Apostila Matemática Financeira

Prévia do material em texto

M
ATEM
ÁTICA
 FIN
A
N
CEIR
A
M
árcio de M
enezes
Código Logístico
57530
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6455-7
9 788538 764557
Esta obra trata da Matemática Financeira como um primeiro passo a ser dado a fim de 
conhecer o mundo das finanças. Por meio dela, você será capaz de saber mais sobre as 
taxas de juros que estão presentes nas aplicações e nos empréstimos, assim como nos 
financiamentos, tão comuns atualmente.
Contudo, o aprendizado que será adquirido vai além da matemática das taxas de juros. 
Você poderá aprender sobre o funcionamento do mercado financeiro, sua terminologia 
técnica e suas operações mais comuns.
Matemática Financeira
IESDE BRASIL S/A
2018
Márcio de Menezes
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
M512m Menezes, Márcio de
Matemática financeira / Márcio de Menezes. - [2. ed.]. - 
Curitiba [PR] : IESDE Brasil, 2018. 
226 p. : il. ; 21 cm.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6455-7
1. Matemática financeira. I. Título.
18-50200
CDD: 513.2
CDU: 51-7
© 2008 – 2018 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito do autor e do detentor dos 
direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: Zenobillis/MangoStar_Studio/iStockPhoto
Márcio de Menezes
Doutor e mestre em Física pela Universidade Estadual Paulista (Unesp). Graduado em Física 
pela Universidade de São Paulo (USP). Profissionalmente tem se dedicado ao desenvolvimento 
de software de análise estatística de dados. É professor na área quantitativa aplicada a negócios, 
ministrando as seguintes disciplinas: Métodos Quantitativos para Tomada de Decisão, Estatística 
Aplicada a Negócios, Matemática Financeira, Pesquisa Operacional e Derivativos Financeiros.
Sumário
Apresentação 9
1 Introdução à Matemática Financeira 11
1.1 Valor do dinheiro no tempo 11
1.2 Terminologias 13
1.3 Diagramas de fluxo de caixa 15
1.4 Juros simples 17
2 Juros compostos 25
2.1 Problemas dos juros simples 25
2.2 Formulando juros compostos 26
2.3 Comparando juros simples e juros compostos 28
2.4 Simulações com juros compostos 29
2.5 Cálculos com períodos fracionários 32
2.6 Equivalência de capitais a juros compostos 33
2.7 Outra comparação dos juros simples e dos juros compostos 34
2.8 Compra de bens à vista ou a prazo 36
3 Taxas de juros 39
3.1 Taxas de juros equivalentes 39
3.2 Taxas de juros nominal e efetiva 43
3.3 Taxas de juros variáveis 45
3.4 Taxa ao dia útil 50
4 Desconto 53
4.1 Desconto racional ou financeiro 53
4.2 Desconto comercial 54
4.3 Comparação entre desconto racional e desconto comercial 55
4.4 Taxa de juros efetiva de um desconto comercial 57
4.5 Aplicação do desconto comercial 58
5 Inflação 65
5.1 O que é inflação? 65
5.2 Renda e inflação 67
5.3 Taxas de juros nominal e real 67
5.4 Taxa de desvalorização da moeda 70
5.5 Deflação 71
5.6 Taxa acumulada de inflação 71
5.7 Taxa média de inflação 72
5.8 Índices de inflação do Brasil 74
5.9 Dinheiro para aposentadoria 75
6 Estrutura das taxas de juros 79
6.1 Spread bancário 79
6.2 Spread linear 81
6.3 Spread composto 83
6.4 Spread bancário e risco de crédito 84
6.5 Taxa over 85
6.6 Taxa spot e taxa forward 89
7 Tributação e rendimento 95
7.1 Tributações 95
7.2 Taxa de Abertura de Crédito (TAC) 97
7.3 Cálculo de tributos e de rendimento líquido de taxas 97
8 Série de pagamentos 105
8.1 O uso da calculadora HP12c para cálculos financeiros 109
8.2 O uso do Microsoft Excel para cálculos financeiros 109
8.3 Cálculos para série de pagamentos 109
8.4 Exemplos de uso da HP12c, do Excel e outros cálculos 111
8.5 Série de pagamentos antecipados 118
9 Perpetuidade e série de pagamentos constantes e variáveis 123
9.1 Perpetuidade 123
9.2 Série de pagamentos 131
9.3 Aposentadoria  139
10 Amortização 141
10.1 Sistema de Amortização Francês (SAF) 142
10.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) 144
10.3 Sistema de Amortização Crescente (Sacre) 146
10.4 Sistema de Amortizaçao Americano (SAA) 147
10.5 Amortização com carência 149
10.6 Outros sistemas de amortização 151
11 Avaliação de investimentos 155
11.1 Valor de um projeto 156
12 Títulos de renda fixa 169
12.1 Emissão de títulos 170
12.2 Títulos públicos 170
12.3 Preço dos títulos prefixados 172
12.4 Preço dos títulos pós-fixados 175
12.5 Composição das taxas dos títulos pós-fixados 176
12.6 A decisão de investimento: títulos prefixados e pós-fixados 178
Gabarito 181
Referências 195
Atividades de revisão 197
Apresentação
Esta obra trata da Matemática Financeira como um primeiro passo a ser dado a fim de 
conhecer o mundo das finanças. Por meio dela, você será capaz de saber mais sobre as taxas 
de juros que estão presentes nas aplicações e nos empréstimos, assim como nos financiamentos, 
tão comuns atualmente.
Todo o conhecimento aqui apresentado praticamente não exige pré-requisitos. O único co-
nhecimento prévio necessário é o domínio das operações matemáticas básicas (soma, subtração, 
divisão e multiplicação), bem como saber potenciação.
O aprendizado que será adquirido vai além da matemática das taxas de juros. Você poderá 
aprender sobre o funcionamento do mercado financeiro, sua terminologia técnica e suas operações 
mais comuns.
Bons estudos!
1
Introdução à Matemática Financeira
Antes de adentrar ao universo da Matemática Financeira propriamente dita, é importante 
definir conceitos como moeda e capital. Moeda é o meio que facilita a troca de bens e serviços, 
possuindo basicamente três funções: meio de troca, unidade de valor e acúmulo de riquezas. A moeda 
é essencial como um meio de troca, uma vez que tem mais vantagens que o modelo de escambo. 
Entretanto, embora seja importante, a moeda é insuficiente para algumas operações financeiras.
Entende-se por capital o dinheiro acumulado que está investido ou disponível para ser in-
vestido. Existem outras possíveis denotações para capital, mas vislumbrá-lo como recurso disponí-
vel para uma aplicação é a que mais se emprega nesta obra.
1.1 Valor do dinheiro no tempo
1.1.1 Gastar x investir
Indivíduos e empresas têm de saber como lidar com o seu dinheiro; ele pode ser gasto ime-
diatamente ou economizado. É claro que é possível fazer as duas coisas, isto é, gastar parte do 
dinheiro e economizar outra parte. Decidir por economizar é o mesmo que adiar o consumo para 
realizar um investimento.
Aquele que possui o dinheiro decide entre consumo e investimento no intuito de maximizar 
a sua utilidade (nível de satisfação). Assim, quando se decide pelo investimento, espera-se uma 
remuneração que pague pelo adiamento do consumo e, também, pela incerteza do próprio investi-
mento. O resultado de um investimento é quase sempre incerto; desse modo, para que uma pessoa 
(ou empresa) decida por investir, a modalidade escolhida deverá proporcionar uma remuneração 
atrativa, para compensar incertezas sobre o valor a receber no futuro. Caso isso não ocorra, dificil-
mente haverá interesse em poupar.
1.1.2 Remuneração pelo investimento
A remuneração pelo investimento é chamada de juro. Trata-se de uma quantidade depen-
dente do tempo que o consumo está sendo adiado. Juro é a remuneração pelo consumo adiado, ou, 
em outras palavras, a remuneração sobre o capital investido.
Para ilustrar essa questão, pode-se pensar no seguinte exemplo: Carlos emprestou 
R$ 100.000,00 a José e o valor deverá ser devolvido em um ano. Quanto José deverá pagar a Carlos 
após um ano? Com certeza esse valor deve ser corrigido pela inflação, então, se a inflação for de 5% 
ao ano, o valor devolvido após esse período deve ser de R$ 105.000,00.
Pode-se ainda levantar outra dúvida: José deve pagar apenas o valor emprestado corrigido 
pela inflação? De acordo com o que já foi dito anteriormente, Carlosesperaria ser remunerado por 
adiar o consumo, isto é, receber a correção relativa à inflação acrescida de uma parcela chamada de 
Matemática Financeira12
juro real. Dessa forma, Carlos espera receber mais do que R$ 105.000,00. Supondo que a inflação 
nesse período acrescida dos juros reais que o governo esteja pagando a quem lhe empresta dinheiro 
seja de 15%, Carlos espera receber R$ 115.000,00. 
Existe mais uma questão: será que José vai realmente pagar o empréstimo? Mesmo que Carlos 
o conheça e saiba da sua boa índole, existe a possibilidade de ele perder o emprego, por exemplo. 
Assim, resta uma última pergunta: como se deve tratar a incerteza com relação ao recebimento da 
quantia emprestada? Com certeza Carlos terá de cobrar mais ainda de José, pois os R$ 115.000,00 
não serão suficientes para cobrir aquilo que Carlos espera ganhar. O governo, nesse nosso exemplo, 
está pagando 15% de juros nominais (juros reais mais a inflação). No entanto, sabe-se que caso o 
governo não tenha dinheiro, ele pode emitir moeda para a dívida; José, obviamente, não pode fazer 
isso. Portanto, Carlos deverá cobrar de José, mais do que receberia fazendo um investimento em 
um título do governo.
O juro cobrado em um empréstimo deve cobrir:
• a inflação esperada;
• o juro real;
• o risco.
Com esse exemplo, é possível perceber que existem três motivos para que o valor do dinhei-
ro varie com o tempo. Com base nessa discussão, é possível perceber que receber R$ 100,00 hoje, 
vale mais do que receber R$ 100,00 daqui a um ano. Primeiramente, isso ocorre devido à inflação. 
O segundo motivo que faz com que o dinheiro valha mais hoje do que no futuro é a possibilidade de 
investi-lo e receber maior valor futuramente (juro real). O terceiro motivo está relacionado à incer-
teza (risco); não há certeza em receber o dinheiro no futuro (risco de crédito). Além disso, em mui-
tos investimentos não é possível saber o valor exato que será recebido no futuro (risco de mercado).
É importante notar que, como o dinheiro perde seu valor ao longo do tempo, os juros são a 
forma de garantir que o valor financeiro disponível hoje seja equivalente ao que se terá no futuro. 
Em economia é comum considerar o custo de oportunidade, que é o custo de desistir de um ga-
nho certo hoje para trocá-lo por um ganho futuro. O custo de oportunidade é exatamente a mesma 
coisa que o valor do dinheiro.
1.1.3 Juro prefixado e pós-fixado
É interessante notar que não se sabe qual será a inflação no futuro. Assim, deve-se cobrar 
pela inflação esperada. A inflação esperada é aquela que que ocorre daqui para frente até uma data 
futura. Entretanto, pode-se considerar o juro como pós-fixado. Considerando o exemplo anterior, 
Carlos poderia emprestar a José a uma taxa pós-fixada e dizer a ele que emprestaria a uma taxa de 
10% com acréscimo da inflação que ocorrer no período. Como a inflação não é conhecida de an-
temão, José não saberia ao certo quanto pagaria, assim como Carlos também não saberia o quanto 
poderia receber. Todavia, Carlos saberia que, se a inflação ao longo do próximo ano fosse de 20% 
ao ano, ele não perderia dinheiro.
Introdução à Matemática Financeira 13
1.2 Terminologias
Imagine que você faz um investimento de R$ 100,00. Você aplica essa quantia e no futuro 
(após um ano) resgatará um outro valor, por exemplo, R$ 120,00. É necessário usar uma termino-
logia única, que não traga dúvidas no momento de identificar e resolver os problemas.
Os livros de Matemática Financeira não contam com uma terminologia uniforme. Assim, 
esta obra vai se concentrar apenas em algumas, para que não haja confusão.
1.2.1 Valor presente, valor futuro e juro
O valor investido costuma ser chamado de valor presente, principal ou capital. Já o valor 
resgatado pode ser chamado de valor futuro, montante, valor de resgate ou saldo futuro. Apesar de 
cada obra utilizar um desses diferentes termos, vale ressaltar que as calculadoras financeiras, assim 
como o Microsoft Excel, utilizam os termos valor presente (para fazer referência ao valor inicial de 
uma aplicação ou dívida) e valor futuro (para o valor final da aplicação ou dívida). 
O valor presente nada mais é do que o valor do capital investido. O valor futuro é o capital 
resgatado ao final do período de investimento. Portanto, o valor presente da sua aplicação é de 
R$ 100,00, enquanto que o valor futuro é de R$ 120,00.
Assim como é preciso dar nomes para os valores iniciais e finais da aplicação, é utilizado um 
nome para a diferença entre o valor final e o valor inicial da aplicação. Conforme visto, a remu-
neração sobre o capital investido é chamada de juro, portanto, o incremento sofrido pelo capital 
investido recebe o mesmo nome.
Dessa forma, o juro nada mais é do que o valor futuro menos o valor presente, ou seja:
Juro = Valor Futuro – Valor Presente
Retomando o início desta seção, quando você investiu R$ 100,00 e resgatou R$ 120,00, 
pode-se afirmar agora que o juro (remuneração pelo capital investido) foi de R$ 20,00.
Em outras palavras, o juro representa o aumento do capital investido. Veja o exemplo a seguir:
Manoel aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança. Depois de um ano 
sem mais nenhuma movimentação, ele tinha R$ 110,00. Quanto ele ob-
teve de juro?
Juro = Valor Futuro – Valor Presente
Juro = R$ 110,00 – R$ 100,00
Juro = R$ 10,00
Observe que a equação acima pode ser reescrita como:
Valor Futuro = Valor Presente + Juro
Matemática Financeira14
Silvana investiu R$ 100,00. Após dois anos o juro foi de R$ 25,00. Qual era 
o montante que Silvana possuía ao final desses dois anos?
Valor Futuro = Valor Presente + Juro
Valor Futuro = R$ 100,00 + R$ 25,00
Valor Futuro = R$ 125,00.
Para simplificar ainda mais as notações, serão utilizadas, de agora em diante, letras para re-
presentar o valor presente, o valor futuro e o juro. Isso será feito da seguinte maneira:
• Valor Presente (P);
• Valor Futuro (F);
• Juro (J).
Reescrevendo as equações acima tem-se:
J = F – P F = P + J
1.2.2 Taxa de juros
A taxa de juros (i) é a razão, isto é, a divisão entre o juro e o capital investido (valor presente):
Taxa de Juros = Juro / Valor Presente
Também pode-se escrever essa equação da seguinte forma:
i = J / P
A taxa de juros é uma quantidade adimensional, mas comumente é medida em termos de 
percentagem ao período.
Considerando novamente que foram aplicados R$ 100,00 e resgatados R$ 120,00 após um 
ano, a taxa de juros (i) foi de:
i = R$ 20,00 / R$ 100,00 = 0,20 = 20% ao ano.
É importante que a taxa de juros seja medida por unidade de tempo. No caso apresenta-
do a taxa foi de 20% ao ano. Será que em seis meses essa aplicação teria rendido a mesma taxa? 
Certamente não. Espera-se que na metade do tempo, a taxa de juros seja aproximadamente a metade 
dela. Assim, o juro (J) pago após um período de tempo é dado por:
J = P . i
Ou seja, o juro (J) cobrado após um período de tempo é o produto do valor presente (P) pela 
taxa de juros (i).
Sabe-se que o valor futuro pode ser calculado com base no valor presente e do juro (F = P + J). 
Também é sabido que o juro pode ser calculado com base na taxa de juros e no valor presente 
(J = P . i). Assim, pode-se calcular o valor futuro em termos do valor presente e da taxa de juros:
Introdução à Matemática Financeira 15
F = P + J
F = P + P . i
F = P . (1 + i)
Sendo que na última passagem da equação, simplesmente coloca-se o valor presente (P) em 
evidência. É importante notar que a taxa de juros é geralmente escrita em porcentagem. Entretanto, 
sempre fica claro no contexto o que está sendo utilizado. Pode-se escrever uma taxa de juros como 
i = 15% ao ano ou i = 0,15 ao ano, já que ambos representam exatamente a mesma coisa.
Sebastião aplicou R$ 100,00 em um fundo que rendeu 12% em um ano. 
Qual o juro e o montante após um ano?
O juro é:
J = P . i
J = R$ 100,00 . 12%
J = R$ 100,00 . 12 / 100
J = R$ 12,00
Já o montante pode ser escrito da seguinte maneira:
F = R$ 100, 00 . (1 + 12%)
F = R$ 100,00 . (1+ 0,12)
F = R$ 100,00 . 1,12
F = R$ 112,00
Portanto, o juro é de R$  12,00.
Isso poderia ser escrito simplesmente:
F = P + J
F = R$ 100,00 + R$  12,00
F = R$ 112,00
Nota-se que o montante é de R$  112,00.
1.3 Diagramas de fluxo de caixa
As operações financeiras nada mais são do que compromissos que duas partes assumem 
entre si. Uma das partes (que pode ser uma pessoa, empresa, instituição financeira ou o próprio 
governo) é um tomador de recursos, enquanto a outra parte é um financiador. O financiador tem 
recursos financeiros e deseja aplicá-los para que o seu capital renda juros.
Matemática Financeira16
Um diagrama de fluxo de caixa é um fluxo de pagamentos e recebimentos em diferentes 
instantes de tempo, é gerado por um investimento, um empréstimo ou algum outro tipo de negó-
cio. Geralmente, assume-se que os fluxos positivos (setas orientadas para cima) representam uma 
entrada de recursos, enquanto que os negativos (setas orientadas para baixo) representam saída 
de recursos.
1.3.1 Ponto de vista do tomador de recursos
As operações financeiras fazem com que exista um fluxo de caixa envolvendo os dois agentes 
acima citados. O tomador vislumbra primeiramente uma entrada de caixa, que é o capital que ele re-
cebe emprestado. Depois de algum tempo, o tomador tem uma (ou mais) saída de caixa, que corres-
ponde ao pagamento do empréstimo, a qual pode ser feita por meio de uma única ou várias parcelas.
Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do tomador de recur-
sos. No primeiro diagrama foram tomados R$ 100,00 emprestados no período zero e o pagamento 
foi realizado em seis parcelas de R$ 20,00. Já no segundo diagrama, também houve empréstimo 
de R$ 100,00 no período zero, entretanto, o pagamento ocorreu em uma única parcela após seis 
períodos de tempo (possivelmente seis meses). O valor do pagamento foi de R$ 130,00.
Figura 1 – Fluxo de caixa de empréstimos
R$ 100,00
R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00
1 2 3 4 5 6
R$ 100,00
R$ 130,00
1 2 3 4 5 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.3.2 Ponto de vista do aplicador de recursos
Do ponto de vista do aplicador ocorre exatamente o oposto, ou seja, acontece uma saída 
de caixa, pois o dinheiro foi aplicado (emprestado). Depois de algum tempo, o aplicador recebe o 
dinheiro de volta, o que ocasiona uma entrada de caixa.
Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do aplicador. No pri-
meiro, nota-se que R$ 100,00 foram aplicados no instante zero e o retorno da aplicação ocorrerá 
em seis parcelas de R$ 20,00. Já no segundo diagrama, também foram aplicados R$ 100,00 no 
período zero, entretanto, o retorno ocorreu em uma única parcela após seis períodos de tempo 
(possivelmente seis meses). O valor recebido ao final da aplicação foi de R$ 130,00.
Introdução à Matemática Financeira 17
Figura 2 – Fluxo de caixa de aplicações
R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00
R$ 100,00R$ 100,00
R$ 130,00
1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.3.3 Outros diagramas de fluxo de caixa
Conforme visto, nos diagramas de fluxo de caixa as setas para baixo significam saída de 
capital, enquanto as setas para cima denotam entrada de capital.
Além disso, vale ressaltar que os fluxos de caixa podem ocorrer de outras maneiras. As 
mais comuns foram citadas acima, ou seja, por meio de um fluxo positivo seguido de outros 
negativos. A outra possibilidade é um fluxo negativo seguido de outros positivos. Contudo, 
pode haver outras alternativas, como:
Figura 3 – Fluxos de caixa diversos
R$ 100,00
R$ 50,00
1 2 3 4 5
6
R$ 200,00
R$ 60,00R$ 60,00
R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00
1 2 3 4
5 6
R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.4 Juros simples
Já foram vistas, anteriormente, aplicações em que o período é igual a um. Nesses casos, o cál-
culo do juro é sempre o mesmo, independemente de se trabalhar com juros simples ou juros com-
postos. Esta seção será iniciada com o estudo do caso em que o período da aplicação é um inteiro 
maior que um. Depois, o caso em que o período da aplicação é fracionário também será estudado.
1.4.1 Período da aplicação é um inteiro maior que um
Quando um capital é investido por n períodos, a cada período recebe-se um juro. Do se-
guinte modo:
Matemática Financeira18
período 1 : J1 = P . i
período 2 : J2 = P . i
 
período n : Jn = P . i
Em que Jn é o juro no período n.
Desse modo, os juros totais acumulados após n períodos é igual a:
J = J1 + J2 + . . . + Jn
J = P . i . n
Assim, o valor futuro será dado por:
F = P + J
F = P + P . i . n
F = P . (1 + i . n)
1.4.1.1 Encontrando o valor futuro
Camila aplica R$  100,00 em um fundo de investimento que rende 
1% ao mês a juros simples. Quanto Camila terá após seis meses?
Para responder a questão, é preciso montar o fluxo de caixa. Como Camila está aplicando, 
ela primeiramente terá que desembolsar os R$ 100,00, assim, esse fluxo de caixa será negativo e sua 
seta no diagrama ficará para baixo.
Após seis meses, Camila terá o dinheiro disponível para utilização; desse modo, assume-se 
que nessa data Camila receberá o dinheiro. Logo, o fluxo de caixa será positivo e a seta no diagrama 
ficará para cima.
R$ 100,00
F = P . (1+ i . n)
1 2 3 4 5 6
As contas ficam como mostrado a seguir:
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,01 . 6)
F = R$ 100,00 . (1,06)
F = R$ 106,00
Introdução à Matemática Financeira 19
1.4.1.2 Encontrando o valor presente
A equação dos juros simples será bastante utilizada, no entanto pode-se fazer uma 
 pequena modificação e utilizá-la para encontrar o valor presente de um investimento, quando 
se sabe apenas o valor futuro, a taxa de juros e o número de períodos em que o capital será 
aplicado. Dessa maneira, tem-se:
P F
i n
�
�( . )1
Sidney tomou emprestado de seu amigo um certo valor a uma taxa de juros 
de 3% ao mês. Sabendo que depois de três meses ele teve de pagar R$ 130,80, 
qual foi o valor que Sidney tomou emprestado de seu amigo?
R$ 130,80
1 2 3
P
F
i n
�
�( . )1
P = F / (1 + i . n)
P = R$ 130,80 / (1 + 0,03 . 3)
P = R$ 130,80 / 1,09
P = R$ 120,00
1.4.1.3 Encontrando a taxa
Ao utilizar a equação dos juros simples, é possível calcular a taxa de juros quando se conhece 
o valor presente, o valor futuro e o período. Isolando a taxa:
i
F
P
n
ou F
P n
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1
1 1
Adalberto tomou empréstimo de R$  200,00 do banco. Depois de um 
ano ele teve de pagar R$ 250,00. Assumindo que o banco tenha utilizado 
juros simples, calcule a taxa de juros ao mês.
Matemática Financeira20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R$ 250,00
R$ 200,00
i = (F / P – 1) / n
i = (R$ 250,00 / R$ 200,00 – 1) / 12
i = (1,25 – 1) / 12
i = 0,02083 = 2,083% ao mês
1.4.1.4 Encontrando o período
A fórmula dos juros simples pode ser utilizada para encontrar o período. Assim, por meio 
do valor presente, o valor futuro e a taxa de um empréstimo, é possível descobrir quando o emprés-
timo deve ser pago. A equação usada é:
n
F
P
i
ou F
P i
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1
1 1
Juliana emprestou R$ 150,00 a uma amiga a uma taxa de juros simples 
de 1% ao mês. Ela disse que a amiga deve pagar R$ 180,00. Qual é o 
período do empréstimo?
R$ 180,00
R$ 150,00
n = (F/P – 1)/i
n = (R$ 180,00/R$ 150,00 – 1)/0,01
n = 20 meses
1.4.1.5 Período de aplicação é uma fração do período da taxa
Quando o período (n) da aplicação é menor que um, realizam-se os cálculos do mesmo 
modo. Ou seja, as fórmulas utilizadas serão as mesmas.
Introdução à Matemática Financeira 21
J = P . i . n
F = P . (1 + i . n)
Maria aplicou R$ 100,00 a uma taxa de 10% ao ano (juros simples). 
No entanto, ela manteve seu dinheiro aplicado durante seis meses. 
Qual será o valor de seu resgate?
Antes de utilizar a equação para juros simples, observe que a taxa de juros foi dada ao ano 
e que o período foi dado em meses. É necessárioconverter um deles para que os dois estejam ex-
pressos no mesmo período.
Pode-se converter qualquer um dos dois (a taxa ou o período). Neste exemplo, optou-se em 
converter o período, que está expresso em meses, para ano. Assim, o período fica:
n = 6 meses = 1
2
 ano
Agora que a taxa e o período estão expressos ao ano, é possível encontrar o valor futuro da 
aplicação de Maria. No entanto, observe primeiramente o diagrama de fluxo de caixa.
F = R$ 100,00 . (1 + 10% . 
1
2
)
R$ 100,00
6 meses
A resolução fica:
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 100,00 . (1 + 10% . 1
2
)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,10 . 0,5)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,05)
F = R$ 100,00 . (1,05)
F = R$ 105,00
1.4.2 Taxas equivalentes a juros simples
É importante saber comparar as taxas de juros, mesmo quando expressas em unidades de 
tempo diferentes. Alguns investimentos são expressos ao mês, enquanto outros são expressos 
ao ano.
Suponha que você tem R$ 1.000,00 disponíveis para investir. Você tem duas opções de investi-
mento: uma com taxa de 12% ao ano e outra com taxa de 1% ao mês. Qual das duas é mais interessante?
Matemática Financeira22
Quando se considera juros simples, as taxas são proporcionais ao período de tempo ao 
qual se referem. Dessa forma, uma taxa de juros semestral será correspondente à metade da taxa 
de juros anual, pois um semestre equivale à metade de um ano. Confira no exemplo a seguir:
Considere uma operação a juros simples com um pagamento único pre-
visto para daqui a um ano, a qual foi prefixada em 12% ao ano. Levando 
em consideração o uso de juros simples, determine as taxas de juros 
mensal, trimestral e semestral que produzem o mesmo efeito sobre o ca-
pital investido. Leve em consideração que foi realizado um investimento 
de R$ 100,00.
Ao considerar juros simples, o valor futuro é dado por:
F = P . (1 + i . n)
Ao considerar o problema original, ou seja, apenas o período de um ano, n = 1:
F = P . (1 + iaa)
Em que: iaa é a taxa de juros expressa ao ano.
Substituindo os valores na equação acima:
R$ 112,00 = R$ 100,00 . (1 + 0,12)
Quando a capitalização ocorre mensalmente, são considerados 12 períodos, contudo, a taxa 
é desconhecida:
R$ 112,00 = R$ 100,00 . (1 + iam . 12)
É possível comparar as duas expressões apresentadas. Como o valor presente das duas equa-
ções é o mesmo (R$ 100,00), assim como os dois valores futuros (R$ 112,00), pode-se verificar que 
o termo entre parênteses, em ambos os casos, deve ser o mesmo:
(1 + 0,12) = (1 + iaa) = (1 + iam . 12)
Dessa expressão é possível constatar que:
iaa = iam . 12
Portanto, a taxa mensal pode ser escrita como:
iam = iaa / 12 
12% / 12 = 1% ao mês
Agora é calculada a taxa trimestral. Para isso, observe que um ano possui quatro trimestres, assim:
R$ 112,00 = R$ 100,00 . (1 + iat . 4)
Comparando a equação dos juros trimestrais com a que utiliza juros anuais, nota-se que:
iat = iaa / 4 = 12% / 4 
3% ao trimestre
Introdução à Matemática Financeira 23
Finalmente, a taxa de juros semestrais fica:
ias = iaa / 2 = 12% / 2 
6% ao semestre
Como as taxas equivalentes (a juros simples) são proporcionais ao período de tempo a que 
se referem, elas são comumente chamadas de taxas proporcionais.
1.4.3 Cheque especial
O mercado financeiro no Brasil trabalha, quase sempre, com juros compostos. Poucos são os 
exemplos em que os juros simples são utilizados, dentre eles está o cheque especial.
Quando ocorre a utilização do cheque especial, a cada dia que a conta fica negativa é apli-
cada uma taxa de juros sobre o saldo devedor e assim são calculados os juros. Os juros totais que 
incorreram no mês são debitados da conta corrente no mês seguinte.
Para uma discussão mais ampla sobre os juros simples no cheque especial, veja um exemplo 
da movimentação de uma conta corrente ao longo de um mês.
Marcelo é um trabalhador que frequentemente utiliza o cheque especial 
para conseguir honrar seus compromissos. Sabendo que o banco cobra 
9% ao mês pela utilização do cheque especial, calcule quanto Marcelo 
terá de pagar ao banco. A tabela a seguir demonstra a movimentação da 
conta corrente de Marcelo no mês de abril de 2007.
Data Valor D/C Saldo D/C
Número de dias 
com o respectivo 
saldo negativo
01/04/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.600,00 C 0
05/04/2007 R$ 1.000,00 R$ 600,00 D 0
07/04/2007 R$ 700,00 –R$ 100,00 D 3
10/04/2007 R$ 100,00 –R$ 200,00 D 5
15/04/2007 R$ 50,00 –R$ 250,00 D 5
20/04/2007 R$ 60,00 –R$ 310,00 D 10
30/04/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.190,00 C 0
Observe que o banco informa a taxa com período mensal. Todavia, como o saldo muda 
diariamente, é preciso encontrar a taxa ao dia. Como o mês de abril tem 30 dias, a taxa diária é 
simplesmente a taxa mensal dividida por 30:
iad = iam / 30 
9% / 30 = 0,30% ao dia
Matemática Financeira24
O juro total pago é dado pela soma do juro pago ao dia. Observe que no dia 7, a conta ficou 
negativa. Assim, do dia 7 para o dia 8, o juro será o produto do saldo devedor (R$ 100,00) pela taxa 
de juros ao dia (0,3%). Entretanto, esse saldo fica negativo em 100 reais por três dias; então, mul-
tiplica-se também pelo período de tempo. Aplicando o mesmo raciocínio para o restante do mês:
J = R$ 100,00 . 0,0030 . 3 + R$ 200,00. 0,0030 . 5 + R$ 250,00 . 0,0030 . 5 + R$ 310,00 . 0,0030 . 10
J = R$ 16,95
Consequentemente, Marcelo terá de pagar ao banco R$ 16,95 no próximo mês.
Atividades
1. Calcule os juros ganhos por R$ 4.000,00 aplicados por um ano, com taxa simples de 25% 
ao ano.
2. Qual o valor futuro de R$ 1.500,00 aplicados por um ano, com taxa simples de 50% ao ano?
3. Qual é a taxa simples que transforma R$ 4.500,00 em um valor futuro de R$ 8.100,00 em 
um ano?
4. Qual o rendimento de R$ 10.000,00 aplicados por um mês, com taxa simples de 36% ao ano?
2
Juros compostos
Os juros simples não são adequados para realização de investimentos e não são muito utilizados, 
mas é importante ressaltar que em alguns poucos casos os juros simples são utilizados como o cheque 
especial, por exemplo.
Os juros simples não são muito adequados para tratar de investimentos e empréstimos. 
Este capítulo explica como os juros compostos resolvem os problemas que os juros simples não 
conseguem resolver.
2.1 Problemas dos juros simples
Para tratar dos juros e do valor do dinheiro no tempo, é necessário utilizar alguns termos. 
Para fixar a notação, observe que o valor inicial de um investimento ou de uma dívida é chamado 
de valor presente. Já o valor final do investimento ou dívida é chamado de valor futuro.
Um investidor possui R$ 1.000,00 para investir pelo período de dois anos e precisa decidir 
entre dois investimentos em dois bancos distintos. Ambos os investimentos oferecem juros de 10% 
ao ano (com juros simples), mas o Banco A oferece a possibilidade de o investidor resgatar o investi-
mento após um ano e reaplicá-lo com a mesma taxa. Já o Banco B oferece a possibilidade de aplicar 
os recursos por dois anos, entretanto não há possibilidade de resgate durante todo o período. Será que 
o investidor deve ser indiferente às propostas que tem em mãos?
Primeiro é analisada a proposta do Banco A. Nesse banco o investidor pode aplicar por um 
ano, resgatar os seus recursos e reaplicá-los por mais um ano:
Valor Futuro = Valor Presente . (1 + Taxa de Juros . Período)
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10 . 1)
F = R$ 1.100,00
Após um ano o investidor resgata os R$ 1.100,00 e reaplica por mais um ano. Agora o valor 
presente é de R$ 1.100,00. Ao calcular o valor futuro:
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 1.100,00 . (1 + 0,10 . 1)
F = R$ 1.210,00
Sabe-se que o investidor terá R$  1.210,00 aplicando no Banco A, mas quanto ele terá se 
aplicar no Banco B?
No Banco B o investidor aplica pelo prazo de dois anos a juros simples:
Matemática Financeira26
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10 . 2)
F = R$ 1.200,00
R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
R$ 1.210,00 R$ 1.200,00
1 12 2
Banco A Banco B
No Banco B o investidor terá, ao final de dois anos, R$ 1.200,00.
Comparando as duas propostas,nota-se que a proposta do Banco A – que permite que os 
recursos sejam resgatados e reaplicados – é a mais interessante para o investidor.
Essa diferença entre os dois investimentos, que rendem à mesma taxa, chegando a valores 
diferentes no futuro, é característica dos juros simples, quando existe possibilidade de reinvesti-
mento e o problema pode ser solucionado ao utilizar os juros compostos.
2.2 Formulando juros compostos
A formulação que considera os juros compostos faz com que o montante seja corrigido, baseado 
no saldo do período anterior. É importante lembrar que nos juros simples, os juros incidiam apenas 
sobre o saldo original, já nos juros compostos, eles incidem também sobre os juros acumulados.
No regime de juros compostos, há juros sobre juros. Isso ocorre porque os juros incidem não 
apenas sobre o valor original, mas também sobre os juros que já estão acumulados.
Para melhor compreensão, pode-se retomar o problema enfrentado pelo investidor que po-
deria decidir entre dois diferentes tipos de investimentos e possui R$  1.000,00 disponíveis para 
aplicação. Porém, agora ele pretende aplicar por um período de tempo maior, nesse caso, por 10 anos.
Calcula-se o valor futuro da aplicação a cada ano. Primeiro considera-se o valor que o inves-
tidor terá após um ano.
F1 = P . (1 + i)
F1 = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10)
F1 = R$ 1.100,00
Com base no saldo que o investidor dispõe após um ano, calcula-se o saldo no período dois. 
Observe que o valor presente corresponde ao valor futuro do período anterior.
F2 = F1 . (1 + i)
F2 = R$ 1.100,00 . (1 + 0,10)
F2 = R$ 1.210,00
Juros compostos 27
Calculando o período três:
F3 = F2 . (1 + i)
F3 = R$ 1.210,00 . (1 + 0,10)
F3 = R$ 1.331,00
Agora, em vez de continuarmos aplicando a equação para todos os períodos, é possível 
generalizá-la:
F1 = P . (1 + i) = P . (1 + i)
1
F2 = F1 . (1 + i) = [P . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)
2
F3 = F2 . (1 + i) = [P . (1 + i) . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)
3
Pode-se verificar que todos os valores futuros (F1, F2 e F3) são escritos como o produto do 
valor presente do investimento pelo fator de capitalização (1 + i) elevado ao período. Dessa forma, 
pode-se desenvolver essa expressão da seguinte maneira:
Fn = P . (1 + i)
n
Essa é a expressão dos juros compostos. A cada período, o capital que existia no período 
anterior é multiplicado por (1 + i). Assim, após n períodos, o valor total da aplicação será o valor 
originalmente aplicado multiplicado por (1 + i) em cada um dos períodos.
Com a expressão generalizada, pode-se responder quanto o investidor terá após 10 anos.
F10 = P . (1 + i)
10
F10 = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10)
10
F10 = R$ 2.593,74
2.2.1 Fator de capitalização e fator de desconto
O valor futuro após n períodos de tempo é dado pelo produto do valor presente (P) pelo 
fator (1 + i)n. Este fator, (1 + i)n, é chamado de fator de capitalização, pois o valor presente foi 
capitalizado para dar origem a um valor futuro (F). Pode-se, então, trazer um valor futuro a valor 
presente dividindo-o por (1 + i)n.
P = F / (1 + i)n
Em outras palavras, é possível multiplicar o valor futuro (F) por 1/(1 + i)n. Dessa maneira, 
o fator 1/(1 + i)n é chamado de fator de desconto. Observe que, se multiplicado o valor futuro (F) 
por 1/(1 + i)n é obtido o valor presente (P). Em resumo, o fator de desconto faz com que o valor 
futuro seja trazido a valor presente.
Moacir aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança, e depois de 12 meses 
o fator de capitalização era igual a dois. Calcule a taxa de juros ao mês 
nesse período.
Matemática Financeira28
O diagrama de fluxo é apresentado da seguinte maneira:
R$ 100,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F = P . (1 + i)12
Como o fator de capitalização é igual a 2, sabe-se que o valor futuro será o dobro do valor 
presente: F = 2 . P e, ainda:
(1 + i)n = 2
(1 + i)12 = 2
Para resolver essa expressão, é necessário elevar cada um dos dois lados a 1
12
:
[(1 + i)12]
1
12 = 2
1
12
Como o termo (1 + i) está elevado a duas potências, multiplica-se uma pela outra. Como o 
produto de 12 por 1
12
 é um, tem-se:
(1 + i) = 2
1
12
i = 2
1
12 – 1 = 0,0595
i = 5,95%
Portanto, a taxa de juros da caderneta de poupança nesse período foi de 5,95% ao mês.
2.3 Comparando juros simples e juros compostos
Retomando o exemplo do investidor com R$  1.000,00 disponíveis, será verificado o que 
ocorre com seu capital quando são considerados os juros simples e juros compostos. Lembre-se de 
que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o investimento é feito por um prazo de 10 anos.
Juros Simples Juros Compostos
Período Juro Valor Futuro Juro Valor Futuro
0 R$ 0,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00
1 R$ 100,00 R$ 1.100,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2 R$ 100,00 R$ 1.200,00 R$ 110,00 R$ 1.210,00 
3 R$ 100,00 R$ 1.300,00 R$ 121,00 R$ 1.331,00
4 R$ 100,00 R$ 1.400,00 R$ 133,10 R$ 1.464,10
5 R$ 100,00 R$ 1.500,00 R$ 146,41 R$ 1.610,51
6 R$ 100,00 R$ 1.600,00 R$ 161,05 R$ 1.771,56
7 R$ 100,00 R$ 1.700,00 R$ 177,16 R$ 1.948,72
(Continua)
Juros compostos 29
Juros Simples Juros Compostos
Período Juro Valor Futuro Juro Valor Futuro
8 R$ 100,00 R$ 1.800,00 R$ 194,87 R$ 2.143,59
9 R$ 100,00 R$ 1.900,00 R$ 214,36 R$ 2.357,95
10 R$ 100,00 R$ 2.000,00 R$ 235,79 R$ 2.593,74
De acordo com a tabela, nota-se que o valor futuro a juros compostos cresce mais rapida-
mente do que a juros simples. Para visualizar a diferença do crescimento do valor futuro, os valores 
estão dispostos no gráfico a seguir:
R$ 2.500,00
 Juros simples Juros compostos
R$ 2.000,00
R$ 1.500,00
R$ 1.000,00
R$ 500,00
R$ 0,00
0 2 4 6 8 10
Regimes de Capitalização
Período
Va
lo
r F
ut
ur
o
Observe que o crescimento a juros simples é linear, ou seja, é possível traçar uma linha reta 
que passa sobre todos os pontos. Entretanto, no regime de capitalização composta não é possível 
traçar uma linha reta que passe por todos os pontos, isso ocorre porque a juros compostos o cres-
cimento do valor é exponencial.
2.4 Simulações com juros compostos
2.4.1 Encontrando o valor futuro
O valor futuro de um investimento foi encontrado. Agora, para traçar um raciocínio diferente 
utilizando o mesmo cálculo, em vez de investimento, observe um exemplo que envolve empréstimo.
Bartolomeu fez um empréstimo de R$ 400,00 no banco. Sabendo que o 
banco cobra uma taxa de 3% ao mês, responda quanto Bartolomeu de-
verá ao banco após um ano.
P = R$ 400,00, i = 3% ao mês, n = 12 meses
Matemática Financeira30
R$ 400,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F = 400,00 . (1 + 0,030)12
F = P . (1 + i)n
F = R$ 400,00. (1,03)12
F = R$ 570,30
Bartolomeu deverá R$ 570,30 ao banco após um ano.
2.4.2 Encontrando o valor presente
Observe que é possível utilizar a equação dos juros compostos para encontrar o valor pre-
sente de uma aplicação ou de um empréstimo quando se sabe o seu valor futuro.
Para isso deve-se simplesmente isolar o valor presente, obtendo:
P = F / (1 + i)n
De posse dessa expressão é possivel encontrar o valor presente de um determinado valor 
futuro. Veja:
Carlos possui R$  200,00 na caderneta de poupança. Sabendo que nos 
últimos 12 meses a taxa de juros proporcionada pela poupança foi de 
0,65% ao mês, diga quanto Carlos aplicou há um ano.
F = R$ 200,00, i = 0,65% ao mês, n = 12 meses
R$ 200,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P = F / (1+i)n
P = F / (1 + i)n
P = R$ 200,00 / (1,0065)12
P = R$ 185,04
Carlos aplicou R$ 185,04.
Juros compostos 31
2.4.3 Encontrando a taxa de juros
É importante notar que quando se conhece o valor presente, o valor futuro e o prazo de uma 
dívida ou de uma aplicação, é possível obter a taxa de juros. Observe que a equação dos juros com-
postos deve ser reescrita da seguinte forma:
i = (F/P)
1
n – 1
Note que, para escrever essa equação, isola-se a taxa de juros, primeiramente dividindo a 
expressão de juros compostos pelo valor presente (P). Depois disso, a expressão fica: F / P = (1 + i)n. 
Agora, é necessário elevar toda a expressão a 1
n
:
(F / P)
1
n= [(1 + i)n]
1
n
O resultado disso é: (F / P)
1
n = (1 + i). Isso ocorre quando se tem duas potências para uma 
mesma base. Nesse caso, basta multiplicar as duas potências. Como n . 1
n
 é igual a um, o termo 
[(1 + i)n]
1
n fica:
[(1 + i)n]
1
n = (1 + i)1 = (1 + i)
Dessa forma, é obtida a expressão já vista:
i = (F / P)
1
n – 1
Bertoldo deseja comprar uma bicicleta. A loja ofereceu duas propostas 
para a compra: à vista por R$ 600,00 ou com pagamento depois de dois 
meses ao valor de R$ 750,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada 
pela loja?
F = P . (1 + i)n
R$ 750,00 = R$ 600,00 . (1 + i)2
(1 + i)2 = R$ 750,00 / R$ 600,00 = 1,25
Para resolver essa expressão, deve-se elevar cada um dos lados a 1
2
. Assim:
[(1 + i)2]
1
2 = (1,25)
1
2
É importante lembrar que, quando um termo está elevado a duas potências, deve-se multi-
plicar cada um desses números. Como 2 . 1
2
 é igual a um:
1 + i = 1,1180
i = 0,1180
i = 11,80%
A taxa de juros cobrada pela loja é de 11,80% ao mês.
Matemática Financeira32
2.4.4 Encontrando o período
É possível fazer uma pequena manipulação na equação de juros compostos no intuito de 
encontrar o período de uma aplicação ou de um empréstimo. Utilizando a fórmula dos juros 
compostos, tem-se:
F = P . (1 + i)n
Para isolar o período (n), é necessário dividi-lo pelo valor presente (P):
F / P = (1 + i)n
Após, pode-se inserir o logaritmo dos dois lados dessa expressão:
log (F / P) = log (1 + i)n
Pode-se, então, utilizar uma propriedade da função logaritmo e obter:
log (F / P) = n . log (1 + i)
Finalmente isola-se o período (n):
n = log (F / P) / log (1 + i)
Ubirajara aplicou R$ 1.000,00 em um fundo de investimento. Ele espera 
que esse fundo renda a uma taxa de juros de 1% ao mês. Quanto tempo 
levará para que o seu capital aplicado dobre de valor?
P = R$ 1.000,00, F = R$ 2.000,00, i = 1% ao mês
n = log (F / P) / log (1 + i)
n = log (R$ 2.000,00 / R$ 1.000,00) / log (1,01)
n = log (2) / log(1,01) = 0,3010 / 0,004321
n = 69,66
Esse valor terá de ser arredondado para 70. Desse modo, serão necessários 70 meses para 
que o valor que Ubirajara aplicou seja duplicado.
2.5 Cálculos com períodos fracionários
Quando se trata de juros simples, a forma de trabalhar com períodos inteiros ou com perío-
dos fracionários é a mesma, ou seja, utiliza-se a equação: F = P . (1 + i . n).
Em relação aos juros compostos, a forma de trabalhar com períodos inteiros ou com perío-
dos fracionários também é a mesma, isto é, adota-se a equação:
F = P . (1 + i)n
Veja um exemplo que utiliza um período de tempo não inteiro:
Juros compostos 33
Murilo tomou empréstimo de R$ 100,00 de seu amigo a juros compos-
tos, com taxa de juros de 2% ao mês. Murilo devolveu o dinheiro ao 
amigo após 20 dias. Qual valor ele pagou?
R$ 100,00
F = R$ 100,00 . (1 + 0,02)
20
30
20
30
Observe que o período de tempo está informado em dias, enquanto a taxa está informada ao 
mês. Antes de tudo, é necessário escrever o período ao mês: n = 20/30.
F = P . (1 + i)n
F = R$ 100,00 . (1 + 0,02)
20
30
F = R$ 100,00 . (1,02)
20
30
F = R$ 101,33
Logo, Murilo deve pagar R$ 101,33 para seu amigo.
2.6 Equivalência de capitais a juros compostos
Muitas vezes, um tomador de recursos tem uma dívida que vence em determinada data e, 
por algum motivo, não está satisfeito com ela e decide trocar a dívida por uma outra com venci-
mento diferente. Caso o investidor que tenha emprestado os recursos financeiros também esteja 
disposto a trocar a data da dívida, os dois podem fazê-lo, desde que a taxa de juros seja de comum 
acordo. Quando uma dívida é trocada por outra, pode-se dizer que as duas dívidas são equivalen-
tes. O exemplo a seguir retrata como ocorre a equivalência de capitais.
Marisa tomou empréstimo de R$ 500,00 no banco há exatamente três 
meses. Ela deve pagar daqui a três meses o valor emprestado, corrigido 
a uma taxa de juros de 1% ao mês. Entretanto, está com dificuldades 
financeiras e decide continuar com a dívida por mais seis meses. Marisa 
vai ao banco negociar a dívida e o banco decide manter a mesma taxa de 
juros combinada desde o princípio. 
Qual valor Marisa teria de pagar daqui a três meses? Além disso, qual valor 
Marisa teria de pagar daqui a nove meses e, finalmente, qual seria a equiva-
lência entre os capitais?
Matemática Financeira34
Marisa tomou o empréstimo há três meses e o vencimento ocorre em três meses. Em outras 
palavras, o período do empréstimo é de seis meses, portanto:
F6 = P . (1 + i)
6
F6 = R$ 500,00 . (1,01)
6
F6 = R$ 530,76
No entanto, como Marisa decidiu estender a dívida por mais seis meses, o prazo total seria 
de 12 meses. Como a taxa de juros permaneceu em 1% ao mês, o valor daqui a nove meses seria:
F12 = R$ 500,00 . (1,01)
12
F12 = R$ 563,41
Com relação à equivalência de capitais, os R$ 530,76 a serem pagos daqui a três meses são 
equivalentes aos R$ 563,41 a serem pagos daqui a nove meses.
Observe que, caso o banco não aceitasse renovar a dívida de Marisa, ela poderia fazer uma 
nova dívida de R$ 530,76 em um segundo banco daqui a três meses e pagá-la daqui a nove meses. 
Caso o segundo banco cobrasse a mesma taxa, seria indiferente continuar com a dívida no primei-
ro banco (pensando em trocá-la daqui a três meses por uma outra em outro banco), ou trocá-la por 
uma dívida daqui a nove meses no mesmo banco.
Como essas duas dívidas são indiferentes para Marisa, pode-se afirmar que os dois valores – 
R$ 530,76 daqui a três meses ou R$ 563,41 daqui a nove meses – são equivalentes.
O mesmo ocorre do ponto de vista do banco. Caso Marisa devolvesse o dinheiro daqui a 
três meses, o banco receberia R$ 530,76, podendo emprestá-lo a outra pessoa a uma mesma taxa 
de juros por mais seis meses. Caso o banco conseguisse emprestar esse valor daqui a três meses, 
receberia R$ 563,41 daqui a nove meses.
Quando se fala de equivalência de capitais, fala-se basicamente de equivalência de dívidas. 
Todavia, não apenas as dívidas são equivalentes como também as aplicações. É possível perceber 
isso quando se analisa o exemplo do ponto de vista do banco, pois é indiferente receber R$ 530,76 
daqui a três meses ou R$ 563,41 daqui a nove meses.
2.7 Outra comparação dos juros simples e dos juros compostos
Conforme visto, os juros compostos rendem mais do que os juros simples. No entanto, às vezes, 
a capitalização simples pode render mais do que a capitalização composta. Quando isso ocorre? 
Bruno empresta R$ 100,00 a seu amigo Artur para que sejam pagos da-
qui a oito meses. Artur, por sua vez, empresta os R$100,00 ao seu amigo 
Bernardo. Tanto Bruno quanto Artur decidem cobrar uma taxa de juros de 
20% ao ano. Bruno decide emprestar a seu amigo Artur a juros compostos, 
enquanto Artur empresta a Bernardo a juros simples. Artur ganhou ou 
perdeu dinheiro?
Juros compostos 35
Bruno emprestou a Artur R$ 100,00 a juros compostos, que devem ser pagos em oito meses:
P = R$ 100,00, i = 20%, n = 8/12
Assim, o valor futuro será:
F = P . (1 + i)n
F = R$ 100,00 . (1 + 0,20)
8
12
F = R$ 112,92
Artur emprestou a Bernardo R$ 100,00 a juros simples, que devem ser pagos em oito meses: 
P = R$ 100,00, i = 20%, n = 8/12
Então:
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,20 . 8
12
)
F = R$ 113,33
Artur receberá de Bernardo R$ 113,33. Como Artur terá que pagar a Bruno R$ 112,92, ele 
teve um ganho de R$ 0,41.
De acordo com esse exemplo, é possível perceber que é mais interessante emprestar a juros 
simples do que a juros compostos. Isso ocorre sempre que o período da aplicação é menor do que 
um. Como visto, o período da aplicação era de 8/12. 
O gráfico a seguir estabelece um comparativo dos rendimentos com os diferentes regimes 
de capitalização:
Gráfico 1 – Comparativo entre rendimentos e regimes de capitalização
 Juros simples Juros compostos
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Regimes de Capitalização
Período
Va
lo
r F
ut
ur
o
Fonte: Elaborado pelo autor.
Matemática Financeira36
É possível observar que, quando operíodo é igual a 1, o valor futuro a juros simples e a juros 
compostos é o mesmo:
Juros simples: F = P . (1 + i . 1) = P . (1 + i)
Juros compostos: F = P . (1 + i)1 = P . (1 + i)
O mesmo ocorre quando o período é igual a zero. Isso acontece porque o valor será igual ao 
próprio valor presente, já que não houve nenhuma capitalização.
Quando o período de tempo é maior que um, os juros compostos rendem mais que os juros sim-
ples, entretanto, quando o período de tempo é um valor entre zero e um, o rendimento a juros simples 
é maior que a juros compostos.
Lembre-se de que os bancos utilizam juros simples para cheque especial, quando o período 
de tempo é menor do que um. Assim, o valor pago pela utilização do cheque especial é maior que 
se fosse calculado com juros compostos.
2.8 Compra de bens à vista ou a prazo
Uma aplicação prática dos juros compostos está na decisão de comprar à vista ou a prazo. 
Muitas vezes, a taxa de juros não está clara e é preciso calcular para descobrir a taxa que será paga.
Jurandir decidiu comprar uma geladeira, cujo valor era de R$ 1.000,00, 
a serem pagos daqui a um mês. Todavia, a loja oferece a Jurandir um 
desconto de 3% caso ele pague à vista. Jurandir tem o dinheiro para com-
prar a geladeira à vista, mas como o desconto oferecido foi pequeno, ele 
pensa em aplicar seu dinheiro em um investimento que rende 2% ao 
mês. Jurandir deveria pagar a geladeira à vista ou investir seu dinheiro 
na caderneta de poupança e pagar a geladeira daqui a um mês?
Para responder essa questão, é necessário analisar o que ocorre em cada um dos dois casos. 
Se Jurandir pagar a geladeira à vista ele terá um desconto de 3%, assim, o valor a ser pago será de:
P = R$ 1.000,00 – 3% . R$ 1.000,00 
P = R$ 1.000,00 – 0,03 . R$ 1.000,00 
P = R$ 1.000,00 – R$ 30,00
P = R$ 970,00
Esse é o valor presente da geladeira, por isso foi utilizada a letra P.
Caso Jurandir decida comprar a prazo, ele receberá um bem hoje para ser pago no futuro, o 
que equivale a receber um dinheiro hoje, cujo valor é P, e pagá-lo após um mês. Assim, o diagrama 
de fluxo de caixa ficaria como a figura a seguir:
Juros compostos 37
R$ 970,00
R$ 1.000,00
1
Para ajudar Jurandir a tomar essa decisão, é importante verificar o que acontece com o di-
nheiro que fica na caderneta de poupança. Caso Jurandir aplique R$ 970,00, o diagrama de fluxo 
de caixa ficará da seguinte maneira:
R$ 970,00
F = R$ 970,00 . (1,02)1
Depois de um mês Jurandir teria:
F = P . (1 + i)n
F = R$ 970,00 . (1,02)1
F = R$ 989,40
Caso Jurandir aplique na poupança por um mês e resgate o dinheiro para pagar a geladei-
ra, ele resgataria apenas R$ 989,40 e teria que pagar R$ 1.000,00. Assim, ele teria de desembolsar 
R$ 970,00 no ato da compra (depositando esse dinheiro no banco) e mais R$ 10,60 após um mês 
(para inteirar os R$ 1.000,00). Jurandir teria de fazer esse desembolso devido ao rendimento da 
poupança ser menor do que os juros cobrados pelo financiamento da geladeira.
Depois de feita a comparação dos valores que ele teria de desembolsar em cada um dos ca-
sos, poderia ser feita a comparação da taxa de juros da caderneta de poupança com a taxa de juros 
do financiamento da geladeira. Sabe-se que a taxa de juros da poupança é de 2%, então, é preciso 
encontrar a taxa de juros que a loja está cobrando. A taxa de juros da loja não é de 3% ao mês, 
esse é o valor do desconto; na verdade, a taxa de juros que está embutida na operação é outra.
F = R$ 1.000,00, P = R$ 970,00, n = 1
F = P . (1 + i)n
i = (F / P)
1
n – 1
i = (R$ 1.000,00 / R$ 970,00)
1
1 – 1 = 0,0309
i = 3,09% ao mês
Note que a taxa de juros cobrada pela loja é de 3,09%, e não apenas de 3%.
Matemática Financeira38
Como a loja cobra 3,09% de taxa de juros e a caderneta de poupança rende 2% de juros, é mais 
interessante comprar a geladeira à vista do que aplicar o dinheiro na caderneta de poupança, porque o 
retorno que Jurandir terá será menor do que o juro que ele terá de pagar pelo financiamento.
Atividades
1. A juros compostos de 8% ao mês, qual o resultado de R$ 3.000,00 em oito meses?
2. Qual o capital que, em seis anos, com taxa de juros compostos de 10% ao ano, resulta em 
R$ 14.000,00?
3. A que taxa de juros um capital de R$ 10.000,00 pode transformar-se em R$ 15.000,00, con-
siderando um período de aplicação de oito meses?
4. Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por oito meses a juros de 1% ao mês?
3
Taxas de juros
Este capítulo concentra-se nas taxas de juros, essenciais para a Matemática Financeira. 
A disciplina trata do valor do dinheiro no tempo e, para isso, utiliza a remuneração do capital, 
ou seja, o juro que remunera um capital depende do seu valor. Já a taxa de juros não tem essa 
característica, ela serve como balizador, independentemente da quantidade de capital que é 
investido ou tomado emprestado.
A comparação de investimentos ou empréstimos, pode sempre ser feita diretamente pela 
taxa de juros. É comum aplicar dinheiro em investimentos que proporcionem maior taxa de juros, 
assim, é possível receber maior remuneração pelo capital.
Analogamente, ao realizar um empréstimo é natural optar por aquele que cobra a menor 
taxa de juros, uma vez que se paga o menor valor pelo capital emprestado.
As taxas de juros também são assunto deste capítulo. Comparar taxas que são apresentadas 
em diferentes períodos de tempo, assim como conhecer algumas particularidades que ocorrem na 
divulgação das taxas de juros (taxas divulgadas em um período de tempo, mas com capitalização 
em outro período) e taxas de juros variáveis são temáticas indispensáveis.
3.1 Taxas de juros equivalentes
Quando se trabalha com juros compostos, é comum utilizar períodos de tempo que não são 
inteiros. Entretanto, além de trabalhar com períodos de tempo não inteiros, é possível converter a 
taxa de juros para um outro período, para que não seja necessário utilizar períodos fracionários.
Quando essa conversão da taxa de juros é realizada, encontra-se a taxa de juros equivalente.
3.1.1 Taxa de juros mensal e taxa de juros diária
Para compreender os juros equivalentes, veja o exemplo:
José emprestou R$ 300,00 a seu amigo por um período de 1 mês e 10 dias 
a uma taxa de juros composta de 3% ao mês. Quanto ele deverá receber 
depois de 40 dias?
Para encontrar o valor futuro, pode-se utilizar a taxa mensal e o período de 40/30 meses. Assim:
F = P . (1 + i)n
F = R$ 300,00 . (1 + 0,03)
40
30
F = R$ 312,06
Matemática Financeira40
Entretanto, para encontrar o valor futuro, é possível também utilizar a taxa ao dia, em vez 
da taxa mensal. Como ainda não é possível calcular a taxa ao dia, essa taxa vai ser chamada de iad. 
Assim, o valor futuro será:
F = P . (1 + iad)
n
Como a taxa de juros está escrita ao dia, o período também deve estar escrito em dias. Logo, 
o período será: n = 40 dias:
F = R$ 300,00 . (1 + iad)
40
F = R$ 312,06
Ainda não se sabe quanto é a taxa de juros ao dia, porém sabe-se que o valor futuro deve ser 
o mesmo que o valor calculado ao utilizar a taxa de juros mensal. Para que todas essas contas sejam 
válidas, deve-se ter o seguinte:
(1 + iad)
40 = (1 + 0,03)
40
30
É possível elevar cada um dos dois lados a 1/40, assim:
[(1 + iad)
40]
1
40 = [(1 + 0,03)
40
30]
1
40
(1 + iad) = (1 + 0,03)
1
30
iad = (1 + 0,03)
1
30 – 1 = 0,000986
iad = 0,0986% ao dia
Verificou-se, então, que para converter a taxa mensal em taxa diária deve-se utilizar a expressão:
(1 + iam) = (1 + iad)
30
Por meio desse exemplo, foi visto como encontrar a taxa de juros diária equivalente à taxa 
de juros mensal. Por meio dessa equação, pode-se encontrar a taxa de juros diária com base na 
taxa de juros mensal, ou o contrário, a taxa de juros mensal com base na taxa de juros diária:
O Banco Sideral cobra uma taxa de 0,1% ao dia para qualquer emprésti-
mo. Qual será a taxa de juros mensal equivalente?
(1 + iam) = (1 + iad)
30
(1 + iam) = (1 + 0,001)
30
iam = (1 + 0,001)
30 – 1 = 0,0304
iam = 3,04% ao mês
A seguir serão verificadasoutras taxas de juros equivalentes que podem ser encontradas. 
É importante lembrar que sempre que a taxa de juros estiver expressa em um período de tempo, 
é possível convertê-la para qualquer outro período de tempo.
Taxas de juros 41
3.1.2 Taxa de juros mensal e taxa de juros ao ano
Daniel deseja realizar um empréstimo pelo prazo de um ano. O Banco A 
cobra uma taxa de juros de 2% ao mês, já o Banco B cobra uma taxa de 
juros de 25% ao ano. Em qual dos dois bancos ele deve fazer o empréstimo?
No Banco A verifica-se:
FA = P . (1 + i)
n
FA = P . (1 + 0,02)
12
Já no Banco B:
FB = P . (1 + i)
n
FB = P . (1 + 0,25)
1
Para comparar, deve-se converter uma das taxas, no intuito de que ambas estejam expressas 
no mesmo período de tempo. Pode-se escolher qualquer uma das duas para ser convertida. Desse 
modo é possível, inicialmente, encontrar a taxa de juros mensal equivalente da taxa cobrada pelo 
Banco B.
Considerando a taxa de juros equivalente ao mês cobrada pelo Banco B:
FB = P . (1 + i)
n
FB = P . (1 + iam)
12
Como o valor futuro no Banco B deve ser o mesmo, independentemente de considerar a taxa 
de juros mensal ou anual:
(1 + iam)
12 = (1 + 0,25)
Logo, a taxa de juros mensal do Banco B é:
iam = (1,25)
1
12 – 1 = 0,0188
iam = 1,88% ao mês
Como a taxa de juros que o Banco B cobra é menor do que a taxa de juros que o Banco A 
está cobrando, é mais interessante para Daniel realizar o empréstimo no Banco B, pois ele terá de 
desembolsar um valor menor.
Desse modo, para converter a taxa anual em taxa mensal, é necessário utilizar a expressão:
(1 + iaa) = (1 + iam)
12
Voltando ao exemplo anterior, localiza-se a taxa de juros anual equivalente à cobrada pelo 
Banco A.
Matemática Financeira42
O Banco A cobra uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual será a taxa de 
juros anual equivalente?
(1 + iaa) = (1 + iam)
12
(1 + iaa) = (1 + 0,02)
12
iaa = (1 + 0,02)
12 – 1 = 0,2682
iaa = 26,82% ao ano
3.1.3 Taxa de juros anual e taxa de juros ao dia
Assim como nos outros exemplos, é possível também converter as taxas de juros ao ano e as 
taxas de juros ao dia:
Considerando que uma instituição financeira cobra uma taxa de juros de 
30% ao ano, qual será a taxa de juros ao dia?
Para resolver a questão, considera-se o ano composto por 360 dias. Assim:
F = P . (1 + i)n
Considerando a taxa ao ano:
F = P . (1 + iaa)
Considerando a taxa ao dia:
F = P . (1 + iad)
360
Como o valor futuro deve ser o mesmo, independentemente da capitalização ser ao ano ou 
ao dia, nota-se que:
(1 + iaa) = (1 + iad)
360
Dessa forma, é possível calcular a taxa de juros ao dia cobrada pela instituição financeira.
(1 + iad)
360 = (1 + iaa)
[(1 + iad)
360]
1
360 = (1 + iaa)
1
360
(1 + iad) = (1 + iaa)
1
360
iad = (1 + 0,30)
1
360 – 1
iad = 0,073% ao dia
Por meio do exemplo anterior, constatou-se que para converter a taxa de juros ao ano e taxa 
de juros ao dia, utiliza-se a fórmula:
(1 + iad) = (1 + iaa)
1
360
Taxas de juros 43
3.1.4 Resumo das taxas de juros equivalentes
É possível encontrar a taxa equivalente para qualquer período. No entanto, as formas mais 
comuns de apresentar as taxas de juros são: ao dia, ao mês e ao ano.
A seguir, apresenta-se breve resumo das fórmulas para encontrar as taxas de juros equivalentes 
para os períodos já utilizados. Além disso, apresentam-se os períodos: semestral e trimestral.
Quadro 1 – Resumo das taxas equivalentes
(1 + iaa) = (1 + ias)
2 (1 + ias) = (1 + iam)
6
(1 + iaa) = (1 + iat)
4 (1 + ias) = (1 + iad)
180
(1 + iaa) = (1 + iam)
12 (1 + iat) = (1 + iam)
3
(1 + iaa) = (1 + iad)
360 (1 + iat) = (1 + iad)
90
(1 + ias) = (1 + iat)
2 (1 + iam) = (1 + iad)
30
Fonte: Elaborado pelo autor.
Apesar de não ser comum, é possível utilizar taxa de juros semanal, ou mesmo em outros 
períodos. No caso de uma aplicação (ou um empréstimo), por exemplo, em um período de 40 dias, 
seria interessante utilizar a taxa de juros ao período de 40 dias.
3.2 Taxas de juros nominal e efetiva
Constantemente a taxa de juros é informada em um período de tempo, enquanto sua capita-
lização ocorre em outro período. Para citar um exemplo, muitas vezes um certo capital é aplicado 
a uma taxa de juros que sofrerá capitalização todos os meses. Contudo, quando a taxa de juros é 
informada, simplesmente multiplica-se a taxa de juros mensal por 12, obtendo algo chamado de 
taxa de juros nominal.
Este é um conceito estranho, pois a taxa de juros nominal não tem utilidade. Sempre que é 
informada a taxa de juros nominal, é preciso encontrar a taxa de juros efetiva, para então calcular 
os juros sobre uma aplicação ou um empréstimo.
Se foi dito que não tem muita utilidade, por que é importante tratar desse assunto? Por uma 
simples razão: é preciso aprender a diferença das duas taxas, porque ambas aparecem no mercado 
financeiro. O ideal seria que apenas a taxa de juros efetiva fosse informada, mas como nem sempre 
isso ocorre, é fundamental saber como encontrar a taxa de juros efetiva por meio da taxa de juros 
nominal. Sabendo disso, sempre será possível encontrar o valor futuro dado um valor presente.
Joaquim aplicou R$ 1.000,00 em um investimento que promete uma taxa 
de juros nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Qual será 
a taxa de juros efetiva dessa aplicação?
Matemática Financeira44
Nesse exemplo foi dada a taxa de juros nominal anual. Como a capitalização é trimestral, é 
possível expressar a taxa efetiva como trimestral ou anual (pode-se, ainda, expressar a taxa de ju-
ros a outros períodos, no entanto, serão utilizadas somente as formas apresentadas no exemplo). 
Como não é feita nenhuma menção ao período desejado para a taxa de juros, ela será expressa 
nos dois períodos.
O mais fácil é expressar a taxa de juros trimestral efetiva. Por meio da taxa de juros nominal 
(in) é possível calcular a taxa de juros trimestral efetiva:
ief = in / 4
ief = 6% ao trimestre
Para encontrar a taxa de juros efetiva anual (ief(aa)), procede-se da mesma maneira que para 
encontrar uma taxa de juros equivalente, obtendo assim a taxa de juros efetiva ao ano. Portanto:
(1 + ief(aa)) = (1 + ief(at))
4
ief(aa) = (1 + ief(at))
4 –1
ief(aa) = (1 + 0,06)
4 – 1
ief(aa) = 26,25% ao ano
A seguir considere um exemplo real: a caderneta de poupança. Muitas vezes a taxa de juros 
informada é nominal, por isso, é preciso encontrar a taxa de juros real dessa aplicação para que se 
possa saber o valor futuro de determinado investimento.
Bruno aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança. Ele foi informado 
que a taxa de rendimento da poupança era de 6% ao ano, capitalizada 
mensalmente, mais a variação da Taxa Referencial (TR). A TR é defini-
da pelo governo e não se pode saber seu valor de antemão, mas Bruno 
quer saber quanto ele terá após um ano. Então ele decide assumir que 
a TR será zero ao longo do próximo ano, para descobrir quanto ele terá 
no pior dos casos (observe que a TR não deverá assumir o valor zero. 
Bruno está assumindo isso para saber quanto ele terá, no mínimo, daqui 
a um ano).
Assumindo o valor zero para a TR, sabe-se que o capital de Bruno será aplicado a uma taxa 
nominal de 6% ao ano (in), no entanto, é preciso descobrir a taxa de juros efetiva (ief). Como a capi-
talização é mensal, deve-se dividir a taxa de juros nominal (ao ano) por 12. Assim:
ief = in / 12
ief = 6% / 12
ief = 0,5% ao mês
Taxas de juros 45
Agora que foi encontrada a taxa de juros efetiva, deve-se realizar a capitalização durante 12 
meses, a fim de encontrar o valor que Bruno terá daqui a um ano:
F = P . (1 + i)n
F = R$ 100 . (1 + 0,005)12
F = R$ 106,17
Portanto, daqui a um ano Bruno terá pelo menos R$  106,17 na caderneta de poupança.
Também é fácil calcular a taxa de juros efetiva anual da caderneta de poupança:
i = (F / P)
1
n – 1
Como o prazo é de um ano e a taxa deverá estar expressa ao ano, o período é um:
i = (R$ 106,17 / R$ 100,00) – 1
i = 6,17% ao ano
3.3 Taxas de juros variáveis
As taxas de juros variam com o tempo. Muitas vezes uma empresafaz uma dívida e a re-
nova ao longo do tempo; a cada vez que a dívida é renovada, a taxa de juros cobrada pelo banco 
é diferente.
Assim, é interessante conhecer a taxa de juros acumulada cobrada na operação como um 
todo e descobrir qual é a taxa de juros média cobrada nessa operação financeira.
3.3.1 Taxa de juros acumulada
Para entender a taxa de juros acumulada, veja o exemplo:
A eletrônica Curto Circuito precisa de recursos para financiar seus pro-
jetos. Por isso, fez um empréstimo no banco pelo prazo de um ano com 
taxa de juros de 25% ao ano. Após esse período, a eletrônica precisou 
renovar a dívida por mais um ano, porém, a taxa de juros foi de 20% ao 
ano. A eletrônica continuou renovando a dívida por mais alguns anos. 
A tabela a seguir resume todas as taxas de juros cobradas pelo banco ao 
longo de 5 anos.
Ano Taxa
1 25%
2 20%
3 22%
4 20%
5 18%
Matemática Financeira46
Com base nesses valores, veja a taxa de juros acumulada paga pela eletrônica. Já que não se co-
nhece o valor do empréstimo, ele será chamado de P. Sabe-se que após um ano o valor da dívida será:
F1 = P . (1 + i1)
1
F1 = P . (1 + 1,25)
1
No cálculo anterior, a taxa de juros do ano 1 é chamada de i1.
Após mais um ano, o valor da dívida será F1 corrigido por mais um período:
F2 = F1 . (1 + i2)
1
F2 = F1 . (1 + 1,20)
1= P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20)
Em que i2 é a taxa de juros do ano 2.
Continuando para os demais anos:
F3 = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22)
F4 = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20)
F5 = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)
Agora é fácil verificar que a cada ano o valor da dívida é corrigido pela nova taxa de juros. 
Suponha que existe uma única taxa de juros que transforme o valor presente (P) no valor futuro (F5). 
A taxa de juros é iAc, pois ela é chamada de taxa de juros acumulada. Então:
F5 = P . (1 + iAc)
Observe que não é preciso elevar o termo (1 + i) à quinta potência. Isso porque essa taxa não 
está expressa ao ano, mas ao período de cinco anos. Portanto, ela não produz o valor futuro depois 
de um ano, mas sim o valor futuro após cinco anos. As duas expressões anteriores produzem o 
valor futuro após cinco anos. Comparando-as:
(1 + iAc) = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)
Reescrevendo-a:
iAc = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18) – 1
Agora, é possível calcular a taxa de juros acumulada, ou seja, a taxa de juros que produz o 
mesmo efeito que a composição das outras cinco taxas de juros:
iAc = 1,59128
iAc = 159,128% ao período de cinco anos
Se a eletrônica pagar a dívida somente ao final de cinco anos, a taxa de juros acumulada 
cobrada pelo banco será de 159,128% ao período de cinco anos. Assim, se o empréstimo fosse de 
R$ 1.000,00, o valor a ser pago ao final de cinco anos seria de R$ 2.591,28.
Resumindo, o valor futuro de uma dívida ou de um investimento após um período de tempo é:
F1 = P . (1 + i1)
Taxas de juros 47
Foi adotado o índice 1 na taxa de juros para indicar que se trata da taxa de juros no período 
1. No período 2 a taxa de juros é i2. Assim, o valor futuro será:
F2 = F1 . (1 + i2) = P . (1 + i1) . (1 + i2)
Seguindo esse raciocínio, após cinco períodos de tempo o valor futuro da dívida (ou do 
investimento) será:
F5 = P . (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5)
Se a taxa de juros ao período de cinco anos fosse conhecida (iAc), a expressão para obtenção 
do valor futuro poderia ser escrita como:
F = P . (1 + iAc)
Comparando as duas expressões, pode-se realizar cinco capitalizações anuais, ou apenas 
uma para o período de cinco anos, de qualquer forma se chegará ao mesmo valor. Portanto, essa 
única capitalização para o período completo deve ser igual ao produto das capitalizações anuais, 
ou seja:
(1 + iAc) = (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5)
Agora que a expressão para a taxa de juros acumulada é conhecida, veja o exemplo a seguir:
Bernardo fez uma dívida pós-fixada, assim ele não sabe qual será o valor 
a pagar até que chegue a data do pagamento. Essa dívida é baseada na 
variação cambial, ou seja, na taxa de variação do dólar em relação ao real, 
conforme tabela a seguir:
Mês Taxa Mês Taxa
1 0,7% 7 –0,9%
2 0,7% 8 2,4%
3 0,5% 9 0,6%
4 2,8% 10 3,0%
5 1,6% 11 –0,6%
6 3,3% 12 –0,5%
Qual taxa de juros acumulada será paga por Bernardo em um ano?
A taxa de juros que será utilizada para o empréstimo é a taxa de variação do dólar e, com base 
nela, é possível calcular a variação da dívida de Bernardo.
A equação para a taxa de juros acumulada é dada por:
(1 + iAc) = (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5) . (1 + i6)
 . (1 + i7) . (1 + i8) . (1 + i9) . (1 + i10) . (1 + i11) . (1 + i12)
Matemática Financeira48
Substituindo os valores:
(1 + iAc) = (1 + 0,007) . (1 + 0,007) . (1 + 0,005) . (1 + 0,028)
 . (1 + 0,016) . (1 + 0,033) . (1 – 0,009) . (1 + 0,024)
 . (1 + 0,006) . (1 + 0,030) . (1 – 0,006) . (1 – 0,005)
A conta é um pouco extensa, mas não é difícil. Antes de realizá-la, observe que algumas 
taxas de variação do dólar são negativas. Assim, em alguns termos do cálculo da taxa de juros acu-
mulada aparece uma subtração.
Calculando a taxa de juros acumulada obtém-se:
iAc = 14,35% ao ano
Observação: vale ressaltar que Bernardo estava correndo um risco. 
Sempre que se trabalha com taxa de juros pós-fixada, existe o risco de 
não acontecer o que se espera. Quando Bernando assumiu uma dívida 
baseada no dólar, ele acreditava que o valor do dólar não iria subir, ou 
subiria pouco nesse período, mas não é possível ter certeza. Nem mesmo 
os grandes bancos sabem o valor da taxa de câmbio entre o real e o dólar 
para uma data futura. Considerando o contrário, quando um aplicador 
investe em dólares, ele está assumindo que o valor do dólar irá subir. 
E, quanto mais subir, mais rentável será para ele.
3.3.2 Taxa média de juros
Assim como a taxa de juros acumulada, a taxa de juros pode variar ao longo do tempo. É in-
teressante conhecer a taxa de juros média, por meio dela pode-se ter uma boa ideia do que ocorreu 
no passado.
Em relação ao exemplo da eletrônica Curto Circuito, calcular a taxa de juros de cada ano e 
calcular a taxa média de juros parece uma tarefa fácil, no entanto, é preciso tomar cuidado, pois o 
cálculo da taxa média não é o mesmo que calcular o valor médio de qualquer outra coisa. Não se 
deve simplesmente somar todos os valores das taxas de juros e dividir pelo total, como seria feito 
para calcular a média de altura dos alunos de uma classe. Veja o exemplo e observe a diferença:
A eletrônica Curto Circuito está com necessidade de recursos e fez um 
empréstimo por um ano. Como ela não tem condições de pagar esse 
valor antes de cinco anos, a renovação da dívida se torna inevitável. 
Todavia, cada vez que a dívida é renovada, a taxa de juros cobrada pelo 
banco é outra, conforme tabela:
Taxas de juros 49
Ano Taxa
1 25%
2 20%
3 22%
4 20%
5 18%
A taxa de juros acumulada ao longo desses cinco anos já foi encontrada, agora é preciso 
encontrar a taxa de juros média, ou seja, uma taxa de juros constante, que proporcione o mesmo 
valor futuro que essas cinco diferentes taxas (a qual deverá ser elevada a cinco).
F5 = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)
Utilizando a taxa de juros média obtém-se:
F5 = P . (1 + im)
5
Em que a taxa de juros média é chamada de im. Considera-se a ocorrência de uma taxa de 
juros igual a im em cada ano.
Como a capitalização do valor presente por cinco períodos deve produzir o mesmo valor 
futuro, usar a capitalização média é equivalente a utilizar as cinco capitalizações. Assim:
(1 + im)
5 = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)
Resolvendo a equação:
[(1 + im)
5]
1
5 = [(1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)]
1
5
(1 + im) = [(1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)]1
5
im = [(1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)]
1
5 – 1
im = 20,98% ao ano
Ou seja, se o banco tivesse emprestado à eletrônica o mesmo capital a uma taxa de juros de 
20,98% ao ano, pelo prazo de cinco anos, o valor que a eletrônica teria de pagar após cinco anos 
seria o mesmo. É por isso que essa taxa é chamada de taxa média de juros.
Na maioria das contas realizadas diariamente para considerar um valor médio, somam-se 
todos os valores e divide-se o resultado da soma pela quantidade total de termos. Essa conta é cha-
mada de média aritmética.
Existe, ainda, um outro tipo de média, chamada de média geométrica. Essa média é pouco 
utilizada no dia a dia, mas é muito comum na Matemática Financeira. A média geométrica de n 
termos consiste em multiplicar todos os termos e depois elevar o resultado a 1/n, exatamente como 
foi feito no exemplo anterior.
(1 + im) = [(1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5)]
1
5
Matemática Financeira50
Generalizando para n taxas de juros:
(1 + im) = [(1 + i1) . (1 + i2) . . . . . (1 + in-1) . (1 + in)]
1
n
Para fixar esse conceito, pode-se analisar o exemplo de Bernardo, que fez um empréstimo 
baseado na taxa de câmbio do dólar, ou seja, uma taxa de juros pós-fixada.
Bernardo fez uma dívida baseada na variação cambial. A tabela a seguir 
apresenta a taxa de variação do dólar em relação ao real para o período 
da dívida.
Mês Taxa Mês Taxa
1 0,7% 7 –0,9%
2 0,7% 8 2,4%
3 0,5% 9 0,6%
4 2,8% 10 3,0%
5 1,6% 11 –0,6%
6 3,3% 12 –0,5%
Qual foi a taxa média de juros que Bernardo teve de pagar nesse período?
A taxa de juros utilizada para o empréstimo é a taxa de variação do dólar. A equação para a 
taxa média de juros é dada por:
(1 + im) = [(1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5) . (1 + i6)
 . (1 + i7) . (1 + i8) . (1 + i9) . (1 + i10) . (1 + i11) . (1 + i12)]
1
12
Substituindo os valores:
(1 + im) = [(1 + 0,007) . (1 + 0,007) . (1 + 0,005) . (1 + 0,028)
 . (1 + 0,016) . (1 + 0,033) . (1 – 0,009) . (1 + 0,024)
 . (1 + 0,006) . (1 + 0,030) . (1 – 0,006) . (1 – 0,005)]
1
12
Algumas taxas de variação do dólar são, novamente, negativas. Assim, em alguns termos do 
cálculo da taxa de juros acumulada aparece uma subtração.
Calculando a taxa média de juros obtém-se:
im = 1,12% ao mês
3.4 Taxa ao dia útil
Conforme visto, a taxa de juros pode ser expressa em vários períodos. Em algumas opera-
ções financeiras a capitalização não ocorre todos os dias, mas apenas nos dias úteis. As taxas ao 
Taxas de juros 51
dia útil costumam ser utilizadas nas operações interbancárias (entre bancos). Quando um banco 
necessita de recursos, ele pode solicitar a outro banco, o qual pode emprestar-lhe os recursos a uma 
taxa ao dia útil.
Se a taxa de juros for de 0,1% ao dia útil no mês de janeiro e também de 0,1% ao dia útil no mês 
de fevereiro, a taxa de juros ao mês será diferente nos dois períodos. Para fazer esse cálculo, é necessário 
descobrir quantos dias úteis há em cada mês – considere que esse número não será o mesmo em todos 
os anos.
Para encontrar os dias úteis é preciso descontar sábados, domingos e feriados (inclusive os 
feriados móveis, como o carnaval). O mês de janeiro, por exemplo, tem 31 dias corridos. O número 
de sábados pode ser de quatro a cinco, o mesmo ocorre com os domingos. Em janeiro há apenas 
um feriado nacional, porém ele pode coincidir com um sábado ou domingo. Assim, o mês de 
janeiro dispõe de 20 a 23 dias úteis. Já o mês de fevereiro tem de 19 a 20 dias úteis (é importante 
lembrar do ano bissexto).
Considerando um mês de janeiro com 23 dias úteis e um mês de fevereiro com 19 dias, é 
obtida a maior diferença entre as taxas mensais.
Para o mês de janeiro com 23 dias:
(1 + iam) = (1 + iadu)
23
iam = (1 + iadu)
23 –1
iam = (1 + 0,001)
23 – 1
iam = 2,33% ao mês
Para o mês de fevereiro com 19 dias:
(1 + iam) = (1 + iadu)
19
iam = (1 + iadu)
19 –1
iam = (1 + 0,001)
19 – 1
iam = 1,92% ao mês
A taxa de juros mensal nos dois períodos foi bastante diferente, embora a taxa ao dia útil seja a 
mesma. Isso também ocorre quando se trabalha com dias corridos. Entretanto, para estes, a diferença 
não costuma ser tão grande, exceto para o mês de fevereiro, que tem 28 dias. Quando se trabalha com 
dias úteis, isso pode acontecer com qualquer mês, pois o mês de agosto (com 31 dias corridos) pode 
ter 23 dias, já o mês de setembro (com 30 dias corridos) pode ter apenas 19 dias úteis. 
Como a variabilidade de dias úteis é maior que a variabilidade de dias corridos, expressar a 
taxa de juros em dias úteis faz com que taxas que são iguais, quando tratadas em dias, fiquem bastante 
diferentes, quando tratadas ao mês. O mesmo pode ocorrer quando é feito o contrário, ou seja, taxas 
que são iguais, quando tratadas ao mês, podem ser bastante diferentes quando tratadas ao dia útil.
Vale ressaltar que é comum considerar que o ano possui 252 dias úteis. Esse é o padrão adotado, 
tanto que o Banco Central do Brasil publicou uma circular estabelecendo o ano-base de 252 dias úteis.
Matemática Financeira52
Dessa forma, é comum os livros utilizarem cada mês como tendo 21 dias úteis, pois: 12 . 21 = 252. 
No entanto, isso é apenas uma aproximação, pois a maneira correta de saber o número de dias úteis de 
um mês é descontando os sábados, domingos e feriados. Veja o exemplo a seguir:
O Banco A necessita de recursos e solicitou ao Banco B um empréstimo a 
uma taxa de 0,05% ao dia útil. Qual será a taxa de juros equivalente ao mês?
Como não foi informado o número de dias úteis presentes no mês, será considerado um mês 
com 21 dias. Assim:
(1 + iam) = (1 + iadu)
21
iam = (1 + iadu)
21 – 1
iam = (1 + 0,0005)
21 – 1
iam = 1,055% ao mês
O exemplo a seguir mostra a equivalência entre taxa de juros ao dia útil e taxa de juros ao ano.
O Banco A realizou um empréstimo no Banco B a uma taxa de juros de 
0,05% ao dia útil. Calcule a taxa de juros equivalente ao ano.
(1 + iaa) = (1 + iadu)
252
iaa = (1 + iadu)
252 – 1
iaa = (1 + 0,0005)
252 – 1
iaa = 13,42% ao ano
Atividades
1. Calcule a taxa diária equivalente à taxa de juros de 100% ao ano, assumindo o ano com 365 dias.
2. Calcule a taxa mensal equivalente à taxa de 176% ao ano.
3. Dada a taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, determine a taxa efetiva.
4. Uma pessoa investe R$ 50.000,00 no mercado financeiro por três meses, obtendo as seguin-
tes rentabilidades efetivas mensais:
Mês 1 Mês 2 Mês 3
6% 17% 4%
Determine o montante do resgate.
4
Desconto
Quando uma dívida em um banco ou em uma loja é paga antecipadamente, é comum o 
devedor esperar receber um desconto. Além disso, quando é realizado um empréstimo, sabe-se 
muitas vezes o valor a ser pago no futuro, bem como o valor disponibilizado; sabe-se também que 
a quantia emprestada é menor do que aquela que será paga, isto é, o valor futuro é descontado por 
uma taxa de juros. Desse modo, é necessário aprender como calcular os descontos presentes em 
várias transações financeiras.
Antes de iniciar os cálculos e as discussões presentes neste capítulo, é importante ressaltar 
que existem dois tipos de descontos comumente realizados. Um deles costuma ser praticado pelos 
comerciantes e é chamado de desconto comercial. O outro – frequentemente utilizado em tran-
sações feitas em instituições financeiras – é chamado de desconto racional. O termo racional não 
deriva de raciocínio, mas sim da palavra razão, que na Matemática significa divisão.
4.1 Desconto racional ou financeiro
Quando se trabalha com juros compostos, o modo de encontrar o valor futuro por meio do 
valor presente se dá pela seguinte fórmula:
F = P . (1 + i)n
Em que:
F = valor futuro ou montante;
P = valor presente;
i = taxa de juros; e
n = número de períodos.
Para encontrar o valor presente por meio de um valor futuro, deve-se simplesmente isolá-lo 
na equação acima:
P = F / (1 + i)n
Para chegar ao valor presente por meio do valor futuro, basta multiplicá-lo pelo fator de 
desconto. O