalentes a AFDs.
Solução do professor: Dizer que AFDs e AFNs são equivalentes significa dizer que: (i) se
exite um AFD que reconhece uma linguagem, então também existe um AFN que reconhece a
mesma linguagem; e (ii) se exite um AFN que reconhece uma linguagem, então também existe
um AFD que reconhece a mesma linguagem.
(d) O que é uma linguagem regular?
Solução do professor: Uma linguagem regular é uma linguagem que pode ser reconhecida por
um autômato finito determińıstico.
Exerćıcios.
2. (Sipser 1.2) Dê a descrição formal das máquinas M1 e M2 do Exerćıcio 1.1. (Veja figura abaixo.)
Solução do professor: Dada no livro-texto.
3. (Sipser 1.3) A descrição formal de um AFD M é ({q1, q2, q3, q4, q5}, {u, d}, δ, q3, {q3}), onde δ é dada
pela tabela abaixo. Dê o diagrama d estados desta máquina.
u d
q1 q1 q2
q2 q1 q3
q3 q2 q4
q4 q3 q5
q5 q4 q5
Solução do professor:
2
4. (Sipser 1.4 - Itens (b) e (d)) Cada uma das linguagens abaixo é a interseção de duas linguagens mais
simples. Em cada item, construa AFDs para as linguagens mais simples e então combine-os usando a
construção discutida no livro-texto para prover um diagrama de estados de um AFD para a linguagem
dada. Em todos os itens, Σ = {a, b}.
(b) {w | w tem exatamente dois a’s e pelo menos dois b’s}.
(d) {w | w tem um número par de a’s e cada a é seguido por pelo menos um b}.
Solução do professor: Dada no livro-texto.
5. (Sipser 1.5 - Itens (a) e (b)) Cada uma das linguagens abaixo é o complemento de uma linguagem mais
simples. Em cada item, construa um AFD para a linguagem mais simples e então use-o para prover o
diagrama de estados de um AFD para a linguagem dada. Em todos os itens, Σ = {a, b}.
(a) {w | w não contém a subcadeia ab}.
(b) {w | w não contém a subcadeia baba}.
Solução do professor: Dada no livro-texto.
6. (Sipser 1.6 - Itens (a), (b), (g) e (i)) Dê o diagrama de estados de AFDs que reconheçam as linguagens
abaixo. Em todos os itens, o alfabeto é {0, 1}.
(a) {w | w começa com 1 e termina com 0}.
(b) {w | w contém pelo menos três 1’s}.
(g) {w | o comprimento de w é no máximo 5}.
(i) {w | toda posição ı́mpar de w contém um 1}.
Solução do professor:
(a)
(b)
(g)
(i)
3
7. (Sipser 1.7 - Itens (a) e (f)) Dê o diagrama de estados de AFNs com o número especificado de estados
que reconheçam as linguagens abaixo. Em todos os itens, o alfabeto é {0, 1}.
(a) A linguagem {w | w termina com 00}, usando três estados.
(f) A linguagem 1∗(001+)∗, usando três estados.
Solução do professor: Dada no livro-texto.
8. (Sipser 1.8 - Item (a)) Use a construção dada na prova do Teorema 1.45 para prover o diagrama de
estados de AFNs que reconheçam a união das linguagens descritas
(a) Nos exerćıcios 1.6(a) e 1.6(b), dadas acima.
Solução do professor:
9. (Sipser 1.9 - Item (a)) Use a construção dada na prova do Teorema 1.47 para prover o diagrama de
estados de AFNs que reconheçam a concatenação das linguagens descritas
(a) Nos exerćıcios 1.6(g) e 1.6(i), dadas acima.
Solução do professor:
10. (Sipser 1.10 - Item (a)) Use a construção dada na prova do Teorema 1.49 para prover o diagrama de
estados de AFNs que reconheçam o fecho de Kleene das linguagens descritas
(a) No exerćıcio 1.6(b), dada acima.
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Solução do professor:
‘
11. (Sipser 1.11) Demonstre que todo AFN pode ser convertido em um AFN equivalente com um único
estado de aceitação.
Solução do professor: Dada no livro-texto.
12. (Sipser 1.13) Seja F a linguagem de todas as cadeias sobre o alfabeto {0, 1} que não contêm nenhum
par de 1’s separados por um número ı́mpar de śımbolos. Dê o diagrama de estados de um AFD com
5 estados que reconheça F . (Pode ser útil primeiro encontrar um diagrama de um AFN de 4 estados
para o complemento de F .)
Solução do professor: Para resolver este problema, seguimos os 4 passos a seguir.
Passo 1 Constrúımos um AFN N para a linguagem F de todas as cadeias sobre {0, 1} que contenham
um par de śımbolos 1 que estejam separados porum número ı́mpar de śımbolos.
Passo 2 Transformamos o AFN N em um AFD M equivalente.
Passo 3 Transformamos o AFD M que reconehce F em um AFD M ′ que reconhece F .
Passo 3 Notamos que no AFD M ′ os estados {A,B,D}, {A,C,D} e {A,B,C,D} são equivalentes
entre si, e, na verdade, formam um estado de tragédia (uma vez atingido qualquer um destes
estados, a cadeia de entrada deve ser rejeitada com certeza). Minimizamos o AFD M ′ ao juntar
estes três estados em um só.
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13. (Sipser 1.16) Use a construção dada no Teorema 1.39 para converter os seguintes AFNs em AFDs
equivalentes.
Solução do professor:
(a)
(b)
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14. (Newton Vieira 2.2-10)
O AFD abaixo reconhece o conjunto das palavras binárias que começam com 0 ou terminam com 1.
Usando o algoritmo visto em sala de aula, minimize este AFD. Proveja todo seu racioćınio, demons-
trando como você determinou, passo a passo, quais estados são equivalentes neste AFD.
Solução do professor: A primeira partição dos estados separa os estados finais dos não-finais:
P0 = {{[�, �], [c1, t0]}, {[c0, t0], [c0, t1], [c1, t1]}}.
As partições seguintes são:
P1 = {{[�, �]}, {[c1, t0]}, {[c0, t0], [c0, t1]}, {[c1, t1]}}
e
P2 = {{[�, �]}, {[c1, t0]}, {[c0, t0], [c0, t1]}, {[c1, t1]}}.
Como P2 não se altera em relação a P1, sabemos que os estados equivalentes são aqueles representados
em P2.
Assim podemos construir um AFD mı́nimo equivalente como na figura abaixo.
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