ecuaciones_diferenciales

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v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 
 
 
v APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER 
ORDEN 
 
v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO 
ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS 
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. 
 
v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 
SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS 
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. 
 
v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO 
ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR) 
 
 
Escuela Superior Politécnica del Litoral 
 
Solucionario de Problemas 
de Ecuaciones 
Diferenciales 
Primer parcial (3ra versión) 
Roberto Cabrera 
 
09 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
2
Ecuaciones Diferenciales separables 
 
Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: ���� � ���� �� 
 
Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa 
ecuación diferencial de la siguiente manera: 
 ���� � ����	��� 
Donde 
��� �� se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la 
variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta 
ecuación diferencial: 
 ���� � ����	��� 
 ��	��� � ������ 
 � ��	��� � � ������ 
 
Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma: ���� � ���� � � 
 
 
1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial: 
 
00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++ 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
c4xln5x3yln5y
4x
dx5dx
3y
dy5
dy
4x
dx5
4x
dx4x
3y
dy5
)3y(
dy)3y(
4x
dx1x
3y
dy2y
ecuación la de lados ambos a Integramos
4x
dx1x
3y
dy2y
);x(g)y(f
4)2)(x-(y
1)-3)(x(y
dx
dy
2)-4(y2)-x(y
3)(y-3)x(y
dx
dy
8-4y2x-xy
3-y-3xxy
dx
dy
++−=+−
+
−=
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
−
=
+
−
⇒
+
−
=
+
−
=
+
+
=
+
++
=
+
+
=
∫∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
∫∫
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
3
[ ]
( )[ ]
[ ];)e(2arctany
:es particularsolución La
1;KK;
4
$tan
arctan(K);$/4
;Ke2arctan$/4
$/4; y(0)si
;K)e(2arctany
:es generalsolución La
K;)e(2tan(y)
;ee
c;e23lntan(y)ln
: v yu doReemplazan
3x
0
3x
3x
ce23lntan(y)ln
x
x
−=
=⇒=





=
−=
⇒
=
−=
−=
=
+−=
+−
;ce1ln2eln2
e
2eye
:es general implicitasolución La
;
)e(1e
dxeye
;ce1ln2eln2
e
2
)e(1e
dx
;cu1ln2uln2
u
2
)u(1u
du2
;
u1
du2
u
du2
u
du2
)u(1u
du2
;du
u1
1
u
1
u
12
)u(1u
du2
1;C 1;- B 1; A
:son CB,A, de valoreslos Donde
;
u1
C
u
B
u
A
)1u(u
1
:obtenemos parciales fracciones por Integrando
x/2x/2
x/2
yy
x/2x/2
yy
x/2x/2
x/2x/2x/2
2
22
22
22
+++−−=−⇒
+
=−
+++−−=
+
⇒
+++−−=
+
⇒
+
+−=
+
⇒












+
+−=
+
⇒
===
+
++=
+
∫
∫
∫
∫ ∫∫∫
∫∫
2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: 
Si Si Si Si ;)(y
4
0
π
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial: 
 
0000
))))eeee(1(1(1(1eeee
dxdxdxdx
ydyydyydyydyeeee
x/2x/2x/2x/2yyyy
x/2x/2x/2x/2 =
+
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫∫∫
∫
∫∫
+
=
+
=
+
⇒
=⇒=
=⇒=
=
+
+
=
=
+
=
=
+
=
+
=
)u(1u
du2
)uu(1
u
du2
)e(1e
dx
;
u
du2dxudx
2
1du
;dxe
2
1dueu
?
)e(1e
dx
;
)e(1e
dxdyye
;
ye
1)y(g
;
)e(1e
1)x(f
);y(g).x(f
)yee(1e
1
dx
dy
;
)e(1e
dxydye
2x/2x/2
2/x2/x
x/2x/2
x/2x/2
y
y
x/2x/2
yx/2x/2
x/2y
x/2
c;v3lnuln
;
v
3dv
u
du
:doReemplazan
dx;edve2v
(y);secdutan(y)u
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
f(x).g(y);
(y))sece(2
tan(y)3e
dx
dy
tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2
0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e
xx
2
x
x2
x
x2
2x
x
x2x
2xx
+=
=
⇒
−=⇒−=
=⇒=
−
−=
−
−=
=
−
−
=
−=−
=−+
∫∫
∫∫
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
4
 
 
4. - Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial: 
 
0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy ====++++−−−−−−−− −−−−
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
;
!1n21n2
y
dy
!1n2
y
dy
!1n2
y
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
!1n2
y
:emplazandoRe
;
!1n2
y
y
)y(senh
!1n2
y
)y(senhSi
dy
y
)y(senh
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y
)y(senh
)y(senh
2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;
)xln(1x
)xln(
)ee(
y2
)y(f
);x(g).y(f
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee(
0n
1n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
1n2
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
∑∫∑
∑
∫∫∑
∑∑
∫∫
∫∫
∞+
=
+∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
++
=
+
+
+
=
+
+
=⇒
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+−
=
+
=∧
−
=
=
+−
=
=+−
:que obtenemos Integrando
 
:potencias de series usar debemos integrar Para
:siguiente lo tenemos entonces que observamos Si
:obtiene se ecuación la de lados ambos a Integrando
g(x) 
 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
5
( )
( )
( )( )
( )
C
3
2
!1n21n2
y
;C
3
2dx
C
3
2
;Cz
3
z2
z
;
z
;duzdz2u1
;dx
Si
?dx
dx
31n2
3
3
3
+








+−
+
=
++
+








+−
+
=
+
⇒
+








+−
+
=
+
⇒
+





−==⇒
=
+
⇒
=⇒+=
+
=
+
⇒
=⇒=
=
+
+
∑
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∞+
=
+
ln(x)1
ln(x)1
:es implícita forma de general solucion La
ln(x)1
ln(x)1
ln(x)1x
ln(x)
u1
u1
u1
udu
21)dz-(z
1)2zdz-(z
1)2zdz-(z
u1
udu
z Ahora
u1
udu
ln(x)1x
ln(x)
x
dx
duln(x)u 
ln(x)1x
ln(x)
:
ln(x)1x
ln(x)
 integrando Ahora
0n
2
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
6
 
Ecuaciones Diferenciales Lineales 
 
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma: 
 
g(x);p(x)yy' =+ 
 
Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones: 
 
Ø El método del factor integrante. 
Ø Método de variación de parámetros 
 
 
El método del factor integrante: 
[ ]
[ ]
[ ]
;u(x)g(x)dx
u(x)
1y
;u(x)g(x)dxu(x)y
;u(x)g(x)dxu(x)yd
u(x)g(x);u(x)y
dx
d
u(x)g(x);p(x)yy'u(x)
;eu(x) p(x)dx
∫
∫
∫∫
=
=
=
=
=+
∫=
=+ g(x);p(x)yy'
 
 
Método de variación de parámetros 
 
v(x);y'v'(x)yy'
v(x);yy
Asumir:
ey
p(x)dx;y
p(x)dx;
y
dy
;p(x)y
dx
dy
;p(x)y'y
;p(x)y'y
hh
h
p(x)dx;
h
h
h
h
h
h
hh
hh
++++====
====
====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
====++++
====++++
∫∫∫∫ −−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
ln
0
g(x);p(x)yy'
 
 
 
 
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫====
====
====
====
====
====
====++++
====++++
====++++++++
====++++++++
====++++
−−−−
dx;
y
g(x)
ey
v(x);yy
dx;
y
g(x)
v(x)
dx;
y
g(x)
dv
g(x);y
dx
dv
g(x);yv'(x)
g(x);v(x)yv'(x)
s:, entoncep(x)yPero y'
g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x)
g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y
g(x);p(x)yy'
:emplazando
h
p(x)dx
h
h
h
h
h
h
hh
hhh
hhh
0
0
Re
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
7
 
1) ;
ctg(x)(x)sen
xyxy'
42
3
=−2 
[ ]
;C
3
)X(ctg4
xy
;C
3
)X(ctg4
y
x
1
;C
3
)X(ctg4
C
3
)X(ctg4
dx
ctg(x)
)x(csc
3
u4
4/3
uduu
u
dudx
ctg(x)
)x(csc
;dx)x(cscdu)x(ctguSi
;dx
ctg(x)
)x(csc
dx
ctg(x)(x)sen
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1y
x
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1y
x
1d
;
ctg(x)(x)sen
1y
x
1
dx
d
;
ctg(x)(x)sen
x
x
1y
x
2y'
x
1
;
x
1xeee)x(u
;
ctg(x)(x)sen
xy
x
2y'
4 3
2
4 3
2
4 34/3
4
2
4/34/3
4/1
44
2
2
4
2
42
422
422
422
42
2
22
2
2)xln()xln(2dxx
2
42
2
2








+−=
+−=⇒
+−=+−=⇒
−=





−=−=
−
=⇒
−=⇒=
=








⇒








=⇒








=




⇒








=













=




 −
====∫=
∫=
=+
=−
∫
∫∫∫
∫∫
∫
∫∫
−
−−− −
:esl diferencia ecuacion la degeneral soluciónLa
 
:ecuación la de lados ambos a u(x) integrante factorel emosMultipliqu
eu(x):u(x) integrante factorel sEncontremo
:integrante factordel métodoel aplicar podemos tanto lo Por
g(x);p(x)yy' forma la Tiene
p(x)dx
 
 
 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
8
2) 


≥
<≤
===+
2x ;2x -
2x0 ; 
p(x) 1;y(0) 1;p(x)yy'
1
 
Para el intervalo 2x0 <≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1p(x)= : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
2;x para 
:potencias de seriesusar
 snecesitamo integrar para Pero
lineal) dif. (Ec. 1;y'-2xy
-2x;p(x) 2,x para Ahora
>+
+
−
=⇒
+
+
−
=⇒
−
=⇒
=⇒=
=
=
=∫=
=
=≥
∑
∑
∫∑
∫∫∫
∞+
=
+
∞+
=
+
−
∞+
=
−
−
−−−−
−
−
−−
−−
;ke
!n)1n2(
x1ey
;k
!n)1n2(
x1ye
;dx
!n
x1ye
dxe
;dxeye;dxe)ye(d
;e
dx
)ye(d
);1(exy2y'-e
;ee)x(u
2
0n
x
1n2n
x
2
0n
2
1n2n
x
0n
n2n
x
x
xxxx
x
x
xx
xxdx2
22
2
2
2
2222
2
2
22
2
2x0 para 
 
); separabledif. (Ec. 
<≤=⇒
=⇒−=
=
−=
=−
=
+−=−
+=−−
=
−
⇒=
−
−=⇒=+
=+
−
−
+−−
∫∫
1y
;0k;ek11
;1)0(yPero
;ek1y
;eky1
;ee
Kxy1ln
;Cxy1ln
;dx
y1
dy
dx
y1
dy
;y1
dx
dy
;1y
dx
dy
;1y'y
1
1
0
1
x
11
x
1
Kxy1ln
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
!n1n2
21
2
e
1
k
;
!n1n2
221
e
1
k;ke
!n1n2
221
e1
;ke
!n1n2
221
e1;ke
!n1n2
21
e1
;ke
!n1n2
x1
e1
;yy
);x(f)x(f
0n
n2n
42
0n
n2n
422
4
0n
n2n
4
2
4
0n
n2n
4
2
2
0n
1n2n
2
2
x
0n
1n2n
x
2x2x
2
2x
1
2x
axax
22
22
limlim
limlim
limlim
∑
∑∑
∑∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
+
→→
→→
→→
+
−
−=⇒
+
−
−=⇒=
+
−
−⇒
+
+
−
=⇒+
+
−
=⇒






+
+
−
=⇒
=⇒
=
+−
+−
+−
:dice condición Esta
:funciones dos ded continuida de condición
 la usaremos k encontrar para Ahora 2
( ) ( )
( )



≥





+
−
−+
+
−
<≤
=
∑∑
∞+
=
∞+
=
+
2x 
2x0 ;
:enciacorrespond de regla siguientela
 con expresada queda soluciónLa
;
!n1n2
212
e
1e
!n)1n2(
x1e
1
y
0n
n2n
4
0n
x
1n2n
x 22
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
9
 
3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: 
xe
y
dx
dy
y 2+
=
 
 
Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto 
a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra 
variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = . 
( )
( )
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫∫
∫∫
=⇒=
=⇒=⇒=
=





−⇒=−
=
=⇒==
∫
=−=
∫=
=+
=+
=−⇒=−−⇒
=−−≡=−−
=+
=+
−
−−−
−
−
−
dy
y
eydy
y
exy
dy
y
exydy
y
exy
y
exy
.
y
e
y
x2'x
y
e
y
x2'x
e;
y
2)y(p
;
;g(y)p(y)xx'
;
y
e
y
x2
'x;0
y
x2
y
e
'x
;0x2e'yx;0x2e
dy
dxy
;
dy
dxyx2e
;ydxdyx2e
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
y
xy
y
yln2
yy
yy
y
y
2
x 
 d d 
dy
d
 y y 
:ldiferencia ecuaciónla de lados ambos ayu(y) integrante factor elndoMultiplica
yu(y) yeu(y) s entonce
eu(y)
: yde depende ahoraintegrante factor El*
:integrante factor del método elApliquemos
:nteindependie variablela y esAhora
g(y);p(y)xx' forma la Tiene
 
 
2-
dy
d
2-
2-
2-2-
dy
y
2
p(y)dy
4434421
 








+
−
++−−==








+++=
=⇒=
∑∫
∫ ∫ ∑∑
∑∑
∞+
=
−
∞+
=
−∞+
=
−
∞+
=
−∞+
=
;C
!n)2n(
y
)yln(
2
1
y
1
y2
1
dy
e
y)y(x
!n
y
y!2
1
y!1
1
y!0
1
dy
!n
y
!n
y
y
e
!n
y
e
dy
e
3n
2n
2
y
2
3n
3n
23
0n
3n
0n
3n
0n
3
yn
y
y
2
3
3
y
y
:potencias de series usamos 
y
 integrar Para
 
 
 
 
La solución es: 








+
−
++−−= ∑
+∞
=
2
3n
n
2 yC
2)n!(n
y
ln(y)y
2
1y
2
1x 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
10
 
4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 
;0==− y(1) ;sen(ln(x))xyxy' 2 
 
Utilizando el método del factor integrante: 
;x)x(u
;eee)x(u
;
x
1e)x(u
e)x(u
;(x))lnxsen(
x
y
y'
;(x))lnsen(xyxy'
1
)xln(dxx
1
dx)x(p
dx)x(p
;dx)x(p
2
−
−∫−∫
∫
∫
=⇒
===⇒
−==⇒
=
=+
=−
=−
p(x) donde ;
: entoncesg(x),p(x)y y'forma siguiente la Tiene
 
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫
∫
∫∫
=
=
=⇒=⇒=
=−
−
−−−
−−−
−
(x))dxlnsen(xy
(x))dxlnsen(yx
(x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yx
dx
d
;(x))lnxsen(x
x
y
xy'x
1
111
1
yx
dx
d
11
1
 
:obtiene se ldiferencia ecuaciónla de lados ambos aintegrante factor elndoMultiplica
4434421
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
;Cx
2
))xcos(ln())x(ln(senx
y
C
2
))xcos(ln())x(ln(senx
xy
;C
2
))xcos(ln())x(ln(senx
dx))x(ln(sen
;C
2
)zcos()z(sene
dze)z(sen
dze)z(sen
;dze)z(sendx))x(ln(sen
;dzedx
;;xdzdx
;
x
dx
dz);xln(z
?dx))x(ln(sen
2
z
z
z
z
z
+
−
=



 +
−
=⇒
+
−
=⇒
+
−
=
=
=
==
=⇒=
=
∫
∫
∫
∫∫
∫
:que obtenemos partes por integrando ,
ex Pero
 
z
 
 
[ ]
[ ]
[ ]
;
2
1C;C
2
10
;C
2
)0cos()0(sen
0
);1(C
2
))1cos(ln())1(ln(sen1
0
;0)1(y
;Cx
2
))xcos(ln())x(ln(senx
y
2
2
=⇒+−=⇒
+
−
=⇒
+
−
=⇒
=
+
−
=
= 0; y(1)si particular solución la ahorasEncontremo
[ ]
2
x
2
cos(ln(x))sen(ln(x))xy
: essolución La
2
+
−
=
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
11
Ecuaciones diferenciales Exactas 
 
Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma: 
0;y)F(x,
:es soluciónla Donde
h(x);y)H(x,y)F(x,
:obtiene seforma, misma la de procedemos y elige seSi
:es solucíonLa
:Entonces
y).F(x, de constante La
y);N(x,
y
y)F(x,
 con igualando Luego
:y a respecto con y)F(x, derivando Luego
:obtiene sey),M(x, escogemos Si
:quetal y)F(x,
:existe Entonces
x
y)(x,
y
y)M(x,
: siexacta Es
0;y)y'N(x,y)M(x,
=
+=
=
∂
∂
=+
=
+=
=
−=
=+
=
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂=∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=+
∫∫
,N(x,y)
y
F(x,y)
;0h(y)G(x,y)
;0F(x,y)
h(y);G(x,y)F(x,y)
)y(h
G'(x,y);N(x,y)h'(y)
N(x,y);h'(y)G'(x,y)
);y('h)y,x('G
y
)y,x(F
h(y);G(x,y)F(x,y)
;xM(x,y)F(x,y)
M(x,y)
x
F(x,y)
x
)y,x(F
N(x,y);
y
F(x,y)
M(x,y);
x
F(x,y)
;NM
;
N
xy
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
12
1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 
( ) 0dyxxln(x)
y
e
xdx4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
43
xy
3 =





−+−+





−++− 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
);x(hxy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx)y,x(F
;
!nn
yx
)yln(y
!n
yx
y
1
y
y
e
;
!n
yx
y
1
!n
yx
!n
xy
y
1
y
e
y
y
e
);x(hxy)xln(yxy
y
e
yx)y,x(F
;yx(x)lnx
y
ex(F(x,y))
y;x(x)lnx
y
ex(F(x,y))
x;(x)lnx
y
ex
y
(F(x,y))
x;(x)lnx
y
exFy
Si
Existe
NxMy
;(x)lnex4Nx
)y,x(N
;(x)lnex4M
;4xx(x)lny
x
eyx4M(x,y)
1n
nn
4
1n
nn
1n
1nnxy
1n
1nn
0n
1nn
0n
nxy
xy
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy3
xy3
y
3
xy
3
+−+−−=
+=∂






+=∂





+===
∂





+−+∂





−=
∂





−+−=∂
∂





−+−=∂
−+−=
∂
∂
−+−=
=



=
=
⇒
=
+−=
−+−=
+−=
−++−=
=





−+−+





−++−
∑
∑∫ ∑∫
∑∑∑
∫
∫∫
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
:potencias de seriesusa se integrar Para
:ecuación la de lados ambos a integrando Entonces
: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy 
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
 donde y),F(x, función una 
exacta; esl diferencia ecuacion la entonces ;
x;xln(x)
y
e
x
0y'xxln(x)
y
e
x4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
4
xy
43
xy
3
 
 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
13
( )
( ) ( )
( )( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ;0C4x
7
4x
3xy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx
;C4x
7
4x
3xy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx)y,x(F
;C4x
7
4x
3)x(h
;Cz
7
z
3)z(h
;dzz4z3)z(h
;dzz3z4z)z(h
;4zx
4xz
;dxdzz3;4xz
;dx4xx)x(h
;4xx)x('h
;4xx(x)lny
x
eyx4)x('h)xln(y
x
eyx4
:
);x('h)xln(y
x
eyx4Fx
);x('hy)xln(yy
!n
yx
yx4Fx
);x('hy)xln(1y
!nn
yxn
yx4Fx
;4xx(x)lny
x
eyx4Fx
43
73
1nnn
4
43
73
1n
nn
4
43
73
4
7
36
23 33
3
3
23
3
3
3
xy
3
xy
3
xy
3
1n
n1n
3
1n
n1n
3
3
xy
3
=








+−+
−
+−+−−
=








+−+
−
+−+−−=








+−+
−
=






++=
+=
+=
+=
−=
=⇒−=
−=
−=
−++−=++−
++−=
+−++−=
+−++−=
−++−=
=
=
∑
∑
∫
∫
∫
∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−
:decir es 0,y)F(x, simplicitae soluciónLa
:Entonces
:h(x) Obteniendo
:términos Eliminando
Fx doreemplazan Entonces
y);M(x,Fx
: siguientelo obtiene seentonces M,Fx siAhora
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
14
2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 
0y'
2y
y
yx1)ln(xx2xyxy
1x
xy
y 8
3
222 =





−
++++−+




 +
+
− ; 
2y
y
yx1xlnxxy2N(x,y)
xy
1x
xy
yM(x,y)
8
3
2
22
−
++++−=
+
+
−=
 
);y('hyx1xlnxxy2Fy
);y(h
2
yx
1xlnyxyxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
1
yxyxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
11x
yxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
x
yxy)y,x(F
x;xy
1x
xy
y(F(x,y))
xy
1x
xy
y
x
(F(x,y))
;xy
1x
xy
yM(x,y)Fx
Si
Existe
;NxMy
;xy2
1x
x
y2Nx
;xy2
1x
1x1
y2Nx
;xy2
1x
1
1y2Nx
xy2
1x
x
y2My
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
++++−=
=
=
++++−=
++∂
+
+∂−=
++∂
+
−+
−=
++∂
+
−=
∂





+
+
−=∂
+
+
−=
∂
∂
+
+
−==
=



=
=
⇒
=
+
+
−=
+
+
−−
+=
+
+
+−=
+
+
−=
∫ ∫
∫
∫
y);N(x,Fy
: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy siAhora
: siguientelo obtiene seentonces y),M(x,Fx 
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
 donde y),F(x, función una 
exacta. esl diferencia ecuación la 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
15
( )
;0C
2y
2y
ln
28
1
2
yx
1xlnyxyxy
;C
2y
2y
ln
28
1
2
yx
1xlnyxyxy)y,x(F
;C
2y
2y
ln
28
1
)y(h
;C
2z
2zln
28
1)z(h
;K
2z
2z
ln
22
1
4
1
2z
dz
4
1
)z(h
;dyy4dz;yz
;dy
2y
y
)y(h
;dy
2y
y
)y(h
;
2y
y
)y('h
2y
y
yx1xlnxxy2);y('hyx1xlnxxy2
:
4
422
2
4
422
2
4
4
2
34
24
3
8
3
8
3
8
3
22
=+
+
−
++++−
=
+
+
−
++++−=
+
+
−
=
+
+
−
=








+
+
−
=
−
=
=⇒=
−
=
−
=
−
=
−
++++−=++++−
∫
∫
∫
:decir es 0,y)F(x, simplicitae soluciónLa
:Entonces
:h(y) Obteniendo
:términos Eliminando
Fy doreemplazan Entonces
 
 
3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea 
exacta, luego encuentre la solución de forma implícita: 
0y)dyN(x,dx
yx
xxy 2
1/21/2 =+





+
+− 
Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx 
( )
( )
( )
;x
yx
xxy
2
1)y,x(N
;
yx
xxy
2
1
x
)y,x(N
;
yx
xxy
2
1Nx
;MyNx
22
2/12/1
22
2/12/1
22
2/12/1
∂








+
−=∂
+
−=
∂
∂
+
−=
=
−−
−−
−−
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
16
( )
( )
( ) ;Cyx2
1xy)y,x(N
;C
u2
1
xy)y,x(N
;
u
u
2
1xy)y,x(N
;xx2u
;yxu
;x
yx
xxy)y,x(N
;x
yx
x
xy
2
1
)y,x(N
2
2/12/1
2/12/1
2
2/12/1
2
22
2/12/1
22
2/12/1
+
+
+=
++=
∂
−=
∂=∂
+=
∂








+
−=
∂








+
−=∂
−
−
−
−
−−
∫
∫
∫∫
 
( ) 0dyCyx2
1
xydx
yx
x
xy 2
2/12/1
2
2/12/1 =





+
+
++





+
+ −− 
Ahora como My = Nx; 
);y('h
)yx(2
1yxFy
h(y);yxln
2
1xy2F(x,y)
;
u
u
2
1xy2F(x,y)
x;x2u
y;xu
x;
yx
xxy2F(x,y)
x;
yx
xxyF(x,y)
x;
yx
xxy(F(x,y))
yx
xxy
x
(F(x,y))
;
yx
xxyM(x,y)Fx
Si
Existe
2
2/12/1
22/12/1
2/12/1
2
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
+
+
+=
=
=
+++=
∂
+=
∂=∂
+=
∂
+
+=
∂





+
+=
∂





+
+=∂
+
+=
∂
∂
+
+==
=



=
=
⇒
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
y);N(x,Fy
: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy siAhora
: siguientelo obtiene seentonces y),M(x,Fx 
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
 donde y),F(x, función una 
 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
17
( )
;0;KCxyxln
2
1
xy2
K;Cxyxln
2
1
xy2F(x,y)
h(y);yxln
2
1
xy2F(x,y)
;KCx)y(h
;C)y('h
;C
yx2
1
xy);y('h
)yx(2
1
yx
:
22/12/1
22/12/1
22/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
=++++
=
++++=
+++=
+=
=
+
+
+=+
+
+ −−
:decir es 0,y)F(x, simplicitae soluciónLa
:Entonces
:h(y) Obteniendo
:términos Eliminando
Fy doreemplazan Entonces
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
18
Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante 
 
exacta. esl diferencia ecuación la Ahora
:y de depende que integrante factor Un
exacta. esl diferencia ecuación la 
:esx de depende soloque integrante factor Un
:integrante factor un necesita setanto lo por exacta, nol diferencia ecuación una es Entonces
Nx;My Si
;0y'u(y)N(x,y)u(y)M(x,y)
;eu(y)
Ahora
;0y'u(x)N(x,y)u(x)M(x,y)
;eu(x)
;0'y)y,x(N)y,x(M
dx
N(x,y)
Nx-My
dx
N(x,y)
My-Nx
=+
∫
=
=+
∫
=
≠
=+
 
1) ( ) 1;y(1) Si 0;dy203y2xxydx 22 ==−++ 
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
;4
;2032),(
;4
;),(
;02032
02032
;)(
;)(
4
2032
3
3532
3
4
35324
2233
3
3
22
xyNx
yyyxyxN
xyMy
xyyxM
dyyyyxdxxy
;dyyxyxydxy
yyu
yyu
x;Nx
;yxN(x,y)
x;My
xy;M(x,y)
dy
y
dy
xy
dy
====
−−−−++++====
====
====
====−−−−++++++++
====−−−−++++++++
====
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
≠≠≠≠
====
−−−−++++====
====
====


















:ecuación la de lados ambos a u(y) andomulitiplic Luego
ee
eu(y)
:integrante factor suencontrar debemos tantoloPor 
exacta; es no ldiferencia ecuación la entonces Nx;My
3x-4x
y)M(x,
My-Nx
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
19
(((( ))))
;Cy
yyx
C;y
yyx
F(x,y)
Cy
y
yh
dyyyyh
;yyh'(y)
;yyyxh'(y)yx
yh
yx
yxF
xxyyxF
xy
x
yxF
05
22
5
22
;5
2
)(
;203)(
203
20322
);(
2
),(
;),(
;
)),((
4
642
4
642
4
6
35
35
353232
42
4
4
====++++−−−−++++
++++−−−−++++====
++++−−−−====
−−−−====
−−−−====
−−−−++++====++++
====
++++====
∂∂∂∂====
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====



====
====
∃∃∃∃
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
:Entonces
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
: talquey))(F(x,
:exacta es ldiferencia ecuación la tantolopor Nx,My
 
 
2) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-2xdy 3 =++ 
( )( ) ( ) ( )
;08y10yyx
;04y5
2
y
2
yx
;4C
;15C
;0C5
2
1
2
1
;0C15
2
1
2
11
;0Cy5
2
y
2
yx
4642
4
642
4
642
4
642
=+−+
=+−+
=
−=
=+−+
=+−+
=+−+
=
: soluciónLa
1;y(1) Si
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
20
( )[ ]
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )[ ] ( )
( )
( )
( )
( )
C)y(h
;0h'(y)
;
y
x2
h'(y)
y
x2
);y(h
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
)y,x(F
;x(x)ln1x
y
1)y,x(F
;(x)ln1x
y
1
x
))y,x(F(
;
y
2Nx
;
y
x2)y,x(N
;
y
2My
;(x)ln1x
y
1)y,x(M
;0dy
y
x2dx(x)ln1x
y
1
;0xdy2
y
1
dx-(x)ln1xyy
y
1
;
y
1
ee)y(u
ee)y(u
;e
)y,x(N
(x);lnxy3xy31My
;(x)ln1xyyM(x,y)
33
222
2
2
2
3
3
3
2
32
3
3
3
3
dy
y
3dy
)xln(1xy1y
)xln(1xy13
dy
)xln(1xy1y
(x);lnxy3xy33
dy
(x)ln1xyy
(x);lnxy3xy312
dy
)y,x(M
MyNx
22
3
2
2
2
22
3
22
=
=
−=+−
=
+−++=
∂





++=
++=
∂
∂
=



=
=
∃
=
−=
−=
−=
++=
=





−





++
=++
=
∫∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
=
++=
++=
=++
∫
−








++
++−








++
−−−








++
−−−−





 −
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talque y))(F(x,
:exacta es e.d. la tanto lo por Nx,My
:ecuación la de lados ambos a u(y) andomulitiplic Luego
u(y)
-2;Nx
-2x;
0;2xdy-dxln(x)1xyy 3
 
 
;0C
4
x)xln(
2
x
2
x
y
x
;C
4
x)xln(
2
x
2
x
y
x)y,x(F
222
2
222
2
=+−++
+−++=
:Entonces
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
21
3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222 −=++ 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) [ ]
[ ]
( )
;Cuu
3
1Cu
3
2
2
1duu
2
1)y(h
;ydy2du
;1yu
;dy1yy)y(h
;1yyh'(y)
;1yy
y
xh'(y)
y
x
);y(h)yln(x)y,x(F
;x(y)lnx2)y,x(F
;;(y)lnx2
x
))y,x(F(
;
y
x2Nx
;1yy
y
x)y,x(N
;
y
x2My
;(y)lnx2)y,x(M
;0y'1yy
y
x(y)lnx2
;0y'1yyx
y
1(y)lnxy2
y
1
;
y
1)y(u
;eee)y(u
;e)y(u
;x2Nx;1yyx)y,x(N
;)yln(1x2My
;(y)lnxy2)y,x(M
;0y'1yyx(y)lnxy2
2/3
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
222
dy
y
1dy
)yln(xy2
)yln(x2
dy
(y)lnxy2
)yln(1x2x2
dy
)y,x(M
MyNx
222
222
+=


 +==
=
+=
+=
+=
++=+
=
+=
∂=
=
∂
∂
=



=
=
∃
=
=
++=
=
=
=





+++
=+++
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
++=
+=
=
=+++
∫
∫
∫
−




 −





 +−





 −
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talque y))(F(x,
:exacta es e.d. la tanto lo por Nx,My
:ecuación la de lados ambos a u(y) multiplica seLuego
 
( )
( )
( ) ;0C1y1y)yln(x
;C1y1y)yln(x)y,x(F
C;1y1y
3
1h(y)
222
222
22
=++++
++++=
+++=
3
1
3
1
:Entonces
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
22
 
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) { (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
.integrante factor del método elpor resolver puede se que
Lineal, ldiferencia ecuación una es Esto 
:siguiente lo obtiene Se
:Bernoulli de ecuación la de lados ambos a factor el rámultiplica Se
:e variablde cambio siguiente el haciendo
lineal en convierte la se que lineal, no ldiferencia ecuación una es Esta
0,1.n donde Bernoulli, de ldiferencia ecuación una 
 : es Esto


−−−−====−−−−++++
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−
−−−−========
====
≠≠≠≠====++++
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
)(1)(1
)(1)(11
)(1)(11
1
1.
:
)()(
1
1
xgnvxpn
dx
dv
xgnyxpn
dx
dy
yn
yxgynyxpyn
dx
dy
yn
yn
dx
dy
yn
dx
dy
dy
dv
dx
dv
Donde
yv
yxgyxp
dx
dy
Sea
v
n
dx
dv
n
nnnn
n
n
n
n
4434421
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
23
La solución general es: 
;
x
K
9
2x
3
2xln(x)x
3
2
1
y
2++−−
=
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] ( )
( )
( )
( )∫
∫
∫
−−=
+−=
+−=
+−=
+−=+
=∫=
+−=+
+−=+−
+−=+−
−
−==
=
=
=+=−
=


 ++−
=++
−
−
−−−
−
−
−
−
;dx)xln(x2x
3
2vx
;dx)xln(xx2vx
;dx(x)ln1x2vx
;(x)ln1x2
dx
vxd
;(x)ln1x2
x
v2x'vx
;xe)x(u
;(x)ln12
x
v2'v
;(x)ln12
x
y
2y'y2
;(x)ln1yy2
x
y
y2y'y2
y2
;
dx
dy
y2
dx
dv'v
;yv
;(x)ln1y
x
y
y'
;0(x)ln1y
x
y
y'
;0dx(x)ln1xyyxdy-
232
222
22
2
2
222
2dxx
2
2
3
3333
3
3
2
3
3
3
 :integrante factor por oResolviend
 
:v' y v doReemplazan
:ecuación la de ambos a multiplica seLuego
;yv sustituyeSe
3;n 
n1
1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3 =++ 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
;
9
2
3
)ln(2
3
2
:
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
93
)ln(
)ln(
;
3
;);ln(
?)ln(
2
2
2
33
32
33
2
3
2
2
x
Kxxx
xy
x
Kxxx
xv
K
xxx
xvx
C
xxx
dxxx
x
v dx; xdv
x
dx
duxu
dxxx
++++++++−−−−−−−−====
====
++++++++−−−−−−−−====
++++++++−−−−−−−−====
++++−−−−====
====⇒⇒⇒⇒====
====⇒⇒⇒⇒====
====
−−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫
 y vdoReemplazan
 :solución la Despejando
 
 
2-
Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 
ESPOL 2009 
 
24
2) 1;y(1) siln(x);yyxy'
2 ==+ 
∫=
=




=−
=∫=
=−
−=−−
−
−=
==
==+
−
−−−
−
−
−−
;dx
x
)xln(
v
x
1
;
x
)xln(
dx
v
x
1d
;
x
)xln(
x
v'v
x
1
;
x
1e)x(u
;
x
)xln(
x
v'v
;
x
)xln(
yy
x
y
y'yy
y
;
dx
dy
y
dx
dv
;yyv
;
x
)xln(
y
x
y
'y
2
2
22
x
dx
2222
2
2
1n1
2
:integrante factordel métodoel por oResolviend
:ecuación la en v' y v doReemplazan
:ecuación la de lados ambos a multiplica seLuego
2;n 
 
;
Cx1)xln(
1y
;Cx1)xln(y
;Cx1)xln(v
C;
x
1
x
)xln(
-v
x
1
;
x
dx
x
)xln(
-v
x
1
;
x
1- v; 
x
dxdv
;
x
dx du(x); lnu
?dx
x
)xln(
1
2
2
2
+−−
=
+−−=
+−−=
+−=
+=
=⇒=
=⇒=
=
−
∫
∫ Integrando
 
 
 
 
 
 
 
;2C
;11C
1C-
11
=
=−
=
= :entonces 1,y(1) Si
;
2x1ln(x)
1y
:es soluciónLa
+−−
=
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 25
3) [ ] 0;dxx)(14xy1yx)dy4(1 2 =++++ 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ;x1Cx14
3
x14
y
;Cx14
3
x14v
;Cx14
3
x14
v
x1
1
;Cx14
3
x14
dx
x1
x2
;Cz4
3
z4
dz1z4
;dz1z4
z
zdz21z
2dx
x1
x2
;1zx
;dxzdz2;x1z
?;dx
x1
x2
;dx
x1
x2v
x1
1
;
x1
x2
dx
v
x1
1d
;
x1
x2
x)1(4
v2
x1
1
'v
x1
1
;
x1
1ee)x(u
;x2
x)1(4
v2
'v
;xyy2
x)1(4
yy2
'yy2
;
dx
dy
y2
dx
dv
;yyv
;xy
x)1(4
y
'y
0xy
x)1(4
1
y'y
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
x1ln
2
1dx
)x1(2
1
33
3
3
3
2n1
3
2
+++−
+
=
++−
+
=
++−
+
=
+
++−
+
=
+
+−=−
−=
−
=
+
−=
=⇒+=
=
+
+
=
+
+
=




+
+
=
++
−
+
+
==
∫
=
=
+
−
=
+
−
+−
−=
==
=−=
+
+
=





+
+
+
−
+−+
−
−
−
−
−
−−
∫
∫
∫∫∫
∫
∫
 
:ecuación la de lados ambos a 2y- multiplica seLuego
3;n 
3-
 
 
( ) ( )
;
x1Cx14
3
x14
1y
2
+++−
+
=
La solución 
general es: 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 26
 
4) ctg(x);2y4csc(2x)y3y' 1/2−=+ 
[ ]
( )
;
4
1C
;C
4
1
;C
4
;)x(Cctg)x(xctgy
);x(Cctg)x(xctgy
);x(Cctg)x(xctgv
;Cxv)xtan(
;dxv)xtan(
;dxv)xtan(
;1
dx
v)xtan(d
);x(ctg)xtan(v)x2csc()xtan(2'v)xtan(
);xtan(
)xcos()x(sen
)x(sen
2
)x2(sen
2
)x2cos(1
)x2(sen
)x2cos(1
)x(u
;
)x2(sen
)x2cos(
)x2(sen
1)x(u
);x2(ctg)x2csc()x(u
ee)x(u
);x(ctgv)x2csc(2'v
);x(ctgy
3
2y
2
3y)x2csc(
3
4y
2
3'yy
2
3
y
2
3
;'yy
2
3'v
;yyv
;
2
1);x(ctgy
3
2y)x2csc(
3
4'y
3
2
3 2
2/3
2
)x2(ctg)x2csc(lndx)x2csc(2
2/12/12/12/1
2/1
2/1
2/3n1
2/1
π
−=
+
π
=





 +
π
=
=π
+=
+=
+=
+=
=
=
=
=+
==
−
=
−
=
−=
−=
=∫=
=+
=+
=
==
−==+
∫
∫
−
−
−
−
1
1;/4)y( Si
:ecuación la de lados ambos a multiplica Se
n 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 27
;)x(ctg
4
1)x(xctgy 3
2











 π−+=
:es particular soluciónLa
 
Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma 




=
x
y
f'y
 
 
);x(xy
);x(
x
y
);x(v
;
x
dx
v)v(f
dv
;v)v(f
dx
dvx
);v(f
dx
dvxv
;
x
y
f
dx
dy
;
dx
dvxv
;
;
x
y
f
dx
dy
φ=
φ=
φ=
=
−
−=
=+





=
+=
==





=
=
:ecuación la en y' y v, doReemplazan
dx
dy
vx;y entonces 
x
y
v
:ón sustituci siguientela hace Se
:como ecuación esta expresar
puede se sihomogénea es y)f(x,
dx
dy
 ecuación la que dice Se
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 28
1)Resolver la siguiente ecuación diferencial: 
;
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
2
2






+= 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sen(2v)
8
1-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv 
sen(2v)
8
1-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
vdv cos(2v)
4
1cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv 
dv cos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
2
sen(2v)v
6
v
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
 
 cos(2v)
2
1
n sen(2v)dvdn
dv.dm vm
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv 
dv
2
2vsen(2v)
2
sen(2v)v
6
vdvcos(2v)v 
2
1dv
2
v 
vsec
dvv 
;
2
sen(2v)
n cos(2v)dvdn
2vdv;dm vm
dv
2
cos(2v)v dv
2
v dv
2
cos(2v)v
2
v 
vsec
dvv 
dv
2
cos(2v)v
2
v dv
2
cos(2v)1 v(v)dvcos v
vsec
dvv 
?
vsec
dvv
 
;
x
dx
vsec
dvv
 :rando Integ
x
dx
vsec
dvv
separable. ldiferencia Ecuación
v
vsec
dx
dvx 
vx
vsec
dx
dvx 
;
vx
vsecvv
dx
dvx 
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
:obtiene se v,
dx
dvx
dx
dy
 , 
x
y
 vxv, y, ldiferencia ecuaciónla endoReemplazan
v;
dx
dv
x
dx
dy
xv; y 
x
y
v
:que Asumiendo
23
2
2
2323
2
2
2323
2
2
23
2
2
23
2
2
2
2
2
2222
2
2
22
222
2
2
2
2
32
2
32
2
2
2
3
22
2
22
2
2
2
++=
++=





+−−+=






+−−+=−+=
−=⇒=
=⇒=
−+=






−+=+





=
=⇒=
=⇒=






+





=





+=






+=




 +==
=
==⇒



=⇒=⇒
+=+⇒






+=
+===
+=⇒
=⇒=
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫
∫∫
2
12
1
2
1
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 29
( )
;
C
C
x
y
 vdoReemplazan
 
x
1sen(2v)
8
1-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v 
x
1
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
 
x
dx
vsec
dvv
 
2
23
2
23
32
2
=
+−=++
+−=++⇔= ∫∫
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ( ) ( ) /2;y(1) si0;dyxdx2xyxy 222 24 ==−++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
La
+−=






















+


















+






2
23
x
1
x
y
2sen
8
1-
x
y
2cos
4
v
4
x
y
2sen
x
y
6
x
y
 
:por expresadaqueda implícita forma de solución 
( )
;
4
K
;Ktan
2
1
2
;K
2
xln4
tan
2
xy
;K
2
xln4
tan
2
1
x
y
;K
2
xln4
tan
2
1
v
;K
2
xln4
tanv2
π
=
=
=






+=






+=






+=






+=
2
;
2
2 y(1)Si
:obtiene se lados ambos atan Aplicando
;
42
xln4
tan
2
xy 




 π
+=
: esparticular solución La
 
( )
( )
( )
( )
( ) ;K
2
xln4
v2arctan
;Cxln4v2arctan2
;
x
dx4
2/1v
dv
;
x
dx
2/1v4
dv
;
x
dx
2v4
dv
;2v4
dx
dv
x
;2v4v
dx
dv
xv
;
dx
dv
xv
dx
dy
;xvy
;
x
y
v
;2
x
y4
x
y
dx
dy
;
x
x2y4xy
dx
dy
2
2
2
2
2
2
2
2
22
+=
+=
=
+
=
+
=
+
+=
++=+
+=
=
=
++=
++
=
∫∫
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 30
3) 0;x donde 0;)y(x ;yxydx
dy
x 00
22 >=−+= 
>/4;y(1)==== 
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
;
x
y
1
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
2
2
2
22
22
+=
=
=
−+=
−
+=
−
+=
:asume Se
 
 
 
4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−− 
 
( )
( )
( )
;
x
y
lnx
y
dx
dy
;
(x)ln(y)lnx
y
dx
dy
;0ydxdy(x)ln(y)lnx
;0ydxdy(y)ln(x)lnx












−=
−
−=
=+−
=−−
 
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
+=
=
=
:asume Se
 
 
 
La solución general de forma implícita es: 
C;xln
x
y
ln1ln
x
y
ln +−=




+− 
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;
2
ln
;
2
);(1
;ln
;ln
;ln
;ln)(
;
;1
;1
;1'
;1'
2
2
2
2





 ++++====
====
====
====
++++====
++++====
++++====
++++====
====
−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−++++====++++
ππππ
ππππ
xxseny
C
Csen
Cxxseny
Cxsen
x
y
Cxsenv
Cxvarcsen
x
dx
v
dv
v
dx
dv
x
vxv
vvxvv
:espaticular solución La
1;y(1) Si
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;ln)ln(1lnln
;ln1ln
;ln
1
1
;ln
1
;
);ln(
;
)ln(1
)ln(
;
ln
)ln(1
;
ln
'
;
ln
'
Cxvv
Cxuu
Cxdu
u
du
Cxdu
u
u
v
dv
du
vu
x
dx
dv
vv
v
v
vv
dx
dv
x
v
v
v
xv
v
v
xvv
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====





++++
−−−−
++++−−−−====





++++
====
====





−−−−====





++++
++++−−−−
====
−−−−−−−−====
−−−−====++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 31
 
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales 
 
1) 
( )
( ) ;4y2x
5x2y
dx
dy
−−
+−
= 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
;z
z2
1z2
du
dz
u
;
z2
1z2
du
dz
uz
;
du
dzuz
du
dv
;zuv
;
u
v
z
;
u
v2
1
u
v2
du
dv
;
vu2
uv2
du
dv
;3h
;1-k
;04kh2
;05hk2
4kh2vu2
5hk2uv2
du
dv
;
4kvhu2
5hukv2
du
dv
;
du
dv
dx
dy
;kvy
;hux
;41
);2(2)1)(1(
;baba
;0dy4yx2dx)5y2x(
1221
−
−
−
=
−
−
=+
+=
=
=
−
−
=
−
−
=
=
=



=−−
=+−
−−+−
+−+−
=
−+−+
++−+
=
=
+=
+=
≠
−−≠
≠
=−−−−−
:homogéneal diferencia ecuación una como oResolviend
:homogénea ecuación una obtener poder para u, para oDivivdiend
:Entonces
:el sistema oResolviend
;
obtiene seecuación, la en y'y,x, doReemplazan
:asume Se
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 32
 
 
( )
( ) ;u
du
1z
dz2z
;
z2
zz21z2
du
dzu
2
2
−=
−
−
−
+−−
=
 
( )
( )
( )
( )
;Culn
1z
1z
ln1zln
2
1
;
u
du
1z
dz2
1z
dzz
2
22
+−=
+
−
−−
−=
−
−
− ∫∫∫
 
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
;C3xln1
3x
1y
ln
2
11
3x
1y
ln
2
3
;3xu;hxu
;1yv;kyv
;Culn1
u
vln
2
11
u
vln
2
3
;Culn1zln
2
11zln
2
3
;Culn1zln1zln1zln
2
1
1zln
2
1
;Culn
1z
1zln1z1zln
2
1
;Culn
1z
1zln1zln
2
1 2
+−−=




 −
−
+
−




 +
−
+
−=⇒−=
+=⇒−=
+−=




 −−




 +
+−=−−+
+−=++−−++−
+−=
+
−
−+−
+−=
+
−
−−
:es implícita forma de soluciónLa
 
 
 
 
2) ( ) ( ) 0;dy37y3xdx77x3y =−−−+− 
( )
( )
( )
;
3y7x3
7y3x7
dx
dy
;
du
dv
dx
dy
;kvy
;hux
;949
);3(3)7)(7(
;baba 1221
++−
++−
=
=
+=
+=
−≠−
−≠−
≠
:Usando
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 33
( ) ( )
( ) ( )



=++−
=++−
++−+−
++−+−
=
++++−
++++−
=
;03k7h3
;07k3h7
3k7h3v7u3
7k3h7v3u7
du
dv
3kv7hu3
7kv3hu7
du
dv ;
:y' y yx, doReemplazan
 
;
u
v
z
;
u
v73
u
v37
du
dv
;
v7u3
v3u7
du
dv
;1h
;0k
=
+−
+−
=
+−
+−
=
=
=
:el sistema oResolviend
 
 
;z
z73
z37
du
dz
u
;
z73
z37
du
dz
uz
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
−
+−
+−
=
+−
+−
=+
+=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;
1
7
1
6
1
7
;1ln7
1
6
1
7ln
;ln767ln
;ln767ln
;ln
2
767ln
;ln
767
614
14
7
;
767
614
14
7
;33614
14
7
37
;614;767
;
767
37
;
37
767
;
73
7337
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
−−−−
====++++
−−−−
−−−−





−−−−
++++−−−−−−−−====++++
−−−−
−−−−





−−−−
++++−−−−====++++−−−−





++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====
++++−−−−
++++−−−−====
++++−−−−
−−−−
====
++++−−−−
++++−−−−====−−−−
====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====
−−−−
====
++++−−−−
−−−−
−−−−
++++−−−−
−−−−====
++++−−−−
−−−−++++++++−−−−
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
x
C
x
y
x
y
Kx
x
y
x
y
Ku
u
v
u
v
Kuzz
Cu
zz
Cu
zz
dzz-
u
du
zz
dzz-
z-z
z-duzzu
u
du
zz
dzz
z
zz
du
dz
u
z
zzz
du
dz
u
:es implícita formade solución La
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 34
 
3) ( ) ( ) 0;yx1y'5xy =−−−−− 
 
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
;
5xy
yx1
dx
dy
;kvy
;hux
;11
;1111
;baba
;0y'5xy-x-y1
1221
−−
−−
=
+=
+=
−≠
−≠−−
≠
=−−−
 
Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación: 
( ) ( )
( ) ( )
;
5khvu
1khvu
du
dv
;
5hukv
kv-hu-1
du
dv
−+−+−
+−−−−
=
−+−+
++
=
 
;
du
dzuz
du
dv
;zuv
;
u
vz
;
u
v1
u
v1
du
dv
vu
vu
du
dv
;3k
;2-h
;05kh
;01kh
+=
=





=
+−
−−
=
+−
−−
=
=
=



=−+−
=+−−
:ecuaciones de el sistema oResolviend
 
;
z1
zzz1
du
dz
u
;z
z1
z1
du
dzu
;
z1
z1
du
dz
uz
2
+−
−+−−
=
−
+−
−−
=
+−
−−
=+
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 35
( )
( )
;C2xln
2x
3y
arctan1
2x
3y
ln
2
1
;Culn
u
varctan1
u
vln
2
1
;Culn)zarctan(1zln
2
1
;
u
du
1z
dz1z
;
1z
1z
du
dzu
2
2
2
2
2
++−=





+
−
−+





+
−
+−=




−+





+−=−+
−=
+
−
−
+
−=
∫∫
:esl diferencia ecuación la de implicita soluciónLa
 
 
Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by) 
 ���� � 	��� � ��� 
Se asume el siguiente cambio de variable � � �� � �� 
Despejando y: � � �� � �� � 
 ���� � �� ���� � �� 
Reemplazando y, y’ en: ���� � 	��� � ��� 
Se obtiene una ecuación diferencial de la forma: �� ���� � �� � 	��� �� ���� � �� � 	��� 
Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma: ���� � 	��� � ��� 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 36
1. ( ) ( ) 7/4;y(0) si;1yx1yxy' 22 =−+−++= 
( ) ( )
( ) ( )
( )
;x
4
1e2y
;2k
;
4
1k
4
7
;
;x
4
1key
;
4
1keyx
;
4
1kez
;ke1z4
;Cx41z4ln
;Cx1z4ln
4
1
;dx
1z4
dz
;1z4
dx
dz
;11z2z1z2z
dx
dz
;1z1z1
dx
dz
;1yx1yxy'
;1
dx
dz
dx
dy
;xzy
;yxz
x4
x4
x4
x4
x4
2
1
22
22
22
−−=
=
−=
=
−−=
−=+
−=
=+
+=+
+=+
=
+
+=
++−−++=
−−+=−
−+−++=
−=
−=
+=
∫∫
:es particular soluciónLa
4
7
y(0) Si
: sustituyeSe
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 37
2. ;y(0) siy);(xtany' 2 π=+= 
;2x4)y2x2(seny2x2
;2k
;K)2(sen2;Kx4)y2x2(seny2x2
;Cx
4
)y2x2(sen
2
yx
;Cx
4
)z2(sen
2
z
;Cxdz
2
)z2cos(1
;Cxdz)z(cos
;dx
)z(sec
dz
);z(sec
dx
dz
);z(tan1
dx
dz
);z(tan1
dx
dz
);yx(tan'y
;1
dx
dz
dx
dy
;xzy
;yxz
2
2
2
2
2
2
π+=+++
π=
=π+π
π=
+=+++
+=
+
+
+
+=+
+=




 +
+=
=
=
+=
=−
+=
−=
−=
+=
∫
∫
∫∫
:es particular soluciónLa
;y(0) Si
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 38
3. 5;52y-10xy' −+= 
;Cx105y2x10ln105y2x10
;y2x10z
;Cx105zln105z
;105zln105z
5220
dz
;10uln10u
u10
udu
;
10u
du10du
10u
udu
;
10u
101
;
10u
udu
u10
udu
;
u10
udu
u220
udu2
5220
dz
;dzudu2
;5zu
;dx
5220
dz
;5220
dx
dz
;1052
dx
dz10
5
dx
dz
2
15
;
dx
dz
2
15
dx
dy
;
2
z
2
x10y
;y2x10z
2
+=−+−−+−−
−=
+=−+−+−
−+−+−=
+−
−−−=
−
−
−−=
−
−
−
+=
−
−=
−
−
=
−
=
+−
=
+=
=
+−
+−=
−+=−
−+=−
−=
−=
−=
−+=
∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
:es explicita forma de solucionLa
:integrales las oeemplazandR
z
10-u
u
10;-u para u Dividiendo
z
z
z
z
5;z
5;52y-10xy'
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 39
4. ( ) ( ) 0;dy12y4xdxy2x =−+−+ 
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ;Cx2yx25ln
25
1yx2
5
2
;Cx2z5ln
25
1z
5
2
;dx
2z55
dz
5
dz2
;
2z55
1
5
2
;dx
2z5
dz1z2
;
1z2
1z22z
dx
dz
;2
1z2
z
dx
dz
;
1z2
z2
dx
dz
;2
dx
dz
dx
dy
;x2zy
;yx2z
;
1yx22
yx2
dx
dy
;44
1422
baba 1221
+=−+−+
+=−−
=
−
−
−
−=
=
−
−
−
−+
=
+
−
=
−
=−
−=
−=
+=
−+
+
=
−=−
−=−
=
∫∫∫
:es implícita forma de soluciónLa
2-5z
1-2z Dividiendo
:doReemplazan
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 40
Ecuaciones de Primer Orden 
Aplicaciones 
 
1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a 
80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura 
está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de 
50ºC. 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) min67.20
0453.0
74
29
ln
502174
º50min
2174
min
º
0453.0
5
74
59
ln
8021745
º80min5
2174
74219595210
º950
21
º21
ln
1
0453.0
1
1
0453.0
5
0
1 =
−






=→=+=
∴=
+=
−=






=→=+=
∴=
+=
=−=→=+=
∴=
+=
∴
+=
+=−
=
−
−=
−
−
∫∫
tetT
Caestácaféeltten
etT
C
keT
Caestácaféelten
etT
CCeT
Caestácaféelten
CetT
Cescuartodelatemperaturlaquesabemos
TCetT
CktTT
kdt
TT
dT
TTk
dt
dT
t
t
k
kt
k
kt
a
kt
a
a
a
 
 
2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico 
encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula 
donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante 
de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y 
media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el 
momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de 
Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte? 
( )
( )
( )
( )aula del aTemperatur 
cuerpo del aTemperatur 
tiempo al respecto con atemperatur la de Variación :
dt
dT
dt
dT
:Newton de toenfriamien deLey 
:T
:T
TTK
a
c
ac −−=
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 41
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ;
5.1t
9924.1k9924.15.1tk
11
5.1ln5.1tk
;
11
5.1e5.1e115.2726e11)5.1
;
t
7047.1k7047.1kt
11
2lnkt
;
11
2e2e112826e11)
C28)Si
26e11)t(T
26C
s: C entonce37ir era de tes de moreratura anSi la temp
26Ce)t(T
26Ce)t(TCe26Te
CKt26TlKdt 
26T
dTKdt 
26T
dT
;26TK
dt
dT
 C5.27)5.1T(t
1
11
5.1tK5.1tK5.1tK
1
11
KtKtKt
Kt
c
Kt
c
Kt
c
Kt
c
CKt26Tl
c
cc
c
1
111
111
c
2) (ecuación 
 T(t
C 27.51.5)T(t Si
1) (ecuación 
 T(t
 T(t 
11C 37
C; 37T(0)
;
; e 
n 
1.5.t :entonces seráC 27.5 de es atemperatur la que en tiempo El
C. 27.5 a desciende cuerpo del atemperatur la mediay hora una de Después
C 28)T(t
.t es C 28 de es atemperatur la que en tiempo El
C. 28 es hallado es cuando cuerpo del atemperatur La
C 26T
horas. en tiempo :t
1
1
1
1
n 
1
1
1
a
+
=⇒=+⇒




=+−⇒
=⇒=⇒=+=+⇒
°=+
=⇒=⇒




=−⇒
=⇒=⇒=+=⇒
°=
+=⇒
=⇒+=
°=
°
+=⇒
+=⇒=−⇔=
+−=−⇔−=
−
⇔−=
−
−−=
°=+⇒
+°
°
°=⇒
°
°
°=
+−+−+−
−−−
−
−
−−+−−
∫∫
 
( )
 
22h06. las A
decir. es encontrado serde antes horas 8.89 murio estudiante el tanto lo Por
horas 
 .55705
t 
 
:2y 1 ecuación iguala seSi
1 89.87047.19924.1
255705.2t7047.1t9924.1
t9924.155705.2t7047.1t9924.17047.15.1t
5.1t
9924.1
t
7047.1
11
1111
11
=
−
=⇒=−⇒
=+⇒=+⇒
+
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 42
3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a 
pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la 
razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de 
infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de 
alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la 
cantidad de infectados era de 50. 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) infectados
 
infectados
35350506x
50txetx
20000
50lnk50e4x
50x4ten
etx
1
etx
4999
1C1
Ce1
Ce50000x
1x0ten
Ce1
Ce5000tx
Ckt5000
5000x
xln
Ckt
5000x
xln
5000
1kdt
x5000x
dxx5000kx
dt
dx
sanosde:#x5000
de:#x
5.16*25.0
t25.050lnt25.0
k20000
kt5000
kt5000
0
0
kt5000
kt5000
===∴
=→=
=→==∴
==
=→=
−=→=
−
−
=∴
==
−
−
=
+=





−
+=





−
⇔=
−
⇔−=
−
∫∫
 
 
4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad 
existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede 
esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento? 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 0044
16
0
4
0
4
2ln
0
0
4
0
0
00
0
0
322216
2
4
2ln
24
x2 x4en t
0
x x0en t
ln
existente cantidad :x
xxxx
xtxextx
kxexx
xCxCex
Cetx
Cktx
kd
x
dx
kx
dt
dx
tt
k
kt
===
=→=
=→==
==
=→==
==
=
+=
=
=
∫ ∫
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 43
 
 
5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una 
velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional 
a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s. 
Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para 
la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera. 
( ) ( )
( ) ( ) 





+=→





+=
+−=−→+−=−→−=
−
=−
=−
−−
∫∫
300Ce
k
1
tvmgCe
k
1
tv
Ct
m
k
mgkvlnCtmgkvln
k
m
dt
mgkv
dv
m
dt
dv
mkvmg
dt
dv
mfmg
t
30
k
t
m
k
r
 
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) 148t40e148tx
148C0C040e1480x
Ct40e148tx
Ct40e148Cdt40e37tx
Cdttvtx
dt
dx
tv
40e37tv
5.277C5.7k40
k
300
40300Ce
k
1
v
0
300k3C3300Ce
k
10v
t25.0
0
t25.0
t25.0t25.0
t25.0
0
−+=
−=→=++=
==
++=
++=++−=
+=→=
+−=
−=∴=→=→=+=∞
=∞=
−=−→=+=
==
−
−
−−
−
∞−
∫
∫
0mx ,0t en
m/s4v ,t en
3m/sv ,0t en
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a 
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40 
constante de 50Newtons
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg
a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier 
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
 
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
 
. 
 
 
a) 
 
(((( ))))
(((( ))))
 kev
ke v- ee
 C
dt
v
dv
 
 
dt
v
dv
 
dv
 v 
dt
dv
dif. sepaEcuación , v
dt
dv
, k
dt
dv
kv
kg. kgkg m
istemaotal del sm: masa t
dt
dv
mkv
ma;Fr Fmma F
 
m/seg
Newtons
Entonces k
 Newtons. tencia de a de resisy la fuerz
m/seg delocidad esComo la ve
kvFr
 NewtonsFm
aguaencia del de resistFr: Fuerza
 del motorFm: fuerza
t
-
-C
t
-v- 
x
250
25025ln
25
25
ln
25025
500252
50
250500
502500
250050
50080420
50
2
20
40
40
20
50
++++====⇒⇒⇒⇒
====⇔⇔⇔⇔====
⇔⇔⇔⇔++++−−−−====
−−−−
−−−−====
−−−−
⇔⇔⇔⇔
−−−−
⇔⇔⇔⇔−−−−====


====++++
========−−−−⇒⇒⇒⇒
====++++====
====−−−−
====−−−−⇒⇒⇒⇒====
========
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∑∑∑∑
 
 
 
 
 
 
 
maFx =∑
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a 
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza 
Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene 
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg. 
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier 
instante suponiendo que el bote parte del reposo. 
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: 
 
C
t
-v-
 
dt
v
dv
rabledif. sepa
ma;
 k 
 Newtons. 
m/seg
agua
t
-
250
250
25ln
5002
2
++++====
====
−−−−
====⇒⇒⇒⇒
 
 ev
b)
)e(t x(t)
miento es:n del moviLa ecuació
 CC )(
;)x(el reposo Si parte d
)e(t x(t)
dte x(t)
e
dt
dx
 
Entonces:
dx/dtComo v
 e v
locidad:n de la veLa ecuació
- kk 
 por partiial es cidad inicSi la velo
t
-
t
t
t
t
-
t
-
t
-
252525lim
2502525
25250250
00
2502525
252525
2525
2525
25250
0
250
max
250
250
250
250
250
====






−−−−====
++++====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====
====
++++++++====
====






−−−−====
−−−−====
====
−−−−====
====⇒⇒⇒⇒++++====
∞∞∞∞→→→→
−−−−
−−−−
∫∫∫∫
máxima o limite velocidadLa
44
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a 
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg 
ejerce una fuerza 
. En la dirección del movimiento. El bote tiene 
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier 
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. 
pies/seg
)(
miento es:
)(
;
C
C)e(t
locidad:
;)s v(so entoncer del repo por parti
t
25
25025
25025
2502525
00
250
250
−−−−
++++++++
====
−−−−
:es máxima
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 45
 
7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 
ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical. 
Hallar la corriente para t=1/5 segundos. 
( )
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ] ( )
( ) ampieti
etieti
CCei
Ceti
Cti
Cti
dt
i
di
dt
di
i
dt
di
LiRv
tt
t
301.0)5/1(3.07.0
5/1en t
3.07.0921
30
1
219
30
1
0
0i 0en t
9
30
1
30930
930ln
30
1
930
309
6
3030
0
30
=→+=
=
+=→+=
=→+=
==
+=
+−=−
+−=−
−=
−
+=
+=
−
−−
−
∫∫
 
 
8. Una Fem. de t5e200 − voltios se conecta en serie con una resistencia de 20 
Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga 
inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier 
instante de tiempo. 
5t-200efem
F 0.01C iacapacitanc :C
 carga :q
ohmios 20R aresistenci 
RC. circuito el para ldiferencia Ecuación
=
=⇒
=⇒


=+
:R
fem
C
q
dt
dq
R
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 46
( )
( ) cetecteq(t)
ctedtedteeeq(t)
dteu(t)
u(t)
1
q(t)
eeu(t)
lineal. ldiferencia Ecuación
5t5t5t
5t5t5t5t5t
5t
5t5dt
−−−
−−−−
−
−
−
−
+=+=
+===⇒
=⇒
=∫=


=+⇒
=+⇒
=+
∫∫
∫
;eq5
dt
dq
;e20q100
dt
dq
20
;e20
01.0
q
dt
dq
20
t5
t5
t5
 
5t5t
5t5t
5t5t5t
5t5t-
5t
5t
e
25
1
e
5
t
i(t)
0;i(o)
:cero es inicial corriente la entonces cero, es inicial carga la Si
e
25
1
e
5
t
i(t)
dte
5
1
e
5
t
tdtei(t)
e
5
1
v dtedv
dt;du t;u
tdteq(t)dti(t)
t;eq(t)
c0
0;q(0)
:entonces capacitor, el en cargahay no teinicialmen Si
−−
−−
−−−
−
−
−
−−=⇒
=
+−−=
+−==
−==
=⇒=
==⇒
=⇒
=
=
∫∫
∫∫
C
;
;
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 47
Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden 
 
Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y” 
 
 
1) ( ) ;y'x'y'y'3x 231 =+



 −+ x 
;''
;'
2
y
dx
yd
dx
dv
y
dx
dy
v
========
========
 
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
;2
;1
;1
;
1
3
1
1
;
1
31
1
;
11
13
1
1
1
13
1
1
1
'
1
1
;
1
1
1
1
)(
;)(
;
1
13
1
'
;131'
;01'13
013
13
13
2
2
3
2
3
2
2/1
1
1
ln
2
1
11
2
3
2
32
23
23
23
23
22
ududx
ux
xu
x
xdx
v
x
x
x
x
dx
v
x
x
d
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
v
v
x
x
x
x
x
x
xu
eeexu
x
xx
x
v
v
xxvxv
xvvxx
;v'v'-xvxx
v';xvvxx
y'';xy''y'xx
x
x
x
dx
x
dx
'
====
++++====
−−−−====
−−−−
====
++++
−−−−
−−−−
====






++++
−−−−








++++−−−−
++++−−−−
++++
−−−−
====
−−−−
++++−−−−
++++
−−−−
====





−−−−
−−−−
++++
−−−−
++++
−−−−
====
++++
−−−−
====
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
−−−−
++++−−−−
====
−−−−
−−−−
++++−−−−====−−−−−−−−
====−−−−++++−−−−++++
====++++−−−−++++
====++++



 −−−−++++
====++++



 −−−−++++
∫∫∫∫
++++
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
:ecuación la en doReemplazan
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 48
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ;ln
;ln
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
/
/
/
/
KxCxxCxxxy
KxCxxCzzxy
x
dxx
C
x
dx
Cdzzzxy
x
dxx
Czdzzzxy
zx
zx
dxzdz
xz
xz
dx
x
x
Cdxxxdxxy
x
x
Cxxx
dx
dy
dx
dy
v
x
x
Cxxxv
x
x
Cxxxv
Cxxv
x
x
Cxx
x
xdx
Cuuduu
u
uduu
x
xdx
+−−−+++−+++=
+−−−+++−+=
−
+
−
+−−+=
−
+
+−−+=
−=−
−=
=
+=
+=
−
+
+−+++=
−
+
+−+++=
=
−
+
+−+++=
−
+
+−+++=
+−+−=
+
−
+−+−=
−
++=+
+
=
−
∫ ∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
∫
∫∫
111
5
4
1
3
8
14
11
3
8
5
4
14
11
2414
1
1
22214
21
1
2
1
1
1
1
11216
1
1
11216
1
1
11216
1
1
11216
1216
1
1
1216
1
3
2616
213
1
3
225323
223523
22
2423
2
223
2
2
2
3
3
32
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 49
2) 
( )2-1 y'x y'+ =y'';
x
 
( )
( )
( )
[ ]
;
xC
x
v
;
x
xC
x
C
1v
;
x
C
1z
;Cxdxxz
;1
dx
z.xd
;
x
1
xzxx'xz
;xe)x(u
;
x
1
zx'z
;
x
v
vvxv'vv
;
dx
dv
v
dx
dz
;
;
;
x
v
vx'v
v';
x
v
vx
;''y
dx
yd
dx
dv
'v
;'y
dx
dy
v
1
1
dxx
1
2
2122
2
2
1
2
1
2
2
1
−
=
−
=+−=
+−=
+−=−=
−=
−=+
=∫=
−=+
−=−−−
−=
=
==
=−
=+
=+
===
==
−
−
−
−−−−
−
−
−
∫
−
1-
n1-
2
1-
vz
2;n vz
:Bernoulli del diferencia E.una Es
;'y'
x
y'
y'x
:ecuación la en doReemplazan
 
;KCxlnxy
;
Cx
Cdxdx
Cx
Cxy
;
Cx
xdxy
;
Cx
x
xC
x
dx
dy
+−−−=
−
−
−
−
−=
−
−=
−
−=
−
=
∫∫
∫ 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 50
 
Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x” 
Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable: 
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
v;
dx
dy
========
====
 
 
3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22 =+ (HACE FALTA X) 
 
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
;
;2
;
;;
;
1
;
1
;
;
;1
;
2
;)(
;
12
;
2
.2.2
2
;2
;
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
2
)1(1
2
1
Cuy
dyzdz
Cyu
dxdy
Cy
y
y
Cy
dx
dy
y
Cy
v
y
Cy
v
y
C
y
v
y
C
y
z
Cyzy
Cydyzy
dy
zyd
y
y
y
z
y
dy
dz
y
yeyu
yy
z
dy
dz
y
vv
y
vv
v
dy
dv
v
dy
dv
dv
dz
dy
dz
vz
vz
y
v
y
v
dy
dv
v
dy
y
−−−−====
====
++++====
====
++++
++++
====
++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
====
++++====⇒⇒⇒⇒++++====
++++====
++++========
====
====++++
====
∫∫∫∫
====
====++++
====++++
========
====
====
========++++
====++++
====++++
∫∫∫∫
−−−−
−−−−−−−−−−−−
 es variablseparando entonces 
 
 
dy
dv
:ecuación la de lados ambos a 2v ndoMultiplica
-1.n Bernoulli, de ldiferencia Ecuacion 
dy
dv
1;v2y2y
:ecuación la en'y' ,y' doReemplazan
1;y'2y'y'2y
22
22
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 51
 
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) 21
2
3
2
1
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
CyC
Cy
Kx
:es f(y)x forma la de solución la tanto lo Por
Cy u Pero
Cu
u
Kx :Entonces
 ,duCuKx entonces ,
u
uduCu
dx
dxdy
Cy
y
: en emplazandoRe
++++−−−−
++++
====++++
====
++++====
−−−−====++++
−−−−====++++
−−−−
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
 
 
4) ( ) 0;y''yy'yy' 22 =−+ 
( )
( )
;Cyyv
;Cyv
y
1
;dyv
y
1
;1
dy
v
y
1d
;
y
1y
y
v
y
1
dy
dv
y
1
;
y
1e)y(u
;y
y
v
dy
dv
;0
y
v
dy
dvy
;0v
dy
dvyvvy
;
dy
dvv
dx
dy
dy
dv
dx
dv
;
dx
dy
v
2
y
dy
22
+−=
+−=
−=
−=






−=−
=
∫
=
−=−
=−+
=−+
=−+
==
=
∫
−
0;y''yy'yy'
:ecuación la en doReemplazan
22
 
 
 
dy
y Cy;
dx
dy dy dy
x ;
Cy y Cy C(C y)
= − +
= = +
− −∫ ∫ ∫
2
2
x ln y ln C y K;
C C
La solución es:
= − − +
1 1
 
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
1) Resuelva: 2y3y''y' ++
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
 
);sen(e2y x= 
52
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 53
 
 
2) Resuelva: 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 
 si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;
 
 
 
54
si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16; 
 
 
( )(
;
4
1
CC
8
1
0
2
1
CC
16
5
16
5
)0('y
;CC
16
3
;
16
3
)0(y
xtan
2
1
eCeC'y
21
21
21
2x
2
x
1
=−





 ++−=
=
+=
=
+−= −
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 
( ) ))x(secxsec 3+
 
e
32
1
e
32
7
y
;
32
1
C
;
32
7C
:solviendoRe
xx
2
1
+−=
−
=
=
−
55
 
 
2
)xsec()xtan(
+
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 56
3) Resuelva ;xe6y5y''y' x=+− 
[ ]
( )( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
( )
;xe
2
1e
4
3eCeCy
;yyy
;xe
2
1e
4
3y
;xeaeay
;
2
1a;
4
3a
;1a2
;0a3a2
;xexea2ea3a2
;xexeaea6exeaea5e2xeaea
;xey6'y5''y
;e2xeaea''y
;exeaea'y
;xeaeay
;exaay
;0s
;exaaxy
;xey6'y5''y
;eCeCy
;ey
;ey
;2; r3r
;02r3r
;06r5r
;06r5re
;er''y;re'y;ey
;0y6'y5''y
xxx2
2
x3
1
ph
xx
p
x
1
x
0p
10
1
10
xx
1
x
10
xx
1
x
0
xx
1
x
0
xx
1
x
0
x
xx
1
x
0p
xx
1
x
0p
x
1
x
0p
x
10p
x
10
S
p
x
ogéneahomSolución
x2
2
x3
1h
x2
2
x3
1
21
ticaCaracterís
Ecuación
2
2rx
rx2rxrx
+++=
+=
+=
+=
==



=
=−
=+−
=++++−++
=+−
++=
++=
+=
+=
=α=
+=
=+−
+=
=
=
==
=−−
=+−
=+−
===
=+−
α
 
:el sistema oResolviend
:homogénea nol diferencia ecuación la en doReemplazan
1; 
:particular soluciónla sEncontremo
:'y',y'y, doReemplazan
 
44 344 21
43421
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 57
4) Resuelva: cosx;e2y2y'y' -x=++ 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
2
1
b
;0a
;1b2
;0a2
);xcos(excose2bsenxe2a
);xcos(ey2'y2''y
''y,'y,y
;xcose2senxe2xcosxe2bxcose2senxe2senxxe2a''y
;senxesenxxexcosxebxcosexcosxesenxxea'y
;senxesenxexcosexbxcosexcosesenxexa'y
;senxxebxcosxeay
;senxebxcoseaxy
1s
;senxebxcoseay
;esenxbxcosay
1;0s
;esenxbxcosaxy
);xcos(ey2'y2''y
;senxeCxcoseCy
;senxey
;xcosey
;1
;i1
2
)2(442
r
;02r2r
;02r2re
;er''y;re'y;ey
;0y2'y2'y
0
0
0
0
xx
0
x
0
x
ppp
xxx
0
xxx
0p
xxx
0
xxx
0p
xxx
0
xxx
0p
x
0
x
0p
x
0
x
0p
x
0
x
0p
x
00p
x
00
S
p
x
ogéneahomSolución
x
2
x
1h
x
2
x
1
2,1
ticaCaracterís
Ecuación
2
2rx
rx2rxrx
=
=
=
=−
=+−
=++
+−−+−−=
+−++−−=
+−++−−=
+=
+=
=
+=
+=
=α=
+=
=++
+=
=
=
=β−=λ
±−=
−±−
=
=++
=++
===
=++
−−−
−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−
−−
−−
−
α
−
−−
−
−
:homogénea nol diferencia ecuación la en ando simplificy doReemplazan
homogénea. soluciónmi a respecto con edependient elinealment
términos contiene que ya particular soluciónesta asumir puede seNo
;- 
:particular soluciónla sEncontremo
1; 
:'y',y'y, doReemplazan
 
4444 34444 21
43421
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 58
);x(senxe
2
1
senxeCxcoseCy
;yyy
);x(senxe
2
1
xx
2
x
1
ph
x
−−−
−
++=
+=
=py
 
 
1;x3ecosxy2y''y' 2x −++=+− 
[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;senx
2
1
;
2
1b;0
xcos2bsenx2
;senxbxcosabsenxxcosa''y
;xcosbsenxaxcosbasenx'y
;bsenxxcosay
;0s
;bsenxxcosaxy
;xeCeCy
;xey
;ey
;1r
;01r
;01r2
01r2r
;er''y
;re'y
;ey
0
1p
1p
1p
s
1p
x
2
x
1h
x
2
x
1
2,1
2
2rx
rx2
rx
rx
−=
−==



=
=
=−+
−+−=−−=
+−=+−=
+=
=
+=
=+−
−++=+−
+=
=
=
=
=−
=+−
=+−
=
=
=
=+−
p1
 p1p1p1
2x
2
y
 a oResolviend 
1;2b-
0;2a
cosx;a
1; ecuacion la en y,y','y' doReemplazan
 1. n Ecuaciócosx;y2y''y'
:particular soluciónprimera la oEncontrand
1;x3ecosxy2y''y'
:particular soluciónla oEncontrand
r
;e
:homogénea ecuación la en 'y' ,y' y, doReemplazan
;y2y''y'
:homogénea soluciónla oEncontrand
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 59
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
;ex
2
3
;
2
3
a
;e3ae2
;e2xe4exa''y
;xe2exa'y
;eaxy
;eaxy
;eaxy
;eay
;0s
;eaxy
x2
xx
xxx2
2p
xx2
2p
x2
2p
x2
2p
x
2p
x
2p
xs
2p
=
=
=
=+−
++=
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=+−
p2
x
p2p2p2
x
y
:es particular solución segundaLa
3ey2y''y'
2. ecuación la en y,y','y' doReemplazan
homogénea soluciónla a
respecto nte,independie elinealment es soluciónesta caso, este En
2;s
anterior. razón misma la por
 solución,esta asumir puede seTampoco
1;s
homogénea. soluciónla a respecto con edependient elienalment
es que ya ,particular soluciónesta asumir puede seNo
 2. n Ecuació;3ey2y''y'
:particular solución segundala oEncontrand
 
 
[ ]
c;2''y
cx;2b'y
;cxbxay
;0s
;cxbxaxy
3p
3p
2
3p
2s
3p
2
=
+=
++=
=
++=
=+− 3. n Ecuació1;-xy2y''y'
:particular solucióntercera la oEncontrand
 
[ ] [ ] ;1xcxbxacx2b2c2
1
22
2
−=++++−
−=+− xy2y''y'
2. ecuación la en y,y','y' doReemplazan p3p3p3
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 60
[ ] [ ] [ ]
p
p p p p
x
p
h p
c b a c b x c x x ;
c b a
c b
c
c ;
b ;
a ;
y x x ;
y y y y ;
y sen(x) x e x x ;
y y y ;
y C
Resolviendo el sistema:
La tercera solución particular:
La solución general:
− + + + + = −
− + = −
− + =
 =
=
=
=
= + +
= + +
= − + + + +
= +
=
2 2
2
3
1 2 3
2 2
2 2 2 1
2 2 1
4 0
1
1
4
5
5 4
1 3 5 4
2 2
x x xe C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 21 2
1 3 5 4
2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 61
Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy 
 
1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβ donde 0,βyxy''y'x 2 ∈α=+α+ , , se 
la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el 
cambio de variable zex = , y luego resuelva: 
;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2 +=++ 
(((( )))) ;βy
dz
dy
α
dz
yd
;βy
dz
dy
α
dz
dy
dz
yd
;βy
dz
dy
x
αx
dz
dy
xdz
yd
x
x
;
dz
dy
xdz
yd
xdx
yd
y''
;
xdz
dy
x
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
yd
;
dx
dy
dx
d
dx
yd
;
dz
dy
xdx
dy
y'
;
xdz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
xdx
dz
xz
Si z
01
0
0
111
11
111
11
1
1
;
1
);ln(
;
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++−−−−
====++++




++++





−−−−
====++++++++





−−−−========






−−−−====






−−−−====





====





====
========
========
====
====
====
0;βyxy''y'x
ldiferencia ecuación la en doReemplazan
:'y' luego necesita Se
:Ahora
e x
2 αααα
 
(((( )))) ;y
dz
dy
dz
yd
0412
0
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++
++++====++++++++
;4y2xy''y'x
:homogénea solución la primero oEncontrand
;e4sen(lnx)4y2xy''y' xecuación la oResolviend
2
2ln(X)2
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 62
( )
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
2. n Ecuació
:particular soluciónla segundala oEncontrand
 
:obtiene seel sistema oResolviend
1. Ecuación
:1 ecuación la en y ,y' ,'y' doReemplazan
:forma siguientela tiene soluciónprimera La
1. Ecuación
:esparticular s solucione2 tiene seDonde
:obtiene se,e4sen(lnx)4y2xy''y'x ecuación la en
reemplazaral ln(x),z y ex que asume seComo
:particular soluciónla sencontremo Ahora
ppp
2ln(X)2
z
ticacaracterís Ecuación
;e5y4y'y''
));x(ln(sen
5
6))xcos(ln(
5
2y
);z(sen
5
6
)zcos(
5
2
y
;
5
6b;
5
2a
4b3a
0ba3
);z(sen4)zcos()z(sen3b)z(sen)zcos(3a
;zsen4y4y'y''
;)z(senb)zcos(a)z(bsen)zcos(a''y
;)zcos(b)z(sena)zcos(b)z(asen'y
);z(bsen)zcos(ay
;zsen4y4y'y''
;e5zsen4y4y'y''
5
;
2
)xln(15
senxC
2
)xln(15
cosxCy
;
2
z15seneC
2
z15coseCy
;
2
z15seney
;
2
z15cosey
;i
2
15
2
1
2
1611r
;04rr
;04rre
;0y4'y''y
z2
1p
1p
p
p
p
z2
21h
2/z
2
2/z
1h
2/z
2
2/z
1
2,1
2
2rz
=++
+−=
+−=
=−=



=+−
=+
=++−
=++
−+−=−−=
+−=+−=
+=
=++
+=++
+=++
==








+






=






+





=






=






=
±−=
−±−
=
=++
=





++
=++
−−
−
−
43421
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 63
;
2
x))x(ln(sen
5
6))xcos(ln(
5
2
2
)xln(15
senxC
2
)xln(15
cosxCy
;yyy
;
2
x))x(ln(sen
5
6))xcos(ln(
5
2y
;yyy
;
2
xe
2
1y
;e
2
1y
;
2
1a
;e5ae10
;e5ae4ae2ae4
;e5y4y'y''
;ae4
;ae2
;ae
2
21
ph
2
p
2p1pp
2
)xln(2
2p
z2
2p
z2z2
z2z2z2z2
z2
z2
z2
z2
++−






+






=
+=
++−=
+=
==
=
=
=
=++
=++
=
=
=
2. n Ecuació
:2 ecuación la en y ,y' ,'y' doReemplazan
'y'
y'
y
: solución siguientela asume Se
p2p2p2
p2
p2
p2
 
2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;2x5ln2xlnyy'2x3'y'2x 22 +−−−=+−+− 
( )
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
yd
;
dx
dy
dx
d
dx
yd
;
dz
dy
2x
1
dx
dy
y'
;
2x
1
dz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
;
2x
1
dx
dz
);1xln(z;Si
22
2
2
2
2
2
2
2
z






−
−
−
=





=





=
−
==
−
==
−
=
−==
:'y' luego necesita Se
:Ahora
 entonces e2-x 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 64
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
;6z5zyy'2y''
;
2x
2xlnC
2x
Cy
;e2xlnCeCy
;zeCeCy
;2xlnz
;zeCeCy
;zey
;ey
;1r
;01r
;01r2r
;01r2r
;er''y
;re'y
;ey
;0y
dz
dy
2
dz
yd
0
;0y
dz
dy
13
dz
yd
;0y
dz
dy
3
dz
dy
dz
yd
;0y
dz
dy
2x
12x3
dz
dy
2x
1
dz
yd
2x
12x
3
;
dz
dy
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
y''
;
2x
1
dz
dy
2x
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
2
21
h
2xln
2
2xln
1h
z
2
z
1h
z
2
z
1h
z
2
z
1
2,1
2
2
2
rz2
rz
rz
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
+−=++
+−−−=++
==
−
−
+
−
=
−+=
+=
−=
+=
=
=
−=
=+
=++
=





++
=
=
=
=++
=++
=+−+
=++−
=+





−
−+





−
−
−
−
=++






−
−
−
==
−






−
−
−
−
=
−−−−
−−
−−
−
−
:obtiene se,6;2x5ln2xlnyy'2-x3'y'2-x ecuación la en
reemplazaral 2),-ln(xz y e2-x que asume seComo
:particular soluciónla sencontremo Ahora
e
:homogénea ecuación la en 'y',y'y, doReemplazan
;y2y''y' ecuación la oResolviend
0;yy'2-x'y'2-x
:homog{eneal diferencia ecuación la en doReemplazan
22
z
ticaCaracterís Ecuación
rz
2
43421
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 65
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
);2x(ln)2xln(922
2x
2xlnC
2x
C
y
;yyy
);2x(ln)2xln(922y
;zz922y
;22a
;9-b
;1c
1c
5-bc4
6ab2c2
;6z5zczbzacz2b2c2
;c2''y
;cz2b
;czbza
;0s
;czbzax
221
ph
2
p
2
p
22
p
2
2S
−+−−+
−
−
+
−
=
+=
−+−−=
+−=
=
=
=





=
=+
=++
+−=+++++
+−=++
=
+=
++=
=
++=
:el sistema oResolviend
6;5zzy2y''y' ecuación la en y,y','y' doReemplazan
y'
y
y
:forma siguientela tiene particular soluciónla Donde
2
ppp
p
p
p
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 66
3) 
( )
ln(x);z entonces ex Si
;3ln(x)3tan9yxy''y'x
z
2
==
=++
,
 
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
;
)z3cos(
)z3(sen)z3(senz3senz3tan3
3
;z3sen3z3cos3
z3cos3z3sen3
z3senz3cos
'y'y
yy
;
z3cos3)z(g
z3sen0
;yuyuy
;z3tan3g(z)
;z3tan3y9y''
,
;)xln(3senC)xln(3cosCy
;z3senCz3cosCy
;senzy
;zcosy
;i3r
;09r
;09re
;er''y
;ey
;0y9''y
;0y9
dz
yd
;0y9
dz
dy
11
dz
yd
;0βy
dz
dy
1α
dz
yd
22
21
21
2211p
21h
21h
2
1
2
2rz
rz2
rz
2
2
2
2
2
2
−
=−=
=
+=
−
==
=
+=
=
=+
==
=++
+=
+=
=
=
±=
=+
=+
=
=
=+
=+
=+−+
=+−+
=++
3
u'
y,yW
y,yW
y,yW
u'
:obtiene seex y xlnz doReemplazan
;3ln(x)3tan9yxy''y'x
:particular soluciónla sEncontremo
:obtiene Se
:Usando
0;9yxy''y'x
:homogénea soluciónla oEncontrand
1
21
21
21
1
z
2
2
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 67
( )
( )
( )
( ) ( ) ;)z3(sen)z3cos(
3
1)z3cos(
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
z3senCz3cosCy
;yyy
;)z3(sen)z3cos(
3
1)z3cos(
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
y
;yuyuy
)z3cos(
3
1dz)z3(senu
);z3(sen'u
;
)z3cos(
)z3(sen)z3cos(
'u
3
)z3tan(z3cos3)z3tan(3z3sen3
0z3cos
;
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
u
dz)z3sec()z3cos(u
);z3sec()z3cos('u
;
)z3cos(
1)z3cos(
;
)z3cos(
)z3(cos1
)z3cos(
)z3(sen
21
ph
p
2211p
2
2
2
1
1
1
22
−







 +
−++=
+=
−







 +
−=
+=
−==
=
=
=
−
=
+
−=
−=
−=
−=
−
−=−=
∫
∫
21
2
1
1
y,yW
u'
u'
u'
( ) ( ) );xln3(sen)xln3cos(
3
1
)xln3cos(
3
)xln3(tg)xln3sec(ln
3
)xln3(sen
xln3senCxln3cosCy 21 −




 +
−++=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 68
4) Si senxxy cosx,xy 1/22
1/2
1
−− == forman un conjunto linealmente independiente y 
son soluciones de 0;y
4
1xxy''y'x 22 =




 −++ 
Hallar la solución particular para ;xy
4
1xxy''y'x 3/222 =




 −++ si 
( ) 0;>y' 0;
2
>
y ==




 
;
)y,y(W
'y)x(g
y0
'u
;xg(x)
;yuyuy
; xy
x4
11
x
y'
y''
;
x
xy
x4
1
x
xy'
x
xy''
x
x
;
;senxxCxcosxCy
21
2
2
1
2/1
2211p
2/1
2
2
2/3
22
2
22
2
2/3
2/1
2
2/1
1h
=
=
+=
=




 −++
=





−++
=




 −++
+=
=




 −++
==
−
−
−−
−−
:parámetros de variación aplica Se
 xy
4
1
xxy''y'x de soluciónla encontrar Para
:obtiene seentonces 0,y
4
1
xxy''y'x
de s solucionesenx sonxy y cosx,xy Como
22
22
1/2
2
1/2
1
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 69
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ;
2
10
2
111C1
2
101C0
;
2
x
senxx
2
1
xcosxCxcosx
2
1
senxxC'y
;1C
;0
2
)1(
2
C
;2)1(2C02C0
;xsenxxCxcosxCy
;0
2
;xsenxxCxcosxCy
;yyy
;xy
;x1xxsenxcosxy
senxxsenxxcosxxcosy
;senxu
;xcos
x
xcosx'u
;
x
xxcosx
2
1senxx
0xcosx
)y,y(W
)x(g'y
0y
'u
;xcosdx)x(senu
);x(sen
x
senxx
x
senxx
2
1xcosxx
senxx0
'u
;x)y,y(W
;x1xxsenxcosx)y,y(W
;xcossenxx
2
1xsenxxcossenxx
2
1xcosx)y,y(W
;xcosx
2
1
senxxsenxxsenxx
2
1
xcosxxcosx)y,y(W
senxx
2
1xcosxxcosx
2
1senxx
senxxxcosx
'y'y
yy
)y,y(W
21
2/3
2/32/1
2
2/32/1
1
2
2
21
2/12/1
2
2/1
1
2/12/1
2
2/1
1
ph
2/1
p
2/12/1222/1
p
2/12/1
p
2
1
1
2
1
2/12/32/1
2/1
21
1
1
2
1
1
1
1
2/32/12/1
2/1
1
1
21
11221
21
221221
21
2/32/12/12/32/12/1
21
2/32/12/32/12/12/1
21
21
21
ππ
−





ππ
−−
π
+





−
ππ
−
π
−=
−


 −+


 −−=
−=
=
π
+
π
π
+
π
+
π
=
++=
=π=




 π
++=
+=
=
==+=
+=
=
==
−−
==
=−=
−=−=
−
=
=
==+=
++−=



 −−−


 −=
−−−==
−
−−−−
−−−
−−−
−
−−−
−−
−
−
−
−−−
−
−
−
−
−−−
−
−
−−−
−−−−
−−−−−−
−−−−
−−
∫
0;)(y' y y Si
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 70
( ) ;xsenxxxcosx21y
;21C
;2C1
;1
2
C
2
1
;C
2
C
2
1
;
2
11C
2
1C0
2/12/12/1
1
1
1
21
21
−−− +−π−=
π−=
π+=
π
+
ππ
=
ππ
π
−
ππ
=
ππ
ππ
−



π
−



ππ
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 71
Identidad de Abel 
 
1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel: 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
1x
dxxx212y
1x
1
;
1x
dxxx21y
1x
1
;
1x
xx21y
1x
1
dx
d
;
1x
xx21
1x
y
'y
1x
1
;
1x
1
e)x(u
;
1x
xx21
1x
y
'y
;xx21y'y1x
;ey'y1x
;dxx22du
;xx21)x(u
;ey'y1x
;ey'y1x
;y'y1x
'y
y
;
'y'y
yy
;0y
xx21
2y'-
xx21
x12y''
xx21
xx21
)x(p
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1x
dx
2
2
2
2
22
xx21ln
22
2
xx21
dxx22
22
xx21
dxx12
22
22
2
2
21
21
222
2
2
2
2
∫
∫
+
−−−
=
+
+
−−
=
+
+
−−
=



+
+
−−
=
+
−
+
+
=∫=
+
−−
=
+
−
−−=−+
=−+
−−=
−−=
∫
=−+
∫
=−+
−+=
+
=
=
=
−−−−
+
+
−−
−−
=++
∫=
+=
===−++−−
+
−
−−
−−
−−
−−
+
−
−
:Entonces
1
1x
y,yW
y,yW
0;q(x)yy''y'
:forma siguientela tener debel diferencia ecuación la Donde
ey,yW
:abel deidentidad la usará Se
1;xy es soluciónuna Si
1.(0)y'y(0) Si 0;2yy'x12'y'x2x1
21
21
p(x)dx
21
1
2
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 72
( )
( ) ( )
;
1x
dx2
1x
dx1xy
1x
1
22
2
2 ∫ ∫ +++
+
−=
+
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
;1xy
;1C
;C21C
;0C
1C2C
1CC
;1CC1
;2C1C1
;2xxC1xCy
;2xxy
;21xxy
;
1x
2xy
1x
1
;
1x
2xy
1x
1
;
1x
dx2dxy
1x
1
1
21
2
21
21
21
21
2
21
2
2
2
2
2
22
+=
=
+=
=






→








=−
=−
−+=
−−+=
=
−+=
=
−−−++=
−−−=
−+−=
+
−−=
+
+
−−=
+
+
+−=
+ ∫ ∫
:es soluciónLa
12-1
010
12-1
11-1
:el sistema oResolviend
;12xCCy'
1;(0)y' Si
1;y(0) Si
21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 73
Método de Reducción de Orden 
 
2) Resuelva: 
( )
;ey Si
0;yy'1x'xy'
x
1
−=
=+++
 
[ ] [ ]
( )
[ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
x
e)x('u
;
x
e)x(v
;xlnx)x(vln
;dx
x
11
v(x)
dv
;
x
11v(x)
dx
dv
;exev(x)xe
dx
dv
;0exev(x)xev'(x)
;0exeu'(x)xeu''(x)
;0exe)x('uxe)x(''u
;00)x(uexe)x('uxe)x(''u
;0eexexe)x(uexe)x('uxe)x(''u
;0ee1xxe)x(ue1xxe2)x('uxe)x(''u
;0u(x)eu'(x)eu(x)e1xu''(x)eu'(x)e2u(x)ex
;e)x(''ue)x('u2e)x(u''y
;e)x(''ue)x('ue)x('ue)x(u''y
;e)x('ue)x(u'y
;e)x(uy
;y)x(u
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
2
xxxx
2
xx
2
x
2
1
=
=
−=



 −=



 −=
−=
=+−+
=+−+
=
=
=+−+
=++−+
=+−−++−+
=++−+++−+
=++−+++−
=+++
+−=
+−++−−=
+−=
=
=
∫∫
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−−
−−
−
:ldiferencia ecuación la en (x)v' y v(x) doReemplazan
(x);'u'(x)v'
(x);u'v(x)
 :y Falta
:obtiene se0,yy'1x'xy'
ldiferencia ecuación la en doReemplazan
y que asume Se
:orden de reducción de métodoel Usando
2
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 74
( )
( )
( ) ;!ln
:es solución La
;
!
ln
;)(
;
!
ln)(
;
!
)(
;
!
)(
;)(






++=






+=
=
+=






+=
=
=
∑
∑
∑
∫ ∑
∫∑
∫
∞+
=
−
−
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−
1
21
1
2
12
1
1
1
0
1
1
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
x
nn
x
xCeCy
e
nn
x
xy
yxuy
nn
x
xxu
dx
n
x
x
xu
dx
n
x
xu
x
dxe
xu
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 75
Ecuación homogénea de orden superior 
 
1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una 
cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con 
coeficientes constantes, son: 
 4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 
 Escriba la solución general. 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )210982276523423214 33cos
:34
xCxCCxsenexCxCCxexCxCxCCexy
entoncesvecesconjugadocomplejoparunyigualesrealesraícestienenSe
xxx +++++++++=
 
2. 08y12y''6y'''y' =−+− 
 
 
3. 032y
dx
yd
5
5
=+ 
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxx
i
i
i
kii
k
eCexsenCxCexsenCxCxy
seniem
iseniem
iseniem
kemmm
2
5
618.0
43
618.1
21
3
5
3
5,1
5
4,0
5
2
5
902.1902.1cos175.1175.1cos
2cos22
902.1618.0
5
3
5
3
cos22
175.1618.1
55
cos22
4,3,2,1,0;2032
−−
+
++++=
−=+==
±−=










+




==
±=










+




==
==→=+=
ππ
ππ
ππ
φ
π
π
π
ππ
 
4. ( ) 0y52DD 22 =+− 
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )xCCxsenexCCxexy
im
im
mmmmm
mmm
xx
4321
4,3
2,1
22
22
22cos
21
21
2
162
2
5.1.442
05252
052
+++=
±=
±=
−±
=
−±
=
=+−+−=
=+−=
φ
φ
 
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )23212
321
3
2
23
202
0442
0441
882
281261
08126
xCxCCexy
mmmmm
mmmm
mmmm
x ++=
===→=−=
=+−−=
−
−
−−
=−+−=
φ
φ
φ
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 76
Ecuaciones de Orden Superior 
 
Ecuación no homogénea de orden superior 
 
1. 84xx2y''3y'''y' 2 ++=++ 
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) Axy
BAxxy
CBxAxxy
CxBxAxxy
xyconilessiCxBxAxCBxAxxxys
xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxxys
CBxAxxxyxxxg
particularsoluciónlaEncuentro
eCeCCxymmm
mmmm
mmmm
mmmmyyy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
p
p
p
p
cp
cp
s
p
xx
c
pc
6'''
26''
23'
..1
0
84
:
2,1,0
021
023
0230'2''3'''
:
2
23
232
2
22
2
321321
2
23
=
+=
++=
++=
++=++=→=
++=→=
++=→++=
++=→−=−==
=++=
=++=
=++=→=++
+=
−−
φ
φ
φ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) xxxeCeCCxy
generalSolución
xxxxy
decimosqueloPor
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
xxCBAxBAxA
xxCBxAxBAxA
xxyyy
xx
p
ppp
4
11
4
1
6
1
:
4
11
4
1
6
1
:
4
11
2
668
8266
4
1
4
184
4418
6
1
16
842664186
842322636
84'2''3'''
232
321
23
22
22
2
+++++=
++=









=→
+−
=→=++
=→
−
=→=+
=→=
++=+++++
++=+++++
++=++
−−
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 77
2. 2x2x2x22 e5xee2x14x2x4y4y''y'''y' +++−−=+−− 
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )CBAxCBAxBAAxexy
CBxCBAxBAAxexy
CxCBxBAAxexy
CxBxAxexy
xyconilessiCxBxAxeCBxAxxexys
xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxexys
CBxAxexxyexeexxg
xxy
decimosqueloPor
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
xxCBAxBAxA
xxCBxAxBAxA
xxyyyy
xy
Axy
BAxxy
CBxAxxy
xyconilessiCBxAxxys
CBxAxxxyxxxg
xgxgxg
particularsoluciónlaEncuentro
eCeCeCxymmm
mmmmmm
mmmm
mmmmyyyy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
x
p
x
p
x
p
x
p
c
xx
p
c
x
p
xs
p
xxx
p
pppp
p
p
p
p
cp
s
p
xxx
c
pc
12126824368368'''
424864124''
22232'
..1
0
52
2
1
:
0
4
421
1442
0
4
84
448
2
1
24
142442484
14242420
1424'4'''''
0'''
2''
2'
..0
142
:
2,2,1
22141
0141
04404'4'''''
:
232
232
232
232
23222
22
222222
2
2
1
22
22
2
2
2
22
1
21
2
3
2
21321
2
2
23
++++++++=
+++++++=
+++++=
++=
++=++=→=
++=→=
++=→++=
=









=→
++−
=→−=+−−
=→
+−
=→−=+−
=→=
−−=+−−++−+
−−=++++−−
−−=+−−
=
=
+=
++=
++=→=
++=→−−=
+=
++=→−===
+−−=−−=
=−−−=
=+−−=→=+−−
+=
−
φ
φ
φ
 
( ) ( ) ( )( ) xxxx
xxx
pppp
exeexCBAxBAxAe
exeexyyyy
222222
2222
52410683012
524'4'''''
++=+++++
++=+−−
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL2009 78
( )
( ) xxxx
x
p
exxeCeCeCxy
exxy
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
2322
3
2
21
23
6
1
2
1
6
1
0
4
1061
14106
0
8
305
5830
6
1
212
2
++++=
=









=→
−−
=→=++
=→
−
=→=+
=→=
−
 
 
3. ( )xcscy'''y' =+ 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xsenxxxxxsenCxCCxy
xsenxxx
x
xy
xsenxxx
x
y
xdxuxsenx
xx
xsen
x
u
xdxxxuxx
xsenx
x
xsen
u
x
dxxux
xsenxx
xxsen
xsenx
u
xsenx
xsenx
xxsen
xsenx
xsenxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaEncuentro
xsenCxCCxyimimm
mmm
mmmyy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
p
p
p
c
pc
−+










+++=
−+










=
−++










=
−=−=→−=
−
−
=
=−=→−=
−
=











==→=
−−
−
=
=+=
−−
−=
++=
++=→−===
=+=
=+=→=+
+=
∫
∫
∫
csclncos
2
tanlncos
csclncos
2
tanln
coscscln1
2
tanln
1csc
1
csccos0
00
0cos1
'
csclncoscsccoscsc
1
csc0
cos00
01
'
2
tanlncsc1csc
1
coscsc
cos0
cos0
'
1cos1
cos0
cos0
cos1
,cos,1
:
cos,,0
01
00''''
:
321
33
22
11
22
332211
321321
2
3
φ
φ
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 79
4. ( )xxln''y' = 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )xxxxCxCCxy
generalSolución
xx
x
yilesnoxx
x
y
x
x
xxxx
x
y
x
dx
x
x
u
x
xx
x
xx
x
u
xxdxxu
x
xxx
x
xx
x
x
u
x
x
dxxxu
x
xxx
x
xx
x
xx
u
xxxx
xx
xsenxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaEncuentro
xCxCCxymmm
mm
mmy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
pp
p
p
c
pc
ln6ln2
4
:
ln6ln2
4
..7ln6ln2
4
2
ln
1ln21
2
1
ln
2
2
lnlnlnln00
010
01
'
1ln2ln2
2.ln2ln0
200
01
'
2
1
ln
2
ln
ln20ln
210
0
'
21
200
210
1
,cos,1
:
0,0,0
0
00'''
:
2
2
2
321
2
2
2
2
2
22
2
3223
222
2
2
2
12
2
2
2
1
222
2
332211
2
321321
3
3
−+++=
−=∴+−=






+−−+




 −=
==→==
−−=−=→−==





 −==→==
=−==
++=
++=→===
==
==→=
+=
∫
∫
∫
φ
φ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 80
 
Ecuación de Euler de orden n 
 
1. 018y
dx
dy
6x
dx
yd
x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3 =+−− 
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 23321
2
3
3
2
3
1
321
2
2
23
2
3
3
21
321
2
2
12233
ln
233023
018'3''4'''
023
01834
0186121
:ln
:
ln
23
023
063
03631
0186121
0186121
0186121
:
−
−
−
−−−
++=
++=
−===→=+−=
=+−−
=+−
=+−−
=+−−−−−
=→=
°
++=
−===
=+−
=−−−
=−−−−
=+−−−−−
=+−−−−−
=+−−−−−
=
°
xCxxCCxy
eCteCeCty
mmmmmm
tenecuaciónyyyy
DD
DDD
DDDDDD
obtienesextexcambioelaplicando
Método2
xCxxCCxy
rrr
rr
rrr
rrrr
rrrrrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:a reduce seescución la entoncessolucióncomoxyasumo
Método1
:métodosdosporosresolveremLa
ttt
t
r
rrrr
r
φ
 
 
2. 08y
dx
dy
10x
dx
yd
2x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3 =−−+ 
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )( )( )
( ) 231241
321
23
2
12233
214
0214
0810
04521
08101221
08101221
−−
−−−
++=
−=−==
=++−
=−−−
=+−−
=−−−+−−
=−−−+−−
=
xCxCxCxy
rrr
rrr
rrr
rrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:a reduce seescución la entoncessolucióncomoxyasumo
r
rrrr
r
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 81
3. 4lnx8y
dx
dy
8x
dx
yd
4x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3 =−+− 
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
8
7
ln
2
1
8
7
ln
2
1
8
7
2
1
8
7
0814
2
1
48
48148
4814070
:Re
0'''''
'
0
48'14''7'''
:
4210421
08'14''7'''0421
0861
08421
0181421
0881421
:
:ln
4
3
2
21
4
3
2
21
4
3
2
21
321
2
+−++=
+−=→+−=





→
==−
−==−
=−+−
=+−+−
==
=
+=
+=→=
+=
=−+−
++=→++=
===→=−−−=
=−+−→=−−−
=+−−
=+−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=→=
xxCxCxCxy
xxytty
BBA
AA
tBAtA
tBAtA
emplazando
yy
Ay
BAty
yconnteindependieelinealmentessiBAtys
BAtty
tyyyy
particularsoluciónlaEncuentro
xCxCxCxyeCeCeCty
mmmmmmm
tenecuaciónyyyyDDD
DDD
DDDD
DDDDDD
DDDDDD
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
obtienesextexcambioelaplicando
pp
pp
p
p
cp
s
p
c
ttt
c
t
φ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 82
 
 
4. 32
2
2
3
3
3 x2y
dx
dy
2x
dx
yd
x
dx
yd
x =−+− 
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
ln
:
4
ln
22
3
ln
2
1
ln1ln10
01ln1
0ln
'
2
2210
201
0
'
2
3
ln
2
1ln
1lnln221
21ln0
ln0
'
2
ln
1
2
21ln
20
21ln1
ln
,ln,
:
ln
21
021
0221
0221
012121
022121
022121
3
2
321
3
2
22
3
1
3
2
2
2
2
2
2
1
21
2
1
1
2
1
1
2
2
332211
2
321
321
2
12233
x
xCxxCCxy
generalSolución
x
y
xxxx
x
xx
x
y
xdxu
x
xxxx
x
x
x
xxx
u
x
xdxu
x
xxx
x
x
xx
u
x
x
dxxxu
x
xxxxx
x
x
xx
xxx
u
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
xxxx
xxxxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaencuentro
xCxxCCy
rrr
rr
rrrr
rrrr
rrrrrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:a reduce seescución la entoncessolucióncomoxyasumo
p
p
p
c
r
rrrr
r
+++=
=
+−




 −=
==→
−+
=
+
=
−=−=→
−
−==





 −=−=→
+−
=
+
=
=−
+
=+=
++=
++=
===
=−−
=−−−−
=+−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=
∫
∫
∫
−
−
−−
−
−−−
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 83
 
Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables 
 
Solución en serie alrededor de un punto ordinario 
 
1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xy
dx
dy
3x
dx
yd
1x 2
2
2 ===++− 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ...
4
11
33
11
64
60'...
8
15
32
3
1...
8
5
2
'
40...
8
3
122
...
86
1
....
88
3
20
15
1323
233
3
1212
8
1222
222
2
2;
12
2
0122
62
036
002
0122362
03121
0311
0311
54
3
1
432
1
42
0
0
543
1
53
0
3
3
2
210
0
012323
5
11212
4
1
212
01
3013
22
2
120132
1
1
10
2
2
0
1
12
2
2
01
1
2
22
+++++=
==→





+++++





+++=
==→





+++++





+++=
++++==
+=
+
=
++
++
=→=
=
+
=
++
++
=→=
≥
++
++
=→=+++−+
+=→=++−
=→=−
=+++−++++−−
=++++−−
=++−−−
=++−−
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
−
+−+
∞+
=
−+
∞+
=
−
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
xx
xxxy
Cy
xxx
C
xx
xCxy
Cy
xxx
xC
xx
Cxy
xCxCxCCxCxy
CCCCCC
Cn
CCCCC
Cn
n
nn
CnnC
CCnnCnnC
CC
CCCC
CC
xCnnCnnCxCxCxCC
xCnxCxnnCxnnC
xCnxCxnnCxnnC
xCxnxCxxnnCx
n
n
n
nn
nnnn
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 84
 
2. 0xdealrededorexy''y' 0
x ==− − 
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) 





+−+−+





++++=
+




 −++




 −+++=
++++==
−=→−=
++
−
+
++
=→=
=→+=
++
−
+
++
=→=
−=→
++
−
+
++
=→=
≥
++
−
+
++
=→
−
=−++
=→=
−+=−+++
−=−++
−=−−
−=−−
∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
++
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
....
30862
....
406
......
30
1
408
1
6
1
62
1
.....
30
1
40120
1
20
3
1323!3
1
1323
3
3
8
1
24
1
61222!2
1
1222
2
2
6
1
61121!1
1
1121
1
1
1
12!
1
12!
1
12
2
1
12
!
11122
!
112
!
11
!
11
543253
10
514312
10
3
3
2
210
0
1
4
3
3
35
4
2
2
24
1
3
1
13
22
22
11
22
010
2
012
2
01
1
2
2
xxxxxx
xCCxy
x
C
xx
C
xxCCxy
xCxCxCCxCxy
C
C
C
CCn
C
C
CCn
C
CCCn
n
nnnnn
n
CC
n
nCnnC
CC
n
x
xnCnnCCn
x
nxCxnnC
n
x
nxCxnnC
n
x
nxCxxnnC
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 85
 
 
 
3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto �� � �. 
Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos 
de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para 
encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros). ��� � ����� � ���� � �� � �� 
Desarrollo. ��� � ����� � ���� � �� � �� ��� � ��� � ��! �� � � "#$%#&"' ��� � �� ( � %) *% $+#$% �� � � "' ,# -,#$% %)./#+)/% 
Se asume: 
� � 0 +1�� � ���1213� � -")% �� � � � � 0 +1���1213� � �4 � 0 +1�#����156
2
136 � �44� 0 +1�#��# � �����15�213� 
Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación: ��� � ����� � ���� � �� � � 
��� � �� 0 +1�#��# � �����15�213� � �� 0 +1�#����156
2
136 � � 0 +1���1
2
13� � � 
Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias 
0 +1�#��# � �����1213� � 0 +1�#��# � �����15�
2
13� � 0 �+1�#����1
2
136 � 0 �+1���1
2
13�� � 
 
 
Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite 
que en este caso es n: 
 
0 +1�#��# � �����1213� � 0 +1�#��# � �����15�
2
13� � 0 �+1�#����1
2
136 � 0 �+1���1
2
13�� � 
 
 
 
 
 
Para la 
m = n – 2 
Si n = 2, entonces m = 
0 
Pero n = m + 2 
Luego m = n 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 86
0 +1�#��# � �����1213� � 0 +17��# � ���# � �����1
2
13� � 0 �+1�#����1
2
136� 0 �+1���1213� � � 
Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2. 
0 +1�#��# � �����1213� � �+� � 8+9� � 0 +17��# � ���# � �����1
2
13� � �+6�� 0 �+1�#����1213� � �+� � �+6� � 0 �+1���1
2
13� � � ��+� � 8+9� � �+6� � �+� � �+6�� 0:+1�#��# � �� � +17��# � ���# � �� � �+1�#� � �+1;���1213� � � 
Se igualan los coeficientes: ��+� � �+� � �� "#$%#&"' '" $/"#" <," +� � +� �8+9� � 8+6� � �� "#$%#&"' '" $/"#" <," +9 � +6 +1�#��# � �� � +17��# � ���# � �� � �+1�#� � �+1 � � 
La fórmula de recurrencia es: +17� � +1�#��# � �� � �+1�#� � �+1�# � ���# � �� � =# > �? +17� � �#� � # � �# � ���# � ���# � �� +1 � �#� � @# � ���# � ���# � �� +1 � �#� � @# � ���# � ���# � �� +1� �# � ���# � ���# � ���# � �� +1 � +1 
Por lo tanto: 
 +17� � +1� =# > � 
 
Encontrando los coeficientes: A/ # � �� "#$%#&"' +B � +� � +� A/ # � @� "#$%#&"' +C � +9 � +6 A/ # � �� "#$%#&"' +D � +B � +� A/ # � E� "#$%#&"' +F � +C � +6 A/ # � 8� "#$%#&"' +G � +D � +� A/ # � H� "#$%#&"' +I � +F � +� 
Volviendo a la solución: 
���� � 0 +1�1213� � +� � +6� � +��� � +9�9 � +B�B � +C�C � +D�D � J ���� � +� � +6� � +��� � +6�9 � +��B � +6�C � +��D � J 
La solución homogénea: 
���� � +� K� � ����B � �D � J � ��1 � JLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMOPQ�R� S� +6 K� � �9 � �C � J � ��176 � JLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMOPT�R� S 
Ecuaciones Diferenciales 
 
ESPOL 2009 87
� +� U �� � ��V � +6��� � �� � �B � J � ��1 � J � �W�X� � +� U �� � ��V � +6 Y �� � ��Z � �+ <," �� � � � � � � � �� � �9 � J 
Ahora se encuentra la solución particular �[\ 
Normalizando la ecuación diferencial ��� � ����� � ���� � �� � 6R, se obtiene: ��� � ������� � �� � ����� � �� � ����� � �� 
Usando el método de variación de parámetros: �[ � ,6�6 � ,��� 
Encontrando el wronskiano: ]��6� ��� � ^ �6 ���64 ��4^ 
]��6� ��� � __
�� � �� �� � ������ � ���� � � ���� � ����__ �
��� � ���� 
`%#." ,6� � a
� ������� � �� ��4a]��6� ��� �
_ � �� � ������� � �� � � ���� � ����_��� � ���� 
,6� � ��� � ������� � ���� � �� "#$%#&"' ,6 � � 
`%#." ,�� � a
�6 ��64 ����� � ��a]��6� ��� �
_ �� � �� ����� � ���� ����� � ��_��� � ���� �
� ���� � ������� � ���� ,�� � � �� � "#$%#&"' ,� � �bc ��� 
Por lo tanto a solución particular es: 
 �[ � ,6�6 � ,��� �[ � � U �� � ��V � bc ��� �� � �� 
 
La solución general es: ���� � +� U �� � ��V � +6 Y �� � ��Z � � U �� � ��V � bc ��� �� � �� 
 
 
 
 
 
 
Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera 
Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto 
Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva 
A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto 
Cabrera.