17.1 Solucionario de B. Makarenko

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Eduardo Espinoza Ram 
Graduado y Titulado en Matemát 
Catedrático de las principales 
Universidades de la Capital
□ B R A S P U B L I C A D A S J
■— —i
. !
Ilk$r' "(Vil
U B E J
m
1 r■ T:W -~*VW / T (X) * V
► Variable Compleja y sus Aplicaciones
► Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III
► Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III
► Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por 
E.WEBER.
► Solucionado de Leithold 2da. Parte.
► Geometría Vectorial en R2
► Geometría Vectorial en R3
SOLUCION ARIO DE 
B. MAKARENKO
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
ORDINARIAS
*■'"> e> £ Í+ -« .m Y=*(»
 
E d u a rd o (Espinoza Ram os 
 L im a - P e rú
http://www.Solucionarios.net
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
ORDINARIAS
SOLUCIONARIO
A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS 
LIMA - PERÚ
IMPRESO EN EL PERU
Fecha de publicación 
Ejemplares impresos 
Númáfo de edición 
Autor*
0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 
1 0 0 0 libros 
3a EDICIÓN
Eduardo*Espinoza Ramos
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por 
ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo ■ 
los sistemas de fotocopia, registros magnéiicos o de 
alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor 
y editor.
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RUC N° 20520372122
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Hecho el depósito legal en la 
Biblioteca Nacional del Perú
con el número N° 2007-12593
PROLOGO
La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones 
Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su 
3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos 
fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como 
sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no 
homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales 
de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, 
sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por 
medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por 
medio de Transformada de Laplace.
El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los 
futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos 
científicos, como técnicos relacionadas con la impresión.
Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de 
matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han 
contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor 
Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos, 
a fin que el beneficiado sea el estudiantado.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis 
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su 
avance y desarrollo intelectual.
Eduardo Espinoza Ramos
IN D IC E
Pag.
1. Conceptos Fundamentales. i
2. Ejercicios de Verificación. 2
3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14
4. Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas 48
5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli 72
6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100
7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto
a la derivada. 130
8. Ecuación de Lagrange y Clairout 143
9. Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de
curvas, problemas de Trayectorias. 154
10. Soluciones Singulares 166
11. Diversos Problemas 175
12. Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden
de la ecuación. 196
13. reducción del orden de la Ecuación 210
14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245
15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes
16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes
17. Ecuación de Euler
18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables
19. Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema 
Fundamental de Soluciones
20. Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series
21. Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes
22. Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n
23. Método Operacional y su aplicación para la resolución de 
Ecuación Diferencial
24. Propiedades de Transformada De Laplace
25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con 
Transformada de Laplace).
26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada 
de Laplace
27. Apéndice
í
j
nói38U33 «i 3b ksé
260
272
333
345
394
396
430
431
454
455
470
489
510
ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!
Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función 
incógnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuación de la
forma.
Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la 
ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria.
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en 
la ecuación.
Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el 
intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al 
hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una 
identidad con respecto a x en el intervalo (a, b).
La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la 
ecuación.
La forma general de una ecuación de primer orden es:
F ( x , y ; f ) = 0
Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta;
. . . (2)
Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.
1
Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son 
soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.
sen*
11.- y = -------, xy'+y = eos*
x
Solución
y - scn£ y'= x cos* se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada.
jc eos jc-sen* sen* x 2 co sx -x sen x sen*
2 y v2X * *
senx senx 
= eos X---------+ ------- -- eos X
X X
.*. xy'-Hy = cosx
12. - >> = ce“2jr+ — , y + 2j = e*
Solución
_ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada.
i "\lp fii-
X ex
y'+2y = -2ce~lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x
3 3
y'+2y = e x
13.- >> = 2 + c V l- x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x
Solución
y = 2 + cV i- * 2 => y=
-ex
2
( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2)— ^ = r + x(2 + cV l-x 2) = - V l- x 2cc + VT
V l-J ’-x2
(1 - j t 2)j '̂+jcv = 2jc
14.- j = x V l - x 2", >y’= x - 2 x 3
Solución
.y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------= —T 2*
V i- * 2 V i- * 2
r. 5". 1 —2jc ,= W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3
>y' = JC-2:c3
15.- , = , x /= > ;tg (ln j;)
Solución
aresenexj; = ^aresener ^ l =
'Jl -(cx)2
X c e « * m c x x c y
xy - r - ■- = ̂ = tg(ln_v).^
V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2
x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex =>
tg(lny) = —
v h ^ F
f* 2
16.- ^ = e J0 dt+ceX > y ' - y = e
- x 2cx + 2x
3
Solución
y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x £ e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando 
y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~* .e*1
y ' - y = ex+j;2
f * sen t
17.- y = x \ — ~ d t , x y = y + Jo t
xsenx
Solución
ex Sen t Cx sen i sen x r > sen t .
v —x l ------ dt ^ y' = I dt + x - I dt + sen x
y J0 t 7 Jo t X Jo t
r* sen t r*sení
xy’= x ( ------ <* + senx) = x -------dr + xsenx
* Jo t Jo t
xy '= y + x senx
t e *18.. v = x( — dx + c), xy '-y = xe 
J x
Solución
X m ¿>X
y _ J dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada.
x f €*
xy'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c)
J xJ x
Í e x f e x— dx •+■ xc + xc — x I ——- dx — xc — xc
X J X
x y '-y = xex
4
X = COSÍ
19.- L x+ yy' = 0
y = sen /
20. -
Soiución
, _ / (O _ eos/ cosí
* '(0 sen í ^ sen/
, , eos/* + = cos/ + sen/(---------) = c o s /-c o s / = 0
sen/
JC + J> /= 0
x = í e t 
y = e
(l + xy)y'+y2 =0
Solución
... y\ - e "y = —r = —--------------7 =>y '= —-, reemplazando en la ecuación
' - ' e (1+ t)
_ -/
(l + xy)/+j>2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0
e' 0 + 0
(1 + xy)y'+y2 =0
x = e »rctg(f)
21.- L y + xy’= 0^ = e -arctg(,)r*
jx = esrctg<')
| y = e-««8(0 ^
I eX = — x t
Solución
arctg(/)
1 + r 
> != -
e -arctg(/)
1 + / 2
5
22 . -
23.-
y ' = — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(')
y + jcy’= É -arc,8(,) + earct*<')(_e-2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,) = 0
y + xy' = 0
x = t ln í y’
2 f> y in — = 4x
y = í (21n í + l)j 4
Solución
jt = / ln / => jcJ = ln f+ 1
y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4í(ln/ + l)
y [= 4 r ( ln / + l ) =4¿ ^ y,= 4, 
' x1 ln í+ 1
y i n — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x 
4 4
jc = ln / + sen í 
y = r(l + senO + cosíJ
y' ln— = 4x
4
, x = ln v’+ sen j'’
Solución
, 1 1+/COS/
x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------
y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1 + sen l + t eo s /— sen / = l + f eos/
6
, >>} 1 +íeosr
= - ---------- = t=>y'=t
r ‘ 1 + ícosí_____ _
l n y + s e n /= ln í + sení = .
x = ln y + sen y ’
x = t + aresen í
, x = y + a re s e n /
x = í + aresení x; = 1 +
Solución
1
1
í(l+
/ . i -
1 + 1
= t=>y'=t
y'+ aresen y' = t + aresen r = x
x = y '+ aresen /
x = t 2 +er 
2 í 3
y = — + ( r - i y
y +ey' = x
Solución
x = t 2 +e' x\ = 2 t + e'3 s *
y = * - + ( , - l ) e ‘ y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l )e ' =t( 2t + e‘)
, y\ t(2 t+ e') , ,y = - —---- — - = / = > / = í
x\ 2t + e ‘
y ’2+ey' = t 2 +el = x
y '2+ey = x
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de 
diferenciales indicadas.
las ecuaciones
26.- y = -------, y '- tg x .y = 0
cosx
Solución
y ------- y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación
cosx
Q
y '- tg x .y = c sec x . tg x - tg x .------ = c .secx .tg x -csecx .tg .t = 0
cosx
y - t g x .^ = 0
27.- = y '= 3 y 2
3x + c
Solución
y = - 
/ =
i
3x + c
3
y =
(3x + c)
= 3(——— ) 2 = 3 ( - y )2 = 3 y2
(3x + c) 3 x + c
••• y '= 3 y 2
8
28.- y = ln(c+ex) , y '= e x~y
Solución
y - ln(c+ex)=t> y ’= -------- , además y= ln(c + ex)=>c + ex = ey
c+ ex
e x e xy'-.---------- -- ---- = e ' - ' => y ’= ex~y
c+ e x ey
29.- y = -Jx2 - e x , (x2 + y 2)d x - 2 x y d y - 0
Solución
y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx
x 1 - e x
(2 x -c )d x -2 ^ J x 2 -cxd y = 0 , dedonde (2x2 -x c )d x -2 x y d y = 0
(x 2 - x c + x 2)d x -2 x y d y = 0 entonces ( y 2 + x 2)dx -2xydy = 0
30.- j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0
Solución
y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)dx-dx 
x d y = x ( c - \n \ j f y d x - x d x , como y - x{c - lnjx|) entonces: 
xdy = y d x - x d x => ( x - y ) d x + xdy = 0
31) x = y e * * \ / =
x ( ln x - ln ^ )
Solución
9
x - y e <y+1 => \ n x - \ n y = cy + \ => ln — = cy + \ , dedonde
x = y e V +l => e ^ 1 = -
jc = <y e^ 1 => l = / ^ +1+ o ^ +V = ̂ ( 1 + 0 0 / = ~ ( in x - ln .y )y
1 = —(ln jc - ln y ) / entonces: y '= -
^ x (ln x - ln y )
32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V
Solución
x e yx = yhicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene:
y y
y e h * ^ f ) - ¿ y '
y y _ x y '
------------------------- = 0 simplificando - ----- — - / = 0 => y -x y '-y y '= 0
y y
' ( x + y ) y '= y
La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución 
general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden.
La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor 
determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial.
El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en 
hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, 
se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la 
integral particular que satisface a la condición inicial considerada.
Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación
— = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = - *
dx dy f ( x , y )
10
( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales 
indicadas o no lo son (c = constante).
33) e~y - e x = 1, jty'+l = ey
Solución
e~y - 1e y - ex - 1 => ---------= c derivando
x
-x e ~yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „
------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0
x
x y '+ l-e y = 0 => xy'+l = ey
, a\ 3 1 c 2 j 3 f dx*4) y , xy dy + y dx = —
X X ó X
Solución
>>3 = — + —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: 
x x 3
3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => xy2dx + x 2yd y =
3 y
Luego no es integral de la ecuación.
35) x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 , (3x2 -8xy + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y2)dy = 0
Solución
x 3 — 4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene:
3x2 dx - Sxydx - 4x 2 dy+ 2 y 2 dx+ 4xydy - 3 y 2 dy - 0
11
(3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 -4 x y + 3y2)dy = O 
Si es integral de la ecuación diferencial.
36) y 2 + 2cx - c 2 y yy '2 +2xy'=x +1
Solución
y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJx 2 + y 2 derivando se tiene:
0 = 1±—̂ M = => <Jx2 + y 2 = ±(x + yy')
J x 2 + y 2
x 2 + y 2 = x 2 +2xyy'+y2y '2 de donde y 2 = 2xyy'+y2y '2 
No es integral de la ecuación diferencial.
37) arctg—- \n (cJx2 + y 2 ) = 0 , (x + y )d x ~ (x - y )d y = 0
x
Solución
a rc tg ~ - ln c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: 
x
xdy - ydx
x 2 c.(xdx + ydy)
 ̂ | y 2 J x 2 + y 2 . c .J x 2 +y 
x 2
xdy - ydx xdx + ydy
= 0 , simplificando
x 2 + y 2 x 2 + y 2
= 0 de donde xd y -y d x - x d x -y d y = 0
(x - y)dy - (x + y)dx = 0 entonces (x + ̂ ) á r - ( x - <y)rfy = 
Si es integral de la ecuación diferencial.
= 2xy'+yy'2
0
12
38) x = yj^ sen t2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2
Solución
x = y ¡ sen í2dt => f sen t 2dt = — , de donde
»0 Jo y
x = yj0 sen 12 ̂ * = y' JQ sen r 2 dt + y sen x 2 , reemplazando se tiene:
l = / y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2
Si es integral de la ecuación diferencial.
Cx sen t
39) —-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y ln y
Solución
f*senr f*senr y ln v
x \ —— dt = y \ n y => ------ di = ------—
t Jo t X
cx sen t cx sen t J
x Jo —-— dt = y ln y => — — tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene:
y ln y
— ----hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + xsenx = x(\ny + l)y'
No es integral de la ecuación diferencial.
13
ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y 
ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
dy
Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g (x , y )
dx
se reduce a la forma:
donde M es una función solo d 
conoce con el nombre de “Ecm 
solución general se obtiene por
M(x)dx + N(y)dy = 0
le x, y N es una funci' 
ición Diferencial Ordin 
integración directa, es c
ón sola de y, a esta ecuación sé 
aria de Variable Separable” y la 
lecir:
j M (x)dx + J[ N(y)dy = c
Donde c es una constante cualquiera.
La ecuación diferencial de la forma:
— = f ( a x + by + c) 
dx
donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo 
la sustitución z = ax + by + c.
Integrar las ecuaciones:
81) (\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0
Solución
(1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable
dx dy „ . ,
------ r- + ------ — = 0 integrando
1 + x 1 + y 2
14
f dx f dy
J 7 7 7 r + J 7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c
Nota.- tg (A + B) =
x + y = c ( l - x y )
tgA + tgB
1-tgA.tgB
82) (l + y 2)dx+xydy = 0
Solución
(1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable.
dx y dy \ ?
— + ------- = 0 integrando lnx + —ln(l+ v ) = A:
X l + y 2 ° 2
21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x 2(l + y 2)=¿
83) ( y 2 +xy2)y ’+x2 - y x 2 = 0
Solución
( y 2 + xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupandoy 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable.
^ -+ — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c
1 - y 1 + x j 1 - y i 1 + X
( x + y ) ( x - y - 2) + 21n-
y
l + x
1 - y
= c
=> x(l + y 2) = c
. De donde se tiene:
15
84) (1 + y 2)dx = xdy
Solución
(1 + y 2 )dx = x d y separando las variables
dx dy
— = ------ y , integrando ln xk = arctg y
x 1 + y
y = tg(ln(fcc))
85) x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0
Solución
x ^ l + y 2 + y^ l + x 2 ^ = 0 . Separando las variables.
xdx ydy
r + -jrr-r = 0 , integrando
Vl + * 2 + y 2
r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c
86) x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1
Solución
X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables
ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd
- = = = + - = = = 0 , integrando —
a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT
dé donde, -\fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1
> 2
• = c
16
V i- * 2 + V i- .v 2 = i
87) < r '( l + / ) = l
Solución
e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i
v r ^ + v n = * => * = i
— = - 1, separando las variables, - — -- = d:
dx ey -1
t dy c c e ydy
i ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A:
l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V =¡
/. ex = £(1 - 0 
88) >>ln.y<& + ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1
Solución
y ln y dx + x dy = O, separando las variables
dx dy . . c dx r dy
---- 1-------- = O, integrando I ----- v I ------- = k
x y \ n y * x J y in y
ln(x ln(>>)) = k => x ln y = c de donde ln y = -
para x = 1, y = 1 => l = e c => c = O 
x ln y = O => lny = O => y = 1
, integrando se tiene:
e * = - L ( l - e -y )
e
=> lnx + ln(lny) = k =>
=> y = e x
89) y '= a x+y(a > O, a * \ )
Solución
dy +
— = a x y = a x .ay separando las variables
dx
a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k
a x +a~y =c
90) e y (\ + x 2)d y -2 x ( \ + ey )dx = 0
Solución
e y (1 + x 2 )dy - 2x(l + ey )dx - 0 . Separando las variables.
eydy 2xdx f eydy r 2xdx
----------------- — = 0 , integrando ------7 - ------7 = k ,
l + ey 1 + x 2 J l + ey J 1 + x 2
ln(l + ey ) - ln ( l + x 2) = k
. l + e y , l + ey
ln ------T = k => ------ t~ — c
1 + x 1 + x
l + ey =c(l + x 2)
91) (l + ex )yy '= ey , y\x=0 = 0
Solución
dy(1 + e x )y — = ey , separando las variables 
dx
dx r _v , c dx
- + c
de donde:
ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í -
l + e x J J 1
de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x
18
Solución
(1 + >>2 )(e2xdx - eydy) - (1 + y)dy = 0 , separando
92) (1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0
e 2xdx - dy = 0 , integrando
l + >>2
j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c
e 2x
^ - e y -a rc tg y - ln ^ l + y 2 = c
93) (xv2 - y 2 +x- l)dx + (x2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0
Solución
(xry2 - y 2 + x - l ) ¿ * + (x2jy - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando 
[y1 ( * - ] ) +(x-V¡\dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando 
(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable
( x - 1 )dx y + 1 ,-------------- + -------- dy - o , integrando
x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l
f ( x - 1 )dx f 7 + 1
I — I-------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde
J x - 2x + 2 J y +1
1 9 1 ?~-ln(x + 2x + 2) + — ln(j/ + 1) + arctg y = k
ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k 
entonces: (x 2 - 2 x + 2)(y2 + l)e2arct8y = c
19
94) y = sen (x -j> )
Solución
_ dz ( , . . dzSea z = x - y => — = 1 - y entonces y = 1-----
dx dx
Como y = se n ( jc -y ) reemplazando se tiene:
\ - — = senz => 1- senz = — , separando las variables: 
dx dx
dz dz— = 1 - sen z => ---------- = d x , integrando
dx 1 - sen z
í — —— = [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces 
J 1- s e n z J J
tgz + secz = x + c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x + c
95) y' = ax + by + c , a,b,c constantes
Solución
Sea z = ax + by + c => — = a + by’
dx
y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entonces
b dx
- ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+bz separando la variable
b dx dx dx
= dx integrando í ---- --- = f dx + k , de donde
a + Z>z J 0 + ¿?z J
~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+bz = cebx 
b
+ c) + a =
20
96) (x + y ) 2y' = a 2
Solución
dz
S e a z = x + y => — = 1 + y' entonces:
dx
dz "y
/ = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces
2 dz 2
z (— - 1) = a separando las variables: 
dx
z Z
— — dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + k
a +z a
y
simplificando x + y = a . tg(— + c)
2
97) ( l - y ) ey y '+ ^ — = 0
x \n x
Solución
(1 - y )ey — + — — = 0 separando las variables 
dx x ln x
( l - y ) e y d x .
------ ----- d y + ---------- 0 , integrando
y L x l n x
r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y
------ ----- dy+ —— = c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c
j y ¿ J x l n x J y 2
r e y e y
- J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c
ey
ln(lnx) = — + c
y
21
Solución
(1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables
98) ( l - y 2)dx = (y - -J \ + y 2)(l + x 2)'/ idy
dx y - y i + y 2
------- = ---------------- ñ---- dy integrando
( 1 + X 2 ) A l + y 2
f dx ,
------- —rr = ----------^— dy + c entoncesJ (1 + *2)X J l + y 2
I rf(7 = r ) =I {r h - ~ r =̂ )dy+cv i+x 1+^ V1+^
* - l n
'l + y 2
J \ + x 2 _y + -\jU y 2 _
+ c
ioo) jty2(V + > O = 0 2
Solución
dz 
x ----- z2"
Sea z = xy => y = — => y ' = — —
Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene
z
X
dz z
X ------- ZH-----
dx x
= a , simplificando
z 2dz = a 2xd x , integrando se tiene:
22
Z3 Q2X2 ~ 3 3 >% 2 2 i— = -------- + c=> 2x y =3a x +k
3 2 '
100) (x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0
Solución
0 z , xdz - zdxSea z = xy => y = — => dy = ------ ------
x x 2
(x2y 2 +1 )dx + 2x2dy = 0 , reemplazando
(z2 +l)dx + 2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + \)dx + 2xdz — 2z¿/z = 0 
x
( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—- = 0 , integrando
2x (Z- l )2
1— m x --------- = c
2 x y - 1
101) (1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0
Solución
dzx ----- z
Sea z = xy => / = —— — , reemplazando 
x
dz x ---- z
(1 + z 2) — + (z - 1)2 x(— — ) = 0 , simplificando 
* x 2
(1 + z 2 )z + (z - 1)2 x — - (z - 1)2 z = 0 entonces 
dx
23
( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O => —— + dz = O integrando
x z ¿
2 \n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21n y = — - x v + k =>
Z JCJ>
lncy2 = * y - — => cy1 ^ e gr xl. 3ty 
*y
102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0
Solución
dz x ------z
Sea z = xy => / = — — entonces
2 3 3 2* y + j> + jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , reemplazando se tiene:
dx
dz
3 JC--------Z
Z Z 1 d x— + — + x - 2 + (xz +*)(- — ) = 0 , simplificando
X X x 2
dz
3 Z --------Z
— + — + x - 2 + (z2 + 1)(——----- ) = 0 entonces
X X X
( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde (x -2 )d x + ( z 2 +l)dz = 0 
dx
integrando - - + z + - - 2 x = c
3 x2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c
24
103) (x6 - 2 x 5 + 2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0
Solución
Sea y = tx => dy = tdx + x d t entonces reemplazando se tiene:
(x6 - 2 x 5 + 2x4 - f V + 4txi )dx + (x i í 2 - 4jc3){tdx + xdt)
x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0
(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t+ íi - 4 í)dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando
(x3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando
X3 2 f3------x +2x-\------- 4t = c por lo tanto:
3 3
* 3 - y 3 4 y------x + 2 x+ — ,------— = c
3 3x x
104) y + i= (x + ^
(x+.>>)'’ + (*+ > ')'’
(c
Solución
Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuación diferencial
dx
dz z n z n + z p(— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrando
z " + z * z m
r z n + z ' rJ ------— dz = j d x + c , de donde
= x + c , n m * -1, p - m ^-1
n - m + 1 / 7-/W + 1
25
105) (ln x + y 3 )d x -3 x y 2dy = 0
tí Solución
i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => — = — + 3y y 
dx x
3x y 2y % = - 1 reemplazando en la ecuación diferencial:
dx
lnx + y 3 - 3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 
áx ¿x
ln|z + l j - ln x = lnc => l n ^ - ^ = lnc =>
z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1
106) (xy+ 2xyln2 y + y ln y )d r + (2x 2 \n y + x)dy =0
Solución
Sea xlny = t => lnj> = — => y = etlx
x
Reemplazando en la ecuación diferencial dada:
, tlx 2e‘lxt 2 íet/x w ^ # . tl xd í- íd x(xe 1 x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e (-r— ) = 0
x x x
simplificando
26
/ r x d t - td x _ ^(x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0
x x x
( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q
x 2 ,xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces:
2x2 + 4/ 2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1) 2 = c por lo tanto:
/. 2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c
107) y - x y ' = a(\ + x 2y')
Solución
y - x y ' = a + ax2y' => y - a = (x + ax2)-^- separando las variables
dx
— Y ~— = —^— integrando f ( - -----— t )dx= — lnc entonces
ax + x y - a J x ax + l J y - a
xc 1 . . ex= y - a por lo tanto y = a +
ax + \ ax + l
I0K) (a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2 dy = 0, } \x=a = 0
Solución
Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene:
dx dy
+ —------ - = 0 integrando
2 x ^ a x - x 2 a 2 + y 
dx r dyf dx r dy
27
Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral
f * . - f . 
2x^ox--x^
dt 'J a t - l
* - 1
-2 J l y fa t - l a
reemplazando (2 ) en (1 )
- (2)
- - 1 .y i y
— — + — arctg — = c, x = a , y = 0 entonces 
a a a
0 + 0 = c => c = 0, Luego - —----- + —arctg(—) = 0
a a a
* - 1
a a
=> y = a. tg
--1
109) y %+ sen (“ “ ) = sen(^y^)
Solución
— + sen(—) cos(—) + s e n A c o s ¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) c o s¿ ) 
dx 2 2 2 2 2 2 2 1
2 sen(^) cos(™) separando las variables
^ = - 2 cos(—)dx integrando ln | tg(—) | = - 2 sen(—)+c
y 2 4 2
sen —
2
28
110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente 
angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del 
mismo punto, aumentada tres veces.
Solución
El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a
dx
las condiciones del problema se tiene:
dy dy 's
= 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke comodx
pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x
II I) Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos 
ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y.
Q = a 2 ln — 
a
Solución
y = f(x)
Q = = a 2 ln(—) , derivando se tiene:
a dy J a 1 a 1
y - — •— , entonces d x ---- - dy = 0 integrando se tiene: x + — = c
ay dx y y
de donde : y = -
c - x
(hipérbola)
29
112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la 
ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado 
desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. 
En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 
4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del 
movimiento?.
Solución
t 2 Como F = ma = k — donde Q = 4 cm/seg 
v
t = 10 seg. 
v = 50 cm/seg.
1 . 4 = Ar— => k = 20 y m ^ - = 2 0 - =>
50 dt v
v2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg.
502 =20(10) 2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 í 2 +500 x _,
para t = 60 seg. v = ? de donde:
v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg
k \ '' t -Vv> \ \ *v v ' ^ , * ‘ ^
113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales 
pasan por un punto constante es una circunferencia.
Solución
Sea Ln : y = b x , de donde mLN =b
Además mL, = — , y como LNI X , , entonces: 
dx
1 d* A hmLN = ---------= — - , es decir que £> = - —
N mL, dy dy
30
X
b , l = ,Como y = bx
x x
Separando las variables se tiene:
dy
y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k
114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad 
VQ = 200 m /seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo 
que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al 
cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la 
tabla.
Solución
F = ma = m dv
dt
condición del problema:
d^ . 2m — = kv 
dt
integrando:
m dv
----- T = dt
k v
m rvi dv _ r'
k Jvf2 V
-r*Jo
k vj v0
* V,
31
k v0v.
... (1)
dv
además m — = m
dt
d 2x
dt2
2 dv dv dx 
entonces: kv = m — = m —r •"
dt dt dx
r dv dx dv 
kv2 = m — = mv-
dx dt dx
m dv
dx = — .— 
k v
* 1» A >
v0
reemplazando (2) en (1)
. . . (2)
j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es.
ln(— ) 
v0
V0V1
í =
40 ln(2.5)
seg.
115) Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la re s is te n c ia del a g ^ que 
es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 
10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg.
Solución
La descripción m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'”d' al resolver '* “
tiene: V = Ae -kt
Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae° => A 10 =>V 10e para
t = 5 se g ., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e 
F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5
-5 k 1 8k = — ln(— ) entonces: 
5 10
32
Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier 
punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola.
Solución
Se conoce que: mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene
mLt = k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c , 
que es una parábola.
Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es 
proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura 
T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20
minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura 
descenderá hasta 30°C.
Solución
Sean T = temperatura del cuerpo.
Tm = temperatura del aire = 20°C.
T0 = temperatura inicial.
La descripción matemática es:
dT
— = ~k(T - T m ) , de donde la solución es: T = Tm + ( r0 - T m )e~kt
para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: 60 = 20 + (100-20)éT2°*
40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)í
r = 20 + 80.2 '//2°
para t = ? , T = 30°C
30 = 20+ 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’
8
118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n
veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de 
coordenadas.
Solución
dx
te 0 = n tg a entonces: — = n(—) => dy = n(—)dx , de donde
dx x x
— = — dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y — ln x nc , por lo tanto:
y x
y - e x
119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su 
velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P 
recorre lOOm. y en 15 seg., 200m.
Solución
34
Sean s = el camino recorrido
t = el tiempo en seg. 
v = ~ = velocidad del cuerpo 
ds
la descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es:
dt
s = Aeh , para t = 10 seg. , s= 100m . => 100 = Áei0k
de donde = . . . ( 1)
e
para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15*
de donde se tiene : A = ... (2)15Ae
a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2comparando (1) y (2) se tiene: ^ = —¡̂ 7- => k = -
e
reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será:
s = 25.2r,s
120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. 
Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la 
diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la 
disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de 
agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal 
que contendrá la disolución al cabo de una hora.
Solución
Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el 
instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua.
x
La concentración de la disolución saturada = -----;
300
35
— = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: 
dt
— - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación 
dt 3 300
diferencial se tiene:
jc = 100( -A e k,' m ), encontraremos la constante A p ara t = 0, x = 0 =>
A =100,luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para
1 1 299
t= lm in . , x = - k g . se tiene - = 100-100«* '300 => fc = 3001n(——)
3 3 3UU
x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)'
para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g. porlotanto:
x = 18.1542 kg.
121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de 
sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la 
mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si 
se duplicase la cantidad de agua?
La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a 
la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la 
disolución saturada (1 kg. para 3 litros).
Solución
Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución
— = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del 
dt
dx 1 0 -x 1
problema la descripción matematica es: — =
De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados 
se tiene que: x = 5.2 kg.
36
122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la 
curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el 
punto de contacto.
Solución
2 y
Como mLt = -------= ----- , entre los puntos P y A
x x
----- X
2
Además ~~ = mL, => — = - ^ de donde — + — = 0 
dx dx x y x
Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c
123) Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una 
habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de 
humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad 
por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su 
humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día?
Solución
Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia 
(3 — s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire.
37
12 = humedad del aire saturado para 100 m 3
ds
La descripción matemática es: — = -k s(-s + 6-12) = ks(s + 6)
de donde resolviendo se tiene: — = Ae6kt
s + 6
para t = 0, s = 3 => A = para t — 1, s — 1.5 entonces:
k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg.
6 7.5
Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. 
de sal se somete a la acción de 30 litros de agua, después de 5 minutos se
disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la
cantidad inicial de sal.
Solución
Sea s = cantidad de sal por disolverse.
ds
La descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la
proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es:
s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2
Luego s = 2ekt, determinaremos k.
Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - l n —
Por lo tanto: s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5
Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,
entonces: 1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - )v/5 luego: t = 1 M ? ’99) mirL
2 2 1
ln —
2
125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la 
temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la 
temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior
a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1 m 2 ) al 
exterior durante un día.
Solución
Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de 
una superficie A, perpendicular al eje OX, es:
de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el 
tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015).
dT OLuego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constante
dx kA
Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene:
2
T = —x ; 864000 cal/día.
3
126) Demostrar que la ecuación — con la condición inicial vi _n = 0 tiene
dx x 1 •r_u ’
infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición
inicial jyj x=0 — y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales.
Solución
dy y dy dx . J t
— — ~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex 
dx x y x
39
para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se 
satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para
}\ x=o = * 0 => = 0 > cua ̂contradice por lo tanto:
cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna.
Demostrar que el problema ~~ = y a , y\ x=o — 0 , tiene al menos dos 
soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para
Solución
. i-«
— = y a => y~ady = dx integrando ------ = x + c
dx 1 -a
gl-a
si x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a > 0
3 1- a
ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones.
Si a = 1 => — = dx => ln y = x + c
y
De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución.
128) Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a la
dx
condición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única.
Solución
~~ ~ y I ln y |° => — —— = dx integrando
dx | ln |a
| ln v |1_a i ,
— --------= x + c => y = 0 , x = 0 => -------1 ln v | “ = 0 + c
1- a I - «
ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y 0
El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única.
129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación 
diferencial y ’+ y tg x = x tg + 1, en los puntos de sus intersecciones con el eje
O Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las 
curvas integrales con el eje OY.
Solución
-Stgxdx r ftgjratr
y = e [ J e (x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal.
y = e ln (tg x sec x+sec x d̂ x + ̂ efectuancj0 ia integral,
y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces:
y = x + c. eos x , interceptando con el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c)
= (1 - e s e n x)\p = 1 => mL, = 1
L, : y - c = l (x -0 ) de donde L, : x - y + c = 0
41
mL, = —
' dx
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales.
130) cosyf = 0
Solución
K
Como y eos y ' = 0 => / = arccosO = — (2n + l)
— = —(2« + l) => dy = — (2n + l)dx, integrando. 
dx 2 2
y = ^ (2n + l)x + c, n e Z.
131) ey = l
Solución
dyey =1 => y'= 0 => = 0 => y = c
dx
donde c es constante.
132) s e n / = x
Solución
s e n /= J t => /= a rc se n jt + fl7r entonces:
— = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x 
dx
integrando J dy = J (aresen x + n n)dx + c 
y = jta rc se n x -V l- * 2 +mx+c donde n = 0,± l ,± 2,.
133) l n / = x
Solución
ln y '= x => y '= ex
dy = exdx => j dy = J e xdx => y = ex +c
134) t g / = 0
Solución
t g / = 0 => y ’= arctgO = nn
dy
— = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c
135) =jc
Solución
e ~ x ^ y =\nx de donde dy = l n x d x , ahora integrando
j d y = J lnxdx => y = x l n x - x + c
136) tgy '= x
Solución
tgy ' = x => y'= aictgx+nn , n = 0, ± 1, ±2,... 
dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene
y = ^{ t tc tgx + njz)dx+c entonces: y = x2 x c tg x -^ \n ( \ + x 2) + njtx + c
43
En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones 
diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo.
, 16
137) x y 'eos>> + 1 = 0 , y - > — n => x-»+°o
Solución
x 2 v’co sy + l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable
x
dx 1eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + c
x x
16 16» . 1 l6n cuando y - * — n parax->+oo => c = sen —— luego sen . y - — -se n ^
10
138) x 2 /+ c o s 2 ^ = l , y-+ — n => x->+*>
Solución
x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable
___= — => — — = —j integrando
l - c o s 2 >' x 2 2 sen y x
f ——— = l —̂ r~ c de donde c tg y = — + c 
J sen2 y x x
10 1 cuando y - * — n , x —H-ao => c - —j~
2 1 2 1 
Luego c tg y = —+—j ^ => y - arct^¡T+ ^J'*
44
139) jr3y -s e n y = 1, y -* 5 i t => x-H-oo
Solución
x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separandola variable
dx
dy dx r dy r dx
 --------- = —r integrando -— ----- = — + c
1 +sen.y x * l+senj> J x
para y-+ 5n , x -H-oo => c = 1
por lo tanto y = 2 arctg(l — i—)
2x
140) (l + x2)y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^~ ti , x->-oo
Solución
(l + x2)y - -c o s2 2 ̂= 0 , separando la variable se tiene:
dy dx
= 0 integrando = k
eos 2y 2 (1 + x ) 2 2
y
tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» — n , x ->-oc¡ => c = —
2 2
tg 2y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x => y = — arctg(— + arctg x)
2 ¿ 2 2
141) ey =e4y y'+1, y es acotada para x —>+oo
Solución
45
eAydv
e y = e 4yy '+ l ; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx
ey -1
r e4y fintegrando J —---- dy = J dx + c entonces:
í ̂ y + e 2y + ey + — -— )dy = x + c y calculando la integral
J e y -1
e3y e2-----+ — + ey + ln(l + e y) = x + c ,
3 2
como y es acotado y x ->oo entonces y = 0.
(x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo
Solución
(x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1 )dx separando la variable
dy _ dx
y - \ Jt + 1
integrando se tiene: ln(y — 1) - ln(x + 1) + ln c
i i y - iln ------= ln c => -------= c
y + 1 x +1
cuando x —>oo entonces —— — > 0 por lo tanto c = 0
JC+ 1
t í . o =» y . 1
* + 1
y ' — 2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo
Solución
y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrando
y + n
Í y + n = J ent°nces ln (y+n) = x 2 +c entonces:
jr2y + n =ke , y es acotado para x —>00 entonces k = 0 
Luego y + n = 0 => y = -n
2 11144) x y'+ sen 2y = 1, y - * — rc => x-M-oo
4
Solución
2 • 5
x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l -sen2ydx separando la variable 
dy dx
=> integrando se tiene:1 - sen 2y x 2
f dy (• dx 2 y sec2 v 1
J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - — — + ci2 y J x 2 2 2
cuando y —> — ;r , x —>+oc se tiene que: y = arctg(— x)
X
47
[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|
A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la 
identidad.
Una ecuaciónión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y)dx
es una función homogénea de grado cero.
La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma:
H
dx x
... (1)
Introduciendo una nueva variable incógnita u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la 
ecuación con variable separable:
du , x x - — = \¡/(u)-u 
dx
Observación.- Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas 
a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux.
Las ecuaciones diferenciales de la forma:
dy _ ^ axx-\-bxy + c l ̂
dx a 2x + b2y + c2
. . . (2)
se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de 
intersección de las rectas: axx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi| 
haciendo la sustitución de las variables x = z. + x0 , y = w + y
48
El método indicado no es aplicable cuando las rectas a¡x + b{y + cx = 0 y 
a 2x + b2y + c2 = 0 son p 
puede escribir en la forma:
a 2x + b2y + c2 = 0 son paralelas, en este caso — = ^ - = A a la ecuación (2) se
ax bx
dy _ axx + bxy + cx x ^ f x
— ~ ------- r -------) = F(axx + bxy)
dx Á(axx + bxy) + c2 ... (3)
que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. 
Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma:
P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0
Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.
A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la 
variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo 
grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1
a la derivada — .
dx
Integrar las Ecuaciones:
145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0
Solución
Observamos que la ecuación es homogénea, entonces:
Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así: 
(4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene:
(4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando 
(4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando
49
(2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable
dx 2 u -3 , , „ f dx f , 2 « -3 NJ2 -----1-—-----------du= 0 , integrando 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = c
x u -3 u + 2 J x J u -3 u + 2
entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => \n x 2(u2 -3 u + 2) = c , levantando el 
logaritmo se tiene: .\ y 2 - 3 xy + 2x2 =k
146) xy' = y + -yjy 2 - x 2
Solución
A la ecuación escribiremos así: xdy = (y + ̂ 2 - x " ) d x , es homogénea.
Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 )d x , 
simplificando xdu = J u 2 - \d x separando las variables -------
V« 2 -1
integrando se tiene: ln | u+ Vu2 - 11= lnx + ln c entonces:
du dx
9
X
ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo
x
u + ^Ju2 -1 - e x => y + ̂ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy = c 2x 2 +1
147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) =0
Solución
La ecuación diferencial (4x2 - xy + y 2 )dx + (x2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 , es 
homogénea
sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación.
(4x2 - u x 2 + u2x 2)dx + (x2 - u x 2 + 4u2x 2)(udx + xdu) = 0
50
simplificando (4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 , separando las variables
dx 4u 2 —u + 1 . c dx c 4u2 — u + \
4 — 4*------------- du = 0 , integrando: 4 — 4- -— -------- d u = c entonces:
X u 3 + 1 J X J u 3 +1
41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c 
J u+ l u - u + \
lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u + l\=c => ln x4 (w4 l )2 (u2 - u 4 l) = c
x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto: (x 4 y )(x 3 + y 3) = k
148) 4x2 + x y - 3 y 2 + y '( -5 x 2 +2xy + y 2) = 0
Solución
(4x + x y—3 y 2)dx + {—5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces:
y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación
(4x2 4 x 2w —3x2u 2)dx4 (—5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando:
(u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u — 5)xdu = 0 , separando las variables se tiene:
dx u 2 + 2 u - 5 J ^ .
+ —̂----- 1-----------du = 0 , integrando
* W -W -4W4-4
c dx f u 2 + 2 u - 5
" + -----5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene;
J x J u - u - 4^ 4-4
••• ( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5
51
Solución
9 2'Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces: 
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0
separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du 
x u 3 - u J x J u 3 ~u
f — + f (—---- ---------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2)
J x J u u - 1 w+ 1
150) 2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2)
Solución
2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homogénea 
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 
2x(x2 + x 2u2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx 
2(1 + w 2 )(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando 
(u3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables 
dx 2 (u 2 + l ) , . c dx c 2 (u2 + 1) _ r dx du- + ¿(i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx—--------du = 0 9 integrando — + — ------- d u - c => — + 2 —
u 3+u J x J u3 +u J x J u
2 y 2entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x — = c porlo tanto: y
x
151) x y '= j y 2 - x 2
Solución
xdy = ̂ y 2 - x 2 d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du 
ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2 dx , simplificando
udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable
¿/w <¿x f du C dx
integrando ..¡— ..........= — + c
J J..2 1 _ J x^|li2 - l - U x ^Ju1 - l - u
- J (-y/w2 -1 + u)du = lnx + c , calculando la integral se tiene:
y + ̂ y 2 - x 2 = cx3e
y(y+Jy2~x2)
152) ax2 +2bxy + cy2 + y (fox2 + 2cxy + f y 2) = 0
Solución
(ax2 + 2bxy + cy2)dx + (bx2 +2cxy + f y 2)dy = 0, es homogénea
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u2 )(udx+xdu) = 0 , simplificando
(a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable
dx b + 2cu + fu 2 ,
---- 1--------------- —--------— d u - 0 , integrando
* <2 + 3¿w + 3ck + yi*
53
r dx C b + leu + f u 1
— + 1 ---------------- --------- du = c entonces
J x J a + 3bu + 3cu + fufu
i 2 3 y\nx+ — \n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = — se tiene:
3 x
f y 3 +3cxy2 + 3bx2 y + ax3 - c
153) ( y 4 - 3 x 2)dy = -xydx
Solución
y = z a => dy - a za ld z , reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx
(z4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z adx => (z5a~l - 3 x 2 z a l )odz = - x z adx 
para que sea homogénea debe cumplir:
1 2 2
5 a - l = c t+ l = a + l => a = — => (z —3jc )¿/z = - I x z d z , es homogénea 
x = uz => dx = u dz + z du entonces:
(z 2 - 3u 2 z 2 )dz = -2 z 2 u(udz + zdu) => (1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w)
(w 2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando
* w2 - l
* ¿z r 2u
54
f — = \ — ^— du + c => lnz = ln(w2 - l ) + cJ ̂ J w2- i
para w = — , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6
z
154) y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0
Solución
Sea y = z a => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuación 
z 3a¿¿r + 2(x2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando
z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir:
1 2 23 a = a + l = 3 a => a = — r=> z~dx + (x - x )d z = 0 , es homogénea, 
x = uz => dz = u dz + z du, simplificando
zdu + u2dz = 0 , separando la variable + — = 0
u 2 z
1 X 2integrando — + lnz = c de donde para u= — , z - y se tiene
w z
1 2 1
reemplazando en - — + ln z = c por lo tanto: y = x ln ky
u
155) ( y -xy ' )2 =x2 + y 2
Solución
( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y '= ^ j x 2 + y 2 , es homogénea 
y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 
(mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces:
(u - ^ | l - - u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando
r T , dx du
-V l + w dx - xdu = 0 => — + — - ■___ : = 0 , integrando
-Y Vl + t/ 2
55
í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c
J * J
x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = — se tiene: y + J x 2 + v2 = &
x v
156) 3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O
Soiución
Z1 :3x + ̂ - 2 = 0l 
Sean ̂ LX̂ L 2 entonces existe un punto
L2 :x - \ J
/>(*o>J o ) G A n ¿2 Y Para encontrar el P(x0, y {)) se resuelve el sistema: 
3 x + y -2 = Oj x 0 =1
x _ 1 = 0 j - y 0 = - l ’ Lueg° = P(1’~ l)
Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 )d x + (x - l)dy = 0
(3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = udz + zdu
(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando
(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:
dz du „ . r dz r dudz du . r dz r
— + --------= 0 , integrando — + -
z 2u + 3 J z J 2u +3
entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k
157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0
Solución
= c
(2x + 2y — l)dx + (x + y — 2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:
56
dy = du - dx => (2u - 1 )dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces
(u + 1 )dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando
u -1
u 2 2x+y
Jdx + J - — - d u - c => x + y + l = ce 3
(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0
Solución
Lx : 3 y - l x + l = 0l 
Sean > => entonces
L2 : 3 x - l y - 3 = 0 ¡ 1 2
3v-7jc + 7 = 0l Xq — \
3 P(xü, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n
3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 =0
x = z + l , y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy 
(3w— 7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea, 
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación 
(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:
(7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:
_ dz l u - 3 . . , _ f dz c l u - 3 .
7 — + ——— du = 0 , integrando 7 — + I —----du = c
Z U2 - i J Z J u 2 + 1
dedonde: .\ (x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c
(y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0
Solución
c z , xdz - zdxaea xy - z => y = — => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuación
x x 2
(— + — J —T- + l)dx + 2x(— Z ZĈX) = 0 9 simplificando
X x \ j x 2 * 2
, Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx)
(— + —y ^ z +x )dx + 2 -------------- = 0 entonces:
X X2 X
z(Vz4 + x 2 -x)dx-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2udu
z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando
z(*J~z^ +u 2 -u )du + u}dz = 0 , es homogénea
sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación
z(>/z4 + z 4w2 - z 2w2 )(zchi’+ wdz) + z 3w3dz = 0
wyjl + w4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable
dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w---- h---- ..... — dw = 0 integrando — + I (---------=====?) dw = c
Z W l + VV4 Z W ̂ /1+w4
lnz + ln w — ln \w 2 + ^ l + w 4 \=c => ln z w - — \n \w 2 + ^ l + w4 |=<
2 2
para w = ^ , u = v x ,z = xy, se tiene: .\ ^ x 2̂ 4 =cy2x 2 - \ 
4xy2dx + (3jc2 jk -l)dy = 0
Solución
Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación 
4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando
4jcz2of ¿£c + (3jc 2 z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homogénea debe cumplir:
2a + 1 = 2a + 1 = a — 1 => a = -2, reemplazando en la ecuación
4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando
2jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homogénea
sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
2uz2(udz + zd u )-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando
(-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw = 0 => — ---- du = 0 y integrando
z u -1
■ dz C 2u
í — - í du = c => ln z - ln(u 2 - 1) = c
J Z J w2 -1
Jlf 1 ̂ 2
de donde para w= —, z = - p r se tiene: .\ y (x ^ y - l) = £
161) (jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0
Solución
y = za dy = a za~ld z , , reemplazando en la ecuación 
(x + z 3a )¿£c + (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando
(x + z3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir:
59
1 - 3a - 6a — l = 3 a => a = \ ' reemPlazan<̂ ° en *a ecuación 
(x + z)dz + (z — x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du 
(uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando 
(u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando
(u 2 + 1 )dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables
dz u + 1 
z
~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f — + í — du = c 
U2 + 1 J z J u 2 + 1
1 2 x 
lnz + — ln(w + 1) + arctgu = c , para u = — , z = y 3
2 z
y 3 1 ? ¿
se tiene: arctg-— = — ln(x + y ) + k
x 2
162) 2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx + x 3dy = 0
Solución
Sea z = x 2y => x 2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial: 
2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) - 0, simplificando 
2 {z+ 4 ü -z2 )dx + xí/z - 2z¿/x = 0
de donde 2^1 + z 2 dx + xdz = 0, separando las variables
dx dz _2 — + —= ■■■■■ ■■■■, = 0, integrando
* Vi + z 2
J 2 — + f — = lnc => x 2(x2y + ̂ l + x 4y 2) = c 
x Vl + z 2
60
163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0
Solución
Lx : 2 x -4 y = 0 1
Sean > => Lx4 fL 2 => 3 P(xQ, y 0) e L x n L 2 de donde
L2 : x + y - 3 = 0J
2x - 4y = 0 | * o = 2 sea x = z + 2 , y = w + 1, reemplazando en :
x + ̂ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3)rfy = 0
(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea
sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
(2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene:
(w 2 - 3« + 2)dz + (m + 1 )zdu = 0, separando la variable
— 4- . “ + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2
z t/ - 3w + 2
164) (x — 2y — l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0
Solución
Sea z = x — 2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación 
(x - 2y — l)dx + (3x — 6y + 2)dy = 0, se tiene:
(z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando 
(z — l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables
(1 - — )dz + 5dy = 0 ; integrando
z
z - ln z + 5 y - c , como z = x - 2 y entonces: x + 3 y - ln |x - 2y| = c
61
165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
Solución
Lj : x - y + 3=0 1
L2 - 3x+y+l = 0\ ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿ 2 de donde 
x - y + 3 = 0 ] x0 = - l
-» 1 * r =* ̂ » sea x = z — 1 , y = w + 2
3x + y + l= 0 J .Vo =2
(x — y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
(z — w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
(z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando
(1 — u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando
(w 2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables
dz u — 3 r dz r u — 1
— + ~ 2— ------du= 0 , integrando — + —----------- ¿w = c
z w + 2w + l J z J u 2 + 2w + l
2 2
ln z + ln(w + 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ — = c donde
«+1 «+1
2x+2w y - 2 ------
w = — = ------ setiene y = 1 - x + ce r+>’
z x + 1
166) (x+ y)dx + (x + y - l)dy = 0
Solución
Sea z = x + y dy = dz — dx, reemplazando en la ecuación
62
z dx + (z — l)(dz — dx) = 0, separando la variable
dx + (z— l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)dz = c entonces
2
x + - - ~ - - = c porlotanto: 2x + (x + y - l ) 2 =k
167) y cosx dx + (2y — sen x)dy = 0
Solución
Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación 
y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: 
y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea
sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación
uz dz + (2uz — z)(u dz — z du) = 0, simplificando
u dz + (2u - 1 )(u dz + z du) = 0, agrupando
dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , ,
---- h---- -— du = 0 , integrando — + — du■ = c de donde
z 2u2 J z J 2u
2y ln y + sen x = 2cy
y y168) ((x -y )co s — )¿/x + xcos — dy = 0
x x
Solución
y
Sea u = — => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 
x
(x — ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0
63
(1 — u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando 
dx + x eos u du = 0, separando las variables
— + eos udu = 0 , integrando f — + f eos udu = c 
x J x J
V VIn x + sen u = c, como u = — => ln x + sen — = c
x x
por lo tanto x = ke~SQnylx 
y 3dy + 3y2xdx + 2x3dx = 0
Solución
y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 
w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando
u3 (udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando
(u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables
dx u3 ,---- 1_ —__—— -----du - 0 , integrando
x u 4 +3u2 +2
— U— -----du = c de donde c J x 2 + y 2 = y 2 +
J x J u 4 +3u +2
ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0
Solución
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =* 0 , simplificando
2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables
2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du
-----h------- j=—du = 0 , integrando I — + ------— — = c
X u^lu J x J u J u 3 2
2 [x21n x + 21ni/H—j=r = c de donde ln y - c - — entonces
Vw v y
y = entonces y e = k
171) Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular 
bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto 
de contacto.
Solución
Por dato del problema d = x0
Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es:
Lt : y - y o = mLt ( x - x 0)
65
Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta
d ( 0 , L , ) J ^ =
VO’(
por condición del problema se tiene: ¿/(O, Lt ) = x 0 
\y<t>xo/(xoÍ J
F"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene:
- M * o))2+i
y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \ simplificando
>’2 ~ * 2 — 2xv;v' = 0 de donde ( y 2 — x 2 )<¿v—Ixydy = 0 , es homogénea 
sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 
(u2x~ —x ‘’)dx — 2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando 
(u -1 )dx — 2u(udx + xdu) = 0 , agrupando
— (u ~ + l)¿¿r — 2uxdu = 0 , separando las variables.
2w ^ a • * ̂ f ,— + ---- du = 0 , integrando — + ------- ¿fa= lnc
* u 2 +l i x J u 2 + 1
lnx+ln£/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjc
x
Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente 
en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante.
Solución
o /(* o )|
o))2 + l
La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0), de donde 
Lt : y = y '(x0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0 
parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0)
r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn)
además = V*o “ .Vo » lueg° :--1— =*==— = generalizando se tiene:
4 xo + y ¡
v - y ' x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx + y
i * 2 +jV2
(c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea
sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando ,
(c^l + u 2 -u )dx + udx + xdu = 0 , agrupando
67
c^l + u2 dx + xdu = O, separando las variables
= 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln&dx duc--4- - ^ ^
* é + u2
x c (u + *K+u2 ) =k dedonde y + ̂ Jx2 + y 2 - k x l c 
x 2 + y 2 = k 2x 2̂ ~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde
. 1 / 1 —(T 1 1+C.. y = — k v ----x
2 * k
173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos 
que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada.
Solución
dy , Á t a O - * ) + 4 7 2 + ( i - * ) 2— = tg^ = c tg 0 = ----------- 2-----------------
dx y
ydy-( l-x)dx _ . „ r ~5 “ 7
--p— ■. ... = dx integrando ^ y + ( l - j t )~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = <
4 y 2 +( l - x ) 2
y = 4 cjc
68
174) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de 
ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde 
este punto al origen de coordenadas.
Solución
Dato del problema dx = d 2, la ecuación de la tangente es:
L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o)
ecuación de la normal: LN : y - y 0 = ------ — (x - x 0)
y \ x o)
J J X *0de donde y = ----------- + ---------- 1- y 0
/ ( * 0) / ( * » )
parax = 0, dx =—̂ - — + y 0 además d2 =Jxo +
y'(x 0)
y l
como dx = d2 => ——— +y 0 =Jxo +.Vo » generalizando + y = - jx2 +
y \ * 0) ' dy
xdx + (y- -Jx2 + y2 )dy = 0 , es homogénea 
y = ux => dy = u dx + x du , simplificando 
(1 + w2 - u ^ l + u2 )dx + x (u -^ \ + u2 )du = 0
69
dx U -V l + M2
x 1 + u 2 -u V l + Ŵ
du= O, integrando y reemplazando
y 1 / 2 Ku = — se tiene: y = — (cx — )
x 2 c
175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus 
puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento 
interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la 
distancia desde este punto al origen de coordenadas.
Solución
Condición del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es:
Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0)
ecuación de la normal es: LN : y - y 0 = — 7 7 — ( x - x 0)
/ ( * o )
x *o
l n '■ y = — 77— 
y (Xfí) y (*0)
para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto:
y'(x0)
70
x0d 1 = 2d \ => x n( -X° + y (i) = 2(Jx¿ + y l )2 , generalizando
v (jc0 )
2 dx „ , 2 2\x — +xy = 2(x + y ) 
dy
x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea
sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u2)(udx + xdu) = 0 , simplificando
dx + ( u - 2 - u 2)(udx + xdu) = 0 , agrupando
(u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2 )du = 0 , separando la variable
dx u - 2 - u 2 „ . A t , y— + —---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene:
* u 2 - 2 u- u3+\ x
71
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: 
ECUACIONES DE BERNOULLI
La ecuación diferencial de la forma:
^ - + P(x)y = Q(x) 
dx
donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de 
primer orden.
Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de 
variable separable y su solución es dada por:
- f p(x)dx
y = ce J
si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su 
solución es dada por la expresión.
Ecuación de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma:
^ + p(x)y = Q(x)yn 
dx
..(2)
donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial 
lineal, mediante la sustitución.
i-«
72
Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes:
176) y ’+2y = x 2 +2x
Solución
La solución es:
y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c] . . . ( 1)
donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2)
luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
- í 2 dx r ' f 2 dx 2
y = e J [ \ eJ (x +2x)dx + c] , efectuando la integral 
y = e~2x[ j e 2x(x2 + 2x)dx + c]
y = e~2x[—— —- e 2x +—- 1-c] por lo tanto:
2 4
2x2 + 2x 
V= 4
177) {x2 + 2 x - \)y ' - { x + \)y = x - \
Solución
/ 2 n , / , x + l JC —1(x¿ + 2x-l)y '- (x + l)y = x - \ => y '— ---------- = —----------
x + 2 x - l x + 2 x -
- \p(x)dx r (p(x)dx
y = e J [ \ e J Q(x)dx + c]
-2 v— + ce
- la solución es: 
1
73
donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene:
x + 2 x - l x 2 + 2x - \
- \ - — ^ ± — dx , - x - \
y = e } x +2x-l r \ e' x +2x-l f _ J ----rfX + C]
J x + 2 x - l
iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l , ..
y = e2 [ \ e “i-------¿fo + c]
x + 2x -1
y = V*2 + 2 * - l [ f <X ^ ..y y dx + c]
J (x2 + 2x-l)
y = *Jx2 + 2x - l [ | ¿ ( X ; = ) + c ] , integrando
j ^ x 2 + 2x - l
y = a/ t 2 -4- ? r -1 (— *. —- + <") por lo tanto: y = x + c ^ x 2 + 2 x - l
4 x 2 + 2 x - l
178) x ln xy '-y = x 3 (3 ln x - 1)
Solución
, 1 x 2(3 1nx-l)
x lnx .y '-y = x (3 1 n x -l) => y ---------v = ------- ----------
x ln x mx
p(x)dx f [p(x)dx T i j
como la solución es: y = e J [I eJ Q(x)ax + c] donde:
1 x 3(31n x -l)
P(x) = — -— y Q(x) =
x ln x ln x
dx r dx
x '( :
Inx
_f— - f— x 2(31nx- l ) 
reemplazando se tiene: y = e xlnx [J e AlnA ^— dx + c]
74
y = e mnx)[ j e -‘n(ln *> jr2(31nx U dx + c]
y = lnx[fí/(-^--) + c] => y = lnx(-^— + c) 
J lnx lnx
por lo tanto: y = x 3 -f-clnx
(a2 - x 2)y'+xy- a 2
Solución
/ 2 2 ̂ » 2 . * # ̂(a -jc Xy+xy = a- => y + —------ y = a 2 _ x 2
como la solución es: y = e ^ P!> [ J e ^ * g(x)í/x + c]
x a2
donde p(x) = — ----- — y Q(x) = — -----—, reemplazando se tiene:
a - x 2 a2 - x 2
- J - r - i* f ~2y = e a x r 1 *[ I V *2- ' 2 - - — dx + c]
J a - x
Un(a2-x2) r
y = e 2 [ \ e 2 — - -dx + c]
J a - x
y = ^ja2 - x 2 [a2 f — -—— — + c] entonces 
J (a2 - x 2)3/2
y = 4 a 2^ x 2 ([ d ( ^ L = ) + c) => y = V «2 - x 2 ( ^ j L - ^ +c) 
Va - x -\la~ - x
por lo tanto: y = x + c ^ a 2 - x 2
180) 2xy'-y = 3x2
Solución
 ̂ , -» 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = —
2 x ' 2
como la solución es: y = e ^ H * Q(x)dx + c]
1 3x
donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene:
2x 2
f dx r dx
= e 2x[ j e 2x — dx + c\
1 ,— ln x ^ — ln x r— j r r—•
y = e 2 [J e 2 xdx + c] => y = ^Jx(—j ^ x d x + c) 
y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx
181) (x + \)dy-[2y + {x + \)*]dx = ti
Solución
(x + \)dy ~[2y + (x + \)A ]dx - 0 
dy 2
dx Jt + l
V = (jc-h l)3, como la solución es:
’ = e ~ ^ x)Jx[ \ J P̂ dxQ(x)dx + c]
donde P(x) = — — y Q(x) = (.v + 1)3 
x + 1
76
f 2</r r 2¿r
reemplazando se tiene: y = e x+l[ je x+l (x + l)3dx+c]
y = e2ÍBix+l)[ je -mx+l)(x+l)i dx+c]
y = (x+ 1)2 [J (x+\)dx+c] = (x+1)2 + c)
, (x + 1)^ t
por lo tanto: y = — ■— +c(x + l)2
182) / = ---------- L -----
xsen>> + 2sen 2y
Solución
1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = -----------------------------
x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2 sen 2^
- ¿/je— = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2v
«V úfv
la solución es: x = e
de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene:
f sen v’rfv f f sen yrfy
x = e J [ J e J 2 sen 2ydy + c]
x = e cos>'[4j ecos>’ sen y co sy d v + c]
x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s \e * * y + c ] => x = 4 ( l - e o s >■) + « > -cos v 
por lo tanto: x = ü n 2 -- + cí> C0S1'
77
183) y'-2xy = 2xe*2
Solución
y = e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq(x)dx + c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex
- f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2
reemplazando se tiene: y - e J [ \e i 2xe dx + c]
y = exl [^2xdx + c] = e * \ x 2 + c) por lo tanto:
y - (x2 +c)ex
2
x 3 —2
184) x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = --------
Solución
x 2 — 2x(x3 + l ) /+ ( 2x 3 + l)y = -------- dividiendo entre x(x3 + 1) entonces:
y'+ — -r— — y = , ecuación lineal en y, la solución es:
x(x +1) X (x +1)
y = e \ p<x)d* d e\ p{x)dxq(x)dx+c] donde />(x)=-^y— y ?(*) = 2 3
J x(x + 1) x (x + 1)
f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3
reemplazando se tiene: y = e +1) [ f e r(< " * • ^— dx + c]
J x 2(x3 +l)
y = e
, jr3+l . , * 3+l . , 3
-ln------- r ln(-------) (x - 2) ,
[ i e x ~ 2— í----- dx + c]
J x 2(x3 + l)
78
* r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 — - [ I -------— ¿ X + c ] = - y — (x + — + C )
x J +l J x 3 x 3 +l x 2
expor lo tanto: y = —— - + —
x +1 X
185) y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1
Solución
y = e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx + c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x
. . . - I eos xdx f í eos xdx
reemplazando se tiene: y = e J [ \ e J senx eosxdx + c]
y = e~ *enx [ J esen x sen x eos xdx + c]
y = e~'senA[senxesen v - esenA + c] y = s e n x - l + céTsenK 
para x = 0 , y = l = > 1 = 0 — 1 + c entonces c = 2, por lo tanto: 
y = 2e~scnx + s e n x - l
186) x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0
Solución
x lnx.y'-(\+ lnx)y+~ (2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l nx entonces se tiene:
1 + lnx (2 + lnx) .. i iy _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es:
x l nx ' 2^¡xlnx
79
y = e ^p{x)<L\ \ e ^ P(X)dXq(x)dx+c] donde: p(x) = y q(x) = - —
J x \nx 2-Jxlnx
r l+ln.v f 1 + ln.r_j — d.x r I —— dx 2 + lnx
reemplazando se tiene: v = e ' ln t [ - e vln x — j=-----J 2Vxlnx
y = eln(vln-*,[ - f e [n{xAnx) .dx+c]
J 2^1 x In x
^ = x.ln x[- f —^ ̂ n X-— dx + c] = x. In x[ f d (—=------ ) + c]
J 2 V x x ln x J 4 x \ n x
y = x. In x(-jJ-- + c) por lo tanto: y - Jx + ex ln x
-v/x ln*
187) 3xy'~2y = —
y
Solución
x 3 , 2 x 2
y
3xy'-2 y = — => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli
•2 3 x 3 v
¿/v 2 x 2 _2 w. r , , 2—--------y = — y multiplicidad por y
dx 3 x ' 3
2 __3 = * 2
dx 3 x ’ 3
sea z = v 3 => — = 3v2 , reemplazando se tiene:
' dx dx
L _ JL ^ = í => — - -- z = x 2, ecuación lineal .
3 dx 3x 3 dx x
1 dz 2 x dz 2 _ i
dx + c]
80
- f - -d x c f -dx
cuya solación es: z - e x [ \ e x x~dx + c] entonces:
'[ J íf r + c]z = e 2lnx[ \ dx+c] => v 3 = x y +cx2
188) 8 xy '-y = - 1
yl)x + \
Solución
o . i dy i i , ^8x y - y = --- ■■p=̂ L_1 entonces —-------- v = ----------y^— , ecuación de Bernoulli
y^Jx + 1 títe 8x %xy\lx + l
multiplicando por y 3 se tiene: y 3— - — v 4 = - - *
dx 8x ‘ 8xa/x+T
s e a z = y 4 entonces — = 4^ 3 — , reemplazando en la ecuación se tiene: 
¿/x ' dx
\ dz \ 1 dz 1 1 ., ..
— —— — z = ------7= = - ~ => —--------z =- 7= , ecuación lineal
4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l
f ^ f ¿r ^ 
cuya solución es: z = e 2* [ - 1 e 2* ----- ........+ c]
J 2xvx + l
— lmr /• ln.r
z - e 1 [ - \ e 2 ----- - + c] entonces
J 2xVx+l
z = V x [ - f— j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c]
J 2V*W* + 1 J V*
’ = V^(—7=~ + c) = por lo tanto: v4 =4x + \ + c^fx
Vx
81
189) (Jty + x 2y 3)y '= l
Solución
(xy + x 2y 3)y '= l => (xy + x 2y 3) ~ = \
dy 1 dx 2 3— = --------—— entonces — = xy + x y
dx xy + x y dv
- xy = x 2y 3 multiplicidad por x-------- ->
dy
-2 dx - 1 3 -1 v-2 dxx ----- yjc = y , sea z = x => — = -x —
dy dy dy
— - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es: 
dy ŷ
r f , zi
^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l =>
_zl ¿ ¿
z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:
190) / - y = 2*e*+x2
1 2 "T— = 2 - y + ce 2
Solución
Como y = e /̂(r)í/r[ | e ^ (v)í/X̂ (jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe* 
Reemplazando se tiene: y = e ̂ [Je^ 2xev+v dx + c]
82
y = ex[ j2 x e x dx+c] entonces y = ex (ex +c)
por lo tanto: y = ex x + ce
191) xy' = y + x 2 senx
Solución
2 dy 1 .,xy = y + x sen x => —----- y = x sen x , ecuación lineal
dx x
la solución es: y = e
r dx r dx
y - e x [ f e x xsenxdx + c]
y = e lnx[ j e~lnx x sen x dx + c] = x(- eos x + c) 
por lo tanto: y = -x eos x + ex
192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2)
Solución
x 2y'+2x3y = y 2 (1+2jc2 ) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuación de Bemoulli
x
multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~x
x 2
sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando 
dx
+2xz=— -— => -----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es:
dx x2 dx x2
83
- f - 2 xdx f [ -2 xdx (l + 2 x 2 )
Z — e J I — I p j ------ 4----
r r \ -2xdx (l + 2x~) , _
[ - U J ----- - d x + c]
J X
= ^ [ - j dx + c] = e"2 [ J r f ( ^ - ) + c]
1 1 *2 por lo tanto: — + — + ce
y *
2 2 2 x - y - a
Solución
2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ̂ ̂ ¿ dx 1 __ y 2 +a2 ,
y —-------- ------- — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x
x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y
. . dx \ 2 v2 + ¿z2multiplicando por x se tiene: x —— — x = ------ -----
y dy 2 y 2 y
0 dz dx . \ dz \ y 2 + # 2 , A A
sea z - x => — = 2x — , reemplazando — —— —— z = ----- ----- de donde
dy dy 2 dy 2 y2y
1 cuya solución es: J « y'*«, )dy+c] donde
dy y y J
1 2 + a 2p (y ) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene:
r J v y + a[ - le y - -------- dy + c]
J v
2 2 2 
: = e ln;l'[-1 —- —- dv + c] = y ( - y + — + c) entonces
J y 2 ' ' y
84
z = - y 2 + a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy
194) 2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc)
Solución
2 sen x ./+ y eos x = y 3 (jc eos x - sen x) de donde
dy c tg x 3, x e o s* -se n * .. ,
— + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli
dx 2 2 sen*
multiplicando por y 3 se tiene: y 3 — + c ^ x y 2 — j [cosx_senx
dx 2 2 sen x
sea z = >,-2 =* — = -2y~3 — reemplazando - 1 ^ +£ÍM ÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ 
dx dx 2 dx 2 2senx
dz
—— c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: 
dx
-\-cX%xdx f f-rtgjr dx
z - e f J e (xctgx — X)dx+ c]
_ lnsenjc«- f - ln se n jr / . nz - e [- \ e (x c tg x -l)ax + c]
_2 r fx c o s x -s e n x ,y = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces:
J sen x
— 2 X Xy = sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------h c) por lo tanto:
sen x sen x
l
— = x + c sen x
85
Solución
3x2 dx x3+y + l , , ,y'=----------- => — = -------— de donde
x3 + y +1 dy 3x
- — x = - +— x 2, ecuación de Bernoulli 
dy 3 3
2 . 2 <̂X 1 2 V +1
multiplicando por x se tiene: .v ^ " 3 * = —
2 dz . 2 dx . , 1 dz 1 V + lsea z = x => — = 3x — reemplazando - - - z = ——
tfy dy 3 dv 3 3
de donde----- z = y +1, ecuación lineal cuya solución es:
dy
z = e ̂ dy[je^ dy (y + l)dy + c]
z = ey[je y(y + l)dy + c] => x 3 =e-'[~e v(y + l ) - e y +c]
por lo tanto: x 3 = - y - 2 + cey
■ X+ 2 _ d - * V
^ je2 H-a:-I-1 (x2+Jf + l)3/2
Solución
Multiplicando por y 2 se tiene:
•* + — /t 2 \
y“V + ^ — — y ~ l = — — * 3/2 —d)
JC + *+1 (JC + * + l)3 2
1
sea z = y 1 => — = - y 2y V reemplazando en (1)
dx
dz 2x + \ l - x 2
dx 2 ( jc 2 + jc + 1) ( x 2 + jc + 1)
dz 2x + l x 2 -1
3/2
 ̂= —i— ------ ttt , ecuación lineal cuya solución es:
dx 2(x2 +x + l) (x2 +x + l)3/2
r 2x+\ c 2x+\
z. (*2 -D ^ +c]
J (x2 + * + i )3/2
— lníjc-+jc+l) f I„C*2+.v+1) (x2 - l)
z — e * [\e —i----------ttv dx + c]
J (x2 + x + d 3/2
2
z ^ - J x 2 + jc + l [ f —— ----^-— dx + c] = ^lx2^ x + l [ [ - d (———-----) + c]
J (x2 +* + l)3/2 J JC2 +JC + 1
Z = 4 x 2 + JC + 1(----- ----- + C) = ----j-..* +Ca/x2 + JC + 1
jc + jc + 1 V*2 +x + l
-i x ny = — p- 7 + c^x +jc + 1
^ x 2 +x + l
m 3 y ^ ^ L - - L ^ - f >
X(x~ — ci^) y 2 x — a~
Solución
87
, 2 . x2 +a2 1 *(3jc2 - g 2)
Multiplicando por y ¿ se tiene: 3 y y + ^ >' “ ^2 _ a 2
sea z = y 3 => — = 3 y 2 y \ al reemplazar se tiene:
djc
ffe , ■y2 +fl2 - _ ecuación lineal cuya solución es:
_r_£±5l_rf, , f x?fl ~<fa vnvJ - f lJl
■ í *(**-*) [ f e ^ -^ - d x + c]
j JC - f l
ln_ ^ f f ln¿±íl) ^3,2- fl2)
z = e ¿ - ' [ W / 'dx + c]J x - ax “ - a
z = - ^ [ \ O x 2 - a 2)dx + c) = ^ - T [xi - a 2x + c] 
x 2 - a 2 3 x - a
2 2 CX 
por lo tanto: y - x + _ fl2
198) (l + x 2)y' = xy + x 2y 2
Solución
2 —2 , x —1 X
y__ £ _ y =— y2 multiplicando por y se tiene: y y - ^ r ~ i y— y — — — _ y u i u n i p u v a u u u p v i j o w i , v u v . y . / 2 J 1 . y 2
1+JC2 1+x2 1 *
2
sea z = y - ' =* — = - y _2y' entonces ---- ^ z = ^ , ecuación lineal.
dx d* l+x l+x
- [ - 1 —d x , f - A r * v;2
z = e ¡ ,+x2 [ f e 1+jr (------- T)dx + c]
j 1 + JC
88
z = e 2
—— ln(l-f-Ar2 > r i ln ( l+ ^ 2) ~ 2
M e 2 ---- 7¿* + c]
J 1 + jc2
1 r jc2 
= .-■■■■■■. [- dx + c] por lo tanto:
4i+ 7 J
i i
( - — Vl + x 2 + — ln[x + Vl + x 2 ] + c
A f - ±<*+»V
1 + jc 2
Solución
_2 2 y 1 ?
Multiplicando por y se tiene: y " v'+ —— = — (jc +1)
1 + jc 2
sea z = y “1 => — = - y ”2y ', reemplazando en la ecuación: 
dx
— = - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3 , ecuación lineal cuya solución e 
¿/jc 1 + jc 2 ¿ jc 1 + jc 2
¿x c dxr dx f dx
z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c] 
z = e ,n(,+*)[ fe - ' n(,+x>± (l + x )3 dx + c] 
z = (1 + x)[ J + ̂ dx + c] por lo tanto:
1 +— = — —— + c(l + x)
V O
200)
201)
(x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0
Solución
xy — + x 2 + y2 +l = 0 =» — + — x = - x 1, ecuación de Bernoulli 
dy dy y y
dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x — + — x = ----- ----
dy y y
sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación 
dy dy
1 dz 1 y2 + 1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ — 4— z = _2(i------ ), ecuación lineal cuya solucion es:
2 ¿y y y dy y . y
¿/y+ c]
z = e - ^ y [_2 ¡ e m y ( ^ - — )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + + c]J v v 4 2
por lo tanto:
/ = 2y lny + y- j c
Solución
¿/;t _ 2x ln y + y - x 
dy x
— + L x = 2 \ny + l , ecuación lineal cuya solución es:¡ 
dy y
90
- J - f J -
z = e v fj e y (21n y + \)dy + c] entonces:
,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = — [J (2y ln y + y)dy + c]
Q
por lo tanto: x = y ln y + —
202) x(x - l)y ’+y = x 2 (2x - 1)
Solución
1 (2jc - 1) ̂+ ~ (--ñ ̂ =---r x ’ ecuaci°n üneal cuya solución es:
— 1J X ~ X
r dx r dx
y = e 4*4) [ í j ^ ) x< ^ I ± )d x + c]
J x - l
1 / x X , JC—1
jc-T r f T / 2 x ~ l w y = e x 1 [ j e x x(— — )dx + c]
J x - l
y = - ^ — [ \ (2 x - l )d x + c] => y = - ^ —(x2 - x + c) 
X - l J x - l
por lo tanto: y = x 2 +-
x - l
.2 , CX 
x - l
•*W) y ' - y tgx = sec;c, y|^=o= 0
Solución
- f - t g xdx f f - tg jxdx
y = e \ \ e J sec xdx + c]
91
204)
205)
eos X
y = e Ulc:>s;c[J e lnsec* secxdx + c] entonces:
C sec xy = L .x x ( ------ dx + c) =secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0
l sec x
X
por lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = -
y' eos y + sen y = x + 1
Solución
Sea z = sen y => — = eos y.y ' , reemplazando en la ecuación:
dx
+ z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es:
dx
z - e ̂ [ je^ (x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c] 
por lo tanto: sen y = x + ce'
y'+ sen y + x eos y + x = 0
-x
Solución
y y 2 y 2 ySea sen y = 2 sen — eos — , eos y = eos — - sen —
2 2 2 2
y y i y 2 y ^y '+2 sen — eos — + x e o s ----xsen — + x = 0
2 2 2 2
y'+2 sen—eos —+ x eos 2 —- x ( l - e o s 2 —) + x = 0 , simplificando
2 2 2 2
92
/ + 2 sen —^os —+ 2xcos2 — = 0 
2 2 2
2 y ysec “ — y1’+2 tg — + 2x = 0 entonces: 
2 2
sea z = 2 tg — => — = sec2 — .y', reemplazando en la ecuación: 
2 dx 2
dz— + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: 
dx
z - e [ -2 ^ e^‘lXxdx + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c]
2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x + l
206) / - - ^ = é>*(l + x)'1
x + l
Solución
- f ——<¿r /• f ——dx
y = e ' x+l [I e x+l ex (l + x )ndx + c] 
y = e -ninu+DeX(i + Jc)»í¿c + c] entonces:
>- = (x + l)"(c-t +c)
’07) |V(ctt)¿/a = ny/(x)
Jo
Solución
93
J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n\¡/(x), derivando:
1 ex 1 f x V ( x ) , / x
— \\ir{z)dz = n\¡f{x) => — •lf(z)dz + ny /(x )
x Jo X Jo x
como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) 
Jo X2
(1- « ) , y / ' ( x ) _ \ - n
¥ { x )L - - = n ¥ {x) entonces: —
integrando ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In c
n
i-n
ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) = c.x n
- x 2 2y'+xsen2y = xe eos y
Solución
2
y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x
sea z = tg v => — = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz =
dy “X
z = e~i2xáx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces tg y = e~x [Jxdx + c]
xe~x - x 1
por lo tanto: tg y = —- — + ce
En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las 
ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas.
209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x ->oo
Solución
-f-2xdx f f-2xdt
v = e J [I e J (eosx-2xsenx)dx + c]
y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces:
y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y = e x (e x senx + c)
. x2
y = 3 sen x + ce como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando
x —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x
210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo
Solución
, 1 senV *+cosV * ., ..y ----- t= y = -------------7=-------- , ecuación lineal cuya solución es:
2v * 2V*
_ e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e f , l^ ~ V £ ± c o w «1 i4 x
J 2Vjc
y = e^[J</(e“̂ cosVx) + c] => y - eos~Jx+c)
y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando 
x-H -a o = > c = 0 por lo tanto >■ = eos Vx
95
211) ln 2 = 2sen x (eos x -1) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo
Solución
y = e - \ - la2<lx[j J - ln2dx2 senx( c o s x - l ) l n 2 dx+c] 
y = e xln2[ j e - xla22seBX (eos x -1) ln 2 dx + 1 ] 
y = e xla2[ j d (e~x]n2 2 ieax )+ c] 
y = e xln2(e~xln22senx + c) => y = 2 senx +cexln2
como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0 
por lo tanto: >' = 2sen'
212) 2 x 2y '-xy = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo
Solución
1 2 x co sx -3 sen x
y ------y = ------------ ---------
2x 2x
- f f f t 2 x co sx -3 se n x ,
y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]
lnjr lnx— r —t - 2 x eo sx -3 se n x 
v = e 2 [ \ e 2 (--------------5--------)dx + c]
J 2x
/— r sen x /— ̂ sen x sen x r~
y = J x [ ] d ( - j jY ) + c ] => y = 'Jx(—^jY+c)= - +cV*
como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0
96
por lo tanto: y = -~n *
, sen 2 xy senx - y eosx -------- -— , y —> 0 cuando x -> oo
x
Solución
. * sen x
y c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es:
x
- j - c tg x d x f j - c tg xd x senxv ,
y = e J [ \ e } (-r~)dx + c]
J x ¿
.. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSX
y - e L“ J e (— Y~) * + entonces:
J x
„ f dx i senxy = senx[-J — c] => y = — — + csenx
como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x r=> c = 0
por lo tanto: y = senx
(1 -f x 2) ln(l + x 2)y '-2xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo
Solución
dy 2x 1 2xarctfíc
//v ,1 . 2x, * 27^ — 2 “ ~ ---------r » ecuación lineal, la solución es:dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x )
f - 2 x d x f -2 a ¿v
v = í? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgx
J 1 + x2 (l + x2)ln(l + x 2)
= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c t g y x + c,j
j (l + x 2)ln(l + x - ) (1 + x )ln(l + x )
y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^_) + c]
•> ln(l + x )
n, r arctgx ,
y = ln(l + x )[------^ + ̂ 1
ln(l + x )
y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c 
por lo tanto: y = arctg x
215) y' - exy = -y s e n —-e * eos—, y —> 2, cuando x —>-oo 
x * x
Solución
= ^ f e dx[J e ̂ sen —-e * eos —)dx + c]
y = e€ [[e~e (-^-sen —-e * eos —)dx + c] 
x 2 * x
y = ke\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = ee [ e e co s^ + e]
y = eos — + ce6 cuando y ->2, x -> -oo 
x
1
^ - eos —
c _ _________ £ => c = 2 - 1 => C = 1 , por lo tanto:
1y = e -heos —
x
98
216) y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-»+qo
Solución
- f - ln .v f í - lnj rár
y = e J [-1 eJ (l + 21nx)x dx + c] 
y = e xlDX-x[ - ¡ e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+c] 
y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~2xdx+c] 
y - X xe~x[ jd ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c)
y - x ~ x +cxxe~x para y->0, cuando x->oo => c = 0 
por lo tanto: y - x~x
99
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR
i n t e g r a n t e !
La ecuación diferencial de la forma:
M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1)
Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de 
una función u(x,y)
du du
Mdx + Ndy = du = — dx + — dy 
ox oy
la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial 
exacta es que se cumpla la condición.
dM dN
dy dx
. . . (2)
La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien.
í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = c
Jx0 Jy0
... (3)
En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación 
diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer 
miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total:
du = u Mdx + u Ndy ... (4)
Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se 
tiene:
duM d Ar A . . K1du A du .dM dN.
------ = — uN de donde N - — M — = (—------- —)u
dy dx ox oy oy ox
consideremos los siguiente casos:
100
Primer Caso.- Si u es una función solo de x.
r: f ^u dM dN duEntonces: — = 0 => u(------------ ) = N —
dy dy dx dx
du i M N du 1 dM dN J
— - — ( ) de donde — = — (—-----— )dx = f ( x ) d x , integrando se tiene:
dx N y x u N dy dx
\
ln u = J f ( x )d x => u = e ¡ f {x)dx
Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces:
dU . . ,dM dN ̂ t r du— = 0 luego m(—-------— ) = - M —
ox dy dx dv
du _ u dM dN du 1 dM dN ̂ , J
dedonde v = _ ¥ (1 7 “ &"Mv = g(v)^ ’ mtegrand0
ln u = \ g ( y ) d y =» u = J sWdy
Integrar las ecuaciones.
217) x(2 x2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2)y '=0
¡M = x (2x 2 + y 2) 
[N = y ( x 2 + 2 y 2)
Solución
dM
dy
dN
dx
= 2xy 
= 2xy
Luego dM _ dN 
dy dx
la ecuación es exacta
101
218)
df(x ,y ) d f(x ,y )
» 3 f ( x , y ) tal que v. • = M y
Sx 5v
d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x.
cfcc
4 2 2
f ( x , y ) = j x ( 2x 2 + y 2)dx + g(y) = ^ + ~ - + g (v ) , derivando
- x 2y + g ' (y) = N entonces x 2>y + g '(v) — y(x + )
5v
g ’ (^) = 2 ^ 3 => g(y) = + c , reemplazando en la función
f ( x , y ) = — + ̂ —̂ + — + c porlotanto: x* + x ~ y 2 +y
2 2 2
(3x2 + 6x y 2 )dx+(6x 2y + 4;y3 )dy = 0
Solución
\m = 3x2 +6xy2 
[N = 6x 2y + 4 y ì
= 12 xyd M _
dy
8N 10 — = 12xy
. dx
Luego = la ecuación es exacta
dy dx d f(x ,v ) , , d f(x ,y ) Entonces 3 / (x , v) tal que — ^ - — = M y — = N
y) _ 2x 1 + 6xy2 integrando respecto a x. 
dx .
102
f ( x , y ) — -V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y
df(x,y) á 2 , , r— ---- = 6x y + g (y) = N
dy
6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c
f ( x , y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x* + 3 x 2y 2 + y 4 =k
2I9) < - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - ('
V* + / x y 4* + y y y '
Solución
x 1 1 M = ■ .— = + —+ —
^
y i X_____ i_ __
■yfx2 T y 2 y y 1
xvdM
dy (x 2 + y 2)3/2 y 2
xy
T dM dN 1
Luego —— = —- la ecuación es exacta 
<7y dx
Entonces 3/(x,_y) tal que df{X' y) = M y Q B g É . = n de donde
ox dy
à f(x ,y ) _ x 1 1
3x Vx2 + y 2 * .V
integrando respecto a x.
f {x ,y ) f( i~—-----------_ + + ) i £ r + g ( _ y ) —ifx~ + y 2 +lnxH---------- h g(y), derivando
J r + v¿ x y yJ Vx2 + y2 * > 
3 /(x ,y) _ y
= — +g'(y) = N
103
220)
^jx2 + y 2 y
r +«'CK) =
1 X
r + ------
J 7 + 7 y y
g' (y) = i . => g(y) = lny + c', reemplazando en la función:
f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + ln x+ — + ln y+ c por lo tanto
J x 2 + y 2 +ln xy+ — = k
v ' y
(3x2 tg y -^ Y -)d x + (x2 sec2 y + 4y3 + ~ - ) d v = 0
Solución
2 2/M = 3x tg y -----—
x
1 3
N = x 3 sec2 y + 4y3 h
dM ~ 2 2 6y-----= 3x sec y ------ r-
dy x
dN , 2 2 6.v2----= 3x sec y ------ y
dx x
Lueg0 la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
Qf (*> y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x.
a* x3
f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y) = x 3 tg y + ^ y + g (y ), derivando
¥ ( x , y ) 3 2 3y ,, „ Ar
— ------= x sec y + - y - + g (y ) = JV
oy x
3 2 3 2
x 3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4y3 + -=y entonces
g ’(y) = 4 y 3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función:
/ ( x ,y ) = x 3 tgy + -y + y 4 + c por lo tanto: 
x
3
3 4 V ,x tg y + y + ~ = k . 
x
221) (2x + ̂ 4 ¿ ) d x = ^ l ^
x 2y xy2
Solución
M =2x +
x 2 + v2
x 2y
N = -
x 2 + y 2
A^2
rW 1 1
■ — + —r
y x-dy
d N ____I_
ax " / + x 2
dM dN t
Luego -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 / 0 , y) tal que —- = M y —■ = A/- de donde
ox
d/(x ,y) x 2 + y 2 .
—------— = 2x + — -- integrando respecto a x se tiene:
S* x y
/• ^ | y ^ y
f ( x , y ) = (2x + ---- —— )dx+g(y) = x 2 + -----— + g (y ) , derivando
x y “y x
105
dy y x
X 1 X 1
• —r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando:
j '2 * v2 *
f ( x , y ) = x 2 + — - — + c por lo tanto:
.V x
2 * Vx + ------- --= k
y xsen 2x sen2x x , .222) (—------ + x)dx + (y — —x— )dy = 0
y y
sen 2x M = -------- + x
N = v - sen2 x
Solución
dM sen 2x
dy y 1
dN _ 2 sen x. eos x sen2x
dx y 2 y 2
dM dN
Luego -----= ----- la ecuación es exacta.
dy dx
Entonces 3 / (x , y) tal que =M y ̂ - = N de donde
dx dv
d f (x, y) _ sen 2x 
5x
+ x integrando respecto a x
sen 2x
+ x)ífr + g(.y) = - cos2x x .---- — + _ + g^y} ̂ derivando
2y 2
dl ^ ^ + g <(y ) = N 
dy 2y 2
106
223)
— — +g W = y -------—
2 y 2 y 2
eos 2x sen2 x
, , . sen2 * eos2 x sen2 x
g (y) = y -------- -̂------------- 5 - + —
y 2 2y2 2 y 2
8 '(.v) = y ------ r => g(y) = + -^- + c , reemplazando en la función
2 v 2 2 y
/ ( x , v )= - ^ + i L + X + > - + t;-= --COS X + Sen~JC+ f _ ± Z l + _ L = ^
2_y 2 2>> 2 2y 2 2y
1 sen2 jc x 2 + y2 1
2 y + y
i---- 1-----= fc
2 2 y
por lo tanto: sen2 x x 2 + y2 . , --------+ ------ =---= k
(■ • -— + 2x y - —)dx + (-Jl + x 2 + x 2 - \n x )d y = 0
Vl + * 2
M = - A = + 2xy - y
Vi + x
+ x 2 + x 2 - l n x
Solución
SM x
+ 2x-
^ ^/l + x 2
a v x , i
— = - 7= + 2 x — 
^ “vi + x 2 x
dM dN ,
Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces : 
dy ñr
3 / (x , tal que — ■ *»^ = Af y = TV de donde
ese dy
107
ñ — — X_V----1- 2x y —— integrando respecto a x se tiene
' *
f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g (y ) , derivando
Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - ln x + g '(y) = N
dy
-Jl+~x* + x 2 - ln x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - ln x 
g '(y ) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función:
/ ( x , y) = yV1 + x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto: 
y j l + x 2 + x2v - y \ n x = k 
xdx+ydy + xdy - vdx _
■p- + y 2 + * 2
Solución
agnlpando
+.V2 *
d ( J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a término
v ' x
|d (^ /x 2 + y 2") + Jrf(—) = ¿* entonces: -sjx2 + y 2 + ~ = c 
(sen v + ysenx + —)dx + (xcos y -c o s x + —)dy = 0
r x y
Solución
226)
M = sen y + y sen x + — 
x
N = x eos y - eos x + —
7
dy
dN_
dx
eos y + sen x 
= cosy + senx
dM dN ,
Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces :
dy ¿k
3 / ( x , y) tal que d^ x ' y) = m y S Í J ^ I l = N de donde
dx dv
d f(x ,y ) 1 .
= sen y + y sen x + — integrando respecto a x.
OX X
f ( x> y) - J (seny+ y senx+ + g(y) = x seny —y cosx+ lnx+ g(y) derivando 
d f(x ,y )
dy
= x c o sy -c o sx + g ’(y) = N
x c o s y -c o s x + g '(y ) = x c o sy -c o sx + —
y
g' (y) = — => g(y) = ln y + c reemplazando en la función:
f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto: 
x s e n y -y c o s x + ln(xy) = £
y + senxcos xv . , x
------------ -ax + (------------- ----- + seny)dy = 0
eos xyeos2 xy
Solución
109
M =
y + sen x. eos xy
eos xy
N = 2eos xy
+ sen v
-----= sec2 xy + 2xy sec2 xy. tg xy
dy
SN 2 o 2 t — = sec xv + 2xy sec xy. tg xy
dx
dM dN , ., .como -----= ----- la ecuación diferencial es exacta
dy dx
entonces 3 f ( x , y ) tal que y ■ - N de donde
dx dy
d f (x, y) y + sen x. eos xy
dx eos2 xy
integrando
/ ( x , y ) = J(y s e c 2 xy + senx)dx + g(y) = tg x y -co sx + g (y ) derivando
df(x,y)
dy
= xsec xy + g '(y )= N
xsec2 xy + g ’(>>) = ----- :— + seny
eos2 xy
g ’ (y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función: 
f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto: 
tg*y - c o s x -c o s y = k
228) ^ d x + 2-— dy = 0 , _Ht=1=1
y \ y>
X Solución
110
. dM dN
Luego —— = —- la ecuación diferencial es exacta, entonces:
dy dx
d f (X y) y + sen x eos 2 xy .
dx
integrando respecto a x se tiene:
eos xy
f ( x ,y ) = J ( j s e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -c o sx + g(y) entonces:
¥{x , y )
dy
= x sec xy + g '(y) = N
9 Xx sec xy + g' (y) = ---- -— + sen y
eos“ xy
g ,( j ) = sen>; => g(y) = -c o s y + c reemplazando en la función 
f ( x , y) = tg x y -co sx -co s .y + c , por lo tanto: 
tg xy - eos x - eos y = k
[n eos(nx + m y )-m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O
Solución
[dM
M = n cos(«x+ my) - m sen(rax+ ny) 
N = m cos(hx+ my) - n sen(wx+ ny)
dy
dN
dx
■nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny) 
=-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny)
230)
como = — - la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que dí ^ x ,y) = M y - = JV de donde
cbc
— n cos(nx + my) - w sen(mx+ny) integrando respecto a x se i ene
dx
f ( x , y) = J[n cos( mx + m y )-m sen (ms + ny )]dx + g(y)
= sen (nx + my) + eos (mx + ny) + g (y ) , derivando respecto a y se tiene
fo .Zl = cos(nx + my) - n sen (mx + ny) + g' (y) = N
dy
m eos (nx + my) - n sen (mx + ny) + g '(y) = m eos (nx + ny) - n sen (mx + wy) 
g'(j;) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función
y ) = sen (nx + my) + eos (mx + «y) + c , por lo tanto: 
sen (nx + wy) + eos (mx + wy) = k
xdx + ydv + ( 1 + ̂ lL ) . ( y d x - xdy) = 0
^í(x2~+v2 ) ( \ - x 2 - y 2) y J y 2 - x 2 -v"^í^?~+y2) ^ l - x 2 - y 2) y j }
Solución
xdx + ydy
J ( x 2 + y 2 ) ( l - x 2 - y 2) y j v 2 - x
+ (— __ + — r-).(ydx- - xdy ) = 0
d(^ x2 + y 2 ) [ y d x -x d y ̂ _x/v (ydx-xdy) 
-Ji—(x2 + y 2) y^Jy — * v2
112
d(arcsem/x2 + y 2)+ d(aresen—) + e ' v d(—) = 0 , integrando término a término
y y
d(arcsen J x 2 + y 2 )+ fd(arcsen —) + í e x/yd(—) = c
J y J y
aresen J x 2 + y 2 + aresen — + e Jf'/<v = c
y
231) (— sen-------eos — +1 )dv + ( - eos - -------- sen — + -^r-)dv = 0
y y x 2 X X X v2 y y 2 ’
Solución
1 x v y . m 1 X=—sen----- “ Cos—+1 ----= — -se n -
y y x 2 x dy y y
1 „ y X y 1 dN_ 1 X— cos------ - sen—+—
X X y 2 y y 2 dx~"
_ sen
y v
y x 2
1 y y y
eos— h—— sen— 
x x x
x x 1 y y y— eos------ - eos^ + -~ sen^
v y x x v3 jt
5M fflV
como —— = —— la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que =M y d̂ * ' y) = N de donde
dx dy
dx
1 X y— sen —
y y x 2
1 X yí— sen—-- - ~ c
y y X2
,z.
x
y
d f(x ,y ) x x 1 y 
---------- ~ — 2 sen ~ + ~ cos—+ g (y) = Ndy y y x x
113
x x 1 y . 1 y x x 1---- -se n —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5-
v 2 V x x x x v .V J'
g'(y) = - \ 
y
g(y) =- + c reemplazando en la función
x y 1f (x , y) - - eos — + sen — + x ---- + c , por lo tanto:
y x y
V-------- x 1 sen---- eos — + x —- = k
232) y ( x 2 + y 2 + a 2 )dy+x(x2 + y 2 - a 2)dx = 0
Solución 
dM
\M = x(x 2 + y 2 - a 2) 
\ N = y ( x 2 + y 2 + a 2)
dy
dN
dx
= 2 xy 
= 2xv
dM dN . .. ,Luego -----= — la ecuación es exacta, entonces:
dv dx
3 f(x,y) tal que = M y — = N de donde
dx
df(x,y)
dx
= x (x 2 + y 2 - a 2) integrando respecto a x se tiene:
f x A x 2v 2 a 2x 2
f ( x , y ) = j x ( x 2 + y 2 - a 2)dx+g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando
df(x,.v)
dy
= x 2y + g '(y) = N entonces: x ¿y +g '(y) = y ( x 2 + y 2 + a2)
114
y4 a 2 v2
g'(y) = y + a 2y => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función 
. x 4 x 2y 2 a 2x 2 v 4 a 2y 2f ( x , y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c
4 2 2 4 2
por lo tanto: x 4 + y 4 +2x 2y 2 - 2a 2x 2 + l a 2y 2 - k
233) ( x 2 + y 2 + \ )d x -2 xyd y = ti, n = <p(y2 - x 2)
M - x 2 + y 2 +1 
N = -2xy
dM
dy
dN
dx
Sk>lución
= 2 y 
= -2 v
, dM dN ,
Luego —— * —— la ecuación no es exacta
dy dx
Sea = = =
N y dy dx - 2xy x
2dx
u = e
(x + y 2 +l)dx— —dx — 0 ósea M =\ + ~ - + -^— entonces:
* * x 2 x 2
dM 2 y 
dy x 2
dM dN ,
como —— = —— la ecuación es exacta, entonces:
oy dx
115
234)
3 f(x,y) tal que í O í lZ i = M de donde ^ ^ - - = l + ^ + - y integrando
dx dx x x
f ( x , y ) = x - —----- -+ g (v ) derivando - - = - — + g ' ( v) = N entonces:
x x dy x
-?^L+ g '(y) = => g '(y ) = o => g(y) = c reemplazando en la función
x x
y2 1.f(x, y) = x - ~ --------+ c , por lo tanto:
x x
y 2 - x 2 +1 = kx
( \ - x 2y)dx+x ( y - x ) d y - 0 , n = <p(x).
Solución
\ M = \ - x ly
U = x 2( y - x )
^ = - * 2 
dy
dN . 2— = 2.W-3.V
dx
dM dM , como -—- * ----- la ecuación no es exacta.
dy dx
_ n . 1 .dM dN
Sea f ( x ) = — (— " — ) = 2N dy dx x ' ( y - x ) x ( y - x )
, multiplicando a la ecuación diferencial... , 2 ¡f(x)dx 1f ( x ) = — => y = eJ = —
X X
-¡j- (1 - X2y)dx + (y - x)dy = 0
116
M= - y - V
x 2 ’ =>
N = y - x
dM dN
dM
dy
dN
dx
= -1
= -1
como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces
dv dx
3 f(x,y) tal que - m y = N de donde
dx dv
d f(x ,y ) 1 
dx x 2
■y , integrando respecto a x se tiene:
f ( x , y) = - ~ - xy + g (y ), derivando = -x + g' (y) = W
x dv
-*+£'00 = y - x g\(y) = y => g(.V)=-~- + c reemplazando en la función
1 v/(x ,y ) = ---- -xy + --------he , por lo tanto:
x 2
xy2 - 2x 2 y - 2 - k x
235) (3x2y + y 3)dx + (x3 +3xy2)dy = 0
Solución
dM _ 2 2-----= 3x +3v
dy
¿w
dt
= 3x2 +3 v2
117
w-
236)
118
como ® L = P1L la ecuación es exacta, entonces
dy dx
df(x ,y ) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene: 
dx
f ( x , y ) = x 3y + xy 3 +g(y) derivando ^ = x 3 +3xy- + g '(y) = N
x 3 + 3y 2x + g ' ( y ) = x 3 +3y zx entonces g'(y) = 0 => g (y ) -c reemplazando.3 , 1..2
f(x ,y ) = x3y + xy3 +c
por lo tanto: /. x*y + xy3 =k
xdx + y d y + x(xdy- ydx) = 0 , u - \ j / ( x 2 + y )
Solución
A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente: 
(x - yx)dx + ( x 2 + y)dy = 0 entonces:
M *=.x-yx 
U = x 2 + y
m
dy
dN
dx
- = - x
como ±,-£L la ecuación no es exacta. 
dy ' dx
2 2 dz -> dz _ ? vSea z = * + y => ’ - >Sx dy
u = y/(x2 + y 2) => u = \|/(z) => lnu = ln\|/(z)
31nw 3 ln u dz _ 31nw
— — = — — = 2x-------
dx dz dx dz
31nw dlnw dz . Slnw
r — = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene: 
dy dz dy dz
dM dN xrd lnu d lnu----------— = N —------ M -------
dy dx dx dy
dz dz
- 3 x = (2x3 + 2 x y -2 xy + 2x y2) d(\nu)
dz
3 , 2 , 2x3(lnw) d(lnu) 3- - . ( X + => - i — - z
2 dz dz 2
zn \ 3<*z t 3 , 1 id(lnu) = —— => lnw = - —lnz entonces u - — r r r - => u =
2z 2 z 3/2 ( j ’ + j ,*)*'2
(x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante:
x 2 - x y x 2 + y J ^
T I ivv/T + -̂---- TTrT = ® * poniendo bajo diferencial
( o r (x ¿ + y )
j / * “ 1 v „ . , y - 1g(~7= = ) = () integrando — ^
f 2 2
237) (x2 + y)d x -xd y = 0, n = <p(x).
Solución
119
\M = x 2 + y 
\N = - x
dM _ 
dy
8N_ = _ i
. dx
dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta
dy dx
.. 1 m dN 1 2
sea / ( * ) = — (—— - r - ) = — ( l - ( - l ) ) -N dy dx x x
u~-e - e 2 => W='Tx ¿ x
V 1(x 2 + y )d x -x d y = 0 => (1+—\)d x — dy = 0
X X
dM 1
dy oc2
é w = J _
Cbr " x 2
como = —— la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que = M y d^ X' V-- = N de donde
dx dy
d /(*..y) . y
dx x 2
f ( x , y ) = x - —+ g (y ) , derivando
x
— = - - + g '( y ) = N entonces: + g'O0 = - — => áf'OO = 0 => g(y)
dy x x x
120
/ ( x ,y ) = je- — + c , por lo tanto:
x x - l = k
238) {x + y 2)dx-2xydy = 0 , ji = <p(x)
Solución
\M = x + y 2 
[TV = -2 xy
dM „
^ r = 2 -v 
,a¡T *
dM dN , 
como —— * —— la ecuación no es exacta
dy dx
, 1 ,dM dN , 1 2sea / ( * ) = — ( - ---- — ) = - — 2 ; + 2 j ) = -
N dy dx 2 xy x
f f(*)d* Í ~ T u = e J =e x =e
(x + y )d* - 2xydy = 0 ■y (*+y 2>d x - — dy = 0
U - U ¿
* x 2
_ 2 Z
dM __2y_ 
dy x 2
dN _ 2 y
x2dx - 2
dM dN ,
como —— = —— la ecuación es exacta, entonces: 
dy dx
3 f(x,y) tal que = M y = N de donde
dx dy
entonces
121
df(x,y) 1 y= — + -
dx x x
integrando respecto a x se tiene:
f i y 2 v2f ( x , y) = ( - + -^r)dx + g (y ) = In x - — + g(y) denvando
J x x 1 x
dy x
— +g'(y)=~— => g'(y) = 0, entonces g(y) = c reemplazando en la función 
x x
y if ( x , y ) = l n x - - — + c , por lo tanto: x l n x - y =kx
239) (2x2y + 2y+5)dx + (2x3 +2x)dy = 0 , n = cp(x)
\M = 2 x 2y + 2 y + 5 
\ n = 2x 3 +2x
Solución
dM
dy
dN_
dx
= 2x +2 
= 6x 2 + 2
dM dNcorno -----* — no es exacta; entonces
dy dx
ri \ ̂ .dM dN 1 2 o z - 2sea / ( x ) = — (—------ —) = — T-------(2x + 2 - 6 x -2 ) =
N dy dx 2x2 +2x
- 4 x ¿ - 2x
2x3 +2x x 2 + 1
- r -2 x d x
u = e ^ ( ) = e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — -
x 2 + l
(2x y + 2y + 5)dx + (2x3 + 2x)dy = 0 entonces
122
j í — (2y ( x 2 +1) + 5)dx + - X(X2 + 1*dy = 0
x* +1 x ' + l
(2y-\— -— )dx+ 2xdy = 0 entonces:
x 2 +1
M = 2y+
N = 2x
x 2 + l
dM
dy
dN
dx
= 2
= 2
dM dN ,como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
ctr ay
df(x,y) 5 .
---------- = 2_v + —----- integrando con respecto a x se tiene:
dx x 2 +1
/ (x , y) = 2 yx + 5 arctg x + g(y) derivando 
¥ ( x ,y )
dy
= 2x + g '(y) = N entonces: 2x + g '(y ) = 2x=» = 0 => g(y) = c
/ (x ,y ) = 2 x y + 5 arc tg x + c , por lo tanto: 
2xy + 5 arctg x - k
240) (x4 ln x -2 x y 3)<fe+3x2y 2</y = 0 , n = <p(x)
Solución
123
m 2-----= -6 jcv
dy
dN 2 
— = 6 xy 
dx
dM dNcomo -----* — la ecuación no es exacta.
dy dx
\m ~ x a l n x - 2xy3
[ j v = 3 * y
, 1 .dM SN. 1 , . 2 x 2 x 12xy 4 4sea f ( x ) = — (-—— — (-6xy - to y )==-—— = — =>/(*)=— 
N dy dx 3x v 3x2v x x
j / M d x f--d*
= — O X —u = e = e~ ' = e 4lnJr entonces w = —r factor de integración.
(x4 In x - 2xy^)dx + 3x 2y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante
-7 -(x4 \ n x - 2xy i )dx + ̂ — dy = 0 => ( ln x --^ -)< ic + ̂ - a f v = 0
M = In x - 2 /
jV = 3 /
dM 6y¿ 
3y x 3
AV 6y2 
5« x 3
dM dN ,co m o -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que - yf y —í —1;2 = ¿V de donde
dx dy
a f(x ,y ) 2 y 3 .
-------— = ln x -----— integrando respecto a x se tiene:
dx x 3
2 v3 3f ( x , y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + + g(y) derivando
J x x
124
— r — = ~ + g ( y ) = N entonces: -± -+ g '(y ) = J L . => g(y) = c
-y X X X
d/ (x, y) 3 y 2 3V2 í v 2
f ( x , y ) = x \ n x - x + ̂ —+c, por lo tanto:
jc3(ln jc - l)+ y 3 = kx2 
241) (*+senx+seny)<it+cosy<fr = 0 , n = <p(x)
Solución
[dM
M = jr+sen x+ seny 
N = cosy
dy
dN
dx
= eos y 
= 0
dM dN , 
como —— * —— la ecuación no es exacta.
dy dx
r . . 1 .dM dN, c o s y -0sea f ( x ) = — ( _ _ ) = ---- L-------j =
N dy dx eos y 
(xe* + sen x £ x + sen y ¿ x )dx + ex eos ydy = 0
I M = xex + sen x e x + sen y.e 
N = e x eos y
dM dN
=>
como
dy dx
= e cosy 
= e x cosy 
la ecuación es exacta, entonces:
dM
dy 
dN[ 
dy
3 f(x,y) tal que 8̂ * ' y) =A/ y = w de donde
dx dy
entonces u = e x
125
242)
df(x ,y )
dx
= xe* + e x sen x + e x sen y integrando respecto a x se tiene:
f ( x , y ) = J (xex + e * sen x + ex sen y)dx+ g(.v)
f ( x , y) = xex - e x + e x sen y + e* (sen* ~ cosx2 + g ( v) derivando
df(x ,y ) _ gx CQS y + g '(y )= N
dy
ex eos y + g '(y) = e x eos y entonces g(y) = c reemplazando en la función
r X/sen x -co sx
f ( x , y ) = x e x - e + e sen y-he (------- -------- ) + c , por lo tanto:
2ex sen y + l e x (x - 1) + ex (sen x - eos x) = k
(2xy2 - 3 y 3)dx + (7 - 3 x y 2)dy = 0 , p = cp(Y)
Solución
S M A o 2-----= 4xv - 9 y
dv
™=-3V2
. dX
dM dNcomo ---- * — la ecuación no es exacta.
dy dx
\m = 2xy2 -3 y* 
[N = 7 - 3 x y 2
sea s iy )= - - r 7 ^ - - ^ - ) = ~~ i - j ( 4xy ~ 6y 2) M dy dx 2xy - 3 y
g i y ) = _ ^ z l y i = - l
y \ 2 x - 3 y ) y
g(y) = — 
y
126
¡g(y)dv í I 1 u = e J =e } = —-
2(xy- - 3 y 3 )dx + (7 - 3xy2 )dy = 0 , multiplicando por el factor integrante
(2x -3y)dx + (— -3x)dy = 0
M = 2x - 3 y 
N = ^ - - 3 x ^
y
dM
dy
dN
dx
= -3 
= -3
dM dN
como — - = ---- la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que 'V) = M y d/(*,.v) = N de donde
dx d\>
df(x,y)
dx
= 2x - 3y integrando respecto a x se tiene:
f ( x , y) - J (2x - 3y)dx + g(y) - x " - 2xy + g(y) derivando 
df(x ,y )
dy
= -3x + g '(y) = N -3x + g '(y) = — - 3 x
./ 7 7 g (y) = —y => g(y) = ----+ c , reemplazando en la función
v y
f ( x , y) = x - 3 x y ---- + c
y
x 2 -3 x v ~ — = k
y
127
243) (3y 1 -x)dx + (2y3 -6xy)dy = 0, u=y/(x + y 2)
Solución
\M = 3 yz - x 
[N = 2 y 3 - 6xy
dM
dy
aN
dx
= 6v
= -6v
dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta.
dy dx
2 , 3z i dzSea z - x + y => u = \f/(z) => — = 1 => —- = 2y
dx dv
dM SW du _. 5a------------ -- /v-------M ----- entonces:
dy dx wdy «dx
dM dN ^ d ( \n u ) dlnu
dy dx dx dy
u = vj/(z ) => lnu = in(y(z))
d ln w _ d ln w dz d(ln«)
dy dz dy'V dz
d lnu d ln u dz _ d ln u
dx dz dx dz
íS y - ( - 6y ) = (2y 3 - 6 x y ) - ^ ^ - - ( 3 v 2 - x ) 2 v ^ * n
dz dz
128
12y = (2y3 - 6x y - 6y3 + 2xv) - ^ -
dz
, a 3 a , d l n u . . ? d(lnw)12y = (-4v -4 x v ) ------- entonces: ~3 = (y“ + x ) ---------
dz dz
d(lnw) = “ —~ => lnu = -31nz de donde u = - ^ - = — — 2
z z* (* + y )
------ ------(3 y 2 - x)dx + ̂ y dv = 0 agrupando se tiene:
(* + y ) ' O+V; )
x - 2 x - V2
d(—- —:~T_r) = 0 integrando se tiene: ------ 1— - = c x - y 2
(x + y 2)2 ( x + y 2r
d l n u _ 3
dz z
entonces:
= c(x + j 2) 2
129
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN»
NO RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERIVADA
I.- Ecuación de Prim er Orden y de Grado n con respecto a y ' .
( /)" +J°i(x,;yX/)" 1 +... + (x ,y) y + P„(x, y) = 0
resolviendo esta ecuación respecto a / , e s decir sean
y '= f \ (x ,y ) , y'= f 2 (x,y),..., y ’ = f n(x,y), (k < n)
las soluciones reales de la ecuación (1).
El conjunto de las integrales.
(¡)l (x,y,c) = 0 , <¡>2(x,y,c) = 0 , ... , <t>k (x,y,c) = 0 
donde (¡>¿ (x, y, c) = 0 es la integral de la ecuación.
y'= f j ( x , y ) (i = l,2,...,k) representa la integral general de la ecuación (1).
. . . (2)
... (3)
Integrar las siguientes ecuaciones.
244) y '2 ~(2x + y) y'+(x2 + xy) = 0
Solución
2x+ y±^J(2x+ y )2 - 4 ( x 2 +xy) _ 2 x + y ± ;
2 2 
y '= x+ y =» y'~y - x => y - c e ~ x - x - 1
y '= x => v = — + c
2
130
245) xy '2 +2 xy '-y = 0
Solución
,2 ,- , „ , - 2 x ± J 4 x 2 +4xy - x ± J x 2 +xvxy +2xy - y - 0 => y = ------------------------------------------------------------- -- -------- entonces:
2x x
- x ± J x 2 + xv r—-,------
y = — ---- --------- => (x ± ^ x ~ + xy)dx + xdy = 0
sea y = ux => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación 
{ x í j x 2 + ux2 )dx + x{udx + xdu) = 0, simplificando
(1 ± -J¡ +u)dx + udx + xdu = 0 => — + ------- — = 0 , integrando y
X t/ H- 1 di a/ 1 W
reemplazando se tiene: (y - c)2 = 4ex
246) 4y'2~9x = 0
Solución
147) y ’2 -2 y y '= y 2 (ex - l )
Solución
y ,2 - 2y y '= y 2(ex -1) => y'= y ± y e xi2
131
— = ([ ±ex l l )dx => ln ve = x ± 2 e x' 2
v
248) x 2 y'+3xyy'+2y2 =0
Solución
2 2 , , 2 ^ , -3 x v ± J 9 x 2v2 -8 x 2v2 -3xy±.Ty¿ V +3xvv'+2.y =0 => v = ----- — ----- -------------------------------------:— = ----— , entonces
2x 2x
y dv dxy ~ - ± . r=> — = — => xy = c entonces
x y x
4 xy dy 2 dx _2/ = ----- 4- =» -<- = -------=> >’ = cx
249) xy'2 -2yy'+x = 0
Solución
, 2 v ± J 4 v 2 - 4 x 2 v ± J y 2 - x 2
xy ¿ - 2yy'+x = 0 => y'= —-----— ----------- = :------ ------------, entonces
2* x
(y ± *[y2 - x 2 )dx - jcrfy . La ecuación es homogénea
Sea y = ux => dy =udx + xdu, reemplazando en la ecuación
(ux±4 u 2x 2 - x 2 )dx-x(udx + xdu) = 0 , simplificando
(u ± Vw2 -1 )dx - udx - xdi/ = 0, separando la variable
n 7 , dx du _ . c ? 1±Vw -ld x + xdw = 0 => — + - = = = = 0 , integrando y = ~ x + —
* V«2 - i 2 2c
132
250) / 2-2xy '-8 x 2 = 0
Solución
|2 O I Q 2 A _ , 2 x ± ^ 4 x 2 + 32x2 2x±6xy -2 a>’-8 x =0 => / = ----------------------- = -----------, entonces
y '= 4 x => y = 2x2 + c
/ = ~2x => y = - x 2 +C
251) y 'r +(x'+2)ey =0
Solución
y l3 +(x + 2)ev =0 => y' = -(x + 2)17 3 e v / 3, separando la variable
e~yl3dy = - (x + 2)113 dx integrando -3 e~ v/3 = - — (x + 2)4/3 +c
4
de donde 4e”>,/3 = (x + 2)473 + k
212 ) / 3- j y 2- * V + * V = 0
Solución
? 3- y / 2- x 2y + x 2y = 0 => v'2 ( v'->’) - x 2 (y '-y) = 0
2 2 X 2(y ' —x )(y'-y) = 0 entonces y' = ±x entonces y = ± -----1- c
2
y '= y => y = c e x
133
II.- Ecuaciones de la forma f(y, y') = 0 y f(x, y’) = 0.
Si en estas ecuaciones se puede despejar y f, resultan ecuaciones de variables 
separables.
Por consiguiente, son de interés los demás casos.
a) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 se puede despej ar y, y = y/ (y ’)
haremos y'= P => y = v(P), diferenciando esta ecuación y sustituyendo
y ' (p )dy por Pdx obtenemos pdx = y/'(p)dp de donde dx = ——— dp , y
x _ f V (P\ dp + c , obtenemos la solución general de la ecuación en forma 
J P 
paramétrica.
y = v(P)
b) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 no se puede despejar y ni y' (o se despejan con 
dificultad) pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica 
mediante algún parámetro t.
dv
y = y(t) , y’=y/(0 , (p= , )
dx
entonces dy = p dx = V|/(t) dx , por otra parte dy = y/'(t)dt de modo que:
\i/(t)dx = \j/'(t)dt => dx= ^ ■--- di de donde:
Y ( t )
J y/(t)
por consiguiente, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial 
dada en forma paramétrica.
134
- i
V V)x= | -—— dt + c 
V(t)
y = y/(t)
por analogía con el caso b, se puede resolver la ecuación 
introduciendo un parámetro t.
Integrar las siguientes ecuaciones:
253) y =
Solución
,2 v' dyy = y ey => ~ = P => dy = pdx
dx
y = p 2ep => dy = (2p e p + p 2e p )dp
pdx = (2p e p + p 2ep )dp => dx = (2e p + p ep )dp entonces:
x - J + p e p )dp = ep (p +1) + c , por lo tanto:
\x =ep {p + \) + c
ly = y 2e p
254) y '= e y'/y
Solución
dy_
dx
- p => dy = pdx
yl/y P = e ply Inp = -
/ ( * , / ) = 0
135
y = in p
\ n p - \ , \ n p - \dy = — -—— entonces pdx = -------— dx
(ln/>) (In V)
f ln/7-1
x= ----------- d p
J P( lnp)2
x = ln(ln p)-\------- + c
In p
y = In p
255) x = lny'+sen y'
Solución
x = In p + sen p diferenciando dx = — + cos pdp
P
dy dy— = p => dx = — entonces: 
dx p
— = (— + cos p)dp => dy = (1 + p cos p)dp , integrando 
P P
y = J (1 + p cos p)dp = p(l + sen /?) + cos p + c y por lo tanto:
x = In p + sen p 
y = /?(! + sen /?) + cos /? + c
256) x = y '2-2y'+2
x - p 2 - 2p + 2
Solución
dy
dx = 2pdp - 2dp , dx = — , reemplazando en la ecuación 
P
----------J dP
/>(ln p )
136
dy
= (2p - 2)dp => dy = {2p 1 - 2p)dp
y = j ( 2 y 2 - 2p)dp => y = ^ - - p 2 + c, porloi tanto:
257) y = y '\n y'
Solución
y = p In p => dy = ( l+ ln p )d p => pdx = (1 + lnp)dp
l + ln/7 
dx = (-------- )d p - J 1 + In/? d/? entonces:
(1 + ln /?)
+ c , por lo tanto:
M K ) y = arcsen / + ln(l + y t2 )
(1 + ln p)
x = -------- -̂L— + c
2
y = p \ n p
Solución
y = arcsen p + ln(l + p ) , diferenciando se tiene
dp 2 pdp , dp 2 pdp
dy = entonces pdx = - 1
- J i - p 2 i + p 2 ■Ji ~ 2 ì+p 2
137
d x - — t integrando x= í ( — = L = = + ------ j ) d p por lo tanto
p f i l p i 1+ P 2 J p ^ p 2 1 + /»
1+ J l - p ,
x = 2 arctg /? - ln | -------------- 1 +c
P
y = arcsen /? + ln(l + /?2)
259) y = (y '- \)ey
Solución
y = (p - l ) ^ diferenciando d y - e pdp + ( p - \)ep dp - p e p dp
pdx = p e pdp => dx = epdp => x - e p +c
\x = e p + c 
por lo tanto: \
\ y = ( p - l ) e p
260) y 2 * - « 1"*
p 2x = eVp => => dx = - - j - ^ - dp
P P
Solución
v p eV p (\ + 2p)
dy = -j e 1/p ( l - 2p) , . t .------ —— dp por lo tanto:
y = e V p (\ + - ) + c
P
e llp
X = ---- r -
138
x{\ + y '2) = \
Solución
x(l + / 2 ) = l => x = —i — => — = p => dx = ~
l + y ' 2 dx p
1 , -2 pdp
x --------— ==> dx = ------- - - - - entonces:
i + P 2 a + p 2)2
dy 2 pdp 2 p 2 dp . _
— ----------- T-r => ífy = ----- integrando
/> (1+ P 2) 2 (1+ P 2)1
y = - 2 f — - - - -- — haciendo p = tg 0 => dp = sec¿ 0 dO 
J (1+ P )
y
f tg2 0.sec2 0 d6 e ■< c
■-2 \ ------------— -— = -2 i sen 9d0 = -F (1- eos 20)¿0
J (1 + tg 0) •> 1
y = —(0 - sen 0 cosQ) + c = -(arctg p -----^ —-) + c
1 + p
p
y = — — - - arctg p + c
\ + p¿
por lo tanto:
x(l + / 2 )3' 2 =a
1x = ----
l + p 2
Solución
x(\ + y u )i l ¿ =a => x -
(1 + / 2 )3/2
dy dy
— = p => dx = — entonces: 
dx p
1 A ~3PdPx = ------- . => dx =
(1 + P 2)V2 (1+ P 2)5' 2
£' y = -----^pdp , _ ----- 3p dp integrando:
P a V ) s,! J « V ) ! ' !
y = -3 f — ^ ~ - + c haciendo p = tg 0, dp = sec2 QdO
J ( \ + p 2)512
y efectuando operaciones se tiene:
|y + c = -fl sen3 r x = acos3 r
263) >>2/5 + y 2/5 =Jfl2/s
Solución
Sean y = acos5 t y / = f l s e n 5 í = p
dy -5 a c o s 4 í.sení , c . 4 , j, dx = ^ - = ------------ -------- dt = -5c tg rdr
/? asen* f
dx = - 5c tg A t dt =>* = - 5 - ^ ^ - 5 c t g / + 5í + c porlotanto:
- _ ^ - i. - 5c tg t + 5í + c
3
5 .y = fleos í
264) y * - y ' 4 - y y ' 2 = 0
Solución
140
Sea y '= y t reemplazando se tiene: y 4 - y 4t 4 - y 3t 2 = 0, simplificando
y - y t 4 - t 2 =0 => y ( l - ; 4) = / 2
>> = -
1-t*
=> dy = 2i 5 + 2t 
(1 ~ t A)2
dt ...(1 )
como y ' - p => y = -
¿fy = ----- T* dx
i - í 4
... (2)
de (1) y (2) se tiene: 2 r +2í tdt = ----- r dx de donde
a - i 4)2 '" i - í 4
dx = -
2 (t +l)dt . 
0 4 - l ) í 2
, ^C,A B C D El F ,integrando x = —2 1 (— i------------- h--------- +- + — +— )di
J t t t + 1 t - 1 t 1
2 . t +1 
x = - —+ ln | — - 1 -2arctg t + c
.2
y = .
i + r
(p = yt)
¿65) x = y + s e n y
Solución
dy dy
— = p => dx = -±- 
dx p
x = p + sen p => dx = dp + eos p dp
141
266)
dy
= (1 + eos p)dp => dy = p (1 + cos p)dp , integrando:
1 = J p( 1 + eos p)dp = + p sen p + cos p + c , por lo tanto:
x = p + sen p 
p 2y = - y + />sen /? + cos p + c
y = y '(1 + y'eos y ' )
Solución
Sea y ' - p => dy = pdx => y = p( 1 + p cos p) entonces 
dy = (1 + 2/7cosp - p 2 senp)dp
pdx = (1 + 2 p cos p - p 2 sen p )d p , separando la variable
dx = (— h 2 cos p - p sen p)dp integrando 
P
x = (-— + 2 cos p - p sen p)dp + c , por lo tanto: 
P
x = ln p + sen p + p cos p + c 
y = p( 1 + p cos p)
142
ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROüll
a) La ecuación de Lagrange es de la forma:
}> = ■*/(/) + <?(/) ... (1)
dy
para resolver estas ecuaciones se hace — = p de donde dy = pdx, reemplazando en la
dx
e cuación (1) se obtiene una ecuación lineal de donde al resolverla se tiene la solución en 
forma paramétrica.
x = \i/(p,c)
{y = y /(p ,c ) f (p ) + g (p ) 
l>) La ecuación de Clairout es de la forma
p es un parámetro
y = xy'+$(y')
el método de resolver es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución 
general de la ecuación de Clairout tiene la forma:
y = ex + g(c)
I a ecuación de Clairout puede tener también una solución singular, que se obtiene 
eliminando p entre las ecuaciones.
y = xp + g(p) , x + g '(p) = 0
Integrar las siguientes ecuaciones:
207) 2y = xy'+y' ln y’
Solución
y y \n y dy
y = x — + -------- sea y = — = p => dy = pdx
2 2 dx
143
P P lnP i r • j 7 P , x . dp \npy — x — i-------— diferenciando se tiene: dv = — dx + — h------ 1-------dp2 2 * 2 2 2 2
dx 1 ln p + l ,
---------x = ----------, que es lineal, entonces la solucion es:
dp p p
, ln p + 2 x ̂ ,x = p{------------- \-c) = c p - m p - 2 , luego:
P
x - pe - ln /? - 2
268) j> = 2 ^ '+ l n /
Solución
Sea y %= — - p => dy = pdx 
dx
y = 2xp + ln p diferenciando ¿/y = 2pdx + Ixdp + — , de donde
P
— + — x = -----— es lineal, entonces la solución es:
/> p
1 r i C 1 ,x = —— [—p + e] = —------- , por lo tanto:
P P P
c 1
269) y = x(i + y ) + y 2
Solución
144
Sea y' = — = entonces dy = pdx 
dx
y = x(l + p) + p 2 diferenciando dy = (1 + p)dx + xdp + 2pdp 
pdx = (1+ p)dx + xdp + 2pdp entonces dx + xdp + 2pdp = 0 de donde
dx .
— + x = - 2p ecuación lineal cuya solución es: 
dp
entonces:x = e l Jp[ j e l dp (~2p)dp + c],
x = e~p [-2j p e pdp + c] , por lo tanto:
j x = 2(1- p)ce~p
\ y = 2{ \ - p ) + ce p (1 + p) + p 2
270) y = 2xy'+ sen y 1
Solución
Sea y' = — = p entonces: dy = pdx 
dx
y = 2xp + sen p , diferenciando dy = dxdp + 2pdx + cospdp
pdx = 2xdp + 2pdx + cospdp simplificando 2xdp + pdx + cospdp = 0
fa + 2x _ eos p . _ ; Í 7 , ( J —
dp p
+ — = , ecuación lineal x = e p [J<? p ( - ^ — ^-)dp + c]
x = e~'Dp[ - ¡ e lnp( ^ - ) d p + c]
J D
145
x = —y [ - í p eos pdp + c], por lo tanto:
eos p c
x = - —- — - sen p + - y
P P
2c 2 eos p y --------------- — - sen p
P P
271) y = xy'2- - i
y
Solución
dyy'= — = p entonces dy = pdx 
dx
y = xp 2 —— diferenciando dy = p 2 dx + 2pxdp + ~ , reemplazando 
P P
pdx = p 2dx + lpxdp + ^ r - dedonde ( p 1 - p)dx + 2pxdp + —̂ j = 0 
p P
— + —— — x = --------- ------- , simplificando
dp p 2 - p p 2(p - p )
— — — * = -------- í------, ecuación lineal cuya solución es:
dp p 1 p \ p - 1)
. f - L * j
V 1 [ í e p (-------------- )dP + c]
J p 3(p~l)
x = e - w p - » [J e i w p - » _ j E _ + c ] = _ ' {J P - ± dp+c]
i p \ p - 1) ( p - 1)2 J p 3
146
x = ----- —:- [ - ( - — h— í—) + c ] , por lo tanto:
( p - 1)2 /i 2/7
cp + 2 /? - l 
2p 2 ( p - l )2 
cp 2 + 2 / 7 + 1 1
2 ( / 7 - l ) p
272) y = - x y ,+e>;
Solución
y ' = ^ - = p => dy = pdx 
dx
3 3 3
y = — xp + diferenciando ¿(y = — xdp + — pdx + epdp , reemplazando 
2 2 2
/>dx = — xdp + — pdx + e pdp de donde y dx + y xdp = - e pdp
dx 3 ep J— 2 ^
— +— x = -2 — , ecuación lineal cuya solución es: x=e p [| e p (----- )dp+cl
dp p p J P
x = e 3lnp[-2 í e 3Xnp — dp + c] =-^—\- 2p 2ep + 2pep - 4 e p + c ] , por lo tanto: 
J P p
c ^ p A 2 2x= 2ep (------- + — )
P P P P
y = * - 2 ^ ( 1 - A + J _ )
2 P ¿ P P
147
273)
274)
o , dy Sea y = — = p 
dx
dy = pdx
Solución
y = xp + diferenciando dv = xdp + pdx - dp , reemplazando
P * P
pdx = xdp + pdx - —̂ dp de donde (x - ~~ )dp = 0 => x = — —
P P P
dp = 0 => p = c, Luego:
2 ax =
v = xc + -
y - xy’+y'
Solución
dy
Sea y' = — = p => dy = pdx
dx
y - x p + p diferenciando dy = xdp + pdx + 2pdp
pdx = xdp+pdx+2pdp de donde (x + 2p)dp = 0 => x = -2p => dp = 0 => p 
luego:
[ y = X C + C
148
275) xy'2-y y ' - y ' + 1 = 0
Solución
xy '2 -yy'-y'-t-1 = 0, expresamos en la forma siguiente:
, 1 t dVy = xy + — 1 , -f-=7? => dy = pdx
y dx
y = xp-\------1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazando
P ' p
pdx = xdp - pdx - de donde (x — \~)dp = 0 => x = - í - p = c, x = — 
P P P c 1
1 f c - ly = x c -f — 1 => y - x c ------- , ademas:
c c
y + ]= xc + - => (y + l ) 2 = x 2c 2 + \ + 2x 
C c 2
como * = - y => (y + l)2 =4x
c
276) y = xy'+a^l + y '2
Solución
»2 i-yy'-y'+ 1 = 0 , expresamos en la forma siguiente:
1 i dyy = xy + - - l , ~j~ = p => dy = p dx
y dx
V = xp + — -1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazando
149
dp 1 ~ 1 1pdx = xdp - pdx - de donde (x — , dp = 0 => x = — , p = c, * = — 
p 2 p : P c
1 t c -1y = xc + — -1 => y = xc - — , ademas; 
c C
V + 1 = X C + ™ => ( y + U 2 - X 2C2 + - ^ r + 2x
c c
277) xy'+ üy
J 7 / 2
Solución
Sea y' - — = => dy = pdx
dx
ap . . adp apdp
y = xp + —----- diferenciando av = /wx + .rap + , ---- -----j-y y
Vl + P 2 ■v1 + /, : (1 + -P }
, . , a(l+ p 2 ) - a p 2pdx = pdx+ xdp+ -------,— dp
(\ + p 2)v2
d Cl
(* + --------r—7-T- )dp = 0 => JC= - ----- ,
(1 + /J2)3/2 (1+/?2 )3/2
dp = 0 => p = c
y = xc + l* Í = , x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
^ + c 2
150
278) ^ 1* = — + ---;
y y ’2
J 1
X = - + 3 7
Solución
dx .dx. 2 => x = y — + (— ) ¿
dy dy
o dxSea —- = p => dx = pdy 
dy
x - py + p 2 => dx - pdy + ydp + 2pdp reemplazando
pdy = pdy + ydp + 2pdp entonces: (y + 2p)dp = 0 => y = -2p
dy = 0 => p = c => y = -2c
x = cy + c 2 , 4 x = - y 2
¿/9) Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de 
área constante s = 2a 2 .
Solución
 ̂ 2 be s = 2a = —
4a2 = be 4a2 - = b
4a2 — = b 2 además v'= —
c c
4a2y '= b 2 => b - 2 a y 'xn
La ecuación de la recta tangente es y = mx + b que al reemplazar se tiene: 
y = y 'x + 2ay'x' 2
151
Sea — = p => dy = pdx
dx
y = px + 2ap112 => dy = pdx + xdp t- ap 1 2dp , reemplazando
pdx - pdx + xdp + ap ~i n dp , simplificando
a a
(a + —==)dp =0 => x = — =
V/7
dp = 0 => p = c => x - -
y = ex + 2<ac1/2
4 ~ c
a 2x 2a 2
c =
*
a 1 2a2
, simplificando
7 a 2 2 4y 2 = — => x 2y 2 = a
por lo tanto: xy = ±a
280) Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los 
ejes coordenados tiene una longitud constante a.
Solución
152
2 L2 2 a 2 b 2 , b 2 L l í b 2 , ba = b + c ; —— = —- + 1 entonces: a — = b (— + 1); pero y = —
c c c c C
a 2y '2 = b 2 (y'2+l) ; b = - ^ L =
V i+ y 2
La ecuación de la recta tangente es: y = mx + b reemplazando
y = y' x + ty-- . de donde — = p => dy = pdx
VI+ / 2 dx
aP J J -> / a aP 2V J
y = p x + - ¡ = r * d y= pdx+ xdp+ ii r ^ ~ i T 7 ^ 2 )dp i+ p ^j\+p (i + p )
pdx= pdx+---- adp~~ +xdp => (x + ------^r j j j ) d p = 0 => x = -------- -
(l+/>2)3/2 (l+/>2) 2 (1 + p 2)V2
además dp = 0 => p = c
. a ap ap + ap(l + p 2) ,
y = P(~ —-----TTTT +̂ r----- ------ 7. 3/2 ’ simplificando
(i+ /72)3/2 ^/T+7 ( i+ /? 2)
3 _ 1 /3 _ 2 / 3 „
r ------- =» =• - < l )
(l+/> ) (1 + /? ) 1 + ^
„ 1 / 3 „ 2 / 31/3 a 2/ 3 ^
x — 2 3/2 * = i 1/2 ̂ X = 2~ •••(2)
(i+/> ) ( i+ p ) i + p
de (1) y (2) se tiene:
_ 2 /3 2 / 3 2
x 2/3 + y 213 = -----— + ------- simplificando
1 + /72 1 + /?2
x 2/3+ y 2/3= a 2/3í l ± 4 2 = « 2/3 por lo tanto: x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
l + />
153
COMPOSICION DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES DE LAS FAMILIAS DE CURVAS,
PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
1. Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas.
Consideremos la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas.
... (1)Y l|r(x,a) (a es un parámetro)
Derivando (1) respecto a x, se tiene:
y' = v [ ( x ,a ) ... (2)
eliminando el parámetro “a” entre (1) y (2) se tiene la ecuación diferencial.
... (3)f ( x , y ,y ' ) = 0
esta ecuación expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia 
(1).
La ecuación (3) es la ecuación diferencial de curvas se determina por la 
ecuación.
<j)(x,y,a) = 0 ... (4)
se obtiene la ecuación diferencial eliminando el parámetro “a” entre las 
ecuaciones.
(¡>(x, y,a) = 0
dA + d± . y ' = 0
dx dy *
Supongamos ahora que se da la relación
... (5)
<¡>(x,y,al , a 2,...,an ) = 0 ... (6)
154
2.
a)
donde a¡, a 2 ,—,a n son parámetros, derivando (6) respecto a x, n veces y 
eliminando los parámetros a 1 ,a 2 ,...,an entre (6) y las ecuaciones obtenidas, 
obtenemos una relación de la forma:
F(x, y, y ' , y " , . . . ,y (n)) = 0 ... (7)
esta es la ecuación diferencial de la familia n-paramétrica de curvas (6) dada, 
en el sentido de que (6) es la integral general de la ecuación (7).
Problemas de Trayectorias.-
Consideremos una familia de curvas planas.
... (1)
dependiente de un parámetro “a”.
La curva que en cada una de sus puntos forma un ángulo constante con las 
curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto, se llama trayectoria
71isogonal de la familia. En particular, si a = — , se obtiene una trayectoria 
ortogonal.
Suponiendo la familia (1) buscaremos las trayectorias isogonales.
Trayectorias Ortogonales.-
Se forma la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas.
F ( x ,y , y ’) = 0
La ecuación diferencial de la trayectoria ortogonales tiene la forma:
F ( x , y - — ) = 0
y
(2)
... (3)
la integral general de esta ecuación es:
0, U ,y ,c ) = 0 ... (4)
155
proporciona la familia de trayectorias ortogonales. Suponiendo que la familia 
de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares.
... (5)
d(¡)
donde a es un parámetro, eliminando el parámetro “a” entre (5) y ---- = 0 ,
d\f/
obtenemos la ecuación diferencial de la familia (5).
F (p ,y / ,p ') = 0
Sustituyendo en este p ' p o r ----- - obtenemos la ecuación diferencial de la
familia de las trayectorias ortogonales.
F (p ,v o
p
b) Trayectorias Isogonales.-
Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada 
bajo un ángulo a , donde tg a = k. Se puede demostrar que la ecuación 
diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma:
y '-k
F ( x , y , - f - — ) = 0
l + ky’
Formar las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas.
281) y = -
X
Solución
Entonces y - — => xy = a, derivando y + xy ' = 0 
x
156
282) x 2 - y 2 =ax
Solución
x 2 - y 2x 2 - y 2 - a x => ---------- = a derivando
x (— \ yy ) - ( x 2 - y 2) = 0 => 2x 2 - I x y y ' - x 1 + y 2 = 0
Jt
A . , .2por lo tanto: x + y - 2xyy' = 0
283) y = aexla
Solución
y = aexla => = a => v'= —
ex/a ' a
a = — => y = — ex/a => y '= e x/a
y y
lny'= — => a = ------ como y = aexla entonces:
a ln y'
y = - ^ — e lny entonces y ln y '= x e lny 
ln y
por lo tanto: y ln y'' = xy'
284) y = c x - c - c 2
Solución
y = c x - c - c 2 => y' = c => y = y ' x - y ' - y '2 entonces:
y '2 -xy'+y'+y = 0
157
285) y = ex (ax + b)
Solución
y = ex (ax + b) => — = ax + b derivando
6 ^ .. .... = a => ™̂— = a derivando
e..S Z.— ¥-1 —e ^ ?).. = 0 entonces y' - 2y'+y = 0
286) y 2 = 2cx + c 2
Solución
y 2 = 2cx + c 2 => yy' = c => y 2 = - 2cx-hc2 entonces 
y 2 = 2xyy''+y 2y '2 por lo tanto: yy '2 Y2xy'-y = 0
287) y - a x 2 +bx + c
Solución
y = ax2 +bx + c => y '= 2ax + b => y " = 2a => y'
288) y = c1x + — + c3 
x
Solución
Cj , c2y = q x + — + c3 => y = c 1 — y
X X
2c 2 3 _
y - —y x / ' = 2c2 derivando
3* 2y + * V ,,8=o => / " + - / ' = o
X
289) ( x - a ) 2 + ( y - ¿ ) 2 =1
Solución
y 2- y 2 ( x - a )2 = ( x - a ) 2 => y 2 = ( l + / 2 ) ( x - a )2
y y
= * ~ a => ----------- 7TT37T = 1
a * / 2.)3
y = ( i + y 2 )3/2 => y ,2= ( i + y 2 )3
290) y - c xex +c2e x
Solución
y = c¡ex +c2e => e xy = cle 2x +c2 entonces
exy + y 'e x - 2cxe lx => = 2c¡ derivando
e x (y ''+ / ) ” (y + y y *...y \ xu = 0 => y ’+ y '-y '-y = o
por lo tanto y ' f- y = 0
159
291) y = asen(x + a)
Solución
y
y = a sen(x + a ) => ----- - ------= a derivando
sen(x + a )
sen(x + a ) / - y c o s ( x +_ g ) = 0 ^ tg(x + a ) = ^
sen (x + a ) y
y'2-yy"
x + a = aretg^- => 1 = — ^— entonces 1 = - - => y'2+ y 2 = y '2~yy"
y' 1+ (Z )2 / 2V
y'
de donde y 2 +yy" = 0 => y"+y = 0
Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curvas.
292) y 2 +2ax = a 2 , a > 0
Solución
y 2 +2ax = a 2 => 2yy'+2a = 0 => yy'=~a
reemplazando en y 2 +2ax = a 2 se tiene y 2 - 2x y y '= y 2y '2 => y - 2xy'= yy '2
dy dx , . . dx ,dx. 2
cambiando — p o r ----- se obtiene y + 2x — = y(— ~)
dx dy dy dy
resolviendo la ecuación se tiene: y 2 - 2bx - b 2
293) y = axn, a es un parámetro.
Solución
160
„ ■ É L - n - i ,
y = ax” => — = a derivando ---------------— ,-= 0 entonces - ^ - - n y = 0
X n X 2n d x y
cambiando por — — se tiene: - x — - n y = 0 integrando x 2 +ny2 =c 
d x d y d y ' J
294) y = ae** , constante
Solución
e° * $ L - aea*y
y = aeca => — - a derivando ----- — ----------= 0 => — ~ay = 0
e e dx
u- t dy dx dx dx
cambiando — p o r ----- se tien e :---------- ay = 0 = > --------- t-av = 0 =>
dx dy dy dy
2
dx + aydy = 0 integrando x + ~ ~ = b entonces 2x + a y 2 =c
295) eos y = ae x
Solución
eos y = ae~x => ex eos y - a derivando
e x eos y ~ e x sen y .y = 0 => c o s y - s e n y — = 0
dx
u • a dy dx dx
cambiando —- por — — se tiene: eos y + sen y — = 0 => ctgy dy + dx = 0
dx dy ' dy
ln sen y + x = b => sen y = c.e~x
161
? 1 7 2
296) x + 2 y
Solución
dy dy dx
2x + yy' = 0 => 2x + y — = 0 cambiando — por - — se tiene:
77 dx dx dy
2x - y — = 0 => 2 — = 0 , integrando 21ny- lnx = lnc , entonces:
dy y x
y 2 2— = c => y - e x
297) x 2 - y 2 = a 2
Solución
x 2 - y 2 = a 2 => 2 x -2 y y ' = 0 entonces:
dy dy dx
x — y —-— = 0 , cambiando — por — —
* dx dx dy
dx . dy dx
x + y — = 0 => — + — = 0
dy y x
integrando lny + lnx = lnc, por lo tanto: yx = c
298) x k + y k = a k
Solución
x k + y k = a k => kxk~x + kyk~xy '=0 entonces:
x k~x + y k~x — = 0 cambiando — por —-7-
7 dx dx dy
162
299)
o => 4 t - 4 t ‘ 0
dy y kA x k~l
+ *-------= 6 entonces: — -------í-— = b(k - 2 ) para k * 2
y k~2 (k—2) x a_2(A:-2) x ^ 2 y * '2
dx dy dx
para k = 2 => x - y — = 0 = > ----------= 0
dy y x
lny — lnx = lnc => y = ex
x 1 + y 2 = 2ay
Solución
? 2 rs x 2 + y 2 .x ~ + y = 2<zy => ---------- = 2¿z derivando
y
y (2x + 2y — ) - ( x 2 + y 2 )— = 0 entonces: 
dx dx
2xy + 2.y2 ^ - - ( x 2 + .y2) — = 0 
dx dx
, • j dy dxcambiando — p o r ----- entonces:
dx dy
dx
2 xy + (x2 - y 2) — = 0 de donde (x2 - y 2 )dx + 2xydy = 0 
dy
sea y = ux => dy = udx + xdu entonces (x2 -w 2x 2)dx + 2x2«(wdx + xdw) = 0
(1 - u )dx + 2u dx + luxdu = 0 => (u +l)dx + 2uxdu =0
163
— + . du = 0 => lnjc + ln(l + « 2) = lnc
x 1 + u
x(\ +u 2) - c => x 2 + y 2 =cx
300) x 2 - j y 2 = a 2
Solución
x 2 - i y 2 = a 2 => 2 x - ^ y ~ = 0
3 3 dx
dv dy dx
3x - y — = 0 cambiando — por — —
y dx dx dy
3 x + y — = 0 => 3^ - + — = 0 integrando 31ny + lnx = c => y 3
dy y x
301) p = a(l + cosy)
Solución
p = a(l+cos\|/) => ---- ----- = a derivando
1 + eos y
dp
(1 + eos y/) —— + sen y/ .p 
dw------------------------------ = 0 entonces:
(1 + cost//)2
dp dp p 2
(1 + cosí//)— + sen y/.p = 0 cambiando = ------ -
dp d y p
2
- (1 + eos y/)(— ) + sen y/.p = 0 => (1 + eos y)pd\|/ = seny dp = 0 
P'
164
1t22^Ld\¡/=— integrando ln|cos^a//-ctgy/|+ln|seri//(=ln/?r => l-c o sv |/ 
seny/ p
302) y 2 = 4 ( x - a )
Solución
2 ^ „ dy y a dy dxy = 4 (x -a ) => 2yy = 4 entonces y — - 2 cambiando — p o r ------
dx dx dy
dx . dy
- y — = 2 entonces - d x = 2 — entonces -x = 21ny + c
dy y
ln y 2 = —x 4-c entonces y 2 -b e ~ x
165
SOLUCIONES SINGULARES)
Una solución y = \j/(x) de la ecuación diferencial.
f ( x 9y ,y ') = 0
Se llama singular, si en cada uno de sus puntos, se infringe la propiedad de unicidad, es 
decir, si por cada uno de sus puntos (x0, y0)» además de esta solución, pasa también 
otra solución y = \|/(x), pero que no coincide con esta última en ningún entorno del 
punto (jc0 , y0) arbitrariamente pequeño.
La gráfica de una solución singular se llamará curva integral singular de la ecuación (1).
dF 3F
dx ^ 9 /
respecto a todos los argumentos x , y, y ', cualquier solución singular de la ecuación (1) 
satisface también a la ecuación.
Si la función F(x, y, y') y sus derivadas parciales y son continuas con
dF(x, y, y )
dy'
= 0
por consiguiente, para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) hay que 
eliminar y’ entre las ecuaciones (1) y (2). La ecuación que resulta al eliminar y’:
... (3)
Se denomina P-discriminante de la ecuación (1), y la curva determinada por la ecuación
(3).
Curva P-discriminante (abreviado, escribiremos: CPD).
Frecuentemente ocurre que la CPD se descompone en unas cuantas ramas. En este caso 
se debe averiguar si cada una de éstas por separado es solución (1) y en caso afirmativo 
se debe de comprobar si es solución singular es decir, si se infringe la unicidad en cada 
uno de sus puntos.
Se llama envolvente de una familia de curvas.
<¡)(x,y,c) = 0 ... (4)
166
A la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia
(4), siendo cada segmento de la misma tangente a una infinidad de curvas de la familia 
(4).
Si (4) es la integral general de la ecuación (1), la envolvente de la familia de curvas (4), 
en caso de que exista, será una curva integral singular de esta ecuación.
En efecto, en los puntos de la envolvente los valores x , y, y 1 coinciden con los valores 
correspondientes a la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x,y); 
por consiguiente, en cada punto de la envolvente los valores: x ,y ,y ' satisfacen a la
ecuación F ( x ,y , y ’) = 0, es decir, la envolvente es una curva integral, por otra parte, 
en cada punto de la envolvente se infringe la unicidad, puesto que por cada punto de la 
misma pasan al menos dos curvas integrales en una misma dirección:
La envolvente y la curva integral de la familia (4) que es tangente a ésta en el punto 
considerado.
lis consecuencia, la envolvente es una curva integral singular.
Por el curso de análisis matemático se sabe que la envolvente forma parte de la curva 
c-discriminante (abreviadamente CCD) determinada por el sistema de ecuaciones.
y/(x,y,c) = o
' d y (x ,y ,c) ...(5 )
de
Una rama de la CCD es envolvente cuando en ella se cumplen las condiciones 
Niguientes:
I - Las derivadas parciales, y , existen y sus módulos están acotados.
dx dy
| ^ | Ú M , \ ~ \ ^ N ...(6 )
dx dy
donde M y N son constantes.
W „ d i „' — * 0 , o sino — * 0 ... (7)
dx dy
167
Observación 1.- Las condiciones 1) y 2) solamente son suficientes, por lo cual, pueden 
ser envolventes. También las ramas de la CCD en las que no se 
cumple alguna de estas condiciones.
Observación 2.- En el caso general, el P-discriminante contiene:
1 A la envolvente (E)
2.- Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (c ) .
3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) (R).
Ap = E £ 2.R - . ( 8 )
El c-discriminante contiene:
1 A la envolvente (E)
2.- Al lugar geométrico de los puntos anocdados al cuadrado (A ) .
3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (i? ) .
Ac =E.A2.Ri (9)
Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la 
ecuación diferencial.
Esta figura tanto en la curva P-discriminante como en la curva c-discriminante a la 
primera potencia, circunstancias que facilita la averiguación de la solución singular. ,
En los siguientes problemas, se necesita hallar las soluciones singulares, si esta» 
existen.
303) (1 + y '2 ) y 2 -4yy'-Ax = 0
. Solución
(1 + y a ) y 2 - 4yy '-4x = 0 , derivando respecto a y'
i 2 2y' y - 4 y = 0 => y'= —
168
Luego: f(l + y 2 ) y 2 ~4yy' - 4x = 0 ... (1)
l yy'= 2 . . .(2)
2Ahora eliminando y 1 de estas dos ecuaciones de (2) se tiene y'= —
y
reemplazando en (1).
4 7 o
(1h— j ) y - 8 - 4 x = 0 ==> y + 4 - 8 - 4.x = 0, de donde
y
y 2 = 4*+ 4
304) y '2 - 4 y = 0
Solución
y ’2 - 4y = 0 , derivando con respecto a y 1 
2y' = 0 entonces y'= 0
¡y '2 - 4y = 0 
Luego: < , de donde y = 0
[ / - O
305) y '3 - 4xyy'+Sy2 =0
Solución
3 2y' - 4xyy'+%y = 0 , derivando con respecto a y'
3y '2 - 4xy = 0 => y'=
SxyJxy 8 xyJxy 2 ,— ,— ,— *
—3*j3----------------------------------------- T¡3 + ̂ = ̂ entonces: x^Jxy - 3x^Jxy + 3^3y = 0
169
3^3y - 2x*Jxy => 2 1 y 2 = 4 x2.xy => >’(27>'—4x3) = 0
- 2x-sfxy + 3-JJy ■ O
entonces: y = 0 =>
306) y '2- y 2 ** 0
4*3
Solución
y 2- y 2 = 0 , derivando con respecto a y \ 2 y' = 0 => y = 0 de donde
y = 0, de acuerdo a las condiciones establecidas no tiene solución singular.
307) y ^ ^ J y 2 + a . ¿Para que valores del parámetro a tiene esta ecuación solución
singular?
Solución
_ _
y - ^ ¡ y + a » de acuerdo a las condiciones establecidas para hallar soluciones 
singulares se tiene que los valores de a es a = 0.
308) (xy'+y)2 + 3jc 5 (xy'-2y) = 0
Solución
(xy'+y)2 + 3x5 (*y-2>0 = 0, derivando respecto a y '
2x(xy’+y) + 3x6 = 0 => y '■ -
2jc
Luego reemplazando en la ecuación diferencial
3x^ ■+* 2y 2 ̂ 5 / + 2y A------— - + y )2 + 3jT (----------- - 2y) - 0
170
9x10 9x10 -1 3 x 5y = 0 => - ^ —(x 5 - 2 x 5 -4 y ) = 0
2 4 "
Q 3
4y + x 5 =0
309) y ( y - 2 j^ ’)2 =2y
Solución
y ( y - 2xy ')2 = 2y' derivando respecto a y \
2y ( y - 2xy’)( -2x) = 2 => 2y ( y - 2xy')x = -1
^ 2 A 2 , 1 , 2xy2 + lentonces 2xy - 4 x yy ——l => y = — —
4 x 2y
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
, 2xy 2 + l vx2 - » / 2x y2 + L
)) = 2(—........ )
4 x y 4 x j
2xy +1 2 _ 2xv +1 2xy - 2xy -1 2
2 ^ 2x2y 2xy }
/ 1 2xy +1 1 2xy + 1
y{— t~j ) =- ;— => — r~ = ------------?— entonces:
4 x y 2 x y 4 x y 2 x y
por lo tanto: 4x y 2 = -1
310) 8 y 3-1 2 y 2 = 2 7 (y -x )
Solución
8y3 -12y 2 = 2 1 ( y - x ) derivando con respecto a y'
2x y 2 +l 
2 x 2y
1 = 4xy2 +2
171
2 4 / 2- 2 4 / = 0 => y ( y - 1) = 0 => y'= 1
4
entonces: 8 -1 2 = 2 7 (y -x ) por lo tanto: y = x ~ —
311) ( / - l ) 2 = y 2
Solución
( y - 1 ) 2 = y 2 derivando con respecto a y'
2 ( / - l ) = 0 => / - I de donde (1-1)2 => '2
entonces y = 0 pero esto de acuerdo a las condiciones establecidas no es
solución singular por lo tanto no tiene solución singular.
Mediante el c-discriminante, hallar las soluciones singulares de las ecuaciones 
diferenciales de primer orden, sabiendo sus integrales generales.
312) y = xy'+y'2, y = cx + c 2
Solución
Eliminando c del sistema
(icx+ c2 = y x . - , 2^ => c = — reemplazando en ex + c = yx + 2c = 0 2
x 2 x 2 x 2
------------- + ----------= y = > y = -----------—
2 4 4
x 2como y = ------es solución de la ecuación diferencialentonces
4
solución singular.
x 2
y m ~
es
172
313) (xy'+y)2 = y y \ y ( c - x ) = c 2
Solución
Eliminando c del sistema
í y ( c - x ) = c 2 c = y_
\ y = 2c 2
reemplazando en la ecuación
y ( c - x ) = c 2 => y ( - - x ) = —
2 4
<y ^ y _ „ o,. ^
como es solución de la ecuación diferencial entonces y = 4x es solución 
singular.
314) y 2y ,2+ y 2 = l , (X - C)2 + y 2 =\
Solución
Eliminando del sistema:
j ( * - c ) ! + / - l ^ c = x
[ -2 (x - c ) = 0
reemplazando en la ecuación 0 + y 2 = 1 => y = ±l
como satisface en la ecuación diferencial entonces y = ± lson soluciones 
singulares.
315) y '2-yy'+ex = 0 , y = cex + -
c
Solución
173
Eliminando c del sistema
, 1 y = ce + —
c _-.t/2 => c = e
reemplazando en y = ce* + - => y = e " " V + e Jr/2
c
y = e x l l + exn = 2e x' 2
como y = 2eJt/2 es solución de la ecuación diferencial entonces es solución 
singular.
316) 3xy'2 -úyy'+x+2y = 0 , x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0
Solución
Eliminando c del sistema.
x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0 _ 3y - x
x - 3 y + 2c = 0 2
reemplazando en la ecuación
x 2 + c (x -3 y ) + c 2 =0
2 ✓ ̂ x 3 y - x , 3 y - x x2x ¿ + ( x - 3 y )—----- + (—-----) 2 = 0
2 2
x 2 ( ^ + ( W = 0
2 4
2
x ’ - S ' z f L . o
174
4x2 - 9 y 2 +6x y - x = 0 simplicando 3x2 + 6 ;cy -9y2 = 0 
x 2 + 2 x y - 3 y 2 =0
(x + 3y)(x — y) = 0 => y = - | , y = x
como son soluciones de la ecuación diferencial entonces y - - — , y = x son
3
las soluciones singulares.
317) y = Xy '+^a 2 y '2 +b2 , y = cx ^ a 2c 2 + b 2
Solución
Eliminando c del sistema:
y = cx ^ a 2c 2 + b2 ...(1)
2 2
0 = W a V + ¿ 2 + , * -,• ...(2)
V a V + 6 2
de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos c, obteniéndose la ecuación:
x2 y2
—— + —— = 1 la cual es solución de la ecuación diferencial, por tanto: 
a b
x 2 y2— h— — = 1 es la solución singular. 
a b
Diversos Problemas 
Integrar las siguientes ecuaciones
118) (y - y 3 )dx + ( Ixy 2 - x - a y 1)dy = 0
Solución
( y - y 3)dx + (2x y 2 - x - a y 2)dy = 0 entonces:
175
( y - y ^ ) — + 2x y 2 - x - a y 2 = 0 entonces:
dy
*.e¿zp.jsL cslinM,
dy y - y y - y
t 2y -1 [ 2y -1
-J— r dy t j ^ ~ r dyJ v - v r J V- VJ T»? c I ------ T°y n.v2* = [ j e y~y - V L ^ dy+c]
y - y
calculando las integrales se tiene: x - a y 2
319) y '= (x - y )2 +1
Solución
Sea z = x —y => y ' = \ - — entonces
dx
y ' - ( x - y )2 + 1 => 1 — — — z 2 + 1 entonces:
dx
dz 1 i
----7 ~ ^ — = X+C => z = ------ => A
z z JC + C
de donde y - x — *
x + c
320) x senxy'+(senx - x eosx)y - senx eosx - x
Solución
x sen xy'+ (sen x - x eos x)y = sen x eos x - x
dy s e n x -x c o sx s e n x - c o s x -x
_ + ---------------- = -------------------------- entonces:
dx xsenx xsenx
176
+ c y ^ l - y 2
1
- y = --------x + c
x - e
r sen jr-jrcos;r , r sen x -* eos .v_ ------------dx r I---- —-----dx s e n x c o sx -x , _J x s e n x Y\e xsenv ------------------ dx + c]
J x sen x
~ln---- r ln-----s e n x c o sx -x ,
x = e s e n x [ \ e sen x ------------------ dx + c]
J xsenx
sen x r r sen x eos x - x ,x = ----[ ---------------- dx + c] entonces:
x J sen x
‘ sen x f | sen x
xsenx
sen xy -------- (jn sen x + xc tg x - ln sen x + c) por lo tanto:
x
esenx 
y = eos x + --------
321) — + yc o sx = y n senllx , n * l
dx
Solución
— + yc o sx = y n sen2x => .y -fcosx.j;1 " =sen2x 
dx dx
sea z - y Xn => — = (l-w )y
dx dx
* ^2 + eos x.z = sen 2x entonces: — + (1 - n) eos x.z = (1 — n) sen 2x
1 - n dx dx
-f (l-n )c o sjr ¿ r f í ( l -« )c o s* á x
Z = e J [ e J (1 - w ) sen 2x dx + c]
z = e (n_1)sen x[ j e (1~n)sen * (1 - n) 2 sen x. eos xdx + c]
1 - n 2 ^ (n -l)sen xy = 2senx + ------+ cev
' « -1
177
322) (jc3 -3 x y 2)dx + (y* - 3 x 2y)dy = 0
Solución
M = x i - 3 x y 2 
N = y 3 - 3 x 2y
dM dN ,
como -----= — la ecuación es exacta entonces
dy dx
3 f(x,y) tal que = M
dx
de donde - - - - - - - = x 3 - 3x y 2 integrando
dx
/ ( * , y) = J (x3 - 3xy 2 )dx + g (y ) entonces:
x 3x
/(*> y) = —-----— y 2 + g(y) derivando
= - 3 x 2 y + g'(y) = N => - 3 x 2y + g ' ( y ) = y i - 3 x 2y
dy
i y
g '(y) = y => g (y )= — + c entonces
r 4 1x2 v 2 v 4
f ( x , y ) = —- — + ̂ - + c porlotanto: x 4 + y 4 - 6x 2y 2 =k
dM
dy
dN_
dx
= - 6xy
= -6 xy
323) ( 5 x y - 4 y 2 - 6x 2)dx + ( y 2 - 8xy + 2.5x2)dy = 0
Solución
178
Sea x = uy => dx = udy + ydu reemplazando en la ecuación diferencial
(5uy2 - 4 y 2 - 6u 2y 2){udy + ydu) + ( y 2 - 8 uy2 + 2.5w2y 2)rfy = 0
(5w - 4 - 6«2 + ydw) + (1 - 8« + 2.5u 2 )dy = 0
(5w2 -4 j/^ 6 w 3 + \-%u + 2.5u2)dy + y ( 5 u - 4 - 6 u 2)du = 0, simplificando
(6u 3 - 7.5u 2 +12« -1 )dy + y(6u 2 - 5u + 4)du = 0 , separando la variable
dy 6«2 -5 « + 4 „ .— + — -----------------— du = 0 , integrando se tiene:
y 6« -7.5« + 12« -1
Es una ecuación homogénea
ln y + — ln |6 « 3 -7 .5 « 2 + 1 2 « - l |= ln e de donde — = «
3 v
porlotanto: 15x2j'-24x>>2 -1 2 x 3 + 2y3 =c
324) (3x^2 - x 2) + (3jt2.y-6j>2 -l)rfy = 0
Solución
ÍA/ = 3xy2 - x 2 
[w = 3x2y -6 j> 2 - l
SAZ , 
—— = 6xy 
dy
dN £ 
— = 6 xv
dx
dM dN .como -----= ----- la ecuación es exacta entonces
dy dx
3 f(x,y) tal que = M , dé donde: - = 3xy2 - x 2 integrando
dx dx
V
179
f 2 2 3.x2 y2 x3/(x ,y )= J (3xy - x )dx+g{y) entonces: f ( x ,y )= —^----- -+ g (y ) derivando
~ ^ - = 3x2y + g ' ( y ) = N => 3x2y + g'(y) = 3x2y - 6 y 2 -1 
5y
g' (y) = -6>’2 -1 => g(>’) = 3 - y + c entonces
2 2 3
f{xyy ) - —~ - - —2y3-j>+c por lo tanto: 9x2y 2 -3 x 2 - I 2 y * - 6y = k
325) (j> - jcy2 In x)dx + xdy = 0
Solución
2 dy 2
xdy + ( y - x y lnx)dx = 0 => x — + }> = xy In x , Bernoulli
dx
dy 1 2 2— + — J = }> In x , multiplicando por y 
dx x
-2 4y 1 - l , - l dz _2 dyy - + - y = ln x , sea z = y => - — = y -f-
dx x dx dx
dz 1 dz 1 ., t .,
— — + — z = lnx = > -------z = - In x , ecuación lineal cuya solucion es:
dx x dx x
r dx r dx
z - e x [ J e x ( - In x) dx + c] , efectuando la integral
r f ln* j 1 -1 / to2 xz = x [-1 -----dx + c] => y — x(--------- + c)
J x 2
1 , In 2 x + k ̂ _ , 2— = x(------------- ) => 2+x^ln x = kxy
180
Solución 
fdM
326) (2xyex -x se n x ) d x + e x dy = 0
1 M = 2xyex -x s e n x 
N = e x2
=* 1 *dN
= 2xe*
dx
= 2xex
dM dN y .. , ,como -----= — la ecuación es exacta entonces
dy a*
3 f(x,y) tal que =M de donde: -- = 2xv^ -x s e n x , integrando
Se dx
f ( x , y) = | (Ixye*1 - x sen x)dx + g(y)
f (x, y) = y e* + x c o sx -se n x + g( y) derivando con respecto a y se tiene: 
d f(x ,y )
dy
= e x + g \ y ) = N de donde e x + g \ y ) = e x =>g(y) = c entonces
f (x,y) = yex +xcosx-senx+c, por lo tanto: /. yex +xcosx-senx = A:
327) 2y'+yl + \ = 0
Solución
2y '+ y2 +—j = 0 => 2x ¿ ~ + ( x ¿y i +l) = 0. i dy , / „ 2 . . 2 
*
2 x 2dy + ((xy) 2 +1 )dx = 0 entonces
u , xdw - udx
sea u = xy => y = — => dy = ------ ------
x x
181
_ 2 .xdu-udx. . 2 ^2x (------ ------) + (u + \)dx ~ O entonces:
x
2x d u - 2udx + (u2 + l)dx = 0 => 2xdu + (w -l) 2 dx = 0
^ du dx ^ 2 ,2 ---------- + — = 0 = > ---------- + ln x = c
(w-1) x M -l
2
= c - ln x => ( l-x y ) (c - ln x ) = 2
jcv-1
1
328) y ’=-
2x - y L
Solución
1 dx ^ 2y = -------- — => — = 2 x - y entonces:
2x - y dy
— ~ 2x = - y 2 => x = e 2y[ f e 2y ( - y 2)dy + c] 
dy J
de donde x = — + — + ce2y + —
2 2 4
329) x 2 +xy'=3x + y'
Solución
x 2 + xy'=3x + y' => ( x - l ) y '= 3 x - x 2
3x — x 2
dy = ----------dx integrando
x — 1
J* dy = J ——y -d x + c => y = 2 x - ^ - + 21n 11-x |+c
182
330) 4x3y 2dx + (x4 - 2 x 4y - l ) d y = 0
Solución
dx + x 4 - 2x 4y - l _ ^ dx t x (l- 2y) _ 1
dy 4 x 3y 2 dy 4 y 2 4 x 3y 2
3 dx 1 — 2y _2 1 .c — -»------r -x = — — entonces:
dy 4 y 2 4 y 2
sea z = x 2 => - = x 3 — , reemplazando en la ecuación
2dx dy
dz 1- 2y 1 dz 2y -1 1 .. ,. ,-------- 1-------— z = ----- = > -----h------- z = - -.... . , ecuación lineal
2 dx 4 y2 4y 2 dx 2y 2 2y 2
-jlZZÍdy j l ll ldy j
2 = e 2y [ [ e 2y (---- —r~) + c] , efectuando la integraciónJ 2y
i i
z = e " ' * 5 [ e M onceS: Í „ ]
J 2y2 V J 2y
331) xyy'-y2 =*4
Solución
— - — y = x3y 1 multiplicando por y 
dx x
dy 1 2 3 2 dz . dyy — — y = x sea z = y => — = 2y —
dx x dx dx
1 dz 1 3 dz 2 3----------- z = x de d o n d e ---------z = 2x
2 dx x dx x
183
332)
r 2dx [__2dx
ecuación lineal z = e x [Je x 2x 3dx + c\
z = e~1 XTÍX[ j 2xdx + c] entonces: z = x 2[x2 +c] => y 2 = x A +cx2
dx _ dy
x 2 - x y - h y 2 2y 2 - x y
Solución
(2y 2 -xy)dx = (x 2 - x y + y 2)dy es homogénea 
y = ux => dy = udx + xdu , reemplazando en la ecuación diferencial
( l u 2x 2 - x 2u)dx = (x 2 - x 2y 2 + x 2u 2)(udx + xdu), simplificando
dx u 2 - u +1
* w3 - 3w 2 + 2w
du = 0 integrando
f — + f —r -----— dw =c dedonde .\ — 2 a: )3 = c ( y - x )2
J x J u3 - 3 u2 +2u
333) ( 2 x - l ) / - 2 y = l ^
Solución
— — y = — -———r ecuación lineal cuya solución es:
dx 2x - l (2x - l ) x
. f_i^L i - 4x
z - e 2x~l [ \ e 2jc_1------------- dx+c] integrando tenemos
J ( 2 x - l ) x 2
184
y = e ln(2T-i)[f 1 4* dx+c] => y = ( 2 * - l ) c + - 
J (2x —1)3jc2 x
334) (x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
Solución
Sean : x - y + 3 = 0 y L2 : 3x+j> + l= 0
como LXUL2 => 3 p (x 0yy 0) e L x a L 2
x - y + 3 = 0 1 
de donde: i => p(-l,2)
3 x + v + l = 0J F
sean x = z ~ l , y = w + 2 entonces:
(x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
(z — w)dz + (3z + w)dw = 0, ecuación diferencial homogénea
w = uz => dw = udz + zdu, reemplazando en la ecuación diferencial
(z — uz)dz + (3z + uz)(udx + xdu) = 0, simplificando
(1 — u)dx + (2 + u)(udz + xdu) = 0, agrupando
(u + 2u + 1 )dz + (u + 3)zdu = 0, separando la variable
dz u + 3 , A ,— + -------- du= 0 , integrando
Z (m + 1)
f — + f — ~^— d u - c entonces lnz + ln|w + l | ---- — = c de donde:
J ^ J (tt + 1) « + 1
2jt+2
u = — ■=.—------? z = x + 1 por lo tanto: x + y - l = cex+y~l
Z Jt+1
185
, x + y x - y
335) y + cos---- — = cos
2 2
Solución
, x y x y x v x v
y + cos — eos----- sen —sen — = cos —eos —+ sen —sen —2 2 2 2 2 2 2 2
y = 2 s e n y s e n y => cosec— dy = 2 sen — dx integrando
y y xln(cos ec — - c tg ~ ) = -4 cos — + c entonces:
cosec— - c tg — = ke 4cosxi2
2 2
336) y' (3x 2 - 2x) - y ( 6x - 2) + - (9x - 4) = 0
X
Solución
dy (6 x -2 ) 2(9x-4 ) _
^ = ---- ---------- , ecuación diferencial lineal
dx 3x2 - 2 x ' (3x2 -2 x )x
(6*~2) , f (6x~2)f (6x-2) r (6x-2)
y = e 3x2-2x [ t j 3x2-2x (---- 2 (9* -4 ) )dx + c], iintegrando
(3xz -2 x )x
y = e ln|3 ' 2x1 [-2 f ----- —- — dx + c] integrando
J (3x2 - 2 x ) 2x
y = (3x 2 - 2x)[ f 2d (■ ■ -------) + c] calculando la integrai
J (3x - 2x)x
2 2
y = (3x2 - 2x)(— —- + C) por lo tanto: y = — +c(3x2 - 2x)
(3x 2 - 2 x )x x
186
337) Xy 2y ' - y ì = —
Solución
dy 1 X _2 - . i* j 2—------y = — y multiplicando y
dx x 3
2 dy 1 3 x 3 3 dz 2 dy t ,
>> —------y = — sea z - y => ----- = y — , reemplazando
dx x 3 3Jjc
fife 1 x 3 dz 3 3 ., . t l . ,----------z = — = > ------------ z = x , ecuación diferencial lineal
3dx x 3 á x
r 3dx r 3dx
z = e * [ je x x 3dx + c] => z = e 3ìnx[ j dx + c] 
entonces z = x 3(x + c) por lo tanto: .\ y 3 = x A +cx3
338) y'=Xg2(ax + by + c ) , b * 0 , ab > 0
Solución
dz 1Sea z = ax + by + c => / = (------a) —
dx b
y '= \g 2(ax + by+c) => = tg 2 z
ox o
— = a + è tg 2 z de donde ----- — = dx integrando
dx 6 a + btg z
dz
a + b tg2 z - J ì£c+ c entonces:
187
x+ c = —^—[a x + b y + c -J — arctg[J— tg(ax+6y+ c) + c]] 
a - b \ a \ a
339) ( \+exly)dx+exly( \ - ^ ) d y = 0 , ^ =1=1
Solución
Sea — = « => x = uy => dx = ydu + udy, reemplazando en la ecuación.
y
(1 + eu )(udy+ ydu) + eu (1 - u)dy = 0 entonces:
(u + ue" )dy+ eu (1 - u)dy + (1 + eu )ydu = 0 , agrupando
(u + eu )dy + (eu + \)ydu = 0 => — + - ..— dy = 0 integrando
y e" + u
l n y + ln(eu +w) = lnc => > '(e"+«) = c => y(ejr/;’+-^) = c
p a r a x = l , y = l => e + l = c por lo tanto: .*. x + yex,y = l + e
340) (x2 + y 2)d-xydy = 0
Solución
Sea u = yx => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial 
(x2 +u2x 2) d x - x 2u(udx + xdu) = 0 => (l + u 2) d x - u 2dx-uxdu = 0
dx u 2dx — ux du = 0 = > ------udu = 0 => ln x ------ = c entonces
x 2
2 1 n x -w 2 = 0 entonces 2x2 ln x - y 2 = kx2
188
141) (x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0
Solución
Sea z = x - y => dx = dz + dy, reemplazando en la ecuación diferencial 
(x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 => (z + 2)(dz + dy) + (z + 3)dy = 0
z + 2
(z + 2)dz + (2z + 5)dy = 0 => --------dz + dv = 0 integrando
2z + 5
í d z + [ dy =c => í ( ——- ( — í— ))dz + y = c entonces
J 2z + 5 J J 2 2 2z + 5 '
z 1
~ - — ln(2z + 5) + y = c => 2 z - ln(2z + 5) + 4y = k
2x - 2y — ln(2z - 2y + 5) + 4y = k => 2y + 2x - ln(2x - 2y + 5) = k 
por lo tanto: ln(2x - 2y +5) - 2(x + y) = k
142) (x y 2 + y)d x -xd y = 0
Solución
y(xy + l)dx - xdy = 0 sea xy = u => y = — entonces
xdu -u d x u \ .xdu-udx
dy = ------ ------ => -(w + l)d x -x (------ ------) = 0
x 2 x x 2
u(u + 1 )dx — xdu + udx = 0 => (u2 + 2u)dx - xdu = 0 entonces
dx du , 1 , 2 ,-------- --------= o => ln x — l n-------= ln c
x u 2 + 2u 2 u + 2
, x 2(u + 2) x 2 (u + 2) 2/ 7
ln ------------ = in c => ------- ----- = c => x (xy + 2) = xyc => x y + 2x = cy
189
343) (x 2 4- y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0
(x 2 + y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0 => (x 2 + y 2)dx + 2xdx + 2ydy = 0
dx+ = 0 dx + d ln (x2 + y 2) = 0 integrando
x + y
x + ln(x2 + y 2) = c => in(x2 + y 2) = c - x => x 2 + y 2 =ke~
Solución
344) ( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy
Solución
( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy separando la variable
1 t x 2 +X+1 rr 2x +1 2 y — i
entonces — ln — ----------- V3 (arctg — -==- + arctg —■= -) = c
2 y 2 - y + l V2 ̂ 3
345) (jc - 2xy - y 2 )y '+y2 = 0
Solución
( x - 2x y - y 2) — + y 2 = 0 => v2 — + x - 2x v - y 2 = 0
dx ' dy
r l - 2 y t\-2y .
dx 1 -2 y r J—
— + — i f - x = 1 es lineal x = e y [ l e y dy + c] entonces 
dy y j
x = g2In>'+1/>'[ f e~2]ny~1/ydy + c]
190
x = y 2ev ’' [ [ e -V y ^ r + c } => x = .y V ' > ( e u r + c) 
por lo tanto: * = >'2 (1 + ce1 1)
346) y cosx dx + (2y - senx)dy = 0
Solución
Sea z = senx => dz = cosx dx, reemplazando en la ecuación diferencial 
ydz + (2 y -z )d y = 0, es homogénea
sea y = uz => dy * udz + zdu entonces: uzdz + (2uz — z)(udz + zdu) = 0
udz + (2u - 1 )(udz + zdu) = 0, agrupando
2u 2dz+ (2u - \)zdu = 0, separando las variables
2 — + (— — \r)du = 0 integrando
x u u
21nz + 21nw+—= c => ln z 2w2 + - = c entonces
2 sen x , a i ■ln y + ------ = c por lo tanto: 2y ln y + senx = cy
347) y - l = e x+2y
Solución
Sea u = x + 2y => y ’= — (— -1) , reemplazando en al ecuación diferencial
2 dx
— (— -1) -1 = e" de donde = 2eu +3 => — —— = dx
2 dx dx 2eu +3
191
348)
349)
2 + 3e~u = ke~3x => 2+3e ^ 2y =ke~3x 
2ex + 3 e ly = ke~2x 
2(x5 +2 x 3y - y 2x)dx + (y 2 + 2x2y - x 4)dy = 0
Solución
Sea y = tx2 => dy = x 2dt + 2xtdx, reemplazando en la ecuación diferencial
2(x5 +2x5t 2)dx + (x4t 2 + 2 x * t - x 4)(x2dt + 2xldx) = 0 , simplificando
(2 + 4/ - 2t2 )dx+ (f2 + 2/ - 1)(xí* + 2/¿Ét) = 0 entonces
(2 + 4 / - 2 / 2 +2t3 + 412 -2t)dx + (t2 + 2t-l)xdt = 0
(2í3 +2t2 +2í + 2)dx + (l2 +2t -l)xdt = 0, separando la variable
„d x í 2 + 2 í-1 j f ^ d x ( / 2 + 2/ -1
2 — + _ ----- --------------- dt = 0 integrando 1 2 —- + | —------- ;-d l - c
x / 3 + í 2 +í + i i x J t i + t ¿+t + 1
2 ln x + f (—1— + ? l-— )dt = c de donde se tiene: x 4 + y 2 = c(x2 + y)
J t + 1 / 2 + l
x 2y ny '= 2 xy '-y , n* -2
Solución
x 2y ny'=2xy'-y => y = ( 2 x - x 2y n)y' entonces:
integrando: -^ ln (2 + 3e u) = x + c => ln(2 + 3e “) = ~3x + c
dx j „ dx 2 2 n -2 dx 2v ------2x = - x v => —------ x = - x y => x -------- x = - y
' dy ‘ ¿V V dy y
n
192
sea z - x 1 =>
dz
dy
_2 dx = x — 
dy
dz 2 n---------- z = —y
dy y
=>
dz 2
— + — z 
dy y
— f— d y m f— d y 0
z = e y [J e y y ndy+c] , efectuando la integración z = e~2hly[ I y n+2dy+c\
i r f y n+3 i 1 >;"+1 cz — — [ I ------ + c] =>— = -------+
v J w + 3 jc « + 3 2
350) (J l + x 2 +rty)dx+(sjl + y 2 + ny)dy = 0 , y\x () = n
Solución
y¡l + x 2dx + nydx + + y 2 dy + nydy = 0 agrupando se tiene
•fl + x 2 dx+-Jl+y^dy + n(xdy+ ydx) = 0
~sj\ + x 2 dx + -Jl + y 2 dy + nd(xy) = 0 integrando
J ^ \ + x 2 dx + J -Jl + y 2dy + J nd (xy) = c entonces
i[x^Gi + x 2 +ln x] + 4 x 2 + l[v A/Í + .v2 +ln_v] + V^+>'2 +nxy = c
paE0„»x = 0 , y = n => c = n^íl + ñ 2 + \n[n + ^[\ + ñ 2 ] por lo tanto:
v j l+ x 2 + ln |x W l+ * 2 \+ y ^ + y 2 +ln|-y/l+>>2 |+2nx=W l+«2 + ln |«+V l+«2
351) [3(x+y) + a 2]y'=4(x + y) + b 2
193
Solución
Sea z = x + y => y '= — -1 reemplazando en la ecuación diferencial
dx
(3z + a 2)(— - l ) = 4z + 6 2 => (3z + a 2) — = 7z + a 2 + b2
dx dx
3 z + a 2 , r 3z + a 2
l z + a 2 + b2
dz = dx integrando f ---- — — — dz = í dx + c por lo tanto:
J 7z + a 2 +¿>2 J
f ■)' - ? * + ¿ (4a2 - 3¿2) ln l7(^ + ̂ ) + a2 +A2 I = c
352) axyy'2 +(x2 - ay2 -b )y '-x y = 0 (lasustitución x 2 = .y, y 2 = f )
Solución
axyy'2 +(x2 - a y 2 - b ) / - x y = 0 despejando y ’ se tiene:
- ( x 2 - ay2 - b ) ± J ( x 2 - a 2 - b )2 + 4ax2y 2
y = ---------------------------------------------------- ^ ------------------------------------------------------------------
2axy
sea ̂= x 2 => ds = 2xdx => t - y 2 => dt = 2ydy
dy _ [s dt 
dx V r ds
de donde — = ------sustituyendo en la ecuación diferencial :
~ ( x 2 - a v 2 - b ) ± S ( x 2 - ay2 )2 + 4ax2y 2
y ------- 1— 2 axy
s dt - (s - at - b ) ( s - at - b)2 + 4ast 
t ds 2a j s t
194
2as — = -(s - at - b) ± J (sat - b )2 +4 ast 
ds
efectuando operación, agrupando e integrando y reemplazando.
2 2 • 2 2 bex — s 9 y = t se tiene que: y - e x = ---------
1 + ac
353) ( x - y 2)dx+2xydy = 0
Solución
2xydy + ( x - y 2)dx = 0 => 2x y - + x - y 2 = 0 entonces:
dx
dy 1 y dy 1 1
— + —---- -—- = 0 => 2 —------ y = ----- , ecuación de Bernoulli
dx 2y 2x dx x y
multiplicando por y, se tiene : 2y — - — y 2 = -1
dx x
2 dz dy
sea z - y => — = 2y — , reemplazando en la ecuación diferencial
dx dx
-------- z = -1 , es una ecuación diferencial lineal cuya solución es:
dx x
r dx f _ ^ x
z = e * [Je * (-<&) + c] => y 2 = e lnjc[ J - ~ + c] 
2
y 2 = x[- \nxk] => — = - ln j t¿ = ln(jcfc)-1
e yl' x = ( x k y x => xey I / x =c
195
REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION]
Las ecuaciones diferenciales de n-esimo orden son de la forma:
... (1)F (x ,y ,y ' ,y " , . . . ,y M ) = 0
Donde al despejar y (n) se tiene:
...(2)y (n) = f ( x , y , y ' , y " , - , y (n 1})
Demostrar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las 
ecuaciones indicadas.
354) y = e~x (3 eos x - 2 sen x ) , / ’+2y'+2y = 0
Solución
y - e ~ x (3 eos x - 2 sen x ) , derivando con respecto a x 
y' = -e~x (3 eos x — 2 sen x) + e~x (-3 sen x - 2 eos jc) = e~x (-5 eos x - sen jc) 
y"= e~x (5 sen x - eos x ) - e ~ x (-5 eos x - sen x) 
y" = e ~x(4 eos jc + 6 sen x)
y"+2y'+2y = (4cosx+ ósenx) + 2£~*(-5cosx - senx) + 2e~xQcosx - 2senx)
= £“*(4 eos x + ó sen x -lO co s x - 2 sen x + 6 co sx -4 se n x)
= e -Jf(10 co sx -lO co s x + 6 s e n x -6 sen jc) = 0 
por lo tanto: y' '+2y'+2y = 0
y = e lx (c1 eos 2 x + c2 sen 2 x ), - 4/+8>> = 0
Solución
y = e 2* (cj eos 2jc + c2 sen 2x) entonces 
y = e lx[2(ci + c2)cos2x + 2(c2 - c 1)sen2x] 
y = - S c ^ 2* senx por lo tanto: y " - 4y'+%y = 0 
y = x(senx — cosx), y' '+y = 2(eos x + sen x)
Solución
y = x(senx - cosx) => y ’= s e n x - cox+ x(eos x + sen x)
y M= cosx + sen x + cosx + senx + x (co sx - sen x) 
y = 2 sen x + 2 cosx + x(cos x - sen x) 
y '+y = 2 sen x + 2 eos x + x(cos x - sen x) + x(sen x - eos x) 
por lo tanto: y ' '+>> = 2(cosx+ sen x)
y = (C\ + c2x)e~3x ; y ’'+6y'+9y = 0
Solución
.y ^ C i + c2x)e-3jr => y = - e “3jf(2c2x+ 3c1)
y s ^ ^ í ^ x + Pq - 2 c 2) por lo tanto: y"+6y'+9y = O
y = x 2 ln x , xyM,= 2
Solución
y = x 2 lnx => y '= 2x \ n x + x => y"= 21n*+3 entonces
y " '= - 3> xy'” = x ( - ) = 2 => x y " '= 2
X X
359) x = y * + y ,
Solución
x = y 2 + y => 1 = 2yy'+y' => 1 = 2yy’+y’ entonces
1 -2 v 'y’= —----- => y " = -------de donde
2 y + l (2 y + l)
-2 12 y " = ----------- => v,M = ----------- entonces
(2 y + l)3 (2y + l)
y'y'"= 12 , => y / " = 3 ( ----- — y)2 = 3y"2
(2y+ l) (2y + l)
por lo tanto: / y " '= 3y ' '
360) x + c = e~y , y " = y '2
Solución
x + c = e_>' => 1 = -e_>,y => y= -ey entonces
y " = - e >
361) x = y + ln y , yy”+y’3- y '2 =0
■»"=- ^ .y => y " = e l y = y 2 => y = ( y ) 2
Solución
x = y + lny => 1 = y'+ — => y '= - ^ r entonces
y y + 1
198
y ' ’ = ---- —- entonces:
(>-+i)3
yy”+y'ì - y '2 = y ( ^ T ) + ( - ZT )3 - ( - ^ r ) 2 = 0 
( y + l) y + 1 y + l
por lo tanto: yy’ ’+y '3 - y '2 = 0
.162) y = c, + c21 y d t , xy"+(l - x)y' = 0
Solución
f* e*
y = cì +c2j — dt => y ' = c2 — entonces
M e * { x - \ ) A i. / \ i / (jc — 1)x . e*
y = c 2 — ~ —- entonces xy +(-x) y = x(c2— ^ — ) + 0 “"*)c2—
X2 X X
x " + (l-x )y '= c2 _ Ì £ z l l C2e ̂ =0
por lo tanto: x v "+ (l-x )y ,= 0
f2 c* ~> 1»63) y = q x + c2x — d t , x > 0 , x~y”-(x +x)y'+(x + l) = (
Solución
/•2 |*2 £>*
y = C1X-fC2X --- => y = cl + c 2 ---------- dt-
Jx t ' Jx t
e x x J r / * + 1 \y = -------- e = - e (------ ) entonces:
x x
199
x 2y ' '- (x 2 + x)y'+x(x+ l)y = x 2(- £_ Í£ ÍÜ ) - (* + x)(c, + c , í - d t - e * ) +
x A t
+ (x + l)(cix +c2x j di)
xy' <jc 2 + x )/+ (x + l)y = O
J*e ¿¡í ------ , X > 1* lní
x 2 ln 2 x.y' '-x ln x ./+ (ln x + 1)>' = O
Solución
y = C\ lnx + c2 ln x f derivando con respecto a x 
Jjr lní
, c\ c2 te dt , .
.y = — + — I ------ c2 nuevamente denvando
x x Jx ln í
r dt c2
x 2 x 2 Jjf ln í xln x
X2 ln2 x y"= -c i ln2 x - c 2 ln2 xj" ^ - - c 2x \n x
- x \ n x . y ’= - c 1\ n x - c 2 ln x f — - + c2x ln x
Jx lnr
(lnx + lXy = Cj ln2 x + q lnx + c2 ln2 x f —- + c2 ln x f
Jx lní Jx lní
Sumando las tres ultimas ecuaciones.
x 2 ln2 x.y''-x ln x ./+ (ln x +1)y = 0
200
x = J (2 1 n í- l)+ c . I 
365) I , y ( l + 2 1 n / ) - l
y = t ]nt+c2 J
Solución
fx = í(2 ln í- l)+ C j 
[.y = í 2 ln í+ c 2
dx
dt
dy_
di
= 1 + 2 ln í
— = 2 í ln í + 2í
dy_
dy _ dt _ <0 + 2 lní)
dx dx_ l + 2 ln í
dt
= í =>
d y
d 2y = dy' = dt 
dx2 dx dx
dt
y ' ( l+ 2 1 n / ) =
1
1 + 2 ln í
(1 + 2 ln í ) = 1, por lo tanto:
/ ' ( l + 2 1 n /) = l
366)
x = (í + l ) e '+ Cl 
y = t 2e '+ c 2 j
y " e y (y'+2) =1
Solución
íx = (r + l)e' + q 
l y = t 2e '+ c 2
dx
~dl
= e‘ (t + 2)
= te1 (í + 2)
dt
dy_
cjy_= j L = fg,(<+2) 
dr fk e '( í + 2)
dt
= í =>
dy
dx
= í
1
1 + 2 ln í
201
2 ^ d y d y = j t _ 1 _ 1
dx2 dx dx_ e '(t + 2) (/ + 2)e'
dt
y ’e y ( y +2) = ----- ---- e ' ( t+ 2) = 1
(í + 2)e'
por lo tanto: y " e y (y’+2) = 1
367)
sen2r* = C2 +C ,(í------— )
y = l - c 2 sen2 t
2 (1 -j 0 / ’= 1 + / 2
Solución
, sen 2 r
x = c2 + c ,(r ------— )
y = l - c 2 sen2 í
dx „— = c, (1 - eos 2 r) 
dt 1
— = -c? sen 21 
dt 2
dy
dy dt - c 2 sen2r
entonces:
dx dx_ c1(l-co s2 f)
dt
2
d y dy’ _ dt _ - 2cz eos 21
dx2 dx dx̂ q (1 - eos 2t)
dt
= 2(1 - 1 +c. sen2 Q (-:f o cos2* ) = 2g2 * n * (-2c2 eos2Q 
q (1 - eos 2r) Cj (1 - eos 2t)
por lo tanto: 2(1 - y ) y " = 1 + y '2
202
368)
x = — ln í h——r 
2 4í
r 3
y 2- 2/ y ,+3 =o
Solución
lní 3x = -----+ ——
2 4/
í 3
 3 r - 3
dt 21 2 í3 2í3
1 9 (f2 -3 ) (f2 +3)
<ft “ 4 4 í4 " 4 /4
4y
¿V dt 2 /3 (r2 — 3)(r2 +3) r2 +3
ate 4r4 ( í2 - 3)
dt
2t
dy' 2f2 - f 2 -3
2 r±JL = V = dt_ = _______
dx2 dx dx f 2 - 3
<* 2í3
í +3.
y " ¿- 2 y y + 3 = í ¿ - 2 í ( 1- ^ p ) + 3 = í 2 - í 2 - 3 + 3 = 0
por lo tanto: y ,2 - 2 / y' ’+3 = 0
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones 
correspondientes.
369) y = cl sepx + c2 cosx, y"+y = 0
Solución
y = cx sen x + c2 eos x => y'= cx eos x - c 2 sen x entonces
203
y '+y = -cx sen x - c2 eos x + cx sen x + c2 eos x por lo tanto:
y"+y = 0
y ' = -c¡ sen x - c2 eos x entonces
370) y = — (cxex+ c 2e x) , xy"+2y'-xy = 0
X
Solución
/ = — \ ( c xe x + c 2e x)+ — (c1e x - c 2e x) 
x l x
y " - —j ( c xe x + c 2e x) —~¡r(c¡e x - c 2e x) + - ( c 1e x + c 2e x)
X X X
por lo tanto: xy ' \ 2 y ' - x y = 0
371) y = c1x - t c2 ln x , x 2 (l -]nx)y"+xy'-y = 0
Solución
i i c »»y = CjX-f c 2 lnx => y = cx + — => y = — 7-
x x 2
x 2( l - l n x ) / ,+xy'-y = x 2( l - ln x ) ( - -^ - ) + xc1 + c2 - q x - c 2 lnx
x
= -Cj + c2 ln x + x q + c 2 “*CjX-~c2 lnx por lo tanto:
x 2 (1 - ln x)y' '+xy'-y = 0
204
Solución
<72) y = >/(x + c1) 2 + c 2 , yy"+y,2 = l
y = -J(JC + Cl ) 2+C2 => / =
^ /(X + Ci ) 2 + C 2
c,y ' ' = ----------- ------ —- entonces:
( (x + q ) + c 2)
yy''+y'2 = ^ [ (x + c ^ y ---------- y ------ + ■■ (x+ c^ —
((x+ ci) + c 2) (x + c i) + c 2
+ — + -----= 1 por lo tanto: yy' '+y '2 = 1
( x + Cj ) 2 + c 2 ( x + C j ) 2 + c 2
>73) x + c2 = y i + c ly , y"+6yy,3= 0
Solución
x + c2 = y 3 +c ly => l = 3 y 2y ’+c¡y' entonces
1 _ .... ~6yy' 6yy '= — ------ => y =
3 y 2 +c, (3y2 + c ,)2 (3y2 + c 2)3
y''+6yy'3 = —-— - + 6y(— ------- )3 = 0 por lo tanto:
(3y + q ) 3y + c
y"+6yy'3 =0
374) x + c 2 = lnsen (y+ C !), y " ~ y '(1 + y '2 )
Solución
205
x + c 2 = lnsen(y+c¡) => 1 = — P +Ci)y' entonces;
sen(^ + c ,) ,
y - tSCv+ c i ) => y ” = sec 2 ( y + c¡ )y entonces 
y ' '= sec2 ( j + c ,) tg(>> + c ,) 
y ' = seo2 ( y +c¡) tg(x+c¡) = tg(y+c1) + tg3(y+c¡) 
y " = y ' ( l+ y 2 ) => y " = y ( i + / 2 )
J -x sen t0 ~ d t , x sen x.y' '-x eos x.y '+ eos x.y = 0 
Solución
=> y = c 1+c2j * ^ d t + c2 sen*
Sei1^y - c2 -------+ c2 eos x entonces:x
y - x eos xy'+ eos x.y = —---------+ c2 eos x - c xx eos x
x 1
J. sen t—— d t - c 2xcosx .senx + cxxc o sx + c2xcos (**—nf dt1 Jo t
y % x eos x.y'+ eos x.y - 0
Verificar que las relaciones dadas son integrales (generales o particulares) de las 
e cuaciones indicadas.
176) (*-ci)2 +(y-c2)2 =1, y = ( i + y 2)3/2
Solución
( j e - C j ) 2 + ( y - c 2) 2 =1 => y - c 2 = tJ \ - ( x - C i ) 2 .derivando
y — , = Cl) , => y 2 ( l - ( x - c , ) 2) = ( x - c , ) 2
^ ~ ( x ~ ci ) 2
v 9 y----- = (x - Cj) => x - c l = , nuevamente derivando
i + y 2 v " 1 Ví
/ 2
* y -
+ y 2
V i+ y1 = ----------------- -!------ — entonces
1 + / 2
( i + y 2 )3/2 = y + / 2 y - y y poriotanto: y = ( i + y 2 )3/2
377) y 2 = l + ( l - x ) 2 , y 3y " = l
Solución
x — 12 yy '= 2 ( l-x ) => y = ------ , derivando nuevamente; entonces:
y
y - ( x - 2)2
> > -(x -i)y ^ ,v2 - ( x - i ) 2
.2 „ 2 „3
y 3y”= y 3 ^ = y 2 - (x- 1)2 entonces:
207
y 3y " = y 2 - ( x - í ) 2 como y 2 =l + ( l - x ) 2 entonces 
y 2 —(1—x ) 2 =1 porlotanto: y 3y"= 1
378) sen( y - c 2) = ex~c , y " = y '( l+ y '2 )
Solución
s e n Q -c 2) _c ex c o s (y -c 2)y '-ex s e n ( y -c 2) „— € => — ---------------------= 0
e* e 2x
y '~ lS ( y ~ c2 ) => y = s e c 2(jv -c2)y entonces:
y ’ = sec2 (J - c2 ) tg(y - c 2 ) = tg(7 - c2) + tg3 (y - c2 )
y = y + y 3 = y ( i + y 2 ) porio tanto: y = y ( i + y 2 )
379) CiX + C2 = ln (C jJ-l), yy ' '= y ,2+y'
Solución
cix + c2 = ln(cly - l ) => q = — entonces
q y - 1
/ = ^ - l => y = c 1y = c 12y = c1
yy' '= yy'c de donde al reemplazar se tiene: yy" = y ■2
Cx 2 2380) >- l n = x + e' d t , y{\ + ln y)y''+y'2 = 2xyex
Solución
y \ n y = x + ^ e ' dt => y i n j 9>'= l+ e ^ entonces:
208
(l+e* )
y 'ln j> + —— K y = 2 x e jr entonces: >’"lnj>+ + y = 2xex
2yxe^_ - ( l + e*2)2 2xy tS - ( l + e ^ ) 2
/ ‘( l n j ' + l ) - (l" ^ ^ . . . . - (l^ + 1,!y ( ln y + 1) 
(2xyexl ~(l + e ' 2))
.2 _ (ln_y+l)2 , ( l+ ex ) 2
^(1 + ln y)_y"+_v’ = ^ (l + l n j ) ---------------------------1-
y(ln_y+l) (lny + 1)
y C + l n y ) / ' + / 2 ■= >1 „
(ln;; + l)2 (ln_y+l)
? r2por lo tanto: y(\ + ln y)y' '+y' = 2xye
209
REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION!
Se consideran los siguientes casos:
I.
d ny
dx"
m donde f(x) es función solo x o constante.
La solución se obtiene integrando n veces.
y - (...( ( f ( x )d x + cx) + c2)„¿n)dx
II. Cuando la ecuación no contiene la función incógnita y sus derivadas hasta el¡ 
orden k - 1 inclusive.
se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución 
y (k) (x) = p(x) , después de la cual la ecuación toma la forma:
F ( x ,p ,p ' .....p (n~k)) = 0
de esta ecuación determinamos:
P — f ? ̂ 2»***’ cn~k )
siempre que esto sea posible, y hallamos después y de la ecuación 
y^k) = f ( x , cx, c2,..., cn_k ) integrando k veces.
III. La ecuación no contiene la variable independiente.
F ( y ,y ’,y ' ' , . . . ,y m ) = 0
210
La sustitución y' - p permite reducir el orden de la ecuación en una unidad. 
En este caso se considera p como una nueva incógnita de y. p = p(y) 
expresamos todas las derivadas.
■ y ' . y w 00
mediante las derivadas con respecto a y de la nueva función incógnita F.
, dy
y = ^ = p
M_ dp _ dp dy dp
^ dx dy dx ^ dy
dx dy dy dy dx dy dy
poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de y'.y,,,...,y ('l) , resulta 
una ecuación diferencial de orden n - 1.
IV. La ecuación F(x, y , y '',..., y (w)) = 0 , es homogénea respecto a los argumentos 
;(/l) ósea.
..
y ,y ' , y " , . . . , y (n) ósea.
se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendo la sustitución:
f zdx
y - e
donde z es una nueva función incógnita de x.
z = z(x)
V. La ecuación es tal, que al escribirla mediante diferenciales.
F(x, y, dx, dy, d 2 y,..., d n y) = 0
211
resulta que F es homogénea respecto de sus argumentos 
x ,y ,d x ,d y ,d 2y,.. . ,dny , donde se supone que x, dx son de primer grado e
y ,d y ,d 2y,...f de grado m.
dy d 2 y
En estas condiciones, — será de grado en m - 1, — — de grado m - 2 , etc. 
dx dx1
Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e l , y - uemt, 
como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre u y t que no contiene 
a t explícitamente, la cual permite reducir su orden en una unidad.
Integrar las ecuaciones.
381) y " = xex , y (0) = y '(0) = / '(O ) = 0
Solución
y " = xex => y"= ^ x e xdx + cx
y %= ex (x — l) + Ci9 y ' ' (0) = 0 entonces: 0 = - l + cx => c¡ = 1
y = e x( x - 1) + 1 => y ' = f ( e x (x - l )+ l)d x + c 
y '= x e x + x + c , y '(0) = 0 entonces: 0 = 0 + c => c = 0
y '= x e x +x => y = J (xex + x)dx + c , de donde
x 2y = xex - e x + — + c , y(0) = 0 => 0 = 0 - l + 0 + c => c = 1
y = (x - l)e* + —
212
382)
Solución
r x 2 X3
y"= J (— + cl )dx + c2 = — + c1x + c 2 entonces:
y ,v =x => y '”=^xdx+cx = ^Y + c l
. f , * 3 v . , x Cj 2y =] (— ■+clx + c 2)dx + c 3 => y = j 4- + — X + c2x + c 3
4 ^
y = J"(~~ + x 2 +c2x + c3)dx + c4 por lo tanto:
x C,x c2x
y = ------ + —— h--------+c-,x + c4
120 0 2
383) / " = x l n x , y(l) = / ( l ) = y"(l) = 0
Solución
y " '= x ] n x => y ”= J x l n xdx+c entonces:
y " = ^ — ln x - —— f-c, y"(l) = 0 entonces 0 = 0 - —+ c => c = - 
2 4 4 4
x 2 x 2 1 r x 2 x 2 1y "= — ln x - — + - => y '= \ { — \ n x - — + - ) d x + c
2 4 4 J 2 4 4
x 3 x 3 x 3 X 1y '= — ln x -------------+ — + c entonces: y' (1) = 0 => c = —
^ 6 18 12 4 6
213
f .x3 , 5x3 x 1
^ J (T ln ,t“ l 6 - + 7 + 6 |, i ,+ c
X 5x X X
y = — ln x --h— + —+ c , y(l) = O
96 144 8 6
A n 5 1 1 370 = 0- + —i— ye => c = ---
144 8 6 144
x 4 5x3 x x 37
por lo tanto: v = — ln x ------ -i----1- — + -----
96 36 4 6 144
384) / " = x + cosx
Solución
y '"= x + co sx => y ” = J (x + eos x)dx + cl entonces:
X f x
y " = — ■+• senx + => y'= (— + senx + cl )dx + c2
2 J 2
x 3 r x 3
y =- eos x + Cj x + c2 de donde y = (-------------- eosx + c1x + c2)¿£t + c3
6 J 6
r 4 r r 2. X Ci Xpor lo tanto: = — -s e n x + —— + c2x + c3
385) / " = — 1 y ( l ) = / ( l ) = y ( l ) = 0
(x + 2)
Solución
(x + 2) J (x + 2) (x + 2)
214
/ ' = ------- - r-+ ----- — r + c , / ’(1) = 0
3(x+2) 4(x+2)
a 1 2 10 = — - + — - + c => c = -----
3 4.3 162
„ 1 1 1y = ------------ -+ ----------- -+ ----- , integrando
3(x+2) 2(x + 2) 162
■ ír 1 1 1 wV - (------------ r + -----------r + ----- )í£c + c
J 3(x+2)2(x + 2) 162
y'=------1— ------ J — + J L + C / ( 1 ) = 0
6(x + 2) 6(x + 2) 162
n 1 1 1 30 =- -— — - + — —+ c => c —---------
6.3 6.3 2.3 162
1 1 x 3v = ---------- ---------------— + ------1------, integrando
6(x+2) 6(x + 2) 162 162
f . 1 1 x 3y = (---------- ---------------- + ---- + -----)dx
J 6(x+2) 6(x + 2) 162 162'
1 1 x 3x ... .y = ------------- + ------------ - + - —- + ---- t + c , y(l) = 0
12(x + 2) 12(x + 2) 4.3 2.34
1 1 1 3 * 10 = ---------1-------— -i------— H------- + c entonces: c = -----
12.3 12.3 3.3 2.3 243
, 1 1 x 3x 1por lo tanto: y = ------------ ----------------+
12(x + 2)2 12(x + 2) 4.34 2.34 243
215
386) / ,2- 5 /+ 6 = 0
Solución
y = p => v"= ~ de donde (— )2 -5/? + 6 = 0 entonces 
dx dx
= ^ + => - ~ = = dx => - ^ 5 p + 6 = x + cx
dx 4$p + 6 5 w
4(5p + 6) = 25(x + q ) 2 entonces: 20 — + 24 = 25(x + cx)2
dx
20dy = [25(x + c¡) 2 - 24]¿£t, integrando tenemos:
25 2
20y = - j - ( x + c1) -2 4 x + c2 , por lo tanto
5 , x5 6x c2
y = — (* + Ci)3 ---+ —
12 U 5 20
387) ( l+ x 2) / ’+ / 2+l = 0
Solución
i dy dp
y '= —~ = p => y"= — , reemplazando en la ecuación diferencial 
dx dx
(1 + x ) — + p 2 +1 = 0 , separando la variable se tiene: 
dx
f c +7T Z T = 0 integrand0 \ ^ + ¡ 7 ^ J = c'p +1 l + x ¿ J p ¿ +1 J I + X
de donde: arctg p + arctg x = arctg c
arctg p = arctg c - arctg x
216
c — x c — Xp ------ :=> dy = -------d x , integrando miembro a miembro:
1 + cx l + cx
.. x In 11 + ex | 
y = ln(l + c r )— + -------=----- + k
c c l
388) / ' 2- 2 y ”y'+3 = 0
Solución
dy d y dp , , j— = p => — í- = — = t de donde
<fr dx1 dx
- 2 d- ? - . p+ 3 = 0 
dx dx
^ , 2P ± V V - 1 _2! r r ^
dx 2
dp = dx integrando y reemplazando se tiene:
1, , . 3x = — ln | r | h— - + q
2 4r
/ 3
---1---- :
4 4í
y = T + —y + c2
389) x y " = / ln —
X
Solución
Sea z = ln — =>
dz xy"-y ' y" 1 
dx xy' y' x
V y” 1 y' xy"= y ’ln — => — = — ln — , reemplazando se tiene: 
x y ' x x
217
=> — (üi— - i ) 
y ' x x x y x x x
dz 1
entonces: — = — (z -1 ) , separando la variable
dx x
dz dx
----- = — => ln(z — 1) = In xc entonces:
z — 1 X
yz — 1 = xc => z = l + x c => ln(-—) = 1 + xc se tiene
e cjr+1 eac+\ exc+1
y'= x -------dx => y — x --------------
c C e
... y = e ^ - \ ) + k
C c
390) y " 2+y'2 = y 4
Solución
dy d 2 y dp
— = p => — r- = p — , reemplazando en la ecuación diferencial:
dx dx2 dy
=► & 2 - p 2 - 1dy dy
dp r~^ 7 dp
— = v P =>' —f = = dy> integrando
dy
1 1árceos— = x + c => — =cos(;c + c)
P P
dy
p = sec(x+c) => — = sec(x+c), integrando
dx
2J8
_y = Jsecíx + cVit + c, => y + c2 = ln |tg (^ + c ,) |
391) y ” 2 + y " ' 2 = 1
Solución
dp
y " = p => y ' " = - J - entonces: 
dx
y " ' = J l - y 2 = > — = J l - p 2 , separando la variable
dx
^ =dx, integrando:
= [ ¿ r + c1 => aresen/; = jc + q => /? = sen(x + q )
— j- = sen(jc + cj) => / = -cos(* + q ) + C2 entonces 
dx
y = c2 x - sen(jc + Cj) + c3
392) / ’(l + 2 1 n / ) » l
Solución
dy d 2y dp— = p => — = — , de donde 
dx F dx2 dx
— (l + 21n/?) = l => (l + 21n/?)d/? = dx 
dx
J( \ + 2\np)dp = J d x + c => 2 p \ n p - p - c + x
x+ c = p(2 ln j? - l) 
^ + c = /?ln/?
219
393) x = v" 2+1'
Solución
y ' ,2= x - l => y ”= 4 x - ^ => / = - ( x - l ) 3/2+C!
5/2entonces: y = — (x~ l) + cxx + c2
394) 4y'+y"2 = 4y"= 4xy”
Solución
#
Sea — = p => , reemplazando en la ecuación diferencial:
* dx2 dx
Ap + (— ) 2 = 4jc— de donde 
* dx
— = 2 x ± 2 J x 2 - p 2 es homogénea de donde al resolver esta ecuación se 
dx
obtiene: y = c1jc(x-c*1) + c2 => ^ = ~3~ + c
395) y 2- / y = ( 2 L ) 2
Solución
— = p => — ^ = — de donde / ' ' = , reemplazando
dx F dx2 dx ' dx2
X . . - , p =
dx d x 1 x
220
dp du d 2p ~ i ,d 2u du
— = — + u => — , = e (— -- + -—)» reemplazando en la ecuación
dx d i dx2 dz2 dz
.du 2 x - t , d 2u du. i e 2z . . .(— + u) - ue £ (— - + — ) = u —-—, simplificando
dz dz2 dz e
d d d 2(— ) 2 + --------- — = 0 de donde haciendo la sustitución
ydz dz dz2
du d 2u dw 2 dw _— = w => — - = -— => w + w ------= 0 entonces
dz dz dz dz
= dz resolviendo y reemplazando se tiene:2w + w
y = c2(xe“* - - e c'*)+c3 
C\
396) y"(y'+2)ey' =1
Solución
^ = p => => — (/? + 2 ) ^ = 1 entonces:
dx dw2 dx dx ^
(p + 2)epdp = dx integrando J (p + 2)epdp = j dx + c
ep ( p - l) + 2ep =jc + c entonces:
x + c = ep (p +1)1 dy
y + cx = p e
397) y = ^ + 4 , y(2) = 0, y (2) = 4
JC >>
V* I P dx
Solución
221
y ' - p => y"= — de donde ^ — entonces:
dx dx x p
d p 1 2 2 * d p 2 2 lp —— — — p = x l => 2/7 — — P 2x
dx x dx x
sea z = /?2 => = 2/7 ̂ , reemplazando en la ecuación
— - — z = 2jc 2 es una ecuación lineal cuya solución es: 
dx x
r 2<¿¡r
z = e J~ [ j V ~ 2jc2</x + c ] = e 21njr[ j V 2ll,j;2jc2<£t + c]
z = jc2(2x+c) = 2jc3 +cx2 => p 2 =2jc3 +cx2 => p = x-Jlx+ c
~ = ^¡2x* +cjc2 , y'(2) = 4 => 4 = -Jl6+4c => c = 0 
dx
=> y = — x s /2+ k , y(2) = 0 => £ = - — 
dx 3 5
2x2 /-— 16
por lo tanto: y = ------V 2x------
^ 5 5
398) y " = ^ l + y '2
Solución
dy - - — d 2y _dp _
dx dx~ dx dx
í l = r = í= dx I = dx + c entonces:
222
_*-(*+*> dy
p ------------------- como p = — , entonces se tiene
2 dx
ln | p + p 2 + 1 |= x + c => p + ̂ p 2 +1 = e*+r despejando se tiene:
dy e x+c-e~(x+c) f r e x+c-e ~ (*+c)
& ” 2
integrando J dy + c = J -----------------dx entonces:
y + q =senh(x + c).
399) y " = y 'L n y ' , y \ x=0= 0 , y ' \ x=0=l
Solución
, , dz y " ,dzln y '= z => — = — => y — = y
dx y dx
« i n . . dz , dz ,y = y in y =s> y — = y z => — = dx entonces 
dx z
ln z = x + c => z = e x*c => ln(lny’) = e*+c de donde
x+c
ln y ’= e => y ’= 1 para x = 0, c = 0 e integrando se tiene: y = x.
400) 2 / 11 ln y = y , y | ̂ = -6e 2, y' \ ^ = e“2
Solución
dy d 2y dp dp
— = p => — r = /7— 21n p.p — = p entonces:
dx dx2 dy dy
2 ln p.dp = dy => 2 J ln pdp = J dy + c => 2p in p - 2p = y + c
2 — ln — - 2 — = y + c entonces: 2e~2 ln<?~2 - 2 e -2 = -6e~2 + c => c = 0 
dx dx dx
223
»
y = 2p In p - 2p diferenciando dy = 2dp + 2 ln p.dp - 2 dp
pdx = 2 In p dp => dx = — -— dp integrando
P
2 -2 jc = ln p + c > x = 1 , y' = e entonces 1 = 4 + c => c = -3
ln 2 /? = x + 3 => p = e ^ c => ^ = integrando
dx
■ = -2(V x+3 + l)e
401) y"+y ^ y T- ¡ = 0 , = 0 , i
Solución
y = p => y = — , reemplazando en la ecuación dada 
dx
— + P^j~P2 - 1 = 0 . = -dx integrando:
dx ' J 7 -.2
J — ---- = - j* ¿fcr + c => arcsen/? = c - x => p = sec(c — x)
= s e c (c -x ) , x = ti, y = Fl => c = 2tidy_ 
dx
dj> = sec(2/r-x)dx , integrando se tiene
y = c - ln | tg(- ~ -— ) + ~ | => y = 0 para x = ti => c = 0
f , ,271-x^ K ,
por lo tanto: j = - ln | tg(— -— ) + — |
224
402) 2 / / ’= l + / 2 , ^ L=0 = l n 2 - l , / | , =0= -1
Solución
— = p => ^ ^ = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
dx dx dx
dp , 2 2pdp f 2/?d/?
' ~~ = 1 + /? => = dx =>
dx 1 + /? J L-h/7
ln(l + /?2) = x + c , y' — P — “ 1 > x = 0 , ln2 = c
l n ^ - — =jc => l + /?2 = e 2* => p = ^ e 2x -1 => — = ^ e 2x -1 
2 dx
dy = ^ e 2x - Id x integrando se tiene: j; = x - ^ 2 e x -1 + ln 2
403) jcy,,,+ y ,- * - l = 0
Solución
y"= p => y '"= — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 
dx
x — + p - x - 1 = 0 => — + —/; = ecuación lineal cuya solución es:
dx dx x x
p - e x
d 2 y x 1 Ci dy x 2 1, .— — = — h 1H------+ — entonces: — = — + x + — lnx + Ci lnx + c2
dx2 2 2x x dx 4 2
3 2
X X X X_y = — + — + — ln x — + q x ln x - c] x + c2 x , por lo tanto : 
J.2 2 2 2
1 1 2 y = — (x + 6x ) + clx ln x + x(c2 - c 1) + c3
225
404) y'y" '-3y”2 =0
Solución
dy d 2y dp— = p => — — = p — de donde
dx y dx2 dy
d ^ y dp 2 ¿ 2P ,,dp. 2 , d 2p „ „ i ,d p 2 n— f = M I) : + p — f = /> (M ) + />(— f )) - 3/»2 M ) = 0
dx ¿V dy2 4v dy2 ¿V
resolviendo se tiene: x = cxy 2 + c2y + c3
7 * X4405) xy'2 / ’= / 3 + í _
Solucién
/ = /> => y * = ^ de donde x/ j2 ^ = />3 + —
dx dx 3
de donde — p = — p2 multiplicando por p 2
dx x 3
2 dp 3 3 3 3 dz - 2 dp3 p- p = x sea z - p => — - 3 p —
dx x dx dx
dz 3 3 - 3 Í - - f J— 3
—------ z = x entonces z = e x [ \ e x x dx + c]
dx x J
z = e 3]nx[ je~ 3lnxx 3dx + c] => z = x 3(x + c) => p 3 = x A+cx3
dy = x ljx + c integrando y = — lj(x + c)4 - — (x + c)7/3 + q
4 4
226
406) x V M+ 2 x V '= l
Solución
/ • = / ? => y ' " = ^ - de donde x 4 ^ - + 2x3/> = 1 
dx dx
¿P 2 1 - Í V r f í “ ,-£L+ —p = — => ;,=*> *[]<? * — + 0]
dx x x J x A
p = e~2Xnx[ \ ^ r + c] => p = -Xr[—- + c] entonces:
J Y 2 X
rf2y 1 c ' , </y 1 c— = — r + — integrando — = — -------+ c, integrando
<£c x 3 xz dx 2x *
se tiene: y = - — - c ln x + cix
2x 1
407) V l - x V ’+ V T - /2 =0
Solución
y '—p => / ' = — => V i - * 2 - ^ + J l + />2 =0 
¿foc dx
dp dx „ .- — r + ...... = 0 integrando
V T V
arcsen p + arcsen x = arcsen k, despejando se tiene:
p = k cos(arcsen x) - cos(arcsen k)x entonces:
dy =■ [k cos(arcsen x) — cos(arcsen k)x]dx, integrando se tiene:
1 £ 2 2 kx r 2 ky - — VI- x x + — V I- x + — arcsenx
2 2 2
227
408) (jc - \)y ' ' '+ 2/' = ~ Y
Solución
j
y"= p => y " ' = — , reemplazando en la ecuación diferencial 
dx
/ 1 ̂ dP * + 1 dp 2 l ,( x - l ) - —+ 2/? = — — => — +- p = — r-, ecuación lineal
dx 2x2 dx x -1 2x
12dx 12dx -%
~Í~¡T7r f J^T dx l rC( X~ l) , -> = e x l [ | e x 1 — P ----------t U ----- v ” dx + c]
J 2x 2 (x - l )2 J 2jc
d 2y 1 x 1
— — = ------- — [— h* x- + c] integrando dos veces se tiene:
dx2 ( x - l ) 2 2 2x
x
y = —lnx + c ln | jc-1 \+c3x + c2
409) y " y 3 =l
Solución
y”y 3 = 1 '=> y = - y => y ' % = ~ 3
y 3 ¿fe y 3
_y'— = —— entonces
y 2 1 , I 1
— = - —-j-.+ Cj => y = J c2 ---- 2 lntegrand0
2 2y2 y y 2
setiene: c2y 2 -1 = (c2x + c 3) 2
410) yy”- y ’2- 1 = 0
228
Solución
y'= p => y ”= p — de donde y p - - p 2 - 1 = 0
ay <fy
entonces: — = 0 => -^ln(l + ^ 2) - ln y = lnAr
1 + p " J
>2 . 
y
l n | l + p 2 l - l n y 2 = l n i 2 => - ** - k 2 => p 2 = k 2y 2
p = 4 k 2y 2 -1 => ^~-=^jk2y 2 -1 => ^ -----= rfr
<£t
</y
V
l n | ^ + 7 * V 2̂ -l N fcc+q yk + ^jk2y ^ ~ l = e**+C|
411) 3 / / ’= 2 y , y(0) = y (0 ) = l
Solución
y ' - p => y " = p — de donde 3p.p — = 2y 
dy dy
entonces 3p 2dp = 2ydy => p 3 = y 2 +cx entonces: 
P =^¡yT +ci => ‘d x = ^ y2 + C i’ x = 0 , - y - 1
1 = J/l+Cj => C[ =0 =>• — = ífy 2 ̂ entonces:d y _
d x
y~í l i dy = dx integrando: 3y1/3 = x + c => 7y = (x + c )3 ,
-1 |= ;r+ c
x = 0, y = 1 
229
i
de donde: c = 3 => y = ( ^ +1)2
412) y " - a e y
Solución
y' — p => y " = y '— de donde y ' ^ - = aey
dy dy
entonces y' dy'= aeyu integrando —— = aey +cx => y'='Jaey + c
dy , . , . l , i \ a e y+ c 2 - c= dx integrando se tiene: x + k - — l n | ------------------- --- — (U lULbglOlIUU »V UWUV. A 1 ft.------- 1U | i ...—-----------
y a e y +c c y a e y + c 2 +c
413) 4 / '= 1
Solución
y " = y ' ~ => 4 y ^ = —L => 16y'dy’=dy
dy dy 4^ y
8 y '2 = y + c => y'
y + c dy _ dx
8 -Jy + c 2^/2
entonces: i J y + c = —4 = + k entonces: 4-JxJy + c =x+2kyfx
i 4 x
414) 3 y " = y ~ sn
Solución
230
dv' dv'
y " = y '~ — de donde 3 y '~ - = y~sn entonces: 
dy dy
3y'dy' = y 5lidy entonces — — = - — y~2/}+c
2 2
y — k — y => y' — -Jk — y 2/3 integrando se tiene:
c2 ) = i(2 c 2>’2/3 +1)-Jc2>,2/3 —1
*•15) 1 + y '2 =2yy”
Solución
y'= P => y " ~ P ~ de donde l + p 2 = 2 y » -~ 
dy ^ dy
dp _ 1 p , dp 1 1 
¿y 2 ^ 27 ent° nCeS: — , ecuación de Bernoulli
-) 1 2 1 2 ífe ¿fo2 /> --------p l = - sea z — p => _ = 2o -£ -
^ y y ' ¿ y
¿z 1 1
3 -------z ~ — , ecuación lineal cuya solución es:dy y y
z = e l d y + c ] = e lDy[ j e - lay± + c] => ' 1
z = - l + c y entonces /?2 = - l + cy => p = - \
dy i— — dy 2 i-------
~ = J c y - \ => ^ z ¡ = dx =* - j y ^ ^ x + k
por lo tanto: 4c1( ^ - c 1) = (x + /t)2
231
416) y V = - 1. y (l)= 1, / (1 ) = 0
Solución
y ”= y ' ~ => y 3y ' ^ r = - 1 => ?<% '=--%dy dy y
i 1integrando: / = — + c , y = 1, y '-Q
íl
o = i + c => c = -i => y 2 = ~ - i => / = — -
y 2 y
,2
= dx => - - J l - y 2 = x + c para x = 1, y = 1ydy
entonces: 0 = 1 + c => c = -1 => —<Jl-y2 — x —\
1 - y 2 = x 2 - 2 x + l porlotanto: y = 4 l x - x 2
417) y ’" = 3 y y ' \ y(0) = y '(0) = l , *"(<>)-1
Solución
y " = p =!> y ' " = p — dedonde P ~ j - = 3yp 
dy dy
entonces dp = 3ydy integrando p = ^ y 2 +c
para y = 1 , y ”= \ => —- y = -^^2 entonces
2 dx 2
y ^ - = ^ y 2 => 2y'dy'=3y2d integrando:
232
y 2 = / + c , y '= 1, y = 1 => 1 = 1 + c => c = 0
y '= y i n => y 3l2dy = dx => - 2 y ~ 112 = x + c
2
— p - = x + c para x = 0, y = 1 => -2 = 0 + c =í
J y
—%? = x - 2 => - J y = ------ porlotanto: y
f y V * - 2
418) y y " - y ’1 = y 2y'
Solución
dp 2 2y'= p => y "= p — dedonde y p - - p = y p
dy dy
— p - y ecuación lineal cuya solución es:
dy y
_f_4v f fZ .
p - e y [Je ^ + c] => = e ln>?[j dv+ c]
~ - = y(y + c) => — —— = dx integrando
dx y ( y + c )
y
se tiene: cx+k = In | —̂ —!
419) yy ' '= y '2
y + c
Solución
dp dp 2
y ’ = p => p — = y " dedonde y p — = p 
dy dy
entonces:
c = -2 
4
“ ( x - 2 ) 2
y — = p => — = ^ => lnp = Incy => p = cy 
/> >>
— = cy => “ = cdx => In y = ex + k => y = Aec 
dx y
420) y = « 2' , y (0 )'= 0 , / ( 0 ) = 1
Solución
y"= y’— => v’— = e2y de donde:
' ' ¿y ¿y
y 'd y '= e2ydy => y 2 = e 2>,+c para y = l , y s 0 
1 = 1 + c => c = 0 => y = e y => e~yd y - d x
- e -y = jc+c, x = 0, y =0 => 1 = 0 + c => c = -1 => - e y = x - \
y 1 . . 1 . . . 1e y =
1 -x
^ = l n |—— 1= ln | — - 1 entonces: y = - ln¡x — 11
1 — x x - 1
421) 2yy"-3y’2 = 4 y 2
Solución
y ' - p => y = p — dedonde 2 y p - - 3 p 2 - 4 y 2 
dy dy
dp 3 2y dp 3 2 A— => 2 p - f - ------- p = 4 y
dy 2 y p dy y
2 dz _ dp dz 3 ' r isea z - p => — = 2/7— = > -------- z = 4 y , ecuación lineal
¿V dy dy y
234
422)
423)
z = e ̂ [J e v 4^¿/v + c ] , integrando tenemos
p 2 = .v2[ - —+<■] » p = -¡ ty l - 4 y => -T * É = = dx
y ^ T y
integrando se tiene: >’ eos2 (x + c) = k
y = i+ y 2
Solución
dp dp 2
y ,= p => y 1 = — de donde — = ! + /?“ , separando la variable 
dx dx
dp ,entonces ----- — = dx integrando:
i + p 1
dyarctg p = x + c => p = tg(x + c) => — = tg(x + c)
dx
de donde y + k - ln |cos(x + c)| = 0
xy '(yy" -y '2 ) - y y ' 2 = x * y 3
Solución
dy .du . ,(— + u)e
t < ^ dy dt dt dux = e , y = ue => — = ~ ^ --------- = — + u
dx dx e' dt
dt
d j y
d x2
d dy 
— (— )
d t_ d t _
dx
Ut
d 2u du
dt 2 + 'í/r
= e ' (
d í2
du.
+ * >
235
424)
después de reemplazar en la ecuación dada se tiene en la forma:
d u du ,d u .2 du— —+ — = (— ) => —
dt dt dt dt
d 2u _ dp 
d t2 P du
, , du 2 dp
de donde p — + p - p = p - \ entonces:
dp du
dp
p - 1 
p = l+ e u+c
-d u => ln ¡ p - l | = u + c => p - l = e u+c entonces:
du
dt
= 1+eu+c resolviendo y reemplazando se tiene:
(x2+c)}n
y = ke
x 4y " = ( y - x y ' ) 3 ; y(l) = y' (1) = 1
Solución
x 4y " = ( y ~ x y ' f => x 4y ” = - (x y '-y ) i entonces
x 4y" (xy'-y)3
(x2)3
y = (xy ~ yo
2 ' 2 * X X
= -(^ -)3 => (~ ) '= p(x) => ^ = ^p(x )dx
y = x j p d x derivando y ’= J pdx + xp => / ' = p + p + xp' 
y " - 2p + xp' por lo tanto:
, y v 3 _ 2p + xp' 3 _ p ' , 2 p _ 3
— - - ( — ) = > ------------ -----------= - p = > — + — - = - p
x 2 X x2 X x 2
236
/>'+ — - - x p 3 => - 2 p 'dp’+ - p 2 =2x
X X
2 dz - _ i , dz 4sea z = p => — = —2p p => — — z = 2x
dx dx x
e 4dx c Adx
ecuación lineal z - e x [Je r 2xdx + e\ entonces
z = x A\ ¡ —~dx + c] => p~2 = x a( - A t + c) => p~2 =cxA ~ x
J V
x^cx -1 x^cx -1 x
x^cx2 -1 ^ c x 2 - ¡
1 X= 0 ==> c = oo luego para x - 1, c —>oo ==> — =====. -> o
dy dx ,
xy - y = O => — = — => lny = lnx + c, p a rax = l, y = i
y x
In I ~ ln 1 + c : r> c ~ 0 => Iny = lnx y = x 
425) y"+y’2+2y' = 0 , ^ = ln 2 , y j ^ - l
Solución
dp
y'= p -> y = /? — de donde se tiene
dy
p - — + p 2 +2p = 0 => - - ± p + 2 = 0 => ^ +dy = 0
dy dyp + 2
237
— = k e y - 2 , para v ' = - 1, y = ln2 => - 1 = —- 2
entonces: k = 2 => — = 2(e - 1) = 2(-—— )
------- dy = - 2<¿x integrando ln | e y - 11= —2x + c
ey -1
e y -1 = Ae~2x, x = 0, y = ln 2 => 2 - l = A => A = 1
= l+ e _2jr => 7 = ln 11 + e~2jr |
426) y = y a + y * )
Solución
dp dp ?
y = p => y " = p — de donde p — = /?(1 + P ) 
dy dy
—'— = ¿V => arctg p = y + c => p = tg(y + c)
1 + /7
dy
— = tg(^y * => ctg(y + c)dy = dx por lo tanto: 
dx
ln |sec(y +<)(/- x + k
427) 3 / ’= ( l + y 2 )3/2
entonces: ln|p + 2| + y = c => ln|p + 2| = c - y => p + 2 = ke y
Solución
238
y - p => y '= p — de donde 3p~— = (l + /?2)3/2 
rfy dy
entonces: ---- — dp = dy => - = J L = r= y + c
(i+ />2) 3' 2 J i V
— ̂ y = (>' + c)2 => P 2 + 1= ̂ 9 =» ^ = J —
i + p (y+ c) y ( y + c ) 2
_
-------- — -1 integrando se tiene: (jc + k) + (3/ 4- c) = 9
O'+e)
428) y '( l + 2 1 n y ) = l , y\x=0 = 0, y \ ^ = l
Solución
y’= p =» y " = p — de donde p — (l + 21n/?) = l
dy dy
p(l + 21np)dp~dx => J p(\ + 2 ln p)dp = j dv + c
y '2 ln y '= y + c , y = 1, y = 0 => 0 = 0 + c => c = 0 
y '2 ln y '= y => y - p 2 diferenciando
dy = (2p ln p + p)dp => p dx = (2p ln p + p)dp entonces: 
dx = (2 lnp + l)dp integrando x + k = 2p ln p - p, x = 0, y'= 1
0 + k = 0 - l => k = -l => x = 2p In p - p + 1
429) y"(y'+2)ey' = 1 , y |x=0 y' |x=0 = -1
Solución
239
y ' - p => y"= p — de donde p — (p + 2)ep =l 
dy ay
( p 2 + 2p)epdp = dy => J c p 2 +2p)epdp = jd y + c => p 2e‘
p ep ‘2 - J y - c , y ' - - l , x = 0, y = e_1 entonces:
- e 12 = y e 1 +c => e ¡ = e 1 + c = > c = 0 entonces
\x = (p+ \)e‘’ 
\ y = p 2ep
Solución
y ( y y " ' - y ' y " ) - 2 y ' ( y y " - y '2 ) + ^ ( y y " - y '2 ) = 4
2 x V (^ " - y 2 ) |
y y 2 y y 2 y 2
x 2 (— )’-2 jc2 (—)(—),h-a:(^-),= 1,
x 2(/?'+p 2)'-2jc2pp'+xp' = 1 => x 2(p ' '+ 2pp ') -2x2pp'+xp' =1 
x 2 p"+xp' = l sea x = e ' es una ecuación de Euler
= . á í f „ , 
dr2 ¿í dt d t2
~ y + c
240
entonces: p ' - t - v c => p = — + cf+£
2
y t , — = — + cr + k
y
y
+ c ln x + & integrando:
J — = J ^ + c \nx+k)dx+cx, ln 2 x y = c2e*(-j~ln2 x + c ln x + A)
431) Hallar el tiempo que necesita un cuerpo para caer a la tierra desde la altura de
400,000 km. (aproximadamente esta es la distancia desde la luna hasta el 
centro de la tierra), si la altura se mide desde el centro de la tierra y el radio de 
la misma es de 6,400 km. aproximadamente.
Solución
r = 400,000 km.
R = 6,400 km.
t~
Condicion del problema:
F = ma de donde:
GMm M
------ — - ma => a = — -
r r
entonces:
d 2r 
dt2
CM
„2
d 2r .dr'
resolviendo el problema aplicado: - = r'~^~ se tiene que: t= 122 horas.
■I <2) Hallar la ley del movimiento de un punto material de masa m que se mueve por 
una recta OA debido a la acción de una fuerza repulsiva que es inversamente 
proporcional al cubo de la distancia del punto x=0 cm hasta el centro inmóvil 0.
241
Solución
Ni­
n i 
—#- 
HN
Condición del problema:
F = —— = m
d 2 x
d i1
resolviendo la ecuación se tiene:
2 « / , 2 j j d x kx = — (í + c2) +c{ donde m — — = —
Cj d i1 X
Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad v. Durante la 
caida, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de 
la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo.
Solución
Condicion del problema:
d 2xm — y- = mg - k(—~) 
d i2 di
al resolver esta ecuación se tiene:
m ea t+ é 'ca -fig
x = — ln(— — -----), a = -----
k 2 m
t í
x
4_
-|v„
mg
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas de modo que el área 
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, ordenada 
del mismo punto y el eje OX , sea proporcional al área del trapecio mixtiiineo 
formado por la curva, el eje OX , y la ordenada de este punto.
Solución
S
2
Condición del problema: k = (— .v) — = ¥—
V 2 2 /
; = k¡oydx derivando ÿ 2- y 2"= 2 ky ÿ2 entonces
2y'
2 ÿ 2- y y ”=2ky'2 sea p = ÿ => y"= p — reemplazando
dy
2P 2 ~ y p ^ - = 2kp2 => - y p ^ ~ = (2 k -2 ) — 
ay dy y
- \n pcx= \ny2k~2 => ~̂ — = y 2k 2 entonces:
PC i
d x - c xy 2k~2dy => xc = y 2k~l
435) Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constante.
Solución
Sea p el radio de curvatura ( p = ~ ) donde
k
243
, / " ( * ) , ( ! + / ' (x)2)3/2
( i + / ' w 2)3/2 r w
tondición del problenlá p = a, a constante
VM'V, -
(1+ / ',(, / V — = á =* ( l + / ’W 2)3/2= / " W a 
/ " ( * )
sea f ' ( x ) - ^ - = p => /"(*) = -^
( l +/?2) 3/2 = a — => dx = — ^ ~ r p r entonces: 
<fe (l + /> )
t ~----- — — ^ j ........— ■■■■-
+ — (x + Cj)2
¿y = . ( x + C l ) d x => y + c2 = a/ o 2 - ( x + Cj ) 2
-Ja2 - ( x - c ¡ ) 2
por lo tanto: ( x + c , ) 2 + ( y + c 2) 2 = .R , /í = a 2 constante.
244
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PEÍ 
ORDEN “n”l
r : r v 'M*:5 * / f r t H p , ; y - 7 .A S r ,
¡DETERMINANTE DE WRONSKY (WRONSKIANO)I
Consideremos un sistema finito de n funciones
JiC*), y2(*), (*)
definidas en el intervalo (a,b), diremos que son linealmente dependientes en el intervalo 
(a,b), si existen constantes oc ,̂cx2,•••,#„ que no son todos iguales a cero tales que para 
lodos los valores de x de este intervalo se cumple la identidad.
a 1 ?! (*) + g2 y2 (*) + - + a n y n (*) = 0
‘.i en esta igualdad se tiene que: a l = a 2 =... = a n = 0
diremos que las funciones:
y i t o , y 2M ^ y n(x) 
son lineaímente independiente en el intervalo (a,b).
Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de 
definición.
436) 4,x >
Solución
4 a + Px = 0 derivando se tiene: P = 0 => a = 0 
como a = P = 0 => 4,x son lineal mente independiente.
437) 1, 8, x, x 2
Solución
a x + 2 a 2 + a 3x + a 4x 2 = 0 derivando a 3 + 2 a 4x = 0 derivando 
a A =0 => a 5 =0 => a l = -2 a 1 son linealmente independíente.
Solución
ax + 2/ix + yx2 = 0 derivando a + 2p + 2yx = 0 derivando 
y = 0 => a = -2P por lo tanto no es linealmente independiente.
439) ex , xex , x 2ex
Solución
aex +xex +yx2ex = 0 => a + /2r + )ct2 = 0 derivando
P + 2yx = 0 => y = 0 = > P = 0 => a = 0 por lo tanto: 
a = p = y = o entonces las funciones son linealmente independiente.
440) senx, cosx, cos2x
Solución
a x senx+ a 2 eosx + a 3 eos2x = 0 derivando
a x c o s x - a 2 s e n x - 2 a 3 sen2x = 0 => a x - a 2 t g x - 4 a 3 senx = 0
derivando - a 2 sec 2 x - 4a 3 eos x = 0 de donde
- a 2 - 4 a 3 eos3 x = 0 derivando 12a3 eos2 xsenx = 0
entonces: a 3 = 0 => a 2 = 0 => a! = 0 => CL\ = a 2 = a 3 = 0
por lo tanto las funciones son linealmente independiente.
246
441) l,senx, cos2x
Solución
a x + a 2 s e n x + a 3 cos2x = 0 derivando a 2 c o s x -2 a 3 sen2x = 0 
a a 2 - 4 a 3 senx = 0 derivando -4 a 3 cosx = 0 => a 3 = 0 
a 2 = 0 => a j = 0 => a x = a 2 = a 3 =0 
por lo tanto las funciones son linealmente independiente.
«
442) 5, cos2 x , sen2 x * '
Solución
5«! + a 2 eos2 x + a 3 sen2 x = 0 derivando
- 2 a 2 sen xeosx + 2a 3 sen xeos x = 0 entonces a 2 = a 3
entonces 5«! * a 3 entonces: a 3 = - 5 a }
por lo tanto son linealmente dependiente.
443) cosx, cos(x+ l), cos(x -2 )
Solución
acosx + Pcos(x + 1) + ycos(x - 2) = 0 derivando
-asenx - Psen(x + 1) - ysen(x — 2) = 0 por lo menos uno de los a,p,y son 
diferentes de cero por lo tanto son linealmente dependiente.
444) 1, sen2x, (sen x -co sx )2
Solución
a + /?sen2x + /( s e n x -c o s x )2 = 0 => a + Psen2x + y (l-sen 2 x ) = 0
247
derivando 2|fcos2x - 2ycos2x = 0 p = y 
por lo tanto son linealmente dependiente
445) x, a 108"*
*
Solución
ax+ /fa logax = 0 derivando se obtiene que a = V|/(P) 
por lo tanto no son linealmente independiente.
446) logflx , loga * 2> x > 0
Solución
a lo g a x + P loga x 2 = 0 => a loga x +2/? loga x = 0 = > a = -2p 
las funciones no son linealmente independiente.
447) 1, arcsen x, árceos x
Solución
a + P arcsen x + y árceos x = 0 derivando:
i h ~ i h =0 * P=Y
las funciones no son linealmente independiente
448) 5, arctg x, arcetg x
Solución
5a + p arctgx + y arcetg x = 0 derivando:
P Y
l + x 2 l + x 2
= 0 => p = y las funciones no son linealmente independiente
248
X X449) 2ti, arctg— , arctg—
2n 2n Boioniñ n as! oup KornegnoquZ
Solución
13x x2na + p arctg— + yarcc tg — = 0 derivando 
2n 2n
1 1
p — 2 * ----r _ 2 | ---- o =. p-r
i +<2 Í )! ,+ < 2 Í )2
las funciones no son linealmente independiente
450) e ' fl,2/í fXe a,1' 1dt
Jo
Solución
x2 /l px
ae-aX 1+pe~aJ 1 ^ e a,2,1dt => a + p ¡ * e a,2/2dt = 0
n*2'1derivando fie = 0 = > p = 0 = > a = 0
las funciones son linealmente independiente 
fi
451) x, x \ ■—r-d i , x > 0 
J*0 t
Solución
f1 e* f1 e 1
a x + p x \ - j d t = 0 => a + fi I — dí= 0 derivando
Jxo t XQ t
se tiene P = 0 => a = 0
las funciones son linealmente independiente
249
Supongamos que las n funciones y\(x ),y2(x).....y„(x) admiten derivadas hasta el
orden (n— 1)
El determinante:
M .y i ,y i ,~ ,y n ) ss
se llama determinante de Wronsky (o Wronskisniano), de estas funciones se observa 
que el Wronskiano es una función de x definida en cierto intervalo, para el caso de tres 
fondones, el Wronskiano tiene la forma:
y i W y 2(x) y n(x)
y !(*) y[(x) y l w
y {r l)(x)
w iy i ,y 2. y i ) =
yi(x) y 2(x) y 3{x) 
y[(x) y\(x) 
y \ (*) y\(x) .y 'w
En los siguientes ejercicios se pide hallar el Wranskiano de los sistema de funciones 
indicadas.
452) 1, x.
W =
Solución
= 1 , 0 = 1 => w = 1
453) x, -
X
Solución
454) l , 2 , x 2
Solución
i 2 x 2
k w = 0 0 2x
\
0 0 2
= 0 w = o
455) - x ^„-Xe , xe
Solución
H1><
H1
- e ~2
1 X
H11
*111
— C “R
"1
7 = e 2jr( l - x + x)
--2xW ~e~
'"■i
456) e*, 2 e \ e~x
Solución
e x 2ex e x 1 1 1
w = e x 2ex - e x = 2ex 1 1 -1
e x 2ex e~x i 1 1 1
= 0 entonces: W = 0
457) 2, cosx, cos2x
2 cosx cos2jc 
0 -se n * - 2 sen 2x 
0 L cosx - 4 eos2x
Solución
= 2(4 sen x eos 2x - 2 eos x sen 2x)
= 4(2senx.eos2 jc -2 se n 3 jt-4 sen x .co s2 x)
W = ~8sen(sen2 x + eos2 x) = -8 sen x
251
71,
458) sen x, sen(x + —)
Solución
W =
sen* sen(x + -—) 
4
71,
eos* cos(x+—) 
4
K / Ü \= sen x cos(x + ) - eos x sen(x+ —)
2 2
W = -
X x
459) aresen—, aresen — 
7t 71
Solución
W:
X X
arccos— aresen —
71 71
1 1
i 71
X xW = ....... - ....... (arccos — h aresen —) entonces
V *2 - * 2 * *
w = -
71
-yj7T2 - X 2
, |x| < 71
460) ti, aresen x, arccos x
Solución
252
W =
ti aresen x arccos x 
1 1
4 i - 7 2
2x
W = — 7DC
J T - x 2
- 2 x
( l - x 2)3' 2 ( l - x 2)3/2
2/Tt
(1-X 2) 2 í l - x 2) 2
461) 4, sen2 x,cos2x
= 0 por io tanto;
4 sen2 A'
w = 0 sen 2x
0 2 eos 2*
Solución
entonces:
W = -4 sen2x.cos2x + 4 sen2x.cos2x = 0 
462) x, inx
W =
x Inx
i I
x
Solución
= 1 - ln x => W = 1 — 1 n x
'163) e
x
W =
Mx
Solución
A i x
J 'x
e V x e U x e \ ! x 
■ — + — = _ _ ( * 
x X ¿ X
W = 0
w = 0
253
464) ex senx , ex cosx
W =
Solución
e' cosx
e senx + e cosx e c o s x -e senx
W=e~
sen x eos x
sen x + eos x eos x - enx
entonces
W = e2v(sen x co sx -sen 2 x -s e n x c o s x -c o s 2 x) = - e 2x
entonces: W = - e I x
465) e 3x sen 2 x , e 3x cos 2x
Solución
W = e 3x sen 2x
e 3x cos 2x
-3e~3x sen2x + 2e“3x cos2x -3 e 3x co s2 x -2 e ~3A sen2x
W = e - 6 x
sen 2x cos 2x
- 3 sen 2x + 2 cos 2x - 3 cos 2x - 2 sen 2x
W - e 6x[-3 sen 2 x co s2 x -2 se n 2 2x + 3 sen 2 x co s2 x -2 co s2 2x]
w = e 6x (-2(sen2 2x + cos2 2x)) = - 2 e '6x 
466) cosx, senx
Solución
W
cos x sen x 
- sen x cos x
= cos2 x + sen2 x = 1 entonces W = 1
254
467) sen(~ - x ) , cos(- - x) 
4 4
Solución
W =
sen (---x ) cos(—-x ) 
4 4
~ cos(~— - x) sen(— - x) 
4 4
^ - sen 2 (—~ x) + cos 2 (— - x) = 1 por lo tanto: W =1 
4 4
TEOREMA.- Si el sistema de funciones y , (x ) ,y2(x),...,yn(x) es linealmente 
dependiente en el segmento [a,b] su Wronskiano es idénticamente
nulo en [a,b]. Asi, pues, el sistema de función sen x, sen(x + —), sen(x- —) es
8 8
emente aependiente en el intervalo <-oo,oo> y como fácilmente se comprueba, su 
Wronskiano es igual a cero.
I.ste teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un 
sistema de funciones. El reciproco no se cumple, puesto, que el Wronskiano, puede ser 
nulo, sin embargo el sistema de funciones son linealmente independiente.
I n los siguientes problemas se pide dem ostrar que las funciones dadas son 
Ilnealmente independiente y su Wronskiano es idénticamente cero, construir las 
gráficas de estas funciones.
x 2 si - l < x ¿ 0 [o si - l < x < 0
y i ( x ) ~ r J‘ , y 2(x )= . 2
[0 si 0 < x < 1 ‘ \ x 2 si 0< x < 1
Solución
255
Y t
469)
Para demostrar que:
qfx+P/2 = 0 => a = (3 = 0 si x e[-l,0] 
aafx(x)+ Pf2(x) = 0 => ax2 +P>0 - 0 a = 0
si x e [0,1 ] => afx (x) + Pf2 (x) = 0 entonces: 
a.O + P jc2 - 0 r=> p = 0
luego a = P = 0 J\ y f 2 son linealmente independiente. 
Consideremos el wronskiano W en [-1,0] y en [0,1]
W- X2 oj
2x o|.
= 0 , W = 0 x- 
0 2x
= 0
periotanto: W[fx, f 2] ~ 0 e n [-1,1]
0 s i 2 < x < 4
>'¡ (*) = ■{ -> ’ y 2Í*) =l (x-I>2 si 0 < x á 2
( x - 2 Y si 0 < x < 2 
0 si 2 < x < 4
Solución
256
y i 2 4
Por demostrar que:
+ => a = p = 0 => si x g [0,2]
a.0 + p ( x - 2 )2 = 0 P = 0 => x g <2,4] entonces:
a . ( x - 2 ) 2 +p.O = 0 => a = 0
por lo tanto a = p = 0 las funciones son linealmente independiente. 
Consideremos el wronskiano en [0,2] y en <2,4]
= 0 por lo tanto: W[yx, y 2 ] = 0w = 0 ( x - 2 ) 2 = 0 , W = ( x - 2 ) 2 0 = 0
0 2(x - 2) 2(x -2) 0
JE3 SÍ - 2 < x < 0 í ° siy i w = . >[V SI VIXVo i* si
Solución
Por demostrar que:
ay1 (x) + Py2 (x) = 0 => a = p = 0 si x g [-2,0] entonces
257
aje3 +P.0 = 0 =*■ a = O si x e < 0,1] entonces
a . 0 + /3 jc 2 = 0 => p = 0 por lo tanto a = p = 0 entonces y \ ( x ) , y 2(x)
son linealmente independiente.
Consideremos el wronskiano en [-2,0] y en <0,1]
W =
x 3 d
1 - 0 . w =
0 x 2
, i
3x2 0! 0 2x
por lo tanto: W[y{ , y 2] = 0
471) yj(x) = JC2, y 2(x) = x |x | , - l á x á l
Solución
í- x 2 si — l á x < 0 
y 2(x) = x \x \= \ 2
¡xz si 0 < x < 1
258
Por demostrar que:
ayx(x) +fiy2(x) = 0 => ot = p = 0 si x e[-l,0> entonces: 
aje2 + P ( - x 2) = 0 => a —p = 0 si x e [0,1] entonces:
a a 2 4- Pjc1 = 0 => a + p = 0
Luego:
a - p = 0
=> a = p = 0
a + fi =0)
por lo tanto las fiinciones y x (x) , y 2 (x) son linealmente independiente. 
Consideremos el wronskiano en los intervalos [-1,0] y en [0,1]
W =
W =
X2 - X 2
2x - 2 x
= -2 x 3 + 2x} = 0 => W = 0
2 2 X X = 2x} - 2 x 3 = 0 => W = 0
2x 2x 
por lo tanto: W\yx, y 2] = 0
259
Ie TITACTONES LINEALES HOMOGENEAS PEI 
[COEFICIENTES CONSTANTES.]
Es la ecuación diferencial de la forma:
4
g0y (/l)+ q [y (w 1}+... + flwy = oj . .. (1)
donde a0, ax an , son constantes reales.
Consideremos la ecuación característica
a0An + axhn 1 + ... + an - 0 . . . (2)
supongamos que Alt A2,...,An son las raíces de la ecuación (2), en las cuales se 
presentan los siguientes casos:
a) Si Ai, A.2 K son reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es,
e \ x ' e^ x ̂e -x„x y ja soiuci5n general es:
y = cxeKx + c2e ^ x +...+cneX'x
b) Si Aj,A2,...,An son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo 
A, = A2 = ... = At = A , de modo X es una raíz k = múltiplo de (2), mientras 
que m - k reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es:
e**, x e * * x k-xe**, e^k*, x eKx
y la solución general es:
y = cle*x + c2xe*x +... + cneKx
c) Si alguna de , A2 A„ son raíces imaginarias supongamos que: 
Aj =C£ + //3,A2 = ex — iß ,A3 = A + íA,A4 - y - i S
260
y las demás son reales. Entonces el sistema fundamental de soluciones es: 
eax eos /&,£** sen cosSx^e** sen 8xyeS*x ,...,eXfíX
y la solución general es:
y = cleax cosßx + c2eca sen ßx + c ^ eosáx + c4e& senöx + c5eX*x +... + cneX”x
d) Si A j= a + i/3 es una raíz k-múltiplo de la ecuación (2) (k < entonces
A2 = a -i(5 también será una raíz k-múltiplo y el sistema fundamental de 
soluciones es:
e™ eos sen fk^xe0“ eos fk.xe™ sen fixJ.. .,xn~leax eos )3r,
x^ 'e™ sen,.. .,eXnX
y la solución general es:
y = cleax eosPx+ c2e<xx sen fix + c3xe™ eos px + c^xe™ sen fix +...
+ c 2kx k~le axfíx + C u + iX ^e0“ sen fix + ... + cne X"x
Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conociendo sus 
ecuaciones características.
473) A2 + 3A + 2 = 0
d 2y n dy
- + 3 — + 2y = 0
Solución
dx dx
474) 2A2 -3 A -5 = 0
Solución
2A2 - 3A - 5 = 0 => 2y' '—3y'—5y = 0
261
Solución
A(A+l)(A + 2) = 0 => A(A2 +3A + 2) = 0
Aj + 3A2 +2A = 0 =» y"'+2y"+2/=°
" 6> . < A2+1)2=0 Solución •
(A2 +1)2 = 0 => A4 +2A2 + 1 = 0 => y ^ y ’+ y - o
477) A3 = 0
Solución
" r ” “ S “sus ecuaciones características y escnoir
478) A) = 1 , A2 =2
Solución
(X -l)(X -2> = 0 =» A! - 3 i + 2 - 0 => ¡ r - W *
y = Clex + c2ex (solución general)
479) A, = 1 , A2 = l Solución
At = 1 , => W '1 ) ! = ° * *r - W + 1 ‘ °
V. . 2v.+ 1 . 0 por lo tanto: y « , « ' « , » ' (solución gonertf
entonces: y -¿y + i - u
475) \(X + l)(X + 2) = 0
262
480) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3+2/
Solución
Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 / => (A -3 )2 = -4
A2 - 6A + 9 + 4 = 0 => y '-6y'+13_y = 0 entonces
y = c,e3* eos2x + c2eix sen 2x (solución general)
481) Aj =1, A2 =1, A3 =1
Solución
Ai =1, A2 =1, A3 =1 => (A - l)3 =0
A3 -3A 2 +3A -1 = 0 => y - 3 y " + 3 y - y = 0
y = c¡ex + c2xex + c3x 2ex (solución general)
Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas 
fundamentales de soluciones.
482) e~x , ex
Solución
A = - 1, A = 1 => (A + 1)(A-1) = 0 => A2 -1 = 0 => y " - y = 0
483) 1,
Solución
A = o , X = i => A2 - A = o => y - y = o
484) e~2x, xe~2x
Solución
A = -2, A = -2 => (A + 2)2 =0 => A2 +4A + 4 = 0 entonces: 
y ”+4y’+4y = 0
.
263
485) sen3x , eos 3x
Solución
A, = 3 / , A2 = -3 i => A2 = 0 =>y = 0
486) l ,x
Solución
X = 0, X = 0 => A2 =0 => / '= 0
487) e * , e 2jt / e 3*
Solución
Aj =1 , A2 = 2 , A3 = 3 => (X - 1)(X - 2)(X - 3) = 0 
A3 - 6A2 + 11A - 6 = 0 => y " ' -6 y ”+ lly '+ lly '-6y = 0
488) e x , x ex , x 2e x
Solución
Aj =1 , A2 = 1 , A3 = 1 => (A - l)3 =0 
A3 -3A 2 +3A -1 = 0 => y" '-3y"+3y'-y = 0
489) e x , x ex , e 2x
Solución
Aj = 1 , A2 = 1 , A3 = 2 => (A - l)2(A -2 ) = 0 
A3 -4 A 2 + 5A -2 = 0 => y '"-4y"+5y'-2y = 0
490) l , \ , e x
Solución
At = 0 , A2 = 0 , A3 = 1 => A2( A - 1) = 0 
A3 - A2 = 0 => y'" -y"= 0
264
491) 1, senx, cosx
Solución
¿i -O , A2 =i , A3 ± - i => A(A2 +1) = 0 => A3 +A = 0 
por lo tanto: / " + / = 0
492) e 2x, senx, cosx
Solución
A2 = 2 , A2 = / , A3 = - i => (A-2)(A2 +1) = 0 entonces
A -2 A + A - 2 = 0 => y'"-2y"+y'-2y = 0
493) 1, s e a x , e~x cosx
Solución
— ® » A2 = —1+/ , A3 = — 1—i => A(A2 +2A + 2) = 0 entonces 
A3 +2A2 +2A = 0 => / ”+ 2 / '+ 2 /= 0 
Integrar las siguientes ecuaciones
494) y = o
Solución
A2 -1 = 0 => X = ± 1 => _y = CleJr+C2g-Jr
495) 3y"-2y '-Sy = 0
Solución
3A — 2A—8 = 0 (3A. + 4)(X - 2) = 0 entonces:
496) / ”-3 / '+ 3 /+ j / = O, y(0) = 1, / ( 0) = 2 , y "(O) = 3
Solución
A3 -3A 2 + 3A-1 = 0 => (A — 1)3 = 0 => Á, = 1 de multiplicidad 3 
y = c¡e* +c2xex +c3x 2ex => l = q => y = ex +c2xex +c3x 2ex 
y '= ex +c2ex +2c3xex +c3x 2ex => 2 = 1+c2 => c2 =1 
y '=2ex + xex + 2c3xex + c3x 2ex entonces: 
y"= 2ex +ex +xex +2 c3ex +2c3xex +2c3xex +c}x 2e x 
y ”=3ex +xex +2c3ex +4c3xex +c3x 2ex => 3 = 3 + 2c 3
c3 = 0 => por lo tanto: y = ex +xex
497) /'+ 2 /+ j> = 0
Solución
A2 +2A + 1 = 0 => (A + l )2 =0 => A. = -1 de multiplicidad 
la solución general y = cx ~x + c2
498) y ,-4 y + 3y = 0 , y(0) = 6, y(0) = 10
Solución
A2 -4 A + 3 = 0 =s> (X -l)(A -3 ) => Aj = I , A2 =3
la solución general es y = c¡ex + c2e3x
parax = 0, y = 6 => 6 = c ,+ c 2 ... (1)
266
e - c ¡ e x +c 2e3x => y '=c¡ex +3c2e 3x 
para x = 0, y'= 10 = > 1 0 = c !+ 3 c 2 ...(2 )
de (1) y (2) se tiene: jc ¡ + c 2 - 6
[c , + 3 c 2 = 1 0 1
Luego: y = 4ex +2e3x
499) y"'+6y"+ny'+6y = 0
Solución
A3 + 6A2 +11A + 6 = 0
1 6 11 6
-1 -5 -6 -1 = Aj
1 5 6 0
A2 + 5A + 6 = 0 => (A + 2)(A + 3) = 0 => A2 = - 2 , A3 = -3 
Luego A, = -1 , A2 = - 2 , A3 = -3
La solución general es: y = c, e “x + c2 e ~2x + c3 e~3x
500) y ”-2 y '-2 y = 0
Solución
A2 ~ 2 A -2 = 0 =» (A—1)2 =3 => A, =1 + ̂ 3 , A2 = l - V 3 
La solución general es: y = cx e(1+̂ * + c 2e (1- ^ )x
501) y * +2yv + y iv = 0
Solución
A + 2A + A = 0 => A(A +1)2 = 0 de donde:
267
X = O de multiplicidad 4 
X = -1 de multiplicidad 2
la solución general es: = Cj + c2x + c3x 2 + c4x 3 + c5e * + c 6xe
502) 4y"-%y'+5y = 0
Solución
4A2 - 8A + 5 = 0 => A = l ± ^ / la solución general es:
* x x x y = cíe eos — + c ?e sen — 
y 1 2 2
503) y - 8 j y = 0
Solución
A3 - 8 = 0 => (A-2)(A2 + 2A + 4) = 0 entonces:
Aj = 2 , (A *f 1) 2 — —3 A2 — — 1 + '\/3/ ^ A3 — —1 —->/3i 
la solución general es: >> = cx e 2x + c2 e x eos -s/3jc + c3e x sen -\¡3x
504) y iv + 4 / M+ 10/'+12/+5.y = 0
Solución
A4 + 4A3 + 10A2 + 12A + 5 = 0 => (A + 1)2(A2 +2A + 5) = 0
Aj = -1 de multiplicidad 2.
A2 + 2 A + 5 = 0 => A2 = -1 + 2/ , A3 = - 1 - 2 /
la solución general es: y — cxe~x + c2xe x + c$e x eos 2x + cAe x sen 2x
268
505) y '+2^ = 0 , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1
Solución
A2 - 2 A4-2 = 0 => (A—l)2 = —1 Aj = 1 + i ; A2 = l - i
la solución general es: 7 eos x + c2e x sen x
para x = 0 , y = 0 => 0 = c¿+ 0 = > cx = 0
y = e x (c \c0sx + c2 senx) => / = £ * c o s x íq + c2) + ex senx(c2 - q ) 
para x = 0, >’’=1 => l = q + c 2 +0 => c2 =1
por lo tanto: y = e x senx
506) y' '-2y'+3y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 3
Solución
A“ ~2A + 3 = 0 => (A - l )2 = -4 => Aj = 1 + 2/ ^ A2 = 1 -2 / 
la solución general es: y = cxex eos 2x + c2e* sen 2x
para x = 0, y - 1 => 1 = ^ + 0 => q =1
y = e x (cj eos 2x + c2 sen 2x) entonces se tiene: 
y % = 2 x eos x2x(c2 + 2c2) + e x sen x(c2 - 2cx) 
para x = 0, / = 3 => 3 = cx + 2c2 => c2 = 1 
por lo tanto: .y = e* (eos2x + sen 2x)
269
507) y ” '+2 y ' 1 '+4y'1 '-2y '-5y = 0
Solución
A4 + 2A3 + 4 A2 - 2A - 5 = 0 => (A+1)(A-1)(A2 +2A + 5) = 0
Aj = —1, A2 — 1, A3 = — 1 + 2¿, A 4 = — 1 ~2/
la solución general es: y = c¡e~x +c2ex +c3e x cos2x + c 4e~x sen 2x
508) y v + 4 y iv + 5 / ' ' -6y '-4y = 0
Solución
A5 + 4A4 + 5A3 - 6A - 4 = 0 => (A2 -1)(A'+ 2)(A2 + 2A + 2) = 0 
dedonde: Aj = - 1 , A2 =1, A3 = - 2 , A4 = - l + i , A5 = . - l - i
la solución general es: y = + c2e* + c3e“2* + c4e~x cosx+ C5e~* sen*
509) / " + 2 y " - y ' - 2 y = o
Solución
A3 + 2A2 - A - 2 = 0 A2 (A + 2) - (A + 2) = 0 =¡> (A2 -l)(A + 2) = 0
Aj = — 1, A2 “ 1, A3 = -2
la solución general es: y = q e '1 + c2e x + c3e~lx
510) y ”- 2y + 2/ = o
Solución
A3 - 2A2 +2A = 0 => A(A2 -2A + 2) = 0 de donde:
Aj — 0 y A2 = 1 + 1, A3 — 1 i
la solución general es: y = q + c2e* eosx + c3ex sen x
270
511) y ' " - y = 0
Solución
A -1 = 0 (A2 + 1)(A" -1) = 0 de donde:
Ai = 1, A2 ~ — 1, A3 =i*, A4 = —j la solución general es: 
y - q e * +c2e~x + c3 cosx + c4 sen*
512)
Solución
Ai0 = 0 => A, = 0 de multiplicidad 10.
La solución general es:
y = c¡ + c2x + c 3x 2 +c4x 3 + c5x 4 + c6* 5 +c7x 6 +c%x 1 + c9;t8 + c10x 9 
10
y = Y s c¡x i~l
i=l
513) y ' ”-3 y '-2 y =*0
Solución
A3 -3A --2 = 0
I 0 -3 2
1 1 2 1
1 1 -2 0
A3 - 3 A - 2 = (A-1)(A + 2)(A-1) => A3 -3 A - 2 = (A - l)2(A + 2) 
de donde A = 1 de multiplicidad 2 y A, = -2 
la solución general es: y = cxe x + c2xex +c3e~2x
514) 2 / " - 3 / ' + / = O
2A2 -3A 2 + A = 0 => A(2A2 -3A + 1) = 0 entonces:
Solución
X(2X - 1)(A - 1) = 0 => A, = 0 , A2 = - ~ , A3 =1
—jt/2 xla solución general es: y = q + c2£ + c3̂
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS (O 
COMPLETAS) DE C O E F Í l i l S f i s 
CONSTANTES.-
Son las ecuaciones de la forma:
d ny a^dn ly
Donde a0, ax,..., an son constantes reales.
La solución general de ia ecuación no homogénea (1) (llamado también completa es 
igual a la suma de la solución general de la solución homogénea correspondiente y de 
cualquier solución particular de la ecuación no homogénea.
La solución general de la ecuación homogénea correspondientese halla según las reglas 
expuestas anteriormente. Por lo tanto el problema de la integración de ia ecuación (1) se 
reduce al problema de la búsqueda de una solución particular y p de la ecuación no
homogénea. En el caso general la integración de la ecuación (!) puede realizarse por el 
método de la variación de las constantes arbitrarias. No obstante cuando los segundos 
miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor 
facilidad por el método de selección.
272
Para que sea posible emplear el método de selección, el segundo miembro f(x) de la 
ecuación (1) tiene que tener en el caso general la forma:
f ( x ) = e°*íPn (x) eos f k + Q n (x) sen fk] (2)
La solución particular es de la forma:
y p ~ x se0*[Pk (x)eos f3x + Qk (x) sen fix]
Donde k = max {m,n} y s es el orden de multiplicidad de la raíz.
Resumiremos en un cuadro las formas de soluciones particulares para las distintas 
formas de segundos miembros.
N° de 
Orden
Segundo Miembro 
de la ecuación 
diferencial.
Raíces de la ecuacián 
característica.
Forma de la Soludon 
particular, donde 
k = max {m, n}
I W 1) El # 0 no es raíz de la 
ecuación característica.
W
2) El # 0 es raíz de la 
ecuación característica.
x sPmM
11 eaxPm(x)
(a es real)
1) El # a no es raíz de la 
ecuación característica.
ea Pmíx)
2) El # a es raíz de la 
ecuación característica.
x sem Pm{x)
III Pn(x) eos ¡3x + 
+Qm (x)s enftx
1) El # s ± ip no raíces de la 
ecuación característica.
l \ (-V) eos (ix + 
+Qk (x) sen [ix
2) El # s ± i (3 no raíces de la 
ecuación característica.
x s (Pk (x) eos [be + 
+Qm (x) sen (3x)
IV
1
eax(Pn(x)cosíix + 
+Qm (x) sen ¡¡x)
1) El #s a ± ip no son raíces 
de la ecuación 
característica.
e,a (Pk (x) eos / i r +
+Qk (x ) sen fa)
2) El #s son raíces de la 
ecuación característica.
x seca(Pk <ix)cospx + 
+Qk (x) sen (ix)
273
Determinar la forma de ia solución particular de la ecuación diferencial lineal no 
homogénea, si se conocen las raíces de su ecuación característica y el segundo 
miembro f(x).
515) A¡ = 1, A2 = 2 , f (x )= -a x2 +bx+c
Solución
La solución particular es: y p - A x2 + Bx+C
516) Aj = 0 , A2 = l , f ( x ) = ax¿ + bx + c
Solución
Como el cero es raíz de la ecuación característica entonces la solución 
particular es: y p = x(Ax2 + Bx + C)
517) Aj = 0 , A2 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c
Solución
El cero es raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es:
yp = x 2(Ax2+Bx+C)
518) A j = l , A2 = 2 , f ( x ) = e~x (ax+b)
Solución
a = “1 no es raíz => y p - (Ax+ B)e~x
519) Aj = -1 , A2 = 1, f ( x ) = e~x (ax + b)
Solución
a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = xe (Ax + B)
520) Aj = - 1 , A2 = -1 , f ( x ) = e X (ax + h) 
274
a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = x
521) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) - sen x + eos x
Solución
Como ± i no es raíz entonces: y p =A sen x + B eos x
522) Aj = - ; , A2 = i , f ( x ) - senx + eosx
Solución
Como ± i es raíz de la ecuación característica entonces:
y p ~ x(A sen x + B eos x)
523) Aj = -2 /, A2 = 2/, f ( x ) = A sen 2x + B eos 2x
Solución
Como ± 2i es raíces de la ecuación característica 
y p =x(Al sen2x + B1 cos2jií)
524) Aj - - k i , h2 = k i9 f ( x ) - A sen Joc + B eos kx
Solución
Como ± ki es raíz de la ecuación característica.
y p =x(A{ sen kx + B¡ eos kx)
525) A j = l , A2 = l , f (x ) ^ e~x (A sen x + B eos x)
Solución
Solución
2e ' x (Ax+B)
275
Como -1 ± i no es raíz de la ecuación, entonces: 
y = e~x (Ax sen x + Bx eos x)
526) A, = - 1 - / , A2 = - 1 + i , f ( x ) = e*(Ascnx + B cosx)
Solución
Como -1 ± i es raíz de la ecuación, entonces:
y p = xe~x (Ax senx + BX cosx)
527) A, = A2 = A3 =1, f ( x ) = ax2 +bx + c
Solución
Como cero no es raíz de la ecuación y p = A x2 + Bx + C
528) A , = 0 , A2 = l , Aj = 2, f ( x ) = ax2 + bx + c
Solución
El cero es raíz de la ecuación característica. y p = x(A x2 +Bx + C)
529) A, =A 2 = 0 , A3 = 1, f ( x ) = ax2 +bx+c
Solución
El cero es raíz de multiplicidad 2 de la ecuación y p = x 2 (Ax2 +Bx + C)
530) A, =A2 =A3 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c
Solución
Como el cero es raíz de multiplicidad 3 entonces, y p = x 3 (Ax 2 + Bx + C)
276
531) A2 = - / , /(*)■— senx+ eosx
Solución
Como ± i es raíz de la ecuación característica. ^ =
532) Ax = - 1 , A2 = U A3 = 2 , f ( x ) = ae~x +bex
Solución
Como -1 es raíz y 1 también es raíz entonces:
y p = + Bxex = x(Ae~x +
533) A! = A2 = 1, A 3 = 2 , / ( x ) = 0 senx + ¿cosx
Solución
Como ± i no es raíz de la ecuación característica, y p
534) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) = (ax2 +bx+c)ekx, k * 0 , k *
Solución
Como k no es raíz de la ecuación característica . y p ■
535) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 i , / ( x ) = -e*(sen2x + cos2x)
Solución
3 ± 2i es raíz de la ecuación característica . y p = xe3x
x(Asenx + Bcosx)
x )
1
(Ax2 + Bx+C )ekx
(A sen 2x+ B eos 2x) 
277
Determinar la forma de la solución particular para las siguientes ecuaciones 
diferenciales lineales no homogéneas.
536) / '+ 3 / = 3
Solución
A2 +3A = 0 => Aj =0 , A2 = -3 ei cero es raíz entonces: y p =Ax
537) / ’- 7 / = ( x - l ) 2
Solución
A2 - 7A = 0 Aj = 0 , A2 = 7 como el cero es raíz de la ecuación
características entonces: y p = x(Ax 2 + Bx + C)
538) y"+3y = e x
Solución
A2 + 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 como a = I no es raíz entonces:
y p = A ex
539) y ”+ly'=e~lx
Solución
A2 + 7A = 0 => Aj = 0 , A2 = -7 como a = -7 es raíz entonces:
y p =Axe-7*
540) y '- iy '+ 16 v = (1 — x)eAx
Solución
A2 - 8A +16 = 0 => (A - 4) 2 = 0 X = 4 es raíz de multiplicidad 2,
entonces: = x 2 (Ax + B)e~Ax es decir y p =(Ax* + Bx2)e~Ax
278
541) y"-\0y '+25y = e5x
Solución
A"' - 10A + 25 = 0 => (A - 5 ) 2 = 0 => X = 5 es raíz de multiplicidad 2,
entonces: y p = x 2Ae5x es decir y p = A x2e5x
3
542) 4 / ’- 4 / = j t e 4*
Solución
4A2 -3A = 0 => Aj = 0 , A2 = — como a = — es raíz entonces:
4 4
-jr 2
y p =(Ax + B)xe4 =(A x2 +Bx)e 4
543) y ,- y - 2 y = ex + e '2x
Solución
A2 - A - 2 = 0 => (A. - 2)(X + 1) = 0 => X = -1,2 => y p =Ae~x + B elx
544) y " - 4 y = x e Ax
Solución
r 2 - 4 r = 0 =» = 0 , rj = 4 como a = 4 es raíz entonces:
y p =x(Ax + B)eAx => y p = (Ax2 +Bx)eAx
545) y M+25y = cos5jc
Solución
2
A +25 = 0 => A, = ± 5i como ± ip es raíz de la ecuación entonces: 
y p = x( A eos 5jc + B sen 5jc)
279
546) y' '+y = sen x - eos x
Solución
A2 +1 = 0 => X = ± i como ± i|3 es raíz, entonces: 
y p = x(i4senx + ¿?cosx)
547) y"+l6y = sen(4x+a)
Solución
A2 +16 = 0 => X = ± 4i es raiz de la ecuación.
y p = x(Aszn4x + B eos 4x)
548) y"+4y'+iy = e 2x (sen2x+ cos2x)
Solución
A2 +4A + 8 = 0 => X. = -2 ± 2i como a ± ip no es raiz de la ecuación
característica entonces: y „ = e 2' (Asen 2x+ B eos 2x)
549) y ’-4y'+&y = e 2x(sen2x + cos2x)
Solución
A2 -4A + 8 = 0 => X = 2 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación
característica entonces: y „ = xe2x (A sen 2x + B eos 2x)
550) y ’ ’+6y'+13y = e 3x eos 2x
Solución
A2 +6A + 13 = 0 => X = -3 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación
característica, entonces: y p = xe 3 v (/í sen 2x+ B eos 2x)
280
551) / ’+A2>' = *sen(ADc+a)
12 . .2
Solución
A + k 2 - 0 => A . - ± k i como ± ip es raíz de la ecuación característica 
entonces: sen &r + 5 costo)
552) y"+ k2y = k
Solución
A2 2 = 0 = > A = ± k i de donde el cero no es raíz de la ecuación
entonces: y p - A
553) y " + 4 y = sen x.sen 2x
Solución
senx.sen2x = senx + sen3x => A2 +4 = 0 =>A = ±2i luego ± i p n o e s 
raíz de la ecuación característica entonces:
y p = A¡ sen * + 5, cosx + /í2 sen3x + B2 cos3x
554) y' '~4y '= 2 eos2 4x
Solución
/ ' - 4 / = 2 c o s 2 4x = l + cos8x => A2 - 4 A = 0 entonces: A, = 0 , A2 = 4 
entonces: y p = Ax + B sen 8 x + C eos 8.r
555) y"'+y = x
Solución
A +1 = 0 => A, = - 1 , A2 = - + £ , , A3 = i - ^ / , e n t o n c e s :
y p = x(Ax + B)
281
Solución
A3 + 6A2 + 1 1A + 6 = 0 => A1 = - l , A2 = - 2 , A3 =- 3 entonces: y p = A
557) / " + / = 2
Solución
A3 +A = 0 => A , = 0 , A2 = í\ A3 = - i entonces: y p =/ü:
558) / " + / ' = 3
Solución
A3 + A2 = 0 => A , = 0 de multiplicidad 2, A2 = -1 entonces:
yp - x 2A => y p = A x 2
559) y iv- y = 1
Solución
A4 — 1 = 0 => Aj = , A2 = -1» A3 = i , A4 = —i 
entonces: y p - A
560) y iv- y '= 2
536) y '”+6y"+lly'+6y = l
Solución
A4 - A = 0 => A[ = 0 , X.= 1, A2 +A + 1 = 0 entonces: y p = Ax
561) y iv- y " = 2
Solución
A4 - A 2 = 0 => A, = 0 , A2 = ±1 de multiplicidad 2 entonces: y p = Ax2
282
562) / ” - / " = 4
Solución
A A —0 => A - 0 , de multiplicidad 3, A = 1 entonces: = A x3
563) y v + 4 / ’ '+ 4 / ' = 1
Solución
A4 + 4A3 + 4A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -2 de multiplicidad 2 
entonces: = /íx2 .
564) y iv+ 2y”’+ y"= ex
Solucion
A4 + 2A3 + A2 = 0 =>• A = 0 de multiplicidad >. = -1 de multiplicidad 2
entonces: y^ = Ae4x
565) y v - f 2 y ,,+ y ,= ^
Solucion
A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2
entonces: y p =
566) / v + 2 / " + / ’=*£>-*
Solución
A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2 
entonces: y p = x 2(Ax+B)e~x
283
567) y lv + 4 y '+4 y = sen 2x
Solución
A4 + 4A2 +4 = 0 => (A2 + 2)2 = 0 entonces A = ±^2 i de multiplicidad 2
entonces: y p =(^ísen2x + ^cos2x)
568) y lv + 4 / '+4y = cosx
Solución
A4 + 4A2 +4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:
y p = (,4 sen*+ 2? cosx)
569) y lv + 4 / '+4y = x sen 2jc
Solución
A4 + 4A2 +4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:
= (A x+ i?) eos 2x + (Cx + D) sen 2x
570) y lv + 2n2y"+nAy = asen(nx + a)
Solucion
A4 +2« 2 A2 +/j4 =0 => (A2 + h 2) 2 =0 => A = ± ni de multiplicidad 2
entonces: y = x 2 (Asen nx +B eos nx)
571) y lv - 2 n 2y"+)iAy = eos(/ix + a )
Solución
entonces: = A sen nx + B eos nx
572) y v + 4 / " + 6 y ,+ 4 /+ y = senx
Solucion
A4 + 4A3 + 6A2 + 4A +1 = 0 => (A + 1)4 = 0 de Aj = -1 de multiplicidad 4
entonces: y p = A sen x + B eos x
573) y iv - 4 / ,,4 4 / ,- 4 / + <y = ex
Solucion
A4 - 4 A3 + 6 A2 — 4A + 1 = 0 (A —l)4 = 0 de donde X = 1 de multiplicidad
4 entonces: y p = A xAe x
574) y iv -4y"+4y"-4y+y = x e x
Solución
A4 —4A3 + 6A2 — 4A +1 = 0 => (A — l)4 = 0 de donde X = 1 de multiplicidad 4
entonces: y p = x 4 (,4x + £)<? *
Resolver las siguientes ecuaciones.
575) v"+2/+ j; = -2
Solución
A2 + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2
A4 - 2n2A2 +?iA = 0 => (A2 - n 2) 2 = 0 => A = ±« de multiplicidad 2
285
y g = cxe x +c2xe x además y p = A = - 2 por lo tanto: 
y = y p + y g de donde y = cxe~x + c2x e x - 2
576) y"+2y'+2 = 0'
Solución
A2 + 2A = 0 => Aj = -2 , A2 = 0 entonces: 
y g = cx +c2e~lx además y p - Ax entonces: 
y lp = A => y \ = 0 => 0 + 2 A + 2 = 0
A = -1 => y p = -* => = =* 2* - *
577) y " + 9 y -9 = 0
Solución
A2 +9 = 0 => A = ±3/ de donde = cx cos3x + c2 sen3x, y ^
y = + y p = cx cos3x + c2 sen3x + l
578) y""+y"= 1
Solución
A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2 y A = -1 de donde
= Cj + c2jc + c3e~v yademás y p = A x2 => y p =2Ax
entonces: y p = 2A
286
1 x 20 + 2A = 1 ==> A - — => y p = — entonces:
2 2
2
= q + c 2* + c 3e
579) 5 y " ' - l y " —Z - 0
Solución
3 2 75A -7A = 0 => A = 0 de multiplicidad A = — entonces:
7—jr
^ = c , + c 2x + c3e s yademás y p = A x2 => y ' =2y4x => y* =2^4
de donde 0 - 14A - 3 = 0 => A = ~ — => =3 3x2
14 =>
1 3*2por lo tanto: y = y g + y p =cl + c2 +ci e 5 x -------
580) 3y iv+ y '"= 2
Solución
3A4 + A3 = 0 => A = 0 de multiplicidad 3 y A = - j entonces:
X
íg = c , + c2x + ci x 2 +c4e 3 yademás y = A x3 
entonces: y lp =3Ax2 => y*p =6Ax => y* = 6 A
1 x 3de donde: 0 + 6A = 2 => A = — => y „ = —
3 / p 3
_ í 3
porlotanto: >' = >'g + y p =c, + c 2jc + c3x 2 + c 4e 3 + ^ -
287
581) / v - 6 / ”+6 = 0
Solución
A4 - 6A3 = 0 => . A = 0 de multiplicidad 3 y A = 6 
entonces: y g = c¡+ c2x + c3x 2 +c4e 6x y además y p = A x3
Entonces ŷ p = 3Ax2 => y np =6Ax y® = 6 A
1 x 3de donde 0 - 12A + 6 = 0 => A = — => v „ = —
2 2
x 3
y = >'s + y /, = C j + c 2x + c 3x 2 + c 4e6 t + —
582) / v - 2 y ’ ’+ 2 / '-2/+>> = 1
Solución
A4 - 2A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 . De donde A, = 1 de multiplicidad 2 y A2 
A3 = - / donde: y g = c¡ex +c2xex + c3 cosx + c4 senx, y ^ , = , 4 = 1
^ ~ y g +y P = c¡ex + c 2xe'r + c3 cosx + c4 senx+1
583) y ' '-4y'+4y = x
Solución
A2 +4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2
= c¡e2x +c2xe2x y = A x 2 + Bx+ C entonces:
y p = 2Ax + B => y \ = 2A .
De donde: 2 A - 8 A x - 4 B + 4 A x 2 +4Bx+4C = x 2
288
Por lo tanto: A = ± * = i , C = | . Dedonde: - í l + í + 2
2 » 4 2 8
entonces: y = y g +y = c¡e2x+c2xe2x+ - + ± + 1
4 2 8
584) y"+8y'=8x
Solución
A + 8A = 0 => A] = 0 , A2 = —8 . De donde
y g =ci+ c2e 6x, y p = x(Ax + B) = Ax2 +Bx, donde:
y P = 2Ax+B => y p = 2A . De donde 2A + 16Ax + 8B = 8x
entonces: A = ± , B = - ~ , entonces: y = í l _ £
2 8 ’ p 2 8
Dedonde: y = y g + y =C) +c2e~(,x + £ _ _ £
2 8
585) y"-2ky'+k2 y = ex , ( k * l )
Solución
A - 2£A + k 2 = 0 => A. = k de multiplicidad 2 
g =c\ekx +c2xekx, también, ^ = Aex , dedonde:
Aex -2kAex + A k2ex =lex => A-2kA + A k2 =1
entonces 4Ax2 + (4 5 - 8 A)x + 2A -4 B + 4C = x 2
289
2 1 e A(k — 1) =1 => A — — => y p — 2
( ¿ -1 )2 (£-1)
ex
y = yg + y P = c\ekx +c2xelx + ( ~-¡p-
586) y + 4 y + 4 y = 8 e '2jr
Solución
+ 4 = o => X = -2 de multiplicidad 2
^ = cxe~2x+c2xe~2x, y ^ ^ V 2' de donde: y , = 4 x V *
entonces: y ~ y g +yp =cie ~* + c2xe 2x + 4x2e
587) y"+4y'+3y = 9e~ix
Solución
A2 +4A+3 =0 => A, = - 1 , A2 = - 3 . De donde: 
y g = c te~x +c2e~ix y y p =Axe~i , entonces:
y p = -^ - xe 3x dedonde: y = y g + y p = cxe x +c2e ix -
588) l y " - y '= \ 4 x
Solución
A
7 A2 - A = 0 => A, = 0 , A2 = ^ . De donde y e = cx+c2e 1 
y p = A x 2 +Bx .entonces: y p = - 7 x 2 -9Xx entonces:
X
y = y g + y p = + c2e 7 —l x ~ —9Sx
to 
I s
o
589) y"+3y'=3xe~ix
Solución
A2 -i- 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 de donde:
=C j+c2e _3jr y además .ŷ = (/lx2 +fix)e~3jr obteniendo 
x 2 x
y p = 1v y la solución general es:
y = y g + yP =c\ + ci ^ x - ( ~ + ~)e^x
590) y+5y+6_y = 10(1 -x )e~ 2x
Solución
A2 + 5A + 6 = 0 => Aj = -2 , A2 = -3 , de donde: y g = c ^ -2* + c2e~3* ,
además = (Ax2 + Bx)e~l x , obteniéndose y = (20x - 5jc2 )e~2jr, 
y la solución general es:
y = y g + y p = c\ + c2e~3x + (2 0 x -5 x 2)e~2x
591) y '+ 2 y + +2y = l + x
Solución
A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1 ± / , de donde 
y g = cxe~x cosx + c2e~x sen* además y p =Ax + B
obteniéndose y p = — y la solución general es:
x 
2
y = y g +yp = cxe~x cosx + c2e~x senx + ̂
291
592) y " + y '+ y = (x+ x2)ex
Solución
A2 +A + 1 = 0 => A = - - ± a/3 i dedonde:
2
V3 i V3
= q e 2 eos— x + c 2e sen— 
además — (Ax2 + Bx + C)cx obteniéndose
X X 1v = (----------i- —)ex y la solución general es:
y p V 3 3 3
—— ~~~ ■\/3 X2 X 1 x
y = y g + y P =e 2( q c o s — x + c 2e 2 sen— x) + (— - - + -)**
593) y' '+4y'-2y = 8 sen 2x
Solución
A2 + 4 A - 2 = 0 => A = -2±-J(> dedonde: 
y g = c1e(_2+̂ )x + c2e("2‘^ )Jr y además:
>>p = /4 sen 2x + 5 eos 2x obteniéndose:
v _ l 2sen2:c+16cos2:y y ia solución general es: 
y > 25
(-2+V6), + „ -(2+t/6)jt 12sen 2x+16cos2x
= = c ie +C2e 25
292
594) y % '+y = 4x eos x
Solución
A2 +1 = 0 => A = ± / de donde: = q cosx + c2 senx y además:
y p = x[04x + 2?)cosx + (Cx + 2?)senx] obteniéndose: 
y p = x 2 sen x + x eos x y la solución general es:
y = yg +yp = cx eosx + c2 senx + xsen 2 x + xcosx
595) y '-2my'+m2 y = sen /zx
Solución
A2 - 2/wA + m 2 = 0 => A = m , de multiplicidad 2,
de donde: y = q e wt + c2xemx , y además y p = A sen nx + 2? eos /zx
. ., , (/w2 - w 2) sen«x+2/wfl.cos/2xobteniendose: y = ----------- --------------------------
(m2 + n2)2
y la solución general es:
mx, v (/w2 - w 2)sen«x + 2/w«coswx(q + c2x) + --------------------- — ------------
(m +n )
596) y '+2y'+5y = e~x sen 2x
Solución
A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde: 
y g =qe~* eos 2x + c2e~x sen 2x además:
293
y p = xe~* (A se n lx + B c o s lx ) obteniéndose y p = - — e~x co s lx y la
solución general es:
y = y g + y p = (cl eos2x + c2 senlx)e~x ~ ~ e * cos2x
597) y"+a2y = 2costfw + 3senmx, m * a
Solución
A2 + a 2 = 0 => A =±a/ de donde y g =Cj eos ax + c 2 sen ax
y además y p = A eos ms + B sen mx obteniéndose:
2cosmx + 3senmx , ' ., .y = ------------------------, a * m y la solucion general es:
a 2 - m
2 eos mx + 3sen mx
y - y + y - c x eos ax + c2 senax + --------- ------r-------
8 a - m
598) y " - y '= e x senx
Solución
A2 - A = 0 => A ! = 0 , A2 = l dedonde y g =cl + c2ex 
además: y = ex(yísenx+jBcosx) obteniéndose:
y p = —— (sen x + eos x) y la solución general es:
e
y = y +y = cx + c2x + — (senx + cosx) 
" g p 2
294
599) y ’+2 y =4ex (sen x + eos x)
Solución
A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 de donde
y g = cl +c2e 2x además: y p = ex(Asenx +Bcosx) obteniéndose:
e
y p = — (6 sen x - 2 eos x) y la solución general es:
2 e'
y = y g +yp = + c2e + - - ( 6 s e n x - 2 c o s x )
600) y ’+ 4 /+ 5y = 10e_2jr eosx
Solución
A^+4A + 5 = 0 => A = -2 ± i dedonde:
y = c¡e 2a cosx + c 2 e 2*senx además:
y = xe 2x (A eosx+B sen x) de donde se obtiene:
y = 5xe * sen x y la solución general es:
y - y g +yp - c xe 2xco sx + c2e 2*senx + 5xe v senx
601) y '+2y'+5y = e x (2x + sen 2x)
Solución
A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde:
y g = cxe x cos2x + c%e Xsen2x además
295
yp - (Ax + B)e x + ye X(C sen 2x + B eos 2x) obteniéndose
x - x x
y P cos2* + — e * y la solución general es:
y = c¡e~x cos2x + c 2e x sen 2 x - —e~r cos2x + — e~
4 2
602) 4y''+y' = x sen x
Solución
4 A2 + 8 A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 de donde
y g = cx + c2e~lx además: y p = (.4x + 2?)senx + (Cx-f £>)cosx,
x 7 y i
obteniéndose: y = - ( ---------- >senx- (— + — ) cos x ,
p 20 50 10 50
y la solución general es y = y g + yp es decir:
/ = c ,+ c 2e ** Senx - ( — + — )cosx
20 50 10 50
603) y' '-3y'+2y = xex
Solución
A~ - 3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 = 2 de donde
y g = c¡e + c2e además y p (Ax + Bx)ex obteniéndose
* 2y p = —(.— + x)ex y la solución general es:
x 2
y = y g + y p = cxe* + c 2e 2x- ( — + x)ex
296
604) y''+y'-2y = x 2e 4x
/
Solución
? 1 3A + A - 2 = 0 => A = — ± —/ de donde
2 2
- - 3 3 — 3
y a = Cíe 2 cos —cos —x +ese 2 sen — x además
1 x 2 2 2
y = (Ax2 +Bx +C)4x de donde:
2 7 e 4*y„ = (x - x + — )----- y la solución general es:
J p 18 18 5
4x-J 3 - t 3 2 7 ev = Cíe 2 cos — x + ese z sen —x+( x - x + — ) — 
' 2 2 2 18 18
605) y' '-3y'+2y = (x2 + x)e3jr
Solución
A2 — 3A + 2 = 0 => At = 1, A2 = 2 de donde:
3jc= ^ 2* +c2e lx además y =(A x2 +Bx+C)e
3xC 2obteniéndose: y p = --------(x - 2x + 2) y la solución general es:
e3x
y = cxex +c2e2x + - y ( x - 2 x + 2)
606) y " ’-y "+ y '-y = x 2 +x
Solución
297
(A2 +1)(A-1) = 0 => Aj =1, A2 = / , A3 = - / de donde
A3 - A2 + A -1 = O => A2(A-1) + (A-1) = 0 entonces:
y - c xex + c2 cosx + c3 senx además: y p = A x2 + Bx + C
obteniéndose: y = - x 2 - 3x + 1 y la solución general es:
y = y g + y p = c1ex +c2 cosx + c3 s e n x - x 2 - 3 x + l
607) y iv -2y '"+ 2y"-2y'+y = ex
Solución
A4 - 2 A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 de donde (A2 + 1)(A-1) 2 = 0 entonces A = ld e 
multiplicidad 2 y A2 = i , A3 = - i de donde se tiene 
y g = cle~x +c2xe~x + c3 eosx + c4 sen* además
2 x 2y p = Ax ex de donde y p = — ex y la solución general es:
x 2
y = c¡ex + c2xex +c3 eosx + cA senx + — e x
608) y " -2y ,+y = x 3
Solución
A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2, de donde 
y = Clex + c2xex además y p = Ax" +Bx2 + Cx + D obteniéndose
298
3 2y p = x + 6x +18x + 24 y la solución general es:
y - y g + yp = c¡ex + c2xex + x 3 + 6 x 2 +18 + 24
609) 5y' '-6y'+5y = \3ex coshx
Solución
5yM-6y'+5y = -1) => 5A2 -6A + 5 = 0 entonces
3 3jc3 4 -x 4 — 4
A = — ± — 1 de donde y a =c}e 5 eos — x + Cie 5 s e n - x
5 5 ' * 1 5 1 5
2 e2xademás y p = A e x +B obteniéndose: y p = -----+ 1.3
~x 4 e 2x 
y = y g + yp =c1e 5 eos —x + —̂ - + 1.3
y la solución general es:
3
— X
v_ + v _ = c,e5 eos „
5 2
610) y ,v+ y M= x z +*
Solución
"A4 + A2 = 0 => Ai = 0 de multiplicidad 2
A2 = i , A3 = - i de donde:
y g = C ! + c 2x + c3 cosx + c4 senx además y p = x 2 (Ax2 + £x + C)
x 4 x 3
obteniéndose y „ = — h------- x 2 y la solución general es:
p 12 6
x 4 x 3
y = y ^ = Cj + C 2 X + C3 COSX + C4 S e n x + — + — - X 2
299
Solución
A5 - A4 = 0 => A = 0 de multiplicidad 4, A = 1 de donde:
y g = c , +c2x + c^x l + c4x 5 + c5e* , además:
x 2
y p = x(Ax + B)ex + Ax4 obteniéndose y p = (— - 4x)ex 
y la solución general es:
x 2
y = y g + y p = q +c2x + c3x 2 +cAx 3 + c5ex + (—— 4x)ex
611) y v - y iv = xex - l
612) y"+y = x 2 senx
Solución
A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = c¡ eosx + c2 senx 
además y p = x[(Ax2 + B x+ C )senx + (Cx2 + Dx + E)eosx] 
de donde se obtiene que:
x x 3 x 2y p = (— — —) eosx + — sen x y la solución general es:
x x 3 x 2
v = Ci cos+ c-j sen x + (---------) eos x + — sen x
J 1 4 6 4
613) y ' ,+2y'+y = x 2e x cosx
Solución
300
y g - c xe~x + c2xe~x además:
y p = e~x[(Alx 2 + A2x +A3) cosx+(B\X2 + B 2x + B3) senx]
obteniéndose: y =e~x ( - x 2 eos x + 4x sen x + 6 eos x ) , 
y la solución general es:
y = c¡e~x +c2xe~x +e~x ( - x 2 cosx + 4xsenx + 6cosx)
614) y '" -4y '= xe lx + senx + x 2
Solución
A3 - 4A = 0 => Ax - 0 , A2 = 2, A3 = -2 de donde
y g =cl +c2e 2x +c3e~2x además se tiene:
y Pi =(Ax + B)xe2x, y ?i = C senx + Dcosx, = ( ^ x 2 +A2x + A3)x .
Dedonde: = + <y/>j, obteniéndose:
£ 2 * 2 1 X 3 X= -----(2x - 3x) + — eos x ------------- , y la solución general es:
32 5 12 8
2 x - 2x e 2* 2 x COSX X 3 Xy = c1-hc2e ' + c 3é? + (2x - 3x) h -----— - -
615) y -> > = s e n x
2
A + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2 de donde:
Solución
301
A3 -1 = 0 => A. = 1, A2 =■-—+ — I, A d e donde
1 2 2 2 2 2
JC T V3 2 V3 -= q e + c2e 2 cos — x + c3e 2 sen — x ademas
y p = y4senx-f ¿?cosx obteniéndose y p = — (cosx -senx) 
y la solución general es y = y g + y p es decir:
x ~T V 3 2 1 Í \y - c xe +c2e 2 c o s - ^ - jc + c2e 2 sen-^-Jt + ~ (c o sx -se n x )
616) y '+2y'+2y = e~x eos x + xe x
Solución
A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1±/' de donde: 
y g =c¡e~x cosx + c2~x senx además
= xé~x (A sen x + B eos x ) , =(Ax + B)e~x de donde
y p = y Pl + yp2 obteniéndose que:
jc _ _
= — e * sen x+ xe * y la solución general es:
x e x
y = y g + y p =e x (c¡ eosjc + c2 senx)h— -— senx+ xe
617) j ‘v - 2 / '+ .y = eos*
Solución
302
multiplicidad 2. De donde: y g =c,ex + c2xex + c3e~x + cAx e x además
eos Xy p = A eosx + B sen x de donde: y p = — y la solución general es:
x x -r -r cosjcy = cxe + c 2xe +c3 +c4xe + ------
4
618) y '+y = 2 sen x. sen 2x
Solución
2senx.sen2x = cosx - cos3x => y '+y = eos x - eos 3x
2
A +1 = 0 => A = í / de donde se tiene:
y p - cx eos x + c2 sen x además y Pi = x(Ax eos x + A2 sen x) =>
y P2 = Bx eos 3x + B2 sen 3x de donde y p = y Pl + y Pi
- j xsenx cos3x , .,obtemendose: y p --------------------------------------------------------------------------1- - ------------- y la solucion general es:
2 8
x sen x eos 3xy = Ci cosx + c2 senx-f---------+ --------
2 8
619) / ’+4y = jtsen2 x
Solución
2 * XCOS2X -2 ^y +4y = x sen x = --------------- A + 4 = 0 => A = ±2/
2 2
de donde = cx eos 2x + c2 sen 2x además y =Axx + A2
A4 - 2A2 + 1 = 0 => (A " -l)2 => A, =1 de multiplicidad 2, A2 = -1 de
303
y Pi = 4(SiX + C ,) eos2x + (B2x + C2) sen 2x] de donde: 
y p = y Pí + yPl obteniéndose:
%
x xcos2x x 2 sen2x , , ., fv ---------------------------------y la solucion general es:
^ 8 32 16
x xcos2x 
= q eos 2x + c2 sen2x + - ----- —-----
620) / v + 2 y 1' '+2y '+2/+.y = xe*
Solución
A4 + 2A3 + 2A2 + 2A +1 = 0 de donde (A2 +1)(A + 1)2 =0
de multiplicidad 2. A = ±i de donde:
j;g = cxe~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx además:
^ = ( ^ x + )** =* .V/>2 = X(B\ sen x + B2 cos x)
de donde y p - y p+ y Pi obteniéndose que:
x 1 xy „ = (-------)ex — cosx y la solución general es:
y P v8 4 8
X 1 J
y = c1e~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx + (— ~ ~ )e* "
621) / '+ / = c o s 2 x + e* + x 2
Solución
7 %* 9 • COS 2x r 2y + y = eos x + e +x => y +y = -------- +-e' + x~ -
x 2 sen 2x 
16 ~
=> A = — 1
cosx
304
A2 + A = 0 => Aj = 0 , Aj = -1 de donde: 
yg =c1+c2e~x además yP{ = A¡ cos2x +A2 senx.sen2x 
yPi=A3ex, y p3 =x(B¡x2 + B2x + B3) dedonde: 
yp = ypi +ypi +yp, obteniéndose que:
sen2x cos2x ex , x 5 2 ~y - ------------------- + ----+ (------ X + 2 x )
p 20 10 2 3
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
sen2x cos2x ex x 3 2 ̂y = c1 +c2e x + ------------- ------+ — + ------- x +2x
20 10 2 3
y v + 4 y M= e x +3sen2x + l
Solución
A5 + 4A3 =0 => A = 0 de multiplicidad 3 => A = ±2/ 
de donde: y g = c¡ + c2x + c3x + c4 cos 2x + c5 sen 2x además
y P¡ = A e x , y Pl = *(^2 sen 2* + cos2x ) , y p¡ = /í4x 5 
de donde: y p = + y pi + y p¡ obteniéndose
ex 3x x 3
= — + — sen 2x + — y la solución general es:
623) y ''-3 y ’+3y '-y = e x cos2x
Solución
A3 - 3A2 + 3A -1 = 0 => (A - 1)3 = 0 => A = 1 de multiplicidad 3, de
donde: y g =cxe* +c2xe* +cix 2e* además:
e*
y =ex( A eos 2x+B sen 2x} obteniéndose y p = - sen 2x
” O
y la solución general es:
e*
y = y g + y p = cxex +c2xex + c3xex - — sen 2x
624) y 1' '-2y'+4y = ex eos x + x 2 + sen 2x
Solución
A3 - 2 A + 4 = 0 => (A + 2)(A2 - 2 A + 2) = 0 de donde
Ax = -2 , A2 = 1 + / , A3 = l - / y además:
^ rre je”2̂ + c2ex cosx+ c3e x senx ; y
j;^ = Ax x 2 + A2x + A3 entonces y f2 = Bx sen 2x + B 2 eos 2 x ,
(cj eos x + c2 sen x) de donde .v„ = y P¡ + yP3
obteniéndose que:
1 1 x<?x
y„ = — (2x2 +2x+l) + — (sen 2x + 3 eos 2x +------(3 sen x -eo s* ))
yp 8 40 20
y la solución general es: y = y g + y p
306
625) y"+ y '= x2 -e ~ x +ex
Solución
A2 + A = 0 => A) = 0 , A2 = -1 de donde _ve = í j + c 2e~ 
además yp¡ ~x(A,x2+A2x+A3) =>
yPx =Bxe X, y p =ce* de donde y p = y p¡ + y p¡ + yp¡
Jf3 1
obteniéndose: y --------x 2 + 2x + xe x + — ex
3 2
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
y = c{ +c2e x + — - x 2 + 2x+xe * + ~
3 2
626) y '-2y '-3y = 2x + íTx - 2e3x
Solución
A2 - 2A - 3 = 0 => Aj = -1 , A2 = 3 de donde 
y g - c xe~x + c2e3x además:
yPl = Axx + A2 , y pi = A 4xe~x, yp} = Axe3x de donde:
2x 4 xc~x x i
y p ~ y p , +ypr obteniéndose y ------- + ----------------- e 3jr
2 3 9 4 2
y la solución general es: y = y g + y p es decir
-x 3X 2x 4 x e x xe3xy = c,e +c2e ----- + -------------------
3 9 4 2
307
627) y"+4y = ex + 4sen2x + 2cos2 x - l
Solución 
y"+4y = ex + 4sen2jc + 2cos2 j c - 1
y"+4y = ex +4sen2x + 2cos2jt => A2+4 = 0 => A = ±2/ 
de donde = c{ eos 2x + c2 sen 2x además y Pi=Aex 
y Pi = x(B eos 2jc + C sen 2jc) de donde y p = y
1obteniéndose: y = — + *(— sen 2jc - eos 2x)
5 4
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
1y = c j eos 2* + c 2 sen 2x + ----+ jc(— sen 2x - eos 2x)
5 4
628) y % '+3y'+2y = 6 x ex (1 -e" 'r)
Solución
y+3y+2y = 6e~x -6xe~2x => A2 + 3A + 2 = 0 , entonces: Aj = -1 , ) 
De donde y g = x(A2x + B2)e~2x además
ypx =x(Axx + B l ) e ; y pi = x(A2x + B 2)e~2x,de donde y p = y 
obteniéndose: y p = 3(x2 -2x)e~x +3(x2 + 2x)e~lx
y la solución general es:
y ~ . y g + y p = c{e~x + c 2e~lx + 3(x2 -2x)e~x +3(x2 +2x)e~2x
t2 = - 2
308
629) y' '+y = eos2 2a: + sen2 ^
Solución
2 ̂ 2 * 1 + cos4jc 1-cos*v + v = eos 2x + sen — = -----------+----------
2 2 2
« COS4;t COSJC ,2 , , , ,y +y = \ + ---------------- => A +1 = 0 => A = ±i de donde
2 2
y g = Ci eos x + c2 sen x además
y Pí = A¡ , y Pi = (yí2 eos 4x + A3 sen 4x) , y P3 = *(¿?j eos x + B2 sen x)
de donde y p = y p¡ + y Pi + y obteniéndose
, cos4x xsenx , .,
y p = 1 ----------------— y la solucion general es:
, c o s 4 j c *senx
y = y g + y P = ci eosx + c2 senx+ 1 ----- --------- —
630) y' - 4y'+5y = e 2x (sen x + 2 eos x)
Solución
A2 -4A + 5 = 0 => A = 2±/ de donde 
y g = c xe 2x eosx + c2e 2x sen* además
y p = xe2x (A sen x + B eos x) obteniéndose
X 9
y p = (x sen x - — eos x)e x y la solución general es:
2 x 2 x 2x / COS^f.y = c¡e eos x + c 2e senx+xe (sen*---- —)
309
A2 -4A + 5 - 0 => A = 2 ±i dedonde
631) y''-4y'+5y = 1 + eos2 x + e 2x
Solución
y = cxe 2x eosx + c2e lx senx además:
„ ̂ 3 eos2* 2xComo y -4 y +5y = — + -------- + e , entonces tenemos:
2 2
y P i= A l9 y Pi = A2 eos2x + A2 sen 2x + A$ sen 2 x , y P i = B e2
de donde y^ = y Pi + yP2 + y o b te n ié n d o s e
2x 3 1 4y w = e + — + ---- cos2x------ sen2x
yp 10 130 65
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
2x 3 c o s 2 jc 4sen2xy = Cie cosx + c^e senx + e +— +--------------------
y 1 2 10 130 65
2 ^632) y M-2 y '+ 2 y = e sen
Solución
ff , * 2 * e*y -2y+ 2y = r sen‘ - = - ------— eos x
A2 -2A + 2 = 0 => A = l± / de donde y g = cxex eosx + c 2ex senx
además y = A ex , y pi = xex (B eos x + C sen x) dedonde:
310
X Xc xc sen x
y p = y p + y pi ------------- ------ , y la solución general es:
j jr e* xe* sen xy = y g +yp = cxe cosx+ c2e senx+ — - -----
633) y " -3 y '= l+ e x +cosx+senjc
Solución
A2 - 3A = 0 => At = 0 , A2 = 3 dedonde
y g = Cj +c2eix además y p¡ = Ax , ^ = 5 e " 
y P} = C s e n x + D eosx de donde: ^ ^
x eos x _2 sen x
obteniéndose, y p - - — — — + -------------------------------------------------- ---------- y la solución general es:
:\x x e x eos x - 2 sen xy = c, +c2e — = — + ------------------
1 2 3 2 5
634) y '-2y'+5y = e* (1 - 2 sen 2 x) +10*+1
Solución
y -2 y + 5 ^ = e x{l - 2 sen 2 x) + 10x + l
y ,-2>'+5>' = e x cos2x +10jc+ 1 ^ A2 -2A + 5 = 0 entonces A = 1 ± 2/
y g = cxex eos 2x + c2e x sen 2x además
y Pi = xex(Acos2x-hBsen2x) => y pj =Cx + D dedonde
x
y p = y p t +yp1 obteniéndose y p = —ex sen2x + 2x+l
311
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
£
y = (q eos 2x + c2 sen 2x)ex + — sen 2x + 2x +1
4
y' l-4y*+4y = 4* + sen x + sen 2x
Solución
A2 - 4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2.
^ = q e 2* + c2xe2x además y Pi =Ax + B
y p -C s e n x + D cosx , y Py = 2scos2x + Fsen2jc de donde
y p ^ y p i + y p i + y * obteniéndose
y p = x +1 + — (4 eos jc + 3 sen x) + - eos 2x y la solución general 
25 8
y s q e 2* +c2xe lx + x + l + — (4cosjc + 3sen x )+ —cos2x
25 8
y' '+2y'+y = 1 + 2 eos x + eos 2x - sen 2x
Solución
A2 + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2.
= cxe~x +c2xe~x además: 
y Pi = A x , y Pi = i?cosx + C senx , y Pj = D eos2x + E sen2x 
de donde: y p = y Pl + y Pl + y P3 obteniéndose
, eos 2x + 7 sen 2x , .,
= 1 + sen x h---------- —--------- y la solucion general es:
y = c1e +c2xe + l + sen;t +jc . i . ___ . eos 2x - 7 sen 2x
25
y"+ y+ y+ l = s e n x + x + x 2
Solución
A2 + A +1 = 0 => A = — — ± / de donde
2 2
y p = A scnx + B cosx + Cx2 + Dx +E de donde:
2
<y/, = x - x - 2 - eos x y la solución general es: y - y g + y p
Í Sy = c{e z eo s -^ -x + c2e L sen — x + x - x - 2 - c o s x
y' '+6y'+9y = 9xe~3x +1 + 9 sen x
Solución
A2 + 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplicidad 2.
y g 3* + c 2*e 3jr además
yp\ = A > y Pl = x [(5 1 x + cx)e 3x], y P} =(B2 senx + C2 cosx) 
de donde y p = y pi + y f i + y Pi obteniéndose
y D = — + — x 3e x + — (36sex-21 cosx)
9 2 50
y la solución general es: y = y + y p es decir:
_3 r -3 r 1 3xe 1 , __ xy - c ye +Cixe + —+- + — (36 sen jc-27cosjc)
1 2 9 2 50
639) y % '+2y+l = 3 sen 2x + eos x
Solución
A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 entonces:
y g = q + c2e~2* además = .4 , >^2 = B sen 2x + C eos 2x
y P3 = D cos* + £ sen x de donde: y p = y p¡ + yPi + y P}
., t x eos* 2 3 ,
obtemendose: v„ = ------------------- h — senx — (sen 2 * -e o s 2x)
2 5 5 8
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
_2r 2senx cosx x 3 ,
v = Ct+Coe ' + ---------------------------- (sen2x + cos2x)
7 1 5 5 2 8
En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las 
ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas.640) y '-5y '+ 6y = ( \2 x - l ) e x , y (0) = y (0) = 0
Solución
A2 -5A + 6 = 0 => Aj = 2 , A2 = 3 de donde
314
y g =cxe 2x + c2e 3x además y p = ( A x + B ) e x obteniéndose 
y p = xe~x y la solución general es:
y = y g +yp = cxe 2x + c3*3* +xe~x , para x =D, y = 0
Se tiene que: cx + c2 = 0 ... (1)
y = 2cxe 2x +3c2e 3x +ex -xe~ x entonces: 
y ’= 2c¡e2x +3c2e3x +e~x -xe~ x p a rax = 0, v!=Q
Se tiene que: + 3c2 +1 = 0 ... (2)
de (1) y (2), se obtiene: cx - 1 , c2 *» -1 
por lo tanto: y = c¡e2x + c2e3x +xe~x entonces:
y = e 2x - e 3x +xe~x
641) y' *+9y = 6e3x, y (0) = y (0) = 0
Solución 
A2 +9 = 0 => A = ±3/ de donde: 
y g =cx eos3x + c2 sen3x además y p = Áe3x de donde
e 3x
y p = - y - y la solución general es:
e 3x); = y g +yp = cx cos3x + c2 sen3x + ——
315,
642)
para x = O, y = O => 0 = c , + ” => c1 = - ^
'ycos3x ̂ e A Av * — —*------ + csen3x + ---- derivando
y 3 3
y ’=sen3x + 3c2 cos3x + e 3* p a r a x - 0 , yf= 0
0 = 3c2 +1 => c2 = - j por lo tanto:
1 3xy =r- — (cos3x+ sen3x-e )
y''-4y'+5y = 2 x 2e x , y(0) = 2, ,v’(0) = 3
Solución
i
A2 - 4 A + 5 = 0 => A = 2 ± i de donde
y g = q e 2x cosx + c2e 2* senx además y p = (ylx2 +Bx + C)ex 
obteniéndose y p = (x + l)2ex y la solución general es parax = 0, y = 2 
entonces 2 = c¡ +1 => q = 1
elx (cosx + c2 senx) + (x + \)2ex , derivando tenemos: 
y = 2 e 2r(cosx + c2 senx) + e2x(-sen x + c> x o s* ) + 2(x + l)eA + (x + l)2eA 
parax = 0, y f = 3 => 3 = 2 + c2 + 2 + 1 => c2 = 
por lo tanto: y = e2A (eos x - 2 sen x) + (x +1)2 e*
316
643)
644)
Solución
A2 + 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplicidad 2 
y = c¡e~3x+c2xe~3x además y p = ,4 senx + 2? cosx
y v,+6yf+9y = 10 sen x , y (0) = f (0) = 0
de donde y^ = - (4 sen x - 3 eos x) y la solución general es:
y = c¡e 3x + c2xe 3x + -^ (4senx-3cosx )
3 3
para x = 0, y = 0 => 0 = q - - => ci = “
y '= -Z cxe 3jr+3c2xe 3x + j(4 c o sx + 3 se n x )
4
para x = 0, y '= 0 => 0 = -3 q + c2 + — => c2 = 1
por lo tanto: y = y e 3x +xe 3x + y (4 sen x -3 co sx )
y"+y = 2 c o sx , y(0) = 1, y'(0) = 0
Solución
A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = q cosx + c2 senx 
además y p = x (^ eos x + B sen x) obteniéndose 
y^ = x sen x y la solución general es:
317
y = y g + y p = q co sx + c2 senjc + jrsenac, parax = O, y = 1 
entonces: 1 = c,
y '= -C j senjc + c2 cosx + senx + x co sx , para x = 0, y '= 0 
entonces: 0 = c2 por lo tanto: y = eos x + x sen x
645) y ’ '+4y = sen x , j,(0) = .y’(0) = l
Solución
A2 + 4 = 0 => A = ±2/ de donde y g = cx eos 2x + c2 sen 2 x , además
sen x
y p = A sen x + B eos x , obteniéndose y p = y la solución general es:
sen x
y ^ y g +yp = cos2x + c2 sen2x+ —— 
para x = 0, y = 1 => 11 = q
eos X
y = -2cx sen 2x + 2c2 eos 2x + —^ p a r a x = 0, y' =1
1entonces 1 = 2c 2 + — => c2 = —
2 3 3
sen2x senx
por lo tanto: y = eos 2x + — -— + —-—
646) y " - 6 y '+ 9 y - x 2 - x + 3 , y(0) = y y'(0) = ~
Solución
318
.yg = c¡e3x + c2xe3x además y p = A x2 + Bx + C obteniéndose
A2 - 6A + 9 = 0 => A = 3 de multiplicidad 2
x 2 jc 1
y - — + — + _ y la solución general es: 
p 9 27 3 J 6
3 x 3 * X 2 X 1 4^ = Cie + c 2x + — + — + —, para x = 0, y = —
1 2 9 27 3 ' y 3
4 1 i 3* 3x X2 x 1— = C i+ - => Ci =1 entonces: y = e + c ? x e + — + ----- h —
3 1 3 1 7 2 9 27 3
y = 3e3r + c2e 3x +3c2xe3x + — + — para x = 0, y' = — , entonces:
9 27 27
1 ̂ 1— = 3 + c2 h----- => c7 = -3
27 2 27 2
1 . . 3X , 3X X2 X 1por lo tanto: y = e - 3xe + — + — + -
9 27 3
647) y"-4y'+4y = e 2xy y(0)= 2, /(O ) = 8
Solución
A2 -4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2 
y = q e 2* + c 2xe2x además y = A x2e 2x obteniéndose
jc2
y p = — e 2x y la solución general es y = y g + yp
x 2
es decir: y = c¡e2x +c2xe2x + — e 2x, para x = 0, y = 2 => 2 = q
319
y = 4 e lx +c2xe2x +xe2x + x 2e 2x y para x = 0, y 1 =8 
entonces: 8 = 4 + q => c2 = 4
x 2
por lo tanto: y = 2elx +4xe2x +~J~e2*
y"+4y = 4(sen 2x + eos2x) , y(n) = y'Or) = 2/r
Solución
A2 +4 = 0 => A =±2/ de donde: y g =Cj eos2x + c 2 sen 2 x , además
y p - x(A sen 2x + C eos 2jc) obteniéndose y^ = sen 2x - eos 2x)
y la solución general es: y = y g + y p es decir:
y = c¡ eos 2x + c 2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x)
para x = n, y = 2n => 2n ~ c x - n => cx =3n
y = 3k eos 2* + c2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x)
y = - 6n sen 2x + 2c2 eos 2x + sen 2x - eos 2x + 2x(cos 2x + sen 2x)
para x = re, y '= 2 ;r => 2n = 2c2 — 1 + 2/r => c2 = ~
sen 2x , 
y = 3̂ r eos 2x H---------- t- x(sen 2x - eos 2x)
y ' - y ' - -5é~x (sen x + cosx), y(0) = -4, y'(0) = 5
y = 2elx + c2x lx + e 2x, derivando se tiene:
Solución
además: y p = (/í sen x+ B cosx), obteniéndose: y p ~ e~ *(senx-2cosx)
y la solución general es: y = c¡+ c2e*+ e~x( s e n x -2 c o sx ) , 
para x = 0, y = - 4 => -4 = cx = c2 - 2 => cx + c2 = -2 
/ = c 2ex - e~x(senx - 2 eosx)+ e~x (eosx + 2 sen x) 
para x = 0, y'= 5 => 5 = c2 +2+1 => c2 = 2, c, = -4
por lo tanto: y = -4 + l e x + e~x (sen x - 2 eosx)
650) y ”-2y'+2y = 4ex cosx , y(n) = nen , y ( ^ ) = e *
Solución
Az -2A + 2 = 0 => A = 1 ± í de donde: y g = (Cíe* co sx + c2e* senx) 
además: y p = xex(A c o s x + B senx), obteniéndose: y p = 2xex senx 
y la solución general es: y = y g + y p - e x (cx eos x + c2 sen x )+ 2 xx sen x 
para x = / r , y = jten => rten = e ncx => q = n 
y '= e x(cx co sx + c2 senx) + e x(~cx senx + c2 eos x) + (2e*x senx) 
para x = k , y '= e n => e* = en {-cx - c 2) entonces: 
c2 = 1 —c¡ => c2 =1-«- por lo tanto:
y = e x{n cosx + (l-7T)senx) + 2xejr senx
2A - A = 0 => A[ = 0 , A2 = 1 de donde y g - c¡ + c 2e *
321
Solución
A3 - A = 0 => Aj = 0 , A2 = l , A3 = - l de donde: 
y g =cl +c2ex +c3e~x además y p -x (A x + B) de donde 
y p = x 2 y la solución general es: y = y g +yp = cx +c2ex +c3e~
651) y " ' - y ' = - 2 x , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1, /'(O ) = 2
para x - 0, y = 0 entonces: 0 = c¡+ c2 +c3 (1)
y '= c2ex - c 3e x de donde para x = 0, y ’=l
l = c2 - c 3 = c2 - c 3 =1 (2)
y ”=c2ex +c3e x de donde para x = 0, y" =2
... (3)2 = c2 + c 3 => c2 + c3 = 2
de (2) y (3) se tiene:
c2 = , c3 = , c, = —2, por lo tanto:
^ 3 x 1 -x 2v = - 2 + —e h— e + x 
2 2
652) y ív- y = 8ex , y(0) = -l, / ( 0 ) = 0 , / ’( 0 ) - l . /" ( 0 ) = 0
Solución
A4 -1 = 0 =» Aj =1, A2 = - l , A3 = í , A4 = - i 
y = c,e* +c2e~x + c 3 cosx + c4 sen* además y p =Axex
322
obteniéndose v;, = 2xex y la solución general es: 
y = cxex +c2e~x +c3 cosx + c4 senx + 2xex ,
para x = 0 , y = 0 ¡ => - l = c , + c 2 +c ..(1)
y ’=c¡ex - c 2e x - c 3 senx + c4 cosjc + 2í’ r + 2xe1 
para x = 0, / = 0 => 0 = q - c 2 + c4 +2
Cj C j + c4 = —2 . . . (2)
y''=c¡e +c2e x - c 3 c o s x -c 4 seax + 4ex +2xex 
para x = 0, y ”= 1 => l = c !+ c 2 - c 3 +4
Cj +Cj —c3 = —3 ... (3)
y" '= c¡ex - c 2e r + c3 s e n x - c 4 cosjc + 6er +2xex 
para x = 0, / " = 0 => 0 = c , - c 2 - c 4 +6
c, - c 2 — c4 = -6 ... (4)
desarrollando (1), (2), (3) y (4) se tiene:
= -3 , c2 = 1, c3 = 1, c4 = 2 por lo tanto:
y = -3 e r + é~x + cosx + 2 sen x + 2xex 
y " ’- y = 2 x , y(0) = y'(0) = 0 , y " ( 0) = 2
Solución
, ' I V3 ~ -73y g =c¡e +c2e 2 eos— x+ c3e ¿ sen— x
además y p = Ax + B obteniéndose y p = 2.v 
y la solución general es: y - y g + y p es decir:
, - f V3 i V3 ,y = + c2e 2 co s-^ -x + c3e 1 sen-~~x+2x
empleando las condiciones dadas se obtiene la solución particular.
4 _f ^v = — ¡= e ¿ sen — x + 2x
-73 2
654) / v ->> = 8 e \ y(0) = 0, / ( 0 ) = 2 , / ’(0) = 4 , / " ( 0 ) = 6
Solución
A4 -1 = 0 => Aj = - 1 , A2 =1, A3 = i\ A4 = - / dedonde
^ = cxe~x +c2e x + c3 cosx + c4 senx además y p = Axex
obteniéndose: y p = 2xe* y la solución general es:
y = cxe~x + c2ex + c3 cosx + c4 senx + 2xex
para x = 0, y = 0 ==> c1+ c 2 + c 3 =0
para x = 0, y f= 2 => Cj + c2 + ^ 4 = 0
para x = 0 , / ’= 4 => cx + c2 - c 3 = O
para x = 0, y ' 1 = 6 => - c 1+ c 2 - e 4 =0
entonces: cx = c2 = c3 = c4 = 0 de donde y = 2xex
324
En los siguientes problemas se necesitahallar las soluciones particulares de las 
ecuaciones que cumplen en el infinito las condiciones dadas.
655) / ' - 4 / + 5 y = senx, y es acotada para x -H -00
Solución
Sea p(r) - r 1 - 4r + 5 = 0 => ^ = 2 + / , r2 = 2 - i
2 v 2 v •= q e ‘ eos x + c2e sen x . La solución particular es de la forma:
y p = A cosx + B sen x =>
= - /ís e n x + i?cosx 
\ y \ = -./í co sx - £ senx
ahora reemplazando en la ecuación diferencial.
-A eos x - B sen x + 4A sen x - 4B eos x+5A eos x + 5B sen x = sen x 
(4 A + 4 B) sen x + (4 A -4 B ) eos x = sen x entonces:
, 1
Í4A + 4B = l
[4 .4 -4 5 = 0 ^ g = l 
8
cosx senx
8 8
La solución general es: y = y g + y p
2x 2x eos x +senx
. . y = cxe eosx + c2e senx + -----------------------
y es acotado cuando x ->00 o q = c 2 = 0 de donde la solución general es
eos x + sen xde la forma siguiente: y = - ^
325
656) y '+2y'+5y = 4 eos 2x + sen 2 x , y es acotada para x ->-oo
Solución
Sea /?(r) = r2 + 2r + 5 = 0 => rx = -1 + 2/, r2 = -1 - 2 /
^ = q e -* cos2x + c2e~* sen 2 x , la solución particular es de la forma: 
y p = ,4cos2x + i?sen2x, de donde:
y p = -2,4 sen 2x + 25 eos 2x => = - 4 ^ eos 2x - 4B sen 2x
reemplazando en la ecuación diferencial.
-4Acos2x—4Bsen2x-4Asen2x+4Bcos2x + 5Acos2x + sen2x = 4cos2x + sen 2x 
(A + 4B) eos2x + (B - 4A) sen 2x = 4 eos 2x + sen 2*
L4 + 4 5 = 4 f¿ = 0
\ - 4 A + B = l ^ [5 = 1
y p = sen2x
La solución general es: y - y g + y p
y = cxe~x eos2x + c2e~x sen2x + sen2x
ahora y es acotado cuando x ->-oo o cx = c2 = 0 por lo tanto la solución 
es: y = sen 2x
657) y' - y = 1, y es acotada para x ->oo
Solución
Sea p(r) = r 2 - 1=0 => ^ = 1 , r2 = - l
326
y g = cxex +c2e *, la soluciónparticular y = A , de donde: 
y lp = 0 => y*p = 0 => O —A = 1 =S> A = - 1
por lo tanto la solución particular es y p = -1
y la solución general de la ecuación diferencial es: y = y g + y p de donde:
y — cxex +c2e~x -1 
y es acotado cuando x —>oo <=> c¡ = c2 = 0 
por lo tanto: y = -1
y r— y = -2 eos x , y es acotada para x —>oo
Solución
Sea p ( r ) - r 2 - 1=0 r j = l , r2 = -1
j y = C ie*+c2<rx
La solución particular es de la forma:
{>>* = -A s e n x + B cosx y p = - A c o s x - B s e n x
reemplazando en la ecuación diferencial.
- A eos x - B sen x - eos x - 5 sen x = -2 eos x 
-2 A eos x - 2 B sen x = -2 eos x => A = 1, B = 0 
y p = cosx
La solución general de la ecuación diferencial es:
y = cíex +c2e~* +cosjí
y es acotada para x - > o o <=> cx = c2 - 0 
por lo tanto: y = eosx
659) y"-2y'+'y = 4e~*, y - * 0 para x-»+oo
Solución
Sea p(r) = r 2 - 2r +1 = 0 => r = 1 de multiplicidad 2.
y g - cle x + c2xex la solución particular es
y p =Ae~x => y \ = -A e -x => y \ = Ae~x
Ae~x + 2Ae~x + Ae~x = 4e~x entonces: A = 1, ó sea y p =e~x 
La solución general de la ecuación diferencial es:
y = y * + y p = ° ieX+ CiXex + e "x
y —>0 cuando x —>00 <=> cx = c2 = 0 por lo tanto: y = e
660) y ' ’+4y’+3y = 8 e * + 9 ,y -> 0 para x->-a>
Solución
Sea p(r) = r 2 + 4r + 3 = 0 => ^ = - 1 , r2 = -3
y g = + c2e“3*, la solución particular es de la forma: y
Ahora derivando tenemos: y ]p = Aex , y J, = ,
¿£?*+4ér*+3e*+3¿J = 8é?JC+ 9 = > A = l , B = 3
entonces:
328
Por lo tanto la solución particular es: y p - ex + 3
La solución general de la ecuación diferencial es:
y = y g + y p = c\e x + c2e +e* + 3, y ->3 cuando x
c¡ = c2 = 0 por lo tanto: y = e x + 3
661) y % '-y '-5 y = 1, y para x ->oo
Solución
Sea p(r) = r 2 - r - 5 = 0 => r, = 1 + ̂ * , r2 = ^ - ~
1+V2Í 1-V21-- ---Jf ------JC
^ g = c ,e 2 +c2e 2
La solución particular es: y p = ^ => y p = o , ^ =0
0 — 0 — 5A = 1 => A = — — => v = — —
5 p 5
La solución general de la ecuación diferencial es:
1+V2T 1+V2I
>' = -Ví r + -v /> = = c l e 2 X + C 2e 2 *
1 I
V —> - j parax~>oo <=> cx = c2 = 0 por lo tanto: y = - —
í>62) y"+4y'+4y = 2eA(senx + 7cosx), y - » 0 para x-»-oo
Solución
■00 si y solo si
329
y g = c1e~2x +c2xe~2x
La solución particular es: y p - e x (A eos x + B sen x) 
ŷ p = e*[,4(cosjc- sen jc) + 5(senx + cos x)] 
yp = e x[2B cosx-2A senx] entonces:
ex[2B eos x - 2 A sen x + 4yí(cos jc - sen jc) + 42?(sen x + eos x) +
+ 4^(cos x + B sen x)] = 2ex (sen x + 7 eos x)
e x [(8B - 6A) sen x + (6B + 8,4) eos x] = 2 e x (sen x + 7 eos x)
ex[(8B - 6 A) sen x + (6 B + 8^) eos x] = 2ex (sen x + 7 eos x)
[%B-6A = 2 A = 1
{65 + 8,4 = 14 ^ 5 = 1
^ = e r (cosjc + senjc)
y '-5'+6y = 2éT2* (9 sen 2jc + 4 eos 2 x ) , y -» 0 , para x -> +oo
Solución
Sea p(r) = r 2 - 5 r + 6 = 0 => rx = 2 , r2 =3
^ = q e 2* + c2e 3* , es lá solución general de la ecuación homogénea
La solución particular es de la forma:
p(r) = r2 + 4r + 4 = 0 => r = -2 de multiplicidad 2.
y \ = e~2x[(-2A - IB )sen 2x + (2 B - 2 A )eos2x]
y®, = e~2jt (8A sen 2x - 85 eos 2x)
ahora reemplazamos en la ecuación diferencial:
y \ = e~2x (%Asen2x-%B eosx2x)
- 5 y [p =e~lx[(\0A + \ 0 B) sen 2x + (1OA - 1OB) eos 2x]
6 y p = e~2x (6,4 eos 2x + 65 sen 2x)
" 5y'p + 6y p = íT2* [(18/1 + 165)sen 2x + (16A -1 2 5 )eos 2x] =
= 2 e 2'< (9 sen 2jc + 4 eos 2x)
(18v4 + 165)sen 2x + (16,4-125) eos 2x = 18 sen 2x + 8cos2x
, 43
Í18.4 + 165 = 18 59
[16.4-125 = 8 ^ 5 = ü
59
por lo tanto: y = e “2jr (— eos 2* + — sen 2x)
p 59 59
664) / ,-4 /+ 4 > ' = (9x2 + 5x- l2 )e~ x, y —> 0 para x —> oo
Solución
Sea p(r) = r 2 - 4 r + 4 = 0 => r = 2 de multiplicidad 2
y p = e 2x (A eos 2x + B sen 2 x ) , ahora derivando tenemos:
331
La solución particular es de la forma: 
y p = (A x2 +Bx+ C)e~x , derivando tenemos
y \ = (2Ax + B)e~x + ( -A x 2 -B x + C)e~x = e_Jr( - A x 2 + (2A - B ) x + B - C )
f
y \ =e~x (Ax2 + (B -4 A )x + 2 A -2 B + C)
e~x[Ax2 + (B -4 A )x + 2 A -2 B + C ]-4e~x ( - A x 2 + (2 A -B )x + B - C ) +
+ 4(Ax2 +Bx + C)e~x = e~*(9x2 + 5 x - \2 ) 
9Ax2 +(9B-12A)x + 2 A -6 B + 9 C = 9 x 2 + 5x-12
y = cxe lx + c2Jte2* , solución general de la ecuación homogénea.
9 A = 9
9 B -1 2 A = 5 =>
2 A -6 B + 9 C = -12
A = 1
5 = H
9
C = ——- 
9
/ 2 1 7 8 a -^ = ( x 2 + - x - - ) e
La solución general de la ecuación diferencial es:
17 8
>' = 3;g +JV = 9e2* +c2xe2x + (x2 +— x - - ) e
y —»0 cuando x -*oo o cx = c2 - 0
17 8
por lo tanto: y = (x2 + — x - —)e *
332
e c i j a g i o n e s d e e u l e r I
Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma:
n d ny n - \ d n~Xy dy
a „x -— + an_lx - — ¡- + ..- + a lx — + a0y = 0
dx dx dx
donde an,a n_x,...,ax,a0 son constantes.
Para resolver estas ecuaciones se reducen a ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas de coeficientes constantes, mediante la sustitución.
x - e => t = lnx además
dy_
dy _ dt = e -t dy _ . d y _ e_, dy
dx dx dt dx dt
dt
dy'
d^y_ _ dy' _ dt = e -t dy__ e -t <L,e-t dy_~
dx2 dx dx dt dt 6 dtdx2 dx dx
dt
d 2y _ - i , ( d 2y ¿y. 
d x2 d t 2 dt
También son ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales de la 
forma:
„ d n y , d n~l \
a n(ax + b) — — + an_l (ax + b)n — ^ - + ... + a0y = 0 
dx dx
estas ecuaciones diferenciales se resuelven en forma análoga al caso anterior, mediante 
la sustitución.
ax+b = e‘ => t = ln(ax + b)
333
Las ecuaciones diferenciales no homogéneas de Euler son de la forma:
anx n ^ -^ - + ... + a1x ^ - + a0y = x a Pm(ln(*)) 
cbt"_________ dx__________________
donde m es el grado de Pm (ln(x))
También estas ecuaciones se resuelven en forma similar al caso anterior.
Integrar las siguientes ecuaciones de Euler.
665) x 2y"+xy'-y = 0
Solución
Sea x = e* => t = lnx además:
d y _ . , d y d 2y _ lt d ^y dy
dx dt dt dt dt
que reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
e 2t ,e~2t (—— - — ) + - e l ,e~* — - y = 0 , simplificando 
d t2 dt dt
d 2y— - y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes. 
d t2
A2 -1 = 0 => Aj =1 , A2 = -1 
la solución es: y(t) = c^e1 + c1e~t
666) x 2 y' '+3xy'+y = 0
Solución
Sea x = e* => t = lnx además:
dy_ = e-,dy_. <*2y _ - 2>(<¡2y dy
dx dt ' d t2 d t2 dt
reemplazandoen la ecuación diferencial se tiene:
e 2t.e~2t ) + 3e'.e- ' — + y = 0 , simplificando
dt dt dt
d 2 y dy
— r- + 2 — + y - 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes 
d t2
A2 + 2A +1 = 0 => A = - l de multiplicidad 2.
/ x _/ —t i * + 1̂ ^9 lnxX 0 = ^i^ + c2te de donde: —-----
x x
667) x 2 y' '+2xy’+6y = 0
Solución
Sea x = e* => t = lnx además:
dy dy d y _2, , d 2y dy~— - e — ; — — = e (— ------—) reemplazando
dx dt d t2 d t2 dt
e » £ - » (£ z - ± )+2e' £ - , ! ! y +6, , 0 
d t2 dt dt
d 2 y dy
— r-+ — + 6y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: 
d t¿ dt
335
1 423
A2 +A + 6 = 0 => A = — ± ------i de donde:
2 2
(1 4 V 23 , -3 V 23,
y (0 = c1e 2 eos —— f 4-c2e 2 sen - — r
1 -723 , V23 . .por lo tanto: y = — [cx eos- ln x 4- c2 sen ——— ln x]
- J x 2 2
668) xy"+y'=0
Solución
Sea x = ex => t = lnx además:
7 2 ,
d y . r - 7 t ( d y ^ 
dx dt ’ d i2 d t2 di
t -21 ,d y dy _t dyreemplazando se tiene: e .e (— - —) 4- e — = U
d i2 di di
2^
= 0 => A2 = 0 ==> A = 0 de multiplicidad 2.d y A _ 1 2 .2di1
y(t) = cl +c2t => j/ = cj4*c2 lnx
669) (* + 2)2 y ’ '+3(jc 4- 2 ) / - 3 y = 0
Solución
Sea x 4- 2 = e r => t = ln(x 4- 2) además:
d2y _ r - 2 ' ( J 2y dy ,
dx dt ’ d t2 d t2 dt
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
336
2
e 2' .e-2' (~7y - - 37) + 3e' .e“' — - 3y = 0 , simplificando
<// dt
d y „ ¿V— z- + 2 -j- 
dt2 dt
i +2 — -3 ^ = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes de
donde: A2 +2A -3 = 0 => A] = - 3 , A2 = 1 => >»(/)«scj«' + c2e~3'
y = ci (x + 2) + - C2
(x + 2)3
670) (2x + l)2y ’- 2(2jc + l)y + 4^ = 0
Solución
Sea 2x + l = e ' = > t = ln(2x + l) además:
— = 2e~' — ;
úi* í/í dx2 dt2 dt
reemplazando en la ecuación diferencial
e21 Ae~2'(~—t~- — ) - 2e'2e~ ' — + A y ~ 0 , simplificando 
dt1 dt dt
d 2y a dy . A d 2y „ dy — f - 8 - f + 4 ^ = 0 => — f - 2 — 
dt dt dt dt
sea A2 - 2A +1 = 0 => A = l d e multiplicidad 2.
y(t) = cle‘ +c2te‘ dedonde: y - c l {2x+l) + c2(2x + l)ln(2x+l)
671) x 2y"'-3xy''+3y'=0
Solución
337
Sea x = e‘ => t = lnx además:
dy , dy d 2y _ 2 l d 2y _ d y d ' y _ y * d \ y ■ dy
* ■ ' i ¡ ’ * r _ {w * h i ? - e V V <*
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
dt3 d t2 dt d t2 dt dt
^ Z - 6 ^ - Z + 8— = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, 
dt3 d t2 dt
de donde: A3 — 6A2 + 8A =0 Aj = 0 , A2 = 4 , , A3 = 2
y la solución es: y(t) =Cj + c 2^ 4í por lo tanto:
y - C i + c2x 4 + c 3x 2
672) x2y " = i y
Solución
Sea ax^e* => t = lnx además:
± . , - á L ; £ ! f , e - 3 - ( £ ! z - e £ i + 2 ^ i
ífo dx dt dt dt
reemplazando en la ecuación diferencial dada
e 2' £~3' (r -^ - - 3 — — + 2 — ) = 2e~' — , simplificando 
A 3 <*2 dt dt
3 2
— Z. _-3 ^ _ ü = o ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: 
<*3 ¿ í2
338
A - 3A2 = 0 => Aj = 3, A2 = 0 de multiplicidad 2. 
7 (í) =C] + c2f + c3e3' de donde >» = C i+ c2 lnjc + c3* 3
673) (x + l ) V " - 1 2 / = 0
Solución
Sea x + l = e' => t = ln(x + 1) además:
dx dt dx3 dt3 í/í2 í/í
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
e 2í£ 3, (-^H p -3 -^ -^+ 2 -^ -)-1 2 e ' — = 0 , simplificando 
í* 3 rf/2 * <*
± J L - , Í J L - l(¡± 
d t3 d i2
3 - 3 — t— 37 = ® ecuación diferencial homogénea de coeficientes
constantes. A3 - 2 A2 -10A = 0 => A, = 0 , A2 = 5 , A3 = - 2 , 
y la solución general es: y(t) = cx + c2e 5' + c3e “2' , por lo tanto:
y = c1+c2(x + iy +
(x+ l)2
674) (2 x + i)2y " + 2 (2 x + i)y ’+ y = o
Solución
Sea 2x +1 = ex => t = ln(2x + 1) además:
339
É L . u - ± ,
dx dt dx2 dt dt
d t3 dt3 dt2 dt
reemplazando en la ecuación diferencial dada
, * * - * ( í ! f - 3 + 2 ± ) + V .4«-" & - * ) + 2 « - ÉL , o
d i3 d t2 dt d t2 dt dt
4 - 8 ̂ -4 - + 5 — = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de
d t3 dt2 dt
donde: 4 A - 8A + 5A = 0 => A. = 0 , A2 = 1 h— , A3 = 1 —
2 2
_y(í) = Cj + 02«* cos-^ + c3e ' s e n - j , de donde
,, ln(2x + l) ln(2x + l)y = c¡ +c2 (2 x + l)co s—---------+ c3(2x + l)sen ------------
675) x 2 y' '+xy'+y = x(6 - ln x)
Solución
Sea x = e' => t = lnx además:
^ L = e - ' ^ y d y = e - 2,( - - —
dx dt ’ dx2 d t2 dt
reemplazando en la ecuación dadas se tiene:
,2
e 2' £ 21 +e ' £ ' — + y = e ' ( 6 - 1), simplificando
d t2 dt dt
340
dt
y g (t) = q eos t + c2 sen t y g = q eos ln x + c2 sen ln x
™ t 1 7 lnx 7
^ = ( ^ + 5 ) * ' => y P = - - + j =>
se tiene: .F = .V * + .F » = ci cos(ln x) + c2 sen(ln x) - + —
* ^ 2 2
676) x 2y"-;xy,+y = 2*
Solución
Sea x = er => t = lnx además:
2 2¿/y úíy <i y - 2r ,d y 4y. . , .— = e — , — = e (— ------—) , reemplazando en la ecuación:
dx dt dx1 d t2 *
e 2t .e~2t — + v = 2e ', simplificando
¿ r2 dt dt
- 2 — + y = 2 e ', de donde A2 - 2A +1 = 0 
¿ í2 dt
entonces: A = 1 de multiplicidad 2.
y g (t) = q e ' + c2e ' => y g = q x + c2x ln x
además y p (t) = A t2e t => y p (t) = t 2et
y p = x ln 2 x y la solución general es:
y = y g + y^ es decir que: y = q x + c2x ln x + x ln 2 x
2
+ = (6 - r )e r, sea A2 +1 = 0 => Aj = / , Á2 = - i
341
2 ,, , „ 16 lnx677) x 2y" -xy '-3 y = -----------
x
Solución
Sea x = e { => t = lnx además:
Q L= e -<É>L <(d2y dy
dx dt ’ dx2 d t2 dt
reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene
e 2t£~2t ) - e t .e ' — -3 y = -16e ' X , simplificando
d i2 dt dt
(L j L - 2 — - 3 y = -16te sea A2 -2 A -3 = 0 entonces:
dt1 dt
A¡ = 3, A2 = -1 y g (t) = C\eht +c2e ' entonces:
v^ = c 1x 3 + — además y p (t) = t(At + B)e ' y ^ íO = 2r2e ' + íe /
2 ln x ln x . . ,siendo y = ---------+ ----- y la solucion general es:
p x x
, . 3 c2 . ln“ x lnx
y = y _ + y _ es decir: y = cxx h------1-2-------- H-----
 ̂ ^ x x x
678) x 2 y' f-2xy'+2y = x 2 - 2x + 2
Solución
Sea x = e{ => t = lnx además:
e -2t(^ y %
dx dt ’ tic2 d t2 dt
reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene 
e £ 21 ~ ~ ^ e ' £ ' ~¡~ + 2.v = e 2' - 2 e ' + 2 , simplificando
-^ --3 -^ + 2 j> = = é> 2' - 2 e ' +2 entonces A2 -3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 =2
y g ( t)= c1e ‘ + c2e 2' => y g =cxx + c2x 2 
y p (í) = Ate2' + Bte' + C
dedonde y p (t) = te2‘ +2tel +\ => y p = x 2 \nx + 2\nxjc + \ entonces: 
y = y g + y p = ci x +c2x 2 + (x2 +2x)inx+i
679) x 2y''+xy'-y = x m, |m |* 1
Solución
Sea x = e ‘ => t = lnx además:
^ y .= e ~‘ ^L d— y .= e - 2‘( ^ l z dy.
dx dt ’ dx2 d t2 dt
Reemplazando en la ecuación diferencial dada.
e .e 1 ( -¿-) + er .e 1 - y = emt, simplificando se tiene:
dt dt dt
d 2y mt
~ T ~ y - e y ecuación diferencial no homogénea.
A2 -1 = 0 => A¡ = 1, A2 = -1 de donde:
343
yg(t) = cle' +c2e~' => yg = ci* + y
e m1 x m
y ( í) = A e m => y p (O = - 5 — entonces: y p = - 5 —
F m -1 m -1
c2 x m
Porlotanto: y = + y p = CjX + — + — ̂ 7
x w — 1
680) x 2y"+4y'+2y = 2 ln 2 x + l2x
Solución
Sea x = e ' => t = lnx además:
g2' £ - 2t(— ^ - ̂ . ) + 4e'.e~f — +2y = 2 /2 +12e', simplificando 
vd ,2 dt dt
^ Z + 3 ^ + 2y = 2 í2 +12e' => A2 +3A + 2 = 0 entonces: 
rfí2
A. = - 1 , A2 = -2 de donde: y (í) = cxe ^ +c2e 2' => y g = - ^ + - j
X X
y p (t) = A t2 +Bt + C+De' => y p (t) = t 2 -7>t + l+ 2 e ' 
y p = ln 2 x - 3 ln x +7 + 2x y la solución general es:
y = yg +yp = — + -^y + ln 2 x -3 1 n x + 7 + 2x
x X
Porlotanto: y = — + —̂ -+ ln2 x - 3 ln x + 7 + 2x
x x 2
344
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPEl
COEFICIENTES VARIABLES.
Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma:
d n y d n ly dy
a n (x) “TV + a n - 1 W — — + . . . + a¡ (x) —- + a0(x)y = f ( x ) 
dxn dxn dx
Donde a0(x),ax(x),...,an(x) y f(x) son funciones de variable real y continuas en un
intervalo. Suponiendo que an (x) * 0 entonces se tiene:
d n y d n~ly dy
+ bx (x) — — +...+ bn_x (x) — + (x)y = g (x) ... (a)
dxn dxn 1 dx
La solución de la ecuación (a) es la suma de las soluciones particulares y la solución 
general de la ecuación homogénea correspondiente.
Si se conoce una solución particular y x (;t) de la ecuación.d ny
dxn
+ (x) ~ - ~J +... + b„_¡(x)^f + bn(x)y = 0
dx dx
... (1)
Se puede rebajar el orden de esta ultima en una unidad (sin dejar de ser lineal), 
haciendo, donde z es una nueva función incógnita y poniendo después z'=u [se puede 
hacer directamente la sustitución].
Si se conoce un sistema fundamental de la ecuación homogénea correspondiente (1), la 
solución general de la ecuación no homogénea (a), se puede hallar mediante cuadráticas 
por el método de variación de las constantes.
La solución general de la ecuación (1) tiene forma:
y = cl y 1+c2y 2 +... + cny n ...(2 )
Donde c¡,c2,..., c„ son constantes arbitrarios.
345
La solución particular de la ecuación (a) es:
y = cl (x)y1 + c2(x)y2 +...+ cn(x)yn ... (P)
Donde c¡ (x), c2 (x),..., c„ (x) son funciones incógnita de x por determinarse. 
Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema:
Sea c¡(x)yl + c2(x)y2 +.~+cn(x)yn =0 
Entonces:
y xc\ (x) + y 2c\ (x) + ...+ y nén (x) = 0
(I)
y\c\ (x )+ y \c \ (x) +... +y[c[ (x) = 0
y¡n' l)c\ (x) + y {2 nc[ (x) + ...+ y („n~l)c[ (x) = f ( x )
al resolver el sistema (I) se tiene: — 1- ^ ~ = f j ( x ) , i = 1,2,..., n
dx
donde: c{ (x) = J (x)dx , este resultado se sustituye en ((3).
Veremos para una ecuación de segundo orden.
y"+P(x)y'+Q(x)y = R(x) Donde y Xfy 2 es un sistema de soluciones.
Luego la solución particular es: y p = cx (x)yx + c2 (x)y2 donde cx (x) y c2 (x) 
Son funciones por determinarse, para esto formaremos el sistema siguiente:
W w + w i M - o dedonde
(r|cj i*) + 7I3C2 (x) = R(x)
346
w [ y i , y 2] = y 1 y 2 
y\ y '2
' ■ y \ y \ - y \ y 2 entonces:
c|(x) =
cj2(x) =
0 y 2 
R{x) y 2 -R ( x ) y 2 f -R ( x ) v2 ,
= ™ --------- entonces: c, (jc) = -----¿ dx
W Tv„y,l U J ^ b w 2]W[yi ,y2] W[yx, y 2]
y\ o 
y\ *(x) yi&(x) 
W[yx,y2] W[yu y 2]
entonces¡s: c2 (x) = J ,M (x )
w [yx ,y2}
dx
Integrar las siguientes ecuaciones (y j ,y 2) son soluciones particulares de la 
ecuación homogénea.
681) x V ’'-3x2/ '+6xy'-6y = 0 , y l = x , y 2 = x 2
Solución
x = e
dx dt
? 4 > 'dx dt dt dx dx dt dt
Reemplazando en la ecuación diferencial dada.
d r dt d t2 dt dt -
d 3 y d 2 y dy
T T - — T +11 —— 6y = 0 , ecuación diferencial homogénea. 
d r d t2 dt
A3 -6A 2 + l lA - 6 = 0 => A, =1, A2 = 2, A3 =3 
y (0 = c¡er +c2e 2' +c3e3' dedonde y = cxx + c2x + c 3x 3
347
682) (x 2 - 1 ) / ' = 6 y , y es un polinomio.
Solución
Como y x es una solución particular luego otra solución particular es y 2 = y xz 
donde z es una función incógnita que se encuentre derivando y reemplazando 
en la ecuación dada obteniéndose la solución general.
y = c¡ (x 3 - x ) + c 2 ( 6 x 2 - 4 - 3 ( x 3 - x ) l n | ^ j |
En el mismo criterio se calcula los siguientes ejercicios.
683) (2x+1)y' '+(4x - 2)y'-Sy = 0 , y x =emx
Solución
y = cxe~2x + c 2 ( 4 x 2 +1)
684) ( x 2 -x )y " + (2 x -3 )y '-2 y = 0, y x es una fracción racional en cuyo
derojminador figuran factores lineales (los divisores del coeficientes de y ' ') .
Solución
Sea y j = y xz de donde la solución general es:
Ci
y = c1y 1 + c2y 2 de donde: y = — + c2(2 x -3 )
x
685) (3jc + * 2 )y' -6(1 + x)y'+6y = 0, y x es un polinomio
Solución
Sea y 2 = y xz la otra solución particular donde z es la función incógnita de
donde la solución general es:
y = cx jc3 + c 2(x + \ ) - x
348
Solución
y = y xz => y '= y [ z + y xz' => y\ = y f z + 2y¡z + y,z"
x 2(lnx-lX y'}z+ 2y[z '+ y1z " ) - x y \ z - x y íz'+y1z = 0
( x 2(ln x - l)yf - xy\ + y x)z + 2 x 2(ln x - l)j>{z'+x2 (ln x - l)y ,z" = xy¡z' = 0
y¡ es solución => x 2(lnx-1)^]1 - xy\ + y¡ = 0
2x 2 (ln x - l)j>| z'+x 2 (ln x - l)y , z' '-xyl z'= 0
2 x 2 (ln x -1 )z'+x3 (ln x - l)z"~x2z' = 0 , simplificando
(2(ln x -1) - l)z’+x(ln x -1 )z' ’ = 0 , separando la variable
zM 2 ( \ n x - l ) ~ k „ .
_ + ---- ------------ = o , integrando se tiene:
z x (ln jc-l)
ln z’+2 ln x - ln(ln x -1) = ln c entonces:
i , x 2 i , c (ln jc-l) .i n z - -------- = lnc => z = ------ ------, integrando se tiene:
\ n x - l x 2
686) x 2( lnx- l)y"-xy'+y = 0 , y¡ = x
y = ciyi +c2z = c1x + c2 lnx 
687) y''+(gx - 2c tg x)y ’+2c tg2 x.y = 0 , y x = sen x
Solución
349
y = zy¡ => y '= y \ z + y xz \ y"= y \ z + 2y\z'+yxz" 
y' '+(tg x - 2c tg x)y'+2c tg2 x.y - O
y fz+ 2 \z '+ y1z"+ (tg x -2 c tg x )y \z+ (tg x -2 c tg x )y¡z '+ 2 c tg 2 x.y¡ = 0
0>{ + ( tg x -2 c tg x ) l1 + 2c tg 2 x.yx)z + y xz"+{2y\ + tg x -2 c tg x )z ' = O
como y x es solución entonces: .yj1 + (tg x - 2c tg x)y¡ + 2c tg x.yx = O
de donde: y x z’ '+(2_vJ + (tg x - 2c tg x)_y, )z' = O
sen x.z' '+(2 eos x + tg x sen x - 2c tg x. sen x)z' = O
sen .z’ ’+(2 eos x + tg x. sen x - 2 eos x)z’ = O
zf *— + tg x = O => ln z'+ ln sec x = ln c 
z'
z' sec x = c => z '= co sx => z = sen x
por lo tanto y 2 = y xz = sen x sen x la solución general es:
y = c¡ senx + c2 sen2 x
y ' tg x ./+ eos2 x.y = 0, y x = cos(senx)
Solución
>>j = cos(sen x) => y \ = ~ sen(sen x) eos x
y = z.y¡ => y'= zy\ + z 'y x , y '= ^ } z + 2 ^ J z ’+>'1z"
y \ z + 2y[ z'+y¡ z ' '+ tg x .y \z+ tg x.z' y x +cos2 x._y,z = 0
(.Vi + tg XA + eos 2 x.y¡ )z + y¡ z' '+2y\z'+ tg x.yx z'= 0 
como y 1 es solución entonces: y \ + tg x.y J -feos x.yx = 0 
de donde y x z' '+(2yJ + tg xy)z' = 0 entonces: 
cos(sen x)z' '+(-2 sen(sen x). eos x + tg x. cos(sen x)z' = 0 
z"
— - 2 eos x. tg(sen x) tg x = 0
ln z’+2 ln(cos(sen x)) + ln sec x = ln c 
ln z'. eos2 (sen x). sec z = lnc
, . cosx
z = k ---- ---------- = 1 + cos(2 sen x ) , integrando
eos (senx)
f cosx ,z = l ---- ---------- d x - k tg(sen x)
J eos (senx)
y = cly l + c2y 2 = Cj cos(sen x) + c2 cos(sen x). tg(sen x) 
y x = cx cos(sen x) + c2 sen(sen x)
689) (1 + x 2 )y"+xy'-y + 1 = 0 , = x
Solución
y = zyx => y '= zy[+ z 'yx, y''= y \z + 2y\z\ +ylz"
(1 + x 2 )0 'J z+ 2_y|z’+.V! z") + x(zy| + z 'y 1) - 2 y 1 +1 = 0 
((l + x 2)yf +xyl1- y 1) + z + (l + x 2 )(2 y[ z'+y¡ z") + xy¡ z'+1 = 0
351
como y x es solución entonces se tiene: ((l + x 2XyJ +xy\ - j | ) z + l = 0 
de donde (1 + x 2 )(2y\z'+yxz " ) + xyxz ' = 0, simplificando 
( l+ x 2)(2z'+xz")+x2z'=0 entonces:
(2 + 3 x2 )z'+x(l + x 2)z" = 0 , separando la variable 
z" 3x2 + 2— + ----------------------------------------- = 0 entonces: ln z'+3x - arctg x = c
z' x 2 +l
___ 2x2
z = x arctg- - J l+ x ------- entonces:
2
y = cxx + c 2(x2 a rc tg x -W l + x 2 - - y - )
690) x 2y ' ' -x y ’-3 y = 5x4, y x =
Solución
e 2' _e~2r (— — - — ) - e ' ,e~' — - 3 y = 5e4' , simplificando 
<*2 di í/í
^ ! z _ 2 ^ . - 3 y = 5e4' => A2 -2 A - 3 = 0 => A, = 3 , A2 = -1
d i2
>-g (0 = c13'+ c 2e - ' => y ? =c,Ar3 + ^ -
y p (t) = A e4' => jy ,(í) = e 4' => ^ = ^ 4
3 c 2 4y = ^ + y P = c xx +-— + x
352
691) (4xz - x)y''+2(2x-1 ) y ' ^ y = \2 x¿ - 6 x , y , = -
x
Solución
En forma similar que el ejercicio anterior se tiene:
Cj
y = 2y x obteniéndose: y = cl (2x -1 ) + — +
x
692) y y'-y'+ye2x = xe lx - 1, y x = senex
Solución
Sea y ’= z y \+ z 'y l ==> / ’= ĵ j1 ̂ h - 2 j ^ j 2T1 ’
que reemplazando en la ecuación dada se tiene la solución general. 
y = y g + y p es decir: y = x +cx cosex + c2 senex
693) y +y tgx = ---------
senjc
Soiución
C dy d 2 y dp iSea — = p => — — = — de donde 
dx dx2 dx
dp— + tg x.p - c tg x. cos x ecuación lineal, cuya solución es: 
dx
P ~ e ̂8 c tgx. cos xdx + c] , integrando
p = eln(cosjc)[ J e ln(SQCx)ctgx.cosxdx + c]
p = cos x[ f c tg x. cos x sec xdx + c] — = cos x[ln(sen x) + c]
J dx
353
— = eos x. ln(sen x) 4- c. eos x integrando: 
dx
y - J (eos x. ln(sen x) + c. eos x)dx + k entonces:
v = c. sen x + sen x. ln(sen x) + k
694) (x +1)3 y" '+3(x + 2)2 y+(x + l)y = 6 ln(x +1)
Solución 
Sea x + \ = el => t = ln (x + l)
dy__ dy_ ¿ V = - n J 2)’ dy 
rfx dt ' dx2 d t2 dt
reemplazando en la ecuación dada.
* 3 r e~2t (— ^ - — ) + 3e2í .e 7 + e* y = 6 t , simplificando
~ ' d t1 dt dt
(L jL + 2 — + y = 6?e_í => A2 +2A + 1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2.
¿ f2 * ’
. c, cln(x +1)
+<*« = . >-«— + x + 1 - 
= í 204r + 2?)e_í => vp (t) = t 3e~t 
y - de donde la solución general es:
x + 1
q + c2 ln(x +1) + ln3 (x +1)
y=>y*+y p =* ^ x + 1
354
695) x ( x - l ) y " - ( 2 x - l ) y ,+2y = x (2 x -3 ) , ^ = x 2
Solución
Sea y = ==> y¿= y jz + z 'y i , / ' = yj,z + 2yjz'+y1zlf
x(x - 1)0/ J z + 2y { z'+j/j z’ ’) - (2x - l)(y{ z + z 'y l ) + 2ylz = x 2 (2x - 3)
(x (x-l)y}1 -(2 x -l)y J + 2 y 1)z + 2 x (x -l)y lz ,+ x (x -l)y 1zM-
- ( 2 x - l ) z 'y 1 = x 2(2x -3 )
como y x es solución entonces se tiene:
(x(x- l)y} - (2x- l)j/J + 2y1) = x 2 (2x - 3)x
x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)y \z'+x(x - l)yt. zf !-(2x - l)z' y x = x 2 (2x - 3)
x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)2xz'+x(x - l)x 2 ¿ '-(2 x - l)x2 z' = x 2 (2x - 3)
x 3( x - l ) z ,f+ (4x3 - 4 x 2 - 2 x 3 + x 2)z '+ x2(2 x -3 )z = x 2(2x -3 )
x 3 (x - l)z' '+2x2 (2x - 3)z'+x2 (2x - 3)z = x 2 (2x - 3)
x(x - l)z' '+(2x - 3)z'+(2x - 3)z = (2x - 3)
resolviendo la ecuación se obtiene que:
y - c\y\ + ^ 2^1 + yp de donde al sustituir se tiene la solución general:
y = x 3 +cxx 2 + c2(2 x - l)
696) Una cadena de 6m. de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento. Si el 
movimiento comienza desde el momento en que cuelga lm. de la cadena. 
Cuanto tiempo tardara en deslizarse toda la cadena.
355
Solución
M
W = m g = (— —)y donde y es la longitud del trazo de la cadena que cuelga.
▲ T
Wy - T = mya
T = mHa 
Wy - m Ha = mya 
Wy =(mH +my )a = Ma 
M .
Como Wy = (—— )y
. . . (2)
W„
Ma =
Como
d 2y ,dy' g
d y g
dt
= t y
d r
y '2 = — y2 +c 
7 L
356
*L
dt
y +c integrando y reemplazando sus valores se tiene: 
t = I— ln(6 + ~j35)seg
697) Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia a 
la aceleración del tiempo se expresa por la formula a = 1.2 t, si para t = 0, la 
distancia s = 0 y para t — 5 la distancia s = 20
Solución
a = 1.21 m
a = 1.21
d t 2
= 1.21 => ds _ r
d t ~ J1.2 td t + c
~ = 0.612 +c => í = 0.2í3 +ct + k parat = 0, s = 0 
dt
entonces: k = 0 => s - 0.2í3 + ct para t = 5, s = 20
entonces: 20 = 25.5 + 5c de donde c = -l por lo tanto: s = 0.2ti - t
698) Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizontal a causa de la acción 
de un golpe que ha originado una velocidad inicial V. Sobre el cuerpo actúa la 
fuerza de rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer 
el cuerpo.
Solución
t = 0 t V
F = -km = ma => a = -k de donde a = d 2x
~dt2
= - k
357
dv d x . .Entonces: a = — = -—=- = -/: => v = -kt + c
dt di2
Para t = 0, v = v0 => c =v0
v = -k t + vfì => v = — = -/ri + v{) ==> v = 0
0 dt
t = -
dx
di
fV0/*
= -k t + v0 => x = Jo (-/tf + v0)di
/ kt
X = ( ------— + v00
v0 /A
= > X =
2*
699) Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un 
centro por el cual es repelido con una fuerza igual a kx (x es la distancia del
punto al centro) para t = 0, x = a, = ka . Hallar la ley del movimiento.
Solución 
. V
2— max0 = x| = además x/r x =
i 2 , Vw — — = £ x para m = 1 se tiene:
¿ r2
¿ 2X f2 *’dx' ,2 dx I 2 2— - = k x => ------ x => — = ^Jk x +c
d t1 dx dt
ktIntegrando y reemplazando los datos se tiene: x = ae
Empleando el método de variación de las constantes integrar las siguientes 
ecuaciones.
358
700) y"+4y = 1
eos 2x
Solución
A2 + 4 = 0 => Aj = 2/, A2 = -2/ => = q eos 2x + c2 sen 2x
La solución general de la ecuación diferencial dada es: 
y - c¡ (x) eos 2x + c2 (x) sen 2x donde cx (x ) , c2 (x) 
son funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema:
eos 2xr{ (x) + sen 2 x.c[ (x) = 0 
- 2 sen 2x.cj (x) + 2 eos 2 x j c \ (x) = 1
eos 2x
resolviendo el sistema se tiene:
0 sen 2x 
eos 2x 2 eos 2x sen 2x.sec 2x
eos 2x sen 2x 
- 2 sen 2x 2 eos 2x
, x f ~ ~ , lncos2xcx (x) = sen 2x, sec 2x dx = ----------- + cx
4 (x > =
cos2x 
- 2 sen 2x
0
Ì
eos 2x 1 / \ x ,------ ------------------- - — entonces: c2 (x) = — + Ci
2 eos 2x + 2 sen 2 x 2 2
. / ln(cos2x) ,v . , x y = eos 2x(----- -----* + q ) + sen 2x(— + c2 )
eos2x.ln(cos2x) x 
por lo tanto : y = ---------- -- ---------+ - sen 2x + c¡ eos 2x + c2 sen 2x
359
701) y"+y = ìg2 x
Solución
A2 +1 = 0 => A! = / , /*2 ” de donde = q cosx + c2 senx 
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
y = q O) eos x + c2 (*) sen x donde cx (x) , c2 (x ), son funciones incógnitas 
de x, para hallarlas, formamos el sistema:
*!(*)«
0 sen* 
tg 2 x eos x
eos x sen x 
-s e n x eos*
= -tg~ x.senx
C\(x) = j* — tg 2 x.senx dx = J - ( s e c 2 x - 1 ) senxdx) 
cx (x) = - J (tg x. sec x — sen x)dx — ~ sec x —eos x + q
eos* 0
-se n * tg 2 X
eos* senx
-se n * cosx
= eos X. tg X
c2(x) = -Jtg2 x.cosxdx = J ( s e c x -e o s x)dx
c2 (x) = ln[tg(-^ + ̂ )] - sen X + c2 
4 2
,n x .
>> = ( - sec x - eos x + c¡ ) eos x + (ln[tg(— + — )] - sen x + c2 ) sen x
,n x_
y = c\ eos x + c2 sen x + sen x ln[tg( ~ + —)] - 2
360
~e x
702) v " - v = - — 
e* - l
la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y = Cj (x)e ̂ + c2 M e “*, donde cx (x ) , c2 (x)
son funciones incógnitas de x, para hallar las formamos el sistema.
exc\ (x) + e~xc2 (x) = 0
e *c\ (x ) -e ~ xc2 (x) = —
e x -1
Solución
A2-1 = 0 => Aj = 1, A2 =-1 de donde _)/ = Cje* + c2e~x ,
0 e~x 
2ex.... o * 2
ex - i ex -1 1
H1H 2 e-1 -1
ex - e ~ x
ci(x) = j ~ - = in(ex - l ) - x + c,
ex 0
e x 2ex 2ex
e x -1 e x - l e x
ex
H1 - 2 e x -
e x - e ~ x
c2(x) = - ¡ ^ - p ^ = j ( e x +l + - ^ — )dx
• e -1 J e -1
361
c2(x) = ~<ex +x + ln(e'x - l ) - x ) + c2 
c2(x) ~ e x - ln (ex -1 ) + c2
y = ( - e x - \n(ex -1 ) + c2) sen x + (ln(e* -1 ) - x ) c l ) eos*
y = C\ eosx + c2 s e n x - ( e x +ln(ex - l ) s e n x + (ln(eA -1)
703) y" -y '= -
1
ex +l
Solución
A2 - A = 0 => A != 0 , A2 = 1 dedonde y g = c1+ c2ex
y la solución general de la ecuación diferencial dada es: 
y = c¡ (x) + c2 (x)ex, donde c, (x ) , c2 (x) 
son funciones incógnitas, para hallarlas formaremos el sistema:
c\ (x) + e*c2(x) = 0
0r} (x) + e xc2(x)
1
e x +1
q (x ) =
0
1
e x +1 \ + ex
1 e* 
0 e '
dx
l + ex
C\ (x) = - = ln(ex + 1) - x+c,
J l + ex
- x ) cosx
362
C2 - x ) =
|1 0
lo ex + l 1
1 e J 
0 <?J
e x(ex +l)
c2(x )= dx dx dx
e x (ex +l) e x e x +1
c2 (x) = — —+ln(ex +1) —x + c 2
704) y"+y =
'• y = c2 senx + (ln(ex + l)-e J - x ) senjí + q cosx + flnCe* +l)-x)cosx 
1
sen' x.cosx
Solución
A2 +1 = 0 => A j= / , A2 = - / dedonde = q cosx + c2 senx
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y = ci (x) cos * + c2 (*) sen x donde (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas
de x, para hallarlas formaremos el sistema siguiente:
cos x.c\ (x) + sen x.c[ (x ) = 0
- sen x.c[ (x) + cos x j c \ (x) =
cj(x) =
0
1
sen x 
cosx
sen' x.cosx
cos x sen x 
-s e n x cosx
sen' x.cosx
senx 
Vsen5 xcosx sen x cos x
363
cx (x) = _ j ...p .------- = 2 ^ t g x T c 1
Vsen x.cosx
4 ( x ) =
cosx
-se n x
0
1
Vr*“ 5sen‘ x.cosx cosx
cosx senx 
- sen x cos x
-v/r—5sen xcosx
c2(x) = J
Vi
cos xdx _ f sec 2 xt¿c _ ____ 2
sen5 x.cosx tg3 x
+ c2
>>„ = cos x(2Jc tg x + c, ) + sen x(— + c 2 )
3^/tg' x
_y = c i cos x + c 2 sen x + 2 cos x-Jctg x +
2 sen x
tg 3 x
y+_v = l
(eos 2x)3 / 2
Solución
A2 +1 = 0 =» Ai = z , A2 = - i dedonde:
=Cj cosx + c2 senx , y la solución general de la ecuación diferencial dada
es: y = q (x )co sx + c2(x)senx donde q(*)» c i ( x ) son funciones 
incógnita de x, para hallar formaremos el sistema siguiente:
cos x.cj (x) + sen x.c2 (x) = 0
- sen x.c\ (x) + cos xjc\ (x) = — ------ rr
1 (cos 2x)^
c\ (x) =
(cos 2x)
0 senx
1
cosx
3 / 2
senx
cosx senx 
- sen x cos x
(cos 2x) 3 / 2
, integrando
(X) = - J sen x dx
(cos2x)
cosx
3/2 - r= T = + ciVeos2x
4 ( x ) =
cosx
-se n x
(cos 2x) 3 / 2 COSX
cos x sen x 
-senx cosx
(cos 2x) 3 / 2
, integrando
r cosx 
1= ---------- T-T-dx = - senxCl (x) = I . . . ----------------
J (cos2x) Vcos2x
+ c2
/ cosx senx7 = (— p = = - + c1)cosx + (-^= -----+ e2)senx
Vcos2x vcos2x
>' = q cosx+ c2 senx-Vcos2x
2x3 h-jc2 - 4 x - 6
Solución
A3 -2A 2 -A + 2 = 0 => A, = -1 , A2 = 1, A3 = 2
y g = cxe~x +c2e x +c3e 2x y la solución general de la ecuación diferencial
dada es: y = cl (x)e~x +c2(x)ex + c3(x)e2x donde c¡(x),c2(x),c3(x)
son funciones incógnitas en x , para hallarlas formaremos el sistema.
365
e Xc\(x +exc[(x) + e 2xc\(x) = 0 
-e ~ xc\ (x) + exc[ {x)+2elxc\ (x) = O
e~xc\ (x) + e xc\ (x)+ 4 e iXc\ (x) =2 x \
2x3 + x 2 - 4 x - 6
W =
e~x e x e2x
2 x-e~x e x 2e 
ex 4e 2x
= 6e 2x
i , ̂ 3X/2x 3 + x 2 — 4x — 6 1c¡W = e (--------j-------> - 2x
e~ ,2 x3 + x 2 - 4 x - 6 .' ---------------- ) integrar
c^(x) = 3e*(-
6 x
2x3 + x 2 - 4 x - 6 ^ 1)------ entonces:
6e
i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . 
c [ ( x ) --------- — «------- integrar:
2exx
,1 ---- l í —- ) —L— entonces:c\(x) = 2(- 2a*
i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . „4 (x ) = -------- — -------- integrar
3e2x
de donde la solución se tiene:
y = Cje* + +2*
366
707) y"+y I-----------mmmtm
3 / s _ _ 7 „ _ _ _ 8'sen x.cos x
Solución
A2 +1 = 0 => A¡ = i , A2 = - i de donde:
=c¡ eos x + c2 s e n x , y la solución general de la ecuación diferencial dada
es: y = q (x) eos x + c 2(x) senx donde c¡ (x) , c2(x) son funciones
incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema.
eos x.cj (x) + sen x.c\ (x) = 0
- sen x.c{ (x) + eos x r 2 (x) = * ...........
V sen7 x.cos8 x
c (x) =
0 senx
1
cosx
sen7 x.cos8 x senx
cosx sen x Vsen7 x.cos8 x Vi
-se n x cosx
3/ 4'v'sen x. eos x
. . f senx ate r
cAx)~->v- t:..., , -J1 csc2 x dxsen x.cos x
q (x) = 3^/dgx+Cj entonces:
cosx 0
1— sen r -------------- --------
Vsen7 x.cos8 x
cosx senx
- sen x eos x
cos*
Vsen7 x.cos* x
367
c 2 ( * ) = I I 7 o ~ J 3/ 7 8
' \¡sen x. eos x tgx.^sen x.cos x
f eos xdx f dx_______
c2(*)= J
sec2 xdx
tgx . ^ 7 4 tg 4/3x
+ c 2
y = Cj eosx + c2 sen x + 3ljc tgx - 4/3 ^
708) y " -2 y + y = — -
x l +1
Solución
A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2.
y g = c¡ex + c2xe*, y la solución general es:
y = Cl(x )e* +c2(x)xe* donde q (x ) , c2(x) son funciones incógnita de x, 
para hallarlas formaremos el sistema. 
e*c\ (x) + xe*c2(x) = 0
I Ie*c\ (x)+ ex (x + \)c\ (x) = - y —-
x +1
q (x ) =
xe
* 2 + l
e x (x + X)
- x e 2 x
e" xe 
ex ex (x + X)|
- xdx
= * ±.L = ----- í — , integrando
e lx x 2 +1
ci(x) = J ^ ci(x) = - ^ ln(x2 +1) + Cl
368
c \ (x )=
0
„X
x 2 + l
e xe 
e x e x(x+l)
—=------, integrando
x 2 + l
(X) = J
dx
77 7
c2 (x) = arctg x + c2
y = e x(~ ln 4 x 2 + l+ c1) + xex (arctgx + c 2) 
y = e x ( - ln^/x2 +1 + CJ ) + xeJC(arctgx + c2) 
J' = eJr( - ln -Jx 2 +1 + Cj +xarctgx + xc2 )
1709) y"+2y'+2y =
e senx
Solución
A2 +2A + 2 = 0 => A j= -1 ± / dedonde y g = ce x cosx+ce x senx 
la solución general de la ecuación dada es:
y = c¡ (x)e~x eosx + c 2 (x)e~x sen x , donde c¡ ( x ) , c2 (x) son fondones 
incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema.
e x eos Xjc\ (x)+e x sen x r 2 (x) = 0 
- e~x (eos x + sen x)c¡ (x)+e~x (eos x - sen x)c\ (x) = 1
e senx
Resolviendo el sistema y reemplazando se obtiene la solución general. 
y = (cl -x )e~ x eosx + (c2 + in (sen x )ex senx
369
710) y " - y = e - x cose*
Solución
A2 - A = 0 => ^ = 0 , A2 = 1 de donde y = c1+c2ex y la solución
general de la ecuación diferencial dada es:
y = c¡(x) + c2(x)ex , donde c ,(x ), c2(x) s o n funciones incógnitas de x,
para hallarlas formamos el sistema.
ílc| (x) + e x c2(x) = 0
[0c{(x) + e*c2(x) = e 2x cosex
resolviendo el sistema se tiene la solución general: y = c1ex +c2 - eos e '
7 1 1 ) / ' + / = - —
x
Solución
A2 +A = 0 => A¡ = 0 , A2 = - l de donde y = cl +c2e~x
y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y = Cj (x) + c2 (x)e~x , donde c, (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas de x, 
para hallarlas formamos el sistema. 
c[ (x) + e~xc2 (x) = 0
Y , por la regla de Cramer 
0 r! ( x ) -e ~ xc[(x) = — 
x
resolviendo el sistema se tiene la solución general.
y = cx + c 2e 'x +e~xj ^ —d x - l n | x |
370
712) y ”+3y'+2y = X
(x+1)2
A2 +3A + 2 = 0 => A¡ = -1 , A2 = - 2 , y = c¡e~x +c2e~2x
y la solución general de la ecuación diferencial es: 
y ~c¡ (x)e~x + c2 (x)e~2x, donde (x ) , c2 (x) 
son funciones incógnitas de x, para hallarlas se forma el sistema. 
e~xc\ (x)+ e~2xc[ (x) = 0
(* + l)2
f e 2xresolviendo el sistema se tiene: y - cxe~x + c2e~2x + e~2x | -dx
J
Solución
x + l
713) y"+y = \
X
Solución
2
A +1 = 0 => A ! = / , A2 = - i de donde: y = cx eos x + c2 sen x
y la solución general de la ecuación diferencial dada es: 
y = ci (x)cosx + c2(x)senx , donde cx(x) , c2(x) son funciones incógnitas 
de x, para hallarlas se forma el sistema.
eos x.c[ (x) + sen x.c\ (x) = 0
, , i , por la regla de Cramer,
- sen x.c\ (x) + eos xjc\ (x) = —
x
resolviendo el sistema se tiene:
r cosx , r senx ,y = cx eosx + c2 sen x -co sx ------ ¿üx-senx ------- dx
j X j X
371
xy'-{\ + 2x2 )y '=4xi ex
Solución
Sea y '= p => y"= ~ reemplazando en la ecuación diferencial dada
x - - ( \ + 2 x1)p = 4 xyexl => — - { — + 2x)p = 4 x 2e xl ecuación lineal
dx d x x
- í - ( —+2jt)aLt f í - ( —+2jr)it - 2
p = e * [ j e * 4x e x dx+c], integrando
— ~ x e xl[[4xdx+c] => — = se* [2x2 +c]
¿y = xe** (2x2 + c) integrando por partes se tiene: 
y = c¡ex2 +(x2- l ) e x +c2
y " -2 tg x .y ’=l
Solución
i J „
y '= p => y"= — reemplazando — - 2 tgx./? = 1
dx dx
. - f -2 tg jr.títr f f - 2 t g x.dx
ecuación lineal p - e J [ \ e J dx + c]
p = e 21n(secjc)[ j z i^ ^ d x r+ c ] entonces:
p = sec 2 x[J eos2 x dx + c] entonces:
dy 2 .x .
— = sec x(— + sen x eos x + Ci) 
d* 2 1
dy x 2 2 i= — s :c x + tg x + Cj sec x integrando se tiene;
y = cl tgx + ̂ -(l + x tg x ) + c2
716) x l n x . / ’- y ^ l n 2 x
Solución
y ’= p => v " = ™ reemplazando x ln x — - p = ln2 x
dx dx
— -— p = ecuación lineal cuya solución es:
dx x ln x x
f dx f ^ ^
^ = e jrln* [j*c *lnx - ^ d x + C j], efectuando la integración
p = exmx){ \ e A^ x)— dx + Cl}
J X
dy— = ln x(ln x + Cj) integrando se tiene: 
dr
y = c1(ln x ~ l)x + x (ln 2 x - 2 1 n x - 2 ) + c2
717) xy”+ (2 x - \ ) y '= -4 x 2
Solución
y '= p => y M= reemplazando en la ecuación diferencial dada 
dx
x — + (2x-l)/? = -4 x 2 de donde —- + ( 2 - —)/? = ~4x 
dx dx x
373
- f ( 2 ~ ) d x f [ ( 2 - - ) d x
ecuación lineal p = e 1 [ l e x {-Ax)dx + cx] 
p = xe~2x[—j 4elx dx+cx] => p = xe~2jr[-2e2* + c j
— = -2x + cxxe~2x integrando tenemos: y = cx(x + \ ) e ~ 2x - x 2 +c2 
dx 2
718) ('x - l )y"-xy '+ y = ( x - l ) 2ex , y x = ex
Solución
Sea (x - í )y" -xy '+ y = 0 de donde y = y¡z siendo z una función por 
determinarse es decir. y = y¡z => y '= y[z + y {z' => y"= y \ z + 2y\z'+yxz"
(x - l)Cy j1 z + 2y\z'+yx z" ) - x(y {z + y x z ' ) + y x z = 0 
((x- l)_y}' - xy[ + y l ) z + ( x - 1)(2y\z'+yxz " ) - x y xz'=0 
como y¡ es solución entonces: ( x - l ) y \ - x y \ + vx - 0 de donde 
{ x - \ ) { 2 y \ z \ y xz " ) - x y ,z '= 0
(x - \ ) (2 exz'+exz") - xexz' = 0 => (x - l) (2 z '+ z " )-x z '= 0
(x - l)z' '+2xz'-2z'-xz' = 0 => (x - l)z "+ (x -2 )z '= 0
z" 1entonces: — + 1-------- = 0 => lnz '= ln (x -l)-x + C !
z' x —1
entonces: z = -ce '* => y 2 = -ex entonces:
+ c2>'2 =c1e x +c2x y mediante variación de las constantes se 
encuentra la solución general es decir:
x 2
y = cxe x + c2x + (— - x ) e x
374
Soiución
Sea y = j i z => j ^ ^ j z + ^ z ’, / ,= y{lz + 2j;jz,+yIz"
Reemplazando en la ecuación dada se tiene: 
y \ z + 2y[z'+ylz' '+y\z + y¡ z'+e~2x y x z = 0
{y\ +y[ +e~2xy i )z + y lz''+2y\z'+ylz'=0
como y j es solución entonces se tiene: y \ +y[ +e~2xy¡ = 0 de donde 
y¡z''+2y\z’+y¡z" = 0 => .yj = e~* sene-* 
cose~*.z"+(2e~'t sene’-' +cose 'Jr)z '= 0
7" _ _
— + 2e x tg +1 = 0 integrando;
lnz'+21ncose~* +x = 0 => lnz'.cos2 e~x = - x entonces:
z'= e~x .sec2 e~x => x = \ge~x
Luego y 2 =y¡z = cose~x tge~x =sene~x
y g =cx cose~x +c2 sene~x y por variación de las constantesse tiene la 
solución general:
y = c1 cose~x + c 2 sene~x +e~x 
110) (x4 - x 3)_y"+(2x3 - 2 x 2 - x )y ' -y - i y x = -
X X
719) y"+/+e-'xy = e-3x, y¡= c o s e “'
375
Solución
Para (x4 - x 3) / '+ (2 x 3 - 2 x 2 - x ) y ' - y = 0 
= => y ' = y \ z + y i z ' ■> y " —y \ z + 2y\z+y \ z
(x4 - x 3)0>Jz + 2_y[z,+iy1z") + (2x3 - 2 x 2 -x ){y \z + y xz ')-^yxz - 0 
((x4 - x 3) ^ 1 + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ - ^ ) z + (x4 - x 3 )(2^}z'+>'1z") +
+ (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ z '
como y x es solución entonces se tiene:
(x4 - x 3)j>» + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ - y x =0 de donde:
(x4 - x 3)(2.y|z'+v1z,,) + (2x3 - 2 x2- - x)^1z'= 0
x 2 (x 2 - * ) ( - — x '+ - z " ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0 
x 2 x
- 2 ( x 2 -x)z'+xz”(*2 - x ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0 entonces:
x(x2 -x )z " -z '= 0 =s> 47 = — T — 7
z x(x - x)
ln z' = f ( - ~ — L. h— — )dx = - ln x + ln(x -1) + —
J x jc2 x - l x
i , i x - \ t t z 'xln z = ln ------+ 1 => ln --- = 1
x x - l
jn I .JL - _L => z '= e l /x ——— integrando z = el/xx 
x - l x x
y 2 = y xz ~ el/x dedonde y = cxe llx +
y la solución general de la ecuación diferencial por medio de variación de las 
constantes. Se tiene;
l/jr c2 1 lnx
Kn los problemas que siguen se indica el sistema fundamental de soluciones y lf 
y 2 de la ecuación homogénea correspondiente.
721) (eos x - sen x ) / '+2 sen x ./-(sen x + eos x)y = ex (eos x - sen x ) 2, y x = ex ,
y 2 = senx .
Solución
La ecuación diferencial escribiremos en la forma:
2 senx , sen x +cosx
- y - ' y = e x (eos x - senx)
eos x - sen x eos x - sen x
La solución general de la ecuación dada es;
y = cx {x)yx + c2 (x)y2, donde cx (x ), c2 (x) son funciones incógnitas de x 
por determinarse.
c\ =
0 senx
e* (cosx-sen x) cosx - e x sen x(cos x - sen x)
e x senx e x (cosx -sen x)
ex cosx
cx = ~senx => q (x) = eos x + cx
c\ =
e* 0 
ex ex (co sx - sen x) e 2x (cosx -sen x )
ex sen x 
ex cosx
ex (cosx -senx)
377
722)
/. y - c¡ex + c2 sen x + ex (cosx + sen x)
xy”- y ' - 4 x i y = I6x3ex , y ¡ = e x , y 2 - e ~ A .
Solución
c \ = e x => c2 (x) = ex + c 2 , reemplazando en la solución general
-y = (cosx + c1)eA + (ex + c2)senx
1y " — v'_4x v = l6x ex . La solución general es: 
x '
y = c¡(x)y1 + c2(x)y2 => y = e ' c¡(x)+e~x c2(x) ... (1)
ex cj(x) + e a’ c2(x) = 0
2xex‘c \ (x ) -2 x e x c\(x ) = \6x~e
c\ (x) =
0
\6 x 2ex -2xe~ x
2xex - 2xe x
- 16x 
-4 x
= 4x
c}(x) = 4x => c1(x) = 2x‘ + q
4 ( * ) =
e x'
2xe
0
l ó x V ' 1 6 x V * 2
xle
2xexl
e
-2 x e “*2
-4 x
= -4xe 2 x ¿
Cj (*) = 4xe2j:2 => c2 (x) = e 2j2 + c2 , reemplazando en la solución general
y = (2x¿ +c1)ex + (-e lx +c2)e
+ c 2e -A +(2x - l ) e x
378
722) xy" -y~4x V = 1 6 x V 2, y x = e v‘ , >2 = e '*2 .
Solución
y " - —y '-4 x 2y = l6 x 2eJf . La solución general es:
>; = ci W J i + c2(x)_y2 => ^ = c,(x) + e 'AÍc2(x) ... (1)
é?a c{(x)+e jc2c2(x) = 0
2xex c j(x )-2 x e_Jr2c2(x) = 16x2e Jr¡
c{(x) =
0 e~x
1 6 x V : -2xe~ x*
2xex - 2xe
-16x
-4 x
= 4x
cj (x) = 4x => c¡ (x) = 2x2 + C]
c \ (x )=
ex* 0
2xexl 1 6 x V ’ \6x2e2xl
exl -X2e ~4x
2xe -2xe~x*
= ~4xe I x 1
c2 (x ) - ^xe => c2 (x) = e*r +c2> reemplazando en la solución general
J> = (2x +c1)ex + ( - e 2x' +c2)e~
/. y - c xe x +c2e x +(2x2 - l ) e x
379
723) x ( l - x l \x)y"+(\ + x 2 \nx)y '-(x + V)y = ( l - x l n x ) 2ex , y \ - e x , ,y2 - l n x
Solución
l + x 2 lnx , x + l (l-x ln x )e*
y ^ x(l — jclnjc) ■' x ( l-x ln x )
La solución de la ecuación diferencial es: 
y - c¡ (x )yx + c2 (x)y2 = e*C\ (x) + ln x r 2 (x)
exc\ (x) + ln x.c2 (x) = 0
r i 1 i , 1 -x ln x x
e *c (x) + - c\ (x) = -------------e
x x
y= -
■C (x) =
0
1 - x ln x */»•*
lnx
1
X X
e* lnx
e* I
X
1 -x ln x v ,----------- .e .lnx
x ----- - = - ln x
e x(— - ln x ) 
x
c\ (x) = — ln x => Cj (x) = -x ln x + x + c¡
c \ (x )=
e* 0
1 -x ln x , 
e -----------e
1 -x ln x 2x -----------£
e x lnx
e* - 
x
— = e
ex (— lnx) 
x
c\ (x) = e x => c2(x) = ex +c2 , reemplazando en la solución general
y = ( - x ln x + x+c¡)ex +(ex +c2) lnx
y = cxex + c 2 lnx + (l + x -x ln x )e *
380
4(x2 + x)) ' '+2(2x +1 )y '-y = 2̂ 1 x 1 +x
I _ 2^2 ,
Wx--i i > y ] ^ 4 2 ’
= a/x , >>2 = Vx + 1y i
Solución
1,, (2x + l) , 1y + —-------— y ----------------v = — =====
2(x2 + x) 4(x2 +x) 2-slx2 + x 
La solución de la ecuación diferencial es: 
y = c\ (x)y\ + c2 (x)y2 de donde y = -Jxc{ (x) + -~Jx + \c2 (x) 
formando el sistema:
Vxcj (x) + -y/x + lc[ (X) = 0 
i i , ; . i
2~sfx
c[ (x) +
2 ^ x + l
4 ( x ) =
2^[x/ + x
c\ (x) =
0 Vx + 1
1 1 1
2 ^ x 2 + x 2-^x + l 2->/x
Vx Vx+1 1
1 1 2 ^ x 2 + x
2-Vx 2^Jx + l
= Vx + 1
cJ(x) = Vx + 1 => c1(x) = | ( x + l)3/2+ c1
cj, (x) =
0
1 1 1
2^[x 2 ^ x 2 + x 2 Vx + 1
r x Vx + 1 1
i 1 2^/x2 + x
2^[x 2-Vx + l
= -VxTT
725)
c[(x) = -yjx + Í => c2(x) = — ( x + l)3/2 + c 2 , reemplazando en la solución
V = (— (x + l)3/2 +C])J x + (c 2 - ^ - { x + l) i ,2 )4x +1
3
y = cl -Jx+ c2^ x + l+ — J x ( x + lhJx + l - — (x + l)
eos x .y" - sen x eos x.y’-y = sen x , ^jí=0 = = se c x ’ ^ 2 = tS ;
Solución 
y ' t g xy '- sec2 x.y = tg x. sec x 
La solución de la ecuación diferencial dada es:
V = c, (*)>>! + c2 (x)j>2 es decir:
y = sec x.q (x) + tg x.c2 ( x ) , calculando los q (x ) , c2(x),
í sec x.cj (x) + tg x.c2 (x) = 0
se tiene el sistema:
I <r \ =
sec x. tg x.c| (x) + sec xjc\ (x) = tg x. sec x
q (*)
0 tgx
tgx. secx sec2 x tg 2 x.secx
secx tgx secx
sec x. tgx sec2 x
= - t g x
c¡(x) = - t g 2 x => q (x ) = x - tg x + q
c'2(x) =
secx 0
sec x. tg x tg x. sec x
sec x tgx 
secx. tgx sec2 x
te x. sec x—----------- = tg x. sec x
secx
382
y = (* - tg x + q ) sec x + (sec x + c2) tg x
y = xsecx + q secx + c2 tg x , para x = 0, y = 1 => 1 = cl
y = x sec x + sec x + c2 tg x , derivando tenemos:
y '= secx + xsecx .tgx + secx.tgx + c2 sec2 x
para x = 0, y'= 1 => l = l + 0 + c2 => c2 =0
i * * *+1 por lo tanto: y = x sec x + sec x = ----- f-
cosx
726) sen x.y” + 2 eos x.y '- sen x.y = 2 eos 2x
x 1
y \x=i = ° > y\ = — .vi i —2 2 senx senx
Solución
c\ (x) = tgx. secx => c 2(x) = secx + c2
. . . . ~cos2x ,y +c tg x.y - y = 2 -------- , cuya solucion general es:
senx
y = c¡ (x)y{ + c2 (x)y2, reemplazando el y 1, y el y 2 se tiene:
x 1
y = -------.C\ (x) + --------c2 (x ), donde c, (x) , c2 (x)
sen x sen x
se calcula formando el sistema de ecuaciones:
x 1 J.c\ (x) + ------- r -2 (x) = 0
sen x sen x
! = £ ! ! £ *i M - f S i *5 ( ; r ) . ! 2 i ? í
sen x sen x sen x
383
cj(x) =
sen* 
2 cos2jc c tg x
sen x sen x
1
2 eos 2x
- T "
= 2cos2x
sen x sen x 
1 -x c tg x c tgx
sen* sen*
c¡(x) = 2cos2x => c,(x) = sen2x+*,
4 ( x ) =
X 0
2 eos 2x 2xcos 2x
senx
1 -x c tg x
senx senx sen2 x _ 2xeos2x
X 1 -1 sen2 x
senx senx
1 -x c tg x ctgx
senx senx
sen2 x
c2(x) = x 2 + 2 x c tg x + x 2 -21n(senx)+*2 
c2 (x) = 2 x2 + 2x£ tg x - 2 ln(senx) + k2
V = (sen 2x+kx)+ —— (2x 2 + 2xc tg x.2 ln(sen x )+k 2 ) 
senx sen*
para x = ^ , y = l , y '=0 se tiene: y = senx
727) 4xy"+2y'+y - 1, lim y = 1, = s e n j x , y 2 =cos*Jx
y -++oo
Solución
384
y ''+ y'+ -7- y = — , la solución general es:
2x 4x 4x
y = q (x)_v, + c2 (x)_y2 de donde al reemplazar se tiene:
7 = sen -Jx£¡ (x) + eos 4 x jc2 (x ), para calcular c, (x ) , c2 (x) se forma el 
sistema de ecuaciones siguiente:
sen a/x .c{ (x) + eos -Jx~c\ (x) =• 0
c o s a / x i , „ sen V x , , 1 , por la regla de Cramer
2-Jx
- r j ( x ) - — = - 4 ( x ) = — 
2yX 4x
c{(x) =
0 eos Vx
1 sen Vx
4x 2Vx
sen Vx eos Vx
eos Vx sen Vx
2-[x 2 Vx
eos -Jx 
4x eosVx
1
2^fx
l 4 x
I / \ eos Vx ¡—ci \x) =- j=~ => d (x) = sen -Jx + kx
2-Jx
4 ( x ) =
sen Vx 0
eos Vx 1 sen Vx
2 Vx 4x 4x sen Vx
sen Vx eos Vx 1 2 Vx
eos Vx sen Vx 2 Vx
2Vx 2-[x
i / \ sen yx /—
c2 (*) = ------ 7=~ => C2 (x) = eos Vx + k2
2 Vx
j- ( s e n V x +kl )sQn-fx + (cosVx +k2)cos^[x , de donde:
385
y = 1+ c, sen Jx + c 2 eosJx , de las condiciones se tiene:
Jim y = l => C[ = c2 = 0 por lo tanto: y— 1
jr->+oo
728) 4xy' ’+2y’+y = ^ y = 1
Solución
6+ x , , , 1 .... * ____6+ x
724xy' '+2 y'+y = - J - , de donde / ' + — / + — y -
Como la solución es y = cx (x)yx + c2 (x)v 2, al calcular c, (x ), c 2 (x) 
tomamos lim y = 1 obteniéndose la solución: ,v = —
X->+00 _ X
1 *
729) (1 + x 2)y"+2xy'=----- y ' lim y ~ ~ T ’ ^*=0 '=0' 1 + X x-*+oc O
Solución
? r 1 d2y dP
v"+------T y '= -------Y T sea y z z p ^ T T _ X' l + x2 (1 + * 2) dx dx
de donde: ^ +- ^ r P = ------V t ecuación Unea1’ cuya solución es:
dx 1+x (1 + x )
f 2xdx r2xdx
p ~ e T+”? [ J e ’ !+Jt2 ___ ^ 2 + > efectuando las integrales
dy__ — + c j
dx J (1+X2)2
dy 1 ,__ ____ . arctg x c
(arctg x+ c) =
386
para x = 0 , y'= 0 => 0 = c
dy arctgx arctg2 x f— = -----Zj- => y = ---- 5— + ¿
dx 1 + x 2
como /z/w y = —
*->+00 8
por lo tanto: y =
rr2 rr 2tc n f t
=> — = — + ¿ => k = 0
8 8
arctg2 x
730) ( l - x ) / '+ x / - y = ( x - l ) V , lim y = 0 , y\ =1 , y x = x , y 2 = e x
y —>-oo
Solución
y ' ----- y'-----— = ~{x ~ l)ex , la solución general es:
1 -x l - x
y = cl (x)y1+c2(x)y2 de donde cx(x ) , c2(x) se calcula mediante el
sistema de ecuaciones siguientes:
\x.c\(x)+e* ¿[(x) = 0 
\c[ ( x ) - e x c \ (x) = - ( x - \)e
, por la regla de Cramer
c{(x) =
0 e‘ 
- ( x - l ) e x e } e 2x( x - l )
x e 
1 e 1
= e
e ' ( x - l ) 
c[(x) = ex => c1(x )= e * + k 1
c2 (x) —
X 0
1 i vT i V
H - x ( x - l ) e x
x ex e x{x - \)
1 e*
= - X
387
x 2
y = ( e x +kl )x + (— — + k 2)ex entonces:
2 x 2 
y = clx + c2ex + xex >' = ^ +x
(2 - ln x )2
731) 2x (2 - ln x )y + x (4 - ln x ) y - y ------j=—
c !j(x )= -x => c1(x) = - ^ Y + k 1
lim y - 0 , y x = ln x + y 2 =-Jx
y - > + 00
Solución
„ 4 - ln x , 1 .. 2 - ln x
La solución general es: y = c¡ (x)y¡ + c2 (x)y2 es decir:
y = ln x£\ (x) + 4~xc2 (x) y formaremos el sistema para calcular c, (x ) , c2 (x ) . 
ln x.c\ (x)+ -Jx£ 2 (x) = 0
1 i / \ 1 | ¡ -v 2 - ln x
— £ J (x) + — r - £ 2 (*) - 2 r~
x 2Vx 2x V*
c}(x) =
2
0
- ln x
■Jx
1 2 - ln x
2 x l '[x 2-Jx 2x2 _ 1
lnx r x 2 - ln x x 3/2
1 0 2-Jx
X 2 Vx
388
732)
Ci(*) = -T7T => Cj(x) = -= + C i 
x Vx
I _^
4 (x > =
lnx 0 
1 2 - ln x
2x 24 x
lnx -Jx 
_1_ 1
x 2-Jx
ln x(2 - ln x)
2x2-7x
2 - ln x
' 2-fx
lnx
T T
I , -v lnx lnx 1 .................................
c 2 W = — c2 (*) = ~ + ^ 2 > reemplazando en la solución general.
>> = (— ^ + c , ) l n x + ( — + - + c 2)4x 
■Jx X X
y = cl \ nx + c 2J x - ^ í - + - ^ para que lim y = 0 ; c, y c2 deben ser 
-s/x Vx y-^+cc
cx = c2 = 0 de donde la solución es:
1 -ln x
4~x
y + l y - y m 4e*t ¡¡m ^ = 0 , ^ — I , , j, » £ _ j, »J
X v—>—oo '■*- O
£
x ' ' ljr=~ e ' *'1 2 _ x
Solución
La solución de la ecuación diferencial dada es: + c 2(xXv2
es decir: >̂ = c1(x)— + c2(x)— donde cx (x ), c2(x).
Calcular mediante el sistema siguiente:
c\ (x) + ~ z r + —r c2 W = 0x
- x i
e í( jc -1 )c| rr'i e ' x(*+1) e_jtCjW 5-------------
389
c}(x) = -
e x - r *(* + !) 
x x 2
e
~ 2 ~-2x
e - X— - e ' x (x+\)
x
ex{x - \ )
c}(x) = -
X
-2 x e 2x
C\(X) =---- — + q
C[(X) :
— 0
X
e*{x-X) e~x
X2 X
e
x
- e
e'(jc-l) - e *(*+!)
1 Xc\ (x) = - — => c2 (jc) = - — + c2, reemplazando en la solución general.
, e 2x . e x x e xy = (---- — + c ,)— + ( - —+ c 2) ——
4 x i x
ex e~x e~x e~xv = c , ------------+ e-,-------------- , derivando
' x 4x 2 x 2
(x -1 ) e ' (x + l) ex(x+l) t e — -j-------- ------ c2 ------ -̂-----*—
4 x ¿
para x = -l, / = — se tiene: 
e
390
1 2cl e
— = -------+ — entonces:
e e 2
c i =-
e 2 + 2
tomando lìm y - 0 se tiene la solución general de la ecuación
y —> -o o
diferencial dada, y = (x - \ ) e x
733) x 3(Inx - l ) y ' ' - x 2y'+xy = 2 In x , lim y = 0 ,y ¡ =x, y 2 = \nxy-++oo
Solución
.. 1 , 1 2 In*
y —~ ---~ y =x ( ln x - l ) - x 2( ln x - l ) x 3( ln x - l )
La solución general de la ecuación diferencial dada es: 
y = ci (x)yx + c2 (x)y2 , donde c¡ (x ) , c2 (x) se calcula mediante el sistema
x.c\ (x) + ln x.c\ (x) = 0
c ¡ ( , ) + l 4 , „ , 2 I n ^ _
x x (lnx-1)
0
21nx
lnx
1 21n2 x
x 3( ln x - l) X x 3( ln x - l) 21n2 x
x Inx
i i ,
X
X
II
Xa71
X
, , In X lnx 1
C1 ( X ) = ------- — ------ r-----------+ Cj
x L X2 X
391
c\ (x) =
x O
j 2 lnx
x ( ln x - l)
x lnx
i i
x
2x lnx
x 3( l n x - l ) __ 2 lnx
1 - ln x x 2
l / ̂ 21nx 21nxcUx) =- r— => c2 (x) = -----------------21nx + c2
r 2 X
, ln2 x lnx 1 v .21nx 
y = (----- y-------- 2— " + + ----------- 2lnx + c2 )lnx
x 2 x 2 x
ln2 x lnx 2 i v = cix + c2 ln+---------------- -2 In x — 1
X X
734) (x2 - 2 x ) / f+(2“-x 2)/-2 ( l-x X y = 2 ( x - l ) , V i= x 2 , y 2 = ex
Solución
„ 2 - x 1 , 2(1 - x ) _ 2 ( x - l )
y -
x 2 - 2 x x 2 - 2 x ' x 2 ~2x 
La solución general de la ecuación dada es:
y = Cj (x)y1 + c7 (x)>’2, donde c¡ (x ) , c2 (x) se calcula mediante el sistema
x í c\ (x) + exc\ (x) = 0
2xcJ (x) + exc\ (x) = - :-
x -2 x
c[(x )=
0 e’ 
2(x - l ) ,
x 2 -2 x
x 2 e r
2x ex
2 e* (x -l)
x 2 -2 x 
e*(x2 - 2x)
= —2(x — 1)
392 '
c\ (x) = -2(x -1) => c1(x) = - ( x - l ) 2 +c,
2 x 2 ( x - 1 )
J - 2 x 2x2( x - l )
e*(x2 -2 x ) e*
2
4 ( » ) = 2* 1 — ‘i => c2 (x) = -2 e _Jt (x3 + 2x 2 + 4x -1 ) + c2 
e*
_y = (—(x —1)2 +cx)x2 + -2e~*(x3 + 2 x 2 + 4 x - l + c2)e*
y = clx 2 +c2e x -2e~x (x s + 2 x 2 + 4 x - l ) - x 2( x - l ) 2
4 ( x ) =
x
2x
0
2 (x - l)
x 2 -2 x
x
2x
393
COMPOSICION DE LA ECUACION DIFERENCIAL! 
""d a d o EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE|
s o l u c i o n e s !
Si el sistema de función y,(.v).y: (x).....y„(x) linealmente independiente en el
segmento |a.b], que tiene derivadas hasta el orden n inclusive.
Entonces la ecuación.
y, (.v) y; (.v) ... >„<x) y
y¡(.v) vU-v) ... y¡,(v) y'(.v)
= 0 ...(1 )
|
v, ( a ) y 2 ( v ) ... y n ( a ) y ( a )
donde y(x) es una función incógnita, es una ecuación diferencia! lineal, para !os cuales 
v, (jc) , y 2 ( a ) , . . . , y n ( a ) forman un sistema fundamental de soluciones.
El coeficiente de y (w) ( a ) en (1) es el Wronskieno.
VV[ v , ,y 2.....v„ 1 del sistema
Los puntos en que se anula este determinante, son puntos singulares de la ecuación 
construida.
Formas las ecuaciones diferenciales, para los cuales los sistemas dados de 
funciones forman los sistemas fundamentales de soluciones.
7 3 5 ) y , ( a ) = 1 , y2(a ) = a , v 3 ( a ) = a
Solución
1 X
•y
X y
0 1 2x y
0 0 2 y’
0 0 0 y"
394
736) y x (x) = senh x , y 2 = cosh x
Solución
senh a: cosh a y 
cosh x senh x 
senh a coshx y
= 0 entonces:
737)
738)
s e n h x (se n h x y 'coshx./!') - coshx(coshx.y' '-sen x.y') + y(cosh- senh2 x) = 0 
senh 2 x.y' cosh2 x . y ' senh x cosh x.y’+ cosh .y'+y - 0 
-y "+ y = 0 entonces: y ' '-y = 0
y i(x ) = x , y 2(x) = e*
Solución
= x(exy " - e xy ' ) - e x (y"-0) + y(ex - 0 ) = 0
ex (xy"-xy '-y"+ y)= 0 entonces: (x - l)y"-xy'+y = 0
x e x y
1 e* y
0 £?* y
y j(x )= se n x 2, y ,(x) = co sx 2
Solución
senx cosx y
2x eos2 -2 x s e n x 2 y '
- 4 x 2 sen x2 - 4 x 2 cosx2 y"
- 0 entonces:
sen* (-2xy"senx2 + 4x2 y' eos x 2) - eos x 2 (2xy ' ' eos x 2 + 4x 2y ’ sen 2 x) +
+ y (-8 x 3 eos2 x 2 - 8 x 3 sen2 x 2) = 0
395
-2 .rv"sen2 .r2 -2.vy"cos2 .v: + 4 x 2y'sen.v2 cos.v2 - 4 * 2/ e o s * 2 sen a2 -
-8.vJycos2 x 2 - y 8 . r sen2 x 2 = 0
- 2xy ' (sen2 .v2 +cos2 v2)-8 .t\v (c o s2 x 1 +sen‘ V ) - 0 
jrv"+4jr\v = 0 => y"+4.v"y = 0
739) y, ( v) = x , y 2(x) = e
<-12
Solución
. x - 12
x 121 xe y
0 e x l 2 (x2 + 1) y'
= 0 entonces:
^ • • ^ i/2-y(x2+ i ^ í/2)-e‘J/2(y"-0) + > V í,2+Jc2+i)-0 = 0
ex 12 ( x 2 y " -x y '(x2 + 1)- y"+y(jc2 + 1)) = 0
( x 2 - l)y " -(x J + .t)y’+(.v2 + l)y = 0
INTEGRACION PE LAS ECUAClONEjj
DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES^
1) Este método resulta muy usual al aplicarlo a las e c u a c i o n e s diferenciales
lineales. Aquí lo aplicaremos para el caso de ecuaciones de segundo orden.
Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden.
y"+P(x)y'+g(x)y = 0
396
Supongamos que los coeficientes P(x) y q(x),se expresan en forma de series, 
dispuestas según las potencias enteras positivas de x, de modo que la 
ecuación (1) ,e pueda escribir en la forma.
y''+(a0 + a1x + a 2x 2 +...)y'+(b0 +blx + b2x 2 +...)y = 0 ... (2)
busquemos la solución de esta ecuación en forma de una serie de potencias.
00
y = ...(3)
*=0
poniendo en (2) la expresión de Y y de sus derivadas, obtenemos.
00 OO 00 00 00
£ * ( * ■ ! )c***~2 + £ « * * * = o - (4>
A 2 k=0 k= 1 A=0 k=0
multiplicando las series de potencias, reuniendo los términos semejantes e 
igualando a cero los coeficientes en las distintas potencias de x, se obtiene una 
regla de recurrencia.
I n la practica es conveniente proceder del modo siguiente, por el esquema 
señalado se busca dos soluciones y x(x) e y 2(x), para y x{x) se toma c0 =1
y c \ = 0 y para y 2 (x) se toma c0 = 0 y cx = 1, lo cual es equivalente a las 
siguientes condiciones iniciales.
y\ (0) = 1 , y¡ (0) = o |
y2(0) = o , y \ {o) = il
... (5)
Toda solución de la ecuación (1) será combinación lineal de las soluciones 
viW e y 2 0*0 • Si las condiciones iniciales son de la forma y(0) = A, 
y '(0) = B entonces es evidente que:
y = Ay i (x) + By2(x)
l inalmente enunciaremos (sin exponer la demostración) el teorema de 
existencia de soluciones de la ecuación (1) en la forma de serie (3).
TEOREMA.- Si las series p(x) = akx k y q(x) = * son convergentes
k =o *=o
para |x| < R, la serie de potencia (3) construida del modo indicado 
anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solución de 
la ecuación (1).
En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para 
cualquier valor de x.
2) Desarrollo de la solución en una serie de potencias generalizada. 
DEFINICION.- Una serie de la forma.
QO
x p ^ c kx k , (c0 *0 ) ...(6 )
k= 0
00
donde p es un numero dado y la serie de potencia ' ^ ¡ckx k es convergente en cierto
*=o
recinto |x| < R, se llama serie de potencia generalizada.
Si p es un número entero no negativo, la serie de potencia generalizada (6) se convierte 
en una serie de potencia ordinaria.
TEOREMA.- Si x = 0 es un punto singular de la ecuación (1) cuyos coeficientes 
p(x) y q(x) admiten los desarrollos.
00 00 
2 > . * ‘ Z m ‘
* * ' — . — - m
X X
Donde las series que figuran en los numeradores son convergentes en cierto recinto 
jxj < R, y los coeficientes ¿Zq , y bx no son simultáneamente iguales a ^ero, entonces 
la ecuación (1) posee al menos una solución en la forma de serie de potencia 
generalizada.
00
y = x p ^ c kx k , (c0 0) ...(8 )
k= o
que es convergente al menos en el mismo recinto |x| < R.
398
Para hallar el exponente p y los coeficientes ck es necesario poner la serie (8) en la
ecuación (1), simplificar por x p e igualar a cero los coeficientes en distintas potencias 
de x (método de los coeficientes indeterminados).
En este caso, el numero p se halla de la ecuación llamada determinativa.
p ( p - l ) + a0p + b0 =0 . ..(9 )
Donde a 0 = lim xp(x), b0 = lint x 2q(x) ... (10)
* -> 0 x - > 0 y 7
suponiendo que P\ y p 2 son las raíces de la ecuación determinativa (9)
Distinguiremos tres casos.
I o.- Si la diferencia p x - p 2 no es un numero entero o cero, se pueden construir
dos soluciones de la forma (8)
00 00
y i(x ) = x Pl^ c l x k , (co * 0 ) , y 2( x ) - x A Xk , (A0 * 0 )
k=0 k-Q
2o.- Si la diferencia p x - p 2 es un entero positivo, por lo general, solamente se
puede construir una serie (solución de la ecuación(l)).
00
y \ { x ) = x p' ^ c kx k . . . ( í i )
*=0
3o.- Si la ecuación (9) posee una raíz múltiple p x = p 2 también se puede construir
solamente una serie (la solución (10)).
Este claro que en el primer caso las soluciones y x (x) e y 2 (x) construidas son 
iinealmente independiente.
En el segundo caso y tercer caso, se ha construido solamente una solución (10) 
señalemos sin exponer la demostración, que si la diferencia p x - p 2 es un
número entero positivo o cero, además de la solución (10) habrá una solución 
de la forma.
399
y 2 =Ayx(x)\nx + x Pi'YáAkx k 
k=0
00
. ( 12)
Vemos, pues, que ahora y 2 (*) contiene un sumando complementario de la forma
Ay2(x) Inx 
donde y x (jc) se expresa en la forma (10)
OBSERVACION.- Puede ocurrir que la constante A en (11) sea igual a cero, y 
entonces, para y 2 resulta una expresión en forma de una serie de 
potencias generalizada.
Integrar mediante series las siguientes ecuaciones diferenciales.
768) y'-2xy = 0 , y(0) = 1
Solución
oo
Suponiendo que y = ^ cnx n es la solución de la ecuación diferencial.
n=0
oo
y'=^T^ncnx n~l , reemplazando se tiene
n=i
00 00
ncnx n~l - 2 x ^ cnx n = O, poniendo en una misma potencia a x
n=l n=0
00 00
£ ( n + l )cn+xx n = ^ 2 c nx n+l = 0
n~0 n=0
00 00
^ (n + 2)cn+1x n+l - 2cnx n+l = 0 , poniendo los inicios iguales
n= -1 n- 0
400
q + | > + 2 ) c B+2* ”+1- ¿ 2 ÍVt'’+1 =
n=0 n=0
C i + ¿ ( ( « + 2)cn+2- 2 c n)xn+1= o
»=0
c i = 0
( n + 2 ) c b+2 = 2c„ c»+2 - •
2c„ 
n + 2
a 2c0para n = 0 , c2 = = c0
i 2cin = 1 , c3 = - j - = 0
n = 2 , c4 2c2 Cq 
4 2
2c3 «n = 3 , cs = — - = 0 
5
n = 4 , c6 - 2 c 4 C4 C0
4 + 2 3 2.3
- 2c5
n = 5 , c7 = -— . = 0
n = 6 c 2Cfi c° 
’ * 8 4!
„ _ c 0
c2n ~ .n\
regla de recurrencia.
£o
3!
401
y = 'YJc2nx n = X ^ 7 * 2" = c°eX
n=O n=O H’
- x 2n
tl\
para x = O, y = 1 = c0 , de donde y = ^
769) 4 x / ’+2/+>> = 0
Solución
Como x = 0 es un punto singular regular entonces la solución en la serie
00
y = ^T/ cnx n+r , donde r(r - 1) + p 0r + q0 = O y p 0 = lim^xP{x) y
B=0
q0 = lim x 2Q(x )
x—>0
Luego v"+ — v'+ — y = O siendo /*(*) = — , £?(*) = -r - 
2x 4x 2x 4 x
P0 = lim xP(x) = lim x(— ) = —, q0 = lim x 2Q(x) = /iw x 2 — = O
0 jr_>0 w x->0 y2x 2 x->0 *-+o 4x
r ( r - 1)+—+ 0 => r 1 - r + — = 0
2 2
r 1 1
r 2 — = 0 => r (r — ) = 0 => r{ = 0 , r2 = —
2 2 2
para rx se tiene: y = ^ ^ cnx n , de donde
n=0
00 00 
y ' = ^ n c nx"~1 => _y"= ^ n ( n - l ) c nx n~2 , reemplazando en la ecuación
»=1 n=2
402
00 00 
4 * ]> \(flM )c„ ;t"“2 + 2 ^ > jc nx'’“1 + ]£c„;c" = 0
«=2 n=l n=0
~ ^ orí)
2 ] 4w(w - l)cnx nA + + 2 ] cnx ” = 0
n= 2 n=1 «=0
poniendo en una misma potencia a x.
00 00 00
Y j 4»(» + l)cn+1 JC" + 2(n + l)cn+1x n + Y j cnx n = O
»=1 «=o
igualando los inicios se tiene:
OO 00
4«(« +1 )cn+1x n + 2c, + cn + ]T 2(» + l)cn+1x" + Y JCnx n = O
W=1 «-1
00
2cx + c0 + ^ [2 (w + l)(2« + l)c„+1 +cn]xn =0
n=O
aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
2c1+c0 =0 1 2 2!
2(w + l)(2w + l)cn+1+c„ = 0 ^ _ c„
^ » 4-1 — ~
2(« + l)(2« + l) ’
para n = 1, c2 = — — = + -^ !— = — 
2.2.3 2.3.4 4!
como
n= 0
= = Co + C j X + C 2 X 2 + c 3x 3 + . . .
«>1
La otra solución es para r = ~
1n+-
y = ^ cnx n+r = ^ J cnx 2 » derivando
rc=0 n=0
00 i n_ i 00 1 \ n - -
/ = Y ( n + - ) c „ x 2 = » v ” = ^ ( k + - ) ( « - - ) c „ x 2
*=0 2 *=0
reemplazando en la ecuación diferencial.
V““"< 1 1 n~— n+~Z
4 * ]T (n + - ) ( n - - - ) c nx 2 + 2 ¿ j (n + - ) c nx 2 + ¿ ^ cnx
„=0 2 n=0 n=0
¿ 4 ( « + i ) ( n - | ) c „ x 2 + ¿ 2 {n + ~ )cnx 2 + Y J CnAx 2 =0
„=0 2 2 »=0 «=1
n—i 00 ̂ n_L
y ' i4«(«+— )c„x” 2 + y c „ _ 1x 2 = 0 , poniendo los inicios iguales
0° J 00 n_I
0 + ^ 4 « ( n + - ) c „ x 2 + ^ / cn_lx 2 =0
OO ̂ | n_J_
^ [ 4 « ( n + -~)cn + cn_,]x 2 =0
n = 1
4n(n + ~)cn + cn_x = 0 , de donde se tiene:
c„ =■ Cn \
4n(« + i )
para n > 1, regla de recurrencia.
404
n 1 c0 c0Para n ~ 1, c\ = ------ --------
1 2.3 3!
ci con = 2, c2 = — — = —
2 4.5 5!
1
como y ^ c nx 2 = 4 x (c 0 +clx + c2x 2 +...)
n=0
y = 4x(c0 - — + «c0V?(l-- + ----•••)
3! 5! 3! 5!
Luego la solución general es:
^ = q (1- —+ ) + c2V *(l- — + —
2! 4! 3! 5!
770) (1 + x)y'-ky = 0
Solución
oo
Suponiendo que cnx ” es la solución en series de potencias
n=0
00 00
y = ^ w c nx n~1 j>M= rt(rt-l)cn;cw“2 , reemplazando en la ecuación
n=l «=2
+ - k j ' c nx n = 0 , operando tenemos
n=l n=0
00 00 00
= 0 , poniendo en la misma potencia a x.
n=l «=1 n-0
OO OO 00
^ ( / i + l)cn+1x n +J ^ n c nx n —kc0 - J ' k c nx n = 0, poniendo los inicios iguales
n=0 n=l n=l
405
c¡ —kc0 f ^ ] [ (n + l)cB+i -nc„ -kc„]xn = 0
n=1
C, = ¿ C n
Cj - £ c 0 = 0 ^
(n + l)cn+i - ( n + Ar)c„ =0 c„+1 = - ----- c „ , n > l
(w + 1)
, 1 + A (l + fc)Ar0
n = 1, c , = ------c, = -------------2 2 1 2
(2 + Ár)c2 (2 + k)(\ + k)kc0 (2 + k)(l + k)kco
3 ~ 23 ~ 3!
n = 2, c3 =
k ( k - l)...(A'-n + l)
c n ~ ¡ c on\
••• y = c o £
771) 9x(l-;t)y"-12y '+4y = 0
&(& -1)...(£ -w + 1) „ 
w!n=0
Solución
00
Sea j; = ^ T c n* n+'' la solución en series donde 
«=o
r ( r - l ) + /?0r+ ̂ r0 = 0 siendo p 0 = lim xP(x) y q0 = //w x 2g(x)
jc-»0 jc->0
12 - 4 n j ^y ------------- y h-------------y = 0 , donde
9 x ( l - x ) 9x(\ - x)
p (x ) = Q , / 2 Y g(x) = Q-n4- - luego 
9 x (l-x ) 9x(1-jc)
406
P0 = lim xP(x) = lim — -■-* = l im---- —— = - —
*_>o x-+o 9x(l - x) *->0 9(1-*) 3
q0 = lim x 2Q(x) = lim x 2 (---- —— ) = lim ——— = 0
x —>o a -—> 0 9 j c ( 1 - x ) x —> o 9 ( 1 ~~x)
4 1r ( r - l ) - — r = 0 => n = 0 , r2 = -
para ^ = 0 , 7 = de donde sus derivadas son
n=0
00 00
y % = ^ w c nx n_1 => y = ^ ^ n ( n - l ) c nn~2 , reemplazando en la ecuación
n=l n=2
00 00 00
9 x ( l - x ) ^ / j ( n - l ) c njr'’~2 - 1 2 ^ « c nx"‘‘ + 4 ^ c „ x " = 0
n=2 n=l n=0
OD OD OD 00
X 9» ( » - D V M - X 9n(n_1)c»*" _ X 12nc»x" 1 + X 4c'>x" =0
h=2 n=2 n=l n=2
poniendo en una misma potencia a x.
OP OO 00
^ 9 ( n + l)/jcn+1x n - ^ 9 « ( n - l ) c „ x " - £ l 2 ( n + l)cB+,x" + ]T 4 c„x " = 0
n=l n—2 n=0 w=0
OO 00
18c2x+ ^ 9(n + X)ncn+xx n - ^ T 9n (n - \)cnx n -1 2 cx -2 4 c2x -
n=2 n=2
OO 00
- ^ 1 2 ( K + l)cn+ix ” + 4c0 + 4c1Jc + ^ 4 c nx" = 0
n=2 n=2
00
4c0 -1 2 c¡ + (4q - 6c2 )x + [3(n + 1)(3n - 4)c„_1 -(3n-4)(3« + l)cn]xn =0
n=2
407
por el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes 
se tiene:
4co -1 2 c ,= 0 C l= C°
4c, - 6c 2 = 0
3
3(«+1X3« - 4)cn+l - (3« - 4)(3n + l)c„ = 0 C* = J J = J ¿
(3« + l)c„
cn+1 = ----------- > n - 2. regla de recurrencia
3(n +1)
7 7.2c0 1.4.7
n = 2, c, = — c? = ---------= ------- c0
3 3.3 2 3.3.3.3 3.6.9
XT"1 n 2 ^ 0 4C() 2 1-4.7 3= c0 + c1x + c 2x +... = c 0 + — x + — x + J ^ co* +•••
»=0
x 4 2 1-4.7 3 .v = c0(l + —+ — X + ------ x +...)
' 0 3 3.6 3.6.9
7
La otra solución se obtiene de la serie para r2 = —
3
7«+—
= ~'¿LiCnX 3 ’ derivando
n=0 n=0
QO m ^ QO « i . ^w—i 7 n+— 5T~i / 4 T
/ = 2 j (« + - )c „ x 3 => / ' = 2 ^(« + - ) ( « + - ) c bx
*=o 3 >1=0
reemplazando en la ecuación diferencial
7 4 n+~ v”"’ 7 n+T V""1 n+T
9ac( 1 - x)^ ( /2 + -) (« + - ) c„x 3 -1 2 2 ^ (w + t )c^ + 42 . /" * = 0
n=0 3 3 n=0 n=0
» 7 4 n+í ® 7 4 ”+t v-> 7 ”+T
]T 9(« + -)(« + - ) c nx 3 - 2 ^ 9 (n + TKw + T)c»jr 3 - X 1 2 (w+T)c"x +
«=0 n=0 w=0
7ra+—
n=0
408
30 ̂ 00 ̂ ^ 7
^ 9 n(n + - )c„ x 3 -]T(3M + 8)(3H + 3)cr,x" 3 =0
igualando las potencias de x se tiene.
4
Z «+T i *»+—3«(3« + 7)c„x 3 - 2 J3(3« + 8)(n + l)c„x 3 = 0«=0 „=0
o> 4Y—' w+~ n+~
2^3«(3« + 7)c„x 3 - / 3(3w + 5)(« + 2)cn_iC 3 = 0
n=0 *=1
ahora igualando los inicios
oo 4
Z rt+~ x—i n+—3«(3« + l )cnx 3 - £ 3(3« + 5)(» - l)c„_,x 3 = 0n- 1 n=1
Oü *t
Z n+—[3«(3« + 7)cb -3 (3 « + 5)(«)]c„_jX 3 =0«=0
3n(3n + l)cn - 3(3n + 5)ncn_x = 0 
(3w + 5)(/j)
c" = — ---- ^7" cn-1* V n > 1, regla de recurrenciaw(3w + 7)
m
x 14 , 1.4.7 i L 8x 8.11 2 . 8.11.14 ,
•’' =C,(‘ V « * + 5 l 9 * + ”)+C!‘ ( T ^ m í S * + T o H n I - )
772) y"+xy'+y = 0
Solución
Luego la solución general es:
Sea y = ^ icnxH => y ’= 1 => / ' - £ « < » l)0«*
»=o «=i *=2
¿ ü ( i i “ l)c .* ,,"2 + ¿ « c . * ’ + ¿ c . * * = 0 
>1=2 «=1 «=°
¿ « ( « - l ^ x " -2 + ¿ » c „ x " =0
»=2 »=1 "=°
poniendo las potencias de x iguales
£ ( « + 1)(» + 2)cb+2x" + ¿ Jncnx n + 2 ¿ c nxn = 0 
»=0 «=1 «®°
poniendo los inicios iguales.
00 30
£ [(n + l)(» + 2)c1,+2+c,,]x', + ^ ncHXxn =0 
»=0 »=1
00
2c2 + c0 + £ [ ( « + l)(n+ 2)cn+2 + c H]xn +2_j nc„xn = 0
n=l »=1
uu
2c2 + c0 + y^[(w +l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c„ ]x" = 0 
»=1
n-2
410
por el método de los coeficientes indeterminados
Í2c 2 + Cq =0
\(n + 1)(« + 2)cn+2 +(n + 1 )c„ = 0
1 C1 para n = 1, c3 = ~ ~
c2 ~ ~
co
cn+2 = ----- 2tr . V n > \n + 2
n = 2, c4
4 2.4
, c 3 c \n = 3, c5 = — - = —
5 3.5
a C4 C0n = 4, c6 = — - ----- —
6 2.4.6
c c 5 c ln = 5, c7 = — - = ----- —
7 3.5.7
y = c0 + q x + c 2x 2 + c3x 3 + c4x 4 + c5x 5 + c6x 6 +..
7 = Co +Clx - ^ x 2 - ^ - x 3 + ̂ x 4 + ^ - x 5 — ^ - x 6
2 3 2.4 3.5 2.4.6 3.5.7
x + .
X X X X X Xy = c0 (1------+ -------------- + ...) + c, (x ------ + -------------- + ...)
2 2.4 2.4.6 3 3.5 3.5.7
773) / '- x v -V y - l = 0 , y(0) = / ( 0 ) = 0
Solución
OO 00 00
Sea y = ' £ c nx n => / = ^ wc»x"_1 => y " = ^ n ( n - l ) c nx n~
n- 0 n-2
411
w oo w
5 2 k(/i-1 )cnx n~2 + ]T cnx n =1
n-2 n=1 »=0
2 " ( n " 'l)c«jc""2 _ Z ! ”c»x , ,+ S c»x " =1
n=2 n=l n=0
poniendo las mismas potencias a x
00 00 00 
Y i (n + l)(n+2)cn+2x n - ^ n c ^ " + Y j cnx" =1
n=0 n=1 n=0
OO 00
^ [ ( / i + l)(w + 2)c„+2 + ^ /ic„*n = 1, poniendo ios inicios iguales.
n=o n=l
qo
2c2 + c0 + ]¡T [(« + l)(n + 2)c„+2 - (« - l)c„ ]c„ = 1
»= 1
por el método de los coeficientes.
2c 2 +Cq =
(«+1)(/i + 2)c„+2 - (n - l)c „ =0
l - c 0
cn+2 =
( n - 1 )cn 
(w + l)(w + 2)
, V «>1
para n = 1, c3 =0
n = 2, c4 = c2 _ 1 ~ g0 _ l ~ c0 
3 A ~ 2.3.4 ~ 4!
2c,
n = 3, Ce = -----= 0 => c5 = 0
5 4.5 5
„ - 4 „ _ 3 c4 _ 3 ( 1 - c0)n — 4, —----- —-----------
6 5.6 6!
412
para _y(0) = y ( 0 ) = 0 => c0 = 0
1 _ 1 _ 5C 2 — y C3 — 0 , C A —— , C<¡ — —
2 2 4! 8!
j = c0 +C]jr+C2x 2 + c3x 3 +.
x 2 x 4 3x6 3.5 jc8 (2n + l)e2*+4y — --------1--------- 1----------- 1--------------_j_ _ -f--------------------------- + . ..
^ 2 4! 6! 8! (2n + 4)!
En ios ejercicios 774 — 778 hay que hallar sus términos del desarrollo de y(x).
774) y"-{\ + x 2 )y = 0 , y (0) = -2 , y'{0) = 2
Solución
OP 00 00
Sea y = '^ c „ x n => y '= '^ n c „ x ’’~1 => _ y " = ]T n (« - l)c„xn~2
n=0 n=1 n-2
OO 00 oo
X « ( » - l ) c Bx""2 - X c»x " - * 2X C»*" = 0
n-2 i»=0 n=0
f > ( « - l ) c „ * " - 2 - ¿ c „ x " - ¿ c „ x n+2 =0
»»=2 n=0 n=0
poniendo en una mismas potencias de x.
I
OO OO oo
X (" + W»+2)cn+2x n - X c»x ” - Z!C'>-2X'’ = 0
n=Q n- 0 n=2
oo * x -
£ [ ( « + l ) ( n + 2)cn+2 - c j * " - J ^ c n_2x n = 0
n-Q n-2
413
poniendo los inicios iguales.
QO
(2c2 - c 0) + (2.3c3 - c 1) x + ^ [ ( « + l)(n + 2)c„+2 - c „ -c„_2]xn
n=2
l c 2 - c 0 = 0
2.3c3 = 0 =>
(n+l)(n + l )cn+2 —c„ -c„_2 = 0
c2 = ^ 
2 2
C 3 = ^2.3
C +■ C ■)
c = —2---- «z£_ n > 2, regla de recurrencia
"+2 (n + í)(n + 2) 6
c2 + Cq 3c0 
para n = 2, c4 = -
n = 3, c5 =
3.4 2.3.4
c3 + q 7q
4.5 2.3.4.5
y = c0 + <?!* + c2x 2 + c3x 3 + c4jc4 +
Cq 2 c \ 3 3 ^ 0 4 5v = c0 +CiX+ — * + — x + — — x + ----- — x
' 0 1 2 2.3 23.4 2.3.4.5
y = - 2, x = 0 => -2 = c0
/ = C j + C 0 X + ̂ - X 2 + . . .
2 = + 0 + 0 => Cj = 2
2 * 3 * 4 7
v = -2 + 2 x - x z + - — — + — x 5 
y 3 4 60
775)
Solución
y"+y,- * 2y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0
Sea y = y£ J cnx n => y = ^ n c nx n l => y"= ^ /i(n - l)c „ x "
n=0 n - 1 n=2
^ n ( « - l ) c „ x " -2 + ^ n c „ x " _1 - x 2 jT c„ x " =0
n=2 n=l n~ 0
j r n(n-l)c„x"~2 + ^ n c „ x "'1 - ' j j? c nx n+2 =0
n=2 n=l n=0
poniendo en una mismas potencias de x.
£ ( n + l)(n + 2)cn+2x n - (n + l)c„+1x n ~ ^ c n_2x n = 0
n =0 n =0 n=2
¿ [(» + 1)(«+ 2)cn+2 + (n + l)c„+1 ]x" - cn_2x n = o
aj=0 n=2
2c 2 + Cj + (2.3c 3 +2 c2 )x + ((n + l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c„+1 - c„_2 )*" = 0
n =0
aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando los 
coeficientes se tiene:
2c 2 +Cj = 0 
2.3c3 + 2c2 - 0
(n + l)(n + 2)cn+2 + (n + l)c„+1 - c„_2 = 0
2c2 - Cj => c2 -
C1 C1 
3Ca — C 7 — ̂C-3 —
3 2 2.3
c„+2 = — (n + 1 ) c n+\ ̂ V n > 2, regla de recurrencia
(n + l ) (n + 2)
415
776)
para n = 2, cd . . . 4|
n = 3, c< = . . . . 5!
c0 -3 c 3 _ 2c0 c, _ .
3.4 2.3.4
c, -4 c 4 1 IjP
i 1 K> O 0 1
4.5 2.3.4.5
. c2 ~5cs
Os10<N1
5.6 6!
c3 ~ 6c6 39c! - 2 c 0
6.7 7!c4 - 7 c ? 62c0 - 69C[
7.8 8!
n = 4, c6 =
n = 5, c7 =
n 6, Cg
y = c0 + c1* + c2.x2 +C3X3 +C4X4 +C5JC5 + c6x6 +C7JC7 +...
C\ 2 3 ^Cq c i 4 7c, 2Ca « 2cn -19c, ¿
y = C 0 + C,*----LXZ +-ÍJCJ + — y---- - Jt + --- i------— X + — 5------- l- x 6 +
2 3! 4! 5! 6!
| 39c, - 2 c 0 ^ t 62c0 -69c, ^ +
1\ X 8! X
l = c0 +0 => c0 =l 
c¡x2
y =c . -c ,jc + --------+ ...
2
O = C] — O => Cj =0
, 2jc4 2x 2xb 2 7 62 8
y = -1 + --------------+ ----------- x + — x 8 + . . .
4! 5! 6! 7! 8!
y"+yex = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0
Solución
416
Sea y = ^ ^ a kxk la solución de la ecuación diferencial dada
k= 0
y ' - ^ j k a kx k 1 => y"= ^ k ( k - \ ) a kx k 2 , reemplazando en la ecuación
*=1 k = 2
w 00
^ k ( k - l ) a kx k- 2 +ex ^ a kx k = 0 
£-2 *=0
k
£ * ( * - l ) a t jt*-2 + ( ^ ~ r ) ^ a kx k = 0 
*=2 *=0 *• *=0
*=2 Jfc=0 n=0 W '
igualando las potencias de x.
I > + D(* + 2)ak+2x k + £ = 0
£=0 *=0 n =0 n '
£ [ ( * + l ) ( * + 2 )ak+2 + V ^ L ] * * = 0 
*=0 t í ' i!
k
(k + l)(k+2)ak+2+ y ^ = 0 , V k > 0'4-—̂ nfnn=0
l k+2 = ------------------ y - ^ L , V k > 0(* + l)(* + 2 ) ¿ n!
como y = ' ^ a kx k = a0 +alx + a 2x 2 + ... 
k = 0
417
es la solución de la ecuación diferencial usando la condición inicial
777)
y(0) = 1 => a0 = 1 , y' (0) = 0 => ax - 0
para k = 0, a 2 L V ^ = _£o_ = _
1.2 “ ni 1.2 1.2n=0
k = l , a 3 = — = - L (fl +a —
2.3 “ n\ 2.3 0 1 2.3
k = 2> a4=~ ¿ ¿ ^ f = " ¿ (fl2+ai+? )=0
4.5 n! 1.2.4.5n—0
1 V « 4 - n ( - D 2 9
5 . 6 ^ „! 41.5.6
como y = a0 + alx + a2x 2 +a3x i + a4x4 +.
1.2 2.3 1.2.4.5 1.3.5.6
y '= l + y 2, y(0) = 0
Solución
oo
Sea y = ^ a kx k . . . (1)
¿=0
la solución de la ecuación dada
Luego y' = kakx k~l , reemplazando en la ecuación
k=\
418
^T/:£z¿.x* 1 = 1 + (^T akx k)2, dedonde 
k = l k = o
- [ ^ j akx k ] [ ^ / akx k ] = 1
Jt=i ¿=o ¿=o
¿a***-1 - ¿ [ ¿ á na*_Jx* =1 
*=1 fc=0 k = 0
ahora poniendo en una misma potencia de x.
°° oo k
( k + 1 ) a k + \X — y , [ ’y > a n a k -n 1X = ^ * 
k=0 k = 0 k = 0
] ? [ (k + l)ak+1 - j ? a na k_n]xk =1 
k = 0 k = 0
oo oo k
[_Cl\ ~ ^ \ ̂ n^k-n 1 ^ y tŷ k+X ~~ ^n^k-n ^ — ^
*= 0 *=1 *=0
ahora por el método de los coeficientes indeterminados
2
ÍZj £Zq .¿Zq = 1 — ̂ (l j — 1 4~
(* + l)a t+1 ~ '^ j an.alc_n = 0 , V k > 1
n=0
Luego a{ = l + «o
1 °°
V k > 1
n =0
aplicando la condición inicial y(Q) = 0
como y = ^ a kx k = ao +a\x + a2x 2 + ..., es la solución entonces usando la
*=o
condición inicial obtenemos y(0) = 0 = a0 => a0 = 0 , de c onde al = 1
778)
para
1 1 1 
k = 1, a 2 = - ^ a „ a i - „ = - ( a 0-a i + a ,.a0) = 0
n - 0
1 ^ 1 1
k = 2, a3 = — '̂ PJ a n-a 2-n =T(ao-a 2 + a l2 + a 2'a o) = T
j 3
k = 3, a 4 = - ^ a n.a3.„ = 0
, . 1 Vi 2k = 4, a 5 = ~ 2 j an.ci4_n = —
5 “ 15n=0
k = 5, íj6 = 0 
k = 6, a1 = — ¿¡^an-a6-n =
6 17
315
n=0
X"'' ¿ 2 3 4 5como y = 2 j akx ~ a o + a \ X + a2x + a3x +aAx +a5x + ...
k= 0
* 3 2 5 17 7y = Jt + — + — x + -----x + .
3 15 317
ÿ = e y +xy, y(0) = 0
Solución
Usaremos la serie de Taylor y(jt) = ----- j— x la solución pedida
k »
k=0
420
Calculando y (k)(0) 
y ’= e y +xy => y’(0) = e y(0)+0 = 1
y " = e yy'+y + xy' => yM(0) = l
y ' = e y y '2+ey y"+2y'+xy" => /" (O ) = 4 
y lv = e y y'3 +2ey y' y''+ey y' y' '+ey y" '+ 3 / '+xy'" => y lv(0) = l l 
reemplazando en la serie de Taylor se tiene:
X2 4jc3 l l * 4 53 5 269 4
y = jcH-------- 1--------- h ----------1--------X H---------X + .. .
' 2! 3! 4! 120 720
Hallar las soluciones generales de la ecuación de Bessel.
779) x 2y"+xy'+(4x2 ~ ) y = 0
Solución
La ecuación parámetrica de Bessel es
jt2/'+jty'+(A2x 2 - p 2) y - 0 cuya solución general es:
y(x) = c, J p (Ax) + c2 y p (Ax)
Luego A2 = 4 , p = ^ de donde X = 2, p = —
Por lo tanto la solución es: y(x) = c1y 1/3(2x) + c2yi/3(2x)
780) * 2y + ^ '+ ( j t 2 - - ) 3 ' = 0
4
Solución
781)
782)
La ecuación diferencial de Bessel de orden p es
x 2y"+xy'+(x2 - p 2)y = 0 , cuya solución general es:
y(x) = c{J p (x) + c2J - A x )
y(x) = clJ l/2(x) + c2J_ll2(x)
, , 1 , 1/ ’+ - / + - y = 0 
x 9
Solución
Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial
2 ,, , X 2x y +xy + — y = 0
7 1 ̂ 1de donde A = — , p = 0 => A = — , p = 0
9 3
JC JC
La solución general dada es: y(0) = cx J 0 (—) + c2y 0 (—)
y ' '+ — y'+4y = 0
X
Solución
Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial.
x 2y''+xy'+4x2y = 0 , de donde A2 = 4 , p 2 =0 => A = 2 , p = 0
Luego la solución es: y(x) = cx J 0 (2x) + c2 y0 (2x)
422
^ 5 5 vSe observa que /? = — y p - —
4 4
Luego la solución es dado por y(x) = axy 2 [c1J 5l4(x 2) + c2J_5/4(x2)]
783) x 2y '-2xy'+4(x* - \ ) y = 0
Solución
784) x y " + ~ y '+ ~ y = Q
Solución
Se observa que p - ^ y p = - ~
Luego la solución correspondiente a la ecuación diferencial es:
y = $[x [cx J x / 2 {4x ) 4- c2 / 2 (a/*)]
785) j " + - - / + ^ = 0
Solución
Se observa que p = 2 y X = 1
Luego la solución general es: y = - —-[cj (*) + (*)]
786) y " + -y '+ 4 y = 0
X
Solución
Se observa que p = 1 y X = 2
entonces la solución general de la ecuación diferencial
y = - [ c xJ l {2x)+c1y x(2x)]
x
423
787) / p (x) = J p_x( x ) - ^ J p (x)
Solución
d n
Se conoce que — (xpJ (jc)) = x p J x (.x) 
dx y y
Xpj \ (x)+pxp~[J p (x) = x pJ p_x (x) ...(1 )
además ~ (x~p J p (x)) = -x~pJ p+x (x) (probar)
*~Pj \ (x)~px~p lJ p (x) = -x~pJ p+l (x) ... (2)
dividiendo a la ecuación (1) entre x p se tiene:
j'p (x) + ̂ J p (x) = J p_1(x) de donde j'p (x) = j p_l ( x ) - ~ j p (x)
788) j'p (x) = - J p+l(x) + ?-Jp (x)
Solución
Como ~ ( x - pJ p(x)) = - x - pJ p+1(x)
x~pJp (x) - px-pAJp (x) = - x - pJ p+l (x)
dividiendo entre x p se tiene: J p (x ) - — J p (x) = - J p+1(x)
J lp (x) = ^ J p ( x ) - J p+l(x)
Dem ostrar la justeza de las siguientes relaciones
424
789) J p+l (x) = Jp(x)-J p_i (x)
Solución
Como se conoce que:
J p (X) = J p - \ ( x ) - ~ J p (x)
j 'p (x) = ^ j p ( x ) - j p+l(x)
restando se tiene:
2p
J p ( x ) - J p- l ( x ) - J p+1(x )= 0 , de donde
2 p
J P+1 (*) = ~ J p (x> ~ J p- i W
790) j 2(x) = j \ ( x ) - - j { { x )
Solución
Se conoce que J p+l (x) = ^ J P (x) ~ J P (x )
Para p = l , J 2(x) = - J 1(x ) -J [ (x )
como Jq (x) = —J i (x) => j \ (x) = - j \ (x)
J 2 (x ) = J \ { x ) - - J [ (x)
425
791) J 2{ x ) - J 0{x) = lJÍ(x)
Solución
Del ejercicio 790 se tiene: J 2(x) = (x)- — ,/J,(x) ... (1)
2 p
como J p+1(x) = - £ - J p ( x ) - J p_1(x) para p = 1 
2
J 2(x) = ~ J l ( x ) - J 0(x) para J¡(x) = -J¡,(x)
X
J 2(x) = - - J ! 0(x) - J 0(x) . ..(2)
X
a (1) multiplicamos por-2 se tiene:
- 2 J 2(x) = - 2 J ,0(x)+ j J'0(x) . ..(3 )
sumando (2) y (3) se tiene: - J 2 (x) = -2 /J (x) - J 0 (x)
J 2(x) = 2J l0(x) + J 0(x) de donde J 2( x ) - J 0(x) = 2 /J(x)
792) J 3(x) + 3/J, (x )+47* (x) = 0
Solución
J 2 (*) - Jo (x) - 2/JJ (x) del ejercicio 791 
4 ( x ) - y ¿ ( x ) = 27« (X)
2J[ (x) - 2J\ (x) = -4 /* (x) ...(1 )
como J \ (x) = J p~\(*)~ ^ J p (x) para p = 2
426
como j \ (x) = - J p+x(x) + t j p (X) para p = 2
J \ (*) = ~Ji (x) + - J 2 (x) ... (3)
sumando (2) y (3) se tiene:
2 J \ (x) = (x) - J 3 (x)
2J\ (x) = -7 |, (x) - J 3 (x) ... (4)
sumando (1) y (4) se tiene
2 J \ (x) + 2 j \ (x) - 2 J \ (x) = - 4 j \ (x) - j \ ( x ) - j 3 (x)
J 3 (x) + 37o (x) + 4/JJ (x) = 0
793) x 27 ■ (x) = ( p 2 - p - x 2 )Jp (x) + xJp+l (x)
Solución
, (x ) = y — ___(~ )p+2b
L a n\(n + P) \ ( 2 }
F ' ¿ — i 2 » ! ( » + / > ) ! Vn=1
j " ( x ) = y i . c -1)"(2w+pX2n ( i ) w - 2
P «!(n + /))! 2
427
, y i , M . ÿ < - 1>‘ (2»+'’X2»+ ', - |) (£ ) - > . . . (1)
L a n\(n+ dY. 2n\(n + p)\ 2
n=2
n=0
Z°° p (j> -l)(- l)" I h t , y > 4(— 1)” X 2n+P+2n\(n + p)\ 2 Lmin\(n + p)\ 2n- 0 n=0
tt—2
| y (-l)"4w(w + /?) X 2n+p 4(p + l) x p+2 (2)
«!(«+»)! 2 0» + l)! 2»=2
OO n
j , r , _ V ^ /*x2n+p+l
V i W - Z , 2^ !(m+ l ) , ^
n=0
n=0
x / ,(x) = — ( ~ ) ^ 2 - ÿ ( 1 ) " ?- - ( - ) 2n+̂ ...(3)
P+1 /> + l 2 (« + />)! 2
* igualando (1) con (2) y (3)
+ y £ M á l ” A ^ + y (- d " 4W(i.+ /» X 2n+p
n\(n + p)\ 2 « ! ( / / + / ? ) ! 2
. 4(/7 + l) X 2 | 2 (x 2 y (- l)"2 n x 2„+n
(p + 1)! 2 (/7 + 1)! 2 ¿ - m \ ( n + p)\ 2
n= 2
00 n ûo
Z(-l) (2n+p)(2n+p-ï) x)2„+„ _ y [^-l)+4w(»+^)-2«3(-l)'- x 2n+nn!(/2+/>)! 2 ^ «!(«+»)! 2«=2 ^
4«2 + /7(/?-l) + 2« (/? -l) + 2n/7 = 4«2 + 4 n p -2 » + p ( p - l )
429
[s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e | 
[COEFICIENTES CONSTANTES.!
Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones 
incógnitas x l =y/ l (/), x 2 = y^2(t), •••» x n =li/ n(t ) esdelaform a:
^ - = f l (t,xl , x 2,...,xn)
dt
~ = f:2(t,xx, x 2,...,xn) 
dt
, fn xl ’ x2 ’ •••’ xn ) dt
donde x { = y/{ (t ) , x 2 = V 2 (0 * • • •* xn = \f/n (t) son diferenciables y con derivadas 
continuas en (a,b) llamadas soluciones del sistema.
Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de n funciones 
incógnitas se puede escribir en la forma:
dX¿ = ^ j an {t)+b' {t)
H
Si b{(t) = 0 , el sistema se llama homogéneo, y si b¡(t)* 0 el sistema se llama no 
homogénea. v
Existen diversos métodos para resolver estas ecuaciones diferenciales lineales.
430
METODO: REDUCCION DE UN SISTEMA A UNA ECUACION 
DIFERENCIAL DE n-esimo ORDEN.-
Consideremos un sistema de dos ecuaciones:
dx
d ¡ =ax+by + f ( t ) ...(1)
^ - = cx + dy + g(t) ...(2)
donde a,b,c,d son constantes, f(t), g(t) son funciones conocidas x(t), y(t) son funciones 
incógnitas.
De la ecuación (1) despejamos:
1 ,dx ■
reemplazando en (2) se obtiene:
de donde al simplificar se tiene A + B ~ + Cx + R(t) = 0
dt dt
donde A,B»C, son constantes.
Resolver los siguientes de ecuaciones diferenciales:
dx
812) dt
= 3 - 2 y
- = 2 x - 2 t 
dt
Solución
431
de (1) se tiene y = — ( 3 - — ) reemplazando en (2) 
2 di
d i dx d 2x „
-(—(3— —)) = 2x~21 => -----7r = 2x -2 t
dt 2 dt 2dt¿
d 2x
d t2
+ 4x = 4t es una ecuación no homogénea
sea r +4 = 0 => rx = 2i, r2 = -2 /
(t) = c¡ eos 21+ c2 sen 2í , la solución particular es:
xp = At + B => x'p = A => y"= 0
0 + 4At + 4B = 4t => 4t =>
4 A =4 
B = 0
A= 1 
5 = 0
x p = t y la solución general es:
= => x = c¡ eos2 í+ c2 sen2t+t dedonde:
y = 1 + c, eos 2/ + c2 sen 21
dx
~dt
dy
dt
= x - 2 y
= x+ 3y
Solución
dx .— = x -2 y ... (1)
dt
^ = x + 3y ...(2)
. dt
1 dx
de (1) se tiene y = — ( x ----- ) reemplazando en (2)
2 dt
d r l d r ., 3 ¿ r— [— (x -----)1 = x + — (x ------- )
dt 2 dt 2 dt
1 dx 1 d 2x _ 3 3 dx
T J t ~ Y ~ i h 2 ~ XJr~2x ~ Y J t
^—^ - - 4 — +5x = 0 dedonde r 2 - 4 r + 5 = 0 entonces: 
d t2 dt
/•j =2 + i , r2 = 2 - i la solución general es: x = cle 2' eost + c 22' sen t
de donde: y = c3e 2’ cosí+ c4e 21 sen t
814)
+ 3x+ y = 0
dy
— - x + y =0 
dt
, x(0) = y (0 )= l
Solución
+ 3 x + y = 0
& - , + y . 0 
dt
. . . (1) 
... (2)
de la ecuación (2) despejamos x, es decir
433
x = y + — reemplazando en (1) 
dt
dy
d x . dy A 
— —+ 4 — + 4v = 0 
<ff dt '
de donde r + 4r + 4 = 0 => r = -2 de multiplicidad 2.
x = c¡e 2t + c2te Lt - 2 cxe Lt + c 2e ¿t - 2 c2te»-2/ .-2/
x = - c xe 2t - c 2te 2t + c 2e 2t
x(0) = 1 => 1 = —q + c2
y(0) = 1 => l = q
ci ~ 1 
c2 = 2
Íjc = e 2t - 2te 2t 
[y = e ~2t +2te~2t
815)
— = 3jc- —- 3 | J —
dt 2 2 2 
f — -
Solución
fatc , , 2 r 3
— = 3 jc -—- 3 / — + - 
dt 2 2 2
= 2j> - 2í -1
. . . (1) 
... (2)
derivando la ecuación (1) se tiene:
434
d x ^dx 1 dy 1
d t¿ dt 2 dt
... (a)
t/y
de la ecuación (2) — = 2y - 2/ -1 reemplazar en (a)
dt
= 3 -------y + v + — 6r -
dt 2
d x . d x
-—=--=3------ y - 5 t
dt dt
dx o 
y = 6 x - 2 — -6 t - t + 3 
dt
reemplazando (P) en (3) se tiene: 
d 2x rd x
... (3) de la ecuación (1) 
...(P )
- 5 ---- n 6x = 6r2 - 4í - 3 r 2 - 5 r + 6 = 0 entonces:
d t2 dt
rx = 2 , r2 =3 => x = c1e 2'+ c 2e 3r; y y = A t2 +Bt + C de donde
y =t + / y la solución general es:
x - c xe 1 +c2e +t +t de donde y = 2c¡e ' +t + l
816)
dx
~dt
dy
dt
-Ix + y
= - 5 y - 2 x
Solución
dx
~dt
dy
dt
= - I x + y
= -Sy - 2x
. . . (1) 
... (2)
435
de la e* uación (1) y = — + 7i reemplazando en (2) se tiene: 
dt
^ - [ - t-+ 7 x] = -5(— + 7 x )-2 x => —
dt dt dt dt
+ 12 — + 37x = 0
dt
r +(12r + 37) = 0 r = -6 ± / 
x = (c, eos t + c2 sen 0 e “6í de donde
y = e 61 [(q + c 2)c o s /- (c ! - c 2)sení]
817)
dx - n — = 2 x -9 y 
di y
dy_
dt
= x + 8y
Solución
= 2 x - 9 y
dy
— = x + 8y 
*
- (1)
, de la ecuación (2) despejar x.
... (2)
dy
x = — - 8j> reemplazando en (1)
L f . g ± . 2 ± . U y . 9y 
d t2 dt dt y
— 7^-10 — +25y = 0 entonces: r 2 -1 0 r + 25 = 0 
dt2 di
entonces: r = 5 de multiplicidad 2.
7 = CjC5/ + c2te5/ dedonde x = (q -3 c xt - 3 c 2)e5t
436
818)
dx 
dt 
dy_ 
dt 
dz
— = x + y
= j> + z
= Z + X
Solución
dx
— = y + z 
dt
dy
dt
dz
~dt
= z + x
■ x + y
(1)
(2), derivando (1) se tiene:
(3)
d x dy dz
= — + — reemplazando (2) y (3)
d t1 dt dt
d x d x _ i ,— —= x + z + x + y => — — = 2x + ;/ + z reemplazando (1)
d t1 ' d t2
d x dx , , d x dx ^
— — = 2x h-----de donde — --------------2x = 0 entonces:
¿ r2 * dt2 dt
r 2 - r - 2 = 0 de donde rx = 2 , r2 = -1
x = Cje ' + c2e2' => y = c i í + c2é ?í => z = - ( q + c 2)e ' + c 2e 2'
dx
(1)— = y + z dt y
819)
dy
— = 3x+ z 
dt
(2)
dz— = 3 x + y (3)
437
Solución
Derivando la ecuación (1) se tiene: 
d 2x dy dz
d t2 dt dt 
reemplazando (2), (3) en (4) se tiene:
d 2x
d t2
d 2x
d t1
= 3 x+ z+ 3 x+ y de donde
= 6 x + y + z •■•(5)
reemplazando (1) en (5) se tiene:
d x d x , . , , . 2 , .
— --------- 6x = 0, de donde r - r - 6 = 0 entonces: r, = 3 ; r7
dt 2 dt
820)
x = c¡e 2t +c¡e3' de donde y = — c¡e3' - c 2e 31 - c 3e 1
dx „ 
dt
... (1) 
... (2)
= 2x + 8 y - 2 z ... (3)
Solución
Derivando la ecuación (2) se tiene:
d y dz
dt
= -2 -
dt
...(4 )
438
d 2 y
— = -4 x -1 6 z + 4 z ...(5 )
d t2
reemplazando (2) en (5)
d 2y dy
— — = -Ax -1 6 v - 2 — derivando esta ecuación se tiene: 
dt dt
dt dt dt2 dt2
reemplazando (1) en (6) se tiene:
d 3y ~ d 2y A, d y ^— f + 2 — f + 1 6 ^ - + 32j> = 0 
dt3 dt2 dt
r 3 + 2 r2 + 16r + 3 = 0 de donde: ( r 2 + 16)(r + 2) = 0 entonces:
reemplazando (3) en (4) se tiene:
r{ = -2 ; r2 = 4 /, r3 = -Ai => x =c¡e 2t + c2 cos4r + c3 sen 4/
1 -2t 1 „ 1 v = — cxe + —es cos4 í— cssen4í
4 2 2 2 3
z = - ~ cxe 2t +c2 sen 41 + c3 eos 41
- = 2x + y - 2 z - t + 2 ... (1) 
dt
dy
I — - r o
— = x + .y - z - r + l ...(3) 
ai
Solución
De (2) se tiene dx _ d y 
di ~ d t2
reemplazando en (1)
-~r- = - 2 - 2 — + y - 2 z - t + 2 
d t2 dt
d y dy 
2 z = — f - 2 — + y - t + 4 
d t2 dt y
. . . (4 )
de la ecuación (3) se tiene:
dz
2 - = 2x + 2 y - 2 z - 2 t + 2 entonces: 
dt
*
dx2 ^ - = 2 - 2 ~ - + 2 y - ^ - ~ - + 2 — - y + t - 4 - 2 t + 2 dt d t2 dt
dz d 2y
2 ---= -------T -+ V -/
dt d t2 '
...(5 )
derivando la ecuación (4) se tiene:
dz _ d y d 2y dy
2 — = 2 72 — 1dt d t3 d t2 dt 
reemplazando (6) en (5) se tiene:
i d 2y dy d 2y
--- ;--- l ---- r - + ----- 1 = ------ - + V - Í
dt3 d t2 dt d t2
dt d t2 dt
sea p (r) = r 3 - r 2 + r - 1 = 0 => r, = 1, r2 = i , r3
440
• -------------------- dy
y - c xe* + c2 COS/ + C3 sen t + t de la ecuación x = 1- —
y g = eje' +c2 cosí + c3 sen t => y p =At + B de donde
jc = - c xef - c 2 sen/ + c3 eos/ de la ecuación (4) se tiene:
z = 1 + c2 sen t + c3 cos r por lo tanto la solución del sistema es:
x = - c ler - c 2 senr + c3 cos i 
y = clet +c2 eos t + c3 sen t + t 
z - \ + cx sen t + c2 cos t
822)
— = - x + y + z + e 
dt
dy t-^- = x - y + z + e 
dt
dz A— = x + y + z + 4 
dt
... (1) 
... (2) 
... (3)
Solución
De la ecuación (1) y = - + x - z - e T 
dt
-..(4)
reemplazando en (2)
d 2x dx dz t dx t 3----- + ------------ el - x ----------z + z + e + z + e
d t2 dt dt dt
d 2x -d x dz _ . / 31 A - a-------h 2 ------------- 2z = 2e + e denvando
d r dt dt
d3x „ d 2x d 2z _ 2 dz_ = 2e,+3e 3,
+ 2
d i3 d t2 d t2 dt
... (a)
reemplazando (4) en (3) se tiene:
dz dx , .—= jch---- + x - z - e + z + 4
dt dt
dz „ dx ,— = 2x+ -------e + r
dt dt
d 2z _ dx d 2x
d t2
= 2 — +
dt d t2
- e
... (p) 
- (r)
reemplazando (P) y (y) en (a) se tiene:
j 2 v j2 .
Ì 4 + 2 L l . 2 ^ Ì 4 + e ' . i x . 2 ^ + 2 , - - 8 - V + 3 ^
d t3 dt dt d t2 dt
d 3 x d 2x
d t3 d t2
- 4 — - 4 x = - e 1 + e 3' +8
dt
resolviendo esta ecuación se tiene:
p(r) = r 3 + r 2 - 4 r - 4 = 0 => ^ = -2 , r2 = 1, r3 = 2
jc = q e -2' + c2er + c3e 2t y la solución particular es:
e 3ex n = — + --------2 la solución general es:
p 6 20
j t s q e 2/ + c2e r + c3e 2/ h------1-----e3t - 2
1 2 3 6 20
de la ecuación (P) se tiene:
c\ -t c2 21 et e3tz = -— - e — e Lt------+ —
442
y de la ecuación (4) se tiene:
-t C2 2t ^3 y - — e + — e — - e
3 6 2
«' 7 3,— + — e - 2
6 20
Luego la solución del sistema es:
x = cxe 2t + c 2e' +c3e2' + — + — e3' - 2
6 20
C1 - y - - e + — e 
6
-2/e ~ ----- + — e 3/ - 2
2 6 20
C\ - t C2 21 ^ ^z = — - e 1 +— e l ----- + -----
3 3 2 4
dx
— = xcosí (1)
dt
2 ^ = ( e , + e-‘)y (2)
dt
Solución
De la ecuación (1) se tiene:
dx --------------
— = cos t.dt integrando lnx = sent + k entonces: x = kAe**nt
x --------------
de la ecuación (2) se tiene:
2~~ = (er +e~')y => — = cosh t.y
dt dt
dy ------------ ~
— = cosh t.dt => ln y = senh t + c entonces: y = k\ ea 1y ---------------
[x = k xeSQTít 
La solución es: <
\ y = k 2eaeah'
824)
dx ,
dy 2, ’ 9 0 0 ’ 900— =e + x - 3 y 
dt
dt 6 y X 119 211
Solución
De la primera ecuación despejamos y es decir:
y = e* - 5x - — ahora reemplazamos en la segunda 
dt
t . d x d 2x 2/ >> t .c ^dxe - 5 ----------— = e + x -3 e +15x + 3—
dt d t1 dt
d x „dx ^ A t ot 
— ~—h8 — + 16x = 4e - e 
d t2 dt
La solución de esta ecuación diferencial es:
4 , 1 ,x = — c ---------e
25 36
1 , 7 , y = — e + — e 
25 36
825)
dx ~ o — = 3x + 8y
*
= -3 y - x
... (1)
í x(0) = 6 , y(0) = -2
... (2)
Solución
De (2) despejamos x es decir: x = 3y
444
dy d y , d y _ dy— — 3y) = -3 — - 9y + 8y => — f - 3 - ^ = - 3 - ^ - - y
dt dt dt dt dt dt
d 2v
d t¿
■y = 0
sea p(r) = r 2 - 1 = 0 => ^ = 1 , r2 = - l entonces: y = ciet +c2e
x - - 4 c xe l - l c 2e 1
( t t t= 0 \x = - c 1e - 2 c2e 
luego: | para x = 6
{y = cle , +c2e~‘ y = _2
6 = -4c { - 2c 2
2 == Cj C2
Cj = - 1
por lo tanto:
jx = 4c' + 2e / 
[y = - e t ~e~‘
826)
dx
dt
dy_
dt
Y r y
= - x
... (1)
... (2)
x(0) = y(0) = 1
Solución
Reemplazando (1) en (2) se tiene:
d ,dx. d x
— (— ) = - x ==> — -
dt dt dt
+ x = 0
p(r) = r 2 +1 => rx = i , r2 = - i entonces: x = A eos t + B sen t
dxv = — = -v4senx + £ co sx => y - = -A s e n t + B cosí
^ dt
445
\x = Acost + Bscnt 
Luego: < , t = 0, x = y = 1
[y = -A sen t + B eos t
1 = A 
1 = 3
por lo tanto:
x = eos ¿ +sen í 
y = - sen r +cosí
827)
dx
~dt
-4 (x + y)
dy a dy a — + 4 — = -4 y
dt dt
... (1)
x(0) = 1 , y(0) = 0
••• (2)
Solución
dxDe (1) se tiene: - 4 y = — + 4 x , derivando
dt
Ady d 2x A dx4 — = ------r---4 ----
dt dt dt
ahora reemplazando en la ecuación (2)
dx d 2x dx dx A , ,----------_ 4 — = -\-4x de donde:
dt dt dt dt
d x dx
+ 4 — + 4x = 0
dt2 dt
sea p(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0 r= -2 de multiplicidad 2.
x = cle 21 +c2te 2r
dxcomo - 4 y = -----\-4x entonces:
dt
- 4 y = -2c le 2t +c2e 2t - 2 c2te lt +4cxe ¿t + 4c2te- 2 t - 2 t - 2 t
- 4 y = 2cxe 2t + (c2 +2c2t)e 2t
para t = 0, x = 1, y = 0 entonces:
C i+0 = 1 c1 = 1 íx = (1 - 2t)e 1
=> por lo tanto: <
2cx + c2 =0 c2 = -2 [ y = te~2t
446
828)
— = 4x - 5 y 
dt
dt
(1)
(2)
x(0) = 0 , y(0) = 1
Solución
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
d y - a dy= 4 — - 5 y de donde
d t2 dt
d y A dy- 4 — +5 = 0
dt2 dt
sea p(r) = r 2 - 4 r + 5 = 0
rx = 2 + / 
r2 = 2 - i
y - c xe 2t eos t + c2e 2t sen /
como x = ^-==2cle lt eost - c xe 2t scnt + 2c2e 2t sen t + c2e 2t eost
jc = (2cx +c2)e2r eost +(2c2 ~ cx)e2t sen t
para t = 0, x = 0, y = 1
2 c i-fc2 = 0 cx =1 , \x = -5 e 2t sení
=> por lo tanto: <
ci = 1 c2 ~ “ 2 \y - e 2t c o s t - 2 e 2t sení
829)
dx— = x + y + t 
dt 7
dŷ
dt
= x - 2 v + 2t
(1)
•(2)
m — j , m — -
Solución
De (1) despejamos y es decir:
447
y - ~ - x - t , ahora reemplazando en (2) 
dt
dx
d 2x dx
dt2 dt
+—- - 3 x = 4í + l => p(r) = r + r - 3 = 0 entonces:
1 13r + r + —= 3 + — => (rn— ) = — entonces:
í+Jñ í+ViT
+ c2e 2
xp =At + B => => y* =0
0 + A —3At —3B = 4t + 1 => -3At + A —3B = 4t + 1 entonces:
— 3A = 4 
A - 3 B = 1
3
4 7
=-----1 —
p 3 9
•JÍ3-1 -713-1
x = x + x =c ,e + c2e 2
3 9
dx
y = ------x - í entonces:
dt
■731-1 715+1 4 # i - # ! . 4 , 7— -— c,e ¿ ----------c2e z ------c,e 2 - c 2e 2 +—+—-
2 2 2 3 1 2 3 9
a/3 1 - 3 y = — - — cl£>
Vñ-i
2 _ a/13+3
V3I+1
-c2e •' t 5H--------
3 9
1 5para t = 0, x = — , y - — 
9 9
7 7— = c. + c , —9 1 2 9
5 ^ 3 1 -3 -VÍ3+3 5•— = --------- c ------------ c2 ----
9 2 2 2
[cx + c2 = 0
1 (V31 + 3)0, - (-7Í3 + 3)c2
de donde q = c2 = 0 por lo tanto:
4 7
x = ----1----
3 9
7 5y = — t ----
3 9
dx = x+ 5 y
dy— = -3 v - x
... (1)
(2)
x(0) = -2 , y(0) = 1
Solución
dyDe (2) despejamos x - -3 y — — ahora reemplazamos en (1)
dt
,dy d 2y dy
-3—------- 7 T --3 y ------ + 5 y entonces:
dt d t2 *
d y . d y 
— f + 2 — + 2y = 0 
dt2 dt
sea p(r) = r 2 + 2 r + 2
>i = -1 + /' 
r, = - l - ¡
y = c¡e ' eos t + c2e 's e n t
x ^ - 2 y - ^ - = -3cle ' c o s í -3 c 2e 'sen t + cxe r eost + cxe 'sen í +
+ c2e ' s e n f - c 2e ' eos/
jc = (-2cx - c 2)e ' eost + (cx - 2 c2)e ' senf
para t = 0, x = -2, y = 1 entonces:
- 2cx - c 2 +0 = -2 cx = \ \x = -2e 1 cosí+ e r sení
=> por lo tanto: <
q + 0 = 1 c 2 = 0 I y = e eos í
831)
— + 2 - ^ = 17je+8 y 
dt di
13 — = 53x+2 y 
dt
- O) 
... (2)
Solución
x(0) = 2, y(0) = -1
De (2) despejamos y es decir: y = — (13 — - 53x)
2
Ahora reemplazamos en (1) se tiene:
dx  d x „~dx dx---- h 13— — - 53 — = 1 7jc + 4(13 — - 53x)
di d t2 dt dt
1 3 - ^ - 1 0 4 — +195* = 0
d t1 dt
d x n dx
- 8 — + 15x = 0
dt2 dt
450
/?(r) = r -8 r + 15 = 0 => rx =3\ r2 =5 entonces: * ^ e 3' + c 2e 5'
j = — (13 — -53jc) entonces: y = — (39cxe3x +65c2e5t -5 3 q e 3/ -5 3 c 2e5/) 
2 dt 2
y = - l c xe*x +6c2e5t para t = 0, x = 2, y = -1 entonces:
por lo tanto:
cx + c2 = 2 
-7 c j + 6c2 = -1
q = l 
c2 =1
* = e 3'+ * 5'
y = -7 e 3' + 6 e5'
832)
dx
Y t = y
dx dy--------— = JC+v
dt dt
. . . a)
...(2)
x(n) = -l , y(n) = 0
Solución
Reemplazando (1) en (2)
dx d x dx a , ,
— -----— = x + — , de donde
dt d t2 dt
d 2X „ 2 Aj =1
— —+ x = 0 sea p(r) = r +1 =>
r f r r2 = - /
dx
como v = — = -Ci sen r + c-, eos r entonces: 
' ¿í 1 2
y = -Cj sen+ c2 eos t
para t = n , x = -1 , y = 0 entonces:
- c x +0 = -1 
|0 + c2 =0
C 1=1
c2 =0
=> * _ por lo tanto:
x = eos t 
y = - sen t
451
833)
dx dy
— + — = e - y 
d t dt y
„dx dy
2 — -i—— = s e n í-2 v 
dt dt *
Restando (2) — (1) se tiene: 
dx
(1)
, x(0) = -2 , y(0) = 1
(2)
Solución
dt
= sen t - e - y dxy = sen t - e -----
dt
reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
dx
~dt
- t d x -t dx+ c o s / + e ----- — = e - sen t+ e + -
d t1 dt
d 2x
d t2
= cosí + sen t - e ' integrando
dx _t
— = sen t - eos t + e + Cj integrando
x - - c o s í - s e n / - e f +cxt+ c 2
como y = - c o s í - s e n t - e + cxt + c2
y = SQnt-e ' - s e n t + c o s t - e ' + q /
y = -2e ' + eos t + Ci
para t = 0, x = -2 , y = l entonces:
-1 + 0 -1 + c2 = -2 Cj = 2 ¡x = - c o s / - s e n í - e
„ t => por lo tanto: <
- 2 + l + Ci = 1 c2 =0 = -2e~' +COS+2
452
’ +2t
834)
2 — = - 6 x - y - 6 t 2 - t + 3 
dt
De la ecuación (2) se tiene:
dtL . 
dt
(2)
Solución
(1) x(0) = 2
y(0) = 3
2y = -2 1 -1 ecuación lineal en y
-\-2dt f Í-2í// 
y = e J [ \ e 3 (-2t-X)dt +
y = e 2,[ - je ~ 2' (2t + \)dt+c{\ => y = e2'[-te -2' + c j
>> = l + í+Cie 2»
como 2 — = 6 x - y - 6 2 - í + 3 
dt
2 — = 6 x - l - í - c 1e 2' - 6 f 2 - r + 3 
dr 1
2 — = 6 x - 6 t z - c , e 2' + 2 -2 t 
dt 1
— -3 x = -3 í2 e 2' +1-1 linealenx
dt 2resolviendo la ecuación y aplicando datos se tiene:
jx = e 2' + e3' + í 2 + r 
2t[y = 2ez t+t + l
453
|MI TODO OPIÎRACIONAL Y SU APLICACIÓN PARA
.. iLA RESOLUCION DE ECUACIONES
DIFERENCIALES.
1. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE Y
PROPIEDADES FUNDAMENTALES EL OBJETO Y SU
IMAGEN J
Se llama función-objeto a una función compleja de Variable Real F(t) que cumple las 
siguientes condiciones:
1) F(t) = 0 para t < 0
2) F(t) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en 
todo el* eje t, a excepción de algunos puntos en los que F(t) y sus derivadas 
tienen discontinuidades de primera especie, siendo finito el número tales 
puntos en cada intervalo finito del eje t.
3) Al aumentar t, el crecimiento del modulo de la función F(t) no es superior al de 
alguna función exponencial, es decir existen unos números M > 0 y s0 > 0 ,
tales que * \F(t)\<M eSot Vt ...(1 )
El numero s0 se llama exponente de crecimiento de la función F(t), se llama imagen de 
la función-objeto (según Laplace), la función f(s) determinada por la formula:
f ( s ) = F(t)e~stdt ...(2 )
Js0
siendo s > s0 donde s0 es el exponente de crecimiento de F(t).
La ecuación (1) garantiza la existencia de la integral (2).
La transformación (2), que hace corresponder a cada función objeto F(t) una función 
imagen f(s), se llama transformación de Laplace, lo cual se anota escribiendo:
L{F(t)} = f(s)
Subsiste el siguiente teorema:
454
Si L{F(t)} = fi(s), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función F(t) se 
determina así:
1 ffl+ioo
F(t) = — i es f(s )d s ... (3)
27TI Ja-ico
r+wo ña+ibes f(s )d s = lim ep f(s )ds-ico ¿>—>+oo Ja-ib
(la formula (2) se denomina formula de inversión para la transformación de Laplace).
m
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE.
1) Propiedad de Linealidad.-
L{aF(t) + pG(t)} = af(s) + pf(s) ... (4)
Donde L{F(t)} = f(s) y L{G(t)} = g(s)
2) Teorema de Semejanza.-
Para cualquier constante a >0 ‘
L { F ( t ) } = - n - ) . ..(5 )
a a
3) Derivación de la Función Objeto.-
Si F'(t) es una función-objeto, se tiene:
L{F'(t)} = s f ( s ) - f ( 0 ) . ..(6 )
Generalización.- Si F(t) tiene derivadas continuas hasta el orden n en 
<0,+oo> siendo F (n) (t) función objeto, se tiene:
Z,{F(n)(O} = s n/ ( 5 ) - 5 '’"1̂ ( 0 ) -5 '” 1̂ ” ( 0 ) - . . . - F ("“1)(0) ... (7)
455
Es equivalente a la multiplicación de la función objeto por el argumento 
tomado con el signo menos, es decir:
f ' ( s ) = -íF(t) . ..(8 )
Generalizando.-
f M (s) = ( - l ) nL{tnF(t)} ...(9 )
La Integración de la Función Objeto.-
Se reduce a la división de la imagen por s.
J V ( 0 < * = ^ ...(1 0 )Jo 5-
La Integración de la Imagen.-
Es equivalente a la división de la función-objeto por t.
r f (S)d s = . . . (i i )
Js t
Teorema de la Tardanza.-
Para cualquier numero positivo a, se tiene:
L {F (t-a )} = e-“sf ( s ) ...(12 )
Teorema del Desplazamiento.-
La Derivada de la Imagen.-
(Multiplicación de al función objeto por una función exponencial), para 
cualquier numero complejo X, se tiene:
Teorema del Producto.-
E1 producto de dos imágenes f(s) y g(s) es también una función imagen, siendo
L~X{f(s)g(s)} = I 'F(u)G(t-u)du ... (14)
La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de 
Convolución de las funciones F(t) y G(t) y se denota por:
. F * G = í F(u)G(t-u)du 
Jo
El teorema IX afirma que la multiplicación de las imágenes es equivalente a la 
convolución de las funciones objetos.
f(s)g(s) = F*G ...(15)
Teorema de la Imagen Racional.-
Para que la imagen f(s) sea una función racional es necesario y suficiente como 
la función-objeto F(í) sea una combinación lineal de funciones de la forma:
t ne ÁJ (n es un numero no negativo, X es un complejo).
Calculo de la función-objeto-
Cuando la imagen es una fracción racional, supongamos que f(s) es una 
fracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simple es:
/ M - 1 1 7 7 7 7 - < “ >
k r-\ (P ~ Pk)
como M kr y p k son números complejos, entonces:
Sera una función-objeto cuya imagen es la función f(s).
En particular, si todos los polos de f(s) son simples, se tiene:
A(s)
si f ( s ) = — ̂ es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A(s) 
menor que el del polinomio B(s) la función objeto correspondiente a f(s) es:
1 d Hk~l 
t í lim ~ - ^ u m - s k ) nkest ... (i9)
L? ( n k_x)\p->pk ds
donde sk son los polos de F(s), nk son sus ordenes de multiplicidad y la suma
se extiende a todos los polos de f(s) son simples, la formula (19) se simplifica y 
toma la forma:
F(t) = Y * ° J ± e ‘k '
r * '(**)
En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función objeto dada:
915) F{t) = t l - 2 t + 2
Solución
L{F(t)} = L{t2 - 2 t + 2 } = \ - ~ + - = f ( s )
s s s S
916) F(í) = t 3 + 4 /2 +4í
Solución
/(5)= i {f (0}=¿{í3+4/2+4/}=4+4- 4 +4 = 4 +4 +4s s s s s s
458
917) F(t) = ( t - 2 ) \ ( t - 2 )
Solución
f ( s ) = L{F(t)} = L { ( t - 2)3 u(t - 2)} = e~2sL{t3} = ^
s s
918) F(t) = t - e ~ cu
Solución
Z{e- « } = _ L => ! { * “ }= — L _
s+ a (^+ a )
919) F(t) = (t + 2)te'
Solución
F(t) = t 2e‘ +2te‘
/ (* ) = I { í V +2te'} = (-1)2 ± T L{e'} + 2 ( - l ) ^ -L { e '} =
ds ds
ii,_L ).2Í-(-L)__?-+-?____—
ds2 í - 1 ds s - 1 ( j - 1 ) 3 ( í - 1 ) 2 ( j - l ) 3
2 s
por lo tanto: f ( s ) = L{t 2e' + 2te‘} = ------—
( s - i y
920) F (/) = cosh2 at
F(t) = cosh2 at = ( -—-£■— )2 =
Solución
a,+e~at e 2al +e~2(tt +2
459
/ ( J) = i l { e 2" + e -2‘tf+ 2} = I ( - L - + — ! _ + ! )
4 4 5 - 2a (.y + 2a) ^
s - l a s
f ( s ) = ---- r-------—
s(s - 4 a )
921) F(t) = (/ -1 ) 2 u(t - l)e1-'
Solución
L{F(0} = c - í ¿{í2e- , } = ( - l ) 2e -í =
ds
m9- < L (- L . ) m - e - ± (— L _ )
& 2 í + 1 ^ (J+ 1)2
922) Z,{e" sen fit}
Solución
s 2 + p 2 ( s - a ) 2 + p 2
923) F(í) = e3' eos 3í eos 4/
Solución
eos 31 eos 4í = ™ (eos It + eos i)
1 1 s sZ,{cos3í cos4í} = — Ajeos 7f+ cos) = — (—--------t- —— )
2 2 í ‘ +49 j +1
L{3' eos 3 í eos 41} = — [— S—^------+ — - —-— 1
2 (í -3 ) +9 (j — 1) +1
2e~J
(* + l)3
460
924) F (0 = é>A('~a) s e n ( /-a ) t /( f -a )
Solución
L{F(t)} = e ^ L i e “ senr} = -----------—
( s - a ) +1
925) F{t) = e2t sen(í + —)
4
Solución
7T. V2 , .
sen(í+ —) = — (sen t + eos í)
^ 1 t <■ ̂ *s’ + lZ{sen(r + —)} = - = Z{sen t + eos r} =
4 ^2 •n/2 (í 2 +1)
Líe2' sen(/ + —)} = -
54-1
4 -\/2(í 2 — 4j + 5)
926) F{t) = ea cos(t + P ), P > 0
Solución
cos(r + fi) = eos p eos í - sen /? sen r entonces:
, „ s s enB eos f í s - s e n f i
L{cos(t + P)} = eos P - y — — — = ------- j —-------
.T + l J +1 5 +1
H e “ COSÍH-f f ) ¡ - ( l ~ ‘>)c°s ^ ~ se° ^
( s - a ) +1
.. sen í
927) F(r) = ----------------------------
461
Solución
tí 1 rfScní. f°° du /°° n 1¿{sen t} = —---- => I{------ } = —---- = arctg / = ----- arctg s = arctg(—)
j +1 í w +1 ' * 2 s
928) F (0 = e"Aí —
t
Solución
. sení 1 senr , 1 v
L{------} = arctg(-) => L{e m ------} = arctg(------ )
t s í s+A
929) F(t) = sen 51 sen 21
Solución
sen 5í sen 2t = (eos 3f - eos 7r) entonces:
1 1 »y vZ,{sen 51 sen 2t) = — ¿{eos 31 - eos I t} = — (—------------------ )
2 2 s +9 s 2 +49
20í
i 4 + 58j 2 +141
930) F(t) = sen 2 2í
Solución
£{sen2 2í} = —Z,{l-cos4f} = —(—— ^ — ) = - 8
2 2 s s 2 + 16 s (s2 +16)
931) F(t) = t cosh t
Solución
462
L{tcoshí} = L{t — —) = —\ ~ r L { e ' + e '}
2 2 ds
1 d 1 | 1 1 <f 2 j
2<fc s - l + s + l 2 d s í 2 - l
s 2 - l - 2 s 2 s 2 +l
(s2 - l ) 2 (s2 - l ) 2
932) F(t) = í sen /
Solución
, d , 1 . 2 íI{í sen t} = —— Z,{sení} = —— (—5— ) = — ------j
ds ds s 2 + 1 ( í 2 +1)2
933) F(t) = eos 2í eos 4r
Solución
eos 2 /eos 4? = -^(6 eos 6t + cos2í)
s s
X{cos2í eos4í} = — L{6eos6; + eos 2t\ = — (—----------------1- ,-)
v 2 2 j +36 s +4
j 3 +20i 
j 4 +40s + 144
934) F(0 = cos2 4í
Solución
¿{eos2 4f} = ¿{1 + eos 8í} = ^ ( - + - y ^ — ) = — y*" ̂
2 2 s s +64 í ( í +64)
463
En los siguientes ejercicios están dados las imágenes y hay que hallar las funciones- 
objeto correspondientes.objetocorrespondientes
935) f ( s ) = - T^ ± 3
s +45 +5s
Solución
F(t) = U x { /(í)} = L~l { 3 2S+. 3-----}
5 + 4j + 5¿
_ 1 £-i f3 3s__________2
5 5 ( j+ 2 )2 +1 (í + 2 )2 +1
F(t) = — (3 - 3e_2í eos t - l e 1' sen í) 
s 2 + a 2
936) f ( s ) = —------—— (a es una constante)
(s - a )
Solución
f / \ _ _ s 2 + o 2 _ 1 l a 2
( s 2 - a 2) 2 s 2 - a 2 + (s 2 - a 2)2
aplicando convolución se tiene:
F(t) = 2T1 { f(s)} = r 1 { ~ +a' . }
(s ~a )
= L ' {—;----- T + —T ~ 7 ■> } = 1 cosh at1 - n 2 ( v 2 ^ „ 2 \ 2s 2 - a 2 (s2 - a 1)
93?) f(s) = -£ r
Solución
464
Como ¿{í XO} = £ { '* } = - £ t
O 5
F(t) = t k = 1 1 por lo tanto: I 1 { -£ f} = t k
938) F ( í )
( 5 - l ) ( 5 - 3 )
Solución
m = 2 L + . 1
(í -1)(í -3 ) 5 -1 s - 3
F(í) = 2T> { --* -+ J _ } = -e' + e3' 
5 -1 s - 3
939) / ( , ) = _ 3í+19O * A2j +85+19
Solución
19 19 _ 13
5 + ------ 1 5 H --------- - 5 + 2 + 
m - f (--------^ - 1 ( ---------- ^ T 7 ) - T ( --------~ 7 T >
2 5 2 + 4 5 + ——■ ( 5 + 2)2 + — ( 5 + 2)2 + —
2 2 2
F(0 - i" 1 </W) - 1 i -1 <-----— ttI + Y 1-1 *-----L “ ÍT'
3 _a, ÍTT 13 _2r [ í l F{t) = - e 2> cos^— t+ — e sen^ j j t
940) / (5 ) =
(5 2 + 5 +1) 2
Solución
465
L 1 {—-— ---- -} = f H(u)G(t-u)du donde
( í +5+1) Jo
i 1 { - r - } = H(t) = e~t2t sen ̂ í
j ^ + í +I 2
I ’1 { 2 1 } - G(t) = e -'/2 s e n ^ f
j +5+1 2
¿ _1 {—5— ---- - } = f e ~ “/2 sen— u£ 1 sen— (t-u )dt
V + í + 1 ) 2 Jo 2 2
4-^3 _j/2 ^3 2 _//2 ^ 3= - ^ — e sen — r — te " z cos — r 
9 2 3 2
941) / ( , ) 1
( 5 - l ) Z(5 + 2)
Solución
v A B C 1 . 1 1 3 v
5 + 2 + s-1 + ( j- 1 )2 9 5 + 2 5 - l + ( ,- i> ? *
F(r) = i x - 1{ - Í - — L + __3 _ _L(g~2/ _ e , +3(e/y
9 5 + 2 5-1 ( j - l ) 2 9 ’
942) n s ) = 2f - ~ 2f S
5 -35 + 2
Solución
. . . 252 -2-725 2 j2 -2 -J ls
/ ( J ) = „4 ,„2 = -------------------5 —35 + 2 (5 —2)(5 —1)
466
¿ g | c | ü _ -2V2 | V 2-11 - J 2 + 1
i - s Í 2 + s + J l + 5 - l + 5 + l í + V 2 + 5 -1 5 + 1
. -2V2 V2-1 V2+1. . t ,I *{---------- -+ ---------} por lo tanto:
5+V 2 5 -1 5+1
F (í) = -2 ^ 2 e ~ ^ ' + (V 2 - l)e' + (^ 2 + l)e- '
1 _
+ 1
Solución
943) / ( 5 ) = - ^
5 + 5 + 1
m = L~l { ■ ■1— -} = I - ‘ {------ 1 = - | e - , /2 sen
s +s + 1 ( í + I ) 2 + ( l l ) 2
v 2 2
944) / ( 5 ) = - 1
5 — 1
Solución
1 1 _ A B Cs + D
^ ” í 4 - 1 ” ( 5 . - . 1 ) ( 5 + 1 ) ( 5 2 + 1 ) ” 5 - 1 + 5 + 1 + J 2 + 1
/ ( i ) = ^ [ - ^ — — 2~ ] entonces:
2 r - i 5 +1
F (í) = I _1{ - ( - / -------r — )} => F(/) = ^ (c o sh f-se n í)
2 s -1 s +1 2
945) m = se2s
s 2 +4
Solución
I “1 ̂ — } = eos 2/ => L 1 {— — } = sen(2r - 4)w(í - 2)
5 +4 5 +4
467
e-'2
946) f(s) =
s 2 +9
Solución
l 1{~ T — } = |s e n 3 r => L l { - ----- } = - s e n 3 ( í - - ) u ( r - - )
s + 9 3 V + 9 3 2 V 2
947) f ( s ) = j 3 + 9 s2 + 27j + 25
(í + 1)3(s + 2)2
Solución
6 1/(•*) = --------r + -
948) /(* ) =
(5 + I) 3 (s + 2)2
m - 1~' ' 6e" r ' <->+ •~2' (1>(i + 1) (j + 2) 5 5
F(t) = 3e~'t2 +te~2’
2s + 5
s 2 - 6 s + 12
Solución
„ V 2j + 5 2 (^-3 ) + l lj (S) - ------------ _ --------- ------ entonces:
s 2 -6 5 + 12 ( j - 3 ) +3
r l {- — 23 ) >+1 i r 1 {— - — }
(5 — 3) + 3 (s — 3) + 3
F(t) = 2e3' eos V3í + -^L sen ~¿3t
s
468
949) / ( í ) = ^ — i 2
í 4 + 2 s¿ - 3
Solución
/ ( s ) = —— ~ ~------ = —7-----~ 2----
j +2s - 3 (s +3)(í -1)
/ ( Í ) = T ( - 2 Í , 24 -1 s ¿ +3
5 -1 5 +3
1 J í
F (í) = — (senh t ------- sen ̂ 31)
4 3
3
- - S
950) / ( * ) - - y -
Solución
3
{-y> = í =* =5- 2 Z
F (í) = ( í - | ) « ( í - | )
[ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTE! 
c o n s t a n t e s ]
Consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes 
constantes.
x"(t) + axx'{t) + a2x(t) = f ( t )
y las condiciones iniciales x(0) = x0 , x' (0) = x , , se toma la Transformada de Laplace 
en la ecuación (1) es decir:
L{x (í) + a¡x (t) + a 2x{t)} = L { f( t )} , por propiedades se tiene: 
í 2 x(s) - íx' (0) - x(0) + a is x ( s ) -a l x(0) + a2x(s) = F(s)
( s 2 + a , +a2)x(s) = / r(í) + x0í + x1 + a tx,
x ( í ) =
+ + x x + axjCj
s + axs + a2
ahora tomamos la transformada inversa.
x(f) = L"1 + + + fli*i J
s~ + axs + a 2
que es la solución general de la ecuación diferencial. 
Resolver las siguientes ecuaciones:
951) x'+3x = e ~2‘ , x(0) = 0
Solución
Aplicando la Transformada de Laplace se tiene: 
L{x'+3x} = H e ' 21}
470
sx(s)-x(0 ) + 3x(s) = —l— => (i + 3 ) x ( í ) = ^ - => x(s) = 
entonces: x(t) = L~l < + ^ + 3) > = 1 ' f e ~ f e
x( í)= e 2' ~e~3'
952) x ’-3 x = 3r3 + 3í2 + 2í +1, x(0) = -l
Solución
L{x’-3x} = L{3í3 + 3í2 + 2t +1}
18 6 2 1 
æx( s) - x(0)-3x(s) = - + — + — + - 
s s s s
18 6 2 1 . 
( í-3 )x (s ) = -T + T + - y + - - 1
S S S s
18 6 2 1
j 4(s -3 ) ' j 3( j - 3 ) ' í 2( s -3 ) ' *(*-3) s - 3
1 , - s 4 + s 3 + 2 j 2 +6s + 18
*(° - i <----------T v ó ) ----------1
í (5 -3 ) S s S s
x(t) = - ( í3 + 2 /2 + 2í +1)
953) x’- x = eos t - sen r, x(0) = 0
Solución
Js + 2)(s + 3)
1
}
471
5*(5) - x(0) - X(j) = —- ------- -i—
52 +l 52 +l
Z{x'~x} = Z{cos t - sen í} entonces:
g _ | | 1
( í - I ) x ( j ) — ---- => x(í) = —----- entonces: x( t)= L ~l {—----- }
s 2 +l s 2 + 1 V + l
por lo tanto: x(f) = sen t
954) x'+x = 2 sen t , x(0) = 0
Solución
L{x'~x} = L{2 sen/}
íx( j ) - x(0) + x(í ) = — => (í -1 )x(í ) = —^
r _i_1 „2
x(5) =
s*+1 j 2+l
1 5 1
(5 + l)(52 +l) 5 + 1 Í 2 +1 í 2 +l
x ( f ) = r 1{ - L - ^ _ + - ± 4
í + l s +1 s + 1
x(t) =e 1 -c o s /+ se n /
955) 2x'+6x = te~3t, x(0) = ~ ~
Solución
L{2x'+6x} = L{te~3t}
2sx(s) - 2x(0) + 6x(j) =- — entonces: (2s + 6)x(í) = ------------- —— -1
(í +3)2 ( ,+ 3)2
472
956)
957)
x(.í) = ----- —y — — entonces x(t) = L 1 {----- — - —
,.’(í + 3) 5(5 + 3) 5(5 + 3) í (j + 3)
1 e~3' _ e~3í 2 e~3'
x(t) = e 3,L{— - } --------entonces: x(í) =
2 5 3 2
x’ '+4x’+3x = 1, x(0) = 3, x' (0) = -2
Solución
L{x"+4x'+3x\ = L{1}
s 2 Jt(f) - sx' (0) - x(0) + 4sx(s) - 4x(0) + 3 x(s) = —
s
? 1 ($ + 4s + 3)x(s) = — 2x - 7 entonces:
, \ - 2 s 2 - 7 s - 2 s 2 - 1 s + \ 1 3 2
— --------------------------------------— — --------------------------------------------= ------------------------------------1---------------------------
( í 2 +45 + 3)5 5(5 + l)(5 + 3) 3i 5 + 1 3(5 + 3)
x(o=r1{4 - ~ + : 23s s +1 3(^ + 3)
x(t) = - - 3 e - ' + - e -3' 
3 3
x”-2 x ’+2x = l , x(0) = i , x' (0) = 0
Solución
L{x"-2x'+2x\ = L{\\
- 1 
s x(x) - 53t(0) - x (0 ) - 2sx(s) + 2x(0) + 2x(s) = -
s
473
2 - 2^ -f 2)x(.y) = —- —- 1 entonces: x(s) — ------ —— = - —
s 2 2 s ( s - 2 s + 2) 2s
x(t) = L 1 {— —} = por lo tanto: x(í) = - —
2s 2 2
958) x' '-5x'+6x = 12, x(0) = 2, x'(0) = 0
Solución
L{x"-5x'+6x\ = ¿{12}
s 2x{x) - 5x(0) - x ' (0) - 55x0) + 5x(0) + 6jt(,y) = —
s
2 12 (s - 5j + 6)x(.y) = — + 2^-10 entonces:
, , 2*2 -l í t e + 12 2 r-i,2 . *
x (s) ------- z-------------- — => x(í) = L {—} = 2 entonces: x(t) = 2
s(s - 5 s + 6) s s
959) x"+3x'-l = 0 , x(0) = 0 , x'(0) = -
3
Solución
L{x' ,+3jc'-1} = 0 entonces:
£ 2 x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3 ĵc(^) - 3x(0) = -
r 2 t \ \ 1 1 / x S + 3 1(s +3s)x(s) = - + - => x(s) = — -------- = —
S 3 3j (j + 3) 3s
x(t) = L~l {-^-} = t por lo tanto: x(t) = — 
s 3
474
960) x''-2x'+\ = 0 , x(0) = x'(0) = i
Solución
L{x' -2jc,+1} = 0 entonces:
s 2 *(.?) - 5jc(0) - x1 (0) - 2sx(s) + 2jc(0) + — = 0
s
. 2 ^ ̂ ̂ 1 $ 1 i(s - 2í)jc(5) = — H---- h----1 entonces:
s 2 2
(s -2 ) (x + l) s + l 1 1
W 2s(s2 -2 s ) 2 s 2 2 s 2 s 2
, X T - l , 1 1 > 1 1 , . . /X í + 'x(t) = L {— + —y } = - + - por lo tanto: x(t) = —
2 s 2s1 2 2 2
961) x”+3x'+2x= 2í2 +1 , x(0) = 4 , x’(0) = -3
Solución
L{jc,,+3jc’+2jc} = L{2r2 +l}
s 2 x(.y) - ̂ (O) - x' (0) + 35x(5) - 3 x(0) + 2x(s) = A r + —
2 \ 4 1
( j + 3s + 2)x(s) = — + — + 4.S + 9 entonces:
( .♦ 2 X .♦ 1W») - 4J< * « 4 ± í l í l , <«+2X. + lX 4 .’ - 3 . + 2)
s s
. . 4 3 2
*(í) = 7 ~ ^ + 7T s s s
x(t) = L~l {—— \ + ~ t ) = 4 - 3 t + t 2 por lo tanto: x (i) = 4 - 3 t+ t 2
s s 2 s 3
475
Solución
*' '-2x'-3x = 3 + It + 3t2, x(0) = x'(0) = l
L{x' '-2x'-3x} = L{3 + I t + 3t2} entonces:
^ n /
 ̂2 *(.?) - .sx(O) - *' (0) - 2^(5) + 2 jc(0) - 3*0?) = - + — + —
s s 2 s 3
/ 2 ~ ox / x 1 ^ 3 ^ 2 + 7 ^ + 60 -2 ^ -3 )x (^ ) + .y + l - 2 = -------- ------ entonces:
s
( 2 o \ 3^2 +7.V + 6(s -2 x -3 ) jc (» = ------- ----------s +1
s
t i \ i . t\ / \ —í 4 + $3 + 3 í2 + 7j + 6(j - 3 )(j+ 1)x(í) = ---------------3-------------
j
- í 4 + j 3 +3s2 + 7 í + 6 s 2 + s + 2
í 3( í - 3 ) ( í + 1) í
x(t) = L~X{~—— \ -------------------------------- \-} entonces: x(t) = - ( t 2 + t +1)
s s s
x " - l x '= -(14f + 5 ) , x(0) = 2, *' (0) = 8
Solución 
L {x" - lx '} = -Z,{14f + 5) entonces:
í 2 x(s) - sx(0) - x' (0) - 7sx(s) + 7x(0) = - ̂ - -
í 2 J
(j 2 - 7s)x(s) - 2s - 8 +14 = --- ■■ 14
s
964)
965)
( í 2 - 7s)x(j) = ——y — + 2s - 6 entonces:
£
s ( * ) - 2*3 - f 2 - 5 j ~— => ^ ) = 7 + J r + 7 + 7 T ?5 ( j - 7 ) s S S S I
x(Ú = I “1 { - + — + — + —— } porlo tanto: x(0 = 1 + r + í 2 + e 7'
w s j 2 s 3 í - 7
x"+2jt'= 6í2, x(0) = 0, x'(0) = |
Solución
L{x' '+2x'} = L{6í2 } entonces:
12
,? 2x(.s) - 5*(0) - (0) + 2 - 2x(0) - - y
l 2 3
(s2 + 2s)x(s) = — + 2 entonces:
_ 3í 2 +24 . 3 , 1 . 1 ^
x ( s ) = i z----------- = — 3 4 ’
• 2j ( j + 2j) 2 s 2 s s
x{t) = - L A { \ - \ + ̂ } entonces: x (t) = ^ t ~ t 2 + í 3
2 s s s
x"+6x'= í , x ( 0) = 0, *'(<>) = - j ¿
Solución
L{x"+6jc’} = í ,{í}
477
s 2 x( s) - sx( 0) - x’ (0) + 6jx(í) - 6x(0) = —-
s
s 2 36 36í
T(J)_ ~36 _ (s + 6 )(s-6 )
36s 2(s 2 + 6 s) 36í 3(j + 6)
, , j - 6 1 1
= ------- r = ------- ¡r + — r entonces:
36 j 3 36s 6s3
~ i l 1 t t 2 —tx( t)= L {------- - + — -} por lo tanto: x(t) = -+ — = --
36s 6s 36 12 36
966) x" + x = 2 e ' , x(0) = 1, x' (0) = 2
Solución
L{x* '+*} = -Z,{2ef} entonces:
5- 2x(^) - jx(0) - x’ (0) + x(s) = 2
s - l
2 2(s + l)x(s) - s - 2 = ----- entonces:
s - l
, v s 2 +s 1 1x(s) =
( s - l ) ( s 2 +l) s - l s 2 +1
x(t) = L 1 {—— + — —̂ } = e l + sen r por lo tanto: x(f) = e ' + sen / 
*y-l s z + 1
478
967) 7x”+ 1 4 x '= ( í- - )e 2‘ , x(0) = 2, x’(0) = - 7 ~
4 56
Solución
I{7x"+14x'} = L { ( t - - ) e ~ 2'}
4
Is 2x(s) - 7sx(0) - 7x' (0) + 14jx(í) - 14x(0) = -— ------ —
(s+ 2)2 4(j + 2)
(7j 2 + 14j )x(í ) - 14s+ i - 28 = 4
8 4(í + 2)
2 , 112s3 + 671j 2 + 1338s+896
(7í 2 + 14j)x(í) ------------------------z-------------
8(j +2)
, ' 112j 3 +671í 2 +1338í + 896 JC(iy) = ----------------------- _ -------- entonces:
56.í (í + 2)
! 112i3 +671j2 + 1338í + 896 x(í) = L 1 {---------------------- ------------ } por lo tanto: x(í) = 2 -
56í (j + 2)3
968) x’'-4x'+4x = ( / - l)e2í, x(0) = 0, x'(0) = 1
Solución
L{x’’-4x'+4x} = L{(l - \)e2' } entonces:
1
s x ( s ) - sx(0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0)+ 4x(í) :
(s 2 - 4 j + 4)x(s) = ---- -— y ----- “ + 1
( s - 2 ) s - 2
( s - 2 ) s - 2
+ 2, 
56
479
/ x s 2 - 5 s + 7
*(.?) = ---------- -— entonces:
(í - 2 ) 4
x(í) = I _1{----- ^ i Z } = (L— t +í)e 2' por lo tanto: x(t) = (-— — + t)e21
(s - 2 ) 6 2 6 2
969) 4x' '-Ax'+x = e " 2, x(0) = -2, x' (0) = 0
Solución 
L{4x"-4x'+x} = L{etl2} entonces:
4s 2 x(s) - 4sx(0) - 4x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + x(s) = ——
s —
2
(4.? 2 - 4s + l)x(s) + 8s - 8 = —— entonces x(.v) = ----- ---- + — —
2 j - l (2 s - l ) ( 2 s - l ) 3
2 1 s 2
x(f) = L l {--------- - + 8 -------^—} por lo tanto: x(í) = (— + f - 2 ) e ,/2
(2 s - l ) (2 s - l ) 8
970) x''+3x'+2x =e~‘ + e~2‘ , x(0) = 2, x '(0) = -3
Solución
L{x' '+3x'+2x} = L{e~‘ + e ~2t} entonces:
s 2 x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3sx(s) - 3x(0) + 2x(s) = —— +- 1
s + 1 s + 2
( i 2 + 3s + 2 )x (s)-2 s + 3 - 6 = 2 í + 3
(s+ l)(s+ 2 ) 
480
(2s + 3)(s + 3s + 3) ^ i (2s + 3)(s + 3s + 3)
x(s) = -------- ------------- entonces x(í) = L l {-------- —---------
(s + 1) (s + 2) (s + 1) (s + 2)
„ 1 1 1 1 ,x(t) = L {----- + -------- t- + ----------------- r-}
í + 1 (s + 1)2 s + 2 (s+2)
x(í)=e~t + te~t + e~2t -te~2t porlotanto: x(t) = (\ + t)e~t + ( l - t )e ~ 2t
971) x''-x'-6x = 6e3' + 2e~2' , x(0) = 0, x' (0) = |
Solución
L{x' '-x'-6x} = L{6e3/ + 2e 2t) entonces:
s 2 jt(j) - jx(0) - jc’ (0) - £*($) + x(0) - 6*(.y) = —— + ^
s - 3 s+2
/ 2 ¿\ / \ 6 2 4(s - s -6 )x ( s ) = ----- + ------------
j - 3 s+2 5
, „ -2 (2 s 2 -2 2 s -2 7 ) r_ , - 2 ( 2 s 2 -2 2 s -2 7 ) .
x(s) = — ¿------ 5-------^ entonces x(í) = l ‘ {— ---------------------- 5-j 1 }
5 (s-3 ) (s + 2) 5 (s-3 ) (s + 2)
x(í) = — L 1 {------- -—----- -——} por lo tanto: x(í) = — [6íe3' - 2te~2’ ]
5 ( s - 3) (s + 2)2 5
972) x"+4x'+4x = t2e~2‘ , x(0) = x'(0) = 0
Solución
L{x' ’+4x'+4x} = -L{ 2 - e 2' } entonces:
„2 , ................................................ . . . 2s x(s) - sx(0) - x' (0) + 4s(s) - 4x(0) + 4x(s) =
(s + 2)3
481
( í + 4 í+ 4 )x (í) = -------- - => x(s)= --
(j +2) (j + 2)
x(r) = ZT1 {-— => x(^) = 2e-2,U x{ \ ) J ~ e - ,̂ 
(s + 2) í 5 12
por lo tanto: x(r) =
< v 2'
12
973) x' '-x ' = 2 sen f , x(0) = 2, x’ (0) = 0
Solución 
L{x' ' - x ' } = L {2 sen í} entonces:
s 2 x(s) - sx(0) - x' (0) -sx(s) + x(0) = ~
s L +1
, 2 \ % 2 _ .. - 2( j 3 + j - 1)( í + s)x(j) = —— — 2 s => x(s) = — --------- — -
s 2 + 1 (s —s)(s + 1)
_1 1 s 1
x(t) = L {— - + —5- ,— } por lo tanto: x(t) = e‘ + c o s /-s e n í
s - l J 2 +l i 2 +l
974) x' '+9x = 18 eos 3 í , x(0) = 0, x ’ (0) = 9
Solución 
L{x’ ’+9x} = 18£{eos 3} entonces:
s 2x ( s ) - íx(0) - x' (0) + 9x(j) = - -1--—
s +9
18(s 2 + 9)x(¿) = —- + 9 entonces:
s 2 + 9
(s +9) (i +9)
por lo tanto: x{t) = 3(t +1) sen 31
s e n 9 /
975) x' '+4x = 4 eos 21-------— , x(0) = 0, x' (0) = -
t < 2 8
Solución
sen 2t
L{x' *+4x} = L{4 eos 2 í----- — } entonces:
45 1
s x (5 )-5x (0 )-x '(0 ) + 4x(5) = —----------- —̂
s + 4 s + 4
<2 AX / ̂ 45-1 1 , A s 2 + 325-
( 5 + 4 ) x ( 5 ) = — r-------------------------------------------+ - = > * ( • ? ) = -
s 2 +4 8 8 (í2 + 4 )2
2
x(r) = L~l {- +t 32- y ) por lo tanto: x(í) =
8(s2 +4)
976) x' '+2x'+3x = t eos t , x(0) = - ̂ , x' (0) = 0
Solución
L{x' ’+2x'+3x} = L{t o s í} entonces:
„2J ¿ x( s) - sx(0) - x' (0 )+ 2ix(j) - 2x(0) + 3x(í ) =
(s
s 2 s 2 - 1o + 2 í + 3)x(í ) + — + — = —------ - entonces:
4 4 (j 2 +1)2
s 5 +2s4 +2s3 +s + 6 , . T-\ ,x(i) = ---------------------- ------ r- => x(t) = L l {-
4(í + 2 í + 3)(j +1)
4
. „ cos2í.
í(sen 2/ + —-— )
, 2 - l
2 + l)2
s 5 + 2s4 + 2 i3 + s + 6 , 
4 ( i2 +2s + 3 )(i2 +1)2
x(/) = -—- (eos t + sen í) 
4
483
1
977) x"-2jc'+10jc = cos3r, x(0) = 1, x'(0) = ~
Solución
L{x' '-2x'+\0x} = Z{cos 3r} entonces:
j 2 x(.y) - sx(0) - x' (0) - 2.yjc(1y) + 2x(0) +1 0x(» = S
s 2 + 9
(s2 -2 s + 1 0 )x ( s ) - s ~ — +2 = - 5
37 í +9
. . 37s3 + 373s-494 - 56s2x(.y) = — — ------ ——-----------entonces:
37(s +9)(s - 2 s + 10)
! 37s3 + 37 3 s-5 6 s2 -4 9 4 ,x(t) = L {------- --------- ---------------} por lo tanto:
37(s + 9)(s - 2 s + 10)
(36ef + l)co s3 f-6 sen 3 / X(t) = ----------- L— --------------
37
978) x' '-4x + 5x = 2e2í(sení + eos/) , x(0) = 1, jc’(0) = 2
Solución
L{x' ’-4x'+5x} = 2 L{e21 (sen t + cot)} entonces:
s 2x(s) - sx( 0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + 5x(s) = 2[------ ------- + — -—\ — 1
(s -2 ) +1 ( s -2 ) +1
484
j ( s - 1)
(s -4 s -u5 )x ( s ) -x -2 + 4 = 2 -------- t——
( s -2 ) +1
s 3 - 6 x 2 + l ls -1 2 r- i , s 3 - 6 s 2 + l l s - 1 2 ,
x(s) = --------- --------:------------ => x(t) = I {—-r ---- ——r —}
((s -2 ) + l)(s -4 x + 5 ) (s - 4 s + 5)(s - 4 s + 5)
/. x(t) = [(1 — í)cosí + (l + /)sen /]e2'
979) x’" - x " = 0 , x(0) = 1, x'(0) = 3 , x"(0) = 2
Solución
X{x"'-x"} = 1(0} entonces:
s 3 x(s) - s 2x(0) - sx’ (0) - (0) - s 2 x(s) + 5x(0)+x'(0) = 0
(s3 - s 2)x ( s ) - s 2 - 3 s - 2 + s + 3 = 0 entonces:
, x s 2 + 2 s - l 1 1 2x(s) = — -----— = — + — + ----- entonces:
s —s s s s “ 1
1 1 2
x(t) = L~l {----- 1— r-H-------} por lo tanto: x(t) = - \ + t + 2e‘
s s 2 s —1
980) x '" -4 x '= l , x(0) = 0, x’(0) = -i , x " (0 )= 0
Solución
í,{x'"-4x'} = ¿{1}
s 3 x(s) - s 2 x(0) - sx' (0) - x" (0) - 4sx(s)+ 4x(0) = ~
485
(j 3 -4s)x (s) + ^ = -
4 s
x(s) = 4 - 5 2 = ( j - 2 ) ( j + 2) = _ J _
4í (s 3 - 4 í ) 4í 2(í -2 ) ( í + 2) 4í 2
x(í) = - L l {—i—} = - — por lo tanto: x(t) = - —
4í 4 4
981) x,”+x"-2x = 5 e ', x(0) = 0, x’(0) = l , x"(0) = 2
Solución
£{x"’+x"-2x} = L{5e' } entonces:
j 3 x ( í ) - j 2 x(0) - sx' (0) - x" (0) + j 2 x( j ) - íx(0) - x' (0) - 2x(s) = —
5 -1
(í 3 + í 2 - 2 ) x(j ) - í - 2 - 1 = —
5-1
3 2 5(s + 5 -2)x(5) = 5 + 3 + ----- entonces:
5 -1
, . s 2 +2s + 2 s 2 +25 + 2 
x(s) = r-----«-----= -----------}------------
s 3 + s 2 - 2 (5 - l)(5 2 +25 + 2)
x(,y) = - i — => x(t) = Z~1{—̂—} por lo tanto: x ( t)= e t
s - l 5 -1
982) jt,,+* = 8>/2sen(f+;r \ x(0)^=0, x'(0) = -4
4
Solución
L{x' '+*} = 8V2Z{sen(í + -^)} entonces:
s 2 x( s) - sx(0) - x'(0) + x(í ) = 8Í —— - + )
j 2 +l j +1
( , 2 + l ) x ( í ) = 8 ( 4 l L ) _ 4 = z V r ^ l 2 )
5 + 1 5 " + l
_ 4(52 - 2 5 - 2 ) 
x(s) = — ———- r —- mediante convolución
( i 2 + i)2
x(t) = L 1 { — -—— = 4r(sen t - eos t)
(í 2 + D 2
por lo tanto: x(í) = 4í(sen t - eos t)
983) x’'+4x = 2 eos2 t , cx(0) = x(0) = 0
Solución
í.{x"+4x} = 2I{cos t}
s 2 x(s) - sx(0) - x' (0) + 4x(s) = - +
S s +4
2 . ->\ o / ,27 2(s +2) , , 2(s +2) „r 1 2
f + 4 )x (j) = —̂ ------ entonces: x(s) = — ------ = 2[—-------------------- ------ -
s + 4 ( í + 4) s 2 + 4 ( í + 4)
487
aplicando el teorema de convolución se tiene:
i 1 2
x(t) = L~ {2(—---------- - ----- -} entonces: x(t) = - (1 - eos 2/ + í sen 2í)
í -t4 (s +4) 4
984) x"+x’ = l , x(0) = 0, x'(0) = 1
Solución
L{x' M-*'} = Z{1} entonces: 
s 2 (x) - soc(O) - JC'(0 )+ jx(í ) - x(0) = -
s
(s2 +s)x(s) = ^ + l => x(S) ----- ^ - = - 1
2 .y2
x(t) = L 1 {-^-} = t por lo tanto: x(t) = t
.y
488
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 
LINEALES.
Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones 
diferenciales lineales de coeficientes constantes.
... (1)
que cumple las condiciones iniciales: x(0) = x0, y(0) = y0
ahora se toma la transformada al sistema de ecuaciones diferenciales
L{— ) = alL{x} + blL{y} + L { f{(t)} 
dt
L{‘̂ } = a 2L{x)+b2L{y) + L { f2(t)} 
dt
sx( s) = fl] x(s) + ¿>j y(í) + F, (t) + x0 
^ ( s ) = a 2x(s)+b2y(s) + F2(t) + y 0
= a lx+ b l y + /] (t)
dt
dy
— = a 2x + b2y + f 2(t) 
dt
mediante la regla de Cramer se tiene:
x(s) = f ( s ) í x(t) = L 1 {x(s)}
y(s) = g(s) ** {•>,(,) = L-'{y(s)}
y se obtiene la solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales.
489
En los siguientes ejercicios hay que resolver los sistemas de ecuaciones por el 
método operacional (Transformación de Laplace).
985)
dx
dt
+y = 0
dy
— + x = 0 
dt
; x(0) = 2, y(0) = 0
Solución
L { ^ } + L{y}=0
¿ Á + H y } = 0 
dt
sx(5) - x(0) + y(5) = 0 
^ (5 )-y (0 )+ x (5 ) = 0
i j [sx(5) + y(5) = 2
reemplazando datos 4 por la regla de Cramer
lx(5)+jy(5) = 0
*(*) =
2 1
0 5 2 5
5 1 5 2 - 1
1 5
x (t) = L 1 {*(*)} = L 1 = 2 cosh t =e ' +e
s 2 - l -
Rpta. x(t) = e ' +e ' 
y(t) = e~‘ - e '
986)
dx „
— + x - 2 y = 0 
dt
dy
— + x+ 4 y = 0 
dt
! x(0) = y (0 )= l
Solución
Tomando Transformada de Laplace
490
Í ( í+ l)x ( í) -2 y ( í) = l , , J „
{ , por la regla de Cramer
[W + ( s + 4 M j ) = 1
1 - 2
1 5 + 4 5 + 6 4 3
5 + 1 2 5 2 + 5 5 + 6 5 + 2 5 + 3
1 5 + 4
y(í) =
5 + 1 1
1 1 5 3 2
5 + 1 - 2 5 2 + 5s + 6 s + 2 5 + 3
1 5 + 4
y(t) = 1 - ) = 3 e 2' - 2 e ~ 3'
5+2 5+3
¡x(t) = 4e~2' -3e~3' 
por lo tanto: <
1^(0 = 3e ~ 2e
dx
- d t= ~y
^ = 2 (x + y) 
dt
; x(0) = y(0) = l
Solución
L{^-} = -L{y)
L Á = 2L{x} + 2L{y}
dt
Ííx(í) - x(0) + y(.v) = O 
W c o - j(0 ) - 2x(s) - 2y(s) = O
|jx ( j )+ y ( í) = l 
[(¿ -2 X y (j)-2 x (j) = l
, por la regla de Cramer
x(s) =
1 1
1 j -21 s - 3 s -1
s 1 
- 2 i - 2 l
( j - i r + i ( j - i r + i (j - i) 2 + i
x(t) = L 1{ —- } - 2 L l {-— L— } = e ' c o s r -2 e ' senf
( s - l ) 2 + l ( i - l ) + l
y(s) =
s 1 
- 2 1 J + 2 s -1
s 1 
- 2 s - 2
( j - l ) 2 +l (j -1 )2 +1 (j -1 )2 +1
y(t) = L ! {-------------- 1------- ------- } = e ' cosí+ 3e ' senr
(j -1 )2 +1 (í -1 )2 +1
Rpta.
¡x(t) = e' c o s r -2 e ' senr 
I y(t) = e ‘ eos t + 3e‘ sen t
988)
dx -— + 2 y = 3r 
dt
dt
; x(0) = 2 , y(0) = 3
Solución
492
L Á + 2L{y} = L{3tl 
dt *
L Á - 2 L { x } = L{4\ 
dt
sx(s) - x(0) + 2y(s) 
sy(s)-y{Q )-2x(s)
íx(s) + 2>'(s) = — +2
s , por la regla de Cramer
- 2x(s)+ sy(J) = —+3s
x(s) =
- y + 2 2
s
—+ 3 5
2s
s 2 
- 2 s
6s + 5
s 2 + 4 í ( j 2 +4)
3 3s-------+- 12x(s) = 2 - . .
s 2 + 4 2x s +4 s +4
x(t) = L~\-
5s 12
2 + 4 2s s 2 + 4
x (t) = 5 eos 2t - — - 12 sen 21
y(s) =
s —+2 
s
- 2 - + 3 
s 3 ̂+ 8
S 2 +4 52(52 +4)
y(0 = r 1{
i 35 + 8
5 2 +4 5 ( 5 +4) 2
} = — t + 3 eos 2t +
13
4
5
sen 2/
3 13y(t) = — í + 3 eos 2t + — sen 2í
2 4
989)
dt
dx ,
; x(0) = y (0 )= l
Solución
L { ~ )+ L { x } = L{y}+L{e'} 
L{~ } + L{y} = L{x} + L{e'}
sx(s)-x(0) + x(s) = y(s)+ 
sy(s) -y(0 )+ y(s) = x(s) +
(s + 1)x(ì) - ̂ ( j) = _ L + 1
S ~ 1
(s + O X i) - x(s) = —— +1
J - l
, por la regia de Cramer
x(ì ) =
ì -1
1
s - 1
+ 1 -1
+ 1 s + 1 s + 2 
_ s - l
+ (s+2)
ì + 1 -1 
-1 j+ 1
s ¿ +2s
(* + l)2 - l (ì -1)(j 2 + 2 j )
y(s) =
J + l — +l| 
j -1
-1 — +li 
j -1 s 2 + 2 j
ì + 1 -1 
-1 s + 1
[ ( J -1 ) '- 1 ] ( J -1 ) s - l
y ( t) - L 1 {— -} = e' por lo tanto: 
j - 1
\x (t) = e l 
W ) = e ‘
494
990)
dx dy ,y + e
dt dt 
dt dt
; x(0) = y(0) = 0
Solución
L { ^ - } + L { % = L{y}+L{e‘} 
dt dt
2 Z . Á + + 2 L{y) = I{cos t }
dt dt
, operando tenemos
5x( j) - x(0) + sy(s) - y( 0) = >>(ì ) +
s - l
2sx(s ) - 2x(0) + .?_y(i)->'(0) + 2y(5) = —----
s +1
íx(í ) + (í -1)^(í ) =
s - 1 , por la regia de Cramer
2ìx(ì) + (.5 + 2)y(s) = - y — 
s +1
x(s) =
s - l
s
s 2 + 1
s - l
s-1-2
s s - l 
2 s s + 2
s+ 2 s +s------- 1— -----
S - 1 J 2 +l
- ( s 2 -4 s )
x (s )= ____________________=
- ( s - l)(i 2 + l)(i 2 - 4ì)
_ 1 1 11________3s | _____ 5 
2s J - l 3 4 ( j-4 ) 17(s2 +1) 17(52 +1)
495
2 34 17 17
/v» 1 t 11 4, 3 5x(t) = — e ' ----- e ----- eos t + — sen t
y (í) =
2s
s - 1 
s
52 +l
2s
s s - 1 
2^ 5 + 2
5 + 1 S - l
- ( s 2 - 4 s)
2 t 22 4, 41 = — e + — e + — cy(t) = - —e' h-----e " h-----eos í ------sen t
3 51 17 17
991)
dx
* = y ~ Z
^ = x + y ; x(0) = i , y(0) = 2 , z(0) = 3 
dz
— = x + z 
dt
Solución
L { ~ } = L {y \-L {z}
L {^} = L { x } + L { y }
L { ~ } = L{x} + L{z) 
dt
5*(5) - x(0) = y(s) - z(s) 
syis)-y(Q) = x(s) + y(s) 
sz(s) - z(0) = x(s) + z(s)
s x ( s ) - y ( s ) + z ( s ) = l
- x(í ) + (x + 1)^(í) = 2 , por la regla de Cramer 
-x (5 ) + (5 + l)z(5) = 3
496
x(s) =
1 -1 1
2 2 + 1 0
3 0 5 + 1 (s + l )2 - ( s + l) _ 1
5 -1 1
-1 5 + 1 0
-1 0 5+1
5(5 + 1)2 5 + 1
x ( s ) =
1
5 + 1
x(t) = L 1{ ^ - \ = e -‘
y(s) =
5 1 1
- 1 2 0 
- 1 3 5 + 1
5 + 1
25(5 + 1) + 5 2
5 -1 1
-1 5+1 0
-1 0 5+1
5(5 + 1)2 í + i ( s + i ) 3
y(t) = I “1 { ^ - + - - L r } = 2e~l +e~’t 
5 + 1 (5 + 1)
Z(5) =
5 - 1 1 
- 1 5+1 2
- 1 0 3
5 - 1 1
-1 5+1 0
-1 0 5+1
3 1
- + -
Z(o = r 1{— +
1
5 + 1 (5 + 1)
35(5 +1) + 5
5(5 + 1)2 S + \ (5 + 1 ) :
r} = 3 e ”'+ e " 'í
La solución es:
x(t) = e -
y(t) = 2e~' +te~' + te~' 
z(í) = 3e~' +te~'
497
992)
dx
~Jt
dy
dt
dz
dt
— z ; x(0) = 5 , y(0) = O , z(0) = r 
= 4y
= 4 y + z
L { ^ } = 4L{y)+L{z)
í { j } = ¿{z| 
dt
L { ~ ) = 4 L{y)
Solución
íx(j) - x(0) = 4y(s) + z(s) 
í>'(í )-> '(0) = z(j ) 
sz(s) - 2(0) = 4y(.v)
íx ( í- ) -4 y (j) -z ( í) = 5 
■ sy(s) - z(s) = O , por la regla de Cramer
- 4 y ( i) + .sz(.y) = 4
x (j ) =
Tti*1
0 í -1
4 - 4 s 5s2 + 4 í - 4
s - 4 -1 s(s2 - 4 )
0 í -1
0 - 4 s
x(í) = Z,-I{ i + —
s s - 2 s+ 2
1
} =l + 3e2' + e~2'
x(t) =l+3e2r +e~2>
498
y(j) =
s 5 -1
0 0 - 1
0 4 í 4s
s - 4 -1 
0 í -1 
0 - 4 i
s(s2 - 4 ) s 2 - 4 s-
z(s) =
s - 4 5 
0 5 0
0 - 4 4 45 4 5
5 - 4 -1
0 5 -1
0 - 4 5
5( 5 2 - 4 ) 5 2 - 4
Z(0 = L~x { *S } = 4 cosh 21 = 2e2' + 2e~2' 
s - 4
z(t) = 2e2' + l e -21
993)
dx . dy
— + 2 — + x + y + z = 0 
dt dt
dx dy
— + — + x + z = 0 
dt dt
dz dy--------— y = 0
dt dt
; x(0) = y(0)=l
Solución
2 s + 1
1
, z(0) = -2
499
L {d t ] “ 2L{d t ] + z w + L {y}+ L {z}= 0
' L{— } + £{-—} + L{x} + Z,{z} = 0 , operando tenemos
at ai
ix (i) - x(0) + 2sy(s) - 2y(0) + x(s)+ j>(j)+ z(s) = 0
• sx(s) -x (0 ) + jy(x) - ̂ (0) + x(s) + z(s) = 0 
jz (ì) - z(0) - 2iy(i) + 2^(0) - y(i) = 0
( s + l)x(s) + (2 s + 1)>>(ì)+ z(s) = 3 
- ( j + l)jf(j) + sy(s) + z(s) = 2 , por la regia de Cramer
- (2s + l).y($) + sz(s) = -4
3 25 + 1 1
2 5 1
- 4 “ (25 + 1) s _ 3(s + l)2 -2 (2 j + 1)(ì + 2 ) - 2 5 + 3
5 + 1 25 + 1 1 - j (ì + 1)2 5(5 + 1)
5 + 1 5 1
0 - (2j +1) s
5 + 1 3 1
5 + 1 2 1
0 - 4 5 - s O + l) 1
5 + 1 25 + 1 1 - i ( i + l)2 s + l
5 + 1 5 1
0 (2s+1) s
y(£ = L l { - U = e“' => y(t) = e-‘
5 + 1
Z(j) =
s +1 2 s +1 3
j+ 1 s 2
0 - ( 2 j +1) - 4
5 + 1 2s+\ 1
j + 1 s 1
0 - (2s +1) s
(5+1)(2j +3) 1___ 3
- s ( j + l)2 s + 1 s
z(/) = L~l {—--------------------------------- } = é T '-3 => z(t) = e~' -3
ì+ 1 s
1 3
994)
* _ & _ 2 * + 2 , , i _2 , 
dt dt
d 2x dy
+ 2 — + x = 0
x(0) = y(0) = x’(0) = 0
A
Solución
L & ~ U r f ) ~ 2L{x} + 2L{y} = I{1 - 2t) 
at at
, operando tenemos
I{— }+2!{^-} + I W = 0 
¿ i'' dt
sx(s) - x(0) - jy (j) + ̂ (0) - 2x{s) + 2y(s) = ~ ~ \
s s
s 2 *(5) - 5*(0) - Jt(0) - 2sy(s) - 5j>(0) + *(5) = 0
( í - 2 ) x ( í ) - ( i - 2 M í ) = i - - 4
s s , por la regia de Cramer
(5 2 + 1)jc(5) + 257(5) = 0
501
x(s) =
1 2 / ^
5 S2
O 2 s 2 - —
s - 2 - ( s - 2)
s 2 +l 2s
(s -2 )(s + l) s(s + l)2 s s + l (s + l)
s s + l (í + i) :
-} = 2 -2 e~ ‘ -2te~
y(s) = -
s - 2 1 2
s 2 +l
2 s 2 
0 2 1 2 2
s - 2 - ( s - 2 ) i s 2 s+ l (s + l)2
s 2 +1 2s
-------r ------ ----------- 7 } entonces: y ( t ) - 2 - t - 2 e - 2 te"
s s 2 S + l (j + 1)2
995)
d 2x
d t‘
d 2y
= y
d t2
= X
x(0) = y(O) = 1, x'(O) = 2 , / ( 0 ) = 0
Solución
2
B ¿ - ± ) = L { y )
dt
d 2y
L {— =
dt
I s x(s) - sx' (0) - x(0) = y(s) 
(s 2y(s) - sy' (0) - y{ 0) = x(s)
, por la regla de Cramer
502
996)
x(s) =
2 s+ l -1
1 s ; 2 s 3 + s 2 +1 2 1
s 2 -1 
-1 s :
?4 -1 í - 1 s 2 +l
x(t) = L 1 {—í— + — } = 2e' + sen t 
s - 1 S + l
y(s) =
s 2s + l 
-1 l ( j + i r s + i 1 1
s ¿ -1 
-1 s :
s 4 - l ( s - l ) ( s 2 +l) s - l í 2 +l
y (0 = L 1 {—- t “— } =e' - sen; => v(t) = e' - s e n /
s - l s +1
d 2x
- T T = x ~ 4y
, , x(0) = 2 , y(0) = 0 , x’ (0) = —̂ 3 , / ( 0 ) = ^ -
d 2y 2
2 = - * + > ’
d t2
Solución
d 2x
d t2 * - j s 2x (s )-sx '(0 )-x (0 ) = x(s)-4.y(s)
r , . , , . | s 2y(s) - s / ( 0 ) - y(0) = -x ( s ) + _y(s)
I{— í - )= -L {x ) + L{y\ 
dt
í i i,
(s2 - l)x (s) + 4y(s) = 2 - f í s
J J , por la regla de Cramer 
x(s) + (s2 - l)y (s ) = — — s
503
jc(j ) =
V3 2 ,------ s s -1
2
2 ~ j3 s 4
5¿ -1 4
1 s 2 - ì
52 +l 5-1-^3
x(t) = L-1{ S
52 +l 5 + V3
-— 1 = cos/ + e
y(i) =
52 - l 2 -V 3 j
1 ------ s
2
5 ^ - 1 4
1 s 2 - Ì
2 ( 5 2 + 1 ) 2 ( ì + ^ 3 )
y(t) = L i { s } = — c o s i- — e
2 ( 5 2 + 1 ) 2 ( j + V 3 ) 2 2
997)
d x dy ,
— T + — = e ' - x 
d t2 dt
d 2 y dx
+ — = 1
d t2 dt
, x (0 ) = l , y(0) = 0 , x'(0) = 2,
Solución
</r dt
L { ^ l i + L { ~ ) = L{1\ 
d t¿ dt
, operando tenemos
52 x(5) - sx' (0) - x(0) + y(s ) = —----- x(5)
5 - 1
*2y ( s ) - s y ‘ (0 )-y (0 ) + x(i) = -
/ ( 0)
504
998)
? 1(s +1 )x(s) + y(s) = 2s + l +-----
s - 1
2 1
jc(5) + 5 y(s) = - s + — 
s
, por la regia de Cramer
x(j) =
25 + 1+ 1 1
5-1
1----5 52
5
52 +l 1
1 52
1 1 -J- 1
52 3654 5 -1
. 3 2 J 1
2 5 + 5 + ---------------+ 5
_________ 5 -1 5
s 4 +s 2 - 1
, -1 ,1 1 . 1
V 3654 5 -1
x(t) = t - — + e ‘ 
6
y(s) =
i 2 +l 25 + 1 +-----
5-1
1 - 5 + -
5
52 +l5(5 + 1) + ---------25-1------- , , .
5 5-1 1 , 1 1
5 + 1 1
1 52
54 +52 - l 5 24255 i - 1
y(t) = L 1 {-+■- ------i—r} entonces: y(t) = \ + - ^ - e '
d 2x
d t1
d 2y
s 24 5 ì - 1
+ x+ y = 5
24
, x(0) = y(0) = 0 , x'(0) = / ( 0 ) = 0
dt1
-4x -3 j> = -3
Solución
505
L* r - y } +L{x) + L{y) = ¿{5}dt1
d 2y
L { - f } - 4 L { x } - 3 L { y } = L { - 3 }
dt
, operando tenemos
i 5
5 x(5)-5x'(0)-jt(0) + jt(5) + j>(>) = —
s 2y ( s ) - s y ' ( 0 ) - y (0 ) -4 x ( s ) -3 y (s ) = - -
(s2 -l)x(5) + >̂ (5) = - 
s
- 4 x(ì ) + (ì 2-3 W s) = - -
, por la regia de Cramer
x(s) =
- 3- s 2 -3
5j
s ¿ + 1 1
- 4 s 2 -3
(ì 2 -1 )2
x(t) = L '{—^ — } = 12coshí - 1 2 - —fsenh t
2(s2 - l ) '
x(f) = 12 co sh í-1 2 — isenhr 
2
^(5) =
- 4
+1 1
- 4 52 -3|
-, I7 
(s2 - i ) 2
506
y(t) = L '{——j— - y } = 1 tsenht - 17(cosh? -1) 
j ( j -1)
v(0 = 7i. senh / - 1 7(cosh / -1)
999)
— + 4v + 2x = 4/ + l 
dt
dy 3 2——+ x —y = — f 
dt 2
x(0) = y(0) = 0
Solución
l Á + 4 I M + 2 IW = I{4í + l} 
at
L Á + L { x } - L { y } = L { - -} 
at l
sx(s) - x(0)+ 4y (ì) + 2x(s) = A r + —
s 2 S
(s + 2 )x(s) + 4 _y(i)= ^ - + i = Ŝ -
s s , por la regia de Cramer
*(■*) + ( j - lM - 0 = - ys
x(s) =
4 1 ̂— + - 4
s 2 s
7 -
s+ 2 4
1 J - l l
■r3 + 3 ^ 2 — 4 j —12
j 3(í 2 + J - 6 )
x(j) =
s(j 2 + ì -6 ) 2(ì 2 + 5 -6 )
j 3(j 2 + í - 6 ) ì 3(ì 2 + j - 6 )
, a 1 2
*(J) = - T + -T s s s s
x ( / ) = / + r
507
y(s) =
s + 2 s + 4
- ( s z + s - 6) 1
s + 2 4
1 s - 1
53(52 + 5 - 6 )
1 ty{t) = L~l {— —} = ----- por lo tanto:
s 2
x(t) = t + t
A 0 = - y
1000)
de
~dt
di
+ y - 2 x = 0
+ x - 2 y = -5 e‘ seni
, x(0) = 2 , y(0) = 3
Solución
L { ^ } + L{y}-2L{x} = 0
/.{— } + L{x) - 2L{y) = -5 L{e‘ sen /} 
dt
, operando tenemos
5x(5) - jc(0) + y (5) - 2x(s) = 0 
sy(s) - y(0) + x(s) - 2y(j) =
- 5
( ì - 1 ) 2 + 1 s 2 - 2 s + 2
( s -2 )x (s ) + y(s) = 2
(3s2 - 6 ì+1) , por la regia de Cramer
x(i) + ( i -2 ) y ( j ) = -
(ì -1 ) +1
508
x(s) =
2 1
3s 2 - 6 j + 1
2 * 2 s - 2 i + 2 2s 3 -11s 2 +18s - 9
s - 2 1 
1 s - 2
( j 2 - 2 s + 2)(s 2 - 4 s + 3)
x(s) =
2 5 -3 2(j -1)
s 2 - 2 s + 2 ( i - l ) 2 +l ( J - 1 ) 2 +1
. . „ 1. 2(5-1)
x(t) = L '{ 7
( s - l ) 2 + l ( i - l ) 2 +l
x(t) = 2e' c o s i - e ' sen/ => x(t) = e' (2 cosí -se n /)
y(s) =
s - 2 2
j 3s2 - 6 i + l
s - 2 1
1 s - 2
3s3 - 1 4 j2 + 1 7 ^ -6 
(s2 - 4 ì + 3)(s2 - 2 s + 2)
3 s - 2 3(5 -1 ) +1y(s) = —-----------= -------- -— entonces:
52 - 25 + 2 (5 — 1) +1
(5 — 1) + 1 (5 — 1) + 1
y(t) = 3e' eos t + e* sen / => y(t) = e1 (3 eos t + sen t)
por lo tanto:
\x(t) = e '(2 e o s / - s e n t) 
I y(t) = e1 (3 eos t + sen t
509
A P E N D I C E
DERIVADAS ELEMENTALES
!) y = f ( x ) = c = > ^- = f ' ( x ) = o
dx
2) y = k f (x ) = c=> — = k f '(x )
dx
3) y= f ( x ) ± g ( x ) ^ ^ - = f ' ( x ) ± g ( x )
dx
4) y = f { x ) = x n => — = f ' ( x ) = nxn~1
dx
5) y = f ( x ) g ( x ) = > - ~ = r ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ' ( x )
dx
f ( x ) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f ( x ) . g ' ( x )
6) y = — =>— --------------- 2---------
g(x) dx g(x)
7) y = ( / ( x ) ) n
dx
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS 
INVERSAS
dy
1) y = 3en(/(x)) => — = cos f ( x ) . f ' ( x )
dx
2) j = cos(/ (* ) ) =* ^ = - sen( f ( x ) ) . f ' ( x )
dx
3) J = tg(/(jc)) => — = sec2(/(x ) ) ./" (x )
dx
4) y = c tg ( f (x ) ) => — = -cosec2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )
dx
dy
5) = sec(/(x )) => — = s e c ( /(x )) .tg ( /0 ) ) ./ '(x )
dx
6) _y = cosec(/(x)) => — = ~cosec( f (x))£ig(f (x)) . f ' (x)
dx
510
7) y = arc.senif (x))
8) y = arc.cos(f (x ))
9) y = are. tg (/(x )) =
10) y = arc.cig(f{x))
dy / '(* )
dx •y/T -/2(x)
dy -/■ (* )
—
dx V1_/ 2w
dy / ' ( * )
dx \ + f 2(x)
dy
dx 1 + / (x) 
dy / ’(x)
11) y = arc.sec(f(x))
1
dy - / ' ( * )
12) y = arc.cosec(/(x)) => — =
dx 1 / w l V / 2 ^ ) " 1
DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y 
LOGARITMICAS
¿/v loe c
1) y = logfl( / (x ) )= > - j-= " a *0,1
dx f ( x )
dy / ' ( * )
2) ,y = ln (/(x))=> — = ——
dx / ( x )
3) y = a f{x) => — = a f{x).Ln a . f ' ( x )
dx
4) J = e
dx5) y = ( f ( x ) g{X) ^ — = g ( x ) ( f ( x ) f i*)~i . f ' ( x ) + ( f ( x ) f (X)M f( x ) ) .g ' ( x )
dx
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS 
INVERSAS
dy
1) y = s e n h ( /(*)) => — = cosh ( / ( * ) ) • / ’(*)
dx
dy
2) v = c o s h ( /(x )) => — = s e n h ( / (x ) ) . / ' ( x )
511
r = tgh(/(jr)) => — = sech2( f ( x ) ) . f ' ( x ) 
dx
dv 9
4) ,y = c tg h (/(x )) => — = -cosech ( f ( x ) ) . f ' ( x )
dx
dy
5) y = sec A ( /(* ) ) => — = -sec A(/(x)).tgh( f(x ))./'( jc )
dx
dy
6) _y = coseh(f(x)) => — = -cosecA( f (x)).ctgh( f(x)). f ' ( x )
dx
7) j = örc. senh(/(x)) => — = •
a/ / 2W + 1
¿V + f (*) 
8) j; = <2rc.cosh(/(x)) => — = •
¿¿r ¿ í 2(x)~ 1
dy f ' ( x )
9) _y = arc. tgh(/(jr))=> — = —— ----- , -1 < f(x) < 1
dx l - f (x)
dy f ' ( x )
10) y = arc .c tgh (/(x )) => — = —:— ---------------------- , (f(x>) > 1
dx 1 - f { x )
i n u n n d y * / '( * )11) y = arc.sec h ( f (x ) ) => — =
12) y = arc. cos e c h ( f (x))
dx f ( x ) ^ l - / 2(x) 
dy - f ' ( x )
dx |/(x ) |V l + / 2W 
TABLA DE INTEGRALES
1) fa d x = ax + c 2) j kf(x)dx = k j f ( x ) d x
3) f d ( / ( x ) ) = / ( x ) + c 4) j ( f (x )± g (x ))d x = j f ( x ) d x ± j g(x)dx
f Xn+* r i/n+*
\ x ndx = ----- + c, « * - 1 6) i undu = ------- + c, n * -1
J «+1 J n + \
5)
7) = Ln\u\ + c 8) j" e“du = eu+ c
9)
512
L udu = ^ — +c, a > 0, a * l 10) \ ~ * U - = l a r e t g -
J Ina J a 2 + w2 a a
+ c
ID 
I Si
15)
16)
17)
18) 
*19)
21)
23)
25)
27)
29)
31)
33)
35)
37)
38)
1 ; u - a 12) f d u ----— Ln
u + a
— Ln 
2 a u + a
+ c i a 2 - u 2 2a u - a
du i u \ , s ..—= = = = = -= arc.sen(—) + c 
I 2 2 aV a —u
i duV - 7 a 2
J a " - ¿/
r_ _ i
f ^ L - = i l + V ¡ W 
1
_ ______ 2 *
J J a 2 - i c du --- " \/a' - h ’ + y «« . sen ̂ + c
j Vm2 - "a2 dit = >/«" - a2- * - 1—- Lnu + ̂ u2 - a2 +
jV î/2 +a2 dit = ^ 4 î (
Jscn = -ÇOSM.+ 6*
J tg il du = - L/?jcob 4 + c‘
+ c
= Ln u +'yliF~+a* + 6*
+ a" +— Ln u + \ ¡/' + a +:c
! + c
20) Jcoshc/w = senw + c
22) J c tg udu = ¿«|sen «[+ c
Jscc udu = /.«¡sec w + Ig u\ + C 24) J cos ecudu = Z.«|cos ecu - c tg w| + c
26) Jcos ec2udu = -c tg u + c
28) J cos ecu. c tg udu = - cos ecu + c
30) Jcosh udu = senh u + c
32) Je tgh z/c/z/ = I^ |sec hu\ + c
34) Jcos ech2 udu — - c tgh u 4- c
Jsec hu. tgh udu = - sec />« + c 36) j cos edi «. c tgh udu = - cos ecA » + c
r „ fa sen(¿>z/) - b cos(bu))
\e au scn(bu)du = -----------
f , /m (ùfCosèw + èsen(ÔM))
j euU cos(bdt)du ~-:e' —
Jsec'' u du - tgw 
J sec u tg z/ c/i/ -- sec £/ + c 
J senh udu = cosh + c 
Jtgh udu - ¿wjcosh m| + c 
J sec h udu — tgh u + c
a2 +b2
- c
	EL SOLUCIONARIO